ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3. ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΕΙΓΜΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΤΥΠΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΛΙΜΑΚΕΣ (ΕΠΙΠΕ Α) ΜΕΤΡΗΣΗΣ... ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ... 3 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ... 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΛΗΚΤΡΟΛΟΓΗΣΗΣ TΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΑΒ ΟΓΡΑΜΜΑ (Bar chart) ΚΥΚΛΙΚΟ ΙΑΓΡΑΜΜΑ (Pe chart) ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ (stogram) ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΜΒΑ ΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΙΣΧΟΥΦΥΛΛΟΥ (Steamadleaf) ΑΣΤΕΡΟΕΙ Η ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΟΥ CEROFF ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΛΑΙΣΙΟΥΑΠΟΛΗΞΕΩΝ (Bo plot) ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ (Errorbars) ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΝ (Scatter plots) ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ (PP, QQ) ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΜΟΝΟΚΟΡΥΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗΚΩΝΟΕΙ ΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΡΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ MEΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΩΣΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ... 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ...64

3 ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ Στην εποχή της τεχνολογικής ανάπτυξης και πληροφορικής έκρηξης, ως Στατιτική ορίζεται η επιτήη που απαχολείται ε την υγκέντρωη, παρουίαη, αξιολόγηη και επεξεργαία υπεραάτων. Η ιδιαιτερότητα της ως επιτήη είναι ότι ενώ ε θεωρητικό επίπεδο η χρήη αθηατικών οντέλων είναι αναγκαία για την επίλυη προβληάτων, το επίπεδο εφαρογών χρηιοποιεί το πλαίιο όλων χεδόν των άλλων γνωτικών περιοχών (ιατρική, χρηατοοικονοικά, άρκετινγκ, ατρονοία, αρχαιολογία, ψυχολογία κ.α.). Τα άτοα που αχολούνται ε την τατιτική ονοάζονται τατιτικοί αναλυτές ( ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΟΡΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΛΟΓΟΣ). ουλειά του τατιτικού αναλυτή είναι να αναπτύει οντέλα κατάλληλα τόο ως προς τις ερωτήεις όο προς τα δεδοένα. Επιπλέον πρέπει να πορεί να αντλήει από τα οντέλα αυτά χετικές πληροφορίες που πηγάζουν απο τα δεδοένα.. ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Η ανάγκη για καταγραφή και επεξεργαία δεδοένων οδήγηε την δηιουργία αρχικά τατιτικών υπηρειών κατάλληλων για την αποθήκευης και αρχειοθέτηη δεδοένων καθώς και την αποδοτικότερη επεξεργαία και υλλογή αποτελεάτων. Η διαδικαία της επεξεργαίας δεδοένων και υλλογής αποτελεάτων περιλαβάνει ένα προτάδιο, το τάδιο της ανάλυης των δεδοένων. Με τον όρο αυτό εννοούνται όχι όνο οι τεχνικές και ο έθοδοι επεξεργαίας πληροφοριών που προέκυψαν από πραγατικά ή εικονικά πειράατα ή παρακολούθηη φαινοένων αλλά και η θεοθέτηη κοινά παραδεκτών τεχνικών ε κοπό την εκτίηη των χαρακτηριτικών του πληθυού. Παράλληλα η χρήη των υπαρχόντων τατιτικών αθηατικών εργαλείων ανάλυης δεδοένων οδήγηε την αποδοχή κοινών εθοδολογιών για την αποδοτικότερη επεξεργαία δεδοένων. Ο διαχωριός των υπάρχων εθοδολογιών περιλαβάνει Περιγραφική τατιτική, Στατιτική υπεραατολογία Επαγωγική τατιτική, Ανάλυη παλινδρόηης και διακύανης, Στοχατική ανάλυη, Μπεϋζιανή ανάλυη, Πολυεταβλητή ανάλυη Ανάλυη κατηγορικών δεδοένων, Μη παραετρική τατιτική. 3

4 Ενδεικτικά αναφέρεται το υγκεκριένο άθηα ως ύλη περιλαβάνει τις πρώτες τρεις οάδες (Περιγραφική Στατιτική, Στατιτική υπεραατολογία, Ανάλυη παλινδρόηης). Είναι παραδεκτό ότι όλες οι ερευνητικές τεχνικές που παράγουν δεδοένα επιδέχονται τατιτική επεξεργαία. Μερικές από τα κύρια εργαλεία της επεξεργαίας είναι () Περιγραφική Στατιτική και () Στατιτική Συπεραατολογία (Επαγωγική). Σκοπός της Περιγραφικής Στατιτικής είναι γενικά η άθροιη και ύνοψη δεδοένων. Ειδικότερα αποτελεί ένα τατιτικό εργαλείο ε κοπό την υγκέντρωη ταξινόηη και παρουίαη πρωτογενών δεδοένων ε κατανοητή ορφή. Γίνεται ε την χρήη πινάκων (υχνοτήτων, διπλής ειόδου), γραφηάτων (ραβδογράατα, θηκογράατα, διαποράς), και τατιτικών έτρων (έτρα κεντρικής τάης, έτρα κύανης, και εταβλητότητας). Σκοπός της Στατιτικής Συπεραατολογίας είναι η διεξαγωγή από τα δεδοένα νόων, κανόνων και υπεραάτων των οποίων η ιχύς ξεπερνά το επίπεδο των παρατηρήεων. Οι προτεινόενοι κανόνες καθορίζουν ένα αθηατικό οντέλο ε κοπό την καλύτερη και απλούτερη ερηνεία των δεδοένων..3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Τα αθηατικά οντέλα αποτελούν ήερα την πιο διαδεδοένη έθοδο ελέτης φυικών, κοινωνικών, οικονοικών, ιατρικών φαινοένων. Σε γενικό πλαίιο, χρηιοποιούνται για την ανάλυης και ελέτη τέτοιου είδους φαινοένων καθώς και την παράλληλη διεξαγωγή αποτελεάτων. Μαθηατικό οντέλο πορεί να θεωρηθεί προοοίωη των πραγατικών φαινοένων τα οποία ακολουθούν υγκεκριένους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί και γενικότερα τα χαρακτηριτικά γνωρίατα προπαθούν να αντικαταταθούν από ανάλογους αθηατικούς υχετιούς. Συχνά η πολυπλοκότητα των υπό ελέτη φαινοένων ας αναγκάζει να προβούε ε απλοποιήεις και παραδοχές. Η βαική απαίτηη είναι το αθηατικό οντέλο να εξηγεί ε τον απλούτερο και καταλληλότερο τρόπο το υγκεκριένο πρόβληα που εξετάζεται. Η επιτυχία την κατακευή ενός υγκεκριένου αθηατικού οντέλου, έγκειται την κατάλληλη χρήη της απλοποίηης και της παραδοχής, το ωτό χρόνο, και το ωτό τάδιο έτι ώτε να περιέχει όο το δυνατό περιότερη πραγατικότητα. Η κατακευή του οντέλου τηρίζεται αρχικά την παρατήρηη, την επειρία και την διαίθηη που οδηγούν την εξήγηη και την διατύπωη θεωριών οι οποίες περιγράφουν ε αντιπροωπευτικό τρόπο το υγκεκριένο φαινοένου (προβλήατος). Μετά τον έλεγχό τους ακολουθεί η αναπροαρογή τους, η ανατροφοδότηή τους ε καινούργια τοιχεία και η επαναδιατύπωή τους ε κοπό τον έλεγχο (και ύγκριη) του προτεινόενου οντέλου ε τα ήδη υπάρχοντα. Κάθε οντέλο (θεωρητικά ή πρακτικά) εξηγεί ένα υγκεκριένο (ή οάδα υγκεκριένων) φαινοένων. Κάθε φαινόενο εξελίεται όχι αφηρηένα αλλά υποκείενα, αυτόνοες ονάδες παρατήρηης, το ύνολο των οποίων ορίζει τον πληθυό. Το φαινόενο αναλύεται ε επιέρους ετρήια χαρακτηριτικά, τις εταβλητές, τις οποίες αντιτοιχούε τιές. Η αντιτοίχηη αυτή ονοάζεται έτρηη και γίνεται ε την χρήη εργαλείων γενικού χαρακτήρα. Πρακτικά, τις περιότερες 4

5 φορές, είναι αδύνατη η ελέτη του πληθυού; την περίπτωη αυτή ένα υπούνολο του πληθυού λαβάνεται ε κοπό την ανάλυη και διεξαγωγή υπεραάτων. Το υπόύνολο αυτό ονοάζεται δείγα του πληθυού. Σχηατικά η διαδικαία οντελοποίηης ενός προβλήατος δίνεται από το χήα Πληθυός είγα Μοντέλο Σχήα Σχηατική παρουίαη οριού διαδικαίας οντελοποίηης. Mεταφέροντας ένα πρόβληα ε υποθέεις θα πρέπει να επιλέξουε από τα χαρακτηριτικά του, εκείνα τα οποία αφενός είναι ηαντικά αφετέρου ετρήια. Η χρήη της τατιτικής υπεραατολογίας καθώς και εθόδων ελέγχου οντέλων αποτελεί ηαντικό βήα για την καταλληλότερη επιλογή του υγκεκριένου οντέλου όπου αφενός θα εξηγεί ε απλό και κατανοητό το υγκεκριένο πρόβληα αφετέρου θα είναι απλό την χρήη και τον χρόνο λήψης αποφάεων. Τα τάδια επεξεργαίας και ανάλυης των δεδοένων δίνονται το χήα. Μεταφέροντας ένα πρόβληα ε υποθέεις, θα πρέπει να επιλέξουε από τα χαρακτηριτικά του (εταβλητές) εκείνα που είναι ηαντικά και ετρήια. Ετιάζοντας την προοχή ε τήατα που είναι ηαντικά προπαθούε να κατακευάουε οντέλο / οντέλα διαφορετικά από τα υπάρχοντα διακρινόενα για την απλότητα, αφήνεια και εφαρογή των υπό ελέτη τοιχείων του προβλήατος. Ένα οντέλο είναι καλύτερο όταν ας πληροφορεί πληρέτερα για το πρόβληα προς ανάλυη ενώ ας επιτρέπει να κάνουε ακριβέτερες προβλέψεις. Είναι ιδιαίτερα ηαντικό να αναφερθεί ότι ετά τον έλεγχο προαρογής των δεδοένων που υγκεντρώθηκαν ε το τατιτικό οντέλο που δηιουργήαε, πορούε να υπολογίοε ένα διάτηα επιτούνης για τις παραέτρους του πληθυού και να προχωρήουε τον έλεγχο υποθέεων γι αυτές. 5

