ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 12&13: ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

4 Ενότητα 12&13 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

5 Περιεχόμενα ενότητας 1. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 2. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΩΝ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΔΑΦΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ 3. Παράδειγμα χρήσης του φάσματος σχεδιασμού του ΕΑΚ για τον υπολογισμό μέγιστης ιδιομορφικής επιτάχυνσης 4. Το πρόβλημα του συνδυασμού των φασματικών ιδιομορφικών συνιστωσών. 5. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 6. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΣΤΥΛΩΝ ΟΡΟΦΟΥ 7. ΕΝΕΡΓΕΣ ΜΑΖΕΣ ΠΟΣΟΣΤΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

6 Σκοποί ενότητας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

7 ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ ν-όροφο διατμητικό πλαίσιο σε σεισμικό κραδασμό με εδαφική μετατόπιση u g (t) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

8 m m f g (t) = - m a g (t) k c = k c u g m u (t) + c u (t) + k u(t) = - m a g (t) = f g (t) t 0 h (t - τ) fg (τ t ) dτ 1 0 u(t) h(t )fg ( )d a g( )e 0 d t 0 (t) sin d (t ) d ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

9 Το διάνυσμα των συνολικών μεταθέσεων U t (t), προκύπτει ως συνδυασμός των σχετικών μεταθέσεων U(t) και της εδαφικής μετάθεσης. U t (t) = U(t) +[1]u g (t) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

10 Οι μητρωικές εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας είναι: MU' ' CU' KU M 1 a ( t) F ( t) Αφού πρώτα προσδιορισθούν τα ω και Φ, προχωρούμε στον γνωστό μετασχηματισμό g g M Q'' * * Q'' C Q' K CQ' * Q F * KQ ( t) F( t) Εδώ το διάνυσμα γενικευμένης διέγερσης είναι, F (t) F (t) * g (t) M 1 a g ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

11 Οι γενικευμένες (ιδιομορφικές) εξισώσεις προκύπτουν ως Η φυσική εδαφική επιτάχυνση a g περιλαμβάνεται στην διέγερση του -οστού γενικευμένου μονοβάθμιου ταλαντωτή που είναι: Οι συντελεστές L ονομάζονται συντελεστές διέγερσης (t) L a m (t) a (t) f g 1 k k k g * ) ( ~ ) ( ' 2 '' ) ( ' '' * * * 2 * * * * t f m t f q q q t f q k q c q m m ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

12 Ο αδιάστατος συντελεστής Γ εκφράζει το ποσοστό της φυσικής σεισμικής διέγερσης, εκφρασμένης σε όρους επιτάχυνσης a g (t), που συμμετέχει στην διέγερση της -οστής ιδιομορφής. Λόγω της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, ο -οστός όρος του μητρώου γενικευμένης μάζας Μ*, ισούται με 1 k 2 k * k m m Οπότε, η εξίσωση ισορροπίας του γενικευμένου μονοβάθμιου ταλαντωτή προκύπτει: ) ( ) ( ) ( ' 2 '' * * 2 t a m m t a m t f q q q g v k k k v k k k g ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

13 m* 1 q 1 m 2 u 2 k* 1 k 2 Γ 1 a g m 1 u 1 k 1 m* 2 q 2 k* 2 a g Γ 2 a g ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

14

15

16 Αυτό σημαίνει ότι αν η εδαφική κίνηση a g (t) προσδιορίζεται μέσω του φάσματος απόκρισης S d (T) που αυτή προκαλεί, η μέγιστη μετάθεση της ιδιομορφικής συνιστώσας q θα είναι Γ *S d (T ) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

17 Ανάλογες τροποποιήσεις ισχύουν και για τα φάσματα ταχυτήτων S v (T,ξ) και επιταχύνσεων S a (T,ξ). Έχουμε δηλαδή: S d, = Γ S d (T,ξ ), S v, = Γ S v (T,ξ ), S a, = Γ S a (T,ξ ) όπου S d,, S v,,s a, είναι αντίστοιχα η μέγιστη μετάθεση, ταχύτητα και επιτάχυνση της ιδιομορφικής συνιστώσας q ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

18 Παράδειγμα χρήσης του φάσματος σχεδιασμού του ΕΑΚ για τον υπολογισμό μέγιστης ιδιομορφικής επιτάχυνσης Οι φασματικές αυτές τιμές θα πρέπει εκ των υστέρων να πολλαπλασιασ θούν με τους συντελεστές Γ. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

19 Το πρόβλημα του συνδυασμού των φασματικών ιδιομορφικών συνιστωσών. Η ταλάντωση του -οστού βαθμού ελευθερίας του πολυβάθμιου συστήματος είναι u (t) kqk (t) u k (t) k1 k1 όπου u k (t) είναι η συνεισφορά της k-οστής ιδιομορφικής συνιστώσας q k (t) στην φυσική ταλάντωση του -οστού βαθμού ελευθερίας u (t). Συνεπώς, η ταλάντωση του -οστού βαθμού ελευθερίας (π.χ. του -οστού ορόφου επίπεδου διατμητικού πλαισίου), προκύπτει ως το άθροισμα των ταυτόχρονων ιδιομορφικών συνεισφορών (ίδια χρονική στιγμή t). ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

20 Τι γίνεται όμως, αν είναι γνωστή μόνο η μέγιστη τιμή του q k = Γ k S d (T k,ξ k ) και όχι ολόκληρη η χρονο-ιστορία του q k (t); Όταν, δηλαδή, δεν έχουμε τις τιμές των συνεισφορών την κάθε χρονική στιγμή; Το μόνο που διαθέτουμε είναι οι μέγιστες τιμές των συνεισφορών u k (t), οι οποίες προέρχονται από τις μέγιστες (φασματικές) τιμές των q k (t) u k = φ,k Γ k S d (T k,ξ k ) Αυτά τα μέγιστα δεν συμβαίνουν ταυτόχρονα, οπότε δεν πρέπει να προστεθούν για να προκύψει η μέγιστη τιμή της u (t)!!! ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

21 m 3 u 3 m* 1 k* 1 q 1 m 2 k 3 u 2 m* 2 k* 2 q 2 k 2 m 1 u 1 k 1 m* 3 k* 3 q 3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

22 Απόκριση u 3 (t) άνω ζυγώματος ενός 3ώροφου διατμητικού πλαισίου υπό σεισμική διέγερση. Για κάθε χρονική στιγμή t ισχύει: u 3 (t) = u 31 (t) + u 32 (t) + u 33 (t) (3 ιδιομ. συνιστώσες) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

23 Αν επιχειρήσουμε να εκτιμήσουμε την μέγιστη συνολική μετάθεση από τις μέγιστες τιμές των συνιστωσών, τότε τιμή που προκύπτει από το απλό άθροισμα είναι αρκετά μεγαλύτερη της πραγματικής u31 u32 33 ( + + u ) = ( ) = 6.57 > 5.16 Ενας ορθολογικότερος τρόπος συνδυασμού είναι η χρήση της τετραγωνικής ρίζας του αθροίσματος των τετραγώνων (γνωστής ως μέθοδος επαλληλίας SRSS). Σύμφωνα με αυτόν, η εκτιμώμενη μέγιστη τιμή της μετάθεσης u (t) είναι: u k1 u 2 k u 2 1 u u 2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

24 Πράγματι, η εκτίμηση της που προκύπτει από την επαλληλία SRSS είναι πολύ κοντά στην πραγματική u 3 u + u + u = = ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

25

26 f s = k*s d = m* ω ο 2 * S d = m* PS a = (W/g)* PS a = ε*w f g (t) = -m a g (t) f s = -m PSa = (!) u g (t) V b = f s f g (t) = -m a g (t) f g,max = -m Pga = (X) u g (t) V b f g,max ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

27

28

29 f s = k*s d = m* PS a ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40 m =16,106 k = 24211,9 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

41

42 m* 1 k*1 q 1 m 2 u 2 k 2 Γ 1 a g m 1 k 1 u 1 m* 2 k*2 q 2 a g Γ 2 a g ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61 Τέλος Ενότητας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 61