1.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

Transcript

1 . σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. ν α είναι ένα διάνυσµα, τι µπορείτε να πείτε για το µέτρο και την κατεύθυνση του διανύσµατος α = 0 α α ; α = 0 α = α α α = α α = Επειδή α > 0, το διάνυσµα α α θα έχει ίδια κατεύθυνση µε το α. 2. Να βρείτε το διάνυσµα x σε κάθε µια από τις περιπτώσεις: (i) 2 ( x +α ) = ( x +β ) (ii) x +(α +β ) = 4(α β ) x (i) 2 ( x +α ) = ( x +β ) ( x +α ) = 2( x +β ) x +α = 2 x +2β x 2 x = 2β α x = 2β α (ii) x +(α +β ) = 4(α β ) x x + α +β = 4α 4β x 4 x = α 7β x = 4 α 7 4 β

2 2. ν στο διπλανό σχήµα είναι (Μ) = 2(Μ), να αποδείξετε ότι x = (β + 2γ ) x M Σηµείο αναφοράς το. A γ Τα διανύσµατα Μ, Μ έχουν ίδια φορά, άρα η ισότητα (Μ) = 2(Μ) γίνεται Μ = 2Μ Μ = 2( Μ ) Μ = 2 2Μ Μ = 2 + x = β + 2γ x = (β + 2γ ) β B 4. Στο διπλανό σχήµα έχουµε Ε = 2Ε, = α, = 2α και = β., Ε,, (i) Να εκφράσετε συναρτήσει των α και β τα διανύσµατα Ε και Ε. (ii) πό τις εκφράσεις των Ε και Ε ποιο συµπέρασµα προκύπτει για τα σηµεία, Ε και ; (i) = + = β + α, Ε έχουν ίδια φορά, i E 2α Τα διανύσµατα Ε άρα η ισότητα Ε = 2Ε γίνεται Ε = 2Ε α. Είναι Ε +Ε = 2Ε + Ε = β Ε = β + α Ε = ( β + α ) = + + = 2α +β +α = β α Ε = + Ε = α Ε = α ( β +α ) = (α β α ) = (2α β ) Ε = Ε + = ( β + α ) = ( β + α ) (β α ) = (β + α β +α ) = (4α 2β ) = 2 (2α β ) (ii) πό τις εκφράσεις των Ε και Ε που βρήκαµε Ε = 2Ε σηµεία, Ε, είναι συνευθειακά. τα

3 5. Στο παρακάτω σχήµα να αποδείξετε ότι τα σηµεία, και Ε είναι συνευθειακά. Ε α β α β = + = α +β Ε = +Ε = α +β = (α +β ) Άρα Ε = τα σηµεία, και Ε είναι συνευθειακά. 6. ν Κ +Κ 2 = Λ +Μ, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Σηµείο αναφοράς το Κ. Κ +Κ 2 = Λ +Μ Κ Κ 2(Κ Κ ) = ΚΛ Κ + (ΚΜ Κ ) Κ Κ 2Κ + 2 Κ = ΚΛ Κ + ΚΜ Κ 0 = ΚΛ + ΚΜ ΚΛ = ΚΜ ΚΛ ΚΜ Κ, Λ και Μ συνευθειακά. 7. ν, Ε και Ζ είναι διάµεσοι του τριγώνου, να αποδείξετε ότι + Ε + Ζ = 0 + Ε + Ζ = ( + ) + ( + ) + ( + ) = Ζ Ε ( ) = 0 = 0 2 2

4 4 8. ν Κ, Λ, Μ είναι τα µέσα των πλευρών,,, αντιστοίχως, τριγώνου, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σηµείο Ο ισχύει : Ο + Ο + Ο = ΟΚ + ΟΛ + ΟΜ ΟΚ + ΟΛ + ΟΜ = 2 (Ο + Ο ) + Μ Λ (Ο + Ο ) + 2 Ο K (Ο + Ο ) = 2 = 2 (2Ο + 2Ο + 2Ο ) = = Ο + Ο + Ο 9. ν Μ και Ν είναι τα µέσα των διαγωνίων και, αντιστοίχως, ενός τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι = 4 ΜΝ. + = 2Ν + = 2Ν Ν Άρα = 2(Ν +Ν Μ Ν +Ν = 2ΝΜ Ν +Ν = 2 ΜΝ () = 4 ΜΝ. ) () 0. ίνεται το µη µηδενικό διάνυσµα και σηµείο τέτοιο ώστε να ισχύει = λ και = µ. Να αποδείξετε ότι λ µ =. Σηµείο αναφοράς το = µ = µ λ = µ (λ ) = µ και επειδή 0, θα είναι λ = µ άρα λ µ =.

