ιπλωµατική Εργασία του φοιτητή του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΣΥΡΜΑΤΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ιπλωµατική Εργασία του φοιτητή του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών Βερανούδη Παναγιώτη του Γεωργίου Αριθµός Μητρώου: 6960 Θέµα «Χαρακτηρισµός ασύρµατου καναλιού σύγχρονων ασύρµατων δικτύων µε εφαρµογή κάλυψης σε τούνελ» Επιβλέπων Κωτσόπουλος Σταύρος Αριθµός ιπλωµατικής Εργασίας: Πάτρα, Οκτώβριος 013 0

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η ιπλωµατική Εργασία µε θέµα «Χαρακτηρισµός ασύρµατου καναλιού σύγχρονων ασύρµατων δικτύων µε εφαρµογή κάλυψης σε τούνελ» Του φοιτητή του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Βερανούδη Παναγιώτη του Γεωργίου Αριθµός Μητρώου: 6960 Παρουσιάστηκε δηµόσια και εξετάστηκε στο Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων καθηγητής Σταύρος Κωτσόπουλος Ο ιευθυντής του Τοµέα καθηγητής Νικόλαος Φακωτάκης 1

3 Αριθµός ιπλωµατικής Εργασίας: Θέµα: «Χαρακτηρισµός ασύρµατου καναλιού σύγχρονων ασύρµατων δικτύων µε εφαρµογή κάλυψης σε τούνελ» Φοιτητής: Επιβλέπων: Περίληψη Αντικείµενο αυτής της διπλωµατικής είναι ο χαρακτηρισµός του ασύρµατου καναλιού σύγχρονων ασύρµατων δικτύων µε εφαρµογές για κάλυψη σε τούνελ. Ο χαρακτηρισµός του ασύρµατου καναλιού µέσα σε περιβάλλον τούνελ γίνετε στατιστικά. Παρότι είναι δυνατή η αναλυτική και αριθµητική επίλυση του προβλήµατος τα στοχαστικά φαινόµενα που επικρατούν κάνουν ιδανικότερη τη στατιστική επίλυση του προβλήµατος. Με τον όρο χαρακτηρισµό του ασύρµατου καναλιού εννοείται ο προσδιορισµός τριών χαρακτηριστικών του ασύρµατου καναλιού. Ο υπολογισµός των απωλειών ισχύος στη διαδροµή που παρεµβάλλεται µεταξύ ποµπού και δέκτη και κατά επέκταση ο υπολογισµός της λαµβανόµενης ισχύος στη κεραία το δέκτη. Επίσης, ο υπολογισµός των διακυµάνσεων που υφίσταται το πλάτος του σήµατος που λαµβάνεται στο δέκτη. Το πλάτος δεν είναι σταθερό αλλά µεταβάλλεται καθώς ο δέκτης µετακινείται σε µικρές αποστάσεις συγκρίσιµες µε το µήκος κύµατος του σήµατος. Τέλος, η σύγκριση της ληφθείσας ισχύος στο δέκτη µε το κατώφλι ευαισθησίας της συσκευής επικοινωνίας του δέκτη µε σκοπό τον υπολογισµό της πιθανότητας να έχει σήµα ο δέκτης δηλαδή να είναι δυνατή η επικοινωνία ποµπού και δέκτη. Για να γίνουν αυτοί οι υπολογισµοί χρησιµοποιούνται ανάλογες προσοµοιώσεις σε πρόγραµµα λογισµικού προσοµοιώσεων.

4 Περιεχόµενα Εισαγωγή...5 Κεφάλαιο 1 ο : ανάλυση µηχανισµών ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης και ιδιαιτερότητες αυτών σε περιβάλλον τούνελ Εισαγωγή 7 1. Μηχανισµοί ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης Στατιστικά χαρακτηριστικά των ασύρµατων καναλιών διάδοσης Μέθοδος ανίχνευσης ακτινών ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε επίπεδη επιφάνεια ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε ακανόνιστη/ανώµαλη επιφάνεια ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε επιφάνεια µε εµπόδια Μοντέλα ασύρµατων καναλιών διάδοσης Μοντέλο ασύρµατης διάδοσης στον ελεύθερο χώρο Μοντέλο απωλειών διάδοσης σε περιβάλλοντα µη οπτικής και οπτικής επαφής Μοντέλα διαλείψεων Μοντέλα διαλείψεων µεγάλης κλίµακας Log-normal Gama Μοντέλα διαλείψεων µικρής κλίµακας Rayleigh Rice Ιδιαιτερότητες µηχανισµών ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης σε περιβάλλον τούνελ...6 Κεφάλαιο ο : ηλεκτροµαγνητική µοντελοποίηση σε περιβάλλον τούνελ..8.1 Εισαγωγή..8. Κυµατοδηγός ορθογώνιας διατοµής Ρυθµός TE Κυµατοδηγός κυκλικής διατοµής Ρυθµός TE Ρυθµός TE Ιδιαιτερότητες των χαρακτηριστικών διάδοσης της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας σε περιβάλλον τούνελ Ανάκλαση σε περιβάλλον τούνελ Ανάκλαση σε λείες επιφάνειες ιασπορά σε αδρές επιφάνειες ιάδοση πολλαπλών διαδροµών σε περιβάλλον τούνελ Ρυθµοί κυµατοδήγησης 44.5 Αριθµητικές µέθοδοι µοντελοποίησης Point Matching µέθοδος Στατιστική ανάλυση διάδοσης σε περιβάλλον τούνελ Μοντέλο κοντινής και µακρινής περιοχής...5 3

5 .6. Στατική µοντελοποίηση των διαλείψεων στο περιβάλλον τούνελ..56 Κεφάλαιο 3 ο : Ανάπτυξη και εφαρµογή αλγορίθµου υλοποίησης του RF µοντέλου κάλυψης Εισαγωγή a) υπολογισµός της λαµβανόµενης ισχύος του σήµατος στο δέκτη Παράδειγµα 1 ο : ελεύθερος χώρος-περιβάλλον τούνελ Παράδειγµα ο : αστικό περιβάλλον-περιβάλλον τούνελ Παράδειγµα 3 ο : σύνθετο περιβάλλον και χρήση αναµεταδότη b) εκτίµηση των διακυµάνσεων του λαµβανοµένου σήµατος στο δέκτη Χρήση συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (pdf) χρήση αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής (cdf) Συµπεράσµατα κεφαλαίου...66 Κεφάλαιο 4 ο : Προσοµοίωση-Αποτελέσµατα Εισαγωγή Προσοµοίωση των απωλειών διάδοσης µε χρήση matlab Προσοµοίωση παραδείγµατος: ελεύθερος χώρος-περιβάλλον τούνελ Προσοµοίωση των διακυµάνσεων του λαµβανοµένου σήµατος στο δέκτη µε χρήση matlab Προσοµοίωση pdf κατανοµή Rice και Rayleigh Προσοµοίωση cdf κατανοµή Rice και Rayleigh Συµπεράσµατα κεφαλαίου...86 Κεφάλαιο 5 ο : Γενικά Συµπεράσµατα...88 Βιβλιογραφία..90 Παραρτήµατα.94 4

6 Εισαγωγή Στην εποχή που ζούµε η κινητή τηλεφωνία τείνει να αλλάξει ριζικά χαρακτήρα. Η µετάβαση από τα δίκτυα GSM.5 γενιάς στα δίκτυα GSM 3 ης και 4 ης γενιάς έγινε πολύ γρήγορα. Στο δίκτυο GSM 4 ης γενιάς γίνετε σύγκληση τεχνολογιών και µε αυτόν τον τρόπο δίνεται η δυνατότητα στο χρήστη να έχει πρόσβαση στο internet ανά πάσα στιγµή, δεδοµένου πως υπάρχει η κατάλληλη υποδοµή. Στο συνεχώς τηλεπικοινωνιακά αναπτυσσόµενο κόσµο γίνεται αναγκαία η δυνατότητα πρόσβασης στο ασύρµατο δίκτυο ακόµα και σε περιοχές οι οποίες παρουσιάζουν ιδιαιτερότητες και τα χαρακτηριστικά των οποίων κάνουν τις περιοχές αυτές «εχθρικά περιβάλλοντα» για την ασύρµατη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού σήµατος. Ένα τέτοιο περιβάλλον αποτελεί και το περιβάλλον τούνελ το οποίο εξετάζεται σε αυτή την διπλωµατική εργασία. Η δυνατότητα πρόσβασης στο ασύρµατο τηλεπικοινωνιακό δίκτυο όταν ο συνδροµητής βρίσκεται µέσα σε τούνελ µπορεί να εξυπηρετήσει δύο βασικούς σκοπούς. Πρώτον, δίνει τη δυνατότητα στο συνδροµητή να µιλά, να στέλνει µηνύµατα, να κατεβάζει δεδοµένα, να ακούει µουσική και να κάνει οποιαδήποτε άλλη δραστηριότητα την οποία του παρέχει το σύγχρονο ασύρµατο δίκτυο. Η ανεµπόδιστη πρόσβαση στο ασύρµατο δίκτυο αποτελεί ελκυστικό χαρακτηριστικό για τους συνδροµητές ή οποίοι είναι διατεθειµένοι να εγγραφούν στις αντίστοιχες υπηρεσίες. εύτερον, σε περιπτώσεις έκτακτης ανάγκης όπως σε περιπτώσεις ατυχηµάτων στο εθνικό οδικό δίκτυο ή στη σήραγγα του µετρό γίνεται δυνατή η επικοινωνία. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση της ασφάλειας µέσω της άµεσης γνώσης του προβλήµατος δίνοντας τη δυνατότητα στους αρµόδιους φορείς να σπεύσουν άµεσα και να επιλύσουν το πρόβληµα. Σκοπός αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι η µελέτη και ο χαρακτηρισµός του ασύρµατου καναλιού των σύγχρονων ασύρµατων δικτύων µε εφαρµογές κάλυψης µέσα σε περιβάλλον τούνελ και η προσοµοίωση του υπό µελέτη περιβάλλοντος. Κεντρικός άξονας είναι η διερεύνηση των φαινοµένων που εµφανίζονται κατά την διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε περιβάλλον τούνελ και η µοντελοποίηση αυτών µέσα από στατιστικά µοντέλα ικανά να περιγράψουν την ασύρµατη ζεύξη. Κύρια σηµεία και ζητούµενα της εργασίας είναι ο υπολογισµός της λαµβανοµένης ισχύος στο δέκτη, η στατιστική µοντελοποίηση των διακυµάνσεων πλάτους του λαµβανοµένου σήµατος και ο πιθανοτικός προσδιορισµός της δυνατότητας λήψης του σήµατος στο δέκτη. Η γνώση αυτών των ζητούµενων περιγράφει την απόδοση της ασύρµατης διάδοσης και είναι ικανή για το σχεδιασµό ενός σύγχρονου ασύρµατου τηλεπικοινωνιακού δικτύου. οµή της εργασίας: Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται µια γενική ανάλυση των µηχανισµών διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού σήµατος. Εξετάζεται η φύση των µηχανισµών αυτών και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. ιατυπώνονται τα θεωρητικά µοντέλα 5

7 ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης και οι εφαρµογές αυτών στα αντίστοιχα περιβάλλοντα. Γίνετε τέλος µια εισαγωγή στις ιδιαιτερότητες αυτών των µηχανισµών στο περιβάλλον τούνελ η γνώση των οποίων είναι απαραίτητη για τον µετέπειτα σχεδιασµό του ασύρµατου τηλεπικοινωνιακού δικτύου. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται όλες οι πληροφορίες για το περιβάλλον τούνελ. Γίνεται αρχικά η θεωρητική µοντελοποίηση του περιβάλλοντος τούνελ και καθορίζονται οι ιδιαιτερότητες του. Αποτυπώνονται όλες οι παράµετροι που επηρεάζουν την διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας στο τούνελ. Έπειτα γίνεται ποιοτική περιγραφή των ιδιαιτεροτήτων αυτών και σύγκριση των µοντέλων µε τις θεωρητικές περιγραφές. Περιγράφεται η στατιστική φύση της ασύρµατης διάδοσης µέσα στο τούνελ και µοντελοποιούνται τα χαρακτηριστικά της. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται η δηµιουργία των αλγορίθµων και των µοντέλων που θα χρησιµοποιηθούν για την ποσοτική αποτύπωση των χαρακτηριστικών της ασύρµατης διάδοσης µέσα στο τούνελ µε την βοήθεια προσοµοιώσεων. Γίνεται πλήρης παραµετροποίηση των χαρακτηριστικών διάδοσης. Στο τέταρτο κεφάλαιο εφαρµόζονται οι αλγόριθµοι και τα µοντέλα που κατασκευάστηκαν. Με τη βοήθεια του λογισµικού MATLAB γίνεται η προσοµοίωση αυτών των αλγορίθµων και των µοντέλων σε πραγµατικές συνθήκες µέσα σε τούνελ. Παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των προσοµοιώσεων. Γίνεται η εξαγωγή των συµπερασµάτων που είναι απαραίτητα για να γίνει ο σχεδιασµός µιας ασύρµατης τηλεπικοινωνιακής ζεύξης σε περιβάλλον τούνελ. Στο πέµπτο και τελευταίο κεφάλαιο έχουµε σύνοψη των γενικών συµπερασµάτων. 6

