ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΤΩΝ BOX- JENKINS ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΟΥ ΕΓΧΩΡΙΟΥ ΠΡΟΙΟΝΤΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: ΣΦΗΚΑΣ Σ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΑΝΑΣ Ε. ΕΠΑΜΕΙΝΩΝΔΑΣ Αθήνα ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 01

2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Θα ήθελα να αφιερώσω την εργασία αυτή στην οικογένεια μου και τη θεία μου για την ηθική και οικονομική στήριξη που μου παρείχαν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου.

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, καθηγητή κ. Πανά Ε. Επαμεινώνδα για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε στην ανάθεση της εργασίας και την καθοδήγησή του. Ι

6 ΙΙ

7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σημείο εισαγωγής βιογραφικού σημειώματος (Γράφετε απλά λίγα λόγια για το άτομό σας. Όχι τυπικό βιογραφικό). III

8 IV

9 ABSTRACT IOANNIS SFIKAS TITLE: STATISTICAL-TIME SERIES ANALYSIS USING BOX- JENKINS MODELS TO FORECAST GDP OF GREECE January 01 A his projec i is being an effor o forecas Gross Domesic Produc of Greece by using ime series analysis in a way ha is described from Box E.P George and Jenkins M. Gwilym. According o heir analysis, in order o forecas, someone has o idenify he paern of he ime series of he daa by ransforming he series ino a saionary and inverible ARIMA(p,d,q) model (series). A firs five chapers i is being inroduced he mahemaical srucure of auoregressive inegraed moving average models ARIMA (p,d,q) and a chaper six i is being presened he sraegic procedure of building such models according he Box-Jenkins model. A he las chaper we apply his model o forecas GDP of Greece for he nex five years. V

10 VI

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΦΗΚΑΣ ΤΙΤΛΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΤΩΝ BOX-JENKINS ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΑΚΑΘΑΡΙΣΤΟΥ ΕΓΧΩΡΙΟΥ ΠΡΟΙΟΝΤΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Ιανουάριος 01 Στη παρούσα μελέτη θα εφαρμόσουμε την μεθοδολογία των Box-Jenkins για την ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Είναι μία ανάλυση που θεωρητικά εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτώσεις χρονολογικών σειρών και αυτό γιατί με επεξεργασία και μετασχηματισμούς των δεδομένων χτίζουμε τις προϋποθέσεις εφαρμογής. Η μέθοδος αυτή αποτελεί στρατηγική δομή κατασκευής υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών ARIMA με την προϋπόθεση να έχουμε ένα σημαντικό αριθμό παρατηρήσεων (συνήθως n 50) και έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε βραχυπρόθεσμες προβλέψεις χωρίς την ανάγκη πρόβλεψης των ερμηνευτικών μεταβλητών ή αλλιώς παραγόντων που επηρεάζουν ένα φαινόμενο (μεταβλητή). Στα πρώτα πέντε κεφάλαια αναλύουμε την μαθηματική δομή των αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων κινητών μέσων ARIMA(p,d,q) μαζί με κάποιες βασικές έννοιες και στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την μέθοδο κατασκευής τέτοιων υποδειγμάτων που υποδεικνύουν οι Box-Jenkins. Τέλος στο έβδομο κεφάλαιο εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή πάνω στη σειρά για την πρόβλεψη του ΑΕΠ της Ελλάδος για τα επόμενα πέντε χρόνια. VII

12 VIII

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στοχαστική Διαδικασία Παράμετροι Χρονολογικής Σειράς Στάσιμη Χρονολογική σειρά Γραμμικά Φίλτρα Στασιμότητα 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ.13.1 Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA(q) Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA(1) 15.3 Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA() 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR(1) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR() Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR(p) Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών - Εξισώσεις Yule-Walker Θεωρητική Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχέτισης 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4 ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΤΗΤΑ- ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ Αντιστρεψιμότητα- Μονοσήμαντο Λύσης Αντιστρεψιμότητα MA(q) Υποδειγμάτων 34 IX

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5 ΜΕΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Μεικτά Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Κινητού Μέσου ARMA(p,q) Μεικτά Ολοκληρωμένα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Kινητού Μέσου ARIMA(p,d,q) Μεικτά Εποχικά Ολοκληρωμένα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Kινητού Μέσου SARIMA(p,d,q) (P,D,Q) Προβλέψεις Διαδικασιών ARIMA(p,q) Αξιολόγηση Προβλέψεων Διαδικασιών ARIMA(p,q)...47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ BOX-JENKINS Ταυτοποίηση Εκτίμηση Διαγνωστικός Έλεγχος.58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ.61 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.81 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.85 X

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ-ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ Σχήμα.3.1 Γράφημα μιας MA() διαδικασίας ( y 15 0,7 1 0, ) και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Σχήμα Γράφημα στοχαστικής διαδικασίας AR(1) Y 0,8Y 1 και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4 ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΤΗΤΑ- ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ Πίνακας 4..1 Συνθήκες στασιμότητας και αντιστρεψιμότητας υποδειγμάτων ARIMA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5 ΜΕΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Πίνακας (5.1.1) Αυτοσυσχετίσεις υποδειγμάτων ARMA -Μη εποχικά υποδείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Σχήμα 7.1 Χρονοσειρά τιμών GDP (=ΑΕΠ ) XI

16 Σχήμα 7. Μερικές αυτοσυσχετίσεις και αυτοσυσχετίσεις της μεταβλητής GDP Σχήμα 7.3 Σχεδιάγραμμα της χρονοσειράς πρώτης διαφοράς της μεταβλητής GDP 1/ (=roogdp) Σχήμα 7.4 Αυτοσυσχετίσεις της πρώτης διαφοράς της μεταβλητής 1/ GDP Μερικές αυτοσυσχετίσεις της πρώτης διαφοράς της μεταβλητής 1/ GDP Πίνακας 7.1 Αυτοσυσχετίσεις της πρώτης διαφοράς της μεταβλητής 1/ GDP Πίνακας 7. Στατιστικά πρόβλεψης ARIMA(1,1,1) στη σειρά roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.3 Στατιστικά ARIMA(1,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.4 Στατιστικά πρόβλεψης ARIMA(,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.5 Στατιστικά ARIMA(,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.6 Στατιστικά πρόβλεψης ARIMA(3,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.7 Στατιστικά ARIMA(3,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Πίνακας 7.8 Στατιστικά παραμέτρων ARIMA(1,1,1) της σειράς roogdp με 95% σημαντικότητα Σχήμα 7.5 Γράφημα αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων καταλοίπων Σχήμα 7.6 Γράφημα καταλοίπων έναντι τιμών ΑΕΠ XII

17 Πίνακας 7.9 Αυτοσυσχετίσεις καταλοίπων Σχήμα 7.7 Ιστόγραμμα συχνοτήτων των καταλοίπων Πίνακας 7.10 Στατιστικά καταλοίπων- έλεγχος Kolmogorov-Smirnov Σχήμα 7.8 Γράφημα πρόβλεψης του ΑΕΠ Σχήμα 7.9 Γράφημα πρόβλεψης του ΑΕΠ-(Προσαρμοσμένο μοντέλο) Πίνακας 7.11 Πρόβλεψη ΑΕΠ για την περίοδο XIII

18 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ποιος αρέσκεται στην αβεβαιότητα του μέλλοντος; Ποιος είναι αυτός που δεν τον ενδιαφέρει έστω και λίγο η χωροχρονική εξέλιξη φαινομένων ή όπως αλλιώς λέμε στο κόσμο των θετικών επιστημών η δυναμική εξέλιξη των συστημάτων που επηρεάζουν τη εξέλιξη και διαβίωση του ιδίου; Αναφερόμαστε σε ερωτήματα που έχουν απασχολήσει την ανθρωπότητα, όλες τις κοινωνικές ομάδες από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Η ανάγκη για γνώση του μέλλοντος υπήρχε από την εποχή του χρυσού αιώνα με τον Περικλή και το Μαντείο των Δελφών μέχρι τις σημερινές αγορές του ερευνητικού markeing χρηματιστήρια αξιών και παραγώγων και τις υπόλοιπες χρηματοοικονομικές αγορές του καπιταλισμού. Θρησκευτικές ομάδες (προφήτες, αποκαλύψεις), αστρολόγοι, αλλά και επιστημονικές ομάδες όπως αστρονόμοι, γεωλόγοι, μαθηματικοί, φυσικοί, στατιστικοί, οικονομολόγοι ενστερνίζονται την ίδια ανάγκη για γνώση μελλοντικών καταστάσεων. Η επανάσταση τις επιστήμης και η συμβολή των υπολογιστών έχει βελτιώσει την παρατήρηση και την κατανόηση της δομής του περιβάλλοντος και συνεπώς την προβλεψιμότητα πολλών φαινομένων. Από τις πρώτες μορφές εμφάνισης της επιστημονικής ανάγκης και παράλληλα επεξεργασίας της πρόβλεψης ξεχωρίζουμε το πτολεμαϊκό σύστημα αστρονομίας περίπου 1900 χρόνια πριν. Το σύστημα αυτό προβλέπει την κίνηση των πλανητών με πρωτόγνωρη ακρίβεια για την εποχή εκείνη. Στη συνέχεια η το πτολεμαϊκό σύστημα αντικαταστάθηκε από το σύστημα του Κοπέρνικου, ένα σύστημα πιο βελτιωμένο και ακριβές. Με παρόμοιο τρόπο εμφανίζεται ανάπτυξη στην ακρίβεια πρόβλεψης της θεωρίας της κίνησης του Αριστοτέλη, του Γαλιλαίου (θεωρία κλασικής μηχανικής στηριζόμενη στην αρχή της σχετικότητας), του Νεύτωνα (θεωρία κλασικής νευτώνειας μηχανικής στηριζόμενη στην αρχή του ντετερμινισμού), του Αϊνστάιν (θεωρία σχετικιστικής μηχανικής, κβαντομηχανικής) καθώς και του γεωλόγου Λόρεντζ (θεωρία χάους). Σήμερα ο τομέας των προβλέψεων και εκτιμήσεων έχει ιδιαίτερη εξέλιξη παράλληλα με την ανάπτυξη της οικονομετρίας. Ο κλάδος της οικονομετρίας άρχισε να διαμορφώνεται κυρίως με την ίδρυση της διεθνούς οικονομετρικής εταιρίας το Έπειτα έχουμε την έκδοση του πρώτου 1

19 επιστημονικού περιοδικού economerica από τον Ragnar Frisch (Βραβείο Nobel 1969) το Στη συνέχεια ο κλάδος της οικονομετρίας εμφανίζει χαρακτηριστική πρόοδο μετά το πέρας του β παγκοσμίου πολέμου, όπως αναφέρει ο L. Klein (νόμπελ 1980), και τέλος αναπτύσσεται με αλματώδη ρυθμό κατά τη δεκαετία του 70 με την συμβολή των Box και Jenkins. Επιπλέον σήμερα οι επενδυτές στο πλαίσιο της λήψης αποφάσεων χρησιμοποιούν και βελτιώνουν τις προβλέψεις τους για τα μη ελεγχόμενα εξωγενή μεγέθη (μικροοικονομικά και μακροοικονομικά) για να σχεδιάσουν τα ελεγχόμενα μεγέθη των εταιριών. Οι μέθοδοι προβλέψεων χωρίζονται σε ποιοτικές και ποσοτικές. Ποιοτικές χαρακτηρίζονται οι μέθοδοι που δεν απαιτούν ανάλυση αριθμητικών δεδομένων για να προβλέψουν. Τέτοιες μέθοδοι επιλέγονται όταν δεν είναι δυνατή η χρησιμοποίηση ιστορικών δεδομένων και απαιτείται κρίση από τον προβλέποντα. Τέτοιες μέθοδοι είναι οι οικονομικοί δείκτες, η μέθοδος των αναθεωρημένων προβλέψεων, η μέθοδος Delphi κ.α. Ποσοτικές μέθοδοι είναι αυτές που δεν χρειάζονται την κρίση του προβλέποντα, αλλά αποτελούν υπολογιστικές διαδικασίες που παράγουν ποσοτικά αποτελέσματα. Σ αυτές τις μεθόδους παρατηρούμε τα ιστορικά δεδομένα και με την παραδοχή ότι κάποια μοτίβα (μη στοχαστικά) του παρελθόντος επαναλαμβάνονται και στο μέλλον κάνουμε την πρόβλεψη. Οι μέθοδοι αυτές χωρίζονται σε υποδείγματα προβλέψεων χρονολογικών σειρών δηλαδή μιας μεταβλητής και σε αιτιοκρατικά υποδείγματα προβλέψεων (πολλών μεταβλητών) όπως οι παλινδρομήσεις. Οι τεχνική (μέθοδος) που θα διαλέξει κάποιος εξαρτάται από παράγοντες όπως: Χρονικός ορίζοντας πρόβλεψης (βραχυπρόθεσμο, μακροπρόθεσμο, κ.α. Το υπόδειγμα που ακολουθούν τα δεδομένα Το κόστος της ανάλυσης-πρόβλεψης Η επιθυμητή ακρίβεια πρόβλεψης Η διαθεσιμότητα και ακρίβεια παρατηρήσεων (δεδομένων) Και τέλος η ευκολία ή πολυπλοκότητα της ανάλυσης Στη παρούσα μελέτη θα εφαρμόσουμε την μεθοδολογία των Box-Jenkins για την ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Είναι μία ανάλυση που θεωρητικά

20 εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτώσεις χρονολογικών σειρών και αυτό γιατί με επεξεργασία και μετασχηματισμούς των δεδομένων χτίζουμε τις προϋποθέσεις εφαρμογής. Η μέθοδος αυτή αποτελεί στρατηγική δομή κατασκευής υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών ARIMA με την προϋπόθεση να έχουμε ένα σημαντικό αριθμό παρατηρήσεων (συνήθως n 50) και έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε βραχυπρόθεσμες προβλέψεις χωρίς την ανάγκη πρόβλεψης των ερμηνευτικών μεταβλητών ή αλλιώς παραγόντων που επηρεάζουν ένα φαινόμενο (μεταβλητή). Στα πρώτα πέντε κεφάλαια αναλύουμε την μαθηματική δομή των αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων κινητών μέσων ARIMA(p,d,q) μαζί με κάποιες βασικές έννοιες και στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την μέθοδο κατασκευής τέτοιων υποδειγμάτων που υποδεικνύουν οι Box-Jenkins. Τέλος στο έβδομο κεφάλαιο εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή πάνω στη σειρά για την πρόβλεψη του ΑΕΠ της Ελλάδος για τα επόμενα πέντε χρόνια. 3

21 4

22 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Στοχαστική Διαδικασία Ορισμός Μία στοχαστική διαδικασία είναι μία παραμετρισμένη συλλογή τυχαίων μεταβλητών πιθανοτήτων (, F,P) και παίρνουν τιμές στο X οι οποίες ορίζονται σε ένα χώρο T d. Μία στοχαστική διαδικασία έχει δύο μεταβλητές την T και την ω. Για κάθε T (:σταθερό και δεδομένο) έχουμε μία τυχαία μεταβλητή ( ); Για κάθε (ω: σταθερό) θεωρούμε την συνάρτηση ( ); T την οποία ονομάζουμε τροχιά της X. Διαισθητικά με την έννοια στοχαστικής διαδικασίας μπορούμε να θεωρήσουμε την κατάσταση ( ) στην οποία βρέθηκε ένα φαινόμενοπείραμα ω την χρονική στιγμή. Δηλαδή σε ένα κατάλληλα ορισμένο χώρο μέτρου η στοχαστική διαδικασία μπορεί να οριστεί σαν ένα μέτρο πιθανότητας P. Μία συγκεκριμένη επιλογή του ω είναι μία πραγματοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας. Έτσι περνάμε στον ορισμό της χρονολογικής σειράς. 1 Ορισμός 1.1. Χρονολογική σειρά καλείται ένα σύνολο παρατηρήσεων x( ), x( ),..., x( ),... x( ) που παράγονται από μία ακολουθία τυχαίων μεταβλητών. Αν το σύνολο είναι συνεχές τότε η χρονολογική σειρά είναι συνεχής αλλιώς αν είναι διακριτού χρόνου τότε η χρονολογική σειρά είναι διακριτή. 5

23 Στη παρούσα μελέτη θα ασχοληθούμε με παρατηρήσεις διακριτών χρονολογικών σειρών που παράγονται σε ισαπέχοντα χρονικά διαστήματα. Θα είναι δηλαδή της μορφής x( 0h), x( 0h),..., x( 0h),... x( 0 h) όπου h είναι χρονικό διάστημα μετατόπισης ή αλλιώς υστέρηση όπως εμείς το ορίσουμε. Παρατηρούμε ότι η χρονολογική σειρά είναι ένα υποσύνολο δηλαδή μία συγκεκριμένη πραγματοποίηση μιας στοχαστικής διαδικασίας X. Χρησιμοποιώντας την ορολογία της κλασικής Στατιστικής, η έννοια της στοχαστικής διαδικασίας είναι ανάλογη της έννοιας του πληθυσμού, ενώ η έννοια της χρονολογικής σειράς είναι ανάλογη της έννοιας του δείγματος. T 1. Παράμετροι Χρονολογικής Σειράς Όπως και στην περίπτωση της κλασικής στατιστικής έτσι και στην θεωρία των χρονολογικών σειρών έχουμε την μέση τιμή, διασπορά καθώς και τον συντελεστή συσχέτισης. Στην πορεία της εργασίας θα εμφανιστούν και άλλες παράμετροι χρήσιμες για την ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Για την μέση τιμή ισχύει: όπου, ( x ) xp( x ) dx (1..1) x x : τυχαία μεταβλητή της χρονολογικής σειράς για κάθε χρονική στιγμή Για την διασπορά ισχύει: 0 ( ) [( ) ] ( ) ( ) Var x x x p x dx (1..) Για την συνάρτηση αυτοδιακύμανσης (ή αυτοσυνδιακύμανση) ισχύει: cov( x, x ) E[( x )( x )] (1..3) k k k όπου, 6

24 k: η χρονική υστέρηση Για την αποφυγή της αυτοσυνδιακύμανσης που εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης χρησιμοποιούμε τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης που ισχύει: [( x )( x )] k (1..4) k ή k k (1..5) 0 Η διαγραμματική αναπαράσταση των συντελεστών αυτοσυσ χέτισης συναρτήσει των χρονικών υστερήσεων k καλείται θεωρητική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ACF (auocorrelaion funcion) ενώ η γραφική της παράσταση συσχετισόγραμμα. k ισχύει: Για τον εκτιμητή της μέσης τιμής χρησιμοποιώντας τον δειγματικό μέσο N 1 ˆ x x (1..6) N 1 Για τον εκτιμητή της διασποράς χρησιμοποιώντας την δειγματική διασπορά ισχύει: 1 ˆ ( ) (1..7) N z x x N 1 Για τον εκτιμητή της αυτοσυνδιακύμανσης ισχύει: T 1 ( x x)( x x) T (1..8) 7

25 Για τον εκτιμητή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης έχουμε: r k n 1 k ( x x)( x x) n 1 k k ( x x) (1..9) Η μήτρα αυτοσυσχέτισης μίας στάσιμης 1 χρονολογικής σειράς ορίζεται από την σχέση: P n n n 1 1 n n1 n n (1..10), όπου n το πλήθος των παρατηρήσεων. Τέλος η θεωρητική συνάρτηση μερικής αυτοσυσχετίσεως PACF (parial auocorrelaion funcion) ορίζεται ως εξής: * (1..11) όπου, : μήτρα αυτοσυσχετήσεως και * : η στήλη: της οποίας η τελευταία στήλη αντικαθίσταται από τον πίνακα 8

26 1. *... Εκτιμητής της θεωρητικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι ο δειγματικός συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης r kk sample PACF ο οποίος ορίζεται όπως ο στην σχέση (1..11) αλλά αντικαθιστούμε όλες τις αυτοσυσχετίσεις με τους εκτιμητές τους r k. 1.3 Στάσιμη Χρονολογική Σειρά Ορισμός Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρώς στάσιμη (sricly saionary) όταν οι ιδιότητές της δεν επηρεάζονται από μια αλλαγή στην αρχή μέτρησης του χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι η συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας με αρχή το χρονικό σημείο, δηλαδή η f ( x, x 1,..., x T ) είναι ακριβώς η ίδια με τη συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας f ( x s, x 1 s,..., x T s) με αρχή το χρονικό σημείο +s, όπου s:χρονική μετατόπιση (ή υστέρηση). Τότε λέμε ότι η διαδικασία βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών δεν μεταβάλλονται με την αλλαγή του χρόνου προσθαφαιρώντας την χρονική υστέρηση s. 1. Για την έννοια της στασιμότητας μιας χρονολογικής σειράς θα μιλήσουμε σε επόμενο κεφάλ αιο. 9

27 Ιδιότητες παραμέτρων Σ αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε τις ιδιότητες των παραμέτρων μιας χρονολογικής σειράς που ικανοποιούν την συνθήκη στασιμότητας. Ε(X1) = Ε(X) = = Ε(XT) = και της υστέρησης κ V(X1) = V(X) = = V(XT) = V(XΤ+κ) = V(X) = και της υστέρησης κ E(X Τ+κ ) = Ε(X) = μ, ανεξάρτητο του χρόνου Cov(X1, X1+κ) = Cov(X, X+κ) = = Cov(XT, XT+κ) = χρόνου εξαρτημένο από την υστέρηση κ. k k, ανεξάρτητο του χρόνου γκ,, ανεξάρτητο του δηλαδή η συνάρτηση αυτοδιακύμανσης μιας στάσιμης χρονολογικής σειράς είναι άρτια συνάρτηση της υστέρησης k. Ουσιαστικά για τον έλεγχο της στασιμότητας μπορούμε να ελέγξουμε τις παραπάνω ιδιότητες και τότε λέμε ότι η σειρά είναι ασθενώς στάσιμη. δηλαδή Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε αν ισχύει η συνθήκη στασιμότητας είτε ελέγχοντας τις παραπάνω ιδιότητες είτε με άλλες μεθόδους και να μετατρέπουμε τη σειρά σε στάσιμη ώστε να έχουμε αξιόπιστη προβλεπτική ικανότητα στην υπό εξέταση χρονολογική σειρά. 1.4 Γραμμικά Φίλτρα Στασιμότητα Στην στατιστική ανάλυση των χρονολογικών σειρών ειδικά στην περίπτωση της αναγκαιότητας αυτών για στασιμότητα είναι επιτακτική η ανάγκη για αναφορά στη θεωρία της γραμμικότητας. Έτσι οδηγούμαστε στον ορισμό του γραμμικού φίλτρου. Ορισμός Γραμμικό φίλτρο είναι ένας γραμμικός τελεστής L(x) της μορφής: όπου, y L( x ) x (1.4.1) i i i 10

28 δηλαδή =,-1,0,1, y, x : χρονολογικές σειρές Δηλαδή το γραμμικό φίλτρο είναι ένας τελεστής που εφαρμόζεται από τη μία σειρά x στην σειρά y όντας μία διαδικασία που μετατρέπει τις εισροές σε εκροές αντίστοιχα. Δημιουργείται δηλαδή μία i) αιτιοκρατική, ii) χρόνοανεξάρτητη σχέση ανάμεσα στις δύο σειρές (από τις παρελθοντικές τιμές της x στις παροντικές ακόμα και μελλοντικές κατόπιν μετασχηματισμού τιμές 1 της y ), που όμως απαιτείται μία iii) συνθήκη φραγμού: (ορισμός απολύτου φραγμένης σειράς) i Στην περίπτωση που ισχύουν οι παραπάνω τρεις ιδιότητες τότε λέμε ότι έχουμε γραμμικό φίλτρο και όταν εφαρμοστεί σε μία στάσιμη χρονολογική σειρά τότε η εκροή της είναι και αυτή στάσιμη. Ιδιότητα Έστω για εισροή η στάσιμη χρονολογική σειρά x με μέση τιμή x Ex ( ) και αυτοσυνδιακύμανση x( k) Cov( x, x k ) τότε η εκροή y της σχέσης (1.4.1) είναι επίσης στάσιμη χρονολογική σειρά με και y Ey ( ) ix i Cov( y, y ) ( k) ( i j k) k y i j x i j Παράδειγμα Κάθε ασθενώς στάσιμη διαδικασία της παραπάνω μορφής σύμφωνα με το κριτήριο του Wold (1938) μπορεί να αναπαραστεί ως γραμμικός συνδυασμός 11

29 ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών καλείται γραμμικό φίλτρο.. Ένας τέτοιος γραμμικός συνδυασμός y (1.4.) i i i0 όπου, i : συνθήκη στασιμότητας : ανεξάρτητες τυχαίες διαταραχές (μεταβλητές) με 1. E( ) 0. και V ( ), h 0 3. ( h) 0, h 0 Εύκολα αποδεικνύεται ότι η γραμμική διαδικασία σχέσης (1.4.) είναι στάσιμη. Η τυχαία διαταραχή y λευκού θορύβου της με τις παραπάνω τρεις ιδιότητες καλείται διαδικασία λευκού θορύβου. Επιπλέον η διαδικασία αυτή ( y ) είναι γνωστή ως διαδικασία απείρου κινητού μέσου. 1

30 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ.1 Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA(q) Από την σχέση (1.4.) αν αντικαταστήσουμε το i με 1 για i = 0 και θεωρήσουμε πεπερασμένο το πλήθος των όρων (δηλ i=0 για i q)και όπου ψ έχουμε θ έχουμε : όπου, μ: σταθερά : λευκός θόρυβος y qq (.1.1) Η παραπάνω διαδικασία καλείται υπόδειγμα κινητού μέσου τάξης q και συμβολίζεται με MA(q). Συνθήκη στασιμότητας: Η διαδικασία αυτή είναι πάντα στάσιμη. Ορίζοντας τους οπισθοδρομικούς τελεστές Β και ως εξής: Bz, z 1 j B z z j και j (1 B) j η σχέση (.1.1) γίνεται: y (1 B... B ) q 1 q q i 1 ib (.1.) i1 ( B) 13

31 όπου, Θ(B)= 1 q i1 B i i Ιδιότητες-Παράμετροι: Για την μέση τιμή της MA(q) ισχύει: Για την διασπορά της MA(q) ισχύει: E( y ) E(... ) (.1.3) 1 1 q q (0) Var( y ) Var(... ) y 1 1 q q ή (0) Var( y ) (1... ) (.1.4) 0 y 1 q όπου, : η διασπορά του διαταρακτικού όρου που είναι λευκός θόρυβος Για την αυτοδιακύμανση ισχύει: ( k) Cov( y, y ) y k E[(... )(... )] 1 1 q q k 1 k1 q kq y ( k) Cov( y, y k ) 0 ( 1 k1... qkq, k 1,,..., q, k q (.1.5) Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: 1 k1... qkq ( ), y k k 1,,..., q ( ) y k q y (0) k q 0, (.1.6) Από την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μπορούμε να αναγνωρίσουμε ένα MA(q) υπόδειγμα καθώς και την τάξη του. Σε ένα δείγμα Ν παρατηρήσεων η τάξη q καθορίζεται από το πλήθος των δειγματικών συντελεστών αυτοσυσχέτισης 14

32 r ( ) y k που βρίσκονται μέσα στα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 1,96 / N με επίπεδο σημαντικότητας 5% όπου, 1/ N είναι η προσέγγιση της τυπικής απόκλισης Var( r k ) της ACF για κάθε υστέρηση k υπό την υπόθεση της ανεξαρτησίας. Με άλλα λόγια θεωρώντας ότι έχουμε μία διαδικασία ΜΑ(q) θα πρέπει η μηδενική υπόθεση ο εκτιμητής του συντελεστή αυτοσυσχέτισης r ˆ ( k), να είναι ίσος με 0 να απορρίπτεται με επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 μόνο για k k y q.. Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA(1) Για q=1 στην σχέση (.1.1) έχουμε την πιο απλή μορφή του υποδείγματος MA(q).δηλαδή την MA(1) διαδικασία: y 1 1 (..1) Ιδιότητες-Παράμετροι: Για q=1 από τις σχέσεις (.1.4),(.1.5) για την αυτοδιακύμανση ισχύουν: Var( y ) (0) (1 ) (1) y ( k) 0, k 1 y 1 y 1 (..) Για q=1 από τη σχέση (.1.6) για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: y (1) ( k y ) 0, k 1 (..3) Παρατηρούμε ότι κατά απόλυτη τιμή η αυτοσυσχέτιση πρώτης υστέρησης είναι μικρότερη από 1/. Επιπλέον η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μηδενίζεται για k 1.στην πράξη η δειγματική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης βρίσκεται μέσα στα όρια 1,96 / N του διαστήματος εμπιστοσύνης με 15

33 επίπεδο σημαντικότητας 5% εκτός απ την περίπτωση που k=1 σε μία ΜΑ(1)διαδικασία..3 Υποδείγματα Κινητού Μέσου MA() Μια άλλη γνωστή ΜΑ διαδικασία είναι για q=. Τότε από την (.1.1) έχουμε το υπόδειγμα MA(): y 1 1 ή σε άλλη μορφή y B B (.3.1) ( ) Ιδιότητες-Παράμετροι: Όμοια με πριν αντικαθιστώντας στην γενική εξίσωση q= για την αυτοδιακύμανση έχουμε: Var( y ) (0) (1 ) y (1) ( 1 1 ) y () ( ) ( k) 0, k y y 1 (.3.) Και για την αυτοσυσχέτιση έχουμε: y (1) y () 1 1 ( k y ) 0, k (.3.3) 16

34 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μηδενίζεται για k. Στο παρακάτω σχήμα δείχνουμε μία MA() διαδικασία καθώς και την συνάρτηση αυτοσυσχέτισής της. Σχήμα.3.1 Γράφημα μιας MA() διαδικασίας ( y 15 0,7 1 0, ) και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης 17

35 18

36 3 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ 3.1 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR(1) Έστω ο γραμμικός συνδυασμός της σχέσης (1.4.): y i i i0 όπου, μ: σταθερά : λευκός θόρυβος Όπως γνωρίζουμε ο γραμμικός συνδυασμός (ή αλλιώς φίλτρο) είναι μία χρονολογική σειρά. Θεωρούμε τους γραμμικούς συντελεστές i τέτοιους ώστε να ακολουθούν τη μορφή i, 1. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργούμε μία αύξουσα συνεισφορά των συντελεστών στη σειρά από το παρελθόν προς το παρόν. Έτσι έχουμε: i y 1... i y i i0 (3.1.1) Όμοια για : 1 ισχύει: i 1 i1 i0 y (3.1.) Από (3.1.1) και (3.1.) έχουμε: 19

37 y y, y 1 y 1 (3.1.3) όπου, : σταθμισμένη παράμετρος δ= μ(1-φ) : λευκός θόρυβος Η διαδικασία αυτή καλείται αυτοπαλίνδρομη διαδικασία πρώτης τάξης AR(1). Συνθήκη στασιμότητας: Παρατηρούμε ότι αν φ <1 που είναι η συνθήκη στασιμότητας. i0 i Δηλαδή η συνθήκη στασιμότητας για μία AR(1) διαδικασία είναι η σχέση φ <1. Ιδιότητες-Παράμετροι: Για την μέση τιμή της AR(1) ισχύει: Ey ( ) (3.1.4) 1 Για την συνάρτηση αυτοδιακύμανσης ισχύει: 1 1 k ( k), k 0,1,,... (3.1.5) Για την διασπορά ισχύει: Για k=0 από σχέση (3.1.5) έχουμε: 0

38 1 (0) 1 (3.1.6) Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: ( k) k ( k), k 0,1,,... (3.1.7) (0) Σχήμα Γράφημα στοχαστικής διαδικασίας AR(1) Y 0,8Y 1 και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης 1

39 3. Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR() Από την σχέση (1.4.) με ανάλογο τρόπο περιλαμβάνοντας επιπλέον τον όρο y έχουμε το υπόδειγμα AR(): y y y (3..1) 1 1 όπου, δ= σταθερά : λευκός θόρυβος Συνθήκη στασιμότητας: Α τρόπος (με τη βοήθεια του οπισθοδρομικού τελεστή) Για τη συνθήκη στασιμότητας μιας AR() διαδικασίας θα δείξουμε ένα διαφορετικό τρόπο ανάλυσης. Η εξίσωση (3..1)μπορεί να αναπαραστεί ως μία άπειρη διαδικασία ΜΑ και να παρουσιάσουμε τις συνθήκες στασιμότητας για την y σε όρους των 1 και. Έτσι από την (3..1) έχουμε: (1 1B B ) y (3..) ή ( By ) (3..3) y ( B) ( B) 1 1 όπου, ( B) i0 i i i ib i0 ( B) 1 και

40 1 i ( B) ( B) ib (3..4) i0 Γνωρίζοντας ότι ( B) ( B) 1 και από τις σχέσεις (3..3), (3..4) έχουμε: (1 B B )( B B...) j ( ) B ( ) B... ( ) B j 1 j1 j Άρα ( ) 0 ( ) 0,,3,... j 1 j1 j j 0 (3..5) Έχουμε καταφέρει να δημιουργήσουμε εξισώσεις σε όρους 1 και. Επιλύοντας το σύστημα εξισώσεων ως προς j και συγκεκριμένα την τρίτη εξίσωση που είναι η γενική μορφή θα καταλήξουμε σε μία σχέση των 1 και. Αυτή την σχέση θα την χρησιμοποιήσουμε στην γνωστή συνθήκη στασιμότητας μιας διαδικασίας. Παρατηρούμε ότι στην τρίτη i0 i εξίσωση της σχέσης (3..5) η παράμετρος j ικανοποιεί γραμμική εξίσωση διαφορών β τάξης. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: m (3..6) 1m 0 Η λύση του είναι: m1, m Αν οι ρίζες κείτονται εντός του μοναδιαίου κύκλου δηλαδή αν ισχύει: m, m 1 1 3

41 τότε 1, και άρα η σειρά είναι στάσιμη. Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα i0 i m m είναι συναρτήσεις των 1, επιδιώξαμε το ζητούμενο. Β τρόπος Ένας εναλλακτικός τρόπος για την κατασκευή της συνθήκης στασιμότητας είναι μέσω του ορισμό της ασθενούς στάσιμης σειράς. Γνωρίζουμε από τον ορισμό ότι μία από τις απαραίτητες προϋποθέσεις είναι η διακύμανση να είναι σταθερός και θετικός αριθμός. Αποδεικνύεται ότι: 1 (0) y (1 )(1 1 )(1 1 ) όπου, : η διακύμανση των καταλοίπων ε δηλαδή του λευκού θορύβου Έτσι προκύπτουν οι περιορισμοί για τα 1, ώστε η σειρά να είναι στάσιμη: Ιδιότητες-Παράμετροι: Για την μέση τιμή της AR() ισχύει: E( y ) E( y ) E( y ) Άρα 1 (3..7) 1 Για την συνάρτηση αυτοδιακύμανσης ισχύει: 4

42 ( k) Cov( y, y ) k Cov( y y, y ) 1 1 k Cov( y, y ) Cov( y, y ) Cov(, y ) 1 1 k k k, k 0 1 ( k) ( k 1) ( k ) 0, k 1,,... (3..8) όπου, : η διακύμανση των καταλοίπων ε δηλαδή του λευκού θορύβου Οι εξισώσεις (3..8) ονομάζονται εξισώσεις Yule-Walker για την ( k) και ανήκουν σε μία ευρύτερη κατηγορία γραμμικών εξισώσεων διαφορών τάξης k για τις οποίες θα μιλήσουμε σε επόμενη ενότητα. Για την διασπορά ισχύει: Γνωρίζοντας ότι σε περίπτωση στασιμότητας γ(-k)=γ(k) δηλαδή η συνάρτηση αυτοδιακύμανσης είναι άρτια συνάρτηση του k, για την διασπορά ισχύει (για k=0): (0) (1) () 1 (3..9) Και από την σχέση (3..8) για k=1, k= η σχέση (3..9) γίνεται: (1) 1 (0) ( 1) () 1 (1) (0) (1) 1 (0) (1) () 1 (1) (0) εφόσον λόγω στασιμότητας γ(-1)=γ(1). Έτσι έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους με λύση: 5

43 1 (0) (3..10) y (1 )(1 1 )(1 1 ) Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: ( k) ( k 1) ( k ), k 1,,... (3..11) 1 Που ικανοποιούν επίσης τις εξισώσεις Yule-Walker. 3.3 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα AR(p) Έστω μία διαδικασία z. Ένα υπόδειγμα της μορφής: y y y y (3.3.1) p p όπου 1,,..., p : σταθμισμένοι παράμετροι p: είναι η χρονική υστέρηση : είναι τυχαία μεταβλητή λευκού θορύβου είναι μία αυτοπαλύνδρομη διαδικασία ή κοινώς ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα AR(p) τάξης p. Η μορφή ενός αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος μας παραπέμπει ουσιαστικά σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, όπου οι ερμηνευτικές μεταβλητές z 1, z,..., z p μεταβλητής z με χρονική υστέρηση p. είναι οι τιμές της εξαρτημένης Συνθήκη στασιμότητας: Η μορφή του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος AR(p) της σχέσης (3.3.1) εναλλακτικά μπορεί να γραφεί μέσω του οπισθοδρομικού τελεστή B ως εξής: p (1 1B B... pb ) y 6

44 ή (3.3.) ( ) y Για να είναι το υπόδειγμα στάσιμη διαδικασία αρκεί οι ρίζες m1, m,..., m p του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: m m m (3.3.3) p p 1 p 1... p 0 βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. Η συνθήκη αυτή είναι ισοδύναμη με την περίπτωση όπου μία AR(p) διαδικασία μπορεί να αναπαραστεί ως μια απολύτως αθροίσιμη άπειρη διαδικασία MA απείρου τάξεως: y ( B) (3.3.4) i i i0 όπου, 1 i ( B) ( B) ib, με 0 1 i0 και i0 i. Ιδιότητες-Παράμετροι: Για την μέση τιμή ισχύει: Ey ( ) (3.3.5) p Για την αυτοδιακύμανση ισχύει: ( k) Cov( y, y ) i0 k Cov( y y... y, y ) p 1 1 p p k Cov( y y ) Cov(, y ) i i, k k p i i0 0 ( k) ( k i), k 0, k 1,,... (3.3.6) 7

45 που ικανοποιούν τις εξισώσεις Yule-Walker. Για την διασπορά ισχύει: Για k=0 από σχέση (3.3.6) έχουμε: p i i (3.3.7) i0 (0) ( ) Όπου, ( i) ( i) αφού η διαδικασία είναι στάσιμη : η διασπορά των διαταραχών λευκού θορύβου. Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: Από την σχέση (3.3.6) και διαιρώντας με (0) για k=1,, έχουμε: p ( k) i( k i), k 1,,... (3.3.8) i Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών - Εξισώσεις Yule-Walker Οι εξισώσεις (3.3.8) ικανοποιούν τις εξισώσεις Yule-Walker που είναι ομογενείς γραμμικές εξισώσεις διαφορών τάξης p (εφόσον αναφερόμαστε σε διακριτούς και όχι σε συνεχείς χώρους) και είναι της μορφής: όπου, ( ) : μία διαδικασία ( k) ( k 1) ( k )... ( k p) 0 ( ) 1 p 8

46 ή ( B) ( k) 0, B B B B ( ) p p (3.3.1.) Η εξίσωση ( B) 0 καλείται χαρακτηριστική εξίσωση της διαδικασίας. Για την επίλυσή της παίρνουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (όπως και στη περίπτωση του υποδείγματος AR(): m m m ( ) p p 1 p 1... p 0 με ρίζες του πολυωνύμου τις m1, m,..., m p Έτσι οι λύσεις της σχέσης ( ) (ή ισοδύναμα (3.3.1.)) είναι: Ά περίπτωση Αν οι ρίζες m1, m,..., m p είναι πραγματικές και διάφορες μεταξύ τους, τότε η γενική λύση της ( ) είναι: ( ) c m c m... c m, k 1,,.. k k k 1 1 p p Β περίπτωση Αν οι ρίζες m1, m,..., m p είναι πραγματικές και κάποια από αυτές έστω η m i, 1<i<k έχει πολλαπλότητα s<k, τότε η γενική λύση της ( ) είναι: ( ) c m c m... ( c c k c k... c k ) m... c m, k 1,,.. k k s1 k k 1 1 i1 i i3 is1 i p p Γ περίπτωση Αν οι ρίζες m1, m,..., m p είναι και κάποια από αυτές έστω η m j,1<j<k είναι μιγαδική ρίζα της (3.3.11) πολλαπλότητας s<k, τότε η γενική λύση της ( ) είναι: ( ) c m c m... [ A( k)cos( k ) B( k)sin( k)] m... c m, k 1,,.. k k k k 1 1 p p 9

47 όπου, Α(n),B(n): πολυώνυμα του n βαθμού s-1 Η γραφική αναπαράσταση των λύσεων και προφανώς της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης αντίστοιχα με τις προηγούμενες τρεις περιπτώσεις είναι α) μείξη φθινουσών εκθετικών p όρων β) φθίνοντα εκθετικά υποδείγματα και γ) συνδυασμό των προηγούμενων περιπτώσεων για τους πραγματικούς όρους μαζί με αποσβενιμένες ταλαντώσεις ημιτονοειδούς μορφής που αντιστοιχούν στις μιγαδικές λύσεις Θεωρητική Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχέτισης Μίας MA διαδικασία καθώς και η τάξης της q προσδιορίζεται όπως προαναφέραμε από το πλήθος των στατιστικά σημαντικών συντελεστών αυτοσυσχέτισης του δείγματος r i και πιο συγκεκριμένα αυτών που διαφέρουν στατιστικά από το μηδέν με επίπεδο σημαντικότητας 95%. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να αναγνωρίσουμε AR(p) και να προσδιορίσουμε την τάξη p αυτής χρησιμοποιώντας τους δειγματικούς συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης. Σύμφωνα με την θεωρία σε κάθε AR(p) διαδικασία ισχύει kk 0, αν k>p. Στο κεφάλαιο 1. ορίσαμε τους συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης από τη σχέση * καθώς και των εκτιμητών τους r kk. όπου, P k k k 1 1 k k 1 k k *.. (3.3..1) και 30

48 1... k Για τον εκτιμητή του kk χρησιμοποιούμε τον δειγματικό συντελεστή μερικής αυτοσυσχέτισης r kk ο οποίος ορίζεται όπως ο στην σχέση (1..11) αλλά αντικαθιστούμε όλες τις αυτοσυσχετίσεις με τους εκτιμητές αυτών r k. Για μεγάλα δείγματα Ν αποδεικνύεται ότι οι συντελεστές r kk για k>p ακολουθούν προσεγγιστικά κανονική κατανομή όπου: και Er ( ) 0 kk Var( r ) kk 1 N (3.3..) Έτσι τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης με επίπεδο σημαντικότητας 0.5% εκτός των οποίων βρίσκονται οι στατιστικώς διάφοροι του μηδενός συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης [1949], Jenkins [1954,1956], και Daniels [1956]. Για παράδειγμα για τη διαδικασία AR() ισχύει: ss 0 r kk, είναι 1,96 / N (Quenouille,για s> (3.3..3) Και για a1: 1 0,5 και a: 0,3 υπολογίζουμε τους συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης: 0, ,3 0,66 Η απεικόνιση των μερικών αυτοσυσχετίσεων του παραδείγματος παρουσιάζεται παρακάτω: 31

49 Σχήμα Γράφημα μερικών αυτοσυσχετίσεων 3

50 4 ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΤΗΤΑ- ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ 4.1 Αντιστρεψιμότητα- Μονοσήμαντο Λύσης Όπως γνωρίζουμε από την ανάλυση των χρονολογικών σειρών τα ΜΑ υποδείγματα είναι πάντα στάσιμα, δηλαδή σε αντίθεση με τα AR υποδείγματα δεν χρειάζεται να ικανοποιούν κάποιες συνθήκες οι συντελεστές των ΜΑ για την επίτευξη της στασιμότητας. Όμως δεν ισχύει το ίδιο με την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας. Στην περίπτωση αυτή χρειαζόμαστε τις συνθήκες που κάνουν τη διαδικασία στάσιμή. Η αντιστρεψιμότητα είναι απαραίτητη προϋπόθεση για το μονοσήμαντο της λύσης σε ένα ΜΑ υπόδειγμα. Για παράδειγμα έστω τα υποδείγματα: y u 0.4u 1 y u.55u 1 και για τα δύο υποδείγματα έχουμε: (1) 0.34 ( k) 0, 1 Όπως παρατηρούμε τα δύο διαφορετικά ΜΑ(1) υποδείγματα έχουν την ίδια ACF. Αυτό συνεπάγεται ότι στην προσπάθειά μας να προσδιορίσουμε επακριβώς το υπόδειγμα που παράγεται από τις ACF ίσως καταλήγαμε στο ένα από τα δύο που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Με την συνθήκη όμως της αντιστρεψιμότητας όπου, 1 1 απορρίπτουμε το δεύτερο υπόδειγμα. Κατά ανάλογο τρόπο είναι απαραίτητη προϋπόθεση η ικανοποίηση των συνθηκών των συντελεστών i (δηλαδή οι ρίζες 1 m, m,..., m p, mi f( ) της (3.3.3) να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου) ώστε η σειρά AR(p) να είναι στάσιμη, δεδομένου ότι είναι πάντα αντιστρέψιμη. 33

51 4. Αντιστρεψιμότητα MA(q) Υποδειγμάτων Τώρα που δείξαμε τη σπουδαιότητα της αντιστρεψιμότητας μένει να βρούμε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές των MA(q) υποδειγμάτων. Έστω ένα ΜΑ υπόδειγμα: q y 1 ibi i1 ( B) ( B) y ( B) 1 1 ( By ) (4..1) όπου, ( B) 1 B i ( B) ( ) 1 B i1 i 1 Η άπειρη αναπαράσταση AR μιας ΜΑ(q) διαδικασίας δίνεται: y y (4..) i i i1 όπου, i1 i Και για τα i ισχύει: (1 B B... B )(1 B B...) 1 (4..3) q 1 q 1 Έτσι εξισώνοντας τους συντελεστές των όρων Β με των ίδιο βαθμό καταλήγουμε στις γνωστές εξισώσεις Yule-Walker:

52 0 (4..4) j 1 j1 j... q jq 0 όπου, και 0, j j Παρατηρούμε ότι μετατρέψαμε τις συνθήκες αντιστρεψιμότητας μιας ΜΑ(q) διαδικασίας σε συνθήκες στασιμότητας μίας διαδικασίας AR(p) και μέσω των εξισώσεων Yule-Walker πρέπει οι ρίζες m1, m,..., m q της παρακάτω εξίσωσης να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου δηλαδή είναι μικρότερες της μονάδας κατά απόλυτη τιμή. m m m (4..5) q q 1 q 1... q 0 Παρακάτω παραθέτουμε έναν συγκεντρωτικό πίνακα με τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν κάποια γνωστά υποδείγματα αυτοπαλίνδρομα AR(p), κινητών μέσων MA(q) καθώς και μεικτά ARMA(p,q) όπως θα δούμε στη συνέχεια. Πίνακας 4..1 Συνθήκες στασιμότητας και αντιστρεψιμότητας υποδειγμάτων ARIMA Υπόδειγμα Συνθήκες Στασιμότητας Συνθήκες Αντιστρεψιμότητας MA(1) y 1 1 Καμία 1 1 MA() y 1 1 Καμία

53 AR(1) y y Καμία AR() y y y 1 1 ARMA(1,1) y y Καμία

54 5 ΜΕΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ 5.1 Μεικτά Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Κινητού Μέσου ARMA(p,q) Ένα μεικτό υπόδειγμα ARMA(p,q) έχει την μορφή: y y y... y p p 1 1 q q ή p y i i i i i1 i1 q (5.1.1) ( B) y ( B) (5.1.) όπου, q i 1 Θ(B)= 1 B 1 B B... B i1 p i 1 i 1 Φ(B)= 1 B 1 B B... B i1 : λευκός θόρυβος i 1 q p q p Συνθήκη στασιμότητας: Για να είναι η διαδικασία στάσιμη βρίσκουμε τις ρίζες m1, m,..., m p του χαρακτηριστικού πολυωνύμου της σχέσης ( ): m m m p p 1 p 1... p 0 και ελέγχουμε αν είναι μικρότερες της μονάδας κατά απόλυτη τιμή. Με αυτόν τον τρόπο το υπόδειγμα της σχέσης (5.1.1) μπορεί να αναπαραστεί ως ένα απολύτως αθροίσιμο υπόδειγμα MA( ) ως εξής: y ( B) i i i0 37

55 όπου, 1 ( B) ( B) ( B), με τα ( B) να βρίσκονται από την εξίσωση: 1, i1,..., i 1 i1 i... p i p 0, i q q (5.1.3) με 0 1 και i0 i. Συνθήκη αντιστρεψιμότητας: Όπως στην περίπτωση της στασιμότητας με ανάλογο τρόπο δουλεύουμε και για την επίτευξη της αντιστρεψιμότητας. Έτσι από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (4..5): m m m q q 1 q 1... q 0 βρίσκουμε τις ρίζες m1, m,..., m q και ελέγχουμε αν είναι μικρότερες της μονάδας κατά απόλυτη τιμή (δηλαδή αν βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο κύκλο). Με αυτόν τον τρόπο το υπόδειγμα της σχέσης (5.1.1) μπορεί να αναπαραστεί ως ένα απολύτως αθροίσιμο υπόδειγμα AR( ) ως εξής: ( B) y a όπου, 1 ( B) ( B) ( B) ( ) 1 B i, i1,..., p i 1 i1 i... q iq 0, i p (5.1.4) με 0 1 και 0, i 0 i 38

56 ACF και PACF μίας ARMA(p,q) διαδικασίας: Οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης σε κάποιο βαθμό μπορούν να μας προσδιορίσουν τους συντελεστές p,q που χαρακτηρίζουν ένα υπόδειγμα ARMA(p,q) αλλά και αυτό με κάποια δυσκολία. Γι αυτό όπως αναφέρουμε σε επόμενη ενότητα (6.) χρησιμοποιούμε και άλλα κριτήρια όπως BIC,AIC ή AICC. Παρακάτω παραθέτουμε έναν συγκεντρωτικό πίνακα (5.1.1) με την συμπεριφορά των θεωρητικών αυτοσυσχετίσεων και των μερικών αυτοσυσχετίσεων των αυτοπαλύνδρομων υποδειγμάτων AR(p), υποδειγμάτων κινητών μέσων MA(q) καθώς και μεικτών υποδειγμάτων ARMA(p,q). Πίνακας (5.1.1) Αυτοσυσχετίσεις υποδειγμάτων ARMA -Μη εποχικά υποδείγματα Υπόδειγμα Θεωρητικές Αυτοσυσχετίσεις Θεωρητικές Μερικές Αυτοσυσχετίσεις MA(q) y q q AR(p) y y y y p p ARMA(p,q) y y y y... p p 1 1 q q Φθίνουν ταχύτατα κόβονται μετά από την υστέρηση q Φθίνουν σταδιακά (σε ημιτονοειδή ή γεωμετρική μορφή) Φθίνουν σταδιακά (σε γεωμετρική μορφή) Φθίνουν σταδιακά (σε γεωμετρική μορφή) Φθίνουν ταχύτατα κόβονται μετά από την υστέρηση p Φθίνουν σταδιακά (σε γεωμετρική μορφή) Ιδιότητες-Παράμετροι: Για την μέση τιμή από (5.1.1) ισχύει: Ey ( ) (5.1.5) p 39

57 Για την διασπορά ισχύει:... (1... ) (5.1.6) p p 1 1 q q και μαζί με τις p εξισώσεις της (5.1.3) για k=1,,,p έχουμε p+1 εξισώσεις με p+1 αγνώστους και βρίσκουμε τα,..., 0 p Για την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισχύει: (1 )( ) (1) (5.1.7) ( k) ( k 1), k (5.1.8) 1 5. Μεικτά Ολοκληρωμένα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Kινητού Μέσου ARIMA(p,d,q) Συχνά μία χρονολογική σειρά ARMA(p,q) ενώ δεν είναι στάσιμη παρουσιάζει μία ομογενή συμπεριφορά στο βάθος χρόνου. Σ αυτή την περίπτωση θέλουμε να τη μετασχηματίσουμε ώστε να γίνει στάσιμή. Ο μετασχηματισμός αυτός προκύπτει με την χρήση πρώτων διαφορών w y y 1=(1-Β) οι και διαφορών μεγαλύτερης τάξης w (1 B) d. Όταν πετύχουμε στασιμότητα της χρονολογικής σειράς ως προς τον μέσο με την χρήση διαφορών πρώτης ή ανώτερης τάξης τότε λέμε ότι η χρονολογική σειρά είναι ομογενής μη στάσιμη και η νέα σειρά που προκύπτει είναι ένα μεικτό ολοκληρωμένο αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κινητού μέσου ARIMA(p,d,q). Ο όρος ολοκληρωμένο χρησιμοποιείται επειδή ο όρος y ενός υποδείγματος ARMA(p,q) μπορεί να αναπαραστεί ως άθροισμα (ή ολοκλήρωμα) των διαφορών w δηλαδή έχουμε: y w w w... w y (5..1)

58 Ένα υπόδειγμα ARIMA(p,d,q) τάξεως d έχει την μορφή: ( B)(1 B) d y ( B) (5..) : λευκός θόρυβος Πρακτικά στις περισσότερες των περιπτώσεων για να επιτεύξουμε στασιμότητα παίρνουμε πρώτες ή δεύτερες διαφορές. 5.3 Μεικτά Εποχικά Ολοκληρωμένα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Kινητού Μέσου SARIMA(p,d,q) (P,D,Q) Στην πράξη παρατηρείται ότι αρκετά δεδομένα χρονολογικών σειρών εμφανίζουν περιοδικότητα-εποχικότητα. Έτσι μία διαδικασία με περιοδικότητα (εβδομαδιαία, μηνιαία εξαμηνιαία κτλ.) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο όρων του ντετερμινιστικού και του στοχαστικού (τυχαίου) ως εξής: y S N (5.3.1) όπου, S : ντετερμινιστικός όρος N : στοχαστικός όρος Έτσι ισχύει: s S S 1 (1 B ) S 0 (5.3.) Αφού λόγω περιοδικότητας S S S... S. Άρα από (5.3.) ισχύει: s s ks 41

59 s s s (1 B ) y (1 B ) S (1 B ) N w (1 B s ) N Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την διαδικασία w ως στάσιμη εποχική διαδικασία και να εφαρμόσουμε ένα ARMA υπόδειγμα μοντελοποιώντας το N. Έτσι έχουμε: s ( B) w (1 B ) ( B) (5.3.3) όπου, : λευκός θόρυβος. Ακόμα όμως και από τους τελεστές των εποχικών αυτών διαφορών που εφαρμόσαμε στα δεδομένα, αυτά εξακολουθούν να εμφανίζουν εποχικά χαρακτηριστικά με αποτέλεσμα ισχυρές αυτοσυσχετίσεις στα ακέραια πολλαπλάσια των χρονικών υστερήσεων s. Άρα ένα διαφορετικό εποχικό υπόδειγμα είναι: (1 B B... B ) w (1 B B... B ) (5.3.4) * s * s * Ps * s * s * Qs 1 P 1 Q Το μειονέκτημά του είναι ότι εξαλείφονται οι αυτοσυσχετίσεις μόνο στις χρονικές υστερήσεις s, s,.., κs. Άρα ένα πλήρες εποχικό ARIMA υπόδειγμα είναι: ( B ) ( B)(1 B) (1 B ) y ( B ) ( B) (5.3.5) * s d s D * s όπου, : λευκός θόρυβος Το υπόδειγμα αυτό καλείται SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) περιόδου s. Εκτός από την επίτευξη στασιμότητας στον μέσο με εφαρμογή εποχικών και μη εποχικών διαφορών επιπλέον, είναι απαραίτητο η διαδικασία να είναι στάσιμη ως προς την διακύμανση. Αυτό επιτυγχάνεται με τον μετασχηματισμό των Box-Cox των δεδομένων της σειράς όπως θα δούμε σε επόμενη ενότητα. 4

60 5.4 Προβλέψεις Διαδικασιών ARIMA(p,q) Εφόσον αναγνωριστεί το υπόδειγμα που ακολουθούν τα δεδομένα της υπό εξέταση σειράς, μένει το στάδιο της πρόβλεψης. Με βάση, δηλαδή, το εκτιμημένο υπόδειγμα και τις υπάρχουσες πληροφορίες μέχρι τη χρονική περίοδο Τ, μένει να γίνει πρόβλεψη της τιμής της Υ στην περίοδο Τ+1, Τ+, και γενικά να γίνει βραχυχρόνια πρόβλεψη στην περίοδο Τ+τ. Δηλαδή αναζητούμε την σημειακή πρόβλεψη της μεταβλητής yt που συμβολίζουμε με yˆt και στη συνέχεια βρίσκουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για την πρόβλεψη αυτή. Το κριτήριο που χρησιμοποιούμε είναι η ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος: E y yˆ T E e (5.4.1) [( T T ( )) ] [ T ( ) ] όπου, yˆ ( T)) : ο εκτιμητής (πρόβλεψη) της T T y με δεδομένα ως την χρονική στιγμή Τ και πρόβλεψη για την χρονική περίοδο τ. Αποδεικνύεται ότι η καλύτερη πρόβλεψη μέσου τετραγωνικού σφάλματος είναι η υπό συνθήκη προσδοκώμενη τιμή της yt δοθέντος των προηγούμενων παρατηρήσεων yt, yt 1, yt,....: yˆ ( T) E[ y y, y,...] (5.4.) T T T T 1 Έστω ένα υπόδειγμα ARIMA(p,d,q) τη χρονική στιγμή Τ+τ : y pd y T i T i i i i1 i1 q (5.4.3) Με αναπαράσταση ΜΑ ως εξής: 43

61 yt i i i1 1 y T i i i i i1 i (5.4.4) Το πρώτο άθροισμα της εξίσωσης (5.4.4) αποτελείται από μελλοντικά σφάλματα-κατάλοιπα i ενώ το δεύτερο άθροισμα αποτελείται από παροντικά και παρελθοντικά σφάλματα. Όταν κάνουμε πρόβλεψη τα μελλοντικά σφάλματα τα θεωρούμε μηδέν σε αντίθεση με τα παροντικά ή παρελθοντικά όταν μπορούμε να υπολογίσουμε την μεταβλητή yˆ T i, i. Αποδεικνύεται ότι: yˆ ( T) E[ y y, y,...] (5.4.5) T T T T 1 i i i1 όπου, 0, i E[ T i yt, yt 1,...], i T i Το σφάλμα πρόβλεψης υπολογίζεται ως εξής: 1 e ( ) y yˆ ( T) (5.4.6) T T i i i1 Εφόσον το σφάλμα πρόβλεψης είναι γραμμικός συνδυασμός τυχαίων διαταραχών ισχύει: Ee [ ( )] 0 Var e Var Var 1 1 [ ( )] ii i ( i) i0 i0 (5.4.7) 1 i i0 ( ), 1,,... 44

62 εφόσον 1 i 1. i0 Με την υπόθεση ότι οι τυχαίες διαταραχές είναι λευκός θόρυβος, με συνέπια να ακολουθούν κανονική κατανομή, το σφάλμα πρόβλεψης του υποδείγματος ακολουθεί την ίδια κατανομή εμπιστοσύνης για την πρόβλεψη yˆ T ( T) είναι: N(0, ( )). Άρα το 100(1-α)% διάστημα ( yˆ ( T) z ( ), yˆ ( T) z ( )) (5.4.8) T a/ T a/ όπου, z a/ : το πάνω α/ εκατοστημόριο την τυπικής κανονικής κατανομής Ν(0,1) (): το τυπικό σφάλμα των καταλοίπων ή P( yˆ ( T) z ( ) y yˆ ( T) z ( )) 1 (5.4.9) T a/ T T a/ Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (5.4.5) αποτελείται από άπειρο πλήθος όρων κάτι προσπερνιέται διαλέγοντας μεγάλο δείγμα παρατηρήσεων και έπειτα χρειαζόμαστε τις παρελθούσες τυχαίες διαταραχές κάτι μη ρεαλιστικό. Παρόλα αυτά μπορούμε να εκτιμήσουμε τις διαταραχές με επαναλαμβανόμενες προβλέψεις μίας περιόδου μπροστά κάθε φορά, από την εξίσωση: pd q ˆ ˆ y i y i ii i1 i1 (5.4.10) θέτοντας αρχικές συνθήκες των διαταραχών το 0 για < p + d + 1. Ένα εναλλακτικό διάστημα εμπιστοσύνης για την πρόβλεψη yˆ ( n) που εκτελείται την χρονική περίοδο n για την μελλοντική περίοδο τ είναι: n 45

63 ( nnp ) a/ [ yˆ ( n) SE ( n)] (5.4.11) n n όπου, n : πλήθος παρατηρήσεων που είναι συγχρόνως ο χρονική περίοδος που γίνεται η πρόβλεψη n p : πλήθος παραμέτρων n- n p : βαθμοί ελευθερίας ( nn p ) a / SE n τυχαία μεταβλητή κατανομής ( n) : τυπικό σφάλμα του σφάλματος πρόβλεψης SEn ( n) εξαρτάται από ˆ( ) s ( y ˆ y) SSE 1 n n n n p n p (5.4.1), s: sandard error SSE: άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων sum squared error. np p q Παρατηρήσεις Οι δύο παραπάνω τύποι προσεγγιστικά είναι ίδιοι. Στη σχέση (5.4.8) έχει προσεγγιστεί η τυχαία μεταβλητή z a/ από την ( nn p ) a / μιας -κατανομής με n n βαθμούς ελευθερίας για μεγάλα δείγματα (n>30). Επειδή κάποιες p ερμηνευτικές (ή ανεξάρτητες) μεταβλητές του υποδείγματος μπορεί να παρουσιάσουν συσχέτιση μεταξύ τους και να εμφανίσουν το φαινόμενο της πολυσυγγραμικότητας, είναι απαραίτητο να προηγηθεί ένα -es μαζί με ένα sandard error για να κρίνουμε ποιες από τις ερμηνευτικές μεταβλητές του υποδείγματος είναι στατιστικώς σημαντικοί. Μετά τη διαδικασία αυτή που 46

64 γίνεται στο στάδιο της εκτίμησης και μετά τους διαγνωστικούς ελέγχους έχοντας πλέον, το σωστό υπόδειγμα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (5.4.11). 5.5 Αξιολόγηση Προβλέψεων Διαδικασιών ARIMA(p,q) Αφού βρεθεί η σημειακή πρόβλεψη ή το προβλεπτικό διάστημα εμπιστοσύνης που βρίσκεται ο εκτιμητής yˆ ( 1) της μεταβλητής y,θα ασχοληθούμε με το στάδιο της αξιολόγησης της προβλεπτικής ικανότητας του υποδείγματος. Για το λόγο αυτό έχουν προταθεί διάφορα κριτήρια-μέτρα. Ι)Μέτρα Εξαρτώμενα από τις Μονάδες Μέτρησης α) Μέσο Απόλυτο Σφάλμα (ή Απόκλιση) n e ˆ y y MAE = 1 1 n n n (5.5.1) όπου, ΜΑΕ: mean absolue error (ή MAD mean absolue deviaion) e : σφάλμα πρόβλεψης n: πλήθος παρατηρούμενων ποσοτήτων που επιπλέον προσδιορίζει τη χρονική περίοδο πρόβλεψης β) Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα MSE = n 1 ( e ) n (5.5.) όπου, MSE: mean squared error 47

