ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τµήµατος Πληροφορικής Εξεταστική Επιτροπή από τον Ανδρέα Κακολύρη ως µέρος των Υποχρεώσεων για τη λήψη του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΕ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ιανουάριος 2006

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντά µου καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Μπλέκα. Ο λόγος δεν είναι µόνο η ουσιαστική και συνεχής καθοδήγηση που µε βοήθησαν σε όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας και υπήρξαν καθοριστικοί παράγοντες στην επιτυχία της. Εξίσου σηµαντικός παράγοντας αν όχι σηµαντικότερος υπήρξε για µένα η ηθική και ψυχολογική στήριξη που µου παρείχε σε όλη τη διάρκεια της συνεργασίας µας. Ιδιαίτερα τους τελευταίους µήνες, όταν και βρέθηκα αντιµέτωπος µε διάφορες καταστάσεις, η ενθάρρυνσή του µε βοήθησε να παραµείνω συγκεντρωµένος και να µπορέσω να φέρω σε πέρας µε επιτυχία την εργασία και γι αυτό το λόγο είµαι ευγνώµων.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ v ΠΕΡΙΛΗΨΗ v EXTENDED ABSTRACT IN ENGLISH x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχοι οµή της ιατριβής 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μοντελα MARKOV Στοχαστική διαδικασία Markov Μοντέλα Markov (Markov Models) Κρυµµένα Μοντέλα Markov 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Οµαδοποίηση ακολουθιακών δεδοµένων µε τη χρήση Μικτών Μοντέλων Markov Μικτά Μοντέλα Οµαδοποίηση µε Μικτά Μοντέλα Αλγόριθµος ΕΜ ΕΜ για Απλά Μοντέλα Markov E Step M- Step EΜ για Κρυµµένα Μοντέλα Markov E Step Μ Step 29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αυξητικό Μοντέλο για απλά µοντέλα Markov Αυξητική Μέθοδος Αυξητική δηµιουργία του µικτού µοντέλου Markov Αρχικό Μοντέλο Προσθήκη Μοντέλου Partal EM General EM Επιλογή µοντέλου K Means Κατασκευή Αρχικών Μοντέλων Τερµατισµός Αυξητικού Αλγορίθµου Πλήθος Συνιστωσών 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Πειραµατα συµπερασµατα 46

4 5.1. Εισαγωγή Πειραµατικά εδοµένα Μετρήσεις Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Πραγµατικό σύνολο δεδοµένων 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συνοψη και µελλοντικη εργασια 106 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 108 ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ 110 v

5 v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας Σελ. Πίνακας 5.1 Μ=4 Θόρυβος 40% 50 Πίνακας 5.2 Μ=4 Θόρυβος 50% 50 Πίνακας 5.3 Μ=4 Θόρυβος 60% 51 Πίνακας 5.4 Μ=4 Θόρυβος 70% 51 Πίνακας 5.5 Μ=6 Θόρυβος 40% 52 Πίνακας 5.6 Μ=6 Θόρυβος 50% 52 Πίνακας 5.7 Μ=6 Θόρυβος 60% 53 Πίνακας 5.8 Μ=6 Θόρυβος 70% 53 Πίνακας 5.9 Μ=8 Θόρυβος 50% 54 Πίνακας 5.10 Μ=8 Θόρυβος 50% 54 Πίνακας 5.11 Μ=8 Θόρυβος 60% 55 Πίνακας 5.12 Μ=8 Θόρυβος 70% 55 Πίνακας 5.13 Μ=10 Θόρυβος 40% 56 Πίνακας 5.14 Μ=10 Θόρυβος 50% 56 Πίνακας 5.15 Μ=10 Θόρυβος 60% 57 Πίνακας 5.16 Μ=10 Θόρυβος 70% 57 Πίνακας 5.17 Μ=4 Θόρυβος 20% 63 Πίνακας 5.18 Μ=4 Θόρυβος 40% 64 Πίνακας 5.19 Μ=4 Θόρυβος 60% 64 Πίνακας 5.20 Μ=4 Θόρυβος 80% 65 Πίνακας 5.21 Μ=6 Θόρυβος 20% 65 Πίνακας 5.22 Μ=4 Θόρυβος 40% 66 Πίνακας 5.23 Μ=4 Θόρυβος 60% 66 Πίνακας 5.24 Μ=4 Θόρυβος 80% 67 Πίνακας 5.25 Μ=8 Θόρυβος 20% 67 Πίνακας 5.26 Μ=8 Θόρυβος 40% 68 Πίνακας 5.27 Μ=8 Θόρυβος 60% 68 Πίνακας 5.28 Μ=8 Θόρυβος 80% 69 Πίνακας 5.29 Μ=10 Θόρυβος 20% 69 Πίνακας 5.30 Μ=10 Θόρυβος 40% 70 Πίνακας 5.31 Μ=10 Θόρυβος 60% 70 Πίνακας 5.32 Μ=10 Θόρυβος 80% 71 Πίνακας 5.33 Μ=4 Θόρυβος 20% 72 Πίνακας 5.34 Μ=4 Θόρυβος 40% 73 Πίνακας 5.35 Μ=4 Θόρυβος 60% 73 Πίνακας 5.36 Μ=4 Θόρυβος 80% 74 Πίνακας 5.37 Μ=6 Θόρυβος 20% 74 Πίνακας 5.38 Μ=6 Θόρυβος 40% 75 Πίνακας 5.39 Μ=6 Θόρυβος 60% 75 Πίνακας 5.40 Μ=6 Θόρυβος 80% 76

6 Πίνακας 5.41 Μ=8 Θόρυβος 20% 76 Πίνακας 5.42 Μ=8 Θόρυβος 40% 77 Πίνακας 5.43 Μ=8 Θόρυβος 60% 77 Πίνακας 5.44 Μ=8 Θόρυβος 80% 78 Πίνακας 5.45 Μ=10 Θόρυβος 20% 78 Πίνακας 5.46 Μ=10 Θόρυβος 40% 79 Πίνακας 5.47 Μ=10 Θόρυβος 60% 79 Πίνακας 5.48 Μ=10 Θόρυβος 80% 80 Πίνακας 5.49 Μ=4 Θόρυβος 20% 81 Πίνακας 5.50 Μ=4 Θόρυβος 40% 82 Πίνακας 5.51 Μ=4 Θόρυβος 60% 82 Πίνακας 5.52 Μ=4 Θόρυβος 80% 83 Πίνακας 5.53 Μ=6 Θόρυβος 20% 83 Πίνακας 5.54 Μ=6 Θόρυβος 40% 84 Πίνακας 5.55 Μ=6 Θόρυβος 60% 84 Πίνακας 5.56 Μ=6 Θόρυβος 80% 85 Πίνακας 5.57 Μ=8 Θόρυβος 20% 85 Πίνακας 5.58 Μ=8 Θόρυβος 40% 86 Πίνακας 5.59 Μ=8 Θόρυβος 60% 86 Πίνακας 5.60 Μ=8 Θόρυβος 80% 87 Πίνακας 5.61 Μ=10 Θόρυβος 20% 87 Πίνακας 5.62 Μ=10 Θόρυβος 40% 88 Πίνακας 5.63 Μ=10 Θόρυβος 60% 88 Πίνακας 5.64 Μ=10 Θόρυβος 80% 89 Πίνακας 5.65 Μ=4 Θόρυβος 40% 90 Πίνακας 5.66 Μ=4 Θόρυβος 60% 91 Πίνακας 5.67 Μ=4 Θόρυβος 80% 91 Πίνακας 5.68 Μ=6 Θόρυβος 40% 92 Πίνακας 5.69 Μ=6 Θόρυβος 60% 92 Πίνακας 5.70 Μ=6 Θόρυβος 80% 93 Πίνακας 5.71 Μ=8 Θόρυβος 40% 93 Πίνακας 5.72 Μ=8 Θόρυβος 60% 94 Πίνακας 5.73 Μ=8 Θόρυβος 80% 94 Πίνακας 5.74 Πραγµατικό Σύνολο εδοµένων 98 v

7 v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα Σελ. Σχήµα 2.1 Κατευθυνόµενος Γράφος Μοντέλου Markov 6 Σχήµα 2.2 Παράδειγµα Απλού Μοντέλου Markov 10 Σχήµα 2.3 Παράδειγµα Κρυφού Μοντέλου Markov 11 Σχήµα 5.1 Οµάδα 1 58 Σχήµα 5.2 Οµάδα 2 58 Σχήµα 5.3 Οµάδα 3 59 Σχήµα 5.4 Οµάδα 4 59 Σχήµα 5.5 Οµάδα 5 60 Σχήµα 5.6 Οµάδα 6 60 Σχήµα 5.7 Οµάδα 7 61 Σχήµα 5.8 Οµάδα 8 61 Σχήµα 5.9 Οµάδα 9 62 Σχήµα 5.10 Οµάδα Σχήµα 5.11 Οµάδα 1 95 Σχήµα 5.12 Οµάδα 2 96 Σχήµα 5.13 Οµάδα 3 96 Σχήµα 5.14 Οµάδα 4 96 Σχήµα 5.15 Οµάδα 5 97 Σχήµα 5.16 Οµάδα 6 97 Σχήµα 5.17 Οµάδα 1 99 Σχήµα 5.18 Οµάδα 2 99 Σχήµα 5.19 Οµάδα Σχήµα 5.20 Οµάδα Σχήµα 5.21 Οµάδα Σχήµα 5.22 Οµάδα Σχήµα 5.23 Οµάδα Σχήµα 5.24 Οµάδα Σχήµα 5.25 Οµάδα Σχήµα 5.26 Οµάδα

8 v ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ανδρέας Κακολύρης του Σταµατίου και της Αγγελικής. MSc, Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Ιανουάριος, 2006, Ανάλυση Ακολουθιακών εδοµένων µε τη χρήση µοντέλων Markov. Επιβλέποντας: Κωνσταντίνος Μπλέκας. Στην παρούσα εργασία προσεγγίζουµε το πρόβληµα της ανάλυσης ακολουθιακών δεδοµένων. Τα δεδοµένα θεωρούµε ότι αποτελούνται από ακολουθίες συµβολοσειρών και η ανάλυσή τους έγκειται στον προσδιορισµό οµάδων ακολουθιών µε κοινά χαρακτηριστικά. Το πρόβληµα της οµαδοποίησης µπορεί να επιλυθεί µε τη χρήση µικτών µοντέλων Markov, τα οποία εκπαιδεύουµε µε τον γνωστό αλγόριθµο ΕΜ. Προτείνουµε µια νέα προσέγγιση στην εκπαίδευση µικτών µοντέλων Markov. Κεντρική ιδέα είναι η αυξητική κατασκευή του µικτού µοντέλου. Αποτέλεσµα της διαδικασίας είναι οι παράµετροι των µοντέλων να αρχικοποιούνται µε κριτήριο τη µεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας του µοντέλου, ενώ ταυτόχρονα το πλήθος των συνιστωσών του µικτού µοντέλου καθορίζεται δυναµικά κατά την εκπαίδευση. Συνεπώς, αντιµετωπίζονται τα δυο βασικότερα προβλήµατα του µικτού µοντέλου: Ο καθορισµός του πλήθους των συνιστωσών, το οποίο αντιστοιχεί στο πλήθος των οµάδων στα δεδοµένα και η αρχικοποίηση των παραµέτρων του µοντέλου.

9 x EXTENDED ABSTRACT IN ENGLISH Kakolrs, Andreas, A.K. MSc, Coputer Scence Departent, Unversty of Ioannna, Greece. January, Markov Model Approach to Sequental Data Analyss. Thess Supervsor: Konstantnos Blekas. The purpose of ths thess s to study the proble of sequental data analyss. The ter sequental data refers to sequences of dscrete sybols. Such data are found n any areas of nterest such as text recognton, DNA analyss or user pattern recognton. The analyss we consder s the separaton of sequental data sets nto clusters wth coon patterns. The clusterng s acheved by learnng a xture of frst order Markov odels usng the Expectaton Maxzaton algorth. Markov odels can be used to represent the underlyng stochastc process, responsble for generatng the observaton sequences. A sequence s produced by choosng the ntal state (sybol) accordng to the ntal state probabltes of the odel and then by choosng the next states (sybols) accordng to the transton probabltes of the odel. Hdden Markov odels are ore powerful and consequently ore coplex than sple Markov odels. The dfference s that the states n a hdden Markov Model no longer represent the observaton sybols but the observaton s a probablstc functon of the state. A sple or hdden Markov odel can be created to represent the process responsble for creatng sequences of a sngle cluster. Mxtures of Markov odels can be created

10 x to odel the process of creatng a set of sequences fro dfferent clusters. The EM algorth can be used to tran such xture odels so they can be used for clusterng. However, ths technque faces two ajor probles. Frstly, the nuber of xtures used s not usually known n advance and secondly, ntal paraeter values are requred for the tranng of the xture odels. We propose a novel ethodology for creatng and tranng xture odels of sple Markov odels. The key dea s to ncreentally add coponents to the xture: We begn by constructng the one coponent global odel of the dataset. At each step we choose a new odel fro a pool of pre constructed odels and add t to the xture. The added odel s traned usng the EM algorth (Partal EM) and the resultng +1 xture odel s then traned usng EM (General EM). The algorth stops when the desred xture has been created. The nuber of coponents s deterned dynacally, durng the ncreental process. We use a fast and easy algorth to obtan a rough clusterng of the dataset. A pool of Markov odels s then created by these clusters. The coponent added s chosen, so that the lkelhood of the xture s axzed at each step. Experents to synthetc as well as to real data deonstrate the effectveness of the ncreental ethod. Increentally created xture odels are equal or better to the best odels created by other ethods wth predeterned nuber of coponents n ost cases. Only when the data dsplay very nosy patterns the ncreental ethod fals to perfor well, whch s consdered natural, snce the clusters can no longer be consdered hoogeneous and the other xture odels also fal to perfor well. Further study ncludes the use of better ethods for obtanng better pre constructed odels to use n the algorth, further analyss of the stoppng crteron for the ncreental algorth and applcaton of a slar ethod to hdden Markov odels.

11 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Στόχοι 1.2 οµή της ιατριβής 1.1. Στόχοι Ο στόχος της διατριβής είναι η µελέτη του προβλήµατος της ανάλυσης ακολουθιακών δεδοµένων. Με τον όρο ακολουθιακά δεδοµένα εννοούµε δεδοµένα που αποτελούνται από ακολουθίες διακριτών συµβόλων. Σε πολλές περιοχές ερευνητικού και όχι µόνο ενδιαφέροντος συναντώνται ακολουθιακά δεδοµένα: Στην ανάλυση και αναγνώριση κειµένου τα δεδοµένα είναι ακολουθίες συµβόλων. Η ανάλυση γεννετικών χαρακτηριστικών χρησιµοποιεί ακολουθίες DNA. Η ανάλυση της συµπεριφοράς χρηστών ενός δικτυακού τόπου απαιτεί την ύπαρξη ακολουθιών που περιγράφουν τις ενέργειες που πραγµατοποιεί. Η εξέλιξη της τιµής µετοχών κατά τη διάρκεια κάποιας χρονικής περιόδου µπορεί να αναπαρασταθεί µε ακολουθίες τιµών της µετοχής για περαιτέρω ανάλυση και πρόβλεψη της πορείας της τιµής των µετοχών. Οι επιλογές προϊόντων των πελατών µιας εταιρείας µπορούν να καταγραφούν, προκειµένου να γίνει πρόβλεψη των προτιµήσεών τους και να προσαρµοστούν κατάλληλα οι προσφερόµενες υπηρεσίες. Αυτές είναι µερικές µόνο από τις εφαρµογές στις οποίες εµφανίζονται διακριτά ακολουθιακά δεδοµένα. Είναι φανερό, ότι η ανάλυσή τους παρουσιάζει σηµαντικό ερευνητικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Η ανάλυση στην οποία αναφερόµαστε στην παρούσα εργασία αναφέρεται στο διαχωρισµό των ακολουθιακών δεδοµένων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά. Μια τέτοια οµαδοποίηση µπορεί να προσφέρει

12 2 πολύτιµες πληροφορίες, ανάλογα µε τη φύση των δεδοµένων. Για παράδειγµα, η οµαδοποίηση ακολουθιών DNA αναγνωρίζει οµάδες πληθυσµού µε κοινά γεννετικά χαρακτηριστικά, ενώ η οµαδοποίηση ακολουθιών ενεργειών των χρηστών αποκαλύπτει κοινή συµπεριφορά και προτιµήσεις των χρηστών. Για την πραγµατοποίηση της ανάλυσης, χρησιµοποιούµε µοντέλα Markov, τα οποία προσωµοιώνουν το µηχανισµό παραγωγής των ακολουθιακών δεδοµένων. Τα µοντέλα Markov µπορούν να εκπαιδευτούν κατάλληλα, ώστε να επιλύουν το πρόβληµα της οµαδοποίησης. Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι να προτείνει µια νέα προσέγγιση στο πρόβληµα της εκπαίδευσης των µικτών µοντέλων Markov, η οποία αντιµετωπίζει ορισµένα από τα προβλήµατα που παρουσιάζουν οι υπάρχοντες αλγόριθµοι οµή της ιατριβής Η διατριβή περιέχει 6 κεφάλαια: Στο Κεφάλαιο 1 περιγράφουµε το στόχο της εργασίας και διατυπώνουµε το πρόβληµα της οµαδοποίησης ακολουθιακών δεδοµένων. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε τη θεωρία για τα χαρακτηριστικά και τη λειτουργία του απλού και του κρυµµένου µοντέλου Markov για διακριτά δεδοµένα. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφουµε τα µικτά µοντέλα Markov καθώς και τον αλγόριθµο EM που χρησιµοποιείται για την εκπαίδευσή τους. Στο κεφάλαιο 4 προτείνουµε µια µέθοδο για την αυξητική δηµιουργία ενός µικτού µοντέλου Markov. Στο κεφάλαιο 5 εκθέτουµε τα αποτελέσµατα των πειραµάτων και αξιολογούµε τις επιδόσεις του αυξητικού αλγορίθµου συγκρίνοντάς τον µε τα παραδοσιακά µοντέλα Markov. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζουµε το περιεχόµενο της διατριβής και προτείνουµε µελλοντικές επεκτάσεις που µπορούν να γίνουν.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΟΝΤΕΛΑ MARKOV 2.1 Στοχαστική διαδικασία Markov 2.2 Μοντέλα Markov 2.3 Κρυµµένα Μοντέλα Markov 2.1. Στοχαστική διαδικασία Markov Στο πρόβληµά µας έχουµε ένα σύνολο ακολουθιών X={X } µε =1:N. Μια ακολουθία X ={X l } µε l=1:t() αποτελείται από ένα πλήθος διακριτών συµβόλων V={v k }µε k=1:k. Μια τέτοια ακολουθία συµβόλων µπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά την αλληλουχία µεταβάσεων µεταξύ ενός συνόλου καταστάσεων, όπου οι καταστάσεις αναπαρίστανται από τα σύµβολα της ακολουθίας. Εποµένως, µια ακολουθία X µπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσµα µιας στοχαστικής διαδικασίας, σε διακριτό χρόνο t, µε διακριτό χώρο καταστάσεων. Το µήκος της ακολουθίας εκφράζει το πλήθος των χρονικών στιγµών της ακολουθίας, ενώ το πλήθος των διακριτών συµβόλων το χώρο των καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας. Επιπλέον, θεωρούµε ότι το αποτέλεσµα κάθε διαδικασίας δεν επηρεάζει τα αποτελέσµατα των υπόλοιπων διαδικασιών, δηλαδή οι ακολουθίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Θεωρούµε ότι η παραπάνω στοχαστική διαδικασία αποτελεί µια Μαρκοβιανή διαδικασία ή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Για τη διαδικασία Markov που περιγράφουµε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες [15]:

14 4 Εάν µια χρονική στιγµή t βρισκόµαστε σε µια κατάσταση S η πιθανότητα να βρεθούµε σε µια κατάσταση S j τη χρονική στιγµή t+1 εξαρτάται µόνο από την S και όχι από τις καταστάσεις που προηγήθηκαν της χρονικής στιγµής t, δηλαδή: P(q t+1 =S j q t =S,, q 1 =S k ) = P(q t =S q t-1 =S j ). Η ιδιότητα οµογένειας του χρόνου: εδοµένου ότι τη χρονική στιγµή t η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση S, η πιθανότητα τη χρονική στιγµή t+1 να βρισκόµαστε στην κατάσταση S j είναι ανεξάρτητη από τη χρονική στιγµή t, δηλαδή οι πιθανότητες µετάβασης παραµένουν αµετάβλητες σε όλη τη διάρκεια της µαρκοβιανής διαδικασίας. Το σύνολο των καταστάσεων και οι συσχετίσεις µεταξύ τους που αναπαριστούν την Μαρκοβιανή διαδικασία αποτελούν ένα µοντέλο Markov. Υπάρχουν τρία βασικά προβλήµατα που µπορούµε να λύσουµε στα µοντέλα Markov [11]: Η εύρεση της πιθανότητας µιας ακολουθίας X για ένα δεδοµένο µοντέλο (πιθανοφάνεια). Η εύρεση της πιθανότερης ακολουθίας καταστάσεων για την παραγωγή µιας ακολουθίας από ένα µοντέλο. Η προσαρµογή των παραµέτρων του µοντέλου, ώστε να ταιριάζει καλύτερα στις παρατηρήσεις. Ο απώτερος στόχος είναι να γίνει κατάλληλη οµαδοποίηση των ακολουθιών αυτών µε βάση κοινά χαρακτηριστικά τους και οι οµάδες που θα σχηµατιστούν να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο οµογενείς. Στη συνέχεια θα δούµε µε ποιο τρόπο, επιλύνοντας τα προβλήµατα 1 και 3, µπορούµε να επιτύχουµε την οµαδοποίηση των ακολουθιών. Πρώτα όµως παρουσιάζουµε περισσότερο αναλυτικά τη θεωρία για τα µοντέλα Markov. Παρουσιάζουµε δυο παραλλαγές, τα απλά µοντέλα Markov (Markov Models) και τα κρυµµένα µοντέλα Markov (Hdden Markov Models) [11, 8].

15 Μοντέλα Markov (Markov Models) Ορίζουµε το µοντέλο Markov που αναπαριστά µια µαρκοβιανή διαδικασία. Στην περίπτωση των µοντέλων Markov πρώτης τάξης που µας απασχολούν, ισχύουν οι ιδιότητες απώλειας µνήµης και οµογένειας των µαρκοβιανών αλυσίδων που αναφέραµε παραπάνω. Το µοντέλο Markov περιέχει καταρχάς, το σύνολο των καταστάσεων της διαδικασίας. Την πιθανότητα, όντας κατάσταση S τη στιγµή t, στην επόµενη χρονική στιγµή t+1 να βρεθούµε στην κατάσταση S j, a j = P(q t+1 =S q t =S ),j την ονοµάζουµε πιθανότητα µετάβασης του µοντέλου Markov. Προφανώς, από τη στιγµή που µιλάµε K j= 1 για πιθανότητες ισχύει ότι a j 0,j, καθώς επίσης και ότι a j = 1. Εκτός από τις καταστάσεις και τις πιθανότητες µετάβασης, ένα ακόµα ζήτηµα είναι η επιλογή της πρώτης κατάστασης της διαδικασίας. Ορίζουµε την πιθανότητα π η κατάσταση S να είναι η αρχική κατάσταση της αλυσίδας, δηλαδή π = P(q 1 = S ). Ισχύει κι εδώ π 0, καθώς και K = 1 πιθανότητες έναρξης. π = 1. Οι πιθανότητες π ονοµάζονται Συνεπώς, ένα µοντέλο Markov περιγράφεται από το σύνολο παραµέτρων των πιθανοτήτων έναρξης και µεταβάσεων. Θεωρώντας ότι υπάρχουν Κ καταστάσεις στο µοντέλο, έχουµε το σύνολο των πιθανοτήτων έναρξης: P = [π 1, π 2,, π Κ ] και των πιθανοτήτων µετάβασης: a 11 a 12 a 21 a 22 a 1K a 2K Α= a K1 a K2 a KK

16 6 Εποµένως, το σύνολο των παραµέτρων του µοντέλου Θ είναι οι δυο παραπάνω πίνακες. Ο πίνακας αρχικών καταστάσεων P και ο πίνακας µεταβάσεων A και το µοντέλο ορίζεται µε τη βοήθεια των παραµέτρων του ως Θ={P, A}. Επίσης, ένα µοντέλο Markov µπορεί να οπτικοποιηθεί ως ένας γράφος καταστάσεων και κατευθυνόµενων µεταβάσεων. Οι κόµβοι του γράφου αντιστοιχούν στις καταστάσεις του µοντέλου και οι ακµές στις πιθανότητες µετάβασης µεταξύ των καταστάσεων. Για κάθε κατάσταση του µοντέλου S υπάρχει ένα σύνολο πιθανοτήτων µετάβασης a j για όλες τις καταστάσεις S j του µοντέλου (συµπεριλαµβανοµένης τις ίδιας της S ). Ένα παράδειγµα µοντέλου Markov µε τρεις καταστάσεις δίνεται στο Σχήµα 2.1. as1s2 as1s1 S1 as2s1 S2 as2s2 as3s1 as3s2 as1s3 as2s3 S3 as3s3 Σχήµα 2.1 Κατευθυνόµενος Γράφος Μοντέλου Markov Έχοντας κατασκευάσει το µοντέλο, η διαδικασία Markov είναι η ακόλουθη: Επιλέγουµε την πρώτη κατάσταση σύµφωνα µε τις πιθανότητες έναρξης π του µοντέλου.

17 7 Επιλέγουµε στοχαστικά τις επόµενες καταστάσεις µε βάση τις πιθανότητες µετάβασης, µέχρι το τέλος της ακολουθίας. Έχοντας ορίσει πλήρως το µοντέλο Markov µπορούµε να βρούµε την πιθανότητα µια ακολουθία X από σύµβολα του V να παραχθεί από το µοντέλο Θ. Η ζητούµενη πιθανότητα P(X Θ) υπολογίζεται ως εξής: P(X Θ) = P(X 1, X 2,, X T() Θ) = P(X 1 ) * P(X 2 X 1 ) * * P(X T() X T()-1 ) Υπενθυµίζουµε ότι τα X k παίρνουν τιµές στο σύνολο V, ότι οι καταστάσεις του µοντέλου αντιστοιχούν στα στοιχεία του V και ότι θεωρούµε πως η παρατήρηση τη χρονική στιγµή t εξαρτάται µόνο από την παρατήρηση τη στιγµή t-1. Εποµένως, η πιθανότητα P(X 1 ) αντιστοιχεί στην πιθανότητα έναρξης της αντίστοιχης κατάστασης του µοντέλου, δηλαδή P(X 1 = v k ) = π k. Αντίστοιχα, οι πιθανότητες P(X t X t-1 ) αντιστοιχούν στις πιθανότητες µεταβάσεων του µοντέλου, δηλαδή P(X t = v f X t-1 = v g ) = a fg. Άρα, P(X Θ) = π X1 * a X1X2 * * a XT()-1XT() P(X Θ) = Tt=1 1 X1 a XtXt +1 π Απλοποιούµε την παραπάνω σχέση. Ορίζουµε τη συνάρτηση δ: δ(x t,sk ) = { 1, αν Xt=Sk 0, διαφορετικ ά. Με τη βοήθεια της δ µπορούµε να γράψουµε καλύτερα την πιθανότητα π, ως εξής: X1 = των συµβόλων του αλφαβήτου. π K k= 1 π δ( Χ1, Sk) k (Εξίσωση 2.1), όπου Κ είναι το πλήθος

18 8 Παρόµοια µε τη δ(x t,sf,x t+1,s g ) = { 1, αν Xt=Sf και Xt+1=Sg 0, διαφορετικ ά µπορούµε να γράψουµε την a ως: a Xt Xt+1 = Κ K f =1 g=1 a δ(xt, Sf, Xt+1, Sg) fg (Εξίσωση 2.2). Εποµένως, µε τη βοήθεια των εξισώσεων 2.1 και 2.2 γράφουµε: P(X Θ ) = K k=1 T-1 Κ K δ( Χ1, Sk) k t=1 f = 1 g=1 π a δ(xt, Sf, Xt+1, Sg) fg (Εξίσωση 2.3). Η ποσότητα P(X Θ ) ονοµάζεται πιθανοφάνεια της X για το µοντέλο Θ και αποτελεί το µέτρο µε το οποίο αξιολογούµε την ικανότητα των µοντέλων να ταιριάζουν στα δεδοµένα Κρυµµένα Μοντέλα Markov Τα απλά µοντέλα Markov αποτελούν καλή προσέγγιση της διαδικασίας παραγωγής των παρατηρήσεων, αλλά θεωρούν ότι το πλήθος καταστάσεων του µοντέλου είναι ίσο µε το πλήθος των διακριτών παρατηρήσεων και κάθε κατάσταση του µοντέλου αντιστοιχεί µόνο σε µια παρατήρηση. Αυτή η απλοποίηση καθιστά το απλό µοντέλο Markov µη αποδοτικό σε περιπτώσεις που η πραγµατική διαδικασία παραγωγής των παρατηρήσεων είναι πιο σύνθετη. Τα κρυµµένα µοντέλα Markov µπορούν να ανταποκριθούν καλύτερα σε τέτοιες περιπτώσεις. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι το πλήθος των καταστάσεων δεν είναι απαραίτητα ίσο µε το πλήθος των διακριτών παρατηρήσεων και σε κάθε κατάσταση η παρατήρηση παράγεται από µια στοχαστική διαδικασία, η οποία δεν είναι άµεσα ορατή. Αυτή η εκ πρώτης όψεως µικρή διαφοροποίηση καθιστά τα κρυµµένα µοντέλα Markov πιο ισχυρά και τους επιτρέπει να προσεγγίσουν µε µεγαλύτερη ακρίβεια τα προβλήµατα [11, 8]. Για να γίνει περισσότερο αντιληπτό το κρυµµένο µοντέλο παραθέτουµε το παρακάτω παράδειγµα. Έστω ένα πείραµα, στο οποίο υπάρχουν 3 καλάθια, σε κάθε ένα από τα οποία υπάρχουν χρωµατιστές σφαίρες 4 διαφορετικών χρωµάτων (πράσινο Π, κόκκινο Κ, µπλε Μ, λευκό Λ). Σε κάθε καλάθι ο αριθµός των σφαιρών και η

19 9 αναλογία τους δεν είναι ίδια. Εποµένως, αν τραβήξουµε µια σφαίρα από ένα καλάθι η πιθανότητα να έχει κάποιο χρώµα είναι εν γένει διαφορετική για κάθε καλάθι. Έστω ότι οι πιθανότητες δίνονται από τον παρακάτω πίνακα Β: Β= Π Κ Μ Λ Καλάθι Καλάθι Καλάθι Έστω ότι επιλέγουµε Ν σφαίρες στη σειρά από τα καλάθια. Σε κάθε βήµα επιλέγουµε µε κάποιο τυχαίο τρόπο ένα καλάθι και από αυτό τραβάµε επίσης στην τύχη µια σφαίρα. Τελικά παράγεται µια ακολουθία παρατηρήσεων πχ. Π Λ Λ Κ Μ Μ Π Π Κ Λ Λ Κ κ.ο.κ. Το απλό µοντέλο Markov που µπορεί να κατασκευαστεί έχει τέσσερις καταστάσεις, µια για κάθε χρώµα και απεικονίζεται στο Σχήµα 2.2. Στο µοντέλο αυτό εκκινώντας από ένα χρώµα επιλέγουµε διαδοχικά τα χρώµατα που εµφανίζονται κάθε στιγµή. Εντούτοις, στο πραγµατικό πρόβληµα υπάρχει και η επιλογή του καλαθιού, από το οποίο προκύπτει η κάθε σφαίρα. Η επιλογή καλαθιού επηρεάζει το χρώµα των σφαιρών, αφού σε κάθε καλάθι οι πιθανότητες για επιλογή κάποιου χρώµατος δεν είναι απαραίτητα οι ίδιες. Ακόµα, αν θεωρήσουµε ότι η επιλογή των καλαθιών δε γίνεται µε την ίδια πιθανότητα για κάθε καλάθι η επιλογή καλαθιού γίνεται ακόµα πιο καθοριστική για το αποτέλεσµα του πειράµατος. Συνεπώς, το απλό µοντέλο δεν µπορεί να αναπαραστήσει αρκετά καλά το συγκεκριµένο πρόβληµα.

20 10 P akp ap apk ap ak K alp apl M ak alk al akl al L Σχήµα 2.2 Παράδειγµα Απλού Μοντέλου Markov Θεωρούµε τώρα ένα κρυµµένο µοντέλο Markov µε τρεις καταστάσεις. Κάθε κατάσταση αντιστοιχεί σε ένα από τα τρία καλάθια του πειράµατος. Σε κάθε κατάσταση µπορούν να επιλεγούν σφαίρες και των τεσσάρων χρωµάτων µε κάποιες πιθανότητες, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.3.

21 11 as1s2 S1 {P,K,M,L} as2s1 S2 {P,K,M,L} as3s1 as3s2 as1s3 as2s3 S3 {P,K,M,L} Σχήµα 2.3 Παράδειγµα Κρυφού Μοντέλου Markov Επιλέγοντας κατάλληλα τις πιθανότητες αρχικών καταστάσεων και µεταβάσεων µπορούµε να προσοµοιώσουµε την επιλογή των καλαθιών σε κάθε βήµα. Αν ορίσουµε τις πιθανότητες εµφάνισης των χρωµάτων των σφαιρών σε κάθε κατάσταση να είναι αυτές που είχαµε στον πίνακα Β, τότε έχουµε κατασκευάσει ένα απλό κρυµµένο µοντέλο Markov, το οποίο προσεγγίζει το πραγµατικό πρόβληµα καλύτερα από το απλό µοντέλο. Εποµένως, για να ορίσουµε ένα κρυµµένο µοντέλο Markov χρειάζεται να ορίσουµε τα παρακάτω στοιχεία [8, 11]: Το πλήθος των καταστάσεων Κ του µοντέλου. Ο καθορισµός του Κ είναι ιδιαίτερα σηµαντικός για την επιλογή ενός καλού µοντέλου. Το πλήθος των καταστάσεων έχει άµεση σχέση µε το πρόβληµα που επιλύουµε, όπως στο παραπάνω παράδειγµα κάθε κατάσταση αντιπροσώπευε ένα καλάθι. Συµβολίζουµε τις καταστάσεις S = {S k } µε k=1:k. Το πλήθος των παρατηρήσιµων συµβόλων L που παράγονται σε κάθε κατάσταση, όπως ήταν τα χρώµατα σε κάθε µπάλα στο παράδειγµα. Συµβολίζουµε τα σύµβολα L = {v l } µε l=1:l.

22 12 Τις πιθανότητες έναρξης των καταστάσεων, δηλαδή την πιθανότητα µια κατάσταση να επιλεγεί πρώτη σε ένα πείραµα. Στο παράδειγµα την πιθανότητα επιλογής του καλαθιού, από το οποίο θα τραβάγαµε την πρώτη µπάλα. Όπως στο απλό µοντέλο συµβολίζουµε π = P(q 1 = S ), ενώ ισχύουν ξανά οι περιορισµοί π 0 και K 1 = π = 1. Τις πιθανότητες µεταβάσεων µεταξύ των καταστάσεων. Στο παράδειγµα η επιλογή του επόµενου καλαθιού για να τραβήξουµε νέα σφαίρα. Συµβολίζουµε την πιθανότητα µετάβασης a j = P(q t+1 =S q t =S ),j. Όπως στο απλό µοντέλο ισχύει ότι K j= 1 a j 0,j, καθώς επίσης και ότι a j = 1. Τις πιθανότητες εµφάνισης των παρατηρήσιµων συµβόλων σε κάθε κατάσταση. Τις πιθανότητες δηλαδή ενώ βρισκόµαστε σε µια κατάσταση να εµφανιστεί κάποιο από τα σύµβολα του αλφαβήτου. Στο παράδειγµά µας την πιθανότητα ενώ έχουµε επιλέξει ένα καλάθι να τραβήξουµε σφαίρα ενός συγκεκριµένου χρώµατος. Συµβολίζουµε b k ( l ) την πιθανότητα να εµφανιστεί το σύµβολο v l στην κατάσταση s k,p(x t =v l q t =S k ). Αφού σε κάθε κατάσταση µπορεί να εµφανιστούν όλα τα σύµβολα L και µόνο αυτά θα ισχύουν οι περιορισµοί b k ( l ) 0 k,l, όπως και l= 1 b k (l) = 1 k. Έχοντας ορίσει τις παραµέτρους του µοντέλου η διαδικασία παραγωγής ακολουθιών συµβόλων είναι η ακόλουθη: Επιλογή αρχικής κατάστασης k µε βάση τις πιθανότητες έναρξης. Παραγωγή ενός συµβόλου l σύµφωνα µε πιθανότητα b k (l). Μετάβαση σε µια νέα κατάσταση g σύµφωνα µε τις πιθανότητες µεταβάσεων. Παραγωγή νέου συµβόλου από την κατανοµή της νέας κατάστασης Επανάληψη των βηµάτων 3 και 4 µέχρι το τέλος. Όπως στο απλό µοντέλο Markov ορίζουµε την πιθανοφάνεια P(X Θ) ως την πιθανότητα να παραχθεί η ακολουθία X από το µοντέλο Θ. Στο κρυµµένο µοντέλο όµως εκτός από την παρατήρηση του X υπάρχει η κρυµµένη πληροφορία των

23 13 καταστάσεων από τις οποίες περνάµε σε κάθε βήµα κατά την παραγωγή της ακολουθίας. Εποµένως δεν είναι δυνατό να υπολογίσουµε απευθείας την P(X Θ), αφού πρέπει να ληφθεί υπόψη και η ακολουθία των καταστάσεων. Για να βρούµε την πιθανότητα P(X Θ) πρέπει να λάβουµε υπόψη όλα τα δυνατά µονοπάτια καταστάσεων για το µοντέλο µας. Η πιθανότητα να παραχθεί η X από το µοντέλο Θ είναι το άθροισµα των πιθανοτήτων για κάθε µονοπάτι. ηλαδή [11, 8]: P(X Θ) = P(X Q, Θ) P(Q Θ) Q. Ας θεωρήσουµε τυχαίο µονοπάτι Q = q 1, q 2,, q T. H πιθανότητα P(Q Θ) είναι η πιθανότητα να περάσουµε διαδοχικά από τις καταστάσεις του Q, δηλαδή P(Q Θ) = π q1 * a q1q2 * * a qt-1qt. Η πιθανότητα P(X Q, Θ) είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουµε τη συµβολοσειρά X = X 1, X 2,, X T, γνωρίζοντας εκ των πρότερων το µονοπάτι Q που ακολουθούµε, δηλαδή P(X Q, Θ) = b q1 (X 1 ) * b q2 (X 2 ) * * b qt (X T ). Συνεπώς, P(X Θ) = π q1 Q b q1 (X 1 ) a q1q2... a qt-1qt b qt (X T ). Η εξίσωση αυτή περιγράφει στην ουσία τη διαδικασία παραγωγής ακολουθιών που ορίσαµε προηγουµένως, για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς καταστάσεων, δηλαδή την επιλογή αρχικής κατάστασης, την παραγωγή συµβόλων και τις µεταβάσεις µεταξύ καταστάσεων µε στοχαστικό τρόπο. Το πρόβληµα είναι ότι για να υπολογιστεί η πιθανοφάνεια µε τον παραπάνω τρόπο, απαιτείται ο υπολογισµός για κάθε διαφορετική ακολουθία καταστάσεων Q. Κάτι τέτοιο είναι υπολογιστικά πολύ ακριβό και πρακτικά ανεφάρµοστο. Για τον υπολογισµό της πιθανοφάνειας στο κρυµµένο µοντέλο χρησιµοποιείται µια άλλη µέθοδος, γνωστή ως forward backward διαδικασία [11, 1]. Ορίζουµε τη forward µεταβλητή α t ( ) = P(X 1,..., X t, q t = S Θ). ηλαδή η α εκφράζει την πιθανότητα να παρατηρήσουµε τα στοιχεία της ακολουθίας X έως τη

24 14 στιγµή t, και εκείνη τη στιγµή να βρεθούµε στην κατάσταση S του κρυµµένου µοντέλου. Ο υπολογισµός της α γίνεται ως εξής: Υπολογίζουµε τις αρχικές πιθανότητες α1( ) = π * b ( Χ 1) για 1 Κ. Τη στιγµή t+1: K αt+1 ( ) = [ α t (j) *a j ]* b ( Χ t+ 1) j=1. Τελικά η πιθανοφάνεια προκύπτει ως: P(X K Θ) = αt (j) j= 1. Με παρόµοια λογική ορίζεται η backward µεταβλητή, ως η πιθανότητα να παρατηρήσουµε τα στοιχεία της ακολουθίας από τη στιγµή t+1 έως το τέλος, δεδοµένου ότι τη στιγµή t βρισκόµαστε στην κατάσταση S: β t ( ) = P(X t+1,..., X T q t = S, Θ). Ο υπολογισµός της β γίνεται ως εξής: Θέτουµε β T () =1. Τη στιγµή t: β K t ( ) = a j * b j(x t +1 ) βt+1 (j) j= 1. Τελικά η πιθανοφάνεια προκύπτει: P(X K Θ) = β1(j) j= 1 Την πιθανοφάνεια µπορούµε να την υπολογίσουµε µε οποιονδήποτε από τους δυο προαναφερθείς τρόπους. Τις forward και backward µεταβλητές θα τις χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια και για να υπολογίσουµε δυο ακόµα ποσότητες που θα χρειαστούν κατά τον υπολογισµό των παραµέτρων των µοντέλων. Ορίζουµε τη µεταβλητή γ t ( ) = P(q t = S X, Θ), δηλαδή την πιθανότητα τη χρονική στιγµή t για την ακολουθία Χ να βρισκόµαστε στην κατάσταση S. Με τη βοήθεια των forward και backward µεταβλητών η γ µπορεί να γραφεί ως:

25 15 αt () * βt () γt () = P(X Θ) = K 1 k= α () * β () t α (k) * β t t t (k). Είναι προφανές ότι ισχύει Κ γt () = 1 =1. ξ (, j) = P(q t = S, q t+1 = S j X, ) Ορίζουµε επίσης τη µεταβλητή t Θ, δηλαδή την πιθανότητα τη στιγµή t να βρισκόµαστε στην κατάσταση και τη στιγµή t+1 στην κατάσταση j για την ακολουθία X στο µοντέλο Θ. Χρησιµοποιώντας ξανά τις forward και backward µεταβλητές µπορούµε να υπολογίσουµε την ξ: αt () *a ξ (, j) = t j * b j (X t +1 P(X Θ) ) * β t+1 (j) = K α t K α =1 j=1 () *a t j () *a * b j j (X * b j t+1 (X ) * β t +1 t+1 ) * β (j) t+1 (j) Με τη βοήθεια των παραπάνω µεταβλητών µπορούµε να λάβουµε µια νέα εκτίµηση των παραµέτρων του Θ µε βάση τις προηγούµενες τιµές. Το άθροισµα Τ γ t=1 t ( ) το πέρασµα από όλη την ακολουθία. υπολογίζει πόσες φορές βρισκόµαστε στην κατάσταση κατά Παραλείποντας το τελευταίο στοιχείο της ακολουθίας, δηλαδή παίρνοντας το άθροισµα Τ- 1 t=1 γ t ( ) υπολογίζουµε πόσες φορές υπήρξε µετάβαση από την κατάσταση σε κάποια άλλη (αφού δεν υπάρχει µετάβαση από το τελευταίο στοιχείο). Επίσης, το άθροισµα Τ- 1 t=1 ξ t (, j) κατάσταση στην κατάσταση j για την ακολουθία X. υπολογίζει τον αριθµό των µεταβάσεων από την Χρησιµοποιώντας τους παραπάνω τύπους µπορούµε να πάρουµε µια εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου:

26 16 Η πιθανότητα αρχικής κατάστασης π συµβολίζει τη συχνότητα µε την οποία βρισκόµαστε στην κατάσταση τη χρονική στιγµή t=1, άρα µπορεί να υπολογιστεί ως π = γ 1 (). Η πιθανότητα µετάβασης a j αναπαριστά τη συχνότητα µε την οποία πραγµατοποιούνται µεταβάσεις από την στην j. Μπορεί, εποµένως, να εκφραστεί ως ο αριθµός των µεταβάσεων από την κατάσταση στην j, προς τον συνολικό αριθµό των µεταβάσεων από την. ηλαδή: a j = Τ-1 ξ t t=1 Τ-1 γ t=1 (, j) Η πιθανότητα b (l) είναι η συχνότητα παρατήρησης του συµβόλου l από την κατάσταση, άρα µπορεί να υπολογιστεί ως το πηλίκο του πλήθους των παρατηρήσεων του l στην κατάσταση προς το πλήθος των εµφανίσεων της κατάστασης. ηλαδή: b (l) = t () Τ-1 [ γ () (X = = l) ] t=1 t Τ-1 γ t=1 t t (). Η µέθοδος που χρησιµοποιεί τους παραπάνω τύπους για την εκτίµηση των τιµών των παραµέτρων του κρυµµένου µοντέλου ονοµάζεται µέθοδος Bau Welch [11, 8, 1]. Η µέθοδος είναι επαναληπτική. Ξεκινά µε κάποιες αρχικές τιµές των παραµέτρων και χρησιµοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις σε κάθε βήµα πετυχαίνει τελικά την τοπική µεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας P(X Θ). Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε τον αλγόριθµο EM για τον υπολογισµό των παραµέτρων που είναι ισοδύναµος µε τη µέθοδο Bau Welch.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τµήµατος Πληροφορικής Εξεταστική Επιτροπή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων

Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων Α. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής και Πολυµέσων Εργαστήριο Νευρωνικών Δικτύων 5 BACKPROPAGATION MULTILAYER FEEDFORWARD ΔΙΚΤΥΑ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα νευρωνικά δίκτυα που εξετάσαµε µέχρι τώρα είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 2 Οκτωβρίου 23 ιάρκεια: 2 ώρες Έστω το παρακάτω γραµµικώς

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Τετάρτη Ιουνίου 7 :-4: Κατασκευάστε έναν αισθητήρα (perceptron)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Εισηγητής: ρ Ηλίας Ζαφειρόπουλος Εισαγωγή Ιατρικά δεδοµένα: Συλλογή Οργάνωση Αξιοποίηση Data Mining ιαχείριση εδοµένων Εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΙΚΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ. Εισαγωγή Στις αρχές του ου αιώνα ο Ρώσος Μαθηµατικός A. A. Markov στην προσπάθειά του να ερµηνεύσει την «αβεβαιότητα»

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΕΥΤΕΡΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο αισθητήρας (perceptron)

4. Ο αισθητήρας (perceptron) 4. Ο αισθητήρας (perceptron) Σκοπός: Προσδοκώµενα αποτελέσµατα: Λέξεις Κλειδιά: To µοντέλο του αισθητήρα (perceptron) είναι από τα πρώτα µοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν, και έδωσαν µεγάλη ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 13: Διαδικασία Σχεδιασµού Ακολουθιακών Κυκλωµάτων (Κεφάλαιο 6.

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 13: Διαδικασία Σχεδιασµού Ακολουθιακών Κυκλωµάτων (Κεφάλαιο 6. ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 13: Διαδικασία Σχεδιασµού Ακολουθιακών Κυκλωµάτων (Κεφάλαιο 6.3) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων

Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουµε 2 βασικούς αλγορίθµους σύγκρισης ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων τους BLAST & FASTA. Οι δυο αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα