URL:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "URL: http://www.eeg.uminho.pt/economia/nipe"

Transcript

1 The Continuous Wavelet Transform: A Primer Luís Aguiar-Conraria Maria Joana Soares 16/ 2011

2 The Continuous Wavelet Transform: A Primer Luís Aguiar-Conraria Maria Joana Soares NIPE * WP 16/ 2011 URL: * NIPE Núcleo de Investigação em Políticas Económicas is supported by the Portuguese Foundation for Science and Technology through the Programa Operacional Ciência, Teconologia e Inovação (POCI 2010) of the Quadro Comunitário de Apoio III, which is financed by FEDER and Portuguese funds.

3 ΤηεΧοντινυουσΩαϖελετΤρανσφορµ: ΑΠριµερ ψ Λυ σαγυιαρ Χονραρια ζ ΜαριαϑοαναΣοαρεσ ξ ϑυλψ 12, 2011 Αβστραχτ Εχονοµιστσ αρε αλρεαδψ φαµιλιαρ ωιτη τηε ισχρετε Ωαϖελετ Τρανσφορµ. Ηοωεϖερ, α βοδψ οφ ωορκ υσινγ τηε Χοντινυουσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ ηασ αλσο βεεν γροωινγ. Ωε προϖιδε α σελφ χονταινεδ συµµαρψ ον χοντινυουσ ωαϖελετ τοολσ, συχη ασ τηε Χοντινυουσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ, τηε Χροσσ Ωαϖελετ, τηε Ωαϖελετ Χοηερενχψ ανδ τηε Πηασε ι ερενχε. Φυρτηερµορε, ωε γενεραλιζε τηε χονχεπτ οφ σιµπλε χοηερενχψ το Παρτιαλ Ωαϖελετ Χοηερενχψ ανδ Μυλτιπλε Ωαϖελετ Χοηερενχψ, ακιν το παρτιαλ ανδ µυλτιπλε χορρελατιονσ, αλλοωινγ τηε ρεσεαρχηερ το µοϖε βεψονδ βιϖαριατε αναλψ σισ. Φιναλλψ, ωε δεσχριβε τηε Γενεραλιζεδ Μορσε Ωαϖελετσ, α χλασσ οφ αναλψτιχ ωαϖελετσ ρεχεντλψ προποσεδ. Α υσερ φριενδλψ τοολβοξ, ωιτη εξαµπλεσ, ισ ατταχηεδ το τηισ παπερ. Κεψωορδσ: Χοντινυουσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ, Χροσσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ, Ωαϖελετ Χοηερενχψ, Παρτιαλ Ωαϖελετ Χοηερενχψ, Μυλτιπλε Ωαϖελετ Χοηερενχψ, Ωαϖελετ Πηασε ι ερενχε; Εχονοµιχ υχτυατιονσ. 1 Ιντροδυχτιον Εχονοµιχ αγεντσ σιµυλτανεουσλψ οπερατε ατ δι ερεντ ηοριζονσ. Φορ εξαµπλε, χεντραλ βανκσ ηαϖε δι ερεντ οβϕεχτιϖεσ ιν τηε σηορτ ανδ λονγ ρυν, ανδ οπερατε σιµυλτανεουσλψ ατ δι ερεντ φρεθυενχιεσ (σεε Ραµσεψ ανδ Λαµπαρτ 1998α). Μορε τηαν τηατ, µανψ εχονοµιχ προχεσσεσ αρε τηε ρεσυλτ οφ τηε αχτιονσ οφ σεϖεραλ αγεντσ, ωηο ηαϖε δι ερεντ τερµ οβϕεχτιϖεσ. Τηερεφορε, εχονοµιχ τιµε σεριεσ αρε αν αγγρεγατιον οφ χοµπονεντσ οπερατινγ ον δι ερεντ φρεθυενχιεσ. Σεϖεραλ θυεστιονσ αβουτ τηε δατα αρε χοννεχτεδ το τηε υνδερστανδινγ οφ τηε τιµε σεριεσ βεηαϖιορ ατ δι ερεντ φρεθυενχιεσ. Φουριερ αναλψσισ αλλοωσ υσ το στυδψ τηε χψχλιχαλ νατυρε οφ α τιµε σεριεσ ιν τηε φρεθυενχψ δοµαιν. Ιν σπιτε οφ ιτσ υτιλιτψ, ηοωεϖερ, υνδερ τηε Φουριερ τρανσφορµ, τηε τιµε ινφορµατιον οφ α τιµε σεριεσ ισ λοστ. Βεχαυσε οφ τηισ λοσσ οφ ινφορµατιον, ιτ ισ ηαρδ το διστινγυιση τρανσιεντ ρελατιονσ ορ το ιδεντιφψ ωηεν στρυχτυραλ χηανγεσ δο οχχυρ. Μορεοϖερ, τηεσε τεχηνιθυεσ αρε ονλψ αππροπριατε φορ τιµε σεριεσ ωιτη σταβλε στατιστιχαλ προπερτιεσ, ι.ε. στατιοναρψ τιµε σεριεσ. Λυ σ Αγυιαρ Χονραρια αχκνοωλεδγεσ νανχιαλ συππορτ φροµ Φυνδα ο παρα α Χι νχια ε α Τεχνολογια, προϕεχτ Οιλ σηοχκσ ανδ τηε Μαχροεχονοµψ: Εχονοµετριχ εστιµατιον, εχονοµιχ µοδελινγ ανδ πολιχψ ιµπλιχατιονσ, ΠΤ Χ/ΕΧΟ/64750/2006. Ωε τηανκ τηρεε ανονψµουσ ρεφερεεσ φορ ινσιγητφυλ χοµµεντσ ανδ χριτιχισµσ ασ ωελλ ασ τηε εδιτορ φορ ηελπφυλ συγγεστιονσ. ψ Τηερε ισ α Ματλαβ τοολβοξ ασσοχιατεδ ωιτη τηισ παπερ, χαλλεδ ΑΣΤοολβοξ, ωηιχη ισ αϖαιλαβλε ατ ηττπ://σιτεσ.γοογλε.χοµ/σιτε/αγυιαρχονραρια/ϕοανασοαρεσ ωαϖελετσ. ζ ΝΙΠΕανδΕχονοµιχσ επαρτµεντ,υνιϖερσιτψοφμινηο. Ε µαιλ: λφαγυιαρ εεγ.υµινηο.πτ ξ ΝΙΠΕανδ επαρτµεντοφματηεµατιχσανδαππλιχατιονσ,υνιϖερσιτψοφμινηο. Ε µαιλ: ϕσοαρεσ µατη.υµινηο.πτ 1

4 Ασ αν αλτερνατιϖε, ωαϖελετ αναλψσισ ηασ βεεν προποσεδ. Ωαϖελετ αναλψσισ περφορµσ τηε εστιµατιον οφ τηε σπεχτραλ χηαραχτεριστιχσ οφ α τιµε σεριεσ ασ α φυνχτιον οφ τιµε, ρεϖεαλινγ ηοω τηε δι ερεντ περιοδιχ χοµπονεντσ οφ τηε τιµε σεριεσ χηανγε οϖερ τιµε. Ασ ωε ωιλλ σεε, ονε µαϕορ αδϖανταγε α ορδεδ βψ τηε ωαϖελετ τρανσφορµ ισ τηε αβιλιτψ το περφορµ νατυραλ λοχαλ αναλψσισ οφ α τιµε σεριεσ: τηε ωαϖελετ στρετχηεσ ιντο α λονγ φυνχτιον το µεασυρε τηε λοω φρεθυενχψ µοϖεµεντσ, ανδ ιτ χοµπρεσσεσ ιντο α σηορτ φυνχτιον το µεασυρε τηε ηιγη φρεθυενχψ µοϖεµεντσ. Τηε πιονεερινγ ωορκ οφ Ραµσεψ ανδ Λαµπαρτ(1998α ανδ 1998β) ανδ Ραµσεψ(1999 ανδ 2002) ωασφολλοωεδβψγεν αψ,σελ υκανδβ.ωιτηχηερ(2001α,2001βανδ2005),ωονγ,ιπ,ξιεανδλυι (2003), Χοννορ ανδ Ροσσιτερ (2005), Φερνανδεζ (2005) ανδ Γαλλεγατι ανδ Γαλλεγατι (2007), αµονγ οτηερσ. Αλλ τηεσε ωορκσ, ηοωεϖερ, ηαϖε ονε χοµµον χηαραχτεριστιχ. Τηεψ αλλ ρελψ ον τηε δισχρετε ωαϖελεττρανσφορµ( ΩΤ). 1 Μορε ρεχεντλψ, τοολσ ασσοχιατεδ ωιτη τηε χοντινυουσ ωαϖελετ τρανσφορµ (ΧΩΤ) αρε βεχοµινγ µορε ωιδελψ υσεδ. Ραιηαν, Ωεν ανδ Ζενγ (2005), ϑαγρι χ ανδ Οϖιν (2004), Χροωλεψ ανδ Μαψεσ (2008), Αγυιαρ Χονραρια, Αζεϖεδο ανδ Σοαρεσ(2008), Βαυβεαυ ανδ Χαζελλεσ(2009), Ρυα ανδ Νυνεσ (2009), Ρυα(2010) ανδ Αγυιαρ Χονραρια ανδ Σοαρεσ(2011α ανδ β); προϖιδε σοµε εξαµπλεσ οφ υσεφυλ εχονοµιχ αππλιχατιονσ οφ τηεσε τοολσ. Ιν ηισ ρεϖιεω, Χροωλεψ(2007) αλσο ινχλυδεσ αν ιντροδυχτιον το τηεχοντινυουσωαϖελεττρανσφορµ. 2 Ασ ιτ ωιλλ βεχοµε χλεαρ, τηε χοντινυουσ ωαϖελετ τρανσφορµ µαπσ τηε οριγιναλ τιµε σεριεσ, ωηιχη ισαφυνχτιονοφϕυστονεϖαριαβλε τιµε ιντοαφυνχτιονοφτωοϖαριαβλεσ τιµεανδφρεθυενχψ, προϖιδινγ ηιγηλψ ρεδυνδαντ ινφορµατιον. Τηισ συγγεστσ τηατ ιτ µιγητ βε ποσσιβλε το χοµπυτε τηε ωαϖελετ τρανσφορµ φορ ϕυστ α χαρεφυλ σελεχτιον οφ ϖαλυεσ οφ τηε φρεθυενχψ ανδ τιµε παραµετερσ ανδ στιλλνοτλοοσεανψινφορµατιον(βψτηισωεµεαντηατιτισποσσιβλετορεχοϖερτηεοριγιναλτιµεσεριεσ φροµιτστρανσφορµ). Τηισισβασιχαλλψτηειδεαοφτηε ΩΤ:ωεϕυστχοµπυτετηετρανσφορµφοραϖερψ σπεχιαλ δισχρετε χηοιχε οφ τηε παραµετερ ϖαλυεσ φορ τιµε ανδ φρεθυενχψ. Τηισ λεαδσ το α ϖερψ σιµπλε ανδ ε χιεντ ιτερατιϖε σχηεµε το χοµπυτε τηε τρανσφορµ. Τηε σιµπλιχιτψ, εασε οφ ιµπλεµεντατιον ανδ, µοστ οφ αλλ, ιτσ ϖερψ λοω χοµπυτατιοναλ ε ορτ ϕυστι εσ τηε ποπυλαριτψ οφ τηε ΩΤ. Αλσο, τηε ΩΤισϖερψυσεφυλωηενουρµαινχονχερνιστοχοµπρεσσινφορµατιον,ασιτισϖερψοφτεντηεχασε ιν σιγναλ ορ ιµαγε προχεσσινγ. Τηε µοστ χοµµον τρανσφορµ αµονγ εχονοµιστσ ισ προβαβλψ τηε σο χαλλεδ ΜΟ ΩΤ (µαξιµυµ οϖερλαπ δισχρετε ωαϖελετ τρανσφορµ). Τηε ΜΟ ΩΤ χαν βε σεεν ασ α κινδ οφ χοµπροµισε βετωεεν τηε ΩΤ ανδ τηε ΧΩΤ; ιτ ισ α ρεδυνδαντ τρανσφορµ, βεχαυσε ωηιλε ιτισε χιεντωιτητηεφρεθυενχψπαραµετερσιτισνοτσελεχτιϖεωιτητηετιµεπαραµετερσ,βυτνοτασ ρεδυνδαντ ασ τηε ΧΩΤ. Τηε ρεδυνδανχψ οφ τηε ΧΩΤ ηασ α πριχε εσσεντιαλλψ, τηε πριχε ισ παιδ ινχοµπυτατιοναλτιµε βυτιτηασαλσοσοµεαδϖανταγεσ. Ονεοφτηεαδϖανταγεσλιεσον τηεφαχτ τηατ ιτ γιϖεσ υσ α λαργε φρεεδοµ ιν σελεχτινγ ουρ ωαϖελετσ, ωηιλστ τηισ χηοιχε ισ µορε λιµιτεδ ιν τηε δισχρετε σεττινγ. Βυτ, µοστ οφ αλλ, ιν ουρ οπινιον, τηε ρεδυνδανχψ µακεσ ιτ µυχη εασιερ το ιντερπρετ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ανδ το δραω χονχλυσιονσ φροµ τηε δατα. Τηε πιχτυρεσ οβταινεδ ωιτη τηε ΧΩΤ αρεµυχηεασιερτοιντερπρεττηαντηερεσυλτσοβταινεδωιτητηε ΩΤ.Ηενχε,ιφωεαρενοτχονχερνεδ ωιτη χοµπρεσσιον, βυτ, ινστεαδ, ουρ µαιν πυρποσε ισ το αναλψζε δατα το δισχοϖερ παττερνσ ορ ηιδδεν ινφορµατιον, τηεν ρεδυνδανχψ µαψ βε ηελπφυλ, ανδ τηε ΧΩΤ χαν βε υσεδ ωιτη αδϖανταγε. Ωιτη τηε 1 Φορανεξχελλεντρεϖιεωονδισχρετεωαϖελεταππλιχατιονσινεχονοµιχσ,σεεΧροωλεψ(2007). 2 Χροωλεψ(2010)προϖιδεσαναχχουντνοτονλψονδισχρετεανδχοντινυουσωαϖελετσβυταλσοονοτηερτιµε φρεθυενχψ τοολσ, ναµελψ τηε Ηιλβερτ Ηυανγ Τρανσφορµ ανδ τηε εµπιριχαλ µοδε δεχοµποσιτιον. 2

5 αδϖανχε οφ χοµπυτερ φαχιλιτιεσ ανδ τηε αϖαιλαβιλιτψ οφ υσερ φριενδλψ τοολβοξεσ το χοµπυτε τηε ΧΩΤ, τηισ τρανσφορµ ωιλλ χερταινλψ βεχοµε µορε ανδ µορε ποπυλαρ αµονγ τηε εχονοµιστσ. Υνφορτυνατελψ, ωεδονοτ νδαγοοδσινγλερεφερενχεφορσοµεονεωαντινγτουσε(χοντινυουσ) ωαϖελετ τοολσ, συχη ασ: τηε χοντινυουσ ωαϖελετ τρανσφορµ, τηε χροσσ ωαϖελετ τρανσφορµ, τηε ωαϖελετ χοηερενχψ ανδ τηε ωαϖελετ πηασε δι ερενχε. Νοτ ονλψ τηε τηεορετιχ φουνδατιονσ αρε σχαττερεδ αµονγ σεϖεραλ παπερσ ανδ βοοκσ, βυτ αλσο µοστ χοδεσ φρεελψ αϖαιλαβλε ιµπλψ ριγιδ ασσυµπτιονσ, ωηιχη δο νοτγιϖεµυχηφρεεδοµοφχηοιχετοτηερεσεαρχηερ. Φορεξαµπλε,αλλτηεωορκσχιτεδιντηεπρεϖιουσ παραγραπηµακευσεοφτηεμορλετωαϖελετανδµοστοφτηεχοδεσδονοτπροϖιδεµανψαλτερνατιϖεσ το τηε υσε οφ τηισ παρτιχυλαρ ωαϖελετ. Αλλ τηισ ηελπσ το εξπλαιν ωηψ χοντινυουσ ωαϖελετσ αρε νοτ ασ ποπυλαρ ιν Εχονοµιχσ ασ τηε δισχρετε ωαϖελετ τρανσφορµ. Ανοτηερ ποσσιβλε εξπλανατιον ισ τηατ τηε τεχηνιθυεσ ασσοχιατεδ ωιτη ΩΤ(ανδ ΜΟ ΩΤ, φορ τηατ µαττερ) ρεσεµβλε µορε τηε τραδιτιοναλ τιµε σεριεσ τοολσ. Ε.γ. Γαλλεγατι ανδ Γαλλεγατι (2007) υσε ΜΟ ΩΤ το δεχοµποσε τηε Ινδυστριαλ Προδυχτιον οφ τηε Γ 7 χουντριεσ σινχε 1961 ιν σεϖεραλ σχαλεσ(φρεθυενχιεσ). Τηεν, το αναλψζε τηε εϖολυτιον οφ τηε ϖολατιλιτψ οφ ρεαλ εχονοµιχ αχτιϖιτψ, τηεψ εστιµατε τηε ωαϖελετ ϖαριανχε ατ εαχη σχαλε, φορ εαχη δεχαδε σεπαρατελψ. Τηισ αλλοωσ τηε ρεσεαρχηερτουσεωαϖελετσανδ,αττηεσαµετιµε,ηαϖεαφοοτοντηετραδιτιοναλτιµεσεριεσµετηοδσ. Ασ Ψογο (2008) ηασ σηοων, µυλτιρεσολυτιον ωαϖελετ αναλψσισ, ωηιχη χαν ϖερψ εασιλψ βε περφορµεδ ωιτη ΩΤ, αλλοωσ τηε δεχοµποσιτιον οφ α τιµε σεριεσ ιντο τρενδ, χψχλε, ανδ νοισε. Τηε χψχλιχαλ χοµπονεντοφτηεωαϖελετ λτερεδσεριεσχλοσελψρεσεµβλεστηεσεριεσ λτερεδβψτηεβαξτερανδκινγ (1999) βανδπασσ λτερ. Μορε ιµπορταντλψ, ωηεν α ρεσεαρχηερ υσεσ τηε ΩΤ ηε/σηε µαψ ηαϖε τηε φεελινγ τηατ µυλτιϖαριατε τοολσ αρε βεινγ υσεδ. Φορ εξαµπλε, Ραµσεψ ανδ Λαµπαρτ(1998α ανδ 1998β) υσε ΩΤ το ινδιϖιδυαλλψ αναλψζε σεϖεραλ τιµε σεριεσ(ονε εαχη τιµε), ωηοσε δεχοµποσιτιονσ αρε τηεν στυδιεδ υσινγ τραδιτιοναλ τιµε δοµαιν µετηοδσ, συχη ασ Γρανγερ χαυσαλιτψ τεστσ. Ηοωεϖερ, ιν ρεαλιτψ, ωαϖελετσ ωερε νοτ υσεδ το δο µυλτιϖαριατε αναλψσισ. Ωηιτχηερ, Γυττορπ, Περχιϖαλ (2000), Γαλλεγατι (2008) υσινγ τηε ΜΟ ΩΤ ανδ Χροωλεψ, Μαψεσ ανδ Μαραυν(2006), Χροωλεψ ανδ Μαψεσ(2008) ανδ Αγυιαρ Χονραρια ετ αλ. (2008 ανδ 2011α ανδβ) υσινγχωτ ηαϖεαππλιεδχροσσ ωαϖελεταναλψσιστουνχοϖερτιµε φρεθυενχψιντεραχτιονσ βετωεεν τωο εχονοµιχ τιµε σεριεσ. Στιλλ, µοστ συρελψ, ωαϖελετσ ωιλλ νοτ βεχοµε ϖερψ ποπυλαρ ιν εχονοµιχσ υντιλ α χονχεπτ αναλογουσ το τηε σπεχτραλ παρτιαλ χοηερενχε ισ δεϖελοπεδ. Τηισ ισ ονε οφ τηε χοντριβυτιονσ οφ τηισ παπερ: το δεϖελοπ τηε χονχεπτσ οφ ωαϖελετ µυλτιπλε χοηερενχψ ανδ ωαϖελετ παρτιαλ χοηερενχψ. Ωε σηουλδ νοτε τηατ Χροωλεψ, Μαψεσ ανδ Μαραυν (2006α ανδ β) ανδ Χροωλεψ (2007) ηαϖε αλσο σοµε ωορκ ον τηισ διρεχτιον. Ιν τηειρ χασε τηεψ υσε µυλτιϖαριατε σπεχτραλ αναλψσισ υσινγ Ηιλβερτ ωαϖελετ παιρσ, οριγιναλλψ προποσεδ βψ Χραιγµιλε ανδ Ωηιτχηερ(2004). Τηισ παπερηασ ϖε µαινπυρποσεσ: (1)το γιϖε α σελφ χονταινεδσυµµαρψ οντηε µοστρελεϖαντ τηεορετιχαλ ρεσυλτσ ον χοντινυουσ ωαϖελετ αναλψσισ,(2) το ιντροδυχε τηε χονχεπτσ οφ ωαϖελετ µυλτιπλε χοηερενχψ ανδ ωαϖελετ παρτιαλ χοηερενχψ,(3) το ιντροδυχε τηε εχονοµιστ το α νεω φαµιλψ οφ ωαϖελετσ τηατ ηαϖε σοµε δεσιραβλε χηαραχτεριστιχσ ανδ τηατ σοµε αυτηορσ βελιεϖε το ηαϖε τηε ποτεντιαλ το βεχοµε ασ ποπυλαρ ασ τηε Μορλετ ωαϖελετ,(4) το δεσχριβε ηοω τηε τρανσφορµσ χαν βε ιµπλεµεντεδ ιν πραχτιχε, ανδ(5) το προϖιδε α υσερ φριενδλψ Ματλαβ τοολβοξ ιµπλεµεντινγ τηε ρεφερρεδ ωαϖελετ τοολσ, ωηιχη τηε ρεσεαρχηερ χαν φρεελψ υσε ανδ αδαπτ το ηισ/ηερ οων ρεσεαρχη. Τηισ παπερ προχεεδσ ασ φολλοωσ. Ιν Σεχτιον 2, ωε δεσχριβε τηε χοντινυουσ ωαϖελετ τρανσφορµ. Ωε αλσο δεσχριβε σοµε οφ τηε χηαραχτεριστιχσ οφ τηε Μορλετ ωαϖελετ, ρεσπονσιβλε φορ ιτσ ποπυλαριτψ ανδ α 3

6 νεω χλασσ οφ αναλψτιχ ωαϖελετσ, τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ(γμωσ), τηατ χαν ποτεντιαλλψ βεχοµε ασυσεφυλαστηεμορλετωαϖελετ. 3 ΙνΣεχτιον3,ωειντροδυχετηεχροσσ ωαϖελεττοολσ,ωηιχηινχλυδε τηε χροσσ ωαϖελετ ποωερ, ωαϖελετ χοηερενχψ ανδ πηασε δι ερενχε. Σεχτιον 4 εξτενδσ τηε χονχεπτσ οφ Σεχτιον 3 το α µυλτιϖαριατε σεττινγ. Ιν εαχη σεχτιον, ωε χονστρυχτ αν εξαµπλε το µοτιϖατε ανδ ιλλυστρατε ηοω το αππλψ ανδ ιντερπρετ τηε δεσχριβεδ ωαϖελετ τοολσ. Σεχτιον 5 συµµαριζεσ σοµε οφ τηε ρεσυλτσαλρεαδψοβταινεδιντερµσοφσιγνι χανχετεστινγ. Ινσεχτιον6,ωεπροϖιδετηρεεαππλιχατιονσ ωιτη ρεαλ δατα. Ιν ονε οφ τηεµ, ωε σηοω εϖιδενχε τηατ χορροβορατεσ τηε αργυµεντσ οφ Βλανχηαρδ ανδ Σιµον(2001) αβουτ τηε Γρεατ Μοδερατιον, ωηο ηαϖε αργυεδ τηατ τηε Γρεατ Μοδερατιον σταρτεδ ωελλ βεφορε Ιν τηε σεχονδ αππλιχατιον, ωιτη τηε ηελπ οφ χροσσ ωαϖελετ αναλψσισ, ωε στυδψ σψνχηρονισµ ιν ιντερνατιοναλ στοχκ µαρκετ ρετυρνσ. Φιναλλψ, ωε ωιλλ ιλλυστρατε τηε υσεφυλνεσσ οφ ηιγηερ ορδερ ωαϖελετ τοολσ, συχη ασ τηε παρτιαλ ωαϖελετ χοηερενχιεσ ανδ τηε παρτιαλ πηασε δι ερενχε, το στυδψ τηε λινκαγεσ βετωεεν οιλ πριχεσ ανδ τηε στοχκ µαρκετσ αφτερ χοντρολλινγ φορ σοµε οτηερ µαχροεχονοµιχ ϖαριαβλεσ. Σεχτιον7χονχλυδεσ. ΙναππενδιξΑ,ωεδεσχριβεηοωτοαδαπττηετηεορψινορδερτοιµπλεµεντιτ χοµπυτατιοναλλψ ανδ ωε ινχλυδε σοµε προοφσ οµιττεδ ιν τηε µαιν τεξτ. Ιν αππενδιξ Β, ωε γιϖε α βριεφ δεσχριπτιον οφ σοµε σοφτωαρε παχκαγεσ ανδ ωε δεσχριβε ουρ τοολβοξ, τηε ΑΣΤοολβοξ, ασ ωελλ ασ σοµε οφ ουρ χοµπυτατιοναλ χηοιχεσ. 2 Ωαϖελετ Αναλψσισ 2.1 Εξαµπλε 1: Μοτιϖατιον Ωεσταρτωιτηανεξαµπλετηαταππλιεστηετοολστηατωιλλβεεξπλαινεδλατερον. Ωερεαλιζετηαττηισ ισ αν υνορτηοδοξ ωαψ το σταρτ α παπερ, βυτ ωε ηοπε τηατ τηισ ωιλλ ηελπ το µοτιϖατε τηε ρεαδερ το ινϖεστσοµετιµειντηερεστοφτηεπαπερ. Τηε µοστ χοµµον αργυµεντ το ϕυστιφψ τηε υσε οφ ωαϖελετ αναλψσισ οϖερ σπεχτραλ αναλψσισ ισ τηε ποσσιβιλιτψ οφ τραχινγ τρανσιτιοναλ χηανγεσ αχροσσ τιµε. Ιτ ισ ασ ιφ ωε αρε εστιµατινγ τηε ποωερ σπεχτρυµ ασ α φυνχτιον οφ τιµε. Το ιλλυστρατε τηισ, χονσιδερ τηε φολλοωινγ ηιγηλψ στψλιζεδ εξπεριµεντ ωιτη σιµυλατεδ δατα. Ωε γενερατε 50 ψεαρσ οφ µοντηλψ δατα αχχορδινγ το τηε φολλοωινγ δατα γενερατινγ προχεσσ: 2 2 ψ τ =χοσ τ +χοσ τ ;+ τ τ= 1 π 1 π 2 12 ; 2 ;:::;50; (1) 12 ωηερε π 1 =10ανδ π 2 =5,ιφ20 τ 30,ανδ π 2 =3,οτηερωισε. Φορµυλα (1) τελλσ υσ τηατ τηε τιµε σεριεσ ψ τ ισ τηε συµ οφ τωο περιοδιχ χοµπονεντσ. 4 Τηε ρστ περιοδιχ χοµπονεντ ρεπρεσεντσ α 10 ψεαρ χψχλε, ωηιλε τηε σεχονδ περιοδιχ χοµπονεντ σηοωσ σοµε τρανσιεντ δψναµιχσ. Ιν τηε βεγιννινγ, ιτ ρεπρεσεντσ α 3 ψεαρ χψχλε τηατ, τεµποραριλψ, χηανγεσ το α 5 ψεαρ χψχλε βετωεεν τηε σεχονδ ανδ τηε τηιρδ δεχαδεσ. Τηισ χηανγε ιν τηε δψναµιχσ ισ νεαρλψ ιµποσσιβλε το σποτ ιν Φιγυρε 1 (α). Φυρτηερµορε, ιφ ωε υσε τηε τραδιτιοναλ σπεχτραλ αναλψσισ, τηε ινφορµατιον ον τηε τρανσιεντ δψναµιχσ ισ χοµπλετελψ λοστ, 3 ΩεαργυετηατωηιλετηεΜορλετωαϖελετσρεπρεσενττηεβεστχοµπροµισεβετωεενφρεθυενχψανδτιµελοχαλιζατιον, ΓΜΩσ αλλοω φορ µορε εξιβιλιτψ, ωηιχη χαν βε υσεφυλ ιφ τηε ρεσεαρχηερ ισ σπεχι χαλλψ ιντερεστεδ ιν ηαϖινγ α βεττερ φρεθυενχψ ορ τιµε λοχαλιζατιον. 4 Αλτηουγηηιγηλψστψλιζεδ,τηισφορµυλατιονισνοτασρεστριχτιϖεασιτµαψσεεµ. Αναυτορεγρεσσιϖεπροχεσσοφορδερ 2, ορ ηιγηερ, ωιτη αν οσχιλλατορψ βεηαϖιορ, ωιλλ ηαϖε α σολυτιον τηατ ινϖολϖεσ σινεσ ανδ χοσινεσ. Ωε, τηερεφορε, χουλδ ηαϖε γενερατεδ σιµιλαρ τιµε σεριεσ υσινγ τηε µορε χοµµον αυτο ρεγρεσσιϖε προχεσσ. Ωε χηοσε το εξπλιχιτλψ ηαϖε α χοσινε βεχαυσε τηε περιοδ οφ τηε οσχιλλατιον ισ οβσερϖεδ διρεχτλψ. 4

7 Φιγυρε1: (α) ψ τ =χοσ( 2 π 1 τ)+χοσ( 2 π 2 τ)+ τ. (β)ωαϖελετποωερσπεχτρυµοφ ψ τ.τηεχονεοφιν υενχε,ωηιχη ινδιχατεστηερεγιονα εχτεδβψεδγεε εχτσ,ισσηοωνωιτηατηιχκβλαχκλινε. Τηεχολορχοδεφορποωερρανγεσ φροµβλυε(λοωποωερ)τορεδ(ηιγηποωερ). Τηεωηιτελινεσσηοωτηεµαξιµαοφτηευνδυλατιονσοφτηεωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ. (χ) Γλοβαλ ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ αϖεραγε ωαϖελετ ποωερ φορ εαχη φρεθυενχψ. (δ) Φουριερ ποωερ σπεχτραλ δενσιτψ. ασ ωε χαν σεε ιν Φιγυρε 1 (δ). Τηε ποωερ σπεχτραλ δενσιτψ εστιµατε ισ αβλε το χαπτυρε βοτη τηε 3 ψεαρανδτηε10 ψεαρχψχλεσ 5 βυτιτχοµπλετελψφαιλστοχαπτυρετηε5 ψεαρχψχλετηατοχχυρρεδιντηε 20 σ. ΧοµπαρινγωιτηΦιγυρε1(χ),ωεοβσερϖετηατσπεχτραλαναλψσισγιϖεσυσεσσεντιαλλψτηεσαµε ινφορµατιον ασ τηε γλοβαλ ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ, ωηιχη ισ αν αϖεραγε, αχροσσ τιµε, οφ τηε ωαϖελετ ποωερσπεχτρυµ. 6 Ον τηε οτηερ ηανδ, Φιγυρε 1 (β) σηοωσ τηε ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ ιτσελφ. Ον τηε ηοριζονταλ αξισ,ωεηαϖετηετιµεδιµενσιον. Τηεϖερτιχαλαξισγιϖεσυστηεπεριοδσ. Τηεποωερισγιϖενβψτηε χολορ. Τηε χολορ χοδε φορ ποωερ ρανγεσ φροµ βλυε (λοω ποωερ) το ρεδ (ηιγη ποωερ). Ρεγιονσ ωιτη ωαρµ χολορσ ρεπρεσεντ αρεασ οφ ηιγη ποωερ. Τηε ωηιτε λινεσ σηοω τηε µαξιµα οφ τηε υνδυλατιονσ οφ τηε ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ, τηερεφορε γιϖινγ υσ αν εστιµατε οφ τηε χψχλε περιοδ. Ωε οβσερϖε α ωηιτε λινε ον περιοδ 10 αχροσσ αλλ τιµεσ, µεανινγ τηατ τηερε ισ α περµανεντ χψχλε οφ τηισ περιοδ. 5 Ωεχονϖερτεδφρεθυενχιεσιντοπεριοδχψχλεσ. 6 Ιναλλουρεξαµπλεσανδαπλιχατιονσ,ωευσετηεΜορλετΩαϖελετωιτη! 0=6:Σεεσυβσεχτιον2.9. 5

8 Βοτητηερεδχολορανδτηεβλαχκχοντουρτελλυστηαττηισχψχλεισστρονγανδστατιστιχαλλψσιγνι χαντ. Ωε αρε αβλε το σποτ τηε τηρεε ψεαρ περιοδ χψχλε τηατ οχχυρσ βετωεεν τιµε ζερο ανδ 20 ανδ, αγαιν, βετωεεντιµε30ανδ50. Φιναλλψ,ωεαρεαλσοαβλετοσποταψελλοωρεγιονβετωεεντιµε20ανδ30, ωιτητηεωηιτεστριπεσιδεντιφψινγτηεχψχλεοφπεριοδ ϖε. Τηισµεανστηαταχψχλεοφρουγηλψ5 ψεαρ περιοδιχιτψ, ρελατιϖελψ ιµπορταντ ιν εξπλαινινγ τηε τοταλ ϖαριανχε οφ τηε τιµε σεριεσ ανδ τακινγ πλαχε βετωεεν ψεαρ 20 ανδ 30, ωασ ηιδδεν βψ τηε Φουριερ ποωερ σπεχτρυµ εστιµατε. Φιγυρε 1(β) χλεαρλψ ιλλυστρατεσ τηε βιγ αδϖανταγε οφ ωαϖελετ αναλψσισ οϖερ σπεχτραλ αναλψσισ. Ωηιλε τηε Φουριερ τρανσφορµ ισ σιλεντ αβουτ χηανγεσ τηατ ηαππεν αχροσσ τιµε, ωιτη ωαϖελετσ ωε αρε αβλε το εστιµατε τηε ποωερ σπεχτρυµ ασ α φυνχτιον οφ τιµε ανδ, τηερεφορε, ωε δο νοτ λοοσε τηε τιµε διµενσιον. Τηε ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ ισ αβλε το χαπτυρε νοτ ονλψ τηε 3 ψεαρ ανδ 10 ψεαρ χψχλεσ, βυταλσοτοχαπτυρετηεχηανγετηατοχχυρρεδβετωεενψεαρσ20ανδ Νοτατιονσ ανδ Χονϖεντιονσ Ιν ωηατ φολλοωσ, Λ 2 (Ρ) δενοτεσ τηε σετ οφ σθυαρε ιντεγραβλε φυνχτιονσ, ι.ε. τηε σετ οφ φυνχτιονσ δε νεδ ον τηε ρεαλ λινε ανδ σατισφψινγ Ρ 1 1 ϕξ(τ)ϕ2 δτ < 1;ωιτη τηε υσυαλ ιννερ προδυχτ ηξ;ψι := Ρ 1 1 ξ(τ)ψ (τ)δτανδασσοχιατεδνορµκξκ:=ηξ;ξι 1 2:Ηερε,ανδινωηατφολλοωσ,τηεαστερισκσυπερ σχριπτ ισ υσεδ το δενοτε χοµπλεξ χονϕυγατιον ανδ := µεανσ βψ δε νιτιον. Σινχε τηε (σθυαρεδ) νορµοφ ξ(τ), κξ(τ)κ 2 = Ρ 1 1 ϕξ(τ)ϕ2 δτισυσυαλλψρεφερρεδτοαστηεενεργψ οφ ξ, τηεσπαχε Λ 2 (Ρ)ισ αλσοκνοωναστηεσπαχεοφ νιτεενεργψφυνχτιονσ. Ιντηεσενοτεσ,ωεαλωαψσυσετηεχονϖεντιονγ(τ) Γ(!)τοδενοτεαΦουριερπαιρ,ι.ε. ωεδενοτε βψτηεχορρεσπονδινγχαπιταλλεττερτηεφουριερτρανσφορµοφαγιϖενφυνχτιον. Ηενχε,ιφξ(τ)2Λ 2 (Ρ), Ξ(!)ωιλλδενοτειτσΦουριερτρανσφορµ,ηερεδε νεδασ Ξ(!):= Ρ 1 1 ξ(τ)ε ι!τ δτ: 7 Τηεωελλ κνοωνπαρσεϖαλρελατιον,ηξ(τ);ψ(τ)ι= 1 2 ηξ(!);ψ(!)ι;ϖαλιδφοραλλξ(τ);ψ(τ)2λ2 (Ρ); ισανιµπορταντρεσυλτφροµωηιχητηεπλανχηερελιδεντιτψιµµεδιατελψφολλοωσκξ(τ)κ 2 = 1 2 κξ(!)κ2 : 2.3 Ωαϖελετσ Τηε µινιµυµ ρεθυιρεµεντ ιµποσεδ ον α φυνχτιον (τ) 2 Λ 2 (Ρ) το θυαλιφψ φορ βεινγ α µοτηερ (αδµισσιβλε οραναλψζινγ)ωαϖελετ ιστηατιτσατισ εσατεχηνιχαλχονδιτιον,υσυαλλψρεφερρεδτοαστηε αδµισσιβιλιτψ χονδιτιον, ωηιχη ρεαδσ ασ φολλοωσ: 0<Χ := Ζ 1 1 ϕ (!)ϕ δ!<1; (2) ϕ!ϕ σεε αυβεχηιεσ(1992). Τηε χονσταντ Χ αβοϖε ισ χαλλεδ τηε αδµισσιβιλιτψ χονσταντ. Ωε σηουλδ ποιντ ουτ τηατ τηε σθυαρε ιντεγραβιλιτψ οφ (τ) ισ α ϖερψ µιλδ δεχαψ χονδιτιον ανδ τηατ, ιν πραχτιχε, µυχη µορε στρινγεντ χονδιτιονσ αρε ιµποσεδ. Ιν φαχτ, φορ τηε πυρποσε οφ προϖιδινγ α υσεφυλ τιµε φρεθυενχψ λοχαλιζατιον, τηε ωαϖελετ µυστ βε α ρεασοναβλε ωελλ λοχαλιζεδ φυνχτιον, βοτη ιντηετιµεδοµαινασωελλασιντηεφρεθυενχψδοµαιν. Φορφυνχτιονσωιτησυ χιεντδεχαψ,ιττυρνσ 7 Ωιτη τηε αβοϖε χονϖεντιον οφ τηε Φουριερ Τρανσφορµ,! ισ αν ανγυλαρ (ορ ραδιαν) φρεθυενχψ. Τηε ρελατιον το τηε µορεχοµµονφουριερφρεθυενχψ φ ισγιϖενβψ φ =! 2 : 6

9 Φιγυρε 2: Α τψπιχαλ ωαϖελετ ουτ τηατ τηε αδµισσιβιλιτψ χονδιτιον(2) ισ εθυιϖαλεντ το ρεθυιρινγ τηατ (0)= Ζ 1 1 (τ)δτ=0; (3) αγαιν, σεε αυβεχηιεσ (1992). Τηισ µεανσ τηατ τηε φυνχτιον ηασ το ωιγγλε υπ ανδ δοων τηε τ αξισ,ι.ε. ιτµυστβεηαϖελικεαωαϖε;τηισ,τογετηερωιτητηεασσυµεδδεχαψινγπροπερτψ,ϕυστι εσ τηεχηοιχεοφτηετερµωαϖελετ(οριγιναλλψ,ινφρενχη,ονδελεττε)τοδεσιγνατε Φιγυρε2. Ιτιστηισ προπερτψ τηατ αλλοωσ φορ αν ε εχτιϖε λοχαλιζατιον ιν βοτη τιµε ανδ φρεθυενχψ, χοντραρψ το τηε Φουριερ τρανσφορµ,ωηιχηδεχοµποσεστηεσιγναλιντερµοφσινεσανδχοσινεσ,ι.ε. ιν νιτεδυρατιονωαϖεσ. 2.4 Τηε Χοντινυουσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ Σταρτινγωιτηαµοτηερωαϖελετ,αφαµιλψ ;σ οφ ωαϖελετδαυγητερσ χανβεοβταινεδβψσιµπλψ σχαλινγ ανδ τρανσλατινγ : ;σ(τ):= π 1 τ ϕσϕ σ, σ; 2Ρ; σ6=0; (4) ωηερε σισασχαλινγορδιλατιονφαχτορτηατχοντρολστηεωιδτηοφτηεωαϖελετανδ ισατρανσλατιον παραµετερ χοντρολλινγ τηε λοχατιον οφ τηε ωαϖελετ. Σχαλινγ α ωαϖελετ σιµπλψ µεανσ στρετχηινγ ιτ(ιφ ϕσϕ>1)ορχοµπρεσσινγιτ(ιφϕσϕ<1),ωηιλετρανσλατινγιτσιµπλψµεανσσηιφτινγιτσποσιτιονιντιµε. Γιϖενατιµεσεριεσ ξ(τ)2λ 2 (Ρ),ιτσχοντινυουσωαϖελεττρανσφορµ (ΧΩΤ)ωιτηρεσπεχττοτηε ωαϖελετ ισαφυνχτιονοφτωοϖαριαβλεσ, Ω ξ; ( ;σ): Ω ξ; ( ;σ)= Ζ τ ξ(τ) π ϕσϕ σ δτ: (5) Τηεποσιτιονοφτηεωαϖελετιντηετιµεδοµαινισγιϖενβψ ;ωηιλειτσποσιτιονιντηεφρεθυενχψ δοµαινισγιϖενβψσ(τηερελατιονβετωεεν σανδτηεφρεθυενχψωιλλσοονβεχλεαρερ). Τηερεφορετηε 7

10 ωαϖελετ τρανσφορµ, βψ µαππινγ τηε οριγιναλ σεριεσ ιντο α φυνχτιον οφ ανδ σ, γιϖεσ υσ ινφορµατιον σιµυλτανεουσλψ ον τιµε ανδ φρεθυενχψ. Τηε φορµυλασ οφ τηε ωαϖελετ ανδ τηε Φουριερ τρανσφορµσ αρε ϖερψ σιµιλαρ. Τηε µαιν δι ερενχεσ αρε τηατ ιν τηε Φουριερ τρανσφορµ ωε ηαϖε νο τιµε λοχαλιζατιον παραµετερ ανδ τηατ ωε ηαϖε χοσινε ανδ σινε φυνχτιονσ ινστεαδ οφ α ωαϖελετ φυνχτιον. Βψ τηε ωελλ κνοων προπερτιεσ οφ τηε Φουριερ τρανσφορµ, ονε ιµµεδιατελψ σεεσ τηατ τηε ΧΩΤ(5) µαψ αλσο βε ρεπρεσεντεδ ιν τηε φρεθυενχψ, ασ Ω ξ ( ;σ)= π ϕσϕ 2 Ζ 1 1 (σ!)ξ(!)ε ι! δ!: 8 (6) 2.5 Ινϖερσιον οφ ΧΩΤ Τηειµπορτανχεοφτηεαδµισσιβιλιτψχονδιτιον(2)χοµεσφροµτηεφαχττηατιτσφυλ λµεντγυαραντεεσ τηατ τηε ενεργψ οφ τηε οριγιναλ φυνχτιον ξ(τ) ισ πρεσερϖεδ βψ τηε ωαϖελετ τρανσφορµ, ι.ε., τηε φολλοωινγ Ρ 1 Παρσεϖαλ τψπε ρελατιον ηολδσ: 1 ϕξ(τ)ϕ2 δτ = 1 Ρ 1 Ρ 1 Χ 1 1 ϕω ξ( ;σ)ϕ 2 δ δσ ;ωηιχη, ιν τυρν, ενσυρεσ σ 2 τηε ποσσιβιλιτψ οφ ρεχοϖερινγ ξ(τ) φροµ ιτσ ωαϖελετ τρανσφορµ. Ιν φαχτ, δυε το τηε ηιγη ρεδυνδανχψ οφ τηισ τρανσφορµ(νοτε τηατ α φυνχτιον οφ ονε ϖαριαβλε ισ µαππεδ ιντο α βιϖαριατε φυνχτιον), µανψ ρεχονστρυχτιον φορµυλασ αρε αϖαιλαβλε. Φορ εξαµπλε, ωηεν τηε ωαϖελετ ισ ρεαλ ϖαλυεδ, ιτ ισ ποσσιβλε το ρεχονστρυχτ ξ(τ) βψ υσινγ τηε φορµυλα ξ(τ)= 2 Χ Ζ 1 0 Ζ 1 δσ Ω ξ ( ;σ) ;σ (τ)δ 1 σ2; (7) σηοωινγ τηατ νο ινφορµατιον ισ λοστ ιφ ωε ρεστριχτ τηε χοµπυτατιον οφ τηε τρανσφορµ ονλψ το ποσιτιϖε ϖαλυεσ οφ τηε σχαλινγ παραµετερ σ, ωηιχη ισ α υσυαλ ρεθυιρεµεντ, ιν πραχτιχε. Ονεχαναλσολιµιττηειντεγρατιονοϖερασελεχτεδρανγεοφσχαλεσ,περφορµινγαβανδ πασσ λτερινγ οφ τηε οριγιναλ σεριεσ. Το ουρ κνοωλεδγε, εξχεπτ ιν Αγυιαρ Χονραρια ετ αλ. (2008) ανδ Αγυιαρ Χονραρια ανδ Σοαρεσ (2011β) νοβοδψ ηασ υσεδ τηε ινϖερσιον φορµυλα ασ α βανδ πασσ λτερ. Ουρ εξπεριενχε τελλυστηατνοτµυχηισγαινεδωηενχοµπαρεδτοτηεµορεχοµµονβανδ πασσ λτερσ,συχηαστηε ΒαξτερανδΚινγ(1999)ανδΧηριστιανοανδΦιτζγεραλδ(2003) λτερσ. 2.6 Ωαϖελετ Ποωερ Σπεχτρυµ ανδ Ωαϖελετ Πηασε Ιν αναλογψ ωιτη τηε τερµινολογψ υσεδ ιν τηε Φουριερ χασε, τηε(λοχαλ) ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ (σοµε τιµεσχαλλεδσχαλογραµ ορωαϖελετπεριοδογραµ)ισδε νεδασ (ΩΠΣ) ξ ( ;σ)=ϕω ξ ( ;σ)ϕ 2 : (8) Τηε ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ µαψ βε αϖεραγεδ οϖερ τιµε φορ χοµπαρισον ωιτη χλασσιχαλ σπεχτραλ µετηοδσ. Ωηεν τηε αϖεραγε ισ τακεν οϖερ αλλ τιµεσ, ωε οβταιν τηε γλοβαλ ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ: (ΓΩΠΣ) ξ (σ)= Ζ 1 1 ϕω ξ ( ;σ)ϕ 2 δ : (9) Ωηεντηεωαϖελετ ισχοµπλεξ ϖαλυεδ,τηεχορρεσπονδινγωαϖελεττρανσφορµω ξ ( ;σ)ισαλσοχοµπλεξ 8 Ωηεντηεωαϖελετ ισιµπλιχιτφροµτηεχοντεξτ,ωεαββρεϖιατετηενοτατιονανδσιµπλψωριτε Ω ξ φορ Ω ξ;. 8

11 ϖαλυεδ. Ιντηισχασε,τηετρανσφορµχανβεσεπαρατεδιντοιτσρεαλπαρτ,<φΩ ξ ( ;σ)γ,ανδιµαγιναρψ παρτ,=φω ξ ( ;σ)γ,ορινιτσαµπλιτυδε,ϕω ξ ( ;σ)ϕ,ανδπηασε (ορπηασε ανγλε), ξ ( ;σ):ω ξ ( ;σ)= ϕω ξ ( ;σ)ϕε ι ξ ( ;σ). Τηεπηασε ανγλε ξ ( ;σ)οφτηεχοµπλεξνυµβερ Ω ξ ( ;σ)χανβεοβταινεδφροµ τηε φορµυλα: ξ ( ;σ)=αρχταν =φωξ ( ;σ)γ : 9 <φω ξ ( ;σ)γ Φορ ρεαλ ϖαλυεδ ωαϖελετ φυνχτιονσ, τηε ιµαγιναρψ παρτ ισ χονσταντλψ ζερο ανδ τηε πηασε ισ, τηερε φορε,υνδε νεδ. Ηενχε,ινορδερτοσεπαρατετηεπηασεανδαµπλιτυδεινφορµατιονοφατιµεσεριεσ,ιτ ισιµπορτανττοµακευσεοφχοµπλεξωαϖελετσ. Ιντηισχασε,ιτισχονϖενιενττοχηοοσεαωαϖελετ (τ) ωηοσεφουριερτρανσφορµισσυππορτεδοντηεποσιτιϖερεαλ αξισονλψ, ι.ε. ισσυχητηατ (!)=0φορ! < 0: Α ωαϖελετ σατισφψινγ τηισ προπερτψ ισ χαλλεδ αναλψτιχ ορ προγρεσσιϖε. Ωηεν ισ αναλψτιχ ανδ ξ(τ) ισ ρεαλ, ρεχονστρυχτιον φορµυλασ ινϖολϖινγ ονλψ ποσιτιϖε ϖαλυεσ οφ τηε σχαλε παραµετερ σ αρε στιλλ αϖαιλαβλε; ινπαρτιχυλαρ, ιφτηεωαϖελετσατισ εσ0<ϕκ ϕ <1;ωηερε Κ := Ρ 1 (!) 0! δ!;τηενονε χαν υσε τηε φολλοωινγ ρεχονστρυχτιον φορµυλα, κνοων ασ τηε Μορλετ φορµυλα, ωηιχη ισ παρτιχυλαρλψ υσεφυλ φορ νυµεριχαλ αππλιχατιονσ: 1 ξ(τ)=2< Κ σεε, ε.γ. Φαργε(1992) ορ Ηολσχηνειδερ(1995). Ζ 1 0 Ω ξ (τ;σ) δσ σ 3=2 ; (10) Ωηεν τηε ωαϖελετ ισ αναλψτιχ, τηε χορρεσπονδινγ ωαϖελετ τρανσφορµ ισ χαλλεδ αν αναλψτιχ ωαϖελετ τρανσφορµ (ΑΩΤ). Ρεµαρκ 1 Τηρουγηουτ τηε ρεστ οφ τηισ παπερ, ωε ασσυµε τηατ αλλ τηε ωαϖελετσ χονσιδερεδ αρε αναλψτιχ ανδ ηενχε, τηατ τηε ωαϖελετ τρανσφορµ ισ χοµπυτεδ ονλψ φορ ποσιτιϖε ϖαλυεσ οφ τηε σχαλινγ παραµετερ σ. Φορ τηισ ρεασον, ιν αλλ τηε φορµυλασ τηατ ωουλδ νορµαλλψ ινϖολϖε τηε θυαντιτψ ϕσϕ, τηισ ωιλλ βε ρεπλαχεδ βψ σ. 2.7 Λοχαλιζατιον Προπερτιεσ Τηε Ηεισενβεργ υνχερταιντψ πρινχιπλε ωασ δεριϖεδ ιν θυαντυµ µεχηανιχσ. Ιτ βασιχαλλψ στατεδ τηατ χερταιν παιρσ οφ πηψσιχαλ προπερτιεσ, συχη ασ ποσιτιον ανδ µοµεντυµ, χαννοτ βε σιµυλτανεουσλψ κνοων το αρβιτραριλψ ηιγη πρεχισιον: Τηε µορε πρεχισελψ ονε προπερτψ ισ µεασυρεδ, τηε λεσσ πρεχισελψ τηεοτηερχανβεµεασυρεδ. Αππλιεδινουρχοντεξτ,ιφωεωαντπρεχισιονιντηεφρεθυενχψωεηαϖε γιϖε υπ σοµε πρεχισιον ιν τιµε. Τηε Φουριερ τρανσφορµ δοεσ τηατ: ιτ ηασ αν εξχελλεντ φρεθυενχψ λοχαλιζατιον βυτ τηε τιµε ινφορµατιον ισ λοστ. Ωιτη ωαϖελετσ, ινφορµατιον ον βοτη ισ κεπτ. Ιν τηισ συβσεχτιον, ωε ωιλλ εξαχτλψ δεσχριβε τηισ τραδε ο. Ιν ορδερ το δεσχριβε τηε τιµε φρεθυενχψ λοχαλιζατιον προπερτιεσ οφ τηε ΧΩΤ, ωε ηαϖε το ασσυµε τηατβοτητηεωαϖελετ (τ)ανδιτσφουριερτρανσφορµ (!)αρεωελλλοχαλιζεδφυνχτιονσ. Μορεπρεχισελψ, 9 ΩευσεΑρχταντοδενοτετηεφολλοωινγεξτενσιονοφτηευσυαλπρινχιπαλχοµπονεντοφτηεαρχτανφυνχτιον(ωηοσε 8 Αρχταν( β ) α>0; α ρανγεισ( =2; =2)): Αρχταν >< Αρχταν( β )+ α<0; β 0; α β α = Αρχταν( β ) α<0; β<0; α =2 α=0; β 0; >: =2 α=0; β<0: 9

12 τηεσε φυνχτιονσ µυστ ηαϖε συ χιεντ δεχαψ το γυαραντεε τηατ τηε θυαντιτιεσ δε νεδ βελοω αρε αλλ νιτε. 10 Ωεδε νετηεχεντεριντιµε οφτηεωαϖελετ, τ;,βψ τ; = 1 Ζ 1 κ κ 2 τϕ (τ)ϕ 2 δτ; 1 ανδ, ασαµεασυρεοφχονχεντρατιονοφ αρουνδιτσχεντερ, ωετακετηε στανδαρδ δεϖιατιον ιν τιµε ν Ρ1 (αλσοκνοωναστηεραδιυσιντιµε), τ; = 1 2ϕ κ κ 1 τ τ; (τ)ϕ 2 δτ!;,ανδτηεστανδαρδδεϖιατιον(ορραδιυσ)ινφρεθυενχψ,!; ;αρεδε νεδινασιµιλαρωαψ: ο1 2 : Τηε χεντερ ιν φρεθυενχψ,!; = 1 Ζ 1 κ κ 2!ϕ (!)ϕ 2 δ! (11) 1 ν Ρ1 ανδ!; = 1 2ϕ (!)ϕ κ κ 1 2 ο1 2!!; δ!. 11 Τηεθυαντιτιεσ τ ανδ τ αρετηεµεανανδστανδαρδδεϖιατιονοφτηεπροβαβιλιτψδενσιτψφυνχτιον (π.δ.φ.) δε νεδβψϕ (τ)ϕ 2 =κ κ 2 :Τηεσαµειστρυεφορ! ;! ανδϕ (!)ϕ 2 =κ κ 2 :Τηερεφορε,ιτσηουλδ νοτ χοµε ασ α συρπρισε τηατ τηε ιντερϖαλ [ τ τ ; τ + τ ] ισ τηε σετ ωηερε (τ) ατταινσ ιτσ µοστ σιγνι χαντ ϖαλυεσωηιλσττηειντερϖαλ[!! ;! +! ]πλαψστηεσαµερολεφορ (!). Τηερεχτανγλε Η :=[ τ τ ; τ + τ ] [!! ;! +! ] (12) ιντηε(τ;!) πλανεισχαλλεδτηεηεισενβεργβοξ ορωινδοω φορτηεφυνχτιον. Ωετηενσαψτηατ ισλοχαλιζεδαρουνδτηεποιντ( τ ;! )οφτηετιµε φρεθυενχψπλανε,ωιτηυνχερταιντψ γιϖενβψ τ! : Ιν ουρ χοντεξτ, τηε Ηεισενβεργ υνχερταιντψ πρινχιπλε εσταβλισηεσ τηε φολλοωινγ λοωερ βουνδ: τ! 1 2 : (13) Ρεχαλλινγτηαττηεωαϖελετδαυγητερ ;σ ισοβταινεδφροµιτσµοτηερ βψασιµπλετρανσλατιονβψ ανδ α σχαλινγ βψ σ, ιτ ισ εασψ το σηοω τηατ τηε χεντερ ανδ ραδιυσ ιν τιµε οφ ;σ αρε γιϖεν βψ τ; ;σ = +σ τ ανδ τ; ;σ =σ τ ανδτηαττηεχεντερανδραδιυσινφρεθυενχψοφ ;σ αρεγιϖενβψ!; ;σ =! σ ανδ!; ;σ =! σ. Ιν παρτιχυλαρ, ιφ τηε µοτηερ ωαϖελετ ισ χεντερεδ ατ τ=0, ι.ε. ιφ τ =0, 12 τηεντηεωινδοωασσοχιατεδωιτη ;σ βεχοµεσ η! Η ;σ =[ σ τ ; +σ τ ] σ! σ ;! σ + ι! : (14) σ Ιντηισχασε,ονεηαστηατΩ ξ ( ;σ) Ρ +σ τ σ τ ξ(τ) ;σ(τ)δτανδ,βψτηεπαρσεϖαλρελατιον,ω ξ ( ;σ) 2 Ρ! σ +! σ!σ Ξ(!)! σ; (!)δ!: σ ΩετηυσχονχλυδετηαττηεχοντινυουσωαϖελεττρανσφορµΩ ξ ( ;σ)γιϖεσυστεµποραλινφορµατιον ον ξ(τ) αρουνδ τηε ινσταντ τ( ) =, ωιτη πρεχισιον σ τ, ανδ φρεθυενχψ ινφορµατιον αβουτ Ξ(!) 10 Τηεπρεχισερεθυιρεµεντσαρετηατϕ (τ)ϕ<χ(1+ϕτϕ) (1+ ) ανδϕ (!)ϕ<χ(1+ϕ!ϕ) (1+ ),φορ Χ <1, >0. 11 Ιφτηεωαϖελετ ισκνοωνφροµτηεχοντεξτ,ωεωιλλσυππρεσστηεινδεξ ιντηενοτατιονοφτηεαβοϖεθυαντιτιεσ, ε.γ. ωεωιλλσιµπλψυσε τ φορ τ;,ετχ. 12 Νοτετηαττηισχανεασιλψβεαχηιεϖεδβψαναππροπριατετρανσλατιον. 10

13 Φιγυρε 3: Ωινδοωσ ασσοχιατεδ ωιτη α Χοντινυουσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ αρουνδ τηε φρεθυενχψ ωιτηπρεχισιον! σ.!(σ)=! σ ; (15) Αλτηουγητηεαρεαοφτηεωινδοωσαρεχονσταντ(γιϖενβψ4 τ! ),τηειρδιµενσιονσχηανγεαχχορδ ινγτοτηεσχαλε;τηεωινδοωσστρετχηφορλαργεϖαλυεσοφσ(βροαδσχαλεσσ λοωφρεθυενχιεσ! σ =! σ ) ανδ χοµπρεσσ φορ σµαλλ ϖαλυεσ οφ σ ( νε σχαλε ηιγη φρεθυενχιεσ! σ ). Τηισ ισ ωηατ σοµε αυτηορσ µεανωηεντηεψσαψτηατονεµαϕοραδϖανταγεα ορδεδβψτηεωαϖελεττρανσφορµ ωηενχοµπαρεδ ωιτη τηε µοστ φαµουσ αλτερνατιϖε, τηε σηορτ τιµε ορ ωινδοωεδ Φουριερ τρανσφορµ ισ ιτσ αβιλιτψ το αδϕυστ το τηε λοχαλ αναλψσισ οφ α τιµε σεριεσ ιν τηε σενσε τηατ τηε λενγτη οφ τηε ωαϖελετσ ϖαριεσ ενδογενουσλψ: ιτ στρετχηεσ ιντο α λονγ ωαϖελετ φυνχτιον το µεασυρε τηε λοω φρεθυενχψ µοϖεµεντσ; ανδ ιτ χοµπρεσσεσ ιντο α σηορτ ωαϖελετ φυνχτιον το µεασυρε τηε ηιγη φρεθυενχψ µοϖεµεντσ. 2.8 Σχαλε/Φρεθυενχψ Ρελατιον ανδ Φουριερ Φαχτορ Στριχτλψ σπεακινγ, τηε ωαϖελετ τρανσφορµ προϖιδεσ υσ α τιµε σχαλε ρεπρεσεντατιον οφ τηε φυνχτιον βεινγ αναλψζεδ ανδ νοτ α τιµε φρεθυενχψ ρεπρεσεντατιον. Φορµυλα(15) ισ χοµµονλψ υσεδ το χονϖερτ σχαλεσ ιντο φρεθυενχιεσ. Ηοωεϖερ, ωε σηουλδ ηαϖε ιν µινδ τηατ τηισ ινϖερσε ρελατιον βετωεεν σχαλε ανδ φρεθυενχψ χορρεσπονδσ το α παρτιχυλαρ ιντερπρετατιον ανδ τηατ τηερε αρε οτηερ µεανινγφυλ ωαψσ οφ ασσιγνινγ φρεθυενχιεσ το σχαλεσ. Ασ Μεψερσ ετ αλ. (1993) σαψ, φορ α γενεραλ ωαϖελετ, τηε ρελατιον βετωεεν σχαλε ανδ τηε µορε χοµµον Φουριερ ωαϖελενγτη ισ νοτ νεχεσσαριλψ στραιγητφορωαρδ; φορ εξαµπλε, σοµε ωαϖελετσ αρε ηιγηλψ ιρρεγυλαρ ωιτηουτ ανψ δοµιναντ περιοδιχ χοµπονεντσ. Ιν τηοσε χασεσιτισπροβαβλψαµεανινγλεσσεξερχισετο νδαρελατιονβετωεεντηετωοδισπαρατεµεασυρεσοφ διστανχε. Τηισ ασπεχτ, ασ ωε εξπλαιν λατερ, µακεσ τηε χηοιχε οφ τηε παρτιχυλαρ ωαϖελετ αν ιµπορταντ οπτιον. Τηερε αρε ατ λεαστ τηρεε δι ερεντ µεανινγφυλ ωαψσ το χονϖερτ σχαλεσ ιντο φρεθυενχιεσ. Ιν Λιλλψ ανδ Οληεδε (2009), τηε αυτηορσ χονσιδερ, απαρτ φροµ τηε ϖαλυε οφ!; γιϖεν βψ (11), ωηιχη τηεψ χαλλτηεενεργψ φρεθυενχψ,ανδωηιχη,φορχονϖενιενχε,ωεωιλλνοωδενοτεβψ! Ε,τωοοτηερσπεχι χ φρεθυενχιεσασσοχιατεδωιτητηεωαϖελετ: τηεπεακ φρεθυενχψ,! Π,δε νεδαστηεφρεθυενχψατωηιχη τηε µαγνιτυδε οφ τηε Φουριερ τρανσφορµ οφ, ϕ (!)ϕ, ισ µαξιµιζεδ, ι.ε. ϕ (! Π )ϕ=συπ!2ρ ϕ (!)ϕ; 11

14 ανδτηεχεντραλινσταντανεουσφρεθυενχψ,! Ι,δε νεδαστηεϖαλυετηαττηετιµε ϖαρψινγινσταντανεουσ φρεθυενχψοφτηεωαϖελεττακεσατιτσχεντερ(ηερεασσυµεδτοβε0),ι.ε.! Ι =! (0);ωηερε!(τ),ιστηε τιµε ϖαρψινγ ινσταντανεουσ φρεθυενχψ οφ τηε ωαϖελετ, δε νεδ βψ! (τ)= δ δτ =φλν (τ)γ: Το εαχη οφ τηετηρεεσπεχι χφρεθυενχιεσ,! Ε ;! Π ανδ! Ι τηεψασσοχιατεανιντερπρετατιονοφσχαλεασφρεθυενχψ. Μορεπρεχισελψ,τηεψδε νε!(σ)=! σ ; (16) ωιτη! δενοτινγανψοφτηετηρεεσπεχι χφρεθυενχιεσ. Νοτετηατ!(σ),ασωελλασ! Ε ;! Π ανδ! Ι,αρε αλλ ανγυλαρ φρεθυενχιεσ. Ιφ ωε πρεφερ α ρελατιον βετωεεν τηε σχαλε ανδ τηε υσυαλ Φουριερ φρεθυενχψ φ (εξπρεσσεδινχψχλεσπερυνιττιµε),ωεηαϖε Φφ= 2! περιοδσ. φ(σ)=! 2 σ : (17) ισχαλλεδφουριερφαχτορ οφτηεωαϖελετανδισυσεδ,ιντηεπρογραµσ,τοχονϖερτσχαλεστο Τοσεετηαττηετηρεεχορρεσπονδενχεσ!(σ)=! σ,! =! Π ;! Ε ;! Ι αρεαλλµεανινγφυλ(αλτηουγη ινδι ερεντσενσεσ)ωερεφερτηερεαδερτοτηεµεντιονεδπαπερβψλιλλψανδοληεδε(2009). Νατυραλλψ,ιτωιλλβεχονϖενιενττοχηοοσεαωαϖελετωηοσεασσοχιατεδφρεθυενχιεσ! Ε ;! Π ανδ! Ι ηαϖεαλλτηεσαµε(ορ,ατλεαστ,ϖερψσιµιλαρ)ϖαλυε,σινχετηισωιλλγιϖευσαυνι εδϖιεωοφτηερελατιον βετωεεν φρεθυενχψ ανδ σχαλε. 2.9 Αναλψτιχ Ωαϖελετσ Τηε αδµισσιβιλιτψ χονδιτιον (2) ισ α ϖερψ ωεακ χονδιτιον ανδ, ιν τηεορψ, τηερε αρε ιν νιτελψ µανψ ωαϖελετσ. Ινπραχτιχε,ωηιχηωαϖελεττουσεισανιµπορταντασπεχττοβετακενιντοαχχουντ,ανδωιλλ βε διχτατεδ βψ τηε κινδ οφ αππλιχατιον ονε ηασ ιν µινδ. Το στυδψ τηε σψνχηρονισµ βετωεεν δι ερεντ τιµε σεριεσ, ιτ ισ ιµπορταντ το σελεχτ α ωαϖελετ ωηοσε χορρεσπονδινγ τρανσφορµ χονταινσ ινφορµατιον ον βοτη αµπλιτυδε ανδ πηασε, ανδ ηενχε, α χοµπλεξ ϖαλυεδ αναλψτιχ ωαϖελετ ισ α νατυραλ χηοιχε. Ασ στατεδ ιν Λιλλψ ανδ Οληεδε (2009), τηε αναλψτιχ ωαϖελετ τρανσφορµ (ΑΩΤ) ισ τηε βασισ φορ τηε ωαϖελετ ριδγε µετηοδ, ωηιχη ρεχοϖερσ τιµε ϖαρψινγ εστιµατεσ οφ ινσταντανεουσ αµπλιτυδε, πηασε, ανδ φρεθυενχψ οφ α µοδυλατεδ οσχιλλατορψ σιγναλ φροµ τηε τιµε/σχαλε πλανε( ελπρατ ετ αλ ανδ Μαλλατ 1998). Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε αναλψτιχ ωαϖελετ τρανσφορµ χαν αλσο βε υσεφυλ φορ αππλιχατιον το ϖερψ τιµε λοχαλιζεδ στρυχτυρεσ Τυ, Ηωανγ ανδ Ηο (2005). Τηε µανψ υσεφυλ φεατυρεσ οφ αναλψτιχ ωαϖελετσ αρε χοϖερεδ ιν µορε δεπτη βψ Σελεσνιχκ, Βαρανιυκ ανδ Κινσβυρψ (2005); σεε αλσο Οληεδε ανδ Ωαλδεν(2002) ανδ Λιλλψ ανδ Οληεδε(2009). Ιν τηισ σεχτιον, ωε συµµαριζε σοµε προπερτιεσ τηατ εξπλαιν ωηψ τηε Μορλετ ωαϖελετ ισ τηε µοστ υσεδ ωαϖελετ ιν πραχτιχε (το ουρ κνοωλεδγε, εϖερψ αππλιχατιον οφ τηε χοντινυουσ ωαϖελετ τρανσφορµ ιν Εχονοµιχσ ηασ υσεδ τηισ χηοιχε). Ωε αλσο πρεσεντ α παρτιχυλαρλψ ιµπορταντ φαµιλψ οφ αναλψτιχ ωαϖελετσ, τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ (ΓΜΩσ), ωηιχη αρε µορε εξιβλε ανδ χαν βε υσεδ ασ αν αλτερνατιϖε το τηε Μορλετ ωαϖελετ ωηεν ονε πρεφερσ βεττερ τιµε λοχαλιζεδ ορ φρεθυενχψ λοχαλιζεδ ωαϖελετσ. Τηε ρεσυλτσ οφ τηισ σεχτιον αρε δεριϖεδ φροµ τηε παπερσ βψ Οληεδε ανδ Ωαλδεν(2002) ανδ Λιλλψ ανδ Οληεδε(2009 ανδ 2010). 12

15 2.9.1 Μορλετ Ωαϖελετσ ΤηεΜορλετωαϖελετσ αρεαονε παραµετερφαµιλψοφφυνχτιονσ, ρστιντροδυχεδινγουπιλλαυδ,γροσσ µανανδμορλετ(1984),ανδγιϖενβψ! 0 (τ)=κε ι! 0τ ε τ 2 2 : (18) Στριχτλψ σπεακινγ, τηε αβοϖε φυνχτιονσ αρε νοτ τρυε ωαϖελετσ, σινχε τηεψ φαιλ το σατισφψ τηε αδµισσιβιλιτψ χονδιτιον. 13 Φορ!0 (τ)τοηαϖευνιτενεργψ,τηενορµαλιζινγχονσταντ Κ µυστβεχηοσενασ Κ= 1=4 ; (19) ωηιχη, φροµ νοω ον, ωε ωιλλ αλωαψσ ασσυµε το βε τρυε. Τηε Φουριερ τρανσφορµ οφ τηε νορµαλιζεδ ωαϖελετ ισ γιϖεν βψ!0 (!)= π 2 1=4 ε 1 2 (!! 0) 2 (20) ανδ,ηενχε,!0 (0)= π 2 1=4 ε! 0 2 =2 6=0. Ηοωεϖερ,φορσυ χιεντλψλαργε! 0,ε.γ.! 0 >5,τηεϖαλυεσ οφ! 0 (!)φορ! 0αρεσοσµαλλτηατ,φορνυµεριχαλπυρποσεσ,!0 χανβεχονσιδερεδασαναναλψτιχ ωαϖελετ; σεε Φουφουλα Γεοργιου ανδ Κυµαρ(1994). Τηε Μορλετ ωαϖελετ βεχαµε τηε µοστ ποπυλαρ οφ τηε χοµπλεξ ϖαλυεδ ωαϖελετσ µαινλψ βεχαυσε οφ φουρ ιντερεστινγ προπερτιεσ. Φιρστ, φορ νυµεριχαλ πυρποσεσ, ασ ωε ηαϖε ϕυστ σεεν, ιτ χαν βε τρεατεδ ασ αν αναλψτιχ ωαϖελετ. Σεχονδ, τηε πεακ φρεθυενχψ, τηε ενεργψ φρεθυενχψ ανδ τηε χεντραλ ινσταντανεουσ φρεθυενχψοφτηεμορλετωαϖελεταρεαλλεθυαλανδγιϖενβψ! Π! 0 =! Ε! 0 =! Ι! 0 =! 0 ; (21) φαχιλιτατινγ τηε χονϖερσιον φροµ σχαλεσ το φρεθυενχιεσ. Υσινγ φορµυλα(17), ανδ φορ τηε µοστ χοµµον χηοιχεχηοιχεοφ! 0 =6,ωεηαϖετηατφ = 6 2 σ 1 σ :Τηιρδ,τηεΗεισενβεργβοξαρεαρεαχηεσιτσλοωερ βουνδ ωιτη τηισ ωαϖελετ, ι.ε. τηε υνχερταιντψ ατταινσ τηε µινιµυµ ποσσιβλε ϖαλυε: τ;!0!;!0 = 1 2 : Ιν τηισ σενσε, τηε Μορλετ ωαϖελετ ηασ οπτιµαλ ϕοιντ τιµε φρεθυενχψ χονχεντρατιον. Φιναλλψ, τηε τιµε ραδιυσ ανδ τηε φρεθυενχψ ραδιυσ αρε εθυαλ, τ;!0 =!;!0 = π 1 2 ;ανδ, τηερεφορε, τηισ ωαϖελετ ρεπρεσεντσ τηε βεστ χοµπροµισε βετωεεν τιµε ανδ φρεθυενχψ χονχεντρατιον. Το ουρ κνοωλεδγε, ατ λεαστινεχονοµιχσ,εϖερψπαπερυσεσσοµεϖαλυεοφ! 0 2[5;6]: Γενεραλιζεδ Μορσε Ωαϖελετσ Ιν σπιτε οφ ιτσ υσεφυλνεσσ, τηε Μορλετ ωαϖελετ ισ νοτ ϖερψ ϖερσατιλε, βεχαυσε ιτ δεπενδσ ον ϕυστ ονε παραµετερ. Ιφ ονε ισ ιντερεστεδ ιν ηαϖινγ α βεττερ λοχαλιζατιον ιν φρεθυενχψ(ορ ιν τιµε) ονε χαννοτ αδϕυστ τηε Μορλετ ωαϖελετ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιτ ισ θυιτε χοµµον το ηαϖε ρεφερεε ρεπορτσ ασκινγ φορτηεροβυστνεσσοφτηερεσυλτστοτηεχηοιχεοφτηεμορλετωαϖελετ(εϖενιφψουαρεϖερψχαρεφυλατ εξπλαινινγ τηε οπτιµαλ χηαραχτεριστιχσ οφ τηε Μορλετ ωαϖελετ). Φιναλλψ, αλτηουγη ιτ ισ τρυε τηατ τηε Μορλετ ωαϖελετ ηασ οπτιµαλ ϕοιντ τιµε φρεθυενχψ χονχεντρατιον ιντηεηεισενβεργσενσε,ιτισαλσοτρυετηατοτηερχριτεριααρεαϖαιλαβλε. Τηεωηολεσετοφγενεραλιζεδ 13 Ιν ορδερ το φυλ λλ τηε αδµισσιβιλιτψ χονδιτιον, α χορρεχτιον τερµ ηασ το βε αδδεδ, ασ:!0 (τ) = Κ ε ι! 0τ ε!2 0 =2 ε τ2 =2 : 13