8 Κεφάλαιο 1: ανάλυση µηχανισµών ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης και ιδιαιτερότητες αυτών σε περιβάλλον τούνελ 1.1 Εισαγωγή: Στις τεχνολογίες ασύρµατων δικτύων η πληροφορία µεταφέρεται µέσο ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. Κατά την διάδοση αυτών των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων, από τον ποµπό στο δέκτη, έχουµε αλληλεπίδραση µεταξύ των κυµάτων και του περιβάλλοντος στο οποίο αυτά διαδίδονται, µε αποτέλεσµα την εξασθένηση του σήµατος. Αυτό προκαλεί απώλειες οδεύσεως και εν τέλει περιορίζει την περιοχή κάλυψης. Ένα από τα πρώτα βήµατα κατά τη διαδικασία σχεδιασµού ενός δικτύου είναι η ακριβής πρόβλεψη των απωλειών οδεύσεως. Υπάρχουν εµπειρικά µοντέλα σχεδιασµένα για συγκεκριµένες εφαρµογές τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων. Τα µοντέλα αυτά σχεδιάζονται µε βάση τις απώλειες οδεύσεως, τις παραµέτρους του συστήµατος και τον τύπο του περιβάλλοντος. Με την επιλογή του κατάλληλου µοντέλου διάδοσης γίνεται δυνατή η εκτίµηση της βέλτιστης θέσης των σταθµών βάσης, των δεδοµένων της συνδροµητικής κίνησης και της περιοχής κάλυψης χωρίς τη διεξαγωγή µετρήσεων της διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος (οι οποίες αποδεικνύονται εξαιρετικά δαπανηρές και χρονοβόρες). Ως εκ τούτου η επιλογή του κατάλληλου µοντέλου διάδοσης είναι πολύ κρίσιµη κατά τον αρχικό σχεδιασµό ενός ασύρµατου δικτύου. Σε αυτό το κεφάλαια κάνουµε µια εισαγωγή στη βασική θεωρία που διέπει το ασύρµατο κανάλι και την ασύρµατη επικοινωνία γενικότερα. Εξετάζονται όλα εκείνα τα χαρακτηριστικά που είναι απαραίτητα ώστε να γίνουν κατανοητοί οι µηχανισµοί που κάνουν δυνατή την επικοινωνία του ποµπού και του δέκτη µιας ασύρµατης ζεύξης. Έπειτα παρουσιάζονται οι ιδιαιτερότητες του περιβάλλοντος του οδικού τούνελ που αποτελεί το κεντρικό θέµα αυτής της εργασίας. 1. Μηχανισµοί ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης Για πολύ υψηλές συχνότητες του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος του εύρους UHF ( 300MHz f 3GHz ) και µικροκυµατικές συχνότητες, που χρησιµοποιούνται στα σύγχρονα ασύρµατα δίκτυα επίγειων επικοινωνιών, το µήκος κύµατος είναι λιγότερο από 1m και εποµένως είναι συγκρίσιµο ή πολύ µικρότερο από τις διαστάσεις των αντικειµένων σε ένα πραγµατικό περιβάλλον. Ανάλογα µε το περιβάλλον τα αντικείµενα αυτά µπορεί να είναι κτίρια, οχήµατα, άνθρωποι, γεωγραφικές ιδιαιτερότητες κ.α.. Άρα σε αυτά τα µήκη κύµατος είναι χρήσιµο να περιγράψουµε τη διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας από τον ποµπό ως το δέκτη µε βάση διαδροµές µεµονωµένων ακτινών (ray tracing). Σε ένα αστικό περιβάλλον για παράδειγµα υπάρχουν πολλές τέτοιες διαδροµές από κτήρια, οχήµατα, ανθρώπους και ούτω καθεξής. 7

9 Οι διαδροµές µεµονωµένων ακτινών περιγράφονται µε τη βοήθεια της γεωµετρικής οπτικής από τη φυσική. Αυτές οι διαδροµές κάνουν δυνατή τη λήψη σηµάτων ακόµη και όταν ο ποµπός και ο δέκτης δεν έχουν γραµµή οπτικής επαφής µεταξύ τους (LOS). Οι κύριοι µηχανισµοί µε τους οποίου γίνεται η διάδοση αυτών των ακτινών είναι η ανάκλαση (reflection), η περίθλαση (diffraction) και η σκέδαση (scattering): -ανάκλαση: Η ανάκλαση συµβαίνει όταν το διαδιδόµενο ηλεκτροµαγνητικό κύµα προσπίπτει πάνω σε ένα αντικείµενο οι διαστάσεις του οποίου είναι πολύ µεγαλύτερες από αυτές του µήκους κύµατος. Ανάλογα µε τη γωνία του προσπίπτοντος κύµατος και την σύνθετη εµπέδηση του αντικειµένου ενδέχεται το κύµα να υποστεί ανάκλαση. Τα συµβάλλοντα κύµατα στο δέκτη µπορεί να συµβάλλουν ενισχυτικά ή καταστρεπτικά. Σχήµα 1.1.: ανάκλαση κύµατος -περίθλαση: Περίθλαση συµβαίνει όταν η διαδροµή µεταξύ του ποµπού και του δέκτη παρεµποδίζεται από µια επιφάνεια που έχει αιχµηρές ακµές. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την κάµψη του σήµατος (signal bending) µε αποτέλεσµα να δηµιουργούνται δευτερεύοντα κύµατα. Έτσι έχουµε λαµβανόµενο σήµα ακόµα και χωρίς διαδροµή οπτικής επαφής. Σχήµα 1..: περίθλαση κύµατος -σκέδαση: Η σκέδαση συµβαίνει όταν η επιφάνεια του µέσου στο οποίο προσπίπτει το κύµα αποτελείται από πολλά αντικείµενα µε διαστάσεις µικρότερες του µήκους κύµατος. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την πολλαπλή αλλαγή κατεύθυνσης της ενέργειας του σήµατος.για παράδειγµα όταν το κύµα περνά µέσα από µια περιοχή µε βλάστηση ή όταν το κύµα προσπίπτει σε πινακίδες, φώτα δρόµων κτλ. 8

10 Σχήµα 1.3.: σκέδαση κύµατος Συνολικά οι τρεις βασικοί µηχανισµοί ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης παρουσιάζονται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήµα 1.4.: οι τρεις βασικοί µηχανισµοί ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης 1.3 Στατιστικά χαρακτηριστικά των ασύρµατων καναλιών διάδοσης Η θεωρία της γεωµετρικής οπτικής που εφαρµόζεται σε πολλά µοντέλα, τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω, παρότι χρήσιµη έχει περιορισµένη ισχύ από µόνη της. Η ασύρµατη διάδοση ράδιο-κυµάτων, τόσο για τα εσωτερικού (indoor), όσο και για τα υπαίθριου (outdoor) τύπου περιβάλλοντα είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη κυρίως λόγο του ότι η συντοµότερη διαδροµή µεταξύ ποµπού και δέκτη παρεµποδίζεται συνήθως από τοίχους, οροφές, ή άλλα αντικείµενα, στην περίπτωση ενός εσωτερικού χώρου, ή από κτίρια ή και άλλα φυσικά χαρακτηριστικά γνωρίσµατα, στην περίπτωση υπαίθριων εκτάσεων. Επίσης, στα ασύρµατα δίκτυα κινητής τηλεφωνίας η κίνηση των συνδροµητών είναι µια παράµετρος που επηρεάζει τα χαρακτηριστικά της ασύρµατης ζεύξης και πρέπει να ληφθεί υπόψη. Κατά συνέπεια, η ισχύς των εκπεµπόµενων σηµάτων λαµβάνεται στο δέκτη µέσα από πολλές διαδροµές διαφορετικής έντασης, φαινόµενο που ονοµάζεται πολυδιόδευση. Οι χρόνοι άφιξης των σηµάτων από τις διάφορες διαδροµές είναι ανάλογοι προς τα µήκη των διαδροµών που διανύθηκαν, 9

11 ενώ επίσης επηρεάζονται από το µέγεθος, την αρχιτεκτονική του περιβάλλοντος, καθώς και τις θέσεις των αντικειµένων γύρω από τον ποµπό και τον δέκτη. Για παράδειγµα, επειδή οι αποστάσεις σε ένα περιβάλλον π.χ. γραφείων, είναι σχετικά µικρές, οι καθυστερήσεις διάδοσης των κυµάτων της πολυδιόδευσης είναι επίσης µικρές, µε συνέπεια το λαµβανόµενο σήµα να χαρακτηρίζεται από µικρή παραµόρφωση, ενώ το αντίθετο συνήθως συµβαίνει σε ένα εξωτερικό περιβάλλον. Η ένταση των σηµάτων σε αυτές τις διαδροµές εξαρτάται από την εξασθένιση που προκαλείται κατά την µετάβαση του κατευθείαν ή του ανακλώµενου σήµατος, σε διάφορα αντικείµενα που βρίσκονται µέσα στην διεύθυνση διάδοσης. Η ανάλυση που βασίζεται σε αιτιοκρατικούς µηχανισµούς διάδοσης σε ένα τέτοιο περιβάλλον µπορεί να πραγµατοποιηθεί µόνο στις πολύ απλές περιπτώσεις. Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, η στατιστική προσέγγιση είναι ακριβέστερη και αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιµοποιείται. Στην µοντελοποίηση καναλιών διάδοσης µε στατιστικά µοντέλα, οι στατιστικές παράµετροι συλλέγονται από πραγµατικές µετρήσεις οι οποίες πραγµατοποιούνται στις πιθανές θέσεις εγκατάστασης του ποµπού και του δέκτη. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα τα στατικά µοντέλα που καθορίζουν την µέση τιµή της ισχύος στο δέκτη να µην επαρκούν για να περιγράψουν την ζεύξη και τα χαρακτηριστικά της. Σε αυτά τα µοντέλα εξετάζουµε τη στατιστική συµπεριφορά της ισχύος, λόγω της κίνησης του τερµατικού. Καθώς ο συνδροµητής κινείται σε µια περιοχή οι τρεις µηχανισµοί της διάδοσης που περιγράφηκαν παραπάνω επιδρούν κάθε στιγµή στο λαµβανόµενο σήµα κατά διαφορετικούς τρόπους. Ακόµη και αν το κινητό τερµατικό διανύει µικρές αποστάσεις, η λαµβανόµενη στιγµιαία ισχύς µεταβάλλεται απότοµα και εµφανίζονται βραχύχρονες διαλείψεις. Η διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε περιβάλλοντα κινητών επικοινωνιών χαρακτηρίζεται από τρία επιµέρους φαινόµενα: τις απώλειες διαδροµής (path loss), τη σκίαση (shadowing) και τις διαλείψεις πολλαπλών διαδροµών (multipath fading). -απώλειες διαδροµής: Γενικότερα, η πιο ολοκληρωµένη µελέτη των απωλειών διάδοσης σε οποιοδήποτε περιβάλλον διάδοσης µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε την εφαρµογή των εξισώσεων του Maxwell, χρησιµοποιώντας οριακές συνθήκες οι οποίες εκφράζουν τα φυσικά χαρακτηριστικά των αντικειµένων παρεµπόδισης. Όµως οι υπολογισµοί που προκύπτουν είναι εξαιρετικά περίπλοκοι και επιπλέον σε πολλές περιπτώσεις οι αναγκαίες παράµετροι δεν είναι διαθέσιµες. Για να ξεπεραστούν αυτά τα προβλήµατα, έχουν προταθεί και κατόπιν εφαρµοστεί διάφορες προσεγγίσεις. Οι πιο γνωστές από αυτές χρησιµοποιούν τεχνικές αντιγράφων ακτινών, όπου στην απλούστερη περίπτωση ( ακτινών) η διάδοση του σήµατος περιγράφεται µε µια απευθείας διαδροµή µεταξύ ποµπού και δέκτη και µια ανακλώµενη, συνήθως στο έδαφος. Υπάρχουν όµως συνθήκες διάδοσης που δεν µπορούν να περιγραφούν επακριβώς µε τη χρήση των µοντέλων των ακτινών. Σε αυτές τις περιπτώσεις συνηθίζεται να χρησιµοποιούνται διάφορα αναλυτικά µοντέλα που βασίζονται σε εµπειρικές µετρήσεις, όπως θα δούµε και παρακάτω. Μια άλλη τεχνική για τον υπολογισµό των απωλειών διαδροµής είναι η χρήση του µοντέλου διάδοσης σε 10

