i) Να βρεθεί η ελάχιστη επιτρεπόµενη απόσταση των Α 1, Α 2, όταν το µήκος της ράβδου είναι L=20 L *.

Transcript

1 Στην διάταξη του σχήµατος (1) η οµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ έχει στε ρεωθεί στις άκρες Α 1, Α δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων µε αντίστοιχες σταθερές k και 3k. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια όταν οι αποστάσεις των Α 1, Α από το µέσον Ο της ράβδου είναι ακέραια πολ λαπλάσια της µονάδας µήκους L * της ράβδου. i) Να βρεθεί η ελάχιστη επιτρεπόµενη απόσταση των Α 1, Α, όταν το µήκος της ράβδου είναι L= L *. ii) Με την βοήθεια µιας κατακόρυφης δύναµης που ενεργεί στο Ο επί πολύ µικρό χρονικό διάστηµα, δίνουµε στην ράβδο ταχύτητα προς τα κάτω µέτρου gx, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και x η συσ πείρωση των δύο ελατηρίων από την φυσική τους κατάσταση, όταν η ράβδος ισορροπεί. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την τα χύτητα µεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου και να δώσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. iii) Εάν η βαρυτική δυναµική ενέργεια της ράβδου µετράται µε επίπε δο αναφοράς την αρχική της θέση, να δείξετε ότι κάθε στιγµή η δυνα µική ενέργεια ταλάντωσης U ταλ. της ράβδου και η δυναµική ενέργεια U συστ. του συστήµατος ράβδος-ελατήρια, συνδέονται µε την σχέση: U "#. = U #$%. + kx ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η απόσταση των δύο κατακόρυφων ελατηρίων έχει κατάλληλη τιµή που εξασφαλίζει την ισορροπία της ράβδου σε οριζόντια θέση. Στην θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της w και τις δυνάµεις F 1,, F, από τα συµπιεσµένα ελατήρια σταθερών k και 3k αντιστοίχως. Λόγω της ισορ ροπίας της ράβδου η συνισταµένη των ροπών των δυνάµεων αυτών περί το κεν τρο µάζας Ο της ράβδου είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει: " (O) = F 1, ( A 1 O) - F, ( A O) = kx ( 1 L * ) - 3kx ( L * ) = 1-3 = 1 / = 3/1 (1)

2 όπου ρ 1, ρ θετικοί ακέραιοι αριθµοί, καθόσον τα µήκη Α 1 Ο και Α Ο είναι ακέ ραια πολλαπλάσια της µονάδας µήκους L * της ράβδου. Επειδή το κλάσµα 3/1 είναι ανάγωγο, από την (1) προκύπτει ότι οι πιο µικρές τιµές που µπορούν να πάρουν οι ακέραιοι ρ 1, ρ είναι 3 και 1 αντιστοίχως, οπότε: Άρα ( A 1 O) min = 3L * και ( A O) min = L * ( A 1 O) min + ( A O) min = 4L * ( A 1 A ) min = 4L * = 4L/ = L/5 () Σχήµα 1 ii) Επειδή η κατακόρυφη δύναµη ενεργεί στο κέντρο µάζας της ράβδου, αυτή δεν περιστρέφεται περί το Ο αλλά εκτελεί µεταφορική κίνηση παραµένουσα συνεχώς οριζόντια. Εξετάζοντας την ράβδο κάποια τυχαία στιγµή που η απο µάκρυνσή της από την θέση ισορροπίας της είναι x, παρατηρούµε ότι η ράβδος δέχεται το βάρος της w και τις κατακόρυφες δύναµεις F 1, F από τα παραµορ Σχήµα φωµένα ελατήρια. Αν δεχθούµε ως θετική φορά επί της κατακόρυφης διεύ θυνσης την προς τα κάτω, τότε η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης επί της ράβδου είναι: F (x) = mg - F 1 - F = mg - ( F 1, + 3kx) - ( F, + kx) F (x) = mg - F 1, - F, - 4kx = -4kx (3)

3 H σχέση (3) εγγυάται ότι η µεταφορική κίνηση της ράβδου είναι απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης 4k, που σηµαίνει ότι η γωνιακή συχνότητα ω της ράβδου θα ικανοποιεί την σχέση: 4k = m 4gk = mg 4gk = ( 3kx + kx ) 4gk = 4kx = g/x (4) Επειδή κατά την έναρξη της ταλάντωσης της ράβδου (t=) η αποµάκρυνσή της από την θέση ισορροπίας της είναι x= και η ταχύτητά της είναι θετική, η εξίσωση κίνησης της ράβδου έχει την µορφή: x = Aµ"t (5) Όµως το πλάτος Α της ταλάντωσης σχετίζεται µε την µέγιστη ταχύτητα gx της ράβδου µέσω της σχέσεως: (4) gx = A gx = A g/x A = x οπότε η (5) γράφεται: " x = x µ $ # g % t x ' (6) & Εξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας της ράβδου έχει την µορφή: % v = x "#$' & g ( g % t x * = x "#$ ) x ' & g ( t x * ) v = $ x g"# & % g ' t x ) (7) ( Aκόµη εάν dk είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας της ράβδου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και dx η αντίστοιχη µετατόπισή της, θα έχουµε µε βάση το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου την σχέση: (3) dk = F (x) dx dk = -4kxdx dk dt (6),(7) dx = -4kx dt = -4kxv dk dt = -4kx " µ $ # g % " t x ' x g ()* $ & # g % t x ' &

4 dk dt = -kx " x gµ g % $ t # x ' (8) & όπου dk/dt η ταχύτητα µεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t. H γραφική παράτσαση της (8) είναι η ηµιτονο ειδής καµπύλη του σχήµατος (3). Σχήµα 3 iii) Χωρίς να βλάπτει την γενικότητα δεχόµαστε ότι κάποια στιγµή t η ράβδος βρίσκεται κάτω από την θέση ισορροπίας της σε απόσταση x από αυτήν. Η δυνα µική ενέργεια U συστ. του συστήµατος ράβδος-ελατήρια είναι: U "#. = 3k ( x + x ) + k ( x + x ) - mgx U "#. = k( x + x) - ( 3kx + kx )x U "#. = k( x + x $µ%t) - 4kx x $µ%t U "#. = kx ( 1 + $µ%t) - 4kx $µ%t U "#. = kx ( 1 + $µ %t + $µ%t - $µ%t) U "#. = kx + kx $µ %t (9) Την ίδια στιγµή η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης U ταλ. της ράβδου είναι: U "#. = 4k x = kx $µ %t (1) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (9) και (1) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

5 U "#. = U #$%. + kx P.M. fysikos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος ενός ευθύγραµµου σωλήνα που είναι στερεώµενος σε οριζόν τιο επίπεδο. Το σφαιρίδιο έλκεται από σταθερό κέντρο Ο, που βρίσκε ται εκτός σωλήνος σε απόσταση α από αυτόν, µε δύναµη F της οποί ας το µέτρο περιγράφεται από την σχέση F = kr, όπου k θετική σταθε ρή ποσότητα και r η απόσταση του σφαιριδίου από το ελκτικό κέντρο Ο. Την στιγµή t= το σφαιρίδιο αφήνεται σε σηµείο Μ του σωλήνα που απέχει από το Ο απόσταση 5. i) Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου όταν για πρώτη φορά η από στασή του από το Ο γίνεται ίση µε α, καθώς και τον αντίστοιχο χρόνο κινήσεώς του. ii) Εάν µεταξύ του σφαιριδίου και των τοιχωµάτων του σωλήνα υπάρχει τριβή µε συντελεστή τριβής ολισθήσεως n=1, να δείξετε ότι το σφαιρίδιο δεν µπορεί να υπερβεί το σηµείο Ο του σωλήνα που βρίσκε ται εγγύτερα προς το ελκτικό κέντρο Ο. Να αγνοήσετε το βαρυτικό πεδίο της Γης, ΛΥΣΗ: i) Κάθε στιγµή t η θέση Μ του σφαιριδίου καθορίζεται από το διάνυσ µα x που έχει αρχή την προβολή Ο του ελκτικού κέντρου Ο στην διεύθυνση του σωλήνα και πέρας το σφαιρίδιο. Το σφαιρίδιο δέχεται την δύναµη F από το ελκτικό κέντρο Ο, η οποία αναλύεται στην κάθετη προς τον σωλήνα συνιστώσα F y και στην συγραµµική προς τον σωλήνα συνιστώσα F x. Η F y εξουδετερώνε ται από την κάθετη αντίδραση N των τοιχωµάτων του σωλήνα, οπότε η F x απο Σχήµα 4 τελεί την συνισταµένη δύναµη που δέχεται το σφαιρίδιο (σχ. 4). Θεωρώντας ως θετική φορά στην διεύθυνση x x του σωλήνος την φορά του διανύσµατος O M θα έχουµε για το σφαίριδιο, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα την σχέση:

6 F (x) = -F x = -F"µ# F (x) = -kr"µ# = -kx (1) Η σχέση (1) εγγυάται ότι το σφαιρίδιο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντση µε κέν τρο ταλάντωσης το Ο και σταθερά ταλάντωσης k. H γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης ικανοποιεί την σχέση: k = m = k/m () Eάν Τ * είναι η περίοδος ταλάντωσης του σφαιριδίου, τότε ο χρόνος t κίνησής του από την αρχική του θέση Μ µεχρι την εγγύτερη προς το Ο θέση του Ο είναι ίσος µε Τ * /4, δηλαδή ισχύει: t = T * 4 = 4" () t = m k (3) Eξάλλου το µέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου στην θέση Ο είναι: v = ( O " M ) = ( OM ) - ( O " O) v = ( 5" ) - " = " k m (4) ii) Όταν µεταξύ του σφαιριδίου και των τοιχωµάτων υπάρχει τριβή, τότε η εκ κίνηση του σφαιρίδιου είναι δυνατή εφ όσον το µέτρο της συνιστώσας F x στην αρχική του θέση Μ υπερβαίνει το µέτρο της τριβής ολισθήσεως T. Όµως έχου µε: T= nn = nf y = nf"#$ T= kr"#$ = k% (5) και F x O M ( ) M = k ( ) = k" (6) Σχήµα 5 Από (5) και (6) προκύπτει ότι ( F x ) M > T, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο θα εκκι νήσει όταν αφεθεί ελεύθερο στο Μ. Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι κατα την κίνηση του σφαιριδίου η δύναµη F x προσοµοιάζει µε την δύναµη που θα δεχόταν το σφαιρίδιο από ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και περίπου µηδενικού φυσικού µήκους, που το ένα του άκρο είναι στερεωµένο στο Ο και το άλλο του άκρο προσδε δεµένο στο σφαιρίδιο. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να αποδώσουµε στο σφαιρίδιο δυναµική ενέργεια που απορρέει από την δύναµη F x η οποία

7 εκφράζεται µέσω της σχέσεως U=kx /. Ας δεχθούµε τώρα ότι το σφαιρίδιο φθάνει στο Ο µε ταχύτητα v *. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του σφαιριδίου το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου κατά την κινησή του από την αρχική του θέση Μ στην θέση Ο παίρνουµε: U + K = W T - k ( ) + mv * - k ( O M ) + mv * ( ) - = -T O M = -nn -k + mv * / = -(k) mv * / = k - k = v * = Δηλαδή το σφαιρίδιο δεν µπορεί να υπερβεί το σηµείο Ο του σωλήνα. P.M. fysikos Ένας τροχός, µάζας m ακτίνας R και ακτίνας αδράνειας Κ, ακινητεί επί οριζοντίου εδάφους όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Στην περιφέ ρεια του τροχού έχει περιτυλιχθεί λεπτό και µη εκτατό νήµα στο ελεύ θερο άκρο του οποίου εφαρµόζεται η οριζόντια δύναµη F. i) Είναι δυνατόν ο τροχός να κυλίεται πάνω στο οριζόντιο έδαφος, εάν αυτό είναι λείο; ii) Εάν ο τροχός έχει την µορφή τροχαλίας (K =R /) και ο συντελε στής οριακής τριβής µεταξύ εδάφους και τροχαλίας είναι n=1/, να βρεθεί η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του µέτρου της F, ώστε η τροχα λία να κυλίεται. iii) Εάν F=mg/ να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου µάζας της τρο χαλίας, όταν έχει ξετυλιχθεί νήµα µήκους L. Πόση γίνεται η ταχύτη τα αυτή, αν F=3mg; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εάν το οριζόντιο έδαφος είναι λείο, τότε η αντίδραση N του εδάφους επί του τροχού είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα πάνω και ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο του τροχού. Επειδή η δύναµη F έχει ροπή περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο C του τροχού και είναι κάθετος στο επίπεδό του, ο τροχός θ αποκτήσει περιστροφική κίνηση περί τον άξονα αυτόν, µε γωνιακή επιτάχυνση ' για την οποία ισχύει ο θεµελιώδης νόµος της στρο φικής κίνησης, δηλαδη ισχύει: FR = I C ' FR = mk ' '= FR/mK (1)

8 Όµως ο τροχός έχει και µεταφορική κίνηση, λόγω της οποίας ο άξονας περισ τροφής του µετατοπίζεται οριζόντια, η δε επιτάχυνσή του a C συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα ικανοποιεί την σχέση: F = ma C a C = F/m () Για να κυλίεται ο τροχός πρέπει το σηµείο επαφής Α µε το έδαφος να έχει µηδενική επιτρόχια επιτάχυνση, δηλαδή πρέπει: (1),() a C - 'R = a C = 'R F m = FR mk K = R (3) που σηµαίνει ότι ο τροχός πρέπει να έχει τη µορφή λεπτής στεφάνης. ii) Εάν ο τροχός έχει την µορφή τροχαλίας (K =R /) τότε είναι αδύνατη η κύλισή του, όταν το έδαφος είναι λείο, είναι όµως δυνατή όταν υπάρχει τριβή µεταξύ τροχού και εδάφους, µε την πρoυπόθεση ότι η F δεσµεύεται, ώστε η τριβή αυτή να είναι στατική. Ας δεχθούµε ότι η τριβή T έχει την ίδια φορά µε Σχήµα 6 την F και ότι το µέτρο της είναι τέτοιο, ώστε η τροχαλία να κυλίεται. Τότε για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας θα ισχύει, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η σχέση: F + T = ma C (4) όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της τροχαλίας. Εφαρµόζοντας εξάλ λου για την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: (F - T)R = I C ' (F - T)R = mr '/ F - T = mr'/ F - T = ma C / (5) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε: F + T F - T = F + T = F - T T = F/3 (6) Όµως η T είναι στατική τριβή, οπότε το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση:

9 (6) T nn T nmg F/3 nmg F 3nmg F max = 3mg/ (7) iii) Εάν F=mg/, τότε η τροχαλία θα κυλίεται, διότι ικανοποιείται η (7), το δε κέντρο της θα έχει επιτάχυνση a C, της οποίας το µέτρο υπολογίζεται από την σχέση: F + F / 3 = ma C 4F / 3 = ma C mg / 3 = ma C a C = 3g/ Εφαρµόζοντας για την τροχαλία το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο που απαιτείται να ξετυλιχθεί νήµα µήκους L, παίρνουµε: mv C + I = FL mv C + mr 4 = FL 3mv C 4 = mgl v C = gl 3 v C = gl 3 όπου v C η ζητούµενη ταχύτητα του κέντρου µάζας της τροχαλίας και η γωνιακή της ταχύτητα. Εάν F= 3mg, τότε η τροχαλία δεν κυλίεται, διότι δεν ικανοποιείται η (7), που σηµαίνει ότι η τριβή T είναι τριβή ολίσθησης και το µέτρο της είναι: T = nn = nmg = mg/ Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: F + T = ma C 3mg + mg/ = ma C a C = 5g/ Εξάλλου, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε: (F - T)R = I C ' 3mgR - mgr/ = mr '/ 5g/ = 'R '= 5g/R Η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου Β της τροχαλίας έχει µέτρο: a B = a C + 'R = 5g/ + 5g/ = 5g Eάν t * είναι ο χρόνος για να ξετυλιχθεί νήµα µήκους L, θα ισχύει: L = a B t * / = 5gt * / L/5g = t * t * = L/5g Η ταχύτητα v C του κέντρου της τροχαλίας την χρονική στιγµή t * είναι: (8)

10 v C = a C t * = 5g L 5g = 5gL P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα µάζας m, κρατείται σε επαφή µε κατακόρυφο τοίχο µε την βοήθεια µιας δύναµης της οποίας ο φορέας σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση. Να βρείτε για ποια τιµή του µέτρου της δύναµης επίκειται η ολίσθη ση του σώµατος επί του τοίχου. Nα διερευνήσετε τι συµβαίνει, όταν η γωνία φ µεταβάλλεται. Δίνεται ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ του σώµατος και του τοίχου και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: α) Θα εξετάσουµε αρχικά την περίπτωση που το σώµα ισορροπεί µε τάση να ολισθήσει προς τα πάνω. Τότε η τριβή που δέχεται από τον τοίχο έχει φορά προς τα κάτω και για να συγκρατείται το σώµα επί του τοίχου πρέπει αναγκαστικά η δύναµη F να κατευθύνεται όπως στο σχήµα (7). Το σώµα εκτός από την δύναµη F δέχεται το βάρος του m g και την δύναµη επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Λό γω της ισορροπίας του σώµατος ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 7 και F (x) = F x - N = N = F"#$ (1) F (y) = F y - mg - T = T = Fµ" - mg ()

11 όπου F x, F y η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της F. Όταν επίκειται η ολίσθηση του σώµατος η τριβή είναι ίση µε την οριακή στα τική τριβή, δηλαδή το µέτρο της γίνεται ίσο µε nn και η σχέση () γράφεται: (1) nn = Fµ" - mg nf"#$ = F%µ$ - mg Fµ" - nf#$%" = mg F = mg µ" - n#$%" (3) Θέτοντας n=εφφ η (3) γράφεται: F = mg µ" - #$" %&'" = mg µ" - µ" %&'" /%&'" F = mg"#$ %µ$"#$ - %µ$ "#$"#$ = mg"#$ %µ $ - $ ( ) (4) Η σχέση (4) έχει νόηµα για φ>φ, ενώ η τιµή φ=φ είναι µη επιτρεπτή διότι οδηγεί σε απειρισµό του µέτρου της F. β) Αν το σώµα ισορροπεί µε τάση να ολισθήσει προς τα κάτω, τότε η τριβή κα τευθύνεται προς τα πάνω και η συγκράτηση του σώµατος επί του τοίχου επιτυγχάνεται ή όταν η δύναµη είναι οριζόντια ή όταν κατευθύνεται όπως στο σχήµα (8). Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε τις σχέσεις: Σχήµα 8 και F (x) = F x - N = N = F"#$ (5) F (y) = - F y - mg + T = T = Fµ" + mg (6) Όταν επίκειται η ολίσθηση του σώµατος είναι Τ=nN και η (6) γράφεται: (5) nn = Fµ" + mg nf"#$ = F%µ$ + mg

12 nf"#$ - F%µ$ = mg F = mg n"#$ - %µ$ (7) Θέτοντας πάλι n=εφφ η (7) γράφεται: F = mg "# $%&# - 'µ# = mg 'µ# $%&# /$%&# - 'µ# F = mg"#$ = mg"#$ %µ$ "#$ - %µ$"#$ %µ $ - $ ( ) (8) Η σχέση (8) έχει νόηµα για,φ<φ ενώ η τιµή φ=φ οδηγεί πάλι σε απειρισµό του µέτρου της F. Παρατήρηση: Mπορούµε να παρακάµψουµε τους πολλαπλούς υπολογισµούς κάνοντας χρήση της έννοιας του κώνου τριβής και της γωνίας τριβής. Στην περίπτωση που το σώµα ισορροπεί οριακά τεινοντας να ολισθήσει προς τα πάνω η αντίδραση R του τοίχου κατευθύνεται όπως φαίνεται στο σχήµα (9) ο δε φορέας της βρίσκε Σχήµα 9 ται στην παράπλευρη επιφάνεια του κώνου τριβής, που σηµαίνει ότι σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία ίση µε την γωνία τριβής φ (εφφ =n). Εξάλ λου πρέπει η συνισταµένη του βάρους του σώµατος και της δύναµης F που το ακινητοποιεί επί του τοίχου να είναι αντίθετη της R και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει χρησιµοποιώντας το διαγραµµισµένο δυναµοτρίγωνο να γράψου µε τις σχέσεις: mg µ (" - " ) = F µ # / - " ( ) F = mg"#$ %µ $ - $ ( ) Εξετάζοντας µε το ίδιο σκεπτικό την περίπτωση που το σώµα ισορροπεί οριακά τεινοντας να ολισθήσει προς τα πάνω παρατηρούµε ότι τώρα η αντίδραση R του τοιχου κατευθύνεται όπως φαίνεται στο σχήµα (1) ο δε φορέας της βρίσκε ται πάλι στην παράπλευρη επιφάνεια του κώνου τριβής, που σηµαίνει ότι σχη

13 µατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία ίση µε την γωνία τριβής φ (εφφ =n). Εξάλλου η συνισταµένη του βάρους m g και της δύναµης F είναι αντίθετη Σχήµα 1 της R και αυτό µας επιτρέπει χρησιµοποιώντας το διαγραµµισµένο δυναµο τρίγωνο να γράψουµε τις σχέσεις: mg µ (" - " ) = F µ # / - " ( ) F = mg"#$ %µ $ - $ ( ) Δηλαδή καταλήξαµε στο ίδιο συµπέρασµα για το µέτρο της δύναµης F, αλλά συντοµότερα. P.M. fysikos Στην περιφέρεια λεπτoύ δίσκου µάζας m και ακτίνας R έχει τυλιχ θεί αβαρές νήµα και ο δίσκος αφήνεται να κινηθεί κατά µήκος λείου κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζον τα. Το ένα άκρο του νήµατος είναι στερεωµένο στην κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου (σχ. 11), µε αποτέλεσµα να ξετυλίγεται καθώς ο δίσκος µετα τοπίζεται προς τα κάτω. Να βρείτε: i) τον ρυθµό µεταβολής της στροφορµής του δίσκου, περί το κέντρο του και ii) τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής του ενέργειας. Δίνεται η ροπή αδράνειας I C =mr / του δίσκου ως προς άξονα κά θετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του και η επι τάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Επί του δίσκου ενεργεί το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w 1 και στην κάθετη προς

14 αυτό συνιστώσα w, η κάθετη αντίδραση N του λείου κεκλιµένου επιπέδου και η τάση T του νήµατος. Λόγω της ροπής που εµφανίζει η T περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας C του δίσκου και είναι κάθετος στο επίπεδό του, ο δίσκος αποκτά περιστροφική κίνηση περί τον άξονα αυτόν µε γωνιακή επιτάχυνση ', η οποία σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση: TR= I C ' TR= mr '/ T= mr'/ (1) Σχήµα 11 Όµως ο δίσκος εκτελεί και µεταφορική κίνηση, µε αποτέλεσµα το κέντρο του C να έχει επιτάχυνση a C, η οποία σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα ικανοποιεί την σχέση: w 1 - T = ma C mgµ" - T = ma C () Eπειδή το σηµείο επαφής Α του δίσκου µε το κεκλιµένο επίπεδο έχει µηδενι κή ταχύτητα (το νήµα είναι ακίνητο) θα ισχύει: v A = v C - R = v C = R όπου v C η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου κατά την στιγµή που τον εξετά ζουµε. Αν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το µέτρο της ταχύτητας v C µεταβάλλεται κατά dv C και το µέτρο της κατά dω, τοτε από την προηγού µενη σχέση προκύπτει: dv C = Rd dv C /dt = Rd / dt a C = R' (3) oπότε η σχέση (1) γράφεται: T= ma C / (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: mgµ" - ma C / = ma C mgµ" = 3ma C / a C = gµ" /3 (5) Άρα το µέτρο της T είναι:

15 T = m gµ" 3 = mgµ" 3 (6) Εφαρµόζοντας για τον δίσκο τον νόµο µεταβολής της στροφορµής κατά την χρο νική στιγµή t, παίρνουµε την σχέση: d L dt = TR k d L dt = mgrµ" 3 k (7) όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην επιφάνεια του δίσκου, του οποί ου η φορά ελήφθη συµβατικά ίδια µε τη φορά της γωνιακής του ταχυτητας (σχ. 11) και d L /dt ο ζητούµενος ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του δίσκου. ii) Στην διάρκεια που ο δίσκος κινείται, η µηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή, αφού δεν υπάρχει τριβή µεταξύ αυτού και του κεκλιµένου επιπέδου. Έτσι, αν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η κινητική και η βαρυτική δυναµίκη ενέργεια του δίσκου µεταβάλλονται κατά dk και du αντιστοίχως, θα ισχύει η σχέση: dk + du = dk dt + du dt = dk dt = - du dt (8) Όµως για την µεταβολή du έχουµε: du = -mgµ"ds du dt = -mgµ" ds dt du dt = -mgv C µ" (9) όπου ds η µετατόπιση του κέντρου του δίσκου στον χρόνο dt και du/dt ο ρυθµός µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του δίσκου κατά την χρονική στιγµή t. Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: dk dt = mgv C µ" (1) όπου dk/dt ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Όµως παρατηρούµε από την (5) ότι η µεταφορική κίνηση του δίσκου είναι οµαλά επιταχυνόµενη, αφού η a C είναι σταθερή, οπότε ισχύει v C =a C t και η προηγούµενη σχέση (9) γράφεται: dk dt = mga C tµ" (5) dk dt = mg # % $ 3 gµ" & ( tµ" = ' 3 mg tµ " P.M. fysikos

16 Μια σφαίρα µάζας m και ακτίνας R ηρεµεί επί οριζοντίου εδάφους και κάποια στιγµή προσπίπτει πάνω της µε ταχύτητα v ξύλινος κύ βος ακµής R. Η κρούση του κύβου µε την σφαίρα είναι µετωπική και τελείως ελαστική, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του εδάφους και των δύο σωµάτων είναι n και η επιτάχυνση της βαρύ τητας g. Να βρείτε: i) την θερµότητα που ελευθερώνεται εξ αιτίας της τριβής και ii) την µορφή του διαγράµµατος της απόστασης κύβου-σφαίρας σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Eπειδή η σφαίρα και ο κύβος έχουν την ίδια µάζα και η κρούση τους είναι µετωπική και τελείως ελαστική, συµβαίνει ανταλλαγή των ταχύτη των των κέντρων µάζας τους, δηλαδή αµέσως µετά την κρούση µηδενίζεται η ταχύτητα του κύβου, ενώ η σφαίρα αποκτά µεταφορική ταχύτητα v. Επί της σφαίρας ενεργεί το βάρος της w και η δύναµη από το οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και στην κάθετη αντίδραση N. H τριβή T επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση της σφαίρας, ενώ προκαλεί δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση αυτής περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφική της κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στροφι κής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = ma C " # TR = I' $ nmg = ma " C # nmgr = mr '/$ a = ng " C # '= 5ng/R $ (1) Σχήµα 1 όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της σφαίρας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το οριζόντιο έδαφος θα έχει την χρονική στιγµή t, λόγω της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας ταχύτητα (µ v ) A οµόρροπη της v, µε µέτρο: (1) (µ v ) A = v - a C t v A (µ ) = v - ngt ()

17 Όµως την ίδια στιγµή το σηµείο Α θα έχει λόγω της περιστροφής της σφαίρας ταχύτητα v ( ) A αντίρροπη της v, µε µέτρο: (1) ( v ) A = "R = "'Rt v A ( ) = 5ngt/ (3) όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας. Παρατηρούµε από τις σχέσεις () και (3) ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει v (µ) A =v (π) Α, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή µηδενίζεται η ταχύτητα του σηµείου Α ως προς το ακίνητο έδαφος, δηλαδή τη στιγµή αυτή µηδενίζεται η τριβή T αφού η σφαίρα δεν παρουσιάζει πλέον τάση προς ολίσθηση. Έτσι από τη στιγµή t * και µετά η σφαίρα θα κυλίεται ισοταχώς επί του εδάφους µε µεταφορική ταχύτητα v *, της οποίας το µέτρο δίνεται από την σχέση: v * = 5ngt * / (4) Εξάλλου ο χρόνος t * θα υπολογιστεί από την σχέση: v A (µ ) = v A ( ) (1),(3) v - ngt * = 5ngt * / v - ngt * = 5ngt * t * = v /7ng (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: v * = 5ng v 7ng = 5v 7 (6) Κατά τον χρόνο t * ελευθερώνεται λόγω τριβής θερµότητα Q, η οποία σύµφω να µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ικανοποιεί την σχέση: K "# = K $%& + Q Q = K "# - K $%& (7) όπου Κ αρχ, Κ τελ η αρχική και η τελική κινητική ενέργεια της σφαίρας. Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: K "# = mv και K "# = mv * + I$ * K "# = mv * + 5mR v * = 7mv * R 4 (6) K "# = 7m 4 $ & % v 7 ' ) ( = mv 7 οπότε η (7) γράφεται: Q = mv - mv 7 = 5mv 7 ii) Στο χρονικό διάστηµα [, t * ] η απόσταση S των κέντρων του κύβου και της σφαίρας µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:

18 S = v t- a C t / = v t - ngt / Για t t * η απόσταση αυτή δίνεται από την σχέση: S = S * + v * (t - t * ) = v t * - ngt * / + v * (t - t * ) (5),(6) S = (v - v * )t * - ngt * / + v * t S = v 49ng + 5v 7 t = v 49 v # " ng + 35t $ & (8) % Σχήµα 13 Mε βάση τα παραπάνω η σχέση S=f(t) που δίνει την απόσταση S σε συνάρτη ση µε τον χρόνο t έχει την µορφή: ) v t- a C t, t v + 7ng S = * v " v 49 $ # ng + 35t % + ' &, t ( v, + 7ng η δε γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήµα (13). P.M. fysikos Οµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπτεται µε την παρά πλευρη επιφάνεία του σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Με την βοήθεια επίπεδου εµποδίου (ε), το οποίο εφάπτεται του κυλίνδρου, εξασκούµε σ αυτόν δύναµη κατά την διεύ θυνση του κεκλιµένου επιπέδου, που τον ωθεί προς τα πάνω (σχ. 14). i) Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σε όλες τις επαφές είναι κοι νός, να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε κατά την έναρξη της κίνη

19 σης του κυλίνδρου αυτός να ολισθαίνει επί του εµποδίου και να κυλί εται χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου. ii) Στην περίπτωση που είναι φ=π/6, να εξετάσετε αν ο κύλινδρος µπο ρεί να ανέρχεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση µε επιτάχυνση µέτρου g/, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / του κυλίνδρου ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο κύλινδρος είναι έτοιµος να εκκινήσει και ότι επί κειται η ολίσθησή του επί του εµποδίου και η κύλισή του χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου. Την στιγµή αυτή ο κύλινδρος ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, της αντίδρασης του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδρα ση N και στην στατική τριβή T και τέλος της δύναµης επαφής από το εµπό Σχήµα 14 διο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση F και την οριακή τριβή T. Μπορού µε εποµένως να γράψουµε τις σχέσεις: F (x) = F - T - w x = F = T + mg"µ# (1) F (y) = N - T - w y = N = nf + mg"#$ () " (C) = T R - T " R = T - nf = T = nf (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: F = nf + mgµ" F( 1 - n) = mgµ" F = mgµ" 1 - n (4) µε αποτέλεσµα η () να παίρνει την µορφή: N = nmgµ" 1 - n + mg#$%" (5)

20 Όµως η T είναι στατική τριβή και εποµένως το µέτρο της ικανοποιει την σχέ ση Τ κ <nn, η οποία λόγω των (3) και (5) γράφεται: & nf < n( nmgµ" ' 1 - n (4) ) + mg#$%" + * mgµ" 1 - n < nmgµ" 1 - n + mg#$%" µ" 1 - n - nµ" 1 - n < #$%" µ" < #$%" "# < 1 < " / 4 (6) H (6) αποτελεί την ζητούµενη αναγκαία συνθήκη. ii) Αν η γωνία κλίσεως φ είναι π/6 η συνθήκη (6) ικανοποιείται, που σηµαίνει ότι ο κύλινδρος ωθούµενος κατάλληλα από το εµπόδιο (ε) ξεκινάει κυλιόµενος προς τα πάνω χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου και έστω ότι το κέν τρο µάζας του C έχει επιτάχυνση µέτρου g/. Η κίνηση του κυλίνδρου είναι συνδυασµός µιας µεταφορικής και µιας περιστροφικής κίνησης περί τον γεω µετρικό του άξονα, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε τις σχέσεις: F - T - w x = mg/ F = T + mg"µ(# / 6) + mg/ και F = T + mg (7) T R - T " R = I C $ # T R - nfr = mr #" / T - nf = mr #" / T = nf + mr #" / όπου " η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου,όµως λόγω της κυλίσεως του κυλίνδρου ισχύει g/=ω R, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: T = nf + mg / 4 (8) Συνδυάζοντας τις (7) και (8) παίρνουµε την σχέση: F = nf + mg / 4 + mg F( 1 - n) = 5mg / 4 F= Επειδή η τριβή T είναι στατική πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: 5mg ( ) n (9) (),(8) T " nn nf + mg 4 n " $ nf + 3 # mg % ' & F( 1 - n) - mg (9) mg 5mg 1 - n ( ) ( ) mg$ n 3 # n " % ' & n 3 3 n 3 n 3 (1)

21 H σχέση (1) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη, ώστε όταν ο κυλινδρος ωθείται από το εµπόδιο να ανέρχεται κυλιόµενος πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, µε επι τάχυνση µέτρου g/. P.M. fysikos Ένα σώµα µάζας m, κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Tο σώµα κάποια στιγµή συναντά το ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο, µε ταχύτητα µέτρου v της οποίας ο φο ρέας συµπίπτει µε τον άξονα του ελατηρίου. Aν ο µέγιστος ρυθµός µε ταβολής της ορµής του σώµατος έχει µέτρο (dp/dt) max =P *, να βρείτε: i) την σταθερά του ελατηρίου, ii) την συσπείρωση του ελατηρίου, την στιγµή που ο ρυθµός µεταβο λής της ορµής του σώµατος είναι ίσος µε µηδέν και iii) την αντίστοιχη ταχύτητα µεταβολής της κινητικής του ενέργειας. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) To σώµα στην διάρκεια που συµπιέζει το ελατήριο δέχεται το βάρος του m g, την δύναµη επαφής από το οριζόντιο επίπεδο που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και στην κάθετη αντίδραση N που εξουδετερώνει το βάρος του και τέλος την δύναµη F " από το συµπιεσµένο ελατήριο. Σύµφωνα µε τον γενικευµένο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του Σχήµα 15 σώµατος αποκτά το µεγαλύτερο µέτρο, όταν η συνισταµένη δύναµη που δέχε ται αποκτήσει αντίστοιχα το µεγαλύτερο µέτρο της. Αυτό θα συµβεί λίγο πριν το ελατήριο υποστεί την µέγιστη συσπειρωσή του x max, διότι την στιγµή αυτή το µέτρο της συνισταµένης δύναµης θα λάβει την µέγιστη τιµή του Τ+kx max. όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Έτσι θα έχουµε την σχέση: ( dp/ dt) max = T + kx max P * = nmg + kx max kx max = P * - nmg (1)

22 Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου στην διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται, παίρνουµε την σχέση: ( K "# + U "# ) - ( K $%& + U $%& ) = W T # " + kx max $ & - # % " -mv + kx max + $ & = -nmgx max % mv (1) = -nmgx max -mv + x max ( P * - nmg) = -nmgx max ( P * + nmg)x max = mv x max = mv P * + nmg () H (1) λόγω της () γράφεται: kmv P * + nmg = P * - nmg k = ( P * - nmg )( P * + nmg) mv k = P * - ( nmg) (3) mv όπου τα δεδοµένα πρέπει να ικανοποιούν την σχέση P * >nmg. Σχήµα 16 ii) Στην θέση όπου ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος είναι µηδέν η δύναµη από το συµπιεσµένο ελατήριο είναι αντίθετη της τριβής (αυτό συµβαίνει κατά την αποσυσπείρωση του ελατηρίου), οπότε θα ισχύει: T = kx nmg = kx x = nmg / k (3) x = ngm v ( ) (4) P * - nmg όπου x η ζητούµενη συσπείρωση του ελατηρίου.

23 iii) O ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος είναι κάθε στιγ µή ίσος µε την ισχύ της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το σώµα, δηλαδή ισχύει: dk / dt = F " v ( ) (5) όπου η v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή που το εξετάζουµε. Η (5) την στιγµή που το ελατήριο είναι συσπειρωµένο κατά x δίνει: ( dk / dt) x = διότι F = P.M. fysikos Δύο ακριβώς όµοιες λείες σφαίρες κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο η µία προς την άλλη, οι δε ταχύτητες των κέντρων τους είναι v και - v. Οι φορείς των ταχυτήτων αυτών απέχουν µεταξύ τους από σταση ίση προς την ακτίνα των σφαιρών, οπότε οι σφαίρες κάποια στιγµή θα συγκρουσθούν. i) Εάν η κρούση τους είναι ελαστική να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών µετά την κρούση τους. ii) Χωρίς να χρησιµοποιήσετε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, να δεί ξετε ότι η µεταβολή της ορµής κάθε σφαίρας έχει φορέα την διάκεν τρο των σφαιρών. ΛΥΣΗ: i) Κάτα την κρούση των δύο σφαιρών η ορµή του συστήµατος δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: m v + m(- v ) = m V 1 + m V V 1 + V = V 1 = - V (1) Σχήµα 17 Σχήµα 18 όπου V 1, V οι ταχύτητες των σφαιρών µετά την κρούση και m η µάζα κάθε

24 σφαίρας. Εξάλλου, επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος πριν και µετά την κρούση είναι ίδια, δηλαδή ισχύει: mv + mv = mv 1 + mv v = V 1 + V (1) v = V 1 (1) V 1 = V = v () Επειδή κατά τον χρόνο που οι σφαίρες είναι σε επαφή οι δυνάµεις κρούσεως είναι κάθετες στο κοινό εφαπτόµενο επίπεδό τους, η ταχύτητα κάθε σφαίρας κατά την κάθετη προς την διάκεντρο διεύθυνση y δεν µεταβάλλεται, δηλαδή θα έχουµε τις σχέσεις: v,y = V 1,y " -v,y = -V,y # v µ" = V 1 µ# 1 $ % v µ" = V µ# & () µ" = µ# 1 $ % µ" = µ# & 1 = = " (3) όπου φ η γωνία των φορέων των ταχυτήτων v, - v µε την διάκεντρο των σφαιρών κατά τον χρόνο της επαφής τους και θ 1, θ οι γωνίες των ταχυτήτων V 1, V αντιστοίχως µε την διάκεντρο αυτή (σχ. 17, 18). Όµως από την Γεωµετ ρία του σχήµατος (17) προκύπτει ότι ηµφ=r/r δηλαδή φ=π/6, οπότε θα είναι και θ 1 =θ =π/6. Από την όλη ανάλυση προκύπτει ότι µετά την κρούση τα κέντρα των δύο σφαιρών θα κινούνται µε αντίθετες ταχύτητες επί παραλλήλων ευθείων που βρίσκονται σε απόσταση d=rηµθ 1 =R µεταξύ τους (σχ. 18). ii) Aν εστιάσουµε την προσοχή µας στην αριστερή σφαίρα παρατηρούµε ότι η µεταβολή P 1 της ορµής της κατά τον χρόνο της κρούσεως είναι: ( v ) P 1 = m V 1 - m v = m V 1 + -m Σχήµα 19 Όµως το παραλληλόγραµµο των διανυσµάτων m V 1 και -m v είναι ρόµβος (σχ. 19) που σηµαίνει ότι η συνισταµένη τους P 1 θα διχοτοµεί την γωνία τους φ+θ 1, δηλαδή σχηµατίζει µε το διάνυσµα -m v γωνία φ που σηµαίνει ότι ο φορέας της βρίσκεται επί της διακέντρου των σφαιρών. Ανάλογα ισχύουν και για την δεξιά σφαίρα. P.M. fysikos

25 Ένα σφαιρίδιο Σ 1 µάζας m, είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µήκους L, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεω θεί σε ακλόνητο σηµείο, όπως φαίνεται στο σχήµα ( ). Κάποια στιγµή προσκρούει επί του σφαιριδίου Σ 1 δεύτερο σφαιρίδιο Σ µάζας m, µε ταχύτητα v της οποίας ο φορέας διέρχεται από κέντρο του Σ 1 και σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ=π/4. i) Eάν τα δύο σφαιρίδια συγκρούονται ελαστικά, να βρείτε τις ταχύ τητές τους αµέσως µετά την κρούση. ii) Nα βρείτε για ποια τιµή του µέτρου της v το νήµα µετά την κρού ση θα χαλαρώσει την στιγµή που υπέρκειται του οριζόντιου επιπέδου κατα γωνία θ=π/6. Να θεωρήσετε λείες τις επιφάνειες των δύο σφαιρι δίων και τις ακτίνες τους πολύ µικρές σε σχέση µε το µήκος L. ΛΥΣΗ: i) Eπειδή οι επιφάνειες των σφαιριδίων είναι λείες, οι δυνάµεις κρού σεως διευθύνονται κατά την διάκεντρό τους, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο Σ αµέσως µετά την κρούση θ αποκτήσει ταχύτητα v συγγραµµική της v (σχ. 1). Τα σφαιρίδια κατα τον µικρό χρόνο Δt (Δt ) που βρίσκονται σ επαφή δεν δέχονται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις, oπότε η ορµή του συστήµατος κατά την οριζόντια διεύθυνση x x δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv,x = mv - mv x v "#$ = V - v"#$ "#$( v + v) = V v + v = V "#$ v + v = V "#($ / 4) = 4V (1) Σχήµα Σχήµα 1 όπου V η ταχύτητα του σφαιριδίου Σ 1 αµέσως µετά την κρούση, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος λόγω του δεσµού κίνησης που του επιβάλλει το κατα κόρυφο νήµα, ενώ δεχθήκαµε ότι η ταχύτητα v είναι αντίρροπη της v. Εξάλ

26 λου επειδή η κρούση των σφαιριδίων είναι ελαστική η κινητική τους ενέργεια λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση είναι ίδια, δηλαδή ισχύει: mv = mv + mv v - v v - v = V ( )( v + v) = V () Συνδυάζοντας την (1) µε την () παίρνουµε: ( v - v) 4V = V v - v = V (3) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (1) και (3) έχουµε: v = V + 4V v = V ( + 4 ) V = 4v 5 = v 5 (4) Aπό την σχέση (1) έχουµε: v = 4V (4) - v v = 4 v 5 - v = 8v 5 - v = 3v 5 (5) ii) Έστω ότι το µέτρο της v έχει επιλεγεί, ώστε το νήµα να χαλαρώνει στην θέση Μ του σφαιριδίου Σ 1, η οποία καθορίζεται από την γωνία θ=π/6 (σχ. ). Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται µόνο το βάρος του w, του οποίου η ακτι Σχήµα νική συνιστώσα w r ενεργεί επί του σφαιριδίου ως κεντροµόλος δύναµη, δηλα δή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: w r = mv L mgµ" = mv " L

27 # gµ " & % ( = v ) $ 6' L v = gl όπου v η ταχύτητα του σφαιριδίου στην θέση Μ. Εξάλλου κατά την κίνηση του σφαιριδίου από την θέση κρούσεως Α στην θέση Μ η µηχανική του ενέρ γεια διατηρείται, οπότε ισχύει: (6) K A + U A = K M + U M mv + = mv + mg( L + L"µ ) (6) V = v + gl( 1 + 1/) V = gl + gl 3 $ # & " % = 7gL (4) # " v 5 $ & % = 7gL 8v 5 = 7gL v = 5 7gL 4 (7) P.M. fysikos Mια σφαίρα µάζας m 1, κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητα v και συγκρούεται ελαστικά αλλά όχι µετωπικά µε µια ακίνητη σφαίρα µάζας m, µε αποτέλεσµα να εκτρέπεται της αρχικής διεύθυνσης κινήσεώς της κατά γωνία φ. i) Eάν m 1 <m και φ=π/, να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια Κ 1 της µάζας m 1 µετά την κρούση ικανοποιεί την σχέση: K 1 = m v 1 m - m 1 $ # & " m 1 + m % ii) Eάν m 1 >m, να δείξετε ότι η γωνία φ δεσµεύεται µε την σχέση: µ" # m / m 1 iii) Eάν m 1 =m να δείξετε ότι oι κινητικές ενέργειες Κ 1, Κ των µαζών m 1 και m αντιστοίχως µετά την κρούση, ικανοποιούν την σχέση: K 1 / K = " # ΛΥΣΗ: Eάν P 1, P είναι οι ορµές των σφαιρών µε µάζες m 1 και m αντι στοίχως µετά την κρούση και P η ορµή της µάζας m 1 πριν την κρούση, τότε συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η διανυσµατική σχέση:

28 P 1 + P = P m 1 v 1 + m v = m 1 v (1) όπου v 1, v οι ταχύτητες των µαζών m 1 και m αντιστοίχως µετά την κρού ση. Εφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο του σχήµατος (3) τον νόµο του συνηµιτόνου παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 3 P = P 1 + P - P 1 P "#$ m v = m 1 v 1 + m 1 v - m 1 v v 1 "#$ () Όµως λόγω της ελαστικής κρούσεως των δύο σφαιρών η κινητική ενερ γεια του συστήµατος τελικώς δεν µεταβάλλεται, δηλαδή θα έχουµε: m 1 v = m v m v m v = m 1 v - m 1 v 1 m v = m 1 m v - m 1 m v 1 (3) Η () λόγω της (3) γράφεται: m 1 v 1 + m 1 v - m 1 v v 1 "#$ = m 1 m v - m 1 m v 1 m 1 v 1 + m 1 v - m 1 v v 1 "#$ = m v - m v 1 ( m 1 + m )v 1 - m 1 v "#$ v 1 + ( m 1 - m )v = (4) H (4) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς v 1 για την οποία παρατη ρούµε τα εξής: i) Eάν m 1 <m, τότε το γινόµενο των ριζών της είναι αρνητικό και εποµέ νως οι ρίζες της είναι πραγµατικές και ετερόσηµες και φυσικά δεκτή είναι η θετική ρίζα: v 1 = m 1v "#$ + m 1v "# $ - ( m 1 - m )( m 1 + m )v m 1 + m m 1 + m

29 v 1 = m 1v "#$ + m 1 v "# $ - m ( 1 - m )v (5) m 1 + m Για φ=π/ η (5) δίνει: v 1 = v - m ( 1 - m ) = v m - m 1 (6) m 1 + m m 1 + m H κινητική ενέργεια K 1 της µάζας m 1 µετά την κρούση είναι: K 1 = m 1v 1 (6) K 1 = m 1v m # - m 1 # " m 1 + m ( ) $ & & % = m 1v ' m - m 1 * ), (7) ( m 1 + m + ii) Eάν m 1 >m, τότε η ταχύτητα v 1 είναι αποδεκτή εφ όσον οι ρίζες της (4) είναι πραγµατικές, δηλαδή η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική. Πρέ πει εποµένως να ισχύει: 4m 1 v "# $ - 4( m 1 - m )( m 1 + m )v % m 1 "# $ - m ( 1 - m ) % m "# ( $ ) % m m 1 µ " # m µ" # m / m 1 (8) iii) Eάν m 1 =m τότε η (4) γράφεται: ( m 1 + m )v 1 - m 1 v "#$ v 1 = v 1 ( v 1 - v "#$) = από την οποία προκύπτει v 1 = (κεντρική κρούση) ή v 1 =v συνφ (έκκεντρη κρούση). Στην περίπτωση της έκκεντρης κρούσεως θα έχουµε P 1 =P συνφ οπότε η () παίρνει την µορφή: P = P "# $ + P - P "# $ = P %µ $ Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή το σκιασµένο τρίγωνο είναι ορθο γώνιο, που σηµαίνει ότι οι σφαίρες µετά την κρούση κινούνται επί καθέ των διευθύσεων. Οι κινητικές ενέργειες Κ 1, Κ των σφαιρών είναι: K 1 = P 1 / m 1 = P "# $ / m 1 & ' K = P / m = P %µ $ / m ( (:) K 1 = P "# $ / m 1 = & $ K P %µ $ / m P.M. fysikos