Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας"

Transcript

1 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι - συνάρτηση κι ς θεωρήσουµε τις γρφικές πρστάσεις C κι C των κι - στο ίδιο σύστηµ ξόνων. Eπειδή y ( y ), ν έν σηµείο M(,) νήκει στη γρφική πράστση C της τότε το σηµείο M (,) θ νήκει στη γρφική πράστση C της - κι ντιστρόφως. T σηµεί όµως υτά είνι όµως συµµετρικά ως προς την ευθεί που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy. Eποµένως οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy. Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε πολυώνυµο P() ισχύει ότι lim P P( ) Έστω το πολυώνυµο P ( ) v v + v- v κι R. Σύµφων µε ιδιότητες ορίων έχουµε: lim P lim ( v v + v- v ) lim ( v v )+ lim ( v- v- )+...+ lim ( )+ lim v lim ( v )+ v- lim ( v- )+...+ lim ()+ lim v v + v- v P ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

2 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε ρητή συνάρτηση ισχύει ότι P lim Q P Q Έστω η ρητή συνάρτηση κι R µε Q( ). Τότε lim lim P ( ), όπου P Q ( ( ), Q ( ) πολυώνυµ του ) P ( ) lim P ( ) P( ) Q ( ) Q( ) lim Q 4. Αν µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη κι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,] κι επιπλέον ισχύει, τότε ν ποδείξετε ότι γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι τέτοιος ώστε ( ) η υπάρχει ένς, τουλάχιστον (,) (Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών) Ας υποθέσουµε ότι <. Τότε θ ισχύει η < θεωρήσουµε τη συνάρτηση η, [,], πρτηρούµε ότι: συνεχής στο [,] κι < φού η < κι η > Εποµένως σύµφων µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει (,) ώστε ( ) ( ) η, οπότε ( ) η <. Αν, τέτοιο 5. Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο, τότε ν ποδείξετε ότι είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό lim Γι [ ( )] έχουµε ( ) lim ( ) ( ) οπότε ( ) ( ) lim lim ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

3 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ( ) ( ) φού η είνι πργωγίσιµη στο lim δηλδή η είνι συνεχής στο 6. Έστω η συνάρτηση c, πργωγίσιµη στο R κι ισχύει. Εποµένως c R. Ν ποδείξετε ότι η είνι Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει ( ) c c ( ). Εποµένως lim δηλδή ( c ) 7. Έστω η συνάρτηση. Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει ( ) ( ). Εποµένως lim lim δηλδή ( ) ν 8. Έστω η συνάρτηση, ν Ν {,} ν- είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει. Ν ποδείξετε ότι η ν Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του R τότε γι ισχύει: ν ν ν ν ν ( ) ( )( ) ν ν- ν οπότε lim ν ν- ν ν ν ν ν- lim ( ν ν- δηλδή ν ) ν Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

4 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4 9. Έστω η συνάρτηση, [ ),+ Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο,+ κι ισχύει Αν υποθέσουµε ότι είνι έν σηµείο του,+ τότε γι ισχύει: οπότε lim lim + δηλδή. Έστω οι συνρτήσεις, οι οποίες είνι πργωγίσιµες σε έν σηµείο. Ν ποδείξετε ότι κι η συνάρτηση + είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει + + Γι, ισχύει: Επειδή οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, έχουµε lim lim lim δηλδή + +

5 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Έστω η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο,+, R Z. Ν ποδείξετε ότι η - κι ισχύει Πράγµτι ν y e ln κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε y e u. Εποµένως y ( e ) u e u u e ln -. Έστω η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει, >. Ν ποδείξετε ότι η ( ) ln Πράγµτι ν y e ln κι θέσουµε u ln, τότε έχουµε y e u. Εποµένως y e u e u u e ln ln ln 3. Έστω η συνάρτηση ( ) ln, R *. Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιµη στο R * κι ισχύει ( ) Αν > τότε ( ln) ( ln) ενώ Αν < τότε ln ln οπότε ν θεσουµε y ln y lnu. Εποµένως y ( lnu) u u ( - ) κι άρ ln κι u έχουµε Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

6 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν η είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η είνι στθερή σε όλο το διάστηµ Δ. Αρκεί ν ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε Πράγµτι:, τότε προφνώς ( ) Αν Αν <, τότε στο διάστηµ [, ] θεωρήµτος µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει (, ) ( ξ), Δ ισχύει ( ). η ικνοποιεί τις υποθέσεις του ξ τέτοιο ώστε: ( ) ( ) () Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σηµείο του Δ, ισχύει ( ξ) (), είνι ( ). Αν ( ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι ( ), οπότε λόγω της <, τότε οµοίως ποδεικνύετι ότι 5. Έστω δύο συνρτήσεις, ορισµένες σε έν διάστηµ Δ. Αν οι, είνι συνεχείς στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι υπάρχει στθερά c, τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει + c Η συνάρτηση είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο Δ ισχύει ( ). Εποµένως σύµφων µε το πρπάνω θεώρηµ, η συνάρτηση είνι στθερή στο Δ. Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ν ισχύει c, οπότε + c Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

7 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 6. Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε ν ποδείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. Έστω, Δ µε <. Θ δείξουµε ότι ( ) < Πράγµτι στο διάστηµ [, ] θεωρήµτος µέσης τιµής. Εποµένως υπάρχει (, ) Επειδή ( ξ) η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ξ τέτοιο ώστε: ( ) ξ οπότε έχουµε ( ξ) ( ) ( ) ( ) > κι >, έχουµε ( ) ( ) οπότε ( ) > (Όµοι ποδεικνύουµε την περίπτωση που ισχύει είνι γνησίως φθίνουσ) <. < κι η 7. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ κι έν εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε ν ποδείξετε πώς ισχύει ( ) (Θεώρηµ Fermat) Ας υποθέσουµε ότι η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο. Επειδή το είνι εσωτερικό σηµείο του Δ κι η προυσιάζει σε υτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε ( δ, + δ) Δ () γι κάθε ( δ, δ) + κι Επειδή επιπλέον η είνι πργωγίσιµη στο, ισχύει ( ) ( ) lim lim εποµένως + Αν ( δ, ) τότε λόγω της (), θ είνι έχουµε ( ) Αν (, δ) + lim ( ) τότε λόγω της (), θ είνι έχουµε ( ) lim+ ( ) Έτσι πό τις () κι (3) έχουµε ( ) () (3) ( ), οπότε θ, οπότε θ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

8 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 8. Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του, στο οποίο όµως η είνι συνεχής. Ν ποδείξετε ότι:. Αν. Αν > στο, κι είνι τοπικό µέγιστο της < στο, κι είνι τοπικό ελάχιστο της < στο, > στο,, τότε το, τότε το γ. Αν η διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (,) τότε το δεν είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως µονότονη στο, > γι κάθε,. Επειδή γνησίως ύξουσ στο, " ( #. Έτσι έχουµε () Επειδή < γι κάθε, γνησίως φθίνουσ στο " #,). Έτσι έχουµε () κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε, ( # $ κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε #, $ ) Εποµένως λόγω των (), () ισχύει σηµίνει ότι το υτής ( ) είνι µέγιστο της στο, γι κάθε (,) που κι άρ τοπικό µέγιστο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

9 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς < γι κάθε,. Επειδή γνησίως φθίνουσ στο, " ( #. Έτσι έχουµε () Επειδή > γι κάθε, γνησίως ύξουσ στο " #,). Έτσι έχουµε () Εποµένως λόγω των (), () ισχύει σηµίνει ότι το υτής κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε, ( # $ κι η συνεχής στο, η είνι ( ) γι κάθε #, ( ) είνι ελάχιστο της στο, $ ) γι κάθε (,) που κι άρ τοπικό ελάχιστο γ. Έστω ότι ( ) > γι κάθε (, ) (, ). Επειδή η είνι συνεχής στο, η είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήµτ, " ( # κι " #,). Εποµένως γι < < ισχύει < ( ) < ( ). Άρ το ( ) δεν είνι τοπικό κρόττο της. Θ δείξουµε τώρ ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,. Πράγµτι, έστω,, µε < - Αν,, # ( $ επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο, " ( # θ ισχύει < ( ) - Αν, # $,) επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο " #, ) θ ισχύει < ( ) - Τέλος ν < <, τότε όπως είπµε < ( ) < ( ) Εποµένως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είνι γνησίως ύξουσ στο, Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

10 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 9. Aν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ Δ κι έν σηµείο του Δ τότε ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ( t ) dt, Δ F είνι µι πράγουσ της στο Δ, δηλδή ότι ισχύει # % % $ dt t & ( ( ' ( ) γι κάθε Δ Eποπτικά το πρπάνω θέωρηµ προκύπτει ως εξής: +h F ( ) ( t ) F + h dt Eµδό του χωρίου Ω Άρ γι µικρά h> είνι F + h οπότε F lim h F( + h) F ( ) h h γι µικρά h> F ( ) ( ) ( ) h. Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν F είνι µι πράγουσ της στο Δ, τότε ν ποδείξετε ότι: Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F + c, c R πράγουσες της στο Δ κι είνι Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρνει τη µορφή G F + c, c R Κάθε συνάρτηση της µορφής G F + c, c R της στο Δ, φού G ( F + c) F είνι µί πράγουσ γι κάθε Δ Έστω G είνι µί άλλη πράγουσ της στο Δ. Τότε γι κάθε Δ G, οπότε ισχύουν F κι F G, γι κάθε Δ Άρ, σύµφων µε το κριτήριο της ενότητς.6, υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F + c, c R γι κάθε Δ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

11 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Aν G είνι µί πράγουσ της στο[,], τότε ν ποδείξετε ότι ( t) dt G G Σύµφων µε γνωστό θεώρηµ η συνάρτηση ( t) dt πράγουσ της στο [,] [,], θ υπάρχει c R, τέτοιο ώστε G F + c () Από την () γι c G Εποµένως G F + G F είνι µι. Επειδή κι η G είνι µι πράγουσ της στο, έχουµε G F + c ( t) dt+ c c, οπότε Οπότε γι, έχουµε G F + G ( t) dt + G κι άρ ( t) dt G G. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον τύπο E Ω ( ( ) ( )) ( ) γι κάθε, Έστω δύο συνρτήσεις κι συνεχείς στο διάστηµ # $,% & µε ( ) γι κάθε $ %, d & ' κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των, κι τις ευθείες,. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

12 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Πρτηρούµε ότι: E ( Ω ) E( Ω ) E ( Ω ) ( ) d d ( ( ) ( )) d 3. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον τύπο E Ω Eπειδή οι συνρτήσεις, είνι συνεχείς στο # $,% & θ υπάρχει ριθµός c R τέτοιος ώστε ( ( ) ( )) d ( ) γι κάθε, + c ( ) + c γι κάθε $ %, & '. Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω. Εποµένως σύµφων µε τον τύπο () έχουµε E ( Ω ) E( Ω ) #( ( ) + c ) ( ( ) + c ) & $% '( d ( ( )) d 4. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση µις συνεχούς συνάρτησης, τον άξον κι τις ευθείες, ότν ισχύει $ & % ' δίνετι πό τον γι κάθε, τύπο E Ω ( ) d Mε τη οήθει του προηγούµενου τύπου µπορούµε ν υπολογίσουµε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τον άξον τη γρφική πράστση µις συνάρτησης µε $ & % ' κι τις ευθείες,. γι κάθε, Πράγµτι επειδή ο άξονς είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης έχουµε ( ( ) ( )) E Ω d ( ) d ( ) d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

13 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 5. N ποδείξετε ότι το εµδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων, κι τις ευθείες, ότν η διφορά ()-() δε διτηρεί στθερό πρόσηµο δίνετι πό τον τύπο E Ω ( ) ( ) d Ότν η διφορά ( ) ( ) δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο # $,% & τότε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των, κι τις ευθείες κι είνι ίσο µε το άθροισµ των εµδών των χωρίων Ω, Ω, Ω 3. Δηλδή γ E ( Ω ) E( Ω ) + E ( Ω ) + E ( Ω 3) ( ( ) ( )) d + δ γ ( ( ) ( )) d + δ ( ( ) ( )) d γ δ ( ) ( ) d + ( ) ( ) d + ( ) ( ) d γ δ ( ) d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

14 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΟΡΙΣΜΟΙ. Τι ονοµάζουµε πργµτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R. Ονοµάζουµε πργµτική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί (κνόν) µε την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν µόνο πργµτικό ριθµό y. Το y ονοµάζετι τιµή της στο κι συµολίζετι µε υτή, γράφουµε : A R κι ( ). Γι ν εκφράσουµε τη διδικσί. Τι ονοµάζουµε γρφική πράστση µις πργµτικής συνάρτησης; Έστω µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι Oy έν σύστηµ συντετγµένων στο επίπεδο. Το σύνολο των σηµείων Μ(,y) γι τ οποί ισχύει y, δηλδή το σύνολο των σηµείων Μ (, ( )), A λέγετι γρφική πράστση της κι συµολίζετι συνήθως µε C 3. Πότε λέµε ότι δύο συνρτήσεις, είνι ίσες; Δύο συνρτήσεις, λέγοντι ίσες ότν: Έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι Γι κάθε A ισχύει 4. Τι ονοµάζουµε σύνθεση µις συνάρτησης µε µι άλλη συνάρτηση ; Αν, είνι δύο συνρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β ντιστοίχως τότε ονοµάζουµε σύνθεση της µε τη, κι τη συµολίζουµε µε o τη o συνάρτηση µε τύπο ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4

15 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Το πεδίο ορισµού της o ποτελείτι πό ολ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της γι τ οποί το είνι το σύνολο Α A Α δηλδή ότν A νήκει στο πεδίο ορισµού της. Δηλδή { B}. Είνι φνερό ότι η o ορίζετι ότν B 5. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ κι πότε γνησίως φθίνουσ; Μι συνάρτηση λέγετι: Γνησίως ύξουσ σε έν διάστηµ Δ του πεδίου ορισµού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ µε < ισχύει < ( ) (σχήµ ) Γνησίως φθίνουσ σε έν διάστηµ Δ του πεδίου ορισµού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ µε < ισχύει > ( ) (σχήµ ) 6. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α προυσιάζει στο A ολικό µέγιστο κι πότε ολικό ελάχιστο; Μι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A γι κάθε A (σχήµ ) (ολικό) µέγιστο το ότν Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

16 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Προυσιάζει στο A γι κάθε A (σχήµ ) (ολικό) ελάχιστο το ότν 7. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α είνι -; Μι συνάρτηση : Α R λέγετι συνάρτηση -, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ισχύει ( ) ν µε πγωγή σε άτοπο ποδεικνύετι ότι: Μι συνάρτηση : Α R λέγετι συνάρτηση -, ότν γι οποιδήποτε, A ισχύει η συνεπγωγή: ν ( ) ισχύει 8. Πως ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση; Έστω µι συνάρτηση : A R. Aν υποθέσουµε ότι υτή είνι - τότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών A της υπάρχει µονδικό στοιχείο y. Eποµένως ορίζετι R µε την οποί κάθε y ( A ) ντιστοιχίζετι στο y. Από τον τρόπο που ορίστηκε η του πεδίου ορισµού της A γι το οποίο ισχύει µι συνάρτηση : A µονδικό A γι το οποίο ισχύει προκύπτει ότι: - έχει πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών A της - έχει σύνολο τιµών το πεδίο ορισµού της Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

17 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς - κι ισχύει η ισοδυνµί ( ) y ( y ) Aυτό σηµίνει ότι ν η ντιστοιχίζει το στο y τότε η ντιστοιχίζει το y στο κι ντιστρόφως. Δηλδή η είνι η ντίστροφη διδικσί της κι γι το λόγο υτό η λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της κι συµολίζετι µε 9. Τι ονοµάζετι κολουθί; Ακολουθί ονοµάζετι κάθε πργµτική συνάρτηση : Ν * R. Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεµολής κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Έστω οι συνάρτησεις,, h. Αν κοντά στο κι h lim h lim λ τότε κι lim λ Υποθέτουµε ότι κοντά στο µι συνάρτηση εγκλωίζετι νάµεσ σε δύο συνρτήσεις h κι. Αν, κθώς το τείνει στο, οι κι h έχουν κοινό όριο l τότε όπως φίνετι κι στο σχήµ η θ έχει το ίδιο όριο l Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

18 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Έστω µι συνάρτηση κι έν σηµείο του πεδίου ορισµού της. Θ λέµε ότι η είνι συνεχής στο, ότν lim ( ). Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ της,, ; µορφής ( ) [ ] Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι συνεχής σε έν νοικτό,, διάστηµ ( ), ότν είνι συνεχής σε κάθε σηµείο του Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστηµ [,], ότν είνι συνεχής σε κάθε σηµείο του (,) κι lim lim επιπλέον + κι 3. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Bolzano κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Έστω µι συνάρτηση, ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [,] Η είνι συνεχής στο [,] κι επιπλέον ισχύει <. Αν: Τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε ( ). Δηλδή υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης στο νοικτό διάστηµ (,) Στο διπλνό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συνεχούς συνάρτησης στο [,]. Eπειδή τ σηµεί A(,()) κι B(,()) ρίσκοντι εκτέρωθεν του άξον, η γρφική πράστση της τέµνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σηµείο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

19 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Πότε λέµε ότι ορίζετι εφπτοµένη µις γρφικής πράστσης A, ; το συνάρτησης σε έν σηµείο της ( ) Έστω µι συνάρτηση κι (,( )) ( ) lim A έν σηµείο της C. Αν υπάρχει κι είνι ένς πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφπτοµένη της C στο σηµείο της Α, την ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 5. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μι συνάρτηση λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο ( ) του πεδίου ορισµού της, ν υπάρχει το lim κι είνι πργµτικός ριθµός. Το όριο υτό ονοµάζετι πράγωγος της στο κι συµολίζετι µε ( ). Δηλδή: ( ) lim 6. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σύνολο Α,, ; κι σε έν διάστηµ της µορφής ( ) [ ] - Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη στο Α ή πλά πργωγίσιµη ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν νοικτό,, ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο του διάστηµ, Μι συνάρτηση θ λέµε ότι είνι πργωγίσιµη σε έν κλειστό διάστηµ [,], ότν είνι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο του (,) κι επιπλέον ισχύει ότι: ( ) lim + R κι lim - ( ) R Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

20 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 7. Τι ονοµάζουµε ρυθµό µετολής ενός µεγέθους y ως προς έν άλλο µέγεθος σε έν σηµείο ; Αν δύο µετλητά µεγέθη, y συνδέοντι µε τη σχέση y, ότν είνι µι συνάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε ονοµάζουµε ρυθµό µετολής του y ως προς στο σηµείο την πράγωγο 8. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Διφορικού Λογισµού κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ) Γεωµετρικά, το ΘΜΤ εκφράζει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε η εφπτοµένη της C στο σηµείο M ( ξ, ( ξ) ) ν είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

21 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 9. Ν διτυπώσετε το Θεώρηµ Rolle κι ν δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεί Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) κι τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) Γεωµετρικά, το θεώρηµ Rolle εκφράζει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) ώστε η εφπτοµένη της C στο σηµείο M ( ξ, ( ξ) ) ν είνι πράλληλη στον άξον των. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο κι πότε τοπικό ελάχιστο; Μι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ) γι κάθε A ( δ, + δ) ή σηµείο τοπικού µεγίστου, ενώ το. Το λέγετι θέση τοπικό µέγιστο της Προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ( ) γι κάθε A ( δ, + δ) λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού ελχίστου, ενώ το ελάχιστο της. Το τοπικό Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

22 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ; Οι πιθνές θέσεις των τοπικών κροτάτων µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ είνι:. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η πράγωγος της µηδενίζετι. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι 3. Τ άκρ του Δ (ν νήκουν στο πεδίο ορισµού της) T εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεν πργωγίζετι ή η πράγωγος της είνι ίση µε το µηδέν λέγοντι κρίσιµ σηµεί της στο διάστηµ Δ. Πότε λέµε ότι µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ, στρέφει τ κοίλ προς τ άνω κι πότε προς τ κάτω; Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Θ λέµε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άνω ή είνι κυρτή στο Δ, ν η είνι γνησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συνάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είνι κοίλη στο Δ, ν η είνι γνησίως φθίνουσ στο εσωτερικό του Δ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης

23 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Πότε λέµε ότι το σηµείο (,) A είνι σηµείο κµπής µις γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο του. Αν Η είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,) Η C έχει εφπτοµένη στο σηµείο A (,( )) Τότε το σηµείο (,) πράστσης της ή ντιστρόφως, κι A ονοµάζετι σηµείο κµπής της γρφικής 4. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις των σηµείων κµπής µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ; Οι πιθνές θέσεις των σηµείων κµπής µις συνάρτησης σε έν διάστηµ Δ είνι:. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί η δεύτερη πράγωγος της µηδενίζετι. Τ εσωτερικά σηµεί του Δ στ οποί δεν υπάρχει η 5. Πότε λέµε ότι η ευθεί είνι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim, lim + είνι + ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της 6. Πότε λέµε ότι η ευθεί y λ είνι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Αν lim λ + (ντιστοίχως lim λ ), τότε η ευθεί y λ λέγετι οριζόντι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο (ντιστοίχως στο ) + Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

24 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 7. Πότε λέµε ότι η ευθεί y λ + είνι πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης µις συνάρτησης ; Η ευθεί y λ + λέγετι πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, ντιστοίχως στο, ν ντιστοίχως lim + lim [ ( λ + ) ] [ ( λ + ) ] 8. Ποι συνάρτηση ονοµάζετι ρχική ή πράγουσ µις συνεχούς συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που F γι κάθε Δ είνι πργωγίσιµη στο Δ κι ισχύει 9. Tι ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµ µις συνεχούς συνάρτησης ; Έστω µι συνάρτηση συνεχής στο # $,% &. Mε τ σηµεί < < <... v χωρίζουµε το διάστηµ # $,% & σε ν ισοµήκη διστήµτ µήκους Δ ν Στη συνέχει επιλέγουµε υθίρετ έν ξ κ $ κ-, & % κ ' γι κάθε κ {,,3,...,v} κι σχηµτίζουµε το άθροισµ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4

25 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς S v ( ξ ) Δ + ( ξ ) Δ +... ( ξ v) Δ το οποίο συµολίζετι, σύντοµ, ως εξής S v v k ξ Δ κ Aποδεικνύετι ότι Tο όριο του θροίσµτος S v, δηλδή το lim ξ v ( κ Δ) υπάρχει στο R κι v κ είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των ενδιάµεσων σηµείων ξ κ Tο πρπάνω όριο ονοµάζετι ορισµένο ολοκλήρωµ της συνεχούς συνάρτησης πό το στο, συµολίζετι µε ολοκλήρωµ της πό το εως το. Δηλδή d κι διάζετι v κ d lim ξ v ( Δ) κ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 5

26 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ. Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν lim > Αν lim < ΘΕΩΡΗΜΑ Ο, τότε > κοντά στο, τότε < κοντά στο Αν οι συνρτήσεις, έχουν όριο στο lim lim, τότε. Όριο κι πράξεις κι ισχύει Αν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων κι στο, τότε lim ( + ) lim + lim lim ( κ ) κ lim γι κάθε στθερά κ R lim ( ) lim lim lim lim εφόσον lim lim lim lim lim κ κ lim εφόσον 3. Κριτήριο πρεµολής Έστω οι συνάρτησεις,, h. Αν κοντά στο κι lim h lim lim h λ κοντά στο τότε κι λ κοντά στο Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 6

27 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Πράξεις µε συνεχείς συνρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν οι συνρτήσεις κι είνι συνεχείς στο, τότε είνι συνεχείς +, c όπου c R,, στο κι οι συνρτήσεις: όπου, κι v µε την προϋπόθεση ότι ορίζοντι σε έν διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση είνι συνεχής στο ( ), τότε η σύνθεση τους o είνι συνεχής στο 5. Θεώρηµ Bolzano Έστω µι συνάρτηση, ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [,]. Αν: Η είνι συνεχής στο [,] κι επιπλέον ισχύει < Τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε ( ) υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ της εξίσωσης (,) 6. Θεώρηµ Ενδιάµεσων Τιµών. Δηλδή στο νοικτό διάστηµ Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό,. Αν: διάστηµ [ ] η είνι συνεχής στο [,] κι, τότε γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι (,) τέτοιος ώστε ( ) η 7. Θεώρηµ Μέγιστης κι Ελάχιστης Τιµής υπάρχει ένς, τουλάχιστον Αν είνι συνεχής συνάρτηση στο [,], τότε η πίρνει στο [,] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 7

28 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 8. Πράγωγος κι συνέχει Αν µι συνάρτηση είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο, τότε είνι κι συνεχής στο σηµείο υτό 9. Πράγωγος θροίσµτος Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση + είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( + ) ( ) ( ) + ( ). Πράγωγος γινοµένου Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο, τότε η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). Πράγωγος πηλίκου τότε η συνάρτηση Αν οι συνρτήσεις, είνι πργωγίσιµες στο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Πράγωγος σύνθετης συνάρτησης κι ( ), είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο κι η είνι πργωγίσιµη στο ( ), τότε η συνάρτηση o είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( o) ( ) ( ( )) ( ) 3. Θεώρηµ Rolle Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) κι τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 8

29 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Διφορικού Λογισµού Αν µι συνάρτηση είνι: συνεχής στο κλειστό διάστηµ [,] πργωγίσιµη στο (,) τότε υπάρχει, έν τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ( ξ) 5. Συνέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης Τιµής Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν: η είνι συνεχής στο Δ γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ τότε η στθερή σε όλο το διάστηµ Δ 6. Συνέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης Τιµής Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Αν > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ Αν < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ 7. Θεώρηµ Fermat Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ κι έν εσωτερικό σηµείο του Δ. Αν η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε: ( ) 8. Προσδιορισµός τοπικών κροτάτων Έστω µι συνάρτηση πργωγίσιµη σε έν διάστηµ (,), µε εξίρεση ίσως έν σηµείο, στο οποίο όµως η είνι συνεχής Αν > στο ( ) κι < στο (,), τότε το, τοπικό µέγιστο της, τοπικό ελάχιστο της Αν < στο ( ) κι > στο (,), τότε το είνι είνι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 9

30 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Αν η διτηρεί πρόσηµο στο (, ) (,), τότε το ( ) είνι τοπικό κρόττο κι η είνι γνησίως µονότονη στο (,) 9. Κοίλ κυρτά συνάρτησης δεν Έστω µι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστηµ Δ κι δύο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ. Αν > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι κυρτή στο Δ Αν < γι κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ, τότε η είνι κοίλη στο Δ. Σηµεί κµπής Αν το (,) A είνι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της κι η είνι δύο φορές πργωγίσιµη, τότε ( ). Πλάγι σύµπτωτη στο Η ευθεί y λ + είνι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της +, ντιστοίχως στο, ν κι µόνο ν lim + λ R κι lim [ λ] R + ντιστοίχως lim λ R κι lim [ λ] R. Κνόνες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Μορφή ) lim Αν lim, lim, R {, + } (πεπερσµένο ή άπειρο), τότε: κι υπάρχει το lim lim Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

31 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Μορφή lim + ) + Αν lim +, lim +, R {, + } (πεπερσµένο ή άπειρο), τότε: 3. Αρχική συνάρτηση κι υπάρχει το lim lim Έστω µι συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Δ. Αν F είνι µι πράγουσ της στο Δ, τότε: Όλες οι συνρτήσεις της µορφής G F + c, c R πράγουσες της στο Δ κι είνι Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρνει τη µορφή G F + c, c R 4. Ορισµένο ολοκλήρωµ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Έστω, συνεχείς συνρτήσεις στο [,] λ d λ d [ + ] d d + κι γενικά [ λ + µ ] d λ d + µ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο d κι λ,µ R. Τότε ισχύουν: d Αν η είνι συνεχής σε διάστηµ Δ κι d d + d γ γ,,γ Δ τότε ισχύει: ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Ο Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Αν γι κάθε [,] κι η συνάρτηση δεν είνι πντού µηδέν στο διάστηµ υτό, τότε d > Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

32 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 5. Η συνάρτηση F ( t) ΘΕΩΡΗΜΑ Ο dt Αν είνι µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ Δ κι είνι έν F t dt, Δ είνι µι πράγουσ σηµείο του Δ, τότε η συνάρτηση γι κάθε Δ της στο Δ. Δηλδή ισχύει: ( t) dt ΘΕΩΡΗΜΑ Ο (Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού) Έστω µι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστηµ [,]. Aν G είνι µί πράγουσ της στο[,], τότε ( t) dt G G Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 3

33 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. Τ υ π ο λ ό γ ι ο π ρ γ ώ γ ω ν σ ι κ ώ ν σ υ ν ρ τ ή σ ε ω ν ( c ), c R ( ηµ ) συν ( ) ( συν ) ηµ ln e e ν ν ( ) ν, ν R εφ συν ( ) ln σφ ηµ. Τ υ π ο λ ό γ ι ο π ρ γ ώ γ ω ν σ ύ ν θ ε τ ω ν σ υ ν ρ τ ή σ ε ω ν ν ν- [ ] ν, ν R εφ συν [ ] ( e ) e [ ηµ ] συν ( ln ) [ συν ] ηµ ( ) ln ( σφ ) ηµ ( ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 33

34 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Τ υ π ο λ ό γ ι ο κ ν ό ν ω ν π ρ γ ώ γ ι σ η ς + ( ) + ( c ) c [ ( )] ( ) [ ] + 4. Τ υ π ο λ ό γ ι ο ό ρ ι σ τ ω ν ο λ ο κ λ η ρ ω µ ά τ ω ν d c ηµd συν + c d εφ + d + c συν c d ln + c + d + c, - + d σφ + c ηµ e d e + c συν d ηµ + c d + c ln 5. Τ υ π ο λ ό γ ι ο µ ε θ ό δ ω ν ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς Κτά πράγοντες d d Με ντικτάστση ( ) d ( u)du, όπου ( ) du d u κι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 34

35 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΟΥ ΧΡΗΖΟΥΝ Σ Άρτι - περιττή συνάρτηση Αρχικά γι ν είνι µι συνάρτηση άρτι ή περιττή πρέπει το πεδίο ορισµού της ν είνι συµµετρικό ως προς το. Τότε ν γι κάθε, D ισχύει ( ) τότε λέµε ότι η συνάρτηση είνι άρτι ενώ ν ισχύει ( ) λέµε ότι είνι περιττή. ότι Η γρφική πράστση µις άρτις συνάρτησης είνι συµµετρική ως προς τον άξον y y ενώ µις περιττής έχει κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων.. Αν ο ριθµός νήκει στο πεδίο ορισµού µις περιττής συνάρτησης τότε ισχύει ( ), δηλδή η γρφική της πράστση διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. Απόδειξη: Αφού η είνι περιττή τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Θέτοντς όπου το προκύπτει ότι ( ) ( ) ( ). Αν µι συνάρτηση είνι άρτι κι πργωγίσιµη τότε η είνι περιττή Απόδειξη: Αφού η είνι άρτι τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Πργωγίζοντς τη τελευτί σχέση έχουµε: ( ) ( ( )) ( ) ( ) δηλδή η είνι περιττή 3. Αν µι συνάρτηση είνι περιττή κι πργωγίσιµη τότε η είνι άρτι Απόδειξη: Αφού η είνι περιττή τότε γι κάθε, D ισχύει ότι ( ). Πργωγίζοντς τη τελευτί σχέση έχουµε: ( ) ( ( )) ( ) ( ) δηλδή η είνι άρτι Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 35

36 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 4. Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής κι περιττή τότε Απόδειξη: Έστω ότι I d d. Θέτουµε όπου το u οπότε γι προκύπτει ότι u κι γι προκύπτει ότι u. Τέλος ισχύει ότι d du οπότε το ολοκλήρωµ γράφετι ( u) I ( u) ( du ) ( u ) ( u ) du ( u ) du Προσθέτοντς κτά µέλη έχουµε ότι Ι + Ι Ι Ι ( ) d d + ( ) d 5. Αν µι συνάρτηση είνι συνεχής κι άρτι τότε d ( ) d Απόδειξη: Έστω ότι I Έστω ότι I ( ) d ( ) d + ( ) d ( ) d + d d. Θέτουµε όπου το -u οπότε γι προκύπτει ότι u κι γι προκύπτει ότιu. Τέλος ισχύει ότι ( u) το ολοκλήρωµ γράφετι I ( u) ( du ) ( u ) ( u ) du Τελικά λοιπόν I ( ) d + ( ) d ( ) d + ( ) d d du οπότε d Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 36

37 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Αντίστροφη Συνάρτηση 6. Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη τότε κι η ντίστροφη συνάρτηση της διτηρεί το ίδιο είδος µονοτονίς Απόδειξη: Αρχικά εφόσον η συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη είνι κι ντιστρέψιµη δηλδή ορίζετι η ντίστροφη συνάρτηση της, µε πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών της συνάρτησης. Ας εξετάσουµε την περίπτωση που η είνι γνησίως ύξουσ. Πράγµτι, γι κάθε y,y A µε y < y ( ( y )) < ( ( y )) γνησίως ύξουσ στο D A γν.υξουσ ( y ) < ( y ) δηλδή η είνι Με όµοιο τρόπο ποδεικνύετι ότν η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ 7. Αν µι συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ τότε η εξίσωση ( ) είνι ισοδύνµη µε την ( ) Απόδειξη: Έστω µί ρίζ της εξίσωσης ( ) ( ) Άρ θ ισχύει ( ) ( ) οπότε κι ( ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) () < τότε επειδή η είνι γνησίως ύξουσ θ ίσχυε κι ( ) < ( ) κι λόγω της σχέσης () θ κτλήγµε ότι < το Έστω ότι οποίο είνι άτοπο. Ανάλογ θ κτλήγµε σε άτοπο ν υποθέτµε ότι > Άρ τελικά ισχύει ότι Αντιστρόφως τώρ ν ο ριθµός είνι µί ρίζ της εξίσωσης ( ) ( ) θ ίσχυε είνι κι ρίζ της εξίσωσης κι τελικά τότε ( ) δηλδή το Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 37

38 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Προτάσεις στ όρι 8. Αν ισχύει ότι ( ) ( ) κοντά σε έν κι lim είνι κι lim + Απόδειξη: Είνι lim σχέση ( ) στο έχουµε ( ) + τότε +, άρ κοντά στο ισχύει ότι ( ) >. Από τη προκύπτει ότι ισχύει κι ( ) > κοντά στο. Έτσι κοντά <. Όµως lim οπότε πό ( ) ( ) ( ) κριτήριο πρεµολής ισχύει ότι κι lim lim lim + ( ) (Με όµοιο τρόπο ποδεικνύουµε ότι ν κι lim τότε είνι κι lim ). Τελικά έχουµε ( ) κοντά σε έν 9. Ισχύουν γι τ πρκάτω ηµ όρι lim ± % lim ηµ ( ' * ± & ), lim ± συν, Απόδειξη: Γι κάθε R * ισχύει ότι ηµ ηµ ηµ οπότε ηµ % Όµως lim ( % ± ' & * lim ( ) ± ' & * οπότε πό κριτήριο πρεµολής θ ισχύει ) ηµ συν lim (Οµοίως ποδεικνύετι ότι κι lim ) ± ± ηµ συν Με όµοιο τρόπο µπορούµε ν ποδείξουµε ότι lim lim ± ν ± ν % Γι το όριο lim ηµ ( ± ' * & θέτουµε όπου το u οπότε ότν το ± τότε ) % το u κι το όριο γράφετι lim ηµ ( ± ' * & lim % u ) u ηµu ( ' * lim % ηµu( u ' * & ) & u ) Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 38

39 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς Σχέση µονοτονίς συνέχεις κι -. Αν µι συνάρτηση # $,% & R είνι συνεχής κι - τότε η είνι κι γνησίως µονότονη Απόδειξη: Έστω ότι η δεν είνι γνησίως µονότονη. Τότε θ υπάρχουν o,, $ %,& ' µε < < ώστε ( ) < ( ) κι ( ) > ( ). Θεωρούµε τώρ τη συνάρτηση h # % $ &. ( ) ( ) η οποί είνι συνεχής στο, ( ) ( ) > κι h( ) ( ) ( ) <. Άρ h( ) < κι πό θεώρηµ Bolzano υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ ) ( ), που είνι άτοπο γιτί ξ κι η είνι -. Άρ η Επίσης ισχύει ότι h h h ξ είνι γνησίως µονότονη Ολοκληρώµτ κι διάτξη. Αν, # $,% & R είνι συνεχείς συνρτήσεις γι τις οποίες ισχύει ( ) ( ) γι κάθε $ %, Απόδειξη: Γι κάθε $ %,& ' συνάρτηση h ισχύει h ( ) ( ) µε $ %, γι κάθε $ %, & ' τότε ισχύει ότι ισχύει ότι & ', οπότε είνι h ( ) d d ( ). Θεωρούµε τη & '. Η h είνι συνεχής στο # $,% & κι ( ) d ( ( ) ( )) d ( ) d ( ) d ( ) d d. Αν γι µι συνεχή συνάρτηση ισχύει κι ( ) d τότε ( ) γι κάθε $ %, Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχει έν τουλάχιστον $ %,& ' τέτοιο ώστε Τότε επειδή η είνι συνεχής στο # $,% & κι ισχύει θ είνι & ' > γι κάθε $ %,& ' ( ) d >, άτοπο. Άρ δεν υπάρχει $ %,& ' ώστε Εποµένως ισχύει ότι γι κάθε $ %, & ' >. Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 39

40 Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς 3. Αν γι µι συνεχή συνάρτηση ισχύει ότι τότε Απόδειξη: Έστω ότι < κι ( ) d > άτοπο διότι $ %,& ' τότε > γι κάθε $ %, d κι ( ) d & '. Τότε θ ίσχυε κι. Επίσης ν > κι ( ) > γι κάθε ( ) d < που πάλι είνι άτοπο διότι κτλήγουµε ότι. (Οµοίως ποδεικνύουµε ότι ν d < ). Άρ Επιµέλει: Δηµήτρης Μονέζης 4

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M κι M γ δ είι οι εικόες τω i κι γ δi τιστοίχως

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση kanellopoulos@hotmail.com 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους Θεωρήμτ κι προτάσεις με τις ποδείξεις τους Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγώ: Α i κι i δ γ είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 Αποδεικύοτι με εφρμογή του ορισμού κι πράξεις Γι πράδειγμ έχουμε: i δ γ δi γ i i i

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο 996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt ΜΑΘΗΜΑ 4 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπρξη ρίζς f ()d ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( ) f() = e d γι κάθε R. Ν βρεθεί η f. Είνι f () = ( f e d ) f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου

Επαναληπτικά θέµατα Θεωρίας Γ Λυκείου Επληπτικά θέµτ Θεωρίς Γ Λυκείου Α i κι γ δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί τότε: 3 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: i γ δi γ δ i γ δ i i γδi Οι πρπάω ιδιότητες κι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρ Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α. () Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ.5 (β) (i) Μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8 Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ())

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 = ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑÏΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 6 β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 67

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΤΖΕΜΠΕΛΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΘΕΜΑ Α, είι µιγδικοί ριθµοί, τότε κι κι επειδή η τελευτί σχέση ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύη ρχικική. Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ ΘΕΜΑ Όριο πολυωυµικής συάρτησης Α -... P πολυώυµο του κι R, δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι: Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 28 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. Ν βρείτε το ολοκλήρωμ: (8x 3 ημx 5 + 7) dx ex (8x 3 ημx 5 e x + 7) dx = (8x3 ημx 5e x + 7)dx =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου για το σχ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Γ τάξης Ημερησίου Λυκείου γι το σχ έτος 7-8 Αγπητέ Μθητή, Αγπητή Μθήτρι Στις φετινές οδηγίες διδσκλίς κι διχείρισης της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.

Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Σ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΥ 8 7 μ Α ΘΕΜΑ Α Α η λύση Γι έχουμε lim πργωγίσιμη στο lim lim,οπότε μ lim φού η είνι μ Επομένως, lim η λύση, δηλδή η είνι συνεχής στο lim lim μ lim lim

Διαβάστε περισσότερα