2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας"

Χριστιανός Ταμτάκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .4 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 45 A Οµάδας. Μια σφαιρική µπάλα χιονιού αρχίζει να λειώνει. Η ακτίνα της, που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της µπάλας, όταν t = sec. (Θυµηθείτε ότι Ε = 4π r και V = 4 π r. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. r = r(t η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα. Ε = Ε(t η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια. V = V(t η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο. ίνεται r(t = 4 t Θέλουµε να βρούµε τους ρυθµούς µεταβολής Ε (, V ( 4. Ε(t = 4π.[r(t ] = 4π (4 t Ε (t = 4π (4 t (4 t = 8π (4 t ( t = 6π (4 t t Άρα Ε ( = 6π (4 = 48π c m /sec V(t = 4 π [r(t ] = 4 π (4 t V (t = 4 π (4 t (4 t Άρα V ( = 8π (4 = 8π. = 4π.(4 t = 8π. (4 = 7π c m /sec ( t t t

2 . Ο όγκος V ενός σφαιρικού µπαλονιού που φουσκώνει αυξάνεται µε ρυθµό 00 c m /sec. Με ποιο ρυθµό αυξάνεται η ακτίνα του r τη χρονική στιγµή t ο, που αυτή είναι ίση µε 9 cm;. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. r = r(t η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα.. V = V(t η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο. ίνεται V (t = 00 c m /sec Θέλουµε να βρούµε τη ρυθµό µεταβολής r ( t ο 4. V(t = 4 π [r(t ] V (t = 4 π [r(t ] r (t 00 = 4π [r(t ] r (t Για t = t ο θα είναι 00 = 4π [r( t ο ] r ( t ο 00 = 4π 9 r ( t ο 5 = 8 π r ( t ο r ( t ο = 5 8π. Το κόστος παραγωγής Κ(x και η τιµή πώλησης Π(x, x µονάδων ενός βιοµηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις Κ(x = x 0 x + 600x και Π(x = 40x αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους Ρ(x = Π(x Κ(x είναι θετικός. Ρ(x = Π(x Κ(x Ρ(x = 40x ( Ρ(x = 40x Ρ(x = x 0 x + 600x x + 0 x 600x 000 x + 0 x 80x 000 Ρ (x = x + 40x 80 = = = 880 Ρίζες του τριωνύµου x = 40± 880 = 40± 0 = 0 ± 0 Ρ (x > < x < 0 + 0

3 4. ύο πλοία Π και Π αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιµάνι Λ. Το πλοίο Π κινείται ανατολικά µε ταχύτητα 5 km /h και το Π βόρεια µε ταχύτητα 0 km /h. i Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Π και Π Π Λ βορράς d Π ανατολή ii Να αποδείξετε ότι η απόσταση d = ( Π Π των δύο πλοίων αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό, τον οποίο και να προσδιορίσετε.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του Π y = y(t η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση του Π d = d(t η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση ( Π Π. ίνεται x (t = 5 και y (t = 0 Θέλουµε να βρούµε τις i x(t και y(t ii d (t i Από τη Φυσική θα είναι x(t = 5t και y(t = 0t ii Με το Πυθαγόρειο έχουµε [d(t ] = [x(t ] + [y(t ] = (5t + (0t = 5 t t = 65 t Άρα d(t = 5t d (t = 5 km /h.

4 4 5. Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά µήκος της καµπύλης y = x, x 0. Σε ποιο σηµείο της καµπύλης ο ρυθµός µεταβολής 4 της τετµηµένης x του Μ είναι ίσος µε το ρυθµό µεταβολής της τεταγµένης του y, αν υποτεθεί ότι x (t > 0 για κάθε t 0.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ y = y(t η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγµένη του Μ. ίνεται x (t > 0 Θέλουµε να βρούµε το σηµείο Μ ( x( t ο ο, y( t ο, όπου x ( t ο = y ( t ο 4. y = 4 x y(t = 4 [x(t ] y (t = 4 x(t x (t Άρα και y ( t ο = x( t ο x ( t ο ( x ( t ο = y ( t ο ( x ( t ο = x( t ο x ( t ο = x( t ο x( t ο = Αλλά y( t ο = 4 [x( t ] y( t 0 ο = = 4 Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ (, ο

5 5 Β Οµάδας. Αν η επιφάνεια µιας σφαίρας αυξάνεται µε ρυθµό 0 c m /sec, να βρείτε το ρυθµό µε το οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής, όταν r = 85 cm.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. r = r(t η συνάρτηση που εκφράζει την ακτίνα Ε = Ε(t η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια. V = V(t η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο ίνεται Ε (t = 0 και r( t ο = 85 Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής V ( t ο 4. Είναι Ε(t = 4π [r(t ] Ε (t = 4π r(t r (t 0 = 8π r(t r (t 0 = 8π r( t ο r ( t ο 0 = 8π 85 r ( t ο r ( t ο = Είναι V(t = 4 π [r(t ] V (t = 4 π [r(t ] r (t V ( t ο = 4 π [r( t ο ] r ( t 0 V ( t ο = 4 π π 85 V ( t ο = 4 π π 85 V ( t ο = 45 c m /sec π

6 6. Έστω Τ το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σηµεία Ο(0, 0, Α(x, 0, Β(0, lnx µε x >. Αν το x µεταβάλλεται µε ρυθµό 4 cm/sec, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού Τ, όταν x = 5 cm.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει το x Τ = Τ(t η συνάρτηση που εκφράζει το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ ίνεται x (t = 4 και x( t ο = 5 Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής T ( t ο 4. Τ(t = (ΟΑ (ΟΒ = x lnx = Τ (t = [ x (t ln(x(t + x(t x(t x (t ] Τ ( t 0 = [ x ( t.ln(x( t + x ( t ] ο ο ο x(t ln(x(t Τ ( t 0 = [4 ln5 + 4] = 4 (ln5 + = (ln5 + c m /sec. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί στη ράµπα του διπλανού σχήµατος και το κουτί κινείται µε ταχύτητα m/sec. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανυψώνεται το κουτί. δηλαδή το ρυθµό µεταβολής του y.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t. A x 0 m Κ Λ y Γ 5 m B. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει την αποµάκρυνση (ΑΚ (Κ το κουτί y = y(t η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση (ΛΚ ίνεται x (t = Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής y (t 4. Από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΛΚ, ΑΒΓ παίρνουµε y 5 = x 0 4y = x 4 y(t = x(t 4 y (t = x (t 4 y (t = y (t = 4 m/sec

7 7 4. Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση 00 m, από έναν παρατηρητή Π µε ταχύτητα 50 m/min. Με ποιο ρυθµό αυξάνεται η γωνία θ που σχηµατίζει η ΑΠ µε το έδαφος τη χρονική στιγµή κατά την οποία το µπαλόνι βρίσκεται σε ύψος 00m; Π θ 00 m A h Σ. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. h = h(t η συνάρτηση που εκφράζει την ανύψωση του αερόστατου. θ = θ(t η συνάρτηση που εκφράζει την τη µεταβολή της γωνίας θ. ίνεται h (t = 50 και h( t ο = 00 Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής θ ( t 0 4. Είναι εφθ = h ( ΠΣ εφθ(t = (εφθ(t = συν θ(t θ (t = θ ( t 0 = 00 h(t 00 h (t θ (t = συν θ(t συν θ( t 0 ( A Κατά τη χρονική στιγµή t ο, είναι (ΠΣ = (ΣΑ = 00 Άρα θ( t ο = 45 ο Π m 00 m Σ ( θ ( t ο = = 4 = 4 rad/min

8 8 5. Μια γυναίκα ύψους,60 m αποµακρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 8 m µε ταχύτητα 0,8 m/sec. Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος της ;. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t. Φ 8 Ο x,6 Κ Π s Σ. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει την αποµάκρυνση (ΟΠ s = s(t η συνάρτηση που εκφράζει τον ίσκιο της γυναίκας ίνεται x (t = 0,8 Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής s (t 4. Από την οµοιότητα των τριγώνων ΣΠΚ, ΣΟΦ παίρνουµε s =,6 s = 0, s+ x 8 s+ x s = 0, (s + x s = 0, s + 0,x s(t = 0, s(t + 0, x(t 0,8 s(t = 0, x(t 0,8 s (t = 0, x (t 0,8 s (t = 0, 0,8 s (t = 0, m/sec

9 9 6. Ένα περιπολικό Α κινείται κατά µήκος της καµπύλης y = x, x 0 πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατ ευθείαν εµπρός (σχήµα. Αν ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο α (t = α(t, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης του σηµείου Μ της ακτής, στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγµή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετµηµένη.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t. ακτή Β y ( α Α α, - Μ Ο x. α = α(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Α µ = µ(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ. ίνεται α (t = α(t και α( t ο = Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής µ ( t ο 4. Έστω f(x = x, x 0 Η εξίσωση της εφαπτοµένης ΑΜ στο σηµείο Α(, της α α, α < 0 C είναι y f(α = f (α (x α αλλά f (x = x f άρα f (α = α οπότε ΑΜ : y + y + α = α (x α α = α x + y = α x + α Για y = 0 παίρνουµε 0 = α x + α α 0 = α x + α Εποµένως µ = α µ(t = α(t µ (t = α (t µ ( t ο = α ( t = 0 α x = α x = α, άρα Μ (, 0 α [ α( t ο ] = ( =

10 0 7. Μια σκάλα µήκους m είναι τοποθετηµένη σ έναν τοίχο. Το κάτω µέρος της σκάλας γλιστράει στο δάπεδο µε ρυθµό 0, m/sec. Τη χρονική στιγµή t, που η κορυφή της 0 σκάλας απέχει από το δάπεδο,5 m, να βρείτε : i Το ρυθµό µεταβολής της γωνίας θ (Σχήµα ii Την ταχύτητα µε την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t. A y O x m θ B. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος του τµήµατος ΟΒ y = y(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος του τµήµατος ΟA θ = θ(t η συνάρτηση που εκφράζει τη γωνία θ. ίνεται x (t = 0, και y( t ο =,5 Θέλουµε να βρούµε i το ρυθµό µεταβολής θ ( t ο ii το ρυθµό µεταβολής y ( t ο 4. Είναι x = συνθ x(t = συνθ(t x (t = (συνθ(t x (t = ( ηµθ(t θ (t 0, = ηµθ(t. θ (t 0, = ηµθ( t ο θ ( t ο ( y(t 0 Αλλά, κατά τη χρονική στιγµή t είναι ηµθ( t 0 ο = ( 0, =,5 θ ( t ο 0, =,5 θ ( t ο θ ( t ο = 5 rad/sec =,5 Είναι [x(t ] + [y(t ] = ( [x(t ] + [y(t ] = 0 x(t x (t + y(t y (t = 0 x(t x (t + y(t y (t = 0 x( t ο x ( t ο + y( t ο y ( t ο = 0 ( Αλλά [x( t ο ] + [,5 ] = 9 [x( t ο ] + 6,5 = 9 [x( t ο ] =,75 x( t ο =,75 (,75 0, +,5 y ( t ο = 0,5 y ( t ο = 0,,75 y ( t ο =,75 5 m/sec

11 8. Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά µε εξίσωση x + y =. Καθώς περνάει από το σηµείο Α,, η τεταγµένη y ελαττώνεται µε ρυθµό µονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης x τη χρονική στιγµή που το κινητό περνάει από το Α.. Ανεξάρτητη µεταβλητή ο χρόνος t.. x = x(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη x y = y(t η συνάρτηση που εκφράζει την τεταγµένη y t ο η χρονική στιγµή που το κινητό περνάει από το Α. ίνεται x( t ο =, y( t ο =, y ( t ο = Θέλουµε να βρούµε το ρυθµό µεταβολής x ( t ο 4. x + y = [x(t ] + [y(t ] = ( [x(t ] + [y(t ] = 0 x(t x (t + y(t y (t = 0 x(t x (t + y(t y (t = 0 x( t ο x ( t ο + y( t ο y ( t ο = 0 x ( t + ( = 0 ο x ( t ο = µονάδες/sec

Σχετικά έγγραφα

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής)

Ρυθμός μεταβολής. Γ Λυκείου (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής) Ρυθμός μεταβολής (Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής.4 Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής lisari.blogspot@gmail.com Περιεχόμενα. Θεωρία.