12 ελεύθερο χώρο. Το µοντέλο διάδοσης σε ελεύθερο χώρο χρησιµοποιείται για να γίνει µια εκτίµηση της ισχύς του λαµβανόµενου σήµατος όταν ο ποµπός και ο δέκτης έχουν καθαρή, χωρίς εµπόδια, διαδροµή οπτικής επαφής µεταξύ τους. Όλα αυτά τα µοντέλα περιγράφονται παρακάτω. -φαινόµενο σκίασης: Πέρα από τις απώλειες διαδροµής ένα άλλο ζήτηµα που επηρεάζει την ποιότητα του µεταδιδόµενου σήµατος στο ασύρµατο κινητό περιβάλλον είναι οι διαλείψεις µεγάλης κλίµακας, γνωστό και ως φαινόµενο σκίασης. Συγκεκριµένα, εάν ένα σήµα υπόκειται σε σκίαση, η ισχύς που λαµβάνεται στο δέκτη εµφανίζει σχετικά αργά µεταβαλλόµενες διακυµάνσεις. Οι διακυµάνσεις στην ισχύ που οφείλονται στις διαλείψεις µεγάλης κλίµακας δηµιουργούνται εξαιτίας της παρεµπόδισης από µεγάλα αντικείµενα που υπάρχουν µεταξύ ποµπού και δέκτη, πχ κτίρια, δέντρα, ανάγλυφο του εδάφους. Επίσης, οι διακυµάνσεις αυτές οφείλονται στις µεταβολές του σήµατος από τις επιφάνειες ανάκλασης και τα αντικείµενα σκέδασης στα οποία προσπίπτει. Συνεπώς, εξαιτίας του γεγονότος ότι η περιοχή, το µέγεθος και οι διηλεκτρικές ιδιότητες των αντικειµένων παρεµπόδισης, όπως επίσης και οι µεταβολές του σήµατος από τις σκεδάσεις και ανακλάσεις, είναι άγνωστες, χρησιµοποιούνται στατιστικά µοντέλα για το χαρακτηρισµό των διακυµάνσεων. Το πιο διαδεδοµένο µοντέλο για την περιγραφή αυτών των διακυµάνσεων είναι η σκίαση lognormal. Αυτό το µοντέλο έχει επιβεβαιωθεί εµπειρικά ότι µοντελοποιεί επακριβώς τις διακυµάνσεις στη λαµβανόµενη ισχύ και για το εσωτερικό και για το εξωτερικό περιβάλλον διάδοσης. -φαινόµενο πολλαπλής διαδροµής: Το φαινόµενο πολλαπλής διαδροµής ανήκει στις διαλείψεις µικρής κλίµακας και αναφέρεται στις µικρές διακυµάνσεις που παρατηρούνται στο πλάτος, τη φάση και τις χρονικές καθυστερήσεις των σηµάτων σε µια µικρή απόσταση ή περίοδο του χρόνου. Οι διαλείψεις αυτές οφείλονται σε παρεµβολές µεταξύ δύο ή περισσοτέρων εκδοχών του εκπεµπόµενου σήµατος οι οποίες λαµβάνονται στο δέκτη σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Υπάρχουν πολλοί φυσικοί παράγοντες που επηρεάζουν τις διακυµάνσεις µικρής κλίµακας σε ένα ασύρµατο κανάλι διάδοσης. Οι πιο σηµαντικοί είναι : ιάδοση πολλαπλής διαδροµής: Οι µηχανισµοί διάδοσης των κυµάτων έχουν σαν αποτέλεσµα τη δηµιουργία πολλαπλών εκδοχών του εκπεµπόµενου σήµατος, οι οποίες λαµβάνονται στην κεραία λήψης, µετατοπισµένες στο χωρικό και χρονικό προσανατολισµό. Τα διαφορετικά αυτά κύµατα πολλαπλής διαδροµής έχουν τυχαίο πλάτος και φάση, δηµιουργώντας έτσι διακυµάνσεις στην ισχύ των σηµάτων και συνεπώς διαλείψεις µικρής κλίµακας. Κίνηση του κινητού: Η σχετική κίνηση µεταξύ του σταθµού βάσης και ενός κινητού δέκτη επιφέρει τυχαία µεταβολή της συχνότητας εξαιτίας των διαφορετικών µετατοπίσεων Doppler των κυµάτων πολλαπλής διαδροµής. Η µετατόπιση Doppler µπορεί να είναι θετική ή αρνητική ανάλογα µε το αν ο κινητός δέκτης πλησιάζει ή αποµακρύνεται από το σταθµό βάσης. 11

13 Κίνηση των αντικειµένων του περιβάλλοντος: Η κίνηση των αντικειµένων σε ένα ασύρµατο κανάλι επιφέρει µια χρονικά µεταβαλλόµενη µετατόπιση Doppler στα κύµατα πολλαπλής διαδροµής. Η κίνηση των αντικειµένων του περιβάλλοντος λαµβάνεται υπόψη όταν είναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα του κινητού δέκτη, αλλιώς µπορεί να αγνοηθεί και να εξεταστεί µόνο η ταχύτητα του δέκτη. Εύρος ζώνης εκποµπής του σήµατος: Εάν το εύρος ζώνης του εκπεµπόµενου σήµατος είναι µεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του καναλιού πολλαπλής διαδροµής, το λαµβανόµενο σήµα θα παραµορφωθεί αλλά οι διακυµάνσεις µικρής κλίµακας δεν θα είναι σηµαντικές. Εάν το εκπεµπόµενο σήµα έχει µικρότερο εύρος ζώνης σε σύγκριση µε εκείνο του καναλιού, το πλάτος του σήµατος θα µεταβάλλεται γρήγορα αλλά το σήµα δεν θα παραµορφώνεται στο χρόνο. Στο παρακάτω σχήµα δίνεται ένα παράδειγµα ασύρµατου καναλιού στο οποίο εµφανίζονται διαλείψεις πολλαπλής διαδροµής. Σχήµα 1.5.: διαλείψεις πολλαπλής διαδροµής 1

14 Γενικότερα, το ασύρµατο κανάλι µπορεί να µοντελοποιηθεί σαν ένα γραµµικό φίλτρο µε χρονικά µεταβαλλόµενη κρουστική απόκριση, όπου η χρονική µεταβολή οφείλεται στην κίνηση στο χώρο. Αυτή η φύση του καναλιού οφείλεται στο άθροισµα των πλατών και των καθυστερήσεων των πολλαπλών εισερχόµενων κυµάτων που έχουν σαν αποτέλεσµα: α) τη χρονική εξάπλωση (time spread) των πολλαπλών διαδροµών, και β) τη χρονική διασπορά (time variance) των πολλαπλών διαδροµών. Η χρονική εξάπλωση είναι η καθυστέρηση µεταξύ της άφιξης του πρώτου και του τελευταίου συνθετικού πολλαπλών διαδροµών, ενώ η χρονική διασπορά είναι η αλλαγή στο πλάτος και τη φάση του σήµατος λόγω της µεταβολής του περιβάλλοντος που οφείλεται στην κίνηση. Εξαιτίας αυτών των µηχανισµών, ένα σήµα το οποίο διαδίδεται σε ένα ασύρµατο κινητό κανάλι επηρεάζεται από διαφορετικά είδη διαλείψεων ανάλογα µε τις παραµέτρους του σήµατος (εύρος ζώνης, περίοδος συµβόλου) και τα χαρακτηριστικά του καναλιού (εξάπλωση καθυστέρησης, delay spread, εξάπλωση Doppler). Για παράδειγµα όταν το εύρος ζώνης του εκπεµπόµενου σήµατος B είναι µεγαλύτερο από το εύρος ζώνης συµφωνίας (coherence bandwidth) του καναλιού B c, τότε έχουµε συχνο-επιλεκτικές διαλείψεις (frequency selective), αλλιώς έχουµε επίπεδες διαλείψεις (flat fading). Αντίστοιχο του B στο πεδίο της συχνότητας, είναι η εξάπλωση καθυστέρησης, σ, στο πεδίο του χρόνου. Επίσης, εάν η χρονική διάρκεια τ ενός συµβόλου T s είναι µεγαλύτερη από το σύµφωνο χρόνο ενός καναλιού T c, τότε έχουµε γρήγορες διαλείψεις (fast fading), διαφορετικά έχουµε αργές διαλείψεις (slow fading). Το αντίστοιχο του T στο πεδίο του χρόνου, είναι η εξάπλωση Doppler c (Doppler spread) B d, στο πεδίο της συχνότητας. Όπου ο χρόνος συµφωνίας (coherence time) είναι ένα µέτρο όπου µετράµε τον ελάχιστο απαιτούµενο χρόνο για την αλλαγή του πλάτους προκειµένου αυτή η αλλαγή του πλάτους να είναι ασυσχέτιστη µε την προηγούµενή της τιµή, σύµφωνα µε τον τύπο: k Tc = (1.1) D Όπου T c = χρόνος συµφωνίας, k=σταθερά µε τιµές από 0.5 έως 0.5, κατά Doppler. s c s D s =διασπορά Τα τρία φαινόµενα της ασύρµατης διάδοσης, δηλαδή, οι απώλειες διαδροµής, σκίασης και διαλείψεων πολλαπλής διαδροµής φαίνονται στο σχήµα 1.6 ως συνάρτηση της απόστασης. 13

15 Σχήµα 1.6.: τρία βασικά φαινόµενα της ασύρµατης διάδοσης 1.4 Μέθοδος ανίχνευσης ακτινών Παρακάτω παρουσιάζονται κάποια απλά µοντέλα τα οποία χρησιµοποιούν τη µέθοδο ανίχνευσης ακτινών (ray tracing method). Οι κεραίες εκποµπής και λήψης θεωρούνται σηµειακές και κάθε διαδροµή µοντελοποιείται ως µία ακτίνα. Μια ακτίνα είναι η πορεία µιας ιδανικής σηµειακής σφαίρας που ταξιδεύει σε µια ευθεία γραµµή και που ανακλάται από τα διάφορα αντικείµενα σύµφωνα µε τους κανόνες της γεωµετρικής οπτικής που αναφέρθηκαν παραπάνω ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε επίπεδη επιφάνεια Ένας από τους θεµελιώδεις τρόπους µε τους οποίους γίνεται η διάδοση σε ένα περιβάλλον που είναι απαλλαγµένο από εµπόδια φαίνεται στο σχήµα 1.7. Σε αυτή την περίπτωση υποτίθεται ότι οι κεραίες του ποµπού και του δέκτη είναι τοποθετηµένες πάνω σε µια επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια. Σηµειώνεται εδώ ότι η επίπεδη ανακλαστική επιφάνεια είναι λεία. Η διάδοση σε αυτήν την περίπτωση όπως φαίνεται στο σχήµα οφείλεται σε δύο ακτίνες που συµβάλλουν, η µία είναι η ακτίνα της ζεύξης οπτικής επαφής, άµεση διαδροµή και η δεύτερη είναι η ανακλώµενη ακτίνα από το έδαφος, έµµεση διαδροµή. Οι δύο ακτίνες συµβάλουν στο δέκτη µε διαφορά φάσης ανάλογη της διαφοράς του µήκους των δύο διαδροµών. 14

16 Σχήµα 1.7.: διάδοση κύµατος σε επίπεδη επιφάνεια Η συνολική τιµή του πεδίου στο δέκτη δίνεται από τη σχέση: r ( ) 1 jk r Er = Et 1+ R a e rreflected (1.) Όπου r και 1 rreflected = r + r3 είναι τα µήκη της άµεσης και της ανακλώµενης διαδροµής αντίστοιχα, R( a ) είναι ο συντελεστής ανάκλασης για οριζόντια και κάθετη πόλωση και ϕ = k rείναι η διαφορά φάσης των δύο κυµάτων που συµβάλουν στο δέκτη. Η διαφορά φάσης εκφράζεται και ως: 4π hrht ϕ = (1.3) λd Όπου hr ht είναι τα ύψη των κεραιών εκποµπής και λήψης αντίστοιχα, λείναι το µήκος κύµατος και d η απόσταση µεταξύ των κεραιών. Αν υποθέσουµε ότι και οι δύο κεραίες είναι κατευθυντικές και απέχουν µεγάλη απόσταση η µία από την άλλη τότε η απόλυτη τιµή της ισχύος του λαµβανοµένου σήµατος στο δέκτη ορίζεται από την παρακάτω σχέση: P r λ k r = Pt sin 4π d (1.4) r= r + r r. Όπου ( )

17 Η λαµβανόµενη ισχύς µειώνεται µε το νόµο του αντίστροφου τετραγώνου της 1 απόστασης και µεταβάλλεται µεταξύ της µέγιστης και της ελάχιστης τιµής που d καθορίζεται από τον όρο sin ( k r ). Όπως φαίνεται από την παραπάνω σχέση η µεγαλύτερη απόσταση από τον ποµπό για την οποία στο δέκτη έχουµε µέγιστη ισχύ λήψης συµβαίνει όταν : k r π k r sin 1 (1.5) Η απόσταση αυτή αποτελεί το κρίσιµο εύρος και µπορεί να εκφραστεί από την παρακάτω σχέση: r b 4h r h t (1.6) λ Το µοντέλο δύο ακτινών (two-ray model), που παρουσιάστηκε παραπάνω, µπορεί να εφαρµοστεί σε τηλεπικοινωνιακές συνθήκες κατά τις οποίες υπάρχει οπτική επαφή µεταξύ ποµπού και δέκτη και οι απόσταση τους δεν είναι τόσο µεγάλη ώστε να πρέπει να ληφθεί υπόψη η καµπυλότητα της γης ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε ακανόνιστη/ανώµαλη επιφάνεια Το προηγούµενο µοντέλο προϋποθέτει την ύπαρξη επίπεδης επιφάνειας ώστε να συµβεί ιδανική ανάκλαση, το προσπίπτων κύµα να µην παρεκκλίνει προς καµία διεύθυνση. Στην πραγµατικότητα οι επιφάνειες συνήθως είναι τραχιές (όπως συµβαίνει και στην περίπτωση των οδικών τούνελ) µε αποτέλεσµα το προηγούµενο µοντέλο να κρίνεται µη ρεαλιστικό και ανεπαρκές για τα περισσότερα πραγµατικά περιβάλλοντα. Οι τραχιές επιφάνειες προκαλούν διάχυση του προσπίπτοντος κύµατος προς διαφορετικές διευθύνσεις. Μια διάχυτη ανάκλαση παρατηρείται και ο µηχανισµός διάδοσης µοιάζει περισσότερο µε αυτό της σκέδασης. Κατά την περίπτωση όπου η ανακλαστική επιφάνεια δεν είναι επίπεδη η συνιστώσα σκέδασης αυξάνεται ενώ η συνιστώσα που ανακλάται στο δέκτη µειώνεται λόγο της διασποράς της ενέργειας που µεταφέρει το κύµα. Παρατηρείται φαινόµενο πολλαπλής ανάκλασης. Η συνολική τιµή του πεδίου στο δέκτη µειώνεται καθώς µόνο ένα τµήµα του προσπίπτοντος κύµατος στην επιφάνεια σκεδάζεται στη διεύθυνση του δέκτη. Ως εκ τούτου, για να είµαστε σε θέση να προβλέψουµε τα χαρακτηριστικά των απωλειών οδεύσεως πάνω σε ανώµαλη επιφάνεια και να εκτιµήσουµε το ρόλο της κάθε συνιστώσας στο συνολικό πεδίου πρέπει να καθοριστεί ένα κριτήριο που να περιγράφει πόσο τραχεία είναι µία επιφάνεια. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιείται η µέθοδος Rayleigh. Με τη µέθοδο Rayleigh καθορίζουµε το πόσο επηρεάζει η τραχύτητα της επιφάνειας το συνολικό ηλεκτροµαγνητικό πεδίο που λαµβάνεται από 16

18 τη κεραία του δέκτη. Με τη µέθοδο αυτή η πραγµατική επιφάνεια προσεγγίζεται από µια ηµιπεριοδική επιφάνεια όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Σχήµα 1.8.: ανάκλαση σε ανώµαλη επιφάνεια Η µέθοδος Rayleigh θεωρεί δύο ακτίνες, Α και Β, όπως φαίνονται στο σχήµα, οι οποίες ανακλώνται από την πάνω και κάτω πλευρά της ηµιπεριοδικής επιφάνειας στα σηµεία πρόσπτωσης Β και Β αντίστοιχα. Οι δύο ακτίνες ακολουθούν διαφορετικές διαδροµές και θα φτάσουν µε διαφορά φάσης στα σηµεία C και C στο δέκτη. Η διαφορά στις φάσεις και στα µήκη των διαδροµών των δύο ακτινών στο δέκτη ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: hi l= ( AB+ BC) ( A' B ' + B ' C ') = ( 1 cos θ) = hi sinθ sinθ (1.7) Φ= 4 sin hi k π π θ l = l λ = λ (1.8) Από τις παραπάνω εξισώσεις γίνεται φανερό ότι η διαφορά φάσης Φ θα είναι µικρή αν το ύψος που καθορίζει την ανωµαλία του εδάφους της επιφάνειας h i είναι µικρό σχετικά µε το µήκος του κύµατος. Κάθε επιφάνεια που ικανοποιεί τη σχέση ( π ) Φ θεωρείται τραχεία επιφάνεια. Το κρίσιµο ύψος h r max, που προκύπτει από τις δύο παραπάνω σχέσεις για τη διαφορά φάσης είναι: h i λ hr max (1.9) 8sinθ Οποιαδήποτε επιφάνεια ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα θεωρείται τραχεία επιφάνεια ιάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος πάνω σε επιφάνεια µε εµπόδια Οι µηχανισµοί της οπτικής, που εφαρµόζονται µε τη βοήθεια διαδροµών ακτινών, που χρησιµοποιήθηκαν στα παραπάνω µοντέλα είναι πολύ χρήσιµοι για πολλά µοντέλα διάδοσης. Ωστόσο, υπάρχουν περιβάλλοντα όπου αυτή η προσέγγιση δεν 17

19 µπορεί να χρησιµοποιηθεί γιατί αποτυγχάνει να λάβει υπόψη της το φαινόµενο της σκίασης, το οποίο αναλύθηκε παραπάνω. Για παράδειγµα ένα περιβάλλον που περιέχει κάποιο µεγάλο εµπόδιο και δεν επιτρέπει την ύπαρξη οπτικής επαφής µεταξύ ποµπού και δέκτη οι µηχανισµοί των διαδροµών ακτινών προβλέπουν λανθασµένα ότι το πεδίο στο δέκτη είναι πάντοτε µηδενικό. Εµπειρικά και πειραµατικά γνωρίζουµε ότι αυτό το συµπέρασµα είναι λάθος, οπότε η διάδοση σε ένα τέτοιο περιβάλλον πρέπει να προσεγγιστεί µε κάποιο διαφορετικό µηχανισµό. Αυτό το φαινόµενο είναι γνωστό ως περίθλαση της ακτινοβολίας και εξηγείτε από την αρχή του Huygen. Αυτή η αρχή υποδηλώνει ότι κάθε σηµείο της κυµατοµορφής ενεργεί ως πηγή ενός δευτερεύοντος κύµατος. Τα δύο αυτά κύµατα συνδυάζονται και παράγουν ένα νέο µέτωπο κύµατος στην κατεύθυνση της διάδοσης. Η περίθλαση προκαλεί απώλειες διάδοσης. Η πιο απλή περίπτωση είναι όταν έχουµε ένα αιχµηρό εµπόδιο (single knife-edge) ανάµεσα στο ποµπό και το δέκτη για το οποίο δεχόµαστε ότι το βάθος του είναι πολύ µεγάλο. ηλαδή, σαν αιχµηρό εµπόδιο λαµβάνεται ένα οξύ εµπόδιο, απείρου βάθους, το οποίο είναι αδιαφανές στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα. Για να προσδιορίσουµε τις απώλειες διάδοσης σύµφωνα µε την αρχή του Huygen ένας άπειρος αριθµός δευτερευόντων ακτινών συµβάλουν πάνω από την αιχµηρή κορυφή του εµποδίου κάνοντας το κύµα του πεδίου να «σκιάσει» την περιοχή πίσω από το εµπόδιο. Οι απώλειες διάδοσης που οφείλονται στη περίθλαση εκφράζονται από την παρακάτω σχέση: ( ) L v 1 = 0log (1.10) πv Όπου v είναι η Fresnel-Kirchhoff παράµετρος περίθλασης, η οποία ορίζεται ως: v ( + ) d d 1 = h (1.11) λd d Όπου hείναι το ύψος του εµποδίου d1και dείναι οι αποστάσεις των κεραιών ποµπού και δέκτη από το εµπόδιο. Το παραπάνω µοντέλο ισχύει µόνο στη περίπτωση που η περιοχή ανάµεσα στο ποµπό και στο δέκτη περιέχει µόνο ένα εµπόδιο. Αν η διαδροµή ανάµεσα στις δύο κεραίες παρεµποδίζεται από παραπάνω εµπόδια πρέπει να εφαρµόσουµε ένα µοντέλο πολλαπλής διάθλασης αιχµηρών εµποδίων Μοντέλα ασύρµατων καναλιών διάδοσης Μοντέλο ασύρµατης διάδοσης στον ελεύθερο χώρο: 18

20 Ο ελεύθερος χώρος είναι ένα ιδανικό ισοτροπικό µέσο χωρίς απώλειες µε γραµµική συµπεριφορά και η διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων εντός αυτού γίνεται µέσω σφαιρικών κυµάτων. Αποτελεί χώρο απαλλαγµένο από εµπόδια, αντικείµενα και διατάξεις που µπορούν να ανακλούν, να σκεδάζουν ή να απορροφούν την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. Η θεώρηση του ελευθέρου χώρου αποτελεί ιδανική κατάσταση. Προσεγγιστικά ελεύθερος χώρος θεωρείται µια περιοχή που περικλείει ένα χώρο γύρω από τη κεραία εκποµπής και διασφαλίζει τη καθαρότητα της 1 ης ζώνης Fresnel. Το µοντέλο ελεύθερου χώρου αποτελεί το βασικό θεωρητικό µοντέλο για τον υπολογισµό της απώλειας οδεύσεως. Αποτελεί µοντέλο αναφοράς για όλα τα υπόλοιπα µοντέλα. Για αυτό το λόγο, αρχικά, επιλέγεται να αναλυθεί συνοπτικά το µοντέλο ελευθέρου χώρου. Σχήµα 1.9.: Fresnel zone Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά για τη περιγραφή της ασύρµατης τηλεπικοινωνιακής ζεύξης είναι η εξασθένηση (attenuation) της µετάδοσης. Εξασθένηση ορίζεται ως η µείωση του µεγέθους ενός σήµατος ραδιοσυχνότητας καθώς αυτό µεταδίδεται από το σταθµό µετάδοσης κατά µήκος οποιασδήποτε διαδροµής εκποµπής. Για το µοντέλο ελευθέρου χώρου η διαδροµή θεωρείται ως ζεύξη οπτικής επαφής (line of sight-los). Η βασική σχέση που περιγράφει τις απώλειες ελεύθερου χώρου (free space path loss-fspl) είναι: FSPL P P t = (1.1) r Όπου P r =ισχύς του σήµατος που λαµβάνεται στο δέκτη (Watt) και P t =ισχύς του σήµατος που εκπέµπεται από το ποµπό (Watt). Οι απώλειες ελευθέρου χώρου καθορίζονται από δύο φαινόµενα. Πρώτον από το νόµο του αντίστροφου του τετραγώνου της απόστασης και δεύτερον από την ενεργό επιφάνεια της κεραίας του δέκτη. Η πυκνότητα ισχύος ανά µονάδα επιφάνειας σε απόσταση d από τον ποµπό δίνεται από τη σχέση: 1 S( W m ) = P t (1.13) 4π d Η ισχύς στο δέκτη είναι ίση µε το γινόµενο της παραπάνω πυκνότητας ισχύος µε τη ενεργό επιφάνεια της κεραίας του δέκτη. P = S A (1.14) r eff 19

21 Όπου A eff =ενεργός επιφάνεια κεραίας δέκτη, η οποία είναι ίση µε: A eff λ = (1.15) 4π Εποµένως η σχέση που δίνει τις απώλειες ελευθέρου χώρου παίρνει την εξής µορφή: 4π d FSPL= λ ή 4π df FSPL= c (1.16) Συναρτήσει του µήκους κύµατος ή της συχνότητας. Σε τηλεπικοινωνιακές εφαρµογές συνηθέστερη είναι η έκφραση των µεγεθών σε db. Εποµένως η παραπάνω σχέση παίρνει τη µορφή: ( ) ( ) ( ) FSPL db = 0 log d + 0 log f (1.17) Όπου η απόσταση εκφράζεται σε µέτρα (m) και η συχνότητα σε (Hz). Η εξίσωση του Friis προσδιορίζει την ισχύ που λαµβάνει ο δέκτης συνυπολογίζοντας τις παραπάνω απώλειες και τα κέρδη των κεραιών. Στην πιο απλή της µορφή έχει την εξής µορφή: λ Pr = PG t tgr (1.18a) 4π d ( ) Η παραπάνω σχέση εκφρασµένη σε db παίρνει την µορφή: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] P dbm = P dbm + G dbi + G dbi FSPL db (1.18b) r t t r Όπου G t, G r =τα κέρδη των κεραιών εκποµπής και στην πλευρά του ποµπού και λήψης στην πλευρά του δέκτη αντίστοιχα. Η χρήση του µοντέλου ελευθέρου χώρου, όπως προαναφέρθηκε, είναι περιορισµένη. Μπορεί να εφαρµοστεί µόνο σε συνθήκες point-to-point επικοινωνίας όταν υπάρχει ζεύξη οπτικής επαφής και δεν λαµβάνουν χώρα φαινόµενα πολυόδευσης της ακτινοβολίας. Ακόµη και σε συνθήκες point-to-surface επικοινωνίας, µε την ύπαρξη ζεύξης οπτικής επαφής, οι πρόσθετοι µηχανισµοί της ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης που λαµβάνουν µέρος στη διαµόρφωση του τελικού λαµβανόµενου σήµατος αυξάνουν την πολυπλοκότητα των φαινοµένων διάδοσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις το µοντέλο ελευθέρου χώρου αποτυγχάνει να δώσει ρεαλιστικά αποτελέσµατα, για αυτό το λόγο χρησιµοποιούνται άλλα µοντέλα που τα χαρακτηριστικά τους περιγράφονται παρακάτω. Το µοντέλο ελευθέρου χώρου αποτελεί ιδανική περίπτωση και δεν µπορεί να προβλέψει τη διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας και την ισχύ του λαµβανοµένου σήµατος σε πολύπλοκα πραγµατικά περιβάλλοντα. Τα πραγµατικά περιβάλλοντα µπορούν να διαχωριστούν σε εξωτερικά και εσωτερικά ανάλογα µε την απόσταση που καλύπτουν από τη κεραία εκποµπής και τους µηχανισµούς µε τους οποίους γίνεται η διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας σε αυτά. 0

22 1.5. Μοντέλο απωλειών διάδοσης σε περιβάλλοντα µη οπτικής και οπτικής επαφής Η περίπτωση της διάδοσης σε ελεύθερο χώρο είναι µια πολύ εξειδικευµένη περίπτωση. Η πλειονότητα των επίγειων ασύρµατων συστηµάτων επικοινωνιών λειτουργεί σε περιβάλλον µη-οπτικής επαφής όπως αυτό του σχήµατος Για την διάδοση οπτικής επαφής η λαµβανόµενη ισχύς είναι αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης, d. Γενικά ισχύει ότι η µέση τιµή των απωλειών διαδροµής αυξάνεται εκθετικά µε την απόσταση. Για διάδοση οπτικής επαφής χωρίς φυσικά εµπόδια, ο εκθέτης είναι n=, όπως φαίνεται και από τη σχέση που ισχύει για το µοντέλο του ελευθέρου χώρου. Σχήµα 1.10.: διάδοση κύµατος χωρίς συνιστώσα οπτικής επαφής Βάσει εµπειρικών δεδοµένων, έχει αναπτυχθεί ένα αρκετά γενικό µοντέλο για διάδοση NLOS και χρησιµοποιείται στη πλειονότητα των περιπτώσεων. Το µοντέλο αυτό περιγράφεται από τη σχέση: ( ) L d d n Lf d0 (1.19) Όπου n = εκθέτης απωλειών διαδροµής µε τυπικές τιµές 3.5 n 5, d =απόσταση µεταξύ κεραιών εκποµπής και λήψης, d 0 =απόσταση αναφοράς ή απόσταση µέχρι την οποία ισχύει διάδοση LOS, L f =απώλειες διαδροµής σε απόσταση d 0 και διάδοση LOS, L =απώλειες διαδροµής για συνδυασµένη διάδοση του σήµατος LOS και NLOS. Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η µέση τιµή των απωλειών διαδροµής L αυξάνεται εκθετικά µε την απόσταση d. Ο εκθέτης, n, δείχνει πόσο γρήγορα αυξάνουν οι απώλειες διαδροµής µε την απόσταση. Η απόσταση αναφοράς d0θεωρεί ότι υπάρχει διάδοση στον ελεύθερο 1

23 χώρο (χωρίς εµπόδια) µέχρι απόσταση d0από την κεραία. Είναι ενδιαφέρον να επιλεγεί η απόσταση αναφοράς που είναι κατάλληλη για το εκάστοτε περιβάλλον διάδοσης. Η απόλυτη µέση τιµή απωλειών διαδροµής (absolute mean path loss) σε db, ορίζεται ως η τιµή των απωλειών λόγω L( d 0), σε db, από τον ποµπό έως την απόσταση αναφοράς, συν τις πρόσθετες απώλειες διαδροµής που δίνονται από την παραπάνω σχέση. Έτσι η απόλυτη µέση τιµή απωλειών L( d) σε db δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) L d L d n d = log10 d0 (1.0) Εµπειρικά αποτελέσµατα δείχνουν ότι τα τυπικά NLOS συστήµατα κινητών επικοινωνιών σε εξωτερικούς χώρους έχουν απώλειες διαδροµής µε εκθέτη 3.5 n 5 και οι δίαυλοι εσωτερικών χώρων έχουν απώλειες διαδροµής µε έκθετη n Μοντέλα διαλείψεων Όταν οι διαλείψεις µικρής κλίµακας επηρεάζουν συστήµατα χαµηλού εύρους ζώνης, το λαµβανόµενο πλάτος του φορέα διαµορφώνεται από το πλάτος των διαλείψεων R, όπου R είναι µια τυχαία µεταβλητή µε µέση τετραγωνική τιµή E η µέση τιµή, και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f ( ) Ω=E R, όπου R x, η οποία εξαρτάται από τη φύση του περιβάλλοντος ασύρµατης διάδοσης. Το σήµα αφού περάσει από ένα κανάλι διαλείψεων διαταράσσεται στο δέκτη από λευκό προσθετικό Gaussian θόρυβο (AWGN), ο οποίος τυπικά θεωρείται στατιστικά ανεξάρτητο από το πλάτος των διαλείψεων και χαρακτηρίζεται από φασµατική πυκνότητα ισχύος µιας πλευράς N0 ως = Watts Hz. Η λαµβανόµενη στιγµιαία ισχύς σήµατος µοντελοποιείται R. Συνεπώς, ορίζουµε το στιγµιαίο SNR ανά σύµβολο ως γ = R Ε µέσο όρο SNR ανά σύµβολο ως γ =ΩΕ N0, όπου s Es s N 0 και το =E s είναι η ενέργεια ανά σύµβολο. Για να µεταβούµε από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής R στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του γ, πραγµατοποιούµε την ακόλουθη αλλαγή µεταβλητών: f γ ( γ) = f R ( Ωγ γ ) γγ Ω (1.1) Ανάλογα µε τη φύση του ασύρµατου περιβάλλοντος διάδοσης, υπάρχουν διαφορετικά µοντέλα που περιγράφουν τη στατιστική συµπεριφορά του πλάτους των διαλείψεων. Συνεπώς, υπάρχουν διαφορετικές κατανοµές για τη µοντελοποίηση των διαλείψεων

24 µικρής κλίµακας, διαφορετικές για τη µοντελοποίηση των διαλείψεων µεγάλης κλίµακας και διαφορετικές για τη µοντελοποίηση περιβαλλόντων που περιλαµβάνουν και τις δύο Μοντέλα διαλείψεων µεγάλης κλίµακας Ανάλογα µε τη φύση του ασύρµατου περιβάλλοντος διάδοσης υπάρχουν διαφορετικά µοντέλα που περιγράφουν τη στατιστική συµπεριφορά του πλάτους των διαλείψεων. Το φαινόµενο σκίασης (διαλείψεις µεγάλης κλίµακας) που περιγράφηκε σε προηγούµενη ενότητα µπορεί να θεωρηθεί ένας χωρικός µέσος όρος από τις µικρής κλίµακας διακυµάνσεις του σήµατος. Υπολογίζεται γενικά µε τον υπολογισµό του µέσου όρου του λαµβανοµένου σήµατος άνω των µηκών κύµατος, ώστε να αποσυζευκτούν οι µικρής κλίµακας διακυµάνσεις από της µεγάλης κλίµακας διακυµάνσεις. Γενικά τα µοντέλα διάδοσης τόσο για εσωτερικά όσο και για υπαίθρια περιβάλλοντα υποδηλώνουν ότι η µέση τιµή της απώλειας διαδροµής δίνεται από την παρακάτω σχέση: L p ( d) d = d 0 n (1.) Όπου υπολογίζεται η µέση απώλεια διαδροµής σαν συνάρτηση της απόστασης. Η παραπάνω σχέση εκφράζεται σε db ως εξής: p ( ) ( ) L d L d n d = s log10 d0 (1.3) Η τιµή του εκθέτη, n, εξαρτάται από τη συχνότητα, τα ύψη των κεραιών και το περιβάλλον µετάδοσης. Σε ελεύθερο χώρο όπου η µετάδοση σήµατος ακολουθεί το νόµο του αντίστροφου τετραγώνου ισχύει n=. Σε περιβάλλοντα όπως αστικοί δρόµοι, οδικα τούνελ, που µελετάµε παρακάτω το n µπορεί να πάρει τιµές µικρότερες του γιατί συµβαίνουν φαινόµενα κυµατοδήγησης. Όταν υπάρχει παρουσία εµποδίων το n είναι µεγαλύτερο από. Έχει αποδειχθεί ότι η απώλεια διαδροµής, για το φαινόµενο της σκίασης, L ( ) p d είναι µια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί log-normal κατανοµή γύρω από τη µέση τιµή των απωλειών που υπολογίζεται µε βάση την απόσταση, η αντίστοιχη σχέση είναι: d Lp( d) = Ls( d) + Xσ = Ls( d ) + 10nlog + X 0 10 d0 σ (1.4) Και r ( ) ( ) ( ) P d = P d L d (1.5) t 3

25 Όπου X σ είναι τυχαία µεταβλητή Gauss, σε db, µε µηδενική µέση τιµή και τυπική απόκλιση σ,επίσης σε db Log-normal Λαµβάνοντας υπόψη την παραπάνω σχέση των απωλειών διάδοσης, η µεταβλητή Lp ( ) d, όταν μετριέται σε Watt, και όχι σε db, σε δεδομένη απόσταση, ακολουθεί lognormal κατανομή της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: p γ ( γ) Όπου γ η ισχύς των διαλείψεων σε dbm, ( γ γ ) ξ σ = e (1.6) πσγ ξ = 10 ln10, γ η µέση ισχύς των διαλείψεων σε dbm και σ η τυπική απόκλιση σε db. Η τυπική απόκλιση εξαρτάται άµεσα από το περιβάλλον και έχει τυπική περιοχή τιµών 3-10 db. Η log-normal κατανοµή περιγράφει τις τυχαίες επιδράσεις σκίασης που εµφανίζονται κατά τη διάρκεια µεγάλου αριθµού µετρήσεων σε θέσεις που έχουν µεν την ίδια απόσταση µεταξύ ποµπού και δέκτη, αλλά έχουν διαφορετικούς βαθµούς αταξίας στη διαδροµή διάδοσης. Η log-normal κατανοµή της σκίασης συνεπάγεται ότι οι µετρούµενες στάθµες σήµατος, για συγκεκριµένη απόσταση ποµπού-δέκτη, έχουν κατανοµή Gauss γύρω από τη µέση τιµή της στάθµης Gama Το στατιστικό µοντέλο της κατανοµής log-normal είναι πολύ σύνθετο, από µαθηµατικής άποψης, µε αποτέλεσµα να µην είναι εφικτή η εξαγωγή εύχρηστων µαθηµατικών εκφράσεων για την αναλυτική εξέταση της επίδοσης των ασύρµατων τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων. Αυτό έχει ως συνέπεια να αναζητούνται διαφορετικές προσεγγίσεις για την µοντελοποίηση των διαλείψεων µεγάλης κλίµακας. Έχει αποδειχθεί και πειραµατικά ότι οι διαλείψεις µεγάλης κλίµακας µπορούν να µοντελοποιηθούν ικανοποιητικά από τη συνάρτηση πυκνότητας της Gama κατανοµής. Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: f γ ( γ) k 1 γ γ = e, γ 0 k Γ γ ( k) γ (1.7) 4

26 1.5.5 Μοντέλα διαλείψεων µικρής κλίµακας Οι διαλείψεις πολλαπλής διαδροµής δηµιουργούνται εξαιτίας των δηµιουργικών και καταστρεπτικών συνδυασµών τυχαία καθυστερηµένων, ανακλώµενων, σκεδασµένων και διαθλώµενων συνθετικών του σήµατος. Τα χαρακτηριστικά και η φύση των διαλείψεων αυτών εξετάστηκαν παραπάνω. Αυτό το είδος των διαλείψεων είναι σχετικά γρήγορο και συνεπώς είναι υπεύθυνο για τις διακυµάνσεις µικρής κλίµακας του σήµατος. Παρακάτω περιγράφονται τα στατιστικά µοντέλα που χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση των διαλείψεων µικρής κλίµακας ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά της ασύρµατης ζεύξης Rayleigh Η κατανοµή Rayleigh χρησιµοποιείται συχνά για τη µοντελοποίηση διαλείψεων πολλαπλής διαδροµής χωρίς διαδροµή µε απευθείας οπτική επαφή. Συγκεκριµένα, όταν το συνολικά λαµβανόµενο σήµα στο δέκτη αποτελείται από ένα µεγάλο αριθµό κυµάτων τότε στο δέκτη το λαµβανόµενο µιγαδικό σήµα, µε τη χρήση του κεντρικού θεωρήµατος, µοντελοποιείται σαν µια Gaussian διεργασία. Σε αυτή την περίπτωση το πλάτος των Gauss µιγαδικών διεργασιών ακολουθεί την κατανοµή Rayleigh, µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: x Ω x fr( x) = e, x 0 Ω (1.8) Όπου το Ω αναπαριστά την παράµετρο κλίµακας (scaling parameter) της κατανοµής. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του γ είναι: f ( ) γ γ γ 1 γ = e, γ 0 (1.9) γ Το µοντέλο διαλείψεων Rayleigh συµφωνεί πολύ καλά µε πειραµατικά δεδοµένα για ασύρµατα δεδοµένα για ασύρµατα κινητά συστήµατα όπου δεν υπάρχει διαδροµή οπτικής επαφής µεταξύ των κεραιών ποµπού και δέκτη. Επίσης εφαρµόζεται στη διάδοση ανακλώµενων και διαθλώµενων διαδροµών από την τροπόσφαιρα, την ιονόσφαιρα και ασύρµατων ζεύξεων πλοίων. Όπως θα δούµε παρακάτω το µοντέλο Rayleigh εφαρµόζεται µε κάποιες τροποποιήσεις και στη διάδοση κύµατος κατά µήκος οδικού τούνελ Rice Η κατανοµή Rice χρησιµοποιείται για τη µοντελοποίηση διαλείψεων µικρής κλίµακας όταν υπάρχει ισχυρή διαδροµή οπτικής επαφής. Το λαµβανόµενο σήµα στο 5

27 δέκτη αποτελείται από πολλές ανακλώµενες συνιστώσες και µια συνιστώσα που φτάνει απευθείας στο δέκτη από την πηγή του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Σε αυτή την περίπτωση η περιβάλλουσα του πλάτους του σήµατος ακολουθεί την κατανοµή Rice και οι αντίστοιχες διαλείψεις µικρής κλίµακας που προκύπτουν ονοµάζονται διαλείψεις Rice. Η κατανοµή του πλάτους των διαλείψεων δίνεται από την αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: r + α 0 σ α0r 0 α0 r pr( r) = e I, r 0, 0 σ σ (1.30) Η παράµετρος Kδιαλείψεων Rice ορίζεται σαν ο λόγος της ισχύος του σήµατος της οπτικής επαφής ποµπού-δέκτη προς την ισχύ των σηµάτων πολυόδευσης που έχουν διασκορπιστεί στο χώρο. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει οπτική επαφή ποµπούδέκτη τότε η παράµετρος Kπαίρνει την τιµή K = dbκαι η εξίσωση συνάρτησης πυνκότητας πιθανότητας προσεγγίζεται από την αντίστοιχη Rayleigh κατανοµή, όπως εύκολα µπορεί να φανεί. Η τιµή K db περιγράφει περιβάλλον χωρίς διαλείψεις. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του γ, σε ένα περιβάλλον Rice, συναρτήσει του Kείναι: ( ) ( 1+ ) K r Ω 0 ( ) K r 1+ K K 1+ K pr( r) = e I r, Ω 0, r 0, K 0 Ω Ω (1.31) Η παράµετρος Kείναι η παράµετρος σχήµατος της κατανοµής και η παράµετρος Ω= E R είναι η παράµετρος scaling. Οι διαλείψεις Rice παρατηρούνται σε µικροκυτταρικά δίκτυα σε αστικές και ηµιαστικές περιοχές. Παρατηρούνται επίσης και σε δίκτυα εσωτερικών χώρων. Θα δούµε παρακάτω και την εφαρµογή που βρίσκουν στο περιβάλλον οδικού τούνελ. Γενικά, η τιµή της παραµέτρου Kγια περιβάλλοντα διαλείψεων κυµαίνεται συνήθως από 0 έως 1 db. Υπάρχουν και άλλα µοντέλα τα οποία χρησιµοποιούνται για το χαρακτηρισµό των διαλείψεων µικρής κλίµακας όπως τα Nakagami-m, Weibull κ.α. τα οποία όµως δεν θα αναλυθούν σε αυτή την εργασία. Τα µοντέλα Rice και Rayleigh κρίθηκε σκόπιµο να αναλυθούν γιατί είναι αυτά µε την βοήθεια των οποίων µοντελοποιούµε σε επόµενο κεφάλαιο την ασύρµατη διάδοση του κύµατος εντός οδικών τούνελ. 1.6 Ιδιαιτερότητες µηχανισµών ηλεκτροµαγνητικής διάδοσης σε περιβάλλον τούνελ Παρακάτω θα διαπιστωθούν οι ιδιαιτερότητες της ασύρµατης διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων µέσα σε οδικές σήραγγες-τούνελ. Καθώς τα οδικά τούνελ αποτελούν περιορισµένο περιβάλλον στο οποίο δεν υπάρχει ζεύξη οπτικής επαφής θα πρέπει να εξεταστούν όλες οι παράµετροι που θα καθορίσουν την 6

28 εξασθένιση που υφίσταται το σήµα µέσα στο τούνελ και η στάθµη του σήµατος που τελικά λαµβάνει ο δέκτης µέσα σε αυτό. Ο πιο απλός τρόπος να αναπαρασταθεί το σύνθετο περιβάλλον τούνελ είναι από το µοντέλο του κυµατοδηγού, που θα αναλύσουµε στο επόµενο κεφάλαιο, µε διαστάσεις όµοιες µε αυτές ενός τυπικού οδικού τούνελ. Η µοντελοποίηση αυτή είναι σαφώς απλοποιηµένη και δεν συνυπολογίζει τις πραγµατικές συνθήκες που επικρατούν στο εσωτερικό µίας σήραγγας, αποτελεί ωστόσο µια απλή λύση για να δούµε τον τρόπο µε τον οποίο εξασθενούν τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα σε ένα τέτοιο περιβάλλον. Το σχήµα της διατοµής του τούνελ µπορεί να είναι ορθογώνιο, κοίλο και πιο πολύπλοκου σχήµατος ακόµη και όπως θα δούµε παίζει σηµαντικό ρόλο στη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Ωστόσο, αναλυτικές εκφράσεις για τις διάφορες χαρακτηριστικές σταθερές τιµές των κυµατοδηγών, όπως συχνότητα αποκοπής και χαρακτηριστική αντίσταση κύµατος στον κυµατοδηγό, υπάρχουν µονάχα για ορισµένες διαµορφώσεις κυµατοδηγών π.χ. ορθογώνιας ή κυκλικής διατοµής. Σχήµα 1.11: παραδείγµατα διατοµών τούνελ Για αυτό το λόγο η διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µπορεί να προβλεφθεί µε επαρκή ακρίβεια και από τη θεωρία της γεωµετρικής οπτικής. Η µοντελοποίηση αυτή µπορεί να εφαρµοστεί στα τούνελ γιατί οι διαστάσεις τους είναι γενικώς πολύ µεγάλες συγκριτικά µε το µήκος κύµατος του φάσµατος των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων που χρησιµοποιούνται στην κινητή τηλεφωνία και γενικότερα στις επίγειες επικοινωνίες. Τα τοιχώµατα των τούνελ παίζουν επίσης σηµαντικό ρόλο στη διάδοση την ακτινοβολίας. Η τραχύτητα τους καθορίζει το ποσοστό των διασπειρόµενων ακτινών. Το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασµένα παίζει σηµαντικό ρόλο στο συντελεστή ανάκλασης των τοιχωµάτων και κατά επέκταση όπως θα δούµε στη µοντελοποίηση της ασύρµατης διάδοσης. 7

29 Κεφάλαιο : ηλεκτροµαγνητική µοντελοποίηση σε περιβάλλον τούνελ.1. Εισαγωγή Όπως προαναφέρθηκε ο πιο απλός τρόπος µοντελοποίησης του σύνθετου πραγµατικού περιβάλλοντος τούνελ είναι η αναπαράσταση αυτού µε ένα κυµατοδηγό µε απώλειες. Παρακάτω θα αναλύσουµε δύο περιπτώσεις: α) κυµατοδηγό ορθογώνιας διατοµής που προσοµοιάζει το τούνελ ορθογώνιας διατοµής και β) κυµατοδηγό κυκλικής διατοµής που προσοµοιάζει τόσο τα τούνελ κυκλικής διατοµής (υπόγειους σιδηρόδροµους, µετρό) όσο και τα οδικά τούνελ ελλειπτικής διατοµής. Η εξασθένηση είναι ένα από τα σηµαντικότερα χαρακτηριστικά κατά την διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Ο προσδιορισµός της εξασθένησης εντός του περιβάλλοντος τούνελ όταν αυτό προσεγγίζεται από το µοντέλο του κυµατοδηγού µε απώλειες γίνετε µε τον προσδιορισµό της εξασθένησης του κυµατοδηγού. Η ολική εξασθένηση που υφίσταται το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο εντός κυµατοδηγού περιγράφεται από το συντελεστή απόσβεσης α,µετρούµενος σε µονάδες Np/m. Για πραγµατικούς κυµατοδηγούς ο συντελεστής αυτός µπορεί να αναλυθεί σε άθροισµα δύο όρων περιγράφοντας τις δύο κύριες αιτίες εξασθένησης a) της πεπερασµένης αγωγιµότητας των τοιχωµάτων του κυµατοδηγού και b) του διηλεκτρικού του µέσου: a= a + a (.1) c d Απόσβεση που οφείλεται στις απώλειες διηλεκτρικού του µέσου που καταλαµβάνει το εσωτερικό του κυµατοδηγού. Το διηλεκτρικό εντός των κυµατοδηγών δεν είναι ιδανικό ( σ d > 0 ) εποµένως υπάρχει απώλεια ενέργειας υπό τη µορφή θερµότητας. Τα υλικά που συνήθως χρησιµοποιούνται για πλήρωση κυµατοδηγών έχουν χαµηλή αγωγιµότητα που ικανοποιεί τη σχέση (σ µε ). Αποδεικνύεται ότι η ειδική απόσβεση ισχύος που οφείλεται στις απώλειες διηλεκτρικού είναι σε Np/m: a d = µ σ ε fc 1 f (.) Απόσβεση που οφείλεται στην πεπερασµένη αγωγιµότητα των τοιχωµάτων του κυµατοδηγού. Η απόσβεση αυτή οφείλεται στις θερµικές απώλειες. Οι απώλειες αυτές είναι πιο περίπλοκο να υπολογιστούν. εδοµένου ότι τα τοιχώµατα ενός πραγµατικού κυµατοδηγού δεν είναι τέλεια ( σ c < ), δεν έχουν άπειρη αγωγιµότητα, θεωρούµε ότι δρουν σαν αντιστάσεις που απορροφούν ενέργεια υπό 8

30 τη µορφή θερµότητας. Ο ακριβής υπολογισµός της απαιτεί λύση του προβλήµατος κυµατοδήγησης µε τροποποιηµένες οριακές συνθήκες. Οι υπολογισµοί γίνονται αρχικά θεωρώντας την, ούτως ή άλλως πολύ µεγάλη, αγωγιµότητα ως άπειρη. Υπολογίζονται έτσι οι πεδιακές συνιστώσες και τα επιφανειακά ρεύµατα. Στη συνέχεια, για τον προσδιορισµό του ηλεκτρικού πεδίου επί των τοιχωµάτων του κυµατοδηγού θεωρείται η ακριβής τιµή της αγωγιµότητας του υλικού των τοιχωµάτων. Μεταξύ των ρυθµών ενός κυµατοδηγού, ο ρυθµός ΤΕ 10 εµφανίζει τις µικρότερες θερµικές απώλειες µε συντελεστή απόσβεσης: a c b λ 1+ ωµ ' ε α α = b µσ ' λ 1 α (.3) όπου µ ' και σ ' η µαγνητική διαπερατότητα και η ειδική αγωγιµότητα του υλικού των τοιχωµάτων του κυµατοδηγού αντίστοιχα. Στην πράξη, η συνολική ειδική απόσβεση που εµφανίζει ένας κυµατοδηγός προσδιορίζεται σε db/m µε µέτρηση της ισχύος σε διάφορα σηµεία του. Ας σηµειωθεί ότι η συχνότητα λειτουργίας πρέπει να είναι µεγαλύτερη από τη συχνότητα αποκοπής. Οι κυµατοδηγοί πρακτικά συµπεριφέρονται σαν υψιπερατά φίλτρα αποκόπτοντας τις χαµηλές συχνότητες και επιτρέπουν την διάδοση στις υψηλές συχνότητες. εξασθένηση οφειλόµενη στη συχνότητα αποκοπής: ο συντελεστής διάδοσης κυµατοδηγού συναρτήσει της συχνότητας αποκοπής είναι: fc = j 1 = γ ω µε f jβ (.4) όταν η συχνότητα λειτουργίας είναι µικρότερη από τη συχνότητα αποκοπής η διάδοση δεν είναι δυνατή. Η τιµή της σταθεράς διάδοσης σε αυτή την περίπτωση λαµβάνει πραγµατική τιµή. Για να πραγµατοποιηθεί διάδοση µέσο κυµατοδηγού η σταθερά διάδοσης του κυµατοδηγού πρέπει να λάβει φανταστική τιµή και αυτό συµβαίνει όταν η συχνότητα λειτουργίας είναι µεγαλύτερη της συχνότητας αποκοπής. Ο συντελεστής απόσβεσης ισχύος συναρτήσει της συχνότητας αποκοπής είναι: f c αρ = ω µε 1 f (.5) Για τα περισσότερα τούνελ η συχνότητα αποκοπής είναι µερικές δεκάδες MHz, συχνότητα πολύ χαµηλότερη από τις συχνότητες λειτουργίας του συστήµατος που εξετάζουµε. Συνεπώς, κατά τη µετάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος έχουµε 9

31 µετάδοση πολλών ρυθµών TEM mn ακτινοβολίας. Αν θεωρήσουµε για παράδειγµα τούνελ ορθογώνιας διατοµής, η σχέση που µας δίνει τη συχνότητα αποκοπή είναι: f c m n = + µ ε A B (.6) Όπου A και B το πλάτος και το ύψος του τούνελ αντίστοιχα. Από την παραπάνω σχέση επιβεβαιώνουµε ότι η συχνότητα αποκοπής είναι τουλάχιστον µια τάξη µεγέθους µικρότερη από τη συχνότητα λειτουργίας του συστήµατος. Στο ίδιο συµπέρασµα φτάνουµε και για τούνελ διαφορετικής διατοµής... Κυµατοδηγός ορθογώνιας διατοµής: Θεωρούµε κυµατοδηγό ορθογώνιας διατοµής, όπως αυτόν του σχήµατος.1 µε διαστάσεις x= a και y= b του οποίου τα τοιχώµατα έχουν άπειρη αγωγιµότητα. Το εσωτερικό του κυµατοδηγού πληρούται από ένα οµογενές, ισότροπο και χωρίς απώλειες µέσο. Εντός του κυµατοδηγού θεωρούµε ότι υπάρχει αέρας, αλλά θα µπορούσαµε να υποθέσουµε οποιοδήποτε άλλο διηλεκτρικό υλικό ε, µ χαρακτηριστικών. Σχήµα.1.: κυµατοδηγός ορθογώνιας διατοµής Για χρονικώς µεταβαλλόµενο ηλεκτροµαγνητικό πεδίο, που η εξάρτηση από το χρόνο i t είναι e ω και η διάδοση του κύµατος γίνετε κατά µήκος του άξονα z µε χρήση καρτεσιανών συντεταγµένων, οι αντίστοιχες κυµατικές εξισώσεις του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίο οι οποίες οριοθετούνται στην περιοχή εντός του κυµατοδηγού από τις 0< x< α και 0< y< bείναι, αντίστοιχα, οι: 30

32 (,, ) = ɺ(, ) Eɺ x y z e x y e Hɺ ( x, y, z) = hɺ ( x, y) e ± iβ z ± iβ z (.7-.8) ɺ,, hɺ ( x, y) τα εγκάρσια διανύσµατα τα οποία στις γενικές κυµατικές εξισώσεις πεδίων περιέχουν τόσο την εγκάρσια όσο και τη διαµήκη συνιστώσα και γ = jβ η µιγαδική σταθερά διάδοσης. Τα πρόσηµα στους εκθετικούς όρους των Όπου e( x y) πεδίων αντιπροσωπεύουν οδεύοντα κύµατα κατεύθυνσης παράλληλης στον άξονα z, προς τα θετικά για το πρόσηµο (-) και προς τα αρνητικά για το πρόσηµο (+) αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εξισώσεις στις εξισώσεις του Maxwell: Eɺ = jωµ Hɺ Hɺ = jωε Eɺ (.9-.10) καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων: Hɺ z jωε Eɺ x = + γ Hɺ y y Hɺ z jωε Eɺ y = γ Hɺ x x Hɺ y Hɺ x jωε Eɺ z = x y Eɺ z jωµ Hɺ x = + γ Eɺ y y Eɺ jωµ Hɺ γ Eɺ ωµ ɺ z y = x x Eɺ Eɺ x y y j H z = x ( ) Για ηµιτονοειδείς χρονικές µεταβολές, για τις αντίστοιχες κυµατικές εξισώσεις του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου ισχύουν, αντίστοιχα, οι: ɺ E+ ω µε E= ɺ ω µεɺ H+ H = ɺ 0 0 ( ) Από το παραπάνω σύστηµα των έξι εξισώσεων παρατηρούµε ότι οι συνιστώσες των εντάσεων E ɺ και H ɺ κάθε µιας οµάδας ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες όταν οι συνιστώσες της άλλης οµάδας θεωρηθούν µηδενικές. Οι οριακές αυτές συνθήκες αναφέρονται στην καθετότητα του διανύσµατος E ɺ και την εφαπτοµενικότητα του H ɺ πάνω στα υπεραγώγιµα τοιχώµατα των κυµατοδηγών. Πιο συγκεκριµένα, επιλύοντας κατάλληλα το παραπάνω σύστηµα µε τις οριακές συνθήκες µηδενισµού των εφαπτοµενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζουµε 31

33 τις εξισώσεις των πεδίων και τις συχνότητες αποκοπής για τους ρυθµούς διάδοσης TM και TE στο εσωτερικό του κυµατοδηγού. - Οι ρυθµοί των συνιστωσών των πεδίων που ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες για τους οποίους ισχύει E ɺ = 0 ονοµάζονται εγκάρσιοι ηλεκτρικοί ρυθµοί ή ρυθµοί (modes) TE. - Οι ρυθµοί των συνιστωσών των πεδίων που ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες για τους οποίους ισχύει H ɺ = 0 ονοµάζονται εγκάρσιοι µαγνητικοί ρυθµοί ή ρυθµοί TM. - Τέλος, και στην περίπτωση όπου E ɺ = H ɺ = 0, οι συνιστώσες z z z z H ɺ xκαι E ɺ yµπορεί να είναι µη µηδενικές οπότε έχουµε ρυθµό εγκάρσιου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος ή ρυθµό TEM. Στο κύµα αυτό είναι δυνατή η διάδοση όλων των συχνοτήτων. εν θα αναλύσουµε περαιτέρω τα αποτελέσµατα της ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας για την κυµατοδήγηση καθώς κάτι τέτοιο ξεφεύγει από το περιεχόµενο της διπλωµατικής εργασίας. Αυτό που µας ενδιαφέρει στη συγκεκριµένη ανάλυση είναι η εξασθένιση που προκαλείται στο πεδίο λόγω πεπερασµένης αγωγιµότητας των τοιχωµάτων του κυµατοδηγού. Σε πραγµατικά περιβάλλοντα, τα τοιχώµατα της σήραγγας του τούνελ είναι κατασκευασµένα από τσιµέντο, άρα πεπερασµένης αγωγιµότητας. Θα υπολογίσουµε την εξασθένηση αυτή βρίσκοντας αρχικά την καταναλισκόµενη ισχύ ανά µονάδα επιφάνειας (W/m ): Όπου: dp 1 P loss = = Rs J s (.19) da R s = ωµ ωε 1 η σ = σ = σδ (.0) δ = (δ= βάθος διείσδυσης υλικού) (.1) ωµσ Υπολογίζουµε την εξασθένηση ισχύος ανά µονάδα µήκους ως το λόγο της καταναλισκόµενης ισχύος, που υπολογίσαµε παραπάνω, προς τη συνολική µεταφερόµενη ισχύ: a c P loss = (.) P T Όπου: 3

34 1 1 ωc PT = Ε ο ab= Εο ab 1 (.3) 4η 4η ω ΤΕ Από τις παραπάνω εξισώσεις φαίνεται η εξάρτηση της εξασθένησης από τους ρυθµούς διάδοσης/διαµορφώσεις TM και TE. Η συχνότητα αποκοπής είναι διαφορετική για κάθε ρυθµό διάδοσης. Ένα κύµα µπορεί να ταξιδέψει µέσα σε ένα κυµατοδηγό µε ένα σύνολο από διαφορετικές ρυθµίσεις (modes) διάδοσης...1. Ρυθµός TE 10 Στον ορθογώνιο κυµατοδηγό η επικρατέστερη διαµόρφωση είναι η TE10 παρουσιάζοντας την µικρότερη εξασθένηση και τη µικρότερη συχνότητα αποκοπής. Σηµειώνουµε ότι για το ρυθµό TE 10 κατά τη διάδοση κυµάτων δεν χρησιµοποιούνται τα τοιχώµατα µε το µεγαλύτερο πλάτος, η ανάκλαση γίνεται µεταξύ των στενότερων τοιχωµάτων. Η συχνότητα αποκοπής δίνεται από τη παρακάτω σχέση: f 10 c = (.4) a Η εξασθένηση ισχύος που υπολογίσαµε παραπάνω συναρτήσει τη συχνότητα αποκοπής για το ΤΕ 10 ρυθµό διάδοσης είναι (Np/m): a c b f 1+ R a f s = ηb f 1 f (.5) Όπου α, b οι διαστάσεις του κυµατοδηγού όπως έχει αναφερθεί παραπάνω.το παραπάνω αποτέλεσµα εκφράζεται και σε db/m ως: a db = 8.686a (.6) c.3 Κυµατοδηγός κυκλικής διατοµής: Με τον ίδιο τρόπο που έγινε η ανάλυση για τους ορθογώνιας διατοµής κυµατοδηγούς, θεωρούµε κυµατοδηγό κυκλικής διατοµής µε ακτίνα ρ= α του οποίου τα τοιχώµατα έχουν άπειρη αγωγιµότητα, όπως φαίνεται στο σχήµα.: Η ανάλυση γίνετε µε χρήση κυλινδρικών συντεταγµένων. Η διάδοση του κύµατος γίνετε κατά µήκος του άξονα z και το χρονικώς µεταβαλλόµενο ηλεκτροµαγνητικό πεδίο έχει εξάρτηση από το χρόνο της µορφής i t e ω. Το ηλεκτρικό και το µαγνητικό 33

35 πεδίο εντός του κυµατοδηγού οριοθετούνται µέσα στην περιοχή 0< ρ< α και οι αντίστοιχες κυµατικές εξισώσεις είναι: ( ρ, ϕ, ) = ɺ( ρ, ϕ) Eɺ z e e Hɺ ( ρ, ϕ, z) = hɺ ( ρ, ϕ) e γ z γ z (.7-.8) Σχήµα..: κυµατοδηγός κυκλικής διατοµής Όπου γ είναι η σταθερά διάδοσης. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εξισώσεις στις εξισώσεις του Maxwell: Eɺ = jωµ Hɺ Hɺ = jωε Eɺ (.9-.30) καταλήγουµε στο παρακάτω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων: 1 Hɺ z jωε Eɺ ρ = + γ Hɺ ρ ϕ Hɺ z jωε Eɺ ϕ = γ Hɺ ρ ρ ( ρhϕ) 1 ɺ Hɺ ρ jωε Eɺ z = ρ ρ ϕ 1 Eɺ z jωµ Hɺ ρ = + γ Eɺ ϕ ρ ϕ Eɺ z jωµ Hɺ ϕ = γ Eɺ ρ ρ ( ρeϕ) 1 ɺ Eɺ ρ jωµ Hɺ z = ρ ρ ϕ ϕ ( ) 34

36 Τα παραπάνω ισχύουν για ηµιτονοειδείς χρονικές µεταβολές. Μπορούµε εύκολα να παρατηρήσουµε τις µεγάλες οµοιότητες µε την ανάλυση που κάναµε στους κυµατοδηγούς ορθογώνιας διατοµής. Για τις αντίστοιχες κυµατικές εξισώσεις του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου των κυµατοδηγών κυκλικής διατοµής ισχύουν, αντίστοιχα, οι: ɺ E+ E= Hɺ ω µεɺ ω µε Hɺ + = 0 0 ( ) Επιλύοντας κατάλληλα το παραπάνω σύστηµα µε τις οριακές συνθήκες µηδενισµού των εφαπτοµενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου υπολογίζουµε τις εξισώσεις των πεδίων και τις συχνότητες αποκοπής για τους ρυθµούς διάδοσης TE και TM στο εσωτερικό του κυµατοδηγού. Αυτό που µας απασχολεί και εδώ όπως και στους ορθογώνιους κυµατοδηγούς είναι η εξασθένηση που προκαλείται στο πεδίο λόγο της πεπερασµένης αγωγιµότητας των τοιχωµάτων του αντίστοιχου οδικού τούνελ, το οποίο προσεγγίσαµε µε την µοντελοποίηση του κυλινδρικού κυµατοδηγού..3.1 Ρυθµός TE 11 Για τη διάδοση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε κυκλικό κυµατοδηγό, ο ρυθµός TE11 θεωρείται ο επικρατέστερος. Έχει συχνότητα αποκοπής που δίνετε από τη σχέση: f 11 = 1 1,841 0, 93 π α εµ = α εµ (.39) Η εξασθένηση ισχύος ανά µονάδα µήκους σε db/m υπολογίζεται, µε αντίστοιχο τρόπο µε αυτό των ορθογώνιων κυµατοδηγών, από τον τύπο: ( p 11) + ( 11 ) 3 β ωµ ( ) 4 β α a = 8.686R a p db s ( 1) (.40) Όπου α είναι η ακτίνα του κυµατοδηγού και p 11είναι η πρώτη ρίζα τάξης 1 της παραγώγου της συνάρτησης Bessel και ισχύει p 11= 1,841. Η φασική σταθερά β 11 και υπολογίζεται από τον τύπο: f11 β11 = ω µε 1 (.41) f 35

37 Από τον παραπάνω τύπο µπορούµε να σχεδιάσουµε την εξάρτηση της εξασθένησης συναρτήσει της συχνότητας αποκοπής f Ρυθµός TE 01 Παρότι ο ρυθµός TE 11 θεωρείται ο επικρατέστερος είναι δυνατόν το επίπεδο της πολικότητας να περιστραφεί κατά την διάδοση του κύµατος µέσα στον κυµατοδηγό. Επίσης ο ρυθµός TE 01 έχει τη χαµηλότερη συχνότητα αποκοπής και την µικρότερη εξασθένηση από τους ρυθµούς που έχουν συµµετρική κατανοµή γύρω από τον άξονα διάδοσης και η οποία δίνεται από τη σχέση: f 01 = 1 3,83 π α εµ (.4) Στην περίπτωση αυτή η εξασθένηση ισχύος ανά µονάδα µήκους σε db/m υπολογίζεται από τον τύπο: a db = 8.686R s a f f 01 f 1 f 01 (.43).4. Ιδιαιτερότητες των χαρακτηριστικών διάδοσης της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας σε περιβάλλον τούνελ Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάστηκαν τα βασικά χαρακτηριστικά µε τα οποία γίνετε η διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Είδαµε τους µηχανισµούς διάδοσης και τα φαινόµενα που αυτοί προκαλούν. Στο περιβάλλον του ελεύθερου χώρου µπορεί να έχουµε επιπλέον εξασθένηση σε κάποιες υψηλές συχνότητες εξαιτίας της απορρόφησης από συγκεκριµένα µόρια αερίων της ατµόσφαιρας. Σε ένα περιβάλλον τούνελ όµως, οι ακτίνες των πεδιακών κυµάτων επιπλέον συναντούν εµπόδια στην πορεία διάδοσης. Για παράδειγµα, σε οδικά τούνελ υπάρχει κίνηση οχηµάτων, µε συνέπεια τα κύµατα να προσπίπτουν µε τυχαίο τρόπο σε εµπόδια. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η ενέργεια της ακτινοβολίας να ανακλάται ή να διασπείρεται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Παρακάτω περιγράφονται τα φαινόµενα που προκαλούνται από τη διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας και από τους µηχανισµούς διάδοσης σε ένα περιβάλλον τούνελ. 36

38 .4.1 Ανάκλαση σε περιβάλλον τούνελ Όπως έχει προαναφερθεί ο κύριος λόγος για τον οποίο προσοµοιάζεται το οδικό τούνελ µε το µοντέλο του κυµατοδηγού, εντός του οποίου το σήµα υφίσταται εξασθένηση ισχύος, είναι γιατί η διάδοση του κύµατος µέσα στον κυµατοδηγό γίνετε µε ανακλάσεις του κύµατος πάνω στις επιφάνειες του. Με παρόµοιο τρόπο, αλλά πιο πολύπλοκο, γίνετε και η διάδοση του σήµατος εντός οδικού τούνελ. Ένας απλός τρόπος να δούµε τον τρόπο µε τον οποίο γίνετε η ανάκλαση εντός ενός κυµατοδηγού και κατά επέκταση εντός ενός τούνελ φαίνεται στο σχήµα.3 όπου έχουµε ένα άδειο και ευθύ κυµατοδηγό. Στο σχήµα αυτό φαίνεται ο TE 01 ρυθµός διάδοσης του κύµατος, µε το ηλεκτρικό πεδίο πολωµένο στη διεύθυνση του y άξονα, εντός του κυµατοδηγού. Η διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου γίνεται στη διεύθυνση του z άξονα. Σχήµα.3.: ανάκλαση σε περιβάλλον τούνελ Όπως είναι φανερό η διάδοση µέσα στο κυµατοδηγό, και πιο συγκεκριµένα η ταχύτητά της, καθορίζεται από τη γωνία πρόσπτωσης θ κατά την οποία συµβαίνει η ανάκλαση. Γενικά για τους κυµατοδηγούς είναι γνωστό ότι ισχύουν οι σχέσεις: ωc cosθ = και ω ωc sinθ = 1 ( ) ω Και η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος στη διεύθυνση του z άξονα είναι: Όπου c η ταχύτητα του φωτός. v = csinθ (.46) z Ωστόσο τα τοιχώµατα των κυµατοδηγών, όπως έχουµε προαναφέρει, έχουν άπειρη αγωγιµότητα, κάτι τέτοιο όµως στα οδικά τούνελ προφανώς δεν ισχύει αφού είναι κατασκευασµένα από τσιµέντο και η αγωγιµότητά τους είναι πεπερασµένη. Επίσης µέσα στον κυµατοδηγό η διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου γίνετε µε το φαινόµενο της ανάκλασης. Στο περιβάλλον τούνελ η διάδοση των ακτινών των 37

39 πεδίων είναι πιο περίπλοκη καθώς οι ακτίνες συναντούν εµπόδια µε αποτέλεσµα να ανακλώνται ή να διασπείρονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Τέλος, όπως έχει προαναφερθεί το σχήµα του τούνελ µπορεί να µην είναι ίδιο µε κάποια ορισµένη διαµόρφωση κυµατοδηγού π.χ. ορθογώνιας ή κυκλικής διατοµής. Τα φαινόµενα αυτά καθιστούν την µοντελοποίηση του τούνελ ως ένα άδειο ευθύ κυµατοδηγό ανεπαρκή..4. Ανάκλαση σε λείες επιφάνειες Η ανάκλαση είναι ένας από τους κυρίαρχους µηχανισµούς διάδοσης της ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας σε ένα περιβάλλον τούνελ. Η γενική λύση των ηλεκτροµαγνητικών πεδίων πρέπει να ικανοποιεί τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες. Για την ειδική περίπτωση δυο διαφορετικών οµογενών άπειρων ηµιχώρων, που διαχωρίζονται από µια λεία επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια, η λύση δίνεται από τους συντελεστές ανάκλασης και µετάδοσης Fresnel. Το ολικό πεδίο αποτελείται από το προσπίπτον πεδίο, το ανακλώµενο και το διαδιδόµενο στο µέσο πεδίο. Στην περίπτωση των τοιχωµάτων ενός τούνελ, τα πεδία που µας απασχολούν είναι το προσπίπτον και το ανακλώµενο, καθώς το διαδιδόµενο µέρος της ενέργειας θεωρείται πως απορροφάται πλήρως από το υλικό των τοιχωµάτων και δεν συµµετέχει στους µηχανισµούς διάδοσης. Ο τρόπος µε τον οποίο υπολογίζονται οι συντελεστές ανάκλασης και µετάδοσης δε θα µας απασχολήσουν. Θα εξετάσουµε δυο περιπτώσεις επιφάνειας: a) την επίπεδη και b) την καµπύλη. a) Επίπεδη επιφάνεια: Σε ένα τούνελ, η ανάκλαση συµβαίνει στα όρια µεταξύ του αέρα και των τοιχωµάτων της σήραγγας ή του εδάφους. Για αυτό το λόγο, το αρχικό πρόβληµα ανάκλασης µεταξύ δυο αυθαίρετων µέσων θα συγκεκριµενοποιηθεί στην ειδική περίπτωση του συνόρου µεταξύ κενού (ή αέρα) και ενός µη µαγνητικού υλικού ( µ r,1 = 1) µε σχετική µιγαδική ηλεκτρική διαπερατότητα ε r,1. Το προσπίπτον επίπεδο κύµα πρέπει να διαχωριστεί σε δυο ορθογώνιες πολώσεις που εξετάζονται ξεχωριστά. Σε αυτήν την περίπτωση, το ολικό πεδίο δίνεται από το διανυσµατικό άθροισµα των δυο συνιστωσών. Στο σχήµα.4 απεικονίζεται η σύµβαση που χρησιµοποιείται για το διαχωρισµό των πολώσεων. Η περίπτωση που το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης (παράλληλο στη διαχωριστική επιφάνεια) αναφέρεται ως κάθετη πόλωση. Το σύµβολο που χρησιµοποιείται είναι:. Όταν το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης, τότε αναφερόµαστε σε παράλληλη πόλωση. Το σύµβολο που χρησιµοποιείται είναι:. Το επίπεδο πρόσπτωσης είναι αυτό στο οποίο ανήκουν το διάνυσµα ˆn της διαχωριστικής επιφάνειας των δυο µέσων και το µοναδιαίο διάνυσµα προς την κατεύθυνση πρόσπτωσης του επίπεδου κύµατος k ˆi. Οι 38

40 εκθέτες του σχήµατος i και rαναφέρονται στο προσπίπτον και το ανακλώµενο πεδίο αντίστοιχα. a) Παράλληλη πόλωση b) Κάθετη πόλωση Σχήµα.4.: οριζόντια και κάθετη πρόσπτωση κύµατος Η γωνία ανάκλασης καθορίζεται σύµφωνα µε το νόµο του Snell για την ανάκλαση: ( ˆi ˆ) cos ( ˆr ˆ) θ = θ = = (.47) 1 1 r i cos k n k n Οι συντελεστές ανάκλασης R, που συσχετίζουν τα ανακλώµενα και τα διαδιδόµενα πεδία σύµφωνα µε τη σχέση: R, E H = = E r r,, i i, H, (.48) και δίνονται από τους τύπους: ε r,1 cosθi ε r,1 sin θi R ( θi, ε r,1) = (.49) ε cosθ + ε sin θ r,1 i r,1 i R ( θi, ε r,1) cosθi ε r,1 sin θi = cosθ + ε sin θ i r,1 i (.50) Οι προαναφερθέντες τύποι ισχύουν µόνο για ένα επίπεδο κύµα που προσπίπτει σε µια λεία επίπεδη συνοριακή επιφάνεια, αλλά µπορούν να υιοθετηθούν και στην περίπτωση των τοπικά επίπεδων κυµάτων, αν οι διαστάσεις της διαχωριστικής επιφάνειας και κατά συνέπεια και των εµποδίων που συναντά το κύµα είναι πολύ µεγάλες συγκρινόµενες µε το µήκος κύµατος. b) Καµπύλη επιφάνεια: Αν η διαχωριστική επιφάνεια είναι καµπύλη, όπως είναι για παράδειγµα η ελλειπτική διατοµή καθώς και οι καµπές (στροφές) των τούνελ, το φαινόµενο της ανάκλασης µπορεί να αντιµετωπιστεί µε τις κλασσικές µεθόδους µε την προϋπόθεση ότι οι 39

41 ακτίνες καµπυλότητας της επιφάνειας είναι πολύ µεγάλες συγκρινόµενες µε το µήκος κύµατος. Η προσπίπτουσα ακτίνα, που αντιπροσωπεύει ένα σωλήνα ακτινών (ray tube), µε κάθε σωλήνα να αποτελείται από τέσσερις ακτίνες, ή ένα τοπικά επίπεδο µέτωπο κύµατος, ανακλάται απλά στο εφαπτοµενικό επίπεδο που καθορίζεται από το σηµείο διασταύρωσης της τροχιάς της προσπίπτουσας ακτίνας και της καµπύλης επιφάνειας. Η γωνία ανάκλασης δίνεται και πάλι από το νόµο του Snell για την ανάκλαση και ισούται µε τη γωνία πρόσπτωσης που καθορίζεται από το διάνυσµα ˆn του εφαπτοµενικού επιπέδου της διαχωριστικής επιφάνειας και από την κατεύθυνση διάδοσης της προσπίπτουσας ακτίνας. Παρόλα αυτά, σε αντίθεση µε την ανάκλαση ενός επιπέδου κύµατος σε µια επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι κύριες ακτίνες καµπυλότητας του ανακλώµενου σωλήνα ακτινών είναι γενικά διαφορετικές από αυτές του προσπίπτοντος σωλήνα εξαιτίας της καµπυλότητας της διαχωριστικής επιφάνειας. Με άλλα λόγια, ο σωλήνας ακτινών µπορεί να συγκλίνει (να γίνει πιο στενός ) ή να αποκλίνει (να απλώσει ) και η αιτία είναι η καµπυλότητα της επιφάνειας η οποία µπορεί να είναι κοίλη ή κυρτή. Στο σχήµα.5 απεικονίζεται η γεωµετρία της ανάκλασης σε µια καµπύλη επιφάνεια, i r όπου ρ 1, και ρ 1, αποτελούν τις κύριες ακτίνες καµπυλότητας του προσπίπτοντος και του ανακλώµενου σωλήνα ακτινών αντίστοιχα. Για την ειδική περίπτωση της i r επίπεδης επιφάνειας, που εξετάσαµε παραπάνω, ισχύει ρ1, = ρ1,. Σχήµα.5.: ανάκλαση κύµατος σε καµπύλη επιφάνεια 40