5 5. ίνεται τρίγωνο. ν = κ + λ και Ε = λ + κ να αποδείξετε ότι Ε. Ε = Ε = λ + κ (κ + λ ) = λ + κ κ λ = (λ κ) (λ κ) = (λ κ) ( ) = (λ κ) = (κ λ ) Ε. Oµάδας. Στο διπλανό σχήµα είναι = και Ε =. ν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο GΕ είναι παραλληλόγραµµο. Ε G Μ ρκεί να αποδείξουµε ότι Ε = G Ε = Ε = + = ( + ) G = 2 M = 2 2 ( + ) = ( + )

6 6 2. Θεωρούµε ένα παραλληλόγραµµο και δύο σηµεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε Ε = κ και Z = λ, όπου λ = κ, µε κ. Να αποδείξετε ότι τα κ σηµεία Ε, και Ζ είναι συνευθειακά. δ β Ζ Έστω = β και = δ τότε = β + δ Ε Ε = Ε = κδ (β + δ ) = κδ β δ = (κ )δ β () Ε Z = = (), (2) Ε Z = Z Ε = λβ κδ = κ κ κ κ [ (κ )δ β ] (2) κ Ε κ β κδ = Ε Z Ε κ κ [β (κ )δ ] = Ε,, Ζ συνευθειακά. Να αποδείξετε ότι, αν ισχύουν δύο από τις σχέσεις x Κ + yκ + zκ = 0, xλ + yλ + zλ = 0, x + y + z = 0, τότε θα ισχύει και η τρίτη. (ίνεται Κ Λ) Υποθέσεις : Υποθέσεις : xκ + yκ + zκ = 0 και xλ + yλ + zλ = 0 φαιρούµε κατά µέλη x(κ Λ )+ y(κ Λ )+ z(κ Λ ) = 0 x(κ +Λ )+ y(κ +Λ )+ z(κ +Λ ) = 0 xκλ + y ΚΛ +zκλ = 0 (x + y + z) ΚΛ = 0 x + y + z = 0 xκ + yκ + zκ = 0 και x + y + z = 0 xλ + yλ + zλ = x( ΛK +Κ ) + y( ΛK +Κ ) + z( ΛK +Κ ) = xλ K + xκ + yλ K + yκ + zλk + z Κ = (x + y + z) Λ K + (xκ + yκ + zκ ) = 0. Λ K + 0 = = 0 H τρίτη περίπτωση είναι όµοια µε τη δεύτερη

7 7 4. ν α, β και r είναι οι διανυσµατικές ακτίνες των σηµείων, και Μ αντιστοίχως και MA MB = λ κ, να αποδείξετε ότι, αν το Μ είναι εσωτερικό σηµείο του, τότε r = λα+κβ, ενώ αν το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του, λ+κ τότε r = λα κβ. λ+κ Ο Ο α r β α β r Μ Μ Είναι = Ο Ο = β α Όταν το Μ είναι εσωτερικό σηµείο του MA MB = λ κ Μ = λ κμ Μ = κ Μ λ Ο ΟΜ = λ κ (Ο ΟΜ ) λα λ r = κβ + κ r λα + κβ = κ r + λ r (κ + λ) r = λα + κβ r = λα+κβ λ+κ Όταν το Μ είναι εξωτερικό σηµείο του Είναι Μ = κ Μ και συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο λ

8 8 5. ίνεται παραλληλόγραµµο. Να βρείτε σηµείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει Μ + Μ + Μ = Μ. Σηµείο αναφοράς το. Μ + Μ + Μ = Μ Μ + Μ + Μ = Μ + = 2Μ + = 2Μ 2 = 2Μ = Μ Μ. Το ζητούµενο σηµείο είναι το M

9 9 6. ίνεται τετράπλευρο και έστω Μ και Ν τα µέσα των διαγωνίων του και αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι αν 4Μ N = B, τότε το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραµµο. A β B Με σηµείο αναφοράς το, ορίζουµε το τετράπλευρο θεωρώντας τα διανύσµατα δ Ν Μ γ = β, = γ, = δ. Είναι = = γ β = = δ γ Ν = 2 ( + ) = 2 (β γ + δ γ ) Ν = ( + ) = (β +δ ) 2 2 = 2 (β 2γ + δ ) ΝΜ = 2 (Ν +Ν ) = [ 2 2 (β +δ ) 2 (β 2γ + δ )] 4Μ N = B = (β +δ +β 2γ + δ ) 4 = (2β 2γ + 2δ ) 4 = 2 (β γ + δ ) () 4[ 2 (β γ + δ )] = δ (γ β ) 2β 2γ +2 δ = δ γ +β β γ + δ = 0 () ΝΜ = 0 Ν Μ οι διαγώνιοι διχοτοµούνται άρα είναι παραλληλόγραµµο.

10 0 8. ίνονται τα σηµεία, και. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σηµείο Μ το διάνυσµα Μ 5Μ +2Μ είναι σταθερό. Με σηµείο αναφοράς το, ορίζουµε τα σηµεία και θεωρώντας τα διανύσµατα = β και = γ. β Μ γ Μ 5Μ +2Μ = ( Μ ) 5( Μ ) + 2 ( Μ ) = Μ 5β + 5Μ + 2γ 2Μ = 2γ 5β που είναι σταθερό 9. Στο διπλανό σχήµα το είναι τραπέζιο µε () = 2(), το ΚΛ παραλληλόγραµµο και το Ι µέσο του. Να αποδείξετε ότι (i) Κ = Κ και Κ = Κ 2 2 Ι Κ (ii) τα σηµεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά. (i) Τα τρίγωνα Κ, Κ είναι όµοια Κ Κ = Κ Κ = = 2 (Κ )= 2 (Κ) και (Κ) = 2 (Κ) Κ = Κ και 2 Λ Κ = Κ 2 (ii) ΚΙ = ( Κ +Κ ) = ( Κ 2 Κ ) = ( Κ +Κ ) = ΚΛ 4 4 ΚΙ ΚΛ Ι, Κ, Λ συνευθειακά.