ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ηλεκτρμαγνητική Θεωρία Η θεωρία πυ περιγράφει και ερμηνεύει τα φαινόμενα της δημιυργίας και διάδσης των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων, δηλαδή των τπικών και χρνικών μεταβλών τυ ηλεκτρικύ και τυ μαγνητικύ πεδίυ απτελεί την Ηλεκτρμαγνητική θεωρία. Δημιυργός αυτής είναι Maxwell, πυ πρέβλεψε θεωρητικά την ύπαρξη των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων, τ 1864, ενώ η πειραματική επαλήθευση των θεωριών τυ έγινε, τ 1884, με τα πειράματα τυ Hertz. Η ιστρική παρατήρηση τυ Maxwell ήταν πως αν επιχειρηθεί συνδυασμός, ανά δυ, των κλασσικών νόμων τυ Ηλεκτρμαγνητισμύ, ι νόμι αυτί απδεικνύνται ασυμβίβαστι μεταξύ τυς. Τη μόνη απόκλιση από τα πειραματικά απτελέσματα παρυσίασε νόμς τυ Ampere. Και αυτό γιατί παρότι νόμς τυ Ampere πρϋπθέτει την ύπαρξη μαγνητικύ πεδίυ μόν σε περιχές τυ χώρυ, όπυ ι κλειστές καμπύλες (αμπεριανί βρόχι) περικλείυν ρεύμα αγωγιμότητας Ι, Maxwell διαπίστωσε την ύπαρξη μαγνητικύ πεδίυ στ χώρ μεταξύ των πλισμών ενός πυκνωτή, όπυ δεν υπάρχει ρεύμα αγωγιμότητας. Έτσι απέδειξε ότι η πηγή δημιυργίας τυ μαγνητικύ πεδίυ στα σημεία αυτά είναι η χρνική μεταβλή της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ κι αυτό τ έκφρασε μέσω της υπθετικής πσότητας τυ ρεύματς ματατόπισης Ιd, πυ ρίζεται ως: d dφε Ε ε ε d dt (7-1) t Εύκλα από την (7-1) J d ρίζεται ως: πρκύπτει ότι η πυκνότητα τυ ρεύματς μετατόπισης J d ε (7-) t Επμένως η ηλεκτρμαγνητική θεωρία τυ Maxwell διατυπώνεται υπό τη μρφή μιας μάδας λκληρωτικών ή διαφρικών εξισώσεων, ι πίες λέγνται εξισώσεις Maxwell και φαίννται στν ακόλυθ πίνακα: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Νόμς 1 η : Νόμς Gauss για τ ηλεκτρικό πεδί η : Νόμς Gauss για τ μαγνητικό πεδί q d ε Ολκληρωτική μρφή en dφ d dt 1 ε d 0 V ρdv B dt 3 η : Νόμς Faraday 4 η : Νόμς Ampere Maxwell d μ μ Β μ ε ( d ) d t d Διαφρική μρφή ρ ε 0 t μ ( J Jd ) μ J μ ε t Πίνακας 7.1: Εξισώσεις Maxwell Από τν Πίνακα 7.1 παρατηρείται ότι: Η 1 η εξίσωση Maxwell είναι νόμς τυ Gauss για τν ηλεκτρισμό και συσχετίζει τ ηλεκτρικό φρτί με τ ηλεκτρικό πεδί πυ πρκαλείται από αυτό. Επίσης είναι ισδύναμη με τ νόμ τυ Coulomb. Η η εξίσωση Maxwell είναι νόμς τυ Gauss για τν μαγνητισμό, σύμφωνα με τν πί απδεικνύεται η μη ύπαρξη απμνωμένων μαγνητικών μνπόλων στη φύση και ότι ι μαγνητικές δυναμικές γραμμές είναι κλειστές καμπύλες. Η 3 η εξίσωση Maxwell είναι νόμς τυ Faraday, σύμφωνα με τν πί χρνική μεταβλή τυ μαγνητικύ πεδίυ παράγει ηλεκτρικό πεδί. Η 4 η εξίσωση Maxwell είναι νόμς τυ Ampere για τ μαγνητισμό με την πρσθήκη από τν Maxwell τυ ρεύματς μετατόπισης με σκπό την, κατ αντιστιχία πρς την 3 η εξίσωση Maxwell, απόδειξη της παραγωγής μαγνητικύ πεδίυ από χρνικά μεταβαλλόμεν ηλεκτρικό πεδί. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Γενικά ι εξισώσεις Maxwell δίνυν μια πλήρη περιγραφή τυ τρόπυ με τν πί σχετίζνται τα πεδία και με τις πηγές τυς και μεταξύ τυς. Οι εξισώσεις Maxwell ισχύυν και στ κενό, όπυ δεν υπάρχυν φρτία (ρ=0) ύτε ρεύματα, έχυν απλύστερη μρφή και παρυσιάζυν κάπια συμμετρία. Αυτές φαίννται στν ακόλυθ πίνακα: ( J 0) Εξίσωση 1 η εξίσωση Maxwell Ολκληρωτική μρφή d 0 η εξίσωση Maxwell d 0 3 η εξίσωση Maxwell d B t t 4 η εξίσωση Maxwell d μ ε d d Διαφρική μρφή 0 0 t μ ε t Πίνακας 7.: Εξισώσεις Maxwell στ κενό Οι εξισώσεις Maxwell εντός της ύλης, δηλαδή στη γενική περίπτωση κατά την πία λαμβάννται υπόψη τόσ ι διηλεκτρικές όσ και ι μαγνητικές ιδιότητες τυ μέσυ, λαμβάνυν την τρππιημένη μρφή πυ φαίνεται στν ακόλυθ πίνακα : Εξίσωση Ολκληρωτική μρφή Διαφρική μρφή 1 η εξίσωση Maxwell D d q f D ρ f η εξίσωση Maxwell d η εξίσωση Maxwell d d B t D t 4 η εξίσωση Maxwell f d d t Πίνακας 7.3: Εξισώσεις Maxwell εντός της ύλης J f D t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τ πι αξισημείωτ γνώρισμα των εξισώσεων Maxwell, όπως αναπτύχθηκαν πρηγυμένως, είναι ότι η χρνική μεταβλή καθενός από τα δυ πεδία επάγει πεδί τυ άλλυ τύπυ στις γειτνικές περιχές τυ χώρυ. Συνεπώς ι εξισώσεις Maxwell πρβλέπυν την ύπαρξη ηλεκτρμαγνητικών διαταραχών πυ απαρτίζνται από χρνικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία πυ διαδίδνται από ένα σημεί τυ χώρυ σε άλλ, ακόμη και αν δεν υπάρχει ύλη στν ενδιάμεσ χώρ, δηλαδή στ κενό. Αυτές ι διαταραχές νμάζνται ηλεκτρμαγνητικά κύματα και παρέχυν τη φυσική βάση για τ φως και τα κύματα όλυ τυ ηλεκτρμαγνητικύ φάσματς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ηλεκτρμαγνητικά Κύματα Για να γίνει κατανητή η ιστρική σημασία των εξισώσεων Maxwell, θα θεωρηθεί η απλή περίπτωση ενός μναδικύ κινύμενυ φρτίυ σ ένα χώρ απόλυτυ κενύ. Σε σημεία, τότε, τυ κενύ χώρυ πυ βρίσκνται σε μεγάλη απόσταση από τ κινύμεν φρτί, όπυ ρ = 0 και, συνδυασμός των εξισώσεων Maxwell δίνει τις εξισώσεις : J 0 μ ε και t μ ε (7 3) t Οι σχέσεις (7 3) απτελύν τις κυματικές εξισώσεις, ι πίες ικανπιύνται από τα πεδία και στην περίπτωση τυ κενύ. Συνεπώς στην περίπτωση τυ κινύμενυ φρτίυ στ κενό, η πρσπάθεια για την ικανπίηση των εξισώσεων τυ Maxwell δηγεί σε ένα συγκλνιστικό φαινόμεν : τα πεδία πυ δημιυργύνται από τ κινύμεν φρτί, δεν περιρίζνται στ στενό περιβάλλν τυ, αλλά αφήνντας την πηγή της δημιυργίας τυς εξαπλώννται σε κάθε σημεί τυ χώρυ, όπυ παρατηρείται μια τπική και χρνική μεταβλή τυ ηλεκτρικύ και τυ μαγνητικύ πεδίυ. Δηλαδή δημιυργείται ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα και η ταχύτητα διάδσής τυ ισύται με την ταχύτητα τυ φωτός, επειδή ισχύει 1/ ε μ. Η λύση των κυματικών εξισώσεων (7 3) πυ θα επιτρέψει τν υπλγισμό τυ ηλεκτρικύ και τυ μαγνητικύ πεδίυ την κάθε χρνική στιγμή, σε κάθε σημεί τυ χώρυ, είναι γενικά πλύπλκ πρόβλημα. Ωστόσ η λύση τυς διευκλύνεται αν αναζητηθύν λύσεις επίπεδων αρμνικών κυμάτων. Ένα κύμα λέγεται επίπεδ, αν ι στιγμιαίες τιμές τυ ηλεκτρικύ και τυ μαγνητικύ πεδίυ είναι ίσες σε όλα τα σημεία, σε κάθε επίπεδ πυ είναι παράλληλ σ ένα ρισμέν επίπεδ. Τα επίπεδα αυτά λέγνται μέτωπα τυ κύματς. Σε κάθε επίπεδ κύμα, η τιμή των και εξαρτάται μόν από την τιμή μιας μόν των καρτεσιανών συντεταγμένων, πυ συμπίπτει με τη φρά διάδσης τυ κύματς, έστω της z. Έτσι ι λύσεις των κυματικών εξισώσεων για ένα επίπεδ αρμνικό κύμα μπρεί να έχυν τη μρφή : os( ωt - kz)xˆ και os( ωt - kz) yˆ (7 4) όπυ ω η κυκλική συχνότητα και k κυματάριθμς. Η κυκλική συχνότητα ω και κυματάριθμς k συνδένται μεταξύ τυς μέσω της γραμμικής σχέσης διασπράς : ω k (7 5) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ακλύθως παρατίθεται η σχηματική αναπαράσταση ενός επίπεδυ αρμνικύ ηλεκτρμαγνητικύ κύματς. Σχήμα 7.1 Συνπτικά τα χαρακτηριστικά όλων των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων είναι : α) Κάθε ηλεκτρμαγνητικό κύμα είναι εγκάρσι, δηλαδή τα διανύσματα και είναι κάθετα στην κατεύθυνση διάδσης τυ κύματς και επίσης κάθετα μεταξύ τυς. Η κατεύθυνση διάδσης είναι η κατεύθυνση τυ εξωτερικύ γινμένυ. β) Ο λόγς των μέτρων των διανυσμάτων και είναι καθρισμένς και ίσς με : B (7 6) γ) Κάθε ηλεκτρμαγνητικό κύμα διαδίδεται στ κενό με μια ρισμένη και σταθερή ταχύτητα, την ταχύτητα τυ φωτός = m/ se. δ) Σε αντίθεση με τα μηχανικά κύματα, τα πία χρειάζνται τα ταλαντωνόμενα σωματίδια ενός υλικύ (όπως νερό ή αέρας) για να διαδθύν, τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα δεν απαιτύν κανένα μέσ διάδσης. Αυτό πυ ταλαντώνεται σε ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα είναι τ ηλεκτρικό και τ μαγνητικό πεδί. Σημείωση : Για να απτελύν ηλεκτρμαγνητικό κύμα δυ δθείσες συναρτήσεις των και θα πρέπει να ικανπιύν τις παραπάνω συνθήκες (α), (β), (γ) καθώς και τις κυματικές εξισώσεις (7 3). ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ενέργεια Ηλεκτρμαγνητικύ Κύματς Διάνυσμα Poynting Χαρακτηριστικό μέγεθς ενός ηλεκτρμαγνητικύ κύματς, όπως και κάθε κύματς, είναι η ενέργεια πυ μεταφέρει στη μνάδα τυ χρόνυ, ανά μνάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδσης, δηλαδή η ένταση τυ κύματς. Πρφανώς η ρή της ενέργειας πυ μεταφέρει ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα θα έχει τη διεύθυνση της διάδσής τυ. Για την περιγραφή τυ μέτρυ και της κατεύθυνσης τυ ρυθμύ της ρής της ενέργειας ρίζεται μια διανυσματική πσότητα, η πία καλείται διάνυσμα Poynting και σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας τυ ηλεκτρμαγνητικύ πεδίυ δίνεται από την ακόλυθη έκφραση : 1 (7 7) μ Επειδή τ ηλεκτρικό και τ μαγνητικό πεδί είναι συναρτήσεις τυ χώρυ και τυ χρόνυ, πρκύπτει ότι και τ διάνυσμα Poynting είναι επίσης συνάρτηση τυ χώρυ και τυ χρόνυ. Τ διάνυσμα Poynting έχει διαστάσεις ισχύς ανά μνάδα επιφάνειας και μνάδα μέτρησής τυ στ.i. είναι τ 1 Watt / m. Λόγω της σχέσης Ε = Bo πρκύπτει ότι τ μέτρ τυ διανύσματς Poynting είναι : ε E (7 8) μ μ Η μέση τιμή τυ μέτρυ τυ διανύσματς Poynting σε ένα σημεί νμάζεται ένταση τυ κύματς σε εκείν τ σημεί και είναι : 1 E B o o (7 9) μ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