(factor) (level) covariates 1.3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(factor) (level) covariates 1.3"

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕΡΟΣ Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Γ. ΤΖΑΒΕΛΑΣ

2 . Εαγωγή.. Σκοός Ο κοός του Μαήατος αυτού είνα να εάγε τον αναγνώτη ε ία τάξη ταττκών οντέλων ου είνα φυκή γενίκευη των κλακών γρακών οντέλων. Τα Γενκευένα Γρακά Μοντέλα Geeralzed ear Models ερλαάνουν αν εδκή ερίτωη, την γρακή αλνδρόηη, την ανάλυη δαοράς, τα logt κα prot οντέλα, τα λογαρογρακά κα τα ολυωνκά οντέλα, καώς κα κάοα οντέλα της ανάλυης είωης. Αοδεκνύετα ότ αυτά τα οντέλα οράζοντα κάοες κονές δότητες, καώς κα ότ έχουν κονή έοδο εκτίηης αραέτρων. Αυτές ο κονές δότητες ας ετρέουν να ελετήουε έω των Γενκευένων Γρακών Μοντέλων Γ.Γ.Μ. ία ευρεία οάδα ταττκών οντέλων αρά το καένα αό αυτά χωρτά, Βακή ροϋόεη είνα ο αναγνώτης να είνα εξοκεωένος ε τς ακές ταττκές έννοες κα εοδολογίες όως, κατανοές δεγατοληψίας, έλεγχος υοέεων κα αλή γρακή αλνδρόηη. Ελέον κάοες γνώες γρακής άλγερας κα αεροτκού λογού εωρούντα ααραίτητες.. Ορολογία Ο ταττκές έοδο ου ανατύοντα το Μάηα αυτό έχουν κοό την ανίχνευη κα ελέτη χέεων εταξύ ετρήεων ου έγναν ε δάφορες οάδες ανρώων ή αντκεένων. Γα αράδεγα ο ετρήες ορεί να είνα το ύψος ή το άρος αγορών κα κορτών, ή το ύψος της οδάς κάοων καλλεργεών κάτω αό δάφορες υνήκες καλλέργεας. Χρηοοούε τον όρο εξαρτηένη εταλητή γα τς ετρήες ου εωρούε αν τυχαίες εταλητές. Ο εταλητές αυτές εωρούντα ότ εταάλλοντα ελεύερα εν αντέε ε τς ανεξάρτητες εταλητές ο οοίες εωρούντα αν η τυχαίες

3 3 εταλητές δηλαδή αίρνουν υγκεκρένες τές ανάλογα ε τον χεδαό του εράατος. Ο εταλητές ορεί να ταξνοηούν αν κατηγορκές ή οοτκές.χ. χρώα ατών, φύλο, τύος αίατος, κ.λ.. εδκότερα γα τς δυαδκές εταλητές υάρχουν όνο δυο κατηγορίες. δάταξης γα τς οοίες υάρχε κάοα φυκή δάταξη εταξύ των κατηγορών :.χ. όταν η ηλκία καταγράφετα αν νέος, εήλκας, γέρος; η όταν η αρτηρακή ίεη καταγράφετα αν 7, 7-9, 9-, mm Hg. Συνεχής εταλητές όου ο αρατηρήες ορούν να άρουν οοαδήοτε τή ε κάοο δάτηα. Μα οοτκή ανεξάρτητη εταλητή καλείτα αράγοντας factor κα ο κατηγορίες λέγοντα είεδα level του αράγοντα. Ο υνεχείς ανεξάρτητες εταλητές λέγοντα covarates..3 Το γρακό οντέλο Το γρακό οντέλο X e εργράφετα ε τη οήεα νάκων ως εξής M x x x x x x x p x p M xp p e e M e όου,,..., είνα η τήλη των αρατηρήεων της εξαρτηένης εταλητής, ο ίνακας Χ δάταης p είνα ο ίνακας των τών των ανεξάρτητων εταλητών X,..., X X p. Κάε γραή αναφέρετα ε α δαφορετκή ταττκή ονάδα ή αρατήρηη κα κάε τήλη ε δαφορετκή

4 4 ανεξάρτητη εταλητή. Η τήλη των αραέτρων,,..., p ερλαάνε τους υντελετές των ανεξάρτητων εταλητών ο οοίο εωρούντα άγνωτο κα ρέε να εκτηούν. Η τήλη των υολοίων resduals e e, e,..., e είνα η τήλη των τυχαίων φαλάτων radom error terms. Η υόεη ου υοετούε το αραάνω γρακό οντέλο είνα ότ τα e, e,..., e είνα ανεξάρτητα ε την ίδα κατανοή Ν,. Το οντέλο αυτό ορεί να γενκευεί ε ολλούς τρόους. Θα αχοληούε ε τς εξής δύο: Ο ανεξάρτητες αρατηρήες ακολουούν κατανοή δαφορετκή της κανονκής. Θα ορούε να είνα ακόα κα δακρτή. Η χέη εταξύ εξαρτηένων κα ανεξάρτητων εταλητών να ην είνα γρακή. Η ρώτη γενίκευη αίζετα το γεγονός ότ ολλές αό τς ``καλές`` δότητες της κανονκής κατανοής ααντώντα ε α εγαλύτερη κλάη κατανοών την Εκετκή Οκογένεα κατανοών. Η δεύτερη γενίκευη αναφέρετα τη χέη ΕΥ Χ η οοία ορεί να αντκαταταεί αό την χέη gx. Να ηεωεί εδώ ότ η γρακή έκφραη δεν εξαλείφετα λήρως αλλά ρίκετα έα ε κάοα άλλη υνάρτηη. Ορός.:Λέε ότ η κατανοή ας τ.. Υ ανήκε την Εκετκή Οκογένεα κατανοών όταν ορεί να γραφτεί τη ορφή f ; exp[ Τ c h ] όου.,, c h εωρούντα γνωτές υναρτήες.,

5 5 Η λέγετα φυκή αράετρος. Στη υνέχεα α γίνε φανερό ότ η αραετρκοοίηη της. ε τη οήεα της φυκής αραέτρου είνα ολύ ολκή. Τς ερότερες φορές η ορφή η οοία α ας ααχολήε εδώ είνα η αλούτερη ορφή f ; exp[ a c h ].. Η ορφή f ; exp[ c h ] λέγετα κανονκή ορφή. Αν ελέον η. ορεί να γραφεί τη ορφή f ; exp k d τότε λέε ότ η Υ είνα γραένη την τυκή της ορφή. Το ύνολο Θ { : f ; d< } λέγετα αραετρκός χώρος της f. Πολλές γνωτές κατανοές ανήκουν την εκετκή οκογένεα κατανοών. Γα αράδεγα η Posso η υωνυκή, η Κανονκή κατανοή ορούν να γραφτούν την κανονκή της ορφή. Πράγατ Γα την Posso λ λ e f ; λ exp[ lλλ l!]! όου a, λ l λ, c λ λ, h! Προφανώς η αραάνω κατανοή είνα την κανονκή της ορφή. Αν α την αραετρκοοήουε ε χέη ε τη φυκή αράετρο l λ, η Posso κατανοή ορεί να γραφτεί τη τυκή ορφή ε αραετρκό χώρο ΘR Γα την κανονκή κατανοή f ; λ exp[ exp log!] f ; exp[ /

6 6 Αν η είνα άγνωτη κα η δακύανη εωρείτα γνωτή, τότε η κανονκή κατανοή ορεί να γραφτεί τη ορφή ] log exp[ ; f. Αυτή είνα η κανονκή της ορφή ε φυκή αράετρο. Ελέον log c κα h. Παραετρκοοώντας την, ε χέη ε την φυκή αράετρο έχουε την τυκή της ορφή ] log exp[ ; f Ελέον ΘR. Γα την ερίτωη όου κα τo κα το είνα άγνωτα τότε ] log exp[ exp[, ; / f Στην ερίτωη αυτή ] log[,,,,,,, c d d Γα την ωνυκή κατανοή ] l l exp[log ] l l l exp[l ; f

7 7 Εχουε a, c l, d l. Παραετρκοοώντας την αραάνω κατανοή ε τη φυκή αράετρο l έχουε την ορφή f ; exp[ l e l ] εν είνα όλες ο κατανοές εκετκής ορφής. Γα αράδεγα η οοόορφη κατανοή ε δάτηα, ε < δεν ορεί να γραφεί τη ορφή *. Ένα άλλο αράδεγα η εκετκής οκογένεας κατανοής είνα η Cauch κατανοή. Ακηη Να υληρωεί ο ακόλουος ίνακας Κατανοή.. c. h. Θ ΝΒr,, rγνωτό Gα, αγνωτό Gα, γνωτό IG, Στη υνέχεα γα να αράγουε κάοες δότητες της εκετκής οκογένεας κατανοών α χρεατούε την ακόλουη ρόταη. Πρόταη.. Αν fx, είνα ία οκογένεα κατανοών όχ κατ ανάγκη εκετκής ορφής γα την οοία ετρέετα η αραγώγηη ως ρος κάτω αό το ολοκλήρωα ως ρος x τότε χύουν τα ακόλουα.. Elog f x, ' E. varlog f ' x, f x; f x, ' E[log f x, ''].3.4

8 8 Εδώ η αραγώγη λαάνετα ως ρος την εταλητή. Αόδεξη f ' x,. E[log f x, ]' E ', [, ]' ; f x dv x f x dv x f x. Παραγωγίζοντας την τελευταία χέη ακόα α φορά ως ρος, έχουε f ' x, f ' x, f ' x, f x, ' dx ', ; f x dx f x f x; f x; Τελκά έχουε E [log f x, ]'' E[log f x, ]' Αό την. τελκά έχουε varlog f x, ' E[log f x, ]' ' f x, dx. Πρόταη. Αν κατανοή τ.. Υ είνα εκετκής ορφής τότε χύουν τα εξής c' Ε[ α Υ] ' ' ' c' c' ' '. var[ a Y ] 3 [ ' ].5.6 Αόδεξη. Αν η f, είνα εκετκής ορφής τότε log f, a c h κα αραγωγίζοντας έχουε [log f x, ]' a ' c'..7 Μορεί να αοδεχεί ότ α οκογένεα κατανοών κανοοεί τς υνήκες της Πρόταης.. Ετ αό.3 έχουε E [log f x, ]' ' E[ a ] c'. Λύνοντας ως ρος E [ a ] Έχουε c ' Ε [ α Υ ]. '

9 9. Παροοίως [log f x, ]'' a '' c''. Αό την.7 έχουε var [log, ]' κα αό την.5 var [ ] f x a, E[log f x, ]'' E[ a ] '' c'' Αό την.6 έχουε ' c' '' c''. ' var a [ ' ] c' '' c''. ' Λύνοντας ως ρος vara τελκά έρνουε ' ' c' c' ' ' var[ a Y]. 3 [ ' ] Όταν η εκετκή οκογένεα είνα την τυκή της ορφή τότε ο αραάνω δυο χέες γράφοντα ως Ε[ Υ] c'.var[ Y] c'' Ακηη Μορεί ελέον να αοδεχεί ότ γα κάε τάξης cumulat κ r της τ.. Υ έχουε ότ k r r c. Αν, Y Y είνα ανεξάρτητες τυχαίες εταλητές ου ακολουούν την Y,..., ίδα κατανοή. τότε η αό κονού κατανοή είνα f,,..., exp[ exp[ a c d ] a c d ]

10 Ο όρος a είνα η εαρκής ταττκή υνάρτηη γα την οότητα. Αυτό ηαίνε ότ το άροα a υγκεντρώνε όλη την ληροφορία γα την αράετρο. Σηαντκές δότητες των κατανοών εκετκής ορφής. Ο αραετρκός χώρος Θ γα τς κατανοές τυκής εκετκής ορφής είνα κυρτό. Ακηη 3 Γα τς ροές f x exp[ x] d x η αράγωγος ως ρος ορεί να εράε κάτω αό το ύολο της ολοκλήρωης. 3 Γα τς κατανοές της ορφής. αραετρκοοηένη ε τη φυκή αράετρο, χύε ότ c Cov x, x άκηη 4 4 Γα τς κατανοές τυκής εκετκής ορφής η δακύανη είνα α αυτηρώς ονότονη υνάρτηη της έης τής. άκηη 5 Μορούν να γίνουν δάφορο χαρακτηροί ε άη τη υνάρτηη δακύανης, όως γα αράδεγα ότ η όνη τυκή εκετκή οκογένεα κατανοών ε ταερά υνάρτηη δακύανης είνα η κανονκή κατανοή. 5 Ο εκτητής έγτης ανοφάνεας γα την φυκή αράετρο υάρχε άντα κα είνα ερολητκός εκτός αό την κανονκή κατανοή. 6 Η κανονκή οκογένεα κατανοών έχε την δότητα του ονότονου λόγου ανοφάνεας, α δότητα ολύ ηαντκή γα τον έλεγχο υοέεων..4 Τα τοχεία του Γενκευένου γρακού οντέλου. Το Γ.Γ.Μ ορίζετα ε χέη ε ένα ύνολο αό ανεξάρτητες τυχαίες εταλητές

11 Y, Y..., Y όου κάε ία αό αυτές ακολουεί κατανοή εκετκής ορφής ε τς εξής δότητες:. Η κατανοή κάε ας αό τς Y είνα κανονκής ορφής κα εξαρτάτα αό α όνο αράετρο f exp[ c d ], έτ Η αό κονού υκνότητα ανότητας είνα,,..., ;,..., exp[ c d ] f. Ο αράετρο ου ας ενδαφέρουν δεν είνα ο αφού ορεί να είνα ένα γα κάε αρατήρηη. Γα τα Γ.Γ.Μ. εωρούε ένα κρότερο ύνολο Τ αραέτρων,..., p όου φυκά p<. Ενώ το κλακό γρακό οντέλο εωρούε ότ χύε η χέη Ε Υ όου x x, x,... x το δάνυα των ανεξάρτητων x p εταλητών, το Γ.Γ.Μ. εωρούε ότ υάρχε α ονότονη κα δαφορίηη υνάρτηη g, τέτοα ώτε g x.8 Η υνάρτηη αυτή λέγετα υνάρτηη ύνδεης lk fucto..5 Λίγα ερότερα γα την υνάρτηη ύνδεης Όως έχουε ε η lk υνάρτηη χετίζε το γρακό κοάτ x ε τη αηατκή ελίδα Ε Υ έω της χέης.8. Αυτός ο εταχηατός είνα ία αναγκαότητα γατί ε ολλές εφαρογές ο δυο αυτές υναρτήες δεν έχουν το ίδο εδίο τών. Γα αράδεγα όταν αχολούατε ε ααρήες couts η ακολουεί την κατανοή Posso κα την ερίτωη αυτή Ε Υ >. Ετ δεν ορούε να έχουε x αφού το αρτερό έρος έχουε τον ερορό > κα το δεξί ο ερορός αυτός δεν υάρχε. Στην

12 ερίτωη αυτή η g ρέε να αεκονίζε το δάτηα R R. Μία τέτοα υνάρτηη είνα η l g. ε όλο την ευεία Το κλακό γρακό οντέλο X e είνα ροφανώς α αλή ερίτωη του Γ.Γ.Μ. αφού όλα τα του δανύατος ακολουούν την κατανοή Ν, κα Τ x Προφανώς g. Γα την υωνυκή κατανοή, ροφανώς δεν ορούε να γράψουε p Τ x. Χρεαζόατε α υνάρτηη g αό το R το,. Ποα;.5. Εκτητκή υο αό τς υνηέτερες εόδους εκτίηης είνα η εκτίηη ε τη έοδο της έγτης ανοφάνεας ΕΜΠ κα η έοδο των ελαχίτων τετραγώνων.μ.ε.τ. Μέοδος έγτης ανοφάνεας Σύφωνα ε τη έοδο αυτή, ο εκτητής έγτης ανοφάνεας ΕΜΠ της αραέτρου είνα εκείνες ο τές ο οοίες εγτοοούν την υνάρτηη ανοφάνεας ;,,..., f ; ή οδύναα την λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας l f ;. l ;,,..., Συνήως ο εκτητής ρίκετα αραγωγίζοντας την υνάρτηη l ;,,..., ε χέη ε κάε τοχείο του κα λύνοντας το ύτηα εξώεων l ; γα,,..., p Είνα άντα αναγκαίο να ελέγξουε ότ ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων της l ;,..., είνα αρνητκά ορένος.,

13 3 Ο εκτητής αυτός έχε δότητες ου τον κάνουν να υερέχε έναντ των άλλων εκτητών. Μερκές αό αυτές.είνα ο εξής. Αν g είνα ία υνάρτηη του τότε ο εκτητής έγτης ανοφάνεας του g είνα g ˆ.. Συνέεα cosstec 3. Εάρκεα Suffcec 4. Αυτωτκή αοτελεατκότητα Asmptotc effcec Μέοδος των ελαχίτων τετραγώνων Ετω Y, Y,... Y είνα τυχαίες εταλητές τέτοες ώτε E Y γα,,, κα τα είνα υναρτήες των αραέτρων Τ,...,. Τότε γα το γρακό οντέλο p Y e,,, η έοδος των ελαχίτων τετραγώνων ορίζετα αν την τεχνκή ε την οοία εχερείτα να εκτηεί η αράετρος ελαχτοοώντας την οότητα e Y S..9 Με τη οήεα των νάκων η αραάνω χέη γράφετα τη ορφή S Τ όου M κα M. Συνήως ο εκτητής ρίκετα αραγωγίζοντας τη υνάρτηη S ε χέη ε κάε τοχείο κα τη υνέχεα λύνοντας το ύτηα των εξώεων S,..., p Φυκά ρέε να ελέγξουε ότ η λύη ανττοχεί ε ελάχτο ηλαδή ότ ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων είνα ετκά ορένος. Στην ράξη.

14 4 ορεί να υάρχε ελέον ληροφορία γα τς τές του Υ γα αράδεγα ότ κάοες αρατηρήες είνα λγότερο αξότες αό κάοες άλλες. Στην ερίτωη αυτή ίως να χρεαεί να ταίουε τους όρους το άροα.9 κα αντί αυτού του αροίατος να ελαχτοοήουε το άροα S W w Y όου τα w αοτελούν άρη. Θα ορούαν γα αράδεγα να είνα w [Var Y ] Στη γενκότερη ερίτωη τα Υ ορεί να είνα υχετένα. Αν V είνα ο ίνακας υνδακύανης των Y, τότε ο εκτητής ταένων ελαχίτων τετραγώνων ΣΤΕΕΤ είνα το δάνυα το οοίο ελαχτοοεί τη υνάρτηη Αν Τ S W V. Χ γα κάοον ίνακα Χ δατάεων Νxp τότε S W Τ X V Χ Το δάνυα των αραγώγων της S w ως ρος το δάνυα είνα το S W X Τ V Χ Ακηη 6 Ετ ο ΣΕΕΤ είνα η λύη της κανονκής εξίωης X Τ V Τ Χ X Μορεί εύκολα να αοδεχεί ότ ο Hessa ίνακας είνα ετκά ορένος Ακηη 7. Το λεονέκτηα του ΣΤΕΕΤ είνα ότ υάρχε άντα κα ανττοχεί ε τοκό ελάχτο. Ελέον η εύρεή του αατεί τη γνώη όνο των δυο ρώτων ροών του δανύατος Υ, κα καά άλλη υόεη γα την κατανοή του. Τουναντίον ο ΕΜΠ αατεί τη γνώη της κατανοής της Υ κα ερκές φορές η εύρεή του είνα αδύνατη γατί αατεί τη λύη ενός ολύλοκου η γρακού υτήατος εξώεων. Ο ΕΜΠ λεονεκτεί έναντ του ΣΤΕΕΤ το ότ είνα αυτωτκά αοτελεατκός. Στη υνέχεα αοδεκνύοε ότ γα τα ΓΓΜ ο δυο αυτοί εκτητές ταυτίζοντα. Θα χρηοοήουε τους εξής υολούς V

15 5 p p p x x x x x x x x x X, Y M M, k Y Var Y Var Y Var V κα D η η η Ελέον αν l l U ; τότε η score υνάρτηη γράφετα αν p U U U U M M Λήα. Η score γα την εκτίηη των αραέτρων p,..., είνα η Y XVD U Ο ληροφορακός ίνακας του Fsher I είνα VX VD I Χ Αόδεξη Αν Y Y Y,..., είνα αρατηρήες των ανεξαρτήτων εταλητών τότε η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας είνα

16 6 ; d c l όου αό την Πρόταη. έχουε ότ ' / ' c Y E. είης αό την υόεη του οντέλου p x x g η. όου g είνα ία ονότονη κα δαφορήη υνάρτηη. Η score υνάρτηη ε χέη ε το ορίζετα αν l l U ; όου d c l. Γα την εύρεη της U χρηοοούε τη χέη l l. Στη υνέχεα α ρούε κάε έναν αό τους τρες όρους του γνοένου το δεξί έλος. Παραγωγίζοντας την l υνάρτηη ως ρος, ρίκουε ' ' ' c l. Στη υνέχεα γα την αράγωγο αρκεί να αραγωγίουε την υνάρτηη ως ρος. Ετ var ' ] ' [ ' ' ' ' ' ' Y c c. Παραγωγίζοντας την υνάρτηη. έχουε x η η η Αντκατώντας το δεξί έλος της. τς αντίτοχες αραγώγους έχουε

17 7 l l x / var Y η κα τελκά U var Y x η,,..p. Τελκά το ύτηα των εκτητρών υναρτήεων γράφετα υό ορφή ίνακα U XDV Y Γα την εύρεη του Πληροφορακού ίνακα του Fsher χρηοοούε την χέη I E UU XDVD XDV X Ο εξώες E Y Υ Τ VD X. U είνα η γρακές κα γ αυτό το λόγο ελύοντα ε αρητκές εόδους. Η υνηέτερη έοδος είνα η ewto-rapsho της οοίας το εαναλητκό χήα είνα το εξής m m l k m U m όου l k m m είνα ο ίνακας των δευτέρων αραγώγων της l την τή κα m U είνα το δάνυα των ρώτων αραγώγων U, U,..., U p m την τή υολογένο Μα έκδοη της αραάνω εόδου ερκές φορές αλούτερη είνα η έοδος scorg την οοία ο Hessa ίνακας των δευτέρων αραγώγων αντκαίτατα αό τον ληροφορακό ίνακα του Fsher I E[ UU l l l ε τοχεία I k E[ U k ] E[ ] E[ ] δηλαδή ο αλγόρος της εόδου scorg είνα k k ]

18 8 m m [ I ] U m m Αν ολλαλαάουε κα τς δυο λευρές της τελευταίας εξίωης ε Έχουε m m m m m I I U. Γα τα γενκευένα γρακά οντέλα χύε ότ m I Ετ ο ίνακας Ι ορεί να γραφεί τη ορφή ΙΧ Τ WX Όου W είνα ο Νx δαγώνος ίνακας ε τοχεία var Y η Ετ η εξίωη της score υνάρτηης γίνετα Όου z είνα τήλη ε τοχεία m z x k k k η X WX m X Wz Η τελευταία ορφή είνα των ταένων ελαχίτων τετραγώνων. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΕΜΠ Υοέτουε ότ η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας έχε οναδκό έγτο το κα ότ αυτός ο εκτητής είνα κοντά την αράετρο. o ανάτυγα alor ρώτης τάξης του δανύατος U το ηείο είνα U U H

19 9 Όου Η είνα ο ίνακας των δευτέρων αραγώγων της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας το ηείο. Αυτωτκά ο ίνακας Η ούτα ε τον ληροφορακό ίνακα I E[ UU ] E[ H ] Γα τον λόγο αυτό γα εγάλα δείγατα έχουε U U I Αλλά U γατί εγτοοεί την λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας άρα ηδενίζε την αράγωγό της. Προεγγτκά λοόν Ι U Υό την ρουόεη ότ ο ίνακας Ι είνα η-ηδενκός, υεραίνουε ότ αυτωτκά E Ι Ε U, καώς κα E Ι Ε UU I I Ετ γα εγάλα, Ι Καώς κα I χ p Η ταττκή I καλείτα ταττκή του Wald. Η εάρκεα του οντέλου Ας υοέουε ότ έλουε να ελέγξουε την εάρκεα της ροαρογής ενός οντέλου ε ένα ύνολο δεδοένων. Αυτό ορεί να γίνε υγκρίνοντας την υνάρτηη ανοφάνεας αυτού του οντέλου αυτού ε τη υνάρτηη ανοφάνεας του έγτου οντέλου το οοίο εργράφετα ως εξής. Το έγτο οντέλο είνα ένα γενκευένο γρακό οντέλο ε την ίδα κατανοή όως το οντέλο ου ας ενδαφέρε.. Το έγτο οντέλο έχε την ίδα υνάρτηη ύνδεης ε το οντέλο ου ας ενδαφέρε.

20 3. Ο αρός των αραέτρων το έγτο οντέλο ούτα ε τον αρό των αρατηρήεων. Λόγω της 3 ορεί να εωρηεί ότ λήρως τα δεδοένα. Ο υναρτήες ανοφάνεας υολογίζοντα ανοφάνεας max το έγτο οντέλο εργράφε τον εκτητή έγτης κα αντίτοχα κα λαάνουε max ; κα ; αντίτοχα. Αν το οντέλο ου ας ενδαφέρε εργράφε τα δεδοένα κανοοητκά, τότε ; ρέε να είνα κοντά το max ;. Τουναντίον αν το οντέλο δεν είνα κανοοητκό τότε το ; ρέε να είνα κρότερο αό το max ;. Αυτό ας οδηγεί την χρήη του Γενκευένου λόγου ανοφάνεας λ max ; ; ή οδύναα τον λογάρο αυτής logλ log max ; log max ; l max ; l αν ένα έτρο καλής ροαρογής του οντέλου. Μεγάλες τές του logλ είνα ένδεξη η καλής ροαρογής του οντέλου. Γα να ρούε την κρτκή εροχή του logλ ρέε να ρούε τη δεγατκή κατανοή του. max ; εγατκή κατανοή της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας Η λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας ορίζετα ως D [ l max; l ; Ο elder κα Wedderur 97 κάλεαν την υνάρτηη αυτή devace. Η υνάρτηη αυτή ορεί να γραφτεί τη ορφή D {[ l [ l ; l ; ] [ l max max ; l max ; l ; ]} ; ] Ο ρώτος όρος τς αγκύλες ακολουεί την X κα ο δεύτερος την X p κατανοή. Ο τρίτος όρος είνα ία ετκή ταερά ου είνα κοντά το ηδέν όταν

21 το οντέλο ε p αραέτρους εργράφε το οντέλο όως το έγτο οντέλο. Σε γενκές γραές ορούε να ούε ότ όταν ο δυο ρώτο όρο είνα ανεξάρτητο κα ο τρίτος όρος είνα κοντά το ηδέν τότε ~ X p D. Όταν το οντέλο δεν είνα κανοοητκό τότε η Devace ακολουεί ροεγγτκά τη η κεντρκή Χ κατανοή. Παράδεγα Υοέτουε ότ ο εταλητές, Y Y είνα ανεξάρτητες κα ακολουούν Y,..., την κανονκή κατανοή ε έο κα κονή τυκή αόκλη. H λογαρκή υνάρτηη ανοφάνεας είνα l ; Ν Ν log Γα το έγτο οντέλο ΕΥ όου,, Ν. Παραγωγίζοντας κα ακολουώντας την υνήη δαδκαία ρίκουε ότ. Γα το λόγο αυτό l max ; log. Θεωρούε τώρα το οντέλο το οοίο όλα τα κα Y έχουν τον ίδο έο. Τότε l ; Τελκά log. D [ l max ; l ; Η ταττκή υνάρτηη D χετίζετα ε τη δεγατκή δαορά S. Αν το οντέλο το οοίο τα Υ ακολουούν την Ν, είνα το ωτό τότε η D S ακολουεί την X κατανοή.

22 Παράδεγα. Αν Y,...,, Y Y είνα ανεξάρτητες κα ακολουούν την κατανοή Posso ε αράετρο λ. Η Devace γα το ονοαραετρκό οντέλο είνα D log / Ακηη 8 Ελεγχος υοέεων Ο έλεγχος υοέεων γα την αράετρο ορεί να γίνε ε την οήεα της αυτωτκής δεγατκής κατανοής των εκτητών γα την οοία έχουε δε ότ ~,Ι - η οδυνάως ε τη ταττκή υνάρτηη του Wald Ι η οοία έχε την X p κατανοή. Μα δαφορετκή ροέγγη του ρολήατος είνα ε τη οήεα της υνάρτηης Devace. Ετω ότ η ηδενκή υόεη Η κα Εναλλακτκή Η α είνα ο H : M κα H a : a M q όου q<p<. p Μορούε να ελέγξουε την Η έναντ της Η α χρηοοώντας την δαφορά τς ταττκές Devace. ηλαδή D D - D [ l ; l α [ l ; ] max ; l ; ] [ l max ; l ; ] Αν κα τα δυο οντέλα εργράφουν τα δεδοένα καλά τότε D ~ κα χ Ν-q D ~ Ετ ώτε κάτω αό κάοες υνήκες ανεξαρτηίας χ Ν-p χ p-q D ~ Αν η τή της D είνα υνεής ε την είνα το αλούτερο ε τς λγότερες εταλητές. χ p-q κατανοή ελέγουε το οντέλο Η γατί

23 3. ΥΑ ΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στο κεφάλαο αυτό ελετάε ΓΓΜ τα οοία τα αοτελέατα ετρώντα ε δυαδκή κλίακα. Τέτοα δεδοένα εφανίζοντα ε ατρκά εράατα όου το τέλος κάε εράατος ο αενής είτε ανένηψε Υ είτε κατέληξε Υ. Μορούε λοόν να γράψουε P Y ; P Y γα τς ανότητες της Αοτυχίας κα Ετυχίας αντίτοχα. Γα αράδεγα τα αοτελέατα ου ας ενδαφέρουν ορεί να είνα ``ζωντανός ή νεκρός `` κα γενκότερα ετυχία ή αοτυχία. Στην ερίτωη αυτή γα να υχετίουε την ανότητα ε τη γρακή έκφραη η p x Πρέε να χρηοοήουε ένα γρακό εταχηατό g ο οοίος αεκονίζε το δάτηα, ε όλη την ευεία -,. Υάρχε α εγάλη οκλία αό τέτοες υναρτήες ύνδεης. Τρες όως είνα αυτές ου χρηοοούντα την ράξη. Η λογτκή υνάρτηη g log,

24 4 η prot ή αντίτροφη κανονκή υνάρτηη g Φ, κα η υληρωατκή log-log υνάρτηη g log{ log }. 3 Η υνάρτηη g log{ log 4 } εν χρηοοείτα υχνά γατί δεν υερφέρετα καλά γα </. Κα ο τέερες υναρτήες είνα αντίτροφες υναρτήες γνωτών αροτκών υναρτήεων κατανοών οών;. Σχήα Αό το αραάνω χήα αρατηρούε τα εξής Η logt κα η Prot χετίζοντα χεδόν γρακά γα τές του το δάτηα,,9. Γα τον λόγο αυτό είνα δύκολη η δάκρη εταξύ των δυο αυτών υναρτήεων όταν ρόκετα γα ζητήατα καλής ροαρογής. Γα κρές τές του, η υληρωατκή log-log υνάρτηη είνα κοντά την λογτκή υνάρτηη.

25 5 Όταν τείνε το τότε η υληρωατκή log-log υνάρτηη τείνε το άερο ολύ ο αργά ε ύγκρη ε τς άλλες τρες υναρτήες. Παροοίως η ο αργή υνάρτηη την εροχή του είνα η log-log. Όλα τα αυτωτκά αοτελέατα ου α αρουατούν εδώ χύουν ανεξαρτήτως της ελογής της υνάρτηης ύνδεης. Θα εκεντρωούε κυρίως τη λογτκή υνάρτηη γα δυο κυρίως λόγους. Τα αοτελέατα της ανάλυης ερηνεύοντα εύκολα. Μορούε να ενωατώουε την ανάλυή ας κα τοχεία ου ελέγοντα retrospectvel... Παραετρκή εκτίηη Υοετώντας το λογτκό οντέλο ε δυο covarates έχουε τη χέη log x x. Ο λόγος των ανοτήτων της ετυχίας ρος την ανότητα της αοτυχίας -, δηλαδή ο odds. Αν είνα ηαντκός την λογτκή ανάλυη κα λέγετα είνα η ανότητα ετυχίας τότε ο λόγος είνα ο λόγος των ανοτήτων ετυχίας ρος αοτυχίας. ηλαδή όταν λέε ότ τα odds είνα εννοούε ότ η ανότητα ετυχίας είνα δλάα της ανότητας αοτυχίας. Ελέον ο λόγος αυτός αίζε ηαντκό ρόλο την ερηνεία των υντελετών της λογτκής αλνδρόηης. Η ερηνεία των υντελετών είνα η εξής : Κρατώντας τη εταλητή x ταερή τότε ία εταολή της x κατά ία ονάδα αυξάνε τον λογάρο του odd κατά α οότητα. Πράγατ αν την αραάνω εξίωη. αυξηεί η εταλητή x κατά ία ονάδα έχουε log x x. Αφαρώντας την. αό την. έχουε ότ

26 6 ' ' log log log ηλαδή κρατώντας τς υόλοες εταλητές ταερές κα αυξάνοντας την x κατά ία ονάδα ο λογάρος των odds αυξάνε κατά Όταν η εταλητή x είνα ψευδοεταλητή τότε η ερηνεία του υντελετή είνα αρεφερής ε αυτή γα τα γρακά οντέλα. ηλαδή η ετάαη αό την κατάταη x την κατάταη x ε όλες ο άλλες εταλητές ταερές, αυξάνε τον λογάρο των odds κατά ονάδες. Η ερηνεία ε χέη ε την ανότητα δεν είνα εξίου εύκολη. Λύνοντας ως ρος έχουε exp x x exp x x Παρατηρούε ότ τα αοτελέατα το ας οναδαίας εταολής του x εξαρτάτα τόο αό το x όο κα αό το x. Η αράγωγος όως της ως ρος x δίνε. Αό εδώ λέουε ότ α κρή εταολή τη x έχε τη εγαλύτερη x εταολή τη γα τές της κοντά το.5 κα τη κρότερη εταολή κοντά τα άκρα κα. Εδκές ερτώες Όταν υάρχε ία ανεξάρτητη dumm εταλητή τότε το οντέλο ορεί να εργραφεί ε τον εόενο ίνακα υνάφεας X X Y Y e e e e e e Σύνολο.. Ο λόγος των odds είνα g log{ /[ ]}

27 7 κα g log{ /[ ]} Ο λόγος των odds ορίζετα ως /[ ] ψ /[ ] Κα ο λογάρος αυτών είνα /[ ] log ψ log[ /[ ] Χρηοοώντας τς εκφράες του ίνακα υνάφεας έχουε e ψ e e e e e e e e Ετ γα τη λογτκή αλνδρόη ε α δχότοη ανεξάρτητη εταλητή έχουε ψ e Ή οδύναα log ψ Με άλλα λόγα όταν η ανάλυη αλνδρόηης έχε αν ανεξάρτητη εταλητή ία όνο κατηγορκή εταλητή, τότε η λογτκή αλνδρόηη την ουία οδυναεί ε ανάλυη ίνακα κατηγορών. Η ουδαότητα της αράταης ψ είνα εφανής. Αν η τή του Ψ είνα κοντά το ή οδύναα η τή λογψ κοντά το τότε η εταλητή Χ δεν έχε εγάλη ρολετκή κανότητα αφού τς δυο οάδες Χ κα Χ η λόγος ανότητας ετυχίας ρος αοτυχία είνα ο ίδος. Τα ακά αοτελέατα τα οοία αράγοντα αό όλα τα ταττκά ακέτα αρουάζοντα το εόενο αράδεγα. Γα τη ελέτη της είδραης της ηλκίας Χ την αρτηρακή ίεη Υ ελετώντα άτοα. Ο ίνακας υνάφεας είνα ο εξής

28 8 Ηλκία έτη Πίεη 55> 55< Σύνολο Yαρουία 43 Yαουία Σύνολο 7 73 Τα αοτελέατα της ροαρογής της Λογτκής αλνδρόης τα δεδοένα είνα τα εξής Μεταλητές Εκτητές Τυκή Εκτητές /τυκή Ψ υντελετών αόκλη αόκλη Ηλκία Σταερά Η οότητα τη τήλη Ψ είνα το εκτητής έγτης ανοφάνεας του Λόγου odd Ψ e O λόγος Ψ είνα ένας ηαντκός αράγοντας τη λογτκή αλνδρόη. Η δεγατκή κατανοή της Ψ όως είνα λοξή εεδή είνα φραγένη ακρά αό το. Αό εωρητκής λευράς, γα εγάλα η κατανοή της Ψ ροεγγίζε την κανονκή κατανοή. υτυχώς όως το δείγα ου αατείτα γα α τέτοα ροέγγη είνα ολύ εγάλο. Γα τον λόγο αυτό οτδήοτε υεράατα εξάγοντα γα την Ψ είνα έω της lψ η οοία είνα κοντά τη κανονκή κατανοή γα ολύ κρότερα δείγατα. Γα το 95% δάτηα ετούνης της Ψ ρίκουε ρώτα το δάτηα ετούνης ± z a SE της αό το οοίο αίρνουε το δάτηα / ετούνης exp[ ± z a / SE ] της Ψ exp. Ετ γα το αράδεγα το 95% δάτηα ετούνης της Ψ είνα exp[,94±,96,59],9,,9. Ο έλεγχος της υόεης Η vs H : είνα οδύναος ε το αν το : δάτηα ετούνης ερέχε το. Αναφορκά ε το Ψ ας ενδαφέρε η υόεη Η Ψ vs H : Ψ ο οοίος είνα οδύναος ε το αν το δάτηα : ετούνης ερέχε το.

29 9.3. Μέοδο καλής ροαρογής γα την λογτκή αλνδρόηη Όως έχουε ε κα το γενκό έρος ένα έτρο καλής ροαρογής γα το οντέλο είνα η Devace ] ; ; [ max l l D όου max ο ΕΜΠ γα το έγτο οντέλο κα ο ΕΜΠ γα το οντέλο ου ας ενδαφέρε. Στην ερίτωη αυτή ορεί να αοδεχεί ότ D ] log log [ Ακηη Ετ η D γράφετα e o o D log όου ο είνα ο αρατηρούενες υχνότητες κα - ο αναενόενες υχνότητες κα κα η υόεη ορεί να ελεγχεί έω της ροέγγης D ~ p Ν χ όου p ο αρός των αραέτρων. Αντί να χρηοοήουε τον ΕΜΠ ορούε να εκτήουε τς αραέτρους ελαχτοοώντας το ταένο άροα τετραγώνων w S. Αυτό είνα οδύναο ε την ελαχτοοίηη της Χ ταττκής του Pearso e e X. Πράγατ Οταν η X υολογίζετα τς αναενόενες υχνότητες τότε η ταττκή είνα η X. ] [ w S X

30 3 η οοία είνα αυτωτκά οδύναα ε την ταττκή D. Πράγατ χρηοοώντας την ταυτότητα og s... t t s t s t s έχουε X D... ] [ ] [ [ [ ] log log [ ηλαδή η αυτωτκή κατανοή της D κάτω αό την υόεη ότ το οντέλο είνα ωτό είνα D~ p x δηλαδή ροεγγτκά p X. Υάρχουν ενδείξες ότ η X είνα υχνά καλύτερη αό την αό την D γατί η D εξαρτάτα αό κρές υχνότητες. Κα ο δυο ροεγγίες δεν εωρούντα κανοοητκές όταν ο αναενόενες υχνότητες είνα ολύ κρές.χ. κρότερες της ονάδας..4 Ο χερός των κατηγορκών εταλητών αν ανεξάρτητες εταλητές Στην ερίτωη κατά την οοία ρέε να χρηοοηεί α κατηγορκή εταλητή Χ ε ν είεδα Χ,,,,ν αν ανεξάρτητη εταλητή τότε ρέε ρέε αντί αυτής να εάγουε το οντέλο της λογτκής αλνδρόης ν- το λήος δυωνυκές εταλητές. Παράδεγα Ετω ότ έλουε να εάγουε τη εταλητή Χ Οκογενεακή κατάταη,η οοία ορεί να άρε τς τές Χήρος/α 3 αζευγένος/η Παντρεένος/η Αγαος/η X Αντί της αραάνω εταλητής υεέρχοντα το οντέλο ο τρες εταλητές Αλλο Παντρεένος X

31 3 X αζευγένος Αλλο X 3 Χήρος Αλλο Προφανώς α τέταρτη εταλητή ε τή γα την ελογή Αγαος κα αλλού δεν ορεί να εί το οντέλο γατί α είχαε ολυυγρακότητα. Το ύνολο το οοίο αγνοείτα λαάνετα αν άη αναφοράς. Γα το αραάνω αράδεγα, ο λογάρος του λόγου των odds των αντρεένων, των δαζευγένων, κα των χήρων λαάνετα ως ρος την οάδα Αγαος ου είνα η άη αναφοράς. Στην ράξη αυτή η ετατροή ολύτοων κατηγορκών ανεξάρτητων εταλητών ε ένα ύνολο δυαδκών γίνετα αυτόατα αό όλα τα ταττκά ακέτα..5 Κατακευή του οντέλου Εως τώρα έχουε αχοληεί ε τη εκτίηη, τον έλεγχο κα την ερηνεία των υντελετών των οντέλων. Σε ολλές ερτώες, αό ένα εγάλο ύνολο ανεξάρτητων εταλητών ευούε να ελέξουε εκείνες τς εταλητές ο οοίες οδηγούν ε ένα έλττο ε κάοα έννοα οντέλο. Γα να ετύχουε αυτόν τον τόχο, ρέε να έχουε α α ακή έοδο ελογής των εταλητών κα εόδων. ένα ύνολο εόδων γα να ελέγχουε την εάρκεα των Η αλούτερη κα υνηέτερη δαδκαία είνα η eter όου όλες ο εταλητές εέρχοντα αν ία οάδα. Άλλες δαδκαίες είνα ο Forward : όου η δαδκαία ξεκνά ε την καλύτερη εταλητή, τη υνέχεα ροέτε την καλύτερη αό τς υόλοες κ.λ.. έχρς ότου ροέτοντας ία νέα εταλητή η αύξηη της λογαρκής υνάρτηης ανοφάνεας δεν είνα ταττκώς ηαντκή. Backwards: Ξεκνά ε όλο το ύνολο των εταλητών κα αορρίτε δαδοχκά τη χερότερη αό τς εναοείναντες. Stepwse: Είνα ανάλογη της Forward ε τη δαφορά ότ κάε φορά ου α εταλητή εέρχετα το οντέλο, ελέγχε αν το νέο ύνολο όλες ο εταλητές είνα ταττκώς ηαντκές. Η stepwse δεν είνα δαέη το SPSS..5 Η λογτκή αλνδρόηη το SPSS

32 3 Θα αναλύουε το αρχείο logstc.sav το οοίο καταγράφοντα αρατηρήες 4 αδών λυκείου. Ο κοός της ελέτης είνα να ρεούν ο αράγοντες ου εηρεάζουν την εφάνη άατος. Ο εταλητές ου κατεγράφηαν είνα asdag95 γα αρουία άατος, γα η αρουία άατος fvc95 χωρητκότητα των νευόνων. mef595ίεη εξόδου του αέρα αό τα νευόνα whz95αν υάρχε υργός κατά την έξοδο του αέρα. couev95αν υάρχε ήχας hefev95 αρουία εαρνής ρνοεεφυκίτδας. areagroup γα ατκή εροχή, γα εαρχία smokgαν κανίζε το ίδο το αδί mosmpregαν κάνζε η ητέρα του κατά την δάρκεα της εγκυούνης petsύαρξη κατοκίδων catpetsεαφή ε γάτες outaskεξωτερκές αλητκές δρατηρότητες. Γα να χρηοοήουε το SPSS τη λογτκή αλνδρόη κάνουε τα εξής ήατα. Aalze- Regresso- Bar ogstc

33 33 Στη υνέχεα την ελογή Bar ogstc έτουε τη έη depedet εξαρτηένη εταλητή asdag95. Στη έη covarates έτουε τς ανεξάρτητες εταλητές. Σαν έοδο ελέγουε την eter. την

34 34 Στη υνέχεα ρέε να ορίουε τς κατηγορκές εταλητές. Ελέγουε λοόν την έη categorcal κα ύρουε έα τς κατηγορκές εταλητές. Η ελογή referece categor έχε νόηα κυρίως όταν κατηγορκή εταλητή έχε άνω αό δύο είεδα όου όλα τα άλλα είεδα υγκρίνοντα ως ρος την referece categor ου ελέγουε. Στη υνέχεα, την ελογή opto ο ο ηαντκές ελογές είνα το Hosmer ad emeshov goodess-of-ft test, το δάτηα ετούνης του exp Η ελογή proalt for stepwse αναφέρετα την ερίτωη όου η έοδος δεν είνα η

35 35 eter αλλά κάοα αό τς forward ή ackward όου ο εταλητές εέρχοντα ή εξέρχοντα το οντέλο ε κάοες ροκαορένες ανότητες. εν ρέε να ξεχνάε ότ η εξαρτηένη εταλητή είνα δυαδκή ε τές ή. Η αντίτοχη ρόλεψη είνα η PΥ. Με το classfcato cutoff.5 ορίζουε ότ γα <.5 η ρολεόενη τή του οντέλου είνα κα γα.5 είνα. Τα αοτελέατα είνα τα εξής ogstc Regresso

36 36 Uweghted Cases a Selected Cases Uselected Cases otal Case Processg Summar Icluded Aalss Mssg Cases otal Percet 8,, 8,, 8, a. If weght s effect, see classfcato tale for the total umer of cases. Στον αραάνω ίνακα έχουε τον αρό των αρατηρήεων καώς κα των ερτώεων ε mssg values Depedet Varale Ecodg Orgal Value,, Iteral Value Ο αραάνω ίνακας ας ενηερώνε το ως αντλαάνετα το SPSS κωδκοοίηη της εξαρτηένης εταλητής. Categorcal Varales Codgs outaske couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg catpet95 pets95 whz95,,,,,,,,,,,,,,,,,, Paramete Frequec r codg 673, 47, 765, 55, 77, 3, 478, 34, 33, 49, 77, 3, 497, 33, 375, 445, 76, 58, Ο αραάνω ίνακας είνα ληροφορακός το ως κωδκοοεί το SPPP τς κατηγορκές εταλητές

37 37 Στη υνέχεα το Block ελετάτα το τετρένο οντέλο log. Block : Begg Block Classfcato ale a, Predcted Step Oserved asdag95 Overall Percetage,, a. Costat s cluded the model.. he cut value s,5 asdag95 Percetage,, Correct 74, 96, 88,3 Varales the Equato Step Costat B S.E. Wald df Sg. ExpB -,,9 346,,,33 Ο αραάνω ίνακας δείχνε ο ταερός όρος δεν είνα. Ο εόενος ίνακας δείχνε οία αό τς εταλητές είνα η ο ηαντκή κα η οοία α ε ρώτη το οντέλο. Είνα χρήος όταν έχουε ελέξε κάοας ορφής stepwse δαδκαία. Varales ot the Equato Step Varales Overall Statstcs fvc95 mef595 whz95 couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg pets95 catpet95 outaske Score df Sg.,384,535,66,4 75,954, 34,673, 67,96,,3,67,556,456,5,36,7,678,63,687,84,75 378,4,

38 38 Στη υνέχεα λόγω της εόδου ου έχουε ελέξε εάγε όλες τς εταλητές αν ένα ύνολο lock Block : Method Eter Στον αρακάτω ίνακα ελέγχετα η υόεη ότ το οντέλο ε όλες τς εταλητές είνα το ίδο ε το τετρένο οντέλο. Η υόεη αυτή αορρίτετα. Omus ests of Model Coeffcets Step Step Block Model Ch-square df Sg Στον αρακάτω ίνακα δίνοντα κάοα ταττκά χαρακτηρτκά του οντέλου. Step Model Summar - og Cox & Sell agelkerke lkelhood R Square R Square a a. Estmato termated at terato umer 6 ecause parameter estmates chaged less tha.. Classfcato ale a Predcted Oserved Step asdag95 Overall Percetage a. he cut value s.5.. asdag95 Percetage.. Correct Στον αρακάτω ίνακα δίνε οες εταλητές είνα ταττκώς ηαντκές γα το οντέλο.

39 39 Step a fvc95 mef595 whz95 couev95 hafev95 areagrou smokg mosmpreg pets95 catpet95 outaske Costat Varales the Equato B S.E. Wald df Sg. ExpB a. Varales etered o step : fvc95, mef595, whz95, couev95, hafev95, areagrou, smokg, mosmpreg, pets95, catpet95, outaske. Σαν αοτέλεα έχουε ότ ο αράγοντες ου χετίζοντα ε την εφάνη άατος είνα η αρουία ήχα, το ύργα κατά την εκνοή, κα η αρουία εαρνής ρνοεεφυκίτδας. Βλογραφία. Doso A.J. 99 A Itroducto to Geeralzed ear.models d Ed.Uverst of ewcastle Chapma ad Hall. McCullagh P. ad elder J.A. 989 Geeralzed ear Models. d Ed. odo Chapma ad Hall.

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ. 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΑΚΕΤΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ ΣΤΕΛΙΟΣ ΖΗΜΕΡΑΣ Σάος 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ...3. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΑΝΑΛΥΤΗΣ...3.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ελευθέριος Πρωτοαάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ ίνεται η συνάρτηση f µε f() = 5 4 +α, όου α R και το είναι ρίζα της εξίσωσης f() =. α) Να βρείτε το α R. β) Να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κούτρας Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις παραδόεω «Στατιτική ΙΙ» Μ Κούτρας Μ Μπούτικας Σηειώεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09)

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) Ασκήσεις που παρουσιάστηκαν στο µάθηµα (2008-09) ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σουδών) Ασκήσεις ου αρουσιάστηκαν στο µάθηµα (8-9). Η σχέση διασοράς για τη ζώνη αγωγιµότητας Ε c c () ενός κυβικού ηµιαγώγιµου υλικού

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0

(Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσµατα 2α+β. (Μονάδες 7) ΛΥΣΗ α β = α β συν α ɵ, β, 3 2 2α+β κα+β 2α+β κα+β = 0 2κα + 2α β+ κα β+β = 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 05 Γιάννης Ζαµέλης Μαθηµατικός 855 B (Αναρτήθηκε 08 4 ) ίνονται τα διανύσµατα ακαι µε ( α, ) = και α =, = α) Να ρείτε το εσωτερικό γινόµενο α (Μονάδες 8)

Διαβάστε περισσότερα

"ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ "ΦΥΣΙΚΕΣ ΜΕΘΔΙ" ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΠΡΛΗΜΤΩΝ Ελατήρια σταερής τάσης (Constnt tension springs) Ένα ελατήριο του οοίου η τάση είναι ανεξάρτητη αό την ειμήκυνση ή τη συσείρωσή του ονομάζεται ελατήριο σταερής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα.

Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m = 1 kg και Μ = 2 kg και συνδέονται με νήμα. Ταλάντωση μετά αό κόψιμο του νήματος. Σώματα δεμένα με νήμα σε κατακόρυο ελατήριο. Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες = g και Μ = g και συνδέονται με νήμα. Το σώμα μάζας αέχει αό το δάεδο αόσταση H = 7

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα:

κινητού και να βρούµε ποιο από τα δυο προηγείται, πρέπει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται,

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα 6950 8 6954 9

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας,

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. ο µετασχηµατισµός αυτός δίνεται από την σχέση x = ). Έτσι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ΣΕΙΡΕΣ FOURIER. Η ροσέγγιση συναρτήσεων µέσω ολυωνύµων, την οοία µελετήσαµε στην ροηγούµενη Ενότητα, αρά την αοτελεσµατικότητα και την, σχετική, αλότητά της, αοδεικνύεται ανεαρκής για την εριγραφή/ροσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά.

σώμα από τη θέση ισορροπίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά προς τα δεξιά. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ 16968, 1765, 17656, 17663, 17664, 17681, 1769, 17699, 17704, 1775, 17736, 17739, 17741 ΘΕΜΑΤΑ 4 17837, 17838,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28 Ι Ο Α ΡΑ Α ΡΑ Α Ο ΑΤΟ. Ε ΡΟ Ο ΙΟ ΑΡΑ Ε ΤΙΟ ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 ΡΑ Α 2 5 1 Ο ΑΤΟ 1 2 2 Α AM Α ΙΟ 1 1 1 ΑΤ Ε ΡΟ Ο ΙΟ 1 2 1 ΑΡΑ Ε ΤΙΟ 1 1 2 Ι Η ΟΡΟ 1 1 1 ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 2 2 ΙΤΑΓΡ 1 1 9 15 Ε ΡΟ Α Ε Α ΡΟ Ο Η Ο ΙΟ Ι ΟΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

(Μονάδες 15) (Μονάδες 12) ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

YNENTEYH ME TO IEYYNONTA YMBOYO TH ETAIPEIA EUROBLINDS Kον Kυράκο Nκολαίδη. υστήματα σκίασης & εξοκονόμηση ενέργεας

YNENTEYH ME TO IEYYNONTA YMBOYO TH ETAIPEIA EUROBLINDS Kον Kυράκο Nκολαίδη. υστήματα σκίασης & εξοκονόμηση ενέργεας YNENTEYH ME TO IEYYNONTA YMBOYO TH ETAIPEIA EUROBLINDS Kον Kυράκο Nκολαίδη υστήματα σκίασης & εξοκονόμηση ενέργεας Eταρκό ροφίλ της εταρείας Όνομα: EUROBLINDS LTD Έτος ίδρυσης: 1969 Eργοστασακοί χώρο:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ τ. Ε. I. Ν-λ ε λ λ λ ς : ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΤΙΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΛΗΝΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ; MIX. ΠΙΠΙΛΙΑΓΚΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Ααντήσεις ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6. B. Σχολικό βιβλίο, σελίδες 97 και

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f µε εδίο ορισµού Α και A Θα λέµε ότι η f είναι εριοδική όταν υάρχει ραγµατικός αριθµός Τ > 0 έτσι ώστε για κάθε Α να ισχύει : i)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ

ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΩΜΑ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΝΗΜΑΤΟΣ. Σώμα μάζας m = kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου με το άλλο άκρο του σε ακλόνητο τοίχο) και αό την άλλη άκρη είναι δεμένο με νήμα τεταμένο με

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουμε αντικατάσταση. lim 3x 4x + 8 = 3 1 4 1 + 8 = 3+ 4 + 8 = 9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ υ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. ( 4 8) + 6 + 8 0 Αλές εριτώσεις Εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των ρίων. Ουσιαστικά κάνυμε αντικατάσταση. α. 4 + 8 4 + 8 + 4 + 8 9 8 0 8 4 0 0 + 6

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

POWER POINT. α SLIDE 2 SLIDE 3

POWER POINT. α SLIDE 2 SLIDE 3 1 POWER POINT Β Ε Ο Ω Ο (24/2/2005) / Ζ Ω Ό Ω ; & / -Β SLIDE 2 SLIDE 3 κούς Ό / ΡΣ Ε ΡΟΥ Ρ Ο Σ 2005 2 Ό Ε κούς ΡΣ Ζ Ε Β Β Ζ Ε ΡΟΥ Ρ ΟΣ 2005 3 Υ80 SLIDE 4-5 SLIDE 6 O Ω SLIDE 7-8 SLIDE 9-10 Ω & Ω Ω SLIDE

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ η εξεταστική ερίοδος 05-6 - Σελίδα ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ημερομηνία: 7-0-05 Διάρκεια: ώρες Ύλη: Κρούσεις - Ταλαντώσεις Καθηγητής: Ονοματεώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy)

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy) Πεονασός Πηροφορικών Συστηάτων redundancy συστήατα ανεκτικά σε βάβες, έχουν την ικανότηταναανιχνεύσουν, να αοονώσουν και να αρακάψουν ια σειρά κοινών βαβών χωρίς την: ανθρώινη αρέβαση αξιοσηείωτη καθυστέρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR.

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Μάθηα 3 ο, Οκτωβρίο 008 (9:00-:00). ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR. Φάσα το δρογόνο (93) Γραικό φάσα Boh: εξήγησε την ακτινοβολία το ατόο Η. Ruthfod: πρήνας σγκεντρωένος σε ικρή περιοχή (D~0-5 ) Απόσπαση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίλα σε κάθε αριθµό το γράµµα ου αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚ 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1 η Σειρά Ασκήσεων

ΟΙΚ 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1 η Σειρά Ασκήσεων ΟΙΚ 6 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ η Σειρά Ασκήσεων. Έστω ότι η αοραία συνάρτηση ζήτησης ια κάοιο ααθό είναι: ( ) 70 Υοθέστε ότι υάρχει μία ειχείρηση στην αορά και η συνάρτηση κόστους της ειχείρησης είναι:

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο 12.1 Λογιστική Παλινδρόµηση 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών

Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών Μοριακά φαινόµενα µεταφοράς σε διαλύµατα βιολογικών υγρών Το ιξώδες και η σηµασία του Οι ελκτικές δυνάµεις van der Waals, οι οοίες αντιτίθενται στη σχετική µετατόιση γειτονικών µορίων, είναι υεύθυνες για

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3.5 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 88-89 A Oµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση ηµx = 0 ηµx = 0 ηµx = ηµ0 x = k + 0 x = k + 0, k Z Σηµείωση: Οι λύσεις αυτές διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές

Διαβάστε περισσότερα

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. --------------

---------------------------------------------------------------------------------------- 1.1. -------------- ΕΚΘΕΣΗ Τ Ο Υ Ι Ο Ι ΚΗΤ Ι ΚΟ Υ ΣΥ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Υ Π Ρ Ο Σ Τ ΗΝ Τ Α ΚΤ Ι ΚΗ Γ ΕΝ Ι ΚΗ ΣΥ Ν ΕΛ ΕΥ ΣΗ Τ Ω Ν Μ ΕΤ Ο Χ Ω Ν Kύριοι Μ έ τ οχοι, Σ ύµ φ ω ν α µ ε τ ο Ν όµ ο κ α ι τ ο Κα τ α σ τ α τ ικ ό τ ης ε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com/ Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί (Εαναλητικά) Ε ί εδη γωνία είναι η κλίση µεταξύ δυο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΕ ΕΠΑΦΕΣ Κάθε 100 ε ισκέψεις θα ρέ ει να καταχωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.5. Υλικό σηµείο εκτελεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- λής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός.

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ 89 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ Ορισμός Πυρμίδ λέγετι έν στερεό, ου µί έδρ του είνι έν ολύγωνο κι όλες οι άλλες έδρες του είνι τρίγων µε κοινή κορυφή. Τ στοιχεί της υρμίδς

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x του εδίου ορισµού της να γραφεί η εξίσωση της εφατοµένης της γραφικής αράστασης της f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Π ρ ο µ ο ί ω Μ η χ α ν ο ί Ε λ έ γ χ ο υ τ ο υ Χ ρ ό ν ο υ Φάσεις σο ση ς ισµ ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Φάσεις τ η ς π ρ ο σο µ ο ί ω ση ς i. Κατασκευή το υ µ ο ν τέ λ ο υ π ρ ο

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν ιδάσκων: Ν ικό λ α ο ς Α µ π α ζ ή ς Ανάλυση Απ ο τ ε λε σµ άτ ω ν Τα απ ο τ ε λ έ σ µ ατ α απ ό τ η ν π αρ αγ ω γ ή κ αι τ η χ ρ ή σ η τ υ χ αί ω ν δ ε ι γ µ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ Ω ΕΚΑΝΗΣΟΥ ΗΜΟΣ ΡΟ ΟΥ Με τη συγχρηµατοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Θέµα : ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ Ω ΕΚΑΝΗΣΟΥ ΗΜΟΣ ΡΟ ΟΥ Με τη συγχρηµατοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Θέµα : ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ Ω ΕΚΑΝΗΣΟΥ ΗΜΟΣ ΡΟ ΟΥ Με τη συγχρηµατοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Ρόδος, 16/04/2015 Αριθµ. Πρωτοκ:2/33054 Θέµα : ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

9.4 9.6. Γενίκευση του Πυθαγόρειου και Θεωρήµατα ιαµέσων. Θεώρηµα αµβλείας γωνίας. Πυθαγόρειο Α = 90 ο α 2 = β 2 + γ 2. 2. Πορίσµατα α 2 > β 2 + γ 2

9.4 9.6. Γενίκευση του Πυθαγόρειου και Θεωρήµατα ιαµέσων. Θεώρηµα αµβλείας γωνίας. Πυθαγόρειο Α = 90 ο α 2 = β 2 + γ 2. 2. Πορίσµατα α 2 > β 2 + γ 2 1 9. 9.6 ενίκευση του Πυθόρειου κι Θεωρήτ ιέσων ΘΕΩΡΙ 1. Θεώρη οξείς ωνίς < 90 ο + Θεώρη λείς ωνίς > 90 ο + + Πυθόρειο 90 ο +. Πορίστ > + > 90 ο + 90 ο < + < 90 ο 3. Νόος συνηιτόνων Σε κάθε τρίωνο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγαθόν''

ΠΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγαθόν'' «ΑΕΛΙΟΣ ΧΟΡΟΣ» Ι.. ΣΙΩΟΣ ΕΤΡΑΣ ΟΛΥΕΛΕΟΣ ''Λόγον Ἀγθόν'' Ἦχος 1. ο γο ον γ θο ον Α λ λη η η λ Ε ξη ρ υ ξ το η η η κ ρ δ µ λο ο ο γον γ θον Χ ρ πν τ ν σ σ π νυ υ υ µνη η η η τ µη η η τηρ Χρ στ τ Θ η η η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 02021842012990088 27257 ΕΦΗΜΕΡΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 2184 20 Δεκεμβρίου 1999 Αριθ. Δ170/141/3/ΦΝ275 ΑΠΟΦΑΣΕΣ Έγκριση Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού ΟΥΠΟΥΡΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική»

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 04 ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο:

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμοί για γωνιακά και τυφλά ντουλάπια

Μηχανισμοί για γωνιακά και τυφλά ντουλάπια ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ LeMans Σελίδα 3 3 Μηχανισμός για τυφλά ντουλάια 90 άρια και 100 άρια MagicCorner Σελίδα 3 9 Μηχανισμός για τυφλά ντουλάια 90 άρια και 100 άρια Περιστρεφόμενα 1/2 Ξεχωριστές λύσεις για 80 άρια,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα