Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης
|
|
- ŌἈμφίων Σαμαράς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης
2 Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή γλώσσας προγραμματισμού 3. Κωδικοποίηση του αλγορίθμου 4. Εκτέλεση του προγράμματος Πρόβλημα νοημοσύνης 1. Προσδιορισμός απαιτούμενης γνώσης 2. Επιλογή γλώσσας αναπαράστασης γνώσης 3. Κωδικοποίηση της γνώσης του προβλήματος 4. Δημιουργία νέας γνώσης
3 Λογική Η λογική είναι μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation) Ύπαρξη διαφόρων λογικών: Προτασιακή λογική Κατηγορηματίκή λογική Λογική πρώτης τάξεως (Propositional logic) (Predicate logic) (First order logic) Σύνταξη (syntax) και σημασιολογία (semantics) στη λογική Το βήμα 4 της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων νοημοσύνης είναι θέμα αναζήτησης.
4 Προτασιακή Λογική Π1: Αν κάνει ζέστη και έχει υγρασία, τότε θα βρέξει Π2: Αν έχει υγρασία, τότε κάνει ζέστη Π3: Έχει υγρασία Π4: Θα βρέξει P: Κάνει ζέστη Q: Έχει υγρασία R: Θα βρέξει Π1: P Q R Π2: Q P Π3: Q Π4: R Πώς είναι δυνατόν η Π4 να παραχθεί αυτόματα από τις Π1, Π2 και Π3;
5 Λογική πρώτης τάξης Π1: Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος Π2: Κάθε άνθρωπος είναι θνητός Π3: Ο Σωκράτης είναι θνητός P(x): O x είναι άνθρωπος Q(x): O x είναι θνητός Π1: P(Σωκράτης) Π2: (x) (P(x) Q(x)) Π3: Q(Σωκράτης) Πώς είναι δυνατόν η Π3 να παραχθεί αυτόματα από τις Π1 και Π2;
6 Προτασιακή Λογική Στην κλασική λογική υπάρχουν δύο τιμές αλήθειας (truth values), το αληθές (true, T) και το ψευδές (false, F). Στην προτασιακή λογική χρησιμοποιούνται σύμβολα (π.χ. P, Q,...) που ονομάζονται άτομα (atoms) και τα οποία παριστάνουν προτάσεις (propositions) που μπορεί να είναι αληθείς ή ψευδείς σε δεδομένη κατάσταση του περιβάλλοντος κόσμου. Οι καλοσχηματισμένοι τύποι (well-formed formulas) στην προτασιακή λογική είναι είτε απλά άτομα είτε σύνθετοι τύποι που προκύπτουν από το συνδυασμό απλών ατόμων μέσω των λογικών συνδέσμων (logical connections),,,,
7 Προτασιακή Λογική Στην προτασιακή λογική κάθε γεγονός του πραγματικού κόσμου αναπαριστάται με μια λογική πρόταση, χαρακτηρίζεται είτε ως αληθής (T-true) ή ως ψευδής (F-false) Οι λογικές προτάσεις (άτομα -atoms) αναπαριστώνται συνήθως από λατινικούς χαρακτήρες. Συνδυάζονται με τη χρήση λογικών συμβόλων ή συνδετικών (connectives). Σύμβολο Ονομασία / Επεξήγηση σύζευξη (λογικό "ΚΑΙ") διάζευξη (λογικό "Η") άρνηση συνεπαγωγή ("ΕΑΝ ΤΟΤΕ") διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία ("ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ"). Τρία σημεία στίξης Δύο Παρενθέσεις "(", ")" και το κόμμα ", " Ορθά δομημένοι τύποι (well formed formulas).
8 Συνδετικά και Σημασία Σύμβολο Ονομασία / Επεξήγηση σύζευξη (λογικό "ΚΑΙ") διάζευξη (λογικό "Η") άρνηση συνεπαγωγή ("ΕΑΝ ΤΟΤΕ") διπλή συνεπαγωγή ή ισοδυναμία ("ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ"). Παράδειγμα P: "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής" Q: "Ο Νίκος έχει Υπολογιστή" P Q: Εάν "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής", τότε "Ο Νίκος έχει Υπολογιστή" R: "Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο" V: "Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει όλες τις πλευρές του ίσες" R V: "Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο" αν και μόνο αν "Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει όλες τις πλευρές του ίσες"
9 Παραδείγματα Χρήσης Συνδετικών Αναπαράσταση της ακόλουθης γνώσης με προτασιακή λογική: 1 η πρόταση: "επιδιώκω την ειρήνη" 2 η πρόταση: "αποφεύγω πόλεμο" 3 η πρόταση: "εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω πόλεμο Σε κάθε πρόταση αντιστοιχεί ένας λατινικός χαρακτήρας. P: "επιδιώκω την ειρήνη" Q: "αποφεύγω τον πόλεμο Η 3 η πρόταση αναπαριστάται με την χρήση του συνδετικού της συνεπαγωγής: P Q "εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω τον πόλεμο"
10 Προτασιακή Λογική - Συντακτικό Τα σύμβολα της προτασιακής λογικής (ΠΛ) είναι: Ένα σύνολο Ρ προτασιακών συμβόλων P, Q Τα λογικά συνδετικά,,,, Παρενθέσεις (, ) Η παρακάτω BNF γραμματική ορίζει τις καλά σχηματισμένες προτάσεις (well-formed sentences) της ΠΛ Πρόταση Ατομική Πρόταση Περίπλοκη Πρόταση ΑτομικήΠρόταση P Q... ΠερίπλοκηΠρόταση (Πρόταση) Πρόταση Πρόταση υαδικόσυνδετικό Πρόταση υαδικόσυνδετικό
11 Προτασιακή Λογική - Σημασιολογία Ένα προτασιακό σύμβολο μπορεί να σημαίνει οτιδήποτε θέλουμε. ηλαδή η ερμηνεία του μπορεί να είναι οποιοδήποτε γεγονός ή έννοια του πραγματικού κόσμου Το γεγονός αυτό θα είναι είτε αληθές είτε ψευδές στον πραγματικό κόσμο Τι ακριβώς είναι η ερμηνεία? Ας θεωρήσουμε ένα σύνολο Ρ προτασιακών συμβόλων. Μια ερμηνεία (interpretation) του Ρ είναι μια αντιστοίχιση Ι : Ρ {true, false} Η έννοια της ερμηνείας μπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε καλά σχηματισμένη πρόταση χρησιμοποιώντας τη συνήθη ερμηνεία των λογικών συνδετικών
12 Σημασιολογία της Προτασιακής Λογικής Αντιστοιχεί μία τιμή αληθείας (αληθές T ή ψευδές F) σ' έναν τύπο, βασισμένη σε μια ερμηνεία της γλώσσας. Μια ερμηνεία (interpretation) αντιστοιχεί τιμές αληθείας στα άτομα, και επεκτείνεται σε σύνθετους τύπους με χρήση ενός πίνακα αληθείας (truth table). P Q P P Q P Q P Q P Q T T F T T T T T F F T F F F F T T T F T F F F T F F T T Έστω η ερμηνεία Ι={I(P)=T,I(Q)=T}. Σύμφωνα με αυτή την ερμηνεία και τον πίνακα αλήθειας ο τύπος P Q είναι αληθής. Ο τύπος P Q ικανοποιείται από την ερμηνεία I. Τότε λέμε οτι η ερμηνεία αυτή αποτελεί Μοντέλο (model) του τύπου.
13 Ενδιαφέρουσες Περιπτώσεις Τύπων Ταυτολογία (tautology): αληθής κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. P P. Εάν ο τύπος F είναι ταυτολογία τότε γράφεται F. Αντίφαση (contradiction):ψευδής κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. P P. Ένας τύπος P συνεπάγεται λογικά (implication) από τον τύπο Q εάν κάθε μοντέλο του Q είναι επίσης και μοντέλο του P. Η περίπτωση συμβολίζεται ως Q P. (Παράδειγμα R T R T). Δύο τύποι P και Q ονομάζονται ισοδύναμοι (equivalent) εάν οι πίνακες αλήθειας τους είναι οι ίδιοι κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. Η λογική ισοδυναμία ορίζεται με το σύμβολο, πχ. P Q. (Παράδειγμα R T R T).
14 Ορισμοί σε σύνολα τύπων Ένα σύνολο τύπων S ονομάζεται ταυτολογία: κάθε ερμηνεία του συνόλου S ικανοποιεί κάθε τύπο του S. ικανοποιήσιμο (satisfiable): υπάρχει μια τουλάχιστον ερμηνεία που να ικανοποιεί όλους τους τύπους του S, μη-ικανοποιήσιμο (unsatisfiable) ή αντίφαση: δεν υπάρχει δυνατή ερμηνεία που να ικανοποιεί όλους τους τύπους του S. Μια πρόταση P λογικά συνεπάγεται (implication ή entailment) από ένα σύνολο S όταν κάθε ερμηνεία η οποία ικανοποιεί το S ικανοποιεί επίσης και το P και συμβολίζεται με S P. Δυο σύνολα προτάσεων S και F ονομάζονται λογικά ισοδύναμα εάν S F και F S. (Δηλαδή έχουν ακριβώς τα ίδια μοντέλα)
15 Ορισμοί σε σύνολα τύπων Διαφορά της λογικής ισοδυναμίας και του συνδετικού της ισοδυναμίας Η λογική ισοδυναμία ( ) αφορά τη σημασιολογία των υπό εξέταση προτάσεων. Το συνδετικό της ισοδυναμίας ( ) αποτελεί μέρος της σύνταξης της γλώσσας. Το ίδιο ισχύει για τη λογική συνεπαγωγή ( ) και το συνδετικό της συνεπαγωγής ( ). Παράδειγμα: P: "επιδιώκω την ειρήνη" Q: "αποφεύγω τον πόλεμο" P Q "εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω τον πόλεμο Έστω η ερμηνεία I={I(P)=t, I(Q)=t}. Τότε ο τελευταίος τύπος είναι αληθής. Αντίθετα η δήλωση P Q P Q, δηλώνει ότι κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τον τύπο P Q ικανοποιεί επίσης και τον τύπο P Q.
16 Λογικές Ισοδυναμίες Υπάρχει ένα σύνολο ισοδυναμιών που χρησιμοποιούνται για την μετατροπή μιας πρότασης σε κάποια ισοδύναμή της. Επομένως χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή συμπερασμάτων Οι ισοδυναμίες είναι αληθείς κάτω από οποιαδήποτε ερμηνεία. Ισοδυναμία Ονομασία 1 P P νόμος της διπλής άρνησης 2 ( P Q) (P Q) νόμος De Morgan 3 ( P Q) (P Q) νόμος De Morgan 4 (P Q) R (P R) (Q R) επιμερισμός ως προς την σύζευξη 5 (P Q) R (P R) (Q R) επιμερισμός ως προς την διάζευξη 6 (P Q) P Q Οποιοσδήποτε τύπος της 7 (P Q) (P Q) (Q P) προτασιακής λογικής μπορεί να μετατραπεί σε ένα ισοδύναμο χωρίς την χρήση των συνδετικών της συνεπαγωγής και της Ισοδυναμίας
17 Κανονικές Μορφές Κανονικές μορφές (canonical forms): Μορφές των τύπων της λογικής δεν εμφανίζονται καθόλου κάποια συνδετικά ακολουθούν μια συγκεκριμένη δομή. Π.χ. στη Διαζευκτική και Συζευκτική μορφή της λογικής, χρησιμοποιούνται μόνο τα συνδετικά της σύζευξης, διάζευξης και άρνησης. Κάθε τύπος μπορεί να μετατραπεί σε μια κανονική μορφή, χρησιμοποιώντας: τις ισοδυναμίες για την απαλοιφή των συνδετικών της ισοδυναμίας και συνεπαγωγής την κατάλληλη ομαδοποίηση των ατόμων μέσω των ισοδυναμιών του επιμερισμού Οι κανονικές μορφές της λογικής, είναι χρήσιμες για την εύρεση της λογικής τιμής μιας πολύπλοκης έκφρασης. την εξαγωγή νέας γνώσης.
18 Διαζευκτική και Συζευκτική Κανονική Μορφή της Λογικής Στην διαζευκτική κανονική μορφή της λογικής (disjunctive normal form), οι προτάσεις αποτελούνται από διαζεύξεις τύπων που μπορεί να είναι μόνο: λεκτικά (literals) (άτομα ή αρνήσεις ατόμων) και συζεύξεις λεκτικών Παράδειγμα (Q R S) (V W) (R S)... (X Z) Στην συζευκτική μορφή της λογικής (conjunctive normal form) οι προτάσεις αποτελούνται από συζεύξεις διαζεύξεων, δηλαδή έχουν την μορφή: (Q R S) (V W) (R S)... (X Z)
19 Παράδειγμα Κανονικής Μορφής Έστω η ακόλουθη γνώση εκφρασμένη στη γενική μορφή της προτασιακής λογικής: " επιδιώκω την ειρήνη" ΚΑΙ "εάν επιδιώκω την ειρήνη, τότε αποφεύγω τον πόλεμο Σε συμβολική μορφή: P (P Q) Σε κανονική διαζευκτική μορφή: (P P) (P Q) που διαβάζεται ως: "επιδιώκω την ειρήνη" ΚΑΙ δεν "επιδιώκω την ειρήνη 'Η "επιδιώκω την ειρήνη" ΚΑΙ "αποφεύγω τον πόλεμο Βοηθά στην εύρεση της λογικής τιμής του παραπάνω τύπου. Για την ερμηνεία I={I(P)=T, I(Q)=F} ο τύπος είναι ψευδής. Ο παραπάνω τύπος είναι αληθής μόνο για την ερμηνεία I={I(P)=T, I(Q)=T},
20 Χρήση Κανονικών Μορφών Χρήση των Κανονικών Μορφών Απόδειξη ότι μια συγκεκριμένη λογική έκφραση αποτελεί ταυτολογία. Μετατροπή σε διαζευκτική κανονική μορφή και να απόδειξη ότι μια από τις συζεύξεις αληθεύει πάντα. Εύρεση ερμηνείας που ικανοποιεί ένα τύπο. Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Έστω ένα σύνολο S καλά σχηματισμένων τύπων σε προτασιακή λογική. Η εξαγωγή συμπερασμάτων αφορά: είτε την δημιουργία όλων των τύπων που λογικά συνεπάγονται από το S, ή στο να διαπιστωθεί εάν ένας τύπος P λογικά συνεπάγεται από το S, δηλαδή εάν S P. Η εξαγωγή συμπερασμάτων υλοποιείται είτε με πίνακες αλήθειας ή με την λογική απόδειξη.
21 Κανόνες Εξαγωγής Συμπερασμάτων στην ΠΛ Ένας κανόνας εξαγωγής συμπερασμάτων είναι ένας κανόνας της μορφής α 1, α 2,..., α n = β όπου οι α 1, α 2,..., α n είναι προτάσεις που ονομάζονται συνθήκες (conditions) και η β είναι μια πρόταση που ονομάζεται συμπέρασμα (conclusion) Όποτε έχουμε ένα σύνολο προτάσεων που ταιριάζουν με τις συνθήκες ενός κανόνα τότε μπορούμε να εξάγουμε την πρόταση που είναι το συμπέρασμα του κανόνα
22 Μηχανισμοί Εξαγωγής Συμπερασμάτων Πίνακες αλήθειας (Truth Tables) Απόδειξη (proof) "Τρόπος του θέτειν" (modus ponens): P (P Q) Q (modus ponens) Παράδειγμα P: "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής" PQ:Εάν "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής", τότε "Ο Νίκος έχει Υπολογιστή" Q: "Ο Νίκος έχει Υπολογιστή"
23 Πίνακες Αληθείας Οι πίνακες αλήθειας (truth tables), υπολογίζουν την λογική τιμή ενός τύπου. Ένας τέτοιος πίνακας αποτελείται από 2 Ν γραμμές όπου Ν είναι το πλήθος των ατόμων που περιέχονται στο τύπο. P Q P Q P (P Q) T T T T T F T T F T T T F F F T Απλούστερη μέθοδος εξαγωγής συμπερασμάτων Ογκωδέστατοι πίνακες αλήθειας. Π.χ. Η απόδειξη ενός τύπου που περιέχει 15 άτομα απαιτεί ένα πίνακα αλήθειας 2 15 (32768) γραμμών!
24 Λογική Απόδειξη Μια απόδειξη (proof) είναι μια σειρά από βήματα: Καθένα βήμα είναι η εφαρμογή ενός κανόνα συμπερασμού (rule of inference) Απώτερος σκοπός: παραγωγή της αποδεικτέας πρότασης ή την κατάληξη σε άτοπο. Το γεγονός ότι ένας τύπος P μπορεί να αποδειχθεί από ένα αρχικό σύνολο τύπων S, βάσει ενός συνόλου κανόνων συμπερασμού Δ, συμβολίζεται ως S Δ P. Η χρήση των κανόνων συμπερασμού εξασφαλίζει την ορθότητα των αποτελεσμάτων. Δηλαδή οι νέες προτάσεις που θα δημιουργηθούν σε κάθε βήμα συνεπάγονται λογικά από τις προηγούμενες.
25 Κανόνες Συμπερασμού Κανόνας Συμπερασμού Ονομασία 1 P1 P2... PN Pi απαλοιφή σύζευξης (and elimination) 2 P1, P2,... PN P1 P2... PN εισαγωγή συζεύξεων (and introduction) 3 P1 P1 P2... PN εισαγωγή διαζεύξεων (or introduction) 4 P P απαλοιφή διπλής άρνησης (double negation elimination) 5 P, P Q Q τρόπος του θέτειν (modus ponens) 6 P Q, Q R P R αρχή της ανάλυσης (resolution)
26 Κανόνες Συμπερασμού Οι κανόνες συμπερασμού συνήθως γράφονται σαν "κλάσματα". Π.χ. ο κανόνας της απαλοιφής σύζευξης: Οι κανόνες εφαρμόζονται στο αρχικό σύνολο προτάσεων μέχρι να παραχθεί η προς απόδειξη πρόταση. Ο "τρόπος του θέτειν" (modus ponens). Εάν είναι γνωστή η αλήθεια των προτάσεων P και P Q μπορούμε να συνάγουμε ότι η πρόταση Q είναι αληθής. Από το αρχικό σύνολο προτάσεων: P: "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής" P Q: Εάν "Ο Νίκος είναι προγραμματιστής", τότε "Ο Νίκος έχει υπολογιστή" χρησιμοποιώντας τον modus ponens μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Q: "Ο Νίκος έχει υπολογιστή"
27 Διαδικασία Απόδειξης Μια διαδικασία απόδειξης (proof procedure) αποτελείται από ένα σύνολο κανόνων συμπερασμού Δ και ένα αλγόριθμο εφαρμογής τους. Δύο σημαντικές έννοιες. Ορθότητα της παραγόμενης γνώσης Ικανότητα της διαδικασίας να εξαγάγει όλα τα δυνατά συμπεράσματα. Μια αποδεικτική διαδικασία ονομάζεται ορθή (sound) όταν όλα τα συμπεράσματα που εξάγονται αποτελούν και λογικές συνεπαγωγές του αρχικού συνόλου των τύπων Για κάθε P όπου S ΔP ισχύει και S P. Μια αποδεικτική διαδικασία ονομάζεται πλήρης (complete) όταν για κάθε τύπο P ο οποίος λογικά συνεπάγεται από ένα σύνολο τύπων S, μπορεί να "κατασκευάσει" μια απόδειξη Για κάθε P για το οποίο ισχύει S P ισχύει και το S ΔP. Αυτοματοποίηση της εξαγωγής συμπερασμάτων. Διαδικασία απόδειξης που είναι ορθή, πλήρης αλλά και αποδοτική (efficient).
28 Αρχή της Ανάλυσης Μια διαδικασία ικανή για την αυτοματοποίηση της εξαγωγής συμπερασμάτων βασίζεται στην αρχή της ανάλυσης (resolution) (Robinson 1965). Η αρχή της ανάλυσης είναι ο κανόνας συμπερασμού: P και P: συμπληρωματικά ζεύγη (complementary pairs) R Q: αναλυθέν (resolvent) Για να εφαρμοσθεί η Αρχή της Ανάλυσης, οι προτάσεις θα πρέπει να είναι εκφρασμένες σαν ένα σύνολο διαζεύξεων. πρόταση (clause): Κάθε διάζευξη αποτελείται από άτομα ή αρνήσεις ατόμων. Απαιτείται η μετατροπή όλων των προτάσεων στην συζευκτική μορφή της λογικής. Επιτυγχάνεται με την χρήση ισοδυναμιών.
29 Παραδείγματα Ανάλυσης Έστω οι προτάσεις: εάν "έχει ομίχλη" τότε "υπάρχει κίνδυνος" και εάν "υπάρχει κίνδυνος" τότε "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα" και "έχει ομίχλη Σε συμβολική μορφή: ("έχει ομίχλη" "υπάρχει κίνδυνος") ("υπάρχει κίνδυνος" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα") "έχει ομίχλη«απαλείφεται το συνδετικό της συνεπαγωγής: ( "έχει ομίχλη" "υπάρχει κίνδυνος") ( "υπάρχει κίνδυνος" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα") "έχει ομίχλη"
30 Παραδείγματα Ανάλυσης Συνήθως χρησιμοποιούμε ένα σύνολο προτάσεων (clauses) παραλείποντας το συνδετικό της σύζευξης. (1) { "έχει ομίχλη" "υπάρχει κίνδυνος", (2) "υπάρχει κίνδυνος" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα", (3) "έχει ομίχλη"} Εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης για τις πρώτες δύο προτάσεις (1 και 2). (1) "έχει ομίχλη" "υπάρχει κίνδυνος" (2) "υπάρχει κίνδυνος" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα" (4) "έχει ομίχλη" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα Εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης στις προτάσεις (3) και (4). (3) "έχει ομίχλη" (4) "έχει ομίχλη" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα" (5) "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα"
31 Απόδειξη Βασισμένη στην Αρχή της Ανάλυσης
32 Ορθότητα και Πληρότητα της Αρχής της Ανάλυσης Μια διαδικασία απόδειξης που βασίζεται μόνο στον παραπάνω κανόνα συμπερασμού είναι ορθή. Ο κανόνας της ανάλυσης σε συνδυασμό με την "εις άτοπο απαγωγή" (refutation ή proof by contradiction) είναι πλήρης. Απόδειξη αλήθειας μιας πρότασης: εισαγωγή της άρνησης της αποδεικτέας πρότασης προσπάθεια να καταλήξουμε σε άτοπο με εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης. Το άτοπο εκφράζεται με την κενή πρόταση. Η κενή πρόταση εξάγεται από ένα ζεύγος της μορφής Q Q και συμβολίζεται με Ο κανόνας της ανάλυσης δεν μπορεί να εξαγάγει με απευθείας απόδειξη όλους τους δυνατούς τύπους που λογικά συνεπάγονται από την αρχική γνώση.
33 Παραδείγματα Απαγωγής σε Άτοπο Αν στο προηγούμενο παράδειγμα απαιτούνταν να αποδειχθεί ότι "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα" από το αρχικό σύνολο προτάσεων (1) { "έχει ομίχλη" "υπάρχει κίνδυνος", (2) "υπάρχει κίνδυνος" "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα", (3) "έχει ομίχλη"} εισάγεται η άρνηση της προς απόδειξη πρότασης "απαιτείται χαμηλή ταχύτητα" και εφαρμόζεται ο κανόνας συμπερασμού μέχρι να καταλήξει η διαδικασία σε άτοπο.
34 Απόδειξη Βασισμένη στην εις άτοπο απαγωγή
35 Μοντέλα, Ικανοποίηση, Εγκυρότητα Ας θεωρήσουμε μια πρόταση φ της ΠΛ. Αν Ι είναι μια ερμηνεία τέτοια ώστε Ι(φ) = true τότε λέμε οτι η Ι ικανοποιεί την φ ή οτι η Ι είναι ένα μοντέλο της φ Μια πρόταση φ του ΠΛ είναι ικανοποιήσιμη (satisfiable) αν υπάρχει μια ερμηνεία Ι τέτοια ώστε Ι(φ) = true π.χ. P, P Q, (P R) Q Μια πρόταση φ του ΠΛ είναι μη ικανοποιήσιμη (unsatisfiable) αν δεν υπάρχει καμία ερμηνεία Ι τέτοια ώστε Ι(φ) = true π.χ. P P Μια πρόταση φ του ΠΛ είναι έγκυρη (valid) αν κάθε ερμηνεία Ι ισχύει Ι(φ) = true π.χ. P P
36 Πολυπλοκότητα στην Προτασιακή λογική Θεώρημα: Το πρόβλημα του καθορισμού αν μια πρόταση της ΠΛ είναι ικανοποιήσιμη είναι NP-complete (Cook, 1971) Το πρόβλημα του καθορισμού αν μια πρόταση του ΠΛ είναι έγκυρη είναι co-np-complete Είναι πολύ απίθανο να βρούμε έναν πολυωνυμικό αλγόριθμο για αυτά τα προβλήματα Μια πρόταση της ΠΛ καλείται πρόταση Horn αν είναι της μορφής ή ισοδύναμα P 1 P 2... P n Q P 1 P 2... P n Q Θεώρημα: Αν η φ είναι μια σύζευξη προτάσεων Horn τότε το αν η φ είναι ικανοποιήσιμη μπορεί να βρεθεί σε πολυωνυμικό χρόνο
37 Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα Προτασιακής Λογικής Πλεονεκτήματα της προτασιακής λογικής: Η απλότητα στη σύνταξη Μπορεί να καταλήξει πάντα σε συμπέρασμα (καταληκτική - decidable). Μειονεκτήματα: Έλλειψη γενικότητας. Η προτασιακή λογική υπονοεί ότι ο κόσμος αποτελείται μόνο από γεγονότα τα οποία είναι αληθή ή ψευδή. Καμία δυνατότητα διαχωρισμού και προσπέλασης των οντοτήτων του κόσμου.
Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή
Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική
Διαβάστε περισσότερα9.1 Προτασιακή Λογική
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου
Διαβάστε περισσότερα1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1
1 Κεφάλαιο 9 Λογική 1 Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η μαθηματική λογική (mathematical logic) είναι η συστηματική μελέτη των έγκυρων ισχυρισμών (valid arguments).