6 Πρόβληα Βαικές πληροφορίες και ερωτήατα Μοντέλο Στατιτικό Μοντέλο Πιλοτική έρευνα Συλογή δεδοένων Επεξεργαία δεδοένων και έλεγχος υποθέεων Ερηνεία αποτελεάτων Συπεραατολογία Αποφάεις Νέα προβλήατα Σχήα Στάδια επεξεργαίας και ανάλυης δεδοένων.4 ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΕΙΓΜΑ Με τον όρο πληθυό ορίζουε το ύνολο ατόων ή αντικειένων (ή άλλων οντοτήτων) όπου βαικός κοπός είναι η ελέτη, ανάλυη και διεξαγωγή 6

7 αποτελεάτων, τα οποία θα ερηνεύουν ε τον καλύτερο τρόπο το υπόελέτη ύνολο. Μπορούε να ορίουε διαφορετικούς πληθυούς ανάλογα ε τα χαρακτηριτικά των ελών του (ανθρώπων, φυτών, ζώων, ποδοφαιρικών οάδων, εκλογικών τηάτων κ.α.). Για κάθε τατιτική ελέτη ο πληθυός πρέπει να είναι καλά οριένος, να περιγράφεται δηλαδή όο το δυνατό καλύτερα ε βάη τα κοινά χαρακτηριτικά που τον αποτελούν ε κοπό τον γενικότερο διαχωριό αν ένα τοιχείων αποτελεί έλος του ή όχι. Παραδείγατα όπως το ύνολο των Ελλήνων, οι αθητές της 3 ης Λυκείου, οι φοιτητές του Πανεπιτηίου Αιγαίου αποτελούν ερικά χαρακτηριτικά παραδείγατα πληθυών. Ένας πληθυός πορεί να χαρακτηριτεί ως υπαρκτός όπου καθορίζεται από υγκεκριένα χαρακτηριτικά γνωρίατα (ύψος φοιτητών ενός Πανεπιτηίου) ή ως ιδεατός όπου καθορίζεται από αφηρηένα (ααφή) χαρακτηριτικά γνωρίατα (δείκτης ικανοποίηης φοιτητών ενός Πανεπιτηίου το χετικά ε ένα υγκεκριένο άθηα ε κοπό την πρόβλεψη του ιδίου δείκτη για τους φοιτητές του ). Ιδεατοί πληθυοί χρηιοποιούνται τις περιότερες φορές ε ελέτες έρευνας αγοράς ή κλινικές ελέτες. Πληθυός ε πεπεραένο πλήθος τατιτικών χαρακτηριτικών ονοάζεται πεπεραένος. Σε αντίθετη περίπτωη ονοάζεται η πεπεραένος ή άπειρος. Επειδή τις περιότερες φορές οι πληθυοί που ελετώνται είναι εγάλοι ε έγεθος, καταλήγουε την διαδικαία της δειγατοληψίας. Στην περίπτωη αυτή ο ερευνητής είναι αυτός που ορίζει τον υπόελέτη πληθυό ανάλογα ε τις ανάγκες και απαίτηης της ελέτης. Επειδή ο πληθυός προς ανάλυη είναι τόο εγάλος ε έγεθος, οι αναλυτές καταφεύγουν τον οριό ενός ικρότερου έρους (δείγα) ε κοπό την διερεύνηή του. Η διαδικαία αυτή επιλογής υγκεκριένου δείγατος ονοάζεται δειγατοληψία. Για αξιόπιτη τατιτική ανάλυη το δείγα πρέπει να είναι αντιπροωπευτικό δηλαδή οι τιές του να είναι αντιπροωπευτικές των τιών του πληθυού ώτε τα αποτελέατα της ανάλυης να είναι αξιόπιτα. Για να είναι ένα δείγα αντιπροωπευτικό ενός πληθυού θα πρέπει πρώτα ο πληθυός να έχει οριθεί ε αφήνεια. Στην περίπτωη αυτή το δείγα πρέπει να είναι τυχαίο δηλαδή κάθε τοιχείο του να έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί το δείγα ε οποιοδήποτε άλλο (δεν πρέπει να υπάρχει εροληψία την επιλογή των χαρακτηριτικών του πληθυού που ανήκουν το δείγα). Ειδικότερα η λέξη δείγα αναφέρεται ε δύο διαφορετικές έννοιες. είγα είναι το υπόύνολο των υποκειένων που επιλέγονται από το πληθυό για να χρηιοποιηθούν την ανάλυη αλλά είναι επίης το ύνολο των παρατηρήεων (τιές) που χρηιοποιούνται την ανάλυη. Το δείγα των υποκειένων πρέπει να επιλεγεί από το πληθυό ε τρόπο ώτε να εξαφαλίζεται η δυνατότητα γενίκευης των υπεραάτων που θα βγάλουε. Το δείγα των τιών είναι πλήρως καθοριένο ετά την επιλογή του δείγατος των υποκειένων. Για την τατιτική ανάλυη χρηιοποιούε το δείγα των τιών αλλά τα υπεράατα αφορούν τον πληθυό των υποκειένων. Σχηατικά η διαδικαία της τατιτικής υπεραατολογίας ε βάη το δείγα δίνεται το χήα 3. 7

8 Πληθυός Νπαρατηρήεις δειγατοληψία είγα παρατηρήεις < Συπέραα παρατήρηη Αποτελέατα ανάλυη Τιές < Σχήα 3 ιαδικαία της τατιτικής υπεραατολογίας.5 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κάθε πληθυός έχει διαφορετικά χαρακτηριτικά (ιδιότητες) κάποια από τα οποία ενδιαφερόατε να ελετήουε. Τα χαρακτηριτικά αυτά, τα οποία εταβάλλονται από πληθυό ε πληθυό ονοάζονται εταβλητές. Για παράδειγα οι άνθρωποι πορούν να διαφέρουν ως προς την ηλικία, το φύλο, το βάρος, την οικογενειακή κατάταη, την περιοχή που διαένουν. Για να ετρήουε τα εταβαλλόενα χαρακτηριτικά χρειάζεται να χρηιοποιήουε είτε κατάλληλα εργαλεία έτρηης είτε κατάλληλες κωδικοποιήεις ε κοπό την διεξαγωγή ετρήεων για κάθε χαρακτηριτικό (εταβλητή). Οι ετρήεις αυτές ονοάζονται τιές των εταβλητών. Είναι προφανές ότι οι τιές διαφοροποιούνται εταξύ των ατόων ή εταξύ των τατιτικών χαρακτηριτικών. Οι τιές των εταβλητών πορεί να είναι πραγατικοί αριθοί (βάρος 5 κιλά) ή υβουλευτικές εκφράεις (φύλο άνδρας). Οι εταβλητές υβολίζονται ε κεφαλαίους λατινικούς χαρακτήρες π.χ. ΦΥΛΟ SEX, ΗΛΙΚΙΑ AGE, ΕΙΣΟ ΗΜΑ ICOME, ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ JOB. πρώτη, δεύτερη, ντην τατιτική ονάδα υβολίζεται ε. Ο αύξων αριθός κινείται εταξύ και Ν όταν αναφερόατε ε τοιχεία πληθυού εγέθους Ν (,...,Ν) και εταξύ και όταν αναφερόατε ε τοιχεία δείγατος εγέθους (,...,). Η τιή της εταβλητής Χ για το το άτοο ή τατιτική ονάδα υβολίζεται ε. Παράδειγα ΑΤΟΜΑ (Ν) ΗΛΙΚΙΑ (AGE) ΦΥΛΟ (SEX) y 8

9 5 y Ανδρας 55 y Ανδρας y 3 Γυναίκα y 4 Γυναίκα Όταν οι τιές ίας εταβλητής προκύπτουν από την παρατήρηη τατιτικών ονάδων ονοάζονται πραγατικές τιές, ενώ όταν προκύπτουν ετά από εφαρογή ενός αθηατικού οντέλου ή διαδικαίας ονοάζονται θεωρητικές τιές. Όπως προαναφέρθηκε η τατιτική ανάλυη δεδοένων περιλαβάνει οριό εταβλητών καθώς και ετρήεις των υγκεκριένων εταβλητών που θα εξετατούν. Με άλλα λόγια θα πρέπει να ετρήουε καθένα από τα χαρακτηριτικά είτε ε την χρήη υγκεκριένου οργάνου είτε ε κατάλληλη κωδικοποίηη. Και οι δύο περιπτώεις περιλαβάνουν επειρική διαδικαία έτρηης που υνεπάγεται τον καθοριό τιών. Για το λόγο αυτό κατάλληλα εργαλεία έτρηης πρέπει να οριθούν. Τα εργαλεία έτρηης πρέπει να είναι. Κατάλληλα, ικανά να διακρίνουν διαφορές τα εγέθη που χαρακτηρίζουν τις εταβλητές.. Να ην παραορφώνουν τις τιές. 3. Αντικειενικά, να δίνουν το ίδιο αποτέλεα για την έτρηη της ίδιας τιής οποίος και αν τα χρηιοποιήει. 4.Απλά, ώτε να ην γίνονται λάθη την χρήη τους. Στην διαδικαία έτρηης εφανίζονται φάλατα που οφείλονται. Ακρίβεια του εργαλείου,. Στην ιδιαιτερότητα του προώπου που κάνει τις ετρήεις, 3. Σε λανθαένες καταγραφές. Η ποιότητα της ελέτης εξαρτάται από την αποδοτικότητα των εθόδων υλλογής δεδοένων που χρηιοποιούνται, του οργάνου δηλαδή ε το οποίο πραγατοποιούε την έτρηη της υγκεκριένης εταβλητής. Εύλογα αναένονται αξιόπιτες και αερόληπτες πληροφορίες..6 ΤΥΠΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η φύη των εταβλητών καθορίζει το είδος των δεδοένων. Οι εταβλητές διακρίνονται ε ποοτικές και ποιοτικές ανάλογα ε το εάν οι τιές εκφράζουν αριθητικά ή ονοατικά δεδοένα. Οι ποοτικές εταβλητές διακρίνονται ε την ειρά τους ε υνεχείς και διακριτές ανάλογα ε το αν είναι υνεχείς ή διακριτές. Συνεχείς πορούν να ονοατούν επίης οι εταβλητές όπου για κάθε δύο τιές της εταβλητής πορούε να βρίκουε πάντα ια τρίτη τιή, έτω και θεωρητική, εταξύ τους (ύψος, βάρος). Από την άλλη εριά, διακριτές πορούν να οριθούν οι εταβλητές όπου εταξύ δύο τιών δεν υπάρχει ια τρίτη ενδιάεη τιή (αριθός παιδιών ε ία οικογένεια, πλήθος πελατών ε ούπεράρκετ). Οι ποιοτικές εταβλητές διακρίνονται ε κατηγορικές και διατάξιες. Οι εταβλητές, οι οποίες δίνουν την δυνατότητα τον ερευνητή να διατάξει και διαβαθίει 9

10 της κατηγορίες που προκύπτουν από τις τιές ονοάζονται διατάξιες (επίπεδα εκπαίδευης, αγωνίατα, αξιολόγηη ίας ταινίας). Οι υπόλοιπες που δεν παρέχουν την δυνατότητα διάταξης αλλά ε βάη τα χαρακτηριτικά που εκφράζουν οι τιές τους επιτρέπουν απλά και όνο την διάκριη οριένων κατηγοριών ονοάζονται κατηγορικές (χρώα ατιών, φύλο οικογενειακή κατάταη). Ταξινόηη των εταβλητών ε κατηγορίες δίνεται το χήα 4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΣΥΝΕΧΗΣ ΙΑΚΡΙΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΗ ΙΑΤΑΞΙΜΗ Σχήα 4 Ταξινόηη εταβλητών Οι εταβλητές που λαβάνουν την ίδια τιή για όλες τις τατιτικές ονάδες ονοάζονται ταθερές εταβλητές. Μεταβλητές που χρηιοποιούνται για περαιτέρω κωδικοποίηη των υπαρχόντων εταβλητών ονοάζονται ψευτοεταβλητές. Παράδειγα o Φύλο Κωδικός Άνδρας Γυναίκα 3 4 Άνδρας Άνδρας ΨΕΥΤΟΜΕΤΑΒΛΗΤΗ.7 ΚΛΙΜΑΚΕΣ (ΕΠΙΠΕ Α) ΜΕΤΡΗΣΗΣ Το επίπεδο έτρηης των δεδοένων αποτελεί ηαντικό παράγοντα την επιλογή της κατάλληλης τατιτικής εθόδου και χαρακτηρίζεται από δύο ιδιότητες, τη διάταξη

11 των ετρήεων και την απόταη εταξύ τους. Ο διαχωριός των επιπέδων διαορφώνεται ε βάη τον παρακάτω διαχωριό. Ονοατικές Κλίακες, χρηιοποιούνται για την υβολική έκφραη ποιοτικών κατηγορικών τοιχείων και εταβλητών. Οι τιές αποδίδονται όνο ε ένα όνοα και καία υπόθεη γίνεται γύρω από τις υβολικές τιές πoυ λαβάνουν. ιάταξης Κλίακες, ετρούν ποιοτικά διατάξια δεδοένα και εταβλητές των οποίων οι τιές πορούν να ιεραρχηθούν ε βάη κάποιο κριτήριο. ιατηικές Κλίακες, αναφέρονται την έτρηη αριθητικών δεδοένων τα οποία ικανοποιούν και την ιδιότητα της διάταξης και απόταης εταξύ τους. Αναλογικές Κλίακες, αναφέρονται ε αριθητικά δεδοένα τα οποία ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες καθώς και διαθέτουν ηδενικό ηείο αναφοράς, όπου αποτελεί πραγατική ετρήιη κατάταη. ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ Η επιλογή της τατιτικής τεχνικής που θα ακολουθηθεί εξαρτάται από τον τύπο της εταβλητής (κλίακα έτρηης) της εταβλητής. Ανάλογα ε την κλίακα έτρηης της εταβλητής, οι παράετροι του πληθυού προεγγίζονται από διαφορετικό τατιτικό έτρο, ο πίνακας υχνοτήτων δίνει διαφορετικά τοιχεία και χρηιοποιούε διαφορετικά χήατα για τις γραφικές παρατάεις. Ενδεικτικός είναι ο παρακάτω πίνακας Κλίακα Κατηγορίας ιάταξης ιατήατος Αναλογίας Περιγραφική Ποοτά, Επικρατούα τιή Εκατοτιαία ηεία, ιάεος Εύρος, Μέος όρος, τυπική απόκλιη Γεωετρικός έος, Αρονικός έος Στατιτική έθοδο Συπεραατολογία χ τετ, ιωνυικός έλεγχος Συντελετής υχέτιης, AOVA Συντελετής υχέτιης, AOVA, tτετ, παλινδρόιη Συντελετής εταβλητικότητας 3 ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η διαδικαία της προετοιαίας των δεδοένων ξεκινά ε την επιλογή του θέατος έρευνας, υνεχίζει ε τον χεδιαό υγκεκριένης εθοδολογίας που θα ακολουθηθεί και κλείνει ε την υλοποίηη και εφαρογή των υγκεκριένων τατιτικών εθόδων. Ανεπαρκής ή ελλιπής προετοιαία των δεδοένων οδηγεί ε εροληπτικά αποτελέατα και λανθαένες ερηνείες εκθέτοντας ανεπανόρθωτα την ποιότητα της τατιτικής ανάλυης.

12 Στην πρώτη φάη ελέγχεται το όργανο υλλογής τω δεδοένων. Στην δεύτερη γίνεται η αντιτοίχηη των δεδοένων ε τις εταβλητές. Ακολουθεί η απόφαη για τον τρόπο κωδικοποίηης των εταβλητών καθώς και ο τρόπος ειαγωγής των δεδοένων τον Η/Υ (λήψη απόφαης όο αφορά το υγκεκριένο τατιτικό πακέτο). Στην υνέχεια ελέγχεται η λογικότητα των δεδοένων και αποφαίζεται ο τρόπος χειριού των παρατηρήεων που δεν έχουν καταγραφεί (ελλείπουες τιές). Τελικά τάδια είναι η τατιτική προαρογή των δεδοένων έτι ώτε να υπάρξει η απαιτούενη αντιπροωπευτικότητα του πληθυού και ο οριός της τατιτικής ανάλυης που θα ακολουθηθεί. Τα παραπάνω τάδια παρουιάζονται το χήα 5. Προχέδιο τατιτικής επεξεργαίας Οριός τρόπου υλλογής δεδοένων Οριός εταβλητών Κωδικοποίηη εταβλητών Ειαγωγή δεδοένων τον Η/Υ Έλεγχος δεδοένων Στατιτική προαρογή δεδοένων Στατιτική ανάλυη

13 Σχήα 5 Γραφική παρουίαη προετοιαίας δεδοένων Ειδικότερα τα τάδια προετοιαίας των δεδοένων πορούν να αναλυθούν τα παρακάτω επίπεδα Οριός τρόπου υλλογής δεδοένων Αποτελεί το αρχικό τάδιο ανάλυης όπου η χρήη ενός υγκεκριένου εργαλείου υλλογής δεδοένων πρέπει να χρηιοποιηθεί. Τα ηαντικότερα και πλέον αποδεκτά έα υλλογής πορεί να είναι ερωτηατολόγια, πρόβαη ε βάεις δεδοένων, προωπικές παρατηρήεις, WEB, τατιτικές υπηρείες. Οριός εταβλητών Καθοριός εταβλητών από ερωτηατολόγια ή βάεις δεδοένων. Οριός πρωταρχικών και δευτερεύουων εταβλητών. Στην απλούτερη περίπτωη κάθε πεδίο ή ερώτηη από την υλλογή δεδοένων αποτελεί ια εταβλητή. Το όνοα της εταβλητής είναι καλό να είναι βολικό για ελλοντική ανάλυη και να αντιπροωπεύει τα χαρακτηριτικά που καταγράφει η εταβλητή; π.χ. ΦΥΛΟ SEX, ΤΑΧΥ ΡΟΜΙΚΟΣ ΚΩ ΙΚΑΣ ZIPCODE. Κωδικοποίηη εταβλητών Εννοούε την αντιτοίχηη κωδικών ε όλες τις πιθανές τιές ίας εταβλητής. Οι κωδικοί είναι υνήθως αριθοί αλλά πορεί να είναι και χαρακτήρες π.χ. π.χ. ΦΥΛΟ ΑΓΟΡΙ (Α), ΚΟΡΙΤΣΙ (Κ). Ίδιες τιές δύο διαφορετικών χαρακτηριτικών πρέπει να αντιτοιχούν ακριβώς τον ίδιο κωδικό. Για παράδειγα δεν πορεί το φύλλο του ερωτούενου ε ένα ερωτηατολόγιο να το κωδικοποιούε αλλού ε Α και αλλού ε α για τον άνδρα/αγόρι και Γ/γ ή Κ/κ για την γυναίκα/κορίτι. Οι ποοτικές εταβλητές είναι ήδη κωδικοποιηένες. Όλοι οι χρηιοποιούενοι κωδικοί ιας έρευνας υνήθως καταγράφονται ε έναν πίνακα που ονοάζεται πίνακας κωδικοποίηης. Ειαγωγή δεδοένων τον Η/Υ Το ηαντικότερο τάδιο της ανάλυης δεδοένων είναι η ειαγωγή τους το Η/Υ. Η διαδικαία τις περιότερες φορές είναι επίπονη και κουρατική, καταναλώνοντας αρκετό χρόνο εξαρτώενος από τον αριθό και την κωδικοποίηη των δεδοένων. Έλεγχος δεδοένων Πολλοί λόγοι πορεί να οδηγήουν την ύπαρξη παράλογων τιών. Όποιες τιές εφανίζονται ακραίες ή λανθάνουες πρέπει να ελέγχονται χολατικά. Χειριός ελλειπουών τιών Σαν ελλείπουες τιές χαρακτηρίζονται εκείνες οι τιές οι οποίες δεν έχουν καταγραφεί. Για τις ποιοτικές εταβλητές ένας πρακτικός τρόπους αντιετώπιης του προβλήατος είναι ο καθοριός ακόα ιας κατηγορίας για την υγκεκριένη εταβλητή ή οποία πορεί να υπεριληφθεί την ανάλυη. Για τις ποοτικές εταβλητές χετικοί τρόποι αντιετώπιης του προβλήατος θα αναλυθούν ε άλλα κεφάλαια. 3

14 Στατιτική προαρογή δεδοένων Περιλαβάνει την κατακευή νέων εταβλητών που είναι απαραίτητες για την ανάλυη. Η δηιουργία βουβών εταβλητών πορεί να επαπροδιοριεί όνο ποιοτικά δεδοένα Οι πιθανές τιές των εταβλητών είναι τις περιότερες φορές ή. 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Όταν πρέπει να χρηιοποιήουε κάποια τατιτική τεχνική πρέπει Να γνωρίζουε τις προϋποθέεις της Να ελέγξουε κατά πόο είναι δυνατό να ιχύουν αυτές οι προϋποθέεις (χρήη πιλοτικής έρευνας) Να πορούε να διατυπώουε τις υποθέεις που ελέγχονται. Να πορούε να ερηνεύουε τα αποτελέατα ε χέη ε το ύτηα που ελετάε. Όταν πρέπει να χρηιοποιήουε κάποια τατιτική τεχνική δεν πρέπει Να χρηιοποιούε τεχνικές επειδή κάποιος άλλος έτι έκανε. Να προπαθούε να καταγράψουε αποτελέατα που υφωνούν ε τις δικές ας απόψεις. Να επιλέγουε υπούνολα από τα δεδοένα που ας φαίνεται ότι υποτηρίζουν τις υποθέεις ας. Να παρουιάζουε αποτελέατα που αδυνατούε να τα ερηνεύουε. 5 ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ Από τα ερωτηατολόγια, τα δεδοένα καταγράφονται και κωδικοποιούνται ε φύλλα δεδοένων ή φύλλα κωδικοποίηης ε ορφή Α.Α Μεταβλ. Μεταβλ. Aντικ. Aντικ. Aντικ. m m 4

15 Στην υνέχεια ακολουθεί η εταφορά των δεδοένων ε ειδικά πακέτα τατιτικής ανάλυης (SPSS, MIITAB, ) ή την απλούτερη περίπτωη ε προγράατα λογιτικών φύλλων (EXCEL). Αν ο όγκος των δεδοένων είναι εγάλος ή η δοή τους ύνθετη τότε χρηιοποιούε προγράατα δηιουργίας βάης δεδοένων όπως ACCESS. Τα τάδια για την ειαγωγή των δεδοένων τον Η/Υ είναι τα ακόλουθα o Κωδικοποίηη την ωτή εταφορά των δεδοένων τον Η/Υ. o Πληκτρολόγηη εταφορά δεδοένων ε ηλεκτρονική ορφή. o Έλεγχος φαλάτων ανάλυη για τον εντοπιό και την διόρθωη λαθών κατά την πληκτρολόγηη. 5. ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ Συνήθως ε ελέτες εγάλου εγέθους η κωδικοποίηη και πληκτρολόγηη γίνεται από ανεξάρτητες οάδες ατόων που καθοδηγούνται από ένα ειδικευόενο αναλυτή. Για να αποφευχθούν τα φάλατα πριν την κωδικοποίηη πρέπει να αποφαιτούν τα ακόλουθα Ποίες εταβλητές θα ειαχθούν, ονόατα και ειρά Τα ονόατα είναι ύντοα. Επιπλέον πρέπει να θυίζουν το περιεχόενο του χαρακτηριτικού εταβλητή. Καλό θα ήταν να τεθεί ένας υγκεκριένος κανόνας και να τον ακολουθήουε ε όλες τις εταβλητές. Τέλος θα ήταν χρήιο η ειρά των εταβλητών να είναι ίδια ε το ερωτηατολόγιο. Τρόποι κωδικοποίηης ποιοτικών και διατάξιων εταβλητών Πρώτα ορίζουε τους κωδικούς νούερα για κάθε επίπεδο της η ποοτικής εταβλητής. Όταν έχουε δίτιες εταβλητές χρηιοποιούε την κωδικοποίηη ε κωδικό για την επιτυχία (επιτυχία τη τατιτική ΝΑΙ, ΟΧΙ). Όταν έχουε πολλές κατηγορικές εταβλητές ε τα ίδια επίπεδα χρηιοποιούε κοινό τρόπο κωδικοποίηης. Σε διατάξιες εταβλητές χρηιοποιούε κωδικούς που ξεκινούν από το για το ικρότερο επίπεδο και αυξάνουν κατά ια ονάδα κάθε ανώτερο επίπεδο. Εναλλακτικά πορούε να χρηιοποιούε κωδικούς υετρικούς το ηδέν έτι ώτε αρνητικές τιές να αποδίδουν αρνητικές γνώες. Παράδειγα Ερώτηη Το άθηα της τατιτικής ας ικανοποιεί; Απαντήεις Κώδικες Εναλλακτικοί Κώδικες Πάρα πολύ 3 Πολύ Αρκετά 3 Μέα 4 Λίγο 5 Πολύ Λίγο 6 5

16 Καθόλου 7 3 Αγνοούενες τιές ή η καταχωρηένες τιές Οι η καταχωρηένες ή αγνοούενες τιές αναφέρονται ε ερωτήεις ή εταβλητές που οι τιές λείπουν κυρίως γιατί οι ερωτώενοι δεν υπληρώαν το αντίτοιχο πεδίο του ερωτηατολογίου. Κωδικοποιούνται ε τιές 9.99 ή 999 για να πορέουε να εντοπίουε και παραλείψεις που οφείλονται ε πληκτρολόγηη. Εναλλακτικά αφήνουε κενό το αντίτοιχο πεδίο. Στην περίπτωη αυτή δεν πορούε να εντοπίουε παραλείψεις που οφείλονται ε πληκτρολόγηη. Επίης οι αγνοούενες τιές πρέπει να διαφοροποιούνται από τις απαντήεις του τύπου εν απαντώ ή εν ιχύει Οι αγνοούενες τιές υνήθως Αφαιρούνται από την ανάλυη, Αντικαθίτανται από έες τιές, Προβλέπονται από οντέλα. ηιουργία εταβλητής αναγνώριης ερωτηατολογίου Είναι ηαντικό να δηιουργηθεί ια εταβλητή η οποία να αντιτοιχεί οναδικά ε κάθε ερωτηατολόγιο εταβλητή. Συνήθως ονοάζεται Α.Α (Αύξων αριθός) και ξεκινά από το. Ο ίδιος αριθός θα πρέπει να ηειώνεται τα ερωτηατολόγια. Η χρηιότητα του Α.Α. Εντοπίζεται τον έλεγχο φαλάτων, την αρχειοθέτηη ερωτηατολογίων και την διαταύρωη τοιχείων. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΛΗΚΤΡΟΛΟΓΗΣΗΣ Μετά την ειαγωγή των δεδοένων τον Η/Υ, ακολουθεί ο έλεγχος της πιτότητας των δεδοένων για τυχόν εντοπιό φαλάτων. Σαν ύποπτες τιές ορίζονται εκείνες οι οποίες πορεί να οφείλονται ε εφαλένη πληκτρολόγηη και πορούν να χαρακτηριθούν οι ακόλουθες περιπτώεις Ακραίες τιές Ορίζονται ως οι τιές οι οποίες είναι αυνεπείς ε το ύνολο των υπολοίπων τιών. Μπορεί να οφείλονται ε λανθαένη πληκτρολόγηη αλλά πορεί και όχι. Στην δεύτερη περίπτωη πορεί να χαρακτηρίζει την η κανονικότητα της. Όταν έχουε κατηγορικές εταβλητές οι ακραίες τιές οφείλονται ε λάθος πληκτρολόγηη. Όταν εντοπίουε ακραίες τιές επιτρέφουε τα ερωτηατολόγια ελέγχοντας την ορθότητά τους. Αντιτροφή ψηφίων Αντί για 34 πορεί να πληκτρολογήουε 43. Τέτοια φάλατα είναι δύκολο να εντοπιθούν τις ποοτικές εταβλητές. Στις ποιοτικές ο εντοπιός τους πορεί να είναι πιο εύκολος ειδικά αν ο αντίτροφος κωδικός δεν ανήκει τους προεπιλεγένους 6

17 κωδικούς της εταβλητής. Συνήθως τα φάλατα αυτού του τύπου εντοπίζονται ως ακραίες τιές. Επαναλήψεις τιών ( ιπλοεγγραφές) Επαναλήψεις των ίδιων αριθών ή κωδικών είναι ύνηθες φαινόενο. Ο εντοπιός τους πορεί να γίνει όνο οπτικά και διαταυρώνονται ε τα ερωτηατολόγια. Λάθος καταχωρήεις Αναφέρονται ε καταχωρήεις που γίνονται ε λάθος τήλες (λάθος εταβλητή). Αυτά τα φάλατα πορούν να εντοπιθούν ως ακραίες τιές αν το εύρος των τιών των τιών δύο διαδοχικών εταβλητών είναι διαφορετικό. Έλεγχος των λαθών πορεί να γίνει ε o Εκτύπωη έης τιής, τυπικής απόκλιης, ελάχιτης και έγιτης τιής ίας εταβλητής. o Κατανοές υχνοτήτων για κάθε εταβλητή. o Εκτύπωη και έλεγχο των πληκτρολογούενων δεδοένων κάθε εταβλητής για ύπαρξη επαναλαβανόενων τιών o ιαταύρωη ερωτηατολογίων και πληκτρολογούενων δεδοένων την περίπτωη ακραίων τιών. o ειγατοληπτική διαταύρωη ε ερωτηατολόγια. Παρακάτω παρουιάζονται δύο παραδείγατα κωδικοποίηης δεδοένων Παράδειγα Έτω τα παρακάτω χαρακτηριτικά (εταβλητές) που έχουν ληφθεί από διαδικαία δειγατοληψίας έα από ερωτηατολόγια Επίθετο αθλητή, Όνοα αθλητή, Φύλο, Βάρος (κιλά), Ύψος (εκατοτά), ιεύθυνη, Ταχ. Κώδικας, Σχολείο, Πόλη, Νοός, ρόος 3, ρόος, Άλα χωρίς φόρα ε χέρια (εκατοτά), Άλα χωρίς φόρα χωρίς χέρια (εκατοτά). Κωδικοποίηη των εταβλητών αποτελείται από δύο τάδια. Πρώτο τάδιο χαρακτηριός εταβλητών ε ποοτικές και ποιοτικές. Άρα Ποοτικές Βάρος (κιλά), Ύψος (εκατοτά), ρόος 3, ρόος, Άλα χωρίς φόρα ε χέρια (εκατοτά), Άλα χωρίς φόρα χωρίς χέρια (εκατοτά). Ποιοτικές Φύλο, ιεύθυνη, Ταχ. Κώδικας, Σχολείο, Πόλη, Νοός. Άλλες Μεταβλητές Επίθετο αθλητή, Όνοα αθλητή. Μερικές από τις ποιοτικές εταβλητές πορούν να χαρακτηριτούν και ως ποιοτικές διακριτές όπου παίρνουν τιές κωδικών (,,3,...) όπως Φύλο Αγόρι, Κορίτι Σχολείο ηοτικό, Γυνάιο, Λύκειο, Τεχνικό. Πόλη Αθήνα, Πειραιάς, Πάτρα, Θεαλονίκη κ.α. 7

