Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Τμήμα Επιστημών της Θάλασσας. Ανάλυση χρονοσειρών και πρόβλεψη εκφορτώσεων μικρών πελαγικών ειδών στο Βόρειο Αιγαίο.

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Επιστημών της Θάλασσας Ανάλυση χρονοσειρών και πρόβλεψη εκφορτώσεων μικρών πελαγικών ειδών στο Βόρειο Αιγαίο. Πτυχιακή Εργασία Υπεύθυνος Καθηγητής: Δρ Σ. Γεωργακαράκος Κοκκάλης Αλέξανδρος

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 2 ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΡΙΚΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΟΜΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΒΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΗΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΚΕΝΩΝ ΚΑΤΑΓΡΑΦΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΜΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ SEASONAL ARIMA ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ 23 3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ (ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΟΜΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ) ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΈΛΕΓΧΟΣ ΟΜΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΕΝΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΕΚΦΟΡΤΩΣΕΩΝ ΣΚΟΥΜΠΡΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΕΚΦΟΡΤΩΣΕΩΝ ΣΚΟΥΜΠΡΙΟΥ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΕΚΦΟΡΤΩΣΕΩΝ ΓΑΥΡΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ ΕΚΦΟΡΤΩΣΕΩΝ ΣΚΟΥΜΠΡΙΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ 54 2

3 3.6 ΤΕΛΙΚΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΕΠΟΧΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ARIMA ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ACF ΚΑΙ PACF _ Θεσσαλονίκη Καβάλα Αλεξανδρούπολη ΕΠΟΧΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ARIMA Θεσσαλονίκη Καβάλα Αλεξανδρούπολη ΔΟΚΙΜΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ACF ΚΑΙ PACF ΤΩΝ ΥΠΟΛΕΙΜΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Θεσσαλονίκη Καβάλα Αλεξανδρούπολη ΔΙΑΓΝΩΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΕΛΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Θεσσαλονίκη Καβάλα Αλεξανδρούπολη 94 4 ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΗΓΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΚΕΝΩΝ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΩΝ ΜΗΝΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΙΚΟΝΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ 112 3

4 4

5 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πρόβλεψη παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στις διαδικασίες της αλιευτικής διαχείρισης. Σύμφωνα με τους Makridakis et al. (1983,1996), οι ενέργειες για την επίτευξη των στόχων που βάζουν οι υπεύθυνοι για τη χάραξη πολιτικής εξαρτώνται από τα αποτελέσματα της πρόβλεψης ανεξέλεγκτων παραγόντων, που μπορούν να επηρεάσουν τη πορεία της χρονοσειράς. Στην περίπτωση της αλιευτικής διαχείρισης τέτοιοι παράγοντες μπορεί να είναι μεταβολές στο κλίμα ή την αλιευτική προσπάθεια. Οι διαδικασίες που οδηγούν στην πρόβλεψη προϋποθέτουν την ύπαρξη χρονοσειρών του παρελθόντος και την αναγνώριση προτύπων σε αυτές. Κάνοντας την παραδοχή ότι κάποια από τα πρότυπα αυτά θα εξακολουθήσουν και στο μέλλον γίνονται οι προβλέψεις (Stergiou et al 1997). Οι προβλέψεις δεν μπορεί να είναι ακριβείς αφού δεν έχουμε ντετερμινιστικές χρονοσειρές, αλλά στοχαστικές. Οι μελλοντικές τιμές έχουν μερική μόνο εξάρτηση από της παλαιές τιμές, δηλαδή θα έχουν μια κατανομή πιθανοτήτων που θα προέρχεται από τη γνώση των παλαιών τιμών (Chatfield 1995). Για τα είδη που θα μας απασχολήσουν, τα οποία είναι, στην Ελλάδα, τα πιο εμπορικά μικρά πελαγικά, υπάρχουν δεδομένα των τελευταίων δεκαετιών. Συγκεκριμένα στην παρούσα εργασία θα γίνει προσπάθεια ανάλυσης χρονοσειρών εκφορτώσεων τεσσάρων μικρών πελαγικών ψαριών. Τα είδη που εξετάστηκαν είναι το Engraulis encrasicolus (Linnaeus 1758), γαύρος (Anchovy), το Scomber scombrus (Linnaeus 1758), σκουμπρί (Atlantic mackerel), το Sardina pilchardus (Walbaum 1792), σαρδέλα (European pilchard) και το Trachurus mediterraneus (Steindachner 1863), ασπροσαύριδο (Mediterranean horse mackerel). Τα μικρά πελαγικά ψάρια εκτός από το εμπορικό τους ενδιαφέρον, έχουν και έντονο οικολογικό ενδιαφέρον, αφού αποτελούν σημαντικό κρίκο στην τροφική αλυσίδα (Rice 1995) και πιέσεις από την αλίευση ή περιβαλλοντικούς παράγοντες μπορεί να επηρεάσουν όλο το οικοσύστημα (Daskalov 2007). Σύμφωνα με στοιχεία της Εθνικής Στατιστικής Υπηρεσίας της Ελλάδος (Ε.Σ.Υ.Ε) το 75% των εκφορτώσεων των παραπάνω ειδών πραγματοποιείται στη Βόρεια Ελλάδα. Για αυτό το λόγο επιλέχτηκαν οι μηνιαίες χρονοσειρές εκφορτώσεων στα τρία μεγαλύτερα λιμάνια της Βόρειας Ελλάδας, αυτά της Θεσσαλονίκης, της Καβάλας και της Αλεξανδρούπολης. Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η ανάλυση των χρονοσειρών μηνιαίων εκφορτώσεων των παραπάνω ειδών για τα έτη που υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα, για την α- νάπτυξη και την εφαρμογή γραμμικών υποδειγμάτων εποχικού διαφοροποιημένου μικτού αυτοπαλινδρομικού και κινητού μέσου (Seasonal Auto Regression Integrated Moving Average, SARIMA). Η μεθοδολογία αυτή αναπτύχθηκε από τους Box & Jenkins (1976) και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται με επιτυχία σε πληθώρα εφαρμογών, από οικονομετρικά μέχρι οικολογικά μοντέλα. Η μεθοδολογία αυτή έχει εφαρμοστεί στο παρελθόν τόσο για εκφορτώσεις πελαγικών ειδών στην Ελλάδα (πχ Stergiou et al. 1990, 1997, Georgakarakos et al. 2006, Koutroumanidis et al. 2006) όσο και παγκοσμίως (πχ Park 1998, Gutierrez-Estrada 2007). Τα είδη αυτά αλιεύονται κατά τους μήνες Μάρτιο έως Νοέμβριο με αλιευτικό εργαλείο το γρι-γρι, ενώ τους μήνες Δεκέμβριο έως Φεβρουάριο αποτελούν παρααλίευμα για τη μηχανότρατα και οι ποσότητες που εκφορτώνονται είναι ελάχιστες. Λόγω του ότι η αλιευτική προσπάθεια τους τρεις αυτούς μήνες δεν στοχεύει στα πελαγικά είδη, καθώς επίσης οι τιμές εκφόρτωσης των τριών αυτών μηνών δεν μπορούν να θεωρηθούν ούτε κενές ούτε μηδενικές (αφού δεν υπάρχει αλιεία 5

6 γρι-γρί), πρέπει αν το μοντέλο που θα αναπτύξουμε αφορά την αλιεία του γρι-γρί να χρησιμοποιηθεί μια περισσότερο κατάλληλη μέθοδος ανάλυσης χρονοσειρών για τη συγκεκριμένη περίπτωση. Θα γίνει μια προσπάθεια κατασκευής μοντέλων με αφαιρεμένους τους τρεις αυτούς μήνες εντελώς, έχοντας δηλαδή έτος διάρκειας εννέα μηνών και αντίστοιχη εποχικότητα. Το βασικό ερώτημα που προσπαθεί να απαντήσει η εργασία αυτή είναι το κατά πόσο μπορεί να γίνει επιτυχημένη ανάλυση και πρόβλεψη τέτοιων χρονοσειρών. Μια άλλη προσέγγιση θα ήταν η χρήση χρονοσειρών με έτη δώδεκα μηνών, με τιμή μηδέν στις θέσεις των μηνών εκτός αλιευτικής περιόδου. Αναλυτικά στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στις βασικές έννοιες της ανάλυσης χρονοσειρών ειδικά στα μοντέλα ARIMA. Επίσης θα επεξηγηθεί πλήρως η διαδικασία που ακολουθήθηκε για την προεπεξεργασία των δεδομένων και την συμπλήρωση των κενών καταγραφών, καθώς και της μοντελοποίησης και εφαρμογής των μοντέλων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται πλήρης καταγραφή των αποτελεσμάτων της παραπάνω μεθοδολογίας, με εκτεταμένη χρήση διαγραμμάτων και πινάκων. Στο τελευταίο κεφάλαιο θα γίνει μια συζήτηση σε σχέση με τα αποτελέσματα, καθώς και τα προβλήματα που προέκυψαν και πιθανούς τρόπους αντιμετώπισής τους. Θα γίνει επίσης και ο απολογισμός της επιτυχίας των μοντέλων και μια προσπάθεια σύγκρισής τους με τα αποτελέσματα άλλων εργασιών με μοντέλα σε παρόμοια δεδομένα, αλλά χωρίς την αφαίρεση των τριών μηνών του χειμώνα. 6

7 2 ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ Σκοπός της εργασίας είναι να αναλυθούν δώδεκα χρονοσειρές εκφορτώσεων (τεσσάρων μικρών πελαγικών ειδών σε τρία λιμάνια) και να βρεθούν τα μοντέλα που προσαρμόζονται καλύτερα σε αυτές, χρησιμοποιώντας ως κριτήριο επιλογής, αν παράγουν καλές προβλέψεις σε μια περίοδο δοκιμής. Στο πρώτο κεφάλαιο θα γίνει μια εισαγωγή στις έννοιες των χρονοσειρών και των μοντέλων ARIMA. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα επεξηγηθούν όλες οι διαδικασίες που είναι απαραίτητες για την προετοιμασία των δεδομένων. Αυτές περιλαμβάνουν την αποτίμηση της ποιότητας των δεδομένων, τη συμπλήρωση των κενών όπου αυτά υπάρχουν, την εύρεση της εποχικότητας και την επίτευξη στασιμότητας και κανονικότητας των χρονοσειρών. Στο τρίτο κεφάλαιο θα γίνει αναλυτική περιγραφή της ανάπτυξης των μοντέλων και της διαδικασίας πρόβλεψης. Τα μοντέλα που θα κατασκευαστούν είναι στοχαστικά μαθηματικά μοντέλα, δηλαδή δεν περιλαμβάνουν βιολογικές και φυσικές παραμέτρους που επηρεάζουν το σύστημα, αλλά θεωρούν ότι μόνο μαθηματικές παράμετροι επηρεάζουν τις χρονοσειρές. Φυσικά είναι α- δύνατο να συμπεριληφθούν όλοι οι φυσικοί παράγοντες που επηρεάζουν το σύστημα, αφού δεν είναι γνωστοί ή καταγράψιμοι, για να αναπτυχθούν ντετερμινιστικά μοντέλα. Φυσικά το σύστημα επηρεάζεται και από σημαντικούς μη-ντετερμινιστικούς παράγοντες, όπως ο καιρός και τα τυχαία γεγονότα, καθιστώντας δυνατό ένα στοχαστικό μοντέλο να περιγράψει την πιθανή συμπεριφορά του στο μέλλον. 2.1 Βασικές έννοιες χρονοσειρών Ως χρονοσειρά ορίζεται το σύνολο των διαδοχικών παρατηρήσεων x t μιας μεταβλητής Χ, κάθε μία από τις οποίες λαμβάνεται σε κάποια χρονική στιγμή t (Κουγιουμτζής, 2006). Θα ασχοληθούμε με διακριτές χρονοσειρές, δηλαδή χρονοσειρές των οποίων οι παρατηρήσεις είναι μετρημένες σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές και μάλιστα (σχεδόν) ισαπέχουσες μεταξύ τους (έτη, μήνες, λεπτά). Στην περίπτωσή μας έχουμε ως μεταβλητές τις εκφορτώσεις ψαριών σε κιλά, μετρημένες ανά μήνα για την περίοδο Ιανουάριος 1984 Δεκέμβριος Κάθε παρατήρηση προέρχεται από άθροιση των ημερησίων εκφορτώσεων για τον κάθε μήνα Περιγραφικά στατιστικά και γραφήματα Πριν γίνει οποιαδήποτε ενέργεια για την ανάλυση της χρονοσειράς πρέπει να γίνουν απόλυτα κατανοητά τα χαρακτηριστικά της με τη βοήθεια της περιγραφικής στατιστικής. Κύριο εργαλείο είναι τα γραφήματα των παρατηρήσεων προς το χρόνο. Αυτά δίνουν με μια ματιά μία γενική εικόνα της τάσης, της περιοδικότητας και των κενών καταγραφών των δεδομένων. Προσοχή πρέπει να δοθεί στην κατασκευή του γραφήματος ώ- στε να φαίνονται τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς. Απλά και μόνο από το γράφημα μπορεί να διαγνωστεί η ανάγκη μετασχηματισμού των δεδομένων για την επίτευξη στασιμότητας. Δίνουν μια εικόνα για την ύπαρξη τάσης και εποχικότητας, αλλά και ακραίων τιμών και κενών καταγραφών. 7

8 Τα περιγραφικά μέτρα (descriptive statistics) μιας χρονοσειράς, ή αλλιώς οι ροπές της χρονοσειράς αποτελούν έναν απλό τρόπο οργάνωσης και περίληψης των παρατηρήσεων και χωρίζονται σε περιγραφικά μέτρα θέσης και διασποράς (ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης). Τα περιγραφικά μέτρα θέσης δίνουν μια άποψη για το πώς κατανέμονται τα δεδομένα πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, σε ποια σημεία συγκεντρώνονται και ποιες είναι οι κεντρικές τιμές τους. Συγκεκριμένα τα σημαντικότερα περιγραφικά μέτρα θέσης είναι: Ο αριθμητικός μέσος ή μέσος όρος (mean) αποτελεί μια τυπική ή αντιπροσωπευτική τιμή του συνόλου των δεδομένων. Υπολογίζεται από τον τύπο: n χ1 + χ χn 1 χ = = χi n n i= 1 Η επικρατούσα τιμή (mode) είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα στο δείγμα. Η διάμεσος (median) είναι η κεντρική παρατήρηση του συνόλου των δεδομένων, όταν αυτό είναι διατεταγμένο κατά αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, ή ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών όταν ο συνολικός αριθμός των παρατηρήσεων είναι ζυγός. Ο γεωγραφικός (geometric mean, G) και ο αρμονικός (harmonic mean, H) μέσος. G = n n n 1 χ2... χn = χi i= 1 χ, 1 n H = = n n n χ χ i= 1 Τα περιγραφικά μέτρα διασποράς δίνουν πληροφορία για το πόσο είναι απλωμένα τα δεδομένα πάνω στη ευθεία των πραγματικών αριθμών. Τα σημαντικότερα από αυτά είναι: Το εύρος (range) είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και ελάχιστης τιμής των δεδομένων. Το μέτρο αυτό επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιμές. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος (interquartile range) είναι διαφορά μεταξύ του 75 ου εκατοστιαίου σημείου και του 25 ου εκατοστιαίου σημείου. Περιλαμβάνει το κεντρικό 50% των παρατηρήσεων και δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές. Διασπορά (variance, s 2 ) είναι μια ποσοτικοποίηση της εξάπλωσης των τιμών γύρω από το μέσο του δείγματος. n s = ( χ i χ ) n 1 i= 1 Τυπική απόκλιση (standard deviation, s) είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Συνήθως προτιμάται από τη διασπορά, επειδή έχει τις ίδιες μονάδες μέτρησης με το μέσο. i i= 1 i 8

9 2.1.2 Συντελεστής Αυτοσυσχέτισης Με τη βοήθεια της περιγραφικής στατιστικής γίνονται γνωστές σε ένα βαθμό οι βασικές ιδιότητες της χρονοσειράς. Για τις περισσότερες χρονοσειρές και ειδικά σε αυτές που περιγράφουν φυσικές μεταβλητές, τα περιγραφικά μέτρα δεν είναι αρκετά αφού παρουσιάζουν αστάθεια σε σχέση με το χρόνο. Δεν υπάρχει δηλαδή στασιμότητα. Για την περαιτέρω κατανόηση των ιδιοτήτων της, χρησιμοποιούνται οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης (autocorrelation coefficient), οι οποίοι μετράνε τη συσχέτιση μεταξύ παρατηρήσεων σε διαφορετικές χρονικές υστερήσεις (lags). Ο υπολογισμός των συντελεστών αυτών γίνεται με τύπους παρόμοιους με αυτούς της συσχέτισης (correlation, r) μεταξύ δύο διακριτών μεταβλητών x και y. Ο συντελεστής συσχέτισης αποτελεί ένα μέτρο της ισχύος της γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας Ν ζεύγη παρατηρήσεων των x και y με τον παρακάτω τύπο: r = ( x ( x i i x)( y x) 2 i y) ( y i y) 2. (2.1) Αντίστοιχα με το συντελεστή συσχέτισης, ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης αποτελεί ένα μέτρο του πόσο ισχυρή είναι η γραμμική εξάρτηση της χρονοσειράς και της ίδιας της χρονοσειράς με κάποια χρονική υστέρηση. Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για το πρώτο lag (r 1 ) μιας χρονοσειράς x t με Ν αριθμό παρατηρήσεων, θα υπολογιστεί θεωρώντας δύο νέες τυχαίες μεταβλητές με Ν-1 παρατηρήσεις η κάθε μία. Η πρώτη θα περιλαμβάνει τα στοιχεία x 1, x 2,, x N-1 και η δεύτερη τα στοιχεία x 2, x 3,, x N. Δηλαδή υ- πολογίζεται χρησιμοποιώντας Ν-1 ζεύγη παρατηρήσεων των δύο νέων μεταβλητών και αντίστοιχα με τον τύπο (2.1): r 1 = N 1 t= 1 N 1 t= 1 ( x ( x t t x x (1) )( x N 1 2 (1) ) t= 1 t+ 1 ( x x t+ 1 (2) ) x (2) ) 2 (2.2) όπου x(1 ) και x (2) οι μέσες τιμές της πρώτης και δεύτερης μεταβλητής αντίστοιχα. Η σχέση (2.2) είναι αρκετά περίπλοκη. Επειδή ισχύει x( 1) x(2), δηλαδή οι μέσοι όροι των επιμέρους χρονοσειρών είναι σχεδόν ίσοι, δεδομένης και της στασιμότητας της σειράς, μπορούν να αντικατασταθούν από τον ολικό μέσο x. Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει η απλοποιημένη σχέση: N 1 ( xt x)( xt+ 1 x) t= 1 r1 = N. (2.3) ( N 1) 2 ( x x) / N t= 1 t 9

10 Για περαιτέρω απλοποίηση πολλοί συγγραφείς αφαιρούν το συντελεστή πλησιάζει τη μονάδα για μεγάλες χρονοσειρές. Η σχέση (2.3) γίνεται: N 1 ( x t t= 1 1 = N r t= 1 x)( xt+ 1 x). 2 ( x x) Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης για το lag k υπολογίζεται: t N, ο οποίος N 1 (2.4) N k ( x t t= 1 k = N r t= 1 x)( xt+ k x). 2 ( x x) Οι συντελεστές αυτοί παριστάνονται γραφικά σε διαγράμματα αυτοσυσχέτισης, που είναι δειγματοληπτικές εκτιμήσεις της Συνάρτησης Αυτοσυσχέτισης για κάθε χρονική υστέρηση (Auto Correlation Function, ACF). Η ερμηνεία του διαγράμματος αυτού πολλές φορές είναι περίπλοκη, αλλά μπορεί να δώσει πολύ σημαντικές πληροφορίες στον έμπειρο ερευνητή. Για παράδειγμα ένα τυχαίο δείγμα παρουσιάζει συντελεστές αυτοσυσχέτισης πολύ κοντά στο μηδέν. Βέβαια ακόμα και πραγματικά τυχαίες χρονοσειρές υπάρχει περίπτωση να έχουν κάποιες σημαντικές στατιστικά τιμές αυτοσυσχέτισης σε κάποια χρονική υστέρηση. Μη στάσιμες χρονοσειρές παράγουν διαγράμματα αυτοσυσχέτισης με μεγάλες τιμές από το πρώτο μέχρι πολύ μεγάλα lags. Γενικά η χρήση της αυτοσυσχέτισης πρέπει να γίνεται σε χρονοσειρές αφού επιτευχθεί στασιμότητα. Χρονοσειρές με εποχικότητα εμφανίζουν διαγράμματα αυτοσυσχέτισης με ανάλογες αυξομειώσεις, με μεγάλες τιμές στα πολλαπλάσια της τιμής της εποχικότητας, δηλαδή μια χρονοσειρά με ετήσια εποχικότητα περιμένουμε να εμφανίζει μεγάλες τιμές στους συντελεστές αυτοσυσχέτισης r 12, r 24 και πιθανόν και σε μεγαλύτερα lags. t Συντελεστής Μερικής Αυτοσυσχέτισης Ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης μετράει τη συσχέτιση μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής X t σε σχέση με μία μόνο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές Χ t-k, αφού απομονωθούν οι συσχετίσεις μεταξύ του Χ t και μεταβλητών X t-1, X t-2,, X t-k-1. Ο συντελεστής αυτός παριστάνεται επίσης σε διαγράμματα, σχηματίζοντας τη συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης (Partial Auto Correlation Function, PACF). Τα διαγράμματα αυτά είναι πολύ χρήσιμα για την αναγνώριση των αυτοπαλινδρομικών μοντέλων (AR(p)). Αυτό είναι απόλυτα φυσικό αφού ο ορισμός του συντελεστή αυτοσυσχέτισης γίνεται με τη χρήση αυτοπαλινδρομικών υποδειγμάτων. Έχοντας τα παρακάτω αυτοπαλινδρομικά υ- ποδείγματα βαθμών 1, 2,, p : 10

11 Χ Χ M Χ t t t = φ Χ 1 = φ Χ 1 = φ Χ 1 t 1 t 1 t 1 + e t + φ Χ 2 + φ Χ 2 t 2 t 2 + e t φ Χ p t p + e t Ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης βαθμού k είναι ο συντελεστής του τελευταίου όρου της μεταβλητής Χ t, εξαιρουμένου του όρου e t, στο αυτοπαλινδρομικό υπόδειγμα βαθμού k. Δηλαδή οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης με βαθμό από ένα έως p είναι οι φ 1, φ 2,, φ p, ο καθένας από το αντίστοιχο αυτοπαλινδρομικό υπόδειγμα. Ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης πρώτου βαθμού ισούται πάντα με το συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτου βαθμού Στασιμότητα Ως στάσιμη ορίζεται μια χρονοσειρά της οποίας τα στατιστικά χαρακτηριστικά παραμένουν αμετάβλητα με το πέρασμα του χρόνου. Η επίτευξη στασιμότητας είναι πολύ σημαντική για την ανάπτυξη των μοντέλων ARIMA, αφού τα τελευταία δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε μη στάσιμες σειρές. Μια στοχαστική διαδικασία μπορεί να είναι αυστηρά ή ασθενικά στάσιμη. Αυστηρά στάσιμη είναι όταν η κοινή κατανομή πιθανότητας των, Χ,, Χ είναι ίση με την κοινή κατανομή πιθανότητας των, Χt1 t 2 Χ tn tn Χ t1+ τ Χ t 2+ τ,, +τ, για κάθε t1, t 2,, t n, τ. Ασθενικά στάσιμη είναι όταν οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης υπάρχουν, δεν απειρίζονται και παραμένουν σταθερές με την πάροδο του χρόνου (Κουγιουμτζής 2006). Συγκεκριμένα ο μέσος, η τυπική απόκλιση και η συνδιασπορά πρέπει να είναι ανεξάρτητες του χρόνου: μ = μ σ t 2 t γ ( Χ) = cov( Χ k 2 = σ ή ή Ε( Χ ) = μ < t Ε( Χ μ) < t t k, Χt ) ή Ε[( Χt μ)( Χt+ k μ)] ανεξάρτητα του t και συνάρτηση μόνο του k. Στη συνέχεια όπου αναφέρεται στασιμότητα εννοείται η ασθενής στασιμότητα. Η ύπαρξη στασιμότητας σε μία χρονοσειρά μπορεί να φανεί εξετάζοντας διάφορες ιδιότητές της. Από το γράφημα της χρονοσειράς μπορεί να φανεί αν είναι στάσιμη, δηλαδή αν παρατηρείται σταθερή η μέση τιμή και παραμένει σταθερή η διακύμανση κατά μήκος του χρόνου. Άλλοι τρόποι για τον έλεγχο της στασιμότητας αποτελούν οι μέθοδοι ελέγχου κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας, οι οποίοι ελέγχουν στατιστικά τη σταθερότητα του μέσου και της διακύμανσης. Κανονική (Gaussian or normal process) λέγεται μια στοχαστική διαδικασία η οποία προέρχεται από κανονική κατανομή και μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τη μέση τιμή και τη διακύμανσή της. Για την ανάλυση των χρονοσειρών γίνεται μια προσπάθεια κανονικοποίησης των δεδομένων. Τέλος η στασιμότητα ελέγχεται και από τα γραφήματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (ACF = γ k 11

12 και PACF). Αν εμφανίζουν στατιστικά σημαντικές τιμές για μεγάλες χρονικές καθυστερήσεις τότε οι χρονοσειρές δεν είναι στάσιμες. Επίσης αν εμφανίζουν μεγάλες τιμές σε χρονικές υστερήσεις σχετικές με την εποχικότητα, υποδεικνύουν την ύπαρξη μη στασιμότητας και την ανάγκη εποχικής διαφοροποίησης ή άλλης μεθόδου απο-εποχοποίησης Κανονικότητα Ομοσκεδαστικότητα Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο η ανάπτυξη των στοχαστικών μοντέλων προϋποθέτει στάσιμες χρονοσειρές, ως προς τη μέση τιμή και τη διακύμανση. Οι έλεγχοι που θα χρησιμοποιηθούν στην παρούσα εργασία είναι: Για την κανονικότητα ο έλεγχος Kolmogorov Smirnov. Για τη διακύμανση το Levene s Test. Kolmogorov Smirnov Για τον έλεγχο της σταθερότητας της μέσης τιμής με το χρόνο χρησιμοποιείται η δοκιμασία Kolmogorov Smirnov (K-S), η οποία ελέγχει κατά πόσο τα δεδομένα προέρχονται από κάποια κατανομή, στην περίπτωσή μας την κανονική κατανομή. Θέτουμε σαν μηδενική υπόθεση την ύπαρξη κανονικότητας και σαν εναλλακτική την μη ύπαρξη κανονικότητας. Στη συνέχεια υπολογίζεται το στατιστικό: D n = max F ( x) F0 ( x) n Όπου F n (x) η σχετική αθροιστική συχνότητα του δείγματος Χ και F ( x 0 ) η αθροιστική συνάρτηση της κανονικής κατανομής. Άρα υπολογίζεται η μέγιστη διαφορά, σε απόλυτη τιμή μεταξύ της πραγματικής και θεωρητικής κατανομής. Τα όρια αποδοχής της μηδενικής υπόθεσης βρίσκονται συγκρίνοντας το παραπάνω στατιστικό με την ποσότητα 1.36 / N, όπου Ν ο αριθμός των παρατηρήσεων και το επίπεδο σημαντικότητας είναι ίσο με 95%. Είναι συνηθισμένο το στατιστικό D n να αναφέρεται ως Kolmogorov Smirnov Z. Levene s Test Για τον έλεγχο της ομοιογένειας της διακύμανσης ως προς το χρόνο χρησιμοποιείται το Levene s Test, το οποίο έχει σαν μηδενική υπόθεση την ισότητα των διακυμάνσεων μεταξύ των δειγμάτων και σαν εναλλακτική υπόθεση την διαφορά μεταξύ των διακυμάνσεων για ένα τουλάχιστον ζεύγος δειγμάτων. Για μια μεταβλητή Y με αριθμό παρατηρήσεων Ν χωρισμένων σε k υποομάδες και Ν i τον αριθμό των παρατηρήσεων της υποομάδας i, το Levene s test statistic ορίζεται ως: F ( N k) ( k 1) N ( Z i i= 1 = k Ni k i= 1 j= 1 ( Z i. ij Z.. Z ) i. ) 2 2, 12

13 όπου Z ij = Yij Yi, με i Y τη μέση τιμή της υποομάδας i, Z i. ο ομαδικός μέσος των Z ij.. ij ij και Z τον ολικό μέσο των Z. Το Z μπορεί να περιέχει στον τύπο του και τη διάμεσο, ή το μέσο όρο του κεντρικού 90% των παρατηρήσεων (10% trimmed mean) στη θέση του Y i. Η επιλογή της διαμέσου και του trimmed mean αυξάνουν την αποτελεσματικότητα της δοκιμής Ανάλυση χρονοσειρών Η ανάλυση των χρονοσειρών έχει σαν βασικό στόχο την αποσύνθεση των δεδομένων στα συστατικά που τα αποτελούν σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: X t = f (trend, cycle, seasonality, ε t ) όπου trend είναι η μακροχρόνια τάση της χρονοσειράς, δηλαδή μια γενική κίνηση, α- νοδική ή καθοδική, που ακολουθεί η χρονοσειρά, cycle είναι οι κυκλικές διακυμάνσεις που παρατηρούνται, δηλαδή επαναλαμβανόμενες αυξομειώσεις των δεδομένων χωρίς συγκεκριμένο χρονικό μήκος, seasonality η εποχικότητα της χρονοσειράς, δηλαδή τα πρότυπα που επαναλαμβάνονται με περίοδο ενός έτους, και ε t περιλαμβάνει τυχαίες, ακανόνιστες κινήσεις των δεδομένων. Η γενική ιδέα της αποσύνθεσης των χρονοσειρών είναι η απομάκρυνση της τάσης και των κυκλικών διεργασιών, εποχικών και ακανόνιστων, ώστε να απομείνει μόνο ο στοχαστικός όρος, ο οποίος δεν έχει και καμία προφανή εξήγηση. Ο όρος αυτός οφείλει να προσομοιάζει με μια χρονοσειρά που προέρχεται από μια στάσιμη στοχαστική διαδικασία. Μια τέτοια χρονοσειρά παρουσιάζει τα ίδια χαρακτηριστικά σε όλο το μήκος της και το κάθε τμήμα της είναι παρόμοιο με όλα τα υπόλοιπα (ισομήκη) τμήματά της, ανεξαρτήτως του χρόνου. Παρουσία τάσης και κυκλικότητας στον στοχαστικό όρο αποτελούν δείγματα της μη ορθής αποσύνθεσης της χρονοσειράς. Δύο είναι τα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται στην αποσύνθεση των χρονοσειρών. Το προσθετικό υπόδειγμα που θεωρεί ότι τα δεδομένα προκύπτουν από την πρόσθεση των συνιστωσών τους (2.5), και το πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα το οποίο θεωρεί ότι τα δεδομένα προέρχονται από το γινόμενο των συνιστωσών τους (2.6). Χ t = trend + seasonality + ε t (2.5) Χ t = trend x seasonality x ε t (2.6) Το αθροιστικό υπόδειγμα είναι το πιο διαδεδομένο και χρησιμοποιείται για δεδομένα των οποίων οι τιμές έχουν φυσικό νόημα. Στη συγκεκριμένη εργασία είναι το υπόδειγμα που θα μας απασχολήσει αφού τα δεδομένα που αναλύονται είναι εκφορτώσεις ψαριών. Το πολλαπλασιαστικό μοντέλο είναι διαδεδομένο για περιπτώσεις αποσύνθεσης πιο αφηρημένων χρονοσειρών, όπως οι οικονομικές σειρές. 13

14 Η αποσύνθεση της χρονοσειράς σύμφωνα με το αθροιστικό υπόδειγμα γίνεται αφαιρώντας διαδοχικά τους όρους της τάσης και της εποχικότητας σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις: Χ t trend = seasonality + ε t Χ t trend seasonality = ε t Ως αποτέλεσμα έχουμε την απομόνωση του στοχαστικού όρου ε t. Αυτός ο όρος θα μπορέσει στη συνέχεια να αναλυθεί, ώστε να αναγνωριστεί μια στοχαστική διαδικασία από τη οποία πιθανώς θα προέρχεται Βήματα ανάλυσης Η διαδικασία ανάλυσης μιας χρονοσειράς, όπως αυτή περιγράφεται από τους Box και Jenkins (1976) στο κλασικό βιβλίο τους, αποσκοπεί στην κατασκευή γραμμικών υ- ποδειγμάτων, αυτοπαλινδρομικών και κινητού μέσου. Τα μοντέλα ARIMA έχουν αναλυθεί εκτενέστατα από τους Box και Jenkins, οι οποίοι πρότειναν αυτήν την ομάδα αλγεβρικών μοντέλων πρόβλεψης. Στη βιβλιογραφία η διαδικασία για την επιλογή του κατάλληλου μοντέλου αναφέρεται συχνά ως Box-Jenkins. Τα τρία στάδια για την κατασκευή των υποδειγμάτων απαιτούν στάσιμες χρονολογικές σειρές. Αυτό γίνεται για να είναι δυνατή η κατασκευή μιας αλγεβρικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές, με σταθερή διακύμανση γύρω από μια σταθερή μέση τιμή. Σε αντίθετη περίπτωση απαιτείται ο μετασχηματισμός των χρονοσειρών για την επίτευξη στασιμότητας. Εικόνα 2.1 Διάγραμμα ροής της διαδικασίας επιλογής του κατάλληλου υποδείγματος 14

15 Το πρώτο στάδιο είναι αυτό της ταυτοποίησης. Σε αυτό γίνεται μια προσπάθεια να αναγνωριστούν τα πιθανά υποδείγματα που ταιριάζουν με τα δεδομένα. Η αναγνώριση γίνεται μέσα από τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης και με σύγκριση τυπικών υποδειγμάτων. Το δεύτερο στάδιο, αυτό της εκτίμησης και δοκιμής, γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος που αναγνωρίστηκε στο πρώτο στάδιο. Στη συνέχεια γίνεται η δοκιμή του υποδείγματος που επιλέχθηκε, ώστε να αναγνωριστούν οι συντελεστές που είναι στατιστικά σημαντικοί και να αφαιρεθούν οι υπόλοιποι. Τέλος γίνεται έλεγχος της ικανότητας πρόβλεψης και γενικά της αποδοχής ή μη του υποδείγματος. Σε περίπτωση μη αποδοχής του υποδείγματος, επαναλαμβάνεται η διαδικασία για να επιλεγεί ένα πιο κατάλληλο υπόδείγμα. Σε περίπτωση που το υπόδειγμα γίνει αποδεκτό ακολουθεί το τρίτο στάδιο, δηλαδή η χρήση του μοντέλου για πρόβλεψη. Ακολουθεί το διάγραμμα ροής της παραπάνω διαδικασίας (Εικόνα 2.1) Στάσιμες στοχαστικές διαδικασίες Οι διαδικασίες που θα μας απασχολήσουν είναι η αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία (AR) και η διαδικασία κινούμενου μέσου (MA). Επίσης και η μικτή διαδικασία (ARMA). Τα υποδείγματα προϋποθέτουν στασιμότητα της χρονοσειράς που αναλύεται καθώς και ύπαρξη αυτοσυσχέτισης. Η μορφή της αυτοσυσχέτισης οδηγεί στην επιλογή του κατάλληλου υποδείγματος. Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης p (AR(p)) Στην αυτοπαλινδρομική διαδικασία η συμπεριφορά της εξαρτημένης μεταβλητής Χ t περιγράφεται από τιμές της ίδιας της μεταβλητής σε άλλες χρονικές στιγμές (Χ t-1,, X t-k ) και από μια τυχαία μεταβλητή σφάλματος. Οι συντελεστές των μεταβλητών συμβολίζονται με φ i και λέγονται αυτοπαλινδρομικοί συντελεστές. Οι συντελεστές αυτοί δεν είναι απαραίτητο να είναι όλοι διάφοροι του μηδενός. Η αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία πρώτης τάξης έως p-τάξης δίνεται από τις σχέσεις: Χ t = φ 1 Χ t-1 + ε t Χ t = φ 1 Χ t-1 + φ 2 Χ t-2 + ε t Χ t = φ 1 Χ t-1 + φ 2 Χ t φ p Χ t-p + ε t Με τη χρήση του τελεστή υστέρησης (ή τελεστή ολίσθησης ) Β, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση: Β k Χ t = X t-k οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν όπως παρακάτω. Από τον ορισμό φαίνεται ότι ο τελεστής υστέρησης προκαλεί μια ολίσθηση του χρονικού δείκτη της μεταβλητής τόσες χρονικές περιόδους πίσω, όσος είναι ο εκθέτης k. (1 φ 1 Β φ 2 Β 2 φ p B p )X t = ε t 15

16 Για να είναι στάσιμο το αυτοπαλινδρομούμενο σχήμα θα πρέπει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο των συντελεστών (1 φ 1 Χ φ 2 Χ 2 φ p X p = 0) να έχει λύσεις έξω από το μοναδιαίο κύκλο. Η αναγνώριση μιας αυτοπαλινδρομικής διαδικασίας γίνεται μέσω της ταυτοποίησης των προτύπων των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του AR(p) φθίνει ομαλά, ενώ η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζει p σημαντικές τιμές και μηδενίζεται στη συνέχεια. Διαδικασία κινητού μέσου τάξης q (ΜΑ(q)) Η διαδικασία κινητού μέσου περιγράφει την ανεξάρτητη μεταβλητή με ένα παλινδρομικό μοντέλο, του οποίου οι συντελεστές είναι οι τιμές των προηγούμενων σφαλμάτων, και ένα τυχαίο όρο σφάλματος. Έτσι δημιουργείται ένα σχήμα που εξαρτάται α- ποκλειστικά στις τιμές της μεταβλητής του σφάλματος προηγούμενων περιόδων. Οι συντελεστές α i των μεταβλητών αυτών λέγονται συντελεστές κινητού μέσου και περιγράφουν την επίδραση του προηγούμενου σφάλματος στην ανεξάρτητη μεταβλητή. Σκοπός της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός των συντελεστών αυτών. Χ t = ε t + α 1 ε t-1 X t = ε t + α 1 ε t-1 + α 2 ε t-2 X t = ε t + α 1 ε t-1 + α 2 ε t α q ε t-q Με τη χρήση του τελεστή ολίσθισης καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: (1 α 1 Β α 2 Β α q Β q )ε t = Χ t Η διαδικασία του κινητού μέσου είναι στάσιμη εξ ορισμού αφού οποιαδήποτε δύο στοιχεία X t και X c αναπαριστούν την ίδια συνάρτηση από τις όμοια κατανεμημένες ακολουθίες {ε t, ε t-1,, ε t-q } και { ε c, ε c-1,, ε c-q }. Η αναγνώριση μιας διαδικασίας κινητού μέσου γίνεται μέσω της ταυτοποίησης των προτύπων των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του MA(q) μηδενίζεται μετά από q χρονικές υστερήσεις και συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης φθίνει προοδευτικά. Μικτή αυτοπαλινδρομική διαδικασία κινητού μέσου (ARΜΑ(p,q)) Οι δύο παραπάνω διαδικασίες δεν είναι σε θέση να περιγράψουν ικανοποιητικά όλες τις στάσιμες στοχαστικές διαδικασίες, λόγω του ότι παρουσιάζουν χαρακτηριστικά και των δύο σχημάτων. Ο συνδυασμός των δύο σχημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή των σύνθετων διαδικασιών. Η διαδικασία ARMA(p,q) δίνεται από τη σχέσεις: Χ t = φ 1 Χ t-1 + φ 2 Χ t φ p Χ t-p + α 1 ε t-1 + α 2 ε t α q ε t-q (1 φ 1 Β φ 2 Β 2 φ p B p )X t = (1 α 1 Β α 2 Β α q Β q )ε t 16

17 Το μικτό υπόδειγμα είναι μια γενική περίπτωση των δύο ανεξάρτητων υποδειγμάτων. Καταλήγουμε στο καθένα από αυτά χρησιμοποιώντας μηδέν για τους συντελεστές του άλλου σχήματος. Η στασιμότητα της μικτής διαδικασίας ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις για το σχήμα του κινητού μέσου, ενώ το αυτοπαλινδρομικό σχήμα έχει τις ίδιες προϋποθέσεις με το απλό αυτοπαλινδρομικό σχήμα, δηλαδή απαιτεί τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου έξω από το μοναδιαίο κύκλο. 17

18 2.2 Προεπεξεργασία Δεδομένων Πηγή δεδομένων Τα δεδομένα προέρχονται από βάσεις δεδομένων της ΕΤΑΝΑΛ. Συγκεκριμένα τα δεδομένα προέρχονται απευθείας από την ΕΤΑΝΑΛ, ενώ τα δεδομένα από την ιστοσελίδα της ΕΤΑΝΑΛ ( Αφορούν τις εκφορτώσεις των τεσσάρων μικρών πελαγικών ειδών, Engraulis encrasicolus (Linnaeus 1758), γαύρο (Anchovy), Scomber scombrus (Linnaeus 1758), σκουμπρί (Atlantic mackerel), Sardina pilchardus (Walbaum 1792), σαρδέλα (European pilchard) και Trachurus mediterraneus (Steindachner 1863), ασπροσαύριδο (Mediterranean horse mackerel), στα τρία μεγαλύτερα εμπορικά λιμάνια της Βόρειας Ελλάδας (Θεσσαλονίκη, Καβάλα και Αλεξανδρούπολη). Κάθε παρατήρηση αναφέρεται σε έναν ημερολογιακό μήνα και περιλαμβάνει τις συνολικές εκφορτώσεις που έγιναν καθημερινά κατά τη διάρκεια του μήνα σε κιλά. Η ανάλυση έγινε με τη χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS 15.0 και του πρόσθετου Trends Επικουρικά χρησιμοποιήθηκαν και άλλα στατιστικά πακέτα και ε- φαρμογές (Minitab 14.1, Matlab R 2006b, MS Excel) κυρίως για την επαλήθευση κάποιων διαδικασιών και την αρχική επεξεργασία των χρονοσειρών. Αρχικά γίνεται εισαγωγή των δεδομένων των εκφορτώσεων στο SPSS δημιουργώντας μια μεταβλητή για κάθε χρονοσειρά, δηλαδή συνολικά 12 χρονοσειρές. Για να αντιληφθεί το πρόγραμμα τη χρονική διάσταση, εισάγουμε την αρχική ημερομηνία και το ότι η κάθε παρατήρηση αντιστοιχεί σε ένα μήνα Γραφήματα Βασικό εργαλείο για την πρώτη κατανόηση των χαρακτηριστικών των χρονοσειρών αποτελούν τα γραφήματα ως προς το χρόνο. Κατασκευάζουμε λοιπόν τα 12 γραφήματα, τοποθετώντας στο άξονα X το χρόνο σε μήνες και στον άξονα Y τις εκφορτώσεις σε κιλά. Επίσης δημιουργείται και ένα γράφημα για κάθε λιμάνι, που περιλαμβάνει και τα τέσσερα είδη μαζί για να γίνουν οι απαραίτητες συγκρίσεις μεταξύ των ειδών. Τα γραφήματα μπορούν να αποδειχτούν πολύ χρήσιμα εργαλεία αφού διακρίνεται άμεσα, η ύπαρξη γενικής τάσης και η ύπαρξη εποχικότητας στη χρονοσειρά. Αναμένουμε όλες τις χρονοσειρές να εμφανίζουν έντονα εποχικά φαινόμενα. Επίσης θα φανεί και η πιθανή ύπαρξη κενών καταγραφών, καθώς και απότομων αλλαγών και ακραίων τιμών (outliers). Οι τιμές αυτές μπορεί να επηρεάσουν πολύ τη διαδικασία προσαρμογής και πρόβλεψης (Chatfield 1995). Τα παραπάνω θα μας οδηγήσουν και σε ένα πρώτο συμπέρασμα για την ύπαρξη στασιμότητας, δηλαδή κατά πόσο η χρονοσειρά παραμένει στάσιμη με το πέρασμα του χρόνου Περιγραφικά στατιστικά Στη συνέχεια υπολογίζονται τα περιγραφικά μέτρα θέσης και διασποράς για κάθε μια από τις χρονοσειρές. Για κάθε χρονοσειρά υπολογίζεται η μέση τιμή, η διασπορά, η 18

19 τυπική απόκλιση, η μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Μαζί με τα παραπάνω ζητάμε από το στατιστικό πακέτο να μας εμφανίσει το συνολικό αριθμό των καταγραφών καθώς και τον αριθμό των κενών καταγραφών Συμπλήρωση κενών καταγραφών Πολύ σημαντικό βήμα για τη συνέχεια αποτελεί η συμπλήρωση των πιθανών κενών στις χρονοσειρές. Οι κενές καταγραφές αποτελούν σημαντικό πρόβλημα για την α- νάλυση των χρονοσειρών. Η τελευταία έκδοση του SPSS έχει την ικανότητα να προχωρήσει στην ανάλυση ακόμα και με ύπαρξη κάποιων κενών καταγραφών. Αυτό όμως θα οδηγούσε σε προβλήματα αντίστοιχα με αυτά που δημιουργούν οι παράτυπες τιμές, τόσο στα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης όσο και στα τελικά υποδείγματα ARIMA. Η μοναδική περίπτωση κατά την οποία οι κενές καταγραφές δεν επηρεάζουν την ανάλυση, είναι όταν αυτές βρίσκονται στην αρχή ή στο τέλος της χρονοσειράς. Σε αυτή την περίπτωση απλά μειώνεται το μήκος της συγκεκριμένης χρονοσειράς. Η συμπλήρωση των κενών καταγραφών μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους, κάθε μία από τις οποίες έχει τα υπέρ και τα κατά της. Από το στατιστικό πακέτο προσφέρεται η επιλογή Missing Values Analysis, το οποίο δίνει πληροφορίες για τον αριθμό των κενών και τις θέσεις στις οποίες εμφανίζονται. Εκτελεί τρεις κύριες λειτουργίες, οι οποίες είναι: 1. Η εύρεση των προτύπων των κενών καταγραφών, δηλαδή πόσες είναι πόσο εκτεταμένες είναι, πόσο μαζεμένες είναι, καθώς και αν κάποιες χρονοσειρές παρουσιάζουν κενές καταγραφές στους ίδιους μήνες. Επίσης εντοπίζονται και οι ακραίες τιμές οι οποίες αντιμετωπίζονται με αντίστοιχο τρόπο με τις κενές καταγραφές. 2. Υπολογίζονται οι μέσοι, οι τυπικές αποκλίσεις, οι συνδιασπορές και οι συσχετίσεις, της κάθε χρονοσειράς χρησιμοποιώντας κάποια από τις ακόλουθες μεθόδους: α) παραβλέποντας κενές καταγραφές όταν αυτές βρίσκονται στην ίδια τη χρονοσειρά, β) παραβλέποντας καταγραφές όπου εμφανίζονται κενά σε άλλες χρονοσειρές, γ) χρησιμοποιώντας μεθόδους παλινδρόμησης, ή δ) χρησιμοποιώντας αλγορίθμους «προσδοκίας μεγιστοποίησης» (expectation maximization, ΕΜ). Ο αλγόριθμος αυτός πραγματοποιείται μέσω επαναλήψεων, κάθε μία από τις οποίες περιλαμβάνει ένα βήμα E για τον υπολογισμό των παραμέτρων και ένα βήμα M για τον υπολογισμό της εκτίμησης της μέγιστης πιθανότητας. 3. Συμπλήρωση κενών καταγραφών με τιμές που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο της παλινδρόμησης ή τη μέθοδο EM. Οι τρόποι συμπλήρωσης των κενών από το μενού Replace Missing Values περιλαμβάνουν: Μέση τιμή της σειράς: Οι κενές καταγραφές αντικαθίστανται από τη μέση τιμή της σειράς. Μέση τιμή κοντινών σημείων: Οι κενές καταγραφές αντικαθίστανται από τη μέση τιμή των εκατέρωθεν του κενού κοντινών παρατηρήσεων. Διάμεσος κοντινών σημείων: Οι κενές καταγραφές αντικαθίστανται από τη διάμεσο των εκατέρωθεν του κενού κοντινών παρατηρήσεων. 19

20 Γραμμική παρεμβολή: Οι κενές καταγραφές συμπληρώνονται κάνοντας γραμμική παρεμβολή μεταξύ των γειτονικών σημείων. Γραμμική τάση στο σημείο: Οι κενές καταγραφές συμπληρώνονται με τιμές που προκύπτουν από τη γραμμική εξίσωση της τάσης στα συγκεκριμένα σημεία. Πολλαπλή παλινδρόμηση: Οι κενές καταγραφές αντικαθίστανται από τιμές που προκύπτουν από πολλαπλή παλινδρόμηση στα συγκεκριμένα σημεία Στασιμότητα Έλεγχος κανονικότητας ομοσκεδαστικότητας Έχοντας τώρα τις δώδεκα χρονοσειρές πλήρεις, πρέπει να ελέγξουμε την ύπαρξη στασιμότητας σε αυτές. Αυτό έχει γίνει σε κάποιο βαθμό από την εξέταση των γραφημάτων, αλλά με τους ελέγχους κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας θα γίνει και στατιστικά. Αυτοί οι έλεγχοι θα δείξουν αν τα δεδομένα ακολουθούν την κανονική κατανομή, αν δηλαδή έχουν σταθερή μέση τιμή με το χρόνο, και αν τα δεδομένα διατηρούν σταθερή διακύμανση με το χρόνο. Ο έλεγχος της κανονικότητας γίνεται με τη δοκιμασία Kolmogorov Smirnov. Ο έλεγχος της ομοσκεδαστικότητας γίνεται με το Levene s Test. Οι δύο δοκιμασίες περιγράφηκαν αναλυτικά στο κεφάλαιο Οι περισσότερες χρονοσειρές που αναφέρονται σε βιολογικά μεγέθη δεν πληρούν τις παραπάνω προϋποθέσεις και δεν μπορούν να χαρακτηριστούν στάσιμες, αφού επηρεάζονται πολύ από τις ε- ξωτερικές συνθήκες και εμφανίζουν τις περισσότερες φορές εποχικότητα. Συχνή αποτελεί επίσης η ύπαρξη μακροπρόθεσμης τάσης, δηλαδή δεδομένα με όλο και μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές. Με χρήση κατάλληλων μετασχηματισμών είναι δυνατή η επίτευξη στασιμότητας των δεδομένων Μετασχηματισμός αρχικών χρονοσειρών Μια συνήθης τακτική για την επίτευξη στασιμότητας είναι ο μετασχηματισμός της αρχικής χρονοσειράς. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μετασχηματισμών για τους οποίους θα γίνει μια συνοπτική αναφορά στη συνέχεια. Για την εξομάλυνση της διασποράς χρησιμοποιούνται συνήθως διάφοροι μαθηματικοί μετασχηματισμοί. Ανάλογα με την ισχύ τους αναφέρονται οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί: Μετασχηματισμός τετραγωνικής ρίζας: Wt = Χt Μετασχηματισμός κυβικής ρίζας: W = 3 Χ Λογαριθμικός μετασχηματισμός: W = log( Χ ) Μετασχηματισμός αρνητικού αντιστρόφου: t t t t W t 1 = Χ Σε περιπτώσεις όπου η μέση τιμή μεταβάλλεται, δηλαδή έχουμε ύπαρξη τάσης στα δεδομένα και επίσης φαίνεται να εξαρτάται η διακύμανση από τη μέση τιμή, ο μετα- t 20

21 σχηματισμός λογαρίθμου ενδείκνυται. Στην παρούσα εργασία θα χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός του φυσικού λογαρίθμου πολλαπλασιασμένου επί εκατό, για να έχουμε τα επιθυμητά αποτελέσματα. Δεδομένα που περιέχουν τάση, αύξησης ή μείωσης, καθώς και δεδομένα τα οποία έχουν έντονο εποχικό χαρακτήρα, πρέπει να μετασχηματιστούν κατάλληλα ώστε να επιτευχθεί στασιμότητα. Ως τάση ορίζεται η μακροπρόθεσμη αλλαγή της μέσης τιμής και μέθοδοι απομάκρυνσής της περιλαμβάνουν διαφόρων ειδών φίλτρα. Ειδική κατηγορία φίλτρου που απομακρύνει αποτελεσματικά την τάση, είναι η διαφοροποίηση πρώτης ή μεγαλύτερης τάξης. Η διαφοροποίηση πρώτης τάξης προκύπτει από την αρχική χρονοσειρά ως εξής: Υ t = Χ t+ 1 Χt = Χt+1, (2.7) δηλαδή κάθε παρατήρηση της χρονοσειράς προκύπτει από διαφορά κάθε παρατήρησης της αρχικής χρονοσειράς από την επόμενή της. Σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η στασιμότητα δεν έχει επιτευχθεί με την πρώτης τάξης διαφοροποίηση εφαρμόζεται διαφοροποίηση δεύτερης τάξης, οι οποίες μπορούν να αφαιρέσουν πολυωνυμικές κλίσεις: 2 Χt 2 = Χt+ 2 Χt+ 1 = Χt+ 2 2Χt Χ t (2.8) Με αντίστοιχο τρόπο γίνεται και η επίτευξη στασιμότητας σε δεδομένα που έχουν έντονα εποχικό χαρακτήρα, δηλαδή στα οποία επαναλαμβάνονται κάθε έτος τα ίδια περίπου πρότυπα. Η διαδικασία λέγεται εποχική διαφοροποίηση και γίνεται με τύπο αντίστοιχο με τον 2.7, μόνο που οι διαφορές σε αυτή την περίπτωση δεν είναι μεταξύ συνεχόμενων τιμών αλλά τιμών που απέχουν μεταξύ τους ένα έτος, δηλαδή στην περίπτωση των δεδομένων μας εννέα μήνες. Επίσης σε σπάνιες περιπτώσεις απαιτείται εποχική διαφοροποίηση δεύτερου βαθμού, ο οποίος γίνεται με τύπο αντίστοιχο με τον Μεθοδολογία ανάλυσης χρονοσειρών Όταν έχουν γίνει όλα τα απαραίτητα βήματα για την προεπεξεργασία της χρονοσειράς και έχει επιτευχθεί σε ένα βαθμό η στασιμότητα και έχουν συμπληρωθεί όλα τα κενά, ακολουθεί η κυρίως ανάλυση της. Αρχικά γίνεται η αναγνώριση του δοκιμαστικού μοντέλου και ο προσδιορισμός των συντελεστών του μοντέλου. Αυτό γίνεται κυρίως μέσω των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης, τόσο της ίδιας της χρονοσειράς, όσο και υπολειμματικών χρονοσειρών προκαταρκτικών μοντέλων (πχ καθαρά εποχικών μοντέλων). Τέλος τα δοκιμαστικά μοντέλα εφαρμόζονται και εξετάζεται η επιτυχία τους να προσαρμοστούν στα δεδομένα. Επίσης γίνεται και η σύγκριση των μοντέλων και των πραγματικών παρατηρήσεων κατά την περίοδο επιβεβαίωσης Αναγνώριση μοντέλου Κατασκευάζονται τα διαγράμματα ACF και PACF για κάθε χρονοσειρά, καθώς επίσης και για τις ίδιες χρονοσειρές διαφοροποιημένες εποχικά. Η ανάγκη χρήσης της εποχικής διαφοροποίησης είναι προφανής από τα αρχικά ακόμα διαγράμματα των χρο- 21

22 νοσειρών. Με στατιστικό τρόπο η ανάγκη της εποχικής διαφοροποίησης γίνεται μέσα από την κατασκευή box plots και υπολογισμού των εποχικών συντελεστών (seasonally adjusted factors). Τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης μπορούν επίσης να επιβεβαιώσουν την ύπαρξη εποχικότητας, αφού οι χρονοσειρές με εποχικότητα εμφανίζουν υψηλές τιμές αυτοσυσχέτισης σε lags πολλαπλάσια της εποχικότητας. Η αναγνώριση των μοντέλων γίνεται λοιπόν από την παρατήρηση των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των εποχικά διαφοροποιημένων χρονοσειρών. Η εμπειρία του ερευνητή παίζει σημαντικό ρόλο στην αναγνώριση των προτύπων που παρουσιάζουν τα παραπάνω διαγράμματα. Σε πολλές περιπτώσεις δεν διακρίνονται καθαρά οι μορφές των βασικών συστατικών των μοντέλων, όπως για παράδειγμα δεν εμφανίζεται στις περισσότερες περιπτώσεις μια διαδικασία καθαρού κινητού μέσου πρώτου βαθμού (ΜΑ(1)). Τα βασικά βήματα στην αναγνώριση περιλαμβάνουν την καταγραφή των χαρακτηριστικών προτύπων των διαγραμμάτων και η σύγκρισή τους με τις απλές διαδικασίες. Αρχικά γίνεται η αναγνώριση του εποχικού τμήματος του μοντέλου, η οποία είναι σε μεγάλο βαθμό ίδια με αυτή του μη εποχικού τμήματος. Στην αναγνώριση του εποχικού μοντέλου εξετάζονται μόνο οι χρονικές υστερήσεις που είναι πολλαπλάσιες της εποχικότητας, ενώ στο μη εποχικό μέρος εξετάζονται τα διαγράμματα συνολικά. Το εποχικό μοντέλο θα περιέχει αρχικά ένα βαθμό εποχικής διαφοροποίησης (D=1), αφού διαφοροποιήθηκαν εποχικά οι χρονοσειρές. Για την αναγνώριση ύπαρξης ενός ή περισσοτέρων βαθμών εποχικής αυτοπαλινδρόμισης και εποχικού κινητού μέσου γίνεται η εξέταση των διαγραμμάτων ACF και PACF με τα πρώτα εποχικά lags. Κανονικά θα πρέπει να παρατηρείται μείωση των τιμών τους όσο ανεβαίνουν οι τιμές των lags, αλλιώς θα πρέπει να εξεταστεί η περίπτωση δευτέρου βαθμού διαφοροποίησης. Παρακάτω παρουσιάζονται οι μορφές των διαγραμμάτων σε περίπτωση που υπάρχει εποχική αυτοπαλινδρόμιση ή εποχικός κινητός μέσος. SAR: Το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης εμφανίζει αρχικά μεγάλες τιμές οι ο- ποίες φθίνουν σταδιακά, ίσως εκθετικά. Το διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζει έναν αριθμό στατιστικά σημαντικών τιμών και στη συνέχεια πέφτει απότομα σε τιμές κοντά στο μηδέν. Ανάλογα με τον αριθμό αυτό επιλέγεται και η τάξη της εποχικής αυτοπαλινδρόμισης. SMA: Τα διαγράμματα έχουν ακριβώς αντίθετες μορφές. Παρατηρούνται κάποιες υψηλές τιμές στο ACF ακολουθούμενες από τιμές κοντά στο μηδέν, και το PACF φθίνει εκθετικά. Ο βαθμός κινητού μέσου επιλέγεται από τον αριθμό υψηλών τιμών του διαγράμματος αυτοσυσχέτισης. SARMA: Μικτά πρότυπα είναι αρκετά περίπλοκα και γι αυτό είναι πολύ δύσκολο να αναγνωριστούν. Γενικός κανόνας είναι η εμφάνιση διαγραμμάτων ACF και PACF τα οποία φθίνουν εκθετικά. Αφού αναγνωριστούν τα εποχικά μοντέλα, κατασκευάζονται ώστε να γίνει η αναγνώριση των μοντέλων μη εποχικού χαρακτήρα. Η αναγνώρισή τους γίνεται πάλι μέσα από διαγράμματα αυτοσυσχέτισης, αλλά αυτή τη φορά των υπολειμματικών χρονοσειρών των εποχικών μοντέλων. Τα πρότυπα που αναζητούνται είναι ακριβώς τα ίδια με αυτά των εποχικών μοντέλων. Για παράδειγμα εκθετική μείωση στο διάγραμμα αυτοσυσχέ- 22

23 τισης μαζί με μια υψηλή τιμή ακολουθούμενη από πολύ μικρές τιμές στο διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης είναι δείγμα ενός βαθμού αυτοπαλινδρόμισης. Τα δοκιμαστικά μοντέλα παίρνουν έτσι μια τελική μορφή. Αφού κατασκευαστούν, υπολογίζονται στατιστικά στοιχεία που περιγράφουν την σημαντικότητα κάθε μίας από τις παραμέτρους, καθώς και στατιστικά καλής προσαρμογής και τυχαιότητας των υπολειμματικών σειρών τους Προσδιορισμός πλήρους μοντέλου Seasonal ARIMA Ο προσδιορισμός των συντελεστών των μοντέλων που έγινε κατά την αναγνώριση του μοντέλου εξετάζεται για την ορθότητά του κυρίως μέσα από τα στατιστικά που δείχνουν κατά πόσο κάθε συντελεστής είναι στατιστικά σημαντικός. Σε περίπτωση όπου κάποιος από τους συντελεστές δεν είναι σημαντικός στο μοντέλο που κατασκευάζεται, θα πρέπει να αφαιρεθεί. Μετά από την αφαίρεση των συντελεστών θα πρέπει να γίνει ε- πίλυση των μοντέλων μόνο με τους σημαντικούς συντελεστές. Τα υπόλοιπα στατιστικά δίνουν μια πρώτη εικόνα για το πόσο καλή είναι η προσαρμογή του μοντέλου στα πραγματικά δεδομένα και εάν παρατηρείται κάποιο πρότυπο στα υπολείμματα του μοντέλου. Καταλήγοντας αυτό το βήμα έχουν αναγνωριστεί οι συντελεστές και έχουν κατασκευαστεί μοντέλα SARIMA για την κάθε χρονοσειρά με τη μορφή ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) 9. Το επόμενο στάδιο περιλαμβάνει τη διάγνωση των μοντέλων αυτών, ώστε να γίνουν αποδεκτά ή να απορριφθούν Διάγνωση μοντέλου Η διάγνωση των δοκιμαστικών μοντέλων που κατασκευάστηκαν γίνεται σε μεγάλο βαθμό με την μελέτη των υπολειμματικών χρονοσειρών τους. Γίνεται μια προσπάθεια να αναγνωριστούν πιθανά πρότυπα σε αυτές τις σειρές, ή να αποδειχτεί ότι πρόκειται για διαδικασίες λευκού θορύβου, δηλαδή για τυχαίες σειρές. Η πρώτη αναγνώριση γίνεται με απλή παρατήρηση των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών σειρών. Μια τυχαία χρονοσειρά εμφανίζει γενικά πολύ μικρές τιμές στα διαγράμματα ACF και PACF, χωρίς να εμφανίζει επίσης πρότυπα εποχικά ή άλλου χαρακτήρα. Αν με την παρατήρηση δεν γίνει αντιληπτή η ύπαρξη μη τυχαιότητας, εξετάζεται και το στατιστικό Ljung-Box το οποίο δίνει στατιστικά σημαντικές τιμές όταν εξετάζονται δεδομένα που παρουσιάζουν κάποια πρότυπα, δηλαδή δεν είναι τυχαίες χρονοσειρές. Μοντέλα που έχουν στοχαστικό υπόλειμμα γίνονται αποδεκτά και ακολουθεί η σύγκριση των τιμών της πρόβλεψης του μοντέλου, με τις πραγματικέ τιμές κατά την περίοδο επιβεβαίωσης. Στη συγκεκριμένη εργασία η περίοδος επιβεβαίωσης είναι αρκετά μεγάλη και έ- χει διάρκεια τεσσάρων ετών, δηλαδή συνολικά 36 παρατηρήσεων. Αυτό έγινε αναγκαστικά σε ένα βαθμό λόγω της διαφορετικής προέλευσης των δεδομένων της περιόδου και συνεπώς της αβεβαιότητας της ποιότητάς τους. Τα μοντέλα αφού έχουν επιλεγεί σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία και έχουν τη δυνατότητα να προσαρμοστούν ικανοποιητικά στα δεδομένα της περιόδου , χρησιμοποιούνται ώστε να γίνουν προβλέψεις για τα επόμενα τέσσερα έτη. Η χρονοσειρά των προβλέψεων προβάλλεται σε διάγραμμα μαζί με τα πραγματικά δεδομένα, ώστε να φανεί η ποιότητα των 23

24 προβλέψεων του μοντέλου. Οι προβλέψεις περιλαμβάνουν ένα ανώτερο και ένα κατώτερο όριο εμπιστοσύνης ανάμεσα στα οποία αναμένονται να κυμαίνονται οι πραγματικές τιμές. Φυσικά κανένα μοντέλο δεν μπορεί να προβλέψει κάθε συμπεριφορά, όπως για παράδειγμα την πολύ απότομη μείωση στις εκφορτώσεις του σαυριδιού στις αρχές του έτους Τα μοντέλα που καταφέρνουν να προσαρμοστούν στα δεδομένα με επιτυχία και να προβλέψουν ικανοποιητικά την περίοδο επιβεβαίωσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να γίνει μια πραγματική μελλοντική πρόβλεψη. Η περίοδος που το μοντέλο θα είναι γενικά αξιόπιστο δεν είναι μεγάλη και δεν ξεπερνά συνήθως τα δύο έτη, αν και στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί και μεγαλύτερα διαστήματα πρόβλεψης. Φυσικά το κάθε μοντέλο μπορεί να περιλαμβάνει νέα δεδομένα όταν αυτά είναι διαθέσιμα και με μικρές αλλαγές όταν χρειάζεται, να πραγματοποιεί προβλέψεις όλο και πιο μακριά στο μέλλον. 24

25 3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1 Γραφήματα Αρχικά κατασκευάστηκαν τα γραφήματα για κάθε μία από τις δώδεκα χρονοσειρές για να γίνει μια πρώτη γνωριμία με τα δεδομένα και να διαπιστωθεί η ύπαρξη τάσης, εποχικότητας και κενών καταγραφών. Συνολικά κατασκευάστηκαν 15 γραφήματα, ένα για κάθε χρονοσειρά και ένα συγκεντρωτικό για κάθε λιμάνι Γραφήματα Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.1 Μηνιαίες εκφορτώσεις γαύρου στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης για την περίοδο Εικόνα 3.2 Μηνιαίες εκφορτώσεις σαρδέλας στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης για την περίοδο

26 Εικόνα 3.3 Μηνιαίες εκφορτώσεις σαυριδιού στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης για την περίοδο Εικόνα 3.4 Μηνιαίες εκφορτώσεις σκουμπριού στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης για την περίοδο Εικόνα 3.5 Συγκεντρωτικές μηνιαίες εκφορτώσεις στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης για την περίοδο

27 3.1.2 Γραφήματα Καβάλας Εικόνα 3.6 Μηνιαίες εκφορτώσεις γαύρου στο λιμάνι της Καβάλας για την περίοδο Εικόνα 3.7 Μηνιαίες εκφορτώσεις σαρδέλας στο λιμάνι της Καβάλας για την περίοδο Εικόνα 3.8Μηνιαίες εκφορτώσεις σαυριδιού στο λιμάνι της Καβάλας για την περίοδο

28 Εικόνα 3.9 Μηνιαίες εκφορτώσεις σκουμπριού στο λιμάνι της Καβάλας για την περίοδο Εικόνα 3.10 Συγκεντρωτικές μηνιαίες εκφορτώσεις στο λιμάνι της Καβάλας για την περίοδο Γραφήματα Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.11 Μηνιαίες εκφορτώσεις γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης για την περίοδο

29 Εικόνα 3.12 Μηνιαίες εκφορτώσεις σαρδέλας στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης για την περίοδο Εικόνα 3.13 Μηνιαίες εκφορτώσεις σαυριδιού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης για την περίοδο Εικόνα 3.14 Μηνιαίες εκφορτώσεις σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης για την περίοδο

30 Εικόνα 3.15 Συγκεντρωτικές μηνιαίες εκφορτώσεις στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης για την περίοδο

31 3.2 Περιγραφικά στατιστικά Στη συνέχεια υπολογίστηκαν τα περιγραφικά στατιστικά της κάθε χρονοσειράς, δηλαδή ο συνολικός αριθμός παρατηρήσεων, ο αριθμός των κενών καταγραφών, η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση, η μέγιστη τιμή και η ελάχιστη τιμή. Ακολουθούν οι τρεις πίνακες, ένας για το κάθε λιμάνι, με τα παραπάνω στατιστικά. Πίνακας 3.1 Περιγραφικά στατιστικά για το λιμάνι της Θεσσαλονίκης Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Τιμή κλιση Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Τυπική Από- Μέση Τιμή Γαύρος , ,83381 Σαρδέλα , ,14804 Σαυρίδι , ,02793 Σκουμπρί , ,74235 Ο Πίνακας 3.1 μας δείχνει ότι πρόβλημα κενών καταγραφών, όπως φάνηκε και από το γράφημα 3.4, παρουσιάζει μόνο το σκουμπρί, με 18 κενές καταγραφές. Τα κενά εντοπίζονται στα έτη 1998 και 1999 για τα οποία δεν υπήρχαν διαθέσιμα δεδομένα από τις βάσεις δεδομένων της ΕΤΑΝΑΛ για το συγκεκριμένο είδος για κανένα από τα τρία λιμάνια. Θα γίνει μια προσπάθεια συμπλήρωσης αυτών των κενών για να είναι δυνατή η συνέχιση της ανάλυσης. Αν δεν είναι δυνατή η συμπλήρωση θα πρέπει να γίνει ανάλυση μόνο για τα έτη μειώνοντας πολύ το μήκος της συγκεκριμένης χρονοσειράς. Πίνακας 3.2 Περιγραφικά στατιστικά για το λιμάνι της Καβάλας Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Μέση Τιμή Τιμή Τυπική Απόκλιση Γαύρος , ,192 Σαρδέλα , ,717 Σαυρίδι , ,820 Σκουμπρί , ,625 Από τον Πίνακα 3.2 που αφορά το λιμάνι της Καβάλας διαπιστώνεται ύπαρξη κενών και για τα τέσσερα είδη. Τα τρία πρώτα είδη, ο γαύρος, η σαρδέλα και το σαυρίδι παρουσιάζουν μόνο μία ή δύο κενές καταγραφές, οι οποίες λογικά δεν θα παρουσιάσουν πρόβλημα στο να συμπληρωθούν με κάποια μέθοδο. Η βάση δεδομένων παρουσίασε κενό για το μήνα Απρίλιο Το σκουμπρί, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω έχει κενά τα έτη , άρα έχει συνολικά 19 κενές παρατηρήσεις. Πίνακας 3.3 Περιγραφικά στατιστικά για το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Τιμή κλιση Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Τυπική Από- Μέση Τιμή Γαύρος , ,243 Σαρδέλα , ,512 Σαυρίδι , ,656 Σκουμπρί , ,717 31

32 Από τον Πίνακα 3.3 και με σύγκριση με τους δύο προηγούμενους πίνακες βλέπουμε ότι το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης παρουσιάζει τα περισσότερα κενά. Συγκεκριμένα το σκουμπρί παρουσιάζει 43 κενές καταγραφές καθιστώντας την ανάλυση της συγκεκριμένης χρονοσειράς πολύ δύσκολη. Επίσης ο γαύρος είχε 22 κενές παρατηρήσεις, από τις οποίες οι 16 πρώτες εμφανίστηκαν στους μήνες Οκτώβριο και Νοέμβριο των ε- τών Αυτό μπορεί να οφείλεται σε απουσία παραγωγής γαύρου για τους μήνες αυτούς. Σε τέτοια περίπτωση η συμπλήρωση των κενών θα ήταν σωστότερο να γίνει με μηδενικές τιμές. Με το παραπάνω συμφωνεί και η παρατήρηση των συγκεκριμένων μηνών των επόμενων ετών, δηλαδή η ύπαρξη μικρών σχετικά τιμών εκφορτώσεων. Η χρονοσειρά της σαρδέλας περιέχει μία μόνο κενή παρατήρηση, η οποία θα πρέπει να συμπληρωθεί, και η χρονοσειρά του σαυριδιού δεν εμφανίζει κανένα πρόβλημα. 3.3 Έλεγχος στασιμότητας (Κανονικότητα Ομοσκεδαστικότητα) Για να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στην ανάπτυξη των μοντέλων θα πρέπει να εξετάσουμε την ύπαρξη στασιμότητας στις χρονοσειρές. Με την παρατήρηση των γραφημάτων έγινε άμεσα αντιληπτή η απουσία στασιμότητας σε όλες τις χρονοσειρές. Τώρα θα γίνει και ο έλεγχος της κανονικότητας, ο οποίος ελέγχει το κατά πόσο η χρονοσειρά ακολουθεί την κανονική κατανομή, και ο έλεγχος της ομοσκεδαστικότητας, ο οποίος ε- λέγχει την ύπαρξη σταθερής διακύμανσης ανάμεσα στα δεδομένα της κάθε χρονοσειράς. Ο πρώτος έλεγχος γίνεται με τη δοκιμασία Kolmogorov-Smirnov, ενώ ο δεύτερος με το Levene test Έλεγχος κανονικότητας Ο έλεγχος της κανονικότητας γίνεται με το τεστ Kolmogorov-Smirnov με μηδενική υπόθεση H 0 την ύπαρξη κανονικότητας και εναλλακτική υπόθεση H a την μη ύπαρξη κανονικότητας: Η 0 : ύπαρξη κανονικότητας H a : μη ύπαρξη κανονικότητας Η αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης γίνεται όταν δεν έχουμε στατιστικά σημαντικό στατιστικό Z. Σε αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν έχουμε στατιστικά σημαντικά α- ποτελέσματα απορρίπτεται η υπόθεση Η 0 της ύπαρξης κανονικότητας. Ακολουθούν οι πίνακες με τα αποτελέσματα των ελέγχων για το κάθε λιμάνι. Επίσης γίνεται μια παρουσίαση γραφημάτων πιθανότητας (Quantile Quantile plot, Q-Q Plot) της κάθε χρονοσειράς, στο οποίο φαίνεται συγκριτικά το κατά πόσο ακολουθεί η σειρά μια συγκεκριμένη κατανομή, στην περίπτωσή μας την κανονική. 32

33 Γαύρος 207 2,238,000 Σαρδέλα 207 1,604,012 Σαυρίδι 207,943,336 Σκουμπρί 189 2,322,000 Πίνακας 3.4 Δοκιμασία Kolmogorov-Smirnov για την κανονικότητα των χρονοσειρών της Θεσσαλονίκης Αριθμός Παρατηρήσεων Kolmogorov- Smirnov Z Επίπεδο Σημαντικότητας Πίνακας 3.5 Δοκιμασία Kolmogorov-Smirnov για την κανονικότητα των χρονοσειρών της Καβάλας Αριθμός Παρατηρήσεων Kolmogorov- Smirnov Z Επίπεδο Σημαντικότητας Γαύρος 206 2,029,001 Σαρδέλα 206 1,722,005 Σαυρίδι 205 1,897,002 Σκουμπρί 188 2,051,000 Πίνακας 3.6 Δοκιμασία Kolmogorov-Smirnov για την κανονικότητα των χρονοσειρών της Αλεξανδρούπολης Αριθμός Παρατηρήσεων Kolmogorov- Smirnov Z Επίπεδο Σημαντικότητας Γαύρος 185 3,718,000 Σαρδέλα 206 3,347,000 Σαυρίδι 207 2,873,000 Σκουμπρί 164 3,730,000 Από τους παραπάνω Πίνακες φαίνεται ότι περισσότερες χρονοσειρές δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή, με εξαίρεση μόνο τη χρονοσειρά του σαυριδιού στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης. Από τα διαγράμματα Q-Q (Εικόνες ) γίνονται πιο εύκολα κατανοητά τα παραπάνω, αφού φαίνεται η κανονική κατανομή (ευθεία) και κατά πόσο τα δεδομένα την ακολουθούν. Είναι εμφανής η κανονικότητα της χρονοσειράς των εκφορτώσεων του σαυριδιού στη Θεσσαλονίκη (Εικόνα 3.16 Γ). Αντίθετα όλες οι υπόλοιπες χρονοσειρές εμφανίζουν μεγάλες αποκλίσεις από την κανονική κατανομή. 33

34 Εικόνα 3.16 Γραφήματα Q-Q για το λιμάνι της Θεσσαλονίκης. A. Γαύρος, Β. Σαρδέλα, Γ. Σαυρίδι, Δ. Σκουμπρί Εικόνα 3.17 Γραφήματα Q-Q για το λιμάνι της Καβάλας. A. Γαύρος, Β. Σαρδέλα, Γ. Σαυρίδι, Δ. Σκουμπρί 34

35 Εικόνα 3.18 Γραφήματα Q-Q για το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης. A. Γαύρος, Β. Σαρδέλα, Γ. Σαυρίδι, Δ. Σκουμπρί Έλεγχος ομοσκεδαστικότητας Ο έλεγχος για τη σταθερότητα της διακύμανσης θα γίνει με το Levene s Test of equality of variance. Η δοκιμασία αυτή προϋποθέτει το διαχωρισμό των παρατηρήσεων σε δύο ομάδες. Ο διαχωρισμός που επιλέχτηκε είναι το πρώτο και το δεύτερο εξάμηνο του έτους. Η δοκιμασία ελέγχει τη μηδενική υπόθεση για ύπαρξη ομοσκεδαστικότητας, έναντι στην εναλλακτική υπόθεση της μη ύπαρξης ομοσκεδαστικότητας. Η 0 : ύπαρξη ομοσκεδαστικότητας H a : μη ύπαρξη ομοσκεδαστικότητας Ακολουθούν οι πίνακες με τα στατιστικά στοιχεία της δοκιμασίας για το κάθε λιμάνι. Από αυτούς φαίνεται ότι αρκετές από τις χρονοσειρές εμφανίζουν σταθερότητα στη διακύμανση. Συγκεκριμένα στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης ο γαύρος έχει την πιο σταθερή διακύμανση, ενώ το σκουμπρί παρουσιάζει το μεγαλύτερο πρόβλημα. Στο λιμάνι της Καβάλας όλες οι χρονοσειρές έχουν αρκετά σταθερή διακύμανση. Τέλος στην Αλεξανδρούπολη μόνο το σκουμπρί έχει έντονη ομοσκεδαστικότητα, ενώ τα τρία άλλα είδη παρουσιάζουν διακύμανση μεταβλητή με το χρόνο. 35

36 Πίνακας 3.7 Δοκιμασία του Levene για το λιμάνι της Θεσσαλονίκης Αριθμός Επίπεδο Levene s F Παρατηρήσεων Σημαντικότητας Γαύρος 207,893,346 Σαρδέλα 207 2,010,158 Σαυρίδι 207 1,794,182 Σκουμπρί 189 3,526,062 Πίνακας 3.8 Δοκιμασία του Levene για το λιμάνι της Καβάλας Αριθμός Παρατηρήσεων Levene s Statistic Επίπεδο Σημαντικότητας Γαύρος 206,823,365 Σαρδέλα 206 2,122,147 Σαυρίδι 205,769,381 Σκουμπρί 188 1,235,268 Πίνακας 3.9 Δοκιμασία του Levene για το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Αριθμός Παρατηρήσεων Levene s Statistic Επίπεδο Σημαντικότητας Γαύρος 185 9,777,002 Σαρδέλα 206 3,295,071 Σαυρίδι 207 2,993,085 Σκουμπρί 164,966, Μετασχηματισμός χρονοσειρών Σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα κρίνεται απαραίτητος ο μετασχηματισμός των χρονοσειρών, για την επίτευξη στασιμότητας. Έχουν προταθεί διάφοροι μετασχηματισμοί όπως αυτοί του φυσικού λογαρίθμου, της τετραγωνικής και της κυβικής ρίζας. Ο μετασχηματισμός θα γίνει με χρήση του φυσικού λογαρίθμου πολλαπλασιασμένου επί εκατό, όπως έχει χρησιμοποιηθεί πολλές φορές στη βιβλιογραφία. Για την επίτευξη πλήρους στασιμότητας είναι πιθανόν να χρειαστεί να γίνει εποχική ή απλή διαφοροποίηση των χρονοσειρών. Οι δώδεκα νέες χρονοσειρές που θα κατασκευαστούν θα πρέπει να ελεγχθούν με τον ίδιο τρόπο και ακολουθώντας τα ίδια βήματα με τις αρχικές χρονοσειρές. Θα πρέπει να κατασκευαστούν γραφήματα και να υπολογιστούν περιγραφικά στατιστικά, καθώς και να γίνει έλεγχος για κανονικότητα και ομοσκεδαστικότητα. Στις επόμενες παραγράφους ακολουθούν τα αποτελέσματα που αφορούν τις μετασχηματισμένες χρονοσειρές, ξεχωριστά για το κάθε λιμάνι. 36

37 3.4.1 Μετασχηματισμένες χρονοσειρές Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.19 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Γαύρου, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.20 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαρδέλας, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.21 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαυριδιού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης 37

38 Εικόνα 3.22 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σκουμπριού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.23 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων των τεσσάρων ειδών, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης. Πίνακας 3.10 Περιγραφικά στατιστικά για της μετασχηματισμένες χρονοσειρές της Θεσσαλονίκης Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Τιμή Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Τυπική Απόκλιση Μέση Τιμή Γαύρος , , , ,75739 Σαρδέλα , , , ,32115 Σαυρίδι , , , ,01935 Σκουμπρί , , , ,01774 Από τα διαγράμματα οι μετασχηματισμένες χρονοσειρές φαίνονται να είναι πιο στάσιμες από τις αρχικές. Για την επίτευξη πλήρους στασιμότητας είναι πιθανόν να χρειαστεί η διαφοροποίηση των χρονοσειρών, δηλαδή η χρήση ενός βαθμού d ή ενός βαθμού D στο μοντέλο ARIMA. Υπολογίστηκαν επίσης και τα περιγραφικά στατιστικά των χρονοσειρών της Θεσσαλονίκης (Πίνακας 3.10) για να γίνουν κατανοητά τα βασικά χαρακτηριστικά των νέων χρονοσειρών. Στον Πίνακα 3.11 που ακολουθεί παρουσιάζονται τα 38

39 αποτελέσματα των ελέγχων κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας. Είναι φανερή η στασιμότητα του μέσου για όλες τις νέες χρονοσειρές και η στασιμότητα της διακύμανσης τουλάχιστον για τα είδη του γαύρου και του σκουμπριού. Πίνακας 3.11 Στατιστικά στοιχεία για τους ελέγχους κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας για το λιμάνι της Θεσσαλονίκης. Kolmogorov- Επίπεδο Levene s Επίπεδο Ν Smirnov Z Σημαντικότητας Statistic Σημαντικότητας Γαύρος 207,864,445,004,949 Σαρδέλα 207,616,842 5,055,026 Σαυρίδι 207,819,514 3,294,071 Σκουμπρί 189,642,804 2,722, Μετασχηματισμένες χρονοσειρές Καβάλας Εικόνα 3.24 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Γαύρου, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Καβάλας Εικόνα 3.25 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαρδέλας, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Καβάλας 39

40 Εικόνα 3.26 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαυριδιού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Καβάλας Εικόνα 3.27 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σκουμπριού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Καβάλας Εικόνα 3.28 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων των τεσσάρων ειδών, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Καβάλας. 40

41 Πίνακας 3.12 Περιγραφικά στατιστικά για τις μετασχηματισμένες χρονοσειρές της Καβάλας Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Τιμή Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Τυπική Απόκλιση Μέση Τιμή Γαύρος , , , ,47492 Σαρδέλα , , , ,79748 Σαυρίδι , ,64 949, ,13932 Σκουμπρί , ,52 953, ,47260 Από τα γραφήματα των νέων χρονοσειρών της Καβάλας (Εικόνες ) βλέπουμε ότι η στασιμότητα δεν έχει επιτευχθεί πλήρως, αν και έχει βελτιωθεί. Ο Πίνακας 3.12 παρουσιάζει τα περιγραφικά στατιστικά. Από τον Πίνακα 3.13 που ακολουθεί και περιέχει τα στατιστικά των ελέγχων κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας, βλέπουμε ότι μόνο για τη σαρδέλα έχει βελτιωθεί σημαντικά η κατάσταση. Είναι πιθανό να επηρεάζουν πολύ τις άλλες χρονοσειρές ακραίες τιμές, όπως φαίνεται από την Εικόνα 3.26, όπου οι εκφορτώσεις του σαυριδιού πέφτουν πολύ κατά το έτος Η στασιμότητα φυσικά θα επιτευχθεί με τη χρήση διαφοροποίησης. Πίνακας 3.13 Στατιστικά στοιχεία για τους ελέγχους κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας για το λιμάνι της Καβάλας. Kolmogorov- Επίπεδο Levene s Επίπεδο Ν Smirnov Z Σημαντικότητας Statistic Σημαντικότητας Γαύρος 206 1,363,049 2,902,090 Σαρδέλα 206,634,816 6,430,012 Σαυρίδι 205 1,879,002 1,696,194 Σκουμπρί 188 1,550,016 7,204, Μετασχηματισμένες χρονοσειρές Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.29 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Γαύρου, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης 41

42 Εικόνα 3.30 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαρδέλας, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.31 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σαυριδιού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.32 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων Σκουμπριού, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης 42

43 Εικόνα 3.33 Φυσικός λογάριθμος μηνιαίων εκφορτώσεων των τεσσάρων ειδών, πολλαπλασιασμένων επί 100, στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Πίνακας 3.14 Περιγραφικά στατιστικά για τις μετασχηματισμένες χρονοσειρές της Αλεξανδρούπολης Αριθμός Παρατηρήσεων Κενών Τιμή Τιμή κλιση Αριθμός Ελάχιστη Μέγιστη Τυπική Από- Μέση Τιμή Γαύρος , ,65 805, ,78749 Σαρδέλα , ,90 848, ,50989 Σαυρίδι , ,88 804, ,30178 Σκουμπρί , ,38 830, ,11564 Τα γραφήματα (Εικόνες ) δείχνουν τις νέες μετασχηματισμένες χρονοσειρές και τα περιγραφικά τους στατιστικά φαίνονται στον Πίνακα Το σκουμπρί παρουσίασε ένα επιπλέον κενό σε σχέση με την αρχική σειρά. Αυτό συνέβει γιατί περιείχε μια μηδενική παρατήρηση. Για την ανάλυση της χρονοσειράς θα συμπληρώσουμε το συγκερκιμένο κενό με μηδέν. Ακολουθεί ο Πίνακας 3.15 με τα στατιστικά για τους ελέγχους κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι μόνο το σκουμπρί στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης απέκτησε την επιθυμητή στασιμότητα. Βέβαια έχοντας πολλά κενά η συγκεκριμένη χρονοσειρά πρέπει να συμπληρωθεί για να γίνει η ανάλυση και η πρόβλεψη. Το ίδιο φυσικά ισχύει και για τη χρονοσειρά του γαύρου. Πίνακας 3.15 Στατιστικά στοιχεία για τους ελέγχους κανονικότητας και ομοσκεδαστικότητας για το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης. Kolmogorov- Επίπεδο Levene s Επίπεδο Ν Smirnov Z Σημαντικότητας Statistic Σημαντικότητας Γαύρος 185 1,226,099 18,402,000 Σαρδέλα 206 1,449,030 3,611,059 Σαυρίδι 207 1,265,082 5,378,021 Σκουμπρί 163 1,067,205,235,629 43

44 3.5 Συμπλήρωση χρονοσειρών Η συμπλήρωση των χρονοσειρών είναι απαραίτητη πριν συνεχίσει η ανάλυση. Από την πληθώρα των μεθόδων που είναι διαθέσιμες θα προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε την πιο κατάλληλη για την κάθε περίπτωση. Οι χρονοσειρές που εμφάνισαν κενές καταγραφές ήταν οκτώ. Οι τέσσερις είχαν μόνο μια ή δύο κενές καταγραφές. Οι χρονοσειρές αυτές είναι, του γαύρου, της σαρδέλας και του σαυριδιού στο λιμάνι της Καβάλας και της σαρδέλας στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης. Για αυτές δεν θα υπάρχουν σημαντικές διαφορές όποια μέθοδος και να χρησιμοποιηθεί για την συμπλήρωση των κενών. Ο Πίνακας 3.16 δείχνει την τιμή που θα συμπληρώσει το κενό για την κάθε μέθοδο. Από αυτόν φαίνεται ότι δεν υπάρχουν σημαντικές διαφορές στις διάφορες μεθόδους. Θα επιλεγεί ο μέσος όρος της σειράς για τη συμπλήρωση και των τεσσάρων χρονοσειρών, μια μέθοδος που δεν επηρεάζει το μέσο και τη διακύμανση. Για τις υπόλοιπες τέσσερις χρονοσειρές (σκουμπρί και στα τρία λιμάνια, γαύρος στην Αλεξανδρούπολη) θα γίνει η συμπλήρωση των κενών με έξι διαφορετικούς τρόπους. Αυτοί είναι: η μέθοδος της μέσης τιμής της σειράς η μέθοδος της μέσης τιμής δύο κοντινών σημείων η μέθοδος της διαμέσου δύο κοντινών σημείων η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής η μέθοδος της γραμμικής τάσης η μέθοδος της παλινδρόμησης Στις επόμενες παραγράφους θα γίνει αναλυτική παρουσίαση των συμπληρωμένων χρονοσειρών με κάθε μία από τις παραπάνω μεθόδους καθώς και των στατιστικών στοιχείων τους, ώστε να επιλεγεί κάθε φορά η μέθοδος που πλησιάζει περισσότερο στατιστικά στην αρχική χρονοσειρά, δηλαδή αυτή που δεν επηρεάζει πολύ τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Πίνακας 3.16 Τιμές συμπλήρωση των κενών για τις χρονοσειρές με ένα ή δύο κενά. Μέσος (2) Διάμεσος (2) Μέση τιμή Γραμμική Γραμμική κοντινών κοντινών σειράς παρεμβολή τάση σημείων σημείων Γαύρος Καβάλα 1188, , , , ,75 Σαρδέλα Καβάλα 1195, , , , ,96 Σαυρίδι Καβάλα (1) 949,48 640,51 624,70 562,58 897,25 Σαυρίδι Καβάλα (2) 949,48 960,69 942,97 927,71 893,80 Σαρδέλα Αλεξ/πολη 848,24 636,09 565,94 470,46 756,27 44

45 3.5.1 Συμπλήρωση χρονοσειράς εκφορτώσεων Σκουμπριού Θεσσαλονίκης Εικόνα 3.34 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς Εικόνα 3.35 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της μέσης τιμής κοντινών σημείων Εικόνα 3.36 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της διαμέσου κοντινών σημείων 45

46 Εικόνα 3.37 Συμπληρωμένη χρονοσειράς σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής Εικόνα 3.38 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της γραμμικής τάσης Εικόνα 3.39 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Θεσσαλονίκης με τη μέθοδο της παλινδρόμησης 46

47 Πίνακας 3.17 Συγκριτικά αποτελέσματα περιγραφικών στατιστικών για τις πέντε μεθόδους συμπλήρωσης των κενών της χρονοσειράς για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη Ελάχιστη Τυπική Απόκλιση Ν Μέγιστη Τιμή Μέση Τιμή Τιμή Αρχική Χρονοσειρά , , , ,01774 Μέθοδος μέσου σειράς , , , ,10129 Μέθοδος μέσου κοντινών σημείων , , , ,59216 Μέθοδος διαμέσου κοντινών σημείων , , , ,04680 Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής , ,29 996, ,90994 Μέθοδος γραμμικής τάσης , , , ,18567 Μέθοδος παλινδρόμησης , , , ,22530 Τα παραπάνω γραφήματα (Εικόνες ) δείχνουν τη συμπληρωμένη χρονοσειρά για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη με έξι διαφορετικές μεθόδους συμπλήρωσης. Ο πίνακας 3.17 συγκεντρώνει τα περιγραφικά στοιχεία της αρχικής χρονοσειράς και των έξι συμπληρωμένων χρονοσειρών, μια για κάθε πιθανή μέθοδο συμπλήρωσης. Βλέπουμε ότι όλες οι μέθοδοι καταφέρνουν να συμπληρώσουν όλα τα κενά, ενώ καμία από τις μεθόδους δεν επηρεάζει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή. Η μέση τιμή επηρεάζεται περισσότερο από τη μέθοδο γραμμικής παρεμβολής, ενώ η μέθοδος μέσης τιμής της σειράς και η μέθοδος παλινδρόμησης την επηρεάζουν λιγότερο. Η μέθοδος γραμμικής παρεμβολής επηρεάζει περισσότερο από τις υπόλοιπες και την τυπική απόκλιση καθιστώντας τη κακή επιλογή για την συμπλήρωση της σειράς. Αντίθετα η μέθοδος της παλινδρόμησης φαίνεται να είναι ιδανική για τη συμπλήρωση αφού δεν επηρεάζει ούτε την τυπική απόκλιση. Επίσης φαίνεται και από το γράφημά της (Εικόνα 3.39) ότι συμπληρώνει τα κενά με πιο πραγματικές τιμές από τις προηγούμενες μεθόδους. 47

48 3.5.2 Συμπλήρωση χρονοσειράς εκφορτώσεων Σκουμπριού Καβάλας Εικόνα 3.40 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς Εικόνα 3.41 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της μέσης τιμής κοντινών σημείων Εικόνα 3.42 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της διαμέσου κοντινών σημείων 48

49 Εικόνα 3.43 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής Εικόνα 3.44 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της γραμμικής τάσης Εικόνα 3.45 Συμπληρωμένη χρονοσειρά σκουμπριού Καβάλας με τη μέθοδο της παλινδρόμησης 49

50 Πίνακας 3.18 Συγκριτικά αποτελέσματα περιγραφικών στατιστικών για τις έξι μεθόδους συμπλήρωσης των κενών της χρονοσειράς για το σκουμπρί στην Καβάλα Ελάχιστη Τυπική Απόκλιση Ν Μέγιστη Τιμή Μέση Τιμή Τιμή Αρχική Χρονοσειρά , ,52 953, ,47260 Μέθοδος μέσου σειράς , ,52 953, ,35736 Μέθοδος μέσου κοντινών σημείων , ,52 942, ,50076 Μέθοδος διαμέσου κοντινών σημείων , ,52 940, ,04388 Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής , ,52 940, ,71048 Μέθοδος γραμμικής τάσης , ,52 951, ,64118 Μέθοδος παλινδρόμησης , ,52 949, ,22359 Τα παραπάνω γραφήματα (Εικόνες ) δείχνουν τη συμπληρωμένη χρονοσειρά για το σκουμπρί στην Καβάλα με τις έξι διαφορετικές μεθόδους συμπλήρωσης. Ο πίνακας 3.18 συγκεντρώνει τα περιγραφικά στοιχεία της αρχικής χρονοσειράς και των έξι συμπληρωμένων χρονοσειρών, μια για κάθε πιθανή μέθοδο συμπλήρωσης. Όλες οι μέθοδοι καταφέρνουν να συμπληρώσουν όλα τα κενά, ενώ καμία από τις μεθόδους δεν επηρεάζει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή. Η μέση τιμή επηρεάζεται περισσότερο από τα μεθόδους της γραμμικής παρεμβολής και της διαμέσου των κοντινών σημείων, αντίθετα η μέθοδος της μέσης τιμής της σειράς αφήνει ανεπηρέαστη την μέση τιμή της χρονοσειράς. Η τυπική απόκλιση επηρεάστηκε αρκετά από τη μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς και τη μέθοδο της γραμμικής τάσης. Μικρή επίδραση είχαν οι όλες οι υπόλοιπες μέθοδοι με μικρότερη αυτή της παλινδρόμησης. Για την συμπλήρωση της χρονοσειράς του σκουμπριού στην Καβάλα θα επιλεγεί επίσης η μέθοδος της παλινδρόμησης. Από το γράφημά της (Εικόνα 3.45) φαίνεται ότι συμπληρώνει τα κενά με πιο πραγματικές τιμές από τις άλλες μεθόδους. 50

51 3.5.3 Συμπλήρωση χρονοσειράς εκφορτώσεων Γαύρου Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.46 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς Εικόνα 3.47 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της μέσης τιμής κοντινών σημείων Εικόνα 3.48 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της διαμέσου κοντινών σημείων 51

52 Εικόνα 3.49 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής Εικόνα 3.50 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της γραμμικής τάσης Εικόνα 3.51 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της παλινδρόμησης 52

53 Πίνακας 3.19 Συγκριτικά αποτελέσματα περιγραφικών στατιστικών για τις έξι μεθόδους συμπλήρωσης των κενών της χρονοσειράς για το γαύρο στην Αλεξανδρούπολη Ελάχιστη Τυπική Απόκλιση Ν Μέγιστη Τιμή Μέση Τιμή Τιμή Αρχική Χρονοσειρά , ,65 805, ,78749 Μέθοδος μέσου σειράς , ,65 805, ,71998 Μέθοδος μέσου κοντινών σημείων , ,65 813, ,00772 Μέθοδος διαμέσου κοντινών σημείων , ,65 812, ,16287 Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής , ,65 811, ,44551 Μέθοδος γραμμικής τάσης , ,65 813, ,00203 Μέθοδος παλινδρόμησης , ,65 806, ,51499 Στα παραπάνω γραφήματα (Εικόνες ) φαίνονται οι συμπληρωμένες χρονοσειρές των εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τις έξι μεθόδους συμπλήρωσης που έχουν αναφερθεί. Όπως φαίνεται και από τον Πίνακα 3.19 με τα συγκριτικά στατιστικά στοιχεία, όλες οι μέθοδοι είναι πετυχημένες στο να συμπληρώνουν όλες τις κενές παρατηρήσεις. Επίσης δεν παρατηρήθηκε η αλλοίωση της μέγιστης και ελάχιστης τιμής από καμία από τις μεθόδους. Η μέση τιμή επηρεάστηκε για όλες τις μεθόδους, εκτός φυσικά από την μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς και επίσης από τη μέθοδο της παλινδρόμησης. Η τυπική απόκλιση επηρεάστηκε λιγότερο από τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής, ενώ η μέθοδος της μέσης τιμής της σειράς την επηρέασε περισσότερο. Η μέθοδος που επιλέχθηκε για την συμπλήρωση της σειράς είναι αυτή της μέσης τιμής της σειράς. Η επιλογή δεν έγινε μόνο για λόγους διατήρησης της μέσης τιμής, αλλά κυρίως επειδή η μέθοδος της παλινδρόμησης δεν ενώ διατήρησε καλύτερα τα στατιστικά στοιχεία της αρχικής σειράς, παρουσίασε απότομες μεταβολές οι οποίες δεν χαρακτηρίζουν την υπόλοιπη σειρά. Συγκεκριμένα, οι 16 πρώτες κενές καταγραφές αφορούν τους μήνες Οκτώβριο και Νοέμβριο των ετών Στους μήνες αυτούς στα επόμενα έτη για τα οποία υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα φαίνεται να υπάρχει μείωση σε σχέση με τον Σεπτέμβριο και τον Μάρτιο, δηλαδή τους μήνες πριν και μετά τις κενές καταγραφές. Έγινε μια προσπάθεια να συμπληρωθούν τα κενά από τους μέσους των μηνών αυτών. Τα αποτελέσματα δεν ήταν ικανοποιητικά, επειδή υπάρχει όπως φαίνεται και από το γράφημα της χρονοσειράς (Εικόνα 3.29), υπάρχει μια πτωτική τάση στα δεδομένα. Η χρήση λοιπόν της μεθόδου της μέσης τιμής ακολουθεί το πρότυπο της πτώσης των εκφορτώσεων για τους χειμερινούς μήνες και διατηρεί ταυτόχρονα τη μέση τιμή της αρχικής χρονοσειράς. 53

54 3.5.4 Συμπλήρωση χρονοσειράς εκφορτώσεων Σκουμπριού Αλεξανδρούπολης Εικόνα 3.52 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της μέσης τιμής της σειράς Εικόνα 3.53 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της μέσης τιμής των κοντινών σημείων Εικόνα 3.54 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της διαμέσου των κοντινών σημείων 54

55 Εικόνα 3.55 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής Εικόνα 3.56 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της γραμμικής τάσης Εικόνα 3.57 Συμπληρωμένη σειρά εκφορτώσεων σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης με τη μέθοδο της παλινδρόμησης 55

56 Πίνακας 3.20 Συγκριτικά αποτελέσματα περιγραφικών στατιστικών για τις έξι μεθόδους συμπλήρωσης των κενών της χρονοσειράς για το σκουμπρί στην Αλεξανδρούπολη Ελάχιστη Τυπική Απόκλιση Ν Μέγιστη Τιμή Μέση Τιμή Τιμή Αρχική Χρονοσειρά 163, ,38 830, ,11564 Μέθοδος μέσου σειράς 207, ,38 830, ,38649 Μέθοδος μέσου κοντινών σημείων 206, ,38 812, ,54994 Μέθοδος διαμέσου κοντινών σημείων 206, ,38 812, ,70348 Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής 206, ,38 805, ,53632 Μέθοδος γραμμικής τάσης 207, ,38 835, ,01049 Μέθοδος παλινδρόμησης 207, ,83 825, ,49070 Η χρονοσειρά του σκουμπριού της Αλεξανδρούπολης είχε τις περισσότερες κενές καταγραφές. Τα κενά αποτελούσαν περίπου το 20% της σειράς. Είναι αναμενόμενο να είναι πολύ δύσκολο να συμπληρωθεί και να αναλυθεί ώστε να βγουν αξιόπιστα αποτελέσματα. Στις Εικόνες φαίνονται τα διαγράμματα των συμπληρωμένων χρονοσειρών με έξι διαφορετικές μεθόδους. Ο Πίνακας 3.20 περιλαμβάνει τα συγκριτικά στατιστικά για κάθε μία από τις μεθόδους συμπλήρωσης. Βλέπουμε ότι οι μέθοδοι που απαιτούν δεδομένα από τις δύο πλευρές των κενών δεν καταφέρνουν να συμπληρώσουν την πρώτη παρατήρηση που βρίσκεται στην αρχή της χρονοσειράς. Η συγκεκριμένη τιμή δεν είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί αφού απλά μειώνει το μήκος της χρονοσειράς χωρίς να προκαλεί παραπάνω προβλήματα. Η μέγιστη τιμή επηρεάστηκε από τη μέθοδο της παλινδρόμησης,, ενώ οι υπόλοιπες μέθοδοι άφησαν τα ακρότατα ανεπηρέαστα. Η μέθοδος συμπλήρωσης που επιλέχθηκε είναι αυτή της μέσης τιμής της σειράς, γιατί καταφέρνει να συμπληρώσει όλα τα κενά και να διατηρήσει όλα τα στατιστικά της αρχικής χρονοσειράς εκτός από αυτό της διακύμανσης. 56

57 3.6 Τελικές Χρονοσειρές Τελειώνοντας την προ-επεξεργασία των δώδεκα χρονοσειρών θα γίνει μια συνοπτική παρουσίαση των νέων χρονοσειρών που κατασκευάστηκαν μέσω του λογαριθμικού μετασχηματισμού και της συμπλήρωσης των χρονοσειρών. Οι χρονοσειρές δεν έ- χουν γίνει απολύτως στάσιμες, όπως φαίνεται και από τα παρακάτω διαγράμματα, τουλάχιστόν όχι για όλα τα είδη. Συγκεκριμένα το είδος του γαύρου παρουσιάζεται στάσιμο, με έντονη παρουσία εποχικότητας, η οποία θα απαλειφθεί με εποχική διαφοροποίηση. Η σαρδέλα στην Καβάλα και την Θεσσαλονίκη είναι στάσιμες, ενώ στην Αλεξανδρούπολη φαίνεται να υπάρχει αλλαγή στη διασπορά για τα τελευταία έτη. Αυτό θα επιτευχθεί μέσω της διαφοροποίησης. Το σαυρίδι παρουσιάζεται στάσιμο μέχρι το 1995, ενώ μετά φαίνεται να υπάρχουν μη στάσιμες διαδικασίες. Τέλος το σκουμπρί παρουσιάζει έντονη εποχικότητα και είναι μάλλον στάσιμο, εκτός από το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης όπου υπήρχαν και τα περισσότερα κενά. Τα διαγράμματα που ακολουθούν περιέχουν τις χρονοσειρές χωρισμένες ανά είδος. Εικόνα 3.58 Μηνιαίες χρονοσειρές εκφορτώσεων γαύρου στα τρία λιμάνια για την περίοδο Εικόνα 3.59 Μηνιαίες χρονοσειρές εκφορτώσεων σαρδέλας στα τρία λιμάνια για την περίοδο

58 Εικόνα 3.60 Μηνιαίες χρονοσειρές εκφορτώσεων σαυριδιού στα τρία λιμάνια για την περίοδο Εικόνα 3.61 Μηνιαίες χρονοσειρές εκφορτώσεων σκουμπριού στα τρία λιμάνια για την περίοδο

59 3.7 Εποχικότητα Οι χρονοσειρές εμφανίζουν εποχικότητα, δηλαδή μεταβολές που επαναλαμβάνονται στην περίοδο ενός έτους. Είναι πιθανόν να υπάρχουν κυκλικές μεταβολές περισσότερων ετών, οι οποίες όμως δεν θα μας απασχολήσουν στην εργασία αυτή. Η μελέτη των εποχικών διακυμάνσεων γίνεται με διάφορες μεθόδους, όπως τα μηνιαία θηκογράμματα (box plots) και οι εποχικοί συντελεστές (seasonal adjusted factors SAF) που προκύπτουν από την ανάλυση αποεποχοποίησης (seasonal decomposition) Εποχικοί Συντελεστές Εικόνα 3.62 Εποχικοί συντελεστές ανά λιμάνι για τα τέσσερα πελαγικά είδη Στα παραπάνω γραφήματα (Εικόνα 3.62) φαίνονται οι εποχικοί συντελεστές για τα τέσσερα είδη, ένα για το καθένα από τα τρία λιμάνια. Το είδος του γαύρου φαίνεται να έχει ξεκάθαρη εποχικότητα και στα τρία λιμάνια με αυξημένες εκφορτώσεις κατά τους καλοκαιρινούς μήνες. Η σαρδέλα εμφανίζει μια μικρή αύξηση κατά την άνοιξη στα λιμάνια της Θεσσαλονίκης και της Αλεξανδρούπολης. Στο λιμάνι της Καβάλας εμφανίζεται αύξηση και κατά το τέλος του φθινοπώρου. Το σαυρίδι έχει διαφορετικά πρότυπα για τα τρία λιμάνια, έχοντας στη Θεσσαλονίκη αυξημένες εκφορτώσεις στο τέλος του καλοκαιριού, ενώ στα άλλα δύο λιμάνια η αύξηση παρατηρείται νωρίτερα. Το σκουμπρί 59

60 εμφανίζει και αυτό σημάδια εποχικότητας, κυρίως στο λιμάνι της Καβάλας και της Αλεξανδρούπολης. 3.8 Ανάλυση Χρονοσειρών Ανάπτυξη μοντέλων ARIMA Η ανάλυση των χρονοσειρών για την ανάπτυξη ξεκινά με την αναγνώριση ή ταυτοποίηση (identification) του μοντέλου ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) 9, με βάση τα χαρακτηριστικά των χρονοσειρών και από τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (ACF, PACF). Στην παράγραφο παρουσιάζονται τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης για όλες τις χρονοσειρές που αναλύθηκαν. Στη συνέχεια (παράγραφος 3.8.2) παρουσιάζονται τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών σειρών των εποχικών μοντέλων ARIMA που κατασκευάστηκαν με σκοπό την αναγνώριση των μη εποχικών προτύπων. Τα δοκιμαστικά μοντέλα που θα κατασκευαστούν θα δοκιμαστούν ως προς την προσαρμογή τους στα δεδομένα κυρίως μέσω της ανάλυσης των υπολειμμάτων τους και μέσα από στατιστικούς δείκτες. Τα τελικά υποδείγματα που θα κατασκευαστούν θα χρησιμοποιηθούν για πρόβλεψη, αφού γίνει έλεγχος των μοντέλων κατά την περίοδο δοκιμής. 60

61 3.8.1 Διαγράμματα Αυτοσυσχέτισης και Μερικής Αυτοσυσχέτισης ACF και PACF Θεσσαλονίκη Εικόνα 3.63 Διαγράμματα ACF και PACF για το γαύρο στη Θεσσαλονίκη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.64 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το γαύρο στη Θεσσαλονίκη Τo διαγράμματα ACF της μετασχηματισμένης χρονοσειράς του γαύρου στη Θεσσαλονίκη (Εικόνα 3.63 Πάνω) εμφανίζει έντονα την ανάγκη εποχικής διαφοροποίησης, αφού οι χρονικές υστερήσεις που είναι πολλαπλάσιες της εποχικότητας είναι αυξημένες σε σχέση με τις υπόλοιπες τιμές. Τα γραφήματα ACF και PACF με εποχική διαφοροποίηση υποδεικνύουν έναν βαθμό αυτοπαλινδρόμισης, αφού το ACF μειώνεται εκθετικά, ενώ το PACF μια μεγάλη τιμή και ο υπόλοιπες πέφτουν κοντά στο μηδέν. Επίσης στο δοκιμαστικό μοντέλο θα προσθέσουμε ένα βαθμό εποχικού κινητού μέσου, αφού όπως 61

62 βλέπουμε στην Εικόνα 3.64 τα εποχικά lags πέφτουν εκθετικά στο PACF και στο ACF έχουμε μόνο μια μεγάλη τιμή και οι υπόλοιπες είναι πολύ μικρές, χωρίς να σχηματίζουν εκθετική ουρά. Το δοκιμαστικό μοντέλο για το γαύρο θα είναι ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Εικόνα 3.65 Διαγράμματα ACF και PACF για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.66 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη Η χρονοσειρά της σαρδέλας χρειάζεται επίσης ένα βαθμό εποχικής διαφοροποίησης, αν και εδώ τα πράγματα δεν είναι τόσο ξεκάθαρα όσο στην περίπτωση του γαύρου, βλέπουμε ότι τα εποχικά lags έχουν μεγαλύτερες τιμές από τα υπόλοιπα. Το μη εποχικό μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί δεν είναι εύκολο να επιλεγεί, παρατηρώντας μόνο τα παραπάνω διαγράμματα. Στη συνέχεια θα κατασκευαστούν τα μοντέλα εποχικού χαρακτήρα και ανάλυση των υπολειμματικών σειρών τους είναι πιθανό να αποκαλύψουν τις παραμέτρους του μοντέλου. Πάλι θα επιλέξουμε ένα βαθμό AR αφού υπάρχει μια υποψία εκθετικής πτώσης στο ACF, ενώ αυτή απουσιάζει από το PACF. Για το εποχικό μέρος του μοντέλου κατασκευάστηκαν πάλι τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης για τις πρώτες εποχικές χρονικές υστερήσεις 62

63 (Εικόνα 3.65), και φαίνεται να ακολουθούν τα ίδια πρότυπα με το γαύρο. Οπότε το μοντέλο που θα δοκιμάσουμε θα είναι πάλι της μορφής ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Εικόνα 3.67 Διαγράμματα ACF και PACF για το σαυρίδι στη Θεσσαλονίκη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.68 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το σαυρίδι στη Θεσσαλονίκη Η χρονοσειρά του σαυριδιού στη Θεσσαλονίκη έχει υψηλούς συντελεστές αυτοσυσχέτισης στις εποχικές χρονικές υστερήσεις, με αποτέλεσμα να γίνει η εποχική διαφοροποίησή της. Από τα διαγράμματα ACF και PACF με εποχική διαφοροποίηση βλέπουμε ότι εμφανίζονται τα χαρακτηριστικά της αυτοπαλινδρομικής διαδικασίας και εδώ ο- πότε θα δοκιμάσουμε ένα βαθμό AR. Αν το μοντέλο δεν είναι αρκετά καλό μπορεί να γίνει δοκιμή με δύο βαθμούς AR αφού και το δεύτερο lag στο διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζεται κάπως υψηλό. Πάλι όσων αφορά στο εποχικό μέρος του μοντέλου βλέπουμε στην Εικόνα 3.68 το ίδιο πρότυπο με τις προηγούμενες χρονοσειρές, δηλαδή μια τιμή πάνω από τα όρια εμπιστοσύνης και εκθετική ουρά στο διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης, και μια τιμή πάνω από τα όρια εμπιστοσύνης χωρίς ουρά στο διά- 63

64 γραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης. Το δοκιμαστικό μοντέλο για το σαυρίδι θα είναι ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Εικόνα 3.69 Διαγράμματα ACF και PACF για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.70 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη Το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης (Εικόνα 3.69 Πάνω) εμφανίζει την ανάγκη της εποχικής διαφοροποίησης και για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη. Τα μη εποχικά χαρακτηριστικά του μοντέλου δεν φαίνονται καθαρά. Θα επιλέξουμε ένα μικτό μοντέλο ARMA(1,1) για δοκιμή, αφού οι αυξομειώσεις των διαγραμμάτων δεν μοιάζουν με τα απλά αυτοπαλινδρομικά υποδείγματα ή απλά υποδείγματα κινητού μέσου. Τα πράγματα στο εποχικό κομμάτι του μοντέλου είναι πιο καθαρά, αφού τα διαγράμματα των εποχι- 64

65 κών lags (Εικόνα 3.70) τα ίδια χαρακτηριστικά με τις προηγούμενες χρονοσειρές. Το μοντέλο που θα δοκιμαστεί αρχικά θα είναι το ARIMA(1,0,1)(0,1,1) Καβάλα Ακολουθούν τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης για τα τέσσερα είδη στο λιμάνι της Καβάλας. Στο πάνω μέρος είναι τα διαγράμματα των μετασχηματισμένων χρονοσειρών και στο κάτω μέρος είναι τα διαγράμματα των μετασχηματισμένων χρονοσειρών με ένα βαθμό εποχικής διαφοροποίησης. Συνοπτικά αναφέρουμε ότι όλες οι χρονοσειρές του λιμανιού της Καβάλας θα διαφοροποιηθούν εποχικά. Εικόνα 3.71 Διαγράμματα ACF και PACF για το γαύρο στην Καβάλα. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.72 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το γαύρο στην Καβάλα Ο γαύρος εμφανίζει το πρότυπο AR(1), δηλαδή μια μεγάλη τιμή στο πρώτο lag για το ACF και εκθετική μείωση στη συνέχεια, σε συνδυασμό με μια υψηλή τιμή στο PACF χωρίς να υπάρχει εκθετική μείωση. Στο διάγραμμα της Εικόνας 3.72 με τα εποχι- 65

66 κά lags των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης επιλέχθηκε να εμφανιστούν περισσότερες τιμές, επειδή δεν φαίνεται καθαρά το πρότυπο που ακολουθούν. Μάλλον πρόκειται για την περίπτωση του εποχικού κινούμενου μέσου, οπότε το συνολικό μοντέλο θα είναι ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Εικόνα 3.73 Διαγράμματα ACF και PACF για το σαρδέλα στην Καβάλα. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.74 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τη σαρδέλα στην Καβάλα Η χρονοσειρά της σαρδέλας εμφάνισε το πρότυπο του μη εποχικού αυτοπαλινδρομικού μοντέλου στα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (Εικόνα 3.73). Στα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των εποχικών υστερήσεων (Εικόνα 3.74) φαίνεται ότι δεν πρόκειται για μια διαδικασία αμιγώς αυτοπαλινδρομική ή αμιγώς κινητού μέσου, οπότε θα επιλεγεί ένα μεικτό υπόδειγμα για το εποχικό τμήμα του μοντέλου. Το συνολικό μοντέλο θα έχει τη μορφή ARIMA(1,0,0)(1,1,1) 9. 66

67 Εικόνα 3.75 Διαγράμματα ACF και PACF για το σαυρίδι στην Καβάλα. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.76 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τo σαυρίδι στην Καβάλα Η χρονοσειρά του σαυριδιού έχει και αυτή καθαρή εικόνα για το μη εποχικό μέρος του μοντέλου. Το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης της εποχικά διαφοροποιημένης χρονοσειράς έχει μια μεγάλη τιμή στην πρώτη χρονική υστέρηση και διαρκώς μειούμενες επόμενες υστερήσεις. Το διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζει μια μοναχική μεγάλη τιμή ακολουθούμενη από πολύ μικρές τιμές. Αυτό οδηγεί στην επιλογή του AR(1) για το μη εποχικό μοντέλο. Στο εποχικό τμήμα του μοντέλου υπάρχει πάλι μια δυσκολία α- ναγνώρισης. Σε αυτή την περίπτωση θα επιλεγεί ένα μοντέλο κινούμενου μέσου, αφού οι τιμές στο διάγραμμα μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζονται όλες στο αρνητικό τμήμα του διαγράμματος. Το συνολικό μοντέλο θα είναι ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. 67

68 Εικόνα 3.77 Διαγράμματα ACF και PACF για το σκουμπρί στην Καβάλα. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.78 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τo σαυρίδι στην Καβάλα Από τα παραπάνω διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (Εικόνα 3.77) καθώς και από τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των εποχικών χρονικών υστερήσεων (Εικόνα 3.78) καταλήγουμε στο δοκιμαστικό μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Το συγκεκριμένο μοντέλο δεν επιλέχθηκε αποκλειστικά από τις παρατηρήσεις των παραπάνω διαγραμμάτων, αλλά έγινε έχοντας υπ όψιν τα προηγούμενα μοντέλα και τον μεγάλο αριθμό κενών παρατηρήσεων που είχε η σειρά. 68

69 Αλεξανδρούπολη Ακολουθούν τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης για τα τέσσερα είδη στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης. Στο πάνω μέρος είναι τα διαγράμματα των μετασχηματισμένων χρονοσειρών και στο κάτω μέρος είναι τα διαγράμματα των μετασχηματισμένων χρονοσειρών με ένα βαθμό εποχικής διαφοροποίησης. Οι χρονοσειρές της Αλεξανδρούπολης εμφάνισαν και αυτές έντονο εποχικό χαρακτήρα και επιλέχτηκε για όλες ένας βαθμός εποχικής διαφοροποίησης. Τα μοντέλα που θα δοκιμαστούν για ό- λες τις χρονοσειρές της Αλεξανδρούπολης θα είναι ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9, σύμφωνα με τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης που ακολουθούν (Εικόνες ). Τα χαρακτηριστικά που οδήγησαν στην επιλογή αυτή αναλύθηκαν αναλυτικά για τις προηγούμενες χρονοσειρές. Εικόνα 3.79 Διαγράμματα ACF και PACF για το γαύρο στην Αλεξανδρούπολη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.80 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τo γαύρο στην Αλεξανδρούπολη 69

70 Εικόνα 3.81 Διαγράμματα ACF και PACF για τη σαρδέλα στην Αλεξανδρούπολη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.82 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για τη σαρδέλα στην Αλεξανδρούπολη. Στην Εικόνα 3.81, στα κάτω διαγράμματα που αφορούν στις εποχικά διαφοροποιημένες χρονοσειρές, αναγνωρίζουμε το χαρακτηριστικό της αυτοπαλινδρομικής διαδικασίας πρώτου βαθμού, δηλαδή ένα ACF που ξεκινά ψηλά και σβήνει σταδιακά και ένα PACF που έχει μία μόνο μεγάλη τιμή. Από τα διαγράμματα που περιέχουν απομονωμένες τις εποχικές χρονικές υστερήσεις (Εικόνα 3.82) βλέπουμε αμυδρά το πρότυπο της διαδικασίας κινητού μέσου. 70

71 Εικόνα 3.83 Διαγράμματα ACF και PACF για το σαυρίδι στην Αλεξανδρούπολη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.84 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το σαυρίδι στην Αλεξανδρούπολη. 71

72 Εικόνα 3.85 Διαγράμματα ACF και PACF για το σκουμπρί στην Αλεξανδρούπολη. Πάνω: φυσικός λογάριθμος της σειράς. Κάτω: φυσικός λογάριθμος και εποχική διαφοροποίηση. Εικόνα 3.86 Διαγράμματα ACF και PACF των πρώτων εποχικών χρονικών υστερήσεων για το σκουμπρί στην Αλεξανδρούπολη. 72

73 3.8.2 Εποχικά μοντέλα ARIMA Για να γίνει αναγνώριση των μη εποχικών παραμέτρων των δοκιμαστικών μοντέλων, κατασκευάστηκαν τα εποχικά μοντέλα του τύπου. Η επιλογή της εποχικής διαφοροποίησης ήταν αποτέλεσμα του έντονου εποχικού χαρακτήρα όλων των χρονοσειρών, ενώ η επιλογή των βαθμών εποχικής αυτοπαλινδρόμησης και εποχικού κινητού μέσου προκύπτει από τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου. Τα μοντέλα αυτά θα χρησιμέψουν κυρίως για να αναλυθούν οι χρονοσειρές των υπολειμμάτων τους και να αναγνωριστούν τυχόν πρότυπα που ακολουθούν. Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα ACF και PACF των υπολειμματικών χρονοσειρών για τα λιμάνια της Θεσσαλονίκης, της Καβάλας και της Αλεξανδρούπολης Θεσσαλονίκη Εικόνα 3.87 Διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών χρονοσειρών των εποχικών μοντέλων ARIMA(0,1,1) 9 στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης 73

74 Τα μοντέλα που είχαν επιλεγεί ως δοκιμαστικά για τα είδη γαύρος, σαυρίδι και σκουμπρί φαίνεται να είναι σωστά, αφού τα υπολείμματα εμφανίζονται να έχουν γραφήματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης τυπικά για πρώτου βαθμού αυτοπαλινδρομικά μοντέλα AR(1). Για τη σαρδέλα δεν είναι εύκολη η αναγνώριση του μοντέλου. Παρατηρώντας τα ACF και PACF της χρονοσειράς της σαρδέλας (Εικόνα 3.65) τέθηκε σαν δοκιμαστικό μη εποχικό μοντέλο ARIMA(1,0,0). Ίσως θα πρέπει να δοκιμαστεί και ένας βαθμός κινητού μέσου ΜΑ(1), αν το παραπάνω μοντέλο δεν λειτουργήσει ικανοποιητικά Καβάλα Εικόνα 3.88 Διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών χρονοσειρών των εποχικών μοντέλων ARIMA(0,1,1) 9 στο λιμάνι της Καβάλας. Για τη σαρδέλα κατασκευάστηκαν δύο μοντέλα, Μοντέλο Ι: ARIMA(0,1,1) 9 και Μοντέλο ΙΙ: ARIMA(1,1,1) 9. 74

75 Για το λιμάνι της Καβάλας βλέπουμε ότι όλα τα είδη τα δοκιμαστικά μοντέλα που είχαν επιλεγεί από την ανάλυση των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης εμφανίζονται να είναι σωστά, αφού τα υπολειμματικά του εποχικού μοντέλου εμφανίζουν έντονα πρότυπα AR(1). Για τη σαρδέλα είχε γίνει υπόθεση για ύπαρξη εποχικού μοντέλου ARIMA(1,1,1) 9, γι αυτό και δοκιμάστηκαν δύο εποχικά μοντέλα για το συγκεκριμένο είδος. Ανάλογα με την επιτυχία που θα έχει το κάθε μοντέλο θα γίνει και η επιλογή εκείνου που ταιριάζει περισσότερο στα δεδομένα Αλεξανδρούπολη Εικόνα 3.89 Διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών χρονοσειρών των εποχικών μοντέλων ARIMA(0,1,1)9 στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης 75

76 Τα είδη της σαρδέλας, του σαυριδιού και του σκουμπριού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης φαίνεται να ακολουθούν, λιγότερο ή περισσότερο, το πρότυπο της αυτοπαλινδρόμισης (AR(1)). Ο γαύρος εμφάνισε αρκετά περίεργα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης, και μερικής αυτοσυσχέτισης, αφού μοιάζουν να προέρχονται από διαδικασία λευκού θορύβου. Θα γίνει η δοκιμή ενός μοντέλου αμιγώς εποχικού ARIMA (0,1,1) 9, καθώς και ενός μοντέλου με ένα βαθμό αυτοπαλινδρόμισης. Σαν τελικό μοντέλο θα επιλεγεί αυτό που θα περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα και προβλέπει καλύτερα στην περίοδο επιβεβαίωσης Δοκιμαστικά μοντέλα Εδώ θα παρουσιαστούν τα δοκιμαστικά μοντέλα που θα κατασκευαστούν για το κάθε είδος. Σε μερικές περιπτώσεις θα κατασκευαστούν παραπάνω από ένα μοντέλα για να γίνει σύγκριση μεταξύ τους και να επιλεγεί το πιο κατάλληλο. Ακολουθεί ο πίνακας με τις παραμέτρους των δοκιμαστικών μοντέλων για τα τέσσερα είδη σε κάθε λιμάνι. Πίνακας 3.21 Παράμετροι δοκιμαστικών μοντέλων ARIMA για το κάθε είδος σε κάθε λιμάνι. Θεσσαλονίκη Καβάλα Αλεξανδρούπολη Γαύρος (1,0,0) (0,1,1) 9 ή (2,0,0) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 ή Σαρδέλα (1,0,0) (0,1,1) 9 ή (1,0,1) (0,1,1) 9 (1,0,0) (1,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 Σαυρίδι (1,0,0) (0,1,1) 9 ή (2,0,0) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 Σκουμπρί (1,0,1) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) 9 (1,0,0) (0,1,1) Διαγράμματα ACF και PACF των υπολειμματικών σειρών Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών σειρών των δοκιμαστικών μοντέλων. Σκοπός εδώ είναι η αναγνώριση ύπαρξης τυχαιότητας στα υπολείμματα των μοντέλων, που θα σημαίνει ότι ακολουθούν ικανοποιητικά τα δεδομένα και δεν αφήνουν σημαντικά στοιχεία εκτός του μοντέλου. Επιδιώκεται δηλαδή η ταυτοποίηση, ή η διαφοροποίηση, των διαγραμμάτων των υπολειμματικών σειρών με αυτά της διαδικασίας λευκού θορύβου. Τα διαγράμματα ACF και PACF της διαδικασίας λευκού θορύβου παρουσιάζει τιμές πολύ κοντά στο μηδέ από την πρώτη χρονική υστέρηση. Είναι πιθανό ακόμα και σε πραγματικά τυχαία δεδομένα να παρατηρηθούν, κάποιες ελάχιστες, μεγαλύτερες τιμές, χωρίς ό- μως να σχηματίζεται οποιαδήποτε πρότυπο. Στις περιπτώσεις όπου κατασκευάστηκαν δύο μοντέλα θα γίνει και η σύγκριση μεταξύ τους για το ποιο μοντέλο καταφέρνει να ε- ξηγήσει καλύτερα τις χρονοσειρές και αφήνει περισσότερο τυχαίο υπόλειμμα. Στο επόμενο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα στατιστικά στοιχεία για το κάθε μοντέλο, δηλαδή θα παρουσιαστεί με στατιστικό τρόπο την προσαρμογή των μοντέλων και τα σφάλματα. 76

77 Θεσσαλονίκη Εικόνα 3.90 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το γαύρο στη Θεσσαλονίκη Εικόνα 3.91 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(2,0,0)(0,1,1) για το γαύρο στη Θεσσαλονίκη Για το γαύρο είχαν επιλεγεί δύο δοκιμαστικά μοντέλα. Τα δύο αυτά μοντέλα παρουσίασαν υπολειμματικές σειρές που πλησιάζουν πολύ τυχαίες χρονοσειρές. Από τα παραπάνω διαγράμματα (Εικόνες 3.90 και 3.91) φαίνεται ότι το μοντέλο ARIMA(2,0,0)(0,1,1) 9 έχει μικρότερες τιμές αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Μένει να επιβεβαιωθεί και από τους στατιστικούς δείκτες, αλλά πιθανότατα θα είναι το μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί για πρόβλεψη. Επίσης θα πρέπει να εξεταστεί η συμπεριφορά των δύο μοντέλων στην περίοδο επιβεβαίωσης. 77

78 3.92 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη 3.93 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,1)(0,1,1) για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη Για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη τα υπολείμματα μοιάζουν να είναι πιο τυχαία όταν εφαρμόζεται το μοντέλο ARIMA(1,0,1)(0,1,1). Οι τιμές για τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (Εικόνες 3.92 και 3.93) είναι μικρές και στα δύο μοντέλα που εφαρμόστηκαν, αλλά μοιάζει το δεύτερο μοντέλο να έχει μικρότερες τιμές. Τα στατιστικά προσαρμογής του μοντέλου θα βοηθήσουν να αναγνωριστεί το καταλληλότερο από τα δύο μοντέλα. 78

79 3.94 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σαυρίδι στη Θεσσαλονίκη 3.95 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(2,0,0)(0,1,1) για το σαυρίδι στη Θεσσαλονίκη Για το σαυρίδι είχαν επιλεγεί επίσης δύο δοκιμαστικά μοντέλα, με έναν και δύο βαθμούς αυτοπαλινδρόμησης αντίστοιχα. Το πρώτο μοντέλο φαίνεται από την Εικόνα 3.94 να μην έχει τυχαία κατανομή, αφού στα πρώτα lags υπάρχουν κάποιες τιμές πάνω από τα επίπεδα της στατιστικής σημαντικότητας. Αντίθετα στο δεύτερο μοντέλο, ARIMA(2,0,0)(0,1,1), είναι φανερό ότι οι τιμές είναι πολύ μικρές ειδικά στις πρώτες χρονικές υστερήσεις (Εικόνα 3.95). Μια μεγαλύτερη τιμή παρουσιάζεται για το ενδέκατο lag. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση τυχαιότητας του υπολείμματος, αφού είναι η μόνη τιμή που είναι στατιστικά σημαντική στα δύο διαγράμματα. 79

80 3.96 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη Για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη επιλέχτηκε το μοντέλο ARIMA(1,0,1)(0,1,1) και η υπολειμματική σειρά του εμφάνισε τα παραπάνω διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης (Εικόνα 3.96). Παρατηρήθηκαν κάποιες τιμές μεγαλύτερες των επιπέδων σημαντικότητας, χωρίς να ακολουθούν κάποιο πρότυπο όμως. Στο επόμενο κεφάλαιο θα γίνει κατανοητό αν το μοντέλο προσαρμόστηκε ικανοποιητικά ή θα πρέπει να δοκιμαστεί κάποιο καινούριο. Επίσης θα γίνει και εξέταση της ικανότητας πρόβλεψης για την περίοδο προσαρμογής του μοντέλου Καβάλα 3.97 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το γαύρο στην Καβάλα 80

81 3.98 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(1,1,1) για τη σαρδέλα στην Καβάλα 3.99 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σαυρίδι στην Καβάλα Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σκουμπρί στην Καβάλα 81

82 Όλα τα δοκιμαστικά μοντέλα που εφαρμόστηκαν στο λιμάνι της Καβάλας παρατηρήθηκε να αφήνουν υπολειμματικές σειρές με διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης που προσομοιάζουν αυτά διαδικασιών λευκού θορύβου. Το μόνο που είχε κάποιες ελάχιστα μεγαλύτερες τιμές ήταν το σκουμπρί, αλλά το πιθανότερο είναι ότι η υπολειμματική χρονοσειρά του είναι τυχαία. Τα μοντέλα θα εξεταστούν με στατιστικούς δείκτες σφάλματος και ως προς την επιτυχία τους στην περίοδο προσαρμογής Αλεξανδρούπολη Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το γαύρο στην Αλεξανδρούπολη Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για τη σαρδέλα στην Αλεξανδρούπολη 82

83 3.103 Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σαυρίδι στην Αλεξανδρούπολη Διαγράμματα ACF και PACF της υπολειμματικής σειράς του μοντέλου ARIMA(1,0,0)(0,1,1) για το σκουμπρί στην Αλεξανδρούπολη Στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης τα δοκιμαστικά μοντέλα που αναγνωρίστηκαν φαίνεται να είναι αρκετά επιτυχημένα, τουλάχιστον από τα διαγράμματα αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης των υπολειμματικών χρονοσειρών τους (Εικόνες ) Διάγνωση μοντέλων Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιαστούν σε πίνακες όλα τα στατιστικά στοιχεία των μοντέλων. Αρχικά θα παρουσιαστούν οι συντελεστές του μοντέλου, μαζί με το τυπικό σφάλμα τους και το επίπεδο σημαντικότητάς τους. Από τους πίνακες αυτούς μπορεί να φανεί αν κάποιος από τους συντελεστές του μοντέλου δεν είναι σημαντικός και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθεί από το μοντέλο. Τα μοντέλα είχαν κατασκευαστεί περιλαμβάνοντας και ένα σταθερό συντελεστή (constant) ο οποίος δεν είναι γνωστό αν είναι απαραίτητος στα τελικά μοντέλα. 83

84 Πίνακας 3.22 Τιμές συντελεστών, τυπικών σφαλμάτων και στατιστικής σημαντικότητας, των μοντέλων του λιμανιού της Θεσσαλονίκης. AR1: 1 ης τάξεως αυτοπαλινδρόμιση. AR2: 2 ης τάξεως αυτοπαλινδρόμιση. MA1: 1 ης τάξεως μη εποχικός κινητός μέσος. SMA1: 1 ης τάξεως εποχικός κινητός μέσος. Είδος Γαύρος Γαύρος Σαρδέλα Σαρδέλα Σαυρίδι Σαυρίδι Σκουμπρί Μοντέλο ARIMA Παράμετρος Μοντέλου Συντελεστές (Β) Τυπικό Σφάλμα του Β Επίπεδο Σημαντικότητας Constant 7,896 4,818 0,103 (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 0,544 0,068 0,000 SMA1 0,424 0,076 0,000 Constant 8,901 5,788 0,126 (2,0,0) AR1 0,394 0,076 0,000 (0,1,1) 9 AR2 0,309 0,077 0,000 SMA1 0,533 0,073 0,000 Constant 4,829 1,266 0,000 (1,0,0) AR1 0,265 0,080 0,001 (0,1,1) 9 SMA1 0,651 0,070 0,000 Constant 3,3,94 2,958 0,253 (1,0,1) AR1 0,953 0,047 0,000 (0,1,1) 9 MA1 0,797 0,083 0,000 SMA1 0,727 0,074 0,000 Constant -1,181 2,840 0,678 (1,0,0) AR1 0,579 0,066 0,000 (0,1,1) 9 SMA1 0,558 0,071 0,000 Constant -1,637 3,804 0,668 (2,0,0) AR1 0,410 0,076 0,000 (0,1,1) 9 AR2 0,310 0,076 0,000 SMA1 0,585 0,070 0,000 Constant (1,0,1) AR1 (0,1,1) 9 MA1 SMA1-5,712 0,939 0,677 0,654 5,373 0,041 0,082 0,075 0,289 0,000 0,000 0,000 Από τον πίνακα με τις τιμές των συντελεστών του κάθε μοντέλου στο λιμάνι της Θεσσαλονίκης (Πίνακας 3.22) βλέπουμε ότι όλες οι παράμετροι των μοντέλων που δοκιμάστηκαν ήταν στατιστικά σημαντικοί και πρέπει να διατηρηθούν στα τελικά μοντέλα. Αυτό αποτελεί και μια ένδειξη για το ότι πρέπει να διατηρηθούν τα πιο πολύπλοκα μοντέλα στις περιπτώσεις που δοκιμάστηκαν δύο εναλλακτικά μοντέλα. Παρατηρήθηκε ε- πίσης ότι οι σταθεροί συντελεστές σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις δεν είναι απαραίτητοι στα μοντέλα αυτά και συνεπώς θα αφαιρεθούν από τα τελικά μοντέλα. Η αφαίρεσή τους δεν επιφέρει αλλαγές στην σημαντικότητα των υπόλοιπων συντελεστών. Επίσης η συνολική επιτυχία του κάθε μοντέλου επηρεάζεται ελάχιστα από τις σταθερές του μοντέλου. Αντίστοιχες ήταν οι παρατηρήσεις και για τα μοντέλα εκφορτώσεων στο λιμάνι της Καβάλας (Πίνακας 3.23). Εδώ φαίνεται όλοι οι συντελεστές να είναι στατιστικά σημαντικοί και να επιβάλλεται η διατήρησή τους στα τελικά μοντέλα. Ακόμα και οι σταθερές των μοντέλων εμφανίζονται να είναι απαραίτητες στις τελικές μορφές των μοντέλων. Μόνο για το μοντέλο του γαύρου στο λιμάνι της Καβάλας θα αφαιρεθεί ο μη σημαντικός σταθερός συντελεστής. 84

85 Πίνακας 3.23 Τιμές συντελεστών, τυπικών σφαλμάτων και στατιστικής σημαντικότητας, των μοντέλων του λιμανιού της Καβάλας. AR1: 1 ης τάξεως αυτοπαλινδρόμιση. SAR1: 1 ης τάξεως εποχική αυτοπαλινδρόμιση. SMA1: 1 ης τάξεως εποχικός κινη τός μέσος. Είδος Γαύρος Σαρδέλα Σαυρίδι Σκουμπρί Μοντέλο ARIMA Παράμετρος Μοντέλου Συντελεστές (Β) Τυπικό Σφάλμα του Β Επίπεδο Σημαντικότητας Constant -2,071 2,356 0,381 (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 0,470 0,071 0,000 SMA1 0,886 0,074 0,000 (1,0,0) Constant AR1 7,051 0,385 7,051 0,385 0,000 0,000 (1,1,1) 9 SAR1 0,282 0,282 0,012 SMA1 0,912 0,912 0,000 Constant -6,216 1,647 0,000 (1,0,0) AR1 0,471 0,070 0,000 (0,1,1) 9 SMA1 0,746 0,065 0,000 Constant -10,364 7,297 0,157 (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 0,555 0,068 0,000 SMA1 0,560 0,075 0,000 Πίνακας 3.24 Τιμές συντελεστών, τυπικών σφαλμάτων και στατιστικής σημαντικότητας, των μοντέλων του λιμανιού της Αλεξανδρούπολης. AR1: 1ης τάξεως αυτοπαλινδρόμιση. AR2: 2ης τάξεως αυτοπαλινδρόμιση. SMA1: 1ης τάξεως εποχικός κινητός μέσος. Είδος Γαύρος Σαρδέλα Σαυρίδι Σκουμπρί Μοντέλο ARIMA Παράμετρος Μοντέλου Constant (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 SMA1 Constant (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 SMA1 Constant (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 SMA1 Constant (1,0,0) (0,1,1) 9 AR1 SMA1 Συντελεστές (Β) -18,117 0,169 0,507-5,335 0,455 0,833-17,091 0,425 0,524-15,677 0,439 0,567 Τυπικό Σφάλμα του Β 7,096 0,079 0,079 3,318 0,071 0,078 5,077 0,072 0,075 9,047 0,076 0,081 Επίπεδο Σημαντικότητας 0,012 0,033 0,000 0,110 0,000 0,000 0,001 0,000 0,000 0,085 0,000 0,000 Στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης παρατηρήθηκαν επίσης να είναι σημαντικοί όλοι οι συντελεστές των μοντέλων που δοκιμάστηκαν, ακόμα και οι σταθεροί. Αυτό έχει σαν συνέπεια τη διατήρησή των δοκιμαστικών μοντέλων ως έχουν σαν τελικά μοντέλα που θα χρησιμοποιηθούν στην πρόβλεψη. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν πάλι με μορφή πινάκων τα στατιστικά στοιχεία για την εφαρμογή των μοντέλων στα δεδομένα και το στατιστικό Ljung-Box που ελαχιστοποιείται ανάλογα με την τυχαιότητα του υπολείμματος. Τα στατιστικά εφαρμογής που υπολογίζονται από το στατιστικό πακέτο και θα εξεταστούν είναι: Stationary R 2 : Το μέτρο αυτό συγκρίνει το στάσιμο τμήμα του μοντέλου με ένα απλό μοντέλο μέσου (mean model). Αρνητικές τιμές σημαίνουν ότι 85

86 το μοντέλο υπό δοκιμή είναι χειρότερο από το απλό μοντέλο. Αντίθετα θετικές τιμές δείχνουν ότι το δοκιμαστικό μοντέλο προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα. R 2 : Το μέτρο αυτό είναι σχεδόν όμοιο με το παραπάνω, με τη διαφορά όμως ότι αυτό απαιτεί στάσιμη χρονοσειρά, αφού δεν κάνει το διαχωρισμό. Όμοια οι θετικές τιμές υποδηλώνουν καλύτερη προσαρμογή. Root Mean Square Error (RMSE): Είναι ένα μέτρο του κατά πόσο η εξαρτημένη σειρά διαφέρει από το επίπεδο των τιμών του μοντέλου, εκφρασμένο στις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα. Mean Absolute Percentage Error (MAPE): Ένα ακόμα μέτρο για την απόσταση μεταξύ των πραγματικών τιμών και των τιμών του μοντέλου. Είναι ανεξάρτητο από τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σύγκριση μεταξύ μοντέλων. MaxAPE: Το μεγαλύτερο σφάλμα που παρατηρήθηκε εκφρασμένο ως ποσοστό. Είναι χρήσιμο γιατί δίνει μια εικόνα του κατά πόσο λάθος μπορεί να είναι οι προβλέψεις. Normalized Bayesian Information Criterion (NBIC): Αποτελεί ένα γενικό μέτρο για την προσαρμογή του μοντέλου στη χρονοσειρά, το οποίο συμπεριλαμβάνει και την πολυπλοκότητα του μοντέλου. Υπολογίζεται από την τετραγωνική ρίζα του μέσου σφάλματος του μοντέλου, περιλαμβάνοντας μια ποινή (penalty) για τον αριθμό των παραμέτρων του μοντέλου και το μήκος της σειράς. Με αυτό τον τρόπο αφαιρείται το πλεονέκτημα των πιο σύνθετων μοντέλων. Το στατιστικό αυτό χρησιμοποιείται για τη σύγκριση διαφορετικών μοντέλων στις ίδιες χρονοσειρές. Είδος Μοντέλο Stat.R 2 R 2 RMSE MAPE Γαύρος Γαύρος Σαρδέλα Σαρδέλα Σαυρίδι Σαυρίδι Σκουμπρί Max APE NBIC Πίνακας 3.25 Συνοπτικά στατιστικά στοιχεία για την προσαρμογή του κάθε μοντέλου και στατιστικό Ljung-Box για την τυχαιότητα του υπολείμματος για το λιμάνι της Θεσσαλονίκης Τυχαιότητα Υπολείμματος Προσαρμογή Μοντέλου Ljung- Box (1,0,0) (0,1,1) 9,346,773 46,988 3,440 16,418 7,794 36,992 0,002 (2,0,0) (0,1,1) 9,404,793 44,972 3,245 16,698 7,738 19,842 0,178 (1,0,0) (0,1,1) 9,235,550 30,328 1,935 9,001 6,918 32,850 0,08 (1,0,1) (0,1,1) 9,292,584 29,257 1,818 8,365 6,878 20,021 0,171 (1,0,0) (0,1,1) 9,348,580 32,262 2,405 8,611 7,042 31,399 0,12 (2,0,0) (0,1,1) 9,409,619 30,812 2,336 7,305 6,981 14,197,511 (1,0,1) (0,1,1) 9,333,515 78,658 6,182 43,057 8,824 37,177,001 Sig. 86

87 Είδος Μοντέλο Stat.R 2 R 2 RMSE MAPE Γαύρος Σαρδέλα Σαυρίδι Σκουμπρί Max APE NBIC Πίνακας 3.26 Συνοπτικά στατιστικά στοιχεία για την προσαρμογή του κάθε μοντέλου και στατιστικό Ljung-Box για την τυχαιότητα του υπολείμματος για το λιμάνι της Καβάλας Τυχαιότητα Υπολείμματος Προσαρμογή Μοντέλου Ljung- Box (1,0,0) (0,1,1) 9 0,482 0,658 80,820 5,244 54,285 8,879 20,497 0,199 (1,0,0) (1,1,1) 9 0,379 0,479 47,390 3,133 14,261 7,842 17,478 0,291 (1,0,0) (0,1,1) 9 0,418 0,533 36,523 3,007 11,561 7,290 17,954 0,327 (1,0,0) (0,1,1) 9 0,376 0,589 87,983 7,497 52,012 9,048 48,186 0,000 Sig. Είδος Μοντέλο Stat.R 2 R 2 RMSE MAPE Γαύρος Σαρδέλα Σαυρίδι Σκουμπρί Max APE NBIC Πίνακας 3.27 Συνοπτικά στατιστικά στοιχεία για την προσαρμογή του κάθε μοντέλου και στατιστικό Ljung-Box για την τυχαιότητα του υπολείμματος για το λιμάνι της Αλεξανδρούπολης Τυχαιότητα Υπολείμματος Προσαρμογή Μοντέλου Ljung- Box (1,0,0) (0,1,1) 9 0,137 0, ,451 15, ,556 10,026 36,679 0,002 (1,0,0) (1,1,1) 9 0,396 0,365 98,136 9,139 84,325 9,267 13,204 0,658 (1,0,0) (0,1,1) 9 0,232 0,709 73,699 7,314 30,875 8,694 23,910 0,091 (1,0,0) (0,1,1) 9 0,316 0, ,980 12, ,056 9, ,234 0,022 Sig. Για τις χρονοσειρές της Θεσσαλονίκης υπολογίστηκαν από δύο δοκιμαστικά μοντέλα για τα είδη γαύρος, σαρδέλα και σαυρίδι. Τα στατιστικά που υπολογίστηκαν για τα μοντέλα αυτά και αφορούν την προσαρμογή των μοντέλων στα δεδομένα (Πίνακας 3.25), θα αποδειχτούν πολύ χρήσιμα στη σύγκριση μεταξύ των μοντέλων. Βασικότερος δείκτης είναι ο NBIC, ο οποίος είναι ο πιο κατάλληλος για τη σύγκριση μεταξύ διαφορετικών μοντέλων τα οποία εφαρμόζονται στις ίδιες χρονοσειρές. Επίσης η τυχαιότητα του υπολείμματος θα είναι δείγμα της καλύτερης απόδοσης του ενός εκ των δύο εναλλακτικών δοκιμαστικών μοντέλων. Τα πιο πολύπλοκα φάνηκε να είναι πολύ πιο επιτυχημένα σε όλους τους τομείς. Οι δείκτες NBIC ήταν καλύτεροι σε όλες τις περιπτώσεις. Επίσης το υπόλειμμα των απλούστερων μοντέλων εμφάνισε να μην έχει τυχαία κατανομή, πράγμα που εξαφανίστηκε από τα πιο περίπλοκα μοντέλα. Για το σκουμπρί δοκιμάστηκε μόνο ένα μοντέλο, το οποίο προσαρμόζεται στα δεδομένα ικανοποιητικά. Υπάρχει μόνο μια σκέψη για την τυχαιότητα των υπολειμμάτων του, η οποία δεν επιβεβαιώνεται στατιστικά. Στα δύο άλλα λιμάνια, της Καβάλας και της Αλεξανδρούπολης, τα στατιστικά της προσαρμογής των μοντέλων εμφανίζονται παραπάνω (Καβάλα: Πίνακας 3.26 Αλεξαν- 87

88 δρούπολη: Πίνακας 3.27). Για κάθε είδος σε αυτή την περίπτωση είχε κατασκευαστεί μόνο ένα μοντέλο, άρα δεν υπήρχε η περίπτωση σύγκρισης μεταξύ στατιστικών. Η προσοχή δόθηκε κυρίως στα στατιστικά που δείχνουν το κατά πόσο οι υπολειμματικές χρονοσειρές ήταν τυχαίες ή όχι. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα στατιστικά Ljung-Box ήταν τα επιθυμητά, αποκλείοντας την ύπαρξη προτύπων που δεν συμπεριλήφθηκαν στα μοντέλα. Μια επιφύλαξη μένει μόνο για το σκουμπρί στην Καβάλα και για το γαύρο στην Αλεξανδρούπολη. Οι δύο αυτές χρονοσειρές εμφάνισαν πολλά κενά, πράγμα που μπορεί να συνέβαλε στην φτωχή προσαρμογή των μοντέλων. Η τελική κρίση για αυτά τα μοντέλα, αλλά και για όλα τα υπόλοιπα θα γίνει με την σύγκριση των προβλέψεων του μοντέλου και των πραγματικών τιμών στην περίοδο επιβεβαίωσης Διαγράμματα τελικών μοντέλων Θεσσαλονίκη Το μοντέλο που εφαρμόστηκε για τις εκφορτώσεις του γαύρου στη Θεσσαλονίκη ήταν της μορφής ARIMA(2,0,0)(0,1,1) 9. Στην Εικόνα βλέπουμε ότι η προσαρμογή στα δεδομένα είναι πολύ καλή, καθώς και ότι στην περίοδο επιβεβαίωσης καταφέρνει να κάνει πολύ ικανοποιητικές προβλέψεις. Οι τιμές της περιόδου επιβεβαίωσης που προέβλεψε το μοντέλο είναι πολύ κοντά, και σε κάθε περίπτωση μέσα στα όρια εμπιστοσύνης, με τα πραγματικά δεδομένα της αρχικής χρονοσειράς. Το μοντέλο ARIMA(1,0,1)(0,1,1) 9 που χρησιμοποιήθηκε για τις εκφορτώσεις της σαρδέλας στη Θεσσαλονίκη δεν είχε τόσο ικανοποιητική προσαρμογή στα δεδομένα (Εικόνα 3.106). Παρόλα αυτά καταφέρνει να βρίσκεται πολύ κοντά στα πραγματικά δεδομένα. Συγκρίνοντας τις τιμές του μοντέλου με τις πραγματικές στην περίοδο επιβεβαίωσης παρατηρούνται κάποιες διαφορές. Σε καμία περίπτωση όμως τα δεδομένα δεν βρίσκονται εκτός των ορίων εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για τις εκφορτώσεις σαυριδιού στη Θεσσαλονίκη ήταν ARIMA(2,0,0)(0,1,1) 9. Η προσαρμογή του μοντέλου (Εικόνα 3.107) στα δεδομένα είναι καλή τόσο στην περίοδο προσαρμογής όσο και στην περίοδο επιβεβαίωσης. Αντίστοιχα καλά αποτελέσματα παρουσιάστηκαν και για το μοντέλο ARIMA(1,0,1)(0,1,1) 9. Οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο ήταν πολύ κοντά στις πραγματικές τιμές και στην περίοδο προσαρμογής αλλά και στην περίοδο της επιβεβαίωσης. Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράμματα με τις μετασχηματισμένες και συμπληρωμένες χρονοσειρές (κόκκινο) και την προσαρμογή και την πρόβλεψη του μοντέλου (μπλε). Εμφανίζονται επίσης και το άνω και κάτω όριο εμπιστοσύνης για τις προβλέψεις του μοντέλου. Η έναρξη της περιόδου επιβεβαίωσης σημειώνεται με την κάθετη γραμμή. 88

89 Εικόνα Τελικό μοντέλο για το γαύρο στη Θεσσαλονίκη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλέ εμφανίζονται οι τιμές που υπολογισε το μοντέλο. Με διακεκομένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. Εικόνα Τελικό μοντέλο για τη σαρδέλα στη Θεσσαλονίκη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 89

90 Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σαυρίδι στη Θεσσαλονίκη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 90

91 Καβάλα Το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9 προσαρμόστηκε πολύ ικανοποιητικά στη χρονοσειρά των εκφορτώσεων γαύρου στο λιμάνι της Καβάλας (Εικόνα 3.109). Το μοντέλο καταφέρνει να ακολουθήσει τη συμπεριφορά των δεδομένων σε όλη τη διάρκεια της περιόδου προσαρμογής. Επίσης στην περίοδο επιβεβαίωσης το μοντέλο καταφέρνει να προβλέψει τις πραγματικές παρατηρήσεις με μεγάλη ακρίβεια. Το γεγονός ότι η χρονοσειρά ήταν αρκετά σταθερή με το πέρασμα του χρόνου, σε όλη τη διάρκεια της χρονοσειράς, βοήθησε να βγουν πολύ καλά αποτελέσματα. Για τη χρονοσειρά εκφορτώσεων σαρδέλας στο λιμάνι της Καβάλας επιλέχτηκε το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(1,1,1) 9, το οποίο προσαρμόστηκε καλά στα δεδομένα (Εικόνα 3.110). Σε κάποια σημεία φαίνεται να μην ακολουθούν οι τιμές του μοντέλου ακριβώς τα δεδομένα, αλλά ποτέ σε μεγάλο βαθμό. Στην περίοδο επιβεβαίωσης το μοντέλο καταφέρνει να κάνει ικανοποιητικές προβλέψεις, χωρίς βέβαια να φτάνει σε τέλεια επίπεδα. Για τη χρονοσειρά εκφορτώσεων του σαυριδιού στο λιμάνι της Καβάλας επιλέχτηκε το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1). Η προσαρμογή του μοντέλου στην περίοδο προσαρμογής ήταν πολύ ικανοποιητική (Εικόνα 3.111). Στην περίοδο επιβεβαίωσης το μοντέλο δεν καταφέρνει να ακολουθήσει τα πραγματικά δεδομένα, τα οποία παρουσιάζουν αρκετά διαφορετική συμπεριφορά. Αυτό δεν καθιστά το μοντέλο κακό, αφού δεν είναι δυνατόν να προβλέψει τέτοιες αλλαγές συμπεριφοράς. Οι παραδοχές του μοντέλου αναφέρουν ότι τα πρότυπα του παρελθόντος προβάλλονται στο μέλλον. Σε αυτή την περίπτωση τα πρότυπα αλλάζουν, καθιστώντας τις προβλέψεις του μοντέλου μη ικανοποιητικές. Το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9 περιγράφει με αρκετή ακρίβεια τα δεδομένα εκφορτώσεων του σκουμπριού στην Καβάλα (Εικόνα 3.111). Κατά την περίοδο επιβεβαίωσης το μοντέλο υποεκτιμά λίγο τις τιμές σε σχέση με τις πραγματικές παρατηρήσεις, χωρίς όμως αυτές να βρίσκονται εκτός των ορίων εμπιστοσύνης των προβλέψεων του μοντέλου. Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράμματα με τις μετασχηματισμένες και συμπληρωμένες χρονοσειρές (κόκκινο) και την προσαρμογή και την πρόβλεψη του μοντέλου (μπλε). Εμφανίζονται επίσης και το άνω και κάτω όριο εμπιστοσύνης για τις προβλέψεις του μοντέλου. Η έναρξη της περιόδου επιβεβαίωσης σημειώνεται με την κάθετη γραμμή. 91

92 Εικόνα Τελικό μοντέλο για το γαύρο στην Καβάλα. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. Εικόνα Τελικό μοντέλο για τη σαρδέλα στην Καβάλα. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 92

93 Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σαυρίδι στην Καβάλα. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σκουμπρί στην Καβάλα. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 93

94 Αλεξανδρούπολη Το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9 προσαρμόστηκε ικανοποιητικά στη χρονοσειρά εκφορτώσεων του γαύρου στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης (Εικόνα 3.113). Παρόλο που η χρονοσειρά αυτή είχε αρκετά κενά, το μοντέλο που κατασκευάστηκε καταφέρνει να υπολογίσει με αρκετή ακρίβεια τα πραγματικά δεδομένα της περιόδου επιβεβαίωσης. Για τη χρονοσειρά εκφορτώσεων σαρδέλας στην Αλεξανδρούπολη επιλέχτηκε το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9, το οποίο κατάφερε να ακολουθήσει ικανοποιητικά τα δεδομένα κατά την περίοδο προσαρμογής. Κατά την περίοδο επιβεβαίωσης φαίνεται ότι τα δεδομένα δεν ήταν στάσιμα ως προς τη διακύμανση, αφού αυτή αυξήθηκε κατά τα τελευταία έτη. Οι προβλέψεις του μοντέλου δεν είναι τόσο ικανοποιητικές, χωρίς να είναι και εντελώς εκτός πραγματικότητας. Για τις εκφορτώσεις του σαυριδιού στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης επιλέχτηκε το μοντέλο ARIMA(1,0,0)(0,1,1) 9. Το μοντέλο καταφέρνει να έχει καλή προσαρμογή στα δεδομένα, αν και αυτά παρουσιάζουν πτωτική τάση μετά το μισό περίπου της περιόδου προσαρμογής. Το μοντέλο καταφέρνει να προβλέψει τις υψηλές θερινές τιμές με α- κρίβεια, παρουσιάζοντας όμως πρόβλημα υπερεκτιμώντας τις χαμηλές τιμές της άνοιξης. Παρόλα αυτά το μοντέλο κρίνεται ικανοποιητικό αφού οι τιμές που δεν καταφέρνει να προβλέψει δεν είναι πολλές και είναι λίγο μικρότερες από το κάτω όριο εμπιστοσύνης. Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράμματα με τις μετασχηματισμένες και συμπληρωμένες χρονοσειρές (κόκκινο) και την προσαρμογή και την πρόβλεψη του μοντέλου (μπλε) και τα όρια εμπιστοσύνης (διακεκομμένη γραμμή). Η περίοδος επιβεβαίωσης σημειώνεται με την κάθετη γραμμή. Εικόνα Τελικό μοντέλο για το γαύρο στην Αλεξανδρούπολη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 94

95 Εικόνα Τελικό μοντέλο για τη σαρδέλα στην Αλεξανδρούπολη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σαυρίδι στην Αλεξανδρούπολη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 95

96 Εικόνα Τελικό μοντέλο για το σκουμπρί στην Αλεξανδρούπολη. Με κόκκινο εμφανίζονται οι πραγματικές τιμές. Με μπλε εμφανίζονται οι τιμές που υπολόγισε το μοντέλο. Με διακεκομμένες γραμμές εμφανίζονται τα άνω και κάτω όρια εμπιστοσύνης. 96

97 4 ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η παρούσα εργασία είχε σαν σκοπό την ανάλυση των χρονοσειρών εκφορτώσεων του γαύρου, της σαρδέλας, του σαυριδιού και του σκουμπριού. Στο πρώτο κεφάλαιο θα γίνει μια αναφορά στα προβλήματα που προέκυψαν κατά την προ-επεξεργασία των δεδομένων και στην αναγνώριση των μοντέλων, αλλά και στα προβλήματα που εμφάνισαν τα αρχικά δεδομένα. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν τα συμπεράσματα που βγήκαν από την εφαρμογή της μεθοδολογίας. Μεγαλύτερο βάρος θα δοθεί στο ότι έγινε χρήση χρονοσειρών από τις οποίες είχαν αφαιρεθεί εντελώς τρεις μήνες, κατασκευάζοντας χρονοσειρές με εποχικότητα ίση με εννιά. Επίσης θα γίνει μια σύγκριση, όσο είναι δυνατόν, μεταξύ των μοντέλων που κατασκευάστηκαν στην παρούσα εργασία με τα αποτελέσματα παλαιότερης διπλωματικής εργασίας (Λυραντωνάκη, 2004), η οποία βασίστηκε σε παρόμοια δεδομένα, κατασκευάζοντας όμως μοντέλα με δωδεκάμηνη εποχικότητα, δηλαδή χωρίς να αφαιρεθούν οι μήνες κατά τους οποίους δεν εκφορτώνονται είδη από γρι-γρι. 4.1 Δεδομένα Πηγή Τα δεδομένα προήλθαν από βάσεις δεδομένων τη εταιρίας ΕΤΑΝΑΛ. Η συγκεκριμένη εταιρία παρείχε δεδομένα για τα τέσσερα είδη στα τρία λιμάνια για τα έτη Για το είδος του σκουμπριού δεν υπήρχαν διαθέσιμα δεδομένα για τα έτη Η ΕΤΑΝΑΛ διατηρεί ιστοσελίδα ( στην οποία παρουσιάζει, μεταξύ άλλων, δεδομένα εκφορτώσεων για μια πληθώρα ειδών για τα έτη Η αξιοπιστία των δεδομένων αυτών δεν είναι γνωστό κατά πόσο μπορεί να βεβαιωθεί. Αυτό έγινε αμέσως αντιληπτό συγκρίνοντας τα δεδομένα των ετών , για τα οποία υπήρχαν και από τις δύο πηγές. Παρατηρήθηκε ότι ένα μεγάλο ποσοστό ήταν ακριβώς ίδια. Δυστυχώς όμως παρατηρήθηκαν διαφορές, ακόμα και μεγάλες, σε έναν αριθμό παρατηρήσεων. Σαν αποτέλεσμα αποφασίστηκε να χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα από την ιστοσελίδα ως περίοδος επιβεβαίωσης του μοντέλου. Επίσης χρησιμοποιήθηκαν και για να συμπληρώσουν τις παρατηρήσεις, οι οποίες ήταν κενές στα δεδομένα των άλλων βάσεων δεδομένων, όπως για παράδειγμα στο σκουμπρί για τα έτη Για να κατασκευαστούν οι χρονοσειρές που χρησιμοποιήθηκαν στην ανάλυση, αφαιρέθηκαν αρχικά οι μήνες Δεκέμβριος, Ιανουάριος και Φεβρουάριος. Η συζήτηση για το συγκεκριμένο ζήτημα θα γίνει στη συνέχεια σε επόμενο κεφάλαιο. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκαν χρονοσειρές με έτη διάρκειας εννέα μηνών. Άρα το συνολικό μήκος των χρονοσειρών ήταν 207 παρατηρήσεις, από τις οποίες οι τελευταίες 36 χρησιμοποιήθηκαν ως περίοδος επιβεβαίωσης των μοντέλων. 97

98 4.1.2 Συμπλήρωση κενών Το πρώτο πρόβλημα που έπρεπε να αντιμετωπιστεί ήταν η συμπλήρωση των χρονοσειρών που παρουσίαζαν κενές καταγραφές. Από τις δώδεκα χρονοσειρές οι οκτώ εμφάνισαν ένα ή περισσότερα κενά. Οι τέσσερις από αυτές εμφάνισαν μόνο ένα κενό και μάλιστα στην περίοδο επιβεβαίωσης, η οποία δεν επηρεάζει την ανάλυση. Αν και δεν θα υπήρχε διαφορά στα αποτελέσματα, επιλέχτηκε η μέθοδος της μέσης τιμής της σειράς για την συμπλήρωση των κενών αυτών, για λόγους πληρότητας. Οι υπόλοιπες τέσσερις χρονοσειρές που εμφάνισαν περισσότερα κενά, ήταν το σκουμπρί και στα τρία λιμάνια, από το οποίο όπως αναφέρθηκε παραπάνω δεν υπήρχαν διαθέσιμα δεδομένα για δύο έτη, αλλά και ο γαύρος στην Αλεξανδρούπολη. Το σκουμπρί είχε και άλλες κενές παρατηρήσεις εκτός από τα δύο χρόνια στο λιμάνι της Αλεξανδρούπολης, το οποίο παρουσίασε 43 κενές παρατηρήσεις συνολικά. Το πρόβλημα της συμπλήρωσης είναι πολύ δύσκολο και υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την αντιμετώπισή του. Η μέθοδος που θεωρήθηκε καλύτερη για τη συμπλήρωση της κάθε χρονοσειράς ήταν αυτή που διατηρούσε αναλλοίωτα τα βασικά χαρακτηριστικά τους, δηλαδή τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Αυτό δεν αποτελεί υποχρεωτικά την καλύτερη λύση σε όλες τις περιπτώσεις. Συγκεκριμένα η χρονοσειρά του σκουμπριού στη Θεσσαλονίκη, από την οποία έλειπαν δύο ολόκληρα έτη, είναι επιθυμητό να διατηρηθούν τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς. Αντίθετα μια χρονοσειρά, όπως αυτή του γαύρου στην Αλεξανδρούπολη, από την οποία λείπουν συγκεκριμένοι μήνες, δεν είναι απαραίτητο να διατηρηθούν τα περιγραφικά στατιστικά της χρονοσειράς. Για να γίνει αντιληπτό αυτό θα χρησιμοποιηθεί μια απλούστευση: έστω μια χρονοσειρά από την ο- ποία λείπουν οι τιμές των χειμερινούς μήνες για τα πρώτα έτη, ενώ στα επόμενα έτη είναι διαθέσιμες και εμφανίζονται αρκετά μικρότερες από αυτές των τιμών του φθινοπώρου και της άνοιξης. Αυτό θα είχε σαν αποτέλεσμα η μέση τιμή να εμφανίζεται μεγαλύτερη από την πραγματική και η διατήρησή της δεν θα ήταν επιθυμητή. Η συμπλήρωση θα μπορούσε να γίνει με τιμές ανάλογες των επόμενων χειμερινών τιμών, όπως για παράδειγμα με χρήση του μέσου όρου αυτών των τιμών. Αυτό δεν έγινε στην περίπτωση του γαύρου στην Αλεξανδρούπολη, αφού εκτός από το πρότυπο που ακολουθούσαν οι παρατηρήσεις, σε σχέση με τις προηγούμενες και τις επόμενες τους, παρατηρήθηκε και έντονη μείωση των τιμών στα τελευταία χρόνια. Η μέθοδος που διατηρούσε περισσότερο αναλλοίωτα τα περιγραφικά στατιστικά των χρονοσειρών ήταν αυτή της μέσης τιμής της σειράς, για αυτό και επιλέχθηκε για τη συμπλήρωση των τριών από τις τέσσερις χρονοσειρές. Αυτή η μέθοδος διατήρησε φυσικά τη μέση τιμή και δεν επηρέασε πολύ την τυπική απόκλιση. Στο σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη επιλέχθηκε η μέθοδος της παλινδρόμησης, η οποία επιδιώκει να διατηρήσει σταθερή τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση, επιλέγοντας τιμές με σε σχέση με τα διαθέσιμα δεδομένα και εισάγοντας ένα παράγοντα τυχαιότητας. Οι υπόλοιπες μέθοδοι εμφάνισαν πολλά προβλήματα τόσο στη διατήρηση της μέσης τιμής όσο και στη διατήρηση της τυπικής απόκλισης. Ειδικά η μέθοδος της γραμμικής τάσης και της διαμέσου των κοντινών σημείων φάνηκε να αλλοιώνουν σημαντικά τα περιγραφικά στατιστικά της αρχικής χρονοσειράς και είχε σαν συνέπεια την απόρριψή τους. 98

99 4.1.3 Επίτευξη στασιμότητας Η ανάλυση για την ανάπτυξη μοντέλων ARIMA προϋποθέτει τη στασιμότητα των χρονοσειρών. Σε όλες τις χρονοσειρές παρατηρήθηκε έντονη διαφοροποίηση της διασποράς σε σχέση με το χρόνο. Για την σταθεροποίηση της διασποράς έχουν προταθεί πολλές μέθοδοι, όπως η τετραγωνική ή η κυβική ρίζα. Πιο συχνά στη βιβλιογραφία και ειδικά στη συναφή με τη συγκεκριμένη εργασία βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται η μέθοδος του μετασχηματισμού του φυσικού λογαρίθμου. Αυτό οδήγησε στη χρήση του φυσικού λογαρίθμου για το μετασχηματισμό των δώδεκα χρονοσειρών που επρόκειτο να α- ναλυθούν. Επίσης, και για λόγους καλύτερης εμφάνισης, τα μετασχηματισμένα δεδομένα πολλαπλασιάστηκαν επί εκατό. Όλες οι χρονοσειρές που αναλύθηκαν στη συγκεκριμένη εργασία εμφάνισαν έντονη εποχικότητα, δηλαδή επαναλαμβανόμενα πρότυπα από έτος σε έτος. Η εποχικότητα αυτή αποτελεί σημαντικό στοιχείο της κάθε χρονοσειράς και δεν πρέπει να αφαιρεθεί. Για την επίτευξη στασιμότητας επιλέχθηκε ένας βαθμός εποχικής διαφοροποίησης, ο οποίος είναι αρκετός για να εξαφανίσει το πρόβλημα της εποχικότητας. Ακόμα και μετά τις παραπάνω τροποποιήσεις είναι φανερό ότι δεν καταλήγουμε πάντα σε στάσιμες σειρές. Αυτό είναι απόλυτα φυσικό και αναμενόμενο, αφού έχουμε να κάνουμε με πραγματικά δεδομένα, τα οποία μπορεί να εμφανίσουν μακροχρόνιες τάσεις ή άλλες αυξομειώσεις. Ένας τρόπος εξάλειψης των τάσεων θα ήταν η χρήση μη εποχικής διαφοροποίησης. Αυτό δεν έγινε, με σκοπό να μην μετασχηματιστούν σε μεγάλο βαθμό τα δεδομένα, δηλαδή να μην αλλάξουν τα βασικά αρχικά χαρακτηριστικά τους, αφού αυτά τα χαρακτηριστικά θέλουμε να αναλυθούν και να κατασκευαστούν μοντέλα τα οποία θα τα περιγράφουν Αναγνώριση των παραμέτρων των μοντέλων Η αναγνώριση των παραμέτρων γίνεται κυρίως από την κατασκευή και παρατήρηση των διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης (ACF) και μερικής αυτοσυσχέτισης (PACF). Η εμφάνιση της εποχικότητας γίνεται αμέσως αντιληπτή από τα διαγράμματα αυτά, αφού εμφανίζουν υψηλές τιμές στα εποχικά lags (9, 18, 27), τα οποία δεν δείχνουν να μειώνονται με το χρόνο. Έτσι γίνεται εποχική διαφοροποίηση και κατασκευάζονται διαγράμματα για τις διαφοροποιημένες χρονοσειρές. Από τα διαγράμματα αυτά γίνεται η αναγνώριση των παραμέτρων του μοντέλου. Ουσιαστικά χρησιμοποιούνται τα ACF και PACF από χρονοσειρές με γνωστές ιδιότητες, όπως για παράδειγμα καθαρές διαδικασίες αυτοπαλινδρόμησης ή κινητού μέσου, και γίνεται μια προσπάθεια αναγνώρισης των ίδιων προτύπων στα διαγράμματα των δεδομένα που αναλύονται. Στη συνέχεια θα γίνει μια σύντομη αναφορά στα χαρακτηριστικά των σημαντικότερων και πιο κοινών υποδειγμάτων. Η αυτοπαλινδρομική διαδικασία χαρακτηρίζεται από ένα ACF με κυρίαρχη την τιμή του πρώτου lag και στη συνέχεια τιμές που μειώνονται εκθετικά. Το PACF εμφανίζει μία ή παραπάνω σημαντικές τιμές ακολουθούμενες από πολύ μικρές τιμές κοντά στο μηδέν. Ο βαθμός p της αυτοπαλινδρόμησης επιλέγεται ανάλογα με το πλήθος των σημαντικών τιμών που παρατηρούνται στο PACF. Η διαδικασία κινητού μέσου έχει ακριβώς τα αντίθετα χαρακτηριστικά, δηλαδή ένα PACF που μειώνεται εκθετικά και μια με δύο 99

100 υψηλές τιμές στο ACF ακολουθούμενες από μηδενικές σχεδόν τιμές. Για τις παραμέτρους του εποχικού μοντέλου αγνοούνται ουσιαστικά όλα οι χρονικές υστερήσεις εκτός από αυτές που είναι πολλαπλάσιες της εποχικότητας και γίνεται προσπάθεια αναγνώρισης των ίδιων ακριβώς προτύπων. Η δυσκολία έγκειται στην αναγνώριση των παραμέτρων του μοντέλου όταν κανένα από τα παραπάνω πρότυπα δεν ακολουθείται ακριβώς. Μικτά υποδείγματα (αυτοπαλινδρομικά και κινητού μέσου) είναι αρκετά δύσκολο να αναγνωριστούν, αφού παρουσιάζουν εκθετική μείωση και στα δύο διαγράμματα. Επίσης είναι περίπλοκη η αναγνώριση της ύπαρξης μικτών υποδειγμάτων με παραπάνω από έναν βαθμούς p η q. Το πρόβλημα αντιμετωπίσθηκε με την εισαγωγή δυο μοντέλων προς αναγνώριση ενός αρχικού και ενός εναλλακτικού. Αφού κατασκευάστηκαν τα μοντέλα για την αρχική και την εναλλακτική υπόθεση, έγινε η αξιολόγηση και η σύγκριση των αποτελεσμάτων κυρίως μέσω της ανάλυσης των υπολειμματικών σειρών. 4.2 Εφαρμογή μεθοδολογίας Χειρισμός των χειμερινών μηνών Οι χρονοσειρές που χρησιμοποιήθηκαν είχαν έτη διάρκειας εννέα μηνών. Αυτό προέκυψε από την αφαίρεση των τριών μηνών, Δεκεμβρίου, Ιανουαρίου και Φεβρουαρίου. Οι τρεις αυτοί μήνες έπρεπε να διαχωριστούν από τους υπόλοιπους επειδή οι εκφορτώσεις των τεσσάρων πελαγικών ειδών, που μας απασχολούν, προέρχονται από διαφορετικό αλιευτικό εργαλείο σε σχέση με τους υπόλοιπους μήνες. Τα μικρά πελαγικά είδη α- λιεύονται κυρίως από το γρι-γρί και πολύ λιγότερο από τη μηχανότρατα. Οι εκφορτώσεις από το Μάρτιο μέχρι τον Νοέμβριο προέρχονται σχεδόν αποκλειστικά από το γρι-γρι. Αντίθετα οι εκφορτώσεις του χειμερινού τριμήνου προέρχονται από μηχανότρατες. Αυτό είναι απλή συνέπεια της απαγόρευσης της χρήσης του γρι-γρι κατά τους χειμερινούς μήνες και της απαγόρευσης της μηχανότρατας την περίοδο Ιουνίου Σεπτεμβρίου. Επειδή, τόσο η χωροχρονική κατανομή της αλιευτικής προσπάθειας, όσο και η δυναμική των εργαλείων είναι διαφορετικές για τις δυο αλιείες, κρίθηκε ότι η ανάμειξή τους πιθανόν να μειώνει την απόδοση του ετήσιου μοντέλου εκφορτώσεων (των 12 μηνών). Η επιλογή της αφαίρεσης των μηνών αυτών επιτρέπει τη διερεύνηση της ποιότητας της ανάλυσης, όταν χρησιμοποιούμε έτη μικρότερα των δώδεκα μηνών, θεωρώντας τους τρεις μήνες σαν μη υπαρκτούς. Αυτή είναι και η βασική παραδοχή των μοντέλων που κατασκευάστηκαν. Κάθε συμπέρασμα που μπορεί πιθανόν να εξαχθεί από τα αποτελέσματα θα πρέπει να λαμβάνει υπ όψη όλες τις παραδοχές που έχουν γίνει για την ανάπτυξη του μοντέλου. Άλλες πιθανές περιπτώσεις αντιμετώπισης των τριών αυτών μηνών έχουν προταθεί στο παρελθόν. Στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται συχνά αντικατάστασή τους από την τιμή μηδέν (Tsitsika et al. 2007). Η μηδενική τιμή επιτρέπει τη συνέχιση της ανάλυσης, αλλά στατιστικά μπορεί να παρερμηνευθεί, αφού μηδέν σε μια παρατήρηση σημαίνει επίσης ότι το αλιευτικό εργαλείο έκανε προσπάθεια η οποία δεν απέφερε καθόλου αλίευμα. Φυσικά τα μοντέλα που θα κατασκευαστούν θα περιέχουν την πληρο- 100

101 φορία της απουσίας αλιεύματος κατά τους χειμερινούς μήνες και οι μηδενικές τιμές θα αποτελούν παραδοχή των μοντέλων αυτών. Άλλη μέθοδος αντιμετώπισης είναι η χρήση ολόκληρων των χρονοσειρών με τις εκφορτώσεις των αλιευμάτων ανεξάρτητα από το αλιευτικό εργαλείο. Αυτό δεν προτιμάται γιατί τα δεδομένα είναι πολύ διαφορετικά σε σχέση με το αλιευτικό εργαλείο. Βέβαια τα δεδομένα και άλλων μηνών παρουσιάζουν το πρόβλημα της κοινής λειτουργίας των εργαλείων. Γενικότερα διαπιστώνεται η έλλειψη έγκυρων δεδομένων τόσο στις εκφορτώσεις, όσο και στις εκτιμήσεις της αλιευτικής προσπάθειας που μας απαγορεύει να κάνουμε χρήση σταθμισμένων μεγεθών Αλιεύματος ανά Αλιευτική Προσπάθεια (Catch Per Unit Effor, CPUE), που θα είχε μεγαλύτερη βιολογική σημασία. Το στατιστικό πακέτο SPSS 15 έχει τη δυνατότητα να αναλύει δεδομένα που περιέχουν συστηματικές κενές παρατηρήσεις. Αυτό θα ήταν ίσως πολύ καλό για την ανάλυση των χρονοσειρών που μας ενδιαφέρουν, αφού θα αντικαθιστούνταν οι τιμές των χειμερινών μηνών με κενές παρατηρήσεις. Το πρόβλημα αυτής της μεθόδου προκύπτει στην αναγνώριση του μοντέλου, αφού για παράδειγμα τα ACF και PACF είναι πολύ δύσκολο να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση των μοντέλων. Επίσης αποτελεί αποτυχία των μοντέλων ο υπολογισμός μη κενών τιμών για τους εν λόγω μήνες κατά τη διαδικασία της πρόβλεψης. Θα ήταν πιο επιτυχημένα αν τουλάχιστον κατάφερναν να αναγνωρίσουν το πρότυπο των κενών και να το αναπαράγουν και μελλοντικά. Για τους παραπάνω λόγους δεν είναι περίεργο που άλλες μέθοδοι ανάλυσης, όπως η χρήση των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων (Artificial Neural Networks) επιτυγχάνουν μεγαλύτερες αποδόσεις στην πρόβλεψη χρονοσειρών με δεδομένα αλιευτικών εκφορτώσεων (Georgakarakos et al, 2006) Αξιολόγηση αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα της εργασίας μπορούν να αξιολογηθούν κυρίως μέσα από την ανάλυση των υπολειμματικών χρονοσειρών των μοντέλων και από στατιστικά μεγέθη που απαντούν στο εάν τα υπολείμματα αποτελούν διαδικασία λευκού θορύβου, δηλαδή αν είναι τυχαία. Τα μοντέλα που κατασκευάστηκαν ήταν πολύ ικανοποιητικά. Σε κάποιες περιπτώσεις βέβαια το υπόλειμμά τους φάνηκε να μην είναι εντελώς τυχαίο. Το στατιστικό πακέτο που χρησιμοποιήθηκε προσέφερε τη δυνατότητα επιλογής του καλύτερου δυνατού μοντέλου για κάθε περίπτωση. Στις περιπτώσεις όπου εμφανίστηκαν υπολειμματικές τιμές όχι στατιστικά τυχαίες, κατασκευάστηκαν μοντέλα από το στατιστικό πακέτο. Τα μοντέλα αυτά στις περισσότερες περιπτώσεις τα κατάφερναν καλύτερα από τα δοκιμαστικά μοντέλα που αναλύθηκαν χειρωνακτικά. Ο λόγος για τον οποίο δεν επιλέχτηκαν σαν τελικά μοντέλα ήταν κυρίως η πολυπλοκότητά τους. Για παράδειγμα το μοντέλο που επιλέγει το SPSS για το σκουμπρί στη Θεσσαλονίκη είναι το ARIMA(1,0,8)(1,0,1) 9. Αυτό το μοντέλο εμφανίζει στατιστικά σημαντικούς τους όρους AR(1) και ΜΑ(8), χωρίς να αναφέρει τους υπόλοιπους όρους κινητού μέσου. Επίσης εμφανίζει στατιστικό Ljung-Box ίσο με 12,584 με επίπεδο σημαντικότητας 0,084 (επίπεδο σημαντικότητας μεγαλύτερο από 0,05 δηλώνει τυχαιότητα), όχι πολύ υψηλό δηλαδή. Τέλος το στατιστικό Normalized BIC (Bayesian Information Criterion) που χρησιμοποιείται για τη σύγκριση μεταξύ μοντέλων στα ίδια δεδομένα, εμφανίζεται καλύτερο στο μοντέλο 101

102 που κατασκευάστηκε σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφεται στο δεύτερο κεφάλαιο. Ακόμα και με παρατήρηση φαίνεται το μοντέλο που υπολόγισε το λογισμικό να είναι χειρότερο από αυτό που κατασκευάσαμε εμείς (Εικόνα 4.1). Εικόνα 4.1 Διαγράμματα προσαρμογής δύο διαφορετικών μοντέλων για τη χρονοσειρά του σκουμπριού στη Θεσσαλονίκη. Πάνω ΑΡΙΜΑ(1,0,8)(1,0,1). Κάτω ΑΡΙΜΑ(1,0,1)(0,1,1). Τα υπόλοιπα μοντέλα που δοκιμάστηκαν και στη συνέχεια επιλέχτηκαν για να γίνουν προβλέψεις, κατάφεραν να προσαρμοστούν πολύ καλά στα δεδομένα. Όλα τα μοντέλα ήταν απλά, χωρίς να υπερβαίνουν τους δύο βαθμούς σε κανένα από τους όρους τους. Κατά την περίοδο επιβεβαίωσης πέτυχαν να προβλέψουν με πολύ ικανοποιητική ακρίβεια τα πραγματικά δεδομένα. Οι περιπτώσεις κατά τις οποίες οι προβλέψεις δεν ή- ταν πολύ ικανοποιητικές, παρατηρήθηκαν όταν οι χρονοσειρές άλλαζαν πολύ συμπεριφορά. Αυτή η αλλαγή συμπεριφοράς μπορεί να οφείλεται σε διάφορους παράγοντες, ό- πως καιρικές συνθήκες, κοινωνικοοικονομικούς παράγοντες ή ακόμα και τυχαία γεγονότα. Τα μοντέλα δεν είναι δυνατόν να προβλέψουν τέτοιου είδους γεγονότα, ούτε και είναι αυτό το ζητούμενό τους. Σε μια επέκταση της συγκεκριμένης εργασίας μπορεί να συμπεριληφθεί στην κατασκευή των μοντέλων μια σειρά παραμέτρων και μεταβλητών, οι ο- ποίες οι οποίες θα μπορούν να προβλέπουν με περισσότερη ακρίβεια τις μελλοντικές εκφορτώσεις Σύγκριση αποτελεσμάτων Η σύγκριση των αποτελεσμάτων δεν μπορεί να είναι πλήρης αφού δεν υπάρχουν διαθέσιμα τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν στις υπόλοιπες εργασίες, καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν δεν είναι πλήρως γνωστά, αλλά παρουσιάζονται μόνο σε κάποιο βαθμό. Δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν στατιστικοί δείκτες όπως οι NBIC και AIC, γιατί αυτοί έχουν ικανότητα σύγκρισης διαφορετικών μοντέλων στα ίδια δεδο- 102