ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

Transcript

1 ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

2 Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων

3 Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3 Q 4 = 0 ΣF y = 0 -Q 1 - Q 2 cosθ + N 2 sinθ + Q 3 N 4 = 0 ΣM K = 0 M 1 + M 2 M 3 + M 4 = 0 (έλεγχος) (Οι ροπές των Q λαμβάνονται μηδενικές επειδή οι αποστάσεις/μοχλοβραχίονες είναι απειροστές)

4 Μετακινήσεις των κόμβων ολόσωμων πλαισίων Κατά την παραμόρφωση των πλαισίων οι κόμβοι μπορούν να μετακινηθούν και να στραφούν, αλλά η γωνίες σύνδεσης των μελών των κόμβων δεν μεταβάλλονται.

5 Στατική επίλυση απλών πλαισίων Τα απλά αμφιέρειστα και τριαρθρωτά πλαίσια επιλύονται όπως οι απλοί ισοστατικοί φορείς. Ορισμός της ίνας αναφοράς, Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης, Κατασκευή διαγραμμάτων N, Q, M εξετάζοντας κάθε τμήμα του φορέα χωριστά και σχεδιάζοντας σε ενιαίο σχήμα.

6 Στατική επίλυση σύνθετων πλαισίων 1. Εύρεση της στατικότητας των πλαισίων 2. Ανάλυση του σύνθετου φορέα σε άλλους απλούστερους 3. Επίλυση των επιμέρους απλών φορέων. Ο υπολογισμός των M,N,Q των άκρων των μελών που συμβάλλουν στους κόμβους χρησιμεύει στην κατασκευή των διαγραμμάτων M,N,Q και στον έλεγχο της ισορροπίας του κόμβου. Όταν υπάρχουν τμήματα με κλίση ως προς τα εξωτερικά φορτία υπολογίζονται σε χαρακτηριστικές διατομές πρώτα τα κάθετα και οριζόντια φορτία V, H και μετά από τους τύπους μετασχηματισμού υπολογίζονται τα Q και Ν συναρτήσει των V, H και της κλίσης θ της διατομής.

7 Στατικότητα και στερεότητα πλαισίων Η εύρεση της στατικότητας και της στερεότητας ενός φορέα είναι το πρώτο βήμα για την επίλυσή του. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εύρεσης της στατικότητας με τα αντίστοιχα πλεονεκτήματα για φορείς με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Η διαπίστωση ότι ένα πλαίσιο είναι ισοστατικό ή υπερστατικό δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι είναι και στερεό. Μπορεί να εμφανίζει κινητότητα είτε σε ένα τμήμα του είτε στο σύνολό του. Η εξέταση της κινητότητας των φορέων γίνεται χωριστά.

8 1 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων Το πλαίσιο θεωρείται ως δοκός με πολυγωνικό σχήμα. Για τη δοκό αυτή υπολογίζονται: Ο αριθμός των αντιδράσεων α, που είναι άγνωστοι και Ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων ισορροπίας που μπορούν να γραφούν και οι οποίες περιλαμβάνουν: Τις τρεις συνθήκες ισορροπίας για ολόκληρο τον φορέα, Τις s ειδικές συνθήκες των εσωτερικών μηχανισμών. Ο αριθμός n = α (3 + s) εκφράζει τη στατικότητα του πλαισίου Αν n 0 το πλαίσιο είναι υπερστατικό Αν n = 0 το πλαίσιο είναι ισοστατικό Αν n 0 το πλαίσιο είναι υποστατικό (μηχανισμός)

9 Εσωτερικοί μηχανισμοί των φορέων ειδικές συνθήκες s

10 Παραδείγματα: Στατικότητα των πλαισίων της διαφάνειας 2 με τον 1 ο τρόπο

11 2 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων (α) Το πλαίσιο θεωρείται ότι αποτελείται από δοκούς που συμβάλλουν στους κόμβους και: Υπολογίζεται ο ελάχιστος αριθμός των ράβδων που απαιτούνται για να στηριχθούν οι δοκοί ισοστατικά μεταξύ τους, έτσι ώστε να μην παρουσιάζουν κινητότητα. Για μία σταθερή στήριξη δοκού χρειάζονται 3 ράβδοι και για δ δοκούς απαιτούνται 3δ ράβδοι. Αν α ο αριθμός των ράβδων στήριξης, τότε συνολικά θα υπάρχουν 3δ + α ράβδοι. Υπολογίζεται ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων ισορροπίας που μπορούν να γραφούν για τους κόμβους του φορέα και για τους εσωτερικούς μηχανισμούς (αρθρώσεις, κινητές πακτώσεις). Τα ελεύθερα άκρα και οι στηρίξεις λαμβάνονται σαν κόμβοι. Για κάθε κόμβο μπορούν να γραφούν 3 συνθήκες ισορροπίας και για κ κόμβους 3κ. Για s ειδικές συνθήκες ο συνολικός αριθμός των εξισώσεων ισορροπίας θα είναι 3κ + s.

12 2 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων (β) Ο αριθμός n = (3δ + α) (3κ + s) εκφράζει τη στατικότητα του πλαισίου: Αν n 0 το πλαίσιο είναι υπερστατικό Αν n = 0 το πλαίσιο είναι ισοστατικό Αν n 0 το πλαίσιο είναι υποστατικό (μηχανισμός)

13 Παραδείγματα: Στατικότητα των πλαισίων της διαφάνειας 2 με τον 2 ο τρόπο

14 3 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων (α) Τα πλαίσια θεωρούνται ότι εντάσσονται σε δύο κατηγορίες: (α) στα ανοικτά όπου δεν υπάρχουν κλειστοί βρόχοι του άξονα του φορέα και (β) στα κλειστά όπου υπάρχουν κλειστοί βρόχοι του άξονα του φορέα. Τα ανοικτά πλαίσια χωρίς εσωτερικούς μηχανισμούς θεωρούνται κατ αρχήν ότι είναι ελεύθερα στηρίξεων. Αν πακτωθεί ένα άκρο τους γίνονται ισοστατικά. Αν στηριχθούν και τα υπόλοιπα άκρα τους γίνονται τόσες φορές υπερστατικά όσος είναι ο αριθμός των ράβδων που χρειάσθηκαν οι τελευταίες στηρίξεις. Ο αριθμός των ράβδων που χρειάζεται κάθε στήριξη σημειώνεται με πρόσημο (+) στο αντίστοιχο άκρο.

15 3 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων (β) Στα ανοικτά πλαίσια με εσωτερικούς μηχανισμούς, βρίσκεται ο βαθμός υπεστατικότητας και αγνοούνται κατ αρχήν οι εσωτερικοί μηχανισμοί, αλλά στο τέλος αφαιρείται ο αριθμός των ειδικών συνθηκών s που εισάγουν οι μηχανισμοί αυτοί. Ο αριθμός των ειδικών συνθηκών κάθε μηχανισμού σημειώνεται με πρόσημο (-) στην αντίστοιχη θέση του φορέα. Στα κλειστά πλαίσια ανοίγονται πρώτα όλοι οι κλειστοί βρόχοι με τομές στις οποίες σημειώνονται τα φορτία διατομής τους και στη συνέχεια η εργασία προχωρά όπως στα ανοικτά πλαίσια. Στον βαθμό υπερστατικότητας προστίθεται ο αριθμός των φορτίων διατομής του συνόλου των τομών.

16 Παράδειγμα: Εύρεση στατικότητας σύνθετου πλαισίου με τον 3 ο τρόπο Στον ισοστατικό φορέα που προέκυψε από το πλαίσιο (α), προστίθενται 3 ράβδοι στο ένα άκρο και 3 στο άλλο, και αφαιρούνται μία ράβδος για την απλή άρθρωση και 2 για τη διπλή (s = 2 + 1). (α) (β) (γ) Συνεπώς ο φορέας είναι n = 6 3 = 3, δηλ. τρεις φορές υπερστατικός.

17 4 ος τρόπος εύρεσης της στατικότητας των πλαισίων Σύνθετοι πλαισιακοί φορείς θεωρούνται ότι αποτελούνται από απλές δοκούς (αμφιέρειστες ή προβόλους), από ράβδους, και από απλά πλαίσια (τριαρθρωτά, αμφιέρειστα, αμφίπακτα, κλπ). Η μόρφωση ενός σύνθετου πλαισίου δείχνει με ποιο τρόπο θα μεθοδευτεί η επίλυσή του, από την οποία προκύπτει και η στατικότητά του. Σε μερικές περιπτώσεις για να αποκτήσει ο φορέας μια ορισμένη μορφή, προστίθενται και αφαιρούνται ράβδοι, οπότε γίνεται φανερός ο τρόπος επίλυσης και η στατικότητά του. Ο τρόπος αυτός προϋποθέτει κάποια εμπειρία, είναι απλός, άμεσος και πλεονεκτεί έναντι των τριών πρηγουμένων.

18 Παράδειγμα: Εύρεση στατικότητας σύνθετου πλαισίου με τον 4 ο τρόπο Ο φορέας αποτελείται από: - την αμφιέρειστη δοκό AG 1, - την αμφιέρειστη δοκό G 3 D, - το τριαρθρωτό πλαίσιο BG 2 C. Επίλυση: πρώτα η δοκός AG 1 και βρίσκονται τα φορτία διατομής στην άρθρωση G 1, μετά η δοκός G 3 D και βρίσκονται τα φορτία διατομής της G 3 και στη συνέχεια το τριαρθρωτό πλαίσιο. Ο φορέας είναι ισοστατικός, αφού μπορούν να υπολογισθούν όλες οι αντιδράσεις του και να βρεθούν τα διαγράμματα M,N,Q μόνο από τις συνθήκες ισορροπίας.