β και για τις οποίες το σύστημα (Σ) έχει λύση.

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής-γραμμική Άλγεβρα) -- Θέμα ο Δίοται οι ευθείες 4 : z +, : 4 y ε = y = ε = = z 4 (α) Να αοδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είαι συείεδες (β) Να βρείτε τη εξίσωση του ειέδου ου τις εριέχει Θέμα ο Δίεται το σύστημα + y+ 3z + 4w = α 3+ y+ 7z + 9 w = β ( Σ) + 3y+ 4z + w = γ (i) Να ροσδιορίσετε τις ααγκαίες και ικαές συθήκες μεταξύ τω αραμέτρω α, β και για τις οοίες το σύστημα (Σ) έχει λύση (ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ), α α = β = και γ Θέμα 3 ο Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα: (α) = si d (β) I = d I Θέμα 4 ο (A) Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση : dy y = d y (Β) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη ακολουθία * α = e, Θέμα ο Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά (α) u = + u =, όου +, (β) u = ( )

2 ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής-γραμμική Άλγεβρα) -9- Να αατήσετε σε 4 αό τα αρακάτω θέματα Θέμα ο Δίεται το σημείο A(,3,), το είεδο Π : y+ z 6 = και η ευθεία 3 z ε : = y + = (α) Να αοδείξετε ότι η ευθεία ε αήκει στο είεδο Π (β) Να βρείτε τις εξισώσεις τω ευθειώ ζ και ζ ου εράε αό το σημείο είαι τέτοιες ώστε ζ ε και ζ Π (γ) Α η ζ τέμει τη ευθεία ε στο Β και η ζ τέμει το είεδο Π στο Γ α αοδείξετε ότι ΒΓ ε A και Θέμα ο Δίεται το σύστημα + y+ 3z = α + 3y+ 4 z = β ( Σ) 3+ 4y+ z = γ 4+ y+ 6z = δ (ι) Να ροσδιορίσετε τις ααγκαίες και ικαές συθήκες μεταξύ τω αραμέτρω α, βγ, και δ για τις οοίες το σύστημα (Σ) έχει λύση (ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ), για α = β = γ = δ = και α δώσετε τη γεωμετρική ερμηεία του συόλου τω λύσεω του (Σ) Θέμα 3 ο Δίεται το ολοκλήρωμα si k I, k = d k και η συάρτηση f ( ) συεχής στο [, ] (α) Να αοδείξετε ότι: f ( d ) = f( d ) k (β) Να αοδείξετε ότι : Ik = Ik, k k (γ) Α είαι J = si d, α αοδείξετε ότι J = I και α υολογίσετε το J *

3 Θέμα 4 ο (A) Να βρείτε τη γεική λύση της διαφορικής εξίσωσης : dy y( ) e d = + (Β) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα + 3+ d ( + ) Θέμα ο (A) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά u =, όου + cos + (α) u =, (β) u = (Β) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τις ακολουθίες * α = ta, και β =,

4 ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι / 3--6 (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής-γραμμική Άλγεβρα) Να αατήσετε σε 4 αό τα αρακάτω θέματα Θέμα ο y z 3 Δίεται το είεδο Π : + 3y z = και η ευθεία ε : + = = 3 (α) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας ε με το είεδο Π Ο,, (β) Να βρείτε τη εξίσωση της ευθείας δ ου εράει αό το σημείο ( ) και είαι κάθετη ρος το είεδο Π (γ) Να εξετάσετε, α οι ευθείες ε και δ είαι ασύμβατες Θέμα ο Δίεται το σύστημα : + y 4z = α + 3 y+ z = β 8y z γ = ( Σ) (i) Να ροσδιορίσετε τις ααγκαίες και ικαές συθήκες μεταξύ τω αραμέτρω α, β και για τις οοίες το σύστημα (Σ) έχει λύση (ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ), για α = β = γ = και α δώσετε τη γεωμετρική ερμηεία του συόλου τω λύσεω του (Σ) U = α, β, γ : το σύστημα (Σ) είαι συμβιβαστό (iii) Να αοδείξετε ότι το σύολο {( ) } 3 είαι υόχωρος του Θέμα 3 ο Ι= arcsi d,, (Α) Να αοδείξετε ότι: arcsi + arc cos =, για κάθε (, ) (Β) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα : ( ) + Θέμα 4 ο (A) Να υολογίσετε το γεικευμέο ολοκλήρωμα: ( + t)( + t) dt (Β) Να βρείτε το διάστημα και τη ακτία σύγκλισης της δυαμοσειράς + = 3 + Θέμα ο! (A) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά u, όου u = = (Β) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη ακολουθία: α = ( ), 3 +

5 ΕΞΕΤΑΣΗ Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ στα Μαθηματικά Ι (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής- Γραμμική Άλγεβρα) -9-7 (Να αατήσετε σε 4 αό τα εόμεα θέματα) ΘΕΜΑ Να βρείτε μία εξίσωση του ειέδου Π ου εριέχει τη ευθεία ε : = t, y = 3t+, z = t+, t και είαι αράλληλο ρος τη τομή τω ειέδω Π : + y+ z =, Π :4+ y+ z 8= ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 3 Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα: + ( α) d ( β) e l ( + e ) d + 4 ΘΕΜΑ 4 (i) Να υολογίσετε τη ακτία και το διάστημα σύγκλισης της δυαμοσειράς + ( ) = + Συγκλίει η σειρά στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης; (ii) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά: ( ) + + = ΘΕΜΑ (i) Να αοδείξετε ότι, α <, τότε lim = (ii) + Χρησιμοοιώτας το ροηγούμεο, α υολογίσετε τα όρια: (α) lim (β) lim + + +

6 ΕΞΕΤΑΣΗ Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ στα Μαθηματικά Ι (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής- Γραμμική Άλγεβρα) / -9-7 (Να αατήσετε σε 4 αό τα εόμεα θέματα) ΘΕΜΑ Δίοται οι ευθείες ε : = t, y = 3t+, z = t+, t, και δ ου είαι τομή τω ειέδω Π : + y+ z =, Π :4+ y+ z 8= (α) Να βρείτε τις ααλυτικές εξισώσεις της ευθείας δ Μοάδες, (β) Να βρείτε τη εξίσωση του ειέδου Π ου εριέχει τη ευθεία ε και είαι αράλληλο ρος τη ευθεία δ Μοάδες, ΘΕΜΑ Δίεται το σύστημα + y 3z = α + y 6z = β, όου κ, α, β y+ κz = β (i) Να αοδείξετε ότι το σύστημα έχει μοαδική λύση, για κ 3 και κάθε α, β, τη οοία και α ροσδιορίσετε Μοάδες, (ii) Για κ = 3, α βρείτε τη συθήκη μεταξύ τω αραμέτρω α, β, έτσι ώστε το σύστημα α έχει άειρες λύσεις, τις οοίες και α ροσδιορίσετε για α = Μοάδες, ΘΕΜΑ 3 Να υολογίσετε τα ολοκληρώματα: + (α) d Μοάδες ( + e ) (β) e l d Μοάδες,

7 ΘΕΜΑ 4 (i) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά: ( ) + Μοάδες, + = (ii) Να υολογίσετε τη ακτία και το διάστημα σύγκλισης της δυαμοσειράς + ( ) = + Συγκλίει η σειρά στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης; Μοάδες, ΘΕΜΑ (i) Να αοδείξετε ότι, α <, τότε lim = (ii) + Μοάδες Χρησιμοοιώτας το ροηγούμεο συμέρασμα, α υολογίσετε τα όρια: (α) lim Μοάδες, (β) lim Μοάδες,7 +

8 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Συαρτήσεις μιας μεταβλητής-γραμμική Άλγεβρα) Να αατήσετε σε 4 αό τα εόμεα θέματα Θέμα ο Δίεται το σημείο Μ (, 4, 3) και τα είεδα P: y+ z 6= Q: + y+ z = (α) Αφού διαιστώσετε ότι τα είεδα P και Q τέμοται, α βρείτε τις εξισώσεις της τομής τω δύο ειέδω (β) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Μ ως ρος το είεδο Ρ Θέμα ο Δίεται το σύστημα y+ 3z 4w = α + 3y 4z+ 9 w = β ( Σ) y + z w = γ (i) Να ροσδιορίσετε τις ααγκαίες και ικαές συθήκες μεταξύ τω αραμέτρω α, β και για τις οοίες το σύστημα (Σ) έχει λύση (ii) Να λύσετε το σύστημα (Σ), για α = β = γ = Θέμα 3 ο (Α) Το γεικευμέο ολοκλήρωμα ( ) st te dt= f s ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Laplace της συάρτησης F( t) = t Να ροσδιορίσετε τη συάρτηση f ( s ) για τις διάφορες τιμές του s (Β) Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα e d Θέμα 4 ο (A) Να ροσδιορίσετε το κέτρο, τη ακτία και το διάστημα σύγκλισης της δυαμοσειράς + = 3 +

9 (Β) Να αοδείξετε ότι: cos = ta, < Θέμα ο (A) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη σειρά u + 3 = = (Β) Να εξετάσετε ως ρος τη σύγκλιση τη ακολουθία + cos * a =, + u, όου