16 Μορσε ωαϖελετσ αρε οπτιµαλλψ λοχαλιζεδ ιν τηατ τηεψ µαξιµιζε τηε ειγενϖαλυεσ οφ α ϕοιντ τιµε φρεθυενχψ λοχαλιζατιον οπερατορ(:::) ανδ ινδεεδ τηισ ισ τηε ωαψ τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ ωερε ινιτιαλλψ χονστρυχτεδ. ινλιλλψανδοληεδε(2009). ΤηεγενεραλιζεδΜορσεωαϖελετσ(ΓΜΩσ)αρεατωο παραµετερφαµιλψοφωαϖελετσ,δε νεδ,ιντηε φρεθυενχψ δοµαιν, βψ ; (!)=Κ ; Η(!)! ε! (22) ωηερε Κ ; ισανορµαλιζινγχονσταντανδ Η(!)ιστηεΗεαϖισιδευνιτστεπφυνχτιον. Τοβεαϖαλιδωαϖελετ, ονεµυστηαϖε >0ανδ >0. Βψϖαρψινγτηεσετωοπαραµετερσ, τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ χαν βε γιϖεν α βροαδ ρανγε οφ χηαραχτεριστιχσ ωηιλε ρεµαινινγ εξαχτλψ αναλψτιχ. Ιν φαχτ, τηεσε ωαϖελετσ φορµ α ϖερψ ωιδε φαµιλψ τηατ συβσυµεσ µανψ οτηερ τψπεσ οφ ωαϖελετσ. Λιλλψ ανδ Οληεδε σηοωεδ τηατ τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ ενχοµπασσ τωο οτηερ ποπυλαρ φαµιλιεσ οφ αναλψτιχ ωαϖελετσ: τηε Χαυχηψ ορ Κλαυδερ ωαϖελετ φαµιλψ (φορ =1), τηε Παυλ ωαϖελετσ (ωηιχη χορρεσπονδτοτηεχασε =1ανδ 2Ν)ανδτηεαναλψτιχ εριϖατιϖεοφγαυσσιαν ( ΟΓ)ωαϖελετσ (φορ =2). Υνφορτυνατελψ, χοντραρψ το τηε Μορλετ χασε, φορ τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ, ωε δο νοτ ηαϖε α σινγλε ωαψ το χονϖερτ σχαλεσ ιντο φρεθυενχιεσ. Τηισ ισ σο βεχαυσε τηε πεακ φρεθυενχψ,! Π ; = 1= ; ισ δι ερεντ φροµ τηε ενεργψ φρεθυενχψ,! Ε ; = ) ; ωηιχη ισ δι ερεντ φροµ τηε ( 2 1= ( 2 +1 ) χεντραλινσταντανεουσφρεθυενχψ,! Ι ; = ( +2 ) ( +1 ) =21=! Ε =2; :Φορτηεεχονοµιστ,υσεδτοτηινκαβουτ φρεθυενχιεσ, τηισ ισ αν οβϖιουσ δισαδϖανταγε οφ τηισ φαµιλψ οφ ωαϖελετσ Μεασυρεσ φορ τηε Μορλετ ανδ τηε Γενεραλιζεδ Μορσε Ωαϖελετσ Α ταβλε ωιτη τηε λοχαλιζατιον µεασυρεσ(τιµε ραδιυσ, φρεθυενχψ ραδιυσ ανδ Ηεισενβεργ αρεα) φορ ΓΜΩ ;,φορσοµεϖαλυεσοφ ανδ ισγιϖενβελοω. Ιντηελαστροω,ωεαλσοινδιχατετηεµεασυρεσφορ τηεμορλετωαϖελετ. 14 Ασ ωε ηαϖε σαιδ βεφορε, ιν εχονοµιχσ εϖερψ σινγλε αππλιχατιον οφ τηε ΧΩΤ τηατ ωε κνοω οφ υσεστηεμορλετωιτη! 0 2[5;6]:Ανδτηερεαρεγοοδρεασονσφορτηισχηοιχε, ασωεχανινταβλε1. Ηοωεϖερ, ιφ φορ α παρτιχυλαρ αππλιχατιον τηε ρεσεαρχηερ νεεδσ το ηαϖε α βεττερ φρεθυενχψ λοχαλιζατιον, τηεντηεγμωπροϖιδεσαγοοδαλτερνατιϖε,βεχαυσειτισ εξιβλεωηιλερεµαινινγεξαχτλψαναλψτιχ. Φορεξαµπλε,φορ =10ανδ =10τηεΗεισενβεργυνχερταιντψ(0:529)ισχλοσετοιτσλοωερβουνδ ανδτηεφρεθυενχψαχχυραχψισϖερψγοοδ: φ =0:075(ωιτη τ =7:1):Ιφινστεαδτηερεσεαρχηερωαντσ αϖερψωελλτιµελοχαλιζεδωαϖελετ,τηεν,ωιτη =10ανδ =1=2;ονεωουλδηαϖεγοοδλοχαλιζατιον ιντιµε, τ =0:004;βαδλοχαλιζατιονινφρεθυενχψ, φ =140;ανδτηεΗεισενβεργυνχερταιντψ,0.54, ισνοτφαρφροµιτσλοωερβουνδ. Τηε βεστ χοµπροµισε ισ αχηιεϖεδ βψ τηε Μορλετ ωαϖελετ, ηοωεϖερ ιφ ονε ωαντσ το εξπλορε τηε τραδε ο βετωεεν τιµε ανδ φρεθυενχψ πρεχισιον τηεν, προβαβλψ, τηε γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ αρε τηε βεστ ωαϖελετ φυνχτιον αϖαιλαβλε. 14 Ινουρτοολβοξωεπροϖιδεαχοδετηαταλλοωστηερεσεαρχηερτοχοµπυτετηεσεµεασυρεσφορανψχοµβινατιονοφ ανδ :Τηεφορµυλασφορτηεραδιυσιντιµεανδινφρεθυενχψ,νεεδεδτοχοµπυτετηεΗεισενβεργυνχερταιντψ,αρεγιϖεν ινλιλλψανδοληεδε(2009). Τηεσαµεχοδεµαψβευσεδτοχαλχυλατε! Π ;,! Ε ;,! Ι ;. 14

17 Ταβλε 1: Μεασυρεσ φορ σοµε µεµβερσ οφ τηε φαµιλλψ οφ γενεραλιζεδ Μορσε ωαϖελετσ 3 Χροσσ Ωαϖελετ Αναλψσισ Ιν µανψ αππλιχατιονσ, ονε ισ ιντερεστεδ ιν δετεχτινγ ανδ θυαντιφψινγ ρελατιονσηιπσ βετωεεν τωο νον στατιοναρψ τιµε σεριεσ. Τηε χονχεπτσ οφ χροσσ ωαϖελετ ποωερ, ωαϖελετ χοηερενχψ ανδ ωαϖελετ πηασε δι ερενχε αρε νατυραλ γενεραλιζατιονσ οφ τηε βασιχ ωαϖελετ αναλψσισ τοολσ τηατ εναβλε υσ το αππροπριατελψ δεαλ ωιτη τηε τιµε φρεθυενχψ δεπενδενχιεσ βετωεεν τωο τιµε σεριεσ. Ρεµαρκ 2 Φροµ νοω ον, αλλ τηε θυαντιτιεσ ωε αρε γοινγ το ιντροδυχε(ε.γ. χροσσ ωαϖελετ τρανσφορµ, ωαϖελετ χοηερενχψ, ετχ.) αρε φυνχτιονσ οφ τιµε ανδ σχαλε (ορ φρεθυενχψ). Ιν ορδερ το σιµπλιφψ τηε νοτατιον, ωε ωιλλ δεσχριβε τηεσε θυαντιτιεσ φορ α σπεχι χ ϖαλυε οφ τηε αργυµεντ ( ;σ) ανδ τηισ ϖαλυε οφ τηε αργυµεντ ωιλλ, υνλεσσ στριχτλψ νεχεσσαρψ, βε οµιττεδ ιν τηε φορµυλασ. 3.1 Χροσσ Ωαϖελετ Τρανσφορµ ανδ Χροσσ Ωαϖελετ Ποωερ Τηεχροσσ ωαϖελεττρανσφορµ (ΞΩΤ)οφτωοτιµεσεριεσ, ξ(τ)ανδ ψ(τ), ρστιντροδυχεδβψηυδγινσ, ΦριεηεανδΜαψερ(1993),ισσιµπλψδε νεδασ Ω ξψ =Ω ξ Ω ψ; (23) 15

18 ωηερεω ξ ανδω ψ αρετηεωαϖελεττρανσφορµσοφξανδψ,ρεσπεχτιϖελψ. 15 Τηεχροσσ ωαϖελετποωερ ισ (ΞΩΠ) ξψ =ϕω ξψ ϕ: (24) Ωηιλε ωε χαν ιντερπρετ τηε ωαϖελετ ποωερ σπεχτρυµ ασ δεπιχτινγ τηε λοχαλ ϖαριανχε οφ α τιµε σεριεσ, τηε χροσσ ωαϖελετ ποωερ οφ τωο τιµε σεριεσ δεπιχτσ τηε λοχαλ χοϖαριανχε βετωεεν τηεσε τιµε σεριεσ ατ εαχητιµεανδφρεθυενχψ. Τηερεφορε,τηεχροσσ ωαϖελετποωεργιϖεσυσαθυαντι εδινδιχατιονοφτηε σιµιλαριτψ οφ ποωερ βετωεεν τωο τιµε σεριεσ. 3.2 Χοµπλεξ Ωαϖελετ Χοηερενχψ Ιν αναλογψ ωιτη τηε χονχεπτ οφ χοηερενχψ υσεδ ιν Φουριερ αναλψσισ, γιϖεν τωο τιµε σεριεσ ξ(τ) ανδ ψ(τ)ονεχανδε νετηειρχοµπλεξωαϖελετχοηερενχψ % ξψ βψ: % ξψ = Σ(Ω ξψ ) [Σ(ϕΩ ξ ϕ 2 )Σ(ϕΩ ψ ϕ 2 )] 1=2; (25) ωηερε Σ δενοτεσ α σµοοτηινγ οπερατορ ιν βοτη τιµε ανδ σχαλε; σµοοτηινγ ισ νεχεσσαρψ, βεχαυσε, οτηερωισε,χοηερενχψωουλδβειδεντιχαλλψονεαταλλσχαλεσανδτιµεσ. 16 Τιµεανδσχαλεσµοοτηινγ χαν βε αχηιεϖεδ βψ χονϖολυτιον ωιτη αππροπριατε ωινδοωσ; σεε Χαζελλεσ, Χηαϖεζ, δε Μαγνψ, Γυ γαν ανδ Ηαλεσ(2007) ορ Γρινστεδ, Μοορε ανδ ϑεϖρεϕεϖα(2004), φορ δεταιλσ. 3.3 Ωαϖελετ Χοηερενχψ ανδ Πηασε ι ερενχε Τηε χοµπλεξ ωαϖελετ χοηερενχψ χαν βε ωριττεν ιν πολαρ φορµ, ασ % ξψ = % ξψ ε ι ξψ: Τηε αβσολυτε ϖαλυεοφτηεχοµπλεξωαϖελετχοηερενχψισχαλλεδτηεωαϖελετχοηερενχψ ανδισδενοτεδβψ Ρ ξψ,ι.ε. Ρ ξψ = ϕσ(ω ξψ )ϕ [Σ(ϕΩ ξ ϕ 2 )Σ(ϕΩ ψ ϕ 2 )] 1=2; (26) ωιτη 0 Ρ ξψ ( ;σ) 1: 17 Τηε ανγλε ξψ οφ τηε χοµπλεξ χοηερενχψ ισ χαλλεδ τηε πηασε δι ερενχε (πηασελεαδοφ ξοϖερ ψ),ι.ε. ξψ =Αρχταν =(Σ(Ωξψ )) <(Σ(Ω ξψ )) Σοµεαυτηορσπρεφερασλιγητλψδι ερεντδε νιτιον,αρχταν =(Ωξψ) <(Ω ξψ) (27) :Ιντηισχασε,ονεηασ ξψ = ξ ψ ; 18 ηενχε τηε ναµε πηασε δι ερενχε. Τηε αδϖανταγε οφ τηισ δε νιτιον ισ τηατ βεχαυσε τηε πηασε δι ερενχε ισ νοτ α εχτεδ βψ τηε σµοοτηινγ χηοιχε, ιτ ισ φυλλψ χονσιστεντ ωιτη τηε ινδιϖιδυαλ πηασεσ. Α πηασε δι ερενχε οφ ζερο ινδιχατεσ τηατ τηε τιµε σεριεσ µοϖε τογετηερ ατ τηε σπεχι εδ τιµε φρεθυενχψ;ιφ ξψ 2(0; 2 ),τηεντηεσεριεσµοϖεινπηασε,βυττηετιµεσεριεσξλεαδσψ;ιφ ξψ2( 2 ;0), τηεν ιτ ισ ψ τηατ ισ λεαδινγ; α πηασε δι ερενχε οφ (ορ ) ινδιχατεσ αν αντι πηασε ρελατιον; ιφ 15 Ωηεν ψ=ξ,ωεοβταιντηεωαϖελετποωερσπεχτρυµ Ω ξξ=ϕω ξϕ 2 =(ΩΠΣ) ξ: 16 ΤηεσαµεηαππενσωιτητηεΦουριερχοηερενχψ. 17 Ατποιντσ( ;σ)φορωηιχη Σ ϕω ξ( ;σ)ϕ 2 Σ ϕω ψ( ;σ)ϕ 2 =0ωεδε νε Ρ ξψ( ;σ)=0: 18 Τοβεµορεπρεχισε,τηεαβοϖερελατιονηολδσαφτερωεχονϖερτ ξ ψ ιντοανανγλειντηειντερϖαλ[ ; ]. 16

19 Φιγυρε 4: Πηασε δι ερενχε χιρχλε ξψ 2 ( 2 ; ), τηεν ψ ισ λεαδινγ; τιµε σεριεσ ξ ισ λεαδινγ ιφ ξψ 2 ( ; 2 ). Τηισ ισ ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρε 4. Ονε χαν εασιλψ χονϖερτ τηε πηασε δι ερενχε ιντο τηε ινσταντανεουσ τιµε λαγ βετωεεν τηε τωο τιµε σεριεσ ξανδ ψ: ωηερε!(σ) ισ τηε ανγυλαρ φρεθυενχψ τηατ χορρεσπονδσ το τηε σχαλε σ. ( Τ) ξψ ( ;σ)= ξψ( ;σ) ; (28)!(σ) 3.4 Εξαµπλε 2: Τηε Χροσσ Ωαϖελετ ανδ τηε Πηασε ι ερενχε Χονσιδερ νοω τωο τιµε σεριεσ τηατ σηαρε τωο χοµµον χψχλεσ, ωιτη σοµε δελαψσ: 8 >< ψ τ = >: 2 2 ξ τ =σιν 3 τ +3σιν 6 τ + ξ;τ ; τ=0; 1 12 ; 2 ;:::;50; (29) 12 4σιν 2 3 (τ+ 5 4σιν 2 3 (τ 5 12 ) 3σιν ) 3σιν 2 6 (τ ) + ψ;τ ; τ=0; 1 12 ; 2 12 ;:::;25; (τ ) + ψ;τ ; τ= ; ;:::;50; (30) σεεφιγυρε5(α). Λοοκινγαττηεφορµυλασ,ιτισχλεαρτηατ ξ τ ανδ ψ τ σηαρε3 ψεαρανδ6 ψεαρχψχλεσ. Ηοωεϖερ, ηοω τηειρ χψχλεσ ρελατε το εαχη οτηερ εϖολϖεσ ωιτη τιµε ανδ ισ δι ερεντ αχροσσ φρεθυενχιεσ. Χονσιδερ τηε σηορτερ περιοδ χψχλε, τηε 3 ψεαρ χψχλε. Τηε χψχλεσ αρε ποσιτιϖελψ χορρελατεδ. Φορ τηε ρστ ηαλφ οφ τηε σαµπλε, τηε ψ τ χψχλε πρεχεδεσ τηε ξ τ χψχλε βψ 5 µοντησ; ιν τηε σεχονδ ηαλφ οφ τηε σαµπλετηε ψ τ χψχλελαγστηε ξ τ χψχλε. ΤηεσεφεατυρεσαρεχαπτυρεδινΦιγυρε5(β) (δ). Οντηελεφτ,ωεηαϖετηεωαϖελετχοηερενχψ. Ον τηε ριγητ ωε ηαϖε τηε πηασεσ ανδ πηασε δι ερενχε χοµπυτεδ φορ τωο δι ερεντ φρεθυενχψ βανδσ. Ον τηετοπ,ωεχοµπυτετηεπηασεσφορτηε2:5 3:5ψεαρφρεθυενχψβανδ. Ιντηεβοττοµ,ωεχονσιδερ τηε5 7ψεαρφρεθυενχψβανδ. Τηεγρεενλινερεπρεσεντστηε ψ τ πηασεανδτηεβλυερεπρεσεντστηε ξ τ πηασε. Τηερεδλινερεπρεσεντστηεπηασε δι ερενχεβετωεεν ψ τ ανδ ξ τ. Τηατ βοτη σεριεσ ηαϖε χοµµον ανδ ηιγηλψ χορρελατεδ 3 ψεαρ ανδ 6 ψεαρ χψχλεσ ισ ρεϖεαλεδ βψ 17

20 Φιγυρε 5: (α) ξ τ (βλυε λινε) γιϖεν βψ Εθ.(29) ανδ ψ τ (ρεδ λινε) γιϖεν βψ Εθ.(30). (β) Ωαϖελετ χοηερενχψ τηε χονε οφ ιν υενχε ισ σηοων ωιτη α τηιχκ βλαχκ λινε. Χοηερενχψ ρανγεσ φορµ βλυε (λοω χοηερενχψ) το ρεδ (ηιγηχοηερενχψ). (χ) (δ)πηασεσανδπηασε δι ερενχε. Τηεγρεενλινερεπρεσεντστηε ψ τ πηασε,τηεβλυελινε τηε ξ τ πηασεανδτηερεδλινερεπρεσεντστηεπηασε δι ερενχεβετωεεν ψ τ ανδ ξ τ ;(χ)ισφορτηε2:5 3:5ψεαρ φρεθυενχψβανδανδ(δ)φορτηε5 7ψεαρφρεθυενχψβανδ. τηε ρεγιονσ οφ στρονγ χοηερενχψ αρουνδ τηοσε φρεθυενχιεσ. Τηατ τηε 3 ψεαρ χψχλεσ αρε ιν πηασε (ποσιτιϖελψ χορρελατεδ) ισ ρεϖεαλεδ βψ τηε πηασε δι ερενχε(ρεδ λινε ιν τηε υππερ ριγητ γραπη), ωηιχη ισ χονσιστεντλψ σιτυατεδ βετωεεν =2 ανδ =2: Φιναλλψ, ωε χαν σεε τηατ τηε 3 ψεαρ ψ τ χψχλε ωασ λεαδινγφορτηε ρστηαλφοφτηετιµεανδλαγγινγιντηεσεχονδηαλφ,βψνοτινγτηατιντηε ρστηαλφ οφ τηε σαµπλε τηε πηασε δι ερενχε ισ βετωεεν ζερο ανδ =2; ωηιλε ιν τηε σεχονδ ηαλφ ιτ ισ βετωεεν =2ανδζερο. Λοοκινγ ατ τηε 6 ψεαρ χψχλε, ωε οβσερϖε τηατ τηε σεριεσ αρε ουτ οφ πηασε(νεγατιϖελψ χορρελατεδ) ωιτη ξ τ λεαδινγιντηε ρστηαλφανδ ψ τ λεαδινγιντηεσεχονδηαλφοφτηεσαµπλε. Ιν τηισ εξαµπλε, ωε οβσερϖε τηατ νοτ ονλψ τηε ωαϖελετσ αρε αδεθυατε το χαπτυρε στρυχτυραλ βρεακσ ανδ τρανσιεντ ρελατιονσ, βυτ τηατ τηεψ χαν αλσο διστινγυιση βετωεεν δι ερεντ ρελατιονσ τηατ οχχυρ ατ τηε σαµε τιµε βυτ ατ διστινχτ φρεθυενχιεσ. 18

1.7. Τελετραφφιχ Τηεορψ

1.7. Τελετραφφιχ Τηεορψ 1.7. Τελετραφφιχ Τηεορψ Σ νδορ Μολν ρ δρ., αυτηορ Λ σζλ ϑερεβ δρ., ρεϖιεωερ 1.7.1. Ιντροδυχτιον Τελετραφφιχ τηεορψ [1.7.1], [1.7.7] ισ τηε βασισ φορ περφορµανχε εϖολυτιον ανδ διµενσιονινγ οφ τελεχοµµυνιχατιον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΧΤ. 02, 2002 ςερσιον 0.2

ΟΧΤ. 02, 2002 ςερσιον 0.2 Αυδιο ριϖερ Πρελιµιναρψ ΟΧΤ. 02, 2002 ςερσιον 0.2 ΣΥΝΠΛΥΣ ΤΕΧΗΝΟΛΟΓΨ ΧΟ. ρεσερϖεσ τηε ριγητ το χηανγε τηισ δοχυµεντατιον ωιτηουτ πριορ νοτιχε. Ινφορµατιον προϖιδεδ βψ ΣΥΝΠΛΥΣ ΤΕΧΗΝΟΛΟΓΨ ΧΟ. ισ βελιεϖεδ

Διαβάστε περισσότερα

Discussion Paper No. 325 Heterogeneous Contestants and Effort Provision in Tournaments - an Empirical Investigation with Professional Sports Data

Discussion Paper No. 325 Heterogeneous Contestants and Effort Provision in Tournaments - an Empirical Investigation with Professional Sports Data Discussion Paper No. 325 Heterogeneous Contestants and Effort Provision in Tournaments - an Empirical Investigation with Professional Sports Data * Johannes Berger ** Petra Nieken * University of Cologne

Διαβάστε περισσότερα

Τηε πλαχε ωηερε το δεσχενδ τηε βανκ ωε χαµε Ωασ αλπινε, ανδ φροµ ωηατ ωασ τηερε, µορεοϖερ, Οφ συχη α κινδ τηατ εϖερψ εψε ωουλδ σηυν ιτ.

Τηε πλαχε ωηερε το δεσχενδ τηε βανκ ωε χαµε Ωασ αλπινε, ανδ φροµ ωηατ ωασ τηερε, µορεοϖερ, Οφ συχη α κινδ τηατ εϖερψ εψε ωουλδ σηυν ιτ. Ινφερνο: Χαντο ΞΙΙ Τηε πλαχε ωηερε το δεσχενδ τηε βανκ ωε χαµε Ωασ αλπινε, ανδ φροµ ωηατ ωασ τηερε, µορεοϖερ, Οφ συχη α κινδ τηατ εϖερψ εψε ωουλδ σηυν ιτ. Συχη ασ τηατ ρυιν ισ ωηιχη ιν τηε φλανκ Σµοτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ριχηαρδ Φεψνµαν (1999) τελλσ τηατ κνοωινγ ιτσ ναµε ανδ κνοωινγ ωηατ ιτ ισ αρε τωο διφφερεντ τηινγσ. Ιτ ρεπρεσεντσ ωελλ τηε χασε οφ προβλεµ φινδινγ.

Ριχηαρδ Φεψνµαν (1999) τελλσ τηατ κνοωινγ ιτσ ναµε ανδ κνοωινγ ωηατ ιτ ισ αρε τωο διφφερεντ τηινγσ. Ιτ ρεπρεσεντσ ωελλ τηε χασε οφ προβλεµ φινδινγ. 韓 國 敎 育 ABSTRACT Ριχηαρδ Φεψνµαν (1999) τελλσ τηατ κνοωινγ ιτσ ναµε ανδ κνοωινγ ωηατ ιτ ισ αρε τωο διφφερεντ τηινγσ. Ιτ ρεπρεσεντσ ωελλ τηε χασε οφ προβλεµ φινδινγ. Προβλεµ φινδινγ ισ δεφινιτελψ ονε οφ

Διαβάστε περισσότερα

! # % & (( )% + & (( #,,,(.)&,

! # % & (( )% + & (( #,,,(.)&, ! # % & (()% +& (( #,,,(.)&, Εϖαλυατινγ τηε Υσε οφ Ωεβ Χονφερενχινγ Σοφτωαρε το Ενηανχε Φλεξιβλε Χυρριχυλυµ ελιϖερψ Τιµοσ Αλµπανισ, Εριχ Μιλλερ, Μαργαρετ Ροσσ, αραν Πριχε ανδ Ριχηαρδ ϑαµεσ Σουτηαµπτον

Διαβάστε περισσότερα

Κορεα ηασ εξπεριενχεδ δραστιχ χηανγεσ σινχε τηε χυρρενχψ χρισισ οχχυρρεδ ιν τηε λατε 1997. Τηε βιγ χοµπανιεσ(χηαεβολσ) ανδ βανκσ ωηιχη ηαϖε λονγ βεεν

Κορεα ηασ εξπεριενχεδ δραστιχ χηανγεσ σινχε τηε χυρρενχψ χρισισ οχχυρρεδ ιν τηε λατε 1997. Τηε βιγ χοµπανιεσ(χηαεβολσ) ανδ βανκσ ωηιχη ηαϖε λονγ βεεν 韓 國 敎 育 ABSTRACT Κορεα ηασ εξπεριενχεδ δραστιχ χηανγεσ σινχε τηε χυρρενχψ χρισισ οχχυρρεδ ιν τηε λατε 1997. Τηε βιγ χοµπανιεσ(χηαεβολσ) ανδ βανκσ ωηιχη ηαϖε λονγ βεεν τηε ενγινε οφ Κορεα Χο. Λτδ. φορ τηε

Διαβάστε περισσότερα

9THEME 9. Statistics. on Science and Technology. in Europe. Part2. Data 1991-2002 PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION 2003 EDITION EUROPEAN COMMISSION

9THEME 9. Statistics. on Science and Technology. in Europe. Part2. Data 1991-2002 PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION 2003 EDITION EUROPEAN COMMISSION PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION Statistics on Science and Technology in Europe 2003 EDITION Part2 Data 1991-2002 EUROPEAN COMMISSION Community Research 9THEME 9 Science and technology Europe Direct is a

Διαβάστε περισσότερα

εσχριπτιον οφ ωορκ Θυαντιτψ

εσχριπτιον οφ ωορκ Θυαντιτψ ΝΟΡΤΗΕΡΝ ΧΟΑΛΦΙΕΛ Σ ΛΙΜΙΤΕ ΧΕΝΤΡΑΛ ΩΟΡΚΣΗΟΠ Π.Ο. ϑαψαντ, ιστ. Σινγραυλι (ΜΠ) 486 890 Νο.ΧΩΣ/Ενγινε/13 14/1015 ατεδ : 04.06.2013 ΟΠΕΝ ΤΕΝ ΕΡ ΝΟΤΙΧΕ Σεαλεδ Θυοτατιονσ αρε ινϖιτεδ φροµ Οριγιναλ Εθυιπµεντ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΛΨ1Α. Γενεραλ Χερτιφιχατε οφ Σεχονδαρψ Εδυχατιον Σπεχιµεν Παπερ. Υνιτ 1α Βιολογψ (Ηυµαν Βιολογψ) ΒΙΟΛΟΓΨ. ατε ανδ Τιµε. Τιµε αλλοωεδ: 30 µινυτεσ

ΒΛΨ1Α. Γενεραλ Χερτιφιχατε οφ Σεχονδαρψ Εδυχατιον Σπεχιµεν Παπερ. Υνιτ 1α Βιολογψ (Ηυµαν Βιολογψ) ΒΙΟΛΟΓΨ. ατε ανδ Τιµε. Τιµε αλλοωεδ: 30 µινυτεσ Version 1.0 Συρναµε Χεντρε Νυµβερ Οτηερ Ναµεσ Χανδιδατε Νυµβερ Χανδιδατε σιγνατυρε Γενεραλ Χερτιφιχατε οφ Σεχονδαρψ Εδυχατιον Σπεχιµεν Παπερ ΣΧΙΕΝΧΕ Α Υνιτ 1α Βιολογψ (Ηυµαν Βιολογψ) ΒΛΨ1Α ΒΙΟΛΟΓΨ Υνιτ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΧΟΜΠΑΡΑΤΙςΕ ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΟΦ ΡΥΣΣΙΑΝ ΑΝ ΗΥΝΓΑΡΙΑΝ ΣΟΜΑΤΙΧ ΠΗΡΑΣΕΟΛΟΓΙΣΜΣ

Α ΧΟΜΠΑΡΑΤΙςΕ ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΟΦ ΡΥΣΣΙΑΝ ΑΝ ΗΥΝΓΑΡΙΑΝ ΣΟΜΑΤΙΧ ΠΗΡΑΣΕΟΛΟΓΙΣΜΣ Πη.. ισσερτατιον Τηεσεσ Α ΧΟΜΠΑΡΑΤΙςΕ ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΟΦ ΡΥΣΣΙΑΝ ΑΝ ΗΥΝΓΑΡΙΑΝ ΣΟΜΑΤΙΧ ΠΗΡΑΣΕΟΛΟΓΙΣΜΣ Ωριττεν βψ ρ. Ζολτ ν Γψ ρκε ΕΒΡΕΧΕΝ 2002 Ι Ιντροδυχτιον 1. ισσερτατιον Συβϕεχτ ανδ ιτσ Πλαχε ιν Λινγυιστιχ

Διαβάστε περισσότερα

Transnational Legal Environment

Transnational Legal Environment Sustainable and Innovative European Biogas Environment Transnational Legal Environment End Version Finalized on the 28 th of February 2012 Elaborated by PP7 Universität Stuttgart 70569 Stuttgart, Germany

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1437. Week ending 14th May 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1437. Week ending 14th May 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1437 Week ending 14th May 2010 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ ον ενφορχεµεντ

Διαβάστε περισσότερα

Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9421

Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9421 Citation: Ladyshewsky, Richard Kaban. 2000. A Quasi-Experimental Study of the Effects of a Reciprocal Peer Coaching Strategy on Physiotherapy Students' Clinical Problem Solving Skills. PhD. Curtin University

Διαβάστε περισσότερα

Poverty in Egypt: 1974-1996

Poverty in Egypt: 1974-1996 Copyright License Agreement Presentation of the articles in the Topics in Middle Eastern and North African Economies was made possible by a limited license granted to Loyola University Chicago and Middle

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1410. Week ending 30th October 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1410. Week ending 30th October 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1410 Week ending 30th October 2009 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ

Διαβάστε περισσότερα

IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1469

IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1469 IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1469 Πλεασε νοτε τηατ δυε το τηε χλοσυρε οφ τηε Τοων Ηαλλ ον Μονδαψ 3 ρδ ϑανυαρψ 2011, τηε Ωεεκλψ Ρεπορτ 1469 (δατεδ 24 τη εχεµβερ 2010)

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1399. Week ending 14th August 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1399. Week ending 14th August 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1399 Week ending 14th August 2009 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ ον

Διαβάστε περισσότερα

Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9394

Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9394 Citation: Dreher, Heinz. 1997. Empowering Human Cognitive Activity through Hypertext Technology. PhD. Curtin University of Technology, School of Information Systems. Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9394

Διαβάστε περισσότερα

Ψου µυστ δο ονε Τιερ ονλψ, ειτηερ τηε Φουνδατιον τιερ ορ τηε Ηιγηερ Τιερ. Τηε Φουνδατιον Τιερ ισ εαρλιερ ιν τηισ βοοκλετ.

Ψου µυστ δο ονε Τιερ ονλψ, ειτηερ τηε Φουνδατιον τιερ ορ τηε Ηιγηερ Τιερ. Τηε Φουνδατιον Τιερ ισ εαρλιερ ιν τηισ βοοκλετ. 14 Ψου µυστ δο ονε Τιερ ονλψ, ειτηερ τηε Φουνδατιον τιερ ορ τηε Ηιγηερ Τιερ. Τηε Φουνδατιον Τιερ ισ εαρλιερ ιν τηισ βοοκλετ. ΗΙΓΗΕΡ ΤΙΕΡ ΣΕΧΤΙΟΝ ΟΝΕ Θυεστιονσ ΟΝΕ ανδ ΤΩΟ Ιν τηεσε θυεστιονσ, µατχη τηε

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1465. Week ending 26th November 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1465. Week ending 26th November 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1465 Week ending 26th November 2010 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1441. Week ending 11th June 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1441. Week ending 11th June 2010. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1441 Week ending 11th June 2010 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ ον

Διαβάστε περισσότερα

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1415. Week ending 4th December 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections:

PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT. No. 1415. Week ending 4th December 2009. The attached Weekly Report incorporates the following sections: PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT No. 1415 Week ending 4th December 2009 The attached Weekly Report incorporates the following sections: CONTENTS PAGE SECTION 1 Ρεπορτσ ον αππλιχατιονσ SECTION 2 Ρεπορτσ

Διαβάστε περισσότερα

IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1438

IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1438 IMPORTANT NOTICE CLEARANCE OF PLANNING SERVICES WEEKLY REPORT NO. 1438 Πλεασε νοτε τηατ δυε το τηε χλοσυρε οφ τηε Τοων Ηαλλ ον Μονδαψ 31 στ Μαψ 2010, τηε Ωεεκλψ Ρεπορτ 1438 (δατεδ 21 στ Απριλ 2010) ωιλλ

Διαβάστε περισσότερα

Σψφο. Φορσχηυνγ & Βεωεγυνγ. Αβστραχτσ Νρ. 2 2012

Σψφο. Φορσχηυνγ & Βεωεγυνγ. Αβστραχτσ Νρ. 2 2012 Σψφο Φορσχηυνγ & Βεωεγυνγ Αβστραχτσ Νρ. 2 2012 Ωιχη γε αναρχηο σψνδικαλισ σχηε Ματε ριαλιεν ιν δερ Βιβλιοτηεκ δερ Φρειεν Ειν Ιντερϖιεω (Σ. 6) Ιµπορταντ αναρχηο σψνδιχαλιστ µατεριαλσ ιν τηε Λιβραρψ οφ τηε

Διαβάστε περισσότερα

Managing equality and diversity in meeting the needs of learners who are named as requiring additional or special educational support

Managing equality and diversity in meeting the needs of learners who are named as requiring additional or special educational support Managing equality and diversity in meeting the needs of learners who are named as requiring additional or special educational support This resource provides an overview of equality legislation and how

Διαβάστε περισσότερα

Non-Destructive Evaluation of FRP-Confined Concrete Using Microwaves

Non-Destructive Evaluation of FRP-Confined Concrete Using Microwaves Page 1 of 6 International Symposium (NDT-CE 2003) Non-Destructive Testing in Civil Engineering 2003 Start > Contributions >Lectures > Quality Control: Print Non-Destructive Evaluation of FRP-Confined Concrete

Διαβάστε περισσότερα

Statistical yearbook. on candidate countries. Data 1997 2001 PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION 2003 EDITION. THEME 1 General statistics

Statistical yearbook. on candidate countries. Data 1997 2001 PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION 2003 EDITION. THEME 1 General statistics PANORAMA OF THE EUROPEAN UNION Statistical yearbook on candidate countries 2003 EDITION Data 1997 2001 EUROPEAN COMMISSION THEME 1 General statistics Europe Direct is a service to help you find answers

Διαβάστε περισσότερα

Climate Change in the Mediterranean

Climate Change in the Mediterranean Climate Change in the Mediterranean INGV - Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia - Italy Global Challenge, Local Solutions Antonio Navarra INGV CMCC - Centro EuroMediterraneo per i Cambiamenti

Διαβάστε περισσότερα

Ψου Μακε Μψ ρεαµσ Ασ Περφορµεδ Βψ Γροοϖε Φορ Τηουγητ

Ψου Μακε Μψ ρεαµσ Ασ Περφορµεδ Βψ Γροοϖε Φορ Τηουγητ ? 4 4 Σωινγ 200 n δµ βα δ δν δ δ Ψου Μακε Μψ ρεαµσ Ασ Περφορµεδ Βψ Γρϖε Φορ Τηουγητ. n n δτ βα δ δν Ωριττεν βψ Σαρα Αλλεν, αρψλ Ηαλλ, ανδ ϑν Οατεσ Αρρανγεδ βψ Κελλψ Κυνζ δµ δµ δ βα δ δν. n δτ δ. n δτ δ

Διαβάστε περισσότερα

New Abstractions For Data Parallel Programming

New Abstractions For Data Parallel Programming New Abstractions For Data Parallel Programming ϑαμεσ Χ. Βροδμαν Δεπαρτμεντ οφ Χομπυτερ Σχιενχε Υνιϖερσιτψ οφ Ιλλινοισ βροδμαν2 ιλλινοισ.εδυ Ιν χολλαβορατιον ωιτη: Βασιλιο Φραγυελα, Μαρ α Γαρζαρ ν, Δαϖιδ

Διαβάστε περισσότερα

Chemical speciation of selected metals in groundwater using geochemical model

Chemical speciation of selected metals in groundwater using geochemical model Chemical speciation of selected metals in groundwater using geochemical model Tawfik T. in Hamdy A. (ed.). The use of non conventional water resources Bari : CIHEAM / EU DG Research Options Méditerranéennes

Διαβάστε περισσότερα

Langara College Spring 2009 - archived

Langara College Spring 2009 - archived Τεντατιϖε Λεχτυρε Σχηεδυλε φορ ΠηοτοΙμαγινγ 1215 (2009) Δατε: Λεχτυρε Συβϕεχτσ: Ρεαδινγσ: Πραχτιχαλ Ασσιγνμεντσ Δυε: Ωριττεν Ασσιγνμεντσ Δυε: ϑαν. 9 Οριεντατιον, Χονσιστενχψ, Ωηψ τηε Νεεδ φορ Στανδαρδσ

Διαβάστε περισσότερα

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον Μοδελσ/Μοδελοσ/Μοδ λεσ ΒΑΧΒ 196 & ΒΑΧΒ 196ΛΠ Μανυαλ Νο.ΠΟΑ011 (Ρεϖ 5 ϑυλψ 2006) Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον ΑΙΡ ΣΨΣΤΕΜΣ ΙΝΤΕΡΝΑΤΙΟΝΑΛ, ΙΝΧ. 829 ϑυνιπερ Χρεσχεντ, Χηεσαπεακε,

Διαβάστε περισσότερα

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον Μοδελσ/Μοδελοσ/Μοδ λεσ ΤΑ 3 & ΤΑ 3ΕΑ ΦΟΡ ΧΟΜΠ 3 & ΧΟΜΠ 3ΕΑ ΣΨΣΤΕΜΣ Μανυαλ Νο. ΤΑ3001 (Ρεϖ 2 ϑανυαρψ 2001) Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον ΑΙΡ ΣΨΣΤΕΜΣ ΙΝΤΕΡΝΑΤΙΟΝΑΛ, ΙΝΧ. 829

Διαβάστε περισσότερα

Citation: McDermid, Donald. 1998. The Development of the Business Rules Diagram. PhD. Curtin University of Technology, School of Information Systems.

Citation: McDermid, Donald. 1998. The Development of the Business Rules Diagram. PhD. Curtin University of Technology, School of Information Systems. Citation: McDermid, Donald. 1998. The Development of the Business Rules Diagram. PhD. Curtin University of Technology, School of Information Systems. Permanent Link: http://espace.library.curtin.edu.au/r?func=dbin-jump-full&local_base=gen01-era02&object_id=9383

Διαβάστε περισσότερα

Biographies of a Nation Teacher Project Instructional Plan Burke Allen US History Grade 11

Biographies of a Nation Teacher Project Instructional Plan Burke Allen US History Grade 11 Biographies of a Nation Teacher Project Instructional Plan Burke Allen US History Grade 11 Rationale This lesson is a complex analysis of several major concepts in the exploration of the relationship between

Διαβάστε περισσότερα

COMMUNICATIONS... 22

COMMUNICATIONS... 22 ΠΟΛΙΧΨ ΜΑΝΥΑΛ ΤΑ ΒΛΕ ΟΦ ΧΟΝΤΕΝΤΣ Χορρεσπονδενχε... 2 Α1.1 ιστριβυτιον οφ Ιν Χοµινγ Χορρεσπονδενχε... 2 Α1.2 Χουρτεσψ Χοπιεσ... 3 Α1.3 Φιρστ Νατιονσ Χορρεσπονδενχε... 3 Α1.4 Νεωλψ Ελεχτεδ Φιρστ Νατιονσ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 1995 Scientific American, Inc.

Copyright 1995 Scientific American, Inc. Σεπτεµβερ 1995 ςολυµε 273 Νυµβερ 3 56 Τηε Υνχερταιντιεσ οφ Τεχηνολογιχαλ Ιννοϖατιον ϑοην Ρεννιε, Εδιτορ ιν Χηιεφ Ινσπιρατιον αλονε χαν τ βρινγ αν ινϖεντιον συχχεσσ: φορ εϖερψ τρανσχενδεντ τρανσιστορ τηερε

Διαβάστε περισσότερα

Ηοω χανχερσ δεφεατ δρυγ τηεραπψ. Ρε χρεατινγ τηε οριγιν οφ λιφε. Χαν σχιενχε στυδψ χονσχιουσνεσσ?

Ηοω χανχερσ δεφεατ δρυγ τηεραπψ. Ρε χρεατινγ τηε οριγιν οφ λιφε. Χαν σχιενχε στυδψ χονσχιουσνεσσ? ϑυλψ 1994 3.95 Ηοω χανχερσ δεφεατ δρυγ τηεραπψ. Ρε χρεατινγ τηε οριγιν οφ λιφε. Χαν σχιενχε στυδψ χονσχιουσνεσσ? Τηε µοον ωασ βορν ωηεν α Μαρσ σιζε πλανετοιδ χολλιδεδ ωιτη τηε ψουνγ εαρτη. ϑυλψ 1994 ςολυµε

Διαβάστε περισσότερα

Healthy Urban Riparian Ecosystems and the Role of Environmental Education and Literacy.

Healthy Urban Riparian Ecosystems and the Role of Environmental Education and Literacy. Healthy Urban Riparian Ecosystems and the Role of Environmental Education and Literacy. T.L. Arsuffi, Llano River Field Station, TTU@Junction, Jenny Strovas, Department of Biological Sciences, TTU,, Christine

Διαβάστε περισσότερα

STRATEGIC MANAGEMENT FORUM

STRATEGIC MANAGEMENT FORUM CONFERENCE ANNOUNCEMENT & CALL FOR PAPERS STRATEGIC MANAGEMENT FORUM Announces 12 th Annual Convention Venue: Indian Institute of Management Bangalore May 27-29, 2009 Theme: Strategic Management Research

Διαβάστε περισσότερα

NOSOCOMIAL INFECTION BY STAPHYLOCOCCUS SPP. IN OMDURMAN

NOSOCOMIAL INFECTION BY STAPHYLOCOCCUS SPP. IN OMDURMAN NOSOCOMIAL INFECTION BY STAPHYLOCOCCUS SPP. IN OMDURMAN By Aladdin Habib Abd Alla Ali B. Sc. Faculty of science University of Khartoum 2001 Supervisor: Dr. Suliman Mohammed Elhassan Department of Microbiology

Διαβάστε περισσότερα

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον

Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον Μοδελσ/Μοδελο/Μοδ λε ΧΟ91 14ΛΑΧ Μανυαλ Νο. ΜΟΝ006 (Ρεϖ 4 ϑυλψ 2008) Οπερατινγ Μανυαλ Μανυαλ δε ινστρυχχιονεσ Μανυελ δ υτιλισατιον ΑΙΡ ΣΨΣΤΕΜΣ ΙΝΤΕΡΝΑΤΙΟΝΑΛ, ΙΝΧ. 829 ϑυνιπερ Χρεσχεντ, Χηεσαπεακε, ςα.,

Διαβάστε περισσότερα

La sfida della scienza del clima. Antonio Navarra Centro euromediterraneo per i Cambiamenti Climatici INGV

La sfida della scienza del clima. Antonio Navarra Centro euromediterraneo per i Cambiamenti Climatici INGV La sfida della scienza del clima Antonio Navarra Centro eurometerraneo per i Cambiamenti Climatici INGV Aristotele Raffello, la Scuola Atene De De ε ε Meteorologica Μετεορολογιχα Ηοωεϖερ, However, Ηοωεϖερ,

Διαβάστε περισσότερα

The Challenge of Climate Science

The Challenge of Climate Science The Challenge of Climate Science Antonio Navarra Centro EuroMediterraneo per i Cambiamenti Climatici INGV INGV - Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia - Italy Aristotele Raffello, la Scuola di

Διαβάστε περισσότερα

HKDSE: The new senior secondary qualification

HKDSE: The new senior secondary qualification HKDSE: The new senior secondary qualification Peter W. Hill Secretary General, HKEAA Old versus new Old Almost all take HKCEE at end of th year About a third do HKALE at the end of 7 th year About a half

Διαβάστε περισσότερα

Summit E and Summit XL Installation, Troubleshooting, and Maintenance

Summit E and Summit XL Installation, Troubleshooting, and Maintenance Summit E and Summit XL Installation, Troubleshooting, and Maintenance Scope of Presentation Τηισ πρεσεντατιον ισ ιντενδεδ φορ βοτη εξπεριενχεδ φιελδ περσοννελ φαμιλιαρ ωιτη λαυνδρψ ινσταλλατιονσ, ασ ωελλ

Διαβάστε περισσότερα

Redakcja: Urszula Danilczuk

Redakcja: Urszula Danilczuk Pozycja cytowania: B. Nowak, Wewnêtrzny rynek energii w UE, Warszawa 2009 Redakcja: Urszula Danilczuk Wydawnictwo C. H. Beck 2009 Wydawnictwo C. H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00-203 Warszawa

Διαβάστε περισσότερα

Scranton Public School

Scranton Public School Scranton Public School Superintendent s Note March 2015 Χονγρατυλατιονσ το Μρ. Περκινσ φορ ωιννινγ τηε Νορτη ακοτα Μυσιχ Αωαρδ φορ Εδυχατορσ. Μρ. Περκινσ ρεχειϖεδ τηισ αωαρδ ατ α χερεμονψ ηελδ ιν Βισμαρχκ

Διαβάστε περισσότερα

UNDER SUPERVISION OF

UNDER SUPERVISION OF Baluja Labs Synopsis ON UNDER SUPERVISION OF Submitted in partial fulfillment of the requirements of the degree of 1 Baluja Labs Baluja Labs TABLE OF CONTENTS S.No. Content Page No. 1. Introduction 4 2.

Διαβάστε περισσότερα

Flat 8 Nampara Court Grannys Lane Perranporth TR6 0HS INTERIM

Flat 8 Nampara Court Grannys Lane Perranporth TR6 0HS INTERIM Flat 8 Nampara Court Grannys Lane Perranporth TR6 0HS home information pack contents Index Property Information Questionnaire Energy Performance Certificate/ Predicted Energy Assessment/ Sustainability

Διαβάστε περισσότερα

Wastewater recycling and reuse as a potential resource for water saving in the Mediterranean region

Wastewater recycling and reuse as a potential resource for water saving in the Mediterranean region Wastewater recycling and reuse as a potential resource for water saving in the Mediterranean region Choukr-Allah R. in Hamdy A. (ed.). The use of non conventional water resources Bari : CIHEAM / EU DG

Διαβάστε περισσότερα

Firefly Synchronization of adhoc. Dr. Michael Emmerich Natural Computing Group

Firefly Synchronization of adhoc. Dr. Michael Emmerich Natural Computing Group Firefly Synchronization of adhoc networks Dr. Michael Emmerich Natural Computing Group Synchronizing using pulse-coupled oscillators: Fireflies, Heart, and Wireless Networks FIREFLIES SYNCHRONIZATION Simple

Διαβάστε περισσότερα

Moderate severity case; *Moderate Risk on the CMS Table of Risk.

Moderate severity case; *Moderate Risk on the CMS Table of Risk. Parameters and Disclaimer Statement Choice of any emergency medicine E/M code level is dependent upon proper documentation of the History, Exam, and MDM Provider documentation must include the correct

Διαβάστε περισσότερα

The Basics of Water Pollution. The Basics of Water Pollution

The Basics of Water Pollution. The Basics of Water Pollution The Basics of Water Pollution Cooperative Extension Bringing the University to You Audiovisual 05-11 S. Donaldson The Basics of Water Pollution Susan Donaldson Melody Hefner University of Nevada Cooperative

Διαβάστε περισσότερα

1 Πιλαστρο: Υνβυνδλινγ ε σχεναρι προβαβιλιστιχι δι ρενδιµεντο

1 Πιλαστρο: Υνβυνδλινγ ε σχεναρι προβαβιλιστιχι δι ρενδιµεντο 33 ΡΙΣΧΗΙΟ Τραιεττοριε σιµυλατε βονδ 34 Ι φαττορι δι ρισχηιο θυαλιφιχανο ι ποσσιβιλι ϖαλορι δελ προδοττο νελ τεµπο ε α σχαδενζα (ε θυινδι ι ρενδιµεντι ποτενζιαλι) Τραιεττοριε σιµυλατε τασσο Ευριβορ α 3

Διαβάστε περισσότερα

The Zen and the art of coupled general circulation models (I) Antonio Navarra INGV. INGV - Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia - Italy

The Zen and the art of coupled general circulation models (I) Antonio Navarra INGV. INGV - Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia - Italy Zen art coupled general circulation models (I) Antonio Navarra INGV INGV - Istituto Nazionale di Geisica e Vulcanologia - Italy Aristotele Raffello, la Scuola di Atene De De Δε Δε Meteorologica Μετεορολογιχα

Διαβάστε περισσότερα

œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ? b b 4 4. b b œ œ œ œ ÄVerseÇ F/A

œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ ? b b 4 4. b b œ œ œ œ ÄVerseÇ F/A Ρηψτηµ/Λεαδ Σηεετ [Ρ οχ κ] q = 145 q = 145 2 4 4 Αρρανγεδ Αδαπτεδ φορ Χοϖεναντ Χηυρχη ϑοην ϑοχιλψν Βροχκµαν Τρανσχριβεδ βψ Σενψο Κυµασσαη Βνδ /A ςοξ 5 5 b ÄVerseÇ % 2 9 ςοξ % Ιν µψ ϕοψ Ιν µψ λιγητ ιν ιν

Διαβάστε περισσότερα

Previously Published Works UCLA

Previously Published Works UCLA Previously Published Works UCLA A University of California author or department has made this article openly available. Thanks to the Academic Senate s Open Access Policy, a great many UC-authored scholarly

Διαβάστε περισσότερα

Σεαρχηινγ φορ στρανγε θυαρκ µαττερ. Α γλιµπσε ατ ηοω σεξ εϖολϖεδ. Τηε ωαρ ον χανχερ: ιτ σ βεινγ λοστ.

Σεαρχηινγ φορ στρανγε θυαρκ µαττερ. Α γλιµπσε ατ ηοω σεξ εϖολϖεδ. Τηε ωαρ ον χανχερ: ιτ σ βεινγ λοστ. ϑανυαρψ 1994 3.95 Σεαρχηινγ φορ στρανγε θυαρκ µαττερ. Α γλιµπσε ατ ηοω σεξ εϖολϖεδ. Τηε ωαρ ον χανχερ: ιτ σ βεινγ λοστ. Αν εϖεν βρεακ οφ τηε ραχκ χρεατεσ αν ιντραχταβλε προβλεµ: χαλχυλατινγ τηε πατησ τηε

Διαβάστε περισσότερα

The Fish Group has completed two projects and is currently starting with its third.

The Fish Group has completed two projects and is currently starting with its third. FISH Group The Fish Group has completed two projects and is currently starting with its third. Project One: Fish Health The Fish Health project was set up in the very onset of RIVER. The primary objective

Διαβάστε περισσότερα

IND: Himachal Pradesh Clean Energy Development Investment Program

IND: Himachal Pradesh Clean Energy Development Investment Program Environmental Monitoring Report Project Number: 41627 June 2013. Reporting Period: 1 January 2013 to 31 March 2013. IND: Himachal Pradesh Clean Energy Development Investment Program Quarterly environmental

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΕ ΟΦ ΟΗΙΟ ΒΥ ΓΕΤΑΡΨ ΡΕΠΟΡΤ!

ΣΤΑΤΕ ΟΦ ΟΗΙΟ ΒΥ ΓΕΤΑΡΨ ΡΕΠΟΡΤ! ΣΤΑΤΕ ΟΦ ΟΗΙΟ ΒΥ ΓΕΤΑΡΨ ΡΕΠΟΡΤ! ΕΤΑΙΛΕ ΑΠΠΡΟΠΡΙΑΤΙΟΝ ΣΥΜΜΑΡΨ ΒΨ ΦΥΝ ΦΟΡ ΤΗΕ ΦΙΣΧΑΛ ΨΕΑΡ ΕΝ Ε ϑυνε 30, 2004 ΠΑΓΕ 1 οφ 24 ΕΤΑΙΛΕ ΑΠΠΡΟΠΡΙΑΤΙΟΝ ΣΥΜΜΑΡΨ ΒΨ ΦΥΝ ΠΕΡ ΤΗΕ ΧΕΝΤΡΑΛ ΑΧΧΟΥΝΤΙΝΓ ΣΨΣΤΕΜ (ΧΑΣ) ΓΕΝΕΡΑΛ

Διαβάστε περισσότερα

Upgrading to Simplified Licensing in Version 5.8

Upgrading to Simplified Licensing in Version 5.8 Article ID: 51107 - Last Review: July 29, 2011 Upgrading to Simplified Licensing in Version 5.8 Version 5.8 introduces a new Simplified Licensing model for Contact Center Enterprise and Business Edition,

Διαβάστε περισσότερα

Monday, November 28, 11

Monday, November 28, 11 Forests in watersheds Threats Why should we care Watershed Partnerships You can help A critical component of a watershed s ability to collect rainwater is the existence of forests. Fog condensing on trees

Διαβάστε περισσότερα

2011 ΠΙΑΑ ιστξι Τραχκ ανδ Φιελδ Χηαµπιονσηιπ 5/18/2011 το 5/19/2011 Βλυε Μουνταιν Ηιγη Σχηοολ Ρεσυλτσ Βοψσ 100 Μετερ αση ΑΑΑ

2011 ΠΙΑΑ ιστξι Τραχκ ανδ Φιελδ Χηαµπιονσηιπ 5/18/2011 το 5/19/2011 Βλυε Μουνταιν Ηιγη Σχηοολ Ρεσυλτσ Βοψσ 100 Μετερ αση ΑΑΑ ΠΙΑΑ ιστριχτ ΞΙ Χηαµπιονσηιπ Μεετ Ηψ Τεκ σ ΜΕΕΤ ΜΑΝΑΓΕΡ 10:35 ΠΜ 5/19/2011 Παγε 1 2011 ΠΙΑΑ ιστξι Τραχκ ανδ Φιελδ Χηαµπιονσηιπ 5/18/2011 το 5/19/2011 Βλυε Μουνταιν Ηιγη Σχηοολ Ρεσυλτσ Βοψσ 100 Μετερ αση

Διαβάστε περισσότερα

12 Aug 671 Sasserine is really getting on my nerves now. I need to escape this filthy place. I need to find a more quiet place for my studies.

12 Aug 671 Sasserine is really getting on my nerves now. I need to escape this filthy place. I need to find a more quiet place for my studies. 12 Aug 671 Sasserine is really getting on my nerves now. I need to escape this filthy place. I need to find a more quiet place for my studies. I have been thinking to get on board a ship and leave this

Διαβάστε περισσότερα

Notice Inviting Applications for Pre-qualification

Notice Inviting Applications for Pre-qualification Name of the work RAJIV GANDHI CENTRE FOR AQUACULTURE (MPEDA, MINISTRY OF COMMERCE & INDUSTRY, GOVT. OF INDIA) TECHNOLOGY TRANSFER TRAINING & ADMINISTRATIVE COMPLEX 3/197, POOMPUHAR ROAD, KARAIMEDU, SATTANATHAPURAM

Διαβάστε περισσότερα

PATANJALI YOGPEETH (BABA RAMDEV s INSTITUTION MANAGEMENT SYSTEM)

PATANJALI YOGPEETH (BABA RAMDEV s INSTITUTION MANAGEMENT SYSTEM) PROJECT REPORT ON PATANJALI YOGPEETH (BABA RAMDEV s INSTITUTION MANAGEMENT SYSTEM) Submitted in partial fulfillment of the requirements for qualifying. UNDER SUPERVISION OF: SUBMITTED BY. 1 Baluja Labs

Διαβάστε περισσότερα

Entanglement of embedded graphs. Toen Castle with Myf Evans, Vanessa Robins AND Stephen Hyde

Entanglement of embedded graphs. Toen Castle with Myf Evans, Vanessa Robins AND Stephen Hyde Entanglement of embedded graphs Toen Castle with Myf Evans, Vanessa Robins AND Stephen Hyde Workshop on Topology: Identifying Order in Complex Systems Saturday, 18 April 2015 The Institute for Advanced

Διαβάστε περισσότερα

Η Μεγάλη Διαμάχη Μέρος Πρώτο

Η Μεγάλη Διαμάχη Μέρος Πρώτο Η Μεγάλη Διαμάχη Μέρος Πρώτο Ελλεν Γ. Ωηιτε ὃπψριγητ c 2012 Ελλεν Γ. Ωηιτε Εστατε, Ινς. Ινφορματιον αβουτ τηις Βοοκ Ο ερ ιεω Τηις εβοοκ ις προ ιδεδ βψ τηε Ελλεν Γ. Ωηιτε Εστατε. Ιτ ις ινςλυδεδ ιν τηε

Διαβάστε περισσότερα

Πλαντ µορπηολογιεσ/µαχρο πηψτεσ: o Αδϖεντιτιουσ ροοτσ, πνευµατοπηορεσ Ωατερ µαρκσ/σταινινγ ον συρφαχε, τρυνκσ

Πλαντ µορπηολογιεσ/µαχρο πηψτεσ: o Αδϖεντιτιουσ ροοτσ, πνευµατοπηορεσ Ωατερ µαρκσ/σταινινγ ον συρφαχε, τρυνκσ Λεχτυρε 6: ελινεατιον ωορδ πιχτυρε Προπερτιεσ οφ Ωετλανδ (Ηψδριχ) Σοιλσ) Αρεασ/ζονεσ οφ βιογεοχηεµιχαλ αχτιϖιτψ ωηερε πλαντσ, ανιµαλ ανδ µιχρο οργανισµσ ιντεραχτ ωιτη τηε ωατερ χψχλε Χονταιν βοτη µινεραλ

Διαβάστε περισσότερα

General principles of 3DR method - Fourier-Bessel mathematics - Common lines 500 Å

General principles of 3DR method - Fourier-Bessel mathematics - Common lines 500 Å Outline - Background - References; examples; etc. - Symmetry - Icosahedral (5) point group symmetry - Triangulation symmetry ΞΨΖ ϑουρναλ ϖιρυσ χαυσεσοφ µυχη Box Graphics Digitize Micrograph G y x Determine

Διαβάστε περισσότερα

Σοργενσ Καµµερ. ςερσε. Ε ςερσε. ςοχαλσ. Σιλενοζ/Σηαγρατη. Ναιµ Αρναυδ. 21 Μιν νε νεσ εκ κο στι λλερ τι

Σοργενσ Καµµερ. ςερσε. Ε ςερσε. ςοχαλσ. Σιλενοζ/Σηαγρατη. Ναιµ Αρναυδ. 21 Μιν νε νεσ εκ κο στι λλερ τι ςοχαλσ Σιλενοζ/Σηαγρατη Ναιµ Αρναυδ Α 16 Β Χ ςερσε 21 Μιν νε νεσ εκ κο στι λλερ τι µεν 23 Κνε βλετ ι τυν γσιννετσ λεν κερ φαλλερ ϕεγ φρα Ι κκε 25 λενγερ ϖιλ ϕεγϖαερε βολ τετ φαστ ι ϖε µο δι γηε τενσ αν

Διαβάστε περισσότερα

Ω Α Ο Ω - Α (2.000..-148.. Ο Ο Ω ΑΪ Α Ο Α Ο Α (148..-313.. Ο Ο Α Ο Α Ο Α (313-1430) Ο Ο Ο Ω Α Α Ο (1430-1912) Ω Α Ο (1912)

Ω Α Ο Ω - Α (2.000..-148.. Ο Ο Ω ΑΪ Α Ο Α Ο Α (148..-313.. Ο Ο Α Ο Α Ο Α (313-1430) Ο Ο Ο Ω Α Α Ο (1430-1912) Ω Α Ο (1912) σ ι ή Α Ω (2.000..-148. Ο Ο Α έ ι / ισ ι έ Ο Ω - Α Ο ί ι Α.) Ω ΑΪ Α Ο Α Ο Α (148..-313.. Α Α Ο Ο Α Ο Ο Ο Ω Α Ω Α Ο Α Ο Α (313-1430) ΑΟ (1430-1912) Α Ο (1912) Α Ω Α Ο Ω - Α.. Ο Α Α...-148 ιί ή ι ί ώ ισ

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

Jerzy Tatarek. www.tatarek.com.pl. www.tatarek.gr. International Quality Award. )akład Elektro icz y TATAREK Θerzy Tatarek

Jerzy Tatarek. www.tatarek.com.pl. www.tatarek.gr. International Quality Award. )akład Elektro icz y TATAREK Θerzy Tatarek International Quality Award ι ί ισ ι ός ι όσ ς ά ς ; ι ά ά ι Ο έ ς ι. ιά )akład Elektro icz y TATAREK Θerzy Tatarek 50Wrocław όβ; ul. σświeradowska Tel.: +48. 71 373 14 88 ι. Fax: +48 71 373 14 58 WWW.tatarek.gr

Διαβάστε περισσότερα

PRE-FILED TESTIMONY OF LOIS N. EPSTEIN

PRE-FILED TESTIMONY OF LOIS N. EPSTEIN BEFORE THE STATE OF WASHINGTON ENERGY FACILITY SITE EVALUATION COUNCIL In the Matter of Application No. 96-1 Olympic Pipe Line Company Cross Cascade Pipeline Project PRE-FILED TESTIMONY OF LOIS N. EPSTEIN

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

< ; = >! # %& # ( )%!) +, & % &#. &/ %) 012& #1%)%& 30%1% &0%&# 4) ) 5.&0 + %.6.!7 %& #4&81)71#.) &9 &:&#) % 0#!91% ;

< ; = >! # %& # ( )%!) +, & % &#. &/ %) 012& #1%)%& 30%1% &0%&# 4) ) 5.&0 + %.6.!7 %& #4&81)71#.) &9 &:&#) % 0#!91% ; ! # %& #( )%!) +,& % &#. &/%) 012& #1%)%& 30%1% &0%) ) 5.&0 + %.6.!7 %&81)71#.)&9 &:&#)% 0#!91% ; 0 ( ):1))4 &#&0.)%))! # %& #( )%!) +, & % &#. &/ %) 012& #1%)%& 30%1% &0%&# 4) ) 5.&0 + %.6.!7

Διαβάστε περισσότερα

! # % & % ( )! + #, % ( . / 0 0 % ( )! # % # # 1 + + 0 % 0 #2 0 + % # # % % 3 0 + + % # + %

! # % & % ( )! + #, % ( . / 0 0 % ( )! # % # # 1 + + 0 % 0 #2 0 + % # # % % 3 0 + + % # + % ! # % & % ( )! + #, % (. / 0 0 % ( )! # % # # 1 + + 0 % 0 #2 0 + % # # % % 3 0 + + % # + % 4444444444444444444444444444444444444444444 5 6 4444444444444444444444444444444444444444444444! + 0 & 4444444444444444444444444444444444444444444444.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ τ. Ε. I. Ν-λ ε λ λ λ ς : ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ; MIX. ΠΙΠΙΛΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγαθόν''

ΠΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγαθόν'' «ΑΕΛΙΟΣ ΧΟΡΟΣ» Ι.. ΣΙΩΟΣ ΕΤΡΑΣ ΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγθόν'' Ἦχος 1. ο γο ον γ θο ον Α λ λη η η λ Ε ξη ρ υ ξ το η η η κ ρ δ µ λο ο ο γον γ θον Χ ρ πν τ ν σ σ π νυ υ υ µνη η η η τ µη η η τηρ Χρ στ τ Θ η η η

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΦΛΑΓ: Παρεντσ, φαµιλιεσ, ανδ φριενδσ οφ λεσβιανσ ανδ γαψσ

ΠΦΛΑΓ: Παρεντσ, φαµιλιεσ, ανδ φριενδσ οφ λεσβιανσ ανδ γαψσ ΠΦΛΑΓ: Παρεντσ, φαµιλιεσ, ανδ φριενδσ οφ λεσβιανσ ανδ γαψσ εφινιτιονσ οφ Φαµιλιεσ: Λεγαλ: Ρελατεσ το χυστοδψ, µαιντενανχε, χοµµον λαω, ανδ χοηαβιτατιον. Εαχη προϖινγ ηασ διφφερεντ λαωσ αβουτ φαµιλιεσ.

Διαβάστε περισσότερα

Immunocytochemistry. Results - Summary Graphs - Pass Rates Best Methods - Selected Images. Run 98. Assessment Dates: 25th June - 20th July 2012

Immunocytochemistry. Results - Summary Graphs - Pass Rates Best Methods - Selected Images. Run 98. Assessment Dates: 25th June - 20th July 2012 Run 98 Short Report IN THIS ISSUE UK NEQAS ICC & ISH User Survey 212 Page 4-9 Immunocytochemistry Modules Immunocytochemistry Results - Summary Graphs - Pass Rates Best Methods - Selected Images Assessment

Διαβάστε περισσότερα

FLIGHT GRIPENS ON GUARD AT NATO S EDGE. How Czechs met challenge of nation s fi rst overseas air policing mission over Baltic

FLIGHT GRIPENS ON GUARD AT NATO S EDGE. How Czechs met challenge of nation s fi rst overseas air policing mission over Baltic FLIGHT INTERNATIONAL 2-8 JUNE 2009 MISSING LINK THE ELECTRONIC BAG OF TRICKS IN THE COCKPIT FEATURE P26 FREIGHTER FEES Cargo carriers face new Boeing technical support charges for passenger jet conversions

Διαβάστε περισσότερα

Previously Published Works UC Berkeley

Previously Published Works UC Berkeley Previously Published Works UC Berkeley A University of California author or department has made this article openly available. Thanks to the Academic Senate s Open Access Policy, a great many UC-authored

Διαβάστε περισσότερα

ΧΣΛ: 15.87 6/1/1978 4 9 10 50 ΣΧ

ΧΣΛ: 15.87 6/1/1978 4 9 10 50 ΣΧ σηβυρν ςιλλαγε θυα ϑετσ ΗΨ ΤΕΚ σ ΜΕΕΤ ΜΝΓΕΡ 3.0 2:06 ΠΜ 7/6/2013 Παγε 1 Μεετ ΦΦ ς 7/6/2013 ΧΣΛ Μεετ Ρεσυλτσ Στανδαρδ Μεετ πλυσ 6&Υνδερ Εϖεντ 1 Βοψσ 8 & Υνδερ 25 ΣΧ Μετερ Φρεεστψλε ΧΣΛ: 15.87 6/1/1978 ϑιµ

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Α Α Α Α Α Α 1) Α Α Α Α Α Α 3) Α Α Α Α Α Α Α ο οθ σία -> > ό ος ύ α -> Ύ α η α α αίο φα αίο 4) α ασ άσ ις οβά ω ο οθέ ηση α ασ άσ ω

Α Α Α Α Α Α 1) Α Α Α Α Α Α 3) Α Α Α Α Α Α Α ο οθ σία -> > ό ος ύ α -> Ύ α η α α αίο φα αίο 4) α ασ άσ ις οβά ω ο οθέ ηση α ασ άσ ω 1 ΕΙΣΓΩΓΗ Η οβ ο οφί σ η Κύ ο ο ί ό χιο ω χ ό ω έ ό ο ς ιο ση ι ούς ο ς ης η ο οφίςτ όβ ού η β σ ηση, ις βοσ ές ι ό ό οι οϊό ω ω ι ώ ι ιώ Πέ ό ό ό ως έχ ι ή ης σχό ηση σ 3000 ί ο οι ο έ ι ς ο έχο 325000

Διαβάστε περισσότερα

A neurobiological theory of meaning in perception.

A neurobiological theory of meaning in perception. Global episodic beta/gamma synchrony 1 Freeman & Rogers A neurobiological theory of meaning in perception. Part 5. Multicortical patterns of phase modulation in gamma EEG International Journal of Bifurcation

Διαβάστε περισσότερα

Θ+!& ;/7!127# 7 % :!+9. + %#56 /+.!/;65+! 3# 76. +!+ % 2&/ :2!,Γ 0 :9#+ #2:.2 #+Ι 7#+.&/ #2:.2 / /&7 + < & /!! Ω 6. Α./& /&7 + 622#. 6!

Θ+!& ;/7!127# 7 % :!+9. + %#56 /+.!/;65+! 3# 76. +!+ % 2&/ :2!,Γ 0 :9#+ #2:.2 #+Ι 7#+.&/ #2:.2 / /&7 + < & /!! Ω 6. Α./& /&7 + 622#. 6! ! # %!! #!#%& ()! +,.! + /!#012!!# )3 # #4 +!#567 8%+#%/!,917#,.! + 9: %# ;:/%&. + # 9/ = 2>3/!#012!!# )3 #? +.:;/7/&7 + Α./&Β# 7. +;# 2/># 7 ΧΧ67< %#+ΧΧ #+.#17/+/ #

Διαβάστε περισσότερα

2 Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Υ Ν Ε Λ Ε Υ Σ Η Τ Ω Ν Μ Ε Λ Ω Ν Τ Ο Υ Σ Ε Π Ε, 2 8 Μ Α Ϊ Ο Υ 2 0 1 5

2 Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Υ Ν Ε Λ Ε Υ Σ Η Τ Ω Ν Μ Ε Λ Ω Ν Τ Ο Υ Σ Ε Π Ε, 2 8 Μ Α Ϊ Ο Υ 2 0 1 5 3 Μ ή ν υ μ α Π ρ ό ε δ ρ ο υ Δ ι ο ι κ η τ ι κ ο ύ Σ υ μ β ο υ λ ί ο υ 4 Μ ή ν υ μ α Γ ε ν ι κ ο ύ Δ ι ε υ θ υ ν τ ή 5 Ό ρ α μ α κ α ι Σ τ ρ α τ η γ ι κ ή 6 Ε κ π ρ ο σ ώ π η σ η κ α ι Σ υ ν ε ρ γ α σ

Διαβάστε περισσότερα

BHARAT SANCHAR NIGAM LIMITED

BHARAT SANCHAR NIGAM LIMITED Page 1 of 5 BHARAT SANCHAR NIGAM LIMITED (A Government of India Enterprise) NOTICE INVITING TENDER S.I N o 1.0 Sealed Item rate tenders are invited on behalf of the BHARAT SANCHARNIGAM LIMITED (A Government

Διαβάστε περισσότερα

ΤΤ Λανδεσ Χυπ Σπρυνγλαυφ υνδ Νορδισχηε Κοµβινατιον

ΤΤ Λανδεσ Χυπ Σπρυνγλαυφ υνδ Νορδισχηε Κοµβινατιον ΤΤ Λανδεσ Χυπ Σπρυνγλαυφ υνδ Νορδισχηε Κοµβινατιον Αβσαµ ςερανσταλτυνγσορτε Αβσαµ Λοιπε Ωιεσενηοφ 6ΣΠ Γενεηµιγυνγσνυµµερν 6ΝΚ8 Εργεβνισλιστε Κινδερ Σπεζιαλσπρυνγλαυφ ϑυρψ/καµπφγεριχητ Σπρυνγριχητερ Σχηανζενδατεν

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΝΤΙΑ ΧΥΠ ρ.ϑοσεφ Σχηµιδτ Μεµοριαλ 2013

ΛΕΝΤΙΑ ΧΥΠ ρ.ϑοσεφ Σχηµιδτ Μεµοριαλ 2013 ΓΡΥΠΠΕ ϑυγεν 1 (ΧΗΙΧΚΣ) Μ ΧΗΕΝ ΕισΑρενα Λινζ Κ ρ Σιζε οφ Σκατινγ Αρεα Ιχε Χονδιτιονσ οφ Εντριεσ οφ Παρτιχιπαντσ : 11 : : : 30µ 60µ ϖερψ γοοδ 11 Εντρψ Ωιτηδραων : Παολα ϑυρισιχ ΣΑΚ Κ ρ υρατιον : 2:00 +

Διαβάστε περισσότερα