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος
Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου
Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές
ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης ναπαράσταση γνώσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα Λέξεις Κλειδιά Μαθηματική Λογική, Προτασιακή Λογική, Κατηγορηματική Λογική, Προτάσεις Horn, Λογικά Προγράμματα Περίληψη Το κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΛογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση
Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Τεχνητή Νοημοσύνη. Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνητή Νοημοσύνη Ενότητα 5: Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Αν. καθηγητής Στεργίου Κωνσταντίνος kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές
ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων
Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη
ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογικοί Πράκτορες Προτασιακή Λογική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς
Διαβάστε περισσότεραΕ ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax
ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Προτασιακή Λογική Propositional Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς
Διαβάστε περισσότεραΚανονικές μορφές - Ορισμοί
HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:
Διαβάστε περισσότεραΓνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος.
Γνώση Η γνώση είναι διαφορετική από τα δεδομένα Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Η γνώση για κάποιο
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά
ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΓνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος.
Γνώση Η γνώση είναι διαφορετική από τα δεδομένα Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Η γνώση για κάποιο
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΥποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).
Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 1ο μέρος σημειώσεων: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Τεχνητή Νοημοσύνη Ι Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Προτασιακή Λογική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας Προτασιακή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΑΣΥΝΕΠΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΣΩ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΣυνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF
Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Βασικά Στοιχεία Λογικής
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικά Στοιχεία Λογικής 2 Η Πριγκίπισσα και το Κάστρο Αν ρώταγα ένα μέλος της φυλής που δεν ανήκεις για το ποιον δρόμο πρέπει να πάρω για το κάστρο τι θα μου έλεγε; Μία πριγκίπισσα
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότερα! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.
Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens
Διαβάστε περισσότεραΓιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική. Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης
Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Γλωσσική επιμέλεια και επιμέλεια διαδραστικού υλικού: Αλέξανδρος Χορταράς Copyright ΣΕΑΒ,
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω εξαγωγές συμπερασμάτων στον προτασιακό λογισμό είναι έγκυρες. α) A B/A Α Β ΑΛΒ Α α α α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ ψ Όπως βλέπουμε, αν η πρόταση A B είναι αληθής, τότε σε
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική
εφάλαιο 1 Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική 1.1 Tυπική αναπαράσταση γνώσης ι φορμαλισμοί τυπικής αναπαράστασης γνώσης και συλλογιστικής χαρακτηρίζονται από τρία βασικά στοιχεία: τη σύνταξη (syntax),
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής
ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική
Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση Γνώσης. Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική. Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης
Αναπαράσταση Γνώσης Αναπαράσταση Γνώσης με Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Αναπαράσταση Γνώσης Σύνολο συντακτικών και σημασιολογικών παραδοχών, οι οποίες καθιστούν δυνατή την περιγραφή ενός
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF
Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 3/3/2016 Κατερίνα Δημητράκη
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 9η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 9η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται εν μέρει στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 7η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 7η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση Γνώσης µε Λογική. Προτασιακή Λογική
Αναπαράσταση Γνώσης µε Λογική Προτασιακή Λογική 1 Αναπαράσταση Γνώσης µε Λογική n Πράκτορες Βασισµένοι στη Γνώση (Knowledge-based agents) n Ένα παράδειγµα: Wumpus world n Γενικά για Λογική n Προτασιακή
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2015 16 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης 11.1 (α) Μετατρέψτε σε κανονική συζευκτική μορφή (CNF)
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Ενότητα 1: Εισαγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. Όταν γράφουμε
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα
Διαβάστε περισσότεραΛογικός Προγραμματισμός
Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)
ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διπλωματική Εργασία Αλγόριθμοι Εύρεσης Φυσικών Αποδείξεων Βουδούρης Αλέξανδρος Ανδρέας Α.Μ. 4417 voudouris@ceid.upatras.gr Eπιβλέπων Καθηγητής Σταύρος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε
Διαβάστε περισσότεραΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012
ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει
Διαβάστε περισσότεραΛογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΠληρότητα της μεθόδου επίλυσης
Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότερα