x 2 = x o2 ηµ(ωt + ϕ o +θ)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x 2 = x o2 ηµ(ωt + ϕ o +θ)"

Ἀπφία Αλεξάνδρου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ F 1 F F Όταν σε ένα σώµα ασκούνται δυο δυνάµεις τότε το σώµα κινείται στη διεύθυνση και φορά της συνισταµένης των δυο δυνάµεων Μπο ρούµε µάλιστα να " ξεχάσουµε" εντελώς την ύπαρξη των δυο συνιστωσών και να µελετήσουµε την κίνηση ωσάν να ασκείται στο σώµα µόνο µια δύναµη, η συνισταµένη F Πώς παράγεται ένα απλός αρµονικος ήχος; Από ποιούς παράγοες εξαρτάται το απολεσµα της σύνθεσης ταλαντώσεων; Το ίδιο συµβαίνει και στην περίπτωση που ένα σώµα οφείλει να εκτελέσει δυο ταλαντώσειςπχ η ακουστική µεµβράνη στο αυτί µας εκτελεί ταλάντωση που προκύπτει σαν η συνισταµένη των ταλαντώσεων που θα εκτελούσε λόγω κάθε απλού αρµονικού ήχου, χωριστά( Απλός αρµονικός ήχος: ήχος που παράγεται από σώµα - πηγή που εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση ) Η συνισταµένη κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση ταλαντώσεων εξαρτάται: α) Από τις διευθύνσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων β) Από τις συχνότητές τους γ) Από τα πλάτη τους δ) Από τη σχέση των φάσεών τους ε) Από τη θέση ισορροπίας της κάθε ταλάντωσης Τί ονοµάζουµε διαφορά φάσης δυο ταλαντώσεων µε ίδια συχ- Θα ασχοληθούµε µε τη σύνθεση ταλαντώσεων που έχουν την ίδια διεύθυνση και ίδια θέση ισορροπίας ( Σε αντίθετη περίπτωση η κίνηση του σώµατος που εκτελεί τη συνισταµένη ταλάντωση γίνεται στο χώρο και είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη) Έστω η αποµάκρυνση δυο ταλαντώσεων είναι: x 1 = x o1 ηµ(ωt + ϕ o) Η αποµάκρυνση λόγω µιας άλλης ταλάντωσης είναι: x = x o ηµ(ωt + ϕ o +θ) Πότε δυο ταλαντώσεις βρίσκονται σε συµφωνία φάσης; Οι δυο συναρτήσεις έχουν την ίδια συχνότητα και η διαφορά φάσης τους είναι θ Όταν η διαφορά φάσης είναι µηδέν ή γενικώτερα : θ=κπ, ( κ= 0,1,,), λέµε ότι οι δυο ταλαντώσεις βρίσκονται σε συµφωνία φάσης Αυτό σηµαίνει ότι τα µεγέθη των δυο ταλαντώσεων: αποµάκρυνση x, ταχύτητα U, επιτάχυνση γ, ταυτόχρονα παίρνουν τη µέγιστη τιµή τους και ταυτόχρονα επίσης µηδενίζονται

2 Ποιό το αποτέλεσµα της σύνθεσης δυο ταλαντώσεων µε ίδια συχνότητα ω, που βρίσκονται σε συµφωνία φάσης; ( Οι ταλαντώσεις έχουν την ίδια θέση ισορροπίας ) Έστω ένα υλικό σηµείο στο οποίο επιδρούν δυο αίτια Λόγω του κάθε αιτίου το υλικό σηµείο θα εκτελούσε γατ µε αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας µε αποµάκρυνση x 1, λόγω του ενός αιτίου και x λόγω του δεύτερου αιτίου Οι ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω απ την ίδια θέση ισορροπίας Η συνολική αποµάκρυνση x θα βρεθεί ως εξής: x 1 = x o1 ηµ(ωt + ϕ o) x = x o ηµ(ωt + ϕ o) x oλ = x 1 + x x oλ = (x o1 + x o ) ηµ(ωt + ϕ o x oλ = X o ηµ(ωt + ϕ o) X o = x o1 + x o ηλαδή το αποτέλεσµα αυτής της σύνθεσης θα είναι ταλάντωση ίδιας συχνότητας και πλάτος το άθροισµα των πλατών της κάθε ταλάντωσης y + A x O ωt +φ o A Περιστρεφόµενο διάνυσµα και γραµµική αρµονική Η εξίσωση της στιγµιαίας αποµάκρυνσης y δίνεται από τη σχέση x=x o ηµ (ωt + φ) Μπορούµε να έχουµε πλήρη µελέτη της γατ και συγκεκριµένα του µεγέθους της, στιγµιαία αποµάκρυνση x, µε την εξής αντιστοιχία Θεωρούµε ένα περιστρεφόµενο διάνυσµα µε: 1 Μήκος ίσο µε το πλάτος ταλάντωσης x o Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του, είναι ίση µε τη κυκλική συχνότητα ω της γατ 3 Η φάση, ωt+φ ο, είναι ίση µε την επίκεντρο γωνία ΑΟΑ' 4 Η αλγεβρική τιµή της προβολής του διανύσµατος πάνω στη διεύθυνση yy', είναι ίση µε τη στιγµιαία τιµή της αποµάκρυνσης x Παρατηρήσεις: α) Η µέτρηση των γωνιών αρχίζει από το Α OΑ κάθετος στη διεύθυνση yy' β) Εάν η αρχική φάση είναι µηδέν, φ ο =0, τότε τo περιστρεφόµενο διάνυσµα τη χρονική στιγµή t=0 θα ταυτίζεται µε την ακτίνα ΟΑ

3 Ποιό το αποτέλεσµα της σύνθεσης δυο ταλαντώσεων µε ίδια συχνότητα ω Οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης φ( Οι ταλα- ντώσεις έχουν την ίδια θέση ισορροπίας και την ίδια διεύθυν- ση) Έστω ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις Οι επιµέρους ταλαντώσεις εξελίσσονται στην ίδια ευθεία µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω και έχουν το ίδιο σηµείο ισορροπίας Η αποµάκρυνση λόγω της κάθε ταλάντωσης χωριστά δίνεται από τις x 1 =α ηµωt x =β ηµ(ωt + φ) Η στιγµιαία αποµάκρυνση που θα χαρακτηρίζει το σώµα θα βρεθεί από το αλγεβρικό άθροισµα, των αποµακρύνσεων x 1, x x oλ = x 1 + x =α ηµ(ωt) +β ηµ(ωt + φ) Η εύρεση της συνάρτησης της συνολικής αποµάκρυνσης x ολ µπορεί να προκύψει από την παραπάνω εξίωση, επιστρατεύοντας τις γνώσεις µας στην τριγωνοµέτρία αλλά κύρια την υποµονή µας αφού οι τριγωνοµετρικές πράξεις δεν θα είναι λίγες Ευτυχώς για µας η χρησιµοποίηση της έννοιας του περιστρεφόµενου διανύσµατος δίνει αποτέλεσµα µε λιγώτερο κόπο Έχουµε: N M Z O + M φ ωt θ Z A N φ OZ =α OZ = x 1 OM = β OM = x Το διάνυσµα που προκύπτει από τη διανυσµατική πρόσθεση των διανυσµάτων α, β, είναι το διάνυσµα γ, που εκφράζει το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης ON =γ ON = x + x = x oλ Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου: γ= α +β + α β συνφ Από το νόµο των ηµιτόνων για το τρίγωνο ΖΟΝ: ηµθ ZN = ηµ(π φ) ηµθ OZ β = ηµφ γ ηµθ= β γ ηµφ Η στιγµιαία αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας θα δίνεται από τη σχέση: x oλ = γ ηµ(ωt +θ)

4 Ðïéü ôï áðïôýëåóìá ôçò óýíèåóçò äõï áñìïíêþí ôáëáíôþóåùí ðïõ åîåëßóóïíôáé ðüíù óôçí ßäéá åõèåßá ãýñù áðü ôçí ßäéá èýóç éóïññïðßáò êáé ìå óõ íüôçôåò ç ìéá íá åßíáé ðïëëáðëüóéï ôçò Τί γίνεται στην περίπτωση που οι δυο ταλαντώσεις που συντίθενται δεν έχουν την ίδια συχνότητα; Σ' αυτή την περίπτωση ενώ οι δυο ταλαντώσεις ενεργούν στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας η κίνηση που προκύπτει είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη Στην περίπτωση όµως που έχουµε σύνθεση δυ αρµονικών ταλαντώσεων, που οι συχνότητές τους είναι η µια ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης τότε προκύπτει κίνηση περιοδική αλλά όχι αρµονική Η κυκλική συχνότητα της περιοδικής κίνησης, θα είναι ίση µε την µικρότερη κυκλική συχνότητα πχ Εάν x 1 =α ηµ(ω 1 t) x =β ηµ(ω t) και ω 1 =κ ω κ: ακέραιος µεγαλύτερος του 1 Η εξίσωση της αποµάκρυνσης της συνισταµένης κίνησης θα είναι συνάρτηση περιοδική αλλά όχι αρµονική Η συχνότητα της περιοδικής κίνησης θα είναι ίση µε τη συχνότητα της µικρότερης κυκλικής συχνότητας, την ω στην παραπάνω περίπτωση Ôé ãíùñßæåôå ãéá ôçí áíüëõóç ôùí ðåñéïäéêþí êéíþóåùí êáôü Fourier; Ôé åßíáé ç èåìåëéþäçò áñìïíéêþ; O Fourier έδειξε ότι: Κάθε περιοδική κίνηση συχνότητας ν ο µπορεί να αναλυθεί σε µεγάλο αριθµό απλών αρµονικών ταλαντώσεων που οι συχνότητές τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας ν ο ηλαδή µια περιοδική κίνηση µε συχνότητα ν ο µπορεί να θεωρηθεί σαν συνισταµένη ταλάντωση αρµονικών ταλαντώσεων που ενεργούν στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, ταλαντώσεων που έχουν συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας ν ο Η συχνότητα ν ο της περιοδικής κίνησης ονοµάζεται θεµελιώδης ή πρώτη αρµονική Η συχνότητα ν=ν ο : δεύτερη αρµονική, ν'=3ν ο : τρίτη αρµονική κοκ x ν o 1η αρµονική x 3ν o 3η αρµονική Äåí åßìáé óßãïõñïò ãéá ôï ðüóï áíôýîáôå íá äéáâüæåôå ãéá áñìïíéêýò êáé äåí ìðþêáôå óôïí ðåéñáóìü íá áêïýóåôå áñìïíßåò Áí áõôü äåí Ý åé ãßíåé, áò ãßíåé ôþñá Êáéñüò ãéá äéüëëåéìá Áíïßîôå ôï ñáäéüöùíï x 5ν o x 5η αρµονική ν o περιοδική, όχι αρµονική, συχνότητας ν ο

5 ιακρότηµα Έστω ένα σώµα που εκτελεί ταυτόχρονα δυο αρµονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία γώρω από την ίδια θέση ισορροπίας που έχουν επίσης το ίδιο πλάτος Εάν οι κυκλικές τους συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα µεταξύ τους, ποιό το είδος της κίνησης που εκτελεί το σώµα; Έστω: x 1 = x o ηµ(ω 1 t) x = x o ηµ(ω t) x = x 1 + x x = x o [ηµ(ω 1 t) +ηµ(ω t)] ηµα + ηµβ = συν α β ηµα+β x = x o συν ω 1 ω ω 1 ω ω= ω1+ω Επειδή: t ηµ ω 1+ω t ω 1 ω, ν ν 1 ν ω 1 ω 0 ω 1 ω Άρα ο παράγοντας: συν ω 1 ω t 0 (1 µεταβάλλεται πάρα πολύ αργά, οπότε µπορούµε να επιλέξουµε τον παράγοντα: x o συν ω 1 ω t = X o σαν πλάτος της ταλάντωσης Τελικά: (1) x = X o ηµ(ω 1 t) () X o = x o συν ω 1 ω t Συµπεράσµατα: 1 Η συνισταµένη κίνηση είναι κίνηση περιοδική όχι αρµονική Η συχνότητα της περιοδικής κίνησης είναι η µέση τιµή των δυο συχνοτήτων σχεδόν ίση µε τις συχνότητες των συνιστωσών ταλαντώσεων, αφού ω 1 περίπου ίση µε την ω 3 Το πλάτος αυτής της κίνησης µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών 0 και x o 4 H περιοδική αυτή κίνηση ονοµάζεται διακρότηµα και το χρονικό διάστηµα µεταξύ δυο µεγιστοποιήσεων, κατ' απόλυτο τιµή, του πλάτους ταλάντωσης, λέγεται περίοδος Τ δ του διακροτήµατος (3) x o

6 Ποιά η περίοδος του διακροτήµατος; Το χρονικό διάστηµα µεταξύ δυο µεγιστοποιήσεων, κατ' απόλυτο τιµή, του πλάτους ταλάντωσης, λέγεται περίοδος Τ δ, του διακροτήµατος Έστω τη χρονική στιγµή t 1 το πλάτος είναι µέγιστο x o, τότε: Αφού: X o = x o συν ω 1 ω t ω 1 ω t 1 = πκ (4) Έστω τη χρονική στιγµή (t 1 +Τ δ ), το πλάτος γίνεται -x o, πρώτη µεγιστοποίηση του πλάτους µετά από την κατάσταση µε πλάτος x o ( Εστω ότι το συνηµίτονο έχει κάποια στιγµή τιµή+1 Θα πάρει την τιµή -1 και µετά ξανά την τιµή +1) ω 1 ω (t 1 + T δ ) = (κ+1) π (5) (5) (4) ω 1 ω T δ =π π(ν 1 ν ) T δ =π T δ = T δ = 1 ν 1 ν 1 ν 1 ν x o T δ x o Όταν συµβάλουν δυο ήχοι που έχουν παραπλήσια συχνότητα τότε το φαινόµενο του διακροτήµατος γίνεται εύκολα αντιληπτό, αφού αυτό σηµαίνει ότι καταγράφουµε χρονικές στιγµές που: α) εν ακούµε τίποτα - συνολικό πλάτος ταλάντωσης 0 - καστρεπτική συµβολή β) Στιγµές που ακούµε τον ήχο σε µέγιστη ένταση, αυτό συµβαίνει όταν οι δυο ήχοι συµβάλλουν ενισχυτικά και το πλάτος ταλάντωσης είναι x o Το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δυο διαδοχικών δυνατών ακουσµάτων είναι η περίοδος του διακροτήµατος

7 Παράδειγµα 7 ο Σε ένα σώµα ενεργούν δυο ταλαντώσεις που ενργούν στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Οι εξισώσεις τους είναι: x 1 = 5 ηµ 10πt + π 6 cm x = 8 ηµ 10πt + π cm Nα βρεθούν: α) Το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης β) Η µέγιστη ταχύτητα που αποκτά κατά την ταλάντωσή του το σώµα γ) Να γραφεί η εξίσωση της στιγµιαίας αποµάκρυνσης του σώµατος δ) Να γραφεί η εξίσωση της στιγµιαίας ταχύτητας του σώµατος Λύση Λ x o, x o K θ A π 3 Z O x o,1 ωt Ισχύουν: φ = 10πt + π 10πt + π 6 = π 3 x 0,1 = 5cm, x o, = 8cm x 0 = συν π 3 x 0 = 19 cm 11, 58cm Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΖΚ (ΟΑ=5cm, AK=OΛ=8 cm,) εφθ = x 0, ηµ π 3 x 0,1 +x 0, συν π 3 = = Στιγµιαία αποµάκρυνση x = x o ηµ 10πt + π 3 +θ = 19 ηµ 10πt + π 3 +θ cm Στιγµιαία ταχύτητα Μέγιστη ταχύτητα U = U o συν 10πt + π 3 +θ = 10π 19 συν 10πt + π 3 +θ cm sec U o =ω x o = 10 π 19 cm sec

Σχετικά έγγραφα

5 Σύνθεση Ταλαντώσεων

Πρόχειρες Σηµειώσεις 011-01 5 Σύνθεση Ταλαντώσεων Ενα σώµα µπορει να εκτελεί ταυτόχρονα δυο αρµονικές ταλαντώσεις, οι οποίες µπορεί να έχουν οποιαδήποτε διεύθυνση. Το αποτέλεσµα είναι, γενικά, µια πολύπλοκη