65 ΙΙ) Μέτρα Ανεξάρτητα από τις Μονάδες Μέτρησης γ) Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα (εκφρασμένο σε ποσοστό) MAPE = n 1 y ˆ y y n 100 (5.5.3) όπου, MAPE: mean absolue percenage error δ) Συντελεστής Ανισότητας του Theil U 1 n n 1 1 n ( y yˆ ) n 1 ( y ) (5.5.4) Τα μέτρα αυτά μας υποδεικνύουν κατά πόσο το υπόδειγμα είναι το σωστό με συνέπεια να ελαχιστοποιήσουμε το σφάλμα πρόβλεψης. Όμως υπάρχουν κάποιες διαφορές στα μέτρα αυτά. Τα πρώτα δύο μέτρα που μειονέκτημά τους είναι ότι εξαρτώνται από τις μονάδες μέτρησης διαφέρουν μεταξύ τους στο μέγεθος των σφαλμάτων. Πιο συγκεκριμένα το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (MSE) είναι περισσότερο ευπαθές σε υποδείγματα με μεγάλα προβλεπτικά σφάλματα ενώ, το μέσο απόλυτο σφάλμα (MAE) είναι περισσότερο ευπαθές σε υποδείγματα με μικρά προβλεπτικά σφάλματα. Για παράδειγμα υπάρχει το ενδεχόμενο το MSE να δείξει μεγαλύτερο σφάλμα πρόβλεψης ανάμεσα σε δύο υποδείγματα και, συγκεκριμένα στο υπόδειγμα αυτό που η ΜΑΕ δείχνει μικρότερο σφάλμα πρόβλεψης (επειδή όπως εξηγήσαμε το συγκεκριμένο υπόδειγμα έχει μεγαλύτερα σφάλματα στις εκτιμώμενες τιμές). Στο προηγούμενο παράδειγμα σε περίπτωση που είχαμε μικρά σφάλματα τιμών θα συνέβαινε το αντίθετο. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για την περίπτωση του μέσου απόλυτου ποσοστιαίου σφάλματος και του 48

66 συντελεστή ανισότητας του Theil όπως με το ΜΑΕ και το MSE αντίστοιχα με τη διαφορά ότι πλεονέκτημα των δύο αυτών μέτρων είναι η ανεξαρτησία τους από μονάδες μέτρησης εφόσον εκφράζουν ποσοστιαία σφάλματα (επί της πραγματικής παραμέτρου). Η τιμή του U είναι μηδέν, αν οι προβλεπόμενες τιμές συμπίπτουν απόλυτα με τις πραγματικές. Στην περίπτωση που το U είναι μεγαλύτερο της μονάδας οι προβλέψεις τότε είναι πολύ κακές. Τέλος, αν ο συντελεστής U ισούται με τη μονάδα όλες οι προβλέψεις θα είναι μηδέν. Η περίπτωση αυτή έχει περισσότερο νόημα όταν για τον υπολογισμό του U δε χρησιμοποιούνται οι αρχικές τιμές των y, y ˆ αλλά οι μεταβολές y y y 1. Σε αυτή την περίπτωση αν U=1 τότε αυτό θα σημαίνει ότι οι προβλεπόμενες μεταβολές είναι μηδέν, δηλαδή θα συνεχιστεί η υπάρχουσα κατάσταση. Δηλαδή: 0, ό έ ί ό U= 1, ύ έ έ 1, έ ί έ 49

67 50

68 6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ BOX-JENKINS Η ομώνυμη μέθοδος των Box και Jenkins αποτελεί μια στρατηγική δομή προσέγγισης των χρονολογικών σειρών που διέπουν μία διαδικασίαφαινόμενο. Πιο συγκεκριμένα είναι μέθοδος εύρεσης ενός στατιστικού υποδείγματος ARIMA (ή SARIMA όταν αναφερόμαστε σε εποχικές σειρές) που να προσεγγίζει ικανοποιητικά τη στοχαστική διαδικασία που παράγει τα δεδομένα. Στόχος είναι η κατανόηση, ανάλυση και μελλοντική πρόβλεψη την χρονολογικής σειράς (και προφανώς εκτίμηση των μελλοντικών τιμών του υπό μελέτης φαινομένου) μέσω των εργαλείων που μας προσφέρει η στατιστική ανάλυση των υποδειγμάτων. Τα στάδια της μεθόδου είναι τρία: Η ταυτοποίηση (idenificaion) Η εκτίμηση (esimaion) και Ο διαγνωστικός έλεγχος (diagnosic checking). 6.1 Ταυτοποίηση Κατά το στάδιο της ταυτοποίησης στόχος μας είναι η ένταξη της (υπό εξέταση) χρονολογικής σειράς σε μία υποομάδα των στοχαστικών υποδειγμάτων ARIMA(p,d,q). Συγκεκριμένα προσδιορίζονται τα p, d, q του υποδείγματος. Στη παρούσα φάση είναι απαραίτητο να αναφέρουμε ότι γίνεται μία αρχική εκτίμηση των συγκεκριμένων συντελεστών η οποία, στη συνέχεια της στατιστικής ανάλυσης είναι πολύ πιθανό να αλλάξει ώστε να γίνει καλύτερη προσέγγιση του αληθινού υποδείγματος που παράγει την υποκείμενη χρονολογική σειρά. Κατά τη διάρκεια της ταυτοποίησης ακολουθούμε τέσσερα βήματα. 1. Κάνουμε γράφημα των δεδομένων. Αναγνωρίζουμε ασυνήθιστες παρατηρήσεις που θα μας προδώσουν κάποια στοιχεία για το υπόδειγμα. Παρατηρούμε αν οι παρατηρήσεις έχουν σταθερή διακύμανση αλλιώς κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς ώστε να πετύχουμε στασιμότητα στη διακύμανση. Για την επίτευξη στασιμότητας ως προς τη διακύμανση (ομοσκεδαστικότητα) θα χρειαστούν μετασχηματισμοί μέσω 51

69 της τετραγωνικής ρίζας ή του λογαρίθμου των παρατηρήσεων μετασχηματισμός των Box-Cox όπου: U όπως ο 1 ( U 1), U f ( U ) ln U, U 0, 0 0, 0 (6.1.1) όπου, (0 1.5). Παρατηρούμε αν τα δεδομένα εμφανίζονται σε οριζόντια γραμμή γύρω από τον μέσο οπότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα στασιμότητας στη σειρά.. Όταν τα δεδομένα βρίσκονται σε αύξουσα ή φθίνουσα διάταξη τότε υπάρχει κάποια τάση και πρέπει να εξαλειφθεί ώστε να γίνει η σειρά στάσιμη. Επιπλέον υπολογίζουμε τους συντελεστές αυτοσυσχετίσεων (ASF: auocorrelaion funcion) και μερικών αυτοσυσχετίσεων (PASF: parial auocorrelaion funcion) και παρατηρούμε την γραφική τους παράσταση συναρτήσει των χρονικών υστερήσεων. Σε περίπτωση που οι προηγούμενοι συντελεστές τείνουν στο μηδέν ταχύτατα η σειρά πιθανότατα είναι στάσιμη αλλιώς χρειάζεται μετασχηματισμό για την επίτευξη στασιμότητας. Μία άλλη μέθοδος για τον έλεγχο στασιμότητας είναι το τεστ μοναδιαίας ρίζας των Dickey-Fuller (ή απλά Dickey-Fuller τεστ). 3. Στην περίπτωση μη στασιμότητας ως προς τον μέσο μετασχηματίζουμε τα δεδομένα μέσω των διαφορών. Για μη εποχικά δεδομένα παίρνουμε όσες διαφορές χρειαστούν μέχρι να γίνει η σειρά στάσιμη και προφανώς να εξαλείψουμε με αυτόν τον τρόπο την τάση. Δηλαδή έχουμε: (1-B)y = y - y -1, ή (6.1.) 1 b, όπου, y : η σειρά την χρονική στιγμή 5

70 Για εποχικά δεδομένα κάνουμε την ίδια διαδικασία παίρνοντας εποχικές διαφορές ώστε να απαλείψουμε την εποχικότητα και να γίνει η σειρά στάσιμη, δηλαδή παίρνουμε διαφορές χρησιμοποιώντας τον τελεστή 1-B s, όπου B: οπισθοδρομικός τελεστής τάξης s. Αν προκύψει μη στασιμότητα λόγω τάσης μετά την εκτέλεση εποχικών διαφορών τότε χρησιμοποιούμε μη εποχικές διαφορές. 4. Πραγματοποιούμε μία αρχική εκτίμηση του μοντέλου. Με την επίτευξη της στασιμότητας θα εμφανιστούν κάποια χαρακτηριστικά που προσδιορίζουν τη γενική μορφή υποδείγματος (μία αρχική εικόνα-εκτίμηση που στη συνέχεια με τα κατάλληλα στατιστικά εργαλεία θα τροποποιηθεί ώστε να πετύχουμε καλύτερη προσέγγιση του υποδείγματος). Έτσι έχουμε τρεις περιπτώσεις: α. Εμφάνιση ή όχι εποχικού υποδείγματος. Μία ένδειξη είναι όταν οι αυτοσυσχετίσεις ή οι μερικές αυτοσυσχετίσεις στα σημεία εποχικών υστερήσεων είναι μεγάλες και στατιστικώς διάφορες απ το μηδέν. Για να το διαπιστώσουμε αυτό εφαρμόζουμε την στατιστική Q των Box-Pierce ή την εναλλακτική στατιστική Q * των Ljung-Box που θεωρείται καλύτερη προσέγγιση της χ-κατανομής. Πιο απλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα κρίσιμα σημεία +/- 1.96/ n για κάθε ένα από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης. β. Εμφάνιση AR ή MA υπόδειγμα όταν, μετά την χρονική υστέρηση q δεν υπάρχουν στατιστικώς σημαντικές αυτοσυσχετίσεις ή μερικές αυτοσυσχετίσεις αντίστοιχα. γ. Εμφάνιση μεικτού υποδείγματος ARIMA(p,q) σε περίπτωση που υπάρχουν αυτοσυσχετίσεις και μερικές αυτοσυσχετίσεις στατιστικά διάφορες απ το μηδέν. 6. Εκτίμηση Έχοντας πραγματοποιήσει το στάδιο της εκτίμησης και γνωρίζοντας την κλάση ARIMA στην οποία υπάγεται το μοντέλο μας, εκτιμάμε τους 53