Ανάλυση κατά συστάδες με χρήση στατιστικών πακέτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανάλυση κατά συστάδες με χρήση στατιστικών πακέτων"

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εφαρμοσμένη Πολυμεταβλητή Ανάλυση : Ανάλυση κατά συστάδες 1. Εισαγωγή Ανάλυση κατά συστάδες με χρήση στατιστικών πακέτων Η ομαδοποίηση δεδομένων που έχουν συγκεντρωθεί από πραγματικές εφαρμογές δεν θα μπορούσε να διεκπεραιωθεί χωρίς τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών τόσο λόγω της πολυπλοκότητας των διαθέσιμων αλγορίθμων όσο και το όγκου των πράξεων που πρέπει να γίνουν ιδιαίτερα στην περίπτωση ύπαρξης μεγάλου πλήθους δεδομένων. Σήμερα, πέρα από τα διάφορα μεμονωμένα προγράμματα που τρέχουν αλγόριθμους ομαδοποίησης, όλα σχεδόν τα στατιστικά πακέτα περιέχουν εντολές cluster analysis ενώ παράλληλα υπάρχουν και στατιστικά πακέτα ειδικά μόνο για cluster analysis όπως το CLUSTAN. Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα στατιστικά πακέτα SPSS και S-Plus για την ομαδοποίηση δεδομένων. 2. Η ανάλυση κατά συστάδες με χρήση του SPSS To SPSS έχει τη δυνατότητα να εκτελέσει δυο βασικές λειτουργίες ομαδοποίησης: μηιεραρχικές μεθόδους(k-means cluster) και ιεραρχικές μεθόδους (Hierarchical cluster). Για να οδηγηθούμε σε αυτές επιλέγουμε αρχικά το menu Analyze και στη συνέχεια την εντολή Classify.

2 2 Πρώτα θα εξετάσουμε την επιλογή K-Means Cluster Analysis. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται εδώ έχει τη δυνατότητα να επεξεργαστεί μεγάλο αριθμό δεδομένων σε σχέση με τις Ιεραρχικές μεθόδους. Οι αποστάσεις υπολογίζονται μόνο με την Ευκλείδεια απόσταση, οπότε αν ε- πιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποιο άλλο μέτρο ομοιότητας ή αποστάσεως θα πρέπει να οδηγηθούμε σε Ιεραρχική μέθοδο ή να κάνουμε κατάλληλους μετασχηματισμούς ώστε ο υπολογισμός της Ευκλείδειας απόστασης στα μετασχηματισμένα δεδομένα να δίνει την απόσταση που μας ενδιαφέρει. Στο παρακάτω εικονίδιο θα πρέπει καταρχήν να εισάγουμε τις μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν για την ομαδοποίηση. Όλες οι μεταβλητές θα πρέπει να είναι ποσοτικές ενώ ακριβώς από κάτω υπάρχει η επιλογή Label Cases by όπου μπορούμε να εισάγουμε (προαιρετικά) μια αλφαριθμητική μεταβλητή με σκοπό την ταυτοποίηση των στοιχείων (labeling cases). Τα σύμβολα που θα δοθούν ως στοιχεία στη μεταβλητή αυτή θα χρησιμοποιηθούν από το πρόγραμμα ως ετικέτες (labels) άτομα που χρησιμοποιούμε. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η τυποποίηση των μεταβλητών μας θα βοηθούσε αρκετά την στατιστική μας ανάλυση. Για παράδειγμα αν μια μεταβλητή έχει σαν μονάδα μέτρησης νομισματική μονάδα και κάποια άλλη έχει χρόνο τότε τα αποτελέσματα που θα εξαχθούν από το πρόγραμμα δεν θα είναι κατατοπιστικά. Για αυτό συνιστάται η τυποποίηση των μεταβλητών πριν ξεκινήσουμε να εκτελέσουμε την k-means μέθοδο. Αυτό είναι εφικτό με την παρακάτω σειρά εντολών Analyze Descriptive Statistics Descriptives. Ένα πολύ σημαντικό συστατικό του αλγόριθμου είναι ο προσδιορισμός από το χρηστή του αριθμού των ομάδων που θα γίνει η ομαδοποίηση και συμπληρώνεται στο Number of Clusters. Ο αριθμός των ομάδων θα πρέπει να είναι τουλάχιστον δυο και να μην υπεβαίνει το πλήθος των ατόμων που περιέχουν τα δεδομένα μας. Εάν επιλέξουμε την ένδειξη Centers>> θα εμφανιστεί το διπλανό εικονίδιο με το οποίο μας δίνεται η δυνατότητα να εισαγάγουμε στον αλγόριθμο τα αρχικά κέντρα των ομάδων απ όπου θα ξεκινήσει η διαδικασία της ομαδοποίησης., Επιλέγοντας την ένδειξη Read initial from και στη συνέχεια την ένδειξη File,μπορούμε να δώσουμε το όνομα του αρχείου από το ο-

3 3 ποίο θα πάρει το πρόγραμμα τα αρχικά κέντρα των ομάδων (μητρικά σημεία). Αυτό γίνεται εφικτό αν προηγουμένως έχουμε δημιουργήσει ένα καινούργιο αρχείο δεδομένων (σε μορφή πίνακα) που θα έχει στήλες όλες τις μεταβλητές των στοιχείων και μια ακόμη στήλη με το όνομα cluster_ ό- που εκεί θα είναι αριθμημένα τα κέντρα βάρους των ομάδων. Η επιλογή από τον χρήστη των αρχικών κέντρων των ομάδων προϋποθέτει κάποια ιδιαίτερη γνώση της υφής δεδομένων ώστε να έχει νόημα να προβεί ο ίδιος στον ορισμό των αρχικών κέντρων. Σε διαφορετική περίπτωση καλό θα είναι να αποφευχθεί η επιλογή αυτής της δυνατότητας, οπότε το πρόγραμμα θα προχωρήσει σε αυτόματο των αρχικών κέντρων. Ακόμη υπάρχει η δυνατότητα αν επιλέξουμε την ένδειξη Write final as να καταχωρήσουμε σε κάποιο αρχείο τα τελικά κέντρα των ομάδων έπειτα από την διαδικασία ομαδοποίησης. Ένα άλλο στοιχείο που καλούμαστε να συμπληρώσουμε στο αρχικό εικονίδιο K-Means Cluster Analysis είναι μια μεταξύ των επιλογών Iterate and Classify και Classify only. Αν επιλέξουμε την ένδειξη Iterate and Classify ο αλγόριθμος θα εκτελέσει επαναλαμβανόμενες ανανεώσεις των κέντρων των ομάδων μέχρις ότου σταθεροποιηθεί η σύσταση των ομάδων (τελική ομαδοποίηση). Αν χρησιμοποιήσουμε την επιλογή Classify only θα γίνει μόνο ένα βήμα, δηλαδή θα ταξινομηθούν απλώς τα στοιχεία με βάση την απόσταση από τα διαθέσιμα κέντρα Με την πρώτη επιλογή Iterate and Classify, δίνεται το διπλανό ειδικό πλαίσιο «K-means Cluster Analysis: Iterate» όπου καλούμαστε να επιλέξουμε το μέγιστο πλήθος των επαναλήψεων του αλγόριθμου και το κριτήριο σύγκλισης. Το πλήθος των επαναλήψεων μπορεί να είναι από 1 έως 999. Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος θα σταματήσει τις επαναλήψεις όταν φτάσει το νούμερο που του έχουμε ορίσει ακόμη και αν δεν ικανοποιείται το κριτήριο σύγκλισης (ισορροπίας) που έχει οριστεί. Το κριτήριο ισορροπίας (Convergence Criterion) καθορίζει το πότε θα σταματήσει η επαναληπτική διαδικασία. Εκφράζεται ως λόγος της ελάχιστης απόστασης μεταξύ δυο αρχικών κέντρων των ομάδων σε σχέση με την απόστασή τους μετά μια επανάληψη. Επομένως οι τιμές που θα δώσουμε πρέπει να είναι μεταξύ 0 και 1. Έτσι για παράδειγμα αν θέσουμε στο κριτήριο την τιμή 0.02 τότε η επαναληπτική διαδικασία θα τερματιστεί όταν μια πλήρης επανάληψη του αλγόριθμου δεν μετακινεί κανένα κέντρο από τις ο- μάδες που έχουν διαμορφωθεί σε μια απόσταση μεγαλύτερη από 2% από τη μικρότερη απόσταση μεταξύ δυο οποιοδήποτε αρχικών κέντρών. Η επιλογή της ένδειξης Use running means έχει ως επακόλουθο τα κέντρα των ομάδων να ανανεώνονται έπειτα από την κατάταξη ενός στοιχείου σε μία ομάδα. Διαφορετικά τα νέα κέντρα βάρους υπολογίζονται όταν όλα τα στοιχεία έχουν τοποθετηθεί στις ομάδας.

4 4 Μια άλλη επιλογή που υπάρχει στο αρχικό εικονίδιο K-Means Cluster Analysis είναι αυτή με την ένδειξη Save. Αυτή η επιλογή μας προσφέρει τη δυνατότητα να αποθηκεύσουμε πληροφορίες από μια λύση σαν νέες μεταβλητές για να τις χρησιμοποιήσουμε σε κάποια άλλη ανάλυση. Στο διπλανό εικονίδιο η ένδειξη Cluster membership δημιουργεί μια νέα μεταβλητή που υποδεικνύει την ομάδα που ανήκει κάθε στοιχείο μετά την στατιστική επεξεργασία. Η νέα αυτή μεταβλητή παίρνει τιμές από 1 έως το πλήθος των ομάδων. Μια άλλη ένδειξη που υπάρχει στο ίδιο εικονίδιο είναι Distance from cluster center η οποία δημιουργεί μια νέα μεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ κάθε στοιχείου και το κέντρου της ομάδας στην οποία ανήκει. Η τελευταία επιλογή που έχουμε να εξετάσουμε είναι αυτή με την ένδειξη options. Εκεί βρίσκονται ορισμένες πρόσθετες πληροφορίες που θα μπορούσαμε να έχουμε στην διάθεσή μας μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας ομαδοποίησης. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να ζητήσουμε την εμφάνιση των αρχικών κέντρων βάρους, τη δημιουργία ενός πίνακα ANOVA, πληροφορίες σχετικά με το σε ποια ομάδα είναι μέλος το κάθε στοιχείο ξεχωριστά. Τέλος μπορούμε να καθορίσουμε με ποιο τρόπο θα χειριστεί το πρόγραμμα τις ελλιπείς τιμές (με ποιο κριτήριο θα αποφασίζεται αν θα εξαιρεθούν από την ανάλυση). Στη συνεχεία θα περιγράψουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να υλοποιηθούν στο SPSS Ιεραρχικοί μέθοδοι ομαδοποίησης (Hierarchical Clustering Methods) και πιο συγκεκριμένα οι συσσωρευτικές μέθοδοι. Αυτή η διαδικασία εντοπίζει σχετικά ομοιογενείς ομάδες από στοιχεία ή μεταβλητές βάσει των επιλεγμένων χαρακτηριστικών και χρησιμοποιώντας ένα αλγόριθμο ο οποίος ξεκινάει με ένα άτομο σε κάθε ομάδα, και με διαδοχικές συνενώσεις καταλήγει σε μια και μόνο ομάδα που περιέχει όλα τα άτομα. Επιλέγουμε αρχικά Analyze Classify Hierarchical Cluster, για να φτάσουμε στο διπλανό εικονίδιο και στην

5 5 συνέχεια καλούμαστε να εισαγάγουμε τις μεταβλητές οι οποίες μπορεί να είναι ποσοτικές, δίτιμες ή κατηγορικές. Όλες οι μεταβλητές που θα εισαχθούν θα πρέπει να είναι του ιδίου τύπου. Ακόμη, όλες οι μεταβλητές θα πρέπει να είναι σε αριθμητική μορφή, για παράδειγμα οι δίτιμες θα πρέπει να περιγράφονται με την μορφή 0 και 1 και όχι με Yes και No. Αν οι μεταβλητές έχουν μεγάλες διαφορές καλό θα ήταν να τις τυποποιήσουμε. Η ομαδοποίηση μπορεί να γίνει είτε θεωρώντας ως άτομα τις γραμμές (cases) των δεδομένων (πρωτεύουσα θεώρηση), είτε θεωρώντας ως άτομα τις στήλες δηλαδή με τις μεταβλητές (variables) που χρησιμοποιήσαμε για τη συλλογή των δεδομένων (δυϊκή θεώρηση). Αν επιλέξουμε ομαδοποίηση για τις γραμμές τότε θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τουλάχιστον μια αριθμητική μεταβλητή. Αν κάνουμε ομαδοποίηση για τις στήλες, θα πρέπει να συμπεριλάβουμε τουλάχιστον τρεις αριθμητικές μεταβλητές στην ανάλυση μας. Ακόμη μπορούμε να επιλέξουμε και μια μεταβλητή-ετικέτα που να χαρακτηρίζει τα στοιχεία ( Label Cases by: ). Ξεκινώντας την παρουσίαση όλων των επιλογών του αρχικού εικονιδίου από αριστερά, η πρώτη ένδειξη που συναντάμε είναι η Statistics. Όπως βλέπουμε στο εικονίδιο παρακάτω υπάρχει μια επιλογή Agglomeration schedule όπου αν την διαλέξουμε τότε στα αποτελέσματα θα έ- χουμε μια αναλυτική πληροφόρηση για τα στοιχεία που συνδυάζονται μεταξύ τους σε κάθε στάδιο της διαδικασίας. Η ένδειξη Proximity matrix εάν επιλεχθεί θα μας δώσει όλες τις αποστάσεις ή τα μέτρα ομοιότητας μεταξύ των στοιχείων ή των μεταβλητών. Η επιλογή Cluster Membership μας δίνει την δυνατότητα απεικόνισης της ομάδας στην οποία κάθε στοιχείο τοποθετείται σε ένα ή περισσότερα σταδία στην διαδικασία της ομαδοποίησης. Η άλλη επιλογή είναι Plots και αναφέρεται στα γραφήματα που μπορεί να παράγει το πρόγραμμα ώστε να απεικονίσει τα στάδια της Ιεραρχικής μεθόδου. Όπως παρατηρούμε και στο εικονίδιο παρακάτω έχουμε τη δυνατότητα να ζητήσουμε τη δημιουργία δενδροδιαγράμματος η οποία αποτελεί και τη συνηθέστερη μορφή γραφικής απεικόνισης της διαδικασίας ομαδοποίησης, δίνοντάς μας παράλληλα και τη δυνατότητα να εξάγουμε πληροφορίες σχετικά και με το βέλτιστο αριθμό ομάδων που υπάρχει στα δεδομένα μας. Μια άλλη

6 6 μορφή γραφήματος είναι το icicle plot. Για το τελευταίο, υπάρχει η δυνατότητα παρουσίασης του για όλες τις ομάδες ή για καθορισμένο εύρος αυτών. Το icicle plot δίνει επίσης πληροφορίες για το πως τα στοιχεία ενώνονται σε ομάδες σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου. Δίνεται η δυνατότητα απεικόνισης αυτού του γραφήματος σε κάθετη ή σε οριζόντια μορφή. Στο κάτω μέρος του icicle plot (ή ισοδύναμα, δεξιά όταν έχουμε επιλέξει την οριζόντια απεικόνιση του γραφήματος) κανένα στοιχείο δεν έχει ακόμη ενωθεί με κάποιο άλλο, ενώ όσο προχωράμε προς τα πάνω (από δεξιά προς τα αριστερά για την οριζόντια μορφή), τα στοιχεία που ενώνονται σημειώνονται με ένα Χ ή με μια παύλα στην στήλη που βρίσκεται ανάμεσα τους. Οι διαφορετικές ομάδες διακρίνονται από την κενή στήλη που αφήνεται μεταξύ τους. Στην επιλογή Method βρίσκεται η καρδιά μιας Ιεραρχικής διαδικασίας αφού εδώ μπορούμε να διαλέξουμε με ποια μέθοδο επιθυμούμε να γίνει η ομαδοποίηση. Διαθέσιμες μέθοδοι τις ο- ποίες έχουμε εξετάσει αναλυτικά στην θεωρητική ενότητα είναι οι ακόλουθες : Between-groups linkage Within-groups linkage Nearest neighbor Furthest neighbor Centroid clustering Median Clustering Ward s method Ένα άλλο στοιχείο που μας ζητείται να συμπληρωθεί είναι το είδος του μέτρου ομοιότητας ή αποστάσεως που θα χρησιμοποιήσει η μέθοδος. Τα διαθέσιμα μέτρα και αποστάσεις χωρίζονται ανάλογα με το τύπο των μεταβλητών που έχουν εισαχθεί στην ανάλυση. Έτσι για Ποσοτικά δεδομένα (interval data) έχουμε στην διάθεση μας τα ακόλουθα: Euclidean distance, squared Euclidean distance, cosine, Pearson correlation, Chebychev, block, Minkowski και

7 7 customized. Για απαριθμητά δεδομένα (Count data) έχουμε chi-square measure και phi-square measure. Τέλος για Δίτιμα δεδομένα υπάρχει μια πληθώρα μέτρων όπως : Euclidean distance, squared Euclidean distance, size difference, pattern difference, variance, dispersion, shape, simple matching, phi 4-point correlation, lambda, Anderberg s D, dice, Hamann, Jaccard, Kulczynski 1, Kulczynski 2, Lance and Williams, Ochiai, Rogers and Tanimoto, Russel and Rao, Sokal and Sneath 1, Sokal and Sneath 2, Sokal and Sneath 3, Sokal and Sneath 4, Sokal and Sneath 5, Yule s Y, and Yule s Q. Στις δίτιμες μεταβλητές υπάρχει η επιλογή του συμβολισμού με 1 ή 0 για την παρουσία ή όχι ενός χαρακτηριστικού. Η επιλογή Transform Values μας επιτρέπει να τυποποιήσουμε τις τιμές των μεταβλητών μας ( δεν πρέπει να είναι δίτιμες) με διάφορες μεθόδους που διαθέτει. Ενώ η επιλογή Transform Measures μας επιτρέπει να μετασχηματίσουμε τις τιμές που προκύπτουν από τις μετρήσεις των αποστάσεων. Ακόμη μια επιλογή που υπάρχει στο αρχικό εικονίδιο της Ιεραρχικής μεθόδου είναι αυτό με την ένδειξη Save όπου μας δίνεται η δυνατότητα όπως φαίνεται παρακάτω- να αποθηκεύσουμε τη σύσταση των ομάδων σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο (αριθμό ομάδων) της ιεραρχικής δοκιμασίας ή σε ένα συγκεκριμένο εύρος μεταξύ δυο επιπέδων της ιεραρχικής δοκιμασίας (το τελευταίο οριοθετείται με τον αριθμό των ομάδων ανάμεσα στις οποίες θέλουμε να κινηθούμε). Οι αποθηκευμένες μεταβλητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οποιαδήποτε άλλη στατιστική ανάλυση των δεδομένων. 2. Η ανάλυση κατά συστάδες με χρήση του S-Plus Το επόμενο στατιστικό πακέτο που θα εξετάσουμε είναι το S-Plus. Αυτό το πακέτο έχει τη δυνατότητα να εκτελεί τις διάφορες εντολές ομαδοποίησης δεδομένων με δυο τρόπους. Ο πρώτος είναι απευθείας από το γραφικό περιβάλλον του προγράμματος όπου υπάρχει ειδική ενότητα για ομαδοποίηση δεδομένων και ο δεύτερος είναι με χρήση ενός πλήθους εντολών που αφορούν αυτήν την διαδικασία σε ένα ειδικό παράθυρο εντολών (Commands Window). Ουσιαστικά ο πρώτος τρόπος εκμεταλλεύεται κάποιο τμήμα των εντολών του πακέτου (που είναι παράλληλα και οι πιο βασικές) οι οποίες τοποθετούνται σε γραφικό περιβάλλον που είναι φιλικό στον χρήστη. Από την άλλη πλευρά η χρήση του παραθύρου εντολών εκμεταλλεύεται πλήρως τις διαθέσιμες εντολές και

8 8 ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να δουλέψε, σε διάφορες παραλλαγές και ρυθμίσεις που του παρέχουν οι εντολές, προσαρμόζοντάς τες ανάγκες του. Στην παρουσίαση που θα ακολουθήσει θα εξετάσουμε τις λειτουργίες και δυνατότητες του πρώτου τρόπου χειρισμού του πακέτου και παράλληλα θα γίνεται μια αναφορά στις διάφορες ε- ντολές που αφορούν την Ομαδοποίηση Δεδομένων. Εφόσον έχουμε εισάγει στο πακέτο τα δεδομένα μας είτε με την εντολή File Import File από κάποιο αρχείο είτε απευθείας σε ένα φύλλο εργασίας (Data Set), είμαστε έτοιμοι να προχωρήσουμε στην επεξεργασία τους με την επιλογή από το μενού Statistics Cluster Analysis όπου εκεί έχουμε μια σειρά μεθόδων ο- μαδοποίησης. Διακρίνουμε δυο κατηγορίες μεθόδων, τις μη Ιεραρχικές μεθόδους όπως είναι οι k-means, Partinioning Around Medoids και Fuzzy Partitioning και από την άλλη πλευρά τις Ιεραρχικές μεθόδους όπου σε αυτό το σημείο το πακέτο έχει την δυνατότητα εκτέλεσης και των δυο τύπων αλγόριθμων που είναι ο συσσωρευτικός (Agglomerative) και ο Διαιρετικός (Divisive). Τέλος με την επιλογή Compute Dissimilarities το πακέτο υπολογίζει τις αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου δεδομένων τις οποίες κάνουν χρήση κάποιοι αλγόριθμοι όπως οι Ιεραρχικοί, Partinioning Around Medoids και Fuzzy Partitioning. Η επιλογή της μεθόδου k-means μας οδηγεί στο παράθυρο που φαίνεται παρακάτω όπου εκεί καλούμαστε να δηλώσουμε το όνομα του συνόλου των δεδομένων, τις μεταβλητές που θα ληφθούν υπόψη στην διαδικασία, τον αριθμό των ομάδων( Num of Clusters ) ή ένα πίνακα αρχικών τιμών για τα κέντρα βάρους, το μέγιστο αριθμό των επαναλήψεων του αλγόριθμου ( Max Iterations ), την παράλειψη γραμμών όπου υπάρχουν ελλιπείς τιμές (Missing Values), την επιλογή ενός υποσυνόλου γραμμών ( Subset Rows with ) που να πληρούν κάποια συνθήκη για κάποια μεταβλητή ή τη συμμετοχή όλων των γραμμών

