Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη"

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

2 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω ν k-χρωματισμός: Έστω γρα φημα G. Η συνα ρτηση χ : V(G) [1,..., k] ονομα ζεται k-χρωματισμός του G αν για κα θε ακμη e = (u, v) E(G) ισχυ ει ο τι χ(u) χ(v) χρωματικές κλάσεις: Έστω ε να γρα φημα G και ε στω χ ε νας k-χρωματισμο ς του. Τα συ νολα κορυφω ν χ 1 (1), χ 1,, χ 1 (k) ονομα ζονται χρωματικές κλάσεις του G χρωματικός αριθμός: Έστω ε να γρα φημα G. Ο χρωματικός αριθμός χ(g) του γραφη ματος G ει ναι ο μικρο τερος ακε ραιος k για τον οποι ο ισχυ ει ο τι το G ει ναι k-χρωματι σιμο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

3 Παραδει γματα: G 1 G 2 (1) χ(g 1 ) = 2 (4) (1) (3) χ(g 2 ) = 4 G 3 (1) G 4 (3) (5) χ(g 3 ) = 5 χ(k n ) = n χ(g 4 ) = 3 Το G 4 ει ναι ε να τριμερε ς γρα φημα (4) (3) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

4 Λήμμα 8.1: Έστω γρα φημα G το οποι ο ε χει ως επαγο μενο υπογρα φημα του το πλη ρες γρα φημα k κορυφω ν K k. Το τε χ(g) k Απόδειξη : Έστω ο τι υπα ρχει συ νολο S V(G) με S = k και H το υπογρα φημα του G το οποι ο επα γεται απο τις κορυφε ς του S ει ναι πλη ρες Έστω ο τι υπα ρχει ε νας l-χρωματισμο ς του G, l < k Το τε, τουλα χιστον δυ ο κορυφε ς του H ε χουν το ι διο χρω μα Λο γω του ο τι το H ει ναι πλη ρες γρα φημα, οι κορυφε ς αυτε ς ενω νονται με ακμη Άρα, ο l-χρωματισμο ς του G δεν ει ναι νο μιμος άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

5 πλήρες k-μερές: Το γρα φημα K p1,p 2,...,p k = K p1 K p2 K pk, k 2, ο που p 1, p 2,, p k ακε ραιοι, ονομα ζεται πλήρες k-μερές γράφημα Τα συ νολα κορυφω ν V(K p1 ),, V(K pk ) ει ναι τα με ρη του K p1,p 2,...,p k k-μερές γράφημα: Ένα παραγο μενο υπογρα φημα ενο ς πλη ρους k-μερου ς γραφη ματος Λήμμα 8.2: Έστω το γρα φημα K p1,p 2,...,p k. Το τε ισχυ ει: i. V(K p1,p 2,...,p k ) = p 1 + p p k [= n] k ii. E(K p1,p 2,...,p k ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 Απόδειξη : k k k k k k ii. E = 1 p 2 i (n p i ) = 1 2 ( p i n p 2 i ) = 1 2 (n p i p 2 i ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

6 Λήμμα 8.3: Έστω γρα φημα G. To G ει ναι k-χρωματι σιμο ανν το G ει ναι k-μερε ς Απόδειξη : Έστω χ : V(G) {1, 2,..., k} ε νας k-χρωματισμο ς του G Έστω χ 1 (1), χ 1,, χ 1 (k) οι χρωματικε ς κλα σεις του G Κορυφε ς που ανη κουν στην ι δια χρωματικη κλα ση δεν ενω νονται με ακμη Το G ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του K p1,p 2,...,p k ο που p i = χ 1, 1 i k Άρα το G ει ναι k-μερε ς Έστω ο τι το G ει ναι k-μερε ς και ε στω V 1, V 2,, V k τα k με ρη του Ο χρωματισμο ς χ : χ(v) = i v V i ει ναι ε νας k-χρωματισμο ς του G Άρα το G ει ναι k-χρωματι σιμο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

7 Λήμμα 8.4: Έστω γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) n2 n 2 m 2, ο που n = V(G) και m = E(G) Απόδειξη : Έστω χ(g) = k Το G ει ναι k-μερε ς [Λη μμα 8.3] Το G ει ναι παραγο μενο υπογρα φημα του K p1,p 2,...,p k m E(K p1,p 2,...,p k ) Λη μμα 8.2 = k 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 k k 1 2 (n2 n2 k ) [γιατι p 2 i 1 k ( p i ) 2 = n2 k ] i=1 i=1 Αρα m 1 2 (n2 n2 k ) k χ n2 n 2 2m n2 n 2 2m Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

8 κρίσιμο γράφημα: Έστω γρα φημα G. Το G ονομα ζεται κρίσιμο αν για κα θε υπογρα φημα H G ισχυ ει ο τι χ(g) > χ(h) Παρα δειγμα: (Κρι σιμα γραφη ματα) G C 5 K 5 Ένα κρι σιμο γρα φημα ει ναι ελαχιστοτικο γρα φημα ως προς τον χρωματικο αριθμο Λήμμα 8.5: Έστω κρι σιμο γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) δ(g) + 1 Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω χ(g) > δ(g) + 1. Έστω κορυφη u V(G) με d(u) = δ(g) d(u) < χ(g) 1 G κρι σιμο χ(g v) = χ(g) 1 Έστω χρωματισμο ς του G u με χ(g) 1 χρω ματα Υπα ρχει χρω μα, ε στω c, που δεν χρησιμοποιει ται στους γει τονες της u Μπορω να χρωματι σω το u με το χρω μα c και α ρα το G με χ(g) 1 χρω ματα άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

9 Θεώρημα 8.6: Έστω γρα φημα G. Το τε χ(g) (G) + 1 Απόδειξη [Με επαγωγή]: Θα δει ξουμε ο τι το G ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Βα ση: Κα θε γρα φημα με (G) + 1 κορυφε ς ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Ε.Υ. Κα θε γρα φημα G με < n κορυφε ς ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Ε.Β. Έστω γρα φημα G με n κορυφε ς Έστω αυθαι ρετη κορυφη u και ε στω το γρα φημα G u Το G u ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Υπα ρχει χρω μα, ε στω c που δεν χρησιμοποιου ν οι γει τονες της u Χρωματι ζοντας την u με το χρω μα c, λαμβα νω ε να νο μιμο χρωματισμο για το γρα φημα G με (G) + 1 χρω ματα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

10 Θεώρημα 8.7[Brooks, 1941]: Έστω συνεκτικο γρα φημα G που δεν ει ναι πλη ρες ου τε ει ναι περιττου μη κους κυ κλος. Το τε χ(g) (G) Απόδειξη [Με επαγωγή στο V(G) ]: Θα δει ξουμε ο τι το G ει ναι ( (G) + 1)-χρωματι σιμο Βα ση: Ισχυ ει για γραφη ματα με n = 1, n = 2, n = 3 κορυφε ς Ε.Υ. Έστω ο τι ο λα τα γραφη ματα G με n 1 κορυφε ς ει ναι (G)-χρωματι σιμα Ε.Β. Θα δει ξω ο τι ο λα τα γραφη ματα με n κορυφε ς ει ναι (G)-χρωματι σιμα Έστω γρα φημα G με (G) = k Περίπτωση 1: Υπα ρχει κορυφη v V(G) με βαθμο d(v) < k Θεωρω το G v και το χρωματι ζω αναδρομικα Υπα ρχει χρω μα λ που δεν χρησιμοποιου ν οι < k γει τονες της v Χρωματι ζω την v με το χρω μα λ Περίπτωση 2: Όλες οι κορυφε ς του G ε χουν βαθμο k [το G ει ναι k-κανονικο γρα φημα] Έστω το G {v} V(G {v} = n 1, (G {v}) = (G) = k Το G {v} ει ναι k-χρωματι σιμο Θα δείξουμε πώς να χρωματίσουμε το G {v} με k χρώματα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

