ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

Transcript

1 ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Ι. Αναγνωστόπουλος Άσκηση. Στο συνηµµένο σχήµα δίνεται το δίκτυο διανοµής νερού στους πέντε ορόφους µιας πολυκατοικίας από µια δεξαµενή στην ταράτσα. Οι ανάγκες σε παροχή κάθε ορόφου εκτιµώνται, µε βάση τις παροχές εγκαταστάσεις, σε 7 µονάδες παροχής, οι οποίες µπορούν να µετατραπούν σε lt/sec µε την κλίµακα µετατροπής που δίνεται στο ίδιο σχήµα. ίνονται επίσης σε πίνακα τα ισοδύναµα µήκη των εντοπισµένων αντιστάσεων της σωλήνωσης, ανάλογα µε την ονοµαστική διάµετρο του σωλήνα που χρησιµοποιείται (πρώτη στήλη του πίνακα). Τέλος, δίνεται το νοµογράφηµα επιλογής ονοµαστικής διαµέτρου για χαλκοσωλήνες. Ζητείται να διαστασιολογηθούν οι σωλήνες του δικτύου µε κριτήριο το µικρότερο δυνατό κόστος, χωρίς όµως η ταχύτητα ροής να υπερβαίνει πουθενά τα m/s. Επίσης, να γίνει η ίδια εργασία µε αναλυτικούς υπολογισµούς των απωλειών πίεσης (χωρίς τη χρήση του νοµογραφήµατος), εκτιµώντας την απόλυτη τραχύτητα της επιφάνειας των (παλαιών) χαλκοσωλήνων, π.χ. ε = 0.0.

2 Παροχή, [lt/sec] Πτώση πίεσης ανά µέτρο µήκους σωλήνα, δh [mσυ/m]

3 Λύση: Η διαστασιολόγηση των σωλήνων γίνεται µε τη σειρά, ξεκινώντας από το σηµείο τροφοδοσίας, που στην περίπτωσή µας είναι η δεξαµενή της οροφής. Τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον Πίνακα που ακολουθεί: lt/s mm mσυ/m m m 6 m 7 mσυ 8 m 9 mσυ 0 mσυ Παρατηρήσεις υποδιαστασ δεκτή δεκτή C δεκτή D δεκτή E δεκτή Στη συνέχεια επεξηγείται η συµπλήρωση της πρώτης γραµµής, για το τµήµα Α. Στη στήλη γράφουµε τη µέγιστη παροχή σε lt/s. Π.χ. από το τµήµα Α διέρχονται 7 µονάδες παροχής για κάθε όροφο, άρα συνολικά 7x=8 µονάδες παροχής, που από το νοµογράφηµα ισοδυναµούν µε. lt/s περίπου. Για την τιµή αυτή της παροχής κάνουµε µια πρώτη εκτίµηση της διαµέτρου σωλήνα από το διάγραµµα που δίνεται, υποθέτοντας µια ταχύτητα ροής όχι πάνω από m/s. Για m/s προκύπτει η ονοµαστική διάµετρος 8 mm, µε απώλειες πίεσης δh = 0. mσυ/m, τιµές που γράφονται στις στήλες και αντιστοίχως. Στη στήλη γράφουµε τις γραµµικές απώλειες, δηλ. το µήκος του κλάδου σε m. Στη στήλη αθροίζουµε τις αντιστάσεις των διαφόρων εξαρτηµάτων του κλάδου Α (βλ. Σχήµα), τα οποία είναι γωνίες (elbows), ένα ταυ (tee) και µία βάνα διακοπής ή στρόφιγγα (stopcock). Συνολικά: x =. m ισοδύναµου µήκους σωλήνα 8 mm. Στη στήλη 6 αθροίζονται οι γραµµικές και οι εντοπισµένες αντιστάσεις και στη στήλη 7 γράφεται το γινόµενο των τιµών των στηλών και 6, το οποίο ισούται µε τις συνολικές απώλειες του κλάδου σε mσυ. Το µέγεθος αυτό πρέπει να είναι πάντοτε µικρότερο από το διαθέσιµο ύψος σε mσυ, που αναγράφεται στη στήλη 0 και στην παρούσα εγκατάσταση ισούται µε την κατακόρυφη απόσταση από τον πυθµένα της δεξαµενής, η οποία γράφεται στη στήλη 8, µείον τις απώλειες της ροής σε προηγούµενους κλάδους (αν υπάρχουν), οι οποίες αθροίζονται στη στήλη 9. Στον κλάδο Α το διαθέσιµο ύψος είναι m, στον Β είναι 6 m απώλειες στον Α κ.ο.κ. Επειδή οι συνολικές απώλειες προκύπτουν εδώ µεγαλύτερες από το διαθέσιµο ύψος, η διάµετρος των 8 mm δεν είναι αποδεκτή και απαιτείται έλεγχος για την αµέσως µεγαλύτερη, δηλ. mm. Αυτό γίνεται µε τον ίδιο τρόπο στη δεύτερη γραµµή του Πίνακα και τελικά προκύπτουν στη στήλη 7 απώλειες µικρότερες του διαθέσιµου ύψους. Άρα στον κλάδο Α θα τοποθετηθεί χαλκοσωλήνας mm. Για τους επόµενους κλάδους οι υπολογισµοί ξεκινούν και πάλι από την µικρότερη δυνατή διάµετρο, για την οποία η ταχύτητα δεν ξεπερνά τα m/s (βλ. ιάγραµµα). Έτσι, για τους κλάδους και C είναι 8 mm, ενώ για τους κλάδους D και Ε είναι mm. Να σηµειωθεί ότι στους κλάδους αυτούς το διαθέσιµο ύψος είναι πολύ µεγαλύτερο των απωλειών, όµως η διάµετρος των σωλήνων δεν µπορεί να µειωθεί άλλο, λόγω του περιορισµού για µέγιστη ταχύτητα m/s, που επιβάλλεται για να µην προκαλείται θόρυβος.

4 Άσκηση. Στην υδραυλική διάταξη του σχήµατος το νερό της δεξαµενής παροχετεύεται µε τη βοήθεια σωλήνα που σχηµατίζει σιφώνιο, δηλ. η έξοδός του βρίσκεται χαµηλότερα από τη στάθµη της δεξαµενής. εδοµένα: Νερό: πυκνότητα ρ = 000 Kg/m, ιξώδες µ = 0.00 kg/ms. Σωλήνας: εσωτερική διάµετρος D = mm, µήκη = m, C = 0 m, συντελεστής τριβής λ = 0.0 (τυρβώδης ροή). Στάθµες: δεξαµενής z = 80 m, εξόδου z C = 70 m. Συντελεστής απωλειών στοµίου εισόδου ζ σ = 0.9. Πιέσεις: ατµοσφαιρική p = bar, ατµοποίησης p S = 0.0 bar. g = 9.8 m/s. Ζητούνται: α) Η παροχή νερού µέσω του σιφωνίου. β) Το µέγιστο ύψος του σηµείου της κορυφής Β για διατήρηση οµαλής λειτουργίας. γ) Τι πρέπει να γίνει σε περίπτωση που το ύψος της κορυφής είναι µεγαλύτερο του µέγιστου; C Λύση: α) Γράφουµε την εξίσωση διατήρησης ενέργειας (σε mσυ) µεταξύ των σηµείων Α (στάθµη δεξαµενής) και C (έξοδος σιφωνίου). u u C h + α + z = h C + α + z C + δh f,c () g g Οι στατικές πιέσεις h και h Β είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική πίεση, η ταχύτητα u στη στάθµη της δεξαµενής είναι πρακτικά αµελητέα, ενώ ο συντελεστής κινητικής ενέργειας α για τυρβώδη ροή λαµβάνεται ίσος µε τη µονάδα. Οι υδραυλικές απώλειες εκφράζονται ως: L u uc δ hf,c = λ + ζσ () D g g δηλαδή το άθροισµα γραµµικών και εντοπισµένων απωλειών, ενώ u = u c. Από τις () και () λαµβάνεται ότι L u + 0 u z z C = + λ + ζ σ 0 = D g u =. Και η παροχή είναι: π D = u = 6.77x0 m / s m / s β) Γράφουµε τώρα την εξίσωση διατήρησης ενέργειας µεταξύ των σηµείων Α και Β. p p u + z = + + z + δh f, ρg ρg g ()

5 L u u C όπου δ h f, = λ + ζ σ () D g g Από τις () και () λαµβάνεται: L u p p. p x0 z z = + λ + ζ σ + z = D g ρg p z = 8.6 () 980 Η πίεση στο σηµείο Β δεν πρέπει να γίνει µικρότερη της πίεσης ατµών για να µην προκληθεί τοπική εξάτµιση του νερού, δηλαδή πρέπει p p, εποµένως η () δίνει: z 0.0x S z 8. m γ) Στην περίπτωση αυτή πρέπει να τοποθετηθεί µια αντλία στην αρχή του σωλήνα, η οποία θα προσφέρει ενέργεια (ύψος) H p, ώστε να αυξηθεί η πίεση και στο σηµείο Β. Τότε όµως θα αλλάξει και η παροχή του σιφωνίου, οπότε απαιτείται εκ νέου υπολογισµός. Άσκηση (κατατακτήριες, εκέµβριος 00) Οι δεξαµενές Α και Β του σχήµατος συνδέονται µε χαλύβδινη σωλήνωση, που αποτελείται από δύο τµήµατα ίδιου µήκους, ίσου µε 00 m, και εσωτερικής διαµέτρου 0. m και 0. m αντιστοίχως, µε απόλυτη τραχύτητα 0. mm. H στάθµη της δεξαµενής Α βρίσκεται στα 0 m και της Β στα 0 m. ίνεται επίσης η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 9.8 m/s, το κινηµατικό ιξώδες του νερού ν =. 0 6 και οι συντελεστές εντοπισµένων απωλειών: στόµιο δεξαµενής Α, ζ Α = 0., στόµιο δεξαµενής Β, ζ Β =.0 και αλλαγή διατοµής (συστολή) ζ σ = 0., µε βάση την ταχύτητα στη µικρότερη διατοµή. Ζητείται: α) Να βρεθεί η παροχή του νερού προς τη χαµηλότερη δεξαµενή. β) Πόσο µπορεί να µειωθεί η διαφορά της στάθµης του νερού στις δύο δεξαµενές, ώστε η ροή στη σωλήνωση να µη γίνει κρίσιµη (Re 000); γ) Προκειµένου να διπλασιαστεί η παροχή, σχεδιάζεται η τοποθέτηση ενός νέου σωλήνα σταθερής εσωτερικής διαµέτρου, παράλληλα µε την υπάρχουσα σωλήνωση. Να γίνει επιλογή της διαµέτρου του από µια σειρά τυποποιηµένων τιµών, που έστω ότι καλύπτει την περιοχή από 0.0 έως 0.60 m, ανά cm. Το υλικό και οι συντελεστές απωλειών στα στόµια του νέου σωλήνα είναι όπως και της αρχικής σωλήνωσης. Λύση: α) Γράφουµε την εξίσωση διατήρησης ενέργειας (σε mσυ) µεταξύ δύο σηµείων Α και Β στις στάθµες των αντίστοιχων δεξαµενών.

6 u u h + + z = h + + z + δh f () g g Οι στατικές πιέσεις h και h Β είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική, ενώ οι ταχύτητες στις στάθµες των δεξαµενών είναι πρακτικά αµελητέες. Οι υδραυλικές απώλειες εκφράζονται ως: L u L u u u δh f = λ + λ + ζ + ( ζσ + ζ ) () D g D g g g δηλαδή το άθροισµα γραµµικών και εντοπισµένων απωλειών στα τµήµατα και. Η ταχύτητα της ροής είναι διαφορετική σε κάθε τµήµα, όµως η παροχή θα είναι ίδια. Γι αυτό οι ταχύτητες εκφράζονται ως συνάρτηση της παροχής: u = () π D Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (), () και () προκύπτει: L L ζ ζ σ + ζ 8 z z = λ + λ + + D D D D π g π 9.8 ( ) = 0 0 λ + λ / = (.877 λ λ ) () Στη συνέχεια, εκτελούµε επαναληπτική διαδικασία, υποθέτοντας τυπικές αρχικές τιµές για τους συντελεστές τριβής, ως εξής: η επανάληψη: Έστω λ = λ = 0.0 Η εξ. () δίνει = 0.60 m /s, οπότε από την () προκύπτει u =.6 m/s και u = m/s. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι αντίστοιχοι αριθµοί Re στα τµήµατα και : D u Re = = =.x0 και οµοίως Re 6 =.0x0. Τέλος, βρίσκονται ν.x0 νέες τιµές των συντελεστών τριβής από το διάγραµµα Moody ή από τη σχέση του Jain: ( ). ε =. 0. =. log +. log + λ 0.9 Re D x0 λ = 0.078, και παροµοίως: λ = αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιµές των Re, D, ενώ ε = 0. mm. η δοκιµή: Έστω λ = και λ = Ακολουθείται η ίδια διαδικασία και λαµβάνονται διαδοχικά οι τιµές: = 0.7 m /s, u =.8 m/s, u = 0.67 m/s, Re =.77x0 6, Re =.6x0 6. Οι νέες τιµές των συντελεστών τριβής προκύπτουν από τη σχέση του Jain: λ = και λ = Οι τιµές αυτές διαφέρουν ελάχιστα από τις προηγούµενες, εποµένως δεν χρειάζεται άλλη επανάληψη (ταχεία σύγκλιση). Έτσι, µε τις τιµές αυτές υπολογίζεται µόνο η ζητούµενη παροχή από την εξ. (): = 0.7 m /s. β) Σε σωλήνα κυκλικής διατοµής ισχύει: D u D Re = = = () ν ν πd πdν 6

7 Εποµένως για δεδοµένη παροχή ο αριθµός Re θα είναι µικρότερος στο τµήµα, που έχει τη µεγαλύτερη διάµετρο. Για να µη γίνει κρίσιµη η ροή θα πρέπει: Re x0 m / s πd ν Για =.0x0 - βρίσκουµε όπως στο ερώτηµα (α) διαδοχικά τα µεγέθη: u = 0.00 m/s, u = m/s, Re = (Re = 000), λ = 0. 0 και λ = Αντικαθιστούµε τα παραπάνω µεγέθη στην εξίσωση διατήρησης της ενέργειας και προκύπτει: L L ζ ζ 8 z z σ + ζ = λ + λ + + z z = 0.9 m D D D D π g γ) Αφού η παροχή διπλασιάζεται, από τον νέο σωλήνα θα διέρχεται παροχή όση από την αρχική σωλήνωση, δηλαδή = 0.7 m /s (ερώτηµα α). Οι υδραυλικές απώλειες της ροής στον νέο σωλήνα θα είναι: h L u u L ζ + ζ δ f = λ + ( ζ + ζ ) = λ + = λ + (6) D g g D D π g D D Οι απώλειες αυτές δεν πρέπει να είναι µικρότερες από τη διαφορά στάθµης των δύο δεξαµενών, που είναι z z = 90 m. Η ζητούµενη διάµετρος θα βρίσκεται µεταξύ των διαµέτρων των δύο τµηµάτων της αρχικής σωλήνωσης, οπότε δοκιµάζουµε πρώτα την τυποποιηµένη τιµή D = 0.0 m. Για την τιµή αυτή προκύπτουν διαδοχικά τα µεγέθη (βλ. προηγούµενα ερωτήµατα): Re =.886x0 6 και λ = 0.088, οπότε από την (6) προκύπτει: δh f =. m. Επειδή οι απώλειες είναι πολύ µικρότερες από τη διαφορά στάθµης, δοκιµάζουµε την αµέσως µικρότερη τυποποιηµένη διάµετρο D = 0. m. Προκύπτουν τώρα οι τιµές: Re =.7x0 6, λ =0.09 και δh f = 7. m. Εποµένως επιλέγεται η διάµετρος 0. m (δεν δοκιµάζεται η ακόµα µικρότερη διάµετρος των 0. m, επειδή σίγουρα δίνει µεγαλύτερες απώλειες από τη διαφορά στάθµης). Η παροχή στον νέο σωλήνα δεν θα είναι ακριβώς η ζητούµενη αλλά λίγο µεγαλύτερη (γιατί;). Αν απαιτείται ακρίβεια θα πρέπει να προστεθεί και µια ρυθµιστική βαλβίδα, ο συντελεστής απωλειών ζ V της οποίας µπορεί να υπολογιστεί από την ενεργειακή εξίσωση: z L ζ + ζ + ζ V 8 z = λ + D D π g Άσκηση (εξέταση Φεβρουαρίου 00) Οι σωλήνες στο σύστηµα του σχήµατος διακινούν νερό και έχουν ίδια εσωτερική διάµετρο 0 mm και απόλυτη τραχύτητα 0. mm, ενώ τα µήκη τους δίνονται στο σχήµα σε m. α) Αν η ροή θεωρηθεί πλήρως τυρβώδης σε όλους τους σωλήνες, να βρεθούν οι παροχές εξόδου, και, ως συνάρτηση της παροχής εισόδου

8 β) Αν η ροή είναι στρωτή, να εκφραστούν οι γραµµικές απώλειες από τον κόµβο Β µέχρι την έξοδο, ως συνάρτηση της παροχής. ΣΗΜ: Η πίεση είναι ίδια σε όλες τις εξόδους. Οι εντοπισµένες απώλειες δεν θα ληφθούν υπόψη. Το δυναµικό ιξώδες του νερού να ληφθεί ίσο µε 0.00 kg/m s. Λύση: α) Αν η ροή είναι πλήρως τυρβώδης, ο συντελεστής τριβής λ θα είναι ίδιος σε όλους τους σωλήνες, αφού έχουν την ίδια διάµετρο και τραχύτητα. Ο συντελεστής αντίστασης Κ (δp f = K ) κάθε τµήµατος θα είναι: L 8 ρ 8 ρ K = λ = L = K 0 L D λ π D () π όπου Κ 0 η τιµή του συντελεστή αντίστασης ανά µονάδα µήκους σωλήνα, που είναι σταθερή. Έτσι ο συντελεστής αντίστασης στα διάφορα τµήµατα θα είναι: Κ Β = Κ Β = 00 Κ 0, Κ Α = 00 Κ 0 και Κ ΑΒ = 7 Κ 0 Επειδή οι πιέσεις εξόδου στα σηµεία και είναι ίσες, τα τµήµατα Β και Β είναι σε παράλληλη συνδεσµολογία, εποµένως θα ισχύει: δ p = δp K = K = Για τον ίδιο λόγο, ο αθροιστικός συντελεστής αντίστασης µετά το σηµείο Β θα είναι: = + K = K 0 K K K Τα τµήµατα ΑΒ και Β είναι συνδεδεµένα εν σειρά, εποµένως: K = K + K = 7 K 0 + K 0 = 00 K 0 Τέλος, τα τµήµατα ΑΒ και Α έχουν την ίδια πίεση εξόδου, άρα βρίσκονται σε παράλληλη συνδεσµολογία και ισχύει: δp = δp K = K 00 K 0 = 00 K 0 ( + ) 0 = 0 ( ) = Οπότε τελικά θα είναι: = = = 0 / Παρατήρηση: Η απόλυτη τραχύτητα των σωλήνων, η οποία δίνεται στην εκφώνηση, δεν χρειάζεται αν η επίλυση γίνει µ αυτόν τον τρόπο. Θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ώστε να βρεθεί η τιµή του λ από το διάγραµµα Moody και στη συνέχεια να υπολογιστεί αριθµητικά η τιµή του K 0 και των άλλων συντελεστών αντίστασης, αλλά αυτό θα απαιτούσε αρκετά περισσότερες πράξεις και δεν ζητείται. β) Για στρωτή ροή και σωλήνα κυκλικής διατοµής είναι λ = 6/Re. Έτσι οι γραµµικές απώλειες θα είναι: L 8 ρ 6 L 8 ρ δ p = λ = D π Re D π () Αλλά ρdu ρd ρ Re = = = µ µ πd πdµ () οπότε η () γίνεται: 6 πdµ L 8 ρ 8 µ L δ p = = ρ D π π D () ηλαδή οι απώλειες είναι ανάλογες της παροχής. Και αντικαθιστώντας τις δεδοµένες τιµές της εκφώνησης λαµβάνουµε: 8

9 δ p = π 0.0 = 6.x0 Άσκηση (εξέταση Φεβρουαρίου 00) Οι στάθµες στις τρεις ανοικτές δεξαµενές (), () () και () του σχήµατος βρίσκονται σε υψόµετρα 60, και 0 m, αντιστοίχως, και οι () δεξαµενές συνδέονται σε έναν κοινό κόµβο Α µε σωληνώσεις, για τους συντελεστές αντίστασης Κ των οποίων δίνονται οι τιµές: 08, 67 και 70 αντιστοίχως (παροχές σε m /sec και πιέσεις σε µέτρα στήλης υγρού, () mσυ). Ζητείται: α) Να υπολογίσετε τις παροχές των κλάδων επιλέγοντας είτε τη µέθοδο Hardy-Cross είτε τη µέθοδο Newton-Raphson. Σε κάθε περίπτωση, διατυπώστε τις εξισώσεις του επαναληπτικού αλγορίθµου και εκτελέστε δύο-τρεις επαναλήψεις. β) Με βάση τα αποτελέσµατα στο (α), υπολογίστε πόση θα είναι η στατική πίεση στον κόµβο Α, εάν αυτός βρίσκεται σε υψόµετρο m. Οι παροχές στους κλάδους θα είναι ίδιες για οποιαδήποτε υψοµετρική θέση του κόµβου Α ή όχι και γιατί; Η κινητική ενέργεια του υγρού δεν θα ληφθεί υπόψη. Λύση: α) Πρώτα καθορίζουµε αυθαίρετα τη φορά της παροχής σε κάθε έναν από τους τρεις κλάδους που συνδέουν τον κοινό κόµβο Α µε τις αντίστοιχες δεξαµενές, όπως φαίνεται στο σχήµα. Στη συνέχεια, λύνουµε το πρόβληµα πρώτα µε τη µέθοδο Hardy-Cross και στη συνέχεια ως προς τις πιέσεις, µε τη µέθοδο Newton-Raphson. Hardy-Cross Για την εφαρµογή της µεθόδου πρέπει πρώτα να σχηµατιστούν οι δύο ιδεατοί βρόχοι Ι και ΙΙ, όπως στο σχήµα. Οι εξισώσεις διατήρησης της ενέργειας σ αυτούς θα είναι: I : K + K = H H = h h II : K + K = H H = h h h II p () όπου H = h + το ολικό υδροστατικό ύψος, ρg ενώ h είναι το γεωστατικό ύψος και p Β η ατµοσφαιρική πίεση (ανοιχτές δεξαµενές). Οι εξισώσεις διόρθωσης της παροχής που προκύπτουν από τις παραπάνω ενεργειακές εξισώσεις είναι οι εξής: () I h h () 9

10 K + K ( h h ) I = () ( K + K ) K K ( h h ) II = () ( K + K ) Οι αρχικές τιµές της παροχής σε όλους τους κλάδους πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση συνέχειας στους κόµβους, δηλαδή εδώ στον µοναδικό κόµβο Α του δικτύου. Έτσι, για τη φορά των παροχών που φαίνεται στο σχήµα, λαµβάνονται τις τιµές = m /sec, = 0. m /sec, οπότε = 0. m /sec. Η πρώτη επανάληψη της µεθόδου δίνει τα εξής αποτελέσµατα: ( 60 ) I = = ( ) ιόρθωση: + = = 0.60 I + I = = II = ( ) ιόρθωση: + = = 0.6 II II = = ( 0) = Χρησιµοποιώντας ως κριτήριο τερµατισµού τη συνθήκη µέγιστου απόλυτου σφάλµατος: max E και λαµβάνοντας π.χ. Ε r = 0.000, η µέθοδος συγκλίνει µετά από i ( i ) r επαναλήψεις, δίνοντας τις ακόλουθες τελικές τιµές παροχών: = m /sec, = m /sec, οπότε = m /sec. Επειδή όλες οι παροχές προκύπτουν θετικές, η σωστή φορά τους είναι αυτή που υποθέσαµε από την αρχή. Newton-Raphson Η µέθοδος επίλυσης των πιέσεων δεν απαιτεί την προσθήκη ιδεατών βρόχων, εποµένως στη συγκεκριµένη διάταξη θα υπάρχει µόνο µία εξίσωση, η εξίσωση συνέχειας στον κόµβο Α, δηλαδή το άθροισµα των παροχών από τον κόµβο Α θα είναι µηδέν (εδώ δεν απαιτείται αρχικός καθορισµός της φοράς):, +, +, = 0 () Εποµένως, αντικαθιστώντας µε τις πιέσεις θα έχουµε: (H ) = G H H + G H h + G H h () ( ) ( ) ( ) 0 F,,, = µε G,i = i =,, / / K,i H h i όπου το µέγεθος Η Α ισούται µε: H = h + p,r () δηλαδή περιέχει το γεωστατικό ύψος του κόµβου Α και τη σχετική (ως προς την ατµοσφαιρική) στατική πίεση σ αυτόν. 0

11 Η διόρθωση πίεσης h στον κόµβο Α θα είναι σύµφωνα µε τη µέθοδο Newton-Raphson: G, ( H h ) + G, ( H h ) + G, ( H h ) h = (6) G + G + G,, Η αρχική τιµή του H δεν πρέπει να είναι πολύ µακριά από τη λύση, γιατί η µέθοδος Newton-Raphson µπορεί να αποκλίνει. Έτσι, επιλέγουµε µια λογική τιµή, π.χ. H = mσυ. Η πρώτη επανάληψη της µεθόδου γίνεται ως εξής: Υπολογίζονται αρχικά οι αγωγιµότητες των κλάδων: G, = =.76x0, / / και οµοίως: G, =.89878x0, G, = 8.9x0. Στη συνέχεια, η εξ. () δίνει: h =.7 mσυ και η Η Α διορθώνεται σε H H + h = +.7 = 9.7 mσυ Με τη νέα τιµή εκτελείται η δεύτερη επανάληψη, που δίνει: h =.007, H =. 76. Η τρίτη επανάληψη δίνει: h = 0.6, H =.77, και η µέθοδος συγκλίνει τελικά µε την τέταρτη επανάληψη στην τιµή H =.77 mσυ, χρησιµοποιώντας ως κριτήριο τερµατισµού τη συνθήκη h E r = Τέλος, υπολογίζονται και οι παροχές από τις σχέσεις:,i G,i ( H h i ) =.887x0 (.77 60) = 0.07 m / s,, =, ως εξής: και οµοίως:, = ,, = 0.08 m / s, όπου το θετικό πρόσηµο δηλώνει φορά από τον κόµβο Α, ενώ το αρνητικό προς τον κόµβο Α, εποµένως το αποτέλεσµα συµφωνεί µε εκείνο της µεθόδου Hardy-Cross. β) Από τη σχέση () προκύπτει: p,r = H h =.77 = 9.77 mσυ. Όπως φαίνεται από την επίλυση του ερωτήµατος Α, η υψοµετρική θέση του σηµείου Α δεν υπεισέρχεται στον υπολογισµό των παροχών, εποµένως οι παροχές δεν αλλάζουν όταν αλλάξει η θέση του σηµείου Α (εφόσον βέβαια δεν αλλάξουν και οι συντελεστές αντίστασης των κλάδων). Υπάρχει όµως ένα µέγιστο ύψος του σηµείου Α, στο οποίο η στατική πίεση θα µειωθεί στα επίπεδα της πίεσης βρασµού του υγρού, οπότε η ροή είτε θα αλλάξει µορφή και το ρευστό δεν θα γεµίζει πλέον τον σωλήνα, είτε θα διακοπεί εντελώς αν το σηµείο Α βρίσκεται υψηλότερα της στάθµης της άνω δεξαµενής.