1.2 Ένα σώμα ρίχνεται οριζόντια με ταχύτητα υ0. Να αποδείξετε την εξίσωση της τροχιάς του σώματος, η οποία δίνεται από τη σχέση

Transcript

1 Oριζόντια βολή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ένα μικρό πακέτο αφήνεται από αερόστατο που πετά οριζόντια σε ύψος h. Τη στιγμή που αφήνεται το πακέτο αυτό έχει ταχύτητα ίδιας τιμής με τη ταχύτητα του.... Η κίνηση του πακέτου μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται απο τη σύνθεση δύο επιμέρους κινήσεων. Μία, η οποία εξελίσσεται σε οριζόντια διεύθυνση και είναι... και μία, που εξελίσσεται σε κατακόρυφη διευθύνση και είναι Ένα σώμα ρίχνεται οριζόντια με ταχύτητα υ0. Να αποδείξετε την εξίσωση της τροχιάς του σώματος, η οποία δίνεται από τη σχέση y = 1.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις σωστές (Σ) ή λάθος (Λ): α. Μια κίνηση θα λέγεται σύνθετη όταν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα μόνο δύο κινήσεις β. Η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί οριζόντια βολή είναι συνεχώς σταθερή γ. Η επιτάχυνση και η ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί οριζόντια βολή έχουν συνεχώς τη ίδια διεύθυνση. 1.4 Στην άκρη ενός τραπεζιού βρίσκονται δύο σφαίρες Σ 1 και Σ 2. Κάποια χρονική στιγμή η σφαίρα Σ1 εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ 0, ενώ η σφαίρα Σ 2 αφήνεται ελεύθερη. Ποια σφαίρα φτάνει πρώτη στο πάτωμα; α. σφαίρα Σ 1, β. σφαίρα Σ 2, γ. και οι δύο σφαίρες φτάνουν ταυτόχρονα. δ. δε μπορούμε να γνωρίζουμε γιατί δεν ξέρουμε το ύψος του τραπεζιού. 1.5 Ένα σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 =10 m / s α. Τη χρονική στιγμή t = 2s, το σώμα βρίσκεται στη θέση... β. Τη χρονική στιγμή t = 3s, το σώμα έχει ταχύτητα Ένα βομβαρδιστικό αεροπλάνο ενώ πετάει οριζόντια με ταχύτητα υ 0 ως προς το έδαφος και σε ύψος h πάνω από αυτό, αφήνει μία βόμβα. Να δικαιολογήσετε γιατί αεροπλάνο και βόμβα είναι κάθε στιγμή στην ίδια κατακόρυφη. g 2 υ 2 0 x 2 9

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. 1.7 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις σωστές (Σ) ή λάθος (Λ): α. η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί οριζόντια βολή είναι συνεχώς σταθερή. β. η μετατόπιση ενός σώματος που κινείται στο επίπεδο προσδιορίζεται μέσω του διανύσματος θέσης. γ. ο χρόνος πτώσης των σωμάτων στην οριζόντια βολή και στην ελεύθερη πτώση είναι ο ίδιος. 1.8 Δύο σώματα βάλλονται ταυτόχρονα και οριζόντια απο το ίδιο ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γης στο κενό. Η αρχική ταχύτητα του πρώτου είναι υ 0,1 και του δεύτερου υ 0,2. Ισχύει υ 0,1 > υ 0, 2. Ποιες απο τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;; α. Το 1ο σώμα θα πέσει μακρύτερα απ ότι το 2ο σώμα. β. Το σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0,1, θα πέσει στο έδαφος αργότερα από ότιι το σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0,2 γ. Το σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0,1 θα πέσει ταυτόχρονα στο έδαφος με το σώμα το οποίο έχει αρχική ταχύτητα υ 0, Τρία σώματα Σ1, Σ2 και Σ3 εκτοξεύονται οριζόντια από το ίδιο ύψος και υ0 υ0 την ίδια χρονική στιγμή με αρχικές ταχύτητες υ 0,, 2 3 Μεγαλύτερο βεληνεκές έχει... Μεγαλύτερο χρόνο πτώσης Τρία σώματα Σ1, Σ2 και Σ3 εκτοξεύονται οριζόντια από το ίδιο ύψος και την ίδια χρονική στιγμή με αρχικές ταχύτητες 3υ0 5υ0 υ,,. Τη χρονική στιγμή t 1 :ποιό βρίσκεται σε μεγαλύτερο ύψος; Σε μεγαλύτερο ύψος βρίσκεται... Μεγαλύτερο μέτρο ταχύτητας έχει Ένας εξερευνητής γιατρός πυροβολεί έναν πίθηκο που βρίσκεται στην ίδια οριζόντια ευθεία με αναισθητικό βέλος, αφού πρώτα τον σημαδεύει με το όπλο κατά τρόπο που η ευθεία του όπλου να περνάει απο την αρχική θέση του πιθήκου. Ο πίθηκος αφήνει το κλαδί και πέφτει τη στιγμή που το βέλος βγαίνει από την κάννη του όπλου. Αν το βεληνεκές του βέλους είναι μέσα στα όρια της κατακόρυφης ευθείας στην οποία κινείται ο πίθηκος, πιστεύετε ότι θα χτυπήσει το βελάκι το πίθηκο; 1 0

3 Οριζόντια βολή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Για τη λύση των ασκήσεων να θεωρήσετε g= 10 m/s Ένα αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h = 2880m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 125 m/s. Κάποια στιγμή ο πιλότος αφήνει μια βόμβα. Να βρείτε: α. Σε πόσο χρόνο φτάνει η βόμβα στο έδαφος; β. Ποιο είναι το βεληνεκές (μέγιστη οριζόντια μετατόπιση); γ. Με ποια ταχύτητα φτάνει η βόμβα στο έδαφος; Απ: α. t = 24s, β. x max = 3000m, γ. υ = 270, 6 m / s, εφθ = 1, Από τη ταράτσα ενός κτιρίου ύψους h = 45m εκτοξεύεται οριζόντια μία μπάλα με αρχική ταχύτητα υ 0. Αν η ταχύτητα της μπάλας τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος είναι υ= 50 m/s, να βρείτε: α. το χρόνο κίνησης της μπάλας β. την αρχική ταχύτητα της μπάλας γ. το βεληνεκές της μπάλας Απ: t =3 s, υ 0 = 40 m/s, x max = 120 m 1.14 Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h = 500 m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 50 m/s και αφήνει βόμβα που βρίσκει το στόχο στο έδαφος. Να βρείτε: α. Σε πόση οριζόντια απόσταση βρίσκεται ο στόχος τότε; β. Με ποια γωνία ως προς την κατακόρυφο πρέπει να δεί ο πιλότος έναν επίγειο στόχο, ώστε αφήνοντας τη βόμβα να πετύχει το στόχο; Απ: 500 m, εφθ= Ένα αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h =980 m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 432 km/h. Κάποια στιγμή από το αεροπλάνο αφήνεται μια βόμβα και μετά από 4s αφήνεται μια δεύτερη βόμβα. Να βρείτε τις συντεταγμένες της δεύτερης βόμβας όταν η πρώτη φτάνει στο έδαφος σε σχέση με το σημείο βολής της πρώτης βόμβας. Απ: x =1200m, y= 500m 1.16 Από αεροπλάνο που πετά οριζόντια σε ύψος h = 150m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 100 m/s, αφήνεται να πέσει βόμβα, η οποία χτυπά σε στόχο. Να βρείτε με ποιά γωνία ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση βλέπει ο πιλότος το στόχο τη στιγμή που αφήνει τη βόμβα. Απ: εφφ = 3 / Αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h = 320 m από το έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ 0 = 100 m/s. Στο έδαφος κινείται ομόρροπα 1 5

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. άρμα με ταχύτητα μέτρου υ 1 =10 m/s. Να βρείτε με ποια οριζόντια απόσταση s από το άρμα πρέπει ο πιλότος να αφήσει μια βόμβα, ώστε αυτή να τοχτυπήσει. Μελετήστε τη περίπτωση όπου το άρμα κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου υ 1. Απ: s=720 m, s= 880 m 1.18 Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h =1445 m από το έδαφος με σταθερή ταχύτητα u 0 όταν ο πιλότος αφήνει μία βόμβα να πέσει. Να βρείτε πόσος χρόνος περνάει από τη στιγμή που ο πιλότος αφήνει τη βόμβα μέχρι τη στιγμή που φτάνει στα αυτιά του ο ήχος της έκρηξής της. Δίνεται: υ nx =340 m/s. Απ: t = 21,25 s 1.19 Ένα παιδί που βρίσκεται στην κορυφή ενός κτιρίου ύψους h =48 m εκτοξεύει οριζόντια μπάλα με σκοπό να ευστοχήσει σε ένα καλάθι που βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση 24 m από το κτίριο και σε ύψος 3 m από το έδαφος. Να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξευτεί η μπάλα για να είναι εύστοχη η προσπάθεια του. Απ: υ 0 = 8 m/s 1.20 Σε αγώνες άλματος με σκι μια σκιέρ πραγματοποιεί άλμα με οριζόντια ταχύτητα υ 0. Αφού κάνει οριζόντια βολή, ξανασυναντά τη πίστα σε ένα σημείο που βρίσκεται 16,2 m χαμηλότερα και σε οριζόντια απόσταση 54 m. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα υ 0 της σκιέρ. Απ: υ 0 =30 m/s 1.21 Από ένα σημείο που απέχει απόσταση h = 125 m από το έδαφος εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια δύο σώματα με ταχύτητες υ 1 = 6 m/ s και υ 2 = 10 m/s αντίστοιχα. Αν οι αρχικές ταχύτητες είναι αντίρροπες, να βρείτε: α. Πόσο θα απέχουν 2s από τη στιγμή της εκτόξευσης; β. Πόσο θα απέχει το καθένα από το έδαφος τότε; γ. Πόσο θα απέχουν τα δύο σώματα όταν φτάσουν στο έδαφος; Απ: 32 m, 105 m, 80 m 1.22 Ένας κασκαντέρ πρόκειται να πραγματοποιήσει με τη μοτοσυκλέτα του άλμα από την ταράτσα ενός κτιρίου Α ύψους h1 =45 m στην ταράτσα ενός κτιρίου Β ύψους h 2 = 25 m. Αν τα δύο κτίρια απέχουν 100m, να βρείτε: α. Ποια πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα του μοτοσυκλετιστή για να μπορέσει να πραγματοποιήσει με επιτυχία το άλμα; β. Αν η μοτοσυκλέτα μπορεί να επιταχυνθεί από την ηρεμία με σταθερή επιτάχυνση α =10 m/s 2, να βρείτε ποιο πρέπει να είναι το ελάχιστο μήκος της ταράτσας του κτιρίου Α για να μπορέσει να αποκτήσει την απαραίτητη ταχύτητα για το άλμα; Απ: 50 m/s, 125 m 1 6

5 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 βρίσκονται στις ταράτσες δύο κτιρίων που έχουν το ίδιο ύψος h = 80 m. Η απόσταση των δύο κτιρίων είναι d= 100 m. Κάποια χρονική στιγμή τα δύο σώματα εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια με αρχικές ταχύτητες υ 1 = 4 m/s και υ 2 αντίστοιχα που έχουν αντίθετες φορές. Να βρείτε ποιο πρέπει να είναι το μέτρο της υ2 του σώματος Σ 2, ώστε τα δύο σώματα να συναντηθούν τη στιγμή που φτάνουν στο έδαφος. Απ: υ 2 = 21 m/s 1.24 Από την ταράτσα κτιρίου ύψους h ρίχνεται οριζόντια ένα σώμα με ταχύτητα υ 0. Μετά από πόσο χρόνο το μέτρο της ταχύτητας του σώματος θα είναι διπλάσιο από το μέτρο της αρχικής του ταχύτητας υ 0 ; 3 Απ: t t = υ 0 g 1.25 Ένας κασκαντέρ οδηγός θέλει με το αυτοκίνητό του, να πηδήξει πάνω από 10 αυτοκίνητα σταθμευμένα στο πλάι, κάτω από οριζόντια πλατφόρμα. Με ποιά ελάχιστη οριζόντια ταχύτητα πρέπει να εγκαταλειψει τη πλατφόρμα; Το κατακόρυφο ύψος της πλατφόρμας είναι 2 m (από την οροφή των αυτοκινήτων) και η οριζόντια απόσταση που πρέπει να πηδήξει είναι 24 m. Απ: 38 m/s 1.26 Από ένα σημείο που απέχει απόσταση h από το έδαφος εκτοξεύεται οριζόντια σώμα με ταχύτητα υ 0 = 20 m/s. Το σώμα φτάνει στο έδαφος με ταχύτγητα μέτρου υ 0 α. το ύψος h, 2, να βρείτε: β. το βεληνεκές. Απ: 20 m, 40 m Από ένα σημείο που απέχει απόσταση h από το έδαφος εκτοξεύεται οριζόντια σώμα με ταχύτητα υ 0 = 40 m/s. Το σώμα φτάνει στο έδαφος με κινητική ενέργεια διπλάσια της αρχικής (Κ=2Κ 0 ). Να βρείτε: α. το ύψος h, β. το βεληνεκές, γ. το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας και τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας. Απ: 80 m, 160 m, 40 m/s, 0 m/s Από κανόνι που βρίσκεται σε μυψόμετρο h=125 m από το έδαφος εκτοξεύεται οριζόντια βόμβα με ταχύτητα υ 0. Το σώμα φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα που σχηματίζει γωνία 45 ο ως προς το έδαφος. Να βρείτε: α. την αρχική ταχύτητα, β. το βεληνεκές, γ. το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας και τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας. Απ: 40 m/s, 200 m, 40 m/s, 0 m/s. 1 7

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. 1 8

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κυκλική κίνηση. 2.1 Για ένα σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση (ο.κ.κ.) ποιοι από τους παρακάτω τύπους δίνουν το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης; α. υ 2 F Κ = m R β. F = m. 4π 2. f 2. R 4π γ. F Κ = m R 2 T π δ. F Κ = m R 2.2 Ποιά απο τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; 2 f 2 α. Στην ο.κ.κ. ενός σώματος η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό είναι μηδέν. β. Όταν ένα σώμα κάνει ο.κ.κ. η ταχύτητά του είναι συνέχεια κάθετη στην κεντρομόλο δύναμη. γ. Στην ο.κ.κ. το σώμα δέχεται δύναμη σταθερής κατεύθυνσης και σταθερού μέτρου δ. Στην ο.κ.κ. με συγκεκριμένη ταχύτητα η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της ακτίνας r της τροχιάς 2.3 Αντικείμενο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση (ο.κ.κ). Η κεντρομόλος επιτάχυνση: α. Έχει κατεύθυνση από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς προς το αντικείμενο. β. Έχει κατεύθυνση πάντα προς το κέντρο της κυλικής τροχιάς. 2 2 γ. Έχει μέτρο α = ω R. Κ δ. Έχει διεύθυνση εφαπτόμενη στο σημείο της κυκλικής τροχιάς που βρίσκεται κάθε φορά το αντικείμενο. 2.4 Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές κ ποιές λάθος; α. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό, ισούται με τη κεντρομόλο δύναμη. β. Το διάνυσμα της κεντρομόλου δύναμης παραμένει σταθερό. γ. Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα του προσδίδουν επιτάχυνση στη διεύθυνση της εφαπτόμενης της κυκλικής τροχιάς. δ. Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα του προσδίδουν επιτάχυνση στη διεύθυνση της ακτίνας, με φορά προς το κέντρο της τροχιάς. ε. Το σώμα κινείται με επιτάχυνση σταθερού μέτρου. 2.5 Ένα σώμα μάζας m εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με συγκεκριμένη συχνότητα f. α. Η κεντρομόλος επιτάχυνση α κ είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας r της κυκλικής τροχιάς. β. Η κεντρομόλος επιτάχυνση α κ είναι ανάλογη της ακτίνας r της κυκλικής τροχιάς.

8 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 γ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση α κ είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της ακτίνας r της κυκλικής τροχιάς. δ. Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι ανάλογη της συχνότητας. 2.6 Για να μπορέσει ένα αυτοκίνητο να πάρει στροφή σε οριζόντιο οδόστρωμα πρέπει: α. Η στατική τριβή που αναπτυσσεται στα λάστιχα από το οδόστρωμα να είναι η κεντρομόλος δύναμη. β. Η δύναμη από το κινητήρα να είναι η απαραίτητη κεντρομόλος. γ. Η κάθετη δύναμη στήριξης να ισούται με τη κεντρομόλο δύναμη. δ. Το βάρος του αυτοκινήτου να ισούται με τη κεντρομόλο δύναμη. 2.7 Σφαίρα είναι δεμένη σε νήμα και εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση (ο.κ.κ) σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν κοπεί το νήμα: α. Η σφαίρα θα κινηθεί προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς λόγω αδράνειας. β. Η σφαίρα θα κινηθεί σε καμπύλη τροχιάς όχι κυκλική. γ. Η σφαίρα θα κινηθεί στη διεύθυνση της εφαπτόμενης της κυκλικής τροχιάς. δ. Η σφαίρα θα σταματήσει να κινείται. 2.9 Ένα όχημα μάζας m = 500 kg κινείται με υ = 20 m/ s και πρόκειται να μπεί σε μια οριζόντια στροφή, χωρίς κλίσεις, ακτίνας R=50 m. Η μέγιστη δύναμη στατικής τριβής έχει μέτρο T σ,max = 5000N. Τι από τα παρακάτω θα συμβεί στο όχημα κάτω από αυτές τις συνθήκες; α. θα γλιστρήσει προς το εσωτερικό μέρος του δρόμου. β. θα πάρει τη στροφή κανονικά. γ. θα αναποδογυρίσει. δ. θα γλιστρήσει προς το εξωτερικό μέρος του δρόμου Αυτοκίνητο μάζας m, μπαίνει σε στροφή οριζόντιου δρόμου ακτίνας R με ταχύτητα υ, ώστε 2 υ 1200 Ν = m. Η μέγιστη δύναμη στατικής τριβής είναι 1000Ν. Το αυτοκίνητο: R α. θα διαγράψει με ασφάλεια τη στροφή. β. θα επιβραδυνθεί λόγω της μεγάλης τριβής. γ. θα φύγει προς το εσωτερικό του δρόμου. δ. θα ανατραπεί. ε. θα φύγει προς το εξωτερικό του δρόμου Το σώμα μάζας είναι δεμένο στην άκρη αβαρούς νήματος μήκους και κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά. i. Για τη θέση Α: α. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η τάση T A β. Η κεντρομόλος δύναμη έχει μέτρο F κ =T Α - Β. γ. Στο κατακόρυφο άξονα το σώμα δεν κινείται, οπότε ΣF = 0 ή T Α = Β. 2 7

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 δ. Η επιτάχυνση είναι μηδέν. Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. ii. Για τη θέση Γ: α. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η τάση T Γ β. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνισταμένη των T Γ και B. γ. Η επιτάχυνση είναι ίση με g. iii. Για τη θέση Δ:: α. Η κεντρομόλος δύναμη είναι η τάση T Δ β. Η κεντρομόλος δύναμη έχει μέτρο F κ =Τ Δ + Β γ. Η επιτάχυνση είναι μηδέν. Ποιες απο τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές; Δικαιολογήστε την απάντησή σας Η ράβδος που φαίνεται στην εικόνα περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά απο το σημειο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.ποιές απο τις επόμενες σχέσεις είναι σωστές και ποιές λάθος; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας Α. υ Μ >υ Ν Β. ω Μ =ω Ν Γ. υ Μ <υ Ν Δ. α Μ <α Ν 2.13 Σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση., Να αποδείξετε τις σχέσεις: α. 2 4π α Κ = R 2 Τ β. F Κ = 4π 2. f 2. R.m 2 8

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κυκλική κίνηση Στο άτομο του υδρογόνου, σύμφωνα με τη θεωρία Bohr, το ηλεκτρόνιο κάνει ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από τον πυρήνα με ακτίνα R = m και με περίοδο T = s. Να βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση του ηλεκτρονίου. Απ: υ=2π.10 6 m / s, α= 4π m / s Kινητό εκτελεί ομαλή κίνηση ακτίνας R=1m και σε χρόνο 10s διανύει 125,6m. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα περιστροφής, β) η γωνιακή ταχύτητα, γ) η συχνότητα περιστροφής. Απ. 12,56m/s, 12, 56 rad/s, 2Hz 2.16 Υλικό σημείο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ = 10π m/s και περίοδο T= 10s. Να βρείτε την ακτίνα περιστροφής και την κεντρομόλο επιτάχυνση του κινητού. Απ: R= 50m, ακ=2π 2 m / s Να βρείτε την ταχύτητα που έχουν οι κάτοικοι του ισημερινού της Γης, λόγω της περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονα της. Δίνονται: R Γης =6400 km, T Γης = 24 h Απ: υ = 465 m/s 2.18 Σφαίρα είναι δεμένη στην άκρη νήματος και εκτελεί ομαλή κυκλική με ταχύτητα υ= 20 m/s. Σε χρονικό διάστημα Α. Δt=Τ/2, Β. Δt=Τ/4, να βρείτε: i. τη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας ii. το μέτρο της μεταβολής της ταχύτητας της σφαίρας Απ: A. 0, 40 m/s, B. 0, 20 2 m/s 2.19 Σ έναν κυκλικό στίβο ακτίνας R = 300 /π m τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινούν από το ίδιο σημείο δύο δρομείς, με σταθερές κατά μέτρο ταχύτητες υ 1 = 2,5 m/s και υ 2 = 7,5 m/s αντίστοιχα. Μετά από πόσο χρόνο θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά οι δρομείς, όταν: α. κινούνται κατά την ίδια φορά β. κινούνται κατά αντίθετη φορά Απ: α t 1 =120 s, β t 2 =60 s 2.20 Δύο κινητά ξεκινούν από το ίδιο σημείο Α μιας περιφέρειας κύκλου ακτίνας R = 100m και κινούνται με σταθερού μέτρου γραμμικές ταχύτητες υ 1 =10 m/s και υ 2 = 5 m/s. Να βρεθεί μετά από πόσες στροφές και ποια χρονική στιγμή θα ξανασυναντηθούν τα κινητά στο ίδιο σημείο Α. Απ: N1 = 2 (περιστροφές), N2 =1 (περιστροφή), t = 40π (s) 3 6

11 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μετεωρίτης εμφανίζεται στον ουρανό για χρονικό διάστημα Δt = 2s και διαγράφει κυκλικό τόξο που αντιστοιχεί σε γωνία π/6 rad με κέντρο τον παρατηρητή ο οποίος απέχει απόσταση R = 72 km από ένα σημείο του τόξου. Να βρεθούν: α. το μήκος του ορατού τόξου του μετεωρόλιθου β. το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του μετεωρόλιθου Υποδ: Δθ= Δs/R, με Δθ σε rad. Απ: Δs = 12π km, υ= 6π km/s 30 o 2.22 Η κορυφή του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού που βρίσκεται στο καμπαναριό μιας εκκλησίας, μετατοπίζεται κατά Δs=15, 7 cm μέσα σε χρονικό διάστημα Δt = 1min. Να βρεθεί το μήκος του λεπτοδείκτη. Απ: R =4,5/π m 2.23 Μοτοσυκλέτα κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, σε κυκλικό στίβο ακτίνας R και διαγράφει το στίβο σε χρόνο Τ. Αν η διάμετρος των τροχών της μοτοσυκλέτας είναι d, να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής του. Απ: 2R/Td 2.24 Μοτέρ περιστρέφει με σταθερή συχνότητα f 1 =20 Hz έναν τροχό ακτίνας R 1 1m. Ποια ακτίνα πρέπει να χει ένας δεύτερος τροχός που θα συνδεθεί με ιμάντα με τον πρώτο, έτσι ώστε να περιστρέφεται με συχνότητα f 2 = 60 Hz. Απ: 1/3 m 2.25 Τρακτέρ κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 20 m/s σε ευθύγραμμο δρόμο. Η ακτίνα των μπροστινών τροχών του είναι R 1 =0,5m και των πίσω R 2 =1m. Να βρείτε τις συχνότητες περιστροφές και τις επιταχύνσεις των σημείων της περιφέρειας κάθε τροχού. Απ: 20/π Ηz, 800 m/s 2, 10/π Ηz, 400 m/s Στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R = 1m βρίσκονται δύο κινητά Α, Β στο ίδιο σημείο και ηρεμούν. Το κινητό Α ξεκινά να κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ= 3π m/s. Το κινητό Β κινείται κατά μήκος της διαμέτρου του κύκλου ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενο χωρίς αρχική ταχύτητα. Ποια πρέπει να είναι η επιτάχυνσή του κινητού Β ώστε να συναντηθούν στο άλλο άκρο της διαμέτρου όταν το κινητό Α περάσει για δεύτερη φορά; Απ: 4 m/s Ένα μοντέλο της έλικας ελικοπτέρου έχει τέσσερα πτερύγια, καθένα 3,20 m μήκους (από τον κεντρικό άξονα ως την άκρη του πτερυγίου). Το μοντέλο αυτό περιστρέφεται σε αεροσήραγγα με 1500 κυκλ/min. α. Ποια είναι η γραμμική ταχύτητα της άκρης του πτερυγίου σε m/s; β. Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση της άκρης του πτερυγίου εκφρασμένη σε πολλαπλάσια της επιτάχυνσης της βαρύτητας g. Απ: 502,4 m/s, 8000 g. 3 7

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση Α. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα του ωροδείκτη, του λεπτοδείκτη και του δευτερoλεπτοδείκτη ενός ρολογιού. Ποια επίδραση έχει το μέγεθος των δεικτών στη τιμή της γωνιακής ταχύτητας; Β. Αν το μήκος του δευτερολεπτοδείκτη είναι l= 5 cm σε πόσο χρόνο το άκρο του διανύει διάστημα s= 1,047 Km ; Aπ. Α. 1, rad/s 1, rad/s 0,1047 rad/s, καμία Β. 14, s 2.28 O ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού κάποια στιγμή συμπίπτουν. Μετά από πόσο χρόνο θα συμπέσουν πάλι; Aπ. 1h 5 min 28 s 2.29 Δορυφόρος περιφέρεται σε ύψος h=r Γ από την επιφάνεια της Γης. Αν η ακτίνα της Γης είναι R Γ = 6400 Km και η περίοδος περιστροφής Τ=4 h, να υπολογιστούν α. η ταχύτητα περιστροφής και β.η γωνιακή ταχήτυτα περιστροφής του δορυφόρου. Απ. 5,58 km/s, 4, rad/s 2.30 Δύο κινητά κινούμενα στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας R= 1m, με ταχύτητες υ 1 = 10m/s, και υ 2 = 5m/s, κάποια στιγμή βρίσκονται στο ίδιο σημείο. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν σε άλλο σημείο για 5η φορά. Να εξετάσετε δύο περιπτώσεις, τα κινητά έχουν α) ίδια β ) αντίθετη φορά περιστροφής Aπ. 2π s, 2π/3s 2.31 Δύο κινητά κινούνται σε κυκλικές τροχιές ακτίνων R 1 = 1m και R 2 = 0,5 m με ταχύτητες μέτρων, υ 1 =10 m/s και υ 2 = 1,5 m/s αντίστοιχα. Οι τροχιές εφάπτονται. Να βρεθεί ο χρόνος δύο διαδοχικών συναντήσεων των κινητών και οι στροφές που κάνει κάθε κινητό. Απ. 2π s, 10 και 3 στροφές 2.32 Ράβδος ΟN μήκους L περιστρέφεται ομαλά γύρω από άξονα που περνά από το άκρο της Ο. Να βρεθούν οι λόγοι: α) υ α 1 υ, β) N,1 2 αm,2 όπου υ 1, α M(1) η ταχύτητα και η επιτάχυνση του άκρου N της ράβδου και υ 2, α M(2) η ταχύτητα και η επιτάχυνση του μέσου της ράβδου. Απ. α) 2, β) 2 3 8

13 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δύο τροχαλίες ακτίνων R 1 =20 cm και R 2 = 15 cm συνδέονται με ιμάντα. Η πρώτη έχει σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 1 = 50 rad/s.nα βρεθούν: α) η γωνιακή ταχύτητα ω 2 της 2ης τροχαλίας και β ) η επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας της πρώτης τροχαλίας και ενός σημείου του ιμάντα, εκτός των τροχαλιών. Απ. α) ω 2 =66,67 rad/s, β ) 500m/s Τρακτέρ κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= 20 m/s. H ακτίνα των μπροστινών τροχών είναι 0,4m και η ακτίνα των πίσω τροχών είναι 0,8 m. Nα βρείτε: α. τη συχνότητα περιστροφής κάθε τροχού, β. την επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας κάθε τροχού, γ. τον αριθμό περιστροφών κάθε τροχού σε χρόνο Δt=20π s. Απ. 25/π Hz, 25/2π Hz, 1000m/s 2, 500m/s 2, 500 στροφές, 250 στροφές. 3 9

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Oριζόντια βολή. Κυκλική κίνηση. 4 0

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διατήρηση της Ορμής. 3.1 Τι έχει μεγαλύτερη ορμή, ένα ακίνητο φορτηγό ή ένα παιδί που τρέχει; Δικαιολογήστε την απάντηση σας. 3.2 Ένας άνθρωπος βρίσκεται σε ανελκυστήρα που ανεβαίνει. Χαρακτηρίστε με Σ τις εσωτερικές και με Ξ τις εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος ανελκυστήρας άνθρωπος. α. Το βάρος του ανθρώπου. β. Το βάρος του ανελκυστήρα. γ. Τη δύναμη που ασκεί το συρματόσκοινο του ανελκυστήρα. δ. Τη δύναμη που ασκεί ο άνθρωπος στο δάπεδο. 3.3 Η ορμή ενός σώματος είναι μέγεθος..., το μέτρο της υπολογίζεται από την σχέση... και η μονάδα της στο S.I. είναι Να αντιστοιχίσετε τα φυσικά μεγέθη με τις μονάδες τους. Μάζα Ορμή Ταχύτητα Δύναμη α. Kgm / s β. Km / s γ. Kg δ. cm ε. kg m / s Ποιο από τα παρακάτω φαινόμενα δεν εξηγείται με βάση την αρχή διατήρησης της ορμήw. α. Εκκίνηση αυτοκινήτου. β. Ανάκρουση όπλου. γ. Κίνηση πυραύλου. δ. Κίνηση πλοίου. 3.6 Ένας σκοπευτής πυροβολεί με το τυφέκιο του στηρίζοντάς το στον ώμο του. Εάν η προς τα εμπρός ορμή της σφαίρας είναι ίση με την προς τα πίσω ορμή του όπλου, γιατί δεν κινδυνεύει να σκοτωθεί ο σκοπευτής από τον υποκόπανο του όπλου του; 3.7 Ένα βλήμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του σκάει σε δύο ίσα κομμάτια. Αν το ένα κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ 1 = 30 m/s προς τα πού θα κινηθεί το άλλο και με τι ταχύτητα; Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. α. Δύο σώματα με ίσες μάζες έχουν πάντα ίσες ορμές. β. Ένα σύστημα δύο σωμάτων μπορεί να έχει μηδενική ορμή ακόμη και αν τα σώματα κινούνται. γ. Η διατήρηση της ορμής ισχύει σε κάθε κρούση. δ. Η ορμή ενός σώματος διατηρείται πάντα.

16 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ε. Για να αλλάξει η ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης. στ. Εξωτερικές λέμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε σώματα έξω από το σύστημα. ζ. Το βάρος είναι εσωτερική δύναμη. 3.9 Είστε μέσα σε μια βάρκα και προσπαθείτε να τη μετακινήσετε σπρώχνοντας την από μέσα, αλλά αυτό δε γίνεται γιατί: α. Υπάρχουν τριβές. β. Η δύναμη που ασκείται είναι μικρή. γ. Η δύναμη είναι εσωτερική. δ. Η δύναμη είναι εξωτερική Στο διάγραμμα του σχήματος απεικονίζεται η μεταβολή της ορμής ενός σώματος. Να κάνετε το διάγραμμα ΣF - t 3.11 Nα αποδείξετε τη σχέση που δίνει την κινητική ενέργεια Κ ενός σώματος σε συνάρτηση με το μέτρο p της ορμής του Το μπαλάκι του σχήματος συγκρούεται ελαστικά με τον τοιχο. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος είναι: α. mυ β. 2mυ γ. μηδέν 3.13 Δύο σώματα συγκρούονται. Στο διάγραμμα φαίνεται πως μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια του συστήματος με το χρόνο. α. η κρούση είναι ελαστική β. η κρούση είναι σίγουρα πλαστική γ. η κρούση είναι ανελαστική Δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Το ένα έχει μάζα m 2 και είναι ακίνητο, ενώ το άλλο έχει μάζα m 1 και ταχύτητα μέτρου υ 1. Να δείξετε ότι η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση, 4 9

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διατήρηση της Ορμής. είναι μικρότερη από την ολική κινητική τους ενέργεια πριν την κρούση Σωμα κινείται κατακόρυφα και διασπάται σε δύο κομματια. το ενά συνεχίζει να κινείται κατακόρυφα. Το δεύτερο κομματι μπορεί να κινηθεί οριζόντια; 3.16 Μπορεί να γίνει η κρούση του διπλανού σχήματος; 3.17 Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινητική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια ίση με μηδέν και ολική ορμή διάφορη του μηδενός; 3.18 Να δείξετε ότι σε πλαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών που η μία είναι ακίνητη ελαττώνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος Δύο σφαίρες (1) και (2) με ίσες μάζες κινούνται στην ίδια ευθεία και προς την ίδια φορά με ταχύτητες μέτρου υ 1 =20 m/s και υ 2 =10 m/s αντίστοιχα. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Αν μετά την ελαστική κρούση η σφαίρα (1) έχει ταχύτητα μέτρου υ 1 =12 m/s, τότε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας (2) μετά την κρούση ισούται με: Α. 20m/s Β. 42m/s Γ. 12m/s Δ. 18m/s 3.20 Μια σφαίρα Α μάζας m κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα Β μάζας m 2. Η ταχύτητα του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση έχει μέτρο υ κ =υ/3. Η σφαίρα Β έχει μάζα: Α. m 2 =3m B. m 2 =3m/2 Γ. m 2 =4m Δ. m 2 =2m 3.21 Ένα σώμα μάζας m έχει κινητική ενέργεια Κ 0 και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλο ακίνητο σώμα Β ίσης μάζας. Μετά την κρούση το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος είναι ίσο με: Α. mk 0 Β. 2mK 0 Γ. 2 mk 0 Δ. mk Κατά την κεντρική πλαστική κρούση δυο σφαιρών με διαφορετική μάζα, κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών μετατρέπεται εξ ολοκλήρου σε θερμότητα. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι η σωστή; Οι σφαίρες πριν την κρούση είχαν: Α. ίσες ταχύτητες Β. αντίθετες ορμές Γ. ίσες κινητικές ενέργειες Δ. αντίθετες ταχύτητες 5 0

18 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Οι σφαίρες (1) και (2) του σχήματος συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; υ 2υ 2m 1 2 m Α. Οι ορμές των σφαιρών μετά την κρούση τους είναι αντίθετες. Β. Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας (1) έχει διπλάσιο μέτρο από τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας (2). Γ. Αμέσως μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών μηδενίζεται. Δ. Εξαιτίας της κρούσης οι ταχύτητες των δύο σφαιρών αλλάζουν κατεύθυνση χωρίς να μεταβάλλεται το μέτρο τους Δύο σφαίρες (1) και (2) με ίσες μάζες κινούνται στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά και με ταχύτητες μέτρου υ 1 = 30 m/s και υ 2 = 10 m/s αντίστοιχα. Μετά την κεντρική τους κρούση η σφαίρα (1) έχει ταχύτητα μέτρου υ 1 = 12 m/s, ενώ η σφαίρα (2) έχει ταχύτητα μέτρου υ 2. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή; Για την κρούση των δύο σφαιρών μπορούμε να πούμε ότι: Α. είναι ελαστική, Β. είναι πλαστική, Γ. είναι ανελαστική, Δ. δεν επαρκούν τα στοιχεία για να χαρακτηρίσουμε το είδος της κρούσης Ένα αυτοκίνητο Α μάζας Μ βρίσκεται σταματημένο σε κόκκινο φανάρι. Ένα άλλο αυτοκίνητο Β μάζας m, ο οδηγός του οποίου είναι απρόσεκτος, πέφτει στο πίσω μέρος του αυτοκινήτου Α. η κρούση θεωρείται κεντρική και πλαστική. Αν αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει το 1/3 της κινητικής ενέργειας που είχε αμέσως πριν την κρούση, τότε ο λόγος m/m ισούται με: Α. 1/6 Β. 1/2 Γ. 1/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 5 1

19 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Δίνονται δύο ίσου όγκου σφαίρες, οι μάζες των οποίων είναι αντίστοιχα m 1 = 100 g και m 2 = 25 g. Οι σφαίρες κινούνται στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες μέτρου υ 1 =25 cm/s και υ 2 =50 cm/s. Αν η δεύτερη σφαίρα πέσει πάνω στην άλλη και ενσωματωθούν, να βρεθεί η ταχύτητά τους μετά την κρούση. Απ: υ =30 cm/s 3.27 Μια σφαίρα μάζας m= 10 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ = 50 m/s και εκρήγνυται σε δύο κομμάτια με μάζες m 1 = 6 kg και m 2 = 4 kg. Αν το κομμάτι μάζας m 1 αμέσως μετά την έκρηξη κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 =100 m/s, με διεύθυνση και φορά εκείνη της υ, να βρείτε την ταχύτητα του κομματιού μάζας m 2. Απ: υ 2 = 25 m / s 3.28 Βλήμα μάζας m= 20 g εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου 4020 cm/s πάνω σε ακίνητο κιβώτιο μάζας Μ= 4 kg, το οποίο είναι τοποθετημένο σε λείο οριζόντιο επίπεδο. α. Να υπολογισθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση. β. Η μέση δύναμη που δέχεται το κιβώτιο από το βλήμα κατά τη διάρκεια της κρούσης αν διαρκεί Δt= 0, 02 s Απ: α. 20 cm/s β. 40 Ν 3.29 Ένα βλήμα μάζας m =20 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και προσκρούει σ ένα σώμα μάζας Μ= 1,98 kg που ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το βλήμα σφηνώνεται στο κέντρο μάζας του σώματος και το σύστημα ολισθαίνει κατά διάστημα s= 4m μέχρι να σταματήσει. Αν ο συντελεστής τριβής σώματος και επιπέδου είναι μ= 0, 2, να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας υ του βλήματος τη στιγμή που προσκρούει στο σώμα. Δίνεται g= 10 m/s 2 Απ: υ = 400 m/s 3.30 Ένα ομογενές σώμα μάζας Μ= 995 g και ισορροπεί.to σώμα είναι κρεμασμένο με σχοινί από δέντρο. Ενα βήμα μάζας m = 5 g χτυπάει οριζόντια το σώμα με ταχύτητα υ 0 = 200 m/s και σφηνώνεται στο κέντρο μάζας αυτού. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την πλαστική κρούση. Απ: 1 m/s 3.31 Ένα σώμα μάζας Μ= 5 kg είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας m= 50g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1 = 400 m/s, διαπερνάει το σώμα και εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα υ 2 = 100 m/s. Μετά την κρούση το σώμα ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει αφού διανύσει διάστημα s= 4,5 m. Να υπολογιστούν: α. η ταχύτητα του σώματος αμέσως μετά την κρούση, β. ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος - επιπέδου. 7 1

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διατήρηση της Ορμής. Δίνεται g= 10 m/s 2 Απ: [ α. 3 m/s β. μ= 0,1] 3.32 Μια βάρκα ΑΒ μήκους 8m και μάζας m B = 90 kg, επιπλέει στην ήρεμη επιφάνεια του νερού με τον άξονά της κάθετο στην ακτή. Η άκρη Β της βάρκας που είναι πιο κοντά στην ακτή απέχει απ αυτή απόσταση s 1 = 6,5 m. Ένας άνθρωπος μάζας m A =70 kg βαδίζει κατά μήκος της βάρκας από την άκρη Α μέχρι την άκρη Β. Πόσο απέχει από την ακτή η άκρη Β της βάρκας, όταν ο άνθρωπος φτάσει σ αυτή. Απ: [10 m] Απ: [ 0,4 m] 3.33 Μια βάρκα μάζας m = 160 kg και μήκους L=6 m είναι ακίνητη στην επιφάνεια ήρεμης θάλασσας. Δύο άνθρωποι έχουν μάζες m 1 = 60 kg και m 2 = 80 kg αντίστοιχα, και βρίσκονται ακίνητοι στα δύο άκρα της βάρκας. Κατά πόσο θα μετακινηθεί η βάρκα αν οι δύο άνθρωποι αρχίσουν ταυτόχρονα να περπατούν κατά μήκος της βάρκας, ώστε να αλλάξουν θέσεις στον ίδιο χρόνο Βλήμα μάζας m κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= 10 m/s και χωρίζεται με εκρηκτικό μηχανισμό σε δύο κομμάτια Α και Β. Το κομμάτι Α έχει μάζα m/3 και κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 1 = 30 m/s κατά διεύθυνση που σχηματίζει γωνία φ= 60 ο με τη διεύθυνση της ταχύτητας υ. Να υπολογιστεί το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας του κομματιού Β. Απ: [υ 2 = 15 m/s, θ= 60 ο] 3.35 Ένα βλήμα μάζας m κινείται με ταχύτητα υ και διασπάται με έκρηξη σε δύο κομμάτια ίσης μάζας. Οι διευθύνσεις κίνησης των δύο κομματιών σχηματίζουν γωνίες φ= 30 ο και θ= 60 ο αντίστοιχα, με την αρχική διεύθυνση κίνησης του βλήματος. Να υπολογιστούν: φ θ α. To μέτρο της ταχύτητα κάθε κομματιού τη στιγμή της διάσπασης του βλήματος. β. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Απ: [υ 1 = υ 3, υ 2 = υ, ΔK = mυ 2 /2 ] 3.36 Ένα όχημα μάζας m 1 = 800 kg είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δρόμο. Πάνω στο όχημα είναι στερεωμένο ένα πυροβόλο μάζας m 2 = 200 kg, που η κάννη του είναι οριζόντια. Κάποια στιγμή το πυροβόλο εκτοξεύει ένα βλήμα 7 2

21 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 υ m m2 m1 μάζας m= 5 kg με ταχύτητα υ = 800 m/s. Το όχημα οπισθοδρομεί και σταματάει αφού διανύσει διάστημα s= 2 m. Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής οχήματος - εδάφους. Δίνεται g= 10 m/s 2 Απ: [μ =0, 4] 3.37 Πύραυλος μάζας Μ= 1000 kg κινείται κατακόρυφα απομακρυνόμενος από τη Γη. Κάποια στιγμή και ενώ η ταχύτητά του είναι υ= 500 m/s, ο πύραυλος διαχωρίζεται σε δύο κομμάτια. Το ένα κομμάτι έχει μάζα m 1 = 800 kg και η ταχύτητά του αμέσως μετά τη διάσπαση είναι υ 1 = 1000 m/s, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ. Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το άλλο κομμάτι αμέσως μετά τη διάσπαση. Απ: [1500 m/s] 3.38 Θεωρούμε τη μετωπική ελαστική κρούση δύο σφαιρών που πλησιάζουν η μία την άλλη με ταχύτητα ίδιου μέτρου υ ο. Οι μάζες των σφαιρών είναι m και 3m. Να βρείτε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά τη κρούση. Nα γίνει το διάγραμμα της απόστασης των σφαιρών μετά τη κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. Το δάπεδο είναι λείο. Απ: [υ 1=-2υ 0, υ 2=0, d=2υ 0.t] 3.39 Μία μπάλα μάζας m 1 =1kg κινείται με υ 1 =20 m/s σε οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με δεύτερη μπάλα μάζας m 2 που είναι ακίνητη πάνω στο δάπεδο. Αν η ταχύτητα της δεύτερης μπάλας, αμέσως μετά την κρούση, είναι ίση με τα 2 της ταχύτητας που είχε η πρώτη μπάλα 5 πριν την κρούση, να υπολογίσετε: α) τη μάζα m 2 της 2ης μπάλας και την ταχύτητα υ 1 της 1ης μπάλας μετά την κρούση, β) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε στη 2η μπάλα κατά την κρούση. γ) Αν υποθέσουμε ότι η σύγκρουση διήρκεσε Δt=0,1s, ποιος είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος m 1 ; Πόση είναι η μέση τιμή της δύναμης που προκαλεί τη μεταβολή της ορμής του m 2 και ποια είναι η κατεύθυνσή της; Απ: [4 kg, -12 m/s, 64%, -320N] 7 3

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διατήρηση της Ορμής Σφαίρα μάζας m 1 = 2 kg κρέμεται με νήμα μήκους l = 1,8 m από σταθερό σημείο, όπως στο σχήμα. Αρχικά το νήμα τεντώνεται ώστε να είναι οριζόντιο και μετά αφήνεται ελεύθερο. Στο κατώτερο σημείο της διαδρομής της η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο κύβο μάζας m 2 = 4 kg ο οποίος μπορεί να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο για το οποίο δίνεται συντελεστής τριβής ολίσθησης μ= 0,2. Να βρείτε: α) Τις ταχύτητες των σωμάτων μετά τη κρούση. Τη μέγιστη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφη μετά την κρούση και το μέτρο της τάσης του νήματος αμέσως μετά την κρούση. β) Το ποσοστό επί τοις % της κινητικής ενέργειας της σφαίρας που μεταβιβάστηκε στον κύβο. γ) Το διάστημα που θα διανύσει ο κύβος μέχρι να σταματήσει. g = 10 m/s 2. Απ: [α) 4 m/s, -2 m/s, συνφ=8/9, 24,44 N β) 88,9% γ) 4m] 3.41 Οι σφαίρες του παρακάτω σχήματος συγκρούονται μετωπικά και στο διάγραμμα φαίνονται πως μεταβάλλονται οι ταχύτητές τους στη διάρκεια της κρούσης. α) Να βρείτε την μάζα m 2 και το είδος της κρούσης, β) Πόσο τοις % της ενέργειας της m 2 μεταβιβάζεται με την κρούση στην m 1. γ) Πόση είναι η μέση τιμή της δύναμης που δέχεται κάθε σφαίρα κατά τη διάρκεια της κρούσης; Απ: [4 kg, ελαστική γιατι Κ ολ =σταθ., 96%, 240Ν] 3.42 Στο σχήμα φαίνονται το σώμα μάζας Μ=3 kg που κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 1 =10 m/s και βλήμα μάζας m = 0,4 kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ 2 =100 m/s και το οποίο σφηνώνεται στο σώμα. Ζητούνται: α) Η ταχύτητα του συσσωματώματος. β) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. Απ: [50 m/s, J] Ολες οι κρούσεις που συμβαίνουν είναι ελαστικές. Αν είναι m 1 <m 2, να βρείτε το λόγο των μαζών m 1 /m 2, ώστε τελικά η μεταξύ τους απόσταση να παραμένει σταθερή. Το δάπεδο είναι λέιο.

23 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Απ: [1/3] 3.44 Σφαίρα Α μάζας m 1 κινείται ευθύγραμμα σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου υ 1 =20 m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σφαίρα Β μάζας m 2 =2m 1 που κινείται αντίθετα. α. Να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών Α και Β μετά την κρούση, στις εξής περιπτώσεις: i. Οι σφαίρες αρχικά έχουν αντίθετες ορμές. ii. Οι σφαίρες αρχικά έχουν κινητικές ενέργειες Κ 1 =0,5 Κ 2. β. Αν η κρούση διαρκεί Δt=0,1 s, πόση είναι η μέση επιτάχυνση που δέχεται κάθε σφαίρα στη διάρκεια της κρούσης; Να απαντήσετε και για τις δύο περιπτώσεις. Απ: [ α) i. -20 m/s, 10 m/s ii.-100/3 m/s, 20/3 m/s, β) i m/s 2, 200 m/s 2, ii /3 m/s 2, 800/3 m/s 2.] 3.45 Στο σχήμα φαίνεται ένα κομμάτι ξύλου μάζας m 2 =2 kg που ισορροπεί δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l = 1,6 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Σφαίρα μάζας m 1 =1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 =12 m/s και συγκρούεται πλαστικά και κεντρικά με το ξύλο. Να υπολογίσετε: α. το ύψος που φτάνει το συσσωμάτωμα, β. το ποσοστό της ενέργειας της m 1 που χάθηκε κατά τη κρούση, γ. το μέτρο της τάσης του νήματος πριν και αμέσως μετά την κρούση. δ. αν η κρούση διαρκεί Δt=0,05 s να βρείτε την μέση δύναμη που δέχτηκε το σωμα m 2 κατά τη κρούση. Δίνεται g=10 m/s 2 Απ: [α) ο,8 m, β) 66,7%, γ) 20Ν, 60Ν, δ) 160 Ν] 3.46 Σώμα μάζας m 1 =1 kg κινείται με ταχύτητα υ 1 =8 m/s και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με σώμα Β, μάζας m 2 =3 kg, του οποίου η ταχύτητα έχει μέτρο υ 2 =4 m/s και φορά αντίθετη της υ 1. Να βρείτε: Α. Την ορμή του συστήματος των σωμάτων Α και Β πριν και μετά την κρούση Β. Την ταχύτητα του συσσωματώματος Γ. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων Απ: [4kg m/s, 1m/s, -54J] 3.47 Δυο σώματα με μάζες m 1 =3kg και m 2 =1kg κινούνται στην ίδια ευθεία προς αντίθετες κατευθύνσεις, με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ 1 =4m/s και 7 5

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διατήρηση της Ορμής. υ 2 =8m/s, αντίστοιχα. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: Α. Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1. Β. Το κλάσμα της αρχικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση. Απ: [22,5J, 54/112] 3.48 Ξύλινος κύβος, μάζας Μ=1,8Kg είναι ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής ολίσθησης μεταξύ κύβου και επιπέδου ισούται με μ=0,2. Ένα βλήμα, μάζας m=0,2kg, κινείται οριζόντια και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του κύβου. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει, αφού μετατοπιστεί κατά Δx=16m. Να υπολογίσετε: Α. το μέτρο ν της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση Β. το μέτρο της υ της ταχύτητας του βλήματος τη στιγμή που προσκρούει στον κύβο Γ. το επί τοις εκατό ποσοστό της κινητικής ενέργειας που έχασε το σύστημα κατά την κρούση. Δίνεται g=10m/s 2 Απ: [8m/s, 80m/s, 90%] 3.49 Δύο σώματα Α και Β με μάζες m 1 =5 kg και m 2 =1,8 kg είναι ακίνητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, σε απόσταση d=2 m μεταξύ τους. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των σωμάτων Α και Β με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ=0,4. Βλήμα μάζας m=0,2kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 προσπίπτει στο σώμα Α, εξέρχεται από αυτό με ταχύτητα υ=100 m/s και στη συνέχεια σφηνώνεται στο σώμα Β. Μετά τη διέλευση του βλήματος από το σώμα Α, το σώμα αυτό μετατοπίζεται κατά Δx 1 =2 m μέχρι να σταματήσει. Να υπολογίσετε: Α. Την ταχύτητα του σώματος Α, αμέσως μετά την κρούση Β. Την ταχύτητα υ 0 του βλήματος Γ. Την τελική απόσταση των δυο σωμάτων Δ. Τη συνολική απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται g=10m/s 2 Απ: [υ 1 =4m/s, υ 0 =200m/s, x 2 =12,5m] 7 6

25 Διατήρηση της Ορμής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 7 7

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΘΕΜΑ Διατήρηση της Ορμής. 1. Δύο σφαίρες (1) και (2) με ίσες μάζες κινούνται στην ίδια ευθεία και προς την ίδια φορά με ταχύτητες μέτρου υ 1 =20 m/s και υ 2 =10 m/s αντίστοιχα. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Αν μετά την ελαστική κρούση η σφαίρα (1) έχει ταχύτητα υ 1 = 12 m/s, τότε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας (2) μετά την κρούση ισούται με: Α. 20m/s Β. 42m/s Γ. 12m/s Δ. 18m/s 2. Ένα σώμα Α μάζας m έχει κινητική ενέργεια Κ 0 και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με δεύτερο ακίνητο σώμα Β ίσης μάζας. Μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι ίση με: α. Κ 0 /2 β. Κ 0 γ. Κ 0 /4 δ. Κ 0 /3 3. Ένα καρότσι μάζας Μ κινείται με ταχύτητα μέτρου υ σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο καρότσι πέφτει, μετά από ελεύθερη πτώση, ένας σάκος με άμμο μάζας m. Η ταχύτητα του συστήματος μετά την πτώση του σάκου είναι: M α. m γ. m m 4. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές. β. M m δ. M m α. Δύο σώματα με ίσες μάζες έχουν πάντα ίσες ορμές. β. Ένα σύστημα δύο σωμάτων μπορεί να έχει μηδενική ορμή ακόμη και αν τα σώματα κινούνται. γ. Η διατήρηση της ορμής ισχύει σε κάθε κρούση. δ. Η ορμή ενός σώματος διατηρείται πάντα. ε. Για να αλλάξει η ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης. 5.Δυο παγοδρόμοι Α και Β έχουν μάζα m και 0,8 m αντίστοιχα και στέκονται ακίνητοι ο ένας απέναντι στον άλλο. Κάποια στιγμή ο πρώτος σπρώχνει το δεύτερο με αποτέλεσμα να κινηθούν απομακρυνόμενοι. Αν η ορμή που αποκτά ο πρώτος παγόδρομος έχει μέτρο p, η ορμή του δεύτερου θα έχει μέτρο: α) p β) 0,8 p γ) p δ) -0,8 p. ΘΕΜΑ 2 1. Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινητική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια μηδέν χωρίς να έχει ορμή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 2. Μπορεί να γίνει η κρούση του διπλανού σχήματος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 3. Να δείξετε ότι σε πλαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών ίδιας μάζας, που η μία είναι ακίνητη αρχικά, ελαττώνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος. ΘΕΜΑ 3 Στο σχήμα φαίνεται ένα κομμάτι ξύλου μάζας m 2 =2 kg που ισορροπεί δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l = 1,6 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Σφαίρα μάζας m 1 =1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 =12 m/s και συγκρούεται πλαστικά και κεντρικά με το ξύλο. Να υπολογίσετε: α. το ύψος που φτάνει το συσσωμάτωμα, β. το ποσοστό της ενέργειας της m 1 που χάθηκε κατά τη κρούση, γ. το μέτρο της τάσης του νήματος πριν και αμέσως μετά την κρούση. δ. αν η κρούση διαρκεί Δt=0,05 s να βρείτε την μέση δύναμη που δέχτηκε το σωμα m 2 κατά τη κρούση. Δίνεται g=10 m/s 2 Κριτήριο αξιολόγησης: m