11 Περίπτωση 2a: Υπα ρχουν δυ ο γειτονικε ς κορυφε ς της v που ε χουν το ι διο χρω μα Κα ποιο χρω μα, ε στω λ, δεν χρησιμοποιει ται στον χρωματισμο του G {v} Χρωμα τισε την v με λ Περίπτωση 2b: Όλοι οι γει τονες της v ε χουν διαφορετικο χρω μα Έστω χ(v i ) = i G ij : Το γρα φημα που επα γεται απο τις κορυφε ς με χρω μα i και χρω μα j Περίπτωση 2b1: Οι κορυφε ς v i και v j ανη κουν σε διαφορετικε ς συνεκτικε ς συνιστω σες, ε στω C i, C j του C ij v k v v 1 v 2 v 1 v 1 v k v 2 v k v v v j v i v j v i C j C i C j C i Άλλαξε τα χρω ματα (i j) στην C i. Το γρα φημα παραμε νει νο μιμα χρωματισμε νο Χρωμα τισε την v με χρω μα i v 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

12 Περίπτωση 2b2: Οι κορυφε ς v i και v j ανη κουν στην ι δια συνεκτικη συνιστω σα, ε στω C ij, για κα θε ζευ γος i, j του G ij v i, v j υπα ρχει (v i, v j ) μονοπα τι στην C ij Περίπτωση 2b2a: d(v i ) 2 στην C ij v v v i y x v j v i (k) y x v j C ij C ij Έστω x, y N Cij (v i ) με τουλα χιστον μια απο τις x, y διαφορετικη απο την v j χ(x) = χ(y) = j d Cij (v j ) (G) 1[Λει πει η ακμη (v, v i)] Υπα ρχει κα ποιο χρω μα, ε στω k, διαφορετικο απο το i, το οποι ο δεν χρησιμοποιει τα απο τις κορυφε ς του N Cij (v i ) Φτια ξε νε ο χρωματισμο του G ο που: χ(v i ) = k χ(v) = i Περίπτωση 2b2b: d(v i ) = 1 στην C ij [ο μοια d(v j ) = 1 στην C ij ] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

13 Περίπτωση 2b2b1: Υπα ρχει w C ij (διαφορετικο απο τα v i, v j ): d Cij (w) 3 v i w v j v i w (λ) v j C ij Έστω χ(w) = j. Το τε ο λοι οι γει τονες του w ε χουν χρω μα i Επειδη ε χω 3 γει τονες του w με χρω μα i περισσευ ουν 2 χρω ματα τα οποι α δεν χρησιμοποιου νται για τους γει τονες του w, ε να εκ των οποι ων ει ναι διαφορετικο του j. Έστω λ το χρω μα αυτο Χρωματι ζω το w με το χρω μα λ Το τε τα v i και v j βρι σκονται σε διαφορετικε ς συνεκτικε ς συνιστω σες του G ij Το γρα φημα G μπορει να χρωματιστει με (G) χρω ματα [περι πτωση 2b1] Περίπτωση 2b2b2: d Cij (w) = 2, w C ij, w / { v i, v j } Στην περι πτωση αυτη η συνιστω σα C ij στην οποι α ανη κουν οι v i, v j, για κα θε ζευ γος i, j, i j ει ναι ε να μονοπα τι με τα v i και v j στα α κρα του Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

14 Έστω οι συνιστω σες C ij, C jl των G ij, G jl Περίπτωση 2b2b2a: Τα μονοπα τια C ij και C jl ε χουν κοινη κορυφη διαφορετικη απο την v j Έστω x μια κοινη κορυφη των δυο μονοπατιω ν (διαφορετικη απο την v j ) v i x v l v j v i (λ) x χ(x) = j Η x ε χει 2 γει τονες με χρω μα i και 2 γει τονες με χρω μα l Οι γει τονες της x δεν χρησιμοποιου ν 2 χρω ματα εκ των οποι ων ε να ει ναι διαφορετικο του j. Έστω λ το αχρησιμοποι ητο χρω μα Χρωματι ζουμε την x με το χρω μα λ Το τε, οι v i και v j βρι σκονται σε διαφορετικε ς συνιστω σες του G ij Υπα ρχει χρωματισμο ς του G με (G) χρω ματα [περι πτωση 2b1] v l v j Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

15 Περίπτωση 2b2b2b: Τα μονοπα τια C ij, C jl ε χουν μο νη κοινη κορυφη την v j v j w v i v l v j w v i Έστω w η γειτονικη της v j κορυφη στο μονοπα τι C ij (v j v i ) Στο μονοπα τι C jl (v j v l ) ανταλλα σσω τα χρω ματα j με l Στον νε ο χρωματισμο, ε στω h θεωρω την συνιστω σα C h v i v j που ενω νει τις κορυφε ς v i με v j Η C h v i v j περιλαμβα νει κο μβους με χρω ματα l και i. Λο γω του ο τι ο βαθμο ς του v j στην C h v i v j ει ναι ι σος με 1, και η w ει ναι γειτονικη στην v j και το χρω μα της w ανη κει στο μονοπα τι C h v i v j (v j v i ) Η C h v i v l περιλαμβα νει κο μβους με χρω ματα i και j. Λο γω του ο τι ο βαθμο ς της v i στο C h v i v l ει ναι ι σος με 1, και οι βαθμοι ο λων των κορυφω ν του μονοπατιου ει ναι ι σοι με 2, και ο τι το παλιο μονοπα τι απο την v i προς την w εξακολουθει να ει ναι στο G ij, η w ανη κει στην C h v i v l Στην περι πτωση αυτη, μπορου με να βρου με χρωματισμο του G [περι πτωση 2b2b2a] v l Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 182

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ

Διαβάστε περισσότερα

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ, Ν.Π.Δ.Δ. ΚΑΙ O.Τ.Α. Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ Ε ΛΗ ΦΘΗ ΣΑΝ Υ ΠO ΨΗ 1. H 15/1981

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα

Διαβάστε περισσότερα

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικός Προπονητής

Αποτελεσματικός Προπονητής ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ. σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.

Διαβάστε περισσότερα

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ

ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙΟ Ε ΞΑΙΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΚΕΙ ΜΕ ΝΟ-ΦΩ ΤΟΓΡΑ ΦΙΕΣ: Υ πτγος ε.α. Ορ θό δο ξος Ζω τιά δης ΚΑ ΘΙΕ ΡΩ ΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΑΛ ΛΙ ΟΥ Ε ΞΑΙ ΡΕ ΤΩΝ ΠΡΑ ΞΕ ΩΝ ΩΣ ΠΟ ΛΕ ΜΙ ΚΗΣ Η ΘΙ ΚΗΣ Α ΜΟΙ ΒΗΣ Το Με τάλ λιο Ε ξαι

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο

Διαβάστε περισσότερα

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09

των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 των Φορ το εκ φορ τω τών πρα κτο ρεί ων µε τα φο ρών ό λης της χώρας O46R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΦOΡ ΤO ΕΚ ΦOΡ ΤΩΩ ΤΩΩΝ ΠΡΑ ΚΤO ΡΕΙ ΩΩΝ ΜΕ ΤΑ ΦO ΡΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ)

ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΥΠΛΓΟΣ (ΠΖ) ΔΙΑΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΡΟΣ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: ΛΕΙV Πα να γιώ της Πα σπά της Mα θη τής Γυ μνα σί ου α ντι δρού σε στις ι τα λι κές διατα γές και α πα γο ρεύ σεις. Σε μια ε πέ τειο της 25 ης Μαρ τί ου

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Ελέγχου και Επανάληψης

Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εργαστήριο 3 ο Δομές Ελέγχου και Επανάληψης Εισαγωγή Σκοπο ς του εργαστηρι ου αυτου ει ναι η εισαγωγη στην εκτε λεση εντολω ν υπο συνθη κη και στις δομές επανάληψης. Δομές Ελέγχου Η ικανότητα να μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 8: Random Walks

Lecture 8: Random Walks Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview

Διαβάστε περισσότερα

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να . Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ CIMIC CIMIC CIMIC ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπλγος (ΜΧ) Ευ ρι πί δης Κ. Χα νιάς ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση CIMIC εί ναι τα αρ χι κά των λέ ξε ων Civil Military Co-operation

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης**

Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 23-39 Νικολέττα Ισπυρλίδου* & Δημήτρης Χασάπης** Η συγκρότηση μιας ευκλείδειας έννοιας της ευθείας γραμμής με τη διαμεσολάβηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική Βιομηχανία...15 1.1 Εισαγωγή...15 1.2 Ορισμός του Όρου Βιομηχανία...16 1.3 Ένα Μοντέλο Περιγραφής της Αθλητικής Βιομηχανίας...17 1.3.1 Τμήμα Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ 12 Το γε γο νός ό τι δια βά ζεις αυ τό το βι βλί ο ση μαί νει ό τι έ χεις μολυν θεί α πό έ να μι κρόβιο το μι κρό βιο του πο δο σφαί ρου και σίγου

Διαβάστε περισσότερα

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα)

Στρα τιω τι κή. Ορ χή στρα Πνευ στών. (Μπά ντα) Στρα τιω τι κή Ορ χή στρα Πνευ στών (Μπά ντα) KΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Λγός (ΜΣ) Κων στα ντί νος Κε ρε ζί δης Πώς γεν νή θη κε η μπά ντα Τον χει ρι σμό των πνευ στών ορ γά νων τον συ να ντού με στην ι στο

Διαβάστε περισσότερα

των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15

των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15 των O δη γών Του ρι στι κών Λε ω φο ρεί ων Κρή της Ερµής Ot05R15 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ O Δ Η ΓΩΩΝ ΤOY ΡΙ ΣΤΙ ΚΩΩΝ ΛΕ ΩΩ ΦO ΡΕΙ ΩΩΝ ΚΡΗ ΤΗΣ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Αθήνα 2008 Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΤΟ 2007 Βιομηχανία, Εμπόριο, Υπηρεσίες Ο ΣΕΒ σύνδεσμος επιχειρήσεων και βιομηχανιών ευχαριστεί τις Εταιρίες

Διαβάστε περισσότερα

H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ

H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ H Η ΜΙΟΥΡ ΓΙ Α ΜΙΑΣ Ε ΝΩ ΜΈ ΝΗΣ ΕΥ ΡΩ ΠΗΣ ΚΑ ΤΑ ΤΗΝ ΠΕ ΡΙ Ο Ο 1945-1954 ΣΤΗ ΒΑ ΣΗ ΤΟΥ Ο ΜΟ ΣΠΟΝ ΙΑ ΚΟΥ ΠΡΟ ΤΥ ΠΟΥ Για Ποιους Λό γους εν Τελε σφό ρη σε; ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν θστης (ΠΖ) Γεώργιος Δη μη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ

Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ Η ΠΑΙ ΔΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕ ΓΑ ΛΟΥ Α ΛΕ ΞΑΝ ΔΡΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Γε ώρ γιος Βα σι λεί ου Ο Μέ γας Α λέ ξαν δρος, ο τέ λειος αυ τός εκ πρό σω πος του με γα λείου του ελ λη νι κού κό σμου, εί ναι α σφα λώς μί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10

Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10 Κα θη γη τών Ι δι ω τι κών εκ παι δευ τη ρίων σχολικών µονάδων τεχνικής & επαγγελµατικής εκπαίδευσης O17R10 KΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ Ι Δ Ι ΩΩ ΤΙ ΚΩΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία

Joseph A. Luxbacher. Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας. ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια: Πέτρος Νάτσης, Αστέριος Πατσιαούρας ΠοΔΟΣΦΑΙΡΟ Βήματα για την επιτυχία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008 ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ. Βήματα για την επιτυχία. Joseph A. Luxbacher Μετάφραση - Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Τῌ ΤΕΤΑΡΤῌ Β ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΝΗΣΤΕΙΩΝ Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης 1 Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

áåé þñïò ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1

áåé þñïò ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 áåé þñïò ÊÅÉ ÌÅÍÁ Ð ÏËÅÏÄÏÌÉ ÁÓ, Ù ÑÏÔ ÁÎÉÁÓ ÊÁÉ ÁÍÁÐÔÕ ÎÇÓ ÔÏÌÏÓ 2 VOLUME 2 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÌÁ ÏÓ 2003 MAY 2003 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH - Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΚΟΚΚΩΣΗΣ ΧΑΡΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΗΜΗΤΡΗΣ ΓΟΥΣΙΟΣ ΗΜΗΤΡΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ει σα α α κου σο ο ο ον

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Εισαγωγή Η επι λο γή ενό ς co m p a ct συ στή µ α το ς β ι ολο γι κο ύ κα θ α ρι σµ ο ύ θ α πρέπει να πραγµ α τοπο ι είτα ι β ά σει τη ς α

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Φίλων Περιθαλπομένων Νοσοκομείου Η ΣΩΤ ΗΡ ΙΑ

Σύλλογος Φίλων Περιθαλπομένων Νοσοκομείου Η ΣΩΤ ΗΡ ΙΑ ΜΗΝΙΑIΑ ΕΦΗΜΕΡIΔΑ ΚΩΔΙΚΟΣ 7812 Φεβρουάριος 2016 11 ο Έτος Φύλλο 119 ο Tηλ.: 2107763638 Fax: 2107707211 E-mail: info@sylfilon.gr Web Site: www.sylfilon.gr Το προσωπικό και κοινωνικό ασυνείδητο Σύλλογος

Διαβάστε περισσότερα

των O δο ντο τε χνι τών Α θη νών - Πει ραι ώς & Περιχώρων Ot06R11

των O δο ντο τε χνι τών Α θη νών - Πει ραι ώς & Περιχώρων Ot06R11 των O δο ντο τε χνι τών Α θη νών - Πει ραι ώς & Περιχώρων Ot06R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ O Δ O ΝΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ Α ΘΗ ΝΩΩΝ - ΠΕΙ ΡΑΙ ΩΩΣ & ΠΕ ΡΙ ΧΩΩ ΡΩΩΝ Α. ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ: Ευ γέ νιος Αρ. Για ρέ νης, Α ντει σαγ γε λέ ας Στρα το δι κεί ου Ιω αν νί νων, Δι δά κτο ρας στο Πά ντειο Πα νε πι στή μιο Α πό την κλα σι κή φά λαγ γα

Διαβάστε περισσότερα

Ανακύκλωση ΚΕΙΜΕΝΟ: ΕΙΙ Ιωάννης Καραγιαννίδης ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση

Ανακύκλωση ΚΕΙΜΕΝΟ: ΕΙΙ Ιωάννης Καραγιαννίδης ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Ανακύκλωση ΚΕΙΜΕΝΟ: ΕΙΙ Ιωάννης Καραγιαννίδης ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Γε νι κά για την α να κύκλω ση: Ο ρι σμός Έ να α πό τα ση μα ντι κό τε ρα και διαρκώς οξυ νό με να προ βλή μα τα που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

εξειδίκευση στη γνώση

εξειδίκευση στη γνώση εξειδίκευση στη γνώση Εκηβόλος Ετήσια έκδοση της Ελληνικής Ακαδημίας Φυσικής Αγωγής Τεύχος 7, Φεβρουάριος 2010 Το πε ριο δι κό διευ θύ νε ται α πό συ ντα κτι κή ε πι τρο πή Υ πεύ θυ νος σύ ντα ξης: Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11

των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11 των ο δη γών του ρι στι κ ν λεωφορείων όλης της χώρας O61R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) O Δ Η ΓΩΩΝ ΤOY ΡΙ ΣΤΙ ΚΩΩΝ ΛΕ ΩΩ ΦO ΡΕΙ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚOΠOΙ Η ΣΗ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Μ ε τ έ ω ρ α. τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων

Μ ε τ έ ω ρ α. τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Μ ε τ έ ω ρ α τό πος συ νά ντη σης θε ού & αν θρώ πων Τα Με τέ ω ρα, το ση μα ντι κό τε ρο μνημεια κό σύ νο λο του Θεσ σα λι κού κά μπου, βρίσκο νται α νά με σα στην ο ρο σει ρά της Πίν δου και στα Α ντι

Διαβάστε περισσότερα

Επί του πιεστηρίου. Τη στιγμή που η ύλη του 2ου τεύχους έκλεινε και το ΜΟΛΟΤ όδευε προς το τυπογραφείο, συνέβησαν δύο μείζονος σημασίας γεγονότα.

Επί του πιεστηρίου. Τη στιγμή που η ύλη του 2ου τεύχους έκλεινε και το ΜΟΛΟΤ όδευε προς το τυπογραφείο, συνέβησαν δύο μείζονος σημασίας γεγονότα. τεύχος 02-Χειμώνας 2015 Επί του πιεστηρίου Τη στιγμή που η ύλη του 2ου τεύχους έκλεινε και το ΜΟΛΟΤ όδευε προς το τυπογραφείο, συνέβησαν δύο μείζονος σημασίας γεγονότα. Το πρώτο ήταν η πολύνεκρη συντονισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης ΠΡΟΗΓΙΑΣΜΕΝΗ Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ει σα α α κου

Διαβάστε περισσότερα

Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου

Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου Ι διω τι κο ποί η ση του πο λέμου μία νέ α πραγ μα τι κό τη τα ΚΕΙΜΕΝΟ: Λγος (ΠΖ) Ιω άν νης Χρή στου ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Ει σα γω γή Η δο λο φο νί α των τεσ σά ρων Α μερικα νών πο λι

Διαβάστε περισσότερα

Κάτω τα χέρια από τις Συλλογικές Συμβάσεις Εργασίας και τα ασφαλιστικά δικαιώματα.

Κάτω τα χέρια από τις Συλλογικές Συμβάσεις Εργασίας και τα ασφαλιστικά δικαιώματα. Ôo ΚΩ Ι ΚΟΣ: 6115 ΤΡΙΜΗΝΗ ΕΚ ΟΣΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ Σ.Ε.Φ.Κ. Λόντου 6, 10681 Αθήνα, τηλ. 210 3820537, 6977-652768, 6938-204777, 6974-439203 e - m a i l : s e f k @ s e

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ Στην πε διά δα της Ισ σού, τον Νο έμ βριο του έτους 333 π.χ., έ λα βε χώ ρα μία από τις ση μα ντι κό τε ρες μά χες του έν δο ξου Έλληνα

Διαβάστε περισσότερα

teliki maketa ΚΕΧΑΡΙΤΩΜΕΝΗ.qxp_Layout 1 19/2/16 1:58 μ.μ. Page 3 Ἡ Κεχαριτωμένη

teliki maketa ΚΕΧΑΡΙΤΩΜΕΝΗ.qxp_Layout 1 19/2/16 1:58 μ.μ. Page 3 Ἡ Κεχαριτωμένη Ἡ Κεχαριτωμένη Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Ἡ Κεχαριτωμένη ΛΟΓΟΙ ΣΤΙΣ ΘΕΟΜΗΤΟΡΙΚΕΣ ΕΟΡΤΕΣ Ἐπιμέλεια ἔκδοσης Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις Κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343 - Fax: 210 3221238

Διαβάστε περισσότερα

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ

ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Μ Η Ε Ν Ε Ρ Γ Α Π Υ Ρ Ο Β Ο Λ Α Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ ΠΥ ΡΟ ΒΟ ΛΙΚΟΥ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ταξχος ε.α. Κων στα ντί νος Τέ φας H Ι Δ Ρ Υ Σ Η Τ Ο Υ Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο Υ Π Υ - Ρ Ο Β Ο Λ Ι Κ Ο Υ Α πό τους πρώ

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3

áåé þñïò ÌÁÚÏÓ 2004 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 áåé þñïò ÊÅÉÌ ÅÍÁ ÐÏ ËÅÏÄÏÌÉÁÓ, ÙÑ ÏÔÁÎ ÉÁÓ Ê ÁÉ Á ÍÁÐÔÕÎ ÇÓ ÔÏÌÏÓ 3 VOLUME 3 ÔÅÕ ÏÓ 1 ISSUE 1 ÌÁÚÏÓ 2004 ÌÁY 2004 ΣΥΝΤΑΚΤΙΚH ΕΠΙΤΡΟΠH - Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΚΟΚΚΩΣΗΣ ΧΑΡΗΣ ΜΠΕΡΙΑΤΟΣ ΗΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ

Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ Πρωτ. Γε ωρ γί ου Με ταλ λη νοῦ Ὁμοτίμου Καθηγητοῦ Θεολογικῆς Σχολῆς Ἀθηνῶν Ο ΑΓΙΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΠΑΛΑΜΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΤΗΣ Θ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΟΥ Ἔκδοση: Ἱερά Μονή Μεγάλου Μετεώρου Ἰïýëéïò 2009 Ἅγια Μετέωρα Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ Α Τ Α Ν Υ Κ Τ Ι Κ Α ΚΥΡΙΕ ΕΛΕΗΣΟΝ Ἦχος νη 1. 2.. 4. 5. K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Ε ις πολ λα ε τη Δεσ πο τα Υ περ Α γι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΟΥ ΤΟΥ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΙΟΥ ΣΥΝΤΟΜΟΝ ΔΟΞΑΣΤΑΡΙΟΝ ΤΟΜΟΣ Β.

ΠΕΤΡΟΥ ΤΟΥ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΙΟΥ ΣΥΝΤΟΜΟΝ ΔΟΞΑΣΤΑΡΙΟΝ ΤΟΜΟΣ Β. ΠΕΤΡΟΥ ΤΟΥ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΙΟΥ ΣΥΝΤΟΜΟΝ ΔΟΞΑΣΤΑΡΙΟΝ ΤΟΜΟΣ Β. ΠΕΤΡΟΥ ΤΟΥ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΙΟΥ Ἀοιδίμου Λαμπαδαρίου τῆς Μεγάλης τοῦ Χριστοῦ Ἐκκλησίας (+1778) ΣΥΝΤΟΜΟΝ ΔΟΞΑΣΤΑΡΙΟΝ Ἀντιγραφὲν ἐκ τῆς πρώτης ἐκδόσεως Πέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Εί ναι αφι ε ρω μέ Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας νο σ' έναν άν θρω πο που κά ποιοι δεν γνω ρί σα με πο τέ, κά ποιοι εί χαν την

Εί ναι αφι ε ρω μέ Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας νο σ' έναν άν θρω πο που κά ποιοι δεν γνω ρί σα με πο τέ, κά ποιοι εί χαν την Σχεδία στ' ανοιχτά της Αίγινας Tεύχος 4, Απρίλιος 2004, Αίγινα ΤΟΠΙΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ Για επικοινωνία: Κυριακού Γιώργος β Πάροδος Αφαίας 131, Αίγινα 180 10, τηλ.: 22970-25902, 6936 206792 6945 381673

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ ΧΡΥΣΟΥΝ ΜΕΤΑΛΛΙΟΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΚΑΔΗΜΙΩΝ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ Αριστ. Β. Αλεξοπούλου Νικ. Γ. Φουρναράκη ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΚΩΔΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΡΜΑΤΗ. ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz. ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ.

ΑΣΥΡΜΑΤΗ. ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz. ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ. ΑΣΥΡΜΑΤΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΣΤΑ 2,4GHz ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Ανθστης (ΠΖ) Κωνσταντίνος Δεμερτζής 40 40 Σ Τ ΡΑΤ Ι ΩΤ Ι Κ Η Ε Π Ι Θ Ε Ω Ρ Η Σ Η ΝΟΕ. - ΔΕΚ. 2009 ΤΑ ΔΙ ΚΤΥΑ ΣΗΜΕ ΡΑ Εί ναι προ φα νές ό τι ο τε χνο

Διαβάστε περισσότερα