Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

2 16.1 Εισαγωγή Απόκριση συχνότητας: Είναι η μεταβολή ενός μεγέθους του κυκλώματος (τάση, ρεύμα, λόγος τάσεων ή ρευμάτων, κλπ.) όταν μεταβάλλεται η συχνότητα της διέγερσης του κυκλώματος. Συνάρτηση μεταφοράς: Ο λόγος εξόδου προς είσοδο ενός κυκλώματος, συναρτήσει της συχνότητας. Συντονισμός: Συντονισμό έχουμε όταν ένα κύκλωμα που περιέχει πυκνωτές και πηνία παρουσιάζει ωμική συμπεριφορά. Διαγράμματα Bode: Για να μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας των κυκλωμάτων χρησιμοποιούμε προσεγγιστικά διαγράμματα πλάτους ή φάσης σε ημι-λογαριθμική κλίμακα. Παθητικά φίλτρα: Κατάλληλα σχεδιασμένα κυκλώματα που παρουσιάζουν επιλεκτική, ως προς τη συχνότητα, συμπεριφορά. 2

3 16.2 Συνάρτηση μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς ενός κυκλώματος ορίζεται ως ο λόγος της εξόδου προς την είσοδο, όταν η είσοδος και η έξοδος είναι συναρτήσεις της συχνότητας: I s (ω) + V s (ω) - H(ω) I o (ω) + V o (ω) - Η είσοδος ή η έξοδος μπορεί να είναι ρεύμα ή τάση, άρα έχουμε τέσσερις περιπτώσεις: Κέρδος τάσης: Κέρδος ρεύματος: Αντίσταση μεταφοράς: Αγωγιμότητα μεταφοράς: 3

4 16.2 Συνάρτηση μεταφοράς Συνηθίζεται η συνάρτηση μεταφοράς να εκφράζεται ως προς το jω, καθώς η I s (ω) I o (ω) γωνιακή συχνότητα πάντα εμφανίζεται + μαζί με τη φανταστική μονάδα. Έτσι η H(ω) V συνάρτηση μεταφοράς γράφεται ως s (ω) H(jω) ή ως H(s), όπου s=jω είναι η - μιγαδική συχνότητα. Η συνάρτηση μεταφοράς συνήθως αποτελείται από το λόγο δύο πολυωνύμων: + V o (ω) - Οι ρίζες δηλαδή του πολυωνύμου του αριθμητή λέγονται μηδενικά της συνάρτησης μεταφοράς. Αντιστοίχως οι ρίζες του παρονομαστή λέγονται πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς. Τα μηδενικά και οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς χαρακτηρίζουν τη μορφή της. 4

5 16.2 Συνάρτηση μεταφοράς Παράδειγμα 16-1: Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος. + I s R + Η τάση στα άκρα του πηνίου δίνεται από τη σχέση του διαιρέτη τάσης: V s - L V L - Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον αριθμητή και έχουμε: Η ποσότητα: λέγεται συχνότητα αποκοπής. 5

6 16.2 Συνάρτηση μεταφοράς Η συνάρτηση μεταφοράς είναι μια μιγαδική συνάρτηση. Το μέτρο της είναι: Η φάση της είναι: Το πλάτος στη συχνότητα αποκοπής έχει τιμή Η φάση στη συχνότητα αποκοπής έχει τιμή

7 Έχουμε μια αντίσταση, ένα πηνίο και έναν πυκνωτή, συνδεδεμένα σε σειρά. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από μία πηγή ημιτονοειδούς τάσης και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλονται το ρεύμα και οι τάσεις του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται η συχνότητα της πηγής. Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι: V s + - I s R C + V R - + V C - L + V L - Όταν η γωνιακή συχνότητα έχει την τιμή: η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι καθαρά ωμική και το ρεύμα του κυκλώματος βρίσκεται σε φάση με την τάση της πηγής. 7

8 Ένα κύκλωμα RLC βρίσκεται σε συντονισμό όταν η συνολική σύνθετη αντίστασή του είναι καθαρά ωμική, δηλαδή όταν η επαγωγική αντίσταση ισούται με τη χωρητική. Η σύνθετη αντίσταση μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας: V s + - I s R C + V R - + V C - L + V L - Όπου η παράμετρος: λέγεται συντελεστής απόσβεσης και: είναι η γωνιακή συχνότητα συντονισμού. 8

9 Τα μηδενικά της σύνθετης αντίστασης είναι στις συχνότητες: ω 0 Im(s) jω d -α 0 Re(s) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος γράφεται στη μορφή: -jω d Το ρεύμα του κυκλώματος είναι: 9

10 Το μέτρο και η γωνία του ρεύματος είναι: Στη συχνότητα συντονισμού το ρεύμα μεγιστοποιείται: 10

11 Στο συντονισμό: α) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι καθαρά ωμική και παίρνει την ελάχιστη τιμή της, β) Η τάση στα άκρα της αντίστασης ισούται με την τάση της πηγής, γ) Το ρεύμα του κυκλώματος είναι συμφασικό με την τάση και μεγιστοποιείται, δ) Οι τάσεις στα άκρα του πηνίου και του πυκνωτή είναι ίσες σε μέτρο και μπορεί να πάρουν τιμές μεγαλύτερες από την τάση της πηγής. V s + - I s R C + V R - + V C - L + V L - 11

12 Για να περιγράψουμε την οξύτητα της καμπύλης συντονισμού πρέπει να ορίσουμε δύο ακόμα μεγέθη, το συντελεστή ποιότητας (quality factor), και το εύρος ζώνης συντονισμού (bandwidth). Ο συντελεστής ποιότητας ορίζεται ως: Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση στη συχνότητα συντονισμού είναι: Η ενέργεια που καταναλώνεται στην αντίσταση σε χρόνο μιας περιόδου είναι: 12

13 Η στιγμιαία ενέργεια του πηνίου είναι: Η τάση του πυκνωτή είναι: Η στιγμιαία ενέργεια του πυκνωτή είναι: Η συνολική αποθηκευμένη ενέργεια ισούται με την ενέργεια του πηνίου και την ενέργεια του πυκνωτή: 13

14 Ο συντελεστής ποιότητας είναι: Ο συντελεστής ποιότητας δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η τάση του πηνίου ή του πυκνωτή από την τάση της αντίστασης (ή της πηγής): Ο συντελεστής απόσβεσης α και η φυσική συχνότητα συντονισμού ω d συναρτήσει του συντελεστή ποιότητας είναι: 14

15 Όσο πιο μεγάλη είναι η τιμή του συντελεστή ποιότητας τόσο πιο οξεία είναι η καμπύλη κοντά στη συχνότητα συντονισμού, δηλαδή τόσο πιο επιλεκτικό είναι το κύκλωμα. Τιμές του συντελεστή ποιότητας πάνω από 5 θεωρούνται υψηλές. Ο συντελεστής ποιότητας μαζί με τη συχνότητα συντονισμού είναι οι σημαντικότερες παράμετροι ενός συντονισμένου κυκλώματος. 15

16 Μία άλλη σημαντική παράμετρος του συντονισμού είναι το εύρος ζώνης (bandwidth). Το εύρος ζώνης ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των συχνοτήτων μισής ισχύος, σε σχέση με τη μέγιστη ισχύ: Η ισχύς που καταναλώνεται στη συχνότητα συντονισμού είναι: Η συνθήκη μισής ισχύος είναι: 16

17 Οι συχνότητες μισής ισχύος είναι: Οι συχνότητες μισής ισχύος συναρτήσει της συχνότητας συντονισμού και του συντελεστή ποιότητας είναι: Η διαφορά και το γινόμενο των συχνοτήτων μισής ισχύος είναι: 17

18 Το εύρος ζώνης είναι η διαφορά των συχνοτήτων μισής ισχύος. Το εύρος ζώνης είναι αντιστρόφως ανάλογο του συντελεστή ποιότητας: Σε κυκλώματα με υψηλό συντελεστή ποιότητας (Q>5) οι εκφράσεις των συχνοτήτων μισής ισχύος απλοποιούνται: 18

19 Παράδειγμα 16-2: Έχουμε ένα κύκλωμα RLC σε σειρά. Οι τιμές των στοιχείων είναι R=100 Ω, L=0,1 H και C=0,4 μf. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από πηγή ημιτονοειδούς τάσης ενεργού τιμής 10 V. Υπολογίστε τη συχνότητα συντονισμού, το συντελεστή ποιότητας, το εύρος ζώνης και τις συχνότητες μισής ισχύος. V s + - I s 100 Ω 0,4 μf + V R - + V C - 0,1 H + V L - Η γωνιακή συχνότητα συντονισμού είναι: 19

20 Ο συντελεστής ποιότητας και το εύρος ζώνης είναι: Χρησιμοποιώντας τις ακριβείς σχέσεις για τον υπολογισμό των συχνοτήτων μισής ισχύος βρίσκουμε: 20

21 Αν χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγιστικές σχέσεις για τις συχνότητες μισής ισχύος θα βρούμε: Το ρεύμα στο συντονισμό θα είναι ενεργού τιμής 0,1 Α, η τάση στα άκρα της αντίστασης θα είναι ίση με την τάση της πηγής, 10 V, ενώ οι τάσεις στα άκρα του πηνίου και του πυκνωτή θα έχουν ενεργό τιμή 50 V. V s + - I s 100 Ω 0,4 μf + V R - + V C - 0,1 H + V L - 21

22 Παράδειγμα 16-3: Μεταβάλλετε τα στοιχεία του προηγούμενου παραδείγματος ώστε να αυξήσετε το συντελεστή ποιότητας του κυκλώματος χωρίς να μεταβληθούν τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του. Το χαρακτηριστικό που πρέπει να παραμείνει αμετάβλητο είναι κυρίως η συχνότητα συντονισμού. Ο συντελεστής ποιότητας και η συχνότητα συντονισμού δίνονται από τις σχέσεις: Άρα πρέπει να αυξήσουμε την τιμή της αυτεπαγωγής του πηνίου ταυτόχρονα με αναλογική μείωση της χωρητικότητας του πυκνωτή, ώστε να παραμείνει σταθερή η συχνότητα συντονισμού. Με τον τρόπο αυτό θα παραμείνει σταθερό και το ρεύμα του κυκλώματος. 22

23 Άρα: Δεκαπλασιάζουμε την αυτεπαγωγή του πηνίου, από τα 0,1 H στο 1 H, Υποδεκαπλασιάζουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή, από τα 0,4 μf στα 0,04 μf, δηλαδή στα 40 nf, με αποτέλεσμα: Ο συντελεστής ποιότητας δεκαπλασιάζεται, δηλαδή μεταβάλλεται από το Q=5 στο Q=50, Το εύρος ζώνης υποδεκαπλασιάζεται, το οποίο τώρα θα γίνει: 23

24 Οι συχνότητες μισής ισχύος θα γίνουν: Η αύξηση του συντελεστή ποιότητας θα έχει σαν αποτέλεσμα και την αύξηση της τάσης του πηνίου και του πυκνωτή. Έτσι, ενώ η τάση της πηγής και της αντίστασης θα παραμείνουν στα 10 V, η τάση του πηνίου και του πυκνωτή θα δεκαπλασιαστούν, δηλαδή από τα 50 θα πάνε στα 500 V. 24

25 16.4 Παράλληλος συντονισμός Έχουμε μία αντίσταση, ένα πηνίο και έναν πυκνωτή, συνδεδεμένα παράλληλα. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από μία πηγή ημιτονοειδούς ρεύματος και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλονται το ρεύμα και οι τάσεις του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται η συχνότητα της πηγής. Η σύνθετη αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι: I s I R I C I L I s R C L Όταν η γωνιακή συχνότητα έχει την τιμή: η σύνθετη αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι καθαρά ωμική και η τάση του κυκλώματος βρίσκεται σε φάση με το ρεύμα της πηγής. 25

26 16.4 Παράλληλος συντονισμός Ένα κύκλωμα RLC βρίσκεται σε συντονισμό όταν η συνολική σύνθετη αντίστασή του είναι καθαρά ωμική, δηλαδή όταν η επαγωγική αντίσταση ισούται με τη χωρητική. Η σύνθετη αγωγιμότητα μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας: I s I R I C I L I s R C L Όπου η παράμετρος: λέγεται συντελεστής απόσβεσης και: είναι η γωνιακή συχνότητα συντονισμού. 26

27 16.4 Παράλληλος συντονισμός Οι πόλοι της σύνθετης αντίστασης είναι στις συχνότητες: ω 0 Im(s) jω d -α 0 Re(s) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος γράφεται στη μορφή: -jω d Η τάση του κυκλώματος είναι: 27

28 16.4 Παράλληλος συντονισμός Το μέτρο της τάσης είναι: Στη συχνότητα συντονισμού το μέτρο της τάσης μεγιστοποιείται: Στο συντονισμό: α) Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι καθαρά ωμική και παίρνει τη μέγιστη τιμή της, β) Το ρεύμα της αντίστασης ισούται με το ρεύμα της πηγής, γ) Η κοινή τάση στα άκρα των τριών στοιχείων του κυκλώματος είναι συμφασική με το ρεύμα της πηγής και μεγιστοποιείται, δ) Τα ρεύματα που διαρρέουν το πηνίο και τον πυκνωτή είναι ίσα σε μέτρο και μπορεί να πάρουν τιμές μεγαλύτερες από το ρεύμα της πηγής. 28

29 16.4 Παράλληλος συντονισμός Η καμπύλη της τάσης συναρτήσει της συχνότητας στον παράλληλο συντονισμό έχει την ίδια μορφή με την καμπύλη του ρεύματος του σε σειρά συντονισμού. Υπάρχει αναλογία στο φαινόμενο του συντονισμού στο κύκλωμα RLC σε σειρά και στο παράλληλο κύκλωμα RLC. Ότι ισχύει για τα ρεύματα στο ένα κύκλωμα ισχύει για τις τάσεις στο άλλο. Τα ρεύματα που διαρρέουν το πηνίο και τον πυκνωτή στη συχνότητα συντονισμού είναι: 29

30 16.4 Παράλληλος συντονισμός Ο συντελεστής ποιότητας στον παράλληλο συντονισμό είναι: Οι σχέσεις για το συντελεστή ποιότητας στο παράλληλο κύκλωμα είναι οι αντίστροφες σε σχέση με τις σχέσεις του κυκλώματος σειράς. Οι σχέσεις για το εύρος ζώνης και τις συχνότητες μισής ισχύος είναι ίδιες με τις αντίστοιχες σχέσεις του κυκλώματος σειράς. 30

31 100 Ω 20 μf 12,5 mh 16 Απόκριση συχνότητας 16.4 Παράλληλος συντονισμός Παράδειγμα 16-4: Έχουμε ένα παράλληλο κύκλωμα RLC. Οι τιμές των στοιχείων είναι R=100 Ω, L=12,5 mh και C=20 μf. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από πηγή ημιτονοειδούς ρεύματος ενεργού τιμής 1 Α (Σχήμα 1-14). Υπολογίστε τη συχνότητα συντονισμού, το συντελεστή ποιότητας, το εύρος ζώνης και τις συχνότητες μισής ισχύος. I s I s I R I C I L Η γωνιακή συχνότητα συντονισμού είναι: 31

32 16.4 Παράλληλος συντονισμός Ο συντελεστής ποιότητας και το εύρος ζώνης είναι: Χρησιμοποιώντας τις ακριβείς σχέσεις για τον υπολογισμό των συχνοτήτων μισής ισχύος βρίσκουμε: 32

33 16.4 Παράλληλος συντονισμός Αν χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγιστικές σχέσεις για τις συχνότητες μισής ισχύος θα βρούμε: Στη συχνότητα συντονισμού η αντίσταση θα διαρρέεται από ρεύμα 1 Α, ίσο με το ρεύμα της πηγής, η τάση του κυκλώματος θα είναι 100 Volt, άρα η αντίσταση θα καταναλώνει 100 W. Η πηγή θα παράγει μόνο πραγματική ισχύ ίση με την ισχύ που θα καταναλώνεται στην αντίσταση (100 W). Τα ρεύματα του πυκνωτή και του πηνίου θα είναι τετραπλάσια από το ρεύμα που δίνει η πηγή (4 Α), αφού ο συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος είναι Q=4. 33