9 9 στην ανάλυση αν αφήσουμε κενό αυτό το πεδίο και τέλος μπορούμε να αποθηκεύσουμε αυτό το μοντέλο ανάλυσης με κάποιο όνομα ώστε να μπορούμε να το καλέσουμε οποιαδήποτε στιγμή το χρειαστούμε. Ο αλγόριθμος ανακατανέμει τα στοιχεία των ομάδων με βάση τις αποστάσεις τους από τα κέντρα βάρη των εκάστοτε διαμορφωμένων ομάδων. Το κέντρο βάρους μιας ομάδας u είναι ένα σημείο στο p-διάστατο χώρο (p- μεταβλητές) βρίσκοντας τους μέσους όρους των μετρήσεων σε κάθε μεταβλητή. Για παράδειγμα η r- συντεταγμένη του είναι x r 1 n ( u) = όπου με C u συμβολίζουμε το σύνολο των δεικτών της ομάδας u ( η οποία περιέχει n u στοιχεία). Έτσι το κέντρο βάρους μιας ομάδας u δίνεται από την παρακάτω σχέση x( u) = ( x1( u), x2( u),..., x p( u)) Όσον αφορά τον τρόπο παρουσίασης των αποτελεσμάτων υπάρχει η επιλογή Results όπου εκεί μπορούμε να δηλώσουμε αν θέλουμε και σε τι βαθμό ή όχι την λίστα των αποτελεσμάτων, ακόμη μπορούμε να αποθηκεύσουμε με κάποιο όνομα την διανομή των στοιχείων των δεδομένων μας στις διάφορες ομάδες. Στο παράθυρο των αποτελεσμάτων (Report Window) εμφανίζονται τα κέντρα των δυο ο- μάδων με την μορφή διανυσμάτων με τις τιμές των μεταβλητών όπως φαίνονται παρακάτω, στην συνέχεια περιγράφεται η ταξινόμηση των στοιχείων με την σειρά που έχουν στα δεδομένα, επίσης αναφέρεται και το άθροισμα των τετραγώνων της κάθε ομάδας και τέλος δίνεται το πλήθος των στοιχείων που αποτελούν την κάθε ομάδα. Στην συνέχεια θα δούμε μια άλλη μη Ιεραρχική μέθοδο την Partitioning Around Medoids η οποία έχει κοινά στοιχεία με την k-means αλλά αντί για κέντρα βάρους (centroids) χρησιμοποιεί medoids. Ο αλγόριθμος επεξεργάζεται τον πίνακα των αποστάσεων των δεδομένων και σε πρωτη φάση υπολογίζει k αντιπροσωπευτικά αντικείμενα τα οποία ονομάζονται medoids όπου ο αριθμός k ορίζεται από τον χρήστη. Ο αλ- u i C u x ir

10 10 γόριθμος με τον οποίο γίνεται η επιλογή των k αντιπροσωπευτικών αντικειμένων (Medoids) αποτελείται από τα παρακάτω βήματα. 1. Θεωρούμε ένα στοιχείο i το οποίο δεν έχει ακόμη επιλεχθεί. 2. Θεωρούμε ένα μη επιλεγμένο στοιχείο j και υπολογίζουμε την διαφορά μεταξύ της απόστασης του D j με τα πιο όμοια προς αυτό επιλεγμένα στοιχεία και της απόστασής του με το αντικείμενο i. 3. Εάν αυτή η διαφορά είναι θετική, το αντικείμενο j θα συνεισφέρει στην απόφαση της επιλογής του στοιχείου i. Έτσι υπολογίζουμε την ποσότητα 4. Υπολογίζουμε το άθροισμα j C ji ji = max( D j d ij,0) C για την επιλογή του στοιχείου i. 5. Επιλέγουμε το μη επιλεγμένο ακόμη στοιχείο i το οποίο μεγιστοποιεί το άθροισμα j Η παραπάνω διαδικασία συνεχίζεται έως ότου βρεθούν τα k αντιπροσωπευτικά αντικείμενα. Στη συνέχεια κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται στο πλησιέστερο medoid και στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των αποστάσεων όλων των στοιχείων στο πλησιέστερο medoid. C. ji d ij Ο αλγόριθμος αυτός σε σύγκριση με την k-means υπερέχει στα εξής σημεία: (α) Έχει την δυνατότητα να δεχτεί ένα πίνακα αποστάσεων (Dissimilarity Matrix). (β) Είναι πιο αποτελεσματικός διότι προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει ένα άθροισμα από αποστάσεις (sum of dissimilarities) έναντι ενός αθροίσματος από τετράγωνα Ευκλείδειων αποστάσεων. (γ) Ακόμη έχει την δυνατότητα παραγωγής διαφόρων γραφημάτων. Στο παράθυρο που αντιστοιχεί σε αυτήν τη μέθοδο όπως φαίνεται παρακάτω καλούμαστε να δηλώσουμε το όνομα του συνόλου των δεδομένων, τις μεταβλητές που θα λάβουν μέρος στην διαδικασία, την όποια εξαίρεση γραμμών, την παράλειψη γραμμών με ελλιπείς τιμές, τη χρήση πίνακα αποστάσεων στην περίπτωση όπου δεν έχουμε αριθμητικά δεδομένα αλλά μπορούμε να εξάγουμε ένα τέτοιο πίνακα από την επιλογή Statistics Cluster Analysis Compute Dissimilarities. Ακόμη υπάρχει η δυνατότητα επιλογής της μετρικής που θα χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο πίνακας

11 11 των αποστάσεων, η μια είναι η Ευκλείδεια που ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των διαφορών και η άλλη είναι η manhattan που είναι το άθροισμα των απόλυτων διαφορών. Μια πολύ χρήσιμη επιλογή είναι αυτή της τυποποίησης των μεταβλητών και συνιστάται η χρήση της σε περίπτωση που οι μεταβλητές μας περιγράφουν διαφορετικά μεγέθη και υπάρχει μεγάλη διαφορά στις μονάδες μέτρησης. Οι δυο τελευταίες επιλογές που αναφέραμε έχουν νόημα μόνο όταν έχουμε ένα σύνολο δεδομένων και όχι ένα πίνακα αποστάσεων. Κάποια άλλα στοιχεία που πρέπει να εισάγουμε στον αλγόριθμο είναι το πλήθος των ομάδων και ακόμη μπορούμε να επιλέξουμε την ένδειξη Use Large Data Algorithm στην περίπτωση που έχουμε μεγάλο αριθμό δεδομένων με τη διαφορά ότι θα πρέπει να εισάγουμε το σύνολο δεδομένων και όχι τον πίνακα αποστάσεων. Τέλος υπάρχουν οι επιλογές της αποθήκευσης του μοντέλου που δημιουργήσαμε καθώς και των δεδομένων και των αποστάσεων, όπου η αποθήκευση αυτών των πληροφοριών είναι αναγκαία προϋπόθεση για την δημιουργία γραφήματος Clusplot που θα εξετάσουμε στην συνέχεια. Υπάρχει η δυνατότητα διαχείρισης της παρουσίασης των αποτελεσμάτων με τις κατάλληλες ρυθμίσεις στο παράθυρο Results όπου έχουμε περιγράψει προηγούμενα. Στο παράθυρο των αποτελεσμάτων (Report Window) φαίνεται το συντακτικό της εντολής που χρησιμοποιήθηκε και εμφανίζονται κατά σειρά τα medoids που επιλέχθηκαν από τον αλγόριθμο, το διάνυσμα (Clustering Vector) που μας δίνει την ταξινόμηση των παρατηρήσεων στις ομάδες και στο τέλος δίνεται η Objective function κατά τα δυο στάδια του αλγόριθμου που είναι το Build-step και το Swap-step όπου ορίζεται ως εξης: n Obj.Function= d ( i, mν ), i είναι το στοιχείο εκείνο ι i= 1 που τοποθετείται στην ομάδα ν i και το medoid mν ι είναι το πλησιέστερο από οποιοδήποτε άλλο. Ένα πολύ σημαντικό εργαλείο αυτής της μεθόδου είναι η δημιουργία γραφημάτων. Δυο είναι τα διαθέσιμα γραφήματα, το Clusplot και το Silhouette Plot που μπορούμε να επιλέξουμε στο

12 12 παράθυρο Plot. Το clusplot απεικονίζει όλα τα στοιχεία των δεδομένων σε ένα διδιάστατο σύστημα αξόνων και με το σχήμα της έλλειψης περιγράφει την κάθε ομάδα που έχει προκύψει από την ανάλυση. Το δεύτερο γράφημα είναι το Silhouette Plot, το οποίο μας δείχνει την ισχύ της σχέσης κάθε στοιχείου με την ομάδα που ανήκει σύμφωνα με την ανάλυση που έχει γίνει. Για κάθε παρατήρηση i, μια οριζόντια γραμμή σχεδιάζεται της οποίας το μήκος είναι το Silhouette width s(i) της παρατήρησης. Έστω ότι το στοιχείο i ανήκει στην ομάδα Α τότε συμβολίζουμε με α(i) το μέσο όρο των αποστάσεων του στοιχείου i από όλα τα υπόλοιπα στοιχεία της ομάδας Α. Στην συνέχεια θεωρούμε μια άλλη ομάδα C και συμβολίζουμε με d(i,c) το μέσο όρο των αποστάσεων του στοιχείου i από όλα τα στοιχεία της ομάδας C. Αφου υπολογίσουμε τα d(i,c) για όλα τα C A, επιλέγουμε το μικρότερο από αυτά και το συμβολίζουμε με b(i) b( i) = min d ( i, C) C A Έτσι είμαστε σε θέση να ορίσουμε την ποσότητα s(i) a( i) 1 b( i) s( i) = 0 b( i) 1 a( i) αν α(i)<b(i) αν α(i)=b(i) αν α(i)>b(i) Οι παρατηρήσεις που εμφανίζονται στο Silhouette Plot είναι κατανεμημένες ανά ομάδα και ξεκινάνε από την 1 η ομάδα να βρίσκεται στην κορυφή. Όσες παρατηρήσεις έχουν μεγάλο s(i) (δηλ. κοντά στο 1) είναι μια ένδειξη για το ότι πολύ σωστά έχουν κατανεμηθεί στην ομάδα που ανήκουν. Αν πάλι κάποιες παρατηρήσεις έχουν μικρό s(i) (δηλ. γύρω από το μηδέν) αυτό σημαίνει ότι αυτές οι παρατηρήσεις θα μπορούσαν να βρίσκονται κάλλιστα και στις δυο ομάδες. Τέλος υ- πάρχει η περίπτωση όπου κάποιες παρατηρήσεις έχουν αρνητική τιμή s(i) αυτό μας υποδεικνύει ότι αυτές οι παρατηρήσεις έχουν τοποθετηθεί λανθασμένα σε αυτήν την ομάδα.

13 13 Εφόσον έχουμε περιγράψει τις καλούμενες μη-ιεραρχικές μεθόδους θα προχωρήσουμε στην εξέταση των δυνατοτήτων του πακέτου στις Ιεραρχικές μεθόδους οι οποίες, όπως γνωρίζουμε, διακρίνονται σε Συσσωρευτικές (Agglomerative) και Διαιρετικές (Divisive). Πρώτα θα εξετάσουμε την Συσσωρευτική μέθοδο. Όπως παρατηρούμε στο διπλανό παράθυρο που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη μέθοδο, ζητείται από τον χρήστη να δηλώσει το σύνολο δεδομένων που θα χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση καθώς και ποιες μεταβλητές θα λάβουν μέρος σε αυτήν. Επίσης μπορούμε να επιλέξουμε ποιες ακριβώς γραμμές θέλουμε να συμπεριληφθούν στην ανάλυση τις οποίες δηλώνουμε στο πεδίο Subset Rows with, όπως μπορούμε να δηλώσουμε να παραλειφθούν από την διαδικασία οι γραμμές στις οποίες υπάρχουν ελλιπείς τιμές missing values. Εάν οι τιμές που έχουμε δεν είναι αριθμητικές (numeric) αλλά κατηγορικές (factor) υπάρχει η δυνατότητα να κάνουμε χρήση του Dissimilarity Object αφού πρώτα το υπολογίσουμε από την επιλογή Statistics Cluster Analysis Compute Dissimilarities. Ακόμη υπάρχει η δυνατότητα της επιλογής της μετρικής που θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του πίνακα των αποστάσεων του συνόλου των δεδομένων. Στη διάθεση μας υπάρχουν δυο μετρικές, Euclidean και Manhattan. Μια πολύ σημαντική επιλογή είναι αυτής της τυποποίησης (standardize) των μεταβλητών μας κατά την οποία αφαιρείται από κάθε τιμή η μέση τιμή της μεταβλητής όπου ανήκει και εν συνεχεία διαιρείται αυτή η διαφορά με την απόλυτη μέση απόκλιση. Η διαδικασία της ομαδοποίησης μπορεί να γίνει με μια από της παρακάτω γνωστές μεθόδους Ιεραρχικής ομαδοποίησης την οποία και συμπληρώνουμε στην επιλογή Linkage Type : Average Complete Single Ward Weighted Στην ενότητα Save Model Object, δίνεται η δυνατότητα στον χρηστή να αποθηκεύσει τα στοιχεία αυτής της ανάλυσης το οποίο είναι και προϋπόθεση για την δημιουργία γραφημάτων. Οι τελευταίες ρυθμίσεις σχετικά με την παρουσίαση των αποτελεσμάτων της ανάλυ-

14 14 σης μπορούν να γίνουν από το παράθυρο Results όπου εκεί δηλώνουμε αν επιθυμούμε την εμφάνιση των αποτελεσμάτων και το όνομα που ενδεχομένως θέλουμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα. Ακόμη υπάρχει η δυνατότητα επιλέγοντας το Cluster Membership να μας παρουσιάσει ένα διάνυσμα-στήλη όπου οι συντεταγμένες του μας δείχνουν την ταξινόμηση κάθε στοιχείου σε κάποια ομάδα (όπως τις δημιούργησε η ανάλυση) και σε συνδυασμό με το παρακάτω από αυτό πεδίο Num of Clusters όπου εκεί μπορούμε να δηλώσουμε το πλήθος των ομάδων που επιθυμούμε να γίνει αυτή η ταξινόμηση. Όπως παρατηρούμε στο παράθυρο εμφάνισης (Report Window) των αποτελεσμάτων, η ε- ντολή που είναι υπεύθυνη για όλη τη διαδικασία είναι η agnes η οποία με όλες τις παραμέτρους που έχουμε δηλώσει κατά την διάρκεια των ρυθμίσεων παίρνει την μορφή που έχουμε παρακάτω. Υπάρχουν ακόμη οι εντολές hclust και mclust οι οποίες έχουν διαφορετικές δυνατότητες σε σχέση με την agnes, όπως για παράδειγμα η mclust έχει κάποιες ιδιαίτερες υπολογιστικές μεθόδους αλλά η χρήση της agnes κρίνεται η καλύτερη δυνατή για τις περισσότερες των περιπτώσεων. Tα αποτελέσματα που παίρνουμε μετά την εκτέλεση της εντολής agnes συνοψίζονται στα ακόλουθα: {merge} εμφανίζει ένα (n-1) x 2 πίνακα, όπου n ο αριθμός των α- ντικειμένων των δεδομένων. Η γραμμή i του πίνακα περιγράφει την συγχώνευση των ομάδων στο βήμα i της ομαδοποίησης. Έστω j ένα στοιχείο σε μια γραμμή του πίνακα merge το οποίο έχει αρνητική τιμή τότε το αντικείμενο j συγχωνεύτηκε σε αυτό το στάδιο. Αν το j έχει θετική τιμή τότε πραγματοποιείται συγχώνευση με αυτήν που συνέβη στο προηγούμενο στάδιο. {order} είναι ένα διάνυσμα με τιμές τη σειρά των αντικειμένων όπως αυτά έχουν σχεδιαστεί στο δενδρόγραμμα. {height} είναι ένα διάνυσμα με τιμές τις αποστάσεις μεταξύ των ομάδων στα διαδοχικά στάδια του αλγόριθμου.

15 15 {Agglomerative coefficient} είναι ένας συντελεστής όπου μετράει την ισχύ της ομαδοποίησης. Για κάθε στοιχείο i, ορίζουμε το μέγεθος l(i) το οποίο ισούται με την αντίστοιχη τιμή στην ποσότητα Height. Ακόμη όπως θα δούμε παρακάτω στο διάγραμμα banner το μήκος κάθε ευθυγράμμου τμήματος που αντιπροσωπεύει κάθε μια παρατήρηση είναι ίσο με l(i). Ο συσσωρευτικός συντελεστής (AC) ορίζεται ως AC = 1 n n i= 1 Ο συντελεστής (AC) παίρνει τιμές από το 0 έως το 1 και εκφράζει την ισχύ της ομαδοποίησης. Όταν ο συντελεστής παίρνει τιμές κοντά στο μηδέν είναι μια ένδειξη για ασθενή συνοχή των δεδομένων μας στην συγκεκριμένη ομαδοποίηση ενώ όταν προσεγγίζει τη μονάδα τότε είναι μια ένδειξη ισχυρής ομαδοποίησης. Επειδή ο συντελεστής (AC) μεγαλώνει όσο αυξάνει το πλήθος των δεδομένων δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σύγκριση l( i) μεταξύ ομάδων δεδομένων με διαφορετικό μέγεθος. Μια πολύ σημαντική λειτουργία της συσσωρευτικής ιεραρχικής μεθόδου είναι αυτή της δημιουργίας γραφημάτων και συγκεκριμένα δενδρογράμματος (Clustering Tree) και Banner Plot. Το δενδρόγραμμα είναι μια γραφική αναπαράσταση της διαδικασίας της ο- μαδοποίησης όπου δείχνει τις παρατηρήσεις που ε- νώνονται για να σχηματίσουν τις ομάδες και τις τιμές των αποστάσεων σε κάθε βήμα του αλγόριθμου. Τα φύλλα (leaves) του δενδρογράμματος που βρίσκονται στο κάτω μέρος του γραφήματος παριστάνουν τις παρατηρήσεις και σε κάθε βήμα έχουμε τις συγχωνεύσεις των στοιχείων έως ότου όλα τα στοιχεία - παρατηρήσεις ενοποιηθούν σε μια ομάδα. Η κάθετη συντεταγμένη του σημείου όπου δυο κλαδιά ενώνονται ισούται με την απόσταση μεταξύ των ομάδων που αντιστοιχούν σε αυτά. Το banner plot απεικονίζει τις διαδοχικές συγχωνεύσεις από τα αριστερά προς τα δεξιά. Τα στοιχεία είναι διαταγμένα από την κορυφή προς το τέλος. Οι συγχωνεύσεις απεικονίζονται από οριζοντιες γραμμές του κατάλληλου μεγέθους το οποίο ταυτίζεται με το ύψος (height).

16 16 Οι πληροφορίες που μας δίνει το banner plot είναι ακριβώς οι ίδιες με αυτές που μας παρέχει το δενδρόγραμμα. Ενώ ο συσσωρευτικός αλγόριθμος ξεκινάει με πολλές ομάδες, οι οποίες συγχωνεύονται και καταλήγουν σε μια, αντίθετα μια διαιρετική διαδικασία ξεκινάει με μια ομάδα που περιέχει όλα τα στοιχεία και σταδιακά διαιρεί τις υπάρχουσες ο- μάδες, διαμορφώνοντας άλλες ομάδες. Το παράθυρο ρυθμίσεων είναι σχεδόν όμοιο με αυτό που έχουμε περιγράψει στο συσσωρευτικό αλγόριθμο ομαδοποίησης με τη μόνη διαφορά ότι εδώ δεν έχουμε τη δυνατότητα επιλογής μεθόδου όπως προηγούμενα. Η μέθοδος (εντολή) diana είναι και η μοναδική που υπολογίζει διαιρετικούς αλγόριθμους, διότι σχεδόν όλο το λογισμικό που υπάρχει σε ιεραρχικές μεθόδους αναλίσκεται σε συσσωρευτικούς αλγόριθμους. Η αρχική ομαδοποίηση (στο βήμα 0) περιέχει μια μεγάλη ομάδα αποτελούμενη από n στοιχεία, σε κάθε βήμα η μεγαλύτερη διαθέσιμη ομάδα διασπάται σε δυο μικρότερες ομάδες έως ότου όλες οι ομάδες να περιέχουν ένα μόνο στοιχείο. Η μέθοδος diana προσφέρει τη δυνατότητα να μας παρέχει το διαιρετικό συντελεστή (divisive coefficient), ο ο- ποίος μετράει τη δομή της ομαδοποίησης του συνόλου των δεδομένων. Για κάθε στοιχείο i, συμβολίζουμε με d(i) την διάμετρο της τελευταίας ομάδας όπου ανήκει (πριν διαμεριστεί στην μονομελή ομάδα), διαιρούμενη με την διάμετρο ολόκληρου του συνόλου των δεδομένων. Έτσι ο διαιρετικός συντελεστής (DC) ορίζεται ως ο μέσος όρος όλων των d(i). Όπως με τον AC στην προηγούμενη ενότητα με την μέθοδο agnes έτσι και ο DC αυξάνει όσο μεγαλώνει και το πλήθος των στοιχείων. Έτσι ο DC δεν μπορεί

17 17 να χρησιμοποιηθεί για την σύγκριση συνόλων δεδομένων με διαφορετικά μεγέθη. Τέλος υπάρχει η δυνατότητα παραγωγής γραφημάτων όμοια με αυτά της συσσωρευτικής διαδικασίας. Στην περίπτωση όπου όλες οι μεταβλητές σε ένα σύνολο δεδομένων είναι δίτιμες, ένας φυσικός τρόπος να ομαδοποιήσουμε τα στοιχεία, είναι να διαμερίσουμε τα δεδομένα σε δυο ομάδες βάσει των δυο τιμών μιας συγκεκριμένης δίτιμης μεταβλητής. Η μέθοδος Monothetic Analysis παράγει μια ιεράρχηση των ομάδων όπου σε κάθε βήμα μια ομάδα διαμερίζεται σε δυο υποομάδες βάσει των τιμών μιας από τις δίτιμες μεταβλητές. Στο παράθυρο των ρυθμίσεων μπορούμε να δηλώσουμε το όνομα του συνόλου των δεδομένων, στο οποίο σύνολο θα πρέπει να περιέχονται μόνο δίτιμες μεταβλητές. Επίσης ο αλγόριθμος μπορεί να δεχτεί ένα περιορισμένο αριθμό ελλιπών τιμών (NA-missing values), όπου κάθε γραμμή θα πρέπει να έχει το λιγότερο μια τιμή διαφορετική από NA. Ενας άλλος περιορισμός είναι ότι καμία μεταβλητή δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τις μισές τιμές ΝΑ. Επίσης θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον μια μεταβλητή η οποία δεν πρέπει να έχει ΝΑ τιμές. Τέλος η ανάλυση δεν επιτρέπει μια μεταβλητή να έχει όλες τις μη-ελλιπείς τιμές ίσες μεταξύ τους. Στην συνέχεια θα εξετάσουμε την παρουσίαση των αποτελεσμάτων μιας Monothetic Analysis, όπου υπεύθυνη είναι η εντολή mona. Σε αντίθεση με τις προηγούμενες μεθόδους οι οποίες μπορούν να δεχτούν εκτός από το πίνακα των στοιχείων και τον πίνακα των αποστάσεων τους, η μέθοδος mona επεξεργάζεται πίνακες δεδομένων με δίτιμες μεταβλητές. Για κάθε διαμέριση, η μέθοδος χρησιμοποιεί μια μόνο μεταβλητή σε κάθε βήμα και από εκεί προέρχεται και το όνομα της (Monothetic). Ο αλγόριθμος mona ξεκινάει από μια μεγάλη ομάδα και σε κάθε βήμα, μια διαθέσιμη ομάδα διαιρείται σύμφωνα με μια μόνο μεταβλητή.

18 18 Η ομάδα αυτή διασπάται σε δυο υποομάδες, μια όπου όλα τα στοιχεία της έχουν την τιμή 1 για την συγκεκριμένη μεταβλητή και μια άλλη όπου τα στοιχεία της έχουν την τιμή 0. Στα αποτελέσματα πρώτα εμφανίζεται ένας διορθωμένος πίνακας Revised data με τα δεδομένα μας όπου όλα είναι κωδικοποιημένα στις τιμές 0, 1 και έχουν αντικατασταθεί όλες οι ελλιπείς τιμές. Στη συνέχεια υπάρχει ένα διάνυσμα order, όπου είναι μια παραλλαγή της σειράς των αρχικών στοιχείων, με σκοπό να επιτρέπεται η σωστή σχεδίαση της ομαδοποίησης. Ένα άλλο διάνυσμα που υπάρχει στα αποτελέσματα είναι το variable όπου έχει n-1 στοιχεία, με n συμβολίζεται ο αριθμός των παρατηρήσεων του συνόλου δεδομένων και καθορίζει τις μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στον διαχωρισμό των παρατηρήσεων. Τέλος μας δίνεται η πληροφορία από το διάνυσμα separation step (το οποιο έχει μήκος n-1) των βημάτων όπου συμβαίνει ο διαχωρισμός των παρατηρήσεων. Μια ακόμη σημαντική λειτουργία της Monothetic Analysis είναι η δημιουργία γραφήματος banner plot. Κλείνοντας αξίζει να αναφέρουμε ότι μέσω του S-plus υπάρχει η δυνατότητα πίνακα αποστάσεων(dissimilarity matrix) για ένα σύνολο δεδομένων. Επίσης υπάρχει η δυνατότητα, να υλοποιήσουμε κα ποιους αλγόριθμους ιεραρχικής ομαδοποίησης ακόμα και αν δεν διαθέτουμε τα αρχικά δεδομένα αλλά κάποιος μας έχει εφοδιάσει απλώς μα τον πίνακα αποστάσεων των ατόμων που θέλουμε να ομαδοποιήσουμε.

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

SPSS Statistical Package for the Social Sciences

SPSS Statistical Package for the Social Sciences SPSS Statistical Package for the Social Sciences Ξεκινώντας την εφαρμογή Εισαγωγή εδομένων Ορισμός Μεταβλητών Εισαγωγή περίπτωσης και μεταβλητής ιαγραφή περιπτώσεων ή και μεταβλητών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑ: Ανάλυση Πολυδιάστατων (Πολυμεταβλητών) Δεδομένων και Συστήματα Εξόρυξης Δεδομένων (Multivariate Data

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Εξόρυξη Δεδομένων. Ανάλυση Δεδομένων. Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα,

ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Εξόρυξη Δεδομένων. Ανάλυση Δεδομένων. Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα, ΕΞΟΡΥΞΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ηλίας Κ. Σάββας Εξόρυξη Δεδομένων Η διαδικασία εύρεσης κρυφών (ήκαλύτεραμηεμφανών) ιδιοτήτων από αποθηκευμένα δεδομένα, Μετατροπή δεδομένων σε ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, Πολλά δεδομένα αποθηκευμένα

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ»

«ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ» Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΑΔΩΝ ΤΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ» Της σπουδάστριας ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑΣ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους.

Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. Το πρόγραμμα συγχρηματοδοτείται 75% από το Ευρωπαϊκό κοινωνικό ταμείο και 25% από εθνικούς πόρους. ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΧΗΜΕΙΑΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ORIGIN ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL 1. Εισαγωγή δεδομένων σε φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Για να τοποθετήσουμε τις μετρήσεις μας σε ένα φύλλο Excel, κάνουμε κλικ στο κελί στο οποίο θέλουμε να τοποθετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 18: Ραβδογράμματα Πληθυσμού

Σενάριο 18: Ραβδογράμματα Πληθυσμού Σενάριο 18: Ραβδογράμματα Πληθυσμού Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Ραβδογράμματα Πληθυσμού Γνωστικό Αντικείμενο: Εφαρμογές Πληροφορικής-Υπολογιστών Διδακτική Ενότητα: Διερευνώ - Δημιουργώ Ανακαλύπτω, Συνθετικές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S.

Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Σημειώσεις για το μάθημα Εργαστήριο στατιστικής Στατιστικό πακέτο S.P.S.S. Παπάνα Αγγελική E mail: papanagel@yahoo.gr, agpapana@gen.auth.gr Α.Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Τμήμα Τυποποίησης και

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel

Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel Επεξεργασία πολλαπλών φύλλων εργασίας - Γραφημάτων Excel 11.1. Πολλαπλά φύλλα εργασίας Στο προηγούμενο κεφάλαιο δημιουργήσαμε ένα φύλλο εργασίας με τον προϋπολογισμό δαπανών του προσωπικού που θα συμμετάσχει

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο 3.07 Να γραφεί αλγόριθμος που θα δημιουργεί πίνακα 100 θέσεων στον οποίο τα περιττά στοιχεία του θα έχουν την τιμή 1 και τα άρτια την τιμή 0. ΛΥΣΗ Θα δημιουργήσω άσκηση βάση κάποιων κριτηρίων. Δηλ. δεν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ System Συμβουλευτική Α.Ε

Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ System Συμβουλευτική Α.Ε σχετικά με τον έλεγχο της καπνιστικής συνήθειας 1 22 Λογισμικές εφαρμογές καταγραφής και αξιοποίησης πληροφοριών σχετικά με τον έλεγχο της καπνιστικής συνήθειας Λογισμική Εφαρμογή Διαχείρισης Ερωτηματολογίων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS

Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS Διερεύνηση της Αξιοπιστίας και της Εγκυρότητας Ψυχομετρικής Κλίμακας με το λογισμικό SPSS 1. Εισαγωγή Άγγελος Μάρκος Αλεξανδρούπολη, 04.04.2013 Η μέτρηση στις επιστήμες της συμπεριφοράς συχνά στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

Survey 123 User Manual

Survey 123 User Manual Survey 123 User Manual 1. Γενικά για το πρόγραμμα 2. Έναρξη προγράμματος 3. Ορισμός χρηστών εφαρμογής 4. Επιλογή - Άνοιγμα έρευνας 5. Δημιουργία νέας έρευνας 6. Δημιουργία έρευνας με βάση το ερωτηματολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. OpenOffice 3.x Calc ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ OpenOffice 3.x Calc Στόχοι: Με τη βοήθεια του οδηγού αυτού ο εκπαιδευόμενος θα μπορεί να: χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία του Calc κατασκευάζει πίνακες δημιουργεί φόρμουλες υπολογισμού κατασκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΕΞΟΡΥΞΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΙΝΑ ΜΑΣΣΟΥ Δ.Π.Μ.Σ: «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» 2008

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στην επιλογή «Κενή βάση δεδομένων» στο Παράθυρο Εργασιών. Θα εμφανιστεί το

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER

Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER Ο ΗΓΙΕΣ DOCUMENT DESIGNER ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εάν δεν επιθυµείτε να χρησιµοποιείτε τις προσχεδιασµένες φόρµες εντύπων της Singular, η εργασία αυτή σας δίνει τη δυνατότητα να σχεδιάζετε φόρµες µε βάση τις οποίες επιθυµείτε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων

Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων Ενότητα 7: Ομαδοποίηση Μέρος Α Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις δεδομένων (Access)

Βάσεις δεδομένων (Access) Βάσεις δεδομένων (Access) Όταν εκκινούμε την Access εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Κουμπί Κενή βάση δεδομένων Κουμπί του Office Για να φτιάξουμε μια νέα ΒΔ κάνουμε κλικ στο κουμπί «Κενή βάση δεδομένων»

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015

Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Φροντιστήρια Επίγνωση Προτεινόμενα Θέματα Πανελλαδικών ΑΕΠΠ 2015 Βάλβης Δημήτριος Μηχανικός Πληροφορικής ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή «Singular M.I.S I».

Εισαγωγή «Singular M.I.S I». Εισαγωγή Είναι γεγονός ότι µια από τις πιο σηµαντικές ανάγκες που αντιµετωπίζει µια επιχείρηση, κατά την εγκατάσταση ενός λογισµικού «πακέτου» (Οικονοµικής & Εµπορικής ιαχείρισης), είναι ο τρόπος µε τον

Διαβάστε περισσότερα

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0

Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Εξεταστέα Ύλη (Syllabus) Έκδοση 5.0 Πνευματικά Δικαιώματα 2007 Ίδρυμα ECDL (ECDL Foundation www.ecdl.org) Όλα τα δικαιώματα είναι κατοχυρωμένα. Κανένα μέρος αυτού του εγγράφου δεν μπορεί να αναπαραχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση

B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση B) Ετοιμάζοντας μια Παρουσίαση Τι είναι μια παρουσίαση με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ο υπολογιστής με την κατάλληλη εφαρμογή, μπορεί να μας βοηθήσει στη δημιουργία εντυπωσιακών εγγράφων, διαφανειών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ :

4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : 4 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΚΟΠΟΣ : Σκοπός του συγκεκριμένου φύλλου εργασίας είναι ο μαθητής να εξοικειωθεί με τις συναρτήσεις, τις αριθμητικές πράξεις καθώς και την επισήμανση κελιών υπό όρους με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

5. ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

5. ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 5. ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Το μοντέλο που δημιουργήσαμε στο προηγούμενο εργαστήριο έχει βελτιωθεί εν μέρει ώστε να συμπεριλάβει και κάποιες δυνατότητες οι οποίες απαιτούν σχετικά εξειδικευμένες

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού CHIC Analysis

Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού CHIC Analysis Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού Άγγελος Μάρκος, Γεώργιος Μενεξές, Γιάννης Παπαδηµητρίου Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Μακεδονίας Εισαγωγή Το C.HI.C. (Correspondence

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1 ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ GRS-1 Σελίδα 1 ΓΕΝΙΚΑ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το GRS-1 της TOPCON διαθέτει λειτουργικό σύστημα Windows CE NET 6.1 παρέχοντας την δυνατότητα εγκατάστασης οποιασδήποτε εφαρμογής και λογισμικού έκδοσης

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο διαχείρισης χρηστών και λιστών διανομής για τον Υπεύθυνο Φορέα του Δικτύου "Σύζευξις" -1-

Εγχειρίδιο διαχείρισης χρηστών και λιστών διανομής για τον Υπεύθυνο Φορέα του Δικτύου Σύζευξις -1- -1- 1 Διαχείριση Χρηστών...3 1.1 Υπηρεσίες...5 1.1.1 Δημιουργία νέου χρήστη...6 1.1.2 Αναζήτηση χρήστη...7 1.1.2 Επεξεργασία στοιχείων χρήστη...8 1.1.3 Δημιουργία /Επεξεργασία mailbox plan...10 1.1.4 Ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ευ ομή. Εγχειρίδιο χρήσης του περιβάλλοντος LT125-dp

Ευ ομή. Εγχειρίδιο χρήσης του περιβάλλοντος LT125-dp Ευ ομή Εγχειρίδιο χρήσης του περιβάλλοντος LT125-dp Περιεχόμενα 1. Χειρισμός του περιβάλλοντος LT125-dp Εγκατάσταση & Τρέξιμο Χειρισμός της ψηφιακής εφαρμογής Πλοήγηση στο περιεχόμενο Αλλαγή του μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο SPSS. ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας

Εισαγωγή στο SPSS. ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας Εισαγωγή στο SPSS ΚΕΔΙΜΑ 28/9/2013 Γεώργιος Σπανούδης (spanouod@ucy.ac.cy) Τμήμα Ψυχολογίας Στόχος του μαθήματος Τα τέσσερα παράθυρα του SPSS Η διαχείριση των αρχείων δεδομένων Βασικά στοιχεία ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

I student. Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ

I student. Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ I student Μεθοδολογική προσέγγιση και απαιτήσεις για την ανάπτυξη των αλγορίθμων δρομολόγησης Χρυσοχόου Ευαγγελία Επιστημονικός Συνεργάτης ΙΜΕΤ Ινστιτούτο Bιώσιμης Κινητικότητας και Δικτύων Μεταφορών (ΙΜΕΤ)

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

2. Εισαγωγή Δεδομένων σε Σχεσιακή Βάση Δεδομένων

2. Εισαγωγή Δεδομένων σε Σχεσιακή Βάση Δεδομένων 2. Εισαγωγή Δεδομένων σε Σχεσιακή Βάση Δεδομένων Μετά τον μετασχηματισμό των δεδομένων με τη χρήση του Excel, τα δεδομένα θα εισαχθούν σε μια σχεσιακή βάση δεδομένων (Microsoft SQL Sever 2005) ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλαίσιο. Απαιτήσεις Μοντέλο εδοµένων. MinusXLRequirements. Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm

Γενικό πλαίσιο. Απαιτήσεις Μοντέλο εδοµένων. MinusXLRequirements. Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm MinusXLRequirements Απόστολος Ζάρρας http://www.cs.uoi.gr/~zarras/se.htm Γενικό πλαίσιο Μια από τις πιο γνωστές και ευρέως διαδεδομένες εμπορικές εφαρμογές για τη διαχείριση λογιστικών φύλλων είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2007 Ε.Ν. Σωσσίδου και Δ. Κ. Ψευτογιάννη

Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2007 Ε.Ν. Σωσσίδου και Δ. Κ. Ψευτογιάννη Πρόλογος Η πλατιά εφαρμογή των στατιστικών μεθόδων, καθώς και η ραγδαία ανάπτυξη των πληροφοριακών συστημάτων και των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Η/Υ), είχαν ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη ενός αρκετά μεγάλου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Εκτυπώσεις -> Ενσωματωμένες -> Νέες Μισθολογικές Εκτυπώσεις -> Νέα Μηνιαία Κατάσταση (3 γραμμές) Α3 (Οριζόντια) Α/Α 1037

Εκτυπώσεις -> Ενσωματωμένες -> Νέες Μισθολογικές Εκτυπώσεις -> Νέα Μηνιαία Κατάσταση (3 γραμμές) Α3 (Οριζόντια) Α/Α 1037 Εκτυπώσεις -> Ενσωματωμένες -> Νέες Μισθολογικές Εκτυπώσεις -> Νέα Μηνιαία Κατάσταση (3 γραμμές) Α3 (Οριζόντια) Α/Α 1037 Πρόκειται για εκτύπωση που απεικονίζει μία ή περισσότερες μισθοδοσίες μηνός, είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis

Η μεταβλητή χρόνος στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η μεταβλητή "χρόνος" στη δημογραφική ανάλυση - το διάγραμμα του Lexis Η αναφορά στο χρόνο Αναφερόμενοι στο χρόνο, θα πρέπει κατ αρχάς να τονίσουμε ότι αυτός μπορεί να είναι είτε το ημερολογιακό έτος, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Αρχή_επανάληψης Μέχρις_ότου 2.87 Να περιγραφεί η δομή επανάληψης Μέχρις_ότου Ημορφή της δομής επανάληψης Μέχρις_ότου είναι: Μέχρις_ότου Συνθήκη Η ομάδα εντολών στο εσωτερικό της επανάληψης, εκτελείται μέχρις ότου ισχύει η συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα