Ανάλυση και μοντελοποίηση χρονοσειρών ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανάλυση και μοντελοποίηση χρονοσειρών ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας"

Transcript

1 7 \ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΝΑΥΤΙΚΗ & ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ & ΕΠΙΣΤΗΜΗ Ανάλυση και μοντελοποίηση χρονοσειρών ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας Analysis and modelling of sea ΜΑΡΤΖΙΚΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΘΗΝΑ 3

2 Ευχαριστώ πολύ όλους όσους με στήριξαν και με υπέμειναν όλο αυτό τον καιρό, αλλά κυρίως αυτούς που με έμαθαν να επιμένω στην πραγματοποίηση των στόχων μου. Ειδικότερα, θέλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα μου Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν, κύριο ερευνητή του Ελληνικού Κέντρου Θαλασσίων Ερευνών, για την υποδειγματική καθοδήγηση και συνεργασία καθώς και για το χρόνο που διέθεσε στη προσπάθεια αυτή. Λόγω του μεγάλου όγκου δεδομένων και της αποκλειστικής χρήσης του λογισμικού MATLAB, η εργασία δε θα ερχόταν εις πέρας αν αρκετοί Η/Υ δε λειτουργούσαν παράλληλα. Η συμβολή του επιβλέποντα αλλά και αγαπημένων προσώπων υπήρξε και εδώ καταλυτική. Ευχαριστώ επίσης τους κ. Σ. Μαυράκο και κ. Κ. Μπελιμπασάκη, καθηγητή και αναπληρωτή καθηγητή, αντίστοιχα, της σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Ε.Μ.Π., για την εμπιστοσύνη που μου έδειξαν και την υποστήριξη τους.

3 Absrac The prevalen heory of ime series and auoregressive moving average (ARMA) models is used for analyzing and modelling wave daa. Sea has always been recorded bu rarely analyzed. The bulk of his research focuses on he significan wave heigh in connecion wih a frequency domain. The purpose of his research is, on he basis of a ime-scale, o probe ino a sample of 5.85 recordings of his phenomenon aken from 4 differen pars of he Aegean and Ionian seas in Greece beween and. The daa derive from measuremens on he spo of floaing and coasal measuring saions which consiue he POSEIDON sysem of he Hellenic Cener of Marine Research (HCMR). Time series are ergodic and saionary. The main objecive of his projec is, by using Box-Jenkins mehods, he formaion of a model ha will allow us o describe saisfacorily he process of elevaion. We proceed o a profound inquiry concerning he relaion among oher specral parameers such as he significan wave heigh H mo, he main direcion M dir and he specral peak period T p. Saisical analysis, mean and sandard deviaion are esimaed and described in deail. Subsequenly, we fi analyical ARMA(p,q) models o all possible parameer combinaions p, q={,,,3,4,5} for all he ime series. The diagnosic and suiabiliy check of he model is carried ou according o he AIC and BIC informaion crieria he small value of which is aken ino accoun as far as he selecion of he bes model is concerned. Thus, he resuls show ha he ARMA(,5) model is he bes choice for he descripion of he sochasic process of elevaion. Afer idenifying and comparing he six mos commonly occurring models, an aemp is being made o deec a possible relaion beween hose models, he significan heigh and he period. The classificaion of he resuls depends on he source of daa and he models in use. The bulk of his research is mainly based on he use of MATLAB (MahWorks) and STATISTICA (SaSof). Keywords: sea, ime series, ARMA modeling, significan wave heigh, main direcion, wave period.

4 Περίληψη Η ευρέως διαδεδομένη θεωρία των χρονοσειρών και των ARMA αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων κινητού μέσου χρησιμοποιούνται για την ανάλυση κυματικών δεδομένων. Η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας είναι ένα από τα φαινόμενα που καταγράφεται συχνά, αλλά σπάνια μελετάται στο σύνολο της. Το μεγαλύτερο μέρος της έρευνας επικεντρώνεται στο σημαντικό ύψος κύματος και η ανάλυση γίνεται κυρίως στο πεδίο των συχνοτήτων. Σε αυτή την εργασία αναλύεται, στο πεδίο του χρόνου, ένα δείγμα 5.85 καταγραφών της ανύψωσης που συγκεντρώνεται από τέσσερις διαφορετικές περιοχές του Αιγαίου και του Ιονίου, κατά τη χρονική περίοδο από έως. Τα δεδομένα προέρχονται από επιτόπιες μετρήσεις πλωτών ή παράκτιων μετρητικών σταθμών, από το σύστημα ΠΟΣΕΙΔΩΝ του ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.. Οι χρονοσειρές των δεδομένων είναι στάσιμες και εργοδικές. Κάνοντας χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins επιδιώκεται η εύρεση ενός κατάλληλου υποδείγματος για την επαρκή περιγραφή της διαδικασίας που παράγει αυτά τα δεδομένα. Ερευνάται διεξοδικότερα αν η επιλογή του αντικειμενικότερου υποδείγματος σχετίζεται με το σημαντικό ύψος Η m, την περιόδο T p και την κύρια κατεύθυνση διάδοσης των κυματισμών M dir. Γίνεται στατιστική ανάλυση των φασματικών αυτών παραμέτρων, υπολογίζοντας τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση τους. Γίνεται προσαρμογή υποδειγμάτων ARMA(p, q) στη κάθε μια χρονοσειρά του δείγματος για όλους τους συνδυασμούς παραμέτρων p, q ={,,,3,4,5}. Ο διαγνωστικός έλεγχος και η καταλληλόλητα του υποδείγματος γίνεται μέσου των κριτηρίων πληροφορίας AIC και BIC, επιλέγοντας ως πιο αξιόπιστο το υπόδειγμα με τη μικρότερη τιμή στα κριτήρια αυτά. Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι το ARMA(,5) είναι καταλληλότερο για την πλειοψηφία του δείγματος και άρα ο πιο ασφαλής τρόπος για την περιγραφή της στοχαστικής διαδικασίας της ανύψωσης. Παρ όλα αυτά εντοπίζονται τα έξι πιο συχνά εμφανιζόμενα υποδείγματα και γίνεται σύγκριση των παραμέτρων τους, εντοπίζοντας τελικά μια πιθανή σχέση τους με το σημαντικό ύψος και την περίοδο. Τα αποτελέσματα κατηγοριοποιούνται ανάλογα με την περιοχή της δειγματοληψίας και ανάλογα το υπόδειγμα και παρουσιάζονται λεπτομερώς. Η εργασία ολοκληρώθηκε κάνοντας χρήση του λογισμικού MATLAB (MahWorks) και στατιστικού πακέτου STATISTICA (Sasof) Λέξεις κλειδιά: Ανύψωση ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας, χρονοσειρές, ARMA υποδείγματα, σημαντικό ύψος, περίοδος κύματος, κύρια κατεύθυνση.

5 Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Σκοπός της εργασίας...4. Στοιχεία θεωρίας χρονοσειρών...7 i. Στοχαστικές Διαδικασίες 7 ii. Χρονοσειρές..8 iii. Υποδείγματα ARMA 3. Ανάλυση χρονοσειρών.5 4. Δεδομένα Μεθοδολογία Παρουσίαση αποτελεσμάτων - Στατιστική ανάλυση δεδομένων Συμπεράσματα Προτάσεις Παράρτημα Βιβλιογραφικές παραπομπές...7

6 Εισαγωγή. Σκοπός της εργασίας Η «παράλογη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών στις Φυσικές Επιστήμες» απασχολεί για δεκαετίες τους φιλοσοφικούς κύκλους των επιστημών, ωστόσο η χρήση τους παραμένει ο πληρέστερος, προς στιγμήν, τρόπος για την ερμηνεία των Φυσικών Επιστημών. Μαθηματικές σχέσεις διέπουν τα φυσικά φαινόμενα, παρ όλου που τα θεμέλια των Μαθηματικών είναι ανεξάρτητα από τις φυσικές θεωρίες. Και αυτό συμβαίνει κυρίως γιατί οι Φυσικές Επιστήμες περιορίζονται κατά κύριο λόγο στα φαινόμενα που μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά με μαθηματικό φορμαλισμό. Οι ανεμογενείς θαλάσσιοι επιφανειακοί κυματισμοί μελετώνται ως αιτιοκρατικό (ντετερμινιστικό), ως στοχαστικό είτε ως χαοτικό φαινόμενο καθώς η πραγματοποίηση τους δε δίνει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα αλλά εμπεριέχει μια τυχαιότητα. Η μορφολογία μιας καταγραφής της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας, λόγω ανεμογενών κυματισμών, είναι μια κυματομορφή ακανόνιστου σχήματος 3. Συνήθως μετράται και καταγράφεται από κάποιο όργανο ή απλά παρατηρείται δια όψης. Αν επικεντρωθούμε σε ένα στιγμιότυπο αυτής της κυματομορφής, τότε εύκολα διακρίνεται το βασικό συστατικό της, «το κύμα», αλλά και τα χαρακτηριστικά της μεγέθη που είναι το ύψος, το μήκος, η περίοδος και η κύρια κατεύθυνση της διάδοσης των κυματισμών. Στη δεκαετία λόγω της πολυπλοκότητας του φαινομένου, η στατιστική σταθερότητα έδωσε τη θέση της στη στοχαστική θεώρηση 4. Σύμφωνα με τα παραπάνω, αν η συνάρτηση της ανύψωσης συμβολίζεται με η() τότε κάθε καταγραφή η( ), τη χρονική στιγμή, αποτελεί ένα σύνολο συναρτήσεων που θα μπορούσαν να παρατηρηθούν υπό τις ίδιες συνθήκες. Αυτό άμεσα δικαιολογεί τη θεώρηση της ως στοχαστική διαδικασία. Από στοχαστικής πλευράς η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, δεν μελετάται αυτή καθαυτή αλλά ως σύνολο παραμέτρων των πολλών διαδοχικών κυμάτων, όπως είναι το σημαντικό ύψος και η περίοδος. Αν η μελέτη γίνεται συναρτήσει του χρόνου εξετάζονται ως στατιστικά μεγέθη ενώ διαφορετικά ως φασματικά μεγέθη, αν η μελέτη γίνεται στο πεδίο των συχνοτήτων. Στη κλίμακα του χρόνου κάθε σύνολο παρατηρήσεων, {η( ), η( ), } θεωρείται μια χρονοσειρά και έτσι η θεωρία των χρονοσειρών καθίσταται σημαντική για την ερμηνεία του φαινομένου. Σκοπός μιας τέτοιας προσέγγισης είναι η εύρεση ενός υποδείγματος που περιγράφει ικανοποιητικά τη διαδικασία από την οποία προέκυψαν οι παρατηρήσεις και ερμηνεύει επαρκώς το υπό μελέτη φαινόμενο. Η ανάλυση χρονοσειρών λοιπόν, στηρίζεται σε δεδομένα (χρονοσειρές) που δίνονται με χρονική διάταξη και προσπαθεί με χρήση διάφορων μεθόδων, να διερευνήσει το μηχανισμό που παράγει τη χρονοσειρά, να εκτιμήσει τα χαρακτηριστικά του, να αναπτύξει ένα προτεινόμενο υπόδειγμα για να τον περιγράψει και στη συνέχεια να επιδιώξει την πρόβλεψη της εξέλιξης του, δηλαδή τις επόμενες τιμές της χρονοσειράς. Τα υποδείγματα χρονοσειρών υποθέτουν πως υπάρχει κάποια δομή και επιδιώκουν να εντοπίσουν και να εκφράσουν Κιουστελίδης (), σελ Σουκισιάν 3 Αθανασούλης (3), σελ.4. 4 Σουκισιάν κ.α. (7), σελ. Α-. 4

7 μαθηματικά τις συσχετίσεις μεταξύ των παρατηρήσεων. Ευρέως διαδεδομένη είναι η θεωρία γραμμικών υποδειγμάτων, όπου πιο συνηθισμένα είναι τα αυτοπαλίνδρομα AR, τα κινητού μέσου MA και τα μικτά υποδείγματα ARMA. Η μεθοδολογία που έχει επίσης καθιερωθεί είναι αυτή των Box-Jenkins (97). Στη βιβλιογραφία το θέμα προσεγγίζεται διεξοδικά από τον Spanos (983) που περιγράφει τα τρία διαφορετικά υποδείγματα AR, MA, & ARMA και εξετάζει τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματά τους για την περιγραφή κυματικών δεδομένων και την εφαρμογή τους σε προβλήματα υπεράκτιας μηχανικής. Η ανάλυση της στοχαστικής διαδικασίας της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας, επικεντρωμένη κυρίως στο ύψος του κύματος επιδιώκεται και από τον Sobey (995). Η έρευνα καταλήγει στο ότι τα υποδείγματα ARMA περιγράφουν επαρκώς τα κυματικά δεδομένα που αναλύθηκαν. Σε άλλες περιπτώσεις όπως των Li & Karrem(993), Soares & Ferreira (996), Sefanakos & Ahanassoulis(), Ho & Yim (3) και Ozger () χρησιμοποιείται η μεθοδολογία των γραμμικών ARMA μοντέλων, προκειμένου να ερμηνευτεί η διαδικασία που παράγει τις καταγραφές του σημαντικού ύψος κύματος, να συμπληρωθούν τα κενά (ΝαΝ) που πιθανόν να έχουν δημιουργηθεί κατά την καταγραφή, όπως επίσης και να βρεθεί συσχέτιση μεταξύ των καταλοίπων (σφαλμάτων). Οι μελέτες αυτές αναφέρονται κυρίως στο πεδίο των συχνοτήτων, αναλύοντας τις φασματικές παραμέτρους της ανύψωσης και όχι στο φαινόμενο της ανύψωσης. Ωστόσο η χρήση των ARMA γραμμικών υποδειγμάτων είναι εμφανής σε κάθε περίπτωση. Χρησιμοποιώντας λοιπόν μια ευρέως διαδεδομένη μεθοδολογία της θεωρίας των χρονοσειρών, η αρχική ιδέα της εργασίας ήταν να γίνει στατιστική ανάλυση χρονοσειρών της ανύψωσης, μελετώντας το φαινόμενο στο σύνολο του και όχι απομονώνοντας μια παράμετρο. Η μελέτη της ολότητας του φαινομένου της ανύψωσης σπάνια πραγματοποιείται, ωστόσο βρίσκει εφαρμογή στην κατανομή του ύψους του κύματος και ταυτόχρονα σχετίζεται άμεσα με την κυματική ενέργεια που επίσης δεν μελετάται ακόμη ευρέως. Η εργασία λοιπόν, βασίστηκε σε κυματικά δεδομένα της περιόδου - που αναφέρονται στην ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας. Επιλέχτηκε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα του πληθυσμού, πλήρες και αμερόληπτο, από τέσσερεις περιοχές του ελληνικού θαλάσσιου χώρου του Άθω, της Σαντορίνης, της Πύλου και της Σκύρου. Τα δεδομένα προέρχονται από επιτόπιες μετρήσεις πλωτών ή παράκτιων μετρητικών σταθμών, από το σύστημα ΠΟΣΕΙΔΩΝ του ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε. Η δειγματοληψία γίνεται ανά δευτερόλεπτο επί 7 λεπτά και επαναλαμβάνεται κάθε τρεις ώρες. Σκοπός της εργασίας είναι η εύρεση ενός υποδείγματος που να έχει τη βέλτιστη κατά το δυνατόν προσαρμογή στα δεδομένα που θα αναλυθούν. Επιδιώκεται η εφαρμογή αναλυτικών υποδειγμάτων ARMA (p,q) για κάθε δυνατό συνδυασμό των παραμέτρων p, q με p, q={,,, 3, 4, 5} σε κάθε μια χρονοσειρά. Βάσει των κριτηρίων πληροφορίας AIC και BIC γίνεται έλεγχος καταλληλόλητας αυτών για τη κάθε μια χρονοσειρά και υπολογίζονται τα ποσοστά εμφάνισης, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες των επικρατέστερων υποδειγμάτων όλου του δείγματος. Για κάθε επικρατέστερο υπόδειγμα γίνεται στατιστική ανάλυση των αντίστοιχων φασματικών παραμέτρων, του σημαντικού ύψους Η m, της περιόδου Τ p και της κύριας κατεύθυνσης M dir του κύματος. Εξετάζονται επίσης πιθανές τάσεις και συσχετίσεις της κάθε παραμέτρου με την επιλογή του υποδείγματος. Τέλος τα αποτελέσματα κατηγοριοποιούνται ως προς την περιοχή αλλά και ως προς το υπόδειγμα και παρουσιάζονται. Η εργασία στηρίζεται στο μεγαλύτερο μέρος της στη χρήση του λογισμικού MATLAB και του στατιστικού πακέτου STATISTICA. 5

8 Η εργασία έχει την εξής δομή,. Εισαγωγή Σκοπός εργασίας. Στοιχεία θεωρίας χρονοσειρών Γίνεται αναφορά στις στοχαστικές διαδικασίες και κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες τους. Παρουσιάζεται η βασική θεωρία των χρονοσειρών, βασικές έννοιες και ιδιότητες τους. Στη συνέχεια γίνεται εισαγωγή στη θεωρία των γραμμικών υποδειγμάτων. Αναφέρονται τα αυτοπαλίδρομα υποδείγματα AR(p), τα υποδείγματα κινούμενου μέσου MA(q) και τα μικτά υποδείγματα ARMA(p,q). 3. Ανάλυση χρονοσειρών Παρουσιάζεται συνοπτικά η μεθοδολογία Box-Jenkins με τα στάδια της. 4. Δεδομένα Περιγράφονται τα κυματικά δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία, τα χαρακτηριστικά στοιχεία τους και ο τρόπος που έχει πραγματοποιηθεί η δειγματοληψία τους. 5. Μεθοδολογία Εφαρμογή της θεωρίας χρονοσειρών και της μεθοδολογίας Box-Jenkins στα δεδομένα της εργασίας και περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την προσαρμογή υποδειγμάτων και των έλεγχο καταλληλόλητας τους. 6. Παρουσίαση αποτελεσμάτων - Στατιστική ανάλυση δεδομένων. Τα αποτελέσματα της προσαρμογής υποδειγμάτων παρουσιάζονται αναλυτικά και πραγματοποιείται στατιστική ανάλυση των φασματικών παραμέτρων των χρονοσειρών του κάθε υποδείγματος, 7. Συμπεράσματα - προτάσεις Συζητούνται συνολικά τα αποτελέσματα, κάποια συμπεράσματά τους και η πιθανή μετέπειτα εξέλιξη της εργασίας. 8. Παράρτημα Παρατίθενται οι εντολές και ο κώδικας του MATLAB, που χρησιμοποιήθηκε για την ολοκλήρωση της εργασίας. 9. Βιβλιογραφικές παραπομπές 6

9 Στοιχεία θεωρίας χρονοσειρών i. Στοχαστικές διαδικασίες Οι περισσότερες φυσικές διεργασίες στη καθημερινότητα μας εμπεριέχουν μια τυχαιότητα στη δομή και εξέλιξη τους. Στηριζόμενοι σε αυτή την τυχαιότητα - στοχαστικότητα, ο όρος Στοχαστική Διαδικασία χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα στατιστικό φαινόμενο που εξελίσσεται στο χρόνο σύμφωνα με τους νόμους των Πιθανοτήτων. Ορίζεται ως μια συλλογή τυχαίων μεταβλητών που διατάσσονται στο χρόνο που μπορεί να είναι διακριτός ή συνεχής. Συμβολίζεται ως Χ() αν ο χρόνος είναι συνεχής (συνήθως ) και ως Χ, αν ο χρόνος είναι διακριτός (συνήθως,,,... ) 5. Η στοχαστική διαδικασία (ή στοχαστική ανέλιξη) λοιπόν είναι μια άπειρη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Χ, Χ,, Χ. Αξίζει να σημειωθεί ότι η θεωρία τυχαίων μεταβλητών δεν παρέχει τα μέσα για την εξέταση φαινομένων που είναι τυχαία και εξελίσσονται στο χρόνο, όπως συμβαίνει σε πολλά φυσικά συστήματα. Αυτό μάλιστα ήταν το κίνητρο για την ανάπτυξη της θεωρίας των στοχαστικών διαδικασιών. Παρακάτω αναφέρονται κάποιες ιδιότητες των στοχαστικών διαδικασιών. Στασιμότητα. Μια στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη όταν οι ιδιότητες της δεν επηρεάζονται από μια αλλαγή στην αρχή μετρήσεως του χρόνου. Ασθενώς στάσιμη ή στάσιμη ης τάξεως, όταν τα στατιστικά χαρακτηριστικά (μέση τιμή, διακύμανση) παραμένουν αναλλοίωτα στο χρόνο, ενώ οι συνδιακυμάνσεις εξαρτώνται μόνο από την υστέρηση 6. Έστω η στοχαστική διαδικασία {Χ, Χ, Χ,..., Χ } τότε, μέση τιμή μ διακύμανση σ E X μ Ε Χ συνδιακύμανση μεταξύ Χ, Χ συσχέτιση, γ, E Χ μ )(Χ μ ρ, γ, σ σ 3 5 Chafield (), σελ Wei (99), σελ. 7. 7

10 Εργοδικότητα Μια στοχαστική διαδικασία λέγεται εργοδική, όταν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της παραμένουν τα ίδια σε όλες τις δυνατές πραγματοποιήσεις (ταυτόχρονες ή άλλου χρόνου) της μεταβλητής. Κάθε στάσιμη ης τάξεως στοχαστική διαδικασία θεωρείται συνήθως εργοδική 7. Όταν επιτυγχάνεται η στασιμότητα και η εργοδικότητα της στοχαστικής διαδικασίας τότε μέσω ενός κατάλληλου μεγέθους δείγματος μπορεί να επιτευχθούν «καλές» εκτιμήσεις των στατιστικών μεγεθών της. Κανονικότητα Μια στοχαστική διαδικασία θεωρείται κανονική ή Gaussian, όταν για κάθε τάξη n η κοινή κατανομή είναι n διάστατη κατανομή Gauss (Κανονική κατανομή). Η διακύμανση γύρω από τη μέση τιμή ακολουθεί την Κανονική κατανομή. Η κανονική στοχαστική διαδικασία είναι στάσιμη. ii. Χρονοσειρές Αν x, x, x 3,..., x είναι πραγματοποιήσεις των τυχαίων μεταβλητών Χ, Χ,, Χ, τότε με τον όρο χρονοσειρά εννοούμε το σύνολο των παρατηρήσεων{x, x, x 3,..., x }. Η καθεμία από αυτές καταγράφεται στο συγκεκριμένο χρόνο και προέρχεται από την καταγραφή της τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ κατά την εξέλιξη της στο χρόνο. Έτσι μια χρονοσειρά διαδοχικών παρατηρήσεων {x, x, x 3,..., x } θεωρείται 8 μια συγκεκριμένη πραγματοποίηση μιας στοχαστικής διαδικασίας {Χ }. Οι έννοιες της στασιμότητας, εργοδικότητας και κανονικότητας των στοχαστικών διαδικασιών, ορίζονται όμοια στη θεωρία των χρονοσειρών. Τοποθετώντας στους άξονες τις τιμές x, x, x 3,..., x, συναρτήσει του χρόνου που έχουν καταγραφεί, δημιουργείται η γραφική παράσταση της χρονοσειράς που παρουσιάζει την εξέλιξη της μεταβλητής Χ μέσα στο χρόνο. Από τη μορφή της εύκολα μπορεί να ανιχνευτεί, η συστηματική επανάληψη ή συμπεριφορά που πιθανόν υπάρχει στο μηχανισμό της. Παρακάτω παρουσιάζονται κάποια παραδείγματα χρονοσειρών. Από την περιοχή του Άθω, παρουσιάζεται μια χρονοσειρά της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας σε διάρκεια περίπου sec στις 4//, η χρονοσειρά του σημαντικού ύψους κύματος και της περιόδου των κυμάτων κατά τη χρονική περίοδο Wei (99), σελ Χρήστου(), σελ

11 ανύψωση ελευθερης επιφάνειας [m] χρόνος [sec] Σημαντικό ύψος κύματος Hmo χρόνος σε μέρες 8 6 Περίοδος Κύματος Τp χρόνος σε ημέρες 9

12 Μια χρονοσειρά εμφανίζει τάση (rend) όταν η μεταβολή της μέσης τιμής της, για περιορισμένο χρονικό διάστημα, δεν είναι σταθερή αλλά για διαδοχικά διαστήματα παρουσιάζει αύξηση, μείωση ή χαρακτηριστικές αυξομειώσεις. Φαινόμενα σαν αυτά ενδεχομένως σε περίπτωση που δεν είναι αντιπροσωπευτικά ή δε σχετίζονται με το υπό μελέτη σύστημα αφαιρούνται. Έτσι η τάση απαλείφεται και η μελέτη γίνεται στη νέα χρονοσειρά που προκύπτει. x Υστέρηση k (lag) ορίζεται, η απόλυτη τιμή της χρονικής διαφοράς ( k) k δυο όρων, x της χρονικής σειράς. k k Έστω η χρονοσειρά {x, x, x,..., x },τότε μέση τιμή x n n x 3 n διακύμανση s σ x x αυτοδιακύμανση αυτοσυσχέτιση n x x n n c γˆ k (x x)(x x) τ k n τ c τ k c k k k τ ρˆ k n c s x x x r n (x x)(x x) Στην παρούσα εργασία, υποθέτουμε ότι η μια χρονοσειρά στάσιμη. Δηλαδή ισχύουν, Μέση τιμή: Ε Χ Διασπορά : V Χ Διακύμανση : Cov Χ,Χ = μ, ανεξάρτητη του χρόνου = σ, ανεξάρτητη του χρόνου +k k = γ, ανεξάρτητη του χρόνου, x, Τ θα είναι ασθενώς εξαρτάται από τη χρονική διαφρά +k - =k που λέγεται υστέρηση (lag) Η διακύμανση (auocovariance). Cov Χ, Χ +k αναφέρεται και ως αυτοσυνδιακύμανση k γ k = Ε Χ -μχ +k -μ = Cov Χ, Χ +k Είναι προφανές ότι για τ =, γ = V Χ = σ και γ k = γ -k Επειδή η διασπορά των παρατηρήσεων είναι σταθερή, μπορούμε στη συνέχεια να θεωρήσουμε το συντελεστή αυτοσυσχέτισεως, γ

13 γ k ρ k = γ ρ = και ρ = ρ k -k Η σχέση που υπάρχει μεταξύ του συντελεστη ρ k και στο k, ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως (auocorrelaion funcion) και η γραφική της παράσταση, διάγραμμα αυτοσυσχετίσεως (correlogram). Παρόμοια ορίζεται και η συνάρτηση αυτοσυνδιακύμανσης. Το διάγραμμα αυτοσυσχετίσεως είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων και στην πράξη παίρνουμε μόνο το θετικό μισό της συνάρτησης (εφόσον ρ k= ρ -κ). Η σημασία της συνάρτησης αυτοσυσχετίσεως είναι μεγάλη, γιατί δείχνει τόσο το βαθμό (ένταση) της συσχέτισης των όρων της χρονοσειράς όσο και τη χρονική διάρκεια της μνήμης της χρονοσειράς. Δηλαδή από πόσους προηγούμενους όρους εξαρτάται ένας όρος της χρονοσειράς. Ο κυριότερος στόχος στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η επιλογή και προσαρμογή κατάλληλου υποδείγματος που να προσεγγίζει ικανοποιητικά τα δεδομένα και να περιγράφει το μηχανισμό της στοχαστικής διαδικασίας από την οποία προέκυψε η συγκεκριμένη σειρά, καθώς και η χρησιμοποίηση του υποδείγματος για πρόβλεψη. Τα υποδείγματα χρονοσειρών υποθέτουν πως υπάρχουν συσχετίσεις στη χρονοσειρά, μεταξύ των μεταβλητών και προσπαθούν να εκφράσουν μαθηματικά αυτές τις συσχετίσεις. Γι αυτό ένα πρώτο και σημαντικό στάδιο στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η διερεύνηση και περιγραφή των συσχετίσεων καθώς και άλλων χαρακτηριστικών της χρονοσειράς. Απαραίτητος επίσης είναι ο έλεγχος της διαδικασίας και του υποδείγματος ώστε η πρόγνωση να είναι όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστη.

14 iii. Υποδείγματα ARMA Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα AR() Η γενική μορφή ενός υποδείγματος AR() είναι: x =φ +φx - +ε, ή εναλλακτικά ε = (- φ Β)x, όπου φ Β =- φ Β το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τουαr. Η μεταβλητή ε αντιπροσωπεύει το σφάλμα τη χρονική στιγμή. Ισχύει ε Ν(,σ ), Ε(ε ),Ε(ε ) σ, Ε(ε ε k ) και θεωρείται Gaussian λευκός θόρυβος (whie noise). Υποθέτοντας ότι είτε ο μέσος είναι μηδέν, είτε ότι οι μεταβλητές εκφράζονται ως αποκλίσεις από τους μέσους, η τελευταία σχέση γίνεται x φx ε, όπου x X EΧ X μ. Ακόμη ισχύουν 9, φ = - φ μ φ μ= -φ σ γ = V(x )= ΕX -μ = -φ γ = Cov(x,x )= Ε Χ -μ X -μ = φ γ k k -k -k γ ρ = = φ k k s γ Για να είναι η σειρά στάσιμη, θα πρέπει φ < και σε αυτή την περίπτωση ισχύει 3 x = ε + φε - + φ ε - + φ ε -3 + Για φ >, η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως αρχίζοντας από τη μονάδα, αφού ρ =, φθίνει γεωμετρικά και τείνει προς το μηδέν καθώς το k αυξάνει. Για φ <, πάλι θα τείνει προς το μηδέν αλλά με εναλλασσόμενο πρόσημο. Εν ολίγοις μέσω ενός υποδείγματος AR() εκφράζεται μια χρονοσειρά x ως άθροισμα μιας σταθεράς φ, μιας προηγούμενης παρατήρησης x - και μιας χρονοσειράς λευκού θορύβου ε, 9 Χρήστου (), σελ. 748 κ. εξ.

15 x..8x ε π.χ. 3 Simulaed AR()Series Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion.5 Sample Auocorrelaion Funcion Lag Η (θεωρητική) αυτοσυσχέτιση εξασθενεί εκθετικά και υπάρχει μια μόνο μη μηδενική μερική αυτοσυσχέτιση για υστέρηση. Στην πράξη όταν δεν είναι γνωστή η τάξη του υποδείγματος, η ACF και η PACF βοηθούν στην αναγνώριση ενός AR() υποδείγματος, όταν παρατηρείται ότι η αυτοσυσχέτιση εξασθενεί εκθετικά και υπάρχει μια σημαντική μερική αυτοσυσχέτιση. Εδώ λόγω του σφάλματος που υπεισέρχεται στους υπολογισμούς η δειγματική αυτοσυσχέτιση δε φθίνει στο μηδέν. Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα AR() Η γενική μορφή ενός υποδείγματος AR() είναι: ή εναλλακτικά x = φ + φx - + φx - + ε ε = φ Β x, όπου φ Β =- φβ- φβ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τουar. Όπου και πάλι ισχύουν αντίστοιχα, Makridakis e al. (998), σελ

16 φ - φ - φ +φ - φ μ= -φ - φ k -k -k k- k- k k k- k- γ φ = - φ φ -φ γ = V(x )= Ε X -μ = φ γ +φ γ +σ = σ γ = Cov(x,x )= Ε Χ -μ X -μ = φ γ +φ γ (αν k > ) γ ρ = = φ ρ +φ ρ (αν k > ) Αφού όμως ρ = και ρ - = ρη τελευταία σχέση δίνει, μ ρ =φ +φρ { ρ =φρ +φ φ ρ = και ρ = φ + -φ - φ φ Αν η χρονοσειρά είναι στάσιμη, θα ισχύουν: φ +φ <, -φ +φ <, -< φ < Η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως αποσβαίνει στο μηδέν με τη μορφή ημιτονοειδούς κύματος καθώς αυξάνεται η υστέρηση k και επίσης παρουσιάζονται δυο σημαντικές μερικές αυτοσυσχετίσεις. x..8x.x ε π.χ. 3 Simulaed AR()Series Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions Sample Auocorrelaion Funcion Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion Lag 4

17 Αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα AR(p) Η γενική μορφή ενός υποδείγματος AR(p) είναι: ή εναλλακτικά x = φ + φx - + φx φpx -p + ε p p ε = φ Β x, όπου φ Β =-φ Β-φ Β - -φ Β το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τουar p. Όπου ισχύουν αντίστοιχα, φ μ= -φ - φ φ p γ = φγ +φ γ +...+φpγ p +σ = -φ p - φ p φ p γ p γ = φ γ +φ γ +φ γ (αν k > ) k k- k- k-p ρ = φ ρ +φ ρ +...+φ ρ (αν k > ) k k- k- p k-p σ Από την τελευταία σχέση προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις, που συνιστούν ένα σύστημα, οι λύσεις του οποίου δίνουν τις αυτοσυσχετίσεις, συναρτήσει των συντελεστών αυτοπαλινδρομίσεως φ,φ,...,φ p : ρ = φ +ρ φ +ρ φ +...+ρ 3 p- p ρ = ρ φ +φ +ρ φ +...+ρ 3 p- p ρ = ρ φ +ρ φ +φ +...+ρ 3 3 p-3 p φ φ φ ρ = ρ φ +ρ φ +p φ +...+φ p p- p- p-3 3 p Με χρήση πινάκων το παραπάνω σύστημα γράφεται, ρ ρ ρp- ρ ρ ρ p- αν Π = ρp- ρp- ρp-3 ρ φ ρ φ R= Φ= ρp φp - τότε R = ΠΦ και Φ = Π R 5

18 Μερική αυτοσυσχέτιση Η μερική αυτοσυσχέτιση (parial auocorrelaion funcion) ανάμεσα στην x και στην x αναφέρεται στη συσχέτιση ανάμεσα τους, αφαιρώντας τις γραμμικές επιδράσεις των -s ενδιάμεσων μεταβλητών x -,x -,.,x -(k-). Αν ρ kk ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχετίσεως k, για k =,,., μπορούμε να υπολογίσουμε κάθε ένα από αυτούς λύνοντας το σύστημα R=ΠΦ αν αντικαταστήσουμε τους συντελεστές αυτοπαλινδρομίσεως φ,φ,φ 3,...,φ p με τους ρ, ρ, ρ 33,..., ρ pp. Με χρήση πινάκων, 6 Όπου τελικά προκύπτουν τα εξής, ρ = ρ ρ ρ ρ ρ - ρ ρ = = ρ -ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 ρ 33 = κ.ο.κ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Οι συντελεστές ρ kk αποτελούν τη συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης τάξης k και για τον υπολογισμό του, όταν τα ρ k είναι άγνωστα, χρησιμοποιούμε οι αντίστοιχες εκτιμήσεις ρ k από το δείγμα. Με βάση τις εκτιμήσεις αυτές, μπορεί γίνει έλεγχος σημαντικότητας των παραμέτρων στον πληθυσμό. Συνολικά από το δείγμα εκτιμώνται οι ποσότητες, που ορίζονται ως εξής: T = x= για το μ σ = γ = k ρ = k T T = T = T = x x - x T x - xx+s - x x - xx+k - x T = T x - x για το σ για το γ k για το ρ k 6

19 Είναι προφανές ότι για μια AR(p) διαδικασία η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης είναι μηδέν για k > p σύμφωνα με το ορισμό της. Καθένας από αυτούς τους συντελεστές ρkk περιγράφει τη σημαντικότητα της τελευταίας μεταβλητής του υποδείγματος. Αν ο ρkk είναι σημαντικά διάφορος του μηδενός, τότε το υπόδειγμα k τάξεως είναι προτιμότερο από το υπόδειγμα k -τάξης για την ανάλυση της χρονοσειράς. Σε αντίθετη περίπτωση παραμένουμε στο υπόδειγμα τάξης k -. Αν η τάξη του που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα είναι p, τότε θα ισχύει: ρ για k p και ρ = για k > p kk Ο έλεγχος σημαντικότητας του ρ kk στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: Αν η χρονική σειρά είναι τάξης p τότε, kk ρ N, k T ρ N, για k p kk T Έτσι η υπόθεση H:ρ kk = απορρίπτεται σε στάθμη σημαντικότητας α, έναντι της H:ρ kk αν ρ kk, όπου Τ το μέγεθος (πλήθος στοιχείων) της χρονικής σειράς. T Επομένως ο υπολογισμός των ρkk έχει πρακτική σημασία στην εκτίμηση της τάξης του υποδείγματος. Αν για παράδειγμα ο συντελεστής ρ είναι σημαντικός, ενώ ο ρ 33 δεν είναι, τότε η τάξη του υποδείγματος θα είναι. Υποδείγματα Κινούμενου μέσου ΜA() Ένα υπόδειγμα κινούμενο μέσου, τάξης ένα, έχει τη μορφή : Εναλλακτικά θα μπορούσε να γραφεί και ως x = θ +ε + θε -, όπου α Ε ε = και Var ε = σ. x = (- θ Β)ε, όπου θ Β =- θ Β το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τουμα. Είναι πάντα στάσιμη χρονοσειρά αφού γράφεται ως πεπερασμένο άθροισμα λευκού θορύβου ε, ε -. Για θ η παραπάνω σχέση μπορεί να μετατραπεί ως εξής: ε (-θ Β) x ή ε θ Β θ Β θ Β 3 3 Και αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμε το λευκό θόρυβο ε γνωρίζοντας την x και όλες τις προηγούμενες της. Η ιδιότητα αυτή λέγεται αντιστρεψιμότητα (inveribiliy) και αν 7

20 ισχύει σημαίνει πως μπορούμε να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο θβ. Μια χρονοσειρά που περιγράφεται από ένα ΜΑ(), είναι αντιστρέψιμη αν περιγράφεται ισοδύναμα από ένα AR. Παρόμοια και κάθε στάσιμη χρονοσειρά ΑR() είναι αντιστρέψιμη αφού μπορεί να μετατραπεί σε ΜΑ( ). Για το ΜΑ() ισχύουν επίσης τα παρακάτω, Ε x μ γ V x θ σ γ Cov x, x θ σ s γ για s ρ s θ s θ ρ για s θ Β Δηλαδή όλες οι (θεωρητικές) αυτοδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις είναι μηδέν εκτός της πρώτης. Αυτό σημαίνει ότι η «μνήμη» της χρονοσειράς δεν υπερβαίνει τη μια περίοδο. Δηλαδή, μια οποιαδήποτε τιμή, έστω x6 συσχετίζεται με την προηγούμενη x5 ή την επόμενη x7 αλλά δε συσχετίζεται με καμία άλλη. Όσο αφορά τη μερική αυτοσυσχέτιση, ισχύει θ ρ ρ θ ρ ρ ρ 4 ρ θ θ ρ θ ρ θ θ θ θ θ θ και γενικά, ρ s s ss s θ Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης φθίνει εκθετικά με υστέρηση s, είτε μονότονα για θ (και άρα ρ ) ή εναλασσόμενα γύρω από το μηδέν για θ (και άρα ρ ). Εν ολίγοις ένα ΜΑ() θα εκφράζει μια χρονοσειρά x όταν αυτή προκύπτει ως άθροισμα μια σταθεράς θ, μιας χρονοσειράς λευκού θορύβου και μιας προηγούμενης παρατήρησης του λευκού θορύβου, ε 8

21 π.χ. x. ε.7ε Simulaed MA()Series Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion.5 Sample Auocorrelaion Funcion Lag Υποδείγματα Κινούμενου μέσου ΜA() Κινούμενο μέσου τάξης δυο λέγεται το υπόδειγμα: α όπου x ε θ ε θ ε Ε ε και Var ε σ. Εναλλακτικά θα μπορούσε να γραφεί και ως x (-θ Β θ Β )ε, όπου θ Β θβ θβ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ΜΑ. Η MA() είναι πάντα στάσιμη και αντιστρέψιμη όταν: Ακόμη ισχύουν, Ε x θ θ θ θ θ θ θ θ θ k μ γ θ θ σ θ θ θ γ θ θ θ σ ρ θ γ θ σ ρ γ για k ρ για k k 9

22 Όσο αφορά τη μερική αυτοσυσχέτιση, ισχύει ρ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 3 33 ρ ρ ρ κ.ο.κ x. ε.7ε.3ε π.χ. Simulaed MA()Series Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion.5 Sample Auocorrelaion Funcion Lag Υποδείγματα Κινούμενου μέσου ΜA(q) Κινούμενο μέσου τάξης q λέγεται το υπόδειγμα: x ε θ ε θ ε θ ε, q q Ε ε και Var ε σ. όπου Εναλλακτικά θα μπορούσε να γραφεί και ως, α x (-θ Β θ Β θ Β )ε, q q όπου θ Β θ Β θ Β θ Β το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ΜΑ q. q q Στη γενική περίπτωση της MA(q), η αντιστρεψιμότητα εξασφαλίζεται όταν οι ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης q θ Β θ Β θ Β, q είναι κατά απόλυτη τιμή μικρότερες από τη μονάδα.

23 Ακόμη ισχύουν, γ θ θ θ σ q k k k k q qk k k k k k q qk θ θ θq γ θ θ θ θ θ θ θ σ για k,, q και γ για k q θ θ θ θ θ θ θ ρ για k,, q και ρ για k q Γενικά οι αυτοδιακυμάνσεις και συνεπώς η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως είναι μηδέν μετά από q υστερήσεις, όπως εξάλλου συμβαίνει και στα μοντέλα AR, παρ όλου που αυτά εκτείνονται στο άπειρο. Αντίθετα η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχετίσεως στα μοντέλα AR(p) μηδενίζεται μετά από p υστερήσεις, ενώ για τα MA(q) εκτείνεται στο άπειρο. Λόγω αυτού, είναι πολλές φορές δύσκολο να καθοριστεί η τάξη του υποδείγματος που περιγράφει τη χρονοσειρά, με βάση και μόνο τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισεως. Ως ένα πρόσθετο κριτήριο για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχετίσεως. Οι συντελεστές μερικής αυτοσυσχετίσεως, δίνονται από τον τύπο: k ρ ρ ρ ρ k ρ ρ ρ ρ k3 ρ ss ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ k k k3 k k k ρ ρ ρ ρ k3 k ρ ρ ρ ρ k k k3 Οι αυτοσυσχετίσεις για k q θα είναι σημαντικές ενώ για k>q δε θα είναι σημαντικές. Ο έλεγχος της σημαντικότητας των αυτοσυσχετίσεων μπορεί να γίνει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως στα μοντέλα AR. Όταν έχει καθοριστεί η τάξη της χρονοσειράς, οι παράμετροι μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις που συνδέουν τις αυτοσυσχετίσεις με τις παραμέτρους, αντικαθιστώντας τις αυτοσυσχετίσεις ρ k με τις εκτιμήσεις ρ kk του δείγματος. Αυτοπαλίνδρομα Υπόδειγματα Κινούμενου Μέσου (ή Μικτά Υποδείγματα) ARMA(,) Ένα ΑRMA (,) ορίζεται ως εξής: η εναλλακτικά x φ φ x ε θ ε θβ φβ x θ Β ε ή x ε φβ Με συνθήκη στασιμότητας για φ και συνθήκη αντιστρεψιμότητας για θ. Ακόμη ισχύουν,

24 γ γ θ φ θ σ φ φ θ φ θ φ γ φ γ για k ρ k κ φ θ φ θ θ φθ ρ φ ρ για k k k σ Με συνθήκες στασιμότητας και αντιστρεψιμότητας του υποδείγματος, ως προς τις αυτοσυσχετίσεις, ρ ρ ρ ρ ρ για ρ ρ ρ ρ για ρ Η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως για το ARMA(,) φθίνει γεωμετρικά καθώς αυξάνεται το k. Η μείωση ξεκινά από το ρ και όχι από το ρ = όπως στη περίπτωση του AR(). Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισεως, συμπεριφέρεται όπως στο MA() και φθίνει επίσης γεωμετρικά. Οι συντελεστές μερικής αυτοσυσχετίσεως, υπολογίζονται όπως και στην περίπτωση ενός AR(p). ρ ρ ρ x..8x ε.7ε π.χ. ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ κ.ο.κ 4 Simulaed ARMA(,)Series Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions Sample Auocorrelaion Funcion Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion Lag

25 Αυτοπαλίνδρομα Υπόδειγματα Κινούμενου Μέσου ARMA(p,q) Ένα ΑRMA (p,q) ορίζεται ως εξής: x φ + φ x φ x φ x ε θ ε θ ε θ ε. p p q q Ή εναλλακτικά, φ Β x θ Β ε φ Β φ Β φ Β και θ Β θ Β φ Β q p q τα χαρακτηριστικά p Όπου πολυώνυμα της ΜΑ(p) και AR(q). Περιέχει το AR μέρος τάξης p και το ΜΑ μέρος τάξης q. Ισοδύναμα μπορεί να θεωρηθεί σαν AR(p) με σφάλματα που ακολουθούν ΜΑ(q) ή σαν ΜΑ(q) με σφάλματα που ακολουθούν AR(p). Προσπαθώντας την αποφυγή μεγάλων τάξεων για κάθε AR ή MA υπόδειγμα, επιδιώκεται ο παραπάνω συνδυασμός, αναλύοντας μια χρονοσειρά σε δύο μέρη, το αιτιοκρατικό και το στοχαστικό αντίστοιχα. Έτσι ένα στοιχείο της χρονοσειράς για κάθε χρονική στιγμή ορίζεται από το γραμμικό συνδυασμό p προηγούμενων στοιχείων της χρονοσειράς και q προηγούμενων στοιχείων λευκού θορύβου, που δηλώνουν τις τυχαίες διακυμάνσεις (εξωτερικές επιδράσεις στο υπό μελέτη σύστημα) τις τελευταίες q χρονικές στιγμές. Από τα προηγούμενα, η σειρά είναι, στάσιμη, όταν οι ρίζες της φ(β)= είναι έξω από το μοναδιαίο κύκλο και αντιστρέψιμη, όταν οι ρίζες της θ(β)= είναι έξω από το μοναδιαίο κύκλο. Οι πρώτες q αυτοσυσχετίσεις, για k q εξαρτώνται από τους συντελεστές του AR όσο και από MA τμήματος. Για k q, οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις είναι ίδιες με αυτές μιας AR(p) χρονοσειράς, δηλαδή: γ φ γ φ γ φ γ για k q k k k p kp ρ φ ρ φ ρ φ ρ για k q k k k p kp Γενικότερα η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως μιας ARMA(p,q) χρονοσειράς συμπεριφέρεται όπως μιας AR(p), ενώ η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχετίσεως όπως μιας ΜΑ(q) για s q p. Η μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισεως και μερικής αυτοσυσχετίσεως, δίνεται συνοπτικά για κάθε υπόδειγμα στον παρακάτω πίνακα. Κουγιουμτζής, σελ

26 Χρονοσειρά AR() AR(p) MA() MA(q) Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης ( ρ k ) Φθίνει εκθετικά: στα θετικά αν φ > Εναλλάσσει το πρόσημο ξεκινώντας από τα αρνητικά αν φ < Φθίνει εκθετικά ή ακολουθώντας ημιτονοειδή συμπεριφορά Σημαντική τιμή για lag= και μετά μηδενίζεται. Θετική τιμή αν θ και αρνητική αν θ Σημαντικές τιμές για υστέρηση =,, q και μετά μηδενίζεται Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχέτισης ( ρ kk ) Σημαντική τιμή για lag= και μετά μηδενίζεται. Θετική τιμή αν φ > και αρνητική αν φ < Σημαντικές τιμές για υστέρηση =,, p μετά μηδενίζεται Φθίνει εκθετικά: προς τα αρνητικά αν θ. Εναλλάσσει πρόσημο ξεκινώντας από τα θετικά αν θ Φθίνει εκθετικά ή αποσβήνει ακολουθώντας ημιτονοειδή συμπεριφορά. Εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τα θ,,θ q ARMA(p,q) Φθίνει εκθετικά Φθίνει εκθετικά 4

27 Ανάλυση Χρονοσειρών Θεωρώντας ότι η χρονοσειρά αποτελεί τη πραγματοποίηση μια στοχαστικής διαδικασίας, γίνεται προσπάθεια προσαρμογής κάποιων γραμμικών υποδειγμάτων στη χρονοσειρά ώστε στη συνέχεια να γίνει πρόβλεψη των τιμών μέσω αυτού. Το υπόδειγμα αποτελεί την εκτίμηση της στοχαστικής διαδικασίας που παράγει τη εκάστοτε παρατηρούμενη χρονοσειρά. Η μεθοδολογία των Box-Jenkins, περιλαμβάνει τρία στάδια μέσω των οποίων προσδιορίζεται το κατάλληλο υπόδειγμα: α) την ταυτοποίηση (idenificaion), β) την εκτίμηση (esimaion), γ) το διαγνωστικό έλεγχο (diagnosic checking) και στη συνέχεια δ) την πρόβλεψη. Makridakis e al. (998), σελ

28 Η ταυτοποίηση επιτυγχάνεται αρχικά ελέγχοντας τη μορφή του διαγράμματος της χρονοσειράς, για ασυνήθιστες παρατηρήσεις και μετασχηματίζοντας τα δεδομένα, αν είναι απαραίτητο, για να σταθεροποιηθεί η διακύμανση. Στη συνέχεια γίνεται εξέταση των αυτοσυσχετίσεων και μερικών αυτοσυσχετίσεων του δείγματος. Αν η αυτοσυσχέτιση για κάθε υστέρηση είναι στατιστικά ασήμαντη, η χρονοσειρά μπορεί να θεωρηθεί λευκός θόρυβος και η προσαρμογή οποιουδήποτε υποδείγματος δεν έχει νόημα. Αν το διάγραμμα (ime plo) δείχνει τα δεδομένα να διαχέονται οριζοντίως γύρω από μια σταθερή μέση τιμή ή ισοδύναμα οι αυτοσυχετίσεις συγκλίνουν ταχύτατα προς το μηδέν ή γύρω από αυτό, τότε η χρονοσειρά είναι στάσιμη. Αντίθετα αν το διάγραμμα δεν έχει οριζόντια κατεύθυνση ή η αυτοσυσχέτιση είναι ισχυρή και φθίνει με αργό ρυθμό, τότε δεν είναι στάσιμη. Στην περίπτωση που δεν είναι, μετατρέπεται σε στάσιμη, με μια διαδικασία διαφόρισης, παίρνοντας τις πρώτες ή τις δεύτερες κ.ο.κ διαφορές. Όταν επιτευχθεί η στασιμότητα, εξετάζονται εκ νέου οι αυτοσυσχετίσεις και αν δεν υπάρχουν σημαντικές τιμές μετά από κάποια υστέρηση q τότε ένα υπόδειγμα MA(q) ίσως είναι καταλληλότερο. Αν το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται στις μερικές αυτοσυσχετίσεις μετά από κάποια υστέρηση p, τότε το υπόδειγμα μπορεί να είναι AR(p). Αν εξακολουθεί να μην είναι ξεκάθαρο «δια όψης» το καταλληλότερο υπόδειγμα, ίσως είναι απαραίτητο ένα μικτό υπόδειγμα ΑΡΜΑ (p, q). Η εκτίμηση, αναφέρεται στις τιμές των p παραμέτρων της ΑR διαδικασίας και των q παραμέτρων της ΜΑ διαδικασίας, που συνιστούν το ΑRMA υπόδειγμα. Ο διαγνωστικός έλεγχος, πραγματοποιείται προσαρμόζοντας το υπόδειγμα και ελέγχοντας την καταλληλόλητα του. Στην ανάλυση των χρονοσειρών η επιλογή και η επάρκεια του ταυτίζεται συνήθως με τις ασφαλείς προβλέψεις που προκύπτουν από το υπόδειγμα στη συνέχεια. Αν το υπόδειγμα αντλεί όλη την πληροφορία της χρονοσειράς τότε εκφράζει ικανοποιητικά τη διαδικασία από την οποία προέρχονται τα δεδομένα. Ο έλεγχος που γίνεται κυρίως είναι έλεγχος ανεξαρτησίας στη χρονοσειρά των υπολοίπων 3, αν δηλαδή τα κατάλοιπα (residuals : υπόλοιπα ή σφάλματα) αυτοσυσχετίζονται ή είναι λευκός θόρυβος. Στην πράξη δεν υπάρχει η έννοια του βέλτιστου υποδείγματος αντιθέτως ίσως υπάρχουν αρκετά που έχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα. Π.χ. Ένα ΑRMA(p, q) μικρής τάξης προσαρμόζεται εξίσου καλά με ένα AR(p) ή MA(q) μεγάλης τάξης. Ωστόσο οι μεγάλες τάξεις αποφεύγονται γιατί εκτός από πληροφορία συνήθως υπεισέρχεται και θόρυβος. Το ίδιο μειονέκτημα έχει η υπερπροσαρμογή (overfiing), όπου ο έλεγχος ενός υποδείγματος ARMA(p, q), επιτυγχάνεται συγκρίνοντάς το με ένα άλλο μεγαλύτερης τάξεως (overfiing), δηλαδή ARMA (p+, q) ή ΑRMA (p, q+). Αν το εκτιμώμενο υπόδειγμα περιγράφει επαρκώς τη διαδικασία που παρήγαγε τα δεδομένα και τα κατάλοιπα της προσαρμογής είναι λευκός θόρυβος, τότε το ίδιο αναμένεται να ισχύει και για τις μεγαλύτερης τάξεις. Αυξάνοντας την τάξη του υποδείγματος, μειώνεται το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων(σφαλμάτων), αλλά μειώνονται και οι βαθμοί ελευθερίας, αφού εκτιμώνται περισσότεροι παράμετροι. Δεν υπάρχει λοιπόν μόνο «κέρδος» από την προσθήκη μεταβλητών αλλά και «κόστος». 3 Κουγιουμτζής, σελ. 59 κ. εξ. Ο έλεγχος των καταλοίπων γίνεται με το κριτήριο των Ljung και Box (Q es), τον έλεγχο σημαντικών αυτοσυσχετίσεων Pormaneau, τη μέθοδο ροπών, ελαχίστων τετραγώνων και η χρήση τους εξαρτάται από το προτεινόμενο υπόδειγμα. 6

29 Δυο ευρέως διαδεδομένα κριτήρια για την επιλογή του υποδείγματος είναι το κριτήριο πληροφοριών 4 Akaike (Akaike Informaion Crierion) ή AIC και το κριτήριο Μπεϋζιανής πληροφορίας (Bayesian Informaion Crierion) ή BIC. AIC log L m BIC loglm log Τ, Τ, το πλήθος των στοιχείων της χρονοσειράς L η μέγιστη πιθανοφάνεια m, το πλήθος των παραμέτρων που εκτιμώνται (p+q+). Προσαρμόζοντας υποδείγματα κάθε συνδυασμού παραμέτρων, υπολογίζονται τα παραπάνω κριτήρια και συγκρίνοντας τις τιμές τους, επιλέγεται το υπόδειγμα με τη μικρότερη τιμή σε αυτά. 4 Box (994), σελ.. Υπάρχουν και νεότερες εκτιμήσεις των κριτηρίων βλ. Shumway () σελ. 5. 7

30 Δεδομένα Ας θωρήσουμε η() τη συνάρτηση της ανύψωσης σε ένα σταθερό σημείο της αδιατάρακτης επιφάνειας της θάλασσας. Η καταγραφή της ανύψωσης συνίσταται σε μία ακανόνιστη αλληλουχία «κορυφών» και «κοιλάδων» που αντιστοιχούν σε τοπικά μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης. Το φαινόμενο μελετάται πλήρως μέσω της θεωρίας των στάσιμων, εργοδικών και κανονικών στοχαστικών διαδικασιών. Η κάθε καταγραφή θεωρείται ως μια από τις πολλές καταγραφές που θα μπορούσε να συμβούν στο ίδιο σημείο και υπό τις ίδιες συνθήκες, αποτελεί δηλαδή μια από τις άπειρες δυνατές πραγματοποιήσεις της στοχαστικής διαδικασίας. Η στοχαστική θεώρηση των ανεμογενών κυματισμών συνίσταται στην αναπαράσταση της ανύψωσης μέσω ενός αθροίσματος συνημιτονοειδών συναρτήσεων με τυχαίες και ομοιόμορφα κατανεμημένες φάσεις. Ν η ;β α cos ω φ β i i i i Όπου ωi οι διαφορετικές συχνότητες, φi οι γωνίες των φάσεων, αi τα πλάτη, ενώ το β χρησιμοποιείται για να διαφοροποιεί την κάθε πραγματοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας η;β. Η εργοδικότητα επιτρέπει τη στατιστική μελέτη της στοχαστικής διαδικασίας από μια μόνο πραγματοποίηση της 5. Αν η ={η, η, η 3,, η n} είναι μια σειρά διαδοχικών καταγραφών του φαινομένου της ανύψωσης, τότε αποτελεί μια συγκεκριμένη πραγματοποίηση της διαδικασίας άρα μια χρονοσειρά. Η εργασία βασίζεται σε δεδομένα της δεκαετίας - που αναφέρονται στην ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας για τέσσερις περιοχές στο ελληνικό θαλάσσιο χώρο. Τα δεδομένα προέρχονται από επιτόπιες μετρήσεις πλωτών ή παράκτιων μετρητικών σταθμών, από το σύστημα ΠΟΣΕΙΔΩΝ του ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.. Περαιτέρω επεξεργασία και ανάλυση επιτυγχάνεται αντλώντας πληροφορίες για το σημαντικό ύψος H m, την κύρια κατεύθυνση των κυματισμών M dir, όπως επίσης και την περίοδο που αντιστοιχεί στην κορυφή φάσματος T p. Σημαντικό Ύψος H 4 m, όπου m είναι η φασματική ροπή μηδενικής τάξης. m Το αντίστοιχο στατιστικό μέγεθος ορίζεται πάνω στην καταγραφή την ανύψωσης της θάλασσας, αναδιατάσσοντας μια ακολουθία των υψών κύματος Η,Η,,Η N έστω κατά φθίνουσα τάξη και λαμβάνοντας το μέσο όρο του /3 των υψηλότερων υψών κύματος, δηλαδή 6 [N/3] H i:n i Η m, [N / 3] ακέραιο μέρος του N / 3 [N / 3] 5 Σουκισιάν κ.α (7), σελ. Α6-. 6 Το ίδιο, σελ 3. 8

31 Περίοδος P ω dsηη TP με, ω dω ωωp όπου ω P είναι η συχνότητα κορυφής φάσματος και m j για j=,,,3,4 είναι οι φασματικές ροπές j-τάξης. Κατεύθυνση Κύματος M dir, υπολογίζεται ως δεξιόστροφη γωνία σε μοίρες με αρχή την κατεύθυνση του Βορρά. Η δειγματοληψία των δεδομένων έχει πραγματοποιηθεί σε αργή κλίμακα χρόνου 7, οι καταγραφές γίνονται ανά δευτερόλεπτο για τη διάρκεια 7 λεπτών και επαναλαμβάνεται κάθε τρείς ώρες. Η ακριβή γεωγραφική θέση των σταθμών όπου έγιναν οι καταγραφές είναι, Περιοχή Άθως Σαντορίνη Σκύρος Πύλος Γεωγραφικό πλάτος Γεωγραφικό μήκος Σουκισιάν κ.α (7), σελ. Α6. 9

32 Μεθοδολογία Χρησιμοποιώντας το λογισμικό MATLAB (MahWorks), αναλύθηκαν συνολικά 5.85 χρονοσειρές. Η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε είναι η εξής, Α) Απαλοιφή τάσης, έλεγχος στασιμότητας Λειτουργώντας μεμονωμένα το διάγραμμα μιας χρονοσειράς δε δείχνει να υπάρχει κάποια τάση, το σχήμα εκτείνεται οριζόντια και ομαλά γύρω από τη μέση τιμή που είναι το μηδέν. Οι αυτοσυχετίσεις συγκλίνουν προς το μηδέν ή γύρω από αυτό. Άρα η χρονοσειρά επιβεβαιώνεται οπτικά ότι είναι στάσιμη. Aνύψωση ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας μέτρα [m] Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions χρόνος [sec] Sample Auocorrelaion Funcion Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion Lag Για τυπικούς λόγους ωστόσο, αφαιρείται η τάση (derend.m), η μέση τιμή μικραίνει ελάχιστα προσεγγίζοντας περισσότερο το. Τα διαγράμματα γίνονται εκ νέου χωρίς όμως να υπάρχει κάποια ουσιαστική διαφορά διαφορά. Ανύψωση ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας (derend) Sample Auocorrelaion Sample Parial Auocorrelaions μέτρα [m] χρόνος [sec] Sample Auocorrelaion Funcion Lag Sample Parial Auocorrelaion Funcion Lag 3

33 Ελέγχοντας τα διαγράμματα των αυτοσυσχετίσεων καμία πληροφορία δεν αντλείται για το προτεινόμενο υπόδειγμα που θα μπορούσε να περιγράφει τη διαδικασία της χρονοσειράς. Αυτό εκ πρώτης σημαίνει ότι ένα AR(p) ή MA(q) υπόδειγμα ίσως δε είναι κατάλληλο, οπότε ίσως είναι απαραίτητο ένα μικτό υπόδειγμα ΑΡΜΑ (p, q). Επιπρόσθετα, επειδή το πλήθος των υπό μελέτη χρονοσειρών είναι αρκετά μεγάλο, ο οπτικός έλεγχος απορρίπτεται κυρίως για εξοικονόμηση χρόνου. Β) Προσαρμογή υποδειγμάτων και Διαγνωστικός Έλεγχος Προκειμένου να γίνει εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος, προσαρμόζονται σε κάθε χρονοσειρά (fiing.m) υποδείγματα ARMA(p,q) για όλους τους συνδυασμούς από p= εως 5 και q= εως 5. Στη συνέχεια ο διαγνωστικός έλεγχος της καταλληλόλητας των υποδειγμάτων πραγματοποιείται μέσω των κριτηρίων πληροφορίας AIC και BIC. Υπολογίζεται για κάθε υπόδειγμα το κριτήριο και επιλέγεται η μικρότερη τιμή του. O συνδυασμός των παραμέτρων p, q που δίνει τη μικρότερη τιμή του κριτηρίου, σημειώνεται ως ο καταλληλότερος για την κάθε χρονοσειρά και αποθηκεύεται. Η διαδικασία συνεχίζεται για την επόμενη χρονοσειρά και στη συνέχεια για τις χρονοσειρές της επόμενης περιοχής. Σε περίπτωση που η διαδικασία δεν μπορεί να ανιχνεύσει το κατάλληλο υπόδειγμα, η χρονοσειρά παρακάμπτεται και σημειώνεται ως σφάλμα. Ο απαιτούμενος χρόνος της διαδικασίας για μια χρονοσειρά 4 στοιχείων είναι περίπου sec. Τα δεδομένα είναι χωρισμένα σε αρχεία ανά περιοχή και τη χρονική περίοδο που πραγματοποιήθηκε η δειγματοληψία. Άθως: -7 : χρονοσειρές 7- : 7.46 χρονοσειρές Σαντορίνη: -7 : χρονοσειρές, 7-8 :.494 χρονοσειρές, 8- : 7.65 χρονοσειρές, Πύλος: 7- : 6.8 χρονοσειρές, Σκύρος: 7- : χρονοσειρές, Τα αποτελέσματα (Wfinal) είναι πίνακες, που ως στοιχεία έχουν το συνδυασμό των παραμέτρων (p, q) στη θέση της κάθε χρονοσειράς που έγινε αναλήση και αποθηκεύονται για κάθε αρχείο δεδομένων. Στη συνέχεια για συνολική επισκόπηση τα αποτέλεσμα κατηγοριοποιούνται ανά περιοχή αλλά και βάσει υποδείγματος. Εντοπίζονται (frequency_pq.m) τα έξι πιο συχνά εμφανιζόμενα υποδείγματα, σε όλο τον πληθυσμό και στη συνέχεια εντοπίζονται τα λάθη που παρακάμπτει η διαδικασία (error.m). Για κάθε επικρατέστερο υπόδειγμα εντοπίζονται οι θέσεις των χρονοσειρών που περιγράφονται επαρκώς με αυτά (idx.m). 3

34 Γ) Στατιστική Ανάλυση Φασματικών Παραμέτρων Περνώντας στα συμπληρωματικά δεδομένα του κάθε αρχείου, χρησιμοποιούνται οι πληροφορίες του Σημαντικού Ύψους H m, της περιόδου T p και της Κύριας Κατεύθυνσης του κύματος M dir, και που αντιστοιχεί σε κάθε μια χρονοσειρά του δείγματος αλλά και σε κάθε περιοχή. Υπολογίζεται η μέση τιμή (mean) και η τυπική απόκλιση(sandard deviaion) του Σημαντικού Ύψους H m και της Περιόδου T p για κάθε υπόδειγμα (sa_6.m), για το δείγμα (sa_sample.m) και για κάθε περιοχή (sa_oal.m). n mean : x x i n i n n i i i i s an dard deviaion : s x x ή x x n n Σε κάποια αρχεία δεδομένων οι τιμές των παραπάνω βαθμωτών φασματικών παραμέτρων λείπουν, έχοντας αντικατασταθεί από τη τιμή -9999,993 που φυσικά δεν ανταποκρίνεται στα πραγματικά δεδομένα του υπό μελέτη συστήματος. Οι τιμές αυτές θεωρούνται missing values και απαλείφονται (NaN.m) θεωρώντας ότι δεν επηρεάζουν τη συνολική εικόνα του φαινομένου. Γίνονται τα ιστογράμματα για τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του σημαντικού ύψους (MHmoSHmo_graph.m) και της περιόδου (MTpSTp_graph.m) για κάθε υπόδειγμα και περιοχή. Κατασκευάζονται κυκλικά διαγράμματα σχετικών συχνοτήτων για την κατεύθυνση του κύματος (Mdir_graph.m) σε κάθε περιοχή. Για το διάγραμμα της κατεύθυνσης τα δεδομένα μετατράπηκαν σε rad (rad.m). Τέλος, κατηγοριοποιημένα ανά υπόδειγμα παρουσιάζονται τα ραβδογράμματα σχετικών συχνοτήτων του σημαντικού ύψους, της περιόδου και τα κυκλικά διαγράμματα της κατεύθυνσης στις τέσσερις περιοχές. Όπως επίσης και οι κατευθύνσεις των κυμάτων, σε κάθε υπόδειγμα. Στα γραφήματα, ο τύπος της κατανομής σχετικών συχνοτήτων, περιγράφεται ελέγχοντας κατά πόσο η κατανομή είναι συμμετρική ή ασύμμετρη και στην περίπτωση που δεν είναι ελέγχοντας το μεγαλύτερο μέρος της κατανομής αν είναι προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Για τον παραπάνω έλεγχο χρησιμοποιούνται οι συντελεστές λοξότητας (coefficien of skewness) και ο συντελεστής κύρτωσης (coefficien of kurosis), που θεωρούνται γενικεύσεις της διασποράς. (skewness.m) n 3 xi x n i skewness : α3 3 s n 4 xi x n i kyrosis : α4 4 s 3

35 Αν α 3>, οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιά της επικρατούσας τιμής κορυφής (αντίθετα αν α 3<). Αν α 4>3 η κατανομή λέγεται λεπτόκυρτη, αντίθετα λέγεται πλατύκυρτη. Αν α 4=3, η κατανομή δεν είναι ούτε υπερβολικά μυτερή ούτε πλατιά και προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή. 8 Ακόμη είναι γνωστό ότι η μέση τιμή μετακινείται αντίθετα από την κατεύθυνση της λοξότητας. Μάλιστα αν και θεωρείται η σημαντικότερη από τα μέτρα κεντρικής τάσης, επηρεάζεται πάρα πολύ από τις πολύ μεγάλες ή τις πολύ μικρές τιμές του δείγματος και μπορεί πολλές φορές να δημιουργήσει λάθος εντύπωση. Αντίθετα η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές. Επιβάλλεται λοιπόν η σύγκριση και αυτών των παραμέτρων. 8 Μπόρα Σέντα (999), σελ

36 Παρουσίαση αποτελεσμάτων - Στατιστική ανάλυση δεδομένων Στην περιοχή του Άθω, αναλύθηκαν 554 χρονοσειρές, δεκαέξι από τις οποίες δεν προσαρμόστηκαν σε κανένα υπόδειγμα που εφαρμόστηκε. Τα σφάλματα αντιπροσωπεύουν το,% του δείγματος άρα δεν λαμβάνονται υπόψιν. Το υπόδειγμα ARMA(,5) είναι το επικρατέστερο, καθώς για το 4,65% του δείγματος δηλαδή χρονοσειρές, αξιολογήθηκε βάσει των κριτηρίων AIC/BIC ως το πιο κατάλληλο για την περιγραφή της στοχαστικής διαδικασίας που τις αναπαραγάγει. Το 4,8% του δείγματος μοντελοποιείται επαρκώς με το υπόδειγμα ARMA(, 4) ενώ κάθε άλλο υπόδειγμα είναι λιγότερο συχνό και κατάλληλο για μικρότερο πλήθος χρονοσειρών. Άθως - Υπόδειγμα Πλήθος χρονοσειρών Ποσοστό επί του δείγματος ARMA(,4) % ARMA(,5) 4.65% ARMA(3,4) % ARMA(3,5) % ARMA(5,) % ARMA(5,4) 96 7.% Σύνολο 554 Σφάλματα 6.% Στην περιοχή της Σαντορίνης, το δείγμα ήταν το μεγαλύτερο σε αριθμό παρατηρήσεων. Οι καταγραφές αφορούν χρονική περίοδο -, περιλαμβάνουν 37 χρονοσειρές εκ των οποίων το.5% δεν ήταν συμβατό στη διαδικασία εκτίμησης του υποδείγματος. Από αυτές 3775 χρονοσειρές, δηλαδή ένα ποσοστό 6.6% προς όλο το δείγμα, περιγράφεται αποτελεσματικότερα με το υπόδειγμα ARMA (,5), αφήνοντας δεύτερο το ARMA (,4) με ποσοστό εμφάνισης.35%. Σαντορίνη - Υπόδειγμα Πλήθος χρονοσειρών Ποσοστό επί του δείγματος ARMA(,4) % ARMA(,5) % ARMA(3,4) % 34

37 ARMA(3,5) 6 9.5% ARMA(5,) % ARMA(5,4) 35.% Σύνολο 37 Σφάλματα.5% Στην περιοχή της Πύλου, τα δεδομένα αφορούν τη πενταετία 7-, αποτελούνται από 68 χρονοσειρές και μόλις τρία σφάλματα. Το.8% του δείγματος, δηλαδή 779 χρονοσειρές, περιγράφονται επαρκώς με το υπόδειγμα ARMA(5,4) και το.% με το υπόδειγμα ARMA (,5). Πύλος 7- Υπόδειγμα Πλήθος χρονοσειρών Ποσοστό επί του δείγματος ARMA(,4) 64,9% ARMA(,5) 73,% ARMA(3,4) 46 7,58% ARMA(3,5) 4 6,76% ARMA(5,) 73,% ARMA(5,4) 779,8% Σύνολο 68 Σφάλματα,3% Στην περιοχή της Σκύρου, τα δεδομένα επίσης αναφέρονται στη πενταετία 7- και συνίστανται από 6373 χρονοσειρές, με μόνο τρείς (.3%) να θεωρούνται ως σφάλματα. Το συχνότερο υπόδειγμα είναι και πάλι το ARMA(,5) με ποσοστό εμφάνισης επί του δείγματος 7.6%, δηλαδή 94 χρονοσειρές. Ενώ 738 χρονοσειρές μοντελοποιούνται επαρκώς με το ARMA(,4). Σκύρος 7- Υπόδειγμα Πλήθος χρονοσειρών Ποσοστό επί του δείγματος ARMA(,4) 738,58% ARMA(,5) 94 7,6% ARMA(3,4) 3 3,6% ARMA(3,5) 398 6,4% 35

38 ARMA(5,) 79,% ARMA(5,4) 47 6,7% Σύνολο 6373 Σφάλματα,3% Συνολικά αναλύθηκαν 585 χρονόσειρες που αφορούν την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας. Οι καταγραφές έχουν γίνει κατά τη διάρκεια των ετών - σε τέσσερις περιοχές του ελληνικού θαλάσσιου χώρου. Από το δείγμα αυτό, μόνο 3 χρονοσειρές δηλαδή ένα ποσοστό.6%, δεν ήταν συμβατές στη διαδικασία ελέγχου της καταλληλόλητας του υποδείγματος και παρακάμφθηκαν. Το υπόδειγμα που περιγράφει επαρκώς τη διαδικασία από την οποία προέκυψαν οι χρονοσειρές και εμφανίζεται πιο συχνά στο δείγμα, είναι το ARMA(,5). Το ποσοστό εμφάνισης αυτού είναι 5.39%, δηλαδή προσαρμόζεται επιτυχώς σε 78 χρονοσειρές. Στη συνέχεια για 6 χρονοσειρές (.4%) φαίνεται να είναι καταλληλότερο το υπόδειγμα ARMA(,4) και τρίτο σε συχνότητα εμφάνισης έρχεται το ARMA(5,4) για το 9.% του δείγματος. Ο πίνακας παρακάτω περιγράφει αναλυτικά τις συχνότητες εμφάνισης των έξι επικρατέστερων υποδειγμάτων. Συνολικά αποτελέσματα - Υπόδειγμα Πλήθος χρονοσειρών Ποσοστό επί του δείγματος ARMA(,4) 6.4% ARMA(,5) % ARMA(3,4) % ARMA(3,5) 4 8.3% ARMA(5,) 9 5.7% ARMA(5,4) % Σύνολο 585 Σφάλματα 3.6% Σύμφωνα λοιπόν με τη θεωρία των γραμμικών ARMA υποδειγμάτων, μια από τις παρακάτω μορφές είναι η πιο «ασφαλή» επιλογή. ARMA(,4) η φ φη φη ε θε θε θ3ε 3 θ4ε 4. ARMA(,5) η φ φη φη ε θε θε θ3ε 3 θ4ε 4 θ5ε 5. ARMA(3,4) η φ φ η φ η φ η ε θ ε θ ε θ ε θ ε

39 ARMA(3,5) η φ φη φη φ3η 3 ε θε θε θ3ε 3 θ4ε 4 θ5ε 5. ARMA(5,) η φ φη φη φ3η 3 φ4η 4 φ5η 5 ε θε θε. ARMA(5,4) η φ φ η φ η φ η φ η φ η ε θ ε θ ε θ ε θ ε Ταξινομώντας τις χρονοσειρές σύμφωνα με τα έξι αυτά επικρατέστερα υποδείγματα, συγκεντρώθηκαν για κάθε μια χρονοσειρά η τιμή του Σημαντικού Ύψους (H m), της περιόδου (Τ p) και της Κατεύθυνσης του Κύματος (M dir). Στη συνέχεια επιδιώκεται η στατιστική ανάλυση των αντίστοιχων αυτών βαθμωτών φασματικών παραμέτρων σε κάθε περιοχή. Πρώτα για όλο το δείγμα και έπειτα για κάθε ένα υπόδειγμα που προέκυψε από την προηγούμενη μελέτη. Η μέση τιμή του Σημαντικού Ύψους του δείγματος κυμαίνεται μεταξύ.975 m. και.74 m. αναδεικνύοντας στην περιοχή της Πύλου τη μέγιστη τιμή με μεγάλη διαφορά από τις άλλες τρείς περιοχές. Το ελάχιστο μέσο σημαντικό ύψος ανήκει στην περιοχή της Σαντορίνης κάτι που επιβεβαιώνεται και σε κάθε υπόδειγμα. Οι χρονοσειρές που περιγράφονται επαρκώς από τα υποδείγματα ARMA(,4), ARMA(5,) παρουσιάζουν σε κάθε περιοχή χαμηλότερη μέση τιμή σε σχέση με αυτή του δείγματος, μάλιστα για το ARMA(5,) παρατηρούνται οι μικρότερες τιμές, με την ελάχιστη (.5886m) να ανήκει στην περιοχή της Πύλου. Αξιοσημείωτη είναι η συμπεριφορά των δεδομένων στην κατηγορία του ARMA(,4) όπου παρατηρείται μια ομοιομορφία στη μέση τιμή κάθε περιοχής γύρω στα.8m. Αντίθετα τα υποδείγματα ARMA(,5), ARMA(3,5) και ARMA(5,4) παρουσιάζουν κατά πολύ μεγαλύτερη μέση τιμή σε κάθε περιοχή από αυτή του δείγματος, με μεγάλες διαφορές μεταξύ των περιοχών κάτι που είναι πιο εμφανές στο ARMA(5,4) και τις μέγιστες τιμές να εμφανίζονται στο ARMA(3,5). Η τυπική απόκλιση είναι ένας δείκτης που δείχνει αν οι τιμές της μεταβλητής που καταγράφεται κυμαίνονται γύρω από την μέση τιμή ή υπάρχουν μεγάλες αποκλίσεις από αυτήν. Σε γενικές γραμμές αυτό φαίνεται να ισχύει κατά κόρον στην περιοχή της Σαντορίνης όπου συναντάται η μικρότερη τιμή στην περίπτωση κάθε υποδείγματος. Γενικά στο σύνολο του δείγματος η τυπική απόκλιση κυμαίνεται μεταξύ.5377m και.83m. Σε χαμηλότερα πλαίσια κυμαίνεται στις περιπτώσεις των υποδειγμάτων ARMA(,4), ARMA(3,4) και ARMA(5,) ενώ είναι κατά πολύ μεγαλύτερη για τις χρονοσειρές των υποδειγμάτων ARMA(,5), ARMA(3,5) και ARMA(5,4) φτάνοντας στην περιοχή της Πύλου τα.966m για το ARMA(5,4) το οποίο είναι το επικρατέστερο υπόδειγμα της περιοχής. Το επικρατέστερο υπόδειγμα ARMA(,5) ειδικά για τις περιοχές Άθω, Σαντορίνης και Σκύρου, φαίνεται να περιγράφει καλύτερα χρονοσειρές που η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του Σημαντικού Ύψους είναι μεγάλη. Όσον αφορά τη μέση τιμή κυμαίνεται μεταξύ (.7-.47m) και είναι μεγαλύτερη από αυτή του δείγματος δεν περιλαμβάνει τις πιο ακραίες τιμές, αλλά ούτε και μεγάλες διαφορές ανά περιοχή. Παρόμοια συμπεριφορά φαίνεται να έχει το υπόδειγμα ARMA(5,4) που αξιολογήθηκε ως καταλληλότερο για τις χρονοσειρές της Πύλου, δείχνοντας μια προτίμηση στις υψηλές τιμές των δυο αυτών παραμέτρων. Αντίθετα το δεύτερο επικρατέστερο υπόδειγμα ARMA(,4), περιγράφει επαρκώς χρονοσειρές που έχουν μέση τιμή και τυπική απόκλιση Σημαντικού Ύψους μικρότερες του δείγματος. Η μέση τιμή είναι σχεδόν σταθερή στις τέσσερις περιοχές, κυμαίνεται μεταξύ.8-.84m. 37

40 Μέση τιμή Σημαντικού ύψους [m] Τυπική Απόκλιση Σημαντικού ύψους [m] Δείγμα Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,4) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,5) Άθως Σαντορίνη.7.54 Πύλος Σκύρος ARMA(3,4) Άθως.6.53 Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(3,5) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος

41 ARMA(5,) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(5,4) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος

42 Μέση Τιμή Σημαντικού Ύψους Τυπική Απόκλιση Σημαντικού Ύψους Δείγμα Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,4) ARMA(3,4) ARMA(5,) ΆθωςΣαντορίνηΠύλος Σκύρος ARMA(,5) ARMA(3,5) ARMA(5,4) ΆθωςΣαντορίνηΠύλος Σκύρος ARMA(,4) ARMA(3,4) ARMA(5,) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,5) ARMA(3,5) ARMA(5,4) Άθως ΣαντορίνηΠύλος Σκύρος 4

43 Στη συνέχεια εξετάζεται η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της Περιόδου Tp (specral peak period). Τα δεδομένα έχουν και πάλι κατηγοριοποιηθεί βάσει περιοχής αλλά και υποδείγματος. Το δείγμα γενικά παρουσιάζει μέση τιμή της Περιόδου Tp μεταξύ 4.9 και 6. sec. Η μέγιστη τιμή εντοπίζεται πάντα στην περιοχή της Πύλου, ενώ οι άλλες τρείς περιοχές έχουν σε κάθε περίπτωση πολύ μικρές διαφορές μεταξύ τους. Σε χαμηλότερα επίπεδα κυμαίνεται η μέση περίοδος στις χρονοσειρές των υποδειγμάτων ARMA(,4) ARMA(5,), ενώ στα υπόλοιπα είναι πάντα μεγαλύτερη. Οι πιο ακραίες τιμές είναι στο ARMA(3,5) μεγαλύτερες ή ίσες των 6sec. Όσον αφορά την απόκλιση των τιμών της περιόδου από τη μέση τιμή, αυτή κυμαίνεται στο δείγμα περίπου από.35 ως.7sec. Πιο συγκεκριμένα όλα τα υποδείγματα έχουν τυπική απόκλιση μικρότερη από αυτή του δείγματος εκτός από το ARMA(3,5), ARMA(5,4) που συγκεντρώνουν τις μεγαλύτερες τιμές. Μάλιστα στο ARMA(5,4) εντοπίζονται οι μέγιστες τιμές περίπου.9sec. Η περιοχή της Πύλου διατηρεί εξέχουσα θέση, μιας και οι αποκλίσεις είναι σχεδόν πάντα μεγαλύτερες από των άλλων περιοχών. Το επικρατέστερο υπόδειγμα ARMA(,5) περιγράφει χρονοσειρές με μεγάλες, αλλά όχι ακραίες, μέσες τιμές περιόδου Τp, ως προς το δείγμα. Αντίθετα οι τυπικές αποκλίσεις τους είναι σχετικά μικρότερες από αυτές του συνόλου. Το ARMA(,4) εφαρμόζει καλύτερα σε χρονοσειρές που έχουν μέση τιμή αλλά και τυπική απόκλιση περιόδου Tp μικρότερες από αυτές του δείγματος. Η τυπική απόκλιση μάλιστα εδώ είναι η ελάχιστη που εμφανίζεται. 4

44 Μέση τιμή Περιόδου Tp [sec] Τυπική Απόκλιση Περιόδου Tp [sec] Δείγμα Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,4) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,5) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(3,4) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(3,5) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος

45 ARMA(5,) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(5,4) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος

46 Μέση Τιμή Περιόδου Τυπική Απόκλιση Περιόδου Δείγμα ARMA(,4) ARMA(3,4) ARMA(5,) ΆθωςΣαντορίνη ΠύλοςΣκύρος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ARMA(,5) ARMA(3,5) ARMA(5,4) ΆθωςΣαντορίνηΠύλοςΣκύρος ARMA(,4) ARMA(3,4) ARMA(5,) Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος ΆθωςΣαντορίνηΠύλοςΣκύρος ARMA(,5) ARMA(3,5) ARMA(5,4) ΆθωςΣαντορίνη Πύλος Σκύρος 44

47 Η επόμενη παράμετρος που μελετάται είναι η κατεύθυνση του κύματος M dir, για τις χρονοσειρές κάθε περιοχής αλλά και τις χρονοσειρές του κάθε υποδείγματος. Το διάγραμμα της κατεύθυνσης λειτουργεί σαν δεξιόστροφα προσανατολισμένο κυκλικό ιστόγραμμα, με αρχή τις που αντιστοιχούν στη κατεύθυνση του Βορρά. Οι διαστάσεις του κάθε κυκλικού τομέα αντιπροσωπεύουν τη κατεύθυνση του κύματος και τη συχνότητα εμφάνισης αυτού. Ο κάθε εσωτερικός κυκλικός δακτύλιος αντιπροσώπευει συγκεκριμένο πλήθος χρονοσειρών. Στην περιοχή του Άθω, το δείγμα υποδεικνύει ως κύρια κατεύθυνση κύματος περίπου 5 και γενικότερα ΒΑ με κάποια μικρή συχνότητα κυμάτων στα ΝΝΑ. Οι χρονοσειρές του κάθε υποδείγματος, εμφανίζουν σε γενικές γραμμές την ίδια συμπεριφορά με το δείγμα. Η μόνη διαφορά εγκειται στο πλήθος των χρονοσειρών της κάθε περίπτωσης που όμως είναι ήδη γνωστό. Παραμένοντας λοιπόν έντονη η παρουσία κυμάτων με κατεύθυνση στις 5, στο υποδείγμα ARMA(,4), ARMA(3,4), ARMA(5,), άνεμοι με κατεύθυνση 6 φαίνεται να έχουν μια σημαντική παρουσία. Ενώ επίσης στα υποδείγματα ARMA(5,), ARMA(5,4) εμφανίζονται μια μικρή συχνότητα κυμάτων και προς τις υπόλοιπες κατευθύνσεις που κάνει την κατανομή να απλώνεται. Κατεύθυνση κυμάτων Άθως Διεύθυνση Ανέμου Άθως E 9 33,9% 6 7,5% 5,3% 3,55% 3 6,75% S 8 N ,6% 6 7 Άθως W 9 45,3% ,7% 6 5 3,8% 3 5,6% 3 5 6,8% 3 ARMA[,4] 8 ARMA[,5] 8 ARMA[3,4] ,3% ,6% ,% 6 5,6% 3 5 7,3% 3 5 3,% 3 ARMA[3,5] 8 ARMA[5,] 8 ARMA[5,4]

48 Στην περιοχή της Σαντορίνης, τα κύματα έχουν κατεύθυνση κυρίως μεταξύ Β και Δ, δλαδή 3 εώς. Πιο συχνές είναι οι κατευθύνσεις μεταξύ - και Πιο αναλυτικά οι χρονοσειρές των υποδειγμάτων ARMA(,5), ARMA(3,5), ARMA(5,), ARMA(5,4) έχουν την ίδια συμπεριφορά με το δείγμα. Παρ όλα αυτά στο ARMA(,5), ARMA(3,5), ARMA(5,4), φαίνονται πιο συχνοί οι ΔΔΑ κυματισμοί (4 ) ενώ στα ARMA(,4), ARMA(3,4) πιο συχνοί αυτοί με κατεύθυνση προς το Β. Στα ARMA(5,), ARMA(5,4) η κατανομή απλώνεται και πάλι. Κατεύθυνση κυμάτων Σαντορίνης Διεύθυνση Ανέμου Σαντορίνης E 9 7,% 6,9% 5 8,6% 3 4,3% S 8 N Σαντορίνη W 9 38% 6 9 6,5% ,7% 6 5 9% 3 5 3,3% 3 5 8,8% 3 ARMA[,4] 8 ARMA[,5] 8 ARMA[3,4] ,5% ,6% 6 9,5% 6 5,8% 3 5 6,9% 3 5,7% 3 ARMA[3,5] 8 ARMA[5,] 8 ARMA[5,4]

49 Στην περιοχή της Πύλου, οι κυματισμοί έχουν κυρίως κατεύθυνση μεταξύ 8 και 3 δηλαδή Α και ΔΔΒ, με πιο έντονη την παρουσία αυτών κοντά στις 3. Το μοτίβο επαναλαμβάνεται σε όλα τα υποδείγματα. Πιο αναλυτικά τα ARMA(,4), ARMA(,5) σχεδόν ταυτίζονται με την εικόνα που παρουσιάζει το δείγμα. Στο ARMA(5,) πιο συχνοί είναι οι άνεμοι με κατεύθυνση 7-9. Κατεύθυνση κυμάτων Πύλου Διεύθυνση Ανέμου Πύλου E 9 4.7% 6 6.4% 5 3 8,% S 8 N ,6% 6 7 W Πύλος 9 6 7,3% 9 43,4% 6 5 6,3% 3 5 3,7% 3 5,7% 3 ARMA[,4] 8 ARMA[,5] 8 ARMA[3,4] ,4% 6 9 7,4% 6 9 5,6% 6 5,% 3 5 3,7% 3 5,8% 3 ARMA[3,5] 8 ARMA[5,] 8 ARMA[5,4]

50 Στην περιοχή της Σκύρου, το δείγμα υποδεικνύει μια μεγάλη συχνότητα κυματισμών με κατεύθυνση μεταξύ και 5 (Β μέχρι ΝΑ) με πιο συχνούς στη κατεύθυνση Η ίδια εικόνα παρουσιάζεται και στις περιπτώσεις των υποδειγμάτων. Πιο αναλυτικά οι χρονοσειρές των υποδειγμάτων ARMA(,4), ARMA(5,) και ARMA(5,4) έχουν την ίδια συμπεριφορά με το δείγμα. Ενώ τα υπόλοιπα υποδείγματα παρουσιάζουν κυρίως κυματισμούς με κατευθυνση περίπου στις 5. Κατεύθυνση κυμάτων Σκύρου Διεύθυνση Ανέμου Σκύρου E 9 3,5% 6 5,7% 5 3 7,8 % S 8 N ,% 6 7 W Σκύρος 9 45,7% ,3% 5 3,5% 3 5,8% 3 5,6% 3 ARMA[,4] 8 ARMA[,5] 8 ARMA[3,4] ,% 9 8,% 6 9 3,4% 6 5 5,% 3 5 4,% 3 5,7% 3 ARMA[3,5] 8 ARMA[5,] 8 ARMA[5,4]

51 Καταλήγοντας, σημειώνεται ότι δεν φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ της επιλογής του υποδείγματος για τις χρονοσειρές της ανύψωσης και τη κατεύθυνση των κυμάτων. Τα υποδείγματα κάθε περιοχής ακολουθούν με μικρές αποκλίσεις την συμπεριφορά του δείγματος της εκάστοτε περιοχής, χωρίς να φαίνεται κάποια τάση ή επαναληπτικότητα. Κλείνοντας γίνεται μια προσπάθεια συνολικής επισκόπησης των τριών φασματικών παραμέτρων που ήδη μελετήθηκαν, η κατηγοριοποίηση γίνεται τώρα ανά υπόδειγμα. Παρουσιάζονται λοιπόν η κατεύθυνση του κύματος, το σημαντικό ύψος κύματος και η περίοδος για κάθε ένα από τα έξι επικρατέστερα ARMA υποδείγματα και στις τέσσερις περιοχές που αναλύθηκαν. Στις χρονοσειρές του δείγματος, όπου το υπόδειγμα ARMA(,4) κρίθηκε πιο κατάλληλο το σημαντικό ύψος κύματος και η περίοδος κυμαίνονται γύρω από τη μέση τιμή τους χωρίς όμως μεγάλες αποκλίσεις. Η κατανομή τους δεν απλώνεται πολύ και παρουσιάζει μια σημαντική κύρτωση (λεπτόκυρτη). Οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιά ή κοντά στην επικρατούσα τιμή - αυτή της κορυφής. Εκτός από την περίπτωση της Σκύρου, όπου η κατανομή συχνοτήτων του σημαντικού ύψους απλώνεται περισσότερο (πλατύκυρτη) και της περιόδου οι περισσότερες τιμές είναι προς τα αριστερά της κορυφής. Οι τιμές του σημαντικού ύψους είναι κυρίως μικρότερες από.5m και οι τιμές της περιόδου κυρίως μικρότερες από 7m. Στην περίπτωση του υποδείγματος ARMA(,5) οι παράμετροι κινούνται σε μεγαλύτερα μεγέθη από πριν. Το σημαντικό ύψος και η περίοδος κυμαίνονται γύρω από τη μέση τιμή τους, με τις περισσότερες τιμές να είναι δεξιά της κορυφής (επικρατούσα τιμή), εκτός από τη περίοδο της Πύλου και της Σκύρου (αρνητική λοξότητα). Εδώ οι κατανομές απλώνονται αρκετά σε σχέση με πριν αλλά και πάλι θεωρούνται λεπτόκυρτες. Οι τιμές του σημαντικού ύψους είναι κυρίως μικρότερες από.5m και οι τιμές της περιόδου κυρίως μικρότερες από 8m. Στο υπόδειγμα ARMA(3,4) οι παράμετροι κινούνται και πάλι σε χαμηλότερα μεγέθη από το ARMA(,5). Oι τιμές κυμαίνονται σε ευρύ φάσμα γύρω από την τιμή της κορυφής αλλά μόνο η περιοχή του Άθω και το σημαντικό ύψος της Σκύρου θεωρούνται πλατύκυρτες κατανομές. Οι περισσότερες τιμές άλλοτε εντοπίζονται δεξιά της κορυφής και άλλοτε αριστερά. Οι τιμές του σημαντικού ύψους και της περιόδου είναι κυρίως μικρότερες από αυτές του ARMA(,5). Οι κατανομές σχετικών συχνοτήτων στο ARMA(3,5) απλώνονται και πάλι αρκετά γύρω από τη μέση τιμή, αλλά μόνο στη περιοχή της Σκύρου θεωρούνται πλατύκυρτες. Οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιά της επικρατούσας τιμής, εκτός από τις περιπτώσεις της περιόδου της Πύλου και της Σκύρου. Αξιοσημείωτη επίσης είναι η παρουσία μεγαλύτερων τιμών στο σημαντικό ύψος. Οι τιμές του σημαντικού ύψους και της περιόδου είναι μεγαλύτερες από αυτές του ARMA(,5). Στο ARMA(5,) οι κατανομές λεπταίνουν και πάλι και οι παράμετροι κυμαίνονται σε μικρότερα μεγέθη όπως στο ARMA(,4). Ακόμη παρατηρείται ότι οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιότερα της κορυφής. Εμφανίζονται επίσης ακραίες τιμές. Οι τιμές του σημαντικού ύψους και της περιόδου είναι μικρές, όπως στο ARMA(,4). Χωρίς μεγάλες διαφορές από το προηγούμενο υπόδειγμα, το ARMA(5,4) παρουσιάζει κατανομές σχετικών συχνοτήτων σε ένα ευρύτερο φάσμα τιμών από πριν. Θεωρούνται κυρίως 49

52 λεπτόκυρτες εκτός από την περίοδο της Πύλου και της Σκύρου που απλώνονται αρκετά(πλατύκυρτες). Οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιότερα της κορυφής. Οι ακραίες τιμές είναι περισσότερες, κυρίως στη Πύλο και τη Σκύρο. Οι τιμές του σημαντικού ύψους και της περιόδου είναι μεγάλες αλλά όχι τόσο ακραίες όσο του ARMA(3,5). Η κατεύθυνση του κύματος ούτε σε αυτή την επισκόπηση, βρέθηκε να έχει κάποια επαναληπτική συμπεριφορά, που να είναι αξιοσημείωτη. Το ίδιο επιβεβαιώνεται και στο τελευταίο διάγραμμα όπου παρουσιάζονται μόνο οι κατευθύνσεις των χρονοσειρών που έχουν υποδείξει τα έξι επικρατέστερα υποδείγμτα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η περιοχή. 5

53 Διευθυνση Ανέμου 66% 9 47,6% 6 5 3,8% % % 5 9% ARMA[,4] 57% 9 6 3,6% 5 6,3% % 9 6 7,% 5 3,5% % 76% 68% 8 49% 3 7% 4% 8 47% 6% 6 4% 5 % 6 Σ ημαντικό Ύψος 37% 8% % 46% 38% 4 33% 4% 5 9% 6% 4% 4 3% 8 % 8 9% 4 3% 6 6% 8% 6 9% 5% 8% 4 8% 5 5% 3% 4 % 86% -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Var 8 % 6% -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Var3 6 % 39% -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Var5 4 % 7%,,,4,6,8,,,4,6,8 Var7 76% 6 53% 4 36% 4% 8 67% 4 33% % 6 Περίοδος 57% 48% 38% 8 46% 38% 3% 8 9% 6% 3% % % 6% 4% 4 9% 6 3% 6 6% 3% 8 % 8% 8 6 9% % % Σημαντικό ύψος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος Περίοδος Άθως 4 5% 8% % Σαντορίνη μέση τιμή,838,87757,836347,8357 διάμεσος,74935,836,733,8787 μέση τιμή 4, ,7744 5, ,7576 διάμεσος 4,6875 4,7893 5,3963 4,6875 % 7% 3% % Πύλος 6 4 5% 3% %,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 Σκύρος 4 5

54 Διευθυνση Ανέμου ,3% 5,6% ,5% 6 5 3,3% ARMA[,5] 9 6 7,3% 5 3,6% ,7 6 5,8% Σημαντικό Ύψος Σημαντικό Ύψος Περίοδος Περίοδος 3% 7% 3% 8% 4% 9% 5% % 76% 65% 54% 43% 3% % % % ,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Var Var % 4% 37% 3% 6% 8 % 6 6% % 4 4% 33% 6% % 3% % 5% % 8 6 7% 4 -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Var Var Σημαντικό ύψος Άθως Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος μέση τιμή,4443,777,857, διάμεσος,383,88,788,4443 Περίοδος μέση τιμή 5,7454 5, , ,93946 διάμεσος 5,993 5,78 6,565 5, % 3% 7% 5% 3 % 9% 6% 4% % 8% 5% 3% % 33% 3% 7% 5% % 3 9% 6% 4% % 8% 5% 3% % -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Var Var % 4% 37% 3% 7% 3% 8% 4% 9% 5% % 4% 37% 3% 7% 3% 8% 4% 9% 5% %,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Var Var

55 Διευθυνση Ανέμου 9 33,7% 6 5 6,8% ,7% 5 8,8% ARMA[3,4] ,4% 5,7% ,3% 5,6% % % % % % 6 9% 45 Σημαντικό Ύψος Σημαντικό ύψος 33% 5 7% 4 % 3 3% 7% % 4% % -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Var % 3% 3% 5% 8% % 45% 38% -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Var % 35% 3% 3% 6% % 7% 3% 9% 4% % -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Var % 5% 6 3% % 4 9% 6% 4% % % 3% 6%,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4, Περίοδος 7% 5 Πείοδος 3% 4 % 3 7% 3% %,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, Άθως % 3% 5% 8% % Σαντορίνη Σημαντικό ύψος Άθως 4 Σαντορίνη Πύλος 6 8 Σκύρος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος μέση τιμή,68,66987,95,658 διάμεσος,9375,836,9375,788 Περίοδος μέση τιμή 5,554 5,434 6,4656 5,7 διάμεσος 5,986 5,4587 5, , % % 7% 3% 9% 4% % Πύλος % 6 7% 3% 4 9% 4% %,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 Σκύρος

56 Διευθυνση Ανέμου ,3% 5,6% ,5% 6 5,8% ARMA[3,5] 9 6 4,3% 5,% ,% 5 5,% % 35 33% 7 34% 4 35% 4 Σημαντικό Ύψος 3% 9% 6% % Σημαντικό Ύψος 8% % 4% 9% 4% 9% % 4% 9% 5% % % 5% % 5% % Περίοδος 4% % -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 55% 47% 39% 3% 4% 6% Περίοδος 8% Var Άθως % % 38% 33% 8% 4% 9% 4% 9% 5% -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5, Var Σαντορίνη ,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, % % % % Άθως Σημαντικό ύψος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος 5% % 34% 9% 4% 9% 5% % Var % % 35% 3% 5% % 5% % -,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, μέση τιμή,635785,37989,53369, διάμεσος,4855,5,465,48438 Περίοδος μέση τιμή 6,753 5, , ,39797 διάμεσος 5, ,999 7,35 6, % Πύλος Var7 5% Σκύρος

57 Διευθυνση Ανέμου ,6% 5 7,3% ,6% 5 6,8% ARMA[5,] 9 6 7,4% 5 3 3,7% ,% 5 4,% Σημαντικό ύψος 44% 4% 38% 35% 3% 8% 5% % 9% 6% 3% 9% 6% 3% % Σημαντικό Ύψος ,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5, % 54% 47% 4% 34% 7% % 3% 7% % ,,5,,5,,5 3, 3, % 33% 3% 7% 5% % 9% 6% 4% % 8% 5% 3% %,,,4,6,8,,,4,6,8,,, % 8% 5% 3% % 7% 4% % 8% 6% 3% %,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6, % 4% 38% 35% 8 6 Var % 47% 4% 8 6 Var % % 9% 4 3 Var % 34% 3% 8% Var7 6 4 Περίοδος 3% 8% 4% % 7% Περίοδος % 7% % % 4% % 8 4 5% 3% % 7% 4% % % 7% 3% Άθως 4 3% 7% Σαντορίνη 8% 5% 3% Πύλος 6 4 % 8% 6% 3% Σκύρος % Άθως % Σαντορίνη %,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, 9,5 Πύλος % Σημαντικό ύψος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος μέση τιμή,7974,667,58866, διάμεσος,6866,54885,46875,6543 Περίοδος μέση τιμή 4, , ,8478 4,33759 διάμεσος 4,367 3, ,6875 4,875 Σκύρος 55

58 Διευθυνση Ανέμου ,% 5 3,% ,5% 5,7% ARMA[5,4] 9 5,7% 6 5,8% ,4 6 5,7% % % % % % % 8 39% 8 3% 3 5 8% 5 3% Σημαντικό ύψος Σημαντικό Ύψος 36% 7% 8% 9% % 6% 7% 9% % 6 9% 4 3% 6% 5 5 9% 4% 9% 5% %.5,5,5.5,,5 3,.5 3,5 34,5 5, 3.55,5 46, 4.5 -,5,, 4, Var 65% 7 % 34% ,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Var3 8 % Var5 8% % ,5,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, Var7 8% 55% 8 6 3% 8 7 6% 8 3% 8 5 3% Περίοδος 46% 37% 8% 8% % % 7% 3% 9% % 6 8% 5% 4 3% % 8% % 4% 9% % % Άθως Άθως 4% % Σαντορίνη Σαντορίνη 5% 3% % Πύλος Πύλος 4 5% % Σημαντικό ύψος Άθως Σαντορίνη Πύλος Σκύρος μέση τιμή,3334,983,5834,66 διάμεσος,8485,8789,383,788 Περίοδος μέση τιμή 5,67 5, , ,6387 διάμεσος 4,97 5,697 7,35 5, Σκύρος Σκύρος 56

59 9 6,4% 6 5 8,% Διεύθυνση Ανέμου 9,8% 6 5 6,4% ,6% 6 5 4,3% ARMA[,4] ARMA[,5] ARMA[3,4] 9 6 3,8% 5,9% ,6% 5 8,8% ,6% 5,8% Κατεύθυνση κυμάτων ARMA[3,5] ARMA[5,] ARMA[5,4] 57

60 Συμπεράσματα προτάσεις Ανακεφαλαιώνοντας, αξίζει να αναφερθεί ότι το επικρατέστερο υπόδειγμα στο δείγμα που μελετήθηκε ήταν το ARMA(,5). Σε σύνολο 5.85 καταγραφών της ανύψωσης ένα ποσοστό 5.39% υπέδειξε ως καταλληλότερο υπόδειγμα το ARMA(, 5) για την περιγραφή της διαδικασίας που παράγει αυτές τις τιμές. Μικρότερη συχνότητα εμφάνισης έχει το ARMA(,4) με ποσοστό,4%. Με την ανάλυση των αποτελεσμάτων, φαίνεται να υπάρχει μια τάση των υποδειγμάτων να προσαρμόζονται επαρκώς σε χρονοσειρές που έχουν στατιστικά χαρακτηριστικά πολύ κοντινά σε αυτά του δείγματος. Μάλιστα το ARMA(,5) έδειχνε να είναι καταλληλότερο για χρονοσειρές που η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του σημαντικού ύψους και της περιόδου, ήταν λίγο μεγαλύτερες από αυτές του δείγματος αλλά όχι ακραίες σε σχέση με αυτό. Ενώ το ARMA(,4) περιγράφει επαρκώς χρονοσειρές που η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των φασματικών παραμέτρων είναι χαμηλότερες από αυτές τους δείγματος αλλά και πάλι χωρίς να είναι ακραίες. Παρόμοια συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν και από την ανάλυση των υπόλοιπων υποδειγμάτων. Το ARMA(3,5) προσαρμόζεται καλυτέρα σε χρονοσειρές με υψηλή μέση τιμή του σημαντικού ύψους και της περιόδου, ενώ το ARMA(5,) ταυτίζεται με τις χαμηλότερες τιμές. Ενώ φαίνεται επίσης να υπάρχουν και υποδείγματα που δείχνουν μια προτίμηση σε μια μέση κατάσταση ARMA(3,4) αλλά και σε κάποιες ακραίες τιμές. Η τυπική απόκλιση των φασματικών παραμέτρων ακολουθεί τη συμπεριφορά των υποδειγμάτων στη μέση τιμή. Κάθε υπόδειγμα που δεν είχε μεγάλη διαφορά στη μέση τιμή από αυτή του δείγματος εξακολουθεί να παρουσιάζει μικρές αποκλίσεις ενώ τα υποδείγματα που εμφάνιζαν υψηλές τιμές συνοδεύονται και με μεγάλες αποκλίσεις. Όσο αφορά την κατανομή σχετικών συχνοτήτων αυτών των παραμέτρων, φαίνεται ότι το ARMA(,4) εμφανίζει όλες τις τιμές γύρω από την επικρατούσα τιμή χωρίς να περιλαμβάνει μεγάλο εύρος τιμών. Αντίθετα όσο μεγαλώνει η τάξη του υποδείγματος τόσο περισσότερο απλώνονται οι παρατηρήσεις γύρω από την επικρατούσα τιμή αλλά περιλαμβάνουν υψηλότερες τιμές. Σχετικά με τη κατεύθυνση των κυματισμών δεν υπάρχει κάτι αξιοσημείωτο. Οι χρονοσειρές της κάθε περιοχής άσχετα με το πιο υπόδειγμα περιγράφονται ικανοποιητικά, διατηρούν σε γενικές γραμμές την ίδια συμπεριφορά, που δεν αποκλίνει σχεδόν καθόλου από αυτή της περιοχής. Η εικόνα παραμένει ασαφής ακόμη και αν γίνει σύγκριση των χρονοσερών διαφορετικών περιοχών που περιγράφονται από το ίδιο υπόδειγμα. Θα μπορούσε λοιπόν να ειπωθεί ότι η επιλογή κατάλληλου υποδείγματος δεν σχετίζεται με τη κατεύθυνση του κύματος, αντίθετως με το ύψος και την περίοδο των κυμάτων φαίνεται να έχει κάποια εξάρτηση. Ακόμη, οι χρονοσειρές του σημαντικού ύψους φαίνεται να έχουν την ίδια συμπεριφορά με αυτή τις περιόδου, ενώ ούτε αυτές σχετίζονται με τη κατεύθυνση των κυματισμών. 58

61 Έχοντας αναλύσει ένα μεγάλο αριθμό χρονοσειρών της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας της θάλασσας, δόθηκε η δυνατότητα να εξεταστούν κάποιες αξιοσημείωτες συμπεριφορές και τάσεις του φαινομένου αλλά και κάποιων παραμέτρων αυτού. Οι πρώτες πληροφορίες που προκύπτουν είναι αρκετά σημαντικές. Δυστυχώς η ερμηνεία τους ξεπερνάει τα πλαίσια της εργασίας. Αφήνεται όμως ως πρόταση για περαιτέρω έρευνα στον αναγνώστη. Η μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί για ακόμη περισσότερες χρονοσειρές, ίσως τότε τα συμπεράσματα να είναι ακόμη πιο ξεκάθαρα. Η μελέτη της ανύψωσης σχετίζεται με την ενέργεια των κυμάτων και επομένως τα αποτελέσματα μπορούν κάλλιστα να συνδεθούν με αυτή. Θα μπορούσε λοιπόν να ακολουθήσει μια διερεύνηση ορισμένων εφαρμογών που σχετίζονται με την υπερπήδηση πλωτών και αγκυρωμένων πλατφορμών ή την ανάβαση κυματισμού στις ακτές (wave run-up) ή/και τη σύγκριση της κλασσικής θεωρίας ακραίων τιμών με την αντίστοιχη θεωρία για τα αναλυτικά μοντέλα που τελικά θα επιλεγούν ως πιο αντιπροσωπευτικά. Η ανάλυση των χρονοσειρών, μπορεί να συνεχιστεί με την εκτίμηση των παραμέτρων φ i,θiπου εμφανίζονται στα προτεινόμενα υποδείγματα, να γίνει έλεγχος των καταλοίπων, στη συνέχεια να γίνουν κάποιες προβλέψεις σύμφωνα με το υπόδειγμα που έχει προταθεί και τέλος να γίνει αξιολόγηση αυτών των προβλέψεων ώστε να υπάρξει βελτίωση αυτού. Από όλες τις απόψεις λοιπόν τα συμπεράσματα αυτής της εργασίας αρκούν για να τροφοδοτήσουν μια διεξοδικότερη έρευνα στο τομέα της μοντελοποιήσης και γενικότερα της ωκεάνιας μηχανικής. 59

62 Παράρτημα Kώδικας και εντολές στο MATLAB %% Απαλοιφή τάσης derend.m b=xlsread('ahos_7c.xlsx',,'t:anc7739'); B=derend(b','consan'); save B %% Προσαρμογή υποδειγμάτων, Διαγνωστικός Έλεγχος fi.m load('b.ma'); W=cell(,765); ic for k=:765; D{k}=B(:,k); ry; LOGL = zeros(5,5); PQ = zeros(5,5); for p = :5; for q = :5; mod = arima(p,,q); (fi,~,logl) = esimae(mod,d{k},'prin',false); LOGL(p,q) = logl; PQ(p,q) = p+q; end; end; LOGL = reshape(logl,5,); PQ = reshape(pq,5,); (~,bic) = aicbic(logl,pq+,4); reshape(bic,5,5); x{k}=ans; min(min(x{k})); (value, index) = min(reshape(x{k}, numel(x{k}), )); (i,j) = indsub(size(x{k}), index); Wfinal{k}=(i,j); save Wfinal{k}; cach error; end; clc; close all end; oc 6

63 %%Eύρεση χρονοσειράς που δεν προσαρμόστηκε επιτυχώς το υπόδειγμα error.m find(cellfun(@(x) isequal(x,(,)),wfinal)); %% Εύρεση συχνότητας εμφάνισης του κάθε υποδείγματος. frequency_pq.m a=cellma(wfinal'); b=unique(a,'rows'); for k=:size(b,); numb(k)=sum(ismember(a,b(k,:),'rows')); end; resul=(b numb'); save 'resul_pq' %% Εύρεση χρονοσειρών που προσαρμόστηκαν επαρκώς τα επικρατέστερα υποδείγματα. idx.m load('wfinal.ma') idx=find(cellfun(@(x) isequal(x,(,4)),wfinal)); idx=find(cellfun(@(x) isequal(x,(,5)),wfinal)); idx3=find(cellfun(@(x) isequal(x,(3,4)),wfinal)); idx4=find(cellfun(@(x) isequal(x,(3,5)),wfinal)); idx5=find(cellfun(@(x) isequal(x,(5,)),wfinal)); idx6=find(cellfun(@(x) isequal(x,(5,4)),wfinal)); %% Εύρεση χαρακτηριστικών στοιχείων για το δείγμα. Sa_sample.m g=xlsread('ahos_7c.xlsx',,'α:anc7739'); Hmo=(g(:,)); Mdir=(g(:,7)); Tp=(g(:,8)); save 'Sa_sample.ma' %% Εύρεση χαρακτηριστικών στοιχείων για τις χρονοσειρές των επικρατέστερων υποδειγμάτων. Sa_6.m for i=:size(idx,); j=idx(i); Hmo4{i}=g(j,); Mdir4{i}=g(j,7); Tp4{i}=g(j,8); end; for i=:size(idx,); j=idx(i); Hmo5{i}=g(j,); 6

64 Mdir5{i}=g(j,7); Tp5{i}=g(j,8); end; for i=:size(idx3,); j=idx3(i); Hmo34{i}=g(j,); Mdir34{i}=g(j,7); Tp34{i}=g(j,8); end; for i=:size(idx4,); j=idx4(i); Hmo35{i}=g(j,); Mdir35{i}=g(j,7); Tp35{i}=g(j,8); end; for i=:size(idx5,); j=idx5(i); Hmo5{i}=g(j,); Mdir5{i}=g(j,7); Tp5{i}=g(j,8); end; for i=:size(idx6,); j=idx6(i); Hmo54{i}=g(j,); Mdir54{i}=g(j,7); Tp54{i}=g(j,8); end; save 'Sa_6.ma' %%Ένωση αρχείων Αhos'Sa_6' Sa_Toal.m fhmo= ca(, Hmo, bhmo, chmo); fhmo4=ca(, Hmo4, bhmo4, chmo4); fhmo5=ca(, Hmo5, bhmo5, chmo5); fhmo34=ca(, Hmo34, bhmo34, chmo34); fhmo35=ca(, Hmo35, bhmo35, chmo35); fhmo5=ca(, Hmo5, bhmo5, chmo5); fhmo54=ca(, Hmo54, bhmo54, chmo54); fmdir=ca(, Mdir, bmdir, cmdir); fmdir4=ca(, Mdir4, bmdir4, cmdir4); fmdir5=ca(, Mdir5, bmdir5, cmdir5); fmdir34=ca(, Mdir34, bmdir34, cmdir34); fmdir35=ca(, Mdir35, bmdir35, cmdir35); fmdir5=ca(, Mdir5, bmdir5, cmdir5); fmdir54=ca(, Mdir54, bmdir54, cmdir54); ftp=ca(, Tp, btp, ctp); ftp4=ca(, Tp4, btp4, ctp4); ftp5=ca(, Tp4, btp5, ctp5); ftp34=ca(, Tp34, btp34, ctp34); ftp35=ca(, Tp35, btp35, ctp35); 6

65 ftp5=ca(, Tp5, btp5, ctp5); ftp54=ca(, Tp54, btp54, ctp54); MHmo=mean(Hmo); MTp=mean(Tp); SHmo=sd(Hmo); STp=sd(Tp); MHmo4=mean(Hmo4); MHmo5=mean(Hmo5); MHmo34=mean(Hmo34); MHmo35=mean(Hmo35); MHmo5=mean(Hmo5); MHmo54=mean(Hmo54); MTp4=mean(Tp4); MTp5=mean(Tp5); MTp34=mean(Tp34); MTp35=mean(Tp35); MTp5=mean(Tp5); MTp54=mean(Tp54); SHmo4=sd(Hmo4); SHmo5=sd(Hmo5); SHmo34=sd(Hmo34); SHmo35=sd(Hmo35); SHmo5=sd(Hmo5); SHmo54=sd(Hmo54); STp4=sd(Tp4); STp5=sd(Tp5); STp34=sd(Tp34); STp35=sd(Tp35); STp5=sd(Tp5); STp54=sd(Tp54); save 'Sa_Toal.ma' %Μηδενισμός missing values ΝaN NaN.m Tp(Tp<)=(); Tp5(Tp5<)=(); Tp4(Tp4<)=(); Tp5(Tp5<)=(); Mdir(Mdir<)=(); Mdir5(Mdir5<)=(); Mdir4(Mdir4<)=(); WMdir5(Mdir5<)=(); save 'Sa_Toal.ma' 63

66 %%Γράφήματα υποδειγμάτων AR_graph.m modsim = arima('consan',.,'ar',{.8},'ma',{},'variance',.); rng('defaul') Y = simulae(modsim,5); figure() subplo(3,,) plo(y) ile('simulaed AR()Series') subplo(3,,) auocorr(y) subplo(3,,3) parcorr(y) AR_graph.m modsim = arima('consan',.,'ar',{.8, -.},'MA',{},'Variance',.); rng('defaul') Y = simulae(modsim,5); figure() subplo(3,,) plo(y) ile('simulaed AR()Series') subplo(3,,) auocorr(y) subplo(3,,3) parcorr(y) MA_graph.m modsim = arima('consan',.,'ar',{},'ma',{.7},'variance',.); rng('defaul') Y = simulae(modsim,5); figure() subplo(3,,) plo(y) ile('simulaed MA()Series') subplo(3,,) auocorr(y) subplo(3,,3) parcorr(y) MA_graph.m modsim = arima('consan',.,'ar',{},'ma',{.7, -.3},'Variance',.); rng('defaul') Y = simulae(modsim,5); figure() subplo(3,,) plo(y) ile('simulaed MA()Series') subplo(3,,) auocorr(y) 64

67 subplo(3,,3) parcorr(y) ARMA_graph.m modsim = arima('consan',.,'ar',{.8},'ma',{.7},'variance',.); rng('defaul') Y = simulae(modsim,5); figure() subplo(3,,) plo(y) ile('simulaed ARMA(,)Series') subplo(3,,) auocorr(y) subplo(3,,3) parcorr(y) %%Γραφήματα φασματικών παραμέτρων %%Γράφημα Μέσης Τιμής & Τυπικής Απόκλισης Σημαντικού Υψους MHmoSHmo_graph.m figure() subplo(,,); bar(mhmo(:,)); ylabel('sample');ile('μέση Τιμή Σημαντικού Ύψους'); subplo(,,); bar(shmo(:,));ile('τυπική Απόκλιση Σημαντικού Ύψους'); figure() subplo(3,4,); bar(mhmo(:,)); ylabel('arma(,4)'); subplo(3,4,); bar(mhmo(:,3)); ylabel('arma(,5)'); subplo(3,4,3); bar(shmo(:,)); ylabel('arma(,4)'); subplo(3,4,4); bar(shmo(:,3)); ylabel('arma(,5)'); subplo(3,4,5); bar(mhmo(:,4)); ylabel('arma(3,4)'); subplo(3,4,6); bar(mhmo(:,5)); ylabel('arma(3,5)'); subplo(3,4,7); bar(shmo(:,4)); ylabel('arma(3,4)'); subplo(3,4,8); bar(shmo(:,5)); ylabel('arma(3,5)'); 65

68 subplo(3,4,9); bar(mhmo(:,6)); ylabel('arma(5,)'); subplo(3,4,); bar(mhmo(:,7)); ylabel('arma(5,4)'); subplo(3,4,); bar(shmo(:,6)); ylabel('arma(5,)'); subplo(3,4,); bar(shmo(:,7)); ylabel('arma(5,4)'); %% Γράφημα Μέσης Τιμής & Τυπικής Απόκλισης Περιόδου MTpSTp_graph.m figure() subplo(,,); bar(mtp(:,)); ylabel('sample');ile('μέση Τιμή Περιόδου'); subplo(,,); bar(stp(:,));ile('τυπική Απόκλιση Περιόδου'); figure() subplo(3,4,); bar(mtp(:,)); ylabel('arma(,4)'); subplo(3,4,); bar(mtp(:,3)); ylabel('arma(,5)'); subplo(3,4,3); bar(stp(:,)); ylabel('arma(,4)'); subplo(3,4,4); bar(stp(:,3)); ylabel('arma(,5)'); subplo(3,4,5); bar(mtp(:,4)); ylabel('arma(3,4)'); subplo(3,4,6); bar(mtp(:,5)); ylabel('arma(3,5)'); subplo(3,4,7); bar(stp(:,4)); ylabel('arma(3,4)'); subplo(3,4,8); bar(stp(:,5)); ylabel('arma(3,5)'); subplo(3,4,9); bar(mtp(:,6)); ylabel('arma(5,)'); subplo(3,4,); 66

69 bar(mtp(:,7)); ylabel('arma(5,4)'); subplo(3,4,); bar(stp(:,6)); ylabel('arma(5,)'); subplo(3,4,); bar(stp(:,7)); ylabel('arma(5,4)'); %%Μετατροπή των κατευθύνσεων σε rad rad.m amdir = amdir * pi/8; amdir4 = amdir4 * pi/8; amdir5 = amdir5 * pi/8; amdir34 = amdir34 * pi/8; amdir35 = amdir35 * pi/8; amdir5 = amdir5 * pi/8; amdir54 = amdir54 * pi/8; %%Διάγραμμα Κατεύθυνσης ανα περιοχή Mdir_graph.m figure() subplo(,3,); rose(amdir4); ylabel('arma[,4]');ile('άθως') subplo(,3,); rose(amdir5); ylabel('arma[,5]') subplo(,3,3); rose(amdir34); ylabel('arma[3,4]') subplo(,3,4); rose(amdir35); ylabel('arma[3,5]') subplo(,3,5); rose(amdir5) ylabel('arma[5,]') subplo(,3,6); rose(amdir54) ylabel('arma[5,4]') figure() subplo(,3,); rose(bmdir4); ylabel('arma[,4]');ile('σαντορίνη') subplo(,3,); rose(bmdir5); ylabel('arma[,5]') subplo(,3,3); rose(bmdir34); 67

70 ylabel('arma[3,4]') subplo(,3,4); rose(bmdir35); ylabel('arma[3,5]') subplo(,3,5); rose(bmdir5) ylabel('arma[5,]') subplo(,3,6); rose(bmdir54) ylabel('arma[5,4]') figure(3) subplo(,3,); rose(cmdir4); ylabel('arma[,4]');ile('πύλος') subplo(,3,); rose(cmdir5); ylabel('arma[,5]') subplo(,3,3); rose(cmdir34); ylabel('arma[3,4]') subplo(,3,4); rose(cmdir35); ylabel('arma[3,5]') subplo(,3,5); rose(cmdir5) ylabel('arma[5,]') subplo(,3,6); rose(cmdir54) ylabel('arma[5,4]') figure(4) subplo(,3,); rose(dmdir4); ylabel('arma[,4]');ile('σκύρος') subplo(,3,); rose(dmdir5); ylabel('arma[,5]') subplo(,3,3); rose(dmdir34); ylabel('arma[3,4]') subplo(,3,4); rose(dmdir35); ylabel('arma[3,5]') subplo(,3,5); rose(dmdir5) ylabel('arma[5,]') subplo(,3,6); rose(dmdir54) ylabel('arma[5,4]') figure(5) rose(amdir) ile('κατεύθυνση Κύματος Άθως') 68

71 figure(6) rose(bmdir) ile('κατεύθυνση Κύματος Σαντορίνης') figure(7) rose(cmdir) ile('κατεύθυνση Κύματος Πύλου') figure(8) rose(dmdir) ile('κατεύθυνση Κύματος Σκύρου') %%Διάγραμμα Κατεύθυνσης Σημαντικού Ύψους και Περιόδου %%Συμμετρία κατανομής σχετικών συχνοτήτων skewness.m k=kurosis(afhmo34) s=skewness(afhmo34) k=kurosis(bfhmo34) s=skewness(bfhmo34) k3=kurosis(chmo34) s3=skewness(chmo34) k4=kurosis(dhmo34) s4=skewness(dhmo34) k5=kurosis(aftp34) s5=skewness(aftp34) k6=kurosis(bftp34) s6=skewness(bftp34) k7=kurosis(ctp34) s7=skewness(ctp34) k8=kurosis(dtp34) s8=skewness(dtp34) %%Παρακάτω παρουσιάζεται η διαδικασία fi.m για την προσαρμογή και τον έλεγχο καταλληλόλητας ενός υποδείγματος ARMA(,5), όπως εκτελείται από το MATLAB. mod = ARIMA(,,5) Model: Disribuion: Name = 'Gaussian' P: D: Q: 5 Consan: NaN AR: {NaN NaN} a Lags ( ) SAR: {} MA: {NaN NaN NaN NaN NaN} a Lags ( 3 4 5) SMA: {} Variance: NaN Diagnosic Informaion Number of variables: 9 69

72 Funcions pecifiedy,userspecifiede,userspecifiedv) Gradien: finie-differencing Hessian: finie-differencing (or Quasi-Newon) Nonlinear Nonlinear consrains gradien: finie-differencing Consrains Number of nonlinear inequaliy consrains: Number of nonlinear equaliy consrains: Number of linear inequaliy consrains: Number of linear equaliy consrains: Number of lower bound consrains: 9 Number of upper bound consrains: 9 Algorihm seleced sequenial quadraic programming End diagnosic informaion Ier F-coun f(x) Feasibiliy Seplengh sep opimaliy e+.e+ 7.3e e+.e+.76e- 5.43e-.8e e+.e+ 6.78e-3 8.5e-.89e e+.e e-.6e-.9e e+.e+ 4.35e-.665e- 5.35e e+.e+.4e- 6.59e e e+.e+.977e- 4.88e-.54e e+.e+.76e-.64e e e+.e+.977e- 9.69e-.77e e+.e+ 8.35e- 3.69e- 5.89e e+.e+.68e- 3.36e- 6.99e e+.e+.68e- 3.8e- 3.3e e+.e e-.9e- 7.46e e+.e e- 9.89e e e+.e+.68e e- 9.8e e+.e+.384e- 4.4e- 3.e e+.e+ 4.9e- 7.5e- 5.77e e+.e+.4e- 4.95e-.37e e+.e+ 7.e-.5e-.64e e+.e e-.9e-.53e e+.e e-.694e-.344e e+.e+.e+.65e e e+.e+.e+.5e- 4.56e e+.e+.e+ 5.53e e e+.e+.e+.39e-.97e e+.e+.e+ 7.89e-3.95e e+.e+.e+.49e-3.4e e+.e+.e+ 3.5e e e+.e+.e+.97e e e+.e+.e+ 9.89e-4 3.5e+ Norm of Firs-order 7

73 e+.e+.e+ 5.37e-4.43e+ Norm of Firs-order Ier F-coun f(x) Feasibiliy Seplengh sep opimaliy e+.e+.e e-4.7e e+.e+.e+ 5.5e-4.35e e+.e+.e+ 3.36e e e+.e+.e+.58e e e+.e+.e e e e+.e+.e+.596e e e+.e+.e+.984e-6 6.6e e+.e+ 7.e-.53e-7 6.6e-3 Local minimum possible. Consrains saisfied. fmincon sopped because he size of he curren sep is less han he defaul value of he sep size olerance and consrains are saisfied o wihin he seleced value of he consrain olerance. <sopping crieria deails> fi = ARIMA(,,5) Model: Disribuion: Name = 'Gaussian' P: D: Q: 5 Consan: AR: { } a Lags ( ) SAR: {} MA: { } a Lags ( 3 4 5) SMA: {} Variance:.53 logl = e+ LOGL = Columns hrough e e e e e e e e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+ Column e e+.e+.e+.e+ PQ = Columns hrough 4.e+ 3.e+ 4.e+ 5.e+ 7

74 e+ 4.e+ 5.e+ 6.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+.e+ Column 5 6.e+ 7.e+.e+.e+.e+ 7

75 Βιβλιογραφικές Παραπομπές Sobey, R. J. (996) Correlaion beween individual waves in a real sea sae. Elsevier, Coasal engineering Vol. 7 pp.3-4. Ozger, M. () Scalling characerisics of ocean wave heigh ime series, Elsevier, Physica Vol. 39 pp Guedes Soares, C., Ferreira, A. M. (996) Represenaion of non- saionary ime series of significan wave heigh wih auoregressive models. Elsevier, Probabislisic Engineering Mechanis Vol., pp Safanakos, Ch. N., Ahanassoulis, G. A. () A unified mehodology for he analysis, compleion and simulaion of nonsaionary ime series wih missing values, wih applicaion o wave daa. Elsevier, Applied Ocean Research Vol. 3, pp.7-. Ho, P-C., Yim, J.Z (5) A sudy of he daa ransferabiliy beween wo wave measuring saions. Elsevier Coasal Engineering Vol. 5 pp Li, Y., Kareem, A. (993) Paramaric modelling of sochasicwave affecs in offshore plaforms. Elsevier Applied Ocean Research Vol. 5 pp Spanos, P. D. (983) ARMA Algorihms for Ocean Wave Modeling, ASME Jour. Energy Resources Tech., Vol 5, pp Makridakis, S., Wheelwrigh, S. C. and Hyndman, R. J. (998) Forecasing: Mehods and Applicaions, 3rd edn. New York: Wiley. Box, G. E. P., Jenkins, G. M. and Reinsel, G. C. (994) Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, 3rd edn. Englewood Cliffs, NJ: Prenice-Hall. Box, G. E. P. and Pierce, D. A. (97). Disribuion of residual auocorrelaions in auoregressive inegraed moving average ime series models, J. Amer. Sais. Assoc, 65, Brockwell, P. J., Davis, R. A., Richard A. Davis() Inroducing o Time Series and Forecasing, nd edn, U.S.A.: Springer Hamilon, J. D. (994) Time Series Analysis, Princeon Universiy Press. Wei, W. W. S. (99) Time Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods. Redwood Ciy, CA: Addison-Wesley. Shumway, R. H., Soffer, D. S. () Time Series Analysis and is Applicaions, Wih R Examples, 3 rd edn. New York: Springer. Chafield, C. () Time-Series Forecasing, U.S.A.: Chapman & Hall/CRC Αθανασούλης, Γ. Α. (3) Πράξεις και Μετασχηματισμοί Τυχαίων μεταβλητών Ανεμογενείς Θαλάσσιοι Κυματισμοί. Αθήνα : Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Τμήμα Ναυπηγων Μηχ/γων Μηχανικών Χρήστου, Γ. Κ. () Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Αθήνα: Guenberg Κουγιουμτζής, Δ. Ανάλυση Χρονοσειρών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Σουκισιάν, Τ., Χατζηνάκη, Μ., Κορρές, Γ., Παπαδόπουλος, Α., Κάλλος, Γ., Ανδρανιστάκης, Ε., (7) Άτλας Ανέμου και Κύματος των Ελληνικών Θαλασσών. Εκδ. Ελληνικό Κέντρο Θαλασσίων Ερευνών. 73

76 Μπόρα - Σέντα, Ε., Μωυσιάδης, Χ., (997) Εφαρμοσμένη Στατιστική, η εκδ., Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Μπόρα Σέντα, Ε., Κολύβα Μαχαίρα, Φ. (999) Στατιστική, Θεσσαλονίκη: Ζήτη. Κιουστελίδης, Ι. Β. () Ο Μηχανισμός της Νόησης. Εξελικτικές πλευρές της σκέψης και της φύσης των εννοιών. Αθήνα: Παπασωτηρίου. Σουκισιάν, Τ. Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων hp://hcmrseminars.ah.hcmr.gr/presenaions/general%inro_soukissian.p df. 74

77

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 4.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών

Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τίτλος Εργασίας: Η χρήση της μεθοδολογίας Box Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών Φοιτητής: Μαρκόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0 Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) ~ WN(, ) i i i E[ ] είναι στάσιμη? i () Θεωρούμε μ= i i i Χρονοσειρές Μάθημα 3 i Θεωρώντας τον τελεστή υστέρησης: ( B) ( B) ib

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ SARIMA (sp,sd,qs) ARIMA (p,d,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3

Χρονοσειρές Μάθημα 3 Χρονοσειρές Μάθημα 3 Ασυσχέτιστες (λευκός θόρυβος) και ανεξάρτητες (iid) παρατηρήσεις Chafield C., The Analysis of Time Series, An Inroducion, 6 h ediion,. 38 (Chaer 3): Some auhors refer o make he weaker

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA ΚΑΙ SARIMA, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX-JENKINS 5. Η γενική μορφή στάσιμης γραμμικής στοχαστικής διαδικασίας διακριτού χρόνου 5. Υποδείγματα ARIMA

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR(p) p p ~ WN(, ) στοχαστική διαδικασία MA(q) q q στοχαστική διαδικασία ARMA(p,q) p p q q Εκτίμηση διαδικασίας (μοντέλο) AR, MA ή ARMA?

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model)

Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) ΜΑΘΗΜΑ 4 ο 1 Παραβίασητωνβασικώνυποθέσεωντηςπαλινδρόμησης (Violation of the assumptions of the classical linear regression model) Αυτοσυσχέτιση (Serial Correlation) Lagrange multiplier test of residual

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ- ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα

Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα Οικονομικές εφαρμοές υπολοιστικών πακέτων Στοχαστικά υποδείματα Στοχαστική διαδικασία Στοχαστικά υποδείματα: κάθε χρονολοική σειρά δημιουρείται μέσα από ένα μηχανισμό παραωής δεδομένων που αποτελεί μια

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Χρονοσειρών. Κεφάλαιο Ανάλυση Χρονοσειρών

Ανάλυση Χρονοσειρών. Κεφάλαιο Ανάλυση Χρονοσειρών Κεφάλαιο 22 Ανάλυση Χρονοσειρών 22.1 Ανάλυση Χρονοσειρών Με τον όρο Χρονοσειρά εννοούµε µια σειρά από παρατηρήσεις που παίρνονται σε ορισµένες χρονικές στιγµές ή περιόδους που ισαπέχουν µεταξύ τους. Υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

AΝΕΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ

AΝΕΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΝΕΜΟΓΕΝΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΕΝΕΣΗ ΑΝΕΜΟΓΕΝΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ: Μεταφορά ενέργειας από τα κινούμενα κατώτερα ατμοσφαιρικά στρώματα στις επιφανειακές θαλάσσιες μάζες. η ενέργεια αρχικά περνά από την ατμόσφαιρα στην

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 7. Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών

Χρονοσειρές - Μάθημα 7. Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Χρονοσειρές - Μάθημα 7 Μη-γραμμική ανάλυση χρονοσειρών Γραμμική ανάλυση / Γραμμικά μοντέλα αυτοσυσχέτιση AR μοντέλο ARMA(p,q) μοντέλο x x px p z z z q q Πλεονεκτήματα:. Απλά 2. Κανονική διαδικασία, ανεπτυγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ &ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ TECHNOLOGICAL EDUCATION INST ITUTE OF PATRAS DEPARTMENT: BUSINESS PLANNING & INFORMATION SYSTEMS ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR() X X X X Z Z ~ WN(, Z) στοχαστική διαδικασία MA(q) X Z Z Z Z q q στοχαστική διαδικασία ARMA(,q) X X X X Z Z Z Z q q Εκτίμηση διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα