Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ"

Transcript

1 Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr

2

3 Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0 0 K x, y και ακτίνα ρ Ένα σημείο επιπέδου ανήκει στον κύκλο C αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Κ απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: MK x x y y x x y y () Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές K x, y και ακτίνα ρ επαληθεύουν την εξίσωση () Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο 0 0 έχει εξίσωση: x x y y 0 0 Για παράδειγμα ο κύκλος με κέντρο το σημείο K,5 και ακτίνα έχει εξίσωση: x y 5 9 Ειδικά αν το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή Ο των αξόνων, η εξίσωση του κύκλου είναι: x y Η εξίσωση x y x By 0 Αν στην εξίσωση () κάνουμε τις πράξεις προκύπτει: x x x x y y y y 0 x y x x y y x y 0, δηλαδή η εξίσωση του κύκλου παίρνει τη μορφή x y x By 0 () με x, y και x y Αντιστρόφως τώρα Η εξίσωση x y x By 0 γίνεται: B B x x y y x x y y A B A B x y Αν A B 0 η εξίσωση () παριστάνει κύκλο με κέντρο, A B Αν A B 0 η εξίσωση () παριστάνει το σημείο, Αν A B 0 η εξίσωση () είναι αδύνατη Δηλαδή: και ακτίνα Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x y x By 0 με A B 0 και αντιστρόφως

4 Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου Έστω κύκλος C: x y και ένα σημείο του x, y Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM με τον άξονα x x, τότε οι συντεταγμένες των σημείων Μ ικανοποιούν τις εξισώσεις: x και y, 0, Εξίσωση εφαπτομένης κύκλου Έστω κύκλος C: x y και ένα σημείο του x, y Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι ένα σημείο x, y ανήκει στην εφαπτομένη ε του κύκλου στο Α, αν και μόνο αν OA AM Τα διανύσματα OA, AM έχουν αντίστοιχα συντεταγμένες x, y και x x, y y, οπότε: OA AM OA AM 0 x x x y y y 0 xx x yy y 0 xx yy x y () Επειδή το σημείο Α ανήκει στον κύκλο, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση του, δηλαδή: x y, οπότε η () γίνεται: xx yy Για παράδειγμα η εφαπτομένη του κύκλου εξίσωση: x y 5 x y 5 στο σημείο του, έχει Μεθοδολογία ασκήσεων Λυμένες Ασκήσεις Εύρεση κύκλου Αν ο κύκλος έχει κέντρο Κ και διέρχεται από σημείο Α, τότε η ακτίνα του είναι: Αν ο κύκλος έχει κέντρο Κ και εφάπτεται σε ευθεία ε, τότε d, Κύκλος που διέρχεται από τρία σημεία Α,Β,Γ ος τρόπος Βρίσκουμε τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων, δύο χορδών που σχηματίζουν τα σημεία αυτά Η λύση του συστήματος των, είναι οι συντεταγμένες του κέντρου Κ και η ακτίνα του είναι: ος τρόπος Υποθέτουμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x y Kx y 0 και απαιτούμε να επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των Α,Β,Γ Λύνουμε του σύστημα που προκύπτει με αγνώστους τα Κ,Λ,Μ και στη συνέχεια βρίσκουμε κέντρο και ακτίνα

5 Κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΑΒ Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε οι συντεταγμένες του είναι: x A x B ya yb x K και yk Για την ακτίνα του κύκλου ισχύει ότι: AB KA KB Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και α) διέρχεται από το σημείο A, β) εφάπτεται στην ευθεία ε: x y 5 0 α) Για την ακτίνα ρ του ζητούμενου κύκλου ισχύει: OA 9, οπότε ο κύκλος έχει εξίσωση: x y 9 β) Για την ακτίνα ρ του ζητούμενου κύκλου ισχύει: d, x y 5 5 Ο κύκλος έχει εξίσωση: Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των κύκλων C : x y x 0 και C : x y y 0 Η κοινή χορδή των δύο κύκλων έχει ως άκρα τα κοινά σημεία των δύο κύκλων Από το σύστημα των εξισώσεων των δύο κύκλων έχουμε: x y x 0 x y x x y x x x x 0 x y y 0 x y y x y x y x x 0 xx 0 x 0 ή x, άρα κοινά x y x y x y A, σημεία είναι τα O0,0 και Επειδή η ΟΑ είναι διάμετρος του ζητούμενου κύκλου, το κέντρο του Κ είναι το μέσο του ΟΑ, άρα: xo x A yo ya x K και yk, δηλαδή K, Η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου είναι:, οπότε η εξίσωση του x y κύκλου που έχει διάμετρο την ΟΑ είναι: Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Ο κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία A, και B,5 β) Ο κύκλος διέρχεται από τα σημεία E,, Z, στην ευθεία ε : y x και έχει το κέντρο του

6 α) Επειδή το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου, το κέντρο του Κ θα είναι το μέσο του ΑΒ Είναι: x A x B ya yb 5 x K και yk, άρα K, Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει: KA 5, οπότε η εξίσωση του κύκλου είναι: x y 5 5 β) Επειδή το Κ ισαπέχει από τα Ε,Ζ βρίσκεται στη μεσοκάθετο μ του ΕΖ Για το μέσο Μ του ΕΖ έχουμε: x E x Z ye yz x M και ym, άρα M, Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΕΖ είναι: EZ Είναι EZ y x y x Η ευθεία μ έχει εξίσωση Επειδή το κέντρο Κ του κύκλου βρίσκεται στις ευθείες ε, μ, οι συντεταγμένες του είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεών τους, y x x x x x x x y x y x y x y x y Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει: εξίσωση του κύκλου είναι:, άρα K, KE 0, οπότε η x y 0 0 Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές τα A, 7 B,, 8 σημεία, και ος τρόπος Επειδή το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ισαπέχει από τα Α, Β, Γ, είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ Για το μέσο Δ του ΑΒ έχουμε: x x y y 7 x και y 5, άρα, 5 Για το μέσο Ε του ΑΓ έχουμε: x x A y ya x και y, άρα, Έστω, οι μεσοκάθετοι των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα 7 Είναι και

7 Η έχει εξίσωση: y 5 x y x 8 7 Είναι και 5 Η έχει εξίσωση: y x y x 9 Από το σύστημα των, έχουμε: y x y x y x y x y y x 9 x 9 x 6x 8 x 8 5x 0 x άρα το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες, 7 5, οπότε ο κύκλος Για την ακτίνα ρ του κύκλου έχουμε: έχει εξίσωση: x y 5 ος τρόπος Έστω x y x y 0 η εξίσωση του κύκλου Επειδή διέρχεται από τα Α,Β,Γ ισχύει: () 0 8 () () Από το σύστημα των (), (), () προκύπτει, 6 και, οπότε: C : x y x 6y 0 x y 5 5 Δίνονται τα σημεία A,, B, και, α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο β) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ α) Είναι και άρα 90 ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α και το τρίγωνο β) Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει διάμετρο την ΒΓ αφού η γωνία Α είναι ορθή, είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το μέσο του ΒΓ, άρα: x x 5 y y x K και yk, άρα, Για την ακτίνα ρ του κύκλου έχουμε: 5 5 0, άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: x y 5

8 6 Δίνονται τα σημεία A, και B,0 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β και η διάμετρός του ισούται με τα 5/ της χορδής ΑΒ Επειδή η διάμετρος του κύκλου είναι τα 5/ της ΑΒ, έχουμε: Επειδή x x η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στον x x και έχει εξίσωση x Αν Μ το μέσο του ΑΒ, τότε: xm και ya yb 0 ym, άρα M, K x, y το κέντρο του κύκλου, τότε επειδή το απόστημα ΚΜ είναι κάθετο στη χορδή Αν 0 0 ΑΒ, η ευθεία ΚΜ θα είναι παράλληλη στον x x και επειδή y M, η ΚΜ έχει εξίσωση y, οπότε και y0 0 0 KA x 0 x 6 00 Είναι x 0 6 x0 8, άρα x 0 0 0, ή 6, x 0 y 00 ή ή x 0 6 οπότε το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες, οπότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση: x 6 y 00 7 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο, και αποκόπτει από την ευθεία ε : x y 0 χορδή με μήκος 8 Έστω Μ το μέσο της χορδής Για το απόστημα ΚΜ ισχύει ότι: 5 dk, 5 Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΜΑ έχουμε: 5 5 Ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση x y 5 8 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία 5,0,, το κέντρο του απέχει από την ευθεία ε : x y 0 απόσταση ίση με 5 και Έστω ότι το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες x 0, y 0 Έστω Μ το μέσο του ΑΒ, τότε: x A x B 5 ya yb 0 x M και ym, άρα M, Έστω η μεσοκάθετος του ΑΒ 0 Είναι AB και 5 6

9 Η έχει εξίσωση y x y x Επειδή το κέντρο Κ βρίσκεται στην ισχύει ότι: y0 x0 () Παρατήρηση: Στην ίδια εξίσωση θα μπορούσαμε να καταλήξουμε αν αντί για την απαίτηση το KA KB Κ να βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ χρησιμοποιούσαμε τη σχέση Είναι x y x y d K, x 0 y0 5 x0 y0 5 x 0 y 0 5 x 0 y 0 ή x0 y0 5 x0 y0 9 Για τις συντεταγμένες του Κ δημιουργούνται δύο συστήματα: y0 x0 y0 x0 y0 y0 x0 άρα, x0 y0 x0 x0 x0 ή x0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 6 x0 y0 9 x x 0 x0 9 x Αν,, τότε 5 άρα 6, εξίσωση του κύκλου είναι: x y 9 Αν 6,, τότε κύκλου είναι: και η και η εξίσωση του x 6 y 0 Κύκλος με εξίσωση x y Ax By Γ 0 Για να είναι εξίσωση κύκλου αποδεικνύουμε ότι A B 0 A B Το κέντρο του έχει συντεταγμένες, και η ακτίνα του είναι C : x y x y 0 x y Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου για κάθε β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου C γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C διέρχονται από δύο σταθερά σημεία των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες x y x y 0 x y 0 0 α) x y x y 0 x y x y x y

10 Το τριώνυμο 5 έχει 0 6 0, οπότε 5 0 για κάθε, άρα 0 και η C είναι εξίσωση κύκλου για κάθε x, y το κέντρο του κύκλου, τότε: x0, y0, δηλαδή, Είναι: y0 y0 y0, τότε από τη σχέση x 0 x y x 6y β) Αν Κ 0 0 προκύπτει: x0 6y0 0 0 x0 y0 5 0 Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση x y 5 0, ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου Κ είναι η ευθεία ε με εξίσωση x y 5 0 γ) Για 0 είναι C : x y x y 0 0 () και για είναι C : x y x y 0 0 () Από () - () έχουμε: x y 0 x y 0 0 x y 0 0 y 0 x Τότε η () γίνεται: x 0 x x 0 x 0 0 x 00 60x 9x x 0 x 0 0 0x 50x 0 0 x 5x 0 x ή x Αν x τότε y 0 7 και A,7, ενώ αν x τότε y 0 και B, Δύο από τους κύκλους C τέμνονται στα σημεία Α και Β που ισχύει Είναι και ισχύει, δηλαδή οι συντεταγμένες των Α,Β επαληθεύουν όλους τους κύκλους C άρα τα Α, Β είναι τα δύο σταθερά σημεία από τα οποία διέρχονται όλοι οι κύκλοι C 0α) Δίνεται η εξίσωση x x y y 5 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του β) Σε τοπογραφικό σχεδιάγραμμα με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy, τα A,, B,,,5,5 παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων σημεία δήμων Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος που να διέρχεται από τους δήμους γ) Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος β οι συντεταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t 0 t,t, να βρείτε αν η είναι γραμμή στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία; α) x x y y 5 0 x x x y 5y y 5 0 x x y 8y 8 x x y 8y x y Η δοθείσα εξίσωση είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο, και ακτίνα 8

11 β) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ επαληθεύουν την αρχική εξίσωση, οπότε τα σημεία αυτά ανήκουν στο κύκλο C και επομένως υπάρχει κυκλικός περιφερειακός δρόμος που διέρχεται και από τους δήμους γ) Είναι xk t και yk t xk Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y x, το Κ κινείται επί της ευθείας ε: y x Για να βρούμε τα κοινά σημεία των ε, C λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους: y x y x x x y y 5 0 x x x x 5 0 y x y x y x x x x x 0 x x 0 x ή x Αν x τότε y, ενώ αν x τότε y 5 Επομένως, η πορεία του αυτοκινήτου συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο C στα σημεία, και,5 α) Δίνεται η εξίσωση x y 6x 8y 0,, Να δείξετε ότι υπάρχει τιμή των μ, λ, που η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο β) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει: 0 i Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x y 6x 8y 0 () για τις διάφορες τιμές των μ, λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντιστοίχου κύκλου με την ευθεία x y 0, να ισχύει OA OB 0 iii Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ α) Είναι A B 6 6 0, οπότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα x y 6x 8y 0 () Επειδή οι συντεταγμένες του Ο επαληθεύουν την (), ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων β)i Για τις συντεταγμένες του κέντρου Κ ισχύει: xk και yk Όμως 0, άρα x K x K, yk και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: xk yk 0 yk xk Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y x, τα κέντρα Κ των κύκλων της () βρίσκονται επί της ευθείας y x που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii 0 90 Επειδή το Ο είναι σημείο του κύκλου και η γωνία ΑΟΒ είναι ορθή, θα είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου Αυτό συμβαίνει όταν η 9

12 ευθεία x y 0 διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, άρα όταν οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή: 0 Είναι 0 0 iii Η βάση του τριγώνου ΟΑΒ έχει μήκος: Για το ύψος υ του τριγώνου που αντιστοιχεί στην ΑΒ ισχύει: 0 0 do, Είναι OAB AB 5 0 Δίνεται η εξίσωση x y x y 0, 0 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β) Αν, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο, γ) Να αποδείξετε ότι, για τις διάφορες τιμές του θ, τα κέντρα των παραπάνω κύκλων 0,0 και ακτίνα βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο α) Είναι A B A B 8 0, οπότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο, C : x y x y 0 A B 8 ακτίνα και β) Για είναι 0,, οπότε το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες 0, Η ευθεία ΚΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης: 0 Επειδή η εφαπτομένη ε του κύκλου στο Μ είναι κάθετη στην ΚΜ, ισχύει ότι: y x y x Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: γ) Είναι x K, yk και x yk Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση x y, τα κέντρα των κύκλων C βρίσκονται επί του κύκλου x y 0

13 Εφαπτομένη κύκλου x y ρ Η εφαπτομένη του κύκλου C: x Για να βρούμε εφαπτομένη ε του C σε άγνωστο σημείο που είναι παράλληλη κάθετη σε ευθεία θα κάνουμε τα εξής: Θα θεωρούμε σημείο x, y του κύκλου, οπότε x y () Είναι ή () Από το σύστημα των (),() θα υπολογίζονται τα x, y οπότε και η εφαπτομένη Αν ζητείται εφαπτομένη του,, τότε: Επειδή η ε διέρχεται από το Α, ισχύει ότι: x y () Από το σύστημα των (), () θα υπολογίζονται τα x, y οπότε και η εφαπτομένη x x y y 0 0 Για να βρούμε την εφαπτομέ x, y χρειαζόμαστε τον συντελεστή διεύθυνσης της ε Είναι: Η ε έχει εξίσωση: y y y στο σημείο του x, y έχει εξίσωση: ε: xx yy υ C που διέρχεται από σημείο 0 0 ένη ε του κύκλου C: x x y y x x KM σε ευθεία ή στο σημείο του Κύκλος που εφάπτεται στους άξονες Αν ο κύκλος εφάπτεται στον Αν ο κύκλος εφάπτεται άξονα x x, τότε y0 και η στον άξονα y y, τότε εξίσωση του κύκλου είναι x 0 και η εξίσωση του της μορφής: κύκλου είναι της μορφής: x x y y y x x y y x Αν ο κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες, τότε y x και η εξίσωση 0 0 του κύκλου είναι της μορφής: x y Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου παράλληλες στην ευθεία ε: x y 0 C : x y που είναι ος τρόπος A x, y Έστω σημείο του κύκλου Τότε x y ()

14 Η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση: xx yy με x συντελεστή διεύθυνσης y Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ε ισχύει ότι: x x y () y Από τις (),() έχουμε: x x x x 6 x Αν x τότε από τη σχέση () προκύπτει y και η εφαπτομένη έχει εξίσωση: x y x y 8 Αν x τότε από τη σχέση () προκύπτει y x y x y 8 και η εφαπτομένη έχει εξίσωση: ος τρόπος Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ε με, θα έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε η εξίσωσή της θα είναι της μορφής y x x y 0 Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει: 0 0 do, Οι ζητούμενες εφαπτομένες έχουν εξισώσεις x y 8 0 και x y 8 0 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου σημείο του A7, x y 6x 8y 0 x 6x 9 y 8y x y 5 5 Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 Είναι KA Επειδή η εφαπτομένη ε του C στο Α 7 είναι κάθετη στη ΚΑ, ισχύει ότι: KA Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: y x 7 y x 8 x y 5 0 C : x y 6x 8y 0 στο 5Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παραπάνω περιπτώσεις: α) Ο κύκλος έχει ακτίνα, εφάπτεται στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο 5, β) Ο κύκλος έχει κέντρο, και εφάπτεται στον άξονα y y γ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο, και εφάπτεται των αξόνων

15 α) Επειδή ο κύκλος εφάπτεται του άξονα x x και διέρχεται 5,, θα βρίσκεται πάνω από τον x x από το σημείο Οπότε, αν x, y 0 0 είναι το κέντρο του κύκλου, θα είναι y0 0 Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x είναι: y y 0 0 Είναι x0 5 x0 5, άρα C : x 9 y 6 ή C : x y 6 x0 5 x0 9 ή x 0 5 x 0 K 9, ή,, οπότε β) Επειδή ο κύκλος εφάπτεται του y y και έχει κέντρο K, ισχύει ότι και η εξίσωσή του είναι: x y 9 γ) Επειδή ο κύκλος έχει κέντρο το K, και εφάπτεται στους άξονες, ισχύει ότι και έχει εξίσωση: x y 6Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου παράλληλες στην ευθεία ε: y x ος τρόπος A x, y Έστω σημείο του κύκλου Είναι x y 5 () Η εφαπτομένη του κύκλου στο Α έχει εξίσωση : xx yy 5 x με συντελεστή διεύθυνσης y x Είναι / / x y () y Από τις (),() έχουμε: C : x y 5 που είναι 9 y y 5 y y 5 9y 6y y 6 5 y 6 Αν y τότε από τη () προκύπτει x και η εφαπτομένη είναι η x y 5 Αν y τότε από τη () προκύπτει x και η εφαπτομένη είναι η x y 5 ος τρόπος Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ε έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, οπότε η εξίσωσή της είναι της μορφής: y x x y 0

16 0 0 5 Είναι do, Άρα : x y 0 x y 5 0 ή x y 0 x y 5 0 7Δίνεται ο κύκλος C : x y 0 A 6, και το σημείο α) Να αποδείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό του κύκλου C β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α γ) Αν Β,Γ είναι τα σημεία επαφής των προηγούμενων εφαπτομένων με το κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ α) Η απόσταση του Α από το κέντρο Ο του κύκλου, είναι: OA 6 0 0, οπότε το Α είναι εξωτερικό σημείο του C β) Έστω x, y σημείο του κύκλου, τότε: x y 5 () Η εφαπτομένη του κύκλου στο Β έχει εξίσωση : xx yy 5 Για να διέρχεται η από το Α, πρέπει: 6x y 0 y 0 x () Από τις (), () έχουμε: x 0 x 0 x 00 60x 9x 0 0x 60x 80 0 x 6x 8 0 x ή x Αν x τότε από y x y 0 x y 0 Αν x τότε από y x y 0 x y 0, άρα,, άρα, και η εφαπτομένη είναι η και η εφαπτομένη είναι η γ) Είναι AB 6,,, A 6, 0,0 det, Είναι det, 0 και 8Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο A, C : x y x y 0 x x y y 6 x y Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα Οι ευθείες ε που διέρχονται από το Α έχουν εξίσωση: x y x x y 0 ή C : x y x y 0

17 Αν ε: x d K,, άρα η x δεν είναι εφαπτομένη του κύκλου, τότε Αν ε: x y 0, τότε: d, ή Αν 0 η εφαπτομένη έχει εξίσωση: 0 x y 0 y και αν έχει εξίσωση: x y 0 x y 6 0 x y 0 0 η εφαπτομένη 9Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C : x y x y 0 που είναι παράλληλες στην ευθεία : y x Οι ευθείες που είναι παράλληλες στην ε είναι της μορφής: : y x x y 0 C : x y x y 0 x x y y x y 5 Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 Για να εφάπτεται ο κύκλος στην ευθεία πρέπει: d K, ή Οι ζητούμενες εφαπτόμενες είναι οι ευθείες y x και y x 0 0Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου είναι κάθετη στην ευθεία ε: x y 0 C : x y x y 7 0 x y 5 x x y y 5 Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 5 C : x y x y 7 0 που Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης Αν είναι η εφαπτομένη του κύκλου που είναι κάθετη στην ε, τότε: και η έχει εξίσωση της μορφής: y x x y 0 Είναι dk, 5 5 5

18 9 5 5 ή Άρα : x y 0 x y 0 ή x y 0 x y 9 0 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες : x y 0 και : x y 7 0 και διέρχεται από το σημείο 6, 5 Παρατηρούμε ότι η ευθεία : y x έχει και η ευθεία : y x 7 έχει, δηλαδή / / Έστω ότι ο κύκλος εφάπτεται στις, στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα Επειδή, και / /, τα σημεία Β,Κ,Γ είναι συνευθειακά, οπότε η απόσταση των παραλλήλων d, είναι η διάμετρος του κύκλου Είναι d, Έστω ότι το κέντρο Κ έχει συντεταγμένες x 0, y 0 Επειδή το Κ ισαπέχει από τις, έχουμε: x0 y0 x0 y0 7 dk, dk, x0 y0 x0 y0 7 x0 y0 x0 y0 7 αδύνατο ή x y x y 7 x y 0 y x 7 () Είναι KA x 6 y 5 5 x 6 x x0 6 x0 0 x0 6 x x 6 x x 6 0 x 6 x 6 x0 0 ή x 0 Αν x0 0 τότε από την () προκύπτει y0 0 7 και ο κύκλος έχει εξίσωση: x 0 y 0, ενώ αν x0 από την () προκύπτει y0 7 και ο κύκλος έχει εξίσωση: x y 0 Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες : x y 0, : x y 9 0 και έχουν ακτίνα ίση με 0 Έστω x, y το κέντρο του κύκλου Είναι 0 0 x y 0 0 d K, 0 6

19 x 0 y 0 0 x y x0 y0 0 x0 y0 ή x 0 9 y 0 x0 y0 9 Επίσης dk, 0 x0 y0 9 0 x0 y x0 y0 9 0 x 0 y 0 ή x0 y0 9 Για τα x 0, y 0 σχηματίζονται τέσσερα συστήματα: x0 y0 x0 y0 x0 : x0 y0 9y0 y0 y0 έχει εξίσωση: x y 0, άρα, και ο κύκλος 9 7 x0 x0 y0 x0 y 0 7 : άρα x0 y0 9 9y0 y0 9, y0 και ο 7 κύκλος έχει εξίσωση: x y 0 x0 9 x0 9 y0 x0 9 y 0 7 : άρα x0 y0 7 9y0 y0 7, και ο κύκλος y0 7 έχει εξίσωση: x y 0 x0 9 y0 x0 9 y0 x0 9 6 : x0 y y0 y0 9 y0 κύκλος έχει εξίσωση: x 6 y 0 άρα 6, και ο Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους άξονες x x, y y και στην ευθεία ε : x y 0 και βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο Έστω x, y 0 0 το κέντρο του κύκλου Επειδή ο κύκλος βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο είναι x 0, y0 0 Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες, το τετράπλευρο ΟΑΚΒ είναι τετράγωνο πλευράς ρ, οπότε x0 y0 Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία ε, ισχύει ότι: 7 d, \ ή 7 5 Επομένως οι κύκλοι που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις έχουν εξισώσεις: 7

20 x y και x y Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας ε : x y 5 0 A, στο σημείο Έστω Κ το κέντρο του κύκλου Επειδή η ΚΑ είναι ακτίνα του κύκλου, ισχύει ότι KA y x y x 5 Η ευθεία ΚΑ έχει εξίσωση: Επειδή το Κ ισαπέχει από τα Ο και Α βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΟΑ Αν Μ το μέσο του ΟΑ, τότε: xo x A yo ya x M και ym, άρα M, 0 Είναι OA και αν μ η μεσοκάθετος του ΟΑ, ισχύει ότι: 0 OA Η μεσοκάθετη μ έχει εξίσωση: y x y x 5 (Να σημειώσουμε ότι η ίδια εξίσωση θα μπορούσε να βρεθεί και από τη σχέση: OK OA ) Οι συντεταγμένες του κέντρου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ΚΑ, μ Είναι: y x 5 x 5 x 5 5x 0 x, άρα K, y x 5 y x 5 y x 5 y 5 Για την ακτίνα του κύκλου, έχουμε: 5, άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: x y 5 5Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τον κύκλο C : x y Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα Έστω,0 σημείο του άξονα x x Οι ευθείες που διέρχονται από το Μ έχουν εξίσωση: x ή y x x y 0 Αν η εφαπτομένη έχει εξίσωση x, τότε η κάθετη της στο Μ είναι ο άξονας x x που δεν εφάπτεται στο κύκλο Αν ε: x y 0, τότε: d K, 8

21 () Η () έχει δύο λύσεις, που είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των κάθετων εφαπτόμενων που άγονται από το Μ προς τον κύκλο, οπότε Όμως από τους τύπους τουvietta είναι:, άρα , 7 6,0 οπότε 6Δίνεται η εξίσωση x y x 6 y (), α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται το κέντρο του κύκλου γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που αντιπροσωπεύονται από την (), εφάπτονται σε δύο ευθείες, οι οποίες και να βρεθούν α) x y x 6y x y Η () παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα x x y y 5 6 y β) Είναι y και y x x 6 y x y 6 0 Άρα το κέντρο Κ βρίσκεται στην ευθεία : x y 6 0 γ) Επειδή το κέντρο του κύκλου κινείται στην ευθεία : x y 6 0 και η ακτίνα του είναι σταθερή και ίση με, ο κύκλος θα εφάπτεται σε δύο παράλληλες ευθείες d, d, στις οποίες η ε είναι μεσοπαράλληλη με x y 6 Αν x, y σημείο μιας εκ των,, τότε: dm, x y 6 x y 6 0 x y x y 6 0 x y 6 0 ή x y 6 0 x y 0 Άρα οι, έχουν εξισώσεις x y 6 0 και x y 0 9

22 Σχετική θέση σημείου ως προς κύκλο Σημείο εσωτερικό κύκλου Σημείο που ανήκει σε κύκλο Σημείο εξωτερικό κύκλου Ένα σημείο Α βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (Κ,ρ) αν και μόνο αν Ένα σημείο Α ανήκει στον κύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν Ένα σημείο Α βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου (Κ,ρ) αν και μόνο αν Σχετική θέση ευθείας ως προς κύκλο Η ευθεία τέμνει τον κύκλο Η ευθεία εφάπτεται του κύκλου Η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου Μια ευθεία ε τέμνει έναν κύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν d, Μια ευθεία ε εφάπτεται σε κύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν d, Μια ευθεία ε είναι εξωτερική κύκλο (Κ,ρ) αν και μόνο αν d, 7Δίνεται ο κύκλος C : x y y 0 M, και το σημείο α) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το Μ α) Είναι x y y 0 x y y 5 x y 5 Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K0, και ακτίνα 5 Η απόσταση του Μ από το Κ είναι: βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου 0 5 5, οπότε το Μ β) Έστω ΑΒ η χορδή του κύκλου που έχει μέσο το Μ Τότε το ΚΜ είναι απόστημα της χορδής, οπότε Είναι και 0 Η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση: y x y 8 x x y 9 0 8Δίνεται η ευθεία ε: 8x 6y 0 οι τιμές του C : x y Να βρεθούν και ο κύκλος για τις οποίες η ε εφάπτεται του C 0

23 Ο κύκλος έχει κέντρο, και ακτίνα 8 6 d, ή 0 0 Η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου αν και μόνο αν 9Δίνεται ο κύκλος C : x x y y 0 και μια μεταβλητή ευθεία ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τον τέμνει στα σημεία Α και Β Να βρείτε την ε αν γνωρίζετε ότι: α) Η χορδή ΑΒ έχει μήκος β) Το τρίγωνο ΑΚΒ έχει εμβαδό ίσο με / τμ, όπου Κ το κέντρο του κύκλου α) C : x x y y 0 x y 5 Ο κύκλος C έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 Αν Μ το μέσο της χορδής, τότε και το ΚΜ είναι απόστημα της χορδής Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΚΜ έχουμε: 5, δηλαδή d, Επειδή η ευθεία ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα είναι της μορφής y x x y 0 ή x 0 Αν ε: x 0 τότε Αν ε: x y 0 d, απορρίπτεται, τότε: d, 0 0 ή Άρα ε: y 0 ή 0 y x β) Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το Ο (επαληθεύεται) το Α ή το Β θα ταυτίζεται με το Ο Έστω ότι το Β ταυτίζεται με το Ο, τότε το τρίγωνο είναι το ΟΚΑ Αν η ε είναι η x 0, η εξίσωση του C γίνεται: y y 0 y y 0 y 0 ή y A 0, Είναι, άρα 0 OA 0,, OK,, det OA,OK οπότε OKA det OA,OK, οπότε η ε δεν μπορεί να είναι η x 0 Αν ε: y x τότε από το σύστημα των ε,c βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κοινών και A, OK,, OA,, σημείων τους Είναι O0,0 Είναι

24 det OA,OK OKA det OA, OK 6, οπότε ή 7 ή ή 7 Άρα η ε έχει εξίσωση: y x ή y 7x ή y x ή y x 7 6 0Δίνεται ο κύκλος C : x y x y 0 και η ευθεία ε: x y 0 α) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η ευθεία τέμνει τον κύκλο β) Αν η ε ορίζει στο κύκλο χορδή ΑΒ, να βρεθεί ο για τον οποίο το τρίγωνο ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να είναι ορθογώνιο στο Ο α) ος τρόπος Η ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν το σύστημα των εξισώσεων τους έχει δύο λύσεις Είναι: x y x y 0 y y y y 0 x y y y y y y 0 y y 0 Η τελευταία εξίσωση είναι ου βαθμού και έχει δύο λύσεις, άρα: ος τρόπος C : x y x y 0 x x y y x y Ο κύκλος έχει κέντρο, Η ευθεία τέμνει τον κύκλο όταν d, και ακτίνα β) Παρατηρούμε ότι το Ο είναι σημείο του κύκλου(τον επαληθεύει), οπότε για να είναι 90, θα πρέπει να είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, άρα η ΑΒ να είναι διάμετρος του κύκλου Τότε το Κ είναι σημείο της ε, οπότε 0

25 Σχετική θέση κύκλων κοινές εφαπτόμενες κύκλων Κοινά σημεία Σχήμα Συνθήκη Παρατηρήσεις α) Οι κοινές εφαπτόμενες τέμνονται επί της διακεντρικής ευθείας R R β) Η διακεντρική ευθεία ΚΛ διχοτομεί τη γωνία των εφαπτομένων, δηλαδή καθώς και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής Εξωτερικά εφαπτόμενοι Εσωτερικά εφαπτόμενοι R R α) Έχουν κοινές εφαπτόμενες, εξωτερικές και μία εσωτερική Τα σημεία τομής τους βρίσκονται επί της διακεντρικής ευθείας β) Η διακεντρική ευθεία ΚΛ διχοτομεί τη γωνία των εφαπτομένων, δηλαδή καθώς και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής α) Οι κύκλοι δέχονται κοινή εφαπτομένη β) Το σημείο επαφής τους βρίσκεται επί της διακεντρικής ευθείας Δεν έχουν κοινές εφαπτομένες R 0 R Οι κύκλοι δέχονται κοινές εφαπτόμενες, εσωτερικές και εξωτερικές

26 Να βρείτε τη σχετική θέ x x y 0 x x y x y, οπότε έχει κέντρο,0 Είναι και ακτίνα και R κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά έση των κύκλων Ο κύκλος C έχει κέντρο K, 0 και ακτίνα R Για το κύκλο C έχουμε: C : x y και C : x x y 0, δηλαδή R οπότε οι Δίνονται οι κύκλοι C : βρείτε τις τιμές του 0 x y 9 και C : x y Οι δύο κύκλοι τέμνονται ότα για τις οποίες οι δύο κύκλοι τέμνονται ή ή Ο κύκλος C έχει κέντρο K, και ακτίνα R ενώ ο κύκλος C έχει κέ και ακτίνα Η απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων είναι: R R 5 αν Να έντρο, Με συναλήθευση προκύπτει ι ότι,,8 Δίνονται οι κύκλοι C : x y και C : (x )(y ) 6 α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενών τους γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα y y και εφάπτεται στους κύκλου C,C α) Ο κύκλος C έχει κέντρο 0,0 και ακτίνα, ενώ ο κύκλος C έχει κ και ακτίνα Η απόσταση των κέντρων τ, οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά Επειδή 5 υς των δύο κύκλων είναι: 0 0 κέντρο K, 5

27 β) Έστω ε: y x κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων Τότε: 0 0 d, d, Από την εξίσωση, προκύπτει ότι: ή 5 - Αν, τότε η σχέση () γίνεται: και η εφαπτομένη είναι η ευθεία : y x - Αν, τότε η σχέση () γίνεται: και και, 5 5 οπότε η εφαπτομένη είναι η ευθεία : y x Οι δύο κύκλοι ενδέχεται να δέχονται ως κοινή εφαπτομένη και κάποια κατακόρυφη ευθεία Ο κύκλος C δέχεται ως εφαπτόμενες τις κατακόρυφες ευθείες x x, ενώ ο κύκλος C τις x x 8 Άρα η x είναι η τρίτη κοινή εφαπτομένη των κύκλων C,C γ) Έστω 0, y 0 και ακτίνα Για να εφάπτεται ο C στους C,C, πρέπει: y0 y ή y 0 y0 9 y0 - Αν y0 C, ο ζητούμενος κύκλος, με κέντρο 5 0 0, τότε και 0 C : x 8 y Αν y0 7 8 y, οπότε ο κύκλος είναι: 7 7, τότε που είναι αδύνατο

28 Να βρείτε την εξίσωση κύκλου C που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο C : x y και στους θετικούς ημιάξονες Ο κύκλος C έχει κέντρο κύκλος C έχει κέντρο x, y K, και ακτίνα Έστω ότι ο 0 0 και ακτίνα ρ Επειδή ο C εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες ισχύει ότι: x0 y0, Επειδή οι κύκλοι C, C εφάπτονται εξωτερικά, ισχύει ότι: K () Επειδή x 0 x είναι οπότε η () γίνεται:, δηλαδή 6 6 Ο κύκλος C έχει εξίσωση: x 6 y 6 6 5Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο στο σημείο A0, και διέρχεται από το σημείο C : x y Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτόμενής τους Ο κύκλος C έχει κέντρο K, Έστω x, y 0 0 και ακτίνα το κέντρο του ζητούμενου κύκλου C Η ευθεία ΚΑ έχει εξίσωση: y x y x 0 Επειδή το σημείο επαφής Α βρίσκεται στη διακεντρική ευθεία ΚΛ οι συντεταγμένες του Λ ικανοποιούν την ΚΑ, δηλαδή: y0 x0 () Επειδή ο κύκλος C διέρχεται από τα σημεία Α και Β, ισχύει ότι: x y x y x 0 y 0 y x 0 0 8y 6 y 0 y 0 και y 0 0 από την () x0 x0, δηλαδή, Είναι, οπότε ο κύκλος C έχει εξίσωση: x y B 0, Η κοινή εφαπτόμενη ε των δύο κύκλων είναι κάθετη στη ΚΑ, άρα Η ε έχει εξίσωση: y x 0 y x 6

29 6Με διαμέτρους τις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλια Να αποδειχθεί ότι τα δύο ημικύκλια τέμνονται επί της υποτείνουσας ΒΓ Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων όπου η αρχή Ο των αξόνων συμπίπτει με κορυφή Α και οι άξονες είναι φορείς των ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα Έστω ότι τα σημεία Β, Γ έχουν συντεταγμένες 0, και,0 αντίστοιχα Αν Κ το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου ΑΒ τότε οι συντεταγμένες του είναι 0, και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι Αν Λ το κέντρο του ημικυκλίου με διάμετρο την ΑΓ, τότε οι συντεταγμένες του είναι,0 και η ακτίνα του ημικυκλίου είναι Το ημικύκλιο C κέντρου Κ έχει εξίσωση: x y x y y Το ημικύκλιο C κέντρου Λ έχει εξίσωση: 7 x y y 0 () x y x x y x x y 0 () Για το σημείο τομής Δ των δύο ημικυκλίων έχουμε: x y y 0 y x 0 y x και από τη σχέση () προκύπτει: x x y 0 x x x x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x 0 ή x Αν x 0 τότε είναι y 0 0 και τα ημικύκλια τέμνονται στο Α Αν x τότε y, Είναι,, και,, και τα ημικύκλια τέμνονται στο, άρα τα det, 0 / / σημεία Β,Δ,Γ είναι συνευθειακά

30 7Δίνονται δύο κύκλοι που διέρχονται από το σημείο,, τα κέντρα τους βρίσκονται στην ευθεία y x και εφάπτονται στον άξονα x x Να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των δύο κύκλων β) Την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτόμενης α) Έστω Kx 0, y0 το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του Επειδή ο κύκλος διέρχεται από το σημείο Μ και εφάπτεται στον άξονα x x, θα βρίσκεται πάνω από τον x x, οπότε y 0 0 Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x x είναι y0 Επειδή το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην ευθεία y x είναι y0 x0 x0 () 0 0 Είναι x y Αν ή , τότε 0,5 και, τότε 0,0 και Αν 0 C : x 0 y 5 5 C : x 0 y 0 00 β) Επειδή ο άξονας x x (που εφάπτεται των δύο κύκλων) και η διάκεντρος ΟΚ τέμνονται στο Ο, η άλλη εφαπτομένη των κύκλων C,C θα διέρχεται από το Ο Έστω ε: y x x y 0 η άλλη κοινή εφαπτόμενη Τότε: 0 5 dk, 5 5 5, οπότε ε: y x 8

31 Μέγιστη και ελάχιστη απόσταση κύκλου από σημείο ευθεία κύκλο MK dc, dk, dc,c K min min min MK dc,c K d M,C d M,C max max 8Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A,0 από τον κύκλο C : x y 6x 6y 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που προσφέρουν αυτές τις αποστάσεις C : x y 6x 6y 0 x 6x 9 y 6y x y 6 Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα Η απόσταση του Α από το κέντρο του κύκλου είναι: 5 Η ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από τον κύκλο είναι η ΑΒ και το σημείο του κύκλου d A,C AB AK 5 που την προσφέρει είναι το Β Είναι Η μέγιστη απόσταση του Α από τον κύκλο είναι η ΑΓ και ζητούμενο σημείο του κύκλου d A,C A AK 5 9 είναι το Γ Είναι max min Τα σημεία Β και Γ θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ΑΚ και C 0 Είναι και η εξίσωση της ΑΚ είναι: y 0 x y x και x y 6 x x 6 y x y x 9 9 x x 6 x x 6 x x 6 6 y x y x y x x 6 x x x ή x y x y x y x y x 7 7 Αν x, τότε y, δηλαδή, και αν x, τότε y, δηλαδή 5 5, 5 5 9

32 Από το σχήμα παρατηρούμε ότι x x, άρα 7, 5 5 και, 5 5 9Να βρεθεί σημείο Μ του κύκλου C : x y x 6y 8 0 που η απόστασή του από την ευθεία ε: x y 0 είναι ελάχιστη C : x y x 6y 8 0 x x y 6y x y 5 Ο κύκλος έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 Είναι d, εξωτερική του κύκλου Το σημείο Μ είναι το σημείο τομής της κάθετης που άγεται από το Κ προς την ε, με τον κύκλος C, γιατί για κάθε άλλο σημείο Ν του κύκλου, ισχύει: άρα η ευθεία είναι Είναι και Η ΚΑ έχει εξίσωση: y x y x Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι η μία από τις δύο λύσεις του συστήματος των ΚΑ, C x y 5 x 5 x x 5 Είναι: y x y x y x x x x 5 x 5 x x 0 y x y x y x 5 x 0 x x x ή x 0 y x y x y x y x Στο σχήμα παρατηρούμε ότι xm xk άρα x M 0 και τότε ym 0 M 0,, άρα 0Δίνεται ο κύκλος C : x y 6x 8 0 και η ευθεία : y x α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη απόσταση α) C : x y 6x 8 0 x 6x 9 y x y Ο κύκλος έχει κέντρο K,0 και ακτίνα Η ευθεία ε γράφεται: y x x y 0 0

33 0 dk, KA, οπότε η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου β) Η ελάχιστη απόσταση τους είναι η ΑΒ με d, γ) Είναι και η ΚΒ έχει εξίσωση: y 0 x y x Για το σημείο Α, έχουμε: x y x x x x y x y x y x y x x x y x y x Επειδή x A x K, είναι xk και yk xk, άρα A, y y x y x Για το σημείο Β, έχουμε:, άρα B y x x x, x Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των κύκλων C : x y x y 0 και C : x y 8x y 0 0 καθώς και τα σημεία τους που δίνουν αυτές τις αποστάσεις Είναι C : x y x y 0 Ο κύκλος x x y y x y C έχει κέντρο K, και ακτίνα Είναι C : x y 8x y 0 0 x 8x 6 y y 9 5 x y 7 5 Ο κύκλος 7 0 Είναι C έχει κέντρο,7 Επειδή, ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου Η ελάχιστη απόσταση των δύο κύκλων είναι η ΒΓ και η μέγιστη η ΑΔ d C,C και Είναι min d C,C 6 max και ακτίνα 5

34 7 Η ΚΛ έχει συντελεστή διεύθυνσης: και η εξίσωση της ΚΛ είναι: y x y x Για να βρούμε τα σημεία Α και Β θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των C, x y x x Είναι: y x y x x x x x x x y x y x y x y x x x y x y x Αν x, τότε y και ένα σημείο τομής είναι το,, ενώ για x, τότε y και ένα σημείο τομής είναι το,, Επειδή x B x K, είναι B, και A, Λύνοντας όμοια το σύστημα των C,, προκύπτει: 5 5,7 και 5 5,7 Κύκλοι που διέρχονται από σταθερό σημείο Αν δίνεται παραμετρική εξίσωση κύκλου και θέλουμε να αποδείξουμε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε τιμή της παραμέτρου, τότε έχουμε δύο επιλογές: Μετατρέπουμε την αρχική εξίσωση σε εξίσωση πολυωνυμικής μορφής ως προς την παράμετρο Στη συνέχεια απαιτούμε το πολυώνυμο να είναι το μηδενικό, δηλαδή οι αντίστοιχοι συντελεστές να είναι ίσοι με το μηδέν Η λύση του συστήματος που θα προκύψει είναι οι συντεταγμένες του σταθερού σημείου Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο από τους κύκλους που αντιπροσωπεύει η αρχική εξίσωση Έστω Mx, y η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων Αν οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την αρχική εξίσωση τότε το Μ είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο (Η μεθοδολογία αυτή είναι ίδια με την αντίστοιχη της ευθείας) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κύκλο για κάθε x y x y 0 παριστάνει ο οποίος διέρχεται από σταθερό σημείο Είναι

35 Επειδή 0 και 0, είναι 0 για κάθε, οπότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο, και ακτίνα Για η εξίσωση γίνεται: C : x y y 0 () και για 0 : C : x y x 0 () y x 0 y x και με αντικατάσταση στη () προκύπτει: Από x x x 0 x x 0 x ή x Για x είναι y, επαληθεύει την αρχική εξίσωση για κάθε και επειδή το σημείο, είναι το ζητούμενο Για x είναι y και επειδή το σημείο, δεν επαληθεύει την αρχική εξίσωση για κάθε απορρίπτεται Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 8 μυρμήγκια Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n =,,,,8 και κινείται επάνω στο επίπεδο Oxy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση: x y nx y Να δείξετε ότι: α) Η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του β) Κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α (που είναι η φωλιά τους) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του Α; γ) Οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας x y 0 στο σημείο Α α) x y n x y x x y nx ny n 0 x y n x ny n 0 () Είναι A B n n n n 8n n 8n A B 8n 0, οπότε η () είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο n n K, ή Kn,n και ακτίνα 8n n n β) Για n για n : x είναι η () γίνεται: C : x y x y 0 () και C : x y 6x y 5 0 y () x y x y 6x y 5 0 x y 0 y x και με αντικατάσταση στη (), έχουμε: x x x x 0 x x x x x 0 x 0 x 0 και y 0 Δύο από τους κύκλους της () διέρχονται από το σημείο A,0, για να διέρχονται όλοι οι κύκλοι της () από το Α πρέπει: 0 n n 0 n 0 n n 0 ισχύει γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι το Α είναι σημείο και του κύκλου και της ευθείας ε, αφού

36 επαληθεύει τις εξισώσεις τους Για να εφάπτεται η ευθεία ε: x y 0 στο κύκλο πρέπει n n n d K, n n n n που ισχύει Έστω Α, Β σημεία των ημιαξόνων Ox, Oy, αντίστοιχα, τέτοια ώστε: OA OB Να αποδειχθεί ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο διαφορετικό της αρχής Ο των αξόνων Έστω ότι το Α έχει συντεταγμένες,0, 0, τότε και το σημείο Β έχει συντεταγμένες 0, με 0 Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, το κέντρο Κ του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι το μέσο Κ της ΑΒ Για τις συντεταγμένες του Κ, ισχύει: x x y y x και y, δηλαδή, Η ακτίνα ρ του κύκλου είναι: Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ έχει εξίσωση: 8 6 x y 8 6 x y x x y y 8 6 x x y 6y y x y x y 6y 0 x y x y 0 Αν () x η () γίνεται: y x y x y 0 () και αν : x y x x y x y 0 () y x y 0 x y και η () γίνεται: x x x x 0 x x 0 x x 0 x 0 ή x Αν x 0 τότε y 0 και αν x τότε y Δύο από τους κύκλους της () διέρχονται από τα σημεία O0,0 και που ισχύει Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΟΑΒ διέρχεται από το σημείο M, M, Για να διέρχονται όλοι οι κύκλοι της () από το Μ πρέπει: 5Δίνεται ο κύκλος και το σημείο,, C : x y Έστω Β και Γ τα σημεία επαφής των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από το Α Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο Έστω ότι τα σημεία Β, Γ έχουν συντεταγμένες x, y και x, y αντίστοιχα

37 Οι εφαπτομένες του κύκλου στα Β, Γ έχουν εξισώσεις: xx yy και xx yy αντίστοιχα Επειδή διέρχονται από το Α ισχύει ότι: x y και x y Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των Β,Γ επαληθεύουν την εξίσωση: x y, οπότε αυτή είναι η εξίσωση της ευθείας ΒΓ (από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία) Για 0 είναι x x και για είναι x x y y 0 Δύο από τις ευθείες ΒΓ διέρχονται από το σημείο M,0, για να διέρχονται όλες από το σημείο αυτό πρέπει: 0 ισχύει Άρα η ΒΓ διέρχεται από το σταθερό σημείο Μ Γεωμετρικοί τόποι - Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός παραμετρικού σημείου Mf,g x f, y g θέτουμε και προσπαθούμε να απαλείψουμε την παράμετρο λ Αν δεν είναι δυνατή η επίλυση μιας από τις παραπάνω ως προς λ, προσπαθούμε με άλλους τρόπους να συνδυάσουμε τις δύο σχέσεις με σκοπό την απαλοιφή του λ M f,g όπου τα κ, λ επαληθεύουν μια - Αν το παραμετρικό σημείο είναι της μορφής άλλη σχέση τότε θέτουμε x f και y g, λύνουμε ως προς κ και λ και αντικαθιστούμε στη σχέση που επαληθεύουν - Ο γεωμετρικός τόπος σημείων που «βλέπουν» υπό ορθή γωνία ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ 6α) Αν το σημείο,,, κινείται στον κύκλο γεωμετρικός τόπος του σημείου, β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του,, α) Επειδή το Α είναι σημείο του κύκλου C, ισχύει ότι: 6 () Είναι x x και y y Η σχέση () γίνεται: x y 6 C : x y 6, να βρεθεί ο Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση x y 6, ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ο κύκλος με κέντρο, και ακτίνα 6 x β) Είναι x x και y y y y Για κάθε ισχύει ότι x y x y x y Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο, και ακτίνα x y, ο 5

38 7Να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται το σημείο τομής των ευθειών : x y και : x y x y Για το σημείο τομής των ευθειών, θα λύσουμε το σύστημα Σ: των x y εξισώσεών τους Είναι D 0, Dx και Dy Dx Dy Το Σ έχει μοναδική λύση x, y D D Το σημείο τομής των, είναι το,, Είναι x x x και y y Με πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε: Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση x y, το σημείο Μ βρίσκεται επί του μοναδιαίου κύκλου 8Δίνονται τα σημεία, και, σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι 90 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των Επειδή η γωνία ΑΜΒ είναι ορθή, είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα ΑΒ Το κέντρο Κ του κύκλου αυτού είναι το μέσο του ΑΒ, οπότε: x x y y x K και yk, άρα, 5 και η Η ακτίνα του κύκλου είναι: εξίσωσή του είναι: x y 5 5 9Δίνονται τα σημεία,,, και, Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα Α, Β, Γ είναι σταθερό και ίσο με Έστω x, y Είναι 6

39 x x y x y x y x y y x x x x y 8y x x y 6y y 6y 9 x x y 8y 6 76 x x y y x y Ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο K, και ακτίνα Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών του κύκλου C : x y x 8y 0 που άγονται από την αρχή των αξόνων x y 5 C : x y 6x 8y 0 x 6x 9 y 8y Ο κύκλος C έχει κέντρο K, και ακτίνα 5 Επειδή οι συντεταγμένες του Ο επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου, το Ο είναι σημείο του Έστω ΟΑ μια χορδή του και x, y το μέσο της Το ΚΜ είναι απόστημα της χορδής, άρα 90 Παρατηρούμε ότι η ΟΚ φαίνεται από το Μ υπό ορθή γωνία, άρα ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με διάμετρο την ΟΚ Το κέντρο του είναι το μέσο Λ του ΟΚ με συντεταγμένες: xo x yo y x και y, δηλαδή, και η ακτίνα του είναι Η εξίσωσή του είναι: x y 5Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τον κύκλο C : x y Έστω ΜΑ, ΜΒ οι εφαπτόμενες που άγονται από το Μ προς τον κύκλο C Είναι MA MB,, και οπότε το τετράπλευρο ΟΑΜΒ είναι τετράγωνο Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΜΒ ισχύει: Επειδή το Μ βρίσκεται σε σταθερή απόσταση από το Ο, ο γεωμετρικός τόπος του είναι κύκλος με κέντρο το Ο και ακτίνα 7

40 5Δίνεται ο κύκλος C : x y, Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής Μ των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από το 6,8 σημείο Έστω x, y Η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ είναι η ευθεία ε: Επειδή το Μ είναι σημείο του κύκλου, ισχύει ότι: x y () xx yy Επειδή η ε διέρχεται από το σημείο Α, ισχύει ότι: 6x 8y () Από τις (),() έχουμε: x y 6x 8y x 6x y 8y 0 x 6x 9 y 8y x y 5 Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος με κέντρο, και ακτίνα 5 x y 5, ο 8

41 Εξάσκηση Εύρεση κύκλου 5Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με K, και ακτίνα ίση με β) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο γ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K, και διέρχεται από το σημείο A,7 δ) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K, και εφάπτεται στην ευθεία ε: x y 7 0 5Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη διάκεντρο των κύκλων C : x y x 0 και C : x 6x y y Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που η διάμετρός του είναι η κοινή χορδή των κύκλων C : x y 8x 0 και C : x y y 0 56Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A,, B, και, 57Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία A,, B, διάμετρός του έχει εξίσωση y x και μία 58Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K, και αποκόπτει από την ευθεία 7 y x χορδή με μήκος 59Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K, ευθεία ε : x 5y 8 στα σημεία Α, Β, έτσι ώστε AB 6 και τέμνει την 60Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία A,, B, αποκόπτει από την ευθεία ε: x y 0 τμήμα μήκους 8 και 6Δίνονται τα σημεία A, και B, Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β και η ακτίνα του είναι ίση με τα / της χορδής ΑΒ Κύκλος με εξίσωση x y Ax By Γ 0 x y x 5x y 0 6Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι είναι εξίσωση κύκλου για κάθε β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του κύκλου C γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C διέρχονται από δύο σταθερά σημεία των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες 6Δίνεται η εξίσωση: x y y 0,, 0, 9

42 α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει εξίσωση κύκλου, για κάθε και 0, βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των προηγούμενων κύκλων 6Δίνεται η εξίσωση: x y x y 0 α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο, για κάθε και την ακτίνα β) Να βρείτε το λ, ώστε ο προηγούμενος κύκλος: i να έχει ακτίνα ίση με 0 ii να διέρχεται από το σημείο A, και να του οποίου να βρείτε το κέντρο 65Δίνεται η εξίσωση: x y x y 0 α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο, για κάθε, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των προηγούμενων κύκλων Σχετική θέση σημείου ή ευθείας ως προς κύκλο 66Δίνεται ο κύκλος C : x y 6x y 0 A, α) Να αποδείξετε ότι το Α βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το σημείο Α και το σημείο 67Δίνεται η ευθεία ε: y x και ο κύκλος θέση για τις διάφορες τιμές του C : x y Να βρείτε τη σχετική τους 9 68Δίνεται η ευθεία ε: x y 0 και ο κύκλος τιμές του για τις οποίες η ευθεία εφάπτεται του κύκλου C : x y 5 Να βρεθούν οι 69 Δίνεται τραπέζιο με κορυφές τα σημεία O0,0, 0,8,,8 και 8,0 ότι ο κύκλος με διάμετρο ΒΓ εφάπτεται στην ΟΑ 70Δίνονται τα σημεία, και, ΑΒ εφάπτεται στον άξονα x x όταν 7 Να βρείτε σημείο Μ του κύκλου ευθεία ε: y x είναι ελάχιστη Να δείξετε Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο την C : x y x 0 που η απόστασή του από την 7Δίνεται ο κύκλος C : x y x y 0 και η ευθεία ε: x y 0 α) Να βρείτε τα για τα οποία η ευθεία τέμνει τον κύκλο β) Αν ΑΒ η χορδή που ορίζει η ε στον C, να βρείτε το λ για το οποίο 90 0

43 Σχετική θέση δύο κύκλων 7Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : x y y 6 0 και C : x y x 0 7Δίνονται οι κύκλοι C : x y 6y 0 και C : x y 6x 0 α) Να αποδείξετε ότι οι C, C τέμνονται β) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής τους γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής τους και τα κέντρα τους ορίζουν τετράγωνο 75Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο K, εσωτερικά του κύκλου C : x y 6 και εφάπτεται C : 76Δίνονται οι κύκλοι x y 5 και C : x y 6 Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου ώστε οι κύκλοι: α) Να εφάπτονται εσωτερικά β) Να εφάπτονται εξωτερικά γ) Να τέμνονται C : και 77Δίνονται οι κύκλοι x y C : x y 8 α) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά β) Να βρείτε την κοινή τους εφαπτομένη C : και 78Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι x y 6 C : x y 9 εφάπτονται εξωτερικά και να βρείτε την εξίσωση της κοινής τους εσωτερικής εφαπτομένης 79Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων C : x y C : x y και Εφαπτομένη κύκλου 80Δίνεται ο κύκλος C : x y 5 Να βρείτε: α) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του, β) τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία ε: y x γ) τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι κάθετες στην ευθεία ε: y x δ) τις εφαπτομένες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο B5,0 8Να βρείτε τη γωνία των εφαπτομένων του κύκλου σημείο A, 7 C : x y 5 που διέρχονται από το 8Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις: K, και εφάπτεται στους άξονες α) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο β) Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο K, και εφάπτεται στον άξονα y y γ) Ο κύκλος έχει κέντρο K, 5 και εφάπτεται στον άξονα x x

44 8Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου x y x y 0 και εφάπτεται στην ευθεία y x 8Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου είναι παράλληλες στην ευθεία ε: x y 6 0 C : x y 0 που 85Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου είναι κάθετες στην ευθεία ε: x y 0 C : x y 5 που 86Δίνεται ο κύκλος C : x y x y 0 A, Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α και το σημείο 87Δίνεται ο κύκλος C : x y και το σημείο εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Μ 88Δίνεται ο κύκλος C : x y 7 9 και το σημείο M, Να βρείτε τις εξισώσεις των A, α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α β) Να βρείτε τη γωνία των εφαπτομένων C : x y x y 0 και το σημείο M, α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο K, 89Δίνεται η εξίσωση ακτίνα β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Μ γ) Αν Α,Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ 90 Δίνεται ο κύκλος C : x y 6 και το σημείο, Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται από το Μ προς τον κύκλο έχει μήκος 6 9Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου C : x y 0 που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με εμβαδό 5/ τμ και 9Να βρείτε σημείο του άξονα y y από το οποίο άγονται προς τον κύκλο εφαπτόμενες, που σχηματίζουν γωνία 60 C : x y 9Να βρείτε σημείο του κύκλου C : x y με θετικές συντεταγμένες στο οποίο η εφαπτομένη σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο 9Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x από το οποίο άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τον κύκλο C : x y 0 95α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο στο σημείο A0, και διέρχεται από το σημείο C : x y β) Να βρείτε την κοινή εσωτερική εφαπτόμενη των C,C 96α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που έχει κέντρο το σημείο K, M 0, και

45 αποκόπτει από την ευθεία ε: x y 0 χορδή μήκους 8 β) Να βρείτε τον συμμετρικό του κύκλου C ως προς την ε γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων των δύο κύκλων 97Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζει η ευθεία ε: x y 6 0 με τους άξονες 98Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες : y x και : y x 8, όταν το σημείο επαφής με την είναι το M0, 99Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις ευθείες : y x και : y x 8 και διέρχονται από το σημείο M,0 00 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες : x y 0, : x y 5 0, έχει ακτίνα 5 και το κέντρο του βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο Μέγιστη και ελάχιστη απόσταση κύκλου από σημείο ευθεία κύκλο 0 Δίνονται τα σημεία A, και B,5 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ είναι C : x y 5 β) Να βρείτε τον συμμετρικό κύκλο του C ως προς την αρχή Ο των αξόνων γ) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση των δύο κύκλων 0 Δίνεται η ευθεία : x y 5 0 A, α) Αν βρείτε τη εξίσωση του κύκλου C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ε στο Α και το σημείο της β) Έστω ελάχιστη και τη μέγιστη αντίστοιχα απόσταση από το σημείο M0,5 C : x y 5 Να βρείτε τα σημεία Β,Γ του κύκλου που έχουν την 0 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A,0 από τον κύκλο C : x y 6x 6y 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που προσφέρουν αυτές τις αποστάσεις 0 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των κύκλων C : x y x y 0 και C : x y 8x y 0 0 καθώς και τα σημεία τους που δίνουν αυτές τις αποστάσεις 05 Δίνεται ο κύκλος C : x y 6x 8 0 και η ευθεία : y x α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη απόσταση 06 Δίνεται ο κύκλος C : x y και η ευθεία : x y 5 α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση y y ε Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου y ρ στο σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε:

ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε: ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. Έχω: d(k, ε 1 ) = d(k, ε ) = (ΟΚ) = ρ α =, β =, ρ = α =, β =, ρ = οπότε: C 1 : (x

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 03-03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΒΓ=ΑΓ ΑΒ ΑΜ= ΑΒ+ΑΓ ( ) u= x i+ y j= ( x, y) u = x + y y λ =, x 0 u x Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, όταν α) Α(2, 5), Β(1, -3) β) Α(-3, -5), Β(-5, 7) γ) Α(0, 4), Β(2, -6). 2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Κύκλος Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyks.gr 1 3 / 1 1 / 2 0 1 6 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις και τεχνικές σε 5 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 89 Οµάδας. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, 3 ) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πράξεις διανυσμάτων Πρόσθεση Αφαίρεση Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες διανύσματος με (x 1, y1) (x, y ) (x x, y y ) 1 Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Διαβάστε περισσότερα