18 Νοός Αττικής, Βοιωτίας, Θράκης, Πελοποννήου κ.α. εύτερο τάδιο είναι η ετατροπή των εταβλητών ε γνώρια ονόατα για την ειαγωγή το Η/Υ. Ποοτικές Βάρος (κιλά)weght, Ύψος (εκατοτά)ght, ρόος 3M3, ρόος M, Άλα χωρίς φόρα ε χέρια (εκατοτά)lead, Άλα χωρίς φόρα χωρίς χέρια (εκατοτά)leght. Ποιοτικές ΦύλοSe, ιεύθυνηaddress, Ταχ. ΚώδικαςPost Code, ΣχολείοSchool, ΠόληTow, ΝοόςArea. Άλλες Μεταβλητές Επίθετο αθλητήsurame, Όνοα αθλητήame Παράδειγα Έτω η καταγραφή διαφορετικών χαρακτηριτικών ίας χώρας. Η κωδικοποίηη αρχίζει ε τον οριό των εταβλητών Όνοα χώρας, Πληθυός, Πυκνότητα πληθυού, Ποοτό ατικού πληθυού, Θρηκεία, Οικονοική οάδα. Καθοριός ποοτικών και ποιοτικών εταβλητών Ποοτικές Πληθυός, Πυκνότητα πληθυού, Ποοτό ατικού πληθυού. Ποιοτικές Θρηκεία, Οικονοική οάδα Άλλες Μεταβλητές Όνοα χώρας. Καθοριός των ποιοτικών διακριτών Θρηκεία Kαθολικοί, Μουουλάνοι, Χριτιανοί, Προτετάντες,κ.α. Οικονοική οάδα Οικονοικά Ιχυρά κράτη, Ανατολική Ευρώπη, Αία, Αφρική, Μέη Ανατολή, Λατινική Αερική, κ.α. Mετατροπή των εταβλητών Ποοτικές ΠληθυόςPopulato, Πυκνότητα πληθυούdesty, Ποοτό ατικού πληθυούurba. Ποιοτικές ΘρηκείαRelgo, Οικονοική οάδαrego 6 TΡΟΠΟΙ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ειαγωγή των δεδοένων αποτελεί ηαντικό κοάτι της ανάλυης και επεξεργαίας τους. Βαική διαδικαία είναι η οαδοποίηη των ε πίνακες διπλής ειόδου ε κοπό την καλύτερη κατανόηη της δοής των. Με βάη τους πίνακες, τις περιότερες φορές, υγκρίεις εταξύ ιδίων ή διαφορετικών οάδων λαβάνει χώρα. Στις περιπτώεις ύγκριης των δεδοένων εφανίζονται δύο βαικές κατηγορίες (οάδες) εταβλητών ανεξάρτητες εταβλητές και εξαρτηένες εταβλητές. Ανεξάρτητες ονοάζονται οι εταβλητές όπου επηρεάζονται άεα από το πείραα και δεν επιδρούν την χεδιαό του οντέλο. Καθορίζονται πριν από τον χεδιαό του οντέλου (ή της ύγκριης) και ελέγχονται πριν από το πείραα (πειραατικές οάδες). 8

19 Εξαρτηένες ονοάζονται οι εταβλητές οι οποίες επιδρούν είτε ε άλλες εταβλητές είτε τον χεδιαό υγκεκριένου πειράατος. Καθορίζονται κατά την διάρκεια του πειράατος. Βαικό χαρακτηριτικό των πειραάτων είναι ότι από την τιγή που υπάρχουν ανεξάρτητες εταβλητές, υπάρχει η δυνατότητα αλληλεπίδραης και υχέτιης εταξύ διαφορετικών παραγόντων (factors).οι ανεξάρτητες εταβλητές πορούν να αποτελέουν τις εταβλητές που θα υγκριθούν ε τα αποτελέατα των διαφορετικών πειραάτων. Η διαδικαία αυτή ονοάζεται cotrol διαδικαία. Παράγοντες (factors) oνοάζεται ένα ύνολο από κατηγορίες ή περιοριούς. Μερικοί παράγοντες χαρακτηρίζονται ως ανεξάρτητες εταβλητές. Αυτό ηαίνει ότι τα πειράατα επιδρούν κατά τέτοιο τρόπο έτι ώτε τα αποτελέατα να χρηιοποιηθούν και να υχετιθούν ε χέη ε τις εξαρτώενες εταβλητές του γενικότερου πειράατος. Μερικοί παράγοντες όπως ηλικία ή βάρος θεωρούνται βαικές εταβλητές και τις περιότερες φορές χρηιοποιούνται τον χεδιαό της πειραατικής οάδας (cotrol). Παρακάτω παρατείθονται διαφορετικοί τρόποι παρουίαης και ύγκριης διαφορετικών οάδων ε την βοήθεια πινάκων διπλής ειόδου.. Σύγκριη εταξύ διαφορετικών εταβλητών (ενός παράγοντα) Η εταβλητή υγκρίνεται όνο ε ία υνθήκη κάθε φορά (the oe factor betwee subjects epermets) Παράγοντας Επίπεδα Cotrol παραγοντας παραγοντας Οάδες Οάδα Οάδα Οάδα 3 Παράδειγα Σύγκριη της χρήης διαφορετικών φαράκων ε την βαική οάδα (cotrol) Επίπεδα Οάδες Cotrol Οάδα Φαρακο Φαρακο Οάδα Φαρακο Οάδα 3 9

20 . Σύγκριη εταξύ ιδίων εταβλητών (ενός παράγοντα) Η εταβλητή υγκρίνεται όνο ε όλες τις υνθήκες (επαναλαβανόενα πειράατα) (the oe factor wth subjects epermets) Επίπεδα Οάδες Παράγοντας Παραγ. Παραγ. Παραγ. 3 Τιές (ίδιο πείραα για όλες τις εταβλητές) Παράδειγα Θέλουε να ελέγξουε την ακρίβεια ενός όπλου ε βάη 3 χήατα (Κύκλος, Τετράγωνο, Τρίγωνο) Επίπεδα Οάδες Σχήα Κύκλος Τετράγωνο Τρίγωνο Τιές (ίδιο πείραα για όλες τις εταβλητές) 3. Σύγκριη εταξύ διαφορετικών εταβλητών (δύο παράγοντες) Η εταβλητή υγκρίνεται ε περιότερες από ία υνθήκη κάθε φορά (the two factor betwee subjects epermets) Παράγοντας Επίπεδα Cotrol Παραγ. Παραγ. Οάδες Group Group Group 3 Οάδες Group 4 Group 5 Group 6 Παράδειγα Θέλουε να ελέγξουε την επίδραη 3 φαράκων ε άτοα που έχουν κάνει κάποια εξάκηη και ε άτοα που δεν έχουν εξακηθεί. Φάρακο Επίπεδα Εξακηη Φαρακο Group Φαρακο Group Φαρακο 3 Group 3 Μη εξακηη Group 4 Group 5 Group 6

21 4. Σύγκριη εταξύ ιδίων εταβλητών (δύο παράγοντες) Η εταβλητή υγκρίνεται όνο ε όλες τις υνθήκες (επαναλαβανόενα πειράατα) τόες φορές όες και οι παράγοντες. (the two factor wth subjects epermets) Παράγοντας Επίπεδα Παραγ. Παραγ. Παραγ. 3 Επίπεδα Παραγοντας 4 Οάδες Τιές (ίδιο πείραα για όλες τις εταβλητές) Παράδειγα Θέλουε να ελέγξουε την ακρίβεια ενός όπλου ε βάη 3 χήατα (Κύκλος, Τετράγωνο, Τρίγωνο) και χρώατα (Κόκκινο, Μπλε) για άνδρες και γυναίκες Σχήα Επίπεδα Κύκλος Τετράγωνο Τρίγωνο Επίπεδα ΚόκκινοΜπλε ΚόκκινοΜπλε ΚόκκινοΜπλε Άνδρες Γυναίκες Τιές (ίδιο πείραα για όλες τις εταβλητές) 7 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Γράφηα ονοάζεται ια γραφική αναπαράταη ίας ή περιοτέρων εταβλητών. Τα γραφήατα είναι χρήια για να βλέπουε και να καταλαβαίνουε το χήα της κατανοής ίας εταβλητής. Είναι χρήια επίης για να δούε οπτικά τη χέη ανάεα ε δύο ή περιότερες εταβλητές. Κύριος τόχος της τατιτικής ανάλυης είναι να αντληθούν όο το δυνατό περιότερες πληροφορίες από τα δεδοένα. Θα πρέπει να εξηγήουε και όχι να δώουε ερηνείες τα τοιχεία. Βαικά χαρακτηριτικά για την δηιουργία ενός γραφήατος είναι Να ξεκαθαρίουε τους τόχους και τις προτεραιότητες ε ότι αφορά το ήνυα που θέλουε να δώουε. Να επιλέξουε το κατάλληλο είδος γραφικής παράταης. Να ενηερώουε τον αναγνώτη χετικά ε την φύη των απεικονιζόενων

22 πληροφοριών ε αφή τίτλο. Να κατακευάουε ένα χεδιάγραα το οποίο να είναι παρατατικό, αφές και ακριβές. Θα πρέπει να δοθεί προοχή Στις διατάεις του διαγράατος. Στις χρηιοποιούενες γραοκιάεις και χρωατιούς. Στην ορθολογική χρήη των εργαλείων λογιικού. Στις τυχόν διευκρινήεις που είναι απαραίτητες να δοθούν Ένας οδηγός διαγραάτων δίνεται τον παρακάτω πίνακα Τύπος γραφήατος Μιάς διάταης ύο διατάεων Πολλών διατάεων Τύπος εταβλητών Κατηγορική Αριθητική ύο ποοτικές ύο ποιοτικές Μια ποοτική ιά ποιοτική Ποοτικές ποιοτικές ιάγραα Ραβδόγραα, Κυκλικό Ιτόγραα, ιάγραα ίχουφύλλου, ιάγραα πλαιίου ιάγραα ηείων Ραβδόγραα ιάγραα πλαιίου, ιάγραα φαλάτων Πίνακες διαγραάτων ηείων, Ατεροειδή γραφήατα, Πρόωπα του Cheroff 7. ΡΑΒ ΟΓΡΑΜΜΑ (Bar chart) Περιγράφει τις κατηγορίες ίας ποιοτικής εταβλητής ε ράβδους. Το ύψος της κάθε ράβδου υνήθως είναι ανάλογο του πραγατικού αριθού ή του ποοτού που αντιτοιχεί ε κάθε κατηγορία.

23 5 4 3 Cout Amst Catholc Jewsh Orthodo Taost Mssg Buddhst du Muslm Protstt Trbal Predomat relgo 7. ΚΥΚΛΙΚΟ ΙΑΓΡΑΜΜΑ (Pe chart) Περιγράφει τις κατηγορίες ίας ποιοτικής εταβλητής ε κοάτια ίας πίτας (κύκλου). Το κοάτι κάθε κατηγορίας είναι ανάλογο του αριθού των αντικειένων που ανήκουν ε κάθε κατηγορία. Παρουιάζουν ία τατική εικόνα ενός δείγατος ή πληθυού. Lat Amerca OECD Mddle East East Europe Afrca Pacfc/Asa 7.3 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ (stogram) Απεικονίζει την κατανοή ίας ποοτικής εταβλητής ε την βοήθεια ράβδων. Κάθε ράβδος αντιτοιχεί ε ένα διάτηα τιών και το ύψος είναι ανάλογο των αντικειένων που ανήκουν ε αυτό το διάτηα Συχνά απεικονίζουε και την γραή της κανονικής κατανοής γραής για ύγκριη. Στον άξονα εφανίζονται είτε εονωένες τιές είτε ύνολο τιών. Το ύψος κάθε τήατος αναπαρατά τη υχνότητα ε την οποία εφανίζεται αυτή η τιή ή το διάτηα. Αντίθετα ε το διάγραα πάρας το οποίο ο άξονας παριτάνει κατηγορίες, ο οριζόντιος άξονας ενός ιτογράατος δείχνει ια αριθητική κλίακα. Επίης χρηιοποιείται για να δείξει το χήα ίας εταβλητής. Το ιτόγραα κατακευάζεται ε βάη το πίνακα υχνοτήτων οαδοποιηένων ετρήεων. Αν η πρώτη ή η τελευταία οάδα είναι 3

24 ανοικτή παραλείπεται την κατακευή του ιτογράατος. Το ήκος των οάδων επηρεάζει την εικόνα του ιτογράατος. Όο πιο εγάλο είναι το ήκος των οάδων τόο πιο ααφές και ακαθόριτο είναι το χήα της κατανοής των ετρήεων. Αν οι οάδες είναι πολλές και έχουν ικρό ήκος το ιτόγραα παρουιάζει ανωαλίες που αντανακλούν την εταβλητικότητα της δειγατοληψίας Std. Dev Mea Std. Dev 4. Mea Populato thousads People lvg ctes (%) Επίης το ιτόγραα δείχνει την αυετρία (sewess) ίας κατανοής που είναι έτρο της υετρίας της. Αν ία κατανοή είναι υετρική, η αριτερή πλευρά της είναι ένα κατοπτρικό είδωλο της δεξιάς. Αν οι τιές ίας κατανοής υωρεύονται τις ικρές τιές η κατανοή είναι θετικά αύετρη. Αν οι τιές της κατανοής βρίκονται το άλλο άκρο της κλίακας η κατανοή είναι αρνητικά υετρική. υετρική Θετικά υετρική Αρνητικά υετρική 7.4 ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Το πολύγωνο υχνοτήτων αποτελεί το δεύτερο τρόπο γραφικής ύπτυξης και παρουίαης των ετρήεων. Κατακευάζεται ενώνοντας ε ευθείες γραές τα έα των πάνω πλευρών του ορθογωνίων του ιτογράατος. Παρουιάζει ε πιο ευδιάκριτο τρόπο απ ότι το ιτόγραα τη ορφή των τοιχείων. Χρηιοποιείται όνο για την διαγραατική απεικόνιη υνεχών δεδοένων και ενδείκνυται κυρίως για την ταυτόχρονη ύγκριη δύο ή περιοτέρων κατανοών. Η κατακευή του χεδιάζεται είτα ε βάη το ιτόγραα της εξεταζόενης κατανοής είτε ανεξάρτητα από αυτό. 4

25 8 6 4 Cout OECD East Europe Pacfc/Asa Afrca Mddle East Lat Amerca Rego or ecoomc group 7.5 ΕΜΒΑ ΟΓΡΑΜΜΑ Σύγκριη ε βάη το εβαδόν κάποιας περιοχής. Τα γραφήατα πορεί να είναι απλά ή υωρευένα τα οποία υγκρίνουν την ίδια εταβλητή, ή εταβλητές εταξύ τους ή περιπτώεις εταξύ τους Cout OECD East Europe Pacfc/Asa Afrca Mddle East Lat Amerca Rego or ecoomc group 7.6 ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΙΣΧΟΥΦΥΛΛΟΥ (Steamadleaf) Η τεχνική αυτή οδηγεί ε χηατική αναπαράταη παρόοια ε εκείνη του ιτογράατος χωρίς να οδηγεί ε απώλεια πληροφοριών. Το διάγραα αυτό δίνει την δυνατότητα αναύταης και ανάκληης των ετρήεων των αρχικών δεδοένων του δείγατος ε ακρίβεια πράγα το οποίο δεν επιτυγχάνεται ε το ιτόγραα ή τους πίνακες υχνοτήτων. Χρηιοποιείται για την επεξεργαία έτριου αριθού παρατηρήεων (περίπου 5). Η παρουίαη του χήατος οιάζει ε εκείνου του ιτογράατος αλλά η τεχνική κατάρτιης δεν είναι η ίδια. Το φυλλόγραα Εφανίζει τα δεδοένα ε όλο το εύρος των παρατηρηθέντων ετρήεων. 5

26 Παρουιάζει την υγκέντρωη των παρατηρήεων (υχνότητες). είχνει την ορφή της κατανοής. Εφανίζει τυχόν ακραίες και εκτροπές παρατηρήεις. Επιτρέπει την επιήανη της απουίας υγκεκριένων τιών ή ετρήεων. Παράδειγα Μας δίνονται ηλικίες ατόων και ζητάε να βρούε το διάγραα ίχουφύλλου. Τα βήατα που ακολουθούε είναι τα έξης ιατάουε τα δεδοένα ε αύξουα ειρά Θεωρούε ότι κάθε παρατήρηη αποτελείται από δύο τήατα, το αρχικό ψηφίο και το επόενο ψηφίο π.χ. αρχικό, επόενο. Κατακευάζουε τον παρακάτω πίνακα για όλα τα νούερα κορός φύλλο Ως φύλλο κάθε τοιχείου λαβάνεται το τελευταίο ή τα δύο τελευταία ψηφία της τιής της παρατήρηης και ως κορός το πρώτο ή τα εναποείναντα πρώτα ψηφία. Π.χ ή 78 9 Παράδειγα Μας δίνονται οι επιδόεις φοιτητών ε ένα τετ και ζητάε να βρούε το διάγραα ίχουφύλλου. Κατακευάζουε τον παρακάτω πίνακα για όλα τα νούερα κορός φύλλο ιαπιτώνουε ότι 6

27 Η ικρότερη τιή είναι το 7 και εγαλύτερη το 7. Η πολυπληθέτερη οάδα είναι εκείνη που περιλαβάνει ετρήεις από 8 9. Τα τέερα φύλλα του ίχου 7 δηλώνουν ότι ιάριθα άτοα πέτυχαν επίδοη από 7 8 ονάδες. Τα φύλλα του τελευταίου ίχου δηλώνουν ότι βρέθηκαν άτοα που πέτυχαν επίδοη ή καλύτερη. Αν περιτρέψουε νοητά το ανωτέρω διάγραα ε οριζόντια θέη θα ήταν α να κιαγραφούαε 5 παραλληλόγραα το πρώτο ε υχνότητα 4 ονάδες, το δεύτερο ε υχνότητα 8 ονάδες κ.λ.π. 7.7 ΑΣΤΕΡΟΕΙ Η ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Κάθε παρατήρηη απεικονίζεται αν ένα ατέρι το οποίο αποτελείται από τόες ακτίνες όες και οι εταβλητές που χρηιοποιούε. Το ήκος του είναι ανάλογο των τιών των εταβλητών. Τα ατεροειδή διαγράατα ας βοηθούν να κατατάξουε τις παρατηρήεις ε οοειδής οάδες ε το έγεθος και το χήα των ατέρων. Τα ήκη των ατέρων καθορίζονται ε δύο τρόπους Από τις πραγατικές τιές Από τις αναδιαβαθιένες τιές. Στην περίπτωη αυτή οι τιές αλλάζουν έτι ώτε η ελάχιτη τιή να γίνει (όχι ακτίνα) και η έγιτη (εγάλη ακτίνα). Μεταβ 5 Μεταβ Μεταβ 4 Μεταβ Μεταβ ΠΡΟΣΩΠΑ ΤΟΥ CEROFF Είναι γραφήατα ανάλογα των ατεροειδών όνο που αντί η κάθε παρατήρηη να απεικονίζεται αν ακτίνα απεικονίζεται αν πρόωπο. Κάθε εταβλητή καθορίζει ένα υγκεκριένο χαρακτηριτικό του προώπου. Η απεικόνιη αυτή είναι διαδεδοένη τις κοινωνικές επιτήες και την ψυχολογία. 7.9 ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΛΑΙΣΙΟΥΑΠΟΛΗΞΕΩΝ (Bo plot) 7

28 Περιλαβάνουν περιληπτικά την κατανοή των ποοτικών εταβλητών. Κάθε πλαίιοκουτί απεικονίζει το ο τεταρτηόριο, την διάεο και το 3ο τεταρτηόριο. Οι απολήξεις υποδεικνύουν τα όρια των ακραίων τιών. Οι τιές εκτός των φραγάτων των απολήξεων θεωρούνται ακραίες και υποδεικνύονται το γράφηα ε ξεχωριτά ηεία. Συετρικά διαγράατα πληιάζουν την κανονική κατανοή. διάεος ο τεταρτ ο τεταρτ Ανω φράγα 3. Κάτω φράγα +3. Ακραίες τιές απόληξη απόληξη Ακραίες τιές Aναφερόενοι το χήα της κατανοής των δεδοένων ε βάη το διάγραα boplot, έχουε τις παρακάτω χεδιάεις (Q 3o τεταρτηόριο, Q διάεος, Q 3 o τεταρτηόριο Οοιόορφη Καπάνα Q Q Q 3 εξιά υετρική Αριτερα υετρική 8

29 umber of people / sq. lometer OECD 4 7 Pacfc/Asa East Europe 9 Afrca 7 Mddle East Lat Amerca Rego or ecoomc group 7. ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ (Errorbars) Είναι διαγράατα που περιγράφουν περιληπτικά την κατανοή ίας ποοτικής εταβλητής ε διάφορα επίπεδα. Συνήθως αναπαρατά διατήατα επιτούνης για το έο, αλλά εναλλακτικά πορεί να χρηιοποιηθεί και για την τυπική απόκλιη. Μοιάζουν ε τα θηκογράατα, αλλά υγκρίνουν διατήατα επιτούνης και όχι κατανοές. Το χήα τους είναι ια ράβδος κατανεηένη ιοερώς γύρο από το τη έη τιή των τιών. Το ήκος κάθε ράβδου ιούται ε το (α)% διάτηα επιτούνης γύρο από το έο. 9

30 Πάνω όριο.ε. + s Μέη τιή Μέη τιή Κάτω όριο.ε. s όπου πορεί να πάρει τιές (για 7%), (για 95%) και 3 (για 99%). 95% CI Gross domestc product / capta OECD Pacfc/Asa East Europe Afrca Mddle East Lat Amerca Rego or ecoomc group 7. ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΝ (Scatter plots) Ονοάζονται και διαγράατα διαποράς. Αποτελούν το γραφικό τρόπο αναζήτηης χέεων εταξύ εταβλητών. Περιγράφουν τη δυδιάτατοι κατανοή δύο ποοτικών εταβλητών. Κάθε ηείο απεικονίζει ένα ζευγάρι τιών των υπό εξέταη εταβλητών (υχέτιη εταβλητών). Εντοπίζονται εύκολα υχετίεις και ακραίες τιές. Συχέτιη αναφέρεται ο βαθός ε τον οποίο χετίζονται (υεταβάλλονται) δύο εταβλητές. Ο βαθός χέης ε την οποία χετίζονται δύο εταβλητές ονοάζεται απλή υχέτιη και ο βαθός χέης ε την οποία χετίζονται περιότερες εταβλητές ονοάζεται πολλαπλή υχέτιη. Η απλή υχέτιη αχολείται ε το βαθό το οποίο τα ηεία υγκεντρώνονται γύρω από ια ευθεία χωρίς να προδιορίζεται ποιά είναι ακριβώς αυτή η γραή που διέρχεται έα από το νέφος των ηείων. 3

31 Γραική υχέτιη εφανίζεται όταν το διάγραα διακορπιού τα ηεία όλων των παρατηρήεων τείνουν να υγκεντρώνονται γύρο από ια ευθεία και η γραική όταν τα ηεία τείνουν να υγκεντρωθούν γύρο από ια καπύλη. Θετική υχέτιη όταν δύο εταβλητές τείνουν να εταβάλλονται προς την ίδια κατεύθυνη. Στην περίπτωη αυτή οι τιές τείνουν να αυξάνονται ή να ειώνονται. Αρνητική υχέτιη όταν δύο εταβλητές τείνουν να εταβάλλονται προς αντίθετη κατεύθυνη. Στην περίπτωη αυτή οι τιές της ίας εταβλητής τείνουν να αυξάνονται και της άλλης να ειώνονται Μηδενική υχέτιη όταν οι εταβολές των τιών της ίας εταβλητής δεν υνδέονται ε τις εταβολές της άλλης. Τα ηεία του νέφους είναι διακορπιένα ε όλο το ήκος του διαγράατος 3

32 Μη γραική υχέτιη όταν οι εταβολές των τιών της ίας εταβλητής υνδέονται ε τις εταβολές της άλλης ε η γραική ορφή. Τα ηεία του νέφους τείνουν να υγκεντρωθούν γύρο από ια καπύλη Males who read (%) Females who read (%) People lvg ctes (%) Males who read (%) 7. ΠΙΘΑΝΟΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ (PP, QQ) Προπαθούε να διαπιτώουε (ε γραφικούς τρόπους) πόο κοντά ε κάποια κατανοή που προδιορίζουε είναι τα δεδοένα. Συνήθως ενδιαφερόατε για την κανονική κατανοή. Όο πιο κοντά την διχοτόο της γωνίας των αξόνων είναι υγκεντρωένα τα ηεία τόο περιότερο ενιχύεται η υπόθεη ότι τα δεδοένα ακολουθούν την κανονική κατανοή. Πιθανοθεωρητικά διαγράατα είναι διαγράατα ενός δείγατος ε χέη ε τα δεδοένα που περιέναε να πάρουε αν θεωρούαε από ια κανονική κατανοή. ormal PP Τα γραφήατα αυτά παριτάνουν ε ύτηα οριζοντίων και καθέτων αξόνων τις τιές της παρατηρούενης αθροιτικής υχνότητας (άξονας ) και της υποτιθέενης κανονικής κατανοής (άξονας y) που ακολουθεί η εταβλητή που εξετάζεται. Όο πιο κοντά την διχοτόο της γωνίας των αξόνων είναι υγκεντρωένα τα ηεία τόο περιότερο ενιχύεται η υπόθεη ότι τα δεδοένα ακολουθούν την κανονική κατανοή. 3

33 . ormal PP Plot of Gross domestc product / capta.75.5 Epected Cum Prob Observed Cum Prob. ormal PP Plot of Populato crease (% per year)).75.5 Epected Cum Prob Observed Cum Prob ormal QQ Τα γραφήατα αυτά παριτάνουν τα εκατοτηόρια της παρατηρούενης ως προς την αναενόενη κανονική κατανοή. Τα εκατοτηόρια υπολογίζονται ε βάη διαφορετικούς αλγόριθους και τοποθετούνται τον κάθετο άξονα y, ενώ α αντίτοιχα παρατηρούενα τον οριζόντια άξονα 33

34 3 ormal QQ Plot of Gross domestc product / capta Epected ormal Value 3 Observed Value 5 ormal QQ Plot of Populato crease (% per year)) 4 3 Epected ormal Value Observed Value 8 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Χρηιοποιείται την περίπτωη εγάλου όγκου δεδοένων. Καταρτίζουε ένα πίνακα υχνοτήτων και την υνέχεια χεδιάζουε το αντίτοιχο ιτόγραα και πολύγονο υχνοτήτων. Αυξανόενων του πλήθους των τάξεων η πολυγωνική γραή προεγγίζει ια οαλή καπύλη η οποία ονοάζεται καπύλη υχνοτήτων. Στην ουία η καπύλη υχνοτήτων αποτελεί την γραφική απεικόνιη επί του επιπέδου των ορθογωνίων αξόνων άπειρων ηείων των οπίων οι τετηένες αντιτοιχούν τις άπειρες τιές της υνεχούς εταβλητής. Μπορούε να διακρίνουε 4 οικογένειες θεωρητικών κατανοών οι οποίες λαβάνουν το όνοά τους από το χήα που παρουιάζουν. 34

35 Μονοκόρυφες κατανοές (umodal dstrbutos) Κατανοές χήατος U (Ushape dstrbutos) Κατανοές χήατος J (Jshape dstrbutos) ιάφορες ύνθετες κατανοές ιδιάζουας ορφής. 35

36 8. ΜΟΝΟΚΟΡΥΦΕΣ Το εβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τις καπύλες και το οριζόντιο άξονα αντιτοιχεί το ύνολο των υχνοτήτων. Οποιοδήποτε τήα του πορεί αν εκτιηθεί και να δώει την αναλογία των δεδοένων που περιλαβάνονται εταξύ δύο τιών της εταβλητής. 8. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗΚΩΝΟΕΙ ΗΣ Ο άξονας υετρίας χωρίζει την επιφάνεια ε δύο ία έρη καθένα περιλαβάνοντας το 5% των παρατηρήεων. Τα δύο άκρα της καπύλης ονοάζονται ουρές και τείνουν αυπωτικά προς τον άξονα. (κανονική ή τυποποιηένη κανονική κατανοή). 9 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Η δυκολία χειριού πολυπληθών δεδοένων επιβάλει την επινόηη εθόδων ε την χρήη των οποίων είναι δυνατή η υπύκνωη των πληροφοριών. Για το κοπό αυτό χρηιοποιούνται έθοδοι διάταξης υχνοτήτων (χετικών, απόλυτων και αθροιτικών) καθώς και διαφορετικά έτρα (τάης, θέεως, διαποράς, λοξότητας και κύρτωης) ιας οάδας παρατηρήεων. 9. ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ Συχνότητα (f ) ιας εταβλητής της εταβλητής X ονοάζεται ο φυικός αριθός που θανερώνει πόες φορές παρουιάζεται το δείγα η υγκεκριένη τιή. Σχετική υχνότητα ονοάζεται το πηλίκο της υχνότητας προς το πλήθος των παρατηρήεων f l l Aθροια υχνοτήτων λέγεται το άθροια των υχνοτήτων που είναι ικρότερες ή ίες της τιής αυτής. Ιούται ε την τιή. Άθροια ποοτιαίων υχνοτήτων λέγεται το άθροια των υχνοτήτων % που είναι ικρότερες ή ίες της τιής αυτής. Ιούται ε την τιή. Αριθητικές τεχνικές οαδοποίηης ποοτικών δεδοένων. ιάταξη υνεχών δεδοένων κατά αύξουα ειρά. Υπολογιός του εύρους των τιών (RΕ ma E m ) 36

37 3. Υπολογιός του πλάτους διατηάτων δ R log όπου υνολικός αριθός παρατηρήεων. R δ όπου κ ο επιθυητός αριθός ή 4. Τα ανώτερα και κατώτερα όρια των διατηάτων υβολίζονται ε U και L. διαφορά εταξύ ορίων προδιορίζει το πλάτος δ ε δ U L, το δε ηιάθροια καλείται κεντρική τιή διατήατος w ε w U + LI. Παράδειγα Tο βάρος ατόων ε κιλά δίνεται από τις παρακάτω τιές 65., 66.8, 67.3, 67.9, 7., 7.3, 7.3, 73., 73., 89.9 R R 4.8 δ όπου κ3 ο επιθυητός αριθός των κλάεων που θέλουε. 3 Αριθός τάξεων () Τάξεις Απόλυτες υχότητες [6573) 7 [738) 3 [89) Αριθητικές τεχνικές οαδοποίηης ποιοτικών δεδοένων. ιάταξη ποιοτικών δεδοένων κατά αύξουα ειρά. Καταέτρηη των τιών 3. Κατάρτιη πίνακα απολύτων και χετικών υχνοτήτων. 9. ΜΕΤΡΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Κάθε πληθυός χαρακτηρίζεται από οριένες ιδιότητες οι οποίες προδιορίζουν την φυιογνωία και την δοή του. Οι ιδιότητες αυτές εκφράζονται έω κάποιων αριθητικών εγεθώνέτρων. Για ένα ύνολο ποοτικών δεδοένων, το τατιτικό περιγραφικό έτρο είναι ένας και όνο αριθός, ο οποίος υπολογίζεται από τα διαθέια τοιχεία και παρέχει πληροφορίες χετικά ε την ορφή και δοή των δεδοένων. Το κύριο πλεονέκτηα των έτρων είναι ότι πορούν να χρηιοποιηθούν για την διενέργεια εκτιήεων και τον έλεγχο τατιτικών υποθέεων. Τα τατιτικά έτρα πρέπει να τηρούν οριένες ιδιότητες οι οποίες είναι γνωτές ως υνθήκες του Yule.. Η τιή του έτρου πρέπει να υπολογίζεται ε αντικειενικό τρόπο και ε την υετοχή όλων των παρατηρήεων. 37

38 . Η τιή του να υπολογίζεται ε τον κατά δυνατότερο απλούτερο τρόπο και να έχει υγκεκριένη ηαία ώτε να είναι κατανοητή ακόα και ε άτοα που δεν είναι εξοικειωένα ε τατιτικούς υπολογιούς. 3. Το τατιτικό έτρο να είναι όο το δυνατό λιγότερο ευαίθητο ε κυάνεις της δειγατοληψίας και να πορεί να υπολογιθεί ε επόενους τατιτικούς υπολογιούς. Μπορούε να διακρίνουε 5 είδη τατιτικών έτρων που αντιτοιχούν ε ιάριθους τρόπους περιγραφής της κατανοής των δεδοένων.. Τα δεδοένα εφανίζουν ια τάη να περιτρέφονται γύρω από ια κεντρική τιή η εκφράζει την τυπική ή έη τιή τους. (έτρα κεντρικής τάης έος όρος, αρονικός, γεωετρικός). Μέτρα ε κοπό τον εντοπιό της θέης της κατανοής κατά ήκους του άξονα των τιών της εταβλητής (έτρα θέης επικρατούα τιή, διάεος, ποοτηόρια) 3. Ποοτική αξιολόγηη της υγκέντρωης των τιών ιας εταβλητής γύρω από την κεντρική τιή τους (έτρα διαποράς διακύανη, τυπική απόκλιη, υντελετής εταβλητότητας) 4. Το είδος της θετικής ή αρνητικής αυετρίας (έτρα λοξότητας υντελετής αυετρίας) 5. Προδιοριός της κατανοής των τιών γύρω από την κεντρική τιή ε χέη ε τις ακραίες τιές προδιορίζοντας ονοκόρυφη καπύλη ε αιχηρότητα (έτρα κύρτωης υντελετής κύρτωης) 9.. ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Αριθητικός έος Έτω η τυχαία εταβλητή X και έη τιή των παρατηρήεων αν παρατηρήεις { X,, K X } τότε ορίζουε την πιο υγκεκριένα, εάν οι τατιτικές ονάδες X αποτελούν το ύνολο ενός πληθυού εγέθους το είναι ο πληθυιακός έος ενώ εάν < δηλαδή οι παρατηρήεις X αποτελούν απλώς ένα δείγα εγέθους από τον προηγούενο πληθυό, τότε το ο έλος την χέη υνήθως υβολίζεται ε δειγατικός έος ε τύπο X και ονοάζεται 38

39 Στην περίπτωη οαδοποιηένων παρατηρήεων (όπου υχνότητες περιπλέκονται) τότε το άθροια του αριθητή και των δύο έων αντικαθίτανται από το τύπο. Ιδιότητες Αν όλες οι τιές των παρατηρήεων είναι ίες ε ια ποότητα τότε ο έος είναι ίος ε την ποότητα αυτή L a a f Η τιή του έου βρίκεται εταξύ ελάχιτης και έγιτης τιής m ma Το άθροια των αποκλίεων των τιών από τον έο είναι πάντα ίο ε ανεξάρτητα από Ν, τις τιές των δεδοένων και την τιή του έου. ( ) ανεξάρτητα,, Το άθροια των τετραγώνων των αποκλίεων των τιών της εταβλητής από ία ποότητα α είναι ελάχιτο όταν οι αποκλίεις αυτές υπολογίζονται από τον αριθητικό έο των δεδοένων ( a) m a Αν ε όλες τις τιές ποοτικών δεδοένων προθέουε ια ταθερά α τότε ο έος θα αυξηθεί (ή ειωθεί) κατά την ποότητα αυτή. Αν πολλαπλαιάουε όλες τις τιές ποοτικών δεδοένων ε ια ταθερά α τότε ο αριθητικός έος πολλαπλαιάζεται ε την ποότητα αυτή. Σταθικός αριθητικός έος ( L, U ] j Εάν οαδοποιήουε τα δεδοένα ας { X X } j ε πλάτος δ j και ε αντίτοιχες απόλυτες υχνότητες ταθικός αριθητικός έος δίνεται από τον τύπο X fw, f όπου για υνεχή δεδοένα το w ( L U ) / οαδοποιηένα διακριτά δεδοένα w X,, K ε κλάεις της ορφής f j για j, τότε ο + είναι το κέντρο της κλάης ενώ για Γεωετρικός έος Ο γεωετρικός έος γινοένου τους δηλαδή παρατηρήεων { X,, K X } είναι η οτη ρίζα του 39

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διατηατικό Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηατικά των Υπολογιτών και των Αποφάεων» ΔΕΙΚΤΕΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΣΤΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Μεταβαλλόενες διαπορά έη τιή Μεταβαλλόενη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων

ΚΕΦ. 2 Στατιστική ανάλυση ακραίων παρατηρήσεων ΚΕΦ. Στατιτική ανάλυη ακραίων παρατηρήεων οντέλα ερηνείας εκτιήεων - προβλέψεων ακραίων υβάντων ε βάη πραγατικά δεδοένα Θα προπαθήουε ε βάη ιτορικά δεδοένα και όνο να δώουε απαντήεις ε ερωτήεις της ορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση Εκτίηση Σηείου Εκτίηση Σηείου Εισαγωγή Σε πολλές περιπτώσεις στη στατιστική έχουε συναντήσει προβλήατα για τα οποία απαιτείται να εκτιηθεί ια παράετρος. Η έθοδος που ακολουθεί στις περιπτώσεις αυτές κανείς

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος.

Β.2.6. Γεωµετρικός µέσος. 6 Β..6. Γεωετρικός έος. α) Τα δεδοέα δίοται ααλυτικά Οριός Β.. Έτω ότι τα δεδοέα είαι δοέα ααλυτικά ( τιές που ατιτοιχού τα άτοα του πληθυού): i, i,,,..., Οοάζουε Γεωετρικό έο τω δεδοέω i, τη -οτή ρίζα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ. ιδάσκων: ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 22-23 ιδάκων: Βαίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάκων ε ί Συβάει Π. 47/8 v.koutrs@fe.ege.gr Τηλ: 22735457 Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation

4.6. Μη γραµµικοί ταξινοµητές Ν Back error propagation ΑΤΕΙ Σερρώ 4.6. Μη γραιοί ταξιοητές Back error propagaon Μία ιαφορετιή τεχιή χειαού εός πολυεπίπεου percepron για τη ταξιόηη η γραιά ιαχωριοέω λάεω βαίεται τη ατιατάταη της υάρτηης dx από ία υεχή αι ιαφορίιη

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών

6. Ανάλυση χαρακτηριστικών ρ Χ Στρουθόπουος e-mail: strch@teisergr ΑΤΕΙ Σερρώ 6 Αάυη χαρακτηριτικώ Μια ηατική εργαία ε έα ύτηα ααγώριης είαι η αάυη τω ετρούεω χαρακτηριτικώ τω προτύπω Με τη αάυη τω χαρακτηριτικώ πετυχαίουε τη αξιοόγηη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας KE 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Εκτίηση άγνωστων κατανοών πιθανότητας ΤήαΕπιστήης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήιο Πελοποννήσου 7 coas Tsaatsous Εισαγωγή Παραετρικές έθοδοι Μη παραετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

= = = = N N. Σηµείωση:

= = = = N N. Σηµείωση: Ανάλογα ε τα φορτία που αναπτύσσονται σε ια διατοή ακολουθείται διαφορετική διαδικασία διαστασιολόγησης. 1 Φορτία ιατοής Καθαρή Κάψη Ροπή M σε ια διεύθυνση Προέχουσα Κάψη+Θλίψη Ροπή M σε ια διεύθυνση ε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων

Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων Ορισός Έστω Χ ένα τυπικό σύνολο αντικειένων, που το καλούε σύπαν, του οποίου τα στοιχεία τα συβολίζουε ε. Η σχέση του περιέχεσθε για ένα τοπικό υποσύνολο του Α του

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική & Έλεγχος

Ασαφής Λογική & Έλεγχος Τεχνητή Νοηοσύνη 7 σαφής Λογική & Έλεγχος Φώτης Κόκκορας ΤΕΙ Θεσσαλίας Τήα Μηχανικών Πληροφορικής (Fuzzy Logic Fuzzy Control) Η σαφής Λογική (Fuzzy Logic)......δεν είναι καθόλου...ασαφής ή ανακριβής, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΕ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΜΕΙΞΕΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS) ΒΕΣ 6 Προσαροστικά Συστήατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαροστικοί Αλγόριθοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθου Least Mean Square (LMS) Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Κατωφλίωσης Εικόνας

Τεχνικές Κατωφλίωσης Εικόνας Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A Κ Η Α Σ Κ Η Σ Η Τεχνικές Κατφλίης Εικόνας. Ειαγγή Ο όρος ονοχρατική εικόνα ή απλά εικόνα αναφέρεται ε ια διδιάτατη υνάρτηη ένταης φτός f x, y, όπου x και y είναι οι χρικές υντεταγένες

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά.

( α ). Να δηλωθεί η συνάρτηση με την genter. ( β ). Να εφαρμοστεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και να αποδειχθεί Θεωρητικά. Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια ΦΥΣ 347: Υπολογιστική Φυσική Eβδοάδα 3 3. Μέθοδος etropols onte Carlo. Oι έθοδοι τύπου etropols onte Carlo εφαρόζονται για την ελέτη κλασσικών και κβαντικών συστηάτων (ε Ν>> βαθούς ελευθερίας σε ισορροπία.

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα