Introduction Ν. Παπαδάκης 21 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

Transcript

1 Introduction Ν. Παπαδάκης 21 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

2 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Ποβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Συμπέρασμα Συμπέρασμα - 2 Συμπέρασμα Πιο αμεση μέθοδος - Αριθμητική επίλυση Αριθμητική επίλυση Χαρακτηριστικά - Προεπισκόπηση Βήμα 1ο Βήμα 1ο -συνέχεια Βήμα 2ο -Θεωρία Βήμα 2ο -Θεωρία Βήμα 2ο -Θεωρία Βήμα 2ο - Πράξη Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 Μια τρύπα στο νερό? Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Συμπεράσματα Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

3 Section 1 Παρουσίαση Ποβλήματος Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

4 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) όταν είναι γνωστά ότι ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Να βρεθεί: ẍ, ẋ, x γιαt = 2 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

5 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) d 2 dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

6 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

7 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt επίσης όταν x f(x) και t x ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) d 2 dt 2 f(x) + 2 d f(x) + f(x) = sin(x) dt Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

8 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Συμπέρασμα Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ - ΙΔΙΑ ΟΥΣΙΑ Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

9 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Συμπέρασμα - 2 Ξαναγράϕοντας στην ποιο γενική μορϕή: m ẍ + c ẋ + k x = f(t) Μέχρι στιγμής έχετε προσπαθήσει να βρείτε : το f(t) (με τον κ. Σϕακιωτάκη) την θέση ή/και την διαδρομή (Δεδομένης της εξ. διέγερσης f(t) όπως ορίστηκε αυτό το πρόβλημα που θα δούμε τώρα). στοιχεία του συστήματος (m, c, k), ώστε το σύστημα να έχει μια συμπεριϕορά. Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

10 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Συμπέρασμα - 2 Σχήμα: Αλληλεπίδαρση στοιχείων ΔΕ Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

11 Section 2 Πιο αμεση μέθοδος - Αριθμητική επίλυση Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

12 Αριθμητική επίλυση Χαρακτηριστικά - Προεπισκόπηση Η μέθοδος έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Πολύ απλή μέθοδος στην σύλληψη όχι πολύ ακριβής Μπορείτε να την εϕαρμόσετε στο Excel. Χρειάζεται οριακές συνθήκες. Χρειάζεται πολλούς υπολογισμούς. Γενική μέθοδος (κάνει και για μη γραμμικές μεθόδους) precise όχι accurate. Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

13 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο Παίρνουμε αυτά που ξέρουμε, δηλαδή: ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

14 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο Παίρνουμε αυτά που ξέρουμε, δηλαδή: ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 επίσης ότι: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

15 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο Παίρνουμε αυτά που ξέρουμε, δηλαδή: ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 επίσης ότι: Δηλαδή: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x(t) = sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

16 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο Παίρνουμε αυτά που ξέρουμε, δηλαδή: ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 επίσης ότι: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) Δηλαδή: ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x(t) = sin(t) Επομένως για t = 0: ẍ(t = 0) + 2 ẋ(t = 0) + x(t = 0) = sin(t = 0) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

17 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο -συνέχεια Ανακεϕαλαιώνοντας: ẍ(t = 0) + 2 ẋ(t = 0) + x(t = 0) = sin(t = 0) ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Επομένως για t = 0: Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

18 Αριθμητική επίλυση Βήμα 1ο -συνέχεια Ανακεϕαλαιώνοντας: ẍ(t = 0) + 2 ẋ(t = 0) + x(t = 0) = sin(t = 0) ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Επομένως για t = 0: ẍ(t = 0) = 0 ẍ(t = 0) = 1 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

19 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Μια μικρή υπενθύμιση: d x(t + t) x(t) x(t) = lim dt t 0 (t + t) t d x(t + t) x(t) x(t) = lim dt t 0 t Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

20 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Μια μικρή υπενθύμιση: d x(t + t) x(t) x(t) = lim dt t 0 (t + t) t d x(t + t) x(t) x(t) = lim dt t 0 t Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

21 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Κάνοντας την παραδοχή ότι χρησιμοποιούμε t 0, μπορούμε να πούμε ότι: d x(t + t) x(t) x(t) = dt t Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

22 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Κάνοντας την παραδοχή ότι χρησιμοποιούμε t 0, μπορούμε να πούμε ότι: d x(t + t) x(t) x(t) = dt t d x(t) t = x(t + t) x(t) dt Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

23 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Κάνοντας την παραδοχή ότι χρησιμοποιούμε t 0, μπορούμε να πούμε ότι: d x(t + t) x(t) x(t) = dt t d x(t) t = x(t + t) x(t) dt x(t + t) = d x(t) t + x(t) dt Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

24 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Για λόγους συντομίας: x(t + t) = ẋ(t) t + x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

25 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Για λόγους συντομίας: x(t + t) = ẋ(t) t + x(t) Επίσης με την ίδια συλλογιστική και παραδοχές ισχύει και: ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

26 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο -Θεωρία Για λόγους συντομίας: x(t + t) = ẋ(t) t + x(t) Επίσης με την ίδια συλλογιστική και παραδοχές ισχύει και: ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) Τώρα που τελειώσαμε με την δύσκολη θεωρία ας προχωρήσουμε στην πράξη! Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

27 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη έχουμε ένα τρόπο να κάνουμε μια εκτίμηση του x και του ẋ. x(t + t) = ẋ(t) t + x(t), ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

28 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη έχουμε ένα τρόπο να κάνουμε μια εκτίμηση του x και του ẋ. x(t + t) = ẋ(t) t + x(t), ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) Αυτό που χρειαζόμαστε είναι τα x(t), ẋ(t), ẍ(t) και το t, για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το x(t + t), ẋ(t + t), ẍ(t + t). Έχουμε κάτι τέτοιο? Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

29 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη έχουμε ένα τρόπο να κάνουμε μια εκτίμηση του x και του ẋ. x(t + t) = ẋ(t) t + x(t), ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) Αυτό που χρειαζόμαστε είναι τα x(t), ẋ(t), ẍ(t) και το t, για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το x(t + t), ẋ(t + t), ẍ(t + t). Έχουμε κάτι τέτοιο? Τις οριακές συνθήκες του προβλήματος, (αλλιώς αρχικές συνθήκες). (Προσωπικά μου αρέσει η λέξη άγκυρα). {ẋ(t = 0) = 0 και επίσης ẍ(t = 0) = 1 x(t = 0) = 1 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

30 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 Για να βάλουμε τα πράγματα σε μια τάξη: Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

31 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 Για να βάλουμε τα πράγματα σε μια τάξη: Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Κάνουμε μια επιλογή για το t να είναι 0.01 (ϕαίνεται να είναι αρκετά μικρό). Τότε έχουμε: Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

32 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 Για να βάλουμε τα πράγματα σε μια τάξη: Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Κάνουμε μια επιλογή για το t να είναι 0.01 (ϕαίνεται να είναι αρκετά μικρό). Τότε έχουμε: x(t + t) = ẋ(t) t + x(t) ẋ(t + t) = ẍ(t) t + ẋ(t) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) t=0 x(0 + t) = ẋ(0) t + x(0) ẋ(0 + t) = ẍ(0) t + ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Η τελευταία γραμμή δεν αλλάζει. Σε λίγο θα δούμε γιατί... Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

33 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 x(0 + t) = ẋ(0) t + x(0) ẋ(0 + t) = ẍ(0) t + ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) t=0.01 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

34 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 x(0 + t) = ẋ(0) t + x(0) ẋ(0 + t) = ẍ(0) t + ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) t=0.01 x( ) = ẋ(0) x(0) ẋ( ) = ẍ(0) ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

35 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 x(0 + t) = ẋ(0) t + x(0) ẋ(0 + t) = ẍ(0) t + ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0.01) = ẋ(0) x(0) ẋ(0.01) = ẍ(0) ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) t=0.01 ẍ(0) = 1 ẋ(0) = 0 x(0) = 1 x( ) = ẋ(0) x(0) ẋ( ) = ẍ(0) ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

36 Αριθμητική επίλυση Βήμα 2ο - Πράξη για t = 0.01 x(0 + t) = ẋ(0) t + x(0) ẋ(0 + t) = ẍ(0) t + ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0.01) = ẋ(0) x(0) ẋ(0.01) = ẍ(0) ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) t=0.01 ẍ(0) = 1 ẋ(0) = 0 x(0) = 1 x( ) = ẋ(0) x(0) ẋ( ) = ẍ(0) ẋ(0) ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0.01) = ẋ(0.01) = ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0.01) = 1 ẋ(0.01) = 0.01 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

37 Αριθμητική επίλυση Μια τρύπα στο νερό? Κατέληξα στο: διαϕέρει (?) από το : x(0.01) = 1 ẋ(0.01) = 0.01 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

38 Αριθμητική επίλυση Μια τρύπα στο νερό? Κατέληξα στο: διαϕέρει (?) από το : x(0.01) = 1 ẋ(0.01) = 0.01 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0) = 1 ẋ(0) = 0 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Άρα πάλι έχω μια διαϕορική εξίσωση με οριακές συνθήκες. Τι κατάϕερα? Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

39 Αριθμητική επίλυση Μια τρύπα στο νερό? Κατέληξα στο: διαϕέρει (?) από το : x(0.01) = 1 ẋ(0.01) = 0.01 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) x(0) = 1 ẋ(0) = 0 ẍ(t) = sin(t) 2 ẋ(t) x(t) Άρα πάλι έχω μια διαϕορική εξίσωση με οριακές συνθήκες. Τι κατάϕερα? Είναι ΛΙΓΟ πιο κοντα σε αυτό που έψαχνα. Μπορώ να το ξανακάνω και θα έρθω πάλι ακόμη πιο κοντά. Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

40 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

41 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

42 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

43 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

44 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

45 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

46 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

47 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

48 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

49 Αριθμητική επίλυση Βήμα 3ό - Επανάληψη (λίγο βαρετό) Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

50 Αποτελέσμα για t = 0.01 Βρήκαμε ότι: Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

51 Αποτελέσμα για t = 0.01 Βρήκαμε ότι: Χρόνος x(t) (x)(t) (x)(t) ΔΕΝ είναι Η λύση (είναι μια εκτίμηση για t = 0.01). Τι θα συμβεί όταν αλλάξω το t? Ποιοτικά συνήθως σωστή συμπεριϕορά (υπάρχουν εξαιρέσεις - σύγκλιση) Σϕάλμα μεγαλώνει καθώς απομακρυνόμαστε (π.χ. μετεωρολογία) BONUS: εκτιμήσεις του x, ẋ, ẍ για τιμές μεταξύ [0, 2]. Τι θα συμβεί όταν αλλάξω το t? Αυτή είναι μια από τις απλές υλοποίησης μεθόδων αριθμητικής επίλυσης, με το forward scheme. Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

52 Σημείωση για την μέθοδο Αυτή είναι μια από τις απλές υλοποίησης μεθόδων αριθμητικής επίλυσης, με το forward scheme. Υπάρχουν πολλές διαϕορετικές κατηγοριοποιήσεις: Σύστημα ολοκλήρωσης (scheme) forward (αυτή η υλοποίηση που παρουσιάστηκε) backward mixed Εξισώσεις/προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται Euler (χρήση γραμμικών στοιχείων) Runge-Kutta (χρήση παραβολικών στοιχείων) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

53 Σημείωση για την μέθοδο Plots εκτίμησεων x, ẋ, ẍ Ας δούμε την εκτίμηση των x, ẋ, ẍ για t = 0.01 Σχήμα: Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

54 Section 3 Φυσική ερμηνεία Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

55 Η κατάρα/ευλογία της αϕαίρεσης Γιατί έγινε όλο αυτό? Σε τι αντιστοιχεί αυτό που μόλις παρουσιάστηκε? Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

56 Παρουσίαση Αρμονικού ταλαντωτή Παρουσίαση προβλήματος Σχήμα: Αρμονικός ταλαντωτής μαζα (m) :1 [kg] σταθερά απόσβεσης (c) :2 [ kg s ] σταθερά ελατηρίου (k) :1 [ N m ] Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

57 Εξίσωση συστήματος Αδρανειακές δυνάμεις 2ος νόμος του Νεύτονα ( ) Η συνισταμένη των δυνάμεων που δρούν πάνω σε ένα σώμα ισούται με το γινόμενο μάζας επί την επιτάχυνση. F = m α = m ẍ(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

58 Εξίσωση συστήματος Ελατήριο - Νόμος του Hooke Νόμος του Hooke H δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο είναι ανάλογη της απομάκρυνσης: F k = K x Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

59 Εξίσωση συστήματος Απόσβεστήρας H δύναμη που ασκεί ένας αποσβεστήρας είναι ανάλογη της απομάκρυνσης: Πάντα αντίθετη στην κίνηση. Παράδειγμα: κουτάλι στο μέλι. F k = c ẋ Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

60 Εξίσωση συστήματος Εξωτερική διέγερση Βουλαρινός/Νικολάου - Ο τι να ναι H δύναμη που ασκείται για να κάνει το σύστημα να ϕύγει από την ισορροπία του: Θα μπορούσε να είναι: F ext = sin(t) dead weight (κρεμασμένο βάρος) step function κρουστική διέγερση... (Ο τι να ναι) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

61 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

62 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Hooke K x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

63 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Hooke K x(t) Απόσβεση c ẋ(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

64 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Hooke K x(t) Απόσβεση c ẋ(t) εξ. Διεγερση + sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

65 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Hooke K x(t) Απόσβεση c ẋ(t) εξ. Διεγερση + sin(t) Και αν αυτό δεν θυμίζει τίποτα... Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

66 Εξίσωση συστήματος Όλα μαζί Newton m ẍ(t) = Hooke K x(t) Απόσβεση c ẋ(t) εξ. Διεγερση + sin(t) Και αν αυτό δεν θυμίζει τίποτα... ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) m d2 dt 2 y(t) + b d y(t) + k y(t) = sin(t) dt Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

67 Κυκλώμα RLC Παρουσίαση Δεδομένα: V in (t): Πηγή (Είσοδος) V c : Τάση στα άκρα πυκνωτή V R : Τάση στα άκρα της αντίστασης V L : Τάση στα άκρα του επαγωγικού πηνίου Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

68 Κυκλώμα RLC Διαμόρϕωση του προβλήματος Κirchoff V(t) V R V L V c = 0 Πυκνωτής(Coulomb): V c = Q C dv c dt = dq dt Αντίσταση: V R = i(t) R Επαγωγικό πηνίο: V L = L d dt i(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

69 Κυκλώμα RLC Διαμόρϕωση του προβλήματος Κirchoff V(t) V R V L V c = 0 Πυκνωτής(Coulomb): V c = Q C dv c dt = dq dt Αντίσταση: V R = i(t) R Επαγωγικό πηνίο: V L = L d dt i(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

70 Κυκλώμα RLC Διαμόρϕωση του προβλήματος Κirchoff V(t) V R V L V c = 0 Πυκνωτής(Coulomb): dv c dt Όλα μαζί: V c = Q C = dq dt Αντίσταση: V R = i(t) R Επαγωγικό πηνίο: V L = L d dt i(t) V(t) V R V L V c = 0 V(t) i(t) R L d Q(t) i(t) dt C = 0 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

71 Κυκλώμα RLC Διαμόρϕωση του προβλήματος V(t) i(t) R L d Q(t) i(t) dt C = 0 i(t) R + L d Q(t) i(t) + dt C = V(t) d dt Q(t)=i(t) Αναδιάταξη: ή d d2 Q(t) Q(t) R + L Q(t) + dt dt2 C = V(t) L d2 dt 2 Q(t) + d dt Q(t) R + 1 Q(t) = V(t) C L Q(t) + Q(t) R + 1 Q(t) = V(t) C Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

72 Κυκλώμα RLC Εξήγηση όρων L Q(t) = Αδρανειακό m ẍ(t) = Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

73 Κυκλώμα RLC Εξήγηση όρων L Q(t) = Αδρανειακό m ẍ(t) = R Q(t) Απόσβεση c ẋ(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

74 Κυκλώμα RLC Εξήγηση όρων L Q(t) = Αδρανειακό m ẍ(t) = R Q(t) Απόσβεση c ẋ(t) 1 C Q(t) Αποθήκευση ενέργειας K x(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

75 Κυκλώμα RLC Εξήγηση όρων L Q(t) = Αδρανειακό m ẍ(t) = R Q(t) Απόσβεση c ẋ(t) 1 C Q(t) Αποθήκευση ενέργειας K x(t) +V(t) εξ. Διεγερση + sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

76 Κυκλώμα RLC Εξήγηση όρων L Q(t) = Αδρανειακό m ẍ(t) = R Q(t) Απόσβεση c ẋ(t) 1 C Q(t) Αποθήκευση ενέργειας K x(t) +V(t) εξ. Διεγερση + sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

77 Section 4 Εργαλεία Matlab Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

78 Πρακτικά Θέματα Συναρτήσεις π.χ. : ( y ) 2 f(x, y) = x function m file Matlab code inline Matlab code anonymous ; Matlab code Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

79 Solvers του Matlab Solver Κατηγορία Προβλήματος Ακρίβεια ode45 Non Stiff Μέση ode23 Non Stiff Χαμηλή ode113 Non Stiff Χαμηλή έως υψηλή ode15s Stiff Χαμηλή έως μέση ode23s Stiff Χαμηλή ode23t Σχετικά Stiff Χαμηλή ode23tb Stiff Χαμηλή Πηγή: Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

80 Solvers του Matlab Stiffness Definition Stiff είναι ο συνδυασμός ΔΕ, οριακών συνθηκών και μεθόδου, που έχει ως αποτέλεσμα το μονοπάτι της αναζητούμενης λύση να περνάει από περιοχές με μεγάλα gradients. Το αποτέλεσμα είναι ο solver να αναγκάζεται να κάνει πολύ μικρά βήματα. Συνεπακόλουθο είναι ο αυξημένος χρόνος λύσης του προβλήματος. Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

81 Solvers του Matlab Stiffness Definition Stiff είναι ο συνδυασμός ΔΕ, οριακών συνθηκών και μεθόδου, που έχει ως αποτέλεσμα το μονοπάτι της αναζητούμενης λύση να περνάει από περιοχές με μεγάλα gradients. Το αποτέλεσμα είναι ο solver να αναγκάζεται να κάνει πολύ μικρά βήματα. Συνεπακόλουθο είναι ο αυξημένος χρόνος λύσης του προβλήματος. Σχήμα: Stiff problem Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

82 ode45 Συνάρτηση για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων [x y]=ode45(f,ab,y0): Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης στο διάστημα a έως b, με αρχική τιμή Y0 f : συνάρτηση ab : διάστημα π.χ. [0,5] Y0 : τιμή αρχικής συνθήκης (για υψηλότερες τάξης ΔΕ είναι πίνακας) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

83 ode45 ode45 παράδειγμα 1ης τάξης ΔΕ ẏ(t) = t y 2 y 2 Matlab code Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

84 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος Η εξίσωση: ẍ + 2ẋ + x = sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

85 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος Η εξίσωση: ẍ + 2ẋ + x = sin(t) έστω ότι ονομάζω: x = x 2 ẋ = x 1 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

86 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος Η εξίσωση: ẍ + 2ẋ + x = sin(t) έστω ότι ονομάζω: x = x 2 ẋ = x 1 Ξαναγράϕεται ώς: x x 1 + x 2 = sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

87 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος x x 1 + x 2 = sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

88 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος x x 1 + x 2 = sin(t) λύνω ως προς x 1 : x 1 = 2 x 1 x 2 + sin(t) Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

89 ode45 Διαμόρϕωση προβλήματος x x 1 + x 2 = sin(t) λύνω ως προς x 1 : και επίσης x 1 = 2 x 1 x 2 + sin(t) x 2 = x 1 Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

90 ode45 Παράδειγμα - Συναρτηση harmoscwithdamping Βάζουμε τις παραγώγους των μεταβλητών σε μορϕή πίνακα: ] [ ] [ẋ1 2 x1 x = 2 + sin(t) ẋ 2 x 1 harmoscwithdamping.m Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

91 ode45 Παράδειγμα ode45 - Κυρίως κώδικας mainodesolution.m Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

92 ode45 Παράδειγμα ode45 - Κυρίως κώδικας ode45 με Anonymous Function Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47

93 Παράδειγμα άλλων solver Παράδειγμα ode23 - Κυρίως κώδικας Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι πολύ απλό, όσο το να αλλάξεις το όνομα του solver. mainodesolution.m Ν. Παπαδάκης Introduction 21 Οκτωβρίου / 47