ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

2 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Σε πολλές στατιστικές εφαρμογές συναντάμε το πρόβλημα της μελέτης της σχέσης δύο ή περισσοτέρων τυχαίων μεταβλητών. Παραδείγματα τέτοιας σχέσης έχουμε στη μελέτη του ύψους και του βάρους μιας ομάδας ανθρώπων, του εισοδήματος και κατανάλωσης εργαζομένων σε μια εταιρεία κλπ. Το πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε είναι αφ ενός να αποφασίσουμε αν υπάρχει μια τέτοια σχέση και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε τη σχέση αυτή με βάση ορισμένες παρατηρήσεις. Ένας από τους κύριους λόγους που η μελέτη αυτή είναι σημαντική, κυρίως σε εφαρμογές που έχουν σχέση με επιχειρήσεις και με την οικονομία, είναι ότι οι σχέσεις αυτές χρησιμοποιούνται συχνά για προβλέψεις. Είναι προφανές ότι συχνά, είτε ιδιωτικές εταιρείες είτε κρατικές μονάδες χρειάζεται να προβλέψουν μεταβλητές όπως η ζήτηση, τα επιτόκια, ο πληθωρισμός, οι τιμές πρώτων υλών, το εργατικό κόστος κλπ. Ανεξάρτητα, όμως, από τους λόγους για τους οποίους η μελέτη της σχέσης δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών είναι χρήσιμη, το πρώτο βήμα για να πραγματοποιηθεί η μελέτη αυτή είναι η κατασκευή μιας μαθηματικής εξίσωσης (μοντέλου) που περιγράφει τη φύση της σχέσης που υφίσταται μεταξύ των υπό μελέτη μεταβλητών. Η διαδικασία δημιουργίας μιας μαθηματικής εξίσωσης για την περιγραφή ενός φαινομένου μπορεί να είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για την κατασκευή του μοντέλου απαιτείται κάποια γνώση της φύσης της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Για παράδειγμα, ένας επενδυτής στην αγορά χρυσού, προκειμένου να προβεί σε μια μεγάλη αγορά, θα ενδιαφερόταν να προβλέψει την τιμή του χρυσού σε δύο χρόνια από τώρα χρησιμοποιώντας κάποια τεχνική. Παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν την τιμή αυτή είναι τα επιτόκια, ο πληθωρισμός, η τιμή του πετρελαίου, η ζήτηση για χρυσά κοσμήματα, η ζήτηση για βιομηχανικό και εμπορικό χρυσό και ο δείκτης του Χρηματιστηρίου. Έστω, πιο συγκεκριμένα, ότι ο επενδυτής αυτός ενδιαφέρεται να μελετήσει αρχικά τον τρόπο που τα επιτόκια επηρεάζουν την τιμή του χρυσού. Αν θεωρήσει ότι υπάρχει μια γραμμική σχέση, αυτό θα

3 συνεπάγεται ίσως ότι όταν τα επιτόκια αυξάνουν (ή πέφτουν) η τιμή του χρυσού θα αυξάνει (θα μειώνεται). Μια εξίσωση τετραγωνικής μορφής θα οδηγεί, ενδεχομένως, στο συμπέρασμα ότι η τιμή του χρυσού θα αυξάνει για κάποιο συγκεκριμένο φάσμα τιμών του πληθωρισμού αλλά θα μειώνεται για κάποιο διαφορετικό φάσμα. Ενδεχομένως, οι συγκεκριμένοι συνδυασμοί τιμών του πληθωρισμού και άλλων μεταβλητών επιδρούν στην τιμή του χρυσού με ένα τρόπο, ενώ άλλοι συνδυασμοί επηρεάζουν την τιμή αυτή με ένα άλλο τρόπο. Ο αριθμός των διαφορετικών μαθηματικών μοντέλων που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν είναι σχεδόν άπειρος. Στα περισσότερα από τα πρακτικά προβλήματα που θα μας απασχολήσουν μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε πώς μεταβάλλεται μια τυχαία μεταβλητή Υ σε σχέση με μια - ή περισσότερες - μεταβλητές Χ 1,Χ,...,Χ n των οποίων ο ερευνητής μπορεί να επιλέξει τις τιμές. Αν το μοντέλο που εξετάζουμε είναι τέτοιας μορφής που η τυχαία μεταβλητή Υ είναι γραμμική συνάρτηση των παραμέτρων του μοντέλου τότε μιλάμε για ένα γραμμικό μοντέλο (lnear model). Η απλούστερη μορφή τέτοιας σχέσης είναι η Υ = α + βχ όπου α και β είναι σταθερές. Σημείωση: Επισημαίνουμε ότι ο όρος "γραμμικό" για το χαρακτηρισμό του μοντέλου αναφέρεται στις παραμέτρους και όχι στις μεταβλητές. Η μελέτη γραμμικών μοντέλων είναι χρήσιμη και για την πρόβλεψη της τιμής της τυχαίας μεταβλητής Υ για μια δοθείσα τιμή x του Χ, όπως ήδη αναφέραμε, όπως επίσης για τον προσδιορισμό του βαθμού εξάρτησης μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ. Μοντέλα τέτοιας μορφής συναντώνται συχνά σε διάφορες επιστήμες. Για παράδειγμα, σχέσεις τέτοιας μορφής που συναντάμε στη Φυσική είναι, μεταξύ άλλων και οι εξής: E = m c, όπου Ε = ενέργεια, m = μάζα και c = ταχύτητα του φωτός. F = m α, όπου F = δύναμη, m = μάζα και α = επιτάχυνση.

4 =α t, όπου = απόσταση, t = χρόνος και α = επιτάχυνση βαρύτητας. Σε μαθήματα οικονομικού περιεχομένου συναντώνται επίσης σχέσεις όπως οι εξής: Κέρδος = Εισπράξεις - Κόστος Συνολικό κόστος = Σταθερό κόστος + (Μεταβλητό κόστος x x αριθμό μονάδων που παρήχθησαν). Όλα τα παραπάνω παραδείγματα είναι παραδείγματα ντετερμινιστικών μοντέλων (determnstc models). Η ονομασία οφείλεται στο γεγονός ότι εξισώσεις τέτοιας μορφής επιτρέπουν τον καθορισμό της τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής (της μεταβλητής στο αριστερό μέρος της εξίσωσης) από την τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής (της μεταβλητής στο δεξί μέρος της εξίσωσης), με εξαίρεση μικρά λάθη μετρήσεων. Η μελέτη σχέσεων τέτοιας μορφής είναι γνωστή από τα Μαθηματικά. Στην πράξη όμως (στην καθημερινή ζωή) τα πράγματα δεν είναι πάντα ιδεώδη, είναι δηλαδή σχεδόν απίθανο να έχουμε δύο μεγέθη που να έχουν μια τέλεια γραμμική σχέση. Είναι δύσκολο, για παράδειγμα, να πιστέψουμε ότι μπορούμε να καθορίσουμε την τιμή πώλησης ενός διαμερίσματος με βάση αποκλειστικά το μέγεθός του. Είναι βέβαια αναμφίβολο ότι το μέγεθος του διαμερίσματος επηρεάζει την τιμή του, υπάρχουν όμως και άλλες μεταβλητές (μερικές από τις οποίες μπορεί να μην είναι καν μετρήσιμες) που επίσης επηρεάζουν την τιμή του. Στις περισσότερες, επομένως, περιπτώσεις που αναφέρονται σε πρακτικά προβλήματα πρέπει να χρησιμοποιηθούν μοντέλα που να περικλείουν το στοιχείο της τυχαιότητας (randomness), στοιχείο που είναι μέρος της καθημερινής ζωής. Τέτοια μοντέλα ονομάζονται μοντέλα πιθανότητας (probablstc models). Προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο πιθανότητας ξεκινάμε με ένα ντετερμινιστικό μοντέλο που προσεγγίζει ικανοποιητικά τη σχέση την οποία θέλουμε να μελετήσουμε. Στην συνέχεια, προσθέτουμε ένα τυχαίο όρο που μετρά τις αποκλίσεις (τα λάθη) του ντετερμινιστικού όρου. Ο τυχαίος αυτός όρος αναφέρεται

5 σε όλες τις μεταβλητές, μετρήσιμες και μη μετρήσιμες, που δεν είναι μέρος του μοντέλου. Γραμμικά μοντέλα τέτοιας μορφής είναι, για παράδειγμα, αυτά που ακολουθούν: ) Y= α+βx+ε (απλή γραμμική παλινδρόμηση, smple lnear regresson). ) Y=α+β 1 X β k X k +ε (πολλαπλή παλινδρόμηση, multple regresson). ) Y=α+β 1 X+β X +...+β k X+ε (πολυωνυμική παλινδρόμηση, multnomal regresson). (Επαναλαμβάνουμε ότι ο όρος "γραμμικό" για το χαρακτηρισμό του μοντέλου αναφέρεται στις παραμέτρους και όχι στις μεταβλητές). Στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού θα επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε μοντέλα που έχουν μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται μοντέλα απλής γραμμικής παλινδρόμησης (smple lnear regresson models). Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα. Ο πίνακας που ακολουθεί, δίνει στοιχεία για την ποσότητα σε νερό που χρησιμοποιήθηκε για πότισμα σε ένα χωράφι (σε εκατοστά) και την παραγωγή τριφυλλιού (σε τόνους ανά στρέμμα) στο χωράφι αυτό (που χρησιμοποιήθηκε πειραματικά). Νερό (χ) Σοδειά (y) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια γραμμική σχέση Υ = α + βχ (1) ανάμεσα στη σοδειά και το νερό. Είναι φανερό ότι αν χρησιμοποιήσουμε πάλι 30cm νερού είναι μάλλον απίθανο να πάρουμε πάλι σοδειά 7.1 τόνους/στρέμμα. Για το λόγο αυτό αντί για το ντετερμινιστικό μοντέλο Υ = α + βχ χρησιμοποιούμε ένα στοχαστικό μοντέλο Υ = α + βχ + ε ()

6 όπου το ε αντιπροσωπεύει ένα τυχαίο λάθος. (Φυσικά, αν είχαμε μια τέλεια γραμμική σχέση για όλα τα = 1,,... τα ε θα ήταν μηδέν). Η σχέση () συνεπάγεται ότι η τιμή y του Υ που παρατηρήσαμε (για ένα συγκεκριμένο Χ=x) είναι μια τυχαία τιμή από τον πληθυσμό των τιμών της τυχαίας μεταβλητής Υ που αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο x. (Στο παράδειγμα η τιμή 7.1 είναι μια τιμή που θα μπορούσε να έχει η σοδειά Υ όταν η ποσότητα νερού που χρησιμοποιήθηκε ήταν 30cm). Για τα ε υποθέτουμε ότι είναι τυχαία και όχι συστηματικά. Επίσης υποθέτουμε ότι Ε (ε ) = 0 Τέλος, λόγω των αποκλίσεων των παρατηρουμένων τιμών της τυχαίας μεταβλητής Υ και του γεγονότος ότι η τυχαία μεταβλητή Υ ακολουθεί μια κατανομή, υποθέτουμε ότι η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ για δοθέν x συνδέεται γραμμικά με το x. Δηλαδή υποθέτουμε ότι Ε Y x. = α + βx (3) Η ευθεία (3) ονομάζεται ευθεία παλινδρόμησης (regresson lne) και οι συντελεστές α και β που την προσδιορίζουν ονομάζονται μοντέλα απλής γραμμικής παλινδρόμησης (regresson coeffcents). Αν χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό Τότε η (3) γράφεται μ Y x μ Y x E Y x. α + βx Οι υποθέσεις που κάνουμε στο στοχαστικό μοντέλο όπου οι τιμές της μεταβλητής X καθορίζονται από τον ερευνητή, ισοδυναμούν με την υπόθεση ότι, για ένα συγκεκριμένο x, η μέση τιμή του Y (και όχι μια συγκεκριμένη τιμή του Υ) είναι σε γραμμική σχέση με το x. Η μεταβλητή Χ (οι τιμές της οποίας καθορίζονται από τον ερευνητή) λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή (ndependent varable) ενώ η τυχαία μεταβλητή Υ λέγεται εξαρτημένη (dependent varable). Το πρόβλημά μας συνίσταται στον προσδιορισμό της ευθείας παλινδρόμησης (regresson lne) (της ευθείας (3)). Επειδή η τιμή y της Υ που θα παρατηρήσουμε θα αποκλίνει, εν γένει, από την μ δεν Υ x

7 μπορούμε να προσδοκούμε ότι είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε την ακριβή ευθεία παλινδρόμησης. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να βρούμε μια εκτίμηση της ευθείας παλινδρόμησης έστω y=a + bx η οποία θα βασίζεται σε ένα τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων (x 1,y 1 ), (x,y ),...,(x n,y n ). Δοθέντος δηλαδή του τυχαίου δείγματος (x 1,y 1 ), (x,y ),..., (x n,y n ) θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε τους συντελεστές a και b, (οι οποίοι θα είναι σημειακές εκτιμήσεις των α και β, δηλαδή τιμές των εκτιμητριών α και β των αˆ και βˆ αντίστοιχα), ώστε η γραμμή y = a + bx (η οποία είναι μία σημειακή εκτίμηση της ευθείας (3), δηλαδή μια "τιμή" της "εκτιμήτριας" μˆ αˆ +βˆ x Y x ) να είναι όσο το δυνατόν πλησιέστερη προς την πραγματική ευθεία παλινδρόμησης της οποίας η συναρτησιακή μορφή είναι μ α + βx (Με αˆ, βˆ και Y x μˆ Y x συμβολίζουμε τις εκτιμήτριες των α, β και μ Y x αντίστοιχα). Η ευθεία (3) λέγεται γραμμική παλινδρόμηση (lnear regresson). 1.1 Εκτίμηση της Ευθείας Παλινδρόμησης με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Μια από τις μεθόδους εκτίμησης των α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (E.T.) ή μέθοδος του Gauss (least-squares method). Δοθέντων των τιμών (x 1,y 1 ), (x,y ),..., (x n,y n ) ενός τυχαίου δείγματος (x 1,Y 1 ), (x,y ),...,(x n,y n ), από τη () έχουμε ότι ε = y - (α + βx ), = 1,,...,n

8 όπου ε είναι η τιμή του "σφάλματος" ε για το ζεύγος τιμών (x,y ), = 1,,...,n. Βεβαίως οι τιμές ε δεν μπορούν να παρατηρηθούν (nonobservable) αφού οι συντελεστές α και β δεν μπορούν να παρατηρηθούν. Επομένως, αν με a, b συμβολίσουμε τις εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων α και β αντίστοιχα που προκύπτουν από το συγκεκριμένο δείγμα με κάποιο τρόπο, οι παρατηρούμενες τιμές e των ε θα δίνονται από τον τύπο e = y - (a + bx ), = 1,,...,n Το ερώτημα που αναφύεται είναι πως θα προσδιορισθούν οι τιμές a και b ώστε να θεωρούνται ικανοποιητικές προσσεγγίσεις των α και β. Ένα κριτήριο ικανοποιητικής προσέγγισης (εκτίμησης) είναι δυνατόν να στηριχθεί στην ελαχιστοποίηση μιας κατάλληλα επιλεγμένης συνάρτησης της απόκλισης αυτού που παρατηρείται (y ) από αυτό που εκτιμάται ότι πρέπει να παρατηρηθεί (a + bx ). Όταν ως τέτοια συνάρτηση θεωρηθεί η μέση τετραγωνική απόκλιση του y από το a + bx, η επιλογή των τιμών a και b πρέπει να εξασφαλίζει ελάχιστη τιμή της παράστασης e n παράστασης n 1, δηλαδή της n 1 y a + bx. n 1 Στη διεθνή βιβλιογραφία χρησιμοποιείται συχνά ο συμβολισμός E (sum of squares of errors) για το e ). H απαίτηση αυτή ικανοποιείται τότε και μόνο τότε εάν ικανοποιείται το σύστημα εξισώσεων P a )= 0 (κανονικές εξισώσεις) P b )= 0 όπου

9 n P = y a + bx 1 Εύκολα μπορεί να επαληθευτεί ότι το ακρότατο που προκύπτει από την επίλυση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων ως προς a και b είναι ελάχιστο, δηλαδή ότι οι τιμές α και b ελαχιστοποιούν την παράσταση P. Επειδή η παραπάνω μέθοδος στηρίζεται στην ελαχιστοποίηση της παράστασης P, ονομάζεται μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (method of least -squares). Οι κανονικές εξισώσεις γράφονται και επομένως a = y - bx όπου b y =a +bx n n n xy a x b x =1 x xy y x x Τα a και b ονομάζονται εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των συντελεστών γραμμικής παλινδρόμησης (least-squares estmates of the coeffcents of lnear regresson). Στην πράξη πολλές φορές για τον υπολογισμό του b χρησιμοποιούμε την παρακάτω ισοδύναμη έκφραση n yx y x b= (5) n x x Για ευκολότερη απομνημόνευση των τύπων χρησιμοποιούμε το συμβολισμό. (4)

10 x x x y y y x yy n n x x y y x xy xy y (6) (7) (8) Ετσι, η σχέση (4) γράφεται με τη μορφή b= xy οπότε η εκτίμηση της ευθείας παλινδρόμησης του Υ πάνω στο x (η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων της πραγματικής ευθείας παλινδρόμησης) γίνεται y = a + bx (9) όπου xy b = και a= y- x. Επειδή η τιμή y είναι μία πραγματοποίηση (realzaton) της μεταβλητής της ακολουθίας Y 1,Y,...,Y n που παριστάνει το τυχαίο δείγμα επί της εξαρτημένης μεταβλητής Y, καθίσταται φανερό ότι οι τιμές a και b αποτελούν πραγματοποιήσεις (realzatons) των τυχαίων xy xy μεταβλητών αˆ = Υ - x και βˆ = αντίστοιχα, όπου προφανώς xy x x Y Y x x Y. xy

11 0ι τιμές a και b δηλαδή είναι οι τιμές των εκτιμητριών αˆ και βˆ των παραμέτρων α και β, που αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο δείγμα {(x,y ), =1,,...,n}. (Αν πάρουμε ένα άλλο δείγμα ( x1, y1),( x, y ),...,( xn, yn ) θα βρούμε μια άλλη τιμή a της αˆ και μία άλλη τιμή b της βˆ ). Με την ίδια λογική η τιμή y είναι μια τιμή της εκτιμήτριας Yˆ = μˆ. Y x Εφαρμογή: Στο παράδειγμά μας βρίσκουμε ότι = 1008, xy = , x = 30, y = 7.08, yy = Συνεπώς b = 0.10 και a = 4.0 και επομένως η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι η y = x (10) Η ευθεία (10) είναι μια εκτίμηση (η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων) της πραγματικής ευθείας παλινδρόμησης μ Y x = α + βx (είναι δηλαδή μια τιμή της μˆ Y x αˆ βˆ x ) και αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο δείγμα. Ένα άλλο δείγμα θα έδινε μια άλλη ευθεία. Η ευθεία παλινδρόμησης χρησιμοποιείται πολλές φορές για πρόβλεψη. Στο παράδειγμά μας, αν η ποσότητα του νερού ήταν 0cm θα περιμέναμε σοδειά y = 6 τόνoυς/στρέμμα. (Η τιμή αυτή είναι επίσης μια εκτίμηση της μέσης σοδειάς για τις περιπτώσεις που χρησιμοποιήθηκε νερό 0cm). Στο παράδειγμα που εξετάστηκε οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ είχαν καθορισθεί εκ των προτέρων από τον ερευνητή. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου όχι μόνο το Υ αλλά και το Χ είναι τυχαίες μεταβλητές. Η μέθοδος εκτίμησης των α και β είναι η ίδια.

12 1. Συμπερασματολογία στη Γραμμική Παλινδρόμηση Οι εκτιμήσεις a και b που βρήκαμε για το α και β είναι προφανώς σημειακές εκτιμήσεις. Αν θέλουμε μεγαλύτερη σιγουριά στην εκτίμησή μας θα πρέπει να κατασκευάσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης. Επίσης, συχνά, χρειάζεται να κάνουμε ελέγχους υποθέσεων για τις παραμέτρους του μοντέλου. Τέλος, συχνά, χρησιμοποιούμε το μοντέλο για προβλέψεις. Για να γίνουν αυτά χρειαζόμαστε την κατανομή των τυχαίων μεταβλητών αˆ και βˆ. Κάνουμε τις ακόλουθες υποθέσεις: ) Τα ε είναι Ν(0, σ ) για όλα τα = 1,,... (δηλαδή όλα τα ε ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή μηδέν και την ίδια διασπορά). ) Τα ε είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Παρατήρηση: Για τις περισσότερες εφαρμογές είναι αρκετό να υποθέσουμε ότι τα ε είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους. Δηλαδή ότι Cov (e, e j ) = 0, για κάθε j,,j = 1,,.... Σημείωση: Οι υποθέσεις αυτές είναι οι απλούστερες που γίνονται συνήθως. Διαφορετικές καταστάσεις χρειάζονται διαφορετικές υποθέσεις που, φυσικά, θα οδηγήσουν σε διαφορετικά συμπεράσματα. Κάνοντας χρήση της σχέσης () βλέπουμε ότι οι παραπάνω υποθέσεις είναι ισοδύναμες με τις υποθέσεις: ) Τα Υ είναι Ν(α+βx, σ ), = 1,,... v) Τα Υ είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. (Αντίστοιχα, όπως προηγουμένως, τα Υ είναι ασυσχέτιστα). Επίσης υποθέτουμε ότι τα x είναι προκαθορισμένα. Σημείωση: Επειδή υποθέτουμε ότι τα ε (αντίστοιχα τα Υ ), = 1,,... έχουν την ίδια διακύμανση, λέμε ότι είναι ομοσκεδαστικά (homoscedastc). Στην αντίθετη περίπτωση τα ε (αντίστοιχα τα Υ ) λέγονται ετεροσκαδαστικά (heteroscedastc).

13 Παρατήρηση: Η υπόθεση της κανονικότητας απαιτεί ότι οι τιμές των Υ ακολουθούν την κανονική κατανομή σε κάθε τιμή του x. (Βλέπε και το σχήμα που ακολουθεί). Όπως και στην συμπερασματολογία που στηρίζεται στη στατιστική συνάρτηση t (βλέπε π.χ. Ι. Πανάρετου (1993) Εκτιμητική- Έλεγχοι Υποθέσεων) η ανάλυση παλινδρόμησης είναι ανθεκτική (robust) σε αποκλίσεις από την υπόθεση της κανονικότητας. Δηλαδή, αν η κατανομή των τιμών της Υ γύρω από κάθε τιμή του x δεν διαφέρει πάρα πολύ από την κανονική κατανομή η συμπερασματολογία που ακολουθείται για την γραμμική παλινδρόμηση και τους συντελεστές της γραμμικής παλινδρόμησης δεν θα επηρεασθεί σημαντικά. Η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας απαιτεί ότι η μεταβλητότητα γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης είναι σταθερή για όλες τις τιμές του x. Αυτό σημαίνει ότι το Υ αποκλίνει με τον ίδιο τρόπο όταν το x έχει μια μικρή τιμή όπως όταν το x έχει μια υψηλή τιμή. (Βλέπε και το προηγούμενο σχήμα). Η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας είναι σημαντική για την χρησιμοποίηση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων που ακολουθείται για τον καθορισμό των συντελεστών της γραμμικής παλινδρόμησης. Αν υπάρχει μεγάλη απόκλιση από την υπόθεση αυτή θα πρέπει ή να γίνει μετασχηματισμός των δεδομένων ή να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων (weghted least-squares) για τη συμπερασματολογία. Η τρίτη υπόθεση της ανεξαρτησίας των λαθών απαιτεί ότι τα κατάλοιπα θα πρέπει να είναι ανεξάρτητα για κάθε τιμή του Χ. Η

14 υπόθεση αυτή συχνά αναφέρεται σε δεδομένα που έχουν συλλεγεί κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου. Για παράδειγμα, σε οικονομικά δεδομένα, οι τιμές για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο είναι συχνά συσχετισμένες με τις τιμές της προηγούμενης χρονικής περιόδου. Τα μοντέλα τέτοιας μορφής ανήκουν στην γενική κατηγορία των χρονολογικών σειρών που θα δούμε αργότερα Διαστήματα Εμπιστοσύνης για το β Προκειμένου να μελετήσουμε την κατανομή της εκτιμήτριας βˆ της παραμέτρου β ξαναγράφουμε τη σχέση (4) με συμβολισμό τυχαίων μεταβλητών, χρησιμοποιώντας το βˆ και το Υ αντί του b και του y, αντίστοιχα. x x Y βˆ c Y x x όπου c c 1 x x x x (Προφανώς x x 0 ). x x (1) Τα Υ όμως ακολουθούν κανονικές κατανομές. Επομένως το βˆ, σαν γραμμικός συνδυασμός τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κανονική κατανομή, κατανέμεται και αυτό σύμφωνα με την κανονική κατανομή, δηλαδή, Έχουμε όμως β ˆ ~ N E( β ˆ ) E c Y, V c Y. c Y E c E(Y ) = Σc (α+βx ) = α Σc + β Σc x.

15 Από τον ορισμό όμως του c έχουμε c x x nx nx 0 (13) Επίσης, cx x x x+ x x x x x Επομένως, Όσον αφορά τη διασπορά του βˆ έχουμε, V( β ˆ ) V c Y c V(Y ) (διότι τα Υ είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους) c / 1 (14) E( β ˆ ) β. (15) Από τη (1) έχουμε, Επομένως, c x x 1 V( β) ˆ Δηλαδή τελικά για το βˆ έχουμε σ. (16) Συνεπώς, σ βˆ ~ N β,. (17)

16 σ βˆ β ~ N(0,1) (18) Η τυπική απόκλιση σ των Υ x =1,,... όμως είναι εν γένει άγνωστη και πρέπει να εκτιμηθεί. Σαν εκτιμήτρια του σ μπορεί να θεωρηθεί η στατιστική συνάρτηση, Y Y σ ˆ ˆ Y x ε (19) n όπου Υ είναι η παρατηρηθείσα τιμή του Υ για το συγκεκριμένο x ενώ Y είναι η εκτιμώμενη τιμή του Υ για το δεδομένο x όπως την παίρνουμε από την ευθεία παλινδρόμησης. (Αποδεικνύεται ότι η εκτιμήτρια αυτή είναι εκτιμήτρια μεγίστης πιθανοφάνειας). Σημείωση: Η στατιστική συνάρτηση Y x, όπως δίνεται από τη σχέση (19) δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ. Εάν θέλουμε αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ πρέπει να θεωρήσουμε τη συνάρτηση * * n x Y Y n ε Y Y x ε ˆ n n n (Βλέπε σχετική άσκηση). Σημείωση: Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς της κατανομής του βˆ όταν το σ είναι άγνωστο και πρέπει να εκτιμηθεί, είναι η συνάρτηση Υπολογισμός του Y x Από τη σχέση (19) έχουμε, * * Y x βˆ.

17 Y x n Y Ŷ n 1 Y αˆ βx ˆ 1 Y Y Y αˆ βx ˆ n (Y Y) αˆ βx ˆ αˆ βx ˆ n 1 Y Y βˆ x x n 1 n xy xy YY 1 βˆ x xy Y 1 n YY xy Μπορεί να αποδειχθεί ότι, Y Yˆ σ Επομένως, * ny x (n )Y x * Y x σ βˆ β ~ t n σ ~ X n (0) (1) Από τα προηγηθέντα προκύπτει ότι σαν ένα 100(1-a)% διάστημα εμπιστοσύνης για την κλίση β της ευθείας παλινδρόμησης μπορούμε να θεωρήσουμε το διάστημα βˆ t n,1a/ * Y x ()

18 1.. Διαστήματα εμπιστοσύνης για το α Έχουμε ήδη δει ότι αλλά Επομένως, όπου αˆ Y c Y αˆ βˆ Y βx ˆ (1/n) c x Y x = 1 d 1/n cx n x c Y (1/n) Y d Y x x x x c xy (3) Η σχέση (3) δείχνει ότι το μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός ανεξαρτήτων κανονικών τυχαίων μεταβλητών. Επομένως το α ακολουθεί επίσης την κανονική κατανομή. Θα υπολογίσουμε τη μέση τιμή και τη διασπορά του. Έχουμε, E( α) ˆ E(Y βx) ˆ = E(Y) - xe(β) ˆ = α + βx - xβ = α Επίσης από την (3) V(ˆ α) V dy d σ. Αλλά, d 1/n c x (/n)c x 1/ n x c (x / n) c Από την (13) όμως c ι = 0. Επίσης c 1/. Επομένως, d 1/n+x / (4) Δηλαδή τελικά,

19 1 x V( ) n (5) Στην περίπτωση που το σ είναι άγνωστο και πρέπει να εκτιμηθεί, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς της κατανομής του είναι η συνάρτηση * 1 * x Y x n Το τελικό συμπέρασμα για το είναι ότι Από την (6) έχουμε, 1 x ~ Na, n 1 x n ~ N(0,1) Εάν χρησιμοποιήσουμε την εκτιμήτρια Y x έχουμε, n σ Yx * Yx * n - Y x σ αˆ - α 1 x n X t (6) του σ και το γεγονός ότι και επομένως, σαν ένα 100(1-a)% διάστημα εμπιστοσύνης για το α μπορούμε να πάρουμε το διάστημα * 1 x αˆ t n -, 1 - Yx (7) n n- n-

20 Παράδειγμα: Στο πρόβλημα της παραγωγής τριφυλλιού να βρεθούν 90% διαστήματα εμπιστοσύνης για το α και το β. Λύση: Πρέπει καταρχήν να υποθέσουμε ότι η σοδειά Υ για κάθε δεδομένη ποσότητα νερού ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή που είναι γραμμική συνάρτηση του x και κοινή διασπορά σ. Επειδή το σ είναι άγνωστο το εκτιμάμε από τα δεδομένα Yx Ένα 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το β είναι το 0.10 t 5, ( ) 5 (1008) ή (0.0110) δηλαδή το (0.08, 0.1). Το αντίστοιχο 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το α είναι (από την (7)) ( ) 5 ή δηλαδή το (3.38, 4.718) Σημείωση: Σε πολλές περιπτώσεις, προκειμένου να εκτιμηθούν οι συντελεστές α και β της γραμμικής παλινδρόμησης με βάση την παρατηρηθείσα τιμή (x 1, y 1 ), (x,y ),...,(x n,y n ) ενός τυχαίου δείγματος, δεν χρησιμοποιείται η σχέση Y = α + βx + ε δηλαδή η ευθεία παλινδρόμησης μ Yx = α + βx που χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι εκτιμήτριες α και β για τη συγκεκριμένη μορφή του μοντέλου, δεν είναι ασυσχέτιστες. (Βλέπε τη σχετική άσκηση).

21 Προκειμένου να αποφευχθεί η αδυναμία αυτή στην προηγούμενη σχέση προσθαφαιρούμε την ποσότητα β x. Έτσι, έχουμε Y = α + βx + ε + β x - β x = (α + β x ) + β(x - x ) + ε Δηλαδή, τελικά ή όπου = α * + β(x - x ) + ε. Y = α * + β(x - x ) + ε μ Yx = α * + β(x - x ) α * = α + β x Η τελευταία αυτή μορφή γραμμικής παλινδρόμησης ονομάζεται απλή παλινδρόμηση αποκλίσεων από τον δειγματικό μέσο. Από τη σχέση (4) προκύπτει ότι η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων á * του α * είναι α ˆ * Y βx ˆ βx ˆ δηλαδή á * Y με τιμή για ένα συγκεκριμένο δείγμα (y 1, x 1 ),..., (y n, x n ) α * Είναι προφανές ότι για τις εκτιμήτριες á * και βˆ του απλού γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης αποκλίσεων από το δειγματικό μέσο ισχύει ότι και * * αˆ ) α, E( y V( αˆ * ) E( β ˆ ) β, ˆ σ V( β). n

22 Τέλος (βλέπε σχετική άσκηση) για την παλινδρόμηση αποκλίσεων από το δειγματικό μέσο ισχύει ότι * cov( αˆ, β) = Διαστήματα εμπιστοσύνης για την μ Y x Στο αρχικό παράδειγμα για γραμμική παλινδρόμηση είχαμε βρει (σχέση 10) ότι η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων είναι y = x. Είχαμε επίσης δει ότι για ποσότητα νερού x 0 = 0cm θα περιμέναμε σοδειά y 0 = 6 τόνους/στρέμμα. Επειδή οι τιμές 4.0 και 0.10 είναι τιμές των τυχαίων μεταβλητών αˆ και βˆ, συνεπάγεται ότι η τιμή y 0 =6 είναι μια τιμή της τυχαίας μεταβλητής Y όπως επίσης και της Y x= 0 =E(Y x=0). Μια και το Y x= 0 είναι μια παράμετρος μπορούμε να κατασκευάσουμε γι αυτήν διαστήματα εμπιστοσύνης. Έχουμε, γενικά Yˆ = αˆ + βˆ x. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουμε Y = dy cyx d cxy (8) Επομένως το Y είναι ένας γραμμικός συνδυασμός ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την κανονική κατανομή. Δηλαδή, Ŷ Ν Ε( Y ), V( Y ). Προφανώς, E( Y ˆ ) = E( αˆ + βx) ˆ = α + βx = μ Y x. Επίσης, V(Y) = V d c x Y d c x 1 n (x x)

23 Δηλαδή, τελικά 1 (x x ) Ŷ N μ Y x, σ (9) n Χρησιμοποιώντας την εκτιμήτρια Y x του σ και το γεγονός ότι n Y x (n - ) καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, Yˆ μ Y x * 1 (x x) Y x n * Y x ~ X n ~ t n (30) Επομένως σαν ένα 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για το Y x μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το διάστημα * 1 (x x) Y tn,1- / Y x. (31) n Σημείωση 1: Είναι σημαντικό να προσέξει κανείς ότι, όπως φαίνεται από τη σχέση (8), ο συντελεστής (d + c x) εξαρτάται από το x, και επομένως δεν πρέπει να μας εκπλήσσει το γεγονός ότι η διασπορά του Y εξαρτάται από το x. Επίσης από την (31) φαίνεται ότι όσο περισσότερο διαφέρει η τιμή του x από το x, τόσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης για το έχει το ελάχιστο μήκος όταν x = x. μ Y x. Το διάστημα εμπιστοσύνης Σημείωση : Θα πρέπει να είναι κανείς προσεκτικός όταν προσπαθεί να εκτιμήσει την τιμή του Y x για τιμές του x που είναι έξω από το πεδίο τιμών του x στο τυχαίο δείγμα. Από τη μαθηματική πλευρά βέβαια δεν υπάρχει πρόβλημα γιατί το μόνο που έχει να κάνει κανείς

24 είναι να αντικαταστήσει την τιμή του x στον κατάλληλο τύπο. Παρόλα αυτά συμπεραματολογία τέτοιας μορφής θα πρέπει να αποφεύγεται γιατί εγκυμονεί κινδύνους σφαλερών συμπερασμάτων. Αυτό γιατί η αρχική υπόθεση για γραμμικές σχέσεις ανάμεσα στην Ε(Υ x) και στο x έγινε για τις τιμές του x που έχουμε στο τυχαίο δείγμα. Είναι πολύ πιθανό η γραμμική σχέση να μην εξακολουθεί να ισχύει για τιμές του x που αποκλίνουν πολύ από τις τιμές του x στο δοθέν δείγμα Διαστήματα Πρόβλεψης (Predcton Intervals) Αντί να χρησιμοποιήσει τη μέση τιμή του Υ για δοθέν x ο ερευνητής είναι πιθανό να ενδιαφέρεται να προβλέψει μια επόμενη τιμή του Υ n+1 για δεδομένο x n+1. Προφανώς το να κάνει κανείς μια τέτοια πρόβλεψη με ακρίβεια είναι περισσότερο δύσκολο από το να προβλέψει μια εκτίμηση για την Ε(Υ n+1 x). Αυτό γιατί στην πρόβλεψη μιας συγκεκριμένης τιμής υπάρχουν δύο αιτίες διασποράς. Διασπορά στην εκτίμηση του πραγματικού μέσου Y n+1 x και διασπορά της συγκεκριμένης τιμής γύρω από τη μέση τιμή. Μια σημειακή εκτιμήτρια του Υ n+1 είναι φυσικά το Y = + n+1 x n+1. Το σφάλμα πρόβλεψης Δ = Y n+1 - Υ n+1 αποδεικνύεται ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διασπορά n+1 (x x) n+1. Δηλαδή, n Y n+1 (x n+1 x) n1y n1~n 0, n (Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι η τυχαία μεταβλητή Y n+1 είναι ανεξάρτητη από τις τυχαίες μεταβλητές αˆ και βˆ ). Επομένως, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμανσης του σφάλματος πρόβλεψης όταν το σ είναι άγνωστο, δίνεται από την σχέση:

25 * Y n+1 (x n+1 x) Y Y x n n 1 n 1 Αν θεωρήσουμε την τυποποιημένη κατανομή του Y n+1 - Υ n+1 και στη συνέχεια διαιρέσουμε την Ν(0,1) που καταλήξαμε με την * n Y x Y x τετραγωνική ρίζα του θα οδηγηθούμε σε μια σ (n ) σ κατανομή t με n- βαθμούς ελευθερίας. Μετά τις απλοποιήσεις θα έχουμε Y x Y n+1 n Y n+1 n1 (x n+1 x) ~ t n (3) Αυτό συνεπάγεται ότι σαν ένα 100 (1-α)% διάστημα πρόβλεψης για το Υ ν+1 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το διάστημα * n + 1 (x n +1 x) Ŷ n +1 t n,1-α/ Y x. (33) n 1.3 Έλεγχοι Υποθέσεων Σε πολλές περιπτώσεις ο ερευνητής ενδιαφέρεται να κάνει έλεγχο υποθέσεων για τις παραμέτρους της γραμμικής παλινδρόμησης. Όπως είναι γνωστό από την στατιστική συμπερασματολογία οι έλεγχοι υποθέσεων για τις παραμέτρους χρησιμοποιούν τις ίδιες στατιστικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης. Είναι αυτονόητο ότι και για τον έλεγχο υποθέσεων είναι απαραίτητο να ισχύουν οι υποθέσεις που οδήγησαν στην κατασκευή των διαστημάτων εμπιστοσύνης. Δηλαδή, ) Τα ε είναι Ν(0, σ ) για όλα τα = 1,,... ) Τα ε είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους.

26 Ή ισοδύναμα, ) Τα Υ είναι Ν(α+βx, σ ), = 1,,... v) Τα Υ είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επίσης υποθέτουμε ότι τα x είναι προκαθορισμένα Έλεγχος Υποθέσεων για το β Έστω η μηδενική υπόθεση Η 0 : β = β 0 Ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου, κάτω από την Η 0, χρησιμοποιείται η συνάρτηση β β0 T ˆ ~ t n * Y x/ Η απόφαση που θα πάρουμε για τη μηδενική υπόθεση εξαρτάται από την εναλλακτική υπόθεση. Συγκεκριμένα (για επίπεδο σημαντικότητας α): ) Η 1 : β β 0. Απορρίπτουμε την Η 0 αν t t n-, 1-α ) Η 1 : β β 0. Απορρίπτουμε την Η 0 αν t t n-, α ) Η 1 : β β 0. Απορρίπτουμε την Η 0 αν t t n-, 1-α/ ή t t n-, α/ Σημείωση: Συνήθως μας ενδιαφέρει ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : β=0, αν δηλαδή υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ. Με την ίδια λογική ελέγχουμε υποθέσεις για τις παραμέτρους α, Y x και Υ της γραμμικής παλινδρόμησης. Οι στατιστικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται κάτω από την Η 0 : α = α 0, Η 0 : μ Y x = 0 μ Y x και Η 0 : Y n+1 = 0 Y n+1 είναι, αντίστοιχα, οι: αˆ α0 T ~ t n * 1 x Y x n

27 T T * Y x Yˆ 0 μ Y x * 1 (x - x) Y x n Yˆ Y n1 0 n1 ~ t n +1 (xn+1 - x) n n ~ t n 1.3. Μερικά Γενικά Παραδείγματα Παράδειγμα 1: Ο υπολογισμός των ασφαλίστρων για διάφορες μορφές ασφάλειας που παρέχουν οι ασφαλιστικές εταιρίες είναι, μία πολύπλοκη διαδικασία που απαιτεί ειδικευμένο προσωπικό. Η επιστήμη που ασχολείται με το θέμα αυτό λέγεται ασφαλιστική επιστήμη και οι επιστήμονες που ασχολούνται σ αυτή ασφαλιστές. Στη διεθνή πρακτική για να ασκήσει κάποιος το επάγγελμα του ασφαλιστή θα πρέπει να είναι μέλος του αντίστοιχου επιμελητηρίου ασφαλιστών. Για να αποκτηθεί το δικαίωμα αυτό στο εξωτερικό θα πρέπει ο υποψήφιος να πετύχει δέκα διαγωνισμούς. Ο πρώτος από αυτούς στα μαθηματικά και τον απειροστικό λογισμό. Ο δεύτερος σε πιθανότητες και στατιστική. Οι εξετάσεις στο τρίτο, το τέταρτο και το πέμπτο αντικείμενο αφορούν διάφορα θέματα στα μαθηματικά τα χρηματοπιστωτικά και τις ασφάλειες. Αν κάποιος υποψήφιος πετύχει στις πέντε από τις εξετάσεις έχει το δικαίωμα να γίνει πάρεδρο μέλος του ασφαλιστικού επιμελητηρίου. Επιτυχία στις εξετάσεις και στα δέκα αντικείμενα δίνει την δυνατότητα σε κάποιον να γίνει τακτικό μέλος του επιμελητηρίου αυτού. Τα προπτυχιακά πανεπιστημιακά προγράμματα σε ασφαλιστικές επιστήμες είναι σχεδιασμένα με τρόπο που να βοηθούν τους φοιτητές να εξετασθούν με επιτυχία σε όσο το δυνατόν περισσότερα από τα πέντε πρώτα αντικείμενα (εξετάσεις) πριν αποκτήσουν το πτυχίο τους. Ας υποθέσουμε ότι ένας προπτυχιακός φοιτητής ενός τέτοιου προγράμματος αμερικάνικου πανεπιστημίου ενδιαφέρεται να πληροφορηθεί το μισθό που μπορεί να προσδοκά μετά την απόκτηση του πτυχίου του. Το συγκεκριμένο πανεπιστήμιο προκειμένου να

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρήστε το παράδειγμα που αναφέρεται στη συσχέτιση του βαθμού ικανοποίησης των εργαζομένων σε ένα εργαστήριο σε σχέση με τις οκτώ μεταβλητές που ορίστηκαν εκεί. (Χ =ηλικία, Χ =φύλο, Χ =εβδομαδιαίος

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (Non Parametrc Regresson) Το κεφάλαιο αυτό συνδέεται άμεσα με το κεφάλαιο που αναφέρεται στην συσχέτιση τάξης μεγέθους με την έννοια υπό την οποία η κλασική παραμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN

3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HECKSCHER-OHLIN 3. ΠΟΡΟΙ ΚΑΙ ΔΙΕΘΝΕΣ ΕΜΠΟΡΙΟ: ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ HESHER-OHIN Υπάρχουν δύο συντελεστές παραγωγής, το κεφάλαιο και η εργασία τους οποίους χρησιμοποιεί η επιχείρηση για να παράγει προϊόν Y μέσω μιας συνάρτησης παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ www.dap papei.gr 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

γένεση των µετακινήσεων

γένεση των µετακινήσεων 3 γένεση των µετακινήσεων εισαγωγή το υπό διερεύνηση θέµα: πόσες µετακινήσεις ξεκινούν από κάθε ζώνη? πόσες µετακινήσεις κάνει ένας µετακινούµενος κατά την διάρκεια µιας µέσης εβδοµάδας? Ανάλυση κατά ζώνη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα