ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος Ι Μέρος ΙΙ Μέρος ΙΙΙ Σύνολο 1 Λ Σ Λ ΜΕΡΟΣ Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων: 40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ( Σ ) ή ΛΑΘΟΣ ( Λ ) ) στις παρακάτω οκτώ προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει πέντε (5) μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρούνται πέντε (5) μονάδες. 1. Αν, B είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι P ( ) = P( B) = 0.5, τότε P ( B) 0. 5 και P ( B) Αν, B είναι δύο ξένα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε P ( B ) = P( ) + P( B ) Έστω 1,, 3 και B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P ( B) > 0. Αν τα ενδεχόμενα 1,, 3 είναι ξένα ανά δύο, τότε P B) = P( B) + P( B) + P( ). ( B 4. Έστω, B, Γ ξένα ανά δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P ( ) = P( B) = 1/ 4 και P ( Γ ) = 1/ 5. Η πιθανότητα να μην εμφανιστεί κανένα από τα ενδεχόμενα, B, Γ είναι ίση με 3 / Για κάθε τυχαία μεταβλητή X ισχύει ότι [ E( X )] E( X ). 6. Έστω X μια τυχαία μεταβλητή και a, β R δύο σταθερές. Η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Y = ax + β δίνεται από τον τύπο σ Y = aσ X. Πιθανότητες Ι Σελίδα 1 από 7

2 7. Η συνάρτηση κατανομής F μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X είναι συνεχής συνάρτηση. 8. Αν f 1, f είναι δύο συναρτήσεις πυκνότητας, τότε η συνάρτηση 3 f1( x) + 4 f ( x) = 5 είναι συνάρτηση πυκνότητας. ΜΕΡΟΣ ΙΙ (μέγιστος αριθμός μονάδων: 40) Στις επόμενες οκτώ ερωτήσεις διαλέξτε μια από τις πέντε επιλογές που δίνονται. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει πέντε (5) μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρείται μία (1) μονάδα. 1. Οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορούν να σταθμεύσουν 8 αυτοκίνητα σε 10 θέσεις στάθμευσης είναι ίσος με α. 7 β. 5 γ. 90 δ. 64 ε. 45. Το 40% των φοιτητών ενός πανεπιστημιακού τμήματος είναι άντρες. Αν το 8% των αντρών και το 10% των γυναικών που φοιτούν στο τμήμα είναι αριστούχοι, τότε το ποσοστό των αριστούχων του τμήματος είναι ίσο με α. 8.4% β. 9.% γ. 8.6% δ. 9.4% ε. 9.6% β 3. Η πιθανότητα να φέρει κεφαλή ένα νόμισμα είναι ίση με 1 / 3, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για ένα δεύτερο είναι ίση με 1 /. Η πιθανότητα να εμφανιστεί ακριβώς μια κεφαλή σε μια ρίψη των δύο νομισμάτων είναι ίση με α. 1 / 3 β. 1 / 4 γ. 1 / 9 δ. 1 / ε. 1 / 6 4. Έστω F (t) η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X. Η συνάρτηση κατανομής F Y (t) της τυχαίας μεταβλητής Y = X δίνεται από τον τύπο α. F Y ( t) = F( t ) β. F Y ( t) = 1 F( t) γ. F Y ( t) = 1 F(( t) ) δ. ( t) = F( t) ε. ( t) = 1 F( t) F Y F Y 5. Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας f (x) που δίνεται από τον τύπο Τότε, η σταθερά c R είναι ίση με = c / x 4, x 3, c R. α. c = 81 β. c = 64 γ. c = 7 δ. c = 16 ε. c = 1 Πιθανότητες Ι Σελίδα από 7

3 6. Έστω X μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με σύνολο τιμών R = {, 1,0,1,,4,9 } και συνάρτηση πιθανότητας = 1/ 7 για κάθε x RX. Για την τυχαία μεταβλητή ισχύει ότι η πιθανότητα P ( Y 4) είναι ίση με α. 1 / 3 β. 5 / 7 γ. 4 / 9 δ. 1 / 6 ε. 3 / 4 X Y = X 7. Έστω X μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας f (x) που δίνεται από τον τύπο = 3x, 0 x 1. Η συνάρτηση πυκνότητας f Y (y), 1 y, της τυχαίας μεταβλητής Y = X + 1 δίνεται από τον τύπο α. f Y ( y) = 3y + 6y + 3 β. f Y ( y) = 3y 6y + 3 γ. ( y) = 3y 1 δ. f ( ) = 3y Y y + 1 ε. f Y ( y) = 3y f Y 8. Έστω X μια διακριτή τυχαία μεταβλητή με σύνολο τιμών R X = {1, } και συνάρτηση πιθανότητας f (x) για την οποία ισχύει f ( 1) = ( λ 1)/8, f () = (9 λ)/8. Η σταθερά λ R μπορεί να πάρει την τιμή α. την τιμή λ = β. την τιμή λ = 3 γ. την τιμή λ = 4 δ. την τιμή λ = 5 ε. όλες τις προηγούμενες τιμές Πιθανότητες Ι Σελίδα 3 από 7

4 ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ (μέγιστος αριθμός μονάδων: 40) Απαντήστε στα επόμενα τέσσερα (4) θέματα αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. Κάθε θέμα παίρνει 10 μονάδες. Προσπαθήστε να μην χρησιμοποιήσετε περισσότερο χώρο από αυτόν που δίνεται σε κάθε θέμα. 1. Ένα εξάρτημα παρουσιάζει δύο ειδών βλάβες, τύπου a και τύπου β, οι οποίες εμφανίζονται ανεξάρτητα η μια από την άλλη. Η πιθανότητα να εμφανιστεί η βλάβη τύπου a είναι 10%, ενώ η πιθανότητα να εμφανιστεί η βλάβη τύπου β είναι 15%. Ποια είναι η πιθανότητα (α) να εμφανιστούν και οι δύο βλάβες συγχρόνως; (β) να εμφανιστεί μία τουλάχιστον από τις δύο βλάβες; (γ) να μην εμφανιστεί καμία από τις δύο βλάβες; (δ) να εμφανιστεί βλάβη τύπου β, αν είναι γνωστό ότι έχει ήδη εμφανιστεί βλάβη τύπου a ; Πιθανότητες Ι Σελίδα 4 από 7

5 . Ο αριθμός X των γεννήσεων σε ένα νοσοκομείο της Πάτρας σε μια ημέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ και γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να συμβεί μια γέννηση σε μια ημέρα είναι τετραπλάσια της πιθανότητας να συμβούν δύο γεννήσεις σε μια ημέρα. (α) Να δειχτεί ότι η τιμή της παραμέτρου λ είναι ίση με 1 /. (β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να συμβούν τουλάχιστον δύο γεννήσεις σε μια ημέρα γνωρίζοντας ότι έχει συμβεί τουλάχιστον 1 γέννηση. (γ) Να δοθεί ο αναμενόμενος αριθμός των γεννήσεων σε μια ημέρα. Πιθανότητες Ι Σελίδα 5 από 7

6 3. Από μια κάλπη που περιέχει 60 λαχνούς αριθμημένους από το 1 έως το 60 επιλέγουμε 3 λαχνούς. Η τυχαία μεταβλητή X δηλώνει το πλήθος των λαχνών οι οποίοι φέρουν αριθμό που διαιρείται με το 3. Να δοθεί η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαία μεταβλητή X και να υπολογιστεί η πιθανότητα να μην επιλεγεί λαχνός που φέρει αριθμό που διαιρείται με το 3 (α) στην περίπτωση που η επιλογή των λαχνών γίνει με επανατοποθέτηση. (β) στην περίπτωση που η επιλογή των λαχνών γίνει χωρίς επανατοποθέτηση. Πιθανότητες Ι Σελίδα 6 από 7

7 4. Το σφάλμα X που γίνεται κατά τη μέτρηση (μέσω ενός συγκεκριμένου οργάνου) είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας f (x) που δίνεται από τον τύπο x, = 0, 1 x 1 αλλού. (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να είναι το σφάλμα μιας μέτρησης μικρότερο του 1 / κατ απόλυτη τιμή. (β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διακύμανση του σφάλματος μέτρησης. Πιθανότητες Ι Σελίδα 7 από 7