ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ I

2 Άσκηση 1 Ερώτημα (i) HH 0 : μμ 1 = μμ = μμ 3 = μμ 4 = μμ HH 1 : τουλάχιστον ένα από τα μμ ii να είναι διαφορετικό. Έχουμε ότι nn ii = 6, ii = 1,,3,4, και nn = 30. Επομένως YY 0. = 4, YY. = 30, YY 3. = 6, YY 4. = 31, YY. = 37 SSSSSS = YY ii. ii YY.. nn ii nn YY 00 = 169 = SSSSSS = 36, = 988, 9,03 SSSSSS = ( ) = , 6 SSSSSS = 8, Ανάλυση διασποράς για έναν παράγοντα Πηγή μεταβολής Άθροισμα Βαθμοί Μέση F Τετραγώνων Ελευθερίας μεταβλητότητα Α (θεραπεία) 36,47 MSA=36,47/=7,9 F=7,9/,43=3 Ε (υπόλοιπο) 8, 4 MSE=8,/4=,43 Τ (ολική) 94, FF = 3 > FF,4,0,0 =,6 Συνεπώς δε δεχόμαστε την HH 0, γεγονός το οποίο σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις θεραπείες δεν είναι ίδια με τις άλλες. Οι εκτιμήσεις είναι aa 1 = ΥΥ 1. ΥΥ.. = 1,8 aa = ΥΥ. ΥΥ.. = 0,6 aa 3 = ΥΥ 3. ΥΥ.. = 1,3 aa 4 = ΥΥ 4. ΥΥ.. = 0,4 aa = ΥΥ. ΥΥ.. = 0, μμ = ΥΥ.. =,6 1

3 Ερώτημα (ii) Θα χρησιμοποιήσουμε 4 ψευδομεταβλητές και θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας. xx 1 xx xx 3 xx 4 yy xx 1 xx xx 3 xx 4 yy Θεωρούμε το μοντέλο YY = ββ 0 + ββ 1 xx 1 + ββ xx + ββ 3 xx 3 + ββ 4 xx 4 που ισοδυναμεί με τη σχέση YY = xxββ + εε, όπου YY = (, 8, 7, 7, 10, 8, 4, 6,, 6) YY.. YY 169 XX XX = , XX 1. 4,6 1,8 ΥΥ = YY. = 30 YY 3. 6 YY 4. 31, ββ = (XX XX) 1 XX YY = 0,6 1,3 0,4 Συνεπώς, το μοντέλο πρόβλεψης γράφεται ως εξής: YY =,6 + 1,8xx 1 0,6xx 1,3xx 3 0,4xx 4 Αντικαθιστώντας τις τιμές των xx ii βρίσκουμε ότι: YY = 7,4 για τη θεραπεία 1, YY = για τη θεραπεία, YY = 4,3 για τη θεραπεία 3, YY =, για τη θεραπεία 4, YY =,6 για τη θεραπεία

4 Η μηδενική υπόθεση, δηλαδή οι πέντε θεραπείες να μη διαφέρουν, είναι η HH 0 : ββ 1 = ββ = ββ 3 = ββ 4 = 0 όμως 36,47 FF = = 3 > FF 8,,4;0,0 =,6 4 Επομένως, δε δεχόμαστε τη μηδενική υπόθεση. Ερώτημα (iii) Αρχικά ταξινομούμε τους μέσους με αύξουσα σειρά YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, Στη συνέχεια βρίσκουμε τα ελάχιστα σημαντικά εύρη RR = rr 0,0 (,4) =,9 RR 3 = rr 0,0 (3,4) = 3,10 Η τυπική απόκλιση του σφάλματος είναι ss YY ii. = MMMMMM nn =,43 6 = 0,486 RR 4 = rr 0,0 (4,4) = 3,18 RR = rr 0,0 (,4) = 3, και η τυπική απόκλιση κάθε μέσου ss YY. = RR ss = 1,43 ss YY 3. = RR 3 ss = 1,1 ss YY 4. = RR 4 ss = 1, ss YY. = RR ss = 1, , 4,3 = 3, > 1,8 8 6, = 1, < 1,1 3 6, 4,3 = 1,9 > 1, 4 1 7,, =,3 > 1,1 3 4, 4,3 = 0,9 < 1,1 4 6,, = 1 < 1,43 1 7, =, > 1, 1 7, 6, = 1,3 < 1,43 Άρα YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, 3

5 Με τη μέθοδο του Scheffe θα βρούμε το 9% διάστημα εμπιστοσύνης για το μμ 1 μμ Έχουμε aa = 0,0, ss =,43, kk =, nn = 30 YY 3. YY. YY 4. YY. YY 1. 4,3, 6, 7, Άρα DD(1,) =, ,76 =, , =, <,99 οπότε, ±,99 = ( 0,49,,44) διάστημα που περιέχει το 0. Ερώτημα (iv) Οι διασπορά της κάθε θεραπείας είναι ss 1 = 1 [( 7,) + (8 7,) + (7 7,) + (10 7,) + (8 7,) ] = 3, ss = 1 [(4 ) + 3(6 ) + (3 ) + ( ) ] = 1,6 ss 3 = 1 [(6 4,3) + 3(6 4,3) + ( 4,3) + (3 4,3) ] = 1,068 ss 4 = 1 [(7,) + (4,) + (6,) + (3,) + (,) ] =,438 ss = 1 [(9 6,) + (3 6,) + ( 6,) + (7 6,) + (6 6,) ] = 4,48 Από τα CCCCCChrrrrrr tttttttt θα έχουμε TT = mm 0 (ss 1,, ss ) ss ii ii=1 = 4,48 = 0,34 < 0,06 13,13 Επομένως, δεν μπορούμε να απορρίψουμε την HH 0 : σσ 1 = σσ = σσ 3 = σσ 4 = σσ επειδή, από τον πίνακα CCCCCChrrrrrr, kk = έχουμε FF = nn 0 1 = = FF 1 = FF = FF 3 = FF 4 = FF 4

6 Άσκηση Ερώτημα (i) Ουσία Εργοστάσιο ΑΑ ΒΒ ΓΓ yy ii.. 1 4, 3.,. 7, 6. 31,.1, 3., , 13, , 3 4.,.3 6.,. 1, 9 yy.jj. 17,3, 8,3 yy = 70,8 3 SSSSSS = yy.jj. 3 yy SSSSSS = yy ii.. 3 yy 3 3 ii=1 3 SSSSSSSS = yy iiii. 3 ii=1 yy 3 3 = 17,3 +, + 8,3 6 = 31, + 13,7 +,9 6 SSSSSS SSSSSS = 7, + 10, + 13, +, ,7 10,7 = 1, SSSSSS = yy iiiiii yy 3 3 ii=1 kk=1 70,8 18 = 10,7 70,8 18 = 6,84 = 4,3 SSSSSS = SSSSSS SSSSSS SSSSSS SSSSSSSS = 3,98 70,8 18 6,84

7 Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Εργοστάσιο 6,84 (aa 1) 13,4 Ουσία 10,7 (bb 1),36 Αλληλεπίδραση 13,78 4(aa 1)(bb 1) 3,19 30,34 = MMMMMM MMMMMM 1,1 = MMMMMM MMMMMM 7, = MMMMMMMM MMMMMM Σφάλμα 3,98 9aaaa(nn 1) 0,44 Σύνολο 4,3 17 Επειδή FF,17;0.0 < FF 0AA, FF 0BB, FF 0AAAA, οι κύριες επιδράσεις μεταξύ εργοστασίου και ουσίας είναι σημαντικές. Συνεπώς, είμαστε σε θέση να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Επιπλέον, FF 4,13;0.0 = 3,0 < FF 0AAAA και, επομένως, υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ εργοστασίου και ουσίας. Ερώτημα (ii) ii = 1,,3 Έχουμε yy iiiiii = mm + ττ ii + ββ jj + (ττττ) iiii + εε iiiiii jj = 1,,3 kk = 1, μμ = yy = Οι εκτιμήσεις των κύριων επιδράσεων είναι και της αλληλεπίδρασης yy 3 3 = 70,8 18 = 3,9 ττ 1 = yy 1.. yy = yy yy 3 3 = 31, 6 ττ = yy.. yy = 1,6 ττ 3 = yy 3.. yy = 0,41 3,4 = 1,3 ββ 1 = yy.1. yy = yy.1. 3 yy 3 3 = 1,01 ββ = yy.. yy = 0,3 ββ 3 = yy.3. yy = 0,84 ττττ 11 = yy 11. yy yy... = 3,7,,9 + 3,9 = 0,4 ττττ 1 = yy 1. yy yy... =,1, 4, + 3,9 = 0,4 6

8 και τέλος, από τον τύπο ττττ 13 = yy 13. yy yy... = 6,7, 4,7 + 3,9 = 0,7 ττττ 1 = yy 1. yy.. + yy... =,,3,9 + 3,9 = 1,3 ττττ = yy. yy.. + yy... = 4,7,3 4, + 3,9 = 0, ττττ 3 = yy 3. yy.. + yy... = 1,,3 4,7 + 3,9 = 1, ττττ 31 = yy 31. yy yy... =,3 4,3,9 + 3,9 = 0,9 ττττ 3 = yy 3. yy yy... = 4,7 4,3 4, + 3,9 = 0,1 ττττ 33 = yy 33. yy yy... =,8 4,3 4,7 + 3,9 = 0,7 RR = SSSS MMMMMMMMMM SSSS TTTTTTTTTT που δίνει το συντελεστή του προσδιορισμού και γνωρίζοντας ότι SSSS MMMMMMMMMM = SSSS έρρρρρρρρρρρρρρ ίοοοο + SSSS αααααααααααααα ίδδδδδδδδδδδδ = 0,34 Λαμβάνουμε RR = 0,34 4,3 = 0,93 Δηλαδή το 93% της μεταβλητότητας της υγείας των εργαζομένων εξαρτάται από το εργοστάσιο, την ουσία και την αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δύο. Ερώτημα (iii) yy 13. = 6,7, yy 3. = 1,, yy 33. =,8 Ταξινομούμε τα παραπάνω και λαμβάνουμε Το τυπικό σφάλμα είναι Τα ελάχιστα σημαντικά εύρη είναι: yy 3. = 1,, yy 33. =,8, yy 13. = 6,7 SS yy 3. = MMMMMM = 0, RR = rr 0.0 (,9)SS yy 3. =,98 0, = 1,49 RR 1 = rr 0.0 (3,9)SS yy 3. = 3,13 0, = 1,7 3 vvvv. 1 = 6,7 1, =,3 > RR 3 vvvv. 1 =,8 1, = 4,30 > RR 3 vvvv. = 6,7,8 = 0,90 < RR Οπότε για τη ΓΓ ουσία οι εργαζόμενοι των εργοστασίων 1, 3 έχουν την ίδια κατάσταση ουσίας. 7

9 Ερώτημα (iv) Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Εργοστάσιο 6,84 13,4 4,0 Ουσία 10,7,36 1,67 Αλληλεπίδραση 13,78 4 3,19 7, Σφάλμα 3,98 9 9,44 Σύνολο 4,3 17 Παρατηρούμε πως οι τέσσερις πρώτες στήλες είναι ίδιες εκτός από τα F-test για τα οποία ισχύει ότι ο κύριος παράγοντας του εργοστασίου είναι σημαντικός, αλλά αυτός της ουσίας όχι, ενώ η αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο είναι σημαντική. Οι εκτιμήτριες είναι οι εξής σσ = MMMMMM = 0,44 σσ MMMMMM MMMMMMMM ββ = = 0,36 3 σσ aa = MMMMMM MMMMMMMM 3 = 1,70 σσ αααα = MMMMMMMM MMMMMM = 1,37 8

10 Ερώτημα (v) Για να λύσουμε το πρόβλημα με παλινδρόμηση, θεωρούμε το μοντέλο YY = ββ 0 + ββ 1 ΧΧ 1 + ββ ΧΧ + ββ 3 ΧΧ 3 + ββ 4 ΧΧ ββ 8 ΧΧ 8 + εε όπου οι βωβές μεταβλητές XX ii ορίζονται, σύμφωνα με την εξίσωση, με τον παρακάτω τρόπο: Εργοστάσιο ΧΧ 1 ΧΧ Ουσία XX 3 XX 4 Α 1 1 Β 0 Γ 1 1 και XX = XX 1 XX 3, XX 6 = XX 1 XX 4, XX 7 = XX XX 3, XX 8 = XX 3 XX 4 Τότε το μοντέλο γράφεται YY = XXββ + εε, όπου ΧΧ 0, ΧΧ 1, ΧΧ, ΧΧ 3, ΧΧ 4, ΧΧ, ΧΧ 6, ΧΧ 7, ΧΧ 8 4 3, , , , , YY = 3,3, XX = , , , , , ,

11 Εύκολα διαπιστώνεται τώρα ότι όλες οι στήλες του Χ είναι ορθογώνιες ανά δύο, επομένως ο πίνακας (XX XX) είναι διαγώνιος με στοιχεία (XX XX) = dddddddd(18, 1, 36, 1, 36, 8, 4, 4, 7) οπότε και Επειδή ακόμη άρα Τέλος βρίσκουμε: (XX XX) 1 = dddddddd 1 18, 1 1, 1 36, 1 1, 1 36, 1 8, 1 4, 1 4, 1 7 XX YY = (141.6,.3, 9.7, 1, 4.8, 1, 3., 17, 3.6) ββ = (XX XX) 1 XX YY = (7.9, 0.4, 0.8, 1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.7, 0.0) ββ ΧΧ ΥΥ = 1118,64 +,1 + 3, ,48 + 0,1 + 0,3 11,9 + 0,18 = 114,7 10

12 Άσκηση 3 (άσκηση 4, σελ ) Μας ζητείται η ανάλυση διασποράς κατά τρεις παράγοντες. Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους του βιβλίου σελ. 94 έτσι ώστε να βρούμε τα SSSSSS, SSSSSS, SSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSS, SSSSSSSSSS, SSSSSS, SSSSSS και τελικώς θα προκύψει ο εξής πίνακας ανάλυσης διασποράς για τρεις παράγοντες Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα FF 00 Μαλακό νερό (Α) SSSSSS = ,10 Σκληρό νερό (Β) SSSSSS = 6,88 113,44 1, Ποικιλία (Γ) SSSSSS = 688, ,44 6,3 Αλληλεπιδράσεις ΑΑ ΒΒ SSSSSSSS = 13, ,33 7,7 ΑΑ ΓΓ SSSSSSΓΓ = 91,9 4 8,14 43,9 ΒΒ ΓΓ SSSSSSΓΓ = 10, 8 37, 7,1 ΑΑ ΒΒ ΓΓ SSSSSSSSΓΓ = 374, ,8 8,88 Υπόλοιπο 84,66,7 Σύνολο 887,37 80 Οι κύριοι παράγοντες του μαλακού νερού, του σκληρού νερού και της ποικιλίας είναι σημαντικοί καθώς FF,4,0.0 = 3,1. Επίσης οι αλληλεπιδράσεις ης και 3 ης τάξης είναι σημαντικές. Τέλος RR = SSSS MMMMMMMMMM SSSS TTTTTTTTTT = 60,71 887,37 = 0,90 11

13 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ II

14 Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Ημέρα Παρτίδα Σύνολο 1 A 8 B 7 D 7 C 7 E 3 3 C 11 E A 7 D 3 B B 4 A 9 C 10 E 1 D 9 4 D 6 C 11 E 6 B 6 A E 4 D B 3 A C 8 Σύνολο yy..1 = 39, yy.. = 8, yy..3 = 47, yy..4 = 3, yy.. = 16 Πηγή SSSSSS = 1 ii=1 yy ii.. 1 yy = 9.84 SSSSSS = 1 yy.jj. 1 yy... = SSSSTT rr = 1 yy..kk kk=1 SSSSSS = yy iiiiii Άθροισμα Τετραγώνων ii=1 1 yy... = kk=1 SSSSSS = 7.9 Βαθμοί Μέσα Ελευθερίας τετράγωνα 1 yy = F Παρτίδα Ημέρες Συστατικό Υπόλοιπο Σύνολο Παρατηρούμε ότι FF ππππππππ ίδδδδδδ = 3.4 > FF 4,4,0.0 =.78, καθώς επίσης και FF σσσσσσσσσσσσσσσσσσ ύ = 9.06 > FF 4,4,0.0. Άρα οι κύριοι παράγοντες της παρτίδας και του συστατικού είναι σημαντικοί. 1

15 Ερώτημα (ii) Οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα «συστατικό» εκτιμώνται από τον τύπο γγ kk = yy..kk yy yy = yy = 6.1 yy..1 = 33 = 6.6, yy.. = 6., yy..3 = 6.6, yy..4 = 4.4, yy.. = 6.8 γγ 1 = yy..1 yy = 0.48 γγ = 0.08 γγ 3 = 0.48 γγ 4 = 1.7 γγ = 0.68 ss = 1 MMMMMM = 0.68 RR = rr 0.0 (.1) ss =.09 RR 3 = rr 0.0 (3.1) ss =.19 RR 4 = rr 0.0 (4.1) ss =.6 RR = rr 0.0 (.1) ss =.8 γγ 4 = 1.7, γγ = 0.08, γγ 3 = 0.48, γγ 1 = 0.48, γγ = vvvv =.4 > RR 4 vvvv 1 =. < RR 4 vvvv = 0.6 < RR 4 3 vvvv = 0. < RR 3 1 vvvv = 0. < RR γγ 4 γγ γγ 3 γγ 1 γγ

16 Άσκηση Ερώτημα (i) Χειριστής Ημέρα Σύνολο 1 Aα 10 Bβ 10 Cγ 8 Dδ 141 Eε 13 6 Bγ 9 Cδ 11 Dε 131 Eα 11 Aβ Cε 96 Dα 130 Eβ 108 Aγ 73 Bδ Dβ 10 Eγ 100 Aδ 111 Bε 116 Cα Eδ 13 Aε 110 Bα 111 Cβ 8 Dγ Σύνολο ΥΥ..1. = 49, ΥΥ... = 3, ΥΥ..3. = 47, ΥΥ..4. = 6, ΥΥ... = 7 ΥΥ 1 =, ΥΥ = 17, ΥΥ 3 = 447, ΥΥ 4 = 616, ΥΥ = 8 Πηγή SSSSSS = 1 ii=1 yy ii 1 yy. = 1. SSSSSSSS = 1 yy.jj.. 1 yy. = 167. SSSSSSSSSS = 1 SSSSSSSS = 1 kk=1 mm =1 yy..kk. 1 yy. yy...mm 1 yy. = 1. = 1. SSSSSS = 1 yy iiiiiiii 1 yy. = 6738 ii=1 Άθροισμα Τετραγώνων kk=1 mm SSSSSS = 163. Βαθμοί Μέσα τετράγωνα Ελευθερίας Ημέρα Χειριστής Μέθοδος κατ Μηχανές Υπόλοιπο Σύνολο F Παρατηρούμε πως ο κύριος παράγοντας τόσο των μεθόδων κατασκευής όσο και των μηχανών είναι σημαντικός, διότι ισχύει FF μμ.κκ. = 3.01 > FF 4,4,0.0 =.78 και FF μμμμμμ = > FF 4,4,0.0 3

17 Ερώτημα (ii) Οι κύριες επιδράσεις του παράγοντα «μηχανές» εκτιμώνται από τον τύπο δδ mm = yy mm yy. yy. = yy 1 = = 111, yy... = 103.4, yy...3 = 89.4, yy...4 = 13., yy = 117 δδ 1 = yy...1 yy. =. δδ =.4 δδ 3 = 19.4 δδ 4 = 14.4 δδ = 8. ss = 1 MMMMMM =.0 RR = rr 0.0 (.8) ss = 6.8 RR 3 = rr 0.0 (3.8) ss = 6.8 RR 4 = rr 0.0 (4.8) ss = 7.01 RR = rr 0.0 (.8) ss = 7.11 δδ 3 = 19.4, δδ =.4, δδ 1 =., δδ = 8., δδ 4 = vvvv 4 = 33.8 > RR 3 vvvv = 7.6 > RR 4 3 vvvv 1 = 1.4 > RR 3 3 vvvv = 14 > RR vvvv 4 = 19.8 > RR 4 vvvv = 13.6 > RR 3 vvvv 1 = 7.6 > RR 1 vvvv 4 = 1. > RR 3 1 vvvv = 6 < RR vvvv 4 = 6. < RR δδ 3 δδ δδ 1 δδ δδ 4 4

18 Άσκηση 3 Ερώτημα (i) Μηχανή Αγωγή (τύπος λαδιού) Σύνολο Σύνολο (ΒΒ jj ) Έχουμε ένα συμμετρικό (4,,) ΒΒΒΒΒΒ σχεδιασμό. 4 4 SSSSSS = yy iiii yy.. ii=1 NN = 36.7 SSSSSS = 1 4 kk BB jj 1 NN GG = 7.3 Υπολογίζουμε τα προσαρμοσμένα αθροίσματα QQ 1 = TT 1 1 kk QQ = TT 1 kk QQ 3 = TT 3 1 kk QQ 4 = TT 4 1 kk aa iiii BB jj aa iiii BB jj aa iiii BB jj aa iiii BB jj SSSSTT rr ππππππππ = kk 4 λλλλ QQ ii ii=1 SSSSSS = SSSSSS SSSSTT rr ππππππππ = 6.7 = 0.7 =.3 = 3.6 = 3.8 SSSSSS =.6 Πηγή Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα τετράγωνα SSSSTT Αγωγές (προσ.) rr vv 1 = 7.9 MMMMMM FF = MMMMMM = 77.1 Μπλοκ Σφάλμα.6 SSSSSS ww vv bb + 1 = 1.1 Ολική F

19 Το FF 0 = 7.1 > FF 3,,0.0 =.41, επομένως ο κύριος παράγοντας τύπος λαδιού είναι σημαντικός. Ερώτημα (ii) Οι intrablock εκτιμήτριες είναι οι ττ 1 = kk λλλλ QQ 1 = =.1 4 ττ = kk λλλλ QQ = 3 ( 0.7) = ττ 3 = kk λλλλ QQ 3 = 3 (.3) = Για το κριτήριο Duncan έχουμε ττ 4 = kk λλλλ QQ 4 = 3 ( 3.6) = ss = kk λλλλ MMMMMM = 3.6 = RR = rr 0.0 (.) ss =.4 RR 3 = rr 0.0 (3.) ss =.38 RR 4 = rr 0.0 (4.) ss =.4 ττ 4 = 1.3, ττ 3 = 0.86, ττ = 0.6, ττ 1 =.1 4 vvvv 1 = 3.8 < RR 4 ττ 4 ττ 3 ττ ττ 1 Ερώτημα (iii) Οι interblock εκτιμήτριες είναι οι ττ 1 = ττ = 4 4 aa 1jj yy.jj kkkkyy = rr λλ aa jj yy.jj 3 3 yy = = 4.3 = 0.7 6

20 διότι ττ 3 = 4 ττ 4 = 4 MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) = aa 3jj yy.jj 3 3 yy = 3 aa 4jj yy.jj 9 yy = 3 kk 4 ii=1 QQ ii λλλλ yy 4.jj + kk bb 1 = 1.7 = ii=1 yy ii. rr ( ) = = σσ ββ = (MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) MMMMMM)(bb 1) 4(3 1) MMSS bbbbbbbbbbbb (aaaaaaaaaaaaaaaa ) MMMMMM = 0 7

21 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ IΙI & IV

22 Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Μηχανές yy ii. Συνθέσεις yy.jj yy.. = 31 Παρατηρούμε ότι έχουμε έναν PBIB-σχεδιασμό (μερικώς ισορροπημένο μη πλήρη σχεδιασμό κατά μπλοκ) με συνδεόμενες κλάσεις και παραμέτρους: vv = 9, bb = 9, kk = 3 Έχουμε τις κλάσεις 1: {1,,3} : {1,4,6} 3: {1,,7} 4: {3,6,8} : {,6,9} 6: {4,7,8} 7: {3,7,9} 8: {,,8} 9: {,4,9} Δεν υπάρχουν αγωγές (δηλαδή συνθέσεις στην προκειμένη περίπτωση) που να εμφανίζονται μαζί, συνεπώς λλ 1 = 0, ενώ άλλες εμφανίζονται μαζί μόνο μία φορά, οπότε λλ = 1. Κάθε αγωγή έχει nn 1 = πρώτα συνδεόμενες και nn = 6 δεύτερα συνδεόμενες κλάσεις. Η 1 και η 8 είναι πρώτα συνδεόμενες: Η 1 με την 8 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η 8 με την 1 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η 1 και η είναι δεύτερα συνδεόμενες: Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 1

23 Η 1 με την 8 και την 9 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις,3,4,,6,7 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Η με την 6 και την 7 είναι πρώτα συνδεόμενες, ενώ με τις 1,3,4,,8,9 είναι δεύτερα συνδεόμενες. Άρα προκύπτει ο πίνακας Σύμφωνα με τον τύπο pp jjjj = 0 3 QQ ii = TT ii 1 kk aa iiii BB jj ακολουθούν τα προσαρμοσμένα αθροίσματα 9 ii=1 QQ 1 = ( ) = QQ = 33.3 QQ 3 = 44.6 QQ 4 = 16.6 QQ = 6 QQ 6 = 36.3 QQ 7 = 66 QQ 8 = 1 QQ 9 = 4 Επίσης ορίζουμε SS 1 (QQ ii ) = SS QQ ss, ss και ii πρώτα συνδεόμενες και υπολογίζουμε SS 1 (QQ 1 ) = QQ 8 + QQ 9 = SS 1 (QQ ) = QQ 6 + QQ 7 = 10.3 SS 1 (QQ 3 ) = QQ 4 + QQ = 10.6 SS 1 (QQ 4 ) = QQ 3 + QQ = 18.6 SS 1 (QQ ) = QQ 3 + QQ 4 = 61. SS 1 (QQ 6 ) = QQ + QQ 7 = 99.3 SS 1 (QQ 7 ) = QQ + QQ 6 = 69.9 SS 1 (QQ 8 ) = QQ 1 + QQ 9 = 79.3 SS 1 (QQ 9 ) = QQ 1 + QQ 8 = 96.3 Στη συνέχεια βρίσκουμε το ΔΔ = 1 kk {(rrrr rr + λλ 1 )(rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ ) [rr(kk 1)(pp 1 1 pp 1 ) + λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 ]} = 1 4 {4 + 1} = 3 9 = 6 cc 1 = 1 kkδδ [λλ 1 (rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ )(λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 )] = 1 [0 + 0] = 0 18 cc = 1 kkδδ [λλ (rrrr rr + λλ ) + (λλ 1 λλ )(λλ pp 1 1 λλ 1 pp 1 )] = = 0.33 Σύμφωνα με τον τύπο 1 ττ ii = rr(kk 1) [(kk cc )QQ ii + (cc 1 cc )SS 1 (QQ ii ) Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα

24 η εκτίμηση των επιδράσεων των αγωγών είναι ττ 1 = ττ = 9.71 ττ 3 = 1.17 ττ 4 = [(3 0.33) 7,3 + (0 0.33) ] = (3 1) Επομένως, τα μέσα τετράγωνα είναι τα ττ = 1.36 ττ 6 = 11.9 ττ 7 = SSSSSSSS = ττ ii QQ ii = ii=1 9 SSSSSS = 1 kk yy.jj yy.. = 379 bbbb 9 9 SSSSSS = yy iiii yy.. bbbb = ii=1 Και καταλήγουμε στον πίνακα ANOVA. SSSSSS = SSSSSS SSSSSSSS SSSSSS = ττ 8 =.33 ττ 9 = 3.44 Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F Αγωγή * Μπλοκ Σφάλμα Ολική Ερώτημα (ii) FF 8,10;0.01 =.06 < FF 0 = Οπότε, οι αντιθέσεις είναι σημαντικές για την παραγωγή αυτοκινήτων σε στάθμη σημαντικότητας 1%. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 3

25 Άσκηση Ερώτημα (i) Έχουμε τον πίνακα Σταθμός εργασίας Σύνολο Σύνολο Πυκνότητα yy ii.. Αγωγών 11 AA = BB = 9 CC = 0 DD = 14 yy.1. = 11 BB = 6 AA = EE = CC = 3 19 yy.. = 3 33 CC = 1 DD = 9 AA = 0 EE = 7 17 yy.3. = DD = 8 EE = 8 BB = 10 AA = 4 30 yy.4. = 4 EE = 7 CC = 6 DD = 11 BB = yy.. = 7 Σύνολο yy..nn yy = 1 Θεωρούμε το σχεδιασμό ως έναν ΒΙΒ-σχεδιασμό με νν = bb =, rr = kk = 4 και λλ = 3. Η ολική μεταβολή είναι 4 SSSSSS = yy iiiiii yy NN = 7.7 Ο πίνακας αντιστοίχησης είναι ΑΑ = Τα μερικά αθροίσματα είναι τα Τα μέσα τετράγωνα είναι τα ii jj kk QQ 1 = 11 1 ( ) = QQ = 8 QQ 3 = 13.7 QQ 4 = 1. QQ = SSSSSSSS = kk λλλλ QQ ii = ii=1 Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 4

26 Και έχουμε τον πίνακα ANOVA SSSS ππππππππ όττττττττττ = 1. SSSS σσσσ.εεεεεεεεεε ίαααα = 31.7 SSSSSS = SSSSSS SSSSSSSS SSSS ππππππππ. SSSS σσσσ.εεεεεε. = 3.07 Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F Δέντρο ** Πυκνότητα 1. 4 Στ. Εργασίας Σφάλμα Ολική Ερώτημα (ii) Επειδή FF 4,8;0.0 = 3.84 < FF 0 = οι αγωγές είναι σημαντικές σε στάθμη σημαντικότητας %. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα

27 Άσκηση 1 Ερώτημα (i) Αρχικά, όπως μας ζητείται βρίσκουμε τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων AA = ( (1) + aa bb + aaaa cc + aaaa bbbb + aaaaaa dd + aaaa bbbb + aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.1 BB = ( (1) aa + bb + aaaa cc aaaa + bbbb + aaaaaa dd aaaa + bbbb + aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.10 CC = ( (1) aa bb aaaa + cc + aaaa + bbbb + aaaacc dd aaaa bbbb aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.9 DD = ( (1) aa bb aaaa cc aaaa bbbb aaaaaa + dd + aaaa + bbbb + aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0. Και στη συνέχεια τις αλληλεπιδράσεις αυτών AAAA = ((1) aa bb + aaaa + cc aaaa bbbb + aaaaaa + dd aaaa bbbb aabbbb + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = AAAA = ((1) aa + bb aaaa cc + aaaa bbbb + aaaaaa + dd aaaa + bbbb aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = AAAA = ((1) aa + bb aaaa + cc aaaa + bbbb aaaaaa dd + aaaa bbbb + aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.11 BBBB = ((1) + aa bb aaaa cc aaaa + bbbb + aaaaaa + dd + aaaa bbbb aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.08 BBBB = ((1) + aa bb aaaa + cc + aaaa bbbb aaaaaa dd aaaa + bbbb + aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.10 CCCC = ((1) + aa + bb + aaaa cc aaaa bbbb aaaaaa dd aaaa bbbb aaaaaa + cccc + aaaaaa + bbbbdd + aaaaaaaa)/8nn = AAAAAA = ( (1) + aa + bb aaaa + cc aaaa bbbb + aaaaaa dd + aaaa + bbbb aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = AAAAAA = ( (1) + aa + bb aaaa cc + aaaa + bbbb + aaaaaa + dd aaaa bbbb + aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.3 AAAAAA = ( (1) + aa + bb + aaaa + cc aaaa + bbbb aaaaaa + dd aaaa + bbbb aaaaaa cccc + aaaaaa bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = 0.3 BBBBBB = ( (1) aa + bb + aaaa + cc + aaaa bbbb aaaaaa + dd + aaaa bbbb aaaaaa cccc aaaaaa + bbbbbb + aaaaaaaa)/8nn = AAAAAAAA = ((1) aa bb + aaaa cc + aaaa + bbbb aaaaaa dd + aaaa + bbbb aaaaaa + cccc aaaaaa bbbbbb + aabbbbbb)/8nn = 0.14 Για τα δεδομένα λάβαμε τα αποτελέσματα του αθροίσματος των στηλών Ι και ΙΙ Επανάληψης. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 6

28 Ερώτημα (ii) Για την πραγματοποίηση της ανάλυσης διασποράς βρίσκουμε τα αθροίσματα τετραγώνων των κύριων επιδράσεων και των αλληλεπιδράσεων των παραγόντων SSSSSS = (CCCCCCCCCCCCCCtt AA ) = 0.38 SSSSSS = (CCCCCCCCCCCCCCtt BB ) = nn 16nn SSSSSS = SSSSSS = SSSSSSSS = 0.08 SSSSSSSS = SSSSSSSSSS = SSSSSSSS = SSSSSSSSSS = 0.98 SSSSSSSS = 0.08 SSSSSSSSSSSS = SSSSSSSS = SSSSSSSSSS = SSSSSSSS = 0.01 SSSSSSSSSS = SSSSSS = yy iiiih 16 = ii=1 h=1 yy SSSSSS = SSSSSS SSSSSS SSSSSSSSSSSS = Έπειτα, συντάσσουμε τον πίνακα ANOVA. Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσα Τετραγώνων Ελευθερίας Τετράγωνα F AA < 1 BB < 1 CC < 1 DD < 1 AAAA < 1 AAAA < 1 AAAA < 1 BBBB < 1 BBBB < 1 CCCC < 1 AAAAAA < 1 AAAAAA < 1 AAAAAA < 1 BBBBBB < 1 AAAAAAAA < 1 ΣΣΣΣάλλλλλλ ΟΟΟΟΟΟΟΟή Παρατηρούμε πως όλα τα F είναι μικρότερα της μονάδας, συνεπώς καμία επίδραση ή αλληλεπίδραση δεν είναι σημαντική Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 7

29 Ερώτημα (iii) yy = xx xx xx xx xx 1xx xx 1 xx xx 1xx xx xx xx xx xx 3 xx xx 1 xx xx xx 1xx xx xx 1xx 3 xx xx xx 3 xx xx 1xx xx 3 xx 4 Για xx 1 = 1, xx = xx 3 = xx 4 = 1, yy = ee 1 = =.11 ee = =.411 ee 3 = = Ομοίως βρίσκουμε και όλα τα άλλα σφάλματα και σχηματίζοντας το διάγραμμα κανονικής πιθανότητας βλέπουμε αν τα υπόλοιπα βρίσκονται κοντά στην ευθεία. Γραμμικά Μοντέλα & Σχεδιασμοί, Εργαστηριακές Ασκήσεις ΙΙΙ & IV Σελίδα 8

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα

Πίνακες Γραμμικά Συστήματα Πίνακες Γραμμικά Συστήματα 1. Είδη Πινάκων Οι πίνακες είναι ένα χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο, με εφαρμογές και διασυνδέσεις σε πολλές επιστήμες. Η σημαντικότερη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ (MSc) ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΣΕ60 Ακαδημαϊκό Έτος: 207-208 η Γραπτή Εργασία Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τρίτο πακέτο ασκήσεων

Τρίτο πακέτο ασκήσεων ΕΚΠΑ Ακαδημαϊκό έτος 018-019 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι Τρίτο πακέτο ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης Παρασκευή 18 Ιανουαρίου (στο μάθημα της κ. Κουραντή, του κ. Παπανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Λυκείου Α ΤΕΥΧΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Λυκείου Α ΤΕΥΧΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί για Μαθητές Λυκείου Α ΤΕΥΧΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Δάτης Καλάλη Αγαπητέ αναγνώστη, Πρόλογος Η ιδέα για τη συγγραφή αυτού του βιβλίου προέκυψε από τη διαπίστωση ότι πολλοί μαθητές λαμβάνουν μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Από τις (1) και (2) έχουμε:

Από τις (1) και (2) έχουμε: ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ 3 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ, ΟΠΤΙΚΕΣ, ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ» ΤΟΥ ΠΑΤΡΙΚ ΑΣΕΝΟΒ (OR STEVE HARRIS FOR MY FRIENDS FROM THE SHMMY FORUM) Θέμα ον : Έχουμε ιοντικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟΣ 1. Έστω ένας κλάδος όπου nn επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία. Η συνάρτηση κόστους της κάθε μιας επιχείρησης είναι CC() = 100 + 2. Η συνάρτηση ζήτησης του κλάδου είναι QQ DD =

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

A. Two Planes Waves, Same Frequency Visible light

A. Two Planes Waves, Same Frequency Visible light Interference 1 A. Two Planes Waves, Same Frequency EE 1 rr, tt = EE 0,1 cccccc αα 1 ωω tt αα 1 kk 1. rr + εε 1 EE 2 rr, tt = EE 0,2 cccccc αα 2 ωω tt αα 2 kk 2. rr + εε 2 ωω = 4.3 7.5 10 14 HHHH Visible

Διαβάστε περισσότερα

Προβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής

Προβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής Προβλέψεις Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Προβλέψεις: Εισαγωγή Γιατί προβλέψεις; Έγκαιρος προγραμματισμός και λήψη αποφάσεων Προβλέψεις τίνος; Τμήμα πωλήσεων (μάρκετινγκ) Ζήτηση νέων και υφιστάμενων σειρών προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω tt 1, tt 2,, tt νν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #7: Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μαθηματικές Εκφράσεις Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 90 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. (αα 1) β. (ββ 3) γ. (γγ ) δ. (δδ 5) Α3. α.

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Παραδείγματος 1. Διάγραμμα ροής διεργασίας. Εκρόφηση χλωριούχου βινυλίου από νερό στους 25 C και 850 mmhg. Είσοδος υγρού.

Λύση Παραδείγματος 1. Διάγραμμα ροής διεργασίας. Εκρόφηση χλωριούχου βινυλίου από νερό στους 25 C και 850 mmhg. Είσοδος υγρού. Παράδειγμα 1 Μια εγκατάσταση καθαρισμού νερού απομακρύνει χλωριούχο βινύλιο (vinyl cloride) από μολυσμένα υπόγεια ύδατα σε θερμοκρασία 25 C και πίεση 850 mmhg χρησιμοποιώντας στήλη εκρόφησης κατ αντιρροή.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α.1 α) ΣΩΣΤΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption

Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Associate. Prof. M. Krokida School of Chemical Engineering National Technical University of Athens ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΕΡΙΩΝ Gas Absorption Παράγοντες που Επηρεάζουν Διεργασία Απορρόφησης Συνήθως δίνονται: Ρυθμός

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Υποθέσεις/Συμβολισμός Ορίζοντας μίας περιόδου Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #8: Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ημερομηνία: Σάββατο 4 Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α. β Α. γ Α3. γ Α4. γ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α5. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. β. Άπο τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Α' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 12/01/2019 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 12: To φως. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 12: To φως. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 12: To φως Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στο φως και στη δυική φύση του (κυματική, σωματιδιακή) Ορισμός ηλεκτρομαγνητισμού, ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

x, x γνησίως μονότονη. (σελ. 35 σχολικό βιβλίο)

x, x γνησίως μονότονη. (σελ. 35 σχολικό βιβλίο) ΘΕΜΑ Α: A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 99 A.. α) Ψ, β) Η συνάρτηση f ( ) = είναι - αλλά δεν είναι, > γνησίως μονότονη. (σελ. 5 σχολικό βιβλίο) A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 6 A.4 α)λάθος β)λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και

Διαβάστε περισσότερα

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ B

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ B ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ B 1 ΑΤΕΛΗΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ o Θα κάνουμε τις εξής υποθέσεις: Υπάρχει μια υπηρεσία τηλεπικοινωνίας (για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α β χ δ ε φ γ η ι ϕ κ λ µ ν ο π θ ρ σ τ υ ϖ ω ξ ψ ζ αα ββ χχ δδ εε φφ γγ ηη ιι ϕϕ κκ λλ µµ νν οο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο. Αριστείδης Δοκουμετζίδης. Ύλη. Διανύσματα. Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα. Διαφορικές εξισώσεις 1 ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής Α εξάμηνο Αριστείδης Δοκουμετζίδης Ύλη Διανύσματα Πίνακες Ορίζουσες - Συστήματα Διαφορικές εξισώσεις ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μία φυσική ποσότητα μπορεί να αναπαρίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Πάμε Ολυμπιάδα Φυσικής!

Πάμε Ολυμπιάδα Φυσικής! Πάμε Ολυμπιάδα Φυσικής! Α ΤΕΥΧΟΣ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δάτης Καλάλη Επιμέλεια: Στυλιανός Φωτιάδης 1 Πρόλογος Η Φυσική, μία από τις παλαιότερες επιστήμες που υπάρχουν σήμερα, η ιστορία της οποίας ξεκίνησε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες συντεταγμένες

Γενικευμένες συντεταγμένες Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων:

Διαβάστε περισσότερα

Smart Shop uu ss ii nn g g RR FF ii dd Παύλος ΚΚ ατ σσ αρ όό ς Μ Μ MM Ε Ε ΞΞ ΥΥ ΠΠ ΝΝ ΟΟ ΜΜ ΑΑ ΓΓ ΑΑ ΖΖ Ι Ι ΡΡ ΟΟ ΥΥ ΧΧ ΙΙ ΣΣ ΜΜ ΟΟ ΥΥ E E TT HH N N ΧΧ ΡΡ ΗΗ ΣΣ ΗΗ TT OO Y Y RR FF II DD Απευθύνεται σσ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Ξενοφών - Ορφέας Καρούντζος Επιβλέπων καθηγητής: Γεώργιος Ν. Φώτης Αθήνα Οκτώβριος 2017

Ξενοφών - Ορφέας Καρούντζος Επιβλέπων καθηγητής: Γεώργιος Ν. Φώτης Αθήνα Οκτώβριος 2017 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ & ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΩΡΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΟΛΕΙΣ: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 14 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. ΛΑΘΟΣ Α2. ΛΑΘΟΣ Α3. ΛΑΘΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

x y max(x))

x y max(x)) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Electronic Analysis of CMOS Logic Gates

Electronic Analysis of CMOS Logic Gates Electronic Analysis of CMOS Logic Gates Dae Hyun Kim EECS Washington State University References John P. Uyemura, Introduction to VLSI Circuits and Systems, 2002. Chapter 7 Goal Understand how to perform

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 2 α x b Παραγοντικό Πείραμα (1) Όταν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση (στη μεταβλητή απόφασης) δύο παραγόντων, έστω Α και Β, με α στάθμες ο Α και b στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

Access Control Encryption Enforcing Information Flow with Cryptography

Access Control Encryption Enforcing Information Flow with Cryptography Access Control Encryption Enforcing Information Flow with Cryptography Ivan Damgård, Helene Haagh, and Claudio Orlandi http://eprint.iacr.org/2016/106 Outline Access Control Encryption Motivation Definition

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Εξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #13: Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17

Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς 16 Πρόλογος 17 1 Εισαγωγή 21 1.1 Γιατί χρησιμοποιούμε τη στατιστική; 21 1.2 Τι είναι η στατιστική; 22 1.3 Περισσότερα για την επαγωγική στατιστική 23 1.4 Τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Θέμα εξαμήνου: Διαχείριση ταμιευτήρων πολλαπλού σκοπού Χ. Μακρόπουλος, Αναπ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 3: Μηχανικές δυνάμεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 3: Μηχανικές δυνάμεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 3: Μηχανικές δυνάμεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Περιγραφή και παρουσίαση μηχανικών δυνάμεων Βαρύτητα Τριβή (στατική και ολίσθησης) Τάση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 6: Έργο και κινητική ενέργεια Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση και ορισμός της έννοιας του έργου Κατανόηση της κινητικής ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

What happens when two or more waves overlap in a certain region of space at the same time?

What happens when two or more waves overlap in a certain region of space at the same time? Wave Superposition What happens when two or more waves overlap in a certain region of space at the same time? To find the resulting wave according to the principle of superposition we should sum the fields

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο Α. Για την ταχύτητα υυ και την επιτάχυνση αα ενός κινούμενου σώματος δίνονται οι ακόλουθοι συνδυασμοί τιμών:

Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο Α. Για την ταχύτητα υυ και την επιτάχυνση αα ενός κινούμενου σώματος δίνονται οι ακόλουθοι συνδυασμοί τιμών: Α Λυκείου 7 Μαρτίου 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΠΑΡΑΓΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ` ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΝ ΕΞΙΣΣΕΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΓΟΥΣ ΔΙΠΛΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μ.Δ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΟΛΓΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

EE434 ASIC & Digital Systems Arithmetic Circuits

EE434 ASIC & Digital Systems Arithmetic Circuits EE434 ASIC & Digital Systems Arithmetic Circuits Spring 25 Dae Hyun Kim daehyun@eecs.wsu.edu Arithmetic Circuits What we will learn Adders Basic High-speed 2 Adder -bit adder SSSSSS = AA BB CCCC CCCC =

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτηµα 2. Κατεύθυνση µεταβολής γονιµότητας. Πειραµατικός Αγρός. Επεµβάσεις: Α1Β1:1, Α1Β2:2, Α1Β3:3, Α2Β1:4, Α2Β2:5 και Α2Β3:6

Ζήτηµα 2. Κατεύθυνση µεταβολής γονιµότητας. Πειραµατικός Αγρός. Επεµβάσεις: Α1Β1:1, Α1Β2:2, Α1Β3:3, Α2Β1:4, Α2Β2:5 και Α2Β3:6 Ζήτηµα. ίνεται το παρακάτω φύλλο δεδοµένων (πείραµα 2 2 πλήρως τυχαιοποιηµένο-crd, 3 επαναλήψεις ανά επέµβαση). Να υπολογιστούν οι µέσοι όροι για τον Παράγοντα Α (δύο επίπεδα Α και Α2), για τον Παράγοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

AA ,,2211((11)):: AAppppll..MMaatthh..JJ..CChhiinneesseeUUnniivv..SSeerr..AA 11,, 22 ((11..,, ;; 22..,, )) :

AA ,,2211((11)):: AAppppll..MMaatthh..JJ..CChhiinneesseeUUnniivv..SSeerr..AA 11,, 22 ((11..,, ;; 22..,, )) : AA 000066,,::4444--4488 AAppppll..MMaahh..JJ..CChhiinneesseeUUnniivv..SSeerr..AA,,..,, 00770000;;..,, 00770000 ::,, RRiiccccaaii,,.. :: ;; ;; ;; RRiiccccaaii ::OO7755..88 ::AA ::000000--44444400006600--00004444--0055

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών - Υδραυλικών Θερμικών Συστημάτων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών - Ηλεκτρικών

Διαβάστε περισσότερα

Óå Ýíá ó ïëåßï óôçí ÁèÞíá

Óå Ýíá ó ïëåßï óôçí ÁèÞíá 8 Eíüôçôá 1 Óå Ýíá ó ïëåßï óôçí ÁèÞíá speak about everyday activities school life ôá åëëçíéêü êé åìåßò... Παιδιά, αύριο θα είστε έτοιμοι αργότερα, γύρω στις δέκα. Στις έντεκα μας περιμένει η πρώτη τάξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 10: Σύνθετη κίνηση Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Ανάλυση σύνθετων κινήσεων (υλικών σημείων και σωμάτων) σε μεταφορική και περιστροφική Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Relativistic Kinematics. Chapter 1 of Modern Problems in Classical Electrodynamics by Charles Brau

Relativistic Kinematics. Chapter 1 of Modern Problems in Classical Electrodynamics by Charles Brau Relativistic Kinematics Chapter of Modern Problems in Classical Electrodynamics by Charles Brau Spring 28 Relativistic Formalism of Electrodynamics Special relativity Lorentz transformations Electromagnetic

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Γ Λυκείου Σελ. 1 από 10 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Γ Λυκείου Σελ. 1 από 10 ΟΔΗΓΙΕΣ: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ 1 Ο ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Οι απαντήσεις σε όλα τα ερωτήματα θα πρέπει να αναγραφούν στο Φύλλο Απαντήσεων που θα σας δοθεί χωριστά από τις εκφωνήσεις.. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε φύλλα Α4 ή σε τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 8: Μαγνητισμός. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 8: Μαγνητισμός. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 8: Μαγνητισμός Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εξοικείωση με τις έννοιες του μαγνητισμού και του μαγνητικού πεδίου Κινούμενο φορτίο σε μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 11: Ταλαντώσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 11: Ταλαντώσεις. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 11: Ταλαντώσεις Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή και ερμηνεία των ταλαντώσεων Διαφορική εξίσωση κι η λύση της στην περίπτωση του απλού

Διαβάστε περισσότερα

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ (ECΟ465) ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΜΕΡΟΣ Α 1 o Ο κλάδος των τηλεπικοινωνιών (τηλέφωνο, fax, e-mail, υπηρεσίες μηνυμάτων, κ.τ.λ) αποτελεί το πιο απλό και φυσικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις. ΘΕΜΑ Α A1. Απόδειξη σελ. 144 Α2. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 162 Α4. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Λύσεις. ΘΕΜΑ Α A1. Απόδειξη σελ. 144 Α2. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 162 Α4. i. Λ ii. Σ iii. Λ iv. Σ v. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΡΕΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σελ. 44 Α. Α. ii. B. iv A3. Ορισμός σελ. 6 Α4. i. Λ ii. Σ iii.

Διαβάστε περισσότερα

οδηγός εταιρικής ταυτότητας

οδηγός εταιρικής ταυτότητας πρόλογος στοιχεία λογοτύπου λογότυπο [ σχεδιασμός χρήση τοποθέτηση εταιρικά χρώματα χρήση σε μη εταιρικά χρώματα χρήση σε φωτογραφίες λάθος χρήση ] χρωματικός κώδικας [ παλέτα χρήση λάθος χρήση χρώμα και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA 7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA Παράδειγμα Μετρήσεις της συγκέντρωσης του strodum (mg/ml) σε πέντε υδάτινες περιοχές (Α,Β,C,D,Ε). Α Β C D Ε 8, 39,6 46,3 4,0 56,3 33, 40,8 4, 44, 54, 36,4 37,9 43,5 46,4 59,4

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική εργασία: ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ψαθάς Νικόλαος :4950 Επιβλέπων καθηγητής : Σεργιάδης

Διαβάστε περισσότερα