# 9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9. Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov. Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora."

## Transcript

1 A Utexev 9 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Diagonalizuemostь matricy line nogo operatora 1 Matriqnoe predstavlenie line nyh operatorov Budem oboznaqatь qerez V line noe vektornoe prostranstvo (vewestvennoe ili kompleksnoe) razmernosti n: dim V = n; ego зlementy propisnymi bukvami: X, Y,, X, Y,, a skal ry stroqnymi: x, y,, α, β, Opredelenie Funkci A, otobraжa wa V v seb : A : V V, nazyvaets line nym preobrazovaniem V ili operatorom na V esli ona obladaet svo stvom line nosti: A (α 1 X 1 + α 2 X 2 ) = α 1 A (X 1 ) + α 2 A (X 2 ) dl { {X1, X 2 } V {α 1, α 2 } R ili C (1) (zdesь α 1, α 2 konstanty iz R esli oba prostranstva vewestvenny, i iz C, esli hot by odno iz prostranstv kompleksnoe) Rassmotrim operator A na V i pustь {X 1,, X n } bazis V Na dem koordinaty vektorov A (X 1 ),, A (X n ) v bazise {X 1,, X n } : Opredelenie Matrica A (X 1 ) = α 11 X 1 + α 21 X α n1 X n, A (X 2 ) = α 12 X 1 + α 22 X α n2 X n,, A (X n ) = α 1n X 1 + α 2n X α nn X n A = α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n α n1 α n2 α nn n n, (2) v kotoro po stolbcam sto t koordinaty obrazov bazisnyh vektorov, nazyvaets matrice operatora A v vybrannom bazise 1

2 Primer 1 V line nom prostranstve P 3 polinomov stepene ne vyxe 3 rassmotrim differencialьny operator A def = 2 d d x 1 : p(x) 2 p (x) p(x) Na ti ego matricu v bazise {1, x, x 2, x 3 } Rexenie V зtom primere X 1 = 1, X 2 = x, X 3 = x 2, X 4 = x 3 Formuly (2) priobreta t vid: A (X 1 ) = 2X 1 X 1 = 1 = 1 X 1, A (X 2 ) = 2X 2 X 2 = 2 x = 2 X 1 1 X 2, A (X 3 ) = 2X 3 X 3 = 4 x x 2 = 4 X 2 1 X 3, A (X 4 ) = 2X 4 X 4 = 6 x 2 x 3 = 6 X 3 1 X 4 Vybiraem koзfficienty iz pravyh qaste poluqivxihs formul i formiruem iz nih stolbcy matricy operatora: A = Primer 2 Izvestny obrazy bazisnyh vektorov R 3 pod de stviem operatora A : A 5 3 = 2 1, A 1 3 = 1 3, A 1 2 = Na ti matricu зtogo operatora v ishodnom bazise Rexenie Komponenty matricy A iwuts po formulam (2), kotorye moжno zapisatь v matriqnom vide: Otkuda [X 1,, X n ] A = [A (X 1 ),, A (X n )] A = [X 1,, X n ] 1 [A (X 1 ),, A (X n )], i dl naxego primera зta formula daet A = = = =

3 Teorema 1 Koordinaty proizvolьnogo vektora X = X X n i ego obraza Y = A (X) = y 1 X X n sv zany formulo y 1 = A (3) Dokazatelьstvo S odno storony, Y = A (X) = y 1 X X n S drugo storony, s pomowь formul (2) poluqaem: A (X) = A ( X X n ) = A (X 1 ) + + A (X n ) = = (α 11 X α n1 X n ) + + (α 1n X α nn X n ) = = ( α α 1n )X ( α n1 + + α nn )X n Poskolьku koordinaty vektora v fiksirovannom bazise opredel ts edinstvennym obrazom, imeem: y 1 = α α 1n, = α n1 + + α nn, qto i sootvetstvuet matriqno forme zapisi (3) Teorema 1 pozvol et svesti issledovanie operatora, de stvuwego v proizvolьnom prostranstve V, k issledovani operatora, de stvu wego nad vektorami-stolbcami v R n ili C n Posledni vsegda moжno zadatь v vide A (X) = AX, te de stvie A na stolbec X зkvivalentno domnoжeni зtogo stolbca sleva na podhod wu kvadratnu matricu por dka n Ostalosь tolьko vy snitь kak izmen ets matrica operatora pri perehode ot odnogo bazisa k drugomu i podobratь zatem tako bazis, v kotorom matrica priobrela baibolee prostu strukturu Teorema 2 Esli C matrica perehoda ot starogo bazisa k novomu, to matricy A i B operatora v starom i novom bazisah sv zany formulo : B = C 1 A C (4) Dokazatelьstvo Pustь {X 1,, X n } stary bazis, {X 1,, X n } novy bazis i nam izvestny koordinaty vektorov X i A (X) v oboih bazisah: X = X X n = X X n, Y = A (X) = y 1 X X n = y 1 X X n 3

4 Matrica perehoda C sv zyvaet koordinaty vektorov v starom i novom bazisah: y 1 y 1 = C, = C Poluqaem cepoqku ravenstv: y 1 B = = C 1 y 1 = C 1 A = C 1 AC Ravenstvo imeet mesto dl l byh stolbcov (,, ), sledovatelьno i dl stolbcov , 0,, 1 Obъedin poluqennye n ravenstv v odno matriqnoe, poluqim B E = C 1 A C E, otkuda i sleduet (4) Opredelenie Matricy A i B, sv zannye sootnoxeniem (4) (pri kako -to neosobenno matrice C) nazyva ts podobnymi: A = B 2 Sobstvennye qisla i sobstvennye vektory Rassmotrim operator nad kompleksnym prostranstvom V Opredelenie Vektor X V nazyvaets sobstvennym vektorom operatora A, esli a)x O, i b) λ C takoe, qto A (X) = λx V зtom sluqae qislo λ nazyvaets sobstvennym (ili harakteristiqeskim) qislom operatora, sootvetstvu wim dannomu sobstvennomu vektoru; obratno, govor t, qto vektor X prinadleжit sobstvennomu qislu λ Geometriqeski smysl vewestvennyh sobstvennyh qisel i vektorov: cobstvenny vektor zadaet napravlenie, na kotorom de stvie operatora svodits k rast жeni, togda koзfficient rast жeni i budet sobstvennym qislom Teorema 3 V kompleksnom prostranstve l bo operator imeet po kra ne mere odin sobstvenny vektor 4

5 Dokazatelьstvo Pustь {X 1,, X n } proizvolьny bazis V i A matrica operatora A v зtom bazise Togda dl togo qtoby vektor X = X X n O byl sobstvennym, prinadleжawim sobstvennomu qislu λ, N i D qtoby vypoln losь ravenstvo A x 2 = λ x 2 α 11 λ α 12 α 1n α 21 α 22 λ α 2n α n1 α n2 α nn λ x 2 = O n 1 (5) Pokaжem, qto suwestvu t kompleksnye qisla λ i ne vse nulevye,,, udovletvor wie sisteme (5) Neobhodimym usloviem suwestvovani netrivialьnogo rexeni u odnorodno sistemy (5) vl ets ravenstvo nul ee opredelitel : det(a λe) = α 11 λ α 12 α 1n α 21 α 22 λ α 2n α n1 α n2 α nn λ = 0 (6) Зtot opredelitelь vl ets polinomom stepeni n po λ Po osnovno teoreme vysxe algebry зtot polinom imeet po kra ne mere odin kompleksny korenь λ = λ 1 Podstaviv ego v (5), poluqaem odnorodnu sistemu uravneni s nulevym opredelitelem U tako sistemy vsegda suwestvuet netrivialьnoe rexenie (x 1,, x n), no togda vektor def X 1 = x 1X x nx n budet sobstvennym vektorom operatora A, prinadleжawim λ 1 Opredelenie Uravnenie (6) nazyvaets harakteristiqeskim ili vekovym uravneniem, a polinom v levo ego qasti harakteristiqeskim polinomom matricy A Primer 3 Har polinomy matric vtorogo i tretьego por dkov a 11 λ a 12 a 21 a 22 λ = λ2 (a 11 + a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) ; a 11 λ a 12 a 13 a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ = { } = λ 3 + (a 11 + a 22 + a 33 )λ 2 a 11 a 12 a 21 a 22 + a 22 a 23 a 32 a 33 + a 11 a 13 a 31 a 33 λ + det A voznika t v zadaqe o klassifikacii lini i poverhnoste vtorogo por dka 1 1 Sm vopros 11 5

6 Primer 4 Na ti sobstvennye qisla i sobstvennye vektory matricy 3/2 1/2 1/2 1/2 A = /2 1/2 3/2 1/ Rexenie Vyqisl em harpolinom i nahodim ego korni: det(a λe) = λ 4 3 λ 3 + λ λ 2 = (λ + 1)(λ 2)(λ 1) 2 Podstavl em kaжdy iz зtih korne v sistemu (5), rexaem ee po metodu Gaussa i stroim fundamentalьnu sistemu rexeni (fsr) { (A + 1 E)X = O = fsr = X 1 = (0, 1, 0, 1) } L bo vektor vida αx 1 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 1 { (A 2 E)X = O = fsr = X 2 = ( 1, 0, 1, 0) } L bo vektor vida αx 2 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 2 { (A 1 E)X = O = fsr = X 3 = (0, 0, 1, 1), X 4 = ( 1, 1, 0, 0) } L bo vektor vida αx 3 + βx 4 budet sobstvennym, prinadleжawim λ = 1 Sledstvie 1 L bo korenь harpolinoma vl ets sobstvennym qislom operatora A i obratno: l boe sobstvennoe qislo operatora A vl ets kornem harpolinoma Teorema 4 Harpolinomy podobnyh matric odinakovy Dokazatelьstvo A = B neosobenna matrica C, taka qto B = C 1 AC Imeem: det(b λe) = det(c 1 AC λe) = = det(c 1 AC λc 1 EC) = det C 1 (A λe)c = det(a λe) Inaqe govor, dl dannogo operatora A harpolinom ego matricy ne zavisit ot vybora bazisa prostranstva Poзtomu moжno govoritь o harpolinome operatora A 6

7 3 Diagonalizuemostь matricy operatora Teorema 5 Sobstvennye vektory operatora, prinadleжawie razliqnym sobstvennym qislam, line no nezavisimy Dokazatelьstvo Pustь λ 1,, λ k razliqnye sobstvennye qisla operatora A, a X 1,, X k prinadleжawie im sobstvennye vektory: A (X j ) = λ j X j Dokaжem teoremu indukcie po k Dl k = 1 utverжdenie oqevidno Pustь ono verno dl k 1 vektora, no neverno dl k vektorov: α 1 X α k 1 X k 1 + α k X k = O (7) pri kakom-to iz koзfficientov otliqnom ot nul ; pustь α 1 0 K obeim qast m ravenstva (7) primenim operator A Poluqim A (α 1 X 1 + +α k 1 X k 1 +α k X k ) = O = α 1 λ 1 X 1 + +α k 1 λ k 1 X k 1 +α k λ k X k = O Domnoжim ravenstvo (7) na λ k i vyqtem iz poslednego: α 1 (λ 1 λ k )X α k 1 (λ k 1 λ k )X k 1 = O Zdesь α 1 (λ 1 λ k ) 0 tk λ 1 λ k Vektory X 1,, X k 1 poluqilisь line no zavisimymi, qto protivoreqit indukcionnomu predpoloжeni Teorema 6 Esli operator imeet n = dim V line no nezavisimyh sobstvennyh vektorov, to v bazise imi obrazuemom matrica operatora diagonalьna Obratno: esli matrica operatora v nekotorom bazise diagonalьna, to kaжdy vektor зtogo bazisa sobstvenny dl operatora Dokazatelьstvo Esli A (X 1 ) = λ 1 X 1,, A (X n ) = λ n X n (8) i sistema {X 1,, X n } lnz, to vz v ee v kaqestve bazisa prostranstva V poluqim sootvetstvu wu matricu operatora A v vide: λ 1 O A diag = (9) O Obratno, esli matrica operatora v nekotorom bazise {X 1,, X n } imeet vid (9), to зto oznaqaet, naprimer, qto A (X 1 ) = λ 1 X 1, te X 1 sobstvenny vektor, prinadleжawi λ 1 Analogiqno dokazyvaets i dl ostavxihs vektorov λ n 7

8 Opredelenie Bazis line nogo prostranstva, sosto wi iz sobstvennyh vektorov operatora A, nazyvaets kanoniqeskim Sledstvie 1 (Matriqny analog teoremy) Pustь A matrica operatora A v zadannom bazise Neosobenna matrica C, udovletvor wa ravenstvu C 1 AC = A diag suwestvuet togda i tolьko togda, kogda suwestvuet bazis prostranstva, sosto wi iz sobstvennyh vektorov Togda matrica C vl ets matrice perehoda ot zadannogo bazisa k kanoniqeskomu bazisu, a na diagonali A diag sto t sobstvennye qisla matricy A Opredelenie Pri vypolnenii uslovi predyduwego sledstvi govor t, qto matrica A diagonalizuema (ili privodits k diagonalьno forme) Teorema 5 pozvol et sformulirovatь dostatoqnoe uslovie diagonalizuemosti Teorema 7 Esli harpolinom operatora ne imeet kratnyh korne, to matrica operatora diagonalizuema Uslovie teoremy 7 prover ets qisto algebraiqeski: vyqisleniem naibolьxego obwego delitel harpolinoma i ego proizvodno 2 Podqerknem ewe raz: зto uslovie ne vl ets neobhodimym dl diagonalizuemosti, kak pokazyvaet primer 4 S drugo storony, ime ts primery matric s kratnymi sobstvennymi qislami, kotorye ne vl ts diagonalizuemymi Tak, dl matric A = ( ) i A = ( popytka podobratь matricu C, udovletvor wu ravenstvu ( ) α1 0 AC = C α 0 α 1 C, α 2 C, 2 zakanqivaets neobhodimym usloviem: det C = 0 Dl togo, qtoby vy snitь diagonalizuema ili net danna konkretna matrica, ime wa kratnye sobstvennye qisla, kaжdoe iz poslednih issleduets otdelьno na koliqestvo line no-nezavisimyh sobstvennyh vektorov, emu prinadleжawih Qislo takih vektorov ne prevoshodit kratnosti sobstvennogo qisla v harpolinome Takim obrazom, matrica operatora diagonalizuema togda i tolьko togda, kogda dl kaжdogo sobstvennogo qisla λ j vypolneno: n rank(a λ j E) = kratnostь λ j (10) 2 Ili жe diskriminanta harpolinoma ) 8

9 Primer 5 Na ti vse vewestvennye znaqeni parametra α, pri kotoryh matrica α α diagonalizuema Rexenie Harpolinom f(λ) = λ λ 2 (3 α 1) imeet kratnye korni tolьko dl teh znaqeni parametra α, pri kotoryh odnovremenno f(λ) = 0, f (λ) = 0, te pri α = 0 i α = 2/3 Pri α = 0 korenь λ = 1 imeet kratnostь 2 Na dem rang matricy A + E: = rank = 2, n rank = 1 Uslovie (10) ne vypolneno Ono ne budet vypolneno i pri α = 2/3 (zdesь korenь λ = 1 imeet kratnostь 2) Otvet Matrica diagonalizuema pri vseh znaqeni h parametra, za iskl qeniem α = 0 i α = 2/3 Suwestvuet cely klass diagonalizuemyh matric Teorema 8 L ba simmetriqna matrica diagonalizuema Esli, vdobavok, зta matrica vewestvenna, to i ee diagonalьny vid toжe budet vewestvennym Zameqanie Dl nediagonalizuemyh matric stavits zadaqa ob ih privedenii k tak nazyvaemo жordanovo normalьno forme 9

### Μορφές και πρόσημο τριωνύμου

16 Φεβρουαρίου 214 Μορφές τριωνύμου Μορφές τριωνύμου Ανάπτυγμα: P(x) = αx 2 + βx + γ Μορφές τριωνύμου Μορφές τριωνύμου Ανάπτυγμα: Παραγοντοποιημένη: P(x) = αx 2 + βx + γ P(x) = k(x λ)(x μ) Μορφές τριωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

### = k. n! k! (n k)!, k=0

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

### 2 4 Έστω A= , οι υπο-πίνακες 2x2 είναι: -4-8. 2 4 η ορίζουσα είναι det. --> µε διαγραφή της 2 ης γραµµής:,, 2 4-4-8 9 18 -4-8

Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών Ασκήσεις σε εύρεση του βαθµού πινάκων m x n 2 4 9 18-4 -8 2 4 --> µε διαγραφή της 3 ης γραµµής:,, 9 18 2

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

### ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%

Διαβάστε περισσότερα

### Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

### Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

### FICHA TΙCNICA Tνtulo original em russo: Na Rubeje - (1901) Traduzido para o portuguκs por: Vicente Paulo Nogueira

FICHA TΙCNICA Tνtulo original em russo: Na Rubeje - (1901) Traduzido para o portuguκs por: Vicente Paulo Nogueira NA FRONTEIRA Copyright - 1991 5ͺ Ediηγo (revisada) LIVRARIA ESPΝRITA BOA NOVA LIDA. Rua

Διαβάστε περισσότερα

### Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

### Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 C LINE 20

Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 Χωρητικότητα κάδου : 10 lt Ναί Βάρος: 100 Kg Ισχύς: 0,5 Kw C LINE 20 Χωρητικότητα κάδου : 20 lt Βάρος: 105 Kg Ισχύς: 0,7 Kw Ναί Επιδαπέδια μίξερ σειρά C LINE C LINE 10 Χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

### Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΝΑΤΟΤΗΤΑΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΘΕΡΜΩΝ ΝΙΓΡΙΤΑΣ (Ν. ΣΕΡΡΩΝ)

ελτίο της Ελληνικής Γεωλογικής Εταιρίας τοµ. XXXVI, 2004 Πρακτικά 10 ου ιεθνούς Συνεδρίου, Θεσ/νίκη Απρίλιος 2004 Bulletin of the Geological Society of Greece vol. XXXVI, 2004 Proceedings of the 10 th

Διαβάστε περισσότερα

### 24o YNE PIO I O O IA 24th INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - H H YMMETOXH N 1 (N μ 29/02/2012 ) (.,,,,.): KATOIKIA : TH E NO TH E NO KATOIKIA : KINHTO TH E NO: NA META X TO : μ YNE PO AKPOATH KAI YNE PO PO O OY YNO EYEI

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΕΠΩΝΥΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΜΕΣΟ ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 6 OO ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ 4 OO ΑΓΓΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 6 OO ΑΔΑΜΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΑΒΡΑΑΜ 3 OO ΑΛΕΒΙΖΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 7 OO ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΙΤΣΑ

Διαβάστε περισσότερα

### 1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

### 4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

### bab.la Φράσεις: Ταξίδι Τρώγοντας έξω ελληνικά-ελληνικά

Τρώγοντας έξω : Στην είσοδο Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι για _[αριθμός ατόμων]_ στις _[ώρα]_. (Tha íthela na kratíso éna trapézi ya _[arithmós atómon]_ στις _[óra]_.) Θα ήθελα να κρατήσω ένα τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

### Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

### Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 01 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Μαΐου 01 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

### http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

### Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

### Δελτίο δεδομένων ασφαλείας

Σελίδα: 1/11 ΤΜΗΜΑ 1: Αναγνωριστικός κωδικός ουσίας/μείγματος και εταιρείας/επιχείρησης 1.1 Αναγνωριστικός κωδικός προϊόντος REF 918163 Εμπορική ονομασία NANOCOLOR Chlorine dioxide 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

Διαβάστε περισσότερα

### Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

### http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

### Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

### Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

### Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

### ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

### Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

### www.osram.com 300 ΑΛΟΓΟΝΟΥ ΤΑΣΗΣ ΔΙΚΤΥΟΥ

.osram.com 300 ΑΛΟΓΟΝΟΥ ΤΑΣΗΣ ΔΙΚΤΥΟΥ Ηλεκτρονικά συστήματα ελέγχου Τα ηλεκτρονικά συστήματα ελέγχου της OSRAM όχι μόνο επεκτείνουν τη διάρκεια ζωής των λαμπτήρων, αλλά και προσφέρουν λειτουργία χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

### - pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΤΗΑ ΨΕΣ 2012-13 24/3/2013 11:03 µµ

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ DISCRETE TIME SIGNALS AND SYSTEMS Γνωρίζουµε ήδη καλά τα Αναλογικά Σήµατα,, ή Σήµατα Συνεχούς Χρόνου Παραδείγµατα δίνονται πιο κάτω. Στα σήµατα αυτά η τιµή είναι ορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

### 4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

### Open Δ Ι Α Φ Η Μ Ι Σ Ε Line Ι Σ - Ε Κ Δ Ο Σ Ε Ι Σ Η σίγουρη λύση για τα φροντιστήρια σε όλη την Ελλάδα

Διαβάστε περισσότερα

### Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

### Υλικά Εσωτερικών Εγκαταστάσεων

Υλικά Εσωτερικών Εγκαταστάσεων Περιεχόμενα Κεφαλαίου.2 Αυτόματες Ασφάλειες Red Line - 3k, Καμπύλης C.3 Αυτόματες Ασφάλειες Red Line - 6k, Καμπύλης C.4 Αυτόματες Ασφάλειες Red Line - 6k, 80-125, Καμπύλης

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

### #INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS

1 1002 Euromedica 1 επίσκεψη σε γιατρούς διαφόρων ειδικοτήτων, στην Κλινική Αθήναιον 2 1008 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 3 1016 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 4 1017 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

### τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

### Άσκηση Υπαίθρου Μακεδονία - Ήπειρος

Άσκηση Υπαίθρου Μακεδονία - Ήπειρος Γεωλογία Ελλάδας - Τεχνική Γεωλογία Κίλιας Α. Μαρίνος Β. Θωμαΐδου Ε. Μακεδών Θ. Ι.Γ.Μ.Ε., 1:500.000 41 N FYROM Internal Hellenides Rh Rhodope ALBANIA Pl Ax CRB Sm North

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

### jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó

L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk

Διαβάστε περισσότερα

### Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

### Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος

ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

### Άσκηση 7η Ιστοκαλλιέργεια Παρασκευή και αποστείρωση υποστρώµατος

84 Άσκηση 7 η Ιστοκαλλιέργεια Παρασκευή και αποστείρωση υποστρώµατος Η µέθοδος της ιστοκαλλιέργειας βασίζεται στην ολοδυναµικότητα του κυττάρου, την ικανότητα δηλαδή να αναγεννά το φυτό από το οποίο προήλθε.

Διαβάστε περισσότερα

### SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA K R MATTHEWS DEPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF QUEENSLAND First Printing, 99 CONTENTS PROBLEMS 6 PROBLEMS 4 PROBLEMS 7 8 PROBLEMS 36 3 PROBLEMS 4 45

Διαβάστε περισσότερα

### ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος

1 ιαλογικά συστήµατα αποδείξεων (Interactive proof systems) Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα καθ. Στάθης Ζάχος παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος 2 Εισαγωγή Proof Systems: Η απόδειξη είναι µια διαδικασία που σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

### A. Αὐτοτελεῖς δημοσιεύσεις:

Ὁ Κυριακὸς Νικολάου-Πατραγᾶς εἶνε πτυχιοῦχος τῆς νομικῆς σχολῆς τοῦ Ἀθῄνησι πανεπιστημίου καὶ κάτοχος μεταπτυχιακοῦ διπλώματος αὐτῆς. Εἰς τὴν αὐτὴν ὡς ἄνω σχολὴν ὑπεστηρίξατο ἐν ἔτει 2007 τὴν ἐναίσιμον

Διαβάστε περισσότερα

### Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A.

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE DE L ÉLECTRON Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne par Anatoly A. LOGUNOV Directeur de l'institut de Physique des Hautes

Διαβάστε περισσότερα

### L A TEX 2ε. mathematica 5.2

Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

### Α. ΖΙΡΩ - 2 ΑΤΟΜΩΝ ΙΣΤΙΟΠΛΟΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΦΑΛΗΡΟ - ΠΟΡΟΣ - ΦΑΛΗΡΟ 20/04/2013-21/04/2013

Α. ΖΙΡΩ - 2 ΑΤΟΜΩΝ ΙΣΤΙΟΠΛΟΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΦΑΛΗΡΟ - ΠΟΡΟΣ - ΦΑΛΗΡΟ 20/04/2013-21/04/2013 GENERAL RESULTS From Class : CLUB 1 To Class : CLUB 3 Pos Sail nr. Class Yacht Skipper Club 1 2 Points 1 GRE6142

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

### ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

### Θέματα από τους μιγαδικούς

6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

### 22o YNE PIO I O O IA 22nd INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

IE NH ETAIPEIA E HNIKH I O O IA 5, 17456 - TEL: +30210 9956955, +30210 7277545, +30210 7277548 FAX: +30210 9923281, +30210 7248979 website: http://www.hri.org/iagp/, http://www.iagp.gr E-mail: kboud714@ppp.uoa.gr

Διαβάστε περισσότερα

### EL ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Σχέδιο

EL ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Σχέδιο ΑΠΟΦΑΣΗ αριθ. 1/2015 ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ CARIFORUM-ΕΕ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΗ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΩΝ ΕΜΠΟΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΛΛΑΓΩΝ της [ ] σχετικά με παρέκκλιση από τους κανόνες καταγωγής

Διαβάστε περισσότερα

### Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

### ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

### Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

### α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

### Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

### ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

### Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

### Lens Compatibility Chart 2016

ns patblt hat Md M E gtal L aeas (as f Mach ) L aeas gtal (ens) at x p t p ac a a e n p pt e. P. P P / f f u.. s ds h u u c Mc f l nl t u E E n f un M nn a / Z. / Z.. / U. P U. P P.. / O U. U. / P. / P.

Διαβάστε περισσότερα

### ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΑΚΕΣ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ ΕΚΤΟΣ ΕΔΑΦΟΥΣ ΘΡΕΠΤΙΚΑ ΔΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΑΚΕΣ ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΕΣ ΕΚΤΟΣ ΕΔΑΦΟΥΣ ΘΡΕΠΤΙΚΑ ΔΙΑΛΥΜΑΤΑ Θρεπτικό διάλυμα Είναι ένα αραιό υδατικό διάλυμα όλων των θρεπτικών στοιχείων που είναι απαραίτητα για τα φυτά, τα οποία βρίσκονται διαλυμένα

Διαβάστε περισσότερα

### PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

### 21 YNE PIO I O O IA 21st INTERNATIONAL CONFERENCE OF PHILOSOPHY

INTERNATIONAL ASSOCIATION FOR GREEK PHILOSOPHY 5, SIMONIDOU STR., 174 56 ALIMOS GREECE TEL: +30210-9956955, +30210-7277545, +30210-7277548 FAX: +30210-9923281, +30210-7248979 Website: http://www.hri.org/iagp,

Διαβάστε περισσότερα

### ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW (Ισχύει από 02/03/2015)

ΛΙΑΝΙΚΗ F21 - Νέα Σειρά 1 3θυρη 2P71 116i 1.499 109 116-126 22.650 21.220 116i Έκδοση Advantage 24.150 22.720 116i Έκδοση Sport Line 26.000 24.570 116i Έκδοση Urban Line 26.000 24.570 116i Έκδοση M Sport

Διαβάστε περισσότερα

### ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

### Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium

Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si

Διαβάστε περισσότερα

### Fax no +302106505936 To. 2310263139 Page: 1/12

rom Ktimatoiogio SA ax no +302106505936 To. 2310263139 Page: 1/12 Date 11/19/2015940.39 Mv1 EeNtKo KTHMATOAOnO a XAPTOrPAeHlH A.I. A911va, 18/11/2015 A.n.: 15317781L\.AK 926 nuos: YnoOT]KoAaKdo Nto)v

Διαβάστε περισσότερα

### ПРАВИЛА О РАДУ ДИСТРИБУТИВНОГ СИСТЕМА

ПРАВИЛА О РАДУ ДИСТРИБУТИВНОГ СИСТЕМА Верзија 1.0 децембар 2009. године На основу члана 107. Закона о енергетици (''Службени гласник Републике Србије'' број 84/04) и чл. 32. ст. 1. т. 9. Одлуке о измени

Διαβάστε περισσότερα

### 1. Matrix Algebra and Linear Economic Models

Matrix Algebra ad Liear Ecoomic Models Refereces Ch 3 (Turkigto); Ch 4 5 (Klei) [] Motivatio Oe market equilibrium Model Assume perfectly competitive market: Both buyers ad sellers are price-takers Demad:

Διαβάστε περισσότερα

### Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Στοιχειακοί ηµιαγωγοί Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική Οµοιοπολικοί δεσµοί στο πυρίτιο Κρυσταλλική δοµή Πυριτίου ιάσταση κύβου για το Si: 0.543 nm Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική

Διαβάστε περισσότερα

### ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

### Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

### ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

### ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ BMW

F21 - Σειρά 1 3θυρη 1P11 114i 1.598 102 127-132 21.900 20.470 1D11 116i 1.598 136 125-134 23.900 22.470 1D31 118i 1.598 170 129-137 27.050 25.620 1D51 125i 1.997 218 154 / 148 34.900 32.100 1N71 M135i

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ NET ΗΛΜ - ΕΚΔΟΣΗ 1.0 60 ΟΜΑΔΑ Α: Η/Μ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΩΝ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ

0-ΓΕΝΙΚΟΙ_ΟΡΟΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ NET ΗΛΜ - ΕΚΔΟΣΗ 1.0 60 ΟΜΑΔΑ Α: ΗΜ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΩΝ ΟΔΟΠΟΙΙΑΣ 60.10 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΦΩΤΙΣΜΟΥ ΟΔΩΝ 60.10.01 Χλύβδινοι ιστοί οδοφωτισμού

Διαβάστε περισσότερα

### ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΡΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 2-22 ΖΩΝΩΝ FP 9500

Ηµ/νία Συµβάντος ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ Περιγραφή Συµβάντος και ενεργειών αντιµετώπισης ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΡΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 2-22 ΖΩΝΩΝ FP 9500 Από 2 έως 22 ζώνες επεκτάσιµος µε κάρτες 5 ζωνών υνατότητα σύνδεσης σε ίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

### Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

### Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

### σημείων της επιφάνειας ενός μουσικού δίσκου που παίζει στο πικ-απ, είναι παραδείγματα κυκλικών

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η κίνηση το ατοκινήτο γύρω από μια κκλική πλατεία, της μπίλιας στη ρολέτα πο περιστρέφεται, των σημείων της επιφάνειας ενός μοσικού δίσκο πο παίζει στο πικ-απ, είναι παραδείγματα κκλικών

Διαβάστε περισσότερα

### 100 % ΕΠΙΚΆΛΥΨΗ = 0 % ΔΙΆΒΡΩΣΗ!

herborner. X 100 % ΕΠΙΚΆΛΥΨΗ = 0 % ΔΙΆΒΡΩΣΗ! Επικαλυμμένη αντλία κυκλοφορίας νερού πισίνας Οδηγίες χρήσης Έκδοση X X-PM X-C Μετάφραση του πρωτότυπου οδηγιών χρήσης J.H. Hoffmann GmbH & Co. KG Littau 3-5

Διαβάστε περισσότερα

### Κ Α Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ 2 0 1 5

Κ Α Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ 2 0 5 Η Δομική Εξοπλιστική δραστηριοποιείται στην εισαγωγή και διάθεση ειδών ύδρευσης, αποχέτευσης, θέρμανσης και άρδευσης εδώ και 8 χρόνια. Εκπροσωπεί μεγάλους εμπορικούς οίκους παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

### ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

### ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ. ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΕΣ

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ. ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΕΣ Ένας χρόνος από το ατύχημα στη Fukushima Ραδιενέργεια, ακτινοβολίες και οι επιπτώσεις τους Γιώργος Πάντος Φυσικός ιατρικής- Ακτινοφυσικός

Διαβάστε περισσότερα

### CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

### Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

### Ανεμιστήρας 3-IN-1. Εγχειρίδιο Χρήσης. Μοντέλο: USF-616. Διαβάστε και φυλάξτε τις οδηγίες για μελλοντική αναφορά

Ανεμιστήρας 3-IN-1 Μοντέλο: USF-616 Εγχειρίδιο Χρήσης Διαβάστε και φυλάξτε τις οδηγίες για μελλοντική αναφορά Σημάνσεις Ασφαλείας Κατά τη χρήση οποιασδήποτε ηλεκτρικής συσκευής, συγκεκριμένα μέτρα ασφαλείας

Διαβάστε περισσότερα

### Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:

Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι:

Διαβάστε περισσότερα