Η Διπλωματική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού του Πανεπιστημίου Αιγαίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Διπλωματική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού του Πανεπιστημίου Αιγαίου"

Transcript

1 Εξόρυξη γνώσης από δεδομένα με διατήρηση της ιδιωτικότητας χρησιμοποιώντας νευρωνικά δίκτυα RBF για οριζόντια κατατετμημένα δεδομένα σε περιβάλλον μη έμπιστων χρηστών. Η Διπλωματική Εργασία παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού του Πανεπιστημίου Αιγαίου Σε Μερική Εκπλήρωση των Απαιτήσεων για το Δίπλωμα του Μηχανικού Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων του Αλέξανδρου Παντελή ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

2 Η ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΩΝ ΕΠΙΚΥΡΩΝΕΙ ΤΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΠΑΝΤΕΛΗ Μαραγκουδάκης Ε., Επιβλέπων Ημερομηνία: 28/6/2011 Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Κωνσταντίνου Ε., Μέλος Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Καμπουράκης Γ., Μέλος Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εξόρυξη γνώσης από δεδομένα αποσκοπεί στην ανακάλυψη (ή αποκάλυψη καλύτερα) συσχετίσεων μεταξύ δεδομένων, που δίνονται συνήθως σε μορφή πινάκων. Η εξόρυξη γνώσης μπορεί να έχει κάθε φορά διαφορετικό σκοπό, όπως την πρόβλεψη κάποιας τιμής (classification), την ταξινόμηση των δεδομένων σε n το πλήθος κατηγοριών (clustering) και την ανακάλυψη συσχετίσεων μεταξύ δεδομένων σε μορφή κανόνων (association rule discovery). Οι μεθοδολογίες αυτές χρησιμοποιούνται σε πάρα πολλούς τομείς από τα οικονομικά μέχρι την ιατρική, και σε συνδυασμό με την ανάγκη μεγάλου όγκου δεδομένων για υψηλή ακρίβεια των αποτελεσμάτων οδηγεί στο κρίσιμο ζήτημα της προστασίας της ιδιωτικότητας των δεδομένων αυτών. Για παράδειγμα αν δύο νοσοκομεία θέλουν να δουν αν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ κάποιων συμπτωμάτων/ασθενειών και περιβαλλοντικών αιτιών (π.χ. δίαιτα, τόπος διαμονής κ.α.), για να έχει μεγάλη ακρίβεια το μοντέλο θα πρέπει να υπολογιστεί πάνω στο σύνολο των δεδομένων ενώ προφανώς δεν θα πρέπει το ένα νοσοκομείο να μάθει πληροφορίες για τους ασθενείς του άλλου. Σε αυτή την εργασία παρουσιάζεται ένας αλγόριθμος πολυωνυμικής πολυπλοκότητας (O(1) σε σχέση με τον μη ιδιωτικό υπολογισμό) για τον υπολογισμό ενός μοντέλου RBF (για όλες τα kernel) για την εξόρυξη γνώσης από δεδομένα μεταξύ δύο χρηστών. Συγκεκριμένα το πρωτόκολλο αυτό χρησιμοποιείται για ταξινόμηση/παλινδρόμηση σε οριζόντια κατατετμημένα δεδομένα. Η ιδιωτικότητα των δεδομένων του κάθε χρήστη διατηρείται χωρίς υποθέσεις για την «τιμιότητα» των χρηστών, δηλαδή δεν γίνεται υπόθεση semi-trusted εμπλεκομένων αλλά πλήρως κακόβουλων. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επέκταση του πρωτοκόλλου για χρήση από Ν το πλήθος χρήστες, ανάλυση χρονικής πολυπλοκότητας και επικοινωνιακής επιβάρυνσης και μελέτη της ασφάλειας (ιδιωτικότητας) που προσφέρεται. Εν τέλει παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα απόδοσης του όσο αφορά την ακρίβεια/αναακληση και χρόνο εκτέλεσης χρησιμοποιώντας ένα πραγματικό σύνολο δεδομένων του Αλέξανδρου Παντελή Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ iii

4 ABSTRACT The purpose of data mining is the discovery of relations between data usually given in the form of matrices. Data mining methods can have a variety of purposes, such as the prediction of a value that is known to be a function of the data (classification), the grouping of the available data points to a number of groups which represent similar data points (clustering) or the discovery of rules that link data points between them (association rule discovery). The aforementioned methods are used in a wide variety of fields from economics to medicine, and combined with the need for a substantially large volume of data in order to maximize the methods accuracy, protecting the privacy of said data is a critical matter that has to be resolved. For example if two hospitals want to examine the relation between a number of symptoms and environmental factors (diet or climate for example), the predictive/association model has to be computed on the union of their data while keeping the privacy of the records of each hospital. This dissertation presents a polynomial time complexity protocol (O(1) in relation to non private computing) for the computation of the RBF network data mining model (all kernels). Specifically this protocol is used for the regression/classification on horizontally partitioned data. The privacy of each user s data is preserved without any assumptions on the honesty of the rest of the users; this is to say that the malicious model is asserted. In the first chapter an introduction to RBF networks data mining is made and related privacy preserving data mining work is presented. The final part of the first chapter is a table of definitions and notation used throughout this dissertation. The second chapter offers an analysis of the problem that needs to be solved and the difficulties that need to be surpassed. Conclusion of this chapter is that the solution is not as straightforward as it originally seems and key observations are made on the nature of the problem. Using the results from the previous chapter a privacy preserving data mining protocol for two users is presented. The second part of chapter three expands this protocol for usage by N users and concludes with an example of usage. Chapter four focuses on the time complexity and communication overhead of the proposed protocol and compares it to a non-private computation. Continuing, the next chapter, chapter five offers an analysis of how secure is the proposed protocol, beyond some small notes on availability and other security demands the majority of the chapter discusses the issue of privacy. In this chapter various parameters and a sub-protocol used by the privacy preserving protocol (as presented in chapter three) are discussed. The sixth chapter presents the expected consequences the use of the proposed protocol has on the precision/recall percentages of the final classification/regression model. Beyond empirical iv

5 observations a number of similar studies are referenced that show that for a variety of problems the constraints imposed by the proposed protocol have no effect on the precision/recall percentages. Chapter seven presents the experimental design and methodology used as well as the software developed that uses the proposed protocol. The data that were used for the experiments and the results obtained are also part of this chapter. Finally, the last chapter concludes this dissertation with a recapitulation of the basic features, advantages and disadvantages of the proposed protocol. This list of disadvantages can be the basis of future work on this subject and are mentioned as such Alexandros Panteli Department of Information and Communication Systems Engineering UNIVERSITY OF THE AEGEAN v

6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ - ΑΦΙΕΡΩΣΕΙΣ Πρωτίστως θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέπων καθηγητή μου Δρ. Εμμανουήλ Μαραγκουδάκη για την υποστήριξη, την καθοδήγηση κα την βοήθεια του κατά το ερευνητικό και το πειραματικό μέρος αυτής της εργασίας. Λόγω της φύσης αυτής της εργασίας, η ολοκλήρωση της δεν θα ήταν δυνατή χωρίς την συμβολή του. Θέλω να ευχαριστήσω τον Δρ. Γκρίτζαλη Στέφανο που με ενέπνευσε να ασχοληθώ με το θέμα αυτό ως διπλωματική εργασία και για την γνώση που μου προσέφερε στα πλαίσια του μαθήματος Ασφάλειας Πληροφοριακών & Επικοινωνιακών Συστημάτων. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω γενικά το διδακτικό προσωπικό του Πανεπιστημίου που με εφοδίασαν με την απαραίτητη γνώση και κριτική σκέψη ώστε να φέρω εις πέρας αυτή την εργασία. Ευχαριστώ τους Πολυχρόνη Μάριο και Ευαγόρου Ανδρέα για την βοήθεια τους με την εκτέλεση των πειραμάτων και τους Καλογήρου Άννα, Κοκότση Αλέξανδρο και Ιωάννου Αλέξανδρο για την βοήθεια τους κατά την έρευνα. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου και τους φίλους μου για την υποστήριξη που μου έδειξαν κατά την εκπόνηση αυτής της εργασίας. -Παντελή Αλέξανδρος vi

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ iii ABSTRACT iv ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... vi ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ. vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... ix ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ Δίκτυα συνάρτησης ακτινικής βάσης Σχετική έρευναv Ορισμοί - Συμβολισμός 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Υπολογισμός των w i με από κοινού υπολογισμό του πίνακα Φ Υπολογισμός των w i χωρίς τον από κοινού υπολογισμό του πίνακα Φ Παρατηρήσεις ασφάλειας Διάταξη κέντρων 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ/ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΟ Πρωτόκολλο για δύο χρήστες Επέκταση για Ν το πλήθος χρήστες Παράδειγμα: Πρόβλημα XOR μεταξύ δύο χρηστών 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΉ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Χρονική πολυπλοκότητα Μη-ιδιωτικός υπολογισμός Με χρήση προτεινόμενου πρωτοκόλλου Επικοινωνιακή επιβάρυνση (communication overhead) Μη-ιδιωτικός υπολογισμός Με χρήση προτεινόμενου πρωτοκόλλου.. 29 vii

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΑΣΦΑΛΕΙΑ Διατήρηση ιδιωτικότητας σε περιβάλλον μη-έμπιστων χρηστών Επιλογή συνάρτησης ακτινικής βάσης Πρωτόκολλο επιλογής πλήθους κέντρων Ευρωστία έναντι στατιστικών επιθέσεων Προστασία πλήθους εγγραφών Προστασία εγγραφών Άλλες απαιτήσεις ασφάλειας Ανακεφαλαίωση 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑ Πρόβλεψη μεταβλητής διακριτών τιμών (classification) Πρόβλεψη μεταβλητής συνεχούς τιμής (regression) Βελτιστοποίηση πρωτοκόλλου επιλογής πλήθους κέντρων. 51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Δεδομένα που χρησιμοποιηθήκαν Λογισμικό Τεχνικά χαρακτηριστικά Αρχιτεκτονική - Σχεδίαση Βοηθητικό λογισμικό Πειραματική μέθοδος Πειραματικά αποτελέσματα.. 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 75 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι - ΚΩΔΙΚΑΣ 77 ΣΥΝΤΟΜΟ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 101 viii

9 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Αρ. Λεζάντα Σελ. 7-1 Περιγραφή κλάσεων Περιγραφή συναρτήσεων λογισμικού Περιγραφή μηνυμάτων που χρησιμοποιούνται από το πρωτόκολλο Περιγραφή βοηθητικών προγραμμάτων Πίνακας υλικού που χρησιμοποιήθηκε 71 ix

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Αρ. Λεζάντα Σελ. 1-1 Χώρος και σημεία του προβλήματος της συνάρτησης XOR 1, Αρχιτεκτονική τεχνητού νευρωνικού δικτύου RBF Χωρισμός του Φ σε 4 μέρη 8, Μέσο ποσοστό μείωσης (100% = 1 ) σε σχέση με τον αριθμό των χρηστών. Μια 38 τάξη μεγέθους μέγιστη διαφορά στο πλήθος στον σημείων 5-2 Μέσο ποσοστό μείωσης (100% = 1 ) των χρηστών που έκαναν μείωση >0% σε 39 σχέση με τον αριθμό των χρηστών. Μια τάξη μεγέθους μέγιστη διαφορά στο πλήθος στον σημείων 5-3 Μέσο ποσοστό μείωσης (100% = 1 ) σε σχέση με τον αριθμό των χρηστών. Δύο 40 τάξεις μεγέθους μέγιστη διαφορά στο πλήθος στον σημείων 5-4 Μέσο ποσοστό μείωσης (100% = 1 ) των χρηστών που έκαναν μείωση >0% σε 41 σχέση με τον αριθμό των χρηστών. Δύο τάξεις μεγέθους μέγιστη διαφορά στο πλήθος στον σημείων 6-1 Σύγκριση του τελικού αριθμού κέντρων που υπολογίζεται από το πρωτόκολλο 51 επιλογής πλήθους κέντρων χωρίς υποχρεωτική μείωση του αριθμού τους ενάντια στη ασφαλής παραλλαγή. (μία τάξη μεγέθους απόκλιση στον αριθμό σημείων) 6-2 Εστίαση του σχήματος 6-1 μόνο στην περιοχή 0-20 χρηστών Σύγκριση του τελικού αριθμού κέντρων που υπολογίζεται από το πρωτόκολλο 53 επιλογής πλήθους κέντρων χωρίς υποχρεωτική μείωση του αριθμού τους ενάντια στη ασφαλής παραλλαγή. (δύο τάξεις μεγέθους απόκλιση στον αριθμό σημείων) 6-4 Εστίαση του σχήματος 6-3 μόνο στην περιοχή 0-20 χρηστών Σύγκριση του τελικού αριθμού κέντρων που υπολογίζεται από το πρωτόκολλο 55 επιλογής πλήθους κέντρων χωρίς υποχρεωτική μείωση του αριθμού τους ενάντια στη ασφαλής παραλλαγή. (300% απόκλιση στον αριθμό σημείων) 6-6 Σύγκριση του τελικού αριθμού κέντρων που υπολογίζεται από το πρωτόκολλο επιλογής πλήθους κέντρων χωρίς υποχρεωτική μείωση του αριθμού τους ενάντια στη παραλλαγή που χρησιμοποιεί πιθανότητα μείωσης ( 1 2 )ι 1. α)300% απόκλιση, β) Μια τάξη μεγέθους απόκλιση, γ)δυο τάξεις μεγέθους απόκλιση 7-1 Διάγραμμα κλάσεων του λογισμικού υπολογισμού μοντέλου ταξινόμησης RBF με διατήρηση της ιδιωτικότητας 7-2 Αποτελέσματα (χρόνος εκτέλεσης, ακρίβεια, ποσοστό ανάκλησης) για τα τέσσερα πειράματα που εκτελέστηκαν x

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Δίκτυα συνάρτησης ακτινικής βάσης Τα δίκτυα συναρτήσεων ακτινικής βάσης (RBF networks) αποτελούν μια ειδική περίπτωση τεχνητών νευρωνικών δικτύων. Το κύριο χαρακτηριστικό που ξεχωρίζει τα RBF δίκτυα από άλλα νευρωνικά δίκτυα είναι ότι η συνάρτηση κόστους (kernel) του δικτύου είναι μια συνάρτηση επί της ευκλείδειας απόστασης μεταξύ της εγγραφής εισόδου και κάθε νευρώνα του δικτύου. Η χρήση μιας μετρικής απόστασης ως συνάρτηση κόστους είναι που καθιστά τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα γενικά και τα δίκτυα RBF ειδικά πολύ καλά μοντέλα πρόβλεψης τιμών συναρτήσεων, κατηγοριοποίησης η αναγνώρισης προτύπων. Τα δίκτυα RBF είναι πολύ χρήσιμα σε περιπτώσεις όπου τα δεδομένα δεν είναι γραμμικά διαχωρίσιμα. Ένα παράδειγμα τέτοιων δεδομένων είναι ο πίνακας αληθείας της δυαδικής πράξης XOR που φαίνεται πιο κάτω: Σχήμα 1-1: Χώρος και σημεία του προβλήματος της συνάρτησης XOR Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε ότι δεν μπορεί να χωριστεί ο δυσδιάστατος χώρος των τεσσάρων σημείων με μόνο μια ευθεία έτσι ώστε σε κάθε ημιεπίπεδο να περιέχονται όλα τα σημεία μιας κλάσης (τιμή της συνάρτησης XOR που αντιπροσωπεύεται από το αν το σημείο είναι σκιασμένο). Έτσι καμιά μέθοδος συσταδοποίησης που διαχωρίζει γραμμικά τα δεδομένα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατηγοριοποίηση τους. Προχωρώντας στην ανάλυση του δικτύου RBF και τον τρόπο που υπολογίζεται η πρόβλεψη της συνάρτησης που θέλουμε πρώτος σταθμός είναι η επισκόπηση της αρχιτεκτονικής του δικτύου. Η αρχιτεκτονική των RBF δικτύων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 1

12 Σχήμα 1-2: Αρχιτεκτονική τεχνητού νευρωνικού δικτύου RBF Δηλαδή πρόκειται για ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο με ένα κρυμμένο επίπεδο. Από την αρχιτεκτονική αυτή μπορούμε να εξάγουμε την αλγεβρική έκφραση για την πρόβλεψη της τιμής ενός νέου στοιχείου Έστω s ένα νέο στοιχείο/σημείο, η προβλεφθείσα τιμή (1.1) f(s) = w i ρ( s c i ) c i=1 Όπου c το πλήθος των κέντρων και c i το i-οστό κέντρο. Για την εκπαίδευση του μοντέλου χρειάζεται ο υπολογισμός των συνιστωσών w i που καλούνται βάρη. Έστω ότι έχουμε m το πλήθος σημεία εκπαίδευσης και ότι οι αντίστοιχες (γνωστές) τιμές της συνάρτησης αποτελούν το διάνυσμα t, θα έχουμε m το πλήθος εξισώσεις της μορφής (1.2) t j = w i ρ( s j c i ) c i=1, j = 1, 2,, m Όπου t j η τιμή της συνάρτησης που ψάχνουμε (κλάση) του j-οστού στοιχείου και s j το j-οστό στοιχείο (από τα σημεία εκπαίδευσης). Το πιο πάνω σύστημα m εξισώσεων (άγνωστοι τα w i ) μπορεί να γραφεί ως. Φw = t 2

13 Όπου w το διάνυσμα των w i, t το διάνυσμα των t j και ο πίνακας Φ έχει στοιχεία: φ ij = ρ( s i c j ) Τα βάρη υπολογίζονται από την έκφραση (1.3) w = (Φ Τ Φ) 1 Φ Τ t Ο πίνακας Φ Τ Φ φυσικά δεν είναι αντιστρέψιμος στην γενική περίπτωση. Αντί του αντίστροφου πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας ψευδοαντίστροφος (ή γενικευμένος αντίστροφος) του διατηρώντας αποτελεσματικό το μοντέλο [1]. Η πιο γνωστή μορφή γενικευμένου αντίστροφου που χρησιμοποιείται είναι ο αντίστροφος Moore-Penrose [2]. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες συναρτήσεις ακτινικής βάσης είναι οι εξής: Έστω r = s i c j Gaussian ρ(r) = e (εr)2 Multiquadric: ρ(r) = 1 + (εr) 2 Inverse Quadratic: Inverse Multiquadric: Πολυωνυμική: ρ(r) = (εr) 2 1 ρ(r) = 1 + (εr) 2 ρ(r) = r k, k = 1,3,5 ρ(r) = r k ln (r), k = 2,4,6 Η εργασία αυτή παρουσιάζει ένα αλγόριθμο για τον υπολογισμό του πιο πάνω μοντέλου πρόβλεψης δικτύου RBF (οποιασδήποτε συνάρτησης) χρησιμοποιώντας οριζόντια κατατετμημένα δεδομένα (δηλαδή κάθε φορέας έχει ένα υποσύνολο εγγραφών με όλα τα χαρακτηριστικά) μεταξύ δύο φορέων/χρηστών, διατηρώντας την ιδιωτικότητα των δεδομένων του κάθε χρήστη. Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου (σταθερού χρόνου σε σχέση με το RBF) και βασίζεται στην συσσώρευση μερικών αποτελεσμάτων σε ένα υπό-άθροισμα από το οποίο δεν μπορεί να εξαχθεί πληροφορία. Όπως ανέφερα ακολουθεί ο επεκταμένος αλγόριθμος για χρήση από Ν το πλήθος χρήστες. 3

14 1.2 Σχετική Έρευνα Ο ιδιωτικός υπολογισμός μιας συνάρτησης δύο (η και περισσότερων) μεταβλητών όπου κάθε χρήστης κατέχει την τιμή της μίας (η και περισσότερων) μεταβλητής είναι ένα σημαντικό κρυπτογραφικό πρόβλημα το οποίο βρίσκει εφαρμογή σε πολλούς τομείς των σύγχρονων επιστημών. Εκτός από την ανάπτυξη συστημάτων κατανεμημένων κλειδιών (όπου το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι το κλειδί και κάθε εμπλεκόμενος έχει «μέρος» του) μια τέτοια μέθοδος οδηγεί στον ιδιωτικό υπολογισμό μοντέλων εξόρυξης δεδομένων, ανάκτησης πληροφορίας και αναγνώρισης προτύπων. Αν και υπάρχει μια γενικής χρήσης μέθοδος [3] για τον ιδιωτικό υπολογισμό μιας οποιαδήποτε συνάρτησης μεταξύ δύο χρηστών, καθώς και η επέκταση της για Ν το πλήθος χρηστών [4] και οι δύο βασίζονται στην αναπαράσταση της συνάρτησης ως ένα λογικό κύκλωμα, των εισόδων ως λογικών εισόδων και η επεξεργασία γίνεται ανά πύλη αυτού του κυκλώματος. Το μέγεθος του πρωτοκόλλου εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος της εισόδου (σε bits) αλλά και από την πολυπλοκότητα της συνάρτησης. Για παράδειγμα ο υπολογισμός ενός εσωτερικού γινομένου απαιτεί Ο(n 4 ) βήματα όπου n είναι ο αριθμός των bits που χρειάζεται για να αναπαρασταθεί ένα χαρακτηριστικό ενός διανύσματος. Η υψηλή αυτή πολυπλοκότητα οδήγησε στην δημιουργία εξειδικευμένων μεθόδων (για κάθε μοντέλο/αλγόριθμο) για τον ιδιωτικό υπολογισμό μοντέλων εξόρυξης δεδομένων. Για παράδειγμα οι Lindell,Pinkas [5] παρουσιάζουν ένα αλγόριθμο ιδιωτικού υπολογισμού του δέντρου απόφασης του ID3, οι Clifton, Vaidya [6] για τον Naïve Bayes,για τον k-means [7] και για SVM από τους Vaidya, Yu και Jiang [8]. Εκτός από τα πιο πάνω έχει προταθεί μια μέθοδος που μεταλλάσει τα δεδομένα διατηρώντας όμως τις στατιστικές τους ιδιότητες έτσι ώστε να μπορεί να παραχθεί ένα δέντρο απόφασης με παραπλήσια ακρίβεια [9]. Η παρούσα εργασία μελετά το εξειδικευμένο πρόβλημα του ιδιωτικού υπολογισμού του μοντέλου RBF δικτύου. Όπως αναφέρεται κύριος άξονας των RBF δικτύων είναι η ευκλείδεια απόσταση μεταξύ στοιχείων του χώρου, πιο πρόσφατες εργασίες ασχολούνται ακριβώς με τον ιδιωτικό υπολογισμό πρόσθεσης διανυσμάτων [10] και εσωτερικού γινομένου [11]. Οι παραπάνω βασίζονται σε ομοιομορφικές (προσθετικά) κρυπτογραφικές μεθόδους, δηλαδή που έχουν την ιδιότητα ότι Ε(x 1 ) Ε(x 2 ) Ε(x n ) = E(x 1 + x x n ) 4

15 Οι μέθοδοι αυτοί στην πρωταρχική τους μορφή είναι πολύ εύκολα παραβιάσιμες αν δεν υιοθετείτε semi-trusted μοντέλο για τους εμπλεκομένους. Ο υπολογισμός της f(x,y) γίνεται από τον ένα χρήστη ο οποίος αποστέλλει το αποτέλεσμα στον δεύτερο, τα δεδομένα που έδωσε ο δεύτερος για τον υπολογισμό της τιμής της συνάρτησης μπορούν να λάβουν τέτοια μορφή έτσι ώστε ο χρήστης που θα υπολογίσει το τελικό αποτέλεσμα να διαρρεύσει πληροφορία για το σημείο του όταν στείλει το αποτέλεσμα. Εκτός των παραπάνω πιο πρόσφατη δουλειά [12] από τους Kantarcioglu και Kardes παρουσιάζει μεθόδους για τον υπολογισμό εσωτερικού γινομένου, ισότητας και πράξεων μεταξύ συνόλων μέσα σε περιβάλλον μη-έμπιστων χρηστών. 5

16 1.3 Ορισμοί - Συμβολισμός Εγγραφή(ες)/σημείο(α)/δεδομένο(α)/διάνυσμα(τα): Οι εγγραφές της βάσης δεδομένων του χρήστη. n: Διάσταση των εγγραφών (σημείων) c: Αριθμός επιλεχθέντων κέντρων για χρήση από το RBF δίκτυο m: Συνολικός αριθμός εγγραφών (και των δύο χρηστών) λ: Αριθμός εγγραφών χρήστη Χ β: Αριθμός εγγραφών χρήστη Υ λ i : Στην περίπτωση Ν χρηστών με λ i συμβολίζεται ο αριθμός των στοιχείων του i-οστού χρήστη. u i : Ο i-οστός χρήστης u ζij : H τιμή ρ( u ζi c j ) όπου u ζi το i-οστό στοιχείο του ζ-οστού χρήστη. x ij : Η τιμή ρ( x i c j ), παρόμοια για τον Υ. Όπου i το i-οστό στοιχείο (από το 1) w: Διάνυσμα βαρών RBF ρ: Συνάρτηση ακτινικής βάσης c i : Το i-οστό κέντρο Φ: Πίνακας με τιμές RBF για τους συνδυασμούς κέντρων-σημείων των δύο χρηστών. φ ij : Το i,j στοιχείο του πίνακα Φ, δηλαδή το ρ( s i c j ) όπου s i to i-οστό στοιχείο (βάση όλων των σημείων) Απόσταση: Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Ο όρος αυτός χρησιμοποιείται και στην θέση της έκφρασης ρ( x i c j ) καθώς η ρ είναι γνωστή και η πληροφορία που χρειάζεται είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων. Παρατηρούμε ότι για κάθε kernel η ποσότητα x i c j μπορεί να υπολογιστεί από την ρ( x i c j ), (είναι two-way συναρτήσεις). 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ας προσπαθήσουμε να βρούμε βασιζόμενοι στη υπάρχουσα βιβλιογραφία ένα τρόπο ιδιωτικού υπολογισμού της τιμής της RBF έτσι ώστε ολόκληρο το μοντέλο να υπολογίζεται ιδιωτικά. Δηλαδή ψάχνουμε μέθοδο έτσι ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε τα στοιχεία του πίνακα Φ χωρίς να παραβιαστεί η ιδιωτικότητα των σημείων (και κέντρων) των χρηστών. Έχουμε για παράδειγμα την Gaussian RBF: ( x y ) 2 (2.1) e 2σ 2 Με e,σ σταθερές. Άρα το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό του ( x y ) 2 ή του x y = r Δηλαδή της γενικής RBF. Άρα οποιαδήποτε RBF μπορεί να υπολογιστεί ιδιωτικά αν μπορεί να υπολογιστεί ιδιωτικά η ποσότητα x y. Αυτό ισχύει καθώς οι RBF είναι two-way συναρτήσεις, άρα η ποσότητα x y μπορεί πάντα να υπολογιστεί από το αποτέλεσμα της RBF. Η συνάρτηση RB, ρ(r) = c είναι Rn -> R έχει άπειρες λύσεις αν n = dim(x) = dim(y) >=2 αφού θα έχουμε: n i=1 (x i y i ) 2 = z, όπου z ανήκει στο R. Με γνωστό το x και το z θα έχουμε ένα σύστημα 1 εξίσωσης με n αγνώστους, δηλαδή θα έχει άπειρες λύσεις. Σκοπός είναι δηλαδή, (εκ πρώτης όψεως) η εύρεση ενός αποδοτικού τρόπου υπολογισμού του z χωρίς την αποκάλυψη του δεύτερου διανύσματος στον χρήστη που δεν το κατέχει. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να υπολογιστεί ο πίνακας Φ και από τους δύο χρήστες. Γνωρίζουμε ότι: (2.2) x y 2 = x 2 + y 2 2x T y Οι ποσότητες x 2, y 2, δεν προσδίδουν σημαντική πληροφορία (μείωση κατά 1 διάσταση) για τα σημεία x,y ενώ το εσωτερικό γινόμενο x T y μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που προτείνεται από τους Amirbekyan, Castro [11]. Όπως θα αποδειχθεί σε αυτό το κεφάλαιο η προσέγγιση αυτή δεν παρέχει την απαιτούμενη ασφάλεια και μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Για τις επόμενες παραγράφους ας υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεση μας ένα αλγόριθμο για τον ιδιωτικό υπολογισμό της ρ( x i c j ). Παρακάτω γίνεται μια ανάλυση που δείχνει ότι εν τέλει η εύρεση ενός τέτοιου αλγόριθμου δεν οδηγεί στον ιδιωτικό υπολογισμό του μοντέλου. 7

18 2.1 Υπολογισμός των w i με από κοινού υπολογισμό του πίνακα Φ Για τον υπολογισμό των w i έστω υπολογίζεται ο mxc πίνακας (Φ) όπου m είναι ο αριθμός των (συνολικών) σημείων, c ο αριθμός των επιλεχθέντων κέντρων και κάθε κελί i,j περιέχει την τιμή ρ( s i c j ) όπου s i ένα σημείο, c j ένα κέντρο και ρ μια RBF (κάποιο kernel), τα t j τα κατέχει ο ανάλογος χρήστης (που έχει το σημείο που αντιστοιχεί στην γραμμή j). Προφανώς ο κάθε χρήστης μπορεί να υπολογίσει τις αποστάσεις (τιμές της RBF) μεταξύ των σημείων και των κέντρων του (υποθέτουμε ότι ο κάθε χρήστης έχει τα δικά του κέντρα και δεν είναι γνωστά στον άλλον). Δηλαδή έχουμε την εξής κατάσταση Σχήμα 2-1: Χωρισμός του Φ σε 4 μέρη Στο παραπάνω σχήμα χωρίζεται ο Δυσδιάστατος Φ πίνακας σε 4 μέρη: Χ: Εγγραφές αποστάσεων των σημείων του χρήστη Χ από τα κέντρα του Χ (τα δικά του σημεία από τα δικά του κέντρα) Υ: Εγγραφές αποστάσεων των σημείων του χρήστη Υ από τα κέντρα του Υ 1: Εγγραφές αποστάσεων των σημείων του Χ από τα κέντρα του Υ 2: Εγγραφές αποστάσεων των σημείων του Υ από τα κέντρα του Χ 8

19 Αν ο χρήστης Χ στείλει το μέρος Χ του πίνακα στον Υ δεν υπάρχει παραβίαση της ιδιωτικότητας καθώς υπάρχουν άπειρα σημεία που να δίνουν τις ίδιες αποστάσεις (εξ υποθέσεως ο κάθε χρήστης δεν γνωρίζει τα κέντρα του άλλου), ομοίως για το μέρος Υ. Τα άλλα δύο μέρη υπολογίζονται χρησιμοποιώντας κάποιο αλγόριθμό υπολογισμού απόστασης με διατήρηση της ιδιωτικότητας. Έστω ότι και οι δύο χρήστες έχουν υπολογίσει αυτόν τον πίνακα Φ (χρησιμοποιώντας ένα αλγόριθμο με διατήρηση της ιδιωτικότητας για υπολογισμό του κάθε κελίου). Εγείρονται τα εξής ζητήματα: (έστω n ο αριθμός των features και c o αριθμός των κέντρων (μοιρασμένος άνισα ή ίσα- στους δύο χρήστες)) Πρόταση 1: Προφανώς ο χρήστης Χ έχει στην κατοχή του αποστάσεις γνωστών σημείων (των κέντρων του) από άγνωστα σημεία (τα σημεία του Y). Αν ο αριθμός των κέντρων που κατέχει ο Χ είναι περισσότερα από το n τότε θα μπορεί να υπολογίσει ΚΑΘΕ σημείο του Υ καθώς θα έχει την απόσταση αυτού του σημείου (του Υ) από >n σημεία (τα κέντρα). Πρόταση 2: Στην γενική περίπτωση #εγγραφών του Χ ( = λ) >> c και >> n. Άρα αφού γνωρίζει την απόσταση κάθε σημείου του από κάθε κέντρο του Y θα μπορεί να υπολογίσει τα κέντρα του Υ (αφού θα έχει λ εξισώσεις με n αγνώστους(η απόσταση κάθε σημείου του από ένα κέντρο -> στήλη του Φ)). Άρα τα κέντρα θα πρέπει να είναι γνωστά. Τα παραπάνω ισχύουν αφού: Πρόταση 3: Αν για ένα σημείο x με διάσταση n γνωρίζω >n εξισώσεις της μορφής x y i = c i, i = 1,2.., τ, τ > n Με y i y j, i j,τότε μπορώ να υπολογίσω το σημείο x Απόδειξη: Έστω ότι ο χώρος έχει διάσταση n, κάθε εξίσωση της μορφής x y i = c i ορίζει μια υπερσφαίρα σε n διαστάσεις (S n 1 ) με κέντρο το y i και ακτίνα c i πάνω στην επιφάνεια της οποίας πρέπει να βρίσκεται το x (άρα το x βρίσκεται πλέον σε ένα χώρο n-1 διαστάσεων). Η τομή δύο επιφανειών σφαιρών n διαστάσεων ορίζει ένα χώρο το πολύ n-2 διαστάσεων (π.χ. δύο τρισδιάστατων σφαιρών θα είναι ένας κύκλος), ενώ η τομή κ το πλήθος επιφανειών σφαιρών ορίζει ένα χώρο το πολύ max(n-κ,0) διαστάσεων. Αν έχω τ>n τέτοιες εξισώσεις τότε ορίζεται ένα μοναδικό σημείο τομής, αλλά καθώς κάθε επιφάνεια σφαίρας πρέπει να περιλαμβάνει το x, το σημείο τομής αυτό θα είναι το x. 9

20 Άρα αν υπολογιστεί ο Φ και από τους δύο χρήστες όλα τα κέντρα θα είναι γνωστά και θα πρέπει η διαστατικότητα των σημείων να είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό των κέντρων, αυτό χωρίς να λάβουμε υπόψη τον αλγόριθμο υπολογισμού της απόστασης με διατήρηση της ιδιωτικότητας, ο οποίος μπορεί να δίνει ακόμα περισσότερη πληροφορία. Πρόταση 4: Αν ο αριθμός των κέντρων είναι μικρότερος από την διάσταση των διανυσμάτων και χρειάζεται υπολογισμός του Φ και από τους δύο χρήστες, ένας απλός αλγόριθμος με διατήρηση της ιδιωτικότητας για τον υπολογισμό του RBF μοντέλου είναι ο κάθε χρήστης να στείλει τις αποστάσεις (τιμές RBF) των σημείων του από όλα τα κέντρα, ο παραλήπτης θα έχει <n εξισώσεις με n αγνώστους (για κάθε σημείο) και άρα δεν θα μπορεί να υπολογίσει το σημείο που χρησιμοποιήθηκε. Συμπέρασμα: Ακόμα και αν υπάρχει αλγόριθμος με διατήρηση της ιδιωτικότητας για τον υπολογισμό της ρ( x i c j ), αν υπολογιστεί ο Φ και από τους δύο χρήστες, ο ίδιος ο Φ παρέχει αρκετή πληροφορία (όταν ο αριθμός των κέντρων είναι μεγαλύτερος ή ίσος από την διάσταση των εγγραφών) για να παραβιαστεί η ιδιωτικότητα των σημείων κάθε χρήστη. 10

21 2.2 Υπολογισμός των w i χωρίς τον από κοινού υπολογισμό του πίνακα Φ Η προηγούμενη προσέγγιση είχε το μοιραίο ελάττωμα ότι μάθαιναν ολόκληρο τον Φ και οι δύο χρήστες. Υποθέτοντας της ίδια κατάσταση με πριν (κάποια κέντρα ανά χρήστη, t j του ανάλογου χρήστη) έχουμε πάλι το εξής σχήμα Σχήμα 2.1: Χωρισμός του Φ σε 4 μέρη Γνωρίζουμε ότι [13] w = (Φ Τ Φ) 1 Φ Τ t Όπου Φ mxc πίνακας και Φ Τ t cx1 πίνακας. Έχουμε ότι (2.3) (Φ Τ t) i = φ ji t j m j=1 Παρατηρούμε ότι οι άγνωστες αποστάσεις θα πολλαπλασιάζονται πάντα μόνο με ένα t j,το οποίο υποθέσαμε κατέχει ο ανάλογος χρήστης. Άρα ο υποπίνακας Y δεν χρειάζεται να αποκαλυφθεί στον Χ ούτε αντίστροφα. 11

22 Για τον πίνακα Φ Τ Φ, διαστάσεων cxc (2.4) (Φ Τ Φ) i,j = φ ki φ kj Άρα πάντα πολλαπλασιάζονται στοιχεία της ίδιας γραμμής του αρχικού πίνακα Φ. Συνεπώς οι δύο χρήστες μπορούν να υπολογίσουν μερικά αθροίσματα και να τα ανταλλάξουν έτσι ώστε να μην αποκαλυφθεί ο αντίστοιχος αρχικά γνωστός υπό-πίνακας του καθένα. Όμως παρατηρούμε ότι για τον υπολογισμό του Φ Τ t (και του Φ Τ Φ) αρκεί ο X να γνωρίζει τον υπό-πίνακα 1 (και να μην τον γνωρίζει ο Υ) και παρόμοια για το 2 να τον γνωρίζει μόνο ο Υ, με λίγα λόγια ο καθένας να γνωρίζει μόνο τις αποστάσεις των σημείων του από όλα τα κέντρα. Αυτό ισχύει καθώς κάθε γραμμή του Φ πολλαπλασιάζει ένα στοιχείο του t, άρα μπορούν να βρεθούν μερικά αθροίσματα για το κάθε στοιχείο του τελικού πίνακα από όπου δεν θα μπορεί ο άλλος χρήστης να εξάγει πληροφορία. Δηλαδή, Έστω ότι ο χρήστης Χ γνωρίζει τις πρώτες λ γραμμές του πίνακα (οι αποστάσεις των λ σημείων του από όλα τα κέντρα) και ο χρήστης Υ m-λ=β γραμμές. Παρατηρούμε ότι οι σχέσεις 2.3 και 2.4 γράφονται m k=1 (2.5) λ m (Φ Τ t) i = φ ji t j + φ ji t j j=1 j=λ+1 λ m (2.6) (Φ Τ Φ) i,j = φ ki φ kj + φ ki φ kj k=1 k=λ+1 Προφανώς ο χωρισμός των εγγραφών δεν παίζει ρόλο καθώς κάθε γραμμή ανήκει σε ένα χρήστη και ο πολλαπλασιασμός γίνεται μεταξύ στοιχείων της ίδιας γραμμής. Επίσης δεν υπάρχει κοινή αντίληψη του Φ από τους δύο χρήστες και έτσι θα ήταν ισοδύναμο να υπάρχει οτιδήποτε κατανομή των γραμμών. 12

23 Η σχηματικά (με διαφορετική χρώμα περικλείονται περιοχές που είναι γνωστές μόνο σε ένα χρήστη, οριζόντια διαγράμμιση => Χ, διαγώνια διαγράμμιση => Υ): φ 11 Φ Τ t = ( φ 1c φ m1 t 1 ) ( ) φ t m mc φ 11 Φ Τ Φ = ( φ 1c φ m1 ) ( φ mc φ 11 φ m1 φ 1m ) φ mc Από τα πιο πάνω μπορούσαμε να συμπεράνουμε ότι: λ m λ β (2.7) (Φ Τ t) i = φ ji t j + φ ji t j = x ji t j + y ji t j j=1 j=λ+1 j=1 j=1 λ m λ β (2.8) (Φ Τ Φ) i,j = φ ki φ kj + φ ki φ kj = x ki x kj + y ki y kj k=1 k=λ+1 k=1 k=1 Όπου x ki η τιμή ρ( x k c i ), όμοια για τον y. Όπως ανέφερα οι παραπάνω ισότητες ισχύουν καθώς κάθε στοιχείο του κάθε αθροίσματος υπολογίζεται από στοιχεία που είναι γνωστά μόνο σε έναν χρήστη (με την υπόθεση ότι όλα τα κέντρα είναι γνωστά). Άρα οι παραπάνω σχέσεις απλά μετατοπίζουν τον υπολογισμό από ένα ενιαίο πίνακα σε αθροίσματα ως προς τα στοιχεία του κάθε χρήστη. Η πληροφορία που χρειάζονται οι δύο χρήστες για να υπολογίσουν το δικό τους μέρος του αθροίσματος είναι τα κέντρα, άρα πρέπει να υπάρχει μια συμφωνία στην διάταξη των κέντρων έτσι ώστε η δυάδα i,j (ποια κέντρα να χρησιμοποιηθούν) να αντιστοιχεί στα ίδια κέντρα και στους δύο. Ένας απλός τρόπος για την κοινή διάταξη παρουσιάζεται σε επόμενη παράγραφο. 13

24 Άρα ο χρήστης Χ μπορεί να υπολογίσει τα μερικά αθροίσματα partial((φ Τ Φ) i,j ) X = x ki x kj λ (2.9) k=1 λ partial((φ Τ t) i ) Χ = x ji t j j=1 Και ομοίως ο Υ τα partial((φ Τ Φ) i,j ) Υ = y ki y kj β (2.10) k=1 β partial((φ Τ t) i ) Y = y ji t j Και να αθροίσουν τα αθροίσματα τους. Ακολούθως μπορεί ο καθένας να υπολογίσει τον (Φ Τ Φ) 1 και εν τέλει τα w i. j=1 Πρόταση 5: Τα κέντρα πρέπει να είναι γνωστά Απόδειξη: Έστω ότι ο κάθε χρήστης έχει τα δικά του κέντρα. Για τον υπολογισμό των βαρών χρειάζεται ο υπολογισμός των (Φ Τ t) και (Φ Τ Φ). Ο υπολογισμός αυτών των πινάκων (ιδιωτικά) απαιτεί ότι ο κάθε χρήστης γνωρίζει τις αποστάσεις (τιμές της RBF) των σημείων του από όλα τα κέντρα. Αν υπολογιστούν με κάποιο τρόπο ιδιωτικά οι αποστάσεις από τα κέντρα που δεν κατέχει, ο κάθε χρήστης μπορεί να υπολογίσει τα κέντρα του άλλου χρήστη καθώς ο αριθμός των σημείων του είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των κέντρων και της διάστασης (βλ. πρόταση 2). Αν δεν υπολογιστούν αυτές οι αποστάσεις ο υπολογισμός των αναγκαίων πινάκων δεν μπορεί να γίνει ιδιωτικά. Γενικά: Έστω μιλάμε για τις αποστάσεις των σημείων του Χ από τα κέντρα του Υ Αν τις αποστάσεις (τιμές RBF) τις γνωρίζει μόνο ο κατέχον τα κέντρα (ο Υ δηλαδή), μπορεί να υπολογίσει τα σημεία του Χ (βλ. πρόταση 1) Αν τις αποστάσεις τις γνωρίζει μόνο ο Χ τότε ο Χ μπορεί να υπολογίσει τα κέντρα του Υ (βλ. πρόταση 2) Αν τις αποστάσεις δεν τις γνωρίζει κανένας δεν μπορούν να υπολογιστούν τα βάρη. 14

2011 Alexandros Panteli Department of Information and Communication Systems Engineering UNIVERSITY OF THE AEGEAN

2011 Alexandros Panteli Department of Information and Communication Systems Engineering UNIVERSITY OF THE AEGEAN Εξόρυξη γνώσης από δεδοµένα µε διατήρηση της ιδιωτικότητας χρησιµοποιώντας νευρωνικά δίκτυα RBF για οριζόντια κατατετµηµένα δεδοµένα σε περιβάλλον µη έµπιστων χρηστών. Η ιπλωµατική Εργασία παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Υπηρεσίες ιστού και ιδιωτικότητα: Μια προσέγγιση βασισμένη στη δημιουργία προφίλ χρήστη για προσαρμοστικούς ιστότοπους

Υπηρεσίες ιστού και ιδιωτικότητα: Μια προσέγγιση βασισμένη στη δημιουργία προφίλ χρήστη για προσαρμοστικούς ιστότοπους Υπηρεσίες ιστού και ιδιωτικότητα: Μια προσέγγιση βασισμένη στη δημιουργία προφίλ χρήστη για προσαρμοστικούς ιστότοπους Η Μεταπτυχιακή Διατριβή παρουσιάστηκε ενώπιον του Διδακτικού Προσωπικού του Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ. Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο. την απόκτηση του διπλώματος ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΑΝΟΜΗΣ Η εργασία υποβάλλεται για τη μερική κάλυψη των απαιτήσεων με στόχο την απόκτηση του διπλώματος «Οργάνωση και Διοίκηση Βιομηχανικών Συστημάτων με εξειδίκευση στα Συστήματα Εφοδιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. του Γεράσιμου Τουλιάτου ΑΜ: 697 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ του Γεράσιμου Τουλιάτου

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ

ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΕΘΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΓ' ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ ΤΜΗΜΑ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΔΕΙΚΤΩΝ Επιβλέπων: Αθ.Δελαπάσχος

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms

Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms Κεφάλαιο 2.4 Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική Κατασκευή ΝxNxN Mesh of trees (1/3) Στον ΝxNxN κύβο προσθέτω τους εξής κόμβους:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΙΜΑΤΟΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΤΩΝ ΑΣΘΕΝΩΝ ΣΤΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΕΩΝΙΔΟΥ Λεμεσός, 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ HACCP ΣΕ ΜΙΚΡΕΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΕΣ ΓΑΛΑΚΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΠΑΡΧΙΑ ΛΕΜΕΣΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ

ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ ΧΡΗΣΗ CAMENISCH- LYSYANSKAYA ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΥΠΟΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΠΡΩΤΟΚΟΛΛΩΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗΣ ΓΝΩΣΗΣ ΣΕ ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΑ του Θεόφιλου Κανακάρη Μεταπτυχιακό Μάθημα : Διπλωματική Εργασία Επιβλέποντες Καθηγητές

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!

! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit! Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions

1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Εισηγητής: ρ Ηλίας Ζαφειρόπουλος Εισαγωγή Ιατρικά δεδοµένα: Συλλογή Οργάνωση Αξιοποίηση Data Mining ιαχείριση εδοµένων Εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών:

Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 2013 Διάρκεια εξέτασης : 160 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Λογική Σχεδίαση Ι - Εξεταστική Φεβρουαρίου 23 Διάρκεια εξέτασης : 6 Ονοματεπώνυμο : Α. Μ. Έτος σπουδών: Θέμα (,5 μονάδες) Στις εισόδους του ακόλουθου κυκλώματος c b a εφαρμόζονται οι κάτωθι κυματομορφές.

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή εργασία ΑΓΧΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΘΛΙΨΗ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟΥ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΕΜΕΣΟΣ 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές

8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Κεφάλαιο 8 8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Σελ. 320-325 Γεώργιος Γιαννόπουλος ΠΕ19, ggiannop (at) sch.gr http://diktya-epal-g.ggia.info/ Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Αντισταθμιστική ανάλυση Θεωρήστε έναν αλγόριθμο Α που χρησιμοποιεί μια δομή δεδομένων Δ : Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του Α η Δ πραγματοποιεί μία ακολουθία από πράξεις. Παράδειγμα: Θυμηθείτε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Πτυχιακή Εργασία ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΕΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΟΥ ΠΟΝΟΥ ΣΕ ΑΣΘΕΝΕΙΣ ΜΕ ΚΑΡΚΙΝΟ. Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Χαμηλά επίπεδα βιταμίνης D σχετιζόμενα με το βρογχικό άσθμα στα παιδιά και στους έφηβους Κουρομπίνα Αλεξάνδρα Λεμεσός [2014] i ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο.

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία. Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Κόπωση και ποιότητα ζωής ασθενών με καρκίνο Μαργαρίτα Μάου Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

þÿ ÀÌ Ä º± µä À ¹ ¼ ½

þÿ ÀÌ Ä º± µä À ¹ ¼ ½ Neapolis University HEPHAESTUS Repository School of Economic Sciences and Business http://hephaestus.nup.ac.cy Master Degree Thesis 2016 þÿ ÀÌ Ä º± µä À ¹ ¼ ½ þÿµºà±¹ µåä¹ºì ¹ ¹º ĹºÌ ÃÍÃÄ ¼± þÿãä ½ º±Ä±½µ¼

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης

Δρ. Βασίλειος Γ. Καμπουρλάζος Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Μάθημα 4 ο Δρ. Ανέστης Γ. Χατζημιχαηλίδης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης 2016-2017 Διευρυμένη Υπολογιστική Νοημοσύνη (ΥΝ) Επεκτάσεις της Κλασικής ΥΝ. Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015

EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author.

Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. 2012, Γεράσιμος Χρ. Σιάσος / Gerasimos Siasos, All rights reserved. Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα / Author

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ. Πτυχιακή Εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία Ο ΜΗΤΡΙΚΟΣ ΘΗΛΑΣΜΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΑΡΚΙΝΟ ΤΟΥ ΜΑΣΤΟΥΣ ΣΤΙΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΦΟΡΕΙΣ ΤΟΥ ΟΓΚΟΓΟΝΙΔΙΟΥ BRCA1 ΚΑΙ BRCA2. Βασούλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Περίληψη Τί προτείνουμε, πώς και γιατί με λίγα λόγια: 55 μαθήματα = 30 για ενιαίο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή

Μεταπτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μεταπτυχιακή διατριβή «100% Α.Π.Ε.» : ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΗ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ Επιβλέπων Καθηγητής: Δρ. Νίκος Μίτλεττον Η ΣΧΕΣΗ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΣΑΚΧΑΡΩΔΗ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΥΠΟΥ 2 ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ Ονοματεπώνυμο: Ιωσηφίνα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις (2) Άσκηση 1

Ασκήσεις (2) Άσκηση 1 Άσκηση 1 Ασκήσεις () Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Υποθέστε ότι συγκρίνουμε την υλοποίηση της ταξινόμησης με εισαγωγή και της ταξινόμησης με συγχώνευση στον ίδιο υπολογιστή. Για εισόδους μεγέθους n,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμοί πρόβλεψης προσήμων σε προσημασμένα μοντέλα κοινωνικών δικτύων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μηχανισμοί πρόβλεψης προσήμων σε προσημασμένα μοντέλα κοινωνικών δικτύων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μηχανισμοί πρόβλεψης προσήμων σε προσημασμένα μοντέλα κοινωνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τομέας Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (III) Εργαστήριο Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE SCHOOL of

Διαβάστε περισσότερα