ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ELECTRE II

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ELECTRE II ιπλωµατική Εργασία του Κωνσταντίνου Γαλάνη (ΑΕΜ: 235) Επιβλέποντες Καθηγητές: Ιωάννης Βλαχάβας Χρυσολέων Παπαδόπουλος Ιωάννης Μανωλόπουλος Καθηγητής τµήµατος Πληροφορικής Καθηγητής Οικονοµικού τµήµατος Καθηγητής τµήµατος Πληροφορικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΣ 2010

2

3 Πρόλογος Ένα ιδιαιτέρως εύστοχο ερώτηµα, που τέθηκε στα πλαίσια διάλεξης του καθηγητή του Τµήµατος Πληροφορικής του Α.Π.Θ. κου Ιωάννη Βλαχάβα, εµπεριέχει την εκπεφρασ- µένη αγωνία όλων όσοι έχουν ως αντικείµενο προβληµατισµού τους τη διαδικασία λήψης απόφασης. Ταυτόχρονα διαπιστώνουν από κοινού τον πολύπλευρο και πολύπλοκο χαρακτήρα της. Πιο συγκεκριµένα, η φράση «Νοµίζετε ότι είναι εύκολο να αποφασίζεις;» η οποία, σηµειωτέον, βρισκόταν, µεταξύ άλλων, στο επίκεντρο προσωπικού προβληµατισµού, συνιστά την ουσία της παρούσης ιπλωµατικής Εργασίας. Πολύ πριν κάνουν την εµφάνισή τους οι προσωπικοί υπολογιστές και τα υπολογιστικά βοηθήµατα (εν προκειµένω, φύλλα επεξεργασίας), η διαδικασία λήψης απόφασης για την αντιµετώπιση προβληµάτων, που καθηµερινά αναφύονται, ήταν κοπιώδης και ταυτόχρονα αγωνιώδης προς την εξαγωγή ασφαλών αποτελεσµάτων. Συµβολή στην επίλυση της πρωτύτερα χρονοβόρας και ασαφούς διεργασίας συνιστούν τα πορίσµατα του παρόντος πονήµατος, µέσω της υλοποίησης της πολυκριτήριας µεθοδολογίας ELECTRE II µε υποκριτήρια στο πρόγραµµα XLectre. Η διπλωµατική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του ιατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική και ιοίκηση» µε την επίβλεψη του Εργαστηρίου Προγραµµατισµού και Τεχνολογίας Λογισµικού του Τµήµατος Πληροφορικής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Θα ήθελα να εκφράσω εδώ τις ευχαριστίες µου στον Καθηγητή κύριο Ιωάννη Βλαχάβα, ο οποίος προσέφερε την ευκαιρία να ασχοληθώ, σε βάθος και σε επιστηµονικό επίπεδο, µε το πρόβληµα της λήψης απόφασης και ειδικότερα µε τις πολυκριτήριες µεθόδους ELECTRE. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το ιδάκτορα κύριο Φώτη Κόκκορα για τις πολύτιµες συµβουλές και τη στήριξή του στην ανάπτυξη του προγράµµατος. Τέλος, θα ήθελα να αναφέρω την εργασία της συναδέλφου κας Άννας Μόσχογλου, της οποίας η διπλωµατική εργασία προσέφερε ιδέες για τη µορφοποίηση της παρούσης. Κωνσταντίνος Γαλάνης Ιούνιος i-

4 -ii-

5 στη ήµητρα -iii-

6 -iv-

7 Περιεχόµενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... V 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Καθορισµός εφικτών λύσεων και προσδιορισµός στόχου Καθορισµός συνεπούς συνόλου κριτηρίων Επιλογή και χρήση µεθόδου σύνθεσης Στήριξη της απόφασης ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Η ΕΠΙΛΟΓΗ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΣ ΜΕΘΟ ΟΥ Η επιλογή µεθόδου ως πολυκριτήριο πρόβληµα Η επιλογή µεθόδου µε απαρίθµηση ερωτηµάτων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ELECTRE Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΥΠΕΡΟΧΗΣ Η ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ELECTRE Οι µέθοδοι ELECTRE I Iv - Ιs Η µέθοδος ELECTRE II Η µέθοδος ELECTRE III Η µέθοδος ELECTRE IV Η µέθοδος ELECTRE TRI H ΕΦΑΡΜΟΓΗ XLECTRE ΤΟ MICROSOFT EXCEL ΩΣ ΠΛΑΤΦΟΡΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ v-

8 4.2 Η ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Εισαγωγή Τα βασικά δοµικά χαρακτηριστικά της εφαρµογής ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η χρήση του αρχείου Αλλαγή παραµέτρων και απόδοση τιµών Οι πίνακες υπολογισµού και ο τελικός πίνακας αξιολόγησης Τα γραφήµατα της εφαρµογής ΕΚΤΕΝΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ vi-

9 1 Εισαγωγή Η αντιµετώπιση σύνθετων προβληµάτων επί πραγµατικών καταστάσεων είναι σύνηθες φαινόµενο για τη ανθρώπινη νόηση. Η πληθώρα και ποικιλία των προβληµατισµών, η περίπλοκη φύση τους, η παρουσία αντικρουόµενων ιδιοτήτων και η παροχή αβέβαιων ή ασαφών πληροφοριών δυσχεραίνουν τη λήψη απόφασης. Με στόχο τη στήριξη της διαδικασίας απόφασης, η επιστηµονική κοινότητα έχει αναπτύξει σειρά κλάδων, όπως η επιχειρησιακή έρευνα, η επιστήµη της διοίκησης, οι εξειδικευµένες και εκλεπτυσµένες στατιστικές αναλύσεις. Οι θεωρίες του γραµµικού προγραµµατισµού, του δυναµικού προγραµµατισµού, του ελέγχου υποθέσεων και του προγραµµατισµού στόχων, ο έλεγχος αποθεµάτων και η βελτιστοποίηση συστηµάτων ουράς στοχεύουν στην αναζήτηση της βέλτιστης απόφασης λύσης. Σε συνδυασµό δε µε την Επιστήµη των Υπολογιστών αποτελούν ση- µαντικά βοηθήµατα για την επιλογή της ορθής απόφασης σε µια δεδοµένη επιχειρηµατική κατάσταση. Η πολυκριτήρια µεθοδολογία αποτελεί τον νεότερο και πλέον δυναµικό κλάδο των επιστηµών της στήριξης απόφασης. Υπό την αιγίδα της εξέλιξης της επιστήµης των υ- πολογιστών, συνδυάζει µαθηµατικές µεθόδους και λογικές διαδικασίες µε την προσέγγιση των προτιµήσεων του αποφασίζοντα σε µια ολοκληρωµένη πρόταση για την υποστήριξη της διαδικασίας απόφασης. Η ειδοποιός διαφορά της από τις προηγούµενες θεωρίες είναι η επιδίωξη της σύνθεσης των παραµέτρων της απόφασης µε γνώµονα το συνειδητό ή µη σύστηµα αξιών και προτιµήσεων του αποφασίζοντα. Κατά αυτόν τον τρόπο, η διαδικασία για τη στήριξη της απόφασης χαρακτηρίζεται από µεγάλο βαθµό διαδραστικότητας του συστήµατος µε τον αποφασίζοντα, ενώ σε ορισµένες εκφάνσεις της πολυκριτήριας ανάλυσης η ίδια η διαδικασία διαµορφώνεται µε βάση τις δηλωµένες προτιµήσεις εκείνου. Η εξέλιξη της επιστήµης των ηλεκτρονικών υπολογιστών και ο συνδυασµός µαθηµατικών και λογικών διεργασιών συµβάλλουν στη διατύπωση µιας ολοκληρωµένης πρότασης για την υποστήριξη της διαδικασίας απόφασης. Κατά συνέπεια, στόχος της πολυκριτήριας ανάλυσης είναι η παροχή προς τον αποφασίζοντα των απαραίτητων πληροφοριών για τη στήριξη της απόφασης. Κατά αυτό -1-

10 τον τρόπο, η πολυκριτήρια ανάλυση συµβάλλει στον εντοπισµό των κύριων χαρακτηριστικών του προβλήµατος υπό εξέταση καθώς και των ιδιαίτερων γνωρισµάτων των διαθέσιµων εναλλακτικών λύσεων. Η άνθιση της επιστηµονικής σκέψης σε πλήθος µεθόδων και η συνεχής έρευνα και εξέλιξη στο συγκεκριµένο τοµέα δηλώνουν τη ζωτικότητα και το δυναµισµό του κλάδου της πολυκριτήριας µεθοδολογίας. Ταυτόχρονα, η εφαρµογή µεθόδων της πολυκριτήριας µεθοδολογίας σε σωρεία πραγµατικών προβληµάτων αποδεικνύει την ικανότητά της να αντιµετωπίζει µε επιτυχία την πολυσχιδή σύγχρονη πραγµατικότητα. Μέσω της σύγκρισης εναλλακτικών επιλογών υπό ένα πλήθος ποιοτικών ή ποσοτικών κριτηρίων, και µε τη χρήση µαθηµατικών υπολογισµών, η πολυκριτήρια ανάλυση αναλαµβάνει την υποβοήθηση του αποφασίζοντα στην περίπλοκη διαδικασία της λήψης απόφασης. Η παρούσα διπλωµατική έχει σκοπό αφενός να εισάγει τον αναγνώστη στις βασικές έννοιες της πολυκριτήριας µεθοδολογίας και τις έννοιες των µεθόδων που βασίζονται στις σχέσεις υπεροχής, αφετέρου να εντρυφήσει στις λεπτοµέρειες των µεθόδων της οικογένειας ELECTRE. Η εργασία ολοκληρώνεται µε την ανάπτυξη ενός προγράµµατος επίλυσης της µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια µε χρήση του Microsoft Excel. Αναλυτικότερα: Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ορισµοί των βασικών εννοιών της πολυκριτήριας µεθοδολογίας και αναφέρονται µορφές ταξινόµησης των µεθόδων. Τέλος, γίνεται µια εισαγωγή στις διαδικασίες επιλογής της κατάλληλης µεθόδου για την επίλυση πολυκριτήριων προβληµάτων συγκεκριµένου τύπου. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της οµάδας µεθόδων οι οποίες αναπτύσσονται στηριζόµενες σε σχέσεις υπεροχής. Επίσης, γίνεται µια λεπτοµερής αναφορά στις µεθόδους της οικογένειας ELECTRE. Στα πλαίσια της ανάλυσης, παρουσιάζονται αδυναµίες των µεθόδων καθώς και προτάσεις για την αντιµετώπιση αυτών. Η ανάλυση εµβαθύνει στις µεθόδους ELECTRE II και ELECTRE II µε υποκριτήρια, οι οποίες αφορούν και το κύριο θέµα της διπλωµατικής εργασίας. Η δεύτερη εκ των δύο αποτελεί ταυτόχρονα το αντικείµενο της παρούσης στο προγραµµατιστικό της σκέλος. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρονται τα στοιχεία της εφαρµογής XLectre. Παρουσιάζονται στοιχεία που ενισχύουν την επιλογή του Microsoft Excel ως πλατφόρµας ανάπτυξης. Επίσης, γίνεται αναφορά στα δοµικά χαρακτηριστικά της εφαρµογής XLectre η -2-

11 οποία αναπτύχθηκε ώστε να επιλύει πολυκριτήρια προβλήµατα µε βάση τη µέθοδο ELECTRE II µε υποκριτήρια. Το πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζει δύο παραδείγµατα χρήσης της εφαρµογής. Το πρώτο παράδειγµα αποτελεί εισαγωγή στη εφαρµογή, στην οποία παρουσιάζονται αναλυτικά τα βήµατα για τη χρήση του προγράµµατος. Το δεύτερο αποτελεί µια ικανή ένδειξη για τις δυνατότητες της µεθόδου στην αντιµετώπιση εκτενών προβληµάτων µε σύνθετα δεδοµένα εισόδου. Τέλος, το έκτο κεφάλαιο περιλαµβάνει τα συµπεράσµατα της εργασίας, καθώς και προτάσεις για µελλοντική επέκταση της έρευνας στα πλαίσια της πολυκριτήριας µεθοδολογίας, µαζί µε τις πιθανές εκφάνσεις αυτής σε νέες µορφές της εφαρµογής. -3-

12 -4-

13 2 Η πολυκριτήρια µεθοδολογία Η πολυκριτήρια µεθοδολογία αποτελεί σήµερα έναν εξελιγµένο τοµέα της επιστήµης στήριξης αποφάσεων ο οποίος λόγω της αλµατώδους προόδου στην επιστήµη των η- λεκτρονικών υπολογιστών γνωρίζει ιδιαίτερη άνθιση ήδη από τις δύο τελευταίες δεκαετίες του εικοστού αιώνα. Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρείται µια εισαγωγή στις βασικές αρχές της πολυκριτήριας ανάλυσης για τη λήψη αποφάσεων. 2.1 Ορισµός και βασικές έννοιες Η πολυκριτήρια ανάλυση ορίζεται ως ένα εργαλείο µαθηµατικών και υποστήριξης α- ποφάσεων που επιτρέπει τη σύγκριση διαφορετικών εναλλακτικών ή σεναρίων µε βάση πολλαπλά κριτήρια, συχνά αντικρουόµενα, µε σκοπό την καθοδήγηση του αποφασίζοντα προς µια κριτική επιλογή (Chakhar, Mousseau, 2007). Η πολυκριτήρια λήψη αποφάσεων αναφέρεται στην Αγγλική βιβλιογραφία ως Multi-criteria decision making (MCDM) ή εναλλακτικά ως πολυκριτήρια θεωρία στήριξης αποφάσεων Μulti-criteria decision aid (MCDA). Η πολυκριτήρια θεωρία λήψης αποφάσεων διακρίνεται ως λήψη αποφάσεων µε πολλαπλούς στόχους (Multi-objective decision making MODM) εάν ο χώρος της α- πόφασης είναι συνεχής ενώ στην περίπτωση διακριτών χώρων απόφασης χρησιµοποιείται ο όρος «Λήψη αποφάσεων µε πολλαπλά χαρακτηριστικά» (Multi-attribute decision making MADM). Κατά σύµβαση οι έννοιες ΜCDM και MADM αναφέρονται εναλλακτικά (Triantaphyllou, 2000). Για την µελέτη των πολυκριτήριων µεθόδων διακριτού τύπου βασικές είναι οι ακόλουθες έννοιες: Εναλλακτικές: αποτελούν τις διαφορετικές επιλογές ή ενέργειες που είναι διαθέσιµες στον αποφασίζοντα. Στόχος της πολυκριτήριας µεθοδολογίας είναι η αξιολόγηση της καταλληλότητας κάθε µιας από τις όσες πιθανές επιλογές. Χαρακτηριστικά: αναπαριστούν τις οπτικές γωνίες υπό τις οποίες γίνεται η εξέταση των εναλλακτικών. Ονοµάζονται επίσης στόχοι ή κριτήρια απόφασης και -5-

14 ορίζουν τους περιορισµούς ή τις τιµές µε βάση τις οποίες γίνεται η αξιολόγηση των εναλλακτικών. Είναι δυνατή η ιεραρχική παρουσία των κριτηρίων, δηλαδή η οργάνωσή τους σε κύρια κριτήρια και υποκριτήρια. Ακόµη είναι δυνατή η παρουσία αντικρουόµενων (conflicting) κριτηρίων όπως ταχύτητα-ποιότητα ή κόστος-απόδοση. Ειδικά για το κριτήριο κόστος προτείνεται η χρησιµοποίησή του σε ξεχωριστό στάδιο αφού έχει ολοκληρωθεί η αξιολόγηση των εναλλακτικών µε τα υπόλοιπα κριτήρια (Βλαχάβας, Τσουµάκας 2008) Βάρη απόφασης: οι περισσότερες µέθοδοι χρησιµοποιούν κάποιο τρόπο για τη διαφοροποίηση της σηµασίας ανάµεσα στα χαρακτηριστικά. Υψηλότερη τιµή βάρους σε ένα χαρακτηριστικό εκφράζει την αυξηµένη σηµασία που ο αποφασίζων αποδίδει σε αυτό το χαρακτηριστικό. Συχνά τα βάρη είναι κανονικοποιηµένα, δηλαδή αθροίζονται στη µονάδα. Πίνακας απόφασης ή πίνακας απολαβής: αποτελεί τρόπο έκφρασης ενός πολυκριτήριου προβλήµατος µε τη µορφή µιας µήτρας. Στις γραµµές (στήλες) του πίνακα εµφανίζονται οι διάφορες εναλλακτικές, στις στήλες (γραµµές) του πίνακα αναφέρονται τα χαρακτηριστικά και στις τοµές τους οι επιδόσεις των εναλλακτικών σε κάθε κριτήριο. Ο Πίνακας 1 παρουσιάζει ένα απλό πρόβληµα πολυκριτήριας ανάλυσης χωρίς βάρη, αναφορικά στην επιλογή ενός οχήµατος. Παρατηρείται ότι δεν υπάρχει όχηµα το οποίο υπερτερεί σε όλα τα κριτήρια έναντι των υπολοίπων, αντιθέτως εµφανίζονται ε- πιλογές οι οποίες κατέχουν τη βέλτιστη επίδοση σε κάποια κριτήρια, και τη χειρότερη σε άλλα. Πίνακας 1 - Παράδειγµα πολυκριτήριου προβλήµατος Όχηµα Τιµή Ισχύς Κατανάλωση Χώροι Άνεση Touring A ,0 Μέτριοι Μέτρια Sport ,0 Πολύ κακοί Κακή Touring B ,0 Καλοί Μέτρια Luxury ,5 Καλοί Πολύ καλή Economic ,5 Κακοί Πολύ κακή Luxury ,0 Πολύ καλοί Καλή -6-

15 Μια διαδικασία λήψης απόφασης είναι δυνατό να περιλάβει πολλά πρόσωπα µε διαφορετικούς ρόλους. Ο (Μousseau, 2003) διακρίνει ότι οι πιο σηµαντικοί µεταξύ αυτών είναι οι ρόλοι του αποφασίζοντα και του αναλυτή / ερευνητή. Ο πρώτος είναι το πρόσωπο ή το σώµα προσώπων για τον οποίο ή στο όνοµα του οποίου διενεργείται η διαδικασία στήριξης της απόφασης. Ο δεύτερος είναι το ενδιάµεσο πρόσωπο που θα αναλάβει τη διαδικασία της ανάλυσης των στόχων, των συστηµάτων αξιών του αποφασίζοντα και των αλληλεπιδράσεων µεταξύ των. 2.2 Η διαδικασία ανάλυσης των προβληµάτων Στα πλαίσια της πολυκριτήριας µεθοδολογίας η διαδικασία της ανάλυσης µπορεί να διαµορφωθεί σε τέσσερα στάδια (Roy, 1985): τον καθορισµό του αντικειµένου της απόφασης, τον καθορισµό ενός συνεπούς συνόλου κριτηρίων, την ανάπτυξη του µοντέλου σύνθεσης των κριτηρίων και τέλος την υποστήριξη της απόφασης. Η Εικόνα 1 παρουσιάζει σχηµατικά τη βηµατική αυτή διαδικασία. Εικόνα 1: Τα στάδια της πολυκριτήριας ανάλυσης Καθορισµός εφικτών λύσεων και προσδιορισµός στόχου Το πρώτο στάδιο αφορά τον καθορισµό του συνόλου των εναλλακτικών επιλογών καθώς και τον προσδιορισµό του στόχου της ανάλυσης. Το σύνολο των εναλλακτικών ε- -7-

16 πιλογών µπορεί να επιτρέπει την απαρίθµηση όλων των δυνατών λύσεων οπότε και ο- νοµάζεται διακριτό. Στην αντίθετη περίπτωση όπου δεν είναι δυνατή η εξαντλητική (πλήρης) καταγραφή των εναλλακτικών, το σύνολο των λύσεων θεωρείται συνεχές και προσδιορίζεται µε βάση περιορισµούς στο πρόβληµα που θέτει ο αποφασίζων ή που τίθενται από το περιβάλλον. Ειδικότερα για το αντικείµενο της απόφασης, είναι δυνατή η διάκριση τεσσάρων πιθανών στόχων τους οποίους µπορεί να κληθεί να αντιµετωπίσει µια πολυκριτήρια µεθοδολογία: 1) Η επιλογή µίας ή περισσότερων εναλλακτικών οι οποίες, µε βάση τα κριτήρια αξιολόγησης, προκρίνονται ως πιο κατάλληλες έναντι των υπολοίπων 2) Η ταξινόµηση των εναλλακτικών σε δύο ή περισσότερες οµοιογενείς κατηγορίες. Σηµειώνεται ότι συνήθως ενδιαφέρει η διακριτή ταξινόµηση (sorting) έναντι της απλής ταξινόµησης ή της οµαδοποίησης (classification ή clustering). Στη διακριτή ταξινόµηση οι κατηγορίες εµφανίζονται διατεταγµένες, από την λιγότερο προς την περισσότερο επιθυµητή ή αντίστροφα. 3) Η κατάταξη αφορά την διάταξη του συνόλου των εναλλακτικών από την καλύτερη στη χειρότερη. 4) Η περιγραφή αφορά τον χαρακτηρισµό των εναλλακτικών µε βάση τις ιδιαιτερότητες τους και τις επιδόσεις τους στα επιµέρους κριτήρια Καθορισµός συνεπούς συνόλου κριτηρίων Στο δεύτερο στάδιο αποτυπώνονται οι παράγοντες που επιδρούν στην ανάλυση των δραστηριοτήτων, δηλαδή απαριθµούνται τα προς εξέταση χαρακτηριστικά των εναλλακτικών επιλογών. Η δηµιουργία ενός συνεπούς συνόλου κριτηρίων είναι επιβεβληµένη για την πολυκριτήρια µεθοδολογία. Έτσι, για να είναι αποδεκτό ένα σύνολο κριτηρίων οφείλει να πληροί τις ιδιότητες της µονοτονίας, της επάρκειας και του µη πλεονασ- µού. Για την εκπλήρωση της ιδιότητας της µονοτονίας αρκεί να δειχθεί ότι για οποιοδήποτε ζεύγος εναλλακτικών επιλογών, αν η επίδοση µιας εναλλακτικής σε ένα εξεταζό- µενο κριτήριο είναι µεγαλύτερη από την επίδοση της άλλης εναλλακτικής στο ίδιο κριτήριο, τότε η πρώτη προτιµάται έναντι της δεύτερης. Η θεώρηση αυτή ισχύει στην περίπτωση όπου οι µεγαλύτερες επιδόσεις θεωρούνται καλύτερες (κριτήριο ωφέλειας), αλλά και στην περίπτωση όπου οι µικρότερες επιδόσεις θεωρούνται προτιµητέες (κρι- -8-

17 τήριο κόστους) καθώς αρκεί ένας µετασχηµατισµός µε αρνητικό πρόσηµο των τιµών των επιδόσεων των εναλλακτικών για την µετατροπή της δεύτερης περίπτωσης στη µορφή της πρώτης. Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει ένα απλό παράδειγµα µετατροπής κριτηρίου κόστους. Πίνακας 2 : Μετατροπή ενός µη µονότονου κριτηρίου κόστους σε µονότονο Μη µονότονη κλίµακα Μονότονη κλίµακα 200 < 300 < 400 < 500 > > > -200 > -300 > -400 > -500 > > > Εάν η κλίµακα των προτιµήσεων µεταβάλλεται ακανόνιστα σε σχέση µε τις τιµές, είναι επιβεβληµένη η οµαδοποίηση των αρχικών τιµών και η αντιστοίχιση νέων τιµών στις οµάδες. Ο Πίνακας 3 παρουσιάζει ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα που αφορά τη µετατροπή κλίµακας θερµοκρασιών περιβάλλοντος σε µονότονη. Πίνακας 3 : Μονότονη κλίµακα θερµοκρασιών Μη µονότονη κλί- Αίσθηση Μη µονότονη κλί- Αίσθηση Οµαδοποίηση Αίσθηση Κλίµακα µακα θερµοκρασίας µακα (συνέχεια) σε µονοτονία < **** ***** * *** ή **** ** ** ή *** *** * ή ** **** > ή * ***** < 0 ή >40-0 Για την ιδιότητα της επάρκειας αρκεί η απόδειξη ότι ένα οποιοδήποτε ζεύγος εναλλακτικών είναι ισοδύναµο εφόσον οι επιδόσεις της µιας εναλλακτικής σε κάθε κριτήριο είναι ίδιες µε τις επιδόσεις της άλλης εναλλακτικής στο ίδιο κριτήριο. Τέλος, εάν η διαγραφή ενός κριτηρίου από το σύνολο των χαρακτηριστικών δεν α- νατρέπει µια από τις προηγούµενες ιδιότητες, τότε το κριτήριο είναι περιττό και η διαγραφή αυτή επιβεβληµένη ώστε το σύνολο των κριτηρίων να είναι µετατραπεί σε µη πλεονασµατικό. -9-

18 Οι (Greco, Mousseau και Slowinski, 2005) επιλέγουν έναν συντοµότερο ορισµό για τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν ένα συνεπές σύνολο κριτηρίων: Μονοτονία: όταν γίνεται σύγκριση µεταξύ δύο εναλλακτικών, η βελτίωση της µίας σε ένα κριτήριο απαγορεύεται να επιδεινώσει τη βαθµολόγησή της έναντι της άλλης εναλλακτικής Επάρκεια: εάν δύο εναλλακτικές έχουν όµοια αξιολόγηση σε κάθε κριτήριο τότε οφείλουν να χαρακτηρίζονται ισοδύναµες. Μη-πλεονασµός: η διαγραφή ενός κριτηρίου θα σηµαίνει την παραβίαση κάποιου από τους παραπάνω δύο όρους Επιλογή και χρήση µεθόδου σύνθεσης Το τρίτο στάδιο περιλαµβάνει την εξέταση της αποτίµησης των επιδόσεων των εναλλακτικών υπό το πρίσµα ενός υποδείγµατος σύνθεσης των κριτηρίων, δηλαδή την επιλογή µιας κατάλληλης µεθόδου για την αντιµετώπιση του προβλήµατος που καθορίστηκε στο πρώτο στάδιο. Η αξιολόγηση της καταλληλότητας κρίνεται δυσχερής ήδη από τη θεώρηση του πλήθους των διαθέσιµων πολυκριτήριων µεθόδων. Ο διαχωρισµός των µεθόδων σε κατηγορίες συµβάλλει στην αποσαφήνιση των γενικών τους χαρακτηριστικών αλλά δεν επαρκεί για την ασφαλή επιλογή µιας εξ αυτών. Η µελέτη διαφορετικών πολυκριτήριων µεθόδων αποκαλύπτει ότι κάθε µία περιλαµβάνει υποθέσεις και αξιώµατα, περιορισµοί που στηρίζουν τη θεωρητική της ανάπτυξη. Οι υποθέσεις αυτές αποτελούν και τα όρια πέρα από τα οποία η µέθοδος δε µπορεί να χρησιµοποιηθεί αξιόπιστα. Συνεπώς, η αποτελεσµατικότητα κάθε µεθόδου επί της διαχείρισης του συνόλου των πραγµατικών προβληµάτων δεν είναι εξασφαλισµένη. Επιπρόσθετα, παρατηρείται ότι διαφορετικές αλλά οµοιογενείς µέθοδοι ασχολούνται µε βελτιώσεις των αλγοριθµικών διαδικασιών αντί να προσεγγίζουν τις θεµελιώδεις παρα- µέτρους του προβλήµατος και της διαδικασίας απόφασης (Guitouni & Martel, 1998). Για τη διευκόλυνση της διαδικασίας επιλογής µεθόδου έχουν προταθεί µεταξύ άλλων η υποβοήθηση της επιλογής µε τυπολογίες δέντρων απόφασης, η αξιοποίηση γνωσιακών βάσεων και η αντιµετώπιση των ίδιων των µεθόδων ως εναλλακτικών επιλογών σε ένα πολυκριτήριο πρόβληµα επιλογής. Παρά τις σηµαντικές αυτές προσπάθειες, οι προσεγγίσεις της επιλογής µεθόδου δε λογίζονται ολοκληρωµένες, κυρίως διότι είναι πρακτικά αδύνατη η εξαντλητική καταγραφή κάθε πιθανού πραγµατικού προβλήµατος και η µετέπειτα αξιολόγηση κάθε διαθέσιµης µεθόδου έναντι αυτού. -10-

19 Θεωρητικά, η επιλογή της µεθόδου έπεται της διαδικασίας κατανόησης και δόµησης του προβλήµατος. Στην πράξη όµως, εµφανίζεται µια προτίµηση του αποφασίζοντα υπέρ µιας µεθόδου ή κατηγορίας µεθόδων. Η προδιάθεση αυτή συχνά υποκινείται από την εξοικείωση µε τις εκάστοτε µεθόδους. Όµως, εφόσον η διαδικασία απόφασης προσαρµόζεται µε βάση τη µέθοδο, ανατρέπεται η ορθή προσέγγιση της επίλυσης ενός προβλήµατος. Σηµειώνεται επίσης ότι υπάρχει µια σειρά παραγόντων οι οποίοι µεµονωµένα ή σε συνδυασµό επηρεάζουν τη διαδικασία απόφασης και έµµεσα την επιλογή της πολυκριτήριας µεθόδου. Οι παράγοντες µπορεί να είναι πολιτικοί, κοινωνικοί, πολιτιστικοί, οικονοµικοί καθώς και περιορισµοί χρόνου. Σε κάθε περίπτωση, η συνεπής επιλογή µεθόδου οφείλει να λάβει υπόψη πληθώρα παραµέτρων που αφορούν το είδος του προβλήµατος, τις υποψήφιες µεθόδους και τις διαθέσεις και ικανότητες του αναλυτή. Ενδεικτικά, είναι δυνατό να εξεταστεί η θεωρητική προσέγγιση των υποψήφιων µεθόδων (σύνθεσης µοναδικού κριτηρίου, σχέσεων υπεροχής κλπ), το είδος της διαθέσιµης πληροφορίας (βέβαιη, αβέβαιη, ασαφής), η ποσότητα και ποιότητα της πληροφορίας (αξιολόγηση σε απόλυτες, σχετικές ή µικτές τι- µές), η φύση του προβλήµατος (επιλογή, κατάταξη, ταξινόµηση), οι απαιτήσεις για δυνατότητα αντιστάθµισης, και η υποστήριξη από εύχρηστα υπολογιστικά προγράµµατα Στήριξη της απόφασης Το τελευταίο στάδιο της διαδικασίας περιλαµβάνει τις δραστηριότητες που θα διευκολύνουν τον αποφασίζοντα στην κατανόηση των αποτελεσµάτων της σύνθεσης και της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την εξαγωγή αυτών. Πρόκειται για συµπληρωµατικό στάδιο του προηγούµενου, µε κύριο λόγο ύπαρξης το γεγονός ότι µια λύση που α- πορρέει από ένα µοντέλο δεν είναι πάντοτε άµεσα εκµεταλλεύσιµη στα πεδία λήψης αποφάσεων ή διαπραγµατεύσεων. Στο στάδιο αυτό, ο αναλυτής αναζητεί και οργανώνει τα στοιχεία της απάντησης σε συγκεκριµένα ερωτήµατα που θέτει το πρόβληµα ή ο λήπτης της απόφασης. Επιτελείται η περιγραφή των εναλλακτικών επιλογών και των συνεπειών τους µε βάση τις επιδόσεις τους στα κριτήρια. Η περιγραφή των δράσεων και των συνεπειών αυτών οφείλει να γίνεται µε τρόπο εύκολα κατανοητό από το πρόσωπο που θα λάβει την απόφαση. Η προβληµατική αυτή συνιστά συχνά το πρώτο στάδιο επίλυσης ενός προβλήµατος απόφασης. -11-

20 Σηµαντικό µέρος του σταδίου στήριξης της απόφασης είναι η διενέργεια ανάλυσης ευαισθησίας στο µοντέλο. Με βάση αυτή, διενεργούνται αλλαγές στις παραµέτρους εισόδου του µοντέλου και διαπιστώνεται η επίδραση των αλλαγών στα αποτελέσµατα. Με την ανάλυση ευαισθησίας ελέγχονται οι σχέσεις ανάµεσα στις µεταβλητές και τις παραµέτρους του µοντέλου. Μετά τη διενέργεια του σταδίου στήριξης της απόφασης, ο αποφασίζων είναι πλέον σε θέση να αξιοποιήσει τα αποτελέσµατα της ανάλυσης και να υποστηρίξει την απόφαση µε αιτιολογηµένη επιχειρηµατολογία. 2.3 Ταξινόµηση των µεθόδων Με κριτήριο τον χώρο απόφασης όπως παρουσιάστηκε στην παραπάνω παράγραφο, οι πολυκριτήριες µέθοδοι διαχωρίζονται σε διακριτές και συνεχείς (Chakhar, Mousseau, 2007). Οι διακριτές µέθοδοι χρησιµοποιούν έναν πίνακα επιδόσεων όπου εµφανίζονται οι επιδόσεις κάθε εναλλακτικής επιλογής έναντι κάθε κριτηρίου αξιολόγησης. Οι προτι- µήσεις του αποφασίζοντα εµφανίζονται υπό µορφή βαρών τα οποία αποδίδονται σε κάθε κριτήριο. Οι πληροφορίες συγκεντρώνονται και αξιολογούνται µε βάση είτε κανόνες των σχέσεων υπεροχής είτε κανόνες της θεωρίας χρησιµότητας. Η εγκυρότητα της αξιολόγησης επαληθεύεται µε τη χρήση µεθόδων ανάλυσης ευαισθησίας των αποτελεσµάτων, αποσκοπώντας στη µείωση της αβεβαιότητας και της ασάφειας που χαρακτηρίζει την απόδοση τιµών στις παραµέτρους της διαδικασίας αξιολόγησης. Οι συνεχείς µέθοδοι έχουν ως σηµείο εκκίνησης ένα σύνολο φυσικών ή τεχνητών περιορισµών οι οποίοι καθορίζουν έµµεσα το τελικό σύνολο των εφικτών λύσεων. Οι προτιµήσεις του αποφασίζοντα εµφανίζονται ως βάρη σε ένα σύνολο διαφορετικών αντικειµενικών συναρτήσεων προς βελτιστοποίηση, ή ως τιµές στόχοι τις οποίες κάθε εφικτή λύση οφείλει να καλύπτει. Η διαδικασία επίλυσης εναλλάσσει υπολογιστικά και διαλογικά στάδια, κάτι που επιτρέπει την προοδευτική δήλωση των προτιµήσεων του αποφασίζοντα κατά τη συνολική διάρκεια της διαδικασίας επίλυσης. Αυτό δεν απαγορεύει την a priori ή a posteriori δήλωση των προτιµήσεων του αποφασίζοντα. Εάν το σύνολο των εφικτών λύσεων εµφανίζεται κενό ο χρήστης µπορεί να αντιµετωπίσει το πρόβληµα επαναπροσδιορίζοντας κάποιους από τους αρχικούς περιορισµούς. Η Εικόνα 2 εµφανίζει σχηµατικά τη διαδικασία ανάλυσης διακριτών και συνεχών µεθόδων. -12-

21 Εικόνα 2: ιαδικασία αντιµετώπισης διακριτών (α) και συνεχών (b) µεθόδων Κατά τον (Triantaphyllou, 2000), η διάκριση των µεθόδων της πολυκριτήριας µεθοδολογίας µπορεί να γίνει µε βάσει το είδος των δεδοµένων που χρησιµοποιούνται ώστε να χωριστούν οι µέθοδοι σε ντετερµινιστικές όταν η πληροφορία εισόδου είναι σαφής, στοχαστικές όταν τα δεδοµένα που εισέρχονται στο σύστηµα αποτελούν προσεγγίσεις µε βάση πιθανοκρατικούς νόµους και στατιστικές κατανοµές και ασαφείς στις περιπτώσεις όπου οι τιµές εισόδου στο σύστηµα είναι δυνατό να κυµαίνονται µεταξύ µιας ελάχιστης και µιας µέγιστης τιµής χωρίς όµως να είναι γνωστή κάποια πιθανότητα για την εµφάνιση συγκεκριµένης τιµής. Ακόµη µπορεί να γίνει διαχωρισµός µε κριτήριο τον αριθµό των µελών του σώµατος που λαµβάνει την απόφαση, και να διακριθούν µέθοδοι που στηρίζουν έναν ή πολλαπλούς λήπτες της απόφασης. Για την περίπτωση όπου η αναφορά γίνεται σε ντετερµινιστικές µεθόδους µε έναν µοναδικό λήπτη απόφασης, παρουσιάζεται κατά τους (Chen και Hwang, 1991) µια ταξινόµηση των µεθόδων µε κριτήριο τόσο τη δυνατότητα παροχής πληροφορίας όσο και το είδος της πληροφορίας που παρέχει ο αποφασίζων. Η Εικόνα 3 σχηµατοποιεί τη διάκριση αυτή. -13-

22 MADM No information Information type Standard Level Ordinal Cardinal Κυριαρχίας Μinimax - Maximin Conjunctive Disjunctive Ellimination by Aspect Lexicograhpic Weighted Sum, AHP, ELECTRE TOPSIS Εικόνα 3: ιάκριση MADM Ο Bernard Roy (1985) πρότεινε τη διαφοροποίηση των µεθοδολογικών προσεγγίσεων της πολυκριτήριας ανάλυσης µε βάση τη µορφή των υποδειγµάτων που αναπτύσσονται και συγκεκριµένα σε : 1) Προσεγγίσεις µοναδικής σύνθεσης των κριτηρίων (unique synthesis criterion). Οι µέθοδοι αυτές αδυνατούν να περιλάβουν στην ανάλυση κάθε περίπτωση µη συγκρισιµότητας µεταξύ των εναλλακτικών επιλογών, ενώ στηρίζονται κυρίως σε ποσοτικά δεδοµένα, είτε αµιγή είτε αναγόµενα από ποιοτικά µε απόδοση τιµών βάση µιας προκαθορισµένης κλίµακας. 2) Προσεγγίσεις βασιζόµενες σε σχέσεις υπεροχής (outranking synthesis approach). Οι µέθοδοι που ανήκουν σε αυτή την κατηγορία λαµβάνουν υπόψη την πιθανή µη συγκρισιµότητα των εναλλακτικών δραστηριοτήτων, ενώ είναι σε θέση να χρησιµοποιήσουν τόσο ποσοτικές όσο και ποιοτικές πληροφορίες. 3) Αλληλεπιδραστικές προσεγγίσεις (interactive local judgment approach). Οι µέθοδοι της κατηγορίας χρησιµοποιούν στοιχεία από τις πρώτες δύο κατηγορίες ενώ παράλληλα αξιοποιούν πληροφορίες για τις προτιµήσεις του λήπτη της απόφασης επιτυγχάνοντας την διαδραστικότητα για τη σύνθεση της διαδικασίας απόφασης. -14-

23 Η Εικόνα 4 παρουσιάζει τη διάκριση µεταξύ των τριών προσεγγίσεων εµφανίζοντας την ονοµασία «αναλυτική - συνθετική» προσέγγιση (aggregation - disaggregation approach) στη θέση της κατηγορίας των αλληλεπιδραστικών µεθόδων. Εικόνα 4: ιάκριση πολυκριτήριων µεθόδων (Siskos, 2008) Τέλος οι (Pardalos et al) πρότειναν ένα τρόπο ταξινόµησης ο οποίος λαµβάνει υπόψη τόσο τη µορφή όσο και τον τρόπο της ανάπτυξης των υποδειγµάτων σε κάθε κατηγορία. Η κατηγοριοποίηση περιλαµβάνει τις ακόλουθες τέσσερις κατηγορίες 1) Πολυκριτήριος µαθηµατικός προγραµµατισµός (Multiobjective mathematical programming). Είναι επέκταση της θεωρίας του µαθηµατικού προγραµµατισµού για την περίπτωση όπου υπάρχουν πολλαπλές αντικειµενικές συναρτήσεις προς βελτιστοποίηση. Η επιδίωξη είναι µια συµβιβαστική λύση η οποία είναι µέρος του συνόλου των αποτελεσµατικών λύσεων (efficient set). Μια πιθανή λύση α- νήκει στο σύνολο αυτό εφόσον δεν υπάρχει άλλη λύση η οποία υπερισχύει της πρώτης σε κάθε αντικειµενική συνάρτηση. 2) Πολυκριτήρια θεωρία χρησιµότητας (multi-attribute utility theory), η οποία α- ποτελεί γενίκευση της κλασσικής θεωρίας της χρησιµότητας. Έχει σκοπό την -15-

24 αναπαράσταση του συστήµατος αξιών του αποφασίζοντα σε µια συνάρτηση συνολικής χρησιµότητας όπως αυτή εκφράζεται από τις µερικές χρησιµότητες των επιδόσεων των εναλλακτικών σε κάθε κριτήριο. Θεωρεί τα βάρη ως τις παραχωρήσεις που διατίθεται να κάνει ο αποφασίζων ενισχύοντας ένα κριτήριο έναντι ενός άλλου. 3) Θεωρία των σχέσεων υπεροχής (outranking relations theory). Εισήχθη από τους (Benayoun et al, 1968) και (Roy, 1968). Βασικό σηµείο αποτελεί η σύγκριση των εναλλακτικών ανά ζεύγη σε κάθε ξεχωριστό κριτήριο. Μια εναλλακτική ε- πιλογή θεωρείται ως κυριαρχούµενη εάν υπολείπεται έναντι κάποιας άλλης σε τουλάχιστο ένα κριτήριο ενώ στα λοιπά κριτήρια οι επιδόσεις των δύο επιλογών εξισώνονται. Σε αντίθεση µε την πολυκριτήρια θεωρία χρησιµότητας, εδώ δεν ισχύει η µεταβατική ιδιότητα ούτε και θεωρούνται πλήρεις οι σχέσεις υπεροχής για τις εναλλακτικές επιλογές. 4) Αναλυτική συνθετική προσέγγιση (preference disaggregation approach). Κινείται αντίθετα από τις προηγούµενες δύο κατηγορίες, καθώς ακολουθείται µια ανάστροφη (backward) διαδικασία όπου γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί ο τρόπος µε τον οποίο ο αποφασίζων καταλήγει σε µια απόφαση. Αυτό επιτυγχάνεται µε την ανάλυση των σχέσεων µεταξύ των επιλογών του αποφασίζοντα και των επιδόσεων των εναλλακτικών στα προκαθορισµένα κριτήρια. Με τη µέθοδο αυτή ο αποφασίζων απαλλάσσεται από την ανάγκη παροχής πληροφοριών οι οποίες θα µπορούσαν να παρουσιαστούν ασαφείς ή βεβιασµένες. Εικόνα 5: ιάκριση Πολυκριτήριων Μεθόδων Η Εικόνα 5 παρουσιάζει οπτικά την κατηγοριοποίηση που προτάθηκε κατά τους (Pardalos et al). Είναι εµφανής ο προσανατολισµός των τριών τελευταίων κατηγοριών πο- -16-

25 λυκριτήριας µεθοδολογίας στην επίλυση διακριτών προβληµάτων, ενώ ο πολυκριτήριος µαθηµατικός προγραµµατισµός σχετίζεται κυρίως µε την επίλυση προβληµάτων που δέχονται συνεχείς λύσεις. Η χρήση των µεθόδων είναι δυνατό να επεκταθεί εκτός του αρχικού προσανατολισ- µού τους. Έτσι, οι θεωρίες της πολυκριτήριας χρησιµότητας, και των σχέσεων υπεροχής καθώς και η αναλυτική συνθετική προσέγγιση µπορούν να συµβάλλουν στην α- ποτύπωση του συστήµατος αξιών και προτιµήσεων του αποφασίζοντα σε ένα µαθηµατικό υπόδειγµα το οποίο θα χρησιµοποιηθεί παράλληλα µε τεχνικές πολυκριτήριου µαθηµατικού προγραµµατισµού για την επίλυση συνεχών προβληµάτων. Κατά αναλογία, ο πολυκριτήριος µαθηµατικός προγραµµατισµός µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την δια- µόρφωση υποδειγµάτων λήψης αποφάσεων υπό καθεστώς πολλαπλών κριτηρίων και να συµβάλλει έτσι στην επίλυση διακριτών προβληµάτων. Εικόνα 6 : ιαφορές Συνθετικών Θεωριών & Αναλυτικής Συνθετικής Προσέγγισης Ακόµη, η Εικόνα 6 ( ούµπος 2007) συνοψίζει τις διαφορές ανάµεσα στις προσεγγίσεις της πολυκριτήριας θεωρίας χρησιµότητας και της θεωρίας σχέσεων υπεροχής αφενός και της αναλυτικής συνθετικής προσέγγισης αφετέρου. Ενώ οι πρώτες δύο συνθέτουν τα δεδοµένα του προβλήµατος ώστε να καταλήξουν στο τελικό αποτέλεσµα, η α- ναλυτική-συνθετική προσέγγιση αναλύει τα υπάρχοντα δεδοµένα και εντοπίζει το υπόδειγµα που αναπαριστά κατά το δυνατόν πιο πιστά το σύστηµα αξιών και προτιµήσεων -17-

26 του αποφασίζοντα. Η συλλογή των δεδοµένων γίνεται µε παραδείγµατα που αφορούν είτε παλαιότερες αποφάσεις του αποφασίζοντα, είτε την αξιολόγηση ενός µικρού αλλά αντιπροσωπευτικού συνόλου υποθετικών εναλλακτικών δραστηριοτήτων ή τέλος µε την αξιολόγηση ενός µικρού αλλά αντιπροσωπευτικού υποσυνόλου των υπό εξέταση εναλλακτικών για το οποίο ο αποφασίζοντας µπορεί να εκφέρει µε σιγουριά βαθµολογία. Ο (Ματσατσίνης, 2007) διατηρεί τις τρεις πρώτες κατηγορίες των (Pardalos et al) και κατονοµάζει την τελευταία κατηγορία της αναλυτικής - συνθετικής προσέγγισης ως κατηγορία µεθόδων της ανάλυσης µονότονης παλινδρόµησης (ordinal regression). Τα χαρακτηριστικά της κατηγορίας προσοµοιάζουν την κατηγορία των αλληλεπιδραστικών προσεγγίσεων του Roy, καθώς συνυπάρχουν οι επιδόσεις των εναλλακτικών και οι προτιµήσεις του αποφασίζοντα σε ένα µεθοδολογικό πλαίσιο για την εκτίµηση µοντέλου χρησιµότητας που θα αναπαριστά µε βέλτιστο τρόπο τις προτιµήσεις του αποφασίζοντα. Η µέθοδος βρίσκει έκφραση µέσω του µοντέλου µονότονης παλινδρόµησης UTA των Lagreze και Siskos (1982), το οποίο γνώρισε σηµαντικές βελτιώσεις στις µορφές των UTA II, UTASTAR, UTADIS (Siskos, 2008). Οι πολυκριτήριες µέθοδοι µπορούν ακόµη να διακριθούν σε αντισταθµιστικές (compensatory) και µη αντισταθµιστικές (non compensatory). Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι µέθοδοι οι οποίες επιτρέπουν παραχωρήσεις (tradeoffs) µεταξύ των χαρακτηριστικών. Έτσι, εάν η επίδοση µιας εναλλακτικής έναντι ενός κριτηρίου δεν είναι ικανοποιητική, η χαµηλή αυτή επίδοση µπορεί να συµψηφιστεί µε µια καλή επίδοση σε κάποιο άλλο κριτήριο. Στην κατηγορία των αντισταθµιστικών µεθόδων ανήκουν από κατασκευή οι µέθοδοι συναρτήσεων χρησιµότητας όπως οι MAUT, AHP και SAW (Milani, Shanian, El-Laham, 2006). Στην κατηγορία των µη αντισταθµιστικών µεθόδων ανήκει η οµάδα των σχέσεων υπεροχής µε παραδείγµατα την οικογένεια ELECTRE (όπου εισάγεται η έννοια του ε- λέγχου ασυµφωνίας και του κατωφλίου βέτο) και τα λεξικογραφικά υποδείγµατα ( ούµπος & Ζοπουνίδης, 2001) Αξίζει τέλος να σηµειωθεί µια διάκριση που χρησιµοποιείται ευρέως στην επιστη- µονική βιβλιογραφία και διαχωρίζει σε γεωγραφικές περιοχές τις διάφορες µεθόδους πολυκριτήριας ανάλυσης. Θεωρείται ότι η διάκριση αυτή εκκίνησε από τον Roy (1996) ο οποίος διακρίνει δύο κυρίαρχες σχολές σκέψης στην πολυκριτήρια µεθοδολογία. -18-

27 Αναγνωρίζεται ότι η Αγγλοσαξονική Σχολή στοχεύει στην ανακάλυψη και την περιγραφή των χαρακτηριστικών (κριτηρίων), των εναλλακτικών επιλογών και των επιδόσεων αυτών σε κάθε κριτήριο. Γίνεται αποδεκτό ένα πρότυπο σκέψης σύµφωνα µε το οποίο σε κάθε πρόβληµα προϋπάρχει µια βέλτιστη λύση και συνεπώς το καθήκον του ερευνητή είναι να διατυπώσει τις κατάλληλες µαθηµατικές σχέσεις και αρχές οι οποίες θα επιτρέψουν την αποκάλυψη της λανθάνουσας αλήθειας. Με σκοπό τη διευκόλυνση της προσπάθειας αποτύπωσης της πραγµατικότητας τα µοντέλα υποχρεούνται σε περιορισµούς και υπόκεινται σε αφαιρέσεις οι οποίες είναι δυνατόν εν τέλει να µειώσουν τη συνολική αποτελεσµατικότητα των µεθόδων της κατηγορίας αυτής. Σε αντίθεση, η Ευρωπαϊκή Σχολή επικεντρώνει τις προσπάθειες της έρευνας στη σύνθεση και αξιοποίηση ενός µοντέλου εκτίµησης προτεραιοτήτων και αξιών. Χρησι- µοποιώντας λειτουργικές υποθέσεις για τη δηµιουργία συστάσεων οι αναλυτές είναι σε θέση να προχωρήσουν στην έρευνα µε γνώµονα τους προβληµατισµούς, τους στόχους και το σύστηµα αξιών που φέρουν οι ίδιοι οι αποφασίζοντες. Αναγνωρίζονται οι αδυναµίες στη συγκέντρωση ή δηµιουργία των απαραίτητων για την κρίση πληροφοριών µε υψηλό βαθµό ακρίβειας και ταυτόχρονα χαµηλή αβεβαιότητα, ενώ δίνεται έµφαση στην πίστη ότι τα προτιµησιακά µοντέλα της στήριξης αποφάσεων οφείλουν να απεικονίζουν κατά το δυνατό τις ιδέες, τις προτιµήσεις και τις προκαταλήψεις του αποφασίζοντα. Το παράρτηµα 1 παρουσιάζει µια σύντοµη αναφορά στις κατηγορίες πολυκριτήριων µεθόδων, στις βασικές µεθόδους που περιλαµβάνονται σε κάθε κατηγορία και στα βασικά χαρακτηριστικά κάθε µεθόδου. 2.4 Εξαγωγή των βασικών παραµέτρων Για την αξιοποίηση των µεθόδων πολυκριτήριας ανάλυσης είναι απαραίτητη η παροχή πληροφοριών προτίµησης του αποφασίζοντα αναφορικά στις βασικές παραµέτρους κάθε µεθόδου. Έτσι, εκτός από την απόδοση βαρών για τα επιµέρους κριτήρια και την α- ποτίµηση επιδόσεων των εναλλακτικών για κάθε κριτήριο, ο αναλυτής µπορεί να κληθεί να παράσχει πληροφορίες για ειδικές λεπτοµέρειες των µεθόδων όπως κατώφλια προτίµησης, βέτο και αδιαφορίας, συντελεστές αποκοπής κ.α. Η παροχή των πληροφοριών αυτών µπορεί να γίνει είτε άµεσα, µε την απευθείας απόδοση των τιµών αυτών από τον αποφασίζοντα, είτε έµµεσα δηλαδή µε τον προσδιορισµό των παραµέτρων µε βάση την αξιολόγηση υπαρχουσών ή υποθετικών εναλλακ- -19-

28 τικών από τον αποφασίζοντα και την περαιτέρω επεξεργασία της πληροφορίας αυτής από το σύστηµα στήριξης της απόφασης. Σύµφωνα µε την παραδοσιακή αντίληψη οι πληροφορίες παρέχονται σε αρχικό στάδιο από τον αποφασίζοντα ώστε να κατασκευαστεί το κατάλληλο µοντέλο συνάθροισης της πληροφορίας. Όµως είναι συχνά δύσκολο για τον αποφασίζοντα να αποδώσει ακριβείς ποσοτικές τιµές στις παραµέτρους αυτές. Επίσης, οι προτιµήσεις του αποφασίζοντα, οι οποίες α- ποτυπώνονται µε τη µορφή τιµών στις παραµέτρους, µπορεί να αλλάξουν µε την πάροδο του χρόνου. Ακόµη, η πολυπλοκότητα της απόδοσης τιµών στις επιµέρους παραµέτρους επαυξάνεται στην περίπτωση όπου η απόφαση δεν είναι ατοµική αλλά οµαδική (Dias & Mousseau, 2003). Για τους λόγους αυτούς η µέθοδος της έµµεσης παροχής της προτιµησιακής πληροφορίας κερδίζει έδαφος στις µεθόδους πολυκριτήριας ανάλυσης καθώς απαιτεί µικρότερη προσπάθεια και υπολογισµούς από πλευράς του αποφασίζοντα. Στις πιο σύγχρονες µεθόδους της αναλυτικής συνθετικής προσέγγισης οι πληροφορίες έµµεσης προτίµησης χρησιµοποιούνται µε βάση µια διάταξη επί ενός υποσυνόλου των εναλλακτικών επιλογών η οποία καταδεικνύεται από τον αποφασίζοντα. Με τη γνώση της προτιµησιακής αυτής πληροφορίας του αποφασίζοντα το µοντέλο συνάθροισης ουσιαστικά εξάγει και τυποποιεί τις απαραίτητες συνθήκες ώστε οι προτιµήσεις του αποφασίζοντα να εφαρµοστούν στο πλήρες σύνολο των εναλλακτικών επιλογών. Στις µεθόδους σχέσεων υπεροχής ή στις µεθόδους θεωρίας χρησιµότητας η εύρεση του κατάλληλου συνδυασµού τιµών για τις αναγκαίες παραµέτρους µπορεί να επιτευχθεί µε την επίλυση ενός προβλήµατος µαθηµατικού προγραµµατισµού, ώστε να προσεγγιστεί το σύνολο των επιθυµητών λύσεων που έχει προκαταβολικά προκρίνει ο αποφασίζων (Dias & Mousseau, 2004) Σε ορισµένες µεθόδους πολυκριτήριας ανάλυσης, όπως η AHP και οι διάφορες παραλλαγές της, η διαδικασία για τον προσδιορισµό των βαρών αποτελεί βασικό στάδιο της συνολικής µεθόδου. Η µέθοδος AHP χρησιµοποιεί ανά ζεύγη συγκρίσεις των κριτηρίων µε βάρη που αποδίδονται στην κλίµακα από 1 έως 9 και 1/9 έως 1. Κατά τον (Triantaphyllou, 2000) ο αποφασίζων, ως λογική οντότητα, έχει σκοπό την ελαχιστοποίηση των απωλειών ή τη µεγιστοποίηση του οφέλους του. Συνεπώς το πρόβληµα του προσδιορισµού των βαρών των κριτηρίων µεταφράζεται ως η προσπάθεια του αποφασίζοντα να µειώσει τα λάθη που είναι δυνατό να συµβούν κατά τις συγκρίσεις ανά ζεύγη της µεθόδου AHP. -20-

29 Στις περισσότερες µεθόδους η απόδοση βαρών στα κριτήρια και η επιλογή τιµών για τις υπόλοιπες παραµέτρους αποτελεί µια ξεχωριστή διαδικασία η οποία απαιτεί εκ νέου µελέτη από τον αναλυτή. Ήδη από τα µέσα της δεκαετίας του 1990 οι (Roy & Mousseau, 1996) διέκριναν τις ακόλουθες αντιστοιχίες για την προτυποποίηση των σχετικών βαρών των κριτηρίων: Μέθοδος ιαδικασία προσδιορισµού Πολυκριτήρια θεωρία χρησιµότητας Σταθερά βάρη σε κλίµακες Λεξικογραφικές µέθοδοι ΟRESTE PROMETHEE ELECTRE ιαδικασία Zionts & Wallenius Αλληλεπιδραστικές µέθοδοι ΑΗΡ Ασθενής προδιάταξη του συνόλου κριτηρίων Πλήρης προδιάταξη του συνόλου κριτηρίων Εσωτερικά βάρη Εσωτερικά βάρη & κατώφλια βέτο Ανταποδοτικά βάρη ή αναλογίες αντικατάστασης Επίπεδα προσδοκιών Ιδιοδιανύσµατα σε πίνακα δυαδικών συγκρίσεων Στην εργασία τους οι (Αναγνωστόπουλος & Βαβάτσικος; Ματσατσίνης & Ζοπουνίδης, 2007) διακρίνουν σειρά µεθόδων για τον προσδιορισµό των βαρών των κριτηρίων. Στη µέθοδο της ισοστάθµισης (equal weights method) τα κριτήρια έχουν το ίδιο βάρος και ο αποφασίζων δηλώνει εάν κάποιο από αυτά θα αποκλειστεί από την αξιολόγηση. Η µέθοδος του προσδιορισµού αναλογιών (ratio estimation procedure) χρησιµοποιεί µια προκαθορισµένη κλίµακα από την οποία ο αποφασίζων αποδίδει τιµές στα κριτήρια. Η µέγιστη τιµή της κλίµακας αποδίδεται στο πιο σηµαντικό κριτήριο, η ελάχιστη στο κριτήριο ήσσονος σηµασίας ενώ τα υπόλοιπα κριτήρια λαµβάνουν ενδιάµεσες τιµές. Η µέθοδος πλεονεκτεί στο ότι το βάρος ενός κριτηρίου δεν εξαρτάται από τα βάρη των άλλων κριτηρίων, µειονεκτεί όµως καθώς η αξιολόγηση των τιµών οφείλει να γίνει µε ακριβή ποσοτικό τρόπο. Οι µέθοδοι κατάταξης (ranking methods) διευκολύνουν τον προσδιορισµό των βαρών επιτρέποντας µια κατά προσέγγιση εκτίµηση του διανύσµατος βαρών των κριτηρίων. Για την εκτίµηση χρησιµοποιούνται παράµετροι όπως τα οµαλοποιηµένα βάρη των κριτηρίων, ο συνολικός αριθµός των κριτηρίων και η θέση του εκάστοτε κριτηρίου στην κατάταξη, εάν είναι εκ των προτέρων γνωστή -21-

30 µια διάταξη των κριτηρίων. Κύριες µέθοδοι είναι η κατάταξη αθροίσµατος (Rank Sum), η κατάταξη των αντιστρόφων (Rank Reciprocal), η εκθετική κατάταξη (Rank Exponent), η κεντροβαρική κατάταξη (Rank Order Centroid) και η κατάταξη κανόνων απόφασης (Decision Rule Ranking). 2.5 Η επιλογή πολυκριτήριας µεθόδου Το πρόβληµα της αξιολόγησης των επιδόσεων των πολυκριτήριων µεθόδων απασχολεί την επιστηµονική κοινότητα σε σηµαντικό βαθµό. Η πληθώρα των υπαρκτών µεθόδων σε υπόβαθρο και τεχνικές υλοποίησης, ο µεγάλος αριθµός και η ποικιλία της φύσης των προβληµάτων προς αντιµετώπιση και οι πολυάριθµες οπτικές των προσώπων που εµπλέκονται στη διαδικασία απόφασης περιπλέκουν το πρόβληµα. Η τελική επιλογή µεθόδου για την επίλυση ενός πολυκριτήριου προβλήµατος έχει χαρακτηριστεί ως το παράδοξο της πολυκριτήριας µεθοδολογίας: ποια πολυκριτήρια µέθοδος θα χρησιµοποιηθεί για την επιλογή της κατάλληλης στην επίλυση του προβλήµατος πολυκριτήριας µεθόδου; (Triantaphyllou, 2000) Η επιλογή µεθόδου ως πολυκριτήριο πρόβληµα Οι ερευνητές προσεγγίζουν το θέµα κατά κανόνα επιλέγοντας προς αξιολόγηση µια µικρή οµάδα µεθόδων οι οποίες αντιπροσωπεύουν επαρκώς τη µεθοδολογική κατηγορία όπου ανήκουν. Για την αξιολόγηση ακολουθούνται οι κανόνες της πολυκριτήριας ανάλυσης όπου επιλέγονται εναλλακτικές µέθοδοι, καθορίζονται τα κριτήρια προς αξιολόγηση των µεθόδων και επιτελείται ανάλυση των επιδόσεων. Στην ανάλυση για την επιλογή µεταξύ πολυκριτήριων µεθόδων ο (Triantaphyllou, 2000) καθόρισε δύο κριτήρια για την αξιολόγησή τους: 1) Η ακρίβεια µιας πολυκριτήριας µεθόδου οφείλει να µένει σταθερή όταν αντιµετωπίζει µονοδιάστατα αντί για πολυκριτήρια προβλήµατα, καθώς τα πρώτα α- ποτελούν ειδική περίπτωση των δεύτερων 2) Με την υπόθεση ότι η απόδοση των βαρών στα κριτήρια θα παραµείνει σταθερή, µια αποτελεσµατική πολυκριτήρια µέθοδος οφείλει να διατηρεί την αξιολόγηση της βέλτιστης εναλλακτικής όταν κάποια µη βέλτιστη εναλλακτική αντικατασταθεί από µια ακόµη χειρότερη. Τονίζεται ότι είναι σκόπιµη η διαµόρφωση των κριτηρίων αξιολόγησης ανάλογα µε τη φύση των πολυκριτήριων προβληµάτων. Για παράδειγµα, στην περίπτωση που αντι- -22-

31 κείµενο του προβλήµατος είναι η κατανοµή περιορισµένου προϋπολογισµού σε έναν αριθµό ανταγωνιστικών µεταξύ τους έργων, το δεύτερο κριτήριο οφείλει να διαµορφωθεί ώστε να τονίζει την ανάγκη για διατήρηση της συνολικής κατάταξης των εναλλακτικών και όχι µόνο της βέλτιστης αυτής. Τα παραπάνω κριτήρια, αν και βασικά, θεωρήθηκαν ικανά για την αξιολόγηση των επιδόσεων των µεθόδων WSM, WPM, AHP, αναθεωρηµένης AHP, και TOPSIS οι ο- ποίες και επιλέχθηκαν για τη συγκεκριµένη ανάλυση (Triantaphyllou 2000). Σηµειώνεται ότι η µέθοδος ELECTRE Ι εξαιρέθηκε από την αξιολόγηση καθώς ο ερευνητής α- ναγνώρισε ως µειονέκτηµα τη µη ύπαρξη de facto βέλτιστης κατάταξης για τη συγκεκριµένη µέθοδο. Η ανάλυση έγινε για ένα εκτεταµένο συνδυασµό βαρών µεταξύ των δύο κριτηρίων ενώ τα αποτελέσµατα της ανάλυσης κατέδειξαν την µέθοδο WPM ως την καλύτερη, ακολουθούµενη από την αναθεωρηµένη AHP. Η αρχική AHP θεωρήθηκε η λιγότερο ακριβής υπό το πρίσµα των δύο συγκεκριµένων κριτηρίων. Ο έλεγχος ευαισθησίας επί των αποτελεσµάτων των πολυκριτήριων µεθόδων είναι εξίσου σηµαντικός για την επιλογή πολυκριτήριας µεθόδου. Ο (Triantaphyllou, 2000) τόνισε την επίδραση δύο παραγόντων στην όλη διαδικασία: την επιλογή του πλέον ση- µαντικού κριτηρίου και την επιλογή της πλέον σηµαντικής µετρικής για την ανάλυση. Παράµετροι για την ανάλυση ήσαν ο αριθµός των κριτηρίων και ο αριθµός των εναλλακτικών ενώ οι µέθοδοι που επιλέχτηκαν ήταν οι WSM, WPM, AHP και αναθεωρη- µένη AHP. Η έρευνα έδειξε ότι ο αριθµός των εναλλακτικών και η επιλογή µεθόδου έχουν µικρή επίδραση στην ανάλυση ευαισθησίας. Ακόµη ότι το πιο ευαίσθητο κριτήριο στην ανάλυση εξαρτάται από τον τρόπο που καταγράφονται οι αλλαγές επί των βαρών: εάν εξετάζεται η ποσοστιαία µεταβολή στις τιµές τότε πιο ευαίσθητο κριτήριο εµφανίζεται εκείνο µε το µεγαλύτερο βάρος, ενώ εάν εξετάζεται η απόλυτη µεταβολή τι- µών το πιο ευαίσθητο κριτήριο είναι εκείνο µε το χαµηλότερο συντελεστή βάρους. Στην εργασία τους για τη συγκριτική έρευνα µεθόδων ταξινόµησης οι ( ούµπος & Ζοπουνίδης, 2001) επιλέγουν τις µεθόδους γραµµικής διακριτής ανάλυσης, τετραγωνικής γραµµικής ανάλυσης, λογιστικού υποδείγµατος πιθανότητας, θεωρίας προσεγγιστικών συνόλων, και τις πολυκριτήριες µεθόδους ELECTRE TRI και UTADIS. Η αξιολόγηση έγινε µε κριτήρια τις επιδόσεις των µεθόδων, το πλήθος των κατηγοριών, τον α- ριθµό των εναλλακτικών προς σύγκριση, την ένταση της συσχέτισης µεταξύ των κριτηρίων, την οµοιογένεια των πινάκων διακύµανσης και συνδιακύµανσης των επιδόσεων και τέλος το βαθµό επικάλυψης των κατηγοριών. Οι έλεγχοι για ποσοστά εσφαλµένων -23-

32 ταξινοµήσεων εξετάζονται σε επίπεδο συνόλου αναφοράς και δείγµατος ελέγχου, ενώ ευνοούνται τεχνικές που προσεγγίζουν καλύτερα τα δεδοµένα του δείγµατος ελέγχου. Τα αποτελέσµατα της έρευνας δίνουν σηµαντικό προβάδισµα στις πολυκριτήριες µεθόδους έναντι των υπόλοιπων προσεγγίσεων. Στην περίπτωση του προβλήµατος αξιολόγησης εναλλακτικών πολιτικών και στρατηγικών παρεµβάσεων στο χώρο των µεταφορών, οι (Πολλάτου & Πάνου) αξιολόγησαν τις µεθόδους συνάρτησης αξίας, AHP, REGIME, EVAMIX, QUALIFLEX, ELECTRE, PROMHTHEE και ORESTE µε κριτήρια την ευκολία χρήσης, τη διαφάνεια των υπολογιστικών διαδικασιών, την ικανότητα διαχείρισης αντικρουόµενων στόχων / κριτηρίων, το συσχετισµό των επιπτώσεων των επιλογών µε τους επιδιωκόµενους στόχους και πολιτικές και τη δυνατότητα χρήσης διαφορετικών προφίλ αξιολόγησης. Για το συγκεκριµένο πρόβληµα προκρίθηκε η µέθοδος της αξίας χρησιµότητας. Σε άλλη εργασία τους οι ( ούµπος & Ζοπουνίδης, 2001) αξιολόγησαν τις µεθόδους UTADIS, ELECTRE TRI, τη µέθοδο των προσεγγιστικών συνόλων, τη µέθοδο της γραµµικής διακριτής ανάλυσης, τη µέθοδο της τετραγωνικής διακριτής ανάλυσης και τη µέθοδο του λογιστικού υποδείγµατος για τα προβλήµατα της εκτίµησης του κινδύνου πτώχευσης των επιχειρήσεων, της εκτίµησης του πιστωτικού κινδύνου, της επιλογής και διαχείρισης χαρτοφυλακίου. Για το πρώτο και το δεύτερο πρόβληµα υπερίσχυσε η µέθοδος UTADIS µε ελαφρά υστέρηση των µεθόδων ELECTRE και προσεγγιστικών συνόλων. Στο τρίτο πρόβληµα υπερισχύει και πάλι η µέθοδος UTADIS, ακολουθούµενη αυτή τη φορά από τη µέθοδο των προσεγγιστικών συνόλων και τη µέθοδο ELECTRE TRI. Συµπέρασµα της ανάλυσης ήταν ότι σε κάθε πρόβληµα εµφανίζεται ισχυρή υπεροχή των πολυκριτήριων µεθόδων έναντι των υπολοίπων µεθοδολογιών Η επιλογή µεθόδου µε απαρίθµηση ερωτηµάτων Κατά την αξιολόγηση των αναλύσεων της προηγούµενης παραγράφου καθίσταται σαφές το µειονέκτηµα των συγκεκριµένων προσεγγίσεων: η διαδικασία για την επιλογή της κατάλληλης πολυκριτήριας µεθόδου είναι δυσχερής και χρονοβόρα διότι απαιτεί µεγάλο αριθµό ελέγχων και συγκρίσεων µεταξύ των µεθόδων. Είναι ακόµη επιλεκτική αναφορικά στον αριθµό των µεθόδων προς ανάλυση και στην µεταξύ τους οµοιογένεια, ενώ εξαρτάται σε σηµαντικό βαθµό από τη φύση του ίδιου του πολυκριτήριου προβλή- µατος προς επίλυση. -24-

33 Στην εργασία τους για την επιλογή βέλτιστης προσφοράς στην κατασκευαστική βιοµηχανία οι (Λεώπουλος et.al.) προτείνουν µια σειρά ερωτηµάτων σχετικών µε το πρόβληµα της επιλογής της κατάλληλης πολυκριτήριας µεθοδολογίας: 1) Το σύνολο των εναλλακτικών είναι συνεχές ή διακριτό; Στην περίπτωση διακριτού συνόλου απορρίπτονται οι µέθοδοι πολυκριτήριου µαθηµατικού προγραµ- µατισµού. 2) Υπάρχει βεβαιότητα ή αβεβαιότητα ως προς τις εναλλακτικές; Στην περίπτωση ύπαρξης αβεβαιότητας απορρίπτονται οι µέθοδοι για αποφάσεις υπό αβεβαιότητα (λοταρίες και τζόγος) 3) Τι είδους προβληµατική αντιµετωπίζει το πρόβληµα λήψης απόφασης (επιλογή, ταξινόµηση, κατάταξη, περιγραφή); 4) Το πρόβληµα επιδέχεται αντιστάθµιση / παραχώρηση µεταξύ των κριτηρίων; 5) Η δοµή του προβλήµατος είναι ιεραρχική; Αν ναι, ενδείκνυται κάποια από τις παραλλαγές της AHP. 6) Τα δεδοµένα είναι σε µορφή ποσοτική, ποιοτική ή και τα δύο; 7) Είναι η συγκεκριµένη µέθοδος εύκολα κατανοητή από το σύνολο των εµπλεκο- µένων; 8) Υπάρχει δυνατότητα αριθµητικής και γραφικής αναπαράστασης των αποτελεσ- µάτων; 9) Είναι η µέθοδος φιλική προς τους εµπλεκόµενους; 10) Η λογική της µεθόδου συνάδει µε τον ανθρώπινο τρόπο σκέψης; 11) Ποια είναι η εµπειρία του αναλυτή; Οι (Guitouni & Martel, 1998) διαχωρίζουν τις αποφάσεις στις οποίες καταλήγει ο αποφασίζων σε λογικές, µη λογικές και παρά-λογικές. Στις πρώτες εξετάζονται όλες οι εναλλακτικές και επιλέγεται εκείνη η οποία µεγιστοποιεί την ικανοποίηση ή την συνάρτηση ωφέλειας του αποφασίζοντα. Μη λογικές χαρακτηρίζονται οι αποφάσεις για τις οποίες ο αποφασίζων στηρίζεται σε προηγούµενες εµπειρίες και προϋπάρχουσα γνώση, ενώ για τις παρά-λογικές αποφάσεις λαµβάνονται υπόψη µόνο οι προσωπικές επιθυµίες ή αποτροπές του αποφασίζοντα. Θεωρώντας ότι κατά κανόνα µια απόφαση δεν ανήκει αποκλειστικά σε µόνο µία από τις παραπάνω κατηγορίες, οι ερευνητές προτείνουν τον περιορισµό των ερωτήσεων/οδηγιών στις ακόλουθες επτά: -25-

34 1) Πόσοι είναι οι εµπλεκόµενοι στη διαδικασία απόφασης; Στην περίπτωση σώµατος πολλών µελών προτείνεται η χρήση µεθόδων οµαδικής λήψης αποφάσεων 2) Ποια είναι η διαισθητική προτίµηση του αποφασίζοντα; Εάν για παράδειγµα ε- κείνος αισθάνεται άνεση στη χρήση µεθόδων διµερών συγκρίσεων τότε αυτή είναι η κατάλληλη για εκείνον οδός. 3) Ποιο είναι το είδος του προβλήµατος προς επίλυση (επιλογή, ταξινόµηση, κατάταξη); 4) Είναι φρόνιµη η επιλογή µεθόδου η οποία είναι σε θέση να διαχειριστεί τις διαθέσιµες πληροφορίες αλλά και προς την οποία ο αποφασίζων είναι σε θέση να παράσχει τις αναγκαίες πληροφορίες. Το είδος και η ποσότητα της πληροφορίας είναι σηµαντικοί παράγοντες για την επιλογή µεθόδου. 5) Επίσης σηµαντικός είναι ο βαθµός στον οποίο η µέθοδος επιτρέπει την αντιστάθµιση / παραχώρηση µεταξύ των κριτηρίων 6) Κάθε µέθοδος στηρίζεται σε ορισµένες θεµελιώδεις υποθέσεις. Εάν δεν είναι δυνατό να επαληθευτούν αυτές κατά τη χρήση της µεθόδου τότε επιβάλλεται η επιλογή διαφορετικής µεθόδου. 7) Το σύστηµα στήριξης απόφασης που υποστηρίζει τη µέθοδο είναι ένας σηµαντικός παράγοντας. Ένα πρόγραµµα στήριξης απόφασης οφείλει να είναι φιλικό στο χρήστη και να περιλαµβάνει µια ποικιλία διαφορετικών µεθόδων πολυκριτήριας λήψης απόφασης. Με βάση τα παραπάνω επτά κριτήρια, στο παράρτηµα 2 προτείνεται ένας πίνακας για τη διευκόλυνση της επιλογής της κατάλληλης ανά περίπτωση πολυκριτήριας µεθόδου. 2.6 Εφαρµογές πολυκριτήριων µεθόδων Η πολυκριτήρια µεθοδολογία χαίρει σηµαντικής αναγνώρισης τόσο στην παγκόσµια κοινότητα όσο και στον ελληνικό χώρο. Η ικανότητα των πολυκριτήριων µεθόδων στην απόδοση του πολυδιάστατου χαρακτήρα της διαδικασίας λήψης απόφασης και η δυνατότητα της ενσωµάτωσης των προτιµήσεων και των πολιτικών του αποφασίζοντα στη διαδικασία της ανάλυσης έχουν συµβάλει στην ανάπτυξη ενός νέου πλαισίου ανάλυσης των προβληµάτων απόφασης, ενώ σηµαντική συνεισφορά είχε και η ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστών. -26-

35 Ενδεικτικά για τον ελληνικό χώρο αναφέρεται η εφαρµογή της µεθόδου ELECTRE TRI στην ταξινόµηση υποψηφίων σε µια διαδικασία πιστοποίησης γνώσεων πληροφορικής και στις κατηγορίες από αρχαρίων έως ωρίµων επαγγελµατικών. Η µέθοδος MU- SA ακολουθεί τις αρχές τις ποιοτικής ανάλυσης παλινδρόµησης αξιοποιώντας τεχνικές πολυκριτήριου γραµµικού προγραµµατισµού και βρίσκει εφαρµογή στην ανάλυση του δείκτη ικανοποίησης πελατών των επιχειρήσεων. Η µέθοδος Περιβάλλουσας Ανάλυσης εδοµένων (Data Envelopment Analysis-DEA) αξιοποιήθηκε για την εκτίµηση και βελτίωση της απόδοσης των συµβάσεων έργου που αναλαµβάνει ιδιωτική επιχείρηση. Η µέθοδος PROMETHEE II αξιοποιήθηκε για τη σύγκριση της παραγωγικότητας του αγροτικού τοµέα αξιολογώντας νοµούς της επικράτειας, των Βαλκανίων και των λοιπών χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης ως προς συγκεκριµένες εισροές και εκροές του πρωτογενή τοµέα. (Γρηγορούδης et. al, 2004). Ακόµη, η µέθοδος AHP εφαρµόστηκε στην αξιολόγηση της παρουσίας στο διαδίκτυο επιχειρήσεων της κατασκευαστικής βιοµηχανίας στην περιοχή της Θεσσαλονίκης. Η ιαδικασία ικτυακής Ανάλυσης (Analytic Network Process) χρησιµοποιήθηκε για το πρόβληµα της επιλογής βέλτιστης προσφοράς στην κατασκευαστική βιοµηχανία. Η µέθοδος Περιβαλλοντικής Ανάλυσης εδοµένων (Data Envelopment Analysis DEA) ως ειδικό διαγνωστικό εργαλείο βρήκε εφαρµογή στo πρόβληµα δροµολόγησης οχηµάτων µε χρονικά παράθυρα. Οι µέθοδοι ELECTRE I και PROMETHEE II χρησιµοποιήθηκαν στην επιλογή νέου ΧΥΤΑ στη υτική Θεσσαλία. Στα πλαίσια προγράµµατος για την προώθηση ανανεώσιµων πηγών ενέργειας διενεργήθηκε µελέτη κατά την οποία ε- φαρµόστηκε η µέθοδος TOPSIS, ενώ για την διερεύνηση επιπέδου καινοτοµίας των ελληνικών επιχειρήσεων σηµαντική ήταν η χρήση της µεθόδου UTADIS (Ματσατσίνης & Ζοπουνίδης, 2007). Η χρήση της πολυκριτήριας µεθοδολογίας σε διεθνές επίπεδο είναι ακόµη εκτενέστερη όπως εµφανίζεται από τις αναφορές στη διεθνή βιβλιογραφία. Οι πολυκριτήριες µέθοδοι έχουν βρει εφαρµογή σε µεγάλο εύρος προβληµάτων όπως της επιλογής δράσεων συντήρησης και επιδιόρθωσης σε κυκλώµατα τηλεπικοινωνιών, σε προβλήµατα επιλογής συµβολαίων συντήρησης, σε προβλήµατα χωρικών διατάξεων και γενικότερου γεωγραφικού χαρακτήρα, σε περιβαλλοντολογικά προβλήµατα όπως η διαχείριση αποβλήτων ή η µείωση της επιβάρυνσης πολεοδοµικών συγκροτηµάτων από την κυκλοφορία οχηµάτων, σε προβλήµατα διοικητικής φύσης όπως περιπτώσεις αναδιοργάνωσης οικονοµικών οργανισµών ή επιλογής στρατηγικών σχεδίων, σε χρηµατοοικονο- -27-

36 µικής φύσης προβλήµατα όπως η εκτίµηση κινδύνου χρεοκοπίας, η επιλογή και διαχείριση επενδυτικού χαρτοφυλακίου, η αξιολόγηση της αποδοτικότητας ενός οργανισµού, η αποτίµηση επενδύσεων, και οι συγχωνεύσεις. -28-

37 3 Η οικογένεια ELECTRE Στο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στην έννοια των σχέσεων υπεροχής και παρουσιάζονται τα κύρια γνωρίσµατα της συγκεκριµένης θεωρίας. Γίνεται επίσης µια αναφορά στα κύρια χαρακτηριστικά των µεθόδων της οικογένειας ELECTRE ενώ ακολουθεί εκτενέστερη ανάλυση των πέντε βασικών µεθόδων που την απαρτίζουν. 3.1 Η θεωρία των σχέσεων υπεροχής Οι βάσεις για τη δηµιουργία της σχολής των σχέσεων υπεροχής τέθηκαν από τον καθηγητή Bernard Roy τη δεκαετία του 1960 στη Γαλλία, όταν εισήχθηκε η οικογένεια των µεθόδων ELECTRE. Οι ερευνητές διαπίστωσαν την ανάγκη ύπαρξης µιας πολυκριτήριας µεθοδολογίας η οποία θα είχε τη δυνατότητα να παρακάµψει τους περιορισµούς της ακόµη και σήµερα κραταιής θεωρίας της πολυκριτήριας αξίας. Οι τεχνικές των µεθόδων της θεωρίας σχέσεων υπεροχής βασίζονται σε δύο στάδια. Στο πρώτο αναπτύσσεται η σχέση υπεροχής (outranking relation) µεταξύ των υπό εξέταση εναλλακτικών και στο δεύτερο αξιοποιείται η διαµορφωµένη σχέση µε αποτέλεσ- µα την αξιολόγηση των εναλλακτικών βάση της επιλεγµένης προβληµατικής (επιλογή, κατάταξη, ταξινόµηση, περιγραφή). Η βασική έννοια της θεωρίας είναι η διµερής σχέση υπεροχής µεταξύ εναλλακτικών στη βάση της οποίας γίνεται εκτίµηση του βαθµού ισχύος της προτίµησης µίας εναλλακτικής έναντι µιας άλλης. Η σχέση υπεροχής εκφράζεται ως ή. Η ισχύς της σχέσης αυξάνει όταν οι κρίσεις των εναλλακτικών υπό συγκεκριµένα κριτήρια συνάδουν προς την προτίµηση υπέρ µιας εναλλακτικής ενώ παράλληλα δεν υπάρχουν ενδείξεις που να αναιρούν την προτίµηση αυτή. Οι σηµαντικές διαφορές της θεωρίας σχέσεων υπεροχής έναντι της θεωρίας πολυκριτήριας χρησιµότητας συνοψίζονται σε δύο σηµεία: εν ισχύει η ιδιότητα της µεταβατικότητας. Στην κλασική πολυκριτήρια θεωρία αξίας γίνεται δεκτό ότι αν > > >, όπως και αν ~ ~ ~. Η θεωρία σχέσεων υπεροχής δέχεται συγκρίσεις στις οποίες ενώ µια εναλλακτική είναι προτιµότερη ή αδιάφορη έναντι της εναλλακ- -29-

38 τικής και αντίστοιχα η είναι προτιµότερη ή αδιάφορη προς µια εναλλακτική, συµβαίνει η να µην είναι προτιµότερη ή αδιάφορη έναντι της. Το πρόβληµα του «ποτηριού του καφέ» (Luce, 1956) παρουσιάζει εύγλωττα τη λογική της πρότασης: έστω ότι ένα ποτήρι καφέ µε Χ γραµµάρια ζάχαρης δίνει ίδια αίσθηση µε ένα ποτήρι καφέ µε Χ+0,1 γραµµάρια ζάχαρης και µε τη σειρά του το δεύτερο δίνει ίδια αίσθηση µε ένα ποτήρι καφέ που περιέχει Χ+0,02 γραµµάρια ζάχαρης. Αναπτύσσοντας το συλλογισµό, το εξαγόµενο συµπέρασµα είναι ότι ένα ποτήρι καφέ µε Χ γραµµάρια ζάχαρης θα προσφέρει όµοια αίσθηση µε ένα αντίστοιχο αλλά γεµάτο ζάχαρη. Προφανώς η µεταβατική ιδιότητα δεν ισχύει στον πραγµατικό κόσµο. Η σχέση υπεροχής δεν είναι πλήρης. Η πολυκριτήρια θεωρία χρησιµότητας αναγνωρίζει µόνο σχέσεις υπεροχής ή αδιαφορίας µεταξύ των εναλλακτικών. Η θεωρία των σχέσεων υπεροχής δέχεται την αρχή της µη συγκρισιµότητας σύµφωνα µε την οποία υπάρχουν περιπτώσεις εναλλακτικών µε διαφορές τόσο εκτενείς που τις καθιστούν µεταξύ τους µη συγκρίσιµες. Για την ανάπτυξη των σχέσεων υπεροχής η θεωρία υπεροχής αξιοποιεί πληροφορίες που λαµβάνει από τον αποφασίζοντα. Η ακριβής φύση των αναγκαίων πληροφοριών διαφοροποιείται ανάλογα µε τη χρησιµοποιούµενη µέθοδο, όµως τα βασικά στοιχεία που περιλαµβάνονται στην είσοδο των µεθόδων είναι τα βάρη σηµαντικότητας των κριτηρίων και τα κατώφλια προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο τα οποία προσδιορίζουν µια ασαφή σχέση υπεροχής µεταξύ των εναλλακτικών και. 3.2 Η οικογένεια των µεθόδων ELECTRE Κάθε µια από τις µεθόδους ELECTRE δηµιουργήθηκε για την αντιµετώπιση δυσκολιών στην επίλυση µιας συγκεκριµένης προβληµατικής. Το 1965 η ευρωπαϊκή εταιρεία συµβούλων SEMA (σήµερα Metra Martech) ανέλαβε να επιλύσει ένα πολυκριτήριο πρόβληµα σχετικά µε την επιλογή νέων εταιρικών διαδικασιών σε βιοµηχανικό περιβάλλον. Για την αντιµετώπιση του προβλήµατος αναπτύχθηκε η µέθοδος MARSAN (Méthode d Analyze, de Reserche, et de Selection d Activitésés Nouvelles) η οποία α- νέλυε 48 διαφορετικά ποσοτικά ή ποιοτικά κριτήρια µε χρήση της τεχνικής του σταθ- µισµένου µέσου όρου. Ως αντισταθµιστική µέθοδος ο σταθµισµένος µέσος όρος επέτρεπε την απόδοση υψηλότερης βαθµολογίας σε µία εναλλακτική εφόσον υπερείχε σε πολλά κριτήρια έναντι µιας εναλλακτικής, ακόµη και εάν σε κάποιο κριτήριο η ήταν κατά πολύ χει- -30-

39 ρότερη της. Επιπλέον, η µετατροπή των ποιοτικών κριτηρίων σε ποσοτικά γινόταν µέσω της απόδοσης τιµών βάση µιας προκαθορισµένης κλίµακας βαθµολογίας. ιαπιστώθηκε ότι η σηµασία των επιλεγµένων µέσω κλίµακας τιµών απέκλινε από την πραγ- µατική σηµασία την οποία οι επιδόσεις των εναλλακτικών είχαν για τους µελετητές. Τα µειονεκτήµατα αυτά υποχρέωσαν την εταιρεία στην αναζήτηση µιας νέας µεθόδου (Roy & Vanderpooten, 1996). Οι πρώτες ιδέες για τις σχέσεις υπεροχής και τις έννοιες της συµφωνίας και ασυµφωνίας διαµορφώθηκαν από τους (Benayoun et al., 1966) και βρήκαν εφαρµογή σε µια µέθοδο που, υπερνικώντας τους περιορισµούς της MARSAN, χρησιµοποιήθηκε επιτυχώς στη συγκεκριµένη περίπτωση και σε άλλα όµοια προβλήµατα έκτοτε. Το ακρωνύ- µιο ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la REalite «αποκλεισµός και επιλογή που αντικατοπτρίζουν την πραγµατικότητα») αποδίδεται στον Bernard Roy (1986), τότε επιστηµονικό διευθυντή της SEMA (Roy & Vanderpooten, 1996; Figueira, Mousseau, Roy, 2005). Η γενική µορφή ενός πολυκριτήριου προβλήµατος που καλείται να επιλύσει η οικογένεια ELECTRE αποτελείται από εναλλακτικές λύσεις, = 1,,, κριτήρια, = 1,, και βάρη, = 1,,. Η επιλογή µεθόδου γίνεται σε συνάρτηση µε τη φύση του προβλήµατος. Συγκεκριµένα, η οµάδα της µεθόδου ELECTRE I χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων επιλογής, οι µέθοδοι ELECTRE II, III και IV για προβλήµατα κατάταξης, ενώ η ELECTRE TRI για προβλήµατα ταξινόµησης. Η κα- νονικοποίηση των βαρών (ώστε = 1) και η οµαλοποίηση των τιµών των ε- ναλλακτικών σε όµοιο εύρος για κάθε κριτήριο είναι αναγκαίες σε συνάρτηση µε την επιλεγµένη µέθοδο επίλυσης. Κατά τη διαδικασία οµαλοποίησης είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τυχόν διαφορές στις κλίµακες µέτρησης των αποδιδόµενων τιµών. Εάν οι µετρήσεις των τιµών αναφέρονται σε όµοια κλίµακα, είναι αρκετή η χρήση ενός τύπου για την οµαλοποίηση. Εάν οι τιµές εκφράζονται σε διαφορετικές κλίµακες (λογαριθµική - π.χ. θερµοκρασίας, εκθετική - π.χ. φωτεινότητα, ένταση ήχων- κλπ) είναι ασφαλέστερη η µετατροπή τους σε γραµµική κλίµακα και να ακολουθήσει η χρήση τύπου για οµαλοποίηση των τιµών (Triantaphyllou, 2000). Τα στάδια των µεθόδων Η διαδικασία εφαρµογής των µεθόδων έχει δύο κοινά σε όλες στάδια. Το πρώτο αφορά τη δόµηση µιας σχέσης υπεροχής µέσω της ανά ζεύγη σύγκρισης των εναλλακτικών και -31-

40 της µέτρησης του σχετικού πλεονεκτήµατος κάθε εναλλακτικής έναντι των υπολοίπων. Η µοντελοποίηση της σχέσης γίνεται µε τη µορφή ( ) και επικυρώνεται µόνο εάν στην πλειοψηφία των κριτηρίων η είναι τουλάχιστον εξίσου καλή µε τη και ταυτόχρονα δεν είναι σηµαντικά χειρότερη από αυτή στα υπόλοιπα κριτήρια. Ο προσδιορισµός µιας σχέσης υπεροχής ανάµεσα σε µια εναλλακτική και µια άλλη γίνεται µε διαδικασίες που διαφοροποιούνται στις επιµέρους µεθόδους, ενώ γενικότερα απαιτεί δύο είδη ελέγχων: Ο έλεγχος συµφωνίας Ο έλεγχος συµφωνίας αφορά την αξιολόγηση των κριτηρίων στα οποία η υπερέχει της και δίνει τη δυνατότητα να επαληθευτεί η ισχύς της πρότασης «η εναλλακτική είναι τουλάχιστον εξίσου καλή µε την εναλλακτική». Η τιµή του ελέγχου αποτυπώνεται µε τη µορφή ενός δείκτη συµφωνίας ο οποίος κυµαίνεται στο διάστηµα [0, 1]. Η τιµή 1 δηλώνει την πλήρη συµφωνία του ελέγχου µε την πρόταση, η τιµή 0 δηλώνει την αντίθεση του ελέγχου µε την ισχύ της πρότασης, ενώ ενδιάµεσες τιµές αναφέρονται σε µερική ισχύ της πρότασης. Για την τελική αποδοχή της πρότασης χρησιµοποιείται ένα κατώφλι συµφωνίας το οποίο οφείλει να καλύπτει η τιµή του δείκτη συµφωνίας. Η τιµή του κατωφλίου αυτού συνήθως κυµαίνεται στο διάστηµα [0,5, 1] καθώς τιµές µικρότερες από 0,5 αποδυνα- µώνουν την ισχύ του. Ο καθορισµός της τιµής του κατωφλίου µπορεί να γίνει µε υπολογισµό ενός µέσου όρου των δεικτών συµφωνίας των ζευγών των εναλλακτικών. (Triantaphyllou, 2000). Σε αντίθεση, ο εµπειρικός προσδιορισµός τιµής του κατωφλίου α- ναδεικνύει τη συµµετοχή του αποφασίζοντα στη διαδικασία αξιολόγησης: επιλογή υ- ψηλής τιµής του κατωφλίου συµφωνίας συνεπάγεται την αυστηρή αξιολόγηση των ε- ναλλακτικών. ηλαδή, όταν το κατώφλι συµφωνίας τείνει στη µονάδα τότε για να είναι αποδεκτή η πρόταση είναι αναγκαία η συντριπτική υπεροχή µιας εναλλακτικής έναντι µιας άλλης σε κάθε διαθέσιµο κριτήριο. Ο έλεγχος ασυµφωνίας Ο έλεγχος ασυµφωνίας µετουσιώνει τη µη αντισταθµιστική φύση των µεθόδων ELECTRE. Εξετάζει την παρουσία ισχυρής αντίθεσης στην πρόταση «η είναι τουλάχιστον εξίσου καλή µε τη» και εκτελείται στα κριτήρια όπου η εναλλακτική εµφανίζει χειρότερες τιµές από τη. Η τιµή του ελέγχου αποτυπώνεται στο δείκτη ασυµφωνίας και µπορεί να είναι δυαδική ή να κυµαίνεται στο διάστηµα [0, 1], κάτι που καθορίζεται από την εκάστοτε χρησιµοποιούµενη µέθοδο ELECTRE. Τιµή του δείκτη ίση -32-

41 µε τη µονάδα σηµαίνει την ύπαρξη έντονης αντίθεσης στην ισχύ της παραπάνω πρότασης και είναι δυνατό να αναιρέσει ένα θετικό αποτέλεσµα του ελέγχου συµφωνίας. Συνεπώς, εάν µια εναλλακτική έχει πολύ καλές βαθµολογίες σε κάποια κριτήρια αλλά ταυτόχρονα πολύ κακές βαθµολογίες σε κάποια άλλα, είναι δυνατό να επιτύχει στον έλεγχο συµφωνίας όµως να αποτύχει στον έλεγχο ασυµφωνίας, µε αποτέλεσµα την απόρριψη της αρχικής πρότασης. Ο δείκτης ασυµφωνίας οφείλει να υπολείπεται ενός κατωφλίου ασυµφωνίας το οποίο καθορίζεται µε ανάλογο τρόπο και περιορισµούς µε το κατώφλι συµφωνίας. Με την εναλλαγή τιµών στα βάρη των κριτηρίων και στα κατώφλια συµφωνίας και ασυµφωνίας οι µέθοδοι ELECTRE εµφανίζουν διαφορετικά αποτελέσµατα στην αξιολόγηση των εναλλακτικών. Η διαφοροποίηση αυτή µπορεί να µελετηθεί και να αξιολογηθεί ως διαδικασία ελέγχου ευαισθησίας (Raj & Kumar, 1996; Vetchera, 1986). Εφόσον οι δύο έλεγχοι είναι επιτυχηµένοι για ένα ζεύγος εναλλακτικών, τότε η ισχύς της πρότασης επαληθεύεται και γίνεται δεκτή η αντίστοιχη σχέση υπεροχής (Milani, Shanian, El-Lahham, 2006). Το δεύτερο στάδιο της διαδικασίας εφαρµογής των µεθόδων αφορά την αξιοποίηση της πληροφορίας που απορρέει από το πρώτο στάδιο, ώστε να ολοκληρωθεί ο σκοπός της ανάλυσης. Μετά τον καθορισµό των τελικών σχέσεων υπεροχής µεταξύ των εναλλακτικών ακολουθείται µια διαφορετική, εξαρτώµενη από τη επιλεχθείσα µέθοδο, διαδικασία µε βάση την οποία καθορίζεται το τελικό αποτέλεσµα της ανάλυσης (Figueira, Mousseau, Roy, 2005) Οι µέθοδοι ELECTRE I Iv - Ιs Η µέθοδος ELECTRE I είναι η απλούστερη της οικογένειας και θεωρείται µικρού ενδιαφέροντος σε πρακτικές εφαρµογές καθώς δυσκολεύεται να ανταποκριθεί στην πολυπλοκότητα των προβληµάτων και την ανοµοιογένεια που τα χαρακτηρίζει αναφορικά στη µορφή και την ασαφή φύση των διαθέσιµων δεδοµένων. Η παρουσίαση της µεθόδου χρησιµεύει ως εισαγωγή στις έννοιες της οικογένειας ELECTRE. Για την εκτέλεση της µεθόδου είναι απαραίτητη η κανονικοποίηση των τιµών των εναλλακτικών για όλα τα κριτήρια σε κοινό εύρος. Η αναγκαιότητα για κανονικοποίηση των βαρών των κριτηρίων εξαρτάται από τους µαθηµατικούς τύπους οι οποίοι θα επιλεγούν για την εφαρµογή της µεθόδου. Η µέθοδος σχεδιάστηκε να καλύπτει προβλήµατα επιλογής µίας ή περισσότερων εναλλακτικών από ένα σύνολο εναλλακτικών λύσεων ( ), όπως αυτές αξιολογούνται υπό το πρίσµα χαρακτηριστικών ( ). -33-

42 Τα βήµατα της µεθόδου ELECTRE I Η διαδικασία για την εφαρµογή της µεθόδου περιλαµβάνει επτά βήµατα: 1. ηµιουργία ενός πίνακα ( ), όπου αποδίδονται τιµές στις εναλλακτικές για τα διάφορα χαρακτηριστικά. Το στοιχείο αντιπροσωπεύει την τιµή που έχει η εναλλακτική στο χαρακτηριστικό : = 2. Μετατροπή των τιµών του πίνακα Β σε ενιαία κλίµακα µε βάση τον τύπο: = ώστε να δηµιουργηθεί ο κανονικοποιηµένος πίνακας ( ): = Εάν οι τιµές του πίνακα απόφασης βρίσκονται από την αρχή σε οµοιόµορφη κλίµακα για όλα τα εξεταζόµενα κριτήρια το βήµα αυτό µπορεί να παραληφθεί. 3. Καθορισµός του διανύσµατος των βαρών = (,,, ) µέσω του οποίου αναγνωρίζεται η σηµασία που ο αποφασίζων αποδίδει σε κάθε κριτήριο. 4. Η ισχύς της σχέσης υπεροχής ανάµεσα σε δύο εναλλακτικές λύσεις και προϋποθέτει την επαλήθευση των ακόλουθων προτάσεων: η οφείλει να υπερέχει της στα περισσότερα χαρακτηριστικά η οφείλει να µην είναι σηµαντικά χειρότερη από τη στα υπόλοιπα χαρακτηριστικά Με σκοπό την επαλήθευση των συνθηκών αυτών, για κάθε ζευγάρι εναλλακτικών και καθορίζεται η οµάδα συµφωνίας, ως το σύνολο των κριτηρίων στα οποία η εµφανίζεται καλύτερη ή ίση µε τη, και η οµάδα ασυµφωνίας ως το σύνολο που περιέχει τα υπόλοιπα κριτήρια: -34-

43 = { } = { < }, όπου = 1, 2, τα κριτήρια για την αξιολόγηση των εναλλακτικών. 5. Υπολογίζεται ο δείκτης συµφωνίας για κάθε ζευγάρι εναλλακτικών λύσεων σύµφωνα µε τους τύπους: = (1) ή = (1 α ) Ο τύπος (1) χρησιµοποιείται εφόσον τα βάρη δεν παρουσιάζονται κανονικοποιηµένα. Εάν τα βάρη αθροίζονται στη µονάδα χρησιµοποιείται ο τύπος (1 α ) (Triantaphyllou, 2000). Στη βιβλιογραφία αναφέρονται διάφορες παραλλαγές των παραπάνω τύπων, οι οποίες όµως διατηρούν τη φιλοσοφία του αρχικού. Ενδεικτικά, κατά τους (Almeida, 2002; Raj & Kumar, 1996 ) στον υπολογισµό του δείκτη συµφωνίας λαµβάνονται υπόψη µόνο κατά το ήµισυ τα βάρη στα οποία οι εναλλακτικές και ισοβαθµούν. Ο τύπος (1) γίνεται = (. ) (1 γ ) Στη συγκεκριµένη περίπτωση η οµάδα συµφωνίας περιλαµβάνει µόνο τα κριτήρια στα οποία η προτιµάται έναντι της ( > ) και η οµάδα περιλαµβάνει µόνο τα κριτήρια στα οποία η εξισώνεται µε τη ( = ). Οι (Huang & Chen, 2005) σηµειώνουν τη επιλεκτική δυνατότητα χρήσης στον αριθµητή είτε µόνο του, είτε του αθροίσµατος +, είτε του αθροίσµατος + 0.5, ανάλογα µε τις προτεραιότητες του αποφασίζοντα. 6. Υπολογίζεται ο δείκτης ασυµφωνίας, που εκφράζει εκτίµηση του βαθµού στον οποίο η εναλλακτική είναι καλύτερη από τη. Σηµειώνεται ότι ενώ ο υπολογισµός του δείκτη συµφωνίας γίνεται µε τον ίδιο κατά βάση τρόπο για όλες τις εκφάνσεις της ELECTRE I, ο δείκτης ασυµφωνίας υπόκειται σε διαφοροποιήσεις από τον αρχικό τύπο = max : ( ) (Figueira, Mousseau, Roy, 2005). Έτσι, στον (Vetchera 1986) o τύπος για τoν δείκτη ασυµφωνίας έχει τη µορφή: -35-

44 = max ( ) max ) ενώ στο ίδιο κείµενο αναφέρονται περιπτώσεις χωρίς κανονικοποίηση µεταξύ των τιµών εντός ενός κριτηρίου, αλλά και κανονικοποιήσεις µε βάση τη µέγιστη εσωτερική απόσταση στις τιµές ενός κριτηρίου αντί για την εσωτερική απόσταση µεταξύ του εκάστοτε ζεύγους εναλλακτικών για το οποίο γίνεται σύγκριση. τύπο: Κατά τον (Almeida, 2002) ο δείκτης ασυµφωνίας υπολογίζεται από τον από τον (, ) = ( ) για κάθε κριτήριο j στο οποίο >. όπου και οι τιµές των εναλλακτικών και υπό το κριτήριο, η µέγιστη τιµή αξιολόγησης στο κριτήριο j, και η ελάχιστη τιµή αξιολόγησης των εναλλακτικών στο κριτήριο j. 7. ηµιουργείται ο δυαδικός συγκεντρωτικός πίνακας υπεροχής ( ) ο ο- ποίος παρουσιάζει τους δυνατούς συνδυασµούς των εναλλακτικών. Το στοιχείο του πίνακα παίρνει την τιµή: 1 αν και = 0 όπου 0,5 1 0 διαφορετικά Η παράµετρος καθορίζει ένα προκαθορισµένο ελάχιστο όριο το οποίο οφείλει να καλύπτει ο δείκτης συµφωνίας και υποδηλώνει την αυστηρότητα της αξιολόγησης των εναλλακτικών. Επιλογή υψηλής τιµής του από τον αποφασίζοντα οδηγεί σε µικρότερο αριθµό σχέσεων υπεροχής µεταξύ των εναλλακτικών. Από τον πίνακα διαµορφώνεται η τελική βαθµολογία κάθε εναλλακτικής ως υπόλοιπο µέγεθος της διαφοράς των περιπτώσεων όπου αυτή υπερέχει µείον των περιπτώσεων όπου υπολείπεται έναντι των άλλων. Η εναλλακτική µε τη µεγαλύτερη βαθµολογία προκρίνεται ως λύση του προβλήµατος (Vetschera, 1986; Milani, Shanian, El-Lahham, 2006; ούµπος, 2007). H µέθοδος ELECTRE Iv Η µέθοδος οφείλει την ονοµασία της στην εισαγωγή της έννοιας βέτο (Veto) και ακολουθεί τη βασική φιλοσοφία και τη διαδικασία της ELECTRE I. Οι σηµαντικές διαφοροποιήσεις σε σχέση µε την αρχική µέθοδο είναι -36-

45 η χρήση της έννοιας του κατωφλίου βέτο v, δηλαδή του ανώτατου ορίου κατά το οποίο επιτρέπεται σε µια εναλλακτική α να υπολείπεται από µια εναλλακτική b για να γίνει δεκτή η πρόταση «η εναλλακτική α υπερέχει της εναλλακτικής b». η αλλαγή στον τρόπο υπολογισµού του δείκτη ασυµφωνίας µε χρήση του κατωφλίου βέτο, ο οποίος στη νέα µέθοδο ονοµάζεται και συνθήκη µη βέτο, και προσδιορίζεται µε βάση τον τύπο = 0 < 1 υπό το κριτήριο (2) Οι αλλαγές αυτές κατέστησαν την ELECTRE Iv ικανή να επιλύει µε επιτυχία προβλή- µατα στα οποία οι τιµές των εναλλακτικών εµφανίζονται σε διαφορετικές κλίµακες, παρακάµπτοντας την ανάγκη για οµαλοποίηση των τιµών των εναλλακτικών. Η µέθοδος ELECTRE Is Η µέθοδος οφείλει την ονοµασίας της στην εισαγωγή σειράς κατωφλίων (seuils). Ακολουθείται µια ριζικά διαφορετική φιλοσοφία στην αντιµετώπιση του προβλήµατος επιλογής, προερχόµενη από τη µεθοδολογία της ELECTRE III. Χρησιµοποιείται η έννοια του ψευδοκριτήριου και γίνονται υπολογισµοί µε βάση τα κατώφλια προτίµησης και αδιαφορίας. Οι νέες έννοιες αποσκοπούν στην αντιµετώπιση της ασάφειας αναφορικά στις προτιµήσεις του αποφασίζοντα. Η χρήση του κατωφλίου βέτο κλίµακας επεκτείνεται και σε αυτή την εκδοχή της αρχικής µεθόδου ELECTRE Ι. Για την εφαρµογή της µεθόδου ορίζονται εκ νέου τα σύνολα συµφωνίας και α- συµφωνίας. = { : + } = { : + < + }, Ακόµη, διαφοροποιούνται ο δείκτης συµφωνίας ( ) = + όπου = και ο δείκτης ασυµφωνίας (έλεγχος µη βέτο) ( ) = + + όπου = ( ) -37-

46 Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE Iv Ο Πίνακας 4 παρουσιάζει µια εφαρµογή της µεθόδου ELECTRE Iv, που αποτελεί παραλλαγή της αρχικής µεθόδου µε χρήση κατωφλίου βέτο. Σηµειώνεται ότι η µέθοδος δε θεωρείται ολοκληρωµένη καθώς δεν αντιµετωπίζει το πρόβληµα της ελλιπούς γνώσης για τις ακριβείς τιµές των απαραίτητων παραµέτρων. Όµως, συγκριτικά µε την αρχική µέθοδο, η ELECTRE Iv αντιµετωπίζει µε επιτυχία τις ανοµοιογένειες στις κλίµακες τι- µών των χαρακτηριστικών καθώς η χρήση διαφορετικού τύπου υπολογισµού του δείκτη ασυµφωνίας απαλλάσσει από την ανάγκη οµαλοποίησης των αρχικών τιµών της µήτρας απόφασης (Figueira, Mousseau, Roy, 2005). Σηµειώνεται ότι το καθώς το πρώτο από τα τέσσερα κριτήρια του πίνακα είναι κριτήριο κόστους, οι τιµές των εναλλακτικών σε αυτό έχουν µετατραπεί στις αρνητικές των αρχικών µε σκοπό την επίτευξη µονοτονίας στο σύνολο των κριτηρίων. Πίνακας 4: εδοµένα παραδείγµατος ELECTRE I Βάρη Κατώφλια βέτο Υπολογίζονται οι δείκτες συµφωνίας και ασυµφωνίας για κάθε ζευγάρι εναλλακτικών. Στη σύγκριση της εναλλακτικής µε την, παρατηρείται ότι στα κριτήρια, και, άρα, = = = Ακόµη, στο κριτήριο ισχύει <, συνεπώς επιβάλλεται έλεγχος ασυµφωνίας µε βάση τον τύπο (2) όπου [( ) = 250 ( 300) = 50 < = 150]. ηλαδή το κριτήριο χ 1 δεν ενεργοποιεί βέτο εναντίον της υπεροχής της εναλλακτικής Α 1 έ- ναντι της Α 2, και συνεπώς ο δείκτης ασυµφωνίας στη σύγκριση των δύο εναλλακτικών λαµβάνει την τιµή = 0. Ο Πίνακας 5 παρουσιάζει τις µήτρες συµφωνίας και α- -38-

47 συµφωνίας που προκύπτουν µε αντίστοιχους υπολογισµούς των δεικτών για όλες τις εναλλακτικές. Πίνακας 5: Μήτρες Συµφωνίας και Ασυµφωνίας Έλεγχος Συµφωνίας Έλεγχος Ασυµφωνίας Για τη διαµόρφωση του πίνακα υπεροχής τίθεται κατώφλι συµφωνίας, έστω = 0.8. Ενδεικτικά, η τιµή του δείκτη συµφωνίας του ζεύγους εναλλακτικών, είναι, = 0.67 < 0.8 = δηλαδή δεν καλύπτει το κατώφλι συµφωνίας. Συνεπώς δεν είναι απαραίτητος ο έλεγχος του δείκτη ασυµφωνίας και ο πίνακας υπεροχής παίρνει τιµή, = 0. Αντίθετα, για τις εναλλακτικές, η τιµή του δείκτη συµφωνίας είναι, = και του δείκτη ασυµφωνίας, = 0. ηλαδή η σχέση επαληθεύεται και η τιµή στον πίνακα υπεροχής είναι, = 1. Με παρόµοια διαδικασία για τα υπόλοιπα ζεύγη προκύπτει ο τελικός Πίνακας Υπεροχής: Πίνακας 6: Πίνακας Υπεροχής Για τον προσδιορισµό της τελικής λύσης υπολογίζεται ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία υπερέχει κάθε εναλλακτική και αφαιρείται από αυτόν ο αριθµός των κριτηρίων -39-

48 στα οποία η ίδια υπολείπεται έναντι των άλλων εναλλακτικών. Η εναλλακτική µε τη µεγαλύτερη βαθµολογία είναι και η λύση του προβλήµατος. Για παράδειγµα, η εναλλακτική δεν υπερέχει σε κάποιο κριτήριο, ενώ υπολείπεται σε ένα κριτήριο έναντι της, άρα η βαθµολογία της είναι 0 1 = 1. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για τις υπόλοιπες, µε τελικό αποτέλεσµα τις τιµές 2 0 = 2, 0 3 = 3, 2 1 = 1, 2 1 = 1 και 0 0 = 0. Καλύτερη λύση θεωρείται η µε τις εναλλακτικές και να ακολουθούν σε ισοδυναµία. Ιδιαίτερη περίπτωση αποτελεί η εναλλακτική η οποία παρουσιάζεται ως µη συγκρίσιµη µε τις υπόλοιπες, καθώς ούτε υπερέχει ούτε υπολείπεται των άλλων εναλλακτικών ( ούµπος, 2007) Η µέθοδος ELECTRE II Η µέθοδος ELECTRE I χρησιµοποιήθηκε εκτενώς σε προβλήµατα επιλογής από το σχεδιασµό της στα µέσα της δεκαετίας του Στα τέλη της δεκαετίας εκείνης διαπιστώθηκε η στοχευόµενη σε προβλήµατα επιλογής και συνεπώς περιορισµένη χρηστικότητα της µεθόδου, όταν ένα διαφηµιστικό γραφείο αποπειράθηκε να τη χρησιµοποιήσει για την διαµόρφωση µιας φθίνουσας σειράς διαφορετικών εντύπων όπου και θα τοποθετούσε διαφηµιστικά µηνύµατα. Εκείνο το πρόβληµα αποτέλεσε τον ορισµό µιας νέας προβληµατικής, για την οποία η ELECTRE I δεν ήταν κατάλληλα σχεδιασµένη, συγκεκριµένα της δόµησης µιας µορφής κατάταξης των εναλλακτικών λύσεων από την καλύτερη στη χειρότερη. Για την αντιµετώπιση του νέου προβλήµατος αναπτύχθηκε η µέθοδος ELECTRE II από τους (Roy & Bertier, 1973) (Roy & Vanderpooten, 1996; Figueira, Mousseau, Roy, 2005). Η πρώτη σηµαντική διαφοροποίηση της µεθόδου έναντι της προκατόχου της αφορά στην εφαρµογή δύο σχέσεων υπεροχής ονοµαζόµενες ασθενής και ισχυρή. Η ισχυρή σχέση υπεροχής διαµορφώνεται µε βάση τρία ξεχωριστά κατώφλια συµφωνίας, για την ασθενή, και, µε τιµές στο διάστηµα [0.5. 1] και µεταξύ τους σχέση < <. Για την ασθενή σχέση καθορίζονται δύο κατώφλια ασυµφωνίας, και µε τιµές στο διάστηµα [0.5. 1] και µεταξύ τους σχέση <. Κατά αναλογία µε την ELECTRE I, υψηλές τιµές ενός κατωφλίου σε συνδυασµό µε χαµηλές τιµές ενός κατωφλίου οδηγούν σε αυστηρότερη αξιολόγηση των εναλλακτικών (Choi, Ahn, Kim, 2005; Hammami, 2003; Raj, Kumar, 1996). Με βάση τα νέα κατώφλια ασθενούς και ισχυρής συµφωνίας ή ασυµφωνίας, οι σχέσεις που διαµορφώνονται καθορίζονται πλέον ως: -40-

49 (, ) (, ) (, ) (, ) ή ή ά ή (, ) (, ) (, ) (, ) ύ ή ά (, ) (, ) (, ) (, ) όπου (, ) ο δείκτης συµφωνίας στην πρόταση «η εναλλακτική υπερέχει της, (, ) ο δείκτης ασυµφωνίας στην παραπάνω πρόταση, (, ) το άθροισµα των βαρών των κριτηρίων για τα οποία ισχύει η σχέση ( > ) και (, ) το άθροισµα των βαρών των κριτηρίων στα οποία η σχέση ( > ) δεν ισχύει. Η συνθήκη (, ) (, ) µπορεί να εκφραστεί διαφορετικά ως (, ) (, ). Καθώς οι τιµές για τη νέα συνθήκη εµφανίζονται στον πίνακα συµφωνίας για κάθε ζεύγος, η χρήση της δεύτερης συνθήκης µειώνει τους αναγκαίους υπολογισµούς. Σύµφωνα µε της διαµορφούµενες σχέσεις υπεροχής συντάσσεται ο τελικός πίνακας υπεροχής, η διάταξη του οποίου επιτρέπει την τελική σύγκριση µεταξύ των εναλλακτικών. Το τελευταίο σκέλος της µεθόδου αφορά την εξαγωγή της τελικής κατάταξης των εναλλακτικών. Στην αρχή του σταδίου, τα αποτελέσµατα του πίνακα υπεροχής αξιοποιούνται για τη δηµιουργία ενός γράφου στον οποίο οι εναλλακτικές αποτελούν τις κορυφές και οι σχέσεις υπεροχής εκφράζονται µε κατευθυνόµενες ακµές µεταξύ των εναλλακτικών. Οι ακµές σηµειώνονται διακεκοµµένες εάν αντιστοιχούν σε ασθενείς σχέσεις υπεροχής, ή συνεχόµενες αν εκφράζουν ισχυρές σχέσεις υπεροχής. Η διαδικασία απόσταξης στην ELECTRE II Η δεύτερη σηµαντική διαφοροποίηση της µεθόδου έναντι της προκατόχου της είναι η εισαγωγή της διαδικασίας απόσταξης (distillation), η οποία ακολουθεί τη δηµιουργία του γράφου και υλοποιείται σε τρία διαδοχικά στάδια. Τα πρώτα δύο καταλήγουν σε δύο µορφές διακριτής ταξινόµησης των εναλλακτικών, µετά την εξέταση του µήκους των διαδροµών των ισχυρών σχέσεων που αναπτύσσονται εντός του γράφου. Οι σχέσεις ασθενούς υπεροχής χρησιµοποιούνται για την σύγκριση των εναλλακτικών µιας κλάσης και τη διάταξή τους εντός αυτής. Το τρίτο στάδιο αφορά το συνδυασµό των δύο ταξινοµήσεων στην τελική κατάταξη που αποτελεί και τη λύση του προβλήµατος (Phaneuf, 1990). Το πρώτο στάδιο αφορά τη δηµιουργία της καθοδικής (descending) ή άµεσης (direct) ταξινόµησης. Κριτήριο αποτελεί το µήκος της διαδροµής που δέχεται κάθε κορυφή (εναλλακτική) στο γράφο, όπου το µηδενικό µήκος είναι το καλύτερο δυνατό. ηλαδή, στην καλύτερη κλάση τοποθετούνται οι εναλλακτικές οι οποίες δεν υπολεί- -41-

50 πονται έναντι άλλων εναλλακτικών (κορυφές του γράφου στις οποίες δεν καταλήγουν ακµές). Η δεύτερη καλύτερη κλάση περιλαµβάνει τις εναλλακτικές οι οποίες υπολείπονται έναντι µιας και µόνο εναλλακτικής, και προκύπτει εάν από τον γράφο αφαιρεθούν οι εναλλακτικές (κορυφές) της πρώτης κλάσης και οι σχέσεις (ακµές) που τις διέπουν. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου όλες οι εναλλακτικές έχουν καταταχθεί σε κλάσεις. Η ονοµασία «καθοδική» προκύπτει καθώς από το σύνολο των εναλλακτικών αφαιρούνται πρώτα οι εναλλακτικές της καλύτερης κλάσης, ενώ κατόπιν η αξιολόγηση επαναλαµβάνεται. Έτσι, τα βήµατα της κατάταξης ακολουθούν «φθίνουσα» πορεία, εκκινώντας από την καλύτερη κλάση και καταλήγοντας στη χειρότερη. Το δεύτερο στάδιο αφορά τη δηµιουργία της ανοδικής (ascending) ή ανάστροφης (inverse) ταξινόµησης, όπου κριτήριο αποτελεί το µήκος της µέγιστης διαδροµής η οποία εκκινεί από την εκάστοτε κορυφή (εναλλακτική) του γράφου. Στην καλύτερη κλάση τοποθετούνται οι εναλλακτικές (κορυφές) µε το µεγαλύτερο µήκος διαδροµής, ενώ στη χειρότερη οι εναλλακτικές (κορυφές) µε µηδενικό µήκος διαδροµής. Η ονοµασία «ανοδική» προκύπτει καθώς από το σύνολο των εναλλακτικών αφαιρούνται πρώτα οι εναλλακτικές της χειρότερης κλάσης, ενώ στη συνέχεια η αξιολόγηση επαναλαµβάνεται χωρίς αυτές και τις σχέσεις που τις διέπουν. Συνεπώς, τα βήµατα της κατάταξης ακολουθούν «αύξουσα» πορεία, εκκινώντας από τη χειρότερη κλάση και καταλήγοντας στην καλύτερη. (Phaneuf, 1990; Figueira, Mousseau, Roy, 2005). Το τρίτο στάδιο αφορά τη σύνθεση της τελικής κατάταξης από τις δύο επιµέρους κατατάξεις. Για την τελική κατάταξη οι (Wang, Triantaphyllou, 2005) προτείνουν την τοµή των επιµέρους κατατάξεων, ως εξής : η εναλλακτική κατατάσσεται σε θέση α- νώτερη από την εναλλακτική εάν και µόνο εάν η κλάση της πρώτης είτε υπερέχει είτε είναι κοινή µε την κλάση της δεύτερης στις δύο επιµέρους κατατάξεις. Εάν η εναλλακτική προτιµάται της εναλλακτικής στη µία επιµέρους κατάταξη ενώ στην άλλη κατάταξη ισχύει το αντίστροφο, τότε οι εναλλακτικές είναι µη συγκρίσιµες στην τελική κατάταξη. Ο (Hammami 2003) προσφέρει µια αριθµητική µέθοδο για τον προσδιορισµό της τελικής κατάταξης: για κάθε ταξινόµηση ξεχωριστά, κάθε µία από τις εναλλακτικές που κατατάσσονται στην καλύτερη κλάση βαθµολογείται µε 1. Οι εναλλακτικές κάθε επό- µενης κλάσης λαµβάνουν τιµή ίση µε τον αριθµό των εναλλακτικών που ταξινοµήθηκαν ήδη σε προηγούµενες κλάσεις, συν 1. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου βαθµολογηθούν όλες οι εναλλακτικές σε κάθε κλάση. Η τελική κατάταξη προσδιορίζε- -42-

51 ται µε βάση το άθροισµα των δύο βαθµολογήσεων. Ο Πίνακας 7 παρουσιάζει ένα παράδειγµα για τη σύνθεση της τελικής κατάταξης, µε βάση δύο επιµέρους ταξινοµήσεις : καθοδική (Α, Α ), Α,( Α,Α ), Α και ανοδική Α, (Α, Α ), Α, (Α, Α ). Πίνακας 7 : Μέθοδος σύνθεσης τελικής κατάταξης ELECTRE II Κανονική Ανάστροφη Τελική Άθροισµα Ταξινόµηση Ταξινόµηση Κατάταξη Στην ειδική περίπτωση όπου µια εναλλακτική ούτε υπολείπεται αλλά και ούτε υπερέχει έναντι των άλλων, αυτή χαρακτηρίζεται ως µη συγκρίσιµη και τοποθετείται στην κορυφή της ιεραρχίας κατά την καθοδική ταξινόµηση και στη βάση της ιεραρχίας κατά την ανοδική. Η αντιδιαµετρική αυτή τοποθέτηση κατευθύνει τον αποφασίζοντα να δώσει ιδιαίτερη προσοχή στον χειρισµό της ( ούµπος, 2007). Τα βήµατα της µεθόδου ELECTRE II Η διαδικασία εφαρµογής της µεθόδου ELECTRE II ακολουθεί τα ίδια αρχικά βή- µατα µε την ELECTRE I. Η διαφοροποίηση έγκειται στη χρήση διαφορετικού τύπου για τον υπολογισµό του πίνακα ασυµφωνίας και στην εισαγωγή της διαδικασίας απόσταξης δύο ολοκληρωµένων κατατάξεων για τη διαµόρφωση της τελικής, µερικής κατάταξης. Συνοπτικά: 1. ηµιουργία του πίνακα απόφασης ( ) 2. Μετατροπή των τιµών του πίνακα απόφασης σε ενιαία κλίµακα 3. Καθορισµός του διανύσµατος βαρών 4. Προσδιορισµός των οµάδων συµφωνίας και ασυµφωνίας των κριτηρίων -43-

52 5. Υπολογισµός του πίνακα συµφωνίας από τα στοιχεία του πίνακα απόφασης, µε τρόπο παρόµοιο µε την ELECTRE I (, ) = ( ) (3) 6. Υπολογισµός του πίνακα ασυµφωνίας σύµφωνα µε τον τύπο (, ) = : [ ] (4) όπου = max,,. Για τον υπολογισµό του λαµβάνεται υπόψη το κριτήριο στο οποίο η διαφορά ( ) µεγιστοποιείται. Εντός του κριτηρίου αυτού, εξετάζονται όλες οι εναλλακτικές και εντοπίζονται η µέγιστη τιµή και η ελάχιστη τιµή µεταξύ των, η διαφορά των οποίων χρησιµεύει ως ο παρονοµαστής. Στην περίπτωση που η διαφορά ( ) εµφανίζεται µέγιστη σε περισσότερα από ένα κριτήρια, ως λαµβάνεται η µεγαλύτερη τιµή ανάµεσα στα σχηµατιζόµενα ζεύγη (, ) (Morais & Almeida, 2006). Σηµειώνεται ότι κατά τους (Wang & Triantaphyllou, 2005; Roy & Vincke, 1981) για τον ορισµό του χρησιµοποιείται το µέγιστο διάστηµα µεταξύ των εναλλακτικών υπό οποιοδήποτε κριτήριο: = max. Τονίζεται ότι η χρήση των συγκεκριµένων τύπων προϋποθέτει την εµφάνιση των τιµών των εναλλακτικών σε ενιαίο εύρος, σε όλα τα κριτήρια. Εάν δε συµβαίνει αυτό, είναι αναγκαία η οµαλοποίηση των τιµών των εναλλακτικών (βήµα 2) και η δηµιουργία νέου πίνακα απόφασης µε βάση το γνωστό από τη µέθοδο ELECTRE I τύπο = όπου η τιµή της εναλλακτικής a στο κριτήριο j στον αρχικό πίνακα απόφασης. 7. Υπολογισµός των τελικών σχέσεων υπεροχής. 8. ηµιουργία του σχετικού πίνακα υπεροχής και του αντίστοιχου γράφου. 9. Κατάταξη των λύσεων στις δύο διατάξεις µε τη διαδικασία απόσταξης. 10. Τελική αξιολόγηση µε βάση την τοµή των δύο µερικών διατάξεων. Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE II Η διαδικασία εφαρµογής της µεθόδου γίνεται καλύτερα κατανοητή µε τη χρήση ενός αριθµητικού παραδείγµατος µε πραγµατικά δεδοµένα (Wang & Triantaphyllou, 2005). -44-

53 Στο συγκεκριµένο παράδειγµα υπάρχουν πέντε εναλλακτικές λύσεις και επτά κριτήρια επιλογής. Όλα τα κριτήρια είναι ωφέλειας, δηλαδή υψηλότερες επιδόσεις των εναλλακτικών καταλήγουν σε ευνοϊκότερη αξιολόγησή τους. Ο Πίνακας 8 της µήτρας απόφασης εµφανίζει τις τιµές των εναλλακτικών σε ενιαίο εύρος, συνεπώς δεν είναι απαραίτητη η πρωθύστερη κανονικοποίηση των αρχικών τιµών σε νέα µήτρα απόφασης. Πίνακας 8: Μήτρα Απόφασης Βάρος Από τους τύπους 3 και 4 υπολογίζονται οι µήτρες συµφωνίας και ασυµφωνίας όπως εµφανίζονται στους ακόλουθους πίνακες. Πίνακας 9: Πίνακας Συµφωνίας Πίνακας 10: Πίνακας Ασυµφωνίας Ενδεικτικά, για τη σύγκριση των εναλλακτικών, ο δείκτης συµφωνίας ισούται µε, = =

54 καθώς µόνο στα κριτήρια και η εναλλακτική έχει τιµή µεγαλύτερη ή ίση της, ενώ τα βάρη των δύο κριτηρίων είναι αντίστοιχα και Ακόµη, η διαφορά µεγιστοποιείται στο κριτήριο µε τιµή 3. Η µέγιστη τι- µή του κριτηρίου είναι = 5 (εναλλακτικές και ) και η ελάχιστη τιµή είναι = 1 (εναλλακτική ). Συνεπώς η τιµή του δείκτη είναι 5-1= 4. Άρα ο δείκτης ασυµφωνίας των δύο εναλλακτικών και ισούται µε, = [,,,, ] ( ) = = 0.75 Ο Πίνακας 11 των σχέσεων υπεροχής (ισχυρών και ασθενών), υπολογίζεται λαµβάνοντας υπόψη τα όρια = 0.85, = 0.75, = 0.65, = 0.25, = Ενδεικτικά, καθώς (, ) =0.941 > = 0.85, (, ) =0.25 =0.25 και (, ) =0.941 > (, ) =0.373 (εναλλακτικά, (, ) = 0, , , , ,039 = 0,627 (, ) = 0,059) επικυρώνεται η ισχυρή σχέση υπεροχής. Σηµειώνεται ότι στο συγκεκριµένο παράδειγµα δεν παρουσιάζονται ασθενείς σχέσεις υπεροχής. Πίνακας 11: Σχέσεις Υπεροχής Με βάση τον πίνακα σχέσεων υπεροχής δηµιουργείται ο γράφος που αναπαριστά τις σχέσεις των εναλλακτικών. Καθώς διαµορφώνονται αποκλειστικά σχέσεις ισχυρής υ- περοχής, όλες οι ακµές που συνδέουν τις κορυφές του γράφου είναι συνεχείς. -46-

55 Εικόνα 7 : Γράφος σχέσεων υπεροχής ELECTRE II Η διαδικασία της απόσταξης ξεκινά µε τη δηµιουργία της κανονικής (καθοδικής) κατάταξης, και αρχικό βήµα την καταγραφή του µήκους των διαδροµών που καταλήγουν σε κάθε κορυφή. Οι εναλλακτικές και δεν υπολείπονται έναντι των υπολοίπων ή, διαφορετικά, το µήκος των διαδροµών που καταλήγουν στις αντίστοιχες κορυφές είναι 0. Στο αντίθετο άκρο της αξιολόγησης βρίσκεται η κορυφή στην οποία καταλήγει η διαδροµή που αποτελείται από τις ακµές, και και παρουσιάζει το µέγιστο µήκος, ίσο µε 3. Συνεπώς, στο πρώτο βήµα της αξιολόγησης οι εναλλακτικές και τοποθετούνται στην καλύτερη κλάση της ταξινόµησης και εξαιρούνται από τα επόµενα βήµατα της αξιολόγησης. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για τις υπόλοιπες εναλλακτικές. Ο Πίνακας 12 παρουσιάζει τα υπολογιστικά βήµατα για το σύνολο της κανονικής ταξινόµησης. Πίνακας 12: Βηµατική διαδικασία κανονικής ταξινόµησης Βήμα 1 Βήμα 2 Βήµα 3 Βήµα Επιλογή, Συνεπώς η κανονική ταξινόµηση των εναλλακτικών είναι = > > > -47-

56 Ακολουθεί η ανάστροφη (ανοδική) κατάταξη, µε αρχικό βήµα την καταγραφή του µήκους των διαδροµών που εκκινούν από κάθε κορυφή. Η διαδροµή που εκκινεί από την κορυφή και αποτελείται από τις ακµές, και παρουσιάζει το µέγιστο µήκος, ίσο µε 3. Ακολουθούν οι κορυφές και, µε µήκος διαδροµής 2, έπεται η κορυφή µε µήκος 1 ενώ τελευταία εµφανίζεται η κορυφή από την οποία δεν εκκινούν διαδροµές προς άλλες κορυφές. Συνεπώς, η εναλλακτική αποτελεί το µόνο µέλος της χειρότερης κλάσης της κατάταξης, και εξαιρείται από τα επόµενα βήµατα της διαδικασίας. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για τις υπόλοιπες ε- ναλλακτικές. Ο Πίνακας 13 παρουσιάζει τα υπολογιστικά βήµατα για το σύνολο της ανάστροφης ταξινόµησης. Πίνακας 13 : Βηµατική διαδικασία ανάστροφης ταξινόµησης Βήμα 1 Βήμα 2 Βήµα 3 Βήµα Επιλογή, Συνεπώς η ανάστροφη ταξινόµηση των εναλλακτικών είναι > = > > Η τελική κατάταξη των εναλλακτικών προϋποθέτει την βαθµολόγησή τους, µε βάση τις επιµέρους ταξινοµήσεις. Στην κανονική ταξινόµηση οι εναλλακτικές και ισοβαθµούν στην καλύτερη κλάση, και συνεπώς έκαστη βαθµολογείται µε 1. Η εναλλακτική ανήκει στη δεύτερη καλύτερη κλάση, αλλά καθώς εµφανίζεται τρίτη στη σειρά, λαµβάνει το βαθµό 3. Ακολουθούν οι εναλλακτικές και οι οποίες βαθµολογούνται αντίστοιχα µε 4 και 5. Στην ανάστροφη ταξινόµηση, η µόνη εναλλακτική που ανήκει στην καλύτερη κλάση είναι η, η οποία βαθµολογείται µε 1. Ακολουθούν οι εναλλακτικές και οι οποίες ανήκουν από κοινού στη δεύτερη καλύτερη κλάση, και συνεπώς έκαστη βαθµολογείται µε 2. Η εναλλακτική είναι η τέταρτη στη σειρά της αξιολόγησης, και συνε- -48-

57 πώς βαθµολογείται µε 4, ενώ τον βαθµό 5 επιτυγχάνει η εναλλακτική. Η άθροιση των δύο βαθµολογιών δίνει την τελική κατάταξη των εναλλακτικών, στην οποία υπερισχύει η συγκεντρώνοντας το χαµηλότερο βαθµό. Ο Πίνακας 14 παρουσιάζει τους υπολογισµούς για την τελική κατάταξη. Πίνακας 14 : Βαθµολόγηση ταξινοµήσεων και τελική κατάταξη εναλλακτικών Κανονική Ταξινόµηση Ανάστροφη Ταξινόµηση Άθροισµα Τελική Κατάταξη Η τελική κατάταξη των εναλλακτικών δεν παρουσιάζει ισοβαθµίες και είναι: > > > > Κριτική της µεθόδου ELECTRE II Ο (Triantaphyllou, 2000) και οι (Wang, Triantaphyllou, 2005) έχουν καταθέσει τις αντιρρήσεις τους για τη χρήση των µεθόδων της οικογένειας ELECTRE. Για τη στήριξη της αντίθεσής τους παραθέτουν µια σειρά κριτηρίων τα οποία θεωρούν ότι οφείλει να καλύπτει κάθε αξιόπιστη πολυκριτήρια µέθοδος. Συνοπτικά, αναφέρονται: 1. Μια αποτελεσµατική µέθοδος οφείλει να µη διαφοροποιεί την ένδειξη της βέλτιστης εναλλακτικής όταν µια µη βέλτιστη εναλλακτική αντικαθίσταται από µια χειρότερη αυτής, µε την υπόθεση ότι οι λοιπές παράµετροι (βάρη, όρια) παρα- µένουν αµετάβλητες. 2. Η κατάταξη των εναλλακτικών οφείλει να ακολουθεί τη µεταβατική ιδιότητα. Αναλυτικά, έστω ότι µια πολυκριτήρια µέθοδος έχει προσδιορίσει µια κατάταξη εναλλακτικών επί ενός προβλήµατος. Στη συνέχεια, το πρόβληµα αναλύεται σε ένα σύνολο επιµέρους προβληµάτων, κάθε ένα από τα οποία εξετάζει τις προτεινόµενες εναλλακτικές ανά ζεύγη και µόνο, υπό τον ίδιο αριθµό κριτηρίων µε το αρχικό πρόβληµα. Το κριτήριο διατείνεται ότι οι αξιολογήσεις που προέρχονται από τις ανά ζεύγη συγκρίσεις οφείλουν να τηρούν τη µεταβατική ιδιότητα: εάν η -49-

58 εναλλακτική υπερέχει της και η υπερέχει της, τότε είναι αναµενό- µενο ότι η θα υπερέχει της. 3. Εάν τα αποτελέσµατα των επιµέρους προβληµάτων, µετά την ανάλυση ενός προβλήµατος σύµφωνα µε το κριτήριο 2, συνδυαστούν σε µια εκ νέου κατάταξη, αυτή οφείλει να είναι ταυτόσηµη µε την κατάταξη της αρχικής µεθόδου επί του αρχικού προβλήµατος. Παραβλέποντας τη βασική αρχή για τις µεθόδους των σχέσεων υπεροχής, δηλαδή της µη ισχύος της µεταβατικής ιδιότητας, οι ερευνητές εφάρµοσαν τα κριτήρια αυτά στις µεθόδους ELECTRE II και ELECTRE III, κατονοµάζοντάς τις ανεπαρκείς. Ειδικά για τη µέθοδο ELECTRE II, οι (Wang, Triantaphyllou, 2005) χρησιµοποίησαν το πρώτο κριτήριο, µε βάση το παράδειγµα που παρουσιάστηκε στην ανάλυση της µεθόδου. Συγκεκριµένα, η εναλλακτική αντικαταστάθηκε µε την υποδεέστερη. Ο Πίνακας 15 παρουσιάζει τις επιδόσεις της αρχικής εναλλακτικής και της αντικαταστάτριας: Πίνακας 15 Αντικατάσταση εναλλακτικής από υποδεέστερη Ο νέος πίνακας απόφασης διαµορφώθηκε ως Βάρος Οι τιµές των υπολοίπων παραµέτρων (βάρη, όρια, επιδόσεις λοιπών εναλλακτικών) διατηρήθηκαν σταθερές, και µετά τους υπολογισµούς διαµορφώθηκε νέος πίνακας υπε- -50-

59 ροχής, στον οποίο η εναλλακτική δεν υπερέχει της, και υπερέχει ασθενώς της. Ο Πίνακας 16 παρουσιάζει τις σχέσεις υπεροχής µετά την αντικατάσταση. Πίνακας 16 : Πίνακας υπεροχής µετά την αντικατάσταση Με βάση το νέο πίνακα υπεροχής διαµορφώνεται νέος γράφος για τις συσχετίσεις των εναλλακτικών, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 8. Εικόνα 8 : Γράφος σχέσεων υπεροχής ELECTRE II µετά την αντικατάσταση Μετά τους κατάλληλους υπολογισµούς για την εφαρµογή της διαδικασίας απόσταξης διαπιστώθηκε ότι η επίδραση της αντικατάστασης οδήγησε σε διαφοροποίηση του αποτελέσµατος της τελικής κατάταξης ως εξής: = > = > Η εναλλακτική δεν αποτελεί πλέον τη µοναδική βέλτιστη λύση του προβλήµατος, καθώς ισοβαθµεί µε την εναλλακτική. Σηµειώνεται ότι το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει µε την εφαρµογή της διαδικασίας απόσταξης, εάν η σχέση υπεροχής της ε- ναλλακτικής έναντι της θεωρηθεί ισχυρή. Εάν όµως η σχέση των δύο αυτών ε- ναλλακτικών λογιστεί ως έχει, δηλαδή ασθενής, και εκτελεστούν οι υπολογισµοί για τη διαδικασία απόσταξης, τότε η τελική κατάταξη των εναλλακτικών µετά την αντικατάσταση θα είναι = > > > -51-

60 Σε κάθε περίπτωση, η νέα τελική κατάταξη τοποθετεί στην κορυφή της αξιολόγησης τις εναλλακτικές και, έναντι µόνο της τoυ αρχικού προβλήµατος. Τα αποτελέσµατα δεν πληρούν τον κανόνα κατά τον οποίο η αντικατάσταση µιας µη βέλτιστης εναλλακτικής από µια υποδεέστερη δεν επιτρέπεται να διαφοροποιεί την επιλογή της βέλτιστης εναλλακτικής. Συµπερασµατικά κατά τους Wang και Triantaphyllou, η ELECTRE II δεν περιλαµβάνεται στις αποτελεσµατικές πολυκριτήριες µεθόδους. Τα αίτια του προβλήµατος της διαφοροποίησης βέλτιστης εναλλακτικής Με την ανάλυσή τους οι (Wang και Triantaphyllou, 2005) εντόπισαν τα αίτια για την παρουσία του προβλήµατος διαφοροποίησης της βέλτιστης εναλλακτικής στην ίδια τη φύση της µεθόδου ELECTRE II. Συγκεκριµένα, κατονόµασαν ως αίτια τις διαδικασίες ανοδικής και καθοδικής απόσταξης, καθώς και την παρουσία της παραµέτρου στα βήµατα υπολογισµού του δείκτη ασυµφωνίας. Η ουσία της διαδικασίας απόσταξης είναι ο προσδιορισµός της υπεροχής ή µη µιας εναλλακτικής έναντι των υπολοίπων, και ο οποίος επιτυγχάνεται µε µια σειρά συγκρίσεων ανά ζεύγη µεταξύ των διαθέσιµων εναλλακτικών. Κατά την αντικατάσταση µιας εναλλακτικής από µια υποδεέστερη, είναι πιθανό να διαφοροποιηθούν οι σχέσεις υπεροχής που σχετίζονται µε αυτή, κάτι αναµενόµενο από την φύση της αντικατάστασης (ισχυρότερη από υποδεέστερη). Καθώς όµως η αξιολόγηση των εναλλακτικών εξαρτάται από τις διµερείς συγκρίσεις µεταξύ τους, είναι επίσης δυνατό να παρουσιαστεί διαφοροποίηση και στην τελική κατάταξη των εναλλακτικών, όπως αποδεικνύεται από το αποτέλεσµα του προηγούµενου πειράµατος, κάτι που αντιβαίνει στη λογική. Σχετικά µε το συντελεστή, οι ερευνητές παρουσίασαν το σκεπτικισµό τους για τη συµµετοχή του στη διαµόρφωση του προβλήµατος, κατά αναλογία µε τη συµµετοχή του στις αξιολογήσεις των ανά ζεύγη συγκρίσεων. Η παράµετρος εξαρτάται από τις επιδόσεις των εναλλακτικών στον πίνακα απόφασης, και είναι δυνατό να διαφοροποιηθεί εάν µια εναλλακτική αντικατασταθεί από µια υποδεέστερη. Συνεπώς, οι σχέσεις υ- περοχής µεταξύ των υπολοίπων εναλλακτικών είναι δυνατό να υποστούν ένα βαθµό παραµόρφωσης, ο οποίος τελικά θα διαφοροποιήσει και την τελική κατάταξη των εναλλακτικών. Η πρόταση της ELECTRE II µε υποκριτήρια Με σκοπό να αντιµετωπίσει ένα νέο είδος προβλήµατος, αυτό της κατάταξης εναλλακτικών, η µεθοδολογία της ELECTRE II εισήγαγε τη χρήση µιας σειράς παραµέτρων -52-

61 οι οποίες δυσχεραίνουν τη διαδικασία απόδοσης τιµών, ενώ είναι πιθανό να δηµιουργήσουν προβλήµατα και στην αξιοπιστία της µεθόδου. Στις σηµειώσεις του µαθήµατος «Θεωρία και Συστήµατα Λήψης Αποφάσεων» οι (Βλαχάβας, Τσουµάκας, 2008) αναφέρονται σε µια διαφορετική διαδικασία για τον υ- πολογισµό των αποτελεσµάτων της ELECTRE II. Η µέθοδος αποφεύγει την εφαρµογή πολλαπλών, δυσνόητων και σε τελική ανάλυση δύσχρηστων κατωφλίων για τους δείκτες συµφωνίας και ασυµφωνίας, ενώ αποφεύγει επίσης τη χρήση του αµφιλεγόµενα α- ποτελεσµατικού συντελεστή. Σηµαντικό πλεονέκτηµα της µεθόδου, το οποίο δεν α- παντάται συχνά στη βιβλιογραφία για της µεθόδους ELECTRE, είναι η δυνατότητα ε- φαρµογής κριτηρίων σε δύο επίπεδα, όπου κάθε κριτήριο πρώτου επιπέδου είναι δυνατό να αναλύεται σε µια σειρά από κριτήρια δεύτερου επιπέδου, ή υποκριτήρια. Τα βήµατα της µεθόδου είναι παραπλήσια µε τα βήµατα της αρχικής ELECTRE II και συνοπτικά παρουσιάζονται ως εξής: 1. Προσδιορισµός του αριθµού κύριων κριτηρίων και εντός αυτών υποκριτηρίων 2. Κατάλληλη διαµόρφωση του πίνακα απόφασης. Οι τιµές των εναλλακτικών οφείλουν να εναρµονίζονται σε ενιαίο εύρος µόνο εσωτερικά του ε- κάστοτε υποκριτηρίου. Μεταξύ υποκριτηρίων, το εύρος τιµών των εναλλακτικών είναι ανοιχτό σε διαφοροποίηση. 3. Καθορισµός των βαρών των κύριων κριτηρίων και υποκριτηρίων. Η παρουσία βαρών που αθροίζονται στη µονάδα δεν είναι αναγκαία για τη συγκεκριµένη µέθοδο, είτε αυτά αφορούν τα υποκριτήρια ενός κύριου κριτηρίου, είτε αφορούν τα κύρια κριτήρια. 4. Υπολογισµός των σχέσεων υπεροχής των εναλλακτικών για κάθε υποκριτήριο εντός ενός κύριου κριτηρίου µε βάση τον τύπο, : (5) όπου { 1,1} η τάξη µεγέθους του υποκριτηρίου το οποίο βρίσκεται εντός του κύριου κριτηρίου. Λαµβάνει τιµή -1 εάν το υποκριτήριο είναι κόστους ή τιµή 1 αν το υποκριτήριο είναι ωφέλειας ΕΔ η ελάχιστη διαφορά πέρα από την οποία δεν ισχύει η σχέση S a, b -53-

62 5. Υπολογισµός των σχέσεων υπεροχής των εναλλακτικών για κάθε κύριο κριτήριο µε βάση τον τύπο όπου, =, :, (6),, :, το σύνολο των βαρών των υποκριτηρίων του κύριου κριτηρίου για τα οποία ισχύει η σχέση S a, b, η το σύνολο των βαρών των υποκριτηρίων του κύριου κριτηρίου ένας συντελεστής κατωφλίου που επιλέγεται από τον αποφασίζοντα. Υψηλότερες τιµές του κατωφλίου οδηγούν σε αυστηρότερη αξιολόγηση των εναλλακτικών. 6. Υπολογισµός των τελικών σχέσεων υπεροχής των εναλλακτικών µε βάση τον τύπο όπου, = :, (7) :, το σύνολο των βαρών των κύριων κριτηρίων για τα οποία ισχύει η σχέση S a, b η το σύνολο των βαρών των κύριων κριτηρίων 7. Προσδιορισµός της τελικής βαθµολογίας των εναλλακτικών µε βάση τον τύπο όπου = { :, } { :, } (8) η διαφορά µεταξύ του αριθµού των περιπτώσεων όπου η εναλλακτική εµφανίζεται να υπερέχει της και του αριθµού των περιπτώσεων όπου η εναλλακτική εµφανίζεται να υπερέχει της 8. ιαµόρφωση της τελικής κατάταξης των εναλλακτικών µε βάση τη βαθµολογία τους -54-

63 Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE IΙ µε υποκριτήρια O Πίνακας 17 παρουσιάζει ένα παράδειγµα που ακολουθεί την εφαρµογή της µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια. Τα πρώτα τέσσερα κριτήρια είναι ωφέλειας, ενώ τα τελευταία δύο κόστους (Βλαχάβας, Τσουµάκας, 2008). Πίνακας 17 : Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια ΑΑ Βάρη Τάξη Ε Ενδεικτικά, για την εναλλακτική A στο υποκριτήριο 1.1 διαπιστώνεται ότι: r. A A = 2 > 0 = ΕΔ. άρα δεν ισχύει η σχέση S. Α, Α r. A A = 3 > 0 = ΕΔ. άρα δεν ισχύει η σχέση S. Α, Α Αντίθετα, για την ίδια εναλλακτική στο υποκριτήριο 3.1 διαπιστώνεται ότι: r. A A = 4000 < 2000 = ΕΔ. άρα ισχύει η σχέση S. Α, Α r. A A = 3000 < 2000 = ΕΔ. άρα ισχύει η σχέση S. Α, Α Εκτελώντας τους κατάλληλους υπολογισµούς για το σύνολο των υποκριτηρίων διαπιστώνεται ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α, S. Α, Α -55-

64 Εάν γίνει δεκτό ένα επίπεδο κατωφλίου = 0.6 τότε εντός του κύριου κριτηρίου 1 παρατηρείται ότι: S Α, Α =,, :,,, Αντίθετα, στο κύριο κριτήριο 3 παρατηρείται ότι S Α, Α =,, :,,, = = 0 < 0,6 άρα δεν ισχύει η σχέση S Α, Α = = 1 0,6 άρα ισχύει η σχέση S Α, Α Εκτελώντας τους κατάλληλους υπολογισµούς για το σύνολο των κύριων κριτηρίων διαπιστώνεται ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: S Α, Α, S Α, Α, S Α, Α S Α, Α, S Α, Α S Α, Α, S Α, Α, S Α, Α, S Α, Α Για τις τελικές σχέσεις της εναλλακτικής Α παρατηρείται ότι : S Α, Α = :, = = 0,4 < 0,6 άρα δεν ισχύει η σχέση S Α, Α S Α, Α = :, = = 0,4 < 0,6 άρα δεν ισχύει η σχέση S Α, Α Εκτελώντας τους κατάλληλους υπολογισµούς για τις υπόλοιπες εναλλακτικές διαπιστώνεται ότι ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: S Α, Α, S Α, Α και S Α, Α Ο Πίνακας 18 παρουσιάζει τη βαθµολογία των εναλλακτικών Πίνακας 18 : Βαθµολογία εναλλακτικών Υπεροχή Μη Υπεροχή Αποτέλεσµα Συνεπώς η τελική κατάταξη των εναλλακτικών θα είναι > > -56-

65 Αξιολόγηση της µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια στο πρόβληµα αντικατάστασης βέλτιστης λύσης. Η αξιολόγηση της µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια έγινε µε την εφαρµογή που αναπτύχθηκε για τους σκοπούς της παρούσης εργασίας. Χρησιµοποιήθηκε το παράδειγµα των (Wang, Triantaphyllou, 2005) όπως παρουσιάστηκε στην ανάλυση της µεθόδου ELECTREII, αναφορικά στις τιµές των εναλλακτικών και τα βάρη κάθε κριτηρίου. Τα αποτελέσµατα της µεθόδου εκτιµήθηκαν σε τρία διαφορετικά επίπεδα για το συντελεστή, ώστε η ανάλυση να πλησιάσει κατά το δυνατό τη διαδικασία αξιολόγησης των ερευνητών. Ο Πίνακας 19 παρουσιάζει τα αποτελέσµατα της αξιολόγησης µε βάση τα δεδοµένα του αρχικού πίνακα απόφασης. Στον ίδιο πίνακα σηµειώνονται οι µη βέλτιστες εναλλακτικές που επιλέχθηκαν προς αντικατάσταση µε υποδεέστερες, για τη συνέχιση της αξιολόγησης. Πίνακας 19 : Αποτελέσµατα ELECTREII µε υποκριτήρια 0,85 = 2 = 2 = 1 = 2 = 3 0,75 = 4 = 1 = 1 = 2 = 4 0,65 = 2 = 2 = 2 = 3 = 3 Η αντικατάσταση έγινε ακολουθώντας τη µεθοδολογία των (Wang, Triantaphyllou, 2005), δηλαδή οι τιµές των εναλλακτικών µειώθηκαν κατά µία µονάδα, µε ελάχιστη τελική τιµή τη µονάδα. Ο Πίνακας 20 παρουσιάζει τις αντικαταστάσεις τιµών που έλαβαν χώρα, σε κάθε επίπεδο κατωφλίου. Πίνακας 20 : Αντικατάσταση εναλλακτικών ανά επίπεδο κατωφλίου 0,85 0,75 0,

66 Ο Πίνακας 21 παρουσιάζει τα αποτελέσµατα µετά τις παραπάνω αντικαταστάσεις. Πίνακας 21 : Αποτελέσµατα ELECTREII µε υποκριτήρια, µετά από αντικαταστάσεις 0,85 = 3 = 3 = 2 = 2 = 2 0,75 = 4 = 2 = 1 = 2 = 3 0,65 = 2 = 2 = 2 = 2 = 4 ιαπιστώνεται ότι, ανεξαρτήτως επιπέδου του κατωφλίου, τα αποτελέσµατα των αντικαταστάσεων δεν διαφοροποιούν την επιλογή των εναλλακτικών που βρίσκονται στην κορυφή της κατάταξης. Συµπεραίνεται ότι η µέθοδος ELECTREII µε υποκριτήρια φαίνεται να καλύπτει το πρώτο κριτήριο ελέγχου που έθεσαν οι (Wang, Triantaphyllou, 2005) Η µέθοδος ELECTRE III Αν και οι µέθοδοι ELECTRE I και II χρησιµοποιήθηκαν εκτενώς και µε επιτυχία, διαπιστώθηκε ότι δεν ήταν απαλλαγµένες προβληµάτων. Τα σηµαντικότερα εντοπίστηκαν στη διαδικασία απόδοσης τιµών για τις επιδόσεις των εναλλακτικών, καθώς οι εκτιµήσεις των αναλυτών θεωρούνταν αβέβαιες, ανακριβείς ή και ελλιπώς καθορισµένες, κυρίως διότι συχνά τα σχετικά µε ένα πρόβληµα δεδοµένα ήταν από τη φύση τους ασαφή. Η ασάφεια αυτή αντιµετωπίστηκε ιστορικά µε τη χρήση στατιστικών κατανοµών ώστε να εκτιµηθεί η διασπορά των πιθανών τιµών των εναλλακτικών υπό συγκεκριµένα κριτήρια. Ακολουθούσε ο υπολογισµός της αναµενόµενης αξίας για το κριτήριο υπό εξέταση, µε χρήση µιας συνάρτησης χρησιµότητας (Roy & Vanderpooten, 1996; Almeida, 2002) Μια διαφορετική προσέγγιση της αβεβαιότητας για τις τιµές των εναλλακτικών προτάθηκε µε την ανάπτυξη της µεθόδου ELECTRE III από τους (Roy, 1978; Roy et al. 1986). Η νέα µέθοδος σχεδιάστηκε ώστε να αντιµετωπίζει τα προβλήµατα ανακρίβειας, ασάφειας, αβεβαιότητας και ελλιπούς καθορισµού των δεδοµένων της ELECTRE II (Roy & Vanderpooten, 1996; Figueira, Mousseau, Roy, 2005) και χρησιµοποιήθηκε σε προβλήµατα κατάταξης όπως και η προκάτοχός της. Στοιχεία της µεθόδου χρησιµοποιήθηκαν και στην ανάπτυξη της ELECTRE Is, παραλλαγής της ELECTRE I. -58-

67 Συγκρινόµενη µε την προκάτοχό της, η ELECTRE III παρουσιάζει δύο νέα χαρακτηριστικά (Roy & Vincke, 1984; Vincke, 1992): την έννοια του ψευδοκριτηρίου, µε χρήση των κατωφλίων προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο v, τα οποία επιτρέπουν την κατάταξη σε διαστήµατα αντί σε σηµεία τη χρήση µιας ασαφούς σχέσης υπεροχής σε αντίθεση µε το µοντέλο προτίµησης της ELECTRE II το οποίο περιείχε δύο ξεκάθαρες σχέσεις υπεροχής. Όπως και στις προηγούµενες µεθόδους, χρησιµοποιούνται συγκεκριµένοι έλεγχοι συµφωνίας και ασυµφωνίας για τον προσδιορισµό µιας εκτίµησης των σχέσεων µεταξύ δύο εναλλακτικών. Σε αυτούς αξιοποιούνται τα ψευδοκριτήρια που εκφράζουν την προσέγγιση της µεθόδου στο πρόβληµα της ασάφειας των τιµών των εναλλακτικών. Οι έλεγχοι επικυρώνονται µε τον υπολογισµό του δείκτη αξιοπιστίας σ(α,b) ή S(α,b) ο οποίος επαληθεύει την µερική ή ολική ισχύ της πρότασης «η εναλλακτική είναι τουλάχιστο όσο καλή όσο η εναλλακτική,». Για την τελική αξιολόγηση ο αποφασίζων καλείται να επιλέξει και την τιµή του ορίου αποκοπής το οποίο χρησιµοποιείται στη σύγκριση µε το δείκτη αξιοπιστίας και επηρεάζει την αυστηρότητα της τελικής αξιολόγησης. Σηµαντική προσθήκη είναι η έννοια του κατωφλίου veto το οποίο χρησιµοποιείται στη διαδικασία του προσδιορισµού του δείκτη ασυµφωνίας και είναι σε θέση να απορρίψει την πρόταση. Το κατώφλι αδιαφορίας είναι η µέγιστη διαφορά b-a δύο εναλλακτικών κάτω από την οποία η πρόταση ισχύει µε βεβαιότητα. Το κατώφλι προτίµησης είναι η ελάχιστη διαφορά δύο εναλλακτικών πάνω από την οποία δεν ισχύει η πρόταση. Τέλος, η πρόταση είναι δυνατό να απορριφθεί όταν η εναλλακτική υπολείπεται της κατά το κατώφλι βέτο έστω και σε ένα µόνο κριτήριο, ακόµη και εάν υπερέχει στα υπόλοιπα. Οι τιµές των κατωφλίων ορίζονται έτσι ώστε 0. Σύµφωνα µε τα παραπάνω οι δυνατές εκτιµήσεις µεταξύ δύο εναλλακτικών και υπό ένα κριτήριο είναι: > : ισχυρή προτίµηση της α έναντι της b < : ασθενής προτίµηση της α έναντι της b : αδιαφορία µεταξύ των α και b > : η α δεν προτιµάται έναντι της b -59-

68 Το Σχήµα 1 παρουσιάζει τις σχέσεις των δύο εξεταζόµενων µεταβλητών σε σύγκριση µε τα κατώφλια στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. -v -p -q 0 q p v Σχήµα 1 - Συγκρίσεις της διαφοράς (α-b) µε τα αντίστοιχα κατώφλια Τα βήµατα της µεθόδου ELECTRE III Η µέθοδος ELECTRE III δεν πάσχει από την αδυναµία των πρώτων δύο µεθόδων στην αντιµετώπιση διαφορετικής κλίµακας στις τιµές των χαρακτηριστικών και συνεπώς δεν είναι απαραίτητη η οµαλοποίηση των τιµών του αρχικού πίνακα απόφασης. Κατά τα λοιπά, η διαδικασία επίλυσης προσοµοιάζει αυτές των προηγούµενων µεθόδων: 1. Καθορίζεται ένας πίνακας υπεροχής m εναλλακτικών, n κριτηρίων και βαρών 2. Επιλέγονται οι τιµές των κατωφλίων προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο για κάθε κριτήριο. Επίσης καθορίζεται ο επιθυµητός συντελεστής απόκλισης από το µέγιστο όριο αποκοπής max 3. Υπολογίζεται ο πίνακας συµφωνίας µε βάση τον τύπο: (9), =,, όπου = όπου είναι το βάρος του κριτηρίου και, είναι o βαθµός συµφωνίας των εναλλακτικών και ως προς το κριτήριο όπως ορίζεται σε τρεις περιπτώσεις:, = 0 < < (10) 1 4. Ορίζεται ο δείκτης ασυµφωνίας, ξεχωριστά για κάθε κριτήριο και κάθε ζεύγος εναλλακτικών, :, = 0 < < (11) 1-60-

69 5. Υπολογίζονται οι βαθµοί αξιοπιστίας, :, =,,,,,, ώ, (12) όπου το, είναι το σύνολο των κριτηρίων στα οποία, >,. 6. Εξάγεται ο Πίνακας Αξιοπιστίας.,,,,,, =,,, 7. Για την τελική αποδοχή της αξιοπιστίας µιας σχέσης ο συντελεστής αξιοπιστίας, οφείλει να καλύπτει ένα όριο αποκοπής [0.5,, ] το οποίο είτε επιλέγεται σε αυτό το στάδιο από τον αποφασίζοντα είτε προσδιορίζεται έµµεσα στην αρχή της διαδικασίας ως δηλαδή η µέγιστη επιθυµητή απόκλιση από τη µεγαλύτερη τιµή του δείκτη αξιοπιστίας [, ]. Τονίζεται ότι µεγάλες τιµές του ή αντίστοιχα µικρές τιµές του καταλήγουν σε αυστηρότερη αξιολόγηση των εναλλακτικών. Μετά τη σύγκριση των στοιχείων του πίνακα αξιοπιστίας µε το όριο αποκοπής διαµορφώνεται ο τελικός πίνακας υπεροχής µε τιµές: 1,, = (13) 0 ά 8. Εφαρµόζεται η διαδικασία της απόσταξης µε χρήση της ανοδικής και καθοδικής κατάταξης από τις οποίες προκύπτει η τελική κατάταξη των λύσεων. (Hokkanen & Salminen, 1997; Li, Wang, 2007). Η ELECTREIII αξιοποιεί ασαφή όρια για τις συγκρίσεις των εναλλακτικών, σε αντίθεση µε τον απόλυτο διαχωρισµό των προηγούµενων µεθόδων. Κατά συνέπεια, η µέθοδος επιχειρεί την κατάταξη των εναλλακτικών µε γνώµονα τη σχετική θέση των εναλλακτικών σε κάποιο επίπεδο ανάλυσης, και επιχειρεί την κατάταξή τους σε κλάσεις. Η διαδικασία απόσταξης διαφοροποιείται της ELECTREII λαµβάνοντας υπόψη την ασαφή φύση των δεδοµένων εισόδου. Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE IΙΙ Για την καλύτερη κατανόηση της µεθόδου εφαρµόζεται η διαδικασία στα δεδοµένα του παραδείγµατος της µεθόδου ELECTRE Iv. Υπενθυµίζεται ότι το κριτήριο απο- -61-

70 τελεί κριτήριο κόστους και οι τιµές που εµφανίζονται είναι οι αρνητικές των αρχικών. Οι απαραίτητες προσθήκες αφορούν τα κατώφλια προτίµησης και αποκοπής όπως παρουσιάζονται στον πίνακα Πίνακας 22: Στοιχεία Προβλήµατος ELECTRE III Βάρη Κατώφλια συµφωνίας Κατώφλια ασυµφωνίας Κατώφλια βέτο Οι µερικοί δείκτες συµφωνίας για τη σχέση υπολογίζονται ξεχωριστά για κάθε κριτήριο σύµφωνα µε τον τύπο (10) ως εξής: = => = 0.40, καθώς στο κριτήριο, = = 50 και < 2 1 < 20 < 50 < 70. Εποµένως, για τον υ- πολογισµό του, χρησιµοποιείται ο τύπος = => = 0,40 = 1, καθώς στο κριτήριο, = 3 3 = 0 < = 1 = 1, καθώς στο κριτήριο, = 1 2 = 1 < = 1 = 1, καθώς στο κριτήριο, = 2 2 = 0 < = 1 Υπολογίζεται ο καθολικός δείκτης συµφωνίας,, = = Μετά την εκτέλεση των υπολογισµών για τα υπόλοιπα κριτήρια και εναλλακτικές, σχη- µατίζεται ο ακόλουθος Πίνακας Συµφωνίας: -62-

71 Πίνακας 23: Πίνακας Συµφωνίας Ακολουθεί ο υπολογισµός των δεικτών ασυµφωνίας για κάθε κριτήριο. Η µέθοδος υπολογισµού του δείκτη, :, = 0, καθώς στο κριτήριο, = = 50 < = 70, = 0, καθώς στο κριτήριο, = = 50 < = 70, = 0.375, καθώς στο κριτήριο, = = 100, και < < 70 < 100 < 150 οπότε ο συντελεστής ασυµφωνίας για τη σχέση, στο κριτήριο, υπολογίζεται από τον τύπο, = => = 0.375, = 0.375, καθώς στο κριτήριο, = = 100, και < < 70 < 100 < 150 οπότε ο συντελεστής ασυµφωνίας για τη σχέση, στο κριτήριο, υπολογίζεται από τον τύπο, = => = , = 1, καθώς στο κριτήριο, = = 200 > = 150, δηλαδή το κριτήριο ασκεί βέτο στην υπεροχή της έναντι της. Με αντίστοιχο τρόπο, εκτελούνται οι υπολογισµοί για κάθε κριτήριο και δηµιουργείται ο αντίστοιχος πίνακας ασυµφωνίας: -63-

72 Πίνακας 24: Πίνακας Ασυµφωνίας Κριτηρίου Πίνακας 25: Πίνακας Ασυµφωνίας Κριτηρίου Πίνακας 26: Πίνακας Ασυµφωνίας Κριτηρίου Πίνακας 27: Πίνακας Ασυµφωνίας Κριτηρίου Υπολογίζονται οι βαθµοί αξιοπιστίας των σχέσεων σύµφωνα µε τον τύπο του συντελεστή αξιοπιστίας. Για τις εναλλακτικές και δεν εµφανίζεται ασυµφωνία στον ισχυρισµό, συνεπώς, = Για τις εναλλακτικές και εµφανίζεται δείκτης ασυµφωνίας στο κριτήριο. Καθώς η τιµή του δείκτη, = είναι µικρότερη του συντελεστή συµφωνίας των δύο εναλλακτικών, = 0.67 ο δείκτης αξιοπιστίας, ισούται µε το δείκτη συµφωνίας, = Τέλος, για τις εναλλακτικές και, υπάρχει ισχυρότατη ασυµφωνία στο κριτήριο, καθώς, = 1 >, = Ο υπολογισµός του δείκτη αξιοπιστίας γίνεται από τον τύπο, =,,,, = 0,67, = 0-64-

73 ηλαδή, εάν ο δείκτης ασυµφωνίας µεταξύ δύο εναλλακτικών και λάβει τη µέγιστη δυνατή τιµή 1, τότε αναιρείται η αξιοπιστία της σχέσης και ο δείκτης αξιοπιστίας:, µηδενίζεται. Εφαρµόζοντας τα παραπάνω για όλες τις συγκρίσεις, δηµιουργείται ο Πίνακας 28 των δεικτών αξιοπιστίας: Πίνακας 28: είκτες Αξιοπιστίας Ο βαθµός αξιοπιστίας της σχέσης για κάθε ζεύγος εναλλακτικών συγκρίνεται µε τον επιθυµητό βαθµό αξιοπιστίας που καθορίζει ο αποφασίζων. Από τον πίνακα αξιοπιστίας διαπιστώνεται ότι =, = 1. Εισάγεται κατώφλι διάκρισης, = 0.20, το οποίο προσδιορίζει ως αποδεκτούς µόνο τους δείκτες αξιοπιστίας για τους οποίους ισχύει, = 0,8. Με βάση την τιµή αυτή δια- µορφώνεται ο τελικός πίνακας υπεροχής ως εξής: Πίνακας 29 : Πίνακας Υπεροχής

74 Η διαδικασία απόσταξης στην ELECTRE III Η διαδικασία απόσταξης διατηρεί την εφαρµογή δύο ολοκληρωµένων κατατάξεων (ανοδική και καθοδική), ακολουθεί όµως διαφορετική µεθοδολογία, η οποία προσεγγίζει καλύτερα τον ασαφή διαχωρισµό µεταξύ των αξιολογήσεων των εναλλακτικών. Για τον υπολογισµό των δύο κατατάξεων αξιοποιείται ο πίνακας υπεροχής και προσδιορίζεται ο αριθµός των εναλλακτικών έναντι των οποίων κάθε εναλλακτική υπερέχει και ο αριθµός των εναλλακτικών έναντι των οποίων υπολείπεται. Κριτήριο για την επιλογή αποτελεί η διαφορά µεταξύ των δύο αυτών αριθµών. Στην καθοδική κατάταξη επιλέγεται πρώτα και αφαιρείται από το σύνολο η εναλλακτική η οποία παρουσιάζει τη µέγιστη διαφορά, ενώ η διαδικασία επαναλαµβάνεται γι τις υπόλοιπες εναλλακτικές. Στην ανοδική κατάταξη, επιλέγεται πρώτα και αφαιρείται από το σύνολο η εναλλακτική στην οποία η διαφορά των δύο αριθµών εµφανίζεται ελάχιστη, ενώ η διαδικασία επαναλαµβάνεται για τις εναποµένουσες εναλλακτικές. Ο Πίνακας 30 παρακολουθεί τα βήµατα της διαδικασίας απόσταξης για την καθοδική κατάταξη. Πίνακας 30 : Καθοδική ταξινόµηση ELECTRE III Υπερέχει Υπολείπεται Βήμα 1 Βήμα 2 Βήµα 3, Επιλογή, Ενδεικτικά, από τον πίνακα υπεροχής διαπιστώνεται ότι η εναλλακτική υπερέχει των και, ενώ υπολείπεται των,, και. Η διαφορά της καταµέτρησης είναι 2 4 = 2, τιµή που αποτελεί το βαθµό της εναλλακτικής στο πρώτο βήµα της καθοδικής κατάταξης. Εκτελώντας τους υπολογισµούς, διαπιστώνεται ότι η εναλλακτική συγκεντρώνει τη µεγαλύτερη βαθµολογία, συνεπώς επιλέγεται στο πρώτο βήµα και εξαιρείται από τη συνέχιση της διαδικασίας. Στο δεύτερο βήµα επιλέγονται οι -66-

75 εναλλακτικές και. Η µεταξύ τους σύγκριση οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι εναλλακτικές αυτές είναι ισοδύναµες και συνεπώς κατατάσσονται από κοινού στην επόµενη κλάση της ταξινόµησης. Στο τελευταίο βήµα επιλέγονται οι εναλλακτικές, και, ενώ η µεταξύ τους σύγκριση τις τοποθετεί από κοινού στη τελευταία κλάση της ταξινόµησης. Το τελικό αποτέλεσµα της καθοδικής ταξινόµησης είναι > = > = = Ο Πίνακας 31 παρακολουθεί τα βήµατα της διαδικασίας απόσταξης για την ανοδική κατάταξη. Πίνακας 31 : Ανοδική ταξινόµηση ELECTRE III Υπερέχει Υπολείπεται Βήμα 1 Βήμα 2 Βήµα 3, Επιλογή,,, Ενδεικτικά, από τον πίνακα υπεροχής διαπιστώνεται ότι η εναλλακτική υπερέχει των και, ενώ υπολείπεται των,, και. Η διαφορά της καταµέτρησης είναι 2 4 = 2, τιµή που αποτελεί τον ελάχιστο βαθµό στο πρώτο βήµα της καθοδικής κατάταξης. Συνεπώς η εναλλακτική τοποθετείται στην τελευταία κλάση της κατάταξης και εξαιρείται από τη συνέχιση της διαδικασίας. Στο δεύτερο βήµα επιλέγονται οι εναλλακτικές, και. Η µεταξύ τους σύγκριση οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οι εναλλακτικές αυτές είναι ισοδύναµες και συνεπώς κατατάσσονται από κοινού στην ε- πόµενη κλάση της ταξινόµησης. Στο τελευταίο βήµα επιλέγονται οι εναλλακτικές και, ενώ η µεταξύ τους σύγκριση τις τοποθετεί από κοινού στη κορυφαία κλάση της ταξινόµησης. Το τελικό αποτέλεσµα της ανοδικής ταξινόµησης είναι = > = = > -67-

76 Ακολουθώντας τη µεθοδολογία της διαµόρφωσης της τελικής κατάταξης (Hammami, 2003) δηµιουργείται ο Πίνακας 32. Πίνακας 32 : Τελική κατάταξη ELECTRE III Καθοδική Ανοδική Τελική Άθροισµα Ταξινόµηση Ταξινόµηση Κατάταξη Η τελική κατάταξη των εναλλακτικών εµφανίζει την εναλλακτική να υπερέχει > = = > > Σηµειώνεται ότι ενώ η εναλλακτική ισοβαθµεί µε τις και, στο γράφηµα της τελικής κατάταξης τοποθετείται παράλληλα µε αυτές. Αυτό συµβαίνει διότι στην καθοδική κατάταξη υπολείπεται αυτών ενώ στην ανοδική υπερισχύει, γεγονός που δηλώνει τη µη συγκρισιµότητα της έναντι των συγκεκριµένων δύο εναλλακτικών ( ούµπος, 2007) Εναλλακτική προσέγγιση για την κατάταξη των εναλλακτικών Σύµφωνα µε τους (Wang, Triantaphyllou, 2005) η µέθοδος ELECTRE III εµφανίζει σηµαντικό µειονέκτηµα στην τελική κατάταξη των εναλλακτικών καθώς η επιλογή του κατάλληλου ορίου αποκοπής δεν είναι εύκολη για τον αποφασίζοντα, ενώ επίσης διαφορετικές τιµές του είναι δυνατό να επιφέρουν ανακατατάξεις στην τελική διάταξη των εναλλακτικών. Στην εργασία τους οι (Li & Wang, 2007) προτείνουν µια εναλλακτική µέθοδο για την τελική κατάταξη η οποία αποφεύγει την ασάφεια που σχετίζεται µε τις τιµές του. Στη νέα διαδικασία ταξινόµησης δε χρησιµοποιείται ο πίνακας υπεροχής (βήµα 7 της αρχικής ELECTRE III) και δεν εφαρµόζεται η διαδικασία απόσταξης (βήµα 8, ο.π.). -68-

77 Εισάγονται οι έννοιες του βαθµού αξιοπιστίας της συµφωνίας, του βαθµού αξιοπιστίας της ασυµφωνίας και του καθαρού βαθµού αξιοπιστίας οι οποίοι υπολογίζονται µε βάση τις τιµές του πίνακα αξιοπιστίας για κάθε εναλλακτική (όπως αυτός ορίστηκε στο βήµα 6, ο.π.) ως ακολούθως: Ο βαθµός αξιοπιστίας της συµφωνίας =,, ορίζει το βαθµό στον οποίο η εναλλακτική α υπερέχει των υπόλοιπων εναλλακτικών και προσδιορίζεται από το άθροισµα των τιµών της γραµµής της εναλλακτικής α στον πίνακα αξιοπιστίας. Ο βαθµός αξιοπιστίας της ασυµφωνίας =,, ορίζει το βαθµό στον οποίο η εναλλακτική α υπολείπεται των υπόλοιπων εναλλακτικών και προσδιορίζεται από το άθροισµα των τιµών της στήλης της εναλλακτικής α στον πίνακα αξιοπιστίας. Ο καθαρός βαθµός αξιοπιστίας = καθορίζει µια συνάρτηση αξίας στην οποία υψηλότερες τιµές ανταποκρίνονται σε υψηλότερη αξιολόγηση των εναλλακτικών. Το µέτρο αυτό αρκεί για να διαµορφωθεί µια πλήρης διάταξη των εναλλακτικών, σε αντίθεση µε τις µερικές διατάξεις που προσδιορίζονται µε βάση την αρχική µέθοδο. Ενδεικτικά για το παραπάνω αριθµητικό παράδειγµα, η εναλλακτική έχει τιµές = =3.94, = =5 και = = = 1.06 Ο Πίνακας 33 εµφανίζει τις τιµές που διαµορφώνονται για κάθε εναλλακτική µε βάση την προτεινόµενη διαδικασία: Πίνακας 33 :Καθαροί βαθµοί αξιοπιστίας Τιµή Τιµή Τιµή Από τις τιµές του πίνακα διαµορφώνεται η τελική κατάταξη των εναλλακτικών ως: > = > > > -69-

78 Στην τελική κατάταξη επισηµαίνεται η ιδιαιτερότητα της εναλλακτικής έναντι των και, η οποία και τοποθετείται στην αµέσως επόµενη κλάση αυτών. Επίσης, αντιστρέφεται η θέση των εναλλακτικών και στο τέλος της κατάταξης Η µέθοδος ELECTRE IV Η µέθοδος ELECTRE IV αναπτύχθηκε παράλληλα µε την προσπάθεια επίλυσης ενός ακόµη υπαρκτού προβλήµατος, της αξιολόγησης των πιθανών επεκτάσεων των συρµών του υπογείου στο Παρίσι το έτος Στη συγκεκριµένη περίπτωση διαπιστώθηκε δυσκολία στην απόδοση σχετικών προτιµήσεων µεταξύ των κριτηρίων του προβλήµατος. Η δυσκολία υπερνικήθηκε µε την ανάπτυξη της µεθόδου από τους (Roy & Hugonard, 1982) η οποία ενώ δεν απέδιδε την ίδια σηµασία σε όλα τα κριτήρια πέτυχε την επίλυση του προβλήµατος κατάταξης χωρίς τη χρήση ξεχωριστού βάρους για κάθε κριτήριο. Η απουσία βαρών κατά την εφαρµογή της µεθόδου αιτιολογείται µε βάση την υπόθεση της περιορισµένης εµφάνισης σύµφωνα µε την οποία κανένα µεµονωµένο κριτήριο δεν επιτρέπεται να έχει σηµασία µεγαλύτερη ή ίση από το σύνολο των µισών κατ ελάχιστο λοιπών κριτηρίων (Roy & Bouyssou, 1993). Η υπόθεση αυτή αποτρέπει την πιθανότητα να εµφανιστεί ένα κριτήριο είτε µε αµελητέα ισχύ είτε καθολικά υπερισχύον των άλλων (Τille, 2001). Στη µέθοδο εφαρµόζουν τα γνωστά από τις προηγούµενες µεθόδους κατώφλια βέτο, ισχυρής προτίµησης και αδιαφορίας, όπου 0. Η σχέση µεταξύ δύο εναλλακτικών, καθορίζεται συγκρίνοντας τη διαφορά των τιµών ) διαδοχικά για κάθε κριτήριο µε τις τιµές των κατωφλίων στο κριτήριο υπό εξέταση. Ο Πίνακας 34 παρουσιάζει τα δυνατά αποτελέσµατα της σύγκρισης. Με το σύµβολο δηλώνεται η δυνατότητα της εναλλακτικής να θέσει βέτο στην υπεροχή της όταν η πρώτη υπερέχει της δεύτερης τουλάχιστο κατά το κατώφλι βέτο. Πίνακας 34 : Συγκρίσεις της διαφοράς (a-b) µε τα αντίστοιχα κατώφλια -v -p -q 0 q p v Για την εφαρµογή της µεθόδου είναι απαραίτητοι οι παρακάτω ορισµοί (Tille, 2001): -70-

79 , ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική παρουσιάζει ισχυρή προτίµηση έναντι της <, ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική παρουσιάζει αδύναµη προτίµηση έναντι της <., ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική θεωρείται αδιάφορη της αλλά η a έχει καλύτερη τιµή από τη 0 <., =, ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία οι εναλλακτικές και έχουν ίσες τιµές, ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική θεωρείται αδιάφορη της αλλά η έχει καλύτερη τιµή από τη < 0., ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική παρουσιάζει αδύναµη προτίµηση έναντι της <, ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η εναλλακτική παρουσιάζει ισχυρή προτίµηση έναντι της < Το άθροισµα των επτά παραπάνω δεικτών δίνει τον αριθµό των κριτηρίων. Η αξιολόγηση των εναλλακτικών µπορεί να καταλήξει στις ακόλουθες µορφές κυριαρχίας (Matos, 2005; Moreira, 2007): Quasi-dominance (1.0) ισχύει η σχέση αν o για κάθε κριτήριο, η εναλλακτική προτιµάται της ή είναι αδιάφορη έναντι αυτής ενώ ταυτόχρονα o ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η απόδοση της είναι καλύτερη από αυτή της (η παραµένει αδιάφορη της ) είναι µικρότερος από τον α- ριθµό των κριτηρίων στα οποία η απόδοση της είναι καλύτερη από αυτή της, +, = 0, 1 +, +, +, Canonic-dominance (0.8) ισχύει η σχέση αν ταυτόχρονα o για κανένα κριτήριο η δεν προτιµάται ισχυρά σε σχέση µε την o ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η προτιµάται ασθενώς έναντι της είναι µικρότερος ή ίσος µε τον αριθµό των κριτηρίων στα οποία η προτιµάται ισχυρά έναντι της -71-

80 o ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η απόδοση της είναι καλύτερη από τη απόδοση της είναι αυστηρώς µικρότερος από τον αριθµό των κριτηρίων στα οποία η απόδοση της είναι καλύτερη από αυτή της, = 0,,, +, 1 +, +, +, Pseudo-dominance (0.6) ισχύει η σχέση αν o για κανένα κριτήριο η δεν προτιµάται ισχυρά σε σχέση µε την και ταυτόχρονα o ο αριθµός των κριτηρίων στα οποία η προτιµάται ασθενώς σε σχέση µε την είναι µικρότερος ή ίσος από τον αριθµό των κριτηρίων στα οποία η προτιµάται είτε ισχυρά είτε ασθενώς από τη, = 0,, +, Sub-dominance (0.4) Ένα ζεύγος εναλλακτικών λύσεων, λέµε ότι έχει σχέση sub-dominance αν o για κανένα κριτήριο η εναλλακτική δεν έχει ισχυρή προτίµηση έναντι της., = 0 Veto-dominance (0.2) - ισχύει η σχέση αν o είτε για κανένα κριτήριο η δεν προτιµάται ισχυρά έναντι της ή o όταν υπάρχει µόνο ένα κριτήριο στο οποίο η εναλλακτική προτιµάται µεν ισχυρά έναντι της αλλά σε βαθµό µικρότερο από το κατώφλι βέτο (, όµως όχι ) και ακόµη η προτιµάται ισχυρά έναντι της στα µισά τουλάχιστον κριτήρια, = 0, = 1, όπου <,, /2-72-

81 Τα βήµατα της µεθόδου ELECTRE IV Η διαδικασία εφαρµογής της µεθόδου δεν προϋποθέτει οµαλοποίηση των τιµών των εναλλακτικών σε ενιαία κλίµακα, ενώ από το σχεδιασµό της η ELECTRE IV είναι α- παλλαγµένη της χρήσης βαρών. Συνεπώς τα βήµατα της µεθόδου συνοψίζονται στα α- κόλουθα: 1. Καθορισµός του πίνακα υπεροχής εναλλακτικών και κριτηρίων 2. Επιλογή των τιµών των κατωφλίων προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο για κάθε κριτήριο. 3. Υπολογισµός των µορφών κυριαρχίας για τα ζεύγη των εναλλακτικών. 4. ιαµόρφωση του πίνακα αξιοπιστίας µε τις τιµές των µορφών κυριαρχίας των ζευγών. 5. Εφαρµογή της διαδικασίας απόσταξης και προσδιορισµός της τελικής κατάταξης Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE IV Ο Πίνακας 35 περιέχει τις επιδόσεις των εναλλακτικών και τις τιµές των κατωφλίων προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο. Όλα τα κριτήρια είναι ωφέλειας, δηλαδή υψηλότερες τιµές των εναλλακτικών οδηγούν σε καλύτερη αξιολόγησή τους. Πίνακας 35: εδοµένα παραδείγµατος ELECTRE IV p q v Ενδεικτικά για τις εναλλακτικές και υπό τα 5 κριτήρια υπολογίζεται ότι -73-

82 = συνεπώς,,,,,,,, άρα ισχύουν οι κανόνες της σχέσης :, = 0, = 1 3 =,, +, = 2 4 = 1 +, +, +,, και η τιµή του πίνακα αξιοπιστίας στη θέση, λαµβάνει την τιµή 0,8 της σχέσης Canonic Dominance. Εφαρµόζοντας τη διαδικασία υπολογισµού για τα υπόλοιπα ζεύγη εναλλακτικών προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αξιοπιστίας. Πίνακας 36: Πίνακας Αξιοπιστίας Οι διαδικασίες αύξουσας και φθίνουσας κατάταξης κατά την εφαρµογή της απόσταξης δίνουν το αυτό αποτέλεσµα που οδηγεί στην τελική κατάταξη: > > > -74-

83 Εναλλακτική προσέγγιση για την κατάταξη των εναλλακτικών Η µέθοδος ELECTRE IV σχεδιάστηκε να λειτουργεί χωρίς βάρη στα κριτήρια επιλογής, και αποδίδει χωρίς να είναι απαραίτητη η παρουσίαση των επιδόσεων των εναλλακτικών σε κοινή κλίµακα. Επίσης είναι απαλλαγµένη από τη χρήση του τελεστή (ELECTRE II) ή του ορίου αποκοπής (ELECTRE III). Η διαδικασία της µεθόδου χρησιµοποιεί τον πίνακα αξιοπιστίας ο οποίος, όπως και στις προηγούµενες δύο µεθόδους, παραµένει µη συµµετρικός οδηγώντας στην ανάγκη δηµιουργίας δύο µερικών διατάξεων αύξουσας και φθίνουσας κατάταξης προ της διαµόρφωσης της τελικής κατάταξης. Στην εργασία του ο (Moreira, 2007) παρακάµπτει το τελευταίο βήµα της µεθόδου και αποφεύγει τη χρήση της διαδικασίας απόσταξης. Ο πίνακας αξιοπιστίας µετατρέπεται απευθείας σε ένα πίνακα υπεροχής των ζευγών των εναλλακτικών ο οποίος µάλιστα είναι αντίθετα συµµετρικός για τις περιπτώσεις όπου εµφανίζεται κάποια µορφή κυριαρχίας µιας εναλλακτικής έναντι µιας εναλλακτικής. Η διάταξη των εναλλακτικών στον νέο πίνακα υπεροχής είναι απόλυτη και µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για την τελική κατάταξη των εναλλακτικών. Η διαδικασία για τη µετατροπή προϋποθέτει τον προσδιορισµό µιας νέας σχέσης κυριαρχίας εκ τριών δυνατών περιπτώσεων. Η σχέση µεταξύ δύο εναλλακτικών (, χαρακτηρίζεται ως κυρίαρχη > εάν η διαφορά της τιµής αξιοπιστίας, από την τιµή αξιοπιστίας (, του πίνακα αξιοπιστίας είναι θετική,, > 0 ισοδυναµίας = εάν η διαφορά της τιµής αξιοπιστίας, από την τιµή αξιοπιστίας (, του πίνακα αξιοπιστίας είναι µηδενική,, = 0 υπολειπόµενη < εάν η διαφορά της τιµής αξιοπιστίας, από την τιµή αξιοπιστίας (, του πίνακα αξιοπιστίας είναι αρνητική,, < 0 Ο πίνακας υπεροχής δηµιουργείται µε βάση τη νέα αξιολόγηση των ζευγών των εναλλακτικών. Γίνεται καταµέτρηση των τριών µορφών κυριαρχίας για κάθε εναλλακτική και ταξινόµηση των εναλλακτικών κατά φθίνουσα σειρά µε κριτήριο τον αριθµό µορφών κυριαρχίας της κάθε εναλλακτικής. Με βάση τα παραπάνω, τα δεδοµένα του παραδείγµατος της µεθόδου ELECTRE IV που παρουσιάστηκε παραπάνω διαµορφώνουν τον ακόλουθο πίνακα κυριαρχίας -75-

84 Πίνακας 37 : Πίνακας κυριαρχίας > = < = > > < < = > = < < = < > = > = Ενδεικτικά για τη θέση,, η διαφορά,, = 0,8 0 = 0,8 δίνει θετικό αποτέλεσµα άρα η χαρακτηρίζεται ως κυρίαρχη έναντι της. Η καταµέτρηση των σχέσεων κυριαρχίας δίνει ισοβαθµία στις εναλλακτικές και, όµως η τελευταία υπερέχει στον αριθµό σχέσεων ισοδυναµίας. Συνεπώς, η τελική κατάταξη παρα- µένει: > > > Η µέθοδος ELECTRE TRI Η µέθοδος ELECTRE TRI προτάθηκε από τον Yu (1992) και σχεδιάστηκε µε σκοπό να διευκολύνει στην αποτίµηση της εσωτερικής αξίας κάθε εναλλακτικής κατατάσσοντάς την σε προκαθορισµένες κατηγορίες (πρόβληµα ταξινόµησης) µέσα από µια διαδικασία φιλτραρίσµατος. Εναλλακτικά για το πρόβληµα της ταξινόµησης οι (Moscarola & Roy, 1977) είχαν νωρίτερα προτείνει την αξιοποίηση δέντρων απόφασης µέσω µιας διαδικασίας κατακερµατισµού (segmentation) (Roy, Vanderpooten, 1996). H µέθοδος αποτελεί προσαρµογή της ELECTRE III σε προβλήµατα διακριτής ταξινόµησης. Οι κατηγορίες της ταξινόµησης ορίζονται κατά διατεταγµένο τρόπο από την βέλτιστη προς την λιγότερο επιθυµητή, ενώ κάθε κατηγορία διαχωρίζεται από τις υπόλοιπες µε βάση µια εικονική εναλλακτική δραστηριότητα-όριο η οποία ονοµάζεται πρότυπο αναφοράς (reference profile). Η σύγκριση κάθε εναλλακτικής δραστηριότητας µε τα πρότυπα αναφοράς οδηγεί στην ταξινόµηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων στις προκαθορισµένες κατηγορίες. Η πραγµατοποίηση της σύγκρισης αυτής βασίζεται σε ελέγχους συµφωνίας και ασυµφωνίας που προέρχονται από την µεθοδολογία της ELECTRE III. -76-

85 Οι κατηγορίες,,,, στη µέθοδο ELECTRE TRI καθορίζονται από τα πρότυπα,,,. Το πρότυπο είναι το άνω όριο της κατηγορίας και το κάτω όριο της κατηγορίας, για h = 1, 2,,. Στη µέθοδο εµφανίζονται επίσης τα θεωρητικά όρια και τα οποία καθορίζουν τις ακραίες τιµές για το σύνολο των κατηγοριών, έτσι ώστε > και >, για κάθε τιµή της εναλλακτικής η οποία εξετάζεται υπό το κριτήριο. Για να χαρακτηριστούν συνεπείς οι κατηγορίες, τα πρότυπα οφείλουν να πληρούν τις παρακάτω συνθήκες (Mousseau, Slowinski, Zielniewicz): Οι κατηγορίες οφείλουν να είναι διατεταγµένες, µε σειρά από την βέλτιστη στην λιγότερο επιθυµητή. ιαφορετικά, η εφαρµογή της µεθόδου είναι αδύνατη. Καµία εναλλακτική δεν είναι δυνατό να είναι αδιάφορη σε περισσότερο από ένα πρότυπο. Η κατάσταση και σηµαίνει ότι η κατηγορία που καθορίζεται από τα πρότυπα και είναι «ανεπαρκώς ευρεία». Η πρόταση αυτή είναι επαρκής συνθήκη για την προηγούµενη. Σηµαντικές προσπάθειες έχουν γίνει για την ανάπτυξη µεθόδων προσδιορισµού των προτύπων µε βάση τις διαθέσιµες εναλλακτικές ή µέσω αλληλεπιδραστικών µεθόδων µε βάση τις αξιολογήσεις εναλλακτικών υπό την κρίση του αποφασίζοντα (Bouyssou, Marchant, 2005; Dias, Mousseau, 2004; Dias et al, 2002; Mousseau, 2003). Η επίλυση ενός προβλήµατος ταξινόµησης µε τη µέθοδο ELECTRE TRI φέρει οµοιότητες µε τη µέθοδο ELECTRE III, καθώς χρησιµοποιούνται τα κατώφλια προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο. Εκτελούνται υπολογισµοί δεικτών µερικής και γενικής συµφωνίας και ασυµφωνίας µε βάση τους οποίους εκτιµάται ένας δείκτης αξιοπιστίας,. Η διαφοροποίηση έναντι των προηγούµενων µεθόδων είναι ότι η σύγκριση δεν γίνεται πλέον µεταξύ εναλλακτικών αλλά µεταξύ εναλλακτικών και προτύπων. Στη διαδικασία ταξινόµησης χρησιµοποιείται το όριο αποκοπής, το οποίο αποτελεί ένδειξη του ποσοστού των κριτηρίων που οφείλει να καλύπτει µια εναλλακτική ώστε να τοποθετηθεί σε µια συγκεκριµένη κατηγορία. Για παράδειγµα, εάν = 0,75 τότε τα ¾ των τιµών µιας εναλλακτικής υπό το εξεταζόµενο κριτήριο οφείλουν να ανταποκρίνονται στις ελάχιστες τιµές του προτύπου που καθορίζει το κάτω όριο µιας κατηγορίας (Gomez et al, 2007). -77-

86 Σε αντίθεση µε άλλες µεθόδους, η ELECTRE TRI υποστηρίζει την οµαδοποίηση των εναλλακτικών σε περισσότερες από δύο κατηγορίες. Επίσης, επιτρέπει την ταξινό- µηση των υποψηφίων ενσωµατώνοντας προτιµησιακά δεδοµένα. Τέλος, δέχεται τις έννοιες της µη συγκρισιµότητας και της µη µεταβατικότητας στην διαδικασία της σύγκρισης των υποψηφίων µε τα πρότυπα αναφοράς, σε µια διαδικασία εποπτικά εύκολα αντιληπτή από τον αποφασίζοντα (Ματσασίνης). Αναλυτικά τα βήµατα της µεθόδου έχουν ως εξής: 1. Καθορισµός των προτύπων µε βάση τα οποία θα γίνει η ταξινόµηση σε κάθε κριτήριο. 2. Καθορισµός των κατωφλίων προτίµησης, αδιαφορίας και βέτο για κάθε κριτήριο. 3. Υπολογισµός των δεικτών µερικής συµφωνίας, και,, κατά τους οποίους συγκρίνονται οι εναλλακτικές µε τα πρότυπα αναφοράς. Ο δείκτης συµφωνίας, αξιολογεί την πρόταση «η εναλλακτική είναι τουλάχιστο τόσο καλή όσο το πρότυπο στο κριτήριο». Οι δείκτες µερικής συµφωνίας υπολογίζονται κατά περίπτωση από τις σχέσεις (Mousseau, Slowinski, Zielniewicz) : Εάν το κριτήριο είναι ωφέλειας : 0, = < (14), = 1 < 0 < (15) 1 < Εάν το κριτήριο είναι κόστους, οι παραπάνω τύποι αντιστρέφονται ως εξής: 0, = < (16), = 1 < 0 < (17) 1 < -78-

87 όπου και εκφράζουν αντίστοιχα το κατώφλι προτίµησης και το κατώφλι α- διαφορίας για το κριτήριο υπό το οποίο γίνεται η σύγκριση της εναλλακτικής και του προτύπου. 4. Υπολογισµός των καθολικών δεικτών συµφωνίας. Ο καθολικός δείκτης συµφωνίας, εκφράζει την ισχύ της πρότασης «η εναλλακτική είναι τουλάχιστον τόσο καλή όσο το πρότυπο σε όλα τα κριτήρια» και προσδιορίζεται από τον τύπο:, =, (18) όπου το βάρος του κριτηρίου και ο αριθµός των κριτηρίων. Αντίστοιχα, ο καθολικός δείκτης συµφωνίας, εκφράζει την ισχύ της πρότασης «το πρότυπο είναι τουλάχιστον τόσο καλό όσο η εναλλακτική σε όλα τα κριτήρια» και προσδιορίζεται από τον τύπο:, =, (19) όπου το βάρος του κριτηρίου και ο αριθµός των κριτηρίων. 5. Υπολογισµός των δεικτών ασυµφωνίας, και,. Ο δείκτης ασυµφωνίας, εκφράζει την αντίθεση στην πρόταση «η εναλλακτική α είναι τουλάχιστον τόσο καλή όσο το πρότυπο υπό το κριτήριο»: Εάν το κριτήριο είναι ωφέλειας χρησιµοποιούνται οι τύποι: 0 <, = < (20), = 1 0 < (21) 1 < Εάν το κριτήριο είναι κόστους, οι παραπάνω τύποι τροποποιούνται ως εξής: 0, = < (22) 1 < -79-

88 , = 0 < < (23) 1 όπου και εκφράζουν αντίστοιχα το κατώφλι προτίµησης και το κατώφλι βέτο για το κριτήριο υπό το οποίο γίνεται η σύγκριση της εναλλακτικής και του προτύπου. 6. Υπολογισµός των δεικτών αξιοπιστίας, και,, µε βάση τις ακόλουθες παραδοχές: όταν κανένα κριτήριο δεν είναι σε ασυµφωνία (, = 0, ), η αξιοπιστία της σχέσης υπεροχής, εξισώνεται µε το δείκτη συµφωνίας όταν έστω και ένα κριτήριο σε ασυµφωνία θέτει βέτο στην υπόθεση «η εναλλακτική υπερέχει του προτύπου» (, = 1) τότε ο δείκτης αξιοπιστίας, µηδενίζεται δηλώνοντας ότι η πρόταση «η ε- ναλλακτική υπερέχει του προτύπου» δεν είναι καθόλου αξιόπιστη. όταν ένα κριτήριο σε ασυµφωνία είναι τέτοιο ώστε, <, < 1, ο δείκτης αξιοπιστίας, γίνεται µικρότερος του δείκτη συµφωνίας,. Τα παραπάνω εκφράζονται συνοπτικά µε τους τύπους,, =, 1, 1,, =, (24) και,, =, 1, 1,, =, (25) όπου, = (, ) > (, ), (, ) = (, ) > (, ) και F το σύνολο των κριτηρίων αξιολόγησης. 7. Καθορισµός του ορίου αποκοπής [0.5, 1]. Τα αποτελέσµατα των δεικτών αξιοπιστίας συνδυάζονται στη σύγκριση µε το συντελεστή ώστε να υπολογιστούν οι δυαδικές σχέσεις υπεροχής, που δηλώνουν προτίµηση ( ), αδιαφορία ( ) ή αδυναµία σύγκρισης ( ) µεταξύ των εναλλακτικών και των προτύπων που καθορίζουν τα όρια των τάξεων. Για κάθε ζεύγος εναλλακτικής και προτύπου είναι δυνατό να ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: -80-

89 Οι σχέσεις υπεροχής χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία του πίνακα υπεροχής, ο οποίος θα αξιοποιηθεί στην τελική ταξινόµηση 8. Τίθεται σε εφαρµογή η διαδικασία ταξινόµησης, στην οποία αξιοποιούνται δύο προσεγγίσεις, ονοµαζόµενες αισιόδοξη και απαισιόδοξη. Εάν υπάρχουν πρότυπα,,,,, τα οποία καθορίζουν h κατηγορίες,,,, όπου h = 1, τότε: Η απαισιόδοξη προσέγγιση συγκρίνει διαδοχικά κάθε εναλλακτική µε κάθε πρότυπο για i=p,p- 1,...,0. εάν βρεθεί πρότυπο για το οποίο ισχύει (η υπερισχύει του, ή, η είναι τουλάχιστο τόσο καλή όσο το ) τότε η ταξινοµείται στην κατηγορία. Η σχέση δεν αρκεί για να κατατάξει την στην κατηγορία, και η σύγκριση συνεχίζεται σε φθίνουσα κατεύθυνση µε το πρότυπο. Η ιδιότητα αυτή ευθύνεται για το χαρακτηρισµό της προσέγγισης ως απαισιόδοξη. Η αισιόδοξη προσέγγιση συγκρίνει διαδοχικά το a µε το πρότυπο b i, για i=1,2,...,p. εάν βρεθεί πρότυπο για το οποίο (το πρότυπο προτιµάται έναντι της ), ταξινοµεί την στην κατηγορία. Η σχέση δεν αρκεί για να κατατάξει την στην κατηγορία, και η σύγκριση συνεχίζεται σε αύξουσα κατεύθυνση µε το πρότυπο. Η ιδιότητα αυτή ευθύνεται για το χαρακτηρισµό της προσέγγισης ως αισιόδοξης. Συγκριτικά για τις δύο προσεγγίσεις µπορεί να αναφερθεί ότι: εάν η αξιολόγηση µιας εναλλακτικής είναι µεταξύ δύο προτύπων που ο- ρίζουν µια κατηγορία, τότε και οι δύο προσεγγίσεις θα ταξινοµήσουν την εναλλακτική στην κατηγορία αυτή -81-

90 εάν η εναλλακτική είναι µη συγκρίσιµη µε ένα ή περισσότερα πρότυπα τότε υπάρχει διαφορά στην ταξινόµηση: η απαισιόδοξη προσέγγιση ταξινοµεί την εναλλακτική σε χαµηλότερη κατηγορία από την αισιόδοξη Παράδειγµα εφαρµογής µεθόδου ELECTRE TRI Το αριθµητικό παράδειγµα που ακολουθεί παρουσιάζει µια τριχοτοµική περίπτωση ταξινόµησης καθώς χρησιµοποιούνται δύο πρότυπα και για τον ορισµό τριών κατηγοριών, και ( ούµπος 2007). Έστω ακόµη τα ακραία πρότυπα και που καθορίζουν αντίστοιχα την απόλυτα µη ιδανική και απόλυτα ιδανική εναλλακτική (δηλαδή ισχύει, ). Ο Πίνακας 38 παρουσιάζει τις τιµές τριών εναλλακτικών λύσεων σε πέντε κριτήρια. Πίνακας 38: Τιµές εναλλακτικών λύσεων Ορίζονται τιµές για τα και, καθώς και τα βάρη και τα κατώφλια αδιαφορίας, προτίµησης και βέτο για κάθε κριτήριο, όπως εµφανίζονται στον Πίνακας 39. Πίνακας 39 : Πρότυπα και κατώφλια Στην ανάλυση που ακολουθεί παρουσιάζονται οι υπολογισµοί για τις σχέσεις των εναλλακτικών σε σύγκριση µε το πρότυπο. Ο Πίνακας 40 παρουσιάζει τους υπολογιζόµενους µερικούς δείκτες συµφωνίας όλων των εναλλακτικών. Ενδεικτικά στο κριτή- -82-

91 ριο παρατηρείται ότι = = 5 < = 5 άρα, = 1. Αντίθετα, στο κριτήριο : = = 8 και = 5 < 8 < = 10 άρα, = = = 0,4. Πίνακας 40: Μερικοί δείκτες συµφωνίας, , , , , , Με βάση τις τιµές του παραπάνω πίνακα υπολογίζονται οι καθολικοί δείκτες συµφωνίας, =, 198) και, =, 19). Ενδεικτικά, για την εναλλακτική και το πρότυπο οι καθολικοί δείκτες συµφωνίας υπολογίζονται ως εξής:, = , = = 0.88 = 0.92 Οι υπολογισµοί για τις συγκρίσεις των υπολοίπων εναλλακτικών µε το πρότυπο παρουσιάζουν τα ακόλουθα αποτελέσµατα, = 0.4, = 0.6, = 0.12, = 1 Ο Πίνακας 41 παρουσιάζει τους δείκτες ασυµφωνίας, όπως υπολογίστηκαν µε την ε- φαρµογή των ανάλογων τύπων: -83-

92 Πίνακας 41: Πίνακας Ασυµφωνίας, , , , , , Υπολογίζονται οι δείκτες αξιοπιστίας, και,. Ενδεικτικά,, =, = 0.88 και, =, = 1 καθώς = και στις δύο περιπτώσεις. Επίσης, καθώς, = 1 στα κριτήρια και, δείκτης αξιοπιστίας, θα λάβει την τιµή 0. Αντίθετα, καθώς 0 <, < 1 για τέσσερα κριτήρια, ο δείκτης αξιοπιστίας, θα υπολογιστεί ως, =, 1, = 0,12 1 0,75 1, 1 0,12 1 0,25 1 0,12 1 0,75 1 0,12 1 0,75 1 0,12 ~0,01~0 Ακολουθώντας τη µεθοδολογία υπολογίζονται οι υπόλοιποι δείκτες αξιοπιστίας:, = 0.4, = 0.6, = , = 1. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται οι δείκτες για τη σύγκριση των εναλλακτικών λύσεων µε το πρότυπο. Έτσι διαµορφώνεται ο παρακάτω πίνακας, στον οποίο παρουσιάζονται οι είκτες Αξιοπιστίας για όλες τις εναλλακτικές και όλα τα πρότυπα. Πίνακας 42: είκτες Αξιοπιστίας,,,, Καθορίζεται το κατώφλι = 0.75, µε βάση το οποίο προσδιορίζονται οι ακόλουθες σχέσεις: -84-

93 Για το πρότυπο : (, = 1 > ) (, = 0.6 < ) (, = 1 > ) (, = 0 < ) (, = 0 < ) (, = 0.6 < ) Για το πρότυπο : (, = 0.88 > ) (, = 0.92 > ) (, = 0 < ) (, = 0.6 < ) (, = 0 < ) (, = 1 > ) Ο Πίνακας 43 συνοψίζει τις παραπάνω σχέσεις Πίνακας 43: Πίνακας υπεροχής > I R R > < Ο καθορισµός του πίνακα υπεροχής επιτρέπει την ταξινόµηση των εναλλακτικών στις τελικές κλάσεις: Για την αισιόδοξη προσέγγιση η αξιολόγηση της εναλλακτικής εκκινεί από τη βάση των προτύπων και συνεχίζει ανοδικά έως ότου βρεθεί πρότυπο για το οποίο ισχύει, οπότε η εναλλακτική ταξινοµείται στην κλάση : ( > ) ( > ) ( όπου ) ( < ) άρα ( > ) ( όπου ) ( όπου ) <, άρα ( > ) ( > ) ( < ), άρα Για την απαισιόδοξη προσέγγιση η αξιολόγηση της εναλλακτικής εκκινεί από τη κορυφή των προτύπων και συνεχίζει καθοδικά έως ότου βρεθεί πρότυπο για το οποίο ισχύει, οπότε η εναλλακτική ταξινοµείται στην κλάση : ( < ) ( όπου ) άρα ( < ) ( όπου ) ( όπου ) ( > ), άρα ( < ) ( < ) ( > ), άρα -85-

94 Ο Πίνακας 44 παρουσιάζει την τελική κατάταξη. Οι εναλλακτικές και ταξινοµούνται στην ίδια κλάση τόσο µε την αισιόδοξη όσο και µε την απαισιόδοξη προσέγγιση. Η εναλλακτική εµφανίζεται µη συγκρίσιµη έναντι των προτύπων και, γεγονός που οδηγεί στην ταξινόµησή της σε διαφορετικές κλάσεις για κάθε προσέγγιση. Ο αποφασίζων καλείται να χειριστεί µε προσοχή τη συγκεκριµένη εναλλακτική. Πίνακας 44: Τελική κατάταξη Αισιόδοξη Προσέγγιση Απαισιόδοξη Προσέγγιση -86-

95 4 H εφαρµογή XLectre Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η αρχική σύλληψη για τη µορφή της εφαρµογής της µεθόδου ELECTRE II µε υποκριτήρια στο Microsoft Excel, όπου αναφέρονται τα πλεονεκτήµατα της χρήσης της εφαρµογής ως πλατφόρµας ανάπτυξης. Επίσης, παρουσιάζονται τα βασικά δοµικά χαρακτηριστικά του συστήµατος, και ενδεικτικά ορισµένες από διαδικασίες για τη λειτουργία του συστήµατος, γραµµένες σε κώδικα VBA. 4.1 Το Microsoft Excel ως πλατφόρµα ανάπτυξης Η εφαρµογή Microsoft Excel θεωρείται βασική προσθήκη σε κάθε σύστηµα προσωπικού υπολογιστή το οποίο στηρίζεται σε λειτουργικό σύστηµα Microsoft Windows. Η διείσδυση του πακέτου Microsoft Office, στις διάφορες εκδόσεις που κυκλοφορεί, θεωρείται ότι φθάνει το 80%, ενώ στον χώρο των οικονοµικών αποτελεί ex ante προϋπόθεση για την πρακτική εφαρµογή της επιστήµης. Η λειτουργία του προγράµµατος της Microsoft βασίζεται στη χρήση ενός µεγάλου πίνακα κελιών, τα οποία δύνανται να λάβουν τιµές διαφορετικού τύπου (αριθµοί, αλφαριθµητικά, τύποι υπολογισµού, λογικές παραστάσεις κλπ), είτε άµεσα από το χρήστη είτε έµµεσα µε υπολογιστικές διαδικασίες. Συνεπώς, η φύση καθεαυτή του Excel παραπέµπει στη φιλοσοφία των µεθόδων επίλυσης πολυκριτήριων προβληµάτων διακριτού τύπου. Η σύνδεση παραµέτρων όπως τιµές πίνακα του απόφασης, κριτήρια και εναλλακτικές, µε τα κελιά ενός πίνακα Excel είναι ασυναίσθητη για το χρήστη του προγράµµατος που έχει επαφή µε το αντικείµενο της λήψης απόφασης µε πολυκριτήρια προβλήµατα. Η ευελιξία και η προσαρµοστικότητά του προγράµµατος σε ποικιλία προβληµάτων, σε συνδυασµό µε την αναγνωρισµένη υπολογιστική του ισχύ, έχουν αποτελέσει βάση για τη χρήση του σε πληθώρα επιστηµονικών πεδίων. Ενδεικτικά, αναφέρεται η χρήση του για τη λήψη απόφασης υπό συνθήκες αβεβαιότητας, µε χρήση δέντρων απόφασης, κανόνων Bayes κλπ (Albright, Winston, Zappe, 2009) αλλά και στο ειδικό πεδίο των µεθόδων ELECTRE µε την ανάπτυξη εφαρµογής της µεθόδου ELECTRE III (Buchanan, Sheppard, Vanderpooten, 1999). -87-

96 4.2 Η περιγραφή της εφαρµογής Εισαγωγή Η ανάπτυξη της εφαρµογής XLectre για το Microsoft Excel έγινε στη βάση δύο αξόνων: πρώτος ήταν η επιθυµία για ευκολία στη χρήση του εργαλείου. Επιλέχθηκε µια µορφή η οποία ξενίζει κατά το λιγότερο δυνατό το χρήστη του Excel ο οποίος θα χρειαστεί να επιλύσει ένα πολυκριτήριο πρόβληµα χρησιµοποιώντας τη µέθοδο ELECTRE II µε υποκριτήρια. Το περιβάλλον της εφαρµογής σχεδιάστηκε ώστε να είναι κατά το δυνατό απλούστερο και να µην αποκλίνει από την εµφάνιση ενός συνηθισµένο φύλλου εργασίας. Έτσι, η αποθήκευση, το άνοιγµα, και γενικότερα η διαχείριση της εφαρµογής γίνεται µε τρόπο παρόµοιο µε κάθε βιβλίο εργασίας. Σηµαντικό πλεονέκτηµα στην α- νάπτυξη της εφαρµογής στην πλατφόρµα του Excel, είναι η δυνατότητα για ταυτόχρονη εργασία σε πολλαπλά «αντίτυπα» του ίδιου προβλήµατος, καθένα µε διαφορετικό αριθ- µό βασικών παραµέτρων ή τιµών. Η δεύτερη επιθυµία ήταν να διατηρηθεί το σηµαντικότερο πλεονέκτηµα του Excel ως εργαλείο επίλυσης, το οποίο είναι η δυνατότητα άµεσης αναπροσαρµογής των αποτελεσµάτων µε κάθε αλλαγή στα δεδοµένα εισόδου. Το πρώτο στάδιο της εφαρµογής ακολουθεί µε άκαµπτη µορφή τα τυπικά βήµατα µιας πολυκριτήριας µεθοδολογίας (καθορισµός βασικών παραµέτρων: αριθµός κριτηρίων, υποκριτηρίων και εναλλακτικών). Αντίθετα, η απόδοση τιµών στις εναλλακτικές, στα βάρη και στο κατώφλι αποδοχής είναι ευέλικτη και ανοιχτή. Οι τιµές εισάγονται ελεύθερα από το χρήστη, ο οποίος έχει στο οπτικό του πεδίο το σύνολο των παραµέτρων, κάτι που διευκολύνει τη διαδικασία απόδοσης τιµών σε βάρη και εναλλακτικές. Τέλος, κάθε αλλαγή τιµής καλεί τις κατάλληλες διαδικασίες υπολογισµών και τα νέα, ενδεχοµένως διαφοροποιηµένα, αποτελέσ- µατα παρουσιάζονται άµεσα στο χρήστη Τα βασικά δοµικά χαρακτηριστικά της εφαρµογής Το πρόγραµµα δηµιουργήθηκε µε τη βοήθεια της Visual Basic for Applications του Microsoft Excel και αποτελείται από ένα σύνολο διαδικασιών (function procedures ή sub procedures) οι οποίες ανήκουν σε συγκεκριµένα αρθρώµατα (modules). Τα τελευταία είτε συνδέονται µε συγκεκριµένα φύλλα εργασίας, είτε είναι ανεξάρτητα. Οι διαδικασίες περικλείουν τις απαραίτητες εντολές για την εκτέλεση του προγράµµατος καθώς και τις αναγκαίες παραµέτρους που επιτρέπουν την απρόσκοπτη λειτουργία των εντολών. -88-

97 Η εφαρµογή αποτελείται από τέσσερα φύλλα εργασίας, αρκετές διαδικασίες ελέγχου που είναι συνδεδεµένες µε κάθε φύλλο, και τρία αρθρώµατα που είναι ανεξάρτητα από τα φύλλα εργασίας. Τα φύλλα εργασίας αφορούν τον ορισµό και την αποθήκευση των βασικών παραµέτρων, του πίνακα απόφασης και των βοηθητικών πινάκων, καθώς και την εµφάνιση βοήθειας προς το χρήστη. Τα ανεξάρτητα αρθρώµατα περιλαµβάνουν τις διαδικασίες για τη µορφοποίηση των φύλλων, για τον υπολογισµό των τιµών των πινάκων και για τη διαµόρφωση πινάκων και διαγραµµάτων. Ο κώδικας της εφαρµογής είναι ανοικτός και ο χρήστης έχει την ευχέρεια να επέµβει ενεργοποιώντας τον VBA Editor µε το συνδυασµό πλήκτρων [Alt_F11]. Προς διευκόλυνση του αναγνώστη, στον κώδικα της VBA έχουν περιληφθεί λεπτοµέρειες για τη λειτουργία της κάθε διαδικασίας. Φύλλο εργασίας ElectreII Εµφανίζεται µε την εκκίνηση της εφαρµογής, και αποτελεί ταυτόχρονα την ουσία και τον κορµό της. Σε αυτό αποθηκεύονται τόσο ο πίνακας απόφασης όσο και οι πίνακες υπολογισµών. Το φύλλο έχει ρυθµιστεί ώστε να διατηρεί σε ορατό σηµείο τα σηµεία ελέγχου της εφαρµογής και τον πίνακα τελικών αποτελεσµάτων. Ο χρήστης µπορεί να ζητήσει την εµφάνιση των τελικών αποτελεσµάτων σε γραφική µορφή, όπως επίσης και µια γραφική απεικόνιση της σύγκρισης των επιδόσεων των εναλλακτικών στα επιµέρους υποκριτήρια. Οι υπολογισµοί της µεθόδου εκτελούνται µε τη χρήση της VBA χωρίς επέµβαση του χρήστη εκτός από την εκάστοτε αλλαγή στις τιµές του πίνακα απόφασης. Αναλυτικότερα, το φύλλο εργασίας ElectreII περιλαµβάνει : Ενσωµατωµένες διαδικασίες που ελέγχουν τον υπολογισµό του φύλλου µε κάθε αλλαγή στις τιµές των κελιών. Επίσης διαδικασίες που αποτρέπουν το χρήστη από τη µεταβολή της αρίθµησης των κριτηρίων, η οποία χρησιµοποιείται στις διαδικασίες υπολογισµού. Ένα ρυθµιστικό οριζόντιας κύλισης για την επιλογή τιµής στο κατώφλι αποκοπής της µεθόδου. Έξι κοµβία ελέγχου µε τις ονοµασίες «Alternatives», «Criteria», «Final Chart», «Criteria Chart», «Random Values», «Help». Με την επιλογή τους ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να ενεργοποιήσει αντίστοιχα τις διαδικασίες αλλαγής αριθ- µού εναλλακτικών, αλλαγής αριθµού κριτηρίων, εµφάνισης διαγράµµατος για την τελική κατάταξη, εµφάνισης διαγράµµατος για τη σύγκριση των εναλλακτικών στα επιµέρους υποκριτήρια, εισαγωγής τυχαίων τιµών στον πίνακα απόφα- -89-

98 σης, και τέλος εµφάνισης βοήθειας. Σηµειώνεται ότι το διάγραµµα σύγκρισης εναλλακτικών χρησιµοποιεί τις τιµές του πίνακα απόφασης οµαλοποιηµένες στο διάστηµα 0-100, σύµφωνα µε τον τύπο 100 για κάθε επιµέρους υποκ- ριτήριο, όπου η τιµή εναλλακτικής στο υποκριτήριο. Τον πίνακα τελικής κατάταξης «Final Evaluation» που εµφανίζει την τελική κατάταξη των εναλλακτικών. Ο πίνακας ενηµερώνεται µε κάθε αλλαγή στις τιµές του πίνακα απόφασης. Τον πίνακα απόφασης. Ο χρήστης είναι ελεύθερος να εισάγει ονοµασίες για τα κύρια κριτήρια και τα υποκριτήρια καθώς και τιµές για τα βάρη σε κάθε ένα από αυτά. Επίσης, για κάθε υποκριτήριο ο χρήστης εισάγει τιµές για τις εναλλακτικές, την τάξη µεγέθους στο ζεύγος {-1, 1} και την ελάχιστη διαφορά µεταξύ των τιµών. Οι στήλες Range Min και Range Max αποτελούν τα άκρα για το χρησι- µοποιούµενο εύρος τιµών σε κάθε υποκριτήριο. Οι τιµές του πίνακα απόφασης περιορίζονται σε θετικούς πραγµατικούς αριθµούς. Τους πίνακες υπολογισµού βάσης «Base Criteria Tables». Σε αυτούς σηµειώνονται οι συγκρίσεις των τιµών των εναλλακτικών στα υποκριτήρια. Τους πίνακες υπολογισµού κύριων κριτηρίων «Level 1 Criteria Tables». Σε αυτούς σηµειώνονται οι συγκρίσεις των εναλλακτικών στα κύρια κριτήρια, µετά την αξιολόγηση τους µε βάση τα υποκριτήρια. Τον τελικό πίνακα αξιολόγησης «Final Evaluation Table» των εναλλακτικών, όπου εµφανίζονται οι συγκρίσεις των εναλλακτικών µετά την αξιολόγησή τους στα κύρια κριτήρια. Τον πίνακα βαθµολογιών, όπου καταγράφεται ο αριθµός κατά τον οποίο κάθε εναλλακτική υπερέχει ή υπολείπεται έναντι των υπολοίπων, όπως αυτός δια- µορφώνεται µε βάση τον τελικό πίνακα αξιολόγησης. Φύλλο εργασίας Alternatives Παραµένει αόρατο στο χρήστη, και εµφανίζεται µόνο µετά την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Alternatives» του φύλλου ElectreII. Χρησιµοποιείται για την αλλαγή του α- ριθµού των εναλλακτικών, ενώ δίνει την ευκαιρία στο χρήστη να επιλέξει τα ονόµατα των εναλλακτικών που θα εµφανίζονται στους πίνακες του φύλλου ElectreII. Επίσης χρησιµεύει για τη αποθήκευση του αριθµού των εναλλακτικών του δεδοµένου προβλή- µατος, κατά την έξοδο από το Microsoft Excel. -90-

99 Περιλαµβάνει ενσωµατωµένες διαδικασίες ελέγχου για τον αριθµό των εναλλακτικών, ο οποίος περιορίζεται στις 20. Εάν το µέγεθος του προβλήµατος προς επίλυση υ- περβαίνει το µέγιστο επιτρεπόµενο αριθµό εναλλακτικών, ο χρήστης µπορεί να επέµβει στον περιορισµό αλλάζοντας την παράµετρο maxalterno στο άρθρωµα «Module 1» όπου δηλώνονται οι παράµετροι της εφαρµογής. Με τη χρήση του κοµβίου ελέγχου «Update Alternatives» ενηµερώνεται η σχετική µεταβλητή και η λειτουργία του προγράµµατος επιστρέφει στο φύλλο εργασίας ElectreII το οποίο έχει πλέον διαµορφωθεί µε βάση το νέο αριθµό εναλλακτικών. Ο περιορισµός των εναλλακτικών Η διαδικασία ελέγχου του αριθµού των εναλλακτικών ξενικά από τον καθορισµό του µέγιστου επιτρεπόµενου αριθµού εναλλακτικών. Η δήλωση των τιµών γίνεται στο ανεξάρτητο άρθρωµα Module1 ως εξής : Public Const maxalterno As Integer = 20 Κατά την εκτέλεση της διαδικασίας αλλαγής του αριθµού εναλλακτικών, η επιλογή του χρήστη ελέγχεται σε ένα απλό βρόχο εντός της διαδικασίας InputAlternatives, ο οποίος παρουσιάζεται στον Πίνακας 45. Στην γραµµή 20 δηλώνεται το προτρεπτικό µήνυµα για την εισαγωγή του αριθµού εναλλακτικών για το οποίο γίνεται χρήση της συνάρτησης InputBox του Excel. Η χρήση της συγκεκριµένης συνάρτησης επιτρέπει τη ρητή δήλωση του τύπου δεδοµένων που θα εισαχθούν (στο παράδειγµα, Type:=1, δηλαδή αριθµός). Στις γραµµές 30 έως 50 ελέγχεται η επιλογή Cancel από το χρήστη, η οποία ακυρώνει το βρόχο και επιστρέφει τη λειτουργία του προγράµµατος στο φύλλο ElectreII. Στη γραµµή 60 ελέγχεται εάν ο αριθµός εναλλακτικών που θα επιλέξει ο χρήστης υπερβαίνει το µέγιστο επιτρεπόµενο. Εάν συµβεί αυτό, εµφανίζεται ένα ενηµερωτικό µήνυµα. Η γραµµή 70 επαναλαµβάνει το βρόχο έως ότου ο χρήστης δηλώσει αποδεκτή τιµή για τη µεταβλητή AlterNo. 10 Do Πίνακας 45 : Βρόχος ελέγχου αριθµού εναλλακτικών 20 AlterNo = Application.InputBox(prompt:="Please enter the number of required alternatives," & vbcrlf & vbcrlf & "or press 'Cancel' to return to the ElectreII table :" & vbcrlf & vbcrlf, title:="alternatives Selection", Default:=3, Type:=1) 30 If AlterNo = False Then 40 AlterNo = oldalterno Exit Do -91-

100 50 End If 60 If AlterNo < 1 Or AlterNo > maxalterno Then MsgBox "Valid number of alternatives is between 1 and " & maxalterno, vbinformation 70 Loop Until AlterNo > 1 And AlterNo < maxalterno + 1 Η Εικόνα 9 παρουσιάζει το ενηµερωτικό µήνυµα σε µια περίπτωση υπέρβασης του ορίου εναλλακτικών. Εικόνα 9 : Υπέρβαση ορίου εναλλακτικών Παρόµοιες ρουτίνες ελέγχου υπάρχουν για τον αριθµό των κριτηρίων και υποκριτηρίων. Φύλλο εργασίας Criteria Παραµένει αόρατο στο χρήστη, και εµφανίζεται µόνο µετά την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Alternatives» του φύλλου ElectreII. Χρησιµοποιείται για την αλλαγή του α- ριθµού των κύριων κριτηρίων και των υποκριτηρίων που περιλαµβάνονται σε κάθε κύριο κριτήριο. Επίσης χρησιµεύει για τη αποθήκευση του αριθµού των κύριων κριτηρίων και υποκριτηρίων για κάθε κύριο κριτήριο του δεδοµένου προβλήµατος, κατά την έξοδο από το Microsoft Excel. Περιλαµβάνει ενσωµατωµένες διαδικασίες ελέγχου για τον αριθµό των κριτηρίων και υποκριτηρίων για κάθε κριτήριο, ο οποίος περιορίζεται σε 20 και 20 αντίστοιχα. Εάν το µέγεθος του προβλήµατος προς επίλυση υπερβαίνει το µέγιστο επιτρεπόµενο αριθµό κριτηρίων και υποκριτηρίων, ο χρήστης µπορεί να επέµβει στον περιορισµό αλ- -92-

101 λάζοντας τις παραµέτρους maxcrit1no και maxsubcrno στην αρχή του αρθρώµατος Module 1, όπου δηλώνονται οι παράµετροι της εφαρµογής. Με τη χρήση του κοµβίου ελέγχου «Update Criteria» ενηµερώνονται οι σχετικές µεταβλητές και η λειτουργία του προγράµµατος επιστρέφει στο φύλλο εργασίας ElectreII το οποίο έχει πλέον διαµορφωθεί µε βάση το νέο αριθµό κριτηρίων και υποκριτηρίων. Ο έλεγχος της τιµής των υποκριτηρίων Ένα µέρος των ελέγχων που γίνονται στις ενσωµατωµένες διαδικασίες στο φύλλο Criteria αφορά το είδος της πληροφορίας που εισάγεται για τις τιµές των υποκριτηρίων. Ο έλεγχος γίνεται µε τη χρήση της διαδικασίας Worksheet_Change της VBA, η οποία ε- νεργοποιείται (triggered) µε κάθε αλλαγή τιµής που γίνεται στο φύλλο Criteria. Η διαδικασία αυτή δηµιουργεί τη µεταβλητή Target η οποία αφορά τη διεύθυνση του κελιού στο οποίο έγινε η τελευταία αλλαγή, όπως φαίνεται στη δήλωση τίτλου της διαδικασίας: Private Sub Worksheet_Change(ByVal Target As Range) Ο Πίνακας 46 παρουσιάζει τη διαδικασία του ελέγχου τιµών για τον αριθµό των υποκριτηρίων. Στη γραµµή 10 δηλώνεται η µεταβλητή που παρακολουθεί την περιοχή του αριθµού υποκριτηρίων, καθώς και µια σειρά από βοηθητικές µεταβλητές. Η µεταβλητή που παρακολουθεί την περιοχή των αριθµών των υποκριτηρίων ονοµάζεται subcrno- Range και καθορίζεται µε βάση τη δήλωση της γραµµής 20, όπου StartRowParam και StartColParam σταθερές που ορίζουν τη θέση εµφάνισης των στοιχείων στο φύλλο Criteria, και Crit1No µεταβλητή που λαµβάνει τιµή από το χρήστη κατά τη διαδικασία αλλαγής του αριθµού των κύριων κριτηρίων. Στη γραµµή 30, η περιοχή των υποκριτηρίων µεταβιβάζεται στην ενδιάµεση µεταβλητή VSubCrRange, η οποία χρησιµοποιείται µέχρι το πέρας των ελέγχων. Στη γραµµή 40 η συνάρτηση Intersect της VBA ελέγχει εάν έχει γίνει αλλαγή εντός της περιοχής των υποκριτηρίων. Ο έλεγχος εξετάζει αν η τοµή της περιοχής των δεδοµένων και της τελευταίας αλλαγής στο φύλλο (τιµή της µεταβλητής Target) είναι κενή. Εάν η τοµή δεν είναι κενή, τότε έχει γίνει αλλαγή στην περιοχή των υποκριτηρίων. Η εντολή για έλεγχο κάθε κελιού της περιοχής της τοµής δίνεται στη γραµµή 50. Η γραµµή 60 καλεί τη βοηθητική συνάρτηση SubcriteriaValid η οποία χρησιµοποιεί ως παράµετρο το υπό έλεγχο κελί για να επιστρέψει µια τιµή στη µεταβλητή ελέγχου ValidateCode. Η µεταβλητή ValidateCode είναι µεταβλητού τύπου (Variant), δηλαδή το είδος της πληροφορίας που φέρει δεν είναι προκαθορισµένο αλλά µεταβάλλεται α- -93-

102 νάλογα µε τις συνθήκες του προγράµµατος. Εάν λάβει τιµή TRUE (Boolean) θεωρείται ότι ο χρήστης έχει εισάγει έγκυρη πληροφορία. Η γραµµή 70 ελέγχει εάν η µεταβλητή ValidateCode έχει τιµή αλφαριθµητικού, κάτι που συµβαίνει εάν ο χρήστης εισάγει λανθασµένη πληροφορία. Στη γραµµή 80, µε χρήση της συνάρτησης MsgBox της VBA εµφανίζονται η διεύθυνση του κελιού το οποίο περιέχει λανθασµένη τιµή και το είδος του σφάλµατος (π.χ. εισήχθη αλφαριθµητικό αντί για αριθµό). Στη συνέχεια αποτρέπεται προσωρινά η ενεργοποίηση (trigger) της VBA συνάρτησης Worksheet_Change ώστε η επόµενη εντολή να µη προκαλέσει ατέρµονα βρόχο. Κατόπιν, διαγράφεται το εσφαλµένο περιεχόµενο του κελιού που µεταβλήθηκε και ενεργοποιείται το συγκεκριµένο κελί ώστε ο χρήστης να επανορθώσει εισάγοντας το σωστό είδος πληροφορίας. Τέλος, ενεργοποιείται εκ νέου η VBA συνάρτηση Worksheet_Change ώστε να ελεγχθεί η επόµενη εισαγωγή του χρήστη. Οι γραµµές 90 έως 110 κλείνουν τη διαδικασία του ελέγχου. Πίνακας 46 : Ο έλεγχος τιµών για τον αριθµό των υποκριτηρίων 10 Dim VSubCrRange As Range, cellcr As Range, cellsubcr As Range, subcrnorange As Range Dim Msg As String Dim ValidateCode As Variant 20 Set subcrnorange = Range(Cells(StartRowParam + 1, StartColParam + 1), Cells(StartRowParam + Crit1No, StartColParam + 1)) 30 Set VSubCrRange = subcrnorange 40 If Not Intersect(VSubCrRange, Target) Is Nothing Then 50 For Each cellsubcr In Intersect(VSubCrRange, Target) 60 ValidateCode = SubcriteriaValid(cellSubCR) 70 If TypeName(ValidateCode) = "String" Then 80 Msg = "Cell " & cellsubcr.address(false, False) & ":" Msg = Msg & vbcrlf & vbcrlf & ValidateCode MsgBox Msg, vbcritical, "Invalid Entry" Application.EnableEvents = False cellsubcr.clearcontents cellsubcr.activate Application.EnableEvents = True 90 End If 100 Next cellsubcr -94-

103 110 End If Η Εικόνα 10 εµφανίζει ένα παράδειγµα σφάλµατος, το οποίο προκλήθηκε από την εισαγωγή αλφαριθµητικού αντί για αριθµό σε πεδίο που αφορά αριθµό υποκριτηρίων. Εικόνα 10 : Εισαγωγή αλφαριθµητικού αντί για αριθµό υποκριτηρίων Η συνάρτηση SubcriteriaValid Η βοηθητική συνάρτηση SubcriteriaValid καλείται από τις διαδικασίες ελέγχου κατά την εισαγωγή αριθµού υποκριτηρίων και επιστρέφει µια τιµή στη µεταβλητή Validate- Code. Το όρισµα της συνάρτησης είναι το κελί cellsubcr όπως επιλέχθηκε προς έλεγχο από τη διαδικασία ελέγχου των υποκριτηρίων και εµφανίζεται στην δήλωση τίτλου της συνάρτησης: Private Function SubcriteriaValid(cellSubCR) As Variant O Πίνακας 47 παρουσιάζει τα βήµατα της διαδικασίας. Η τιµή που εισήγαγε ο χρήστης (κελί cellsubcr) ελέγχεται διαδοχικά για την περίπτωση που δεν αποτελεί αριθµό (γραµµές 10 έως 40), την περίπτωση που αποτελεί µη ακέραιο αριθµό (γραµµές 50 έως 80) και την περίπτωση που αποτελεί ακέραιο αριθµό ο οποίος όµως βρίσκεται εκτός των επιτρεπόµενων ορίων (γραµµές 90 έως 120). Σε κάθε έλεγχο, εάν διαπιστωθεί σφάλµα, αποδίδεται στη µεταβλητή SubcriteriaValid ένα αλφαριθµητικό που περιγράφει το σφάλµα και διακόπτεται η εκτέλεση της συνάρτησης. Εάν η εκτέλεση της συνάρτησης SubcriteriaValid δε διακοπεί, τότε προφανώς η τιµή που εισήγαγε ο χρήστης -95-

104 είναι ακέραιος αριθµός εντός του επιτρεπόµενου από την παραµετροποίηση εύρους, οπότε στη γραµµή 130 η τιµή της συνάρτησης SubcriteriaValid γίνεται αληθής (Boolean=TRUE). Πίνακας 47 : Η συνάρτηση SubcriteriaValid 10 If Not WorksheetFunction.IsNumber(cellSubCR) Then 20 SubcriteriaValid = "Non-numeric entry." 30 Exit Function 40 End If 50 If CInt(cellSubCR) <> cellsubcr Then 60 SubcriteriaValid = "Integer required." 70 Exit Function 80 End If 90 If cellsubcr < 1 Or cellsubcr > maxsubcrno Then 100 SubcriteriaValid = "Valid values are between 1 and " & maxsubcrno 110 Exit Function 120 End If 130 SubcriteriaValid = True Άρθρωµα Module1 Αποτελεί τον κορµό της εφαρµογής VBA καθώς περιλαµβάνει τις µεταβλητές και σταθερές που είναι διαθέσιµες σε όλη την εφαρµογή (global scope). Επίσης περιέχει 13 διαδικασίες που χρησιµοποιούνται για τη µορφοποίηση των δεδοµένων και για τον έλεγχο και ανάγνωση των παραµέτρων κατά την εκκίνηση του προγράµµατος. Οι διαδικασίες αναφέρονται σε αλφαβητική σειρά ακολούθως: CheckForEmptyCells. Συνάρτηση (Function) που υποβοηθά τη διαδικασία ελέγχου VerifyInputParameters. Καταµετρά κενά κελιά στις κατάλληλες περιοχές των φύλλων Alternatives και Criteria. DeleteElectreMenu. ιαγράφει το µενού ElectreMethods που δηµιουργείται κατά το άνοιγµα του βιβλίου. Electre2. Η κεντρική διαδικασία της εφαρµογής. ηµιουργεί τον πίνακα απόφασης στον οποίο θα γίνει η εισαγωγή τιµών. Συνεργάζεται µε τις διαδικασίες ReadParameters, makeelectre2helptables, RunCalculations, formatelectreii, chartremove. -96-

105 formatelectreii. Εκτελεί τη βασική µορφοποίηση για το φύλλο ElectreII. InputAlternatives. Ενεργοποιεί τη διαδικασία αλλαγής αριθµού εναλλακτικών. Συνεργάζεται µε τη διαδικασία MakeAlternativesMatrix. Συνδέεται µε το κοµβίο ελέγχου «Alternatives» του φύλλου εργασίας ElectreII. InputCriteria. Ενεργοποιεί τη διαδικασία αλλαγής αριθµού κύριων κριτηρίων και υποκριτηρίων. Συνεργάζεται µε τη διαδικασία MakeCriteriaMatrix. Συνδέεται µε το κοµβίο ελέγχου «Criteria» του φύλλου εργασίας ElectreII. Intro. Παρουσιάζει ένα εισαγωγικό µήνυµα κατά την εκκίνηση της εφαρµογής. MakeAlternativesMatrix. Μορφοποιεί τον πίνακα για την εισαγωγή εναλλακτικών στο φύλλο Alternatives. MakeCriteriaMatrix. Μορφοποιεί τον πίνακα για την εισαγωγή κύριων κριτηρίων και υποκριτηρίων στο φύλλο Criteria MakeElectre2HelpTables. ηµιουργεί και µορφοποιεί τους βοηθητικούς πίνακες στους οποίου παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των υπολογισµών της µεθόδου. MakeElectreMenu. ηµιουργεί ένα βοηθητικό µενού µε την ονοµασία «Electre Methods». Το µενού προσφέρει ένα εναλλακτικό τρόπο για την εκτέλεση των λειτουργιών της εφαρµογής. ReadParameters. ιαδικασία για την ανάγνωση και επαλήθευση των βασικών παραµέτρων. Τροποποιεί κατάλληλα τις µεταβλητές που διατηρούν τα στοιχεία των παραµέτρων (αριθµός εναλλακτικών, κριτηρίων, υποκριτηρίων). Συνεργάζεται µε τη διαδικασία VerifyInputParameters. VerifyInputParameters. ιαδικασία για την επαλήθευση ορθών στοιχείων στα φύλλα Alternatives και Criteria. Συνεργάζεται µε τη διαδικασία CheckForEmptyCells. Άρθρωµα Module2 Περιέχει 3 εκτενείς διαδικασίες που περιλαµβάνουν όλους τους υπολογισµούς της µεθόδου. Αλφαβητικά είναι οι ακόλουθες: CalculateBaseTables. Η διαδικασία καλείται για τον υπολογισµό των συγκρίσεων µεταξύ των εναλλακτικών στα υποκριτήρια (κριτήρια βάσης). Ακολουθεί τα βήµατα της ElectreII στην έκδοση µε υποκριτήρια. Μετά τους υπολογισµούς, ενηµερώνει τους πίνακες υπολογισµού βάσης µε τιµές και χρωµατίζει κατάλληλα τα περιεχόµενα κελιά. -97-

106 CalculateL1_andFinalTables. Η διαδικασία καλείται για τον υπολογισµό των συγκρίσεων µεταξύ εναλλακτικών στα κύρια κριτήρια, ακολουθώντας τα βήµατα της µεθόδου ElectreII µε υποκριτήρια. Μετά τους υπολογισµούς, ενηµερώνει τους πίνακες υπολογισµού κύριων κριτηρίων µε τιµές και χρωµατίζει κατάλληλα τα περιεχόµενα κελιά. Η διαδικασία συνεχίζει µε την ενηµέρωση του τελικού πίνακα αξιολόγησης, του πίνακα βαθµολογιών και του πίνακα αποτελεσµάτων. RunCalculations. Ενδιάµεση διαδικασία, η οποία επιτρέπει την εκτέλεση των υπολογισµών των άλλων δύο διαδικασιών µόνο εάν εφόσον έχουν οι βασικές παράµετροι της εφαρµογής έχουν ελεγχθεί επιτυχώς. Άρθρωµα Module3 Περιλαµβάνει 3 διαδικασίες που σχετίζονται µε τη δηµιουργία γραφικών απεικονίσεων: ChartAddFinal. Η διαδικασία διαβάζει τα δεδοµένα του πίνακα τελικής κατάταξης και δηµιουργεί ένα σχετικό οριζόντιο γράφηµα. Συνδέεται µε το κοµβίο ε- λέγχου «Final Chart». ChartAddSubCr. Η διαδικασία διαβάζει τα δεδοµένα του πίνακα απόφασης και δηµιουργεί ένα γράφηµα σύγκρισης των τιµών των εναλλακτικών αναφορικά στα κριτήρια βάσης. Υπάρχει το ενδεχόµενο οι τιµές των εναλλακτικών να βρίσκονται σε διαφορετικό εύρος, ανάλογα µε τη φύση του υποκριτηρίου. Για το λόγο αυτό, της εµφάνισης του διαγράµµατος προηγείται µετατροπή των τι- µών όλων των υποκριτηρίων στο διάστηµα ChartRemove. Βοηθητική διαδικασία. Καλείται από τη διαδικασία Electre2 του αρθρώµατος Module1 για την αφαίρεση τυχόν υπαρκτών γραφηµάτων πριν από πιθανές αλλαγές στη µορφή του πίνακα απόφασης Φύλλο εργασίας HelpText Παραµένει αόρατο στο χρήστη, και εµφανίζεται µόνο µετά την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Help» του φύλλου ElectreII. Περιέχει βασικές οδηγίες για τη χρήση της ε- φαρµογής. Επίσης, απαριθµεί τα βήµατα της επίλυσης ενός πολυκριτήριου προβλήµατος µε τη µέθοδο ELECTRE II µε υποκριτήρια. -98-

107 5 Μελέτη περιπτώσεων Στο παρόν κεφάλαιο εµφανίζονται δύο παραδείγµατα χρήσης της εφαρµογής. Το πρώτο είναι µικρού µεγέθους µε την παρουσία τριών εναλλακτικών οι οποίες αξιολογούνται µε βάση τρία κύρια κριτήρια που έχουν αντίστοιχα 2, 2 και 3 υποκριτήρια. Το παράδειγµα χρησιµοποιείται για την αρχική παρουσίαση της εφαρµογής, και αποτελεί µια προσέγγιση στην αξιολόγηση ενισχυτών ακουστικού φάσµατος στερεάς κατάστασης. Το δεύτερο παράδειγµα αφορά ένα πραγµατικό πρόβληµα επιλογής κατοικίας. Έχει µεγαλύτερο µέγεθος, καθώς περιλαµβάνει τέσσερις εναλλακτικές και τέσσερα κύρια κριτήρια τα οποία έχουν αντίστοιχα 11, 16, 11 και 5 υποκριτήρια. 5.1 Εισαγωγικό παράδειγµα Η χρήση του αρχείου Το πρωτότυπο αρχείο της εφαρµογής ονοµάζεται XLectre.xls, βρίσκεται αποθηκευµένο σε δίσκο του τοπικού συστήµατος και ανοίγει όπως κάθε αρχείο του Microsoft Excel. Κατά την εκκίνηση της εφαρµογής εµφανίζεται ένα µήνυµα υποδοχής που προτρέπει το χρήστη στην χρήση των κοµβίων ελέγχου για την ενηµέρωση των βασικών παραµέτρων. Η εφαρµογή εκκινεί εµφανίζοντας πάντοτε τα τελευταία αποθηκευµένα δεδοµένα του βιβλίου εργασίας, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 11. Εικόνα 11 : Εισαγωγική εικόνα XLectre.xls -99-

108 5.1.2 Αλλαγή παραµέτρων και απόδοση τιµών Αλλαγή αριθµού εναλλακτικών Το πρόβληµα διαµορφώνεται από το χρήστη µε την αλλαγή παραµέτρων εναλλακτικών και κριτηρίων, µετά την επιλογή των αντίστοιχων κοµβίων ελέγχου. Με την επιλογή Alternatives ενεργοποιείται το οµώνυµο φύλλο εργασίας που διατηρεί τις πληροφορίες για τον αριθµό εναλλακτικών και ζητείται από το χρήστη η επιλογή νέου αριθµού εναλλακτικών, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 12. Σε αυτό το σηµείο ο χρήστης µπορεί να ακυρώσει τη διαδικασία αλλαγής αριθµού εναλλακτικών και να επιστρέψει στο αρχικό φύλλο ElectreII, επιλέγοντας «Άκυρο». Εικόνα 12 : Επιλογή αριθµού εναλλακτικών Για το συγκεκριµένο παράδειγµα, θα επιλεγούν 3 εναλλακτικές, µε ονοµασίες «McIntosh C200», «Αudia Flight 100» και «Classe Ω», σύµφωνα µε την Εικόνα 13. Εικόνα 13: Ονοµασία εναλλακτικών -100-

109 Εάν ο χρήστης προτιµήσει να µην ονοµατίσει τις εναλλακτικές σε αυτό το σηµείο, το φύλλο ElectreII θα διατηρήσει τις ενδεικτικές ονοµασίες «Alternative1», «Alternative2» κ.ο.κ. ιαφορετικά, τα ονόµατα των εναλλακτικών που θα εισαχθούν σε αυτή την οθόνη θα εµφανιστούν σε όλους τους πίνακες του φύλλου ElectreII. Με την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Update Alternatives» η λειτουργία του προγράµµατος επιστρέφει στο φύλλο ElectreII, το οποίο ενηµερώνεται για τον νέο αριθµό και τις ονο- µασίες των εναλλακτικών, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 14. Εικόνα 14 : Ενηµέρωση εναλλακτικών Αλλαγή αριθµού κριτηρίων και υποκριτηρίων Με την επιλογή Criteria ενεργοποιείται το οµώνυµο φύλλο εργασίας που διατηρεί τις πληροφορίες για τον αριθµό κριτηρίων και υποκριτηρίων. Ζητείται από το χρήστη η επιλογή νέου αριθµού κύριων κριτηρίων, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 15. Εικόνα 15 : Εισαγωγή Κριτηρίων -101-

110 Σε αυτό το σηµείο ο χρήστης µπορεί να ακυρώσει τη διαδικασία αλλαγής αριθµού κριτηρίων και να επιστρέψει στο αρχικό φύλλο ElectreII, επιλέγοντας «Άκυρο». Με την εισαγωγή νέου αριθµού κύριων κριτηρίων, ζητείται από το χρήστη η εισαγωγή του α- ριθµού υποκριτηρίων για κάθε κύριο κριτήριο. Στην ειδική περίπτωση όπου ένα κύριο κριτήριο δεν έχει υποκριτήρια, αυτό θα δηλωθεί ως έχων ένα µοναδικό υποκριτήριο. Στο τελευταίο θα συµπληρωθούν οι τιµές του πίνακα απόφασης, ως να επρόκειτο για το ίδιο το κύριο κριτήριο. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα θα επιλεγούν 2, 2 και 3 υποκριτήρια αντίστοιχα για κάθε κύριο κριτήριο, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 16. Εικόνα 16 : Αριθµός υποκριτηρίων Με την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Update Criteria» η λειτουργία του προγράµµατος επιστρέφει στο φύλλο ElectreII, το οποίο ενηµερώνεται για τον νέο αριθµό κύριων κριτηρίων και υποκριτηρίων, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 17. Εικόνα 17 : Ενηµέρωση εναλλακτικών και κριτηρίων -102-

111 Σηµειώνεται ότι µε κάθε ενηµέρωση εναλλακτικών ή κριτηρίων, ανανεώνονται οι τιµές των βαρών και των τιµών των εναλλακτικών στον πίνακα απόφασης, λαµβάνοντας τυχαίες τιµές. Η εισαγωγή τυχαίων τιµών µπορεί να επαναληφθεί µε την επιλογή του κοµβίου ελέγχου «Random Values». Η εισαγωγή ονοµασιών για τα κύρια κριτήρια και για τα υποκριτήρια, µπορεί να γίνει οποιαδήποτε στιγµή, εφόσον το φύλλο ElectreII έχει ενηµερωθεί µε τον αριθµό τους. Για το συγκεκριµένο παράδειγµα οι ονοµασίες έχουν ως εξής: 1. Musical Quality. Σύνθετο κριτήριο που µπορεί ερµηνευτεί τόσο µε ποιοτικά όσο και ποσοτικά κριτήρια. Ενδεικτικά αναφέρονται 1. P.R.A.T. Αρκτικόλεξο των λέξεων Pace, Rhythm, Ambience, Timing. Ποιοτικό χαρακτηριστικό, ενδεικτικό της γενικότερης απόδοσης ενός ε- νισχυτή. Για τις ανάγκες του παραδείγµατος, το εύρος τιµών του ορίζεται στο διάστηµα T.H.D. %. Ποσοτικό χαρακτηριστικό, που µετρά τη συνολική παραµόρφωση της ηλεκτρικής συσκευής. Εκφράζεται σε ποσοστό, σε γραµµική κλίµακα Αmp Speed. Σύνθετο κριτήριο, που εκτιµάται σε απόλυτα επιµέρους κριτήρια. Εκφράζει την ικανότητα του ενισχυτή να παρακολουθήσει στην έξοδό του τις αλλαγές στο ρυθµό του εισερχόµενου σήµατος. Χαρακτηριστικά του είναι : 1. Rise Time. Ο ρυθµός ανόδου του ενισχυτή, µετράται σε γραµµική κλί- µακα µε εύρος Χαµηλές τιµές δηλώνουν µεγάλες ταχύτητες στο στάδιο εξόδου του ενισχυτή. Συχνότερα αναφερόµενη σχετική µέτρηση είναι το εύρος συχνοτήτων. Καθώς όµως αυτό εκφράζεται σε λογαριθµική κλίµακα, η χρήση του στην εφαρµογή προϋποθέτει τη µετατροπή του σε κλίµακα γραµµικής µορφής. 2. Slew Rate. Η ικανότητα του ενισχυτή να τροφοδοτήσει επαρκώς µε τάση το ηχείο (αντίσταση) στο οποίο συνδέεται. Μετράται σε γραµµική κλί- µατα µε επαρκές, για ενισχυτές στερεάς κατάστασης, εύρος V/µsec. Μεγάλες τιµές είναι και καλύτερες. 3. Amp Drive. Η δυνατότητα του ενισχυτή να µεταφέρει επαρκές ρεύµα στο ηχείο όπου συνδέεται. Ποσοτικό κριτήριο, το οποίο µπορεί να περιγραφεί µε τα ακόλουθα γραµµικά µέτρα: -103-

112 1. Power. Η ισχύς εξόδου του ενισχυτή σε Watt. Μετράται σε γραµµική κλίµακα, µε εύρος Μεγαλύτερες τιµές είναι και καλύτερες. 2. Max Output Impedance. Η αντίσταση εξόδου του ενισχυτή, ενδεικτικό της ικανότητάς του να οδηγήσει χαµηλά φορτία. Μικρότερες τιµές είναι καλύτερες. 3. Sensitivity. Η ευαισθησία του ενισχυτή για την απόδοση πλήρους ισχύος στην έξοδο. Μικρότερες τιµές θεωρούνται καλύτερες. Η εισαγωγή τιµών στον πίνακα απόφασης Στο σηµείο αυτό ο χρήστης καλείται να εισάγει τιµές της επιλογής του στον πίνακα α- πόφασης. Με κάθε αλλαγή τιµής βάρους ή εναλλακτικής, τροποποιούνται ανάλογα οι πίνακες υπολογισµού που ακολουθούν τον πίνακα απόφασης, και συνεπώς διαφοροποιείται ανάλογα η τελική κατάταξη των εναλλακτικών όπως εµφανίζεται στον πίνακα πάνω τελικής κατάταξης. Οι υπολογισµοί για τους πίνακες εκτελούνται επίσης µε τη µετακίνηση του οριζόντιου επιλογέα που καθορίζει το ύψος του κατωφλίου αποκοπής της µεθόδου. Η Εικόνα 18 παρουσιάζει το πρόβληµα του παραδείγµατος ενηµερωµένο µε τιµές. Εικόνα 18 : Επιλογή ενισχυτή ακουστικών συχνοτήτων µε την εφαρµογή XLectre -104-

113 5.1.3 Οι πίνακες υπολογισµού και ο τελικός πίνακας αξιολόγησης Με την εισαγωγή τιµών στον πίνακα απόφασης, είτε µε την αυτοµατοποιηµένη διαδικασία Random Values, είτε µε την άµεση επιλογή τιµών από το χρήστη, γίνονται αυτό- µατα οι υπολογισµοί για την αξιολόγηση των εναλλακτικών. Οι τιµές στους πίνακες υπολογισµού ενηµερώνονται αυτόµατα και τα περιεχόµενα κελιά χρωµατίζονται κατάλληλα ώστε να βοηθήσουν οπτικά το χρήστη της εφαρµογής. Η Εικόνα 18 εµφανίζει την αξιολόγηση των εναλλακτικών στο υποκριτήριο PRAT, ό- πως δηλώνεται στον υποπίνακα 1.1 των πινάκων υπολογισµού κριτηρίων βάσης. Ακολουθεί η Εικόνα 19 στην οποία παρουσιάζεται ο πίνακας υπολογισµού για τα κύρια κριτήρια, ο τελικός πίνακας αξιολόγησης, και ο πίνακας βαθµολογίας των εναλλακτικών. Εικόνα 19 : Πίνακες κύριων κριτηρίων, τελικής αξιολόγησης και βαθµολογίας εναλλακτικών Όπως διαπιστώνεται µε βάση τον πίνακα τελικής κατάταξης, για τις συγκεκριµένες τιµές στον πίνακα απόφασης και σε επίπεδο κατωφλίου αποκοπής 0.65, ισοδυναµούν -105-

114 στην κορυφή οι επιλογές «Audia Flight 100» και «Classe Ω» ενώ έπεται η εναλλακτική «McIntosh C200» Τα γραφήµατα της εφαρµογής Εµφάνιση της τελικής κατάταξης σε γράφηµα Τα αποτελέσµατα της κατάταξης µπορούν να εµφανιστούν σε γραφική µορφή µε την επιλογή του κοµβίου ελέγχου Final Chart, όπως εµφανίζεται στην Εικόνα 20. Το γράφηµα της τελικής κατάταξης εµφανίζεται πάντοτε δεξιά του πίνακα απόφασης ώστε να µην αποκρύπτει τα δεδοµένα που το διαµορφώνουν. Εικόνα 20 : Γράφηµα τελικής κατάταξης Εικόνα 21 : Γράφηµα σύγκρισης υποκριτηρίων Εµφάνιση σύγκρισης κριτηρίων βάσης σε γράφηµα Με την επιλογή του κοµβίου ελέγχου Criteria Chart είναι δυνατή η εµφάνιση ενός συγκριτικού πίνακα µεταξύ των τιµών των εναλλακτικών στα κριτήρια βάσης (υποκριτήρι

115 α). Καθώς οι εναλλακτικές µπορούν να λάβουν τιµές διαφορετικού εύρους στον πίνακα απόφασης, το γράφηµα εµφανίζει τις συγκρίσεις µε τις τιµές των εναλλακτικών οµαλοποιηµένες στο διάστηµα [0 100] για κάθε κριτήριο βάσης. Η Εικόνα 21 παρουσιάζει το γράφηµα σύγκρισης για τις συγκεκριµένες τιµές του πίνακα απόφασης. Αποθήκευση του αρχείου και εµφάνιση πολλαπλών παραθύρων Η εφαρµογή XLectre αποθηκεύεται όπως κάθε συνηθισµένο βιβλίο εργασίας του Microsoft Excel. Ο τύπος της εφαρµογής επιτρέπει την ταυτόχρονη παρουσία βιβλίων XLectre στην οθόνη του χρήστη, εφόσον αυτά έχουν αποθηκευτεί µε διαφορετικό όνο- µα. Στο παράδειγµα της επιλογής ενισχυτικής διάταξης, µπορεί να αποθηκευτεί το αρχείο µε όνοµα AmpSelect1.xls στην παρούσα µορφή, να τροποποιηθεί σε αριθµό εναλλακτικών η κριτηρίων το οποίο θα αποθηκευτεί ως AmpSelect2.xls κ.ο.κ. Ο χρήστης έχει έτσι τη δυνατότητα να άµεση οπτική σύγκριση της συµπεριφοράς των εναλλακτικών όταν εξετάζονται διαφορετικές τιµές, κατώφλια αποκοπής ή κριτήρια. Η Εικόνα 22 παρουσιάζει το πρόβληµα επιλογής ενισχυτή µε δύο διαφορετικά αποτελέσµατα όπως εµφανίζονται µετά την τροποποίηση του κατωφλίου αποκοπής. Ο αριθµός των ταυτόχρονα ενεργών βιβλίων περιορίζεται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήµατος του χρήστη (µνήµη, οθόνη κλπ). Εικόνα 22 : Σύγκριση αποτελεσµάτων σε µία οθόνη, µε διαφοροποίηση κατωφλίου αποκοπής -107-

116 5.2 Εκτενές παράδειγµα Η χρήση της εφαρµογής προϋποθέτει ελάχιστη µόνο εµπειρία του Microsoft Excel, και βασικές γνώσεις της µεθοδολογίας ElectreII. Η εφαρµογή χαρακτηρίζεται από αµεσότητα, σε σηµείο ώστε µε ελάχιστη εξοικείωση και σε µικρό χρονικό διάστηµα να είναι δυνατή η ανάπτυξη προβληµάτων µεγάλου µεγέθους. Οι ρυθµίσεις του προγράµµατος υποστηρίζουν προβλήµατα έως 20 εναλλακτικών και 20 κύριων κριτηρίων, κάθε ένα από τα οποία µπορεί να αναλυθεί σε έως 20 υποκριτήρια. Οι περιορισµοί αυτοί µπορούν να παρακαµφθούν εφόσον ο χρήστης επέµβει στις παραµέτρους της VBA όπως αυτές καθορίζονται στην αρχή του αρθρώµατος Module1. Σε αυτή την περίπτωση, το µέγεθος του προβλήµατος περιορίζεται µόνο από τον αριθ- µό των στηλών και γραµµών που υποστηρίζει η έκδοση Microsoft Excel του συστήµατος του χρήστη. Καθώς µε επέµβαση του χρήστη τα µεγέθη είναι δυνατό να αυξηθούν σηµαντικά, η χειρόγραφη καταχώρηση παραµέτρων και τιµών καθίσταται δυσχερής. Ο χρήστης θα διευκολυνθεί, εάν χρησιµοποιήσει τις λειτουργίες αντιγραφής και επικόλλησης των ε- φαρµογών Windows για τη µεταφορά δεδοµένων που προϋπάρχουν σε άλλα υπολογιστικά φύλλα. Στην Εικόνα 23 και στην Εικόνα 24 παρουσιάζεται ένα εκτενές παράδειγµα που αφορά ένα πραγµατικό πρόβληµα επιλογής κατοικίας προς ενοικίαση και περιλαµβάνει 4 εναλλακτικές. Κάθε µία αξιολογείται έναντι τεσσάρων βασικών κριτηρίων τα οποία περιλαµβάνουν πλήθος υποκριτηρίων. Η διαδικασία για τη δηµιουργία του παραδείγµατος παραµένει όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα. Αναφέρονται τα χαρακτηριστικά για τα κύρια κριτήρια και συνοπτικά για τα υποκριτήρια, όπου τα δεύτερα παρουσιάζουν ενδιαφέρον. 1. ιαστάσεις χώρων. Σύνθετο κριτήριο που µπορεί ερµηνευτεί τόσο µε ποιοτικά όσο και ποσοτικά κριτήρια. Ενδεικτικά αναφέρονται 1. Καθιστικό. Αξιολογείται ως ποιοτικό κριτήριο, το οποίο αποδίδει την προσέγγιση του χώρου σε διάσταση χωρίς κοινό διαιρέτη (π.χ. 3m * 5m * 7m). Για τις ανάγκες του παραδείγµατος, το εύρος τιµών του ορίζεται στο διάστηµα ωµάτιο 1. Ποσοτικό χαρακτηριστικό, στο οποίο καταµετράται το εµβαδόν του χώρου, σε τετραγωνικά µέτρα. ιάσταση στο εύρος 1-50 τετραγωνικά

117 6. Μπάνιο 2. Θεωρείται βοηθητικό χρηστικά, συνεπώς ενδιαφέρει η παρουσία µάλλον παρά το εµβαδό. Τιµές στο ζεύγος {0, 1} ανάλογα της ύ- παρξης ή όχι δεύτερου µπάνιου στο διαµέρισµα. 8. Αποθήκη 1. Ποιοτικό χαρακτηριστικό, διότι η καταµέτρηση των χώρων της δεν είναι πάντοτε εφικτή, ειδικά αν αφορά πατάρι. Κλίµακα του κριτηρίου στο διάστηµα Όροφος. Εµφανίζεται σε µορφή κλάσµατος, όπου ο αριθµητής αφορά τον όροφο στον οποίο βρίσκεται το διαµέρισµα, και ο παρονοµαστής το συνολικό ύψος της οικοδοµής. 2. Κατάσταση χώρων. Σύνθετο κριτήριο, που εκτιµάται σε επιµέρους ποιοτικά κριτήρια. ηλώνει την αντιληπτή κατάσταση των χώρων που καταµετρήθηκαν στο πρώτο κριτήριο. Επιπλέον, βαθµολογούνται οι ηλεκτρικές και υδραυλικές εγκαταστάσεις, το σύστηµα θέρµανσης κλπ. Το εύρος της αξιολόγησης κυµαίνεται από 1 έως 5 σε κάθε υποκριτήριο. Ενδεικτικά: 1. Καθιστικό. Σηµαντικό κριτήριο, διότι αφορά χώρο κοινόχρηστο στον οποίο διατίθενται πολλές ώρες των µελών της οικογένειας, συνεπώς του αποδίδεται υψηλό βάρος σε σύγκριση µε τα υπόλοιπα υποκριτήρια. 2. ωµάτιο 1. Το κυρίως υπνοδωµάτιο ενός ζεύγους. Αποδίδεται υψηλό βάρος. 11. Ηλεκτρολογικά. Σηµαντικό κριτήριο, διότι αφορά την ικανότητα παροχής ρεύµατος σε ευκολίες ηλεκτρικών συσκευών απαραίτητες στο σύγχρονο νοικοκυριό. 3. Στοιχεία πολυκατοικίας. Το κύριο κριτήριο αφορά πληθώρα ποιοτικών και ποσοτικών κριτηρίων µε πληροφορίες για το κτήριο του διαµερίσµατος και την περιοχή όπου αυτό έχει ανεγερθεί. Τα ποιοτικά κριτήρια εκφράζονται σε εύρος 1-5: Τα υποκριτήρια είναι ωφέλειας, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά. 1. Ηλικία. Ενδεικτικό και της κατάστασης του κτίσµατος. Ποσοτικό κριτήριο στο οποίο µικρότερες τιµές είναι καλύτερες. 2. Κατασκευή. Ποιοτικό κριτήριο το οποίο αποδίδει κατά εκτίµηση την κατάσταση της πολυκατοικίας στο σύνολο. 3. Θέση στάθµευσης. Ποσοτικό κριτήριο, στο οποίο καταµετρούνται οι θέσεις στάθµευσης που παρέχονται µε το διαµέρισµα. Τιµές στο διάστηµα

118 4. Χώροι στάθµευσης. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά την ευκολία εύρεσης στάθµευσης στη περιοχή της πολυκατοικίας. 5. Ανελκυστήρας. Ποιοτικό κριτήριο που εκφράζει τους χώρους και το ω- φέλιµο φορτίο του ανελκυστήρα της οικοδοµής. 6. Περιβάλλων χώρος. Ποιοτικό κριτήριο, εκφράζει την εκτίµηση του αποφασίζοντα για την περιοχή της πολυκατοικίας. 7. Φωτεινότητα. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά την πρόσβαση του διαµερίσµατος και της οικοδοµής στο ηλιακό φώς. 8. Θέα. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά το εύρος ορίζοντα γύρω από την οικοδοµή. 9. Προσβάσιµες ευκολίες. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά την ευκολία πρόσβασης σε καθηµερινές δραστηριότητες, όπως καταστήµατα τροφίµων κλπ 10. Συγκοινωνία. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά τη συχνότητα εξυπηρέτησης της περιοχής από αστική συγκοινωνία. 11. Καθαρότητα ατµόσφαιρας. Ποιοτικό κριτήριο, αφορά την εκτίµηση για την επιβάρυνση του αέρα στην περιοχή της οικοδοµής. 4. Κόστος χρήσης. Συνδυασµός ποιοτικών και ποσοτικών κριτηρίων που αφορούν το κόστος ενοικίασης και χρήσης της υποψήφιας κατοικίας. 1. Ενοίκιο. Ποσοτικό κριτήριο κόστους εκφρασµένο σε ευρώ, µε δηλωµένη ελάχιστη διαφορά 30 µονάδες. 2. Κοινόχρηστα. Ποσοτικό κριτήριο κόστους, αφορά εκτίµηση για την επιβάρυνση του ενοικίου µε έξοχα κοινοχρήστων. 3. Ψύξη / Θέρµανση. Ποιοτικό κριτήριο ωφέλειας, αφορά την εκτίµηση για την ικανότητα του οικήµατος να ανταπεξέλθει σε ακραίες καιρικές συνθήκες χωρίς χρηµατική επιβάρυνση. 4. ΕΗ / ήµος. Ποιοτικό κριτήριο ωφέλειας, αφορά την εκτίµηση για την πιθανή επιβάρυνση του κόστους χρήσης µε έξοδα του δήµου στον οποίο ανήκει το οίκηµα. 5. Επισκευές. Ποσοτικό κριτήριο κόστους, αφορά την εκτίµηση για τις α- ναγκαίες προσθήκες ή επισκευές που θα διευκολύνουν τη διαµονή στο διαµέρισµα

119 Εικόνα 23 : Πρόβληµα επιλογής ενοικιαζόµενης κατοικίας Εικόνα 24 : Πρόβληµα επιλογής ενοικιαζόµενης κατοικίας (συνέχεια) Το αποτέλεσµα της κατάταξης εµφανίζεται ιδιαίτερα ευαίσθητο στις παραµέτρους του κριτηρίου «Κόστος Χρήσης». Ενδεικτικά, η αλλαγή της Ειδικής ιαφοράς στο υποκρι