ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ MARKOV Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τµήµατος Πληροφορικής Εξεταστική Επιτροπή από τον Ανδρέα Κακολύρη ως µέρος των Υποχρεώσεων για τη λήψη του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΕ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΣΤΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ιανουάριος 2006

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντά µου καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Μπλέκα. Ο λόγος δεν είναι µόνο η ουσιαστική και συνεχής καθοδήγηση που µε βοήθησαν σε όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας και υπήρξαν καθοριστικοί παράγοντες στην επιτυχία της. Εξίσου σηµαντικός παράγοντας αν όχι σηµαντικότερος υπήρξε για µένα η ηθική και ψυχολογική στήριξη που µου παρείχε σε όλη τη διάρκεια της συνεργασίας µας. Ιδιαίτερα τους τελευταίους µήνες, όταν και βρέθηκα αντιµέτωπος µε διάφορες καταστάσεις, η ενθάρρυνσή του µε βοήθησε να παραµείνω συγκεντρωµένος και να µπορέσω να φέρω σε πέρας µε επιτυχία την εργασία και γι αυτό το λόγο είµαι ευγνώµων.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ v ΠΕΡΙΛΗΨΗ v EXTENDED ABSTRACT IN ENGLISH x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχοι οµή της ιατριβής 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μοντελα MARKOV Στοχαστική διαδικασία Markov Μοντέλα Markov (Markov Models) Κρυµµένα Μοντέλα Markov 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Οµαδοποίηση ακολουθιακών δεδοµένων µε τη χρήση Μικτών Μοντέλων Markov Μικτά Μοντέλα Οµαδοποίηση µε Μικτά Μοντέλα Αλγόριθµος ΕΜ ΕΜ για Απλά Μοντέλα Markov E Step M- Step EΜ για Κρυµµένα Μοντέλα Markov E Step Μ Step 29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Αυξητικό Μοντέλο για απλά µοντέλα Markov Αυξητική Μέθοδος Αυξητική δηµιουργία του µικτού µοντέλου Markov Αρχικό Μοντέλο Προσθήκη Μοντέλου Partal EM General EM Επιλογή µοντέλου K Means Κατασκευή Αρχικών Μοντέλων Τερµατισµός Αυξητικού Αλγορίθµου Πλήθος Συνιστωσών 43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Πειραµατα συµπερασµατα 46

4 5.1. Εισαγωγή Πειραµατικά εδοµένα Μετρήσεις Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Τεχνητό σύνολο δεδοµένων Πραγµατικό σύνολο δεδοµένων 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συνοψη και µελλοντικη εργασια 106 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 108 ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ 110 v

5 v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας Σελ. Πίνακας 5.1 Μ=4 Θόρυβος 40% 50 Πίνακας 5.2 Μ=4 Θόρυβος 50% 50 Πίνακας 5.3 Μ=4 Θόρυβος 60% 51 Πίνακας 5.4 Μ=4 Θόρυβος 70% 51 Πίνακας 5.5 Μ=6 Θόρυβος 40% 52 Πίνακας 5.6 Μ=6 Θόρυβος 50% 52 Πίνακας 5.7 Μ=6 Θόρυβος 60% 53 Πίνακας 5.8 Μ=6 Θόρυβος 70% 53 Πίνακας 5.9 Μ=8 Θόρυβος 50% 54 Πίνακας 5.10 Μ=8 Θόρυβος 50% 54 Πίνακας 5.11 Μ=8 Θόρυβος 60% 55 Πίνακας 5.12 Μ=8 Θόρυβος 70% 55 Πίνακας 5.13 Μ=10 Θόρυβος 40% 56 Πίνακας 5.14 Μ=10 Θόρυβος 50% 56 Πίνακας 5.15 Μ=10 Θόρυβος 60% 57 Πίνακας 5.16 Μ=10 Θόρυβος 70% 57 Πίνακας 5.17 Μ=4 Θόρυβος 20% 63 Πίνακας 5.18 Μ=4 Θόρυβος 40% 64 Πίνακας 5.19 Μ=4 Θόρυβος 60% 64 Πίνακας 5.20 Μ=4 Θόρυβος 80% 65 Πίνακας 5.21 Μ=6 Θόρυβος 20% 65 Πίνακας 5.22 Μ=4 Θόρυβος 40% 66 Πίνακας 5.23 Μ=4 Θόρυβος 60% 66 Πίνακας 5.24 Μ=4 Θόρυβος 80% 67 Πίνακας 5.25 Μ=8 Θόρυβος 20% 67 Πίνακας 5.26 Μ=8 Θόρυβος 40% 68 Πίνακας 5.27 Μ=8 Θόρυβος 60% 68 Πίνακας 5.28 Μ=8 Θόρυβος 80% 69 Πίνακας 5.29 Μ=10 Θόρυβος 20% 69 Πίνακας 5.30 Μ=10 Θόρυβος 40% 70 Πίνακας 5.31 Μ=10 Θόρυβος 60% 70 Πίνακας 5.32 Μ=10 Θόρυβος 80% 71 Πίνακας 5.33 Μ=4 Θόρυβος 20% 72 Πίνακας 5.34 Μ=4 Θόρυβος 40% 73 Πίνακας 5.35 Μ=4 Θόρυβος 60% 73 Πίνακας 5.36 Μ=4 Θόρυβος 80% 74 Πίνακας 5.37 Μ=6 Θόρυβος 20% 74 Πίνακας 5.38 Μ=6 Θόρυβος 40% 75 Πίνακας 5.39 Μ=6 Θόρυβος 60% 75 Πίνακας 5.40 Μ=6 Θόρυβος 80% 76

6 Πίνακας 5.41 Μ=8 Θόρυβος 20% 76 Πίνακας 5.42 Μ=8 Θόρυβος 40% 77 Πίνακας 5.43 Μ=8 Θόρυβος 60% 77 Πίνακας 5.44 Μ=8 Θόρυβος 80% 78 Πίνακας 5.45 Μ=10 Θόρυβος 20% 78 Πίνακας 5.46 Μ=10 Θόρυβος 40% 79 Πίνακας 5.47 Μ=10 Θόρυβος 60% 79 Πίνακας 5.48 Μ=10 Θόρυβος 80% 80 Πίνακας 5.49 Μ=4 Θόρυβος 20% 81 Πίνακας 5.50 Μ=4 Θόρυβος 40% 82 Πίνακας 5.51 Μ=4 Θόρυβος 60% 82 Πίνακας 5.52 Μ=4 Θόρυβος 80% 83 Πίνακας 5.53 Μ=6 Θόρυβος 20% 83 Πίνακας 5.54 Μ=6 Θόρυβος 40% 84 Πίνακας 5.55 Μ=6 Θόρυβος 60% 84 Πίνακας 5.56 Μ=6 Θόρυβος 80% 85 Πίνακας 5.57 Μ=8 Θόρυβος 20% 85 Πίνακας 5.58 Μ=8 Θόρυβος 40% 86 Πίνακας 5.59 Μ=8 Θόρυβος 60% 86 Πίνακας 5.60 Μ=8 Θόρυβος 80% 87 Πίνακας 5.61 Μ=10 Θόρυβος 20% 87 Πίνακας 5.62 Μ=10 Θόρυβος 40% 88 Πίνακας 5.63 Μ=10 Θόρυβος 60% 88 Πίνακας 5.64 Μ=10 Θόρυβος 80% 89 Πίνακας 5.65 Μ=4 Θόρυβος 40% 90 Πίνακας 5.66 Μ=4 Θόρυβος 60% 91 Πίνακας 5.67 Μ=4 Θόρυβος 80% 91 Πίνακας 5.68 Μ=6 Θόρυβος 40% 92 Πίνακας 5.69 Μ=6 Θόρυβος 60% 92 Πίνακας 5.70 Μ=6 Θόρυβος 80% 93 Πίνακας 5.71 Μ=8 Θόρυβος 40% 93 Πίνακας 5.72 Μ=8 Θόρυβος 60% 94 Πίνακας 5.73 Μ=8 Θόρυβος 80% 94 Πίνακας 5.74 Πραγµατικό Σύνολο εδοµένων 98 v

7 v ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα Σελ. Σχήµα 2.1 Κατευθυνόµενος Γράφος Μοντέλου Markov 6 Σχήµα 2.2 Παράδειγµα Απλού Μοντέλου Markov 10 Σχήµα 2.3 Παράδειγµα Κρυφού Μοντέλου Markov 11 Σχήµα 5.1 Οµάδα 1 58 Σχήµα 5.2 Οµάδα 2 58 Σχήµα 5.3 Οµάδα 3 59 Σχήµα 5.4 Οµάδα 4 59 Σχήµα 5.5 Οµάδα 5 60 Σχήµα 5.6 Οµάδα 6 60 Σχήµα 5.7 Οµάδα 7 61 Σχήµα 5.8 Οµάδα 8 61 Σχήµα 5.9 Οµάδα 9 62 Σχήµα 5.10 Οµάδα Σχήµα 5.11 Οµάδα 1 95 Σχήµα 5.12 Οµάδα 2 96 Σχήµα 5.13 Οµάδα 3 96 Σχήµα 5.14 Οµάδα 4 96 Σχήµα 5.15 Οµάδα 5 97 Σχήµα 5.16 Οµάδα 6 97 Σχήµα 5.17 Οµάδα 1 99 Σχήµα 5.18 Οµάδα 2 99 Σχήµα 5.19 Οµάδα Σχήµα 5.20 Οµάδα Σχήµα 5.21 Οµάδα Σχήµα 5.22 Οµάδα Σχήµα 5.23 Οµάδα Σχήµα 5.24 Οµάδα Σχήµα 5.25 Οµάδα Σχήµα 5.26 Οµάδα

8 v ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ανδρέας Κακολύρης του Σταµατίου και της Αγγελικής. MSc, Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Ιανουάριος, 2006, Ανάλυση Ακολουθιακών εδοµένων µε τη χρήση µοντέλων Markov. Επιβλέποντας: Κωνσταντίνος Μπλέκας. Στην παρούσα εργασία προσεγγίζουµε το πρόβληµα της ανάλυσης ακολουθιακών δεδοµένων. Τα δεδοµένα θεωρούµε ότι αποτελούνται από ακολουθίες συµβολοσειρών και η ανάλυσή τους έγκειται στον προσδιορισµό οµάδων ακολουθιών µε κοινά χαρακτηριστικά. Το πρόβληµα της οµαδοποίησης µπορεί να επιλυθεί µε τη χρήση µικτών µοντέλων Markov, τα οποία εκπαιδεύουµε µε τον γνωστό αλγόριθµο ΕΜ. Προτείνουµε µια νέα προσέγγιση στην εκπαίδευση µικτών µοντέλων Markov. Κεντρική ιδέα είναι η αυξητική κατασκευή του µικτού µοντέλου. Αποτέλεσµα της διαδικασίας είναι οι παράµετροι των µοντέλων να αρχικοποιούνται µε κριτήριο τη µεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας του µοντέλου, ενώ ταυτόχρονα το πλήθος των συνιστωσών του µικτού µοντέλου καθορίζεται δυναµικά κατά την εκπαίδευση. Συνεπώς, αντιµετωπίζονται τα δυο βασικότερα προβλήµατα του µικτού µοντέλου: Ο καθορισµός του πλήθους των συνιστωσών, το οποίο αντιστοιχεί στο πλήθος των οµάδων στα δεδοµένα και η αρχικοποίηση των παραµέτρων του µοντέλου.

9 x EXTENDED ABSTRACT IN ENGLISH Kakolrs, Andreas, A.K. MSc, Coputer Scence Departent, Unversty of Ioannna, Greece. January, Markov Model Approach to Sequental Data Analyss. Thess Supervsor: Konstantnos Blekas. The purpose of ths thess s to study the proble of sequental data analyss. The ter sequental data refers to sequences of dscrete sybols. Such data are found n any areas of nterest such as text recognton, DNA analyss or user pattern recognton. The analyss we consder s the separaton of sequental data sets nto clusters wth coon patterns. The clusterng s acheved by learnng a xture of frst order Markov odels usng the Expectaton Maxzaton algorth. Markov odels can be used to represent the underlyng stochastc process, responsble for generatng the observaton sequences. A sequence s produced by choosng the ntal state (sybol) accordng to the ntal state probabltes of the odel and then by choosng the next states (sybols) accordng to the transton probabltes of the odel. Hdden Markov odels are ore powerful and consequently ore coplex than sple Markov odels. The dfference s that the states n a hdden Markov Model no longer represent the observaton sybols but the observaton s a probablstc functon of the state. A sple or hdden Markov odel can be created to represent the process responsble for creatng sequences of a sngle cluster. Mxtures of Markov odels can be created

10 x to odel the process of creatng a set of sequences fro dfferent clusters. The EM algorth can be used to tran such xture odels so they can be used for clusterng. However, ths technque faces two ajor probles. Frstly, the nuber of xtures used s not usually known n advance and secondly, ntal paraeter values are requred for the tranng of the xture odels. We propose a novel ethodology for creatng and tranng xture odels of sple Markov odels. The key dea s to ncreentally add coponents to the xture: We begn by constructng the one coponent global odel of the dataset. At each step we choose a new odel fro a pool of pre constructed odels and add t to the xture. The added odel s traned usng the EM algorth (Partal EM) and the resultng +1 xture odel s then traned usng EM (General EM). The algorth stops when the desred xture has been created. The nuber of coponents s deterned dynacally, durng the ncreental process. We use a fast and easy algorth to obtan a rough clusterng of the dataset. A pool of Markov odels s then created by these clusters. The coponent added s chosen, so that the lkelhood of the xture s axzed at each step. Experents to synthetc as well as to real data deonstrate the effectveness of the ncreental ethod. Increentally created xture odels are equal or better to the best odels created by other ethods wth predeterned nuber of coponents n ost cases. Only when the data dsplay very nosy patterns the ncreental ethod fals to perfor well, whch s consdered natural, snce the clusters can no longer be consdered hoogeneous and the other xture odels also fal to perfor well. Further study ncludes the use of better ethods for obtanng better pre constructed odels to use n the algorth, further analyss of the stoppng crteron for the ncreental algorth and applcaton of a slar ethod to hdden Markov odels.

11 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Στόχοι 1.2 οµή της ιατριβής 1.1. Στόχοι Ο στόχος της διατριβής είναι η µελέτη του προβλήµατος της ανάλυσης ακολουθιακών δεδοµένων. Με τον όρο ακολουθιακά δεδοµένα εννοούµε δεδοµένα που αποτελούνται από ακολουθίες διακριτών συµβόλων. Σε πολλές περιοχές ερευνητικού και όχι µόνο ενδιαφέροντος συναντώνται ακολουθιακά δεδοµένα: Στην ανάλυση και αναγνώριση κειµένου τα δεδοµένα είναι ακολουθίες συµβόλων. Η ανάλυση γεννετικών χαρακτηριστικών χρησιµοποιεί ακολουθίες DNA. Η ανάλυση της συµπεριφοράς χρηστών ενός δικτυακού τόπου απαιτεί την ύπαρξη ακολουθιών που περιγράφουν τις ενέργειες που πραγµατοποιεί. Η εξέλιξη της τιµής µετοχών κατά τη διάρκεια κάποιας χρονικής περιόδου µπορεί να αναπαρασταθεί µε ακολουθίες τιµών της µετοχής για περαιτέρω ανάλυση και πρόβλεψη της πορείας της τιµής των µετοχών. Οι επιλογές προϊόντων των πελατών µιας εταιρείας µπορούν να καταγραφούν, προκειµένου να γίνει πρόβλεψη των προτιµήσεών τους και να προσαρµοστούν κατάλληλα οι προσφερόµενες υπηρεσίες. Αυτές είναι µερικές µόνο από τις εφαρµογές στις οποίες εµφανίζονται διακριτά ακολουθιακά δεδοµένα. Είναι φανερό, ότι η ανάλυσή τους παρουσιάζει σηµαντικό ερευνητικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Η ανάλυση στην οποία αναφερόµαστε στην παρούσα εργασία αναφέρεται στο διαχωρισµό των ακολουθιακών δεδοµένων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά. Μια τέτοια οµαδοποίηση µπορεί να προσφέρει

12 2 πολύτιµες πληροφορίες, ανάλογα µε τη φύση των δεδοµένων. Για παράδειγµα, η οµαδοποίηση ακολουθιών DNA αναγνωρίζει οµάδες πληθυσµού µε κοινά γεννετικά χαρακτηριστικά, ενώ η οµαδοποίηση ακολουθιών ενεργειών των χρηστών αποκαλύπτει κοινή συµπεριφορά και προτιµήσεις των χρηστών. Για την πραγµατοποίηση της ανάλυσης, χρησιµοποιούµε µοντέλα Markov, τα οποία προσωµοιώνουν το µηχανισµό παραγωγής των ακολουθιακών δεδοµένων. Τα µοντέλα Markov µπορούν να εκπαιδευτούν κατάλληλα, ώστε να επιλύουν το πρόβληµα της οµαδοποίησης. Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι να προτείνει µια νέα προσέγγιση στο πρόβληµα της εκπαίδευσης των µικτών µοντέλων Markov, η οποία αντιµετωπίζει ορισµένα από τα προβλήµατα που παρουσιάζουν οι υπάρχοντες αλγόριθµοι οµή της ιατριβής Η διατριβή περιέχει 6 κεφάλαια: Στο Κεφάλαιο 1 περιγράφουµε το στόχο της εργασίας και διατυπώνουµε το πρόβληµα της οµαδοποίησης ακολουθιακών δεδοµένων. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε τη θεωρία για τα χαρακτηριστικά και τη λειτουργία του απλού και του κρυµµένου µοντέλου Markov για διακριτά δεδοµένα. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφουµε τα µικτά µοντέλα Markov καθώς και τον αλγόριθµο EM που χρησιµοποιείται για την εκπαίδευσή τους. Στο κεφάλαιο 4 προτείνουµε µια µέθοδο για την αυξητική δηµιουργία ενός µικτού µοντέλου Markov. Στο κεφάλαιο 5 εκθέτουµε τα αποτελέσµατα των πειραµάτων και αξιολογούµε τις επιδόσεις του αυξητικού αλγορίθµου συγκρίνοντάς τον µε τα παραδοσιακά µοντέλα Markov. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζουµε το περιεχόµενο της διατριβής και προτείνουµε µελλοντικές επεκτάσεις που µπορούν να γίνουν.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΜΟΝΤΕΛΑ MARKOV 2.1 Στοχαστική διαδικασία Markov 2.2 Μοντέλα Markov 2.3 Κρυµµένα Μοντέλα Markov 2.1. Στοχαστική διαδικασία Markov Στο πρόβληµά µας έχουµε ένα σύνολο ακολουθιών X={X } µε =1:N. Μια ακολουθία X ={X l } µε l=1:t() αποτελείται από ένα πλήθος διακριτών συµβόλων V={v k }µε k=1:k. Μια τέτοια ακολουθία συµβόλων µπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά την αλληλουχία µεταβάσεων µεταξύ ενός συνόλου καταστάσεων, όπου οι καταστάσεις αναπαρίστανται από τα σύµβολα της ακολουθίας. Εποµένως, µια ακολουθία X µπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσµα µιας στοχαστικής διαδικασίας, σε διακριτό χρόνο t, µε διακριτό χώρο καταστάσεων. Το µήκος της ακολουθίας εκφράζει το πλήθος των χρονικών στιγµών της ακολουθίας, ενώ το πλήθος των διακριτών συµβόλων το χώρο των καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας. Επιπλέον, θεωρούµε ότι το αποτέλεσµα κάθε διαδικασίας δεν επηρεάζει τα αποτελέσµατα των υπόλοιπων διαδικασιών, δηλαδή οι ακολουθίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Θεωρούµε ότι η παραπάνω στοχαστική διαδικασία αποτελεί µια Μαρκοβιανή διαδικασία ή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Για τη διαδικασία Markov που περιγράφουµε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες [15]:

14 4 Εάν µια χρονική στιγµή t βρισκόµαστε σε µια κατάσταση S η πιθανότητα να βρεθούµε σε µια κατάσταση S j τη χρονική στιγµή t+1 εξαρτάται µόνο από την S και όχι από τις καταστάσεις που προηγήθηκαν της χρονικής στιγµής t, δηλαδή: P(q t+1 =S j q t =S,, q 1 =S k ) = P(q t =S q t-1 =S j ). Η ιδιότητα οµογένειας του χρόνου: εδοµένου ότι τη χρονική στιγµή t η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση S, η πιθανότητα τη χρονική στιγµή t+1 να βρισκόµαστε στην κατάσταση S j είναι ανεξάρτητη από τη χρονική στιγµή t, δηλαδή οι πιθανότητες µετάβασης παραµένουν αµετάβλητες σε όλη τη διάρκεια της µαρκοβιανής διαδικασίας. Το σύνολο των καταστάσεων και οι συσχετίσεις µεταξύ τους που αναπαριστούν την Μαρκοβιανή διαδικασία αποτελούν ένα µοντέλο Markov. Υπάρχουν τρία βασικά προβλήµατα που µπορούµε να λύσουµε στα µοντέλα Markov [11]: Η εύρεση της πιθανότητας µιας ακολουθίας X για ένα δεδοµένο µοντέλο (πιθανοφάνεια). Η εύρεση της πιθανότερης ακολουθίας καταστάσεων για την παραγωγή µιας ακολουθίας από ένα µοντέλο. Η προσαρµογή των παραµέτρων του µοντέλου, ώστε να ταιριάζει καλύτερα στις παρατηρήσεις. Ο απώτερος στόχος είναι να γίνει κατάλληλη οµαδοποίηση των ακολουθιών αυτών µε βάση κοινά χαρακτηριστικά τους και οι οµάδες που θα σχηµατιστούν να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο οµογενείς. Στη συνέχεια θα δούµε µε ποιο τρόπο, επιλύνοντας τα προβλήµατα 1 και 3, µπορούµε να επιτύχουµε την οµαδοποίηση των ακολουθιών. Πρώτα όµως παρουσιάζουµε περισσότερο αναλυτικά τη θεωρία για τα µοντέλα Markov. Παρουσιάζουµε δυο παραλλαγές, τα απλά µοντέλα Markov (Markov Models) και τα κρυµµένα µοντέλα Markov (Hdden Markov Models) [11, 8].

15 Μοντέλα Markov (Markov Models) Ορίζουµε το µοντέλο Markov που αναπαριστά µια µαρκοβιανή διαδικασία. Στην περίπτωση των µοντέλων Markov πρώτης τάξης που µας απασχολούν, ισχύουν οι ιδιότητες απώλειας µνήµης και οµογένειας των µαρκοβιανών αλυσίδων που αναφέραµε παραπάνω. Το µοντέλο Markov περιέχει καταρχάς, το σύνολο των καταστάσεων της διαδικασίας. Την πιθανότητα, όντας κατάσταση S τη στιγµή t, στην επόµενη χρονική στιγµή t+1 να βρεθούµε στην κατάσταση S j, a j = P(q t+1 =S q t =S ),j την ονοµάζουµε πιθανότητα µετάβασης του µοντέλου Markov. Προφανώς, από τη στιγµή που µιλάµε K j= 1 για πιθανότητες ισχύει ότι a j 0,j, καθώς επίσης και ότι a j = 1. Εκτός από τις καταστάσεις και τις πιθανότητες µετάβασης, ένα ακόµα ζήτηµα είναι η επιλογή της πρώτης κατάστασης της διαδικασίας. Ορίζουµε την πιθανότητα π η κατάσταση S να είναι η αρχική κατάσταση της αλυσίδας, δηλαδή π = P(q 1 = S ). Ισχύει κι εδώ π 0, καθώς και K = 1 πιθανότητες έναρξης. π = 1. Οι πιθανότητες π ονοµάζονται Συνεπώς, ένα µοντέλο Markov περιγράφεται από το σύνολο παραµέτρων των πιθανοτήτων έναρξης και µεταβάσεων. Θεωρώντας ότι υπάρχουν Κ καταστάσεις στο µοντέλο, έχουµε το σύνολο των πιθανοτήτων έναρξης: P = [π 1, π 2,, π Κ ] και των πιθανοτήτων µετάβασης: a 11 a 12 a 21 a 22 a 1K a 2K Α= a K1 a K2 a KK

16 6 Εποµένως, το σύνολο των παραµέτρων του µοντέλου Θ είναι οι δυο παραπάνω πίνακες. Ο πίνακας αρχικών καταστάσεων P και ο πίνακας µεταβάσεων A και το µοντέλο ορίζεται µε τη βοήθεια των παραµέτρων του ως Θ={P, A}. Επίσης, ένα µοντέλο Markov µπορεί να οπτικοποιηθεί ως ένας γράφος καταστάσεων και κατευθυνόµενων µεταβάσεων. Οι κόµβοι του γράφου αντιστοιχούν στις καταστάσεις του µοντέλου και οι ακµές στις πιθανότητες µετάβασης µεταξύ των καταστάσεων. Για κάθε κατάσταση του µοντέλου S υπάρχει ένα σύνολο πιθανοτήτων µετάβασης a j για όλες τις καταστάσεις S j του µοντέλου (συµπεριλαµβανοµένης τις ίδιας της S ). Ένα παράδειγµα µοντέλου Markov µε τρεις καταστάσεις δίνεται στο Σχήµα 2.1. as1s2 as1s1 S1 as2s1 S2 as2s2 as3s1 as3s2 as1s3 as2s3 S3 as3s3 Σχήµα 2.1 Κατευθυνόµενος Γράφος Μοντέλου Markov Έχοντας κατασκευάσει το µοντέλο, η διαδικασία Markov είναι η ακόλουθη: Επιλέγουµε την πρώτη κατάσταση σύµφωνα µε τις πιθανότητες έναρξης π του µοντέλου.

17 7 Επιλέγουµε στοχαστικά τις επόµενες καταστάσεις µε βάση τις πιθανότητες µετάβασης, µέχρι το τέλος της ακολουθίας. Έχοντας ορίσει πλήρως το µοντέλο Markov µπορούµε να βρούµε την πιθανότητα µια ακολουθία X από σύµβολα του V να παραχθεί από το µοντέλο Θ. Η ζητούµενη πιθανότητα P(X Θ) υπολογίζεται ως εξής: P(X Θ) = P(X 1, X 2,, X T() Θ) = P(X 1 ) * P(X 2 X 1 ) * * P(X T() X T()-1 ) Υπενθυµίζουµε ότι τα X k παίρνουν τιµές στο σύνολο V, ότι οι καταστάσεις του µοντέλου αντιστοιχούν στα στοιχεία του V και ότι θεωρούµε πως η παρατήρηση τη χρονική στιγµή t εξαρτάται µόνο από την παρατήρηση τη στιγµή t-1. Εποµένως, η πιθανότητα P(X 1 ) αντιστοιχεί στην πιθανότητα έναρξης της αντίστοιχης κατάστασης του µοντέλου, δηλαδή P(X 1 = v k ) = π k. Αντίστοιχα, οι πιθανότητες P(X t X t-1 ) αντιστοιχούν στις πιθανότητες µεταβάσεων του µοντέλου, δηλαδή P(X t = v f X t-1 = v g ) = a fg. Άρα, P(X Θ) = π X1 * a X1X2 * * a XT()-1XT() P(X Θ) = Tt=1 1 X1 a XtXt +1 π Απλοποιούµε την παραπάνω σχέση. Ορίζουµε τη συνάρτηση δ: δ(x t,sk ) = { 1, αν Xt=Sk 0, διαφορετικ ά. Με τη βοήθεια της δ µπορούµε να γράψουµε καλύτερα την πιθανότητα π, ως εξής: X1 = των συµβόλων του αλφαβήτου. π K k= 1 π δ( Χ1, Sk) k (Εξίσωση 2.1), όπου Κ είναι το πλήθος

18 8 Παρόµοια µε τη δ(x t,sf,x t+1,s g ) = { 1, αν Xt=Sf και Xt+1=Sg 0, διαφορετικ ά µπορούµε να γράψουµε την a ως: a Xt Xt+1 = Κ K f =1 g=1 a δ(xt, Sf, Xt+1, Sg) fg (Εξίσωση 2.2). Εποµένως, µε τη βοήθεια των εξισώσεων 2.1 και 2.2 γράφουµε: P(X Θ ) = K k=1 T-1 Κ K δ( Χ1, Sk) k t=1 f = 1 g=1 π a δ(xt, Sf, Xt+1, Sg) fg (Εξίσωση 2.3). Η ποσότητα P(X Θ ) ονοµάζεται πιθανοφάνεια της X για το µοντέλο Θ και αποτελεί το µέτρο µε το οποίο αξιολογούµε την ικανότητα των µοντέλων να ταιριάζουν στα δεδοµένα Κρυµµένα Μοντέλα Markov Τα απλά µοντέλα Markov αποτελούν καλή προσέγγιση της διαδικασίας παραγωγής των παρατηρήσεων, αλλά θεωρούν ότι το πλήθος καταστάσεων του µοντέλου είναι ίσο µε το πλήθος των διακριτών παρατηρήσεων και κάθε κατάσταση του µοντέλου αντιστοιχεί µόνο σε µια παρατήρηση. Αυτή η απλοποίηση καθιστά το απλό µοντέλο Markov µη αποδοτικό σε περιπτώσεις που η πραγµατική διαδικασία παραγωγής των παρατηρήσεων είναι πιο σύνθετη. Τα κρυµµένα µοντέλα Markov µπορούν να ανταποκριθούν καλύτερα σε τέτοιες περιπτώσεις. Η διαφορά τους έγκειται στο ότι το πλήθος των καταστάσεων δεν είναι απαραίτητα ίσο µε το πλήθος των διακριτών παρατηρήσεων και σε κάθε κατάσταση η παρατήρηση παράγεται από µια στοχαστική διαδικασία, η οποία δεν είναι άµεσα ορατή. Αυτή η εκ πρώτης όψεως µικρή διαφοροποίηση καθιστά τα κρυµµένα µοντέλα Markov πιο ισχυρά και τους επιτρέπει να προσεγγίσουν µε µεγαλύτερη ακρίβεια τα προβλήµατα [11, 8]. Για να γίνει περισσότερο αντιληπτό το κρυµµένο µοντέλο παραθέτουµε το παρακάτω παράδειγµα. Έστω ένα πείραµα, στο οποίο υπάρχουν 3 καλάθια, σε κάθε ένα από τα οποία υπάρχουν χρωµατιστές σφαίρες 4 διαφορετικών χρωµάτων (πράσινο Π, κόκκινο Κ, µπλε Μ, λευκό Λ). Σε κάθε καλάθι ο αριθµός των σφαιρών και η

19 9 αναλογία τους δεν είναι ίδια. Εποµένως, αν τραβήξουµε µια σφαίρα από ένα καλάθι η πιθανότητα να έχει κάποιο χρώµα είναι εν γένει διαφορετική για κάθε καλάθι. Έστω ότι οι πιθανότητες δίνονται από τον παρακάτω πίνακα Β: Β= Π Κ Μ Λ Καλάθι Καλάθι Καλάθι Έστω ότι επιλέγουµε Ν σφαίρες στη σειρά από τα καλάθια. Σε κάθε βήµα επιλέγουµε µε κάποιο τυχαίο τρόπο ένα καλάθι και από αυτό τραβάµε επίσης στην τύχη µια σφαίρα. Τελικά παράγεται µια ακολουθία παρατηρήσεων πχ. Π Λ Λ Κ Μ Μ Π Π Κ Λ Λ Κ κ.ο.κ. Το απλό µοντέλο Markov που µπορεί να κατασκευαστεί έχει τέσσερις καταστάσεις, µια για κάθε χρώµα και απεικονίζεται στο Σχήµα 2.2. Στο µοντέλο αυτό εκκινώντας από ένα χρώµα επιλέγουµε διαδοχικά τα χρώµατα που εµφανίζονται κάθε στιγµή. Εντούτοις, στο πραγµατικό πρόβληµα υπάρχει και η επιλογή του καλαθιού, από το οποίο προκύπτει η κάθε σφαίρα. Η επιλογή καλαθιού επηρεάζει το χρώµα των σφαιρών, αφού σε κάθε καλάθι οι πιθανότητες για επιλογή κάποιου χρώµατος δεν είναι απαραίτητα οι ίδιες. Ακόµα, αν θεωρήσουµε ότι η επιλογή των καλαθιών δε γίνεται µε την ίδια πιθανότητα για κάθε καλάθι η επιλογή καλαθιού γίνεται ακόµα πιο καθοριστική για το αποτέλεσµα του πειράµατος. Συνεπώς, το απλό µοντέλο δεν µπορεί να αναπαραστήσει αρκετά καλά το συγκεκριµένο πρόβληµα.

20 10 P akp ap apk ap ak K alp apl M ak alk al akl al L Σχήµα 2.2 Παράδειγµα Απλού Μοντέλου Markov Θεωρούµε τώρα ένα κρυµµένο µοντέλο Markov µε τρεις καταστάσεις. Κάθε κατάσταση αντιστοιχεί σε ένα από τα τρία καλάθια του πειράµατος. Σε κάθε κατάσταση µπορούν να επιλεγούν σφαίρες και των τεσσάρων χρωµάτων µε κάποιες πιθανότητες, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.3.

21 11 as1s2 S1 {P,K,M,L} as2s1 S2 {P,K,M,L} as3s1 as3s2 as1s3 as2s3 S3 {P,K,M,L} Σχήµα 2.3 Παράδειγµα Κρυφού Μοντέλου Markov Επιλέγοντας κατάλληλα τις πιθανότητες αρχικών καταστάσεων και µεταβάσεων µπορούµε να προσοµοιώσουµε την επιλογή των καλαθιών σε κάθε βήµα. Αν ορίσουµε τις πιθανότητες εµφάνισης των χρωµάτων των σφαιρών σε κάθε κατάσταση να είναι αυτές που είχαµε στον πίνακα Β, τότε έχουµε κατασκευάσει ένα απλό κρυµµένο µοντέλο Markov, το οποίο προσεγγίζει το πραγµατικό πρόβληµα καλύτερα από το απλό µοντέλο. Εποµένως, για να ορίσουµε ένα κρυµµένο µοντέλο Markov χρειάζεται να ορίσουµε τα παρακάτω στοιχεία [8, 11]: Το πλήθος των καταστάσεων Κ του µοντέλου. Ο καθορισµός του Κ είναι ιδιαίτερα σηµαντικός για την επιλογή ενός καλού µοντέλου. Το πλήθος των καταστάσεων έχει άµεση σχέση µε το πρόβληµα που επιλύουµε, όπως στο παραπάνω παράδειγµα κάθε κατάσταση αντιπροσώπευε ένα καλάθι. Συµβολίζουµε τις καταστάσεις S = {S k } µε k=1:k. Το πλήθος των παρατηρήσιµων συµβόλων L που παράγονται σε κάθε κατάσταση, όπως ήταν τα χρώµατα σε κάθε µπάλα στο παράδειγµα. Συµβολίζουµε τα σύµβολα L = {v l } µε l=1:l.

22 12 Τις πιθανότητες έναρξης των καταστάσεων, δηλαδή την πιθανότητα µια κατάσταση να επιλεγεί πρώτη σε ένα πείραµα. Στο παράδειγµα την πιθανότητα επιλογής του καλαθιού, από το οποίο θα τραβάγαµε την πρώτη µπάλα. Όπως στο απλό µοντέλο συµβολίζουµε π = P(q 1 = S ), ενώ ισχύουν ξανά οι περιορισµοί π 0 και K 1 = π = 1. Τις πιθανότητες µεταβάσεων µεταξύ των καταστάσεων. Στο παράδειγµα η επιλογή του επόµενου καλαθιού για να τραβήξουµε νέα σφαίρα. Συµβολίζουµε την πιθανότητα µετάβασης a j = P(q t+1 =S q t =S ),j. Όπως στο απλό µοντέλο ισχύει ότι K j= 1 a j 0,j, καθώς επίσης και ότι a j = 1. Τις πιθανότητες εµφάνισης των παρατηρήσιµων συµβόλων σε κάθε κατάσταση. Τις πιθανότητες δηλαδή ενώ βρισκόµαστε σε µια κατάσταση να εµφανιστεί κάποιο από τα σύµβολα του αλφαβήτου. Στο παράδειγµά µας την πιθανότητα ενώ έχουµε επιλέξει ένα καλάθι να τραβήξουµε σφαίρα ενός συγκεκριµένου χρώµατος. Συµβολίζουµε b k ( l ) την πιθανότητα να εµφανιστεί το σύµβολο v l στην κατάσταση s k,p(x t =v l q t =S k ). Αφού σε κάθε κατάσταση µπορεί να εµφανιστούν όλα τα σύµβολα L και µόνο αυτά θα ισχύουν οι περιορισµοί b k ( l ) 0 k,l, όπως και l= 1 b k (l) = 1 k. Έχοντας ορίσει τις παραµέτρους του µοντέλου η διαδικασία παραγωγής ακολουθιών συµβόλων είναι η ακόλουθη: Επιλογή αρχικής κατάστασης k µε βάση τις πιθανότητες έναρξης. Παραγωγή ενός συµβόλου l σύµφωνα µε πιθανότητα b k (l). Μετάβαση σε µια νέα κατάσταση g σύµφωνα µε τις πιθανότητες µεταβάσεων. Παραγωγή νέου συµβόλου από την κατανοµή της νέας κατάστασης Επανάληψη των βηµάτων 3 και 4 µέχρι το τέλος. Όπως στο απλό µοντέλο Markov ορίζουµε την πιθανοφάνεια P(X Θ) ως την πιθανότητα να παραχθεί η ακολουθία X από το µοντέλο Θ. Στο κρυµµένο µοντέλο όµως εκτός από την παρατήρηση του X υπάρχει η κρυµµένη πληροφορία των

23 13 καταστάσεων από τις οποίες περνάµε σε κάθε βήµα κατά την παραγωγή της ακολουθίας. Εποµένως δεν είναι δυνατό να υπολογίσουµε απευθείας την P(X Θ), αφού πρέπει να ληφθεί υπόψη και η ακολουθία των καταστάσεων. Για να βρούµε την πιθανότητα P(X Θ) πρέπει να λάβουµε υπόψη όλα τα δυνατά µονοπάτια καταστάσεων για το µοντέλο µας. Η πιθανότητα να παραχθεί η X από το µοντέλο Θ είναι το άθροισµα των πιθανοτήτων για κάθε µονοπάτι. ηλαδή [11, 8]: P(X Θ) = P(X Q, Θ) P(Q Θ) Q. Ας θεωρήσουµε τυχαίο µονοπάτι Q = q 1, q 2,, q T. H πιθανότητα P(Q Θ) είναι η πιθανότητα να περάσουµε διαδοχικά από τις καταστάσεις του Q, δηλαδή P(Q Θ) = π q1 * a q1q2 * * a qt-1qt. Η πιθανότητα P(X Q, Θ) είναι η πιθανότητα να παρατηρήσουµε τη συµβολοσειρά X = X 1, X 2,, X T, γνωρίζοντας εκ των πρότερων το µονοπάτι Q που ακολουθούµε, δηλαδή P(X Q, Θ) = b q1 (X 1 ) * b q2 (X 2 ) * * b qt (X T ). Συνεπώς, P(X Θ) = π q1 Q b q1 (X 1 ) a q1q2... a qt-1qt b qt (X T ). Η εξίσωση αυτή περιγράφει στην ουσία τη διαδικασία παραγωγής ακολουθιών που ορίσαµε προηγουµένως, για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς καταστάσεων, δηλαδή την επιλογή αρχικής κατάστασης, την παραγωγή συµβόλων και τις µεταβάσεις µεταξύ καταστάσεων µε στοχαστικό τρόπο. Το πρόβληµα είναι ότι για να υπολογιστεί η πιθανοφάνεια µε τον παραπάνω τρόπο, απαιτείται ο υπολογισµός για κάθε διαφορετική ακολουθία καταστάσεων Q. Κάτι τέτοιο είναι υπολογιστικά πολύ ακριβό και πρακτικά ανεφάρµοστο. Για τον υπολογισµό της πιθανοφάνειας στο κρυµµένο µοντέλο χρησιµοποιείται µια άλλη µέθοδος, γνωστή ως forward backward διαδικασία [11, 1]. Ορίζουµε τη forward µεταβλητή α t ( ) = P(X 1,..., X t, q t = S Θ). ηλαδή η α εκφράζει την πιθανότητα να παρατηρήσουµε τα στοιχεία της ακολουθίας X έως τη

24 14 στιγµή t, και εκείνη τη στιγµή να βρεθούµε στην κατάσταση S του κρυµµένου µοντέλου. Ο υπολογισµός της α γίνεται ως εξής: Υπολογίζουµε τις αρχικές πιθανότητες α1( ) = π * b ( Χ 1) για 1 Κ. Τη στιγµή t+1: K αt+1 ( ) = [ α t (j) *a j ]* b ( Χ t+ 1) j=1. Τελικά η πιθανοφάνεια προκύπτει ως: P(X K Θ) = αt (j) j= 1. Με παρόµοια λογική ορίζεται η backward µεταβλητή, ως η πιθανότητα να παρατηρήσουµε τα στοιχεία της ακολουθίας από τη στιγµή t+1 έως το τέλος, δεδοµένου ότι τη στιγµή t βρισκόµαστε στην κατάσταση S: β t ( ) = P(X t+1,..., X T q t = S, Θ). Ο υπολογισµός της β γίνεται ως εξής: Θέτουµε β T () =1. Τη στιγµή t: β K t ( ) = a j * b j(x t +1 ) βt+1 (j) j= 1. Τελικά η πιθανοφάνεια προκύπτει: P(X K Θ) = β1(j) j= 1 Την πιθανοφάνεια µπορούµε να την υπολογίσουµε µε οποιονδήποτε από τους δυο προαναφερθείς τρόπους. Τις forward και backward µεταβλητές θα τις χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια και για να υπολογίσουµε δυο ακόµα ποσότητες που θα χρειαστούν κατά τον υπολογισµό των παραµέτρων των µοντέλων. Ορίζουµε τη µεταβλητή γ t ( ) = P(q t = S X, Θ), δηλαδή την πιθανότητα τη χρονική στιγµή t για την ακολουθία Χ να βρισκόµαστε στην κατάσταση S. Με τη βοήθεια των forward και backward µεταβλητών η γ µπορεί να γραφεί ως:

25 15 αt () * βt () γt () = P(X Θ) = K 1 k= α () * β () t α (k) * β t t t (k). Είναι προφανές ότι ισχύει Κ γt () = 1 =1. ξ (, j) = P(q t = S, q t+1 = S j X, ) Ορίζουµε επίσης τη µεταβλητή t Θ, δηλαδή την πιθανότητα τη στιγµή t να βρισκόµαστε στην κατάσταση και τη στιγµή t+1 στην κατάσταση j για την ακολουθία X στο µοντέλο Θ. Χρησιµοποιώντας ξανά τις forward και backward µεταβλητές µπορούµε να υπολογίσουµε την ξ: αt () *a ξ (, j) = t j * b j (X t +1 P(X Θ) ) * β t+1 (j) = K α t K α =1 j=1 () *a t j () *a * b j j (X * b j t+1 (X ) * β t +1 t+1 ) * β (j) t+1 (j) Με τη βοήθεια των παραπάνω µεταβλητών µπορούµε να λάβουµε µια νέα εκτίµηση των παραµέτρων του Θ µε βάση τις προηγούµενες τιµές. Το άθροισµα Τ γ t=1 t ( ) το πέρασµα από όλη την ακολουθία. υπολογίζει πόσες φορές βρισκόµαστε στην κατάσταση κατά Παραλείποντας το τελευταίο στοιχείο της ακολουθίας, δηλαδή παίρνοντας το άθροισµα Τ- 1 t=1 γ t ( ) υπολογίζουµε πόσες φορές υπήρξε µετάβαση από την κατάσταση σε κάποια άλλη (αφού δεν υπάρχει µετάβαση από το τελευταίο στοιχείο). Επίσης, το άθροισµα Τ- 1 t=1 ξ t (, j) κατάσταση στην κατάσταση j για την ακολουθία X. υπολογίζει τον αριθµό των µεταβάσεων από την Χρησιµοποιώντας τους παραπάνω τύπους µπορούµε να πάρουµε µια εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου:

26 16 Η πιθανότητα αρχικής κατάστασης π συµβολίζει τη συχνότητα µε την οποία βρισκόµαστε στην κατάσταση τη χρονική στιγµή t=1, άρα µπορεί να υπολογιστεί ως π = γ 1 (). Η πιθανότητα µετάβασης a j αναπαριστά τη συχνότητα µε την οποία πραγµατοποιούνται µεταβάσεις από την στην j. Μπορεί, εποµένως, να εκφραστεί ως ο αριθµός των µεταβάσεων από την κατάσταση στην j, προς τον συνολικό αριθµό των µεταβάσεων από την. ηλαδή: a j = Τ-1 ξ t t=1 Τ-1 γ t=1 (, j) Η πιθανότητα b (l) είναι η συχνότητα παρατήρησης του συµβόλου l από την κατάσταση, άρα µπορεί να υπολογιστεί ως το πηλίκο του πλήθους των παρατηρήσεων του l στην κατάσταση προς το πλήθος των εµφανίσεων της κατάστασης. ηλαδή: b (l) = t () Τ-1 [ γ () (X = = l) ] t=1 t Τ-1 γ t=1 t t (). Η µέθοδος που χρησιµοποιεί τους παραπάνω τύπους για την εκτίµηση των τιµών των παραµέτρων του κρυµµένου µοντέλου ονοµάζεται µέθοδος Bau Welch [11, 8, 1]. Η µέθοδος είναι επαναληπτική. Ξεκινά µε κάποιες αρχικές τιµές των παραµέτρων και χρησιµοποιώντας τις παραπάνω εξισώσεις σε κάθε βήµα πετυχαίνει τελικά την τοπική µεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας P(X Θ). Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιούµε τον αλγόριθµο EM για τον υπολογισµό των παραµέτρων που είναι ισοδύναµος µε τη µέθοδο Bau Welch.

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη

5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη 5. Μέθοδοι αναγνώρισης εκπαίδευση χωρίς επόπτη Tο πρόβληµα του προσδιορισµού των συγκεντρώσεων των προτύπων, όταν δεν είναι γνωστό το πλήθος τους και η ταυτότητα των προτύπων, είναι δύσκολο και για την

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα της οργάνωσης και της ποιότητας για τον Self-Organizing Hidden Markov Model Map (SOHMMM)

Μέτρα της οργάνωσης και της ποιότητας για τον Self-Organizing Hidden Markov Model Map (SOHMMM) Μέτρα της οργάνωσης και της ποιότητας για τον Self-Organizing Hidden Markov Model Map (SOHMMM) Γενική περιγραφή του SOHMMM Ένα υβριδικό νευρωνικό δίκτυο, σύζευξη δύο πολύ επιτυχημένων μοντέλων: -Self-Organizing

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης

Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognition) Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesian Decision Theory) Π. Τσακαλίδης Αναγνώριση Προτύπων (Pattern Recognton Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayesan Decson Theory Π. Τσακαλίδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μπεϋζιανή Θεωρία Αποφάσεων (Bayes Decson theory Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικό κριτήριο χ 2

Στατιστικό κριτήριο χ 2 18 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Στατιστικό κριτήριο χ 2 Ο υπολογισµός του κριτηρίου χ 2 γίνεται µέσω του µενού [Statistics => Summarize => Crosstabs...]. Κατά τη συγκεκριµένη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Λύσεις µε κατάλληλο σχολιασµό και παρατηρήσεις σε θέµατα από παλαιότερες πανελλαδικές εξετάσεις. Γενικές οδηγίες και παρατηρήσεις κατά την αντιµετώπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232 Φροντιστήριο 2

ΕΠΛ 232 Φροντιστήριο 2 Πρόβληµα ΕΠΛ Φροντιστήριο Έχετε 0 και θέλετε να τις επενδύσετε για n µήνες. Tην πρώτη µέρα κάθε µήνα έχετε µόνο µια από τις παρακάτω τρεις επιλογές:. Να αγοράσετε ένα πιστοποιητικό αποταµίευσης από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ/ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΚΛΑ ΕΜΑ ΟΜΑ ΑΣ ΚΑΤΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΕΣΩ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΤΙΚΕΤΩΝ» (Instance-Based Ensemble

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand

Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Μοντέλα των Cournotκαι Bertrand Παύλος Στ. Εφραιµίδης Τοµέας Λογισµικού και Ανάπτυξης Εφαρµογών Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τι θα πούμε Θα εξετάσουμε αναλυτικά το μοντέλο Cournot

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ6 / ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ # - Λύσεις Ασκήσεων Θέµα Α Έστω T t ο µέσος χρόνος µετάδοσης ενός πλαισίου δεδοµένων και Τ f, αντίστοιχα, ο χρόνος µετάδοσης πλαισίου επιβεβαίωσης αρνητικής, na, ή θετικής ac

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα