17 Optika. 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj. 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "17 Optika. 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj. 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej"

Transcript

1 Optika V tejto časti sa budeme zaoberať šírením svetla v optických sústavách. Svetlo je elektromagnetické žiarenie, ktorého spektrum zahrňuje veľmi širokú oblasť vlnových dĺžok od γ-žiarenia až po rozhlasové vlny. V oblasti vlnových dĺžok meraných vo vákuu od 100 nm až k 1 mm označujeme elektromagnetické žiarenie ako optické žiarenie. Krátkovlnnú časť tejto oblasti (od 100nm do 380nm) voláme ultrafialovým žiarením (UV), dlhovlnnú oblasť (od 780 nm do 1 mm) infračerveným žiarením (IR). Oko je citlivé len na úzky interval vlnových dĺžok od 380 nm do 780 nm. Elektromagnetické žiarenie v tejto oblasti voláme viditeľným svetlom. Šírenie elektromagnetického žiarenia popisujeme pomocou vlnovej rovnice, ktorej riešenie sú vlny šíriace sa v priestore. Najjednoduchší prípad je postupná vlna v smere osi x: y(x,t) = A sin[2π( t T x λ + ϕ)], kde A je amplitúda, T perióda, λ vlnová dĺžka, v = λ/t rýchlosť a ϕ je fáza vlny. Pre jednoduchšie pochopenie šírenia sa vlnenia v priestore ho popisujeme pomocou vlnoplôch. Vlnoplochou rozumieme geometrický útvar bodov daného vlnenia, ktoré majú rovnakú fázu. Šírenie vlnoplôch v priestore sa riadi Huygensovým 1 princípom: Každý bod vlnoplochy predstavuje nový zdroj vlnenia, z ktorého vychádzajú elementárne guľové plochy, ktoré keď poskladáme, dostaneme novú posunutú vlnoplochu. V našom prípade sa budeme zaoberať len rovinnými vlnoplochami. Veľmi dôležitým parametrom pri charakteristike optického prostredia je index lomu. Index lomu závisí od vlnovej dĺžky svetla. Pre svetlo určitej vlnovej dĺžky λ definujeme index lomu n ako pomer rýchlosti svetla vo 1 CHRISTIAN HUYGENS ( ) holandský matematik a fyzik, zakladateľ vlnovej optiky. Pozoroval planéty pomocu vlastného ďalekohľadu. V roku 1690 vydal v Leidene Traité de la lumiére, kde v 6 kapitolách podal úvahy o podstate svetla.

2 260 Optika vákuu c k rýchlosti svetla v λ v danom prostredí: n = c v λ. (17.1) Podľa toho, ako sa index lomu v prostredí mení, rozdeľujeme prostredia na niekoľko skupín: rovnorodé (izotropné), nerovnorodé a anizotrópne prostredie. Keď máme dve prostredia s rôznym indexom lomu, prostredie s menším indexom lomu nazývame opticky redšie prostredie a prostredie s väčším indexom lomu ako opticky hustejšie prostredie. vlnoplocha ` Svetelný lúè Obrázok 17.1: Odraz vlnoplochy - svetelného lúča od zrkadla. Pomocou obrázku 17.1 si vysvetlíme odraz rovinnej vlnoplochy od rovinného zrkadla pomocou Huygensovho princípu. Na obrázku je znázornená rovinná vlnoplocha, ktorá dopadá šikmo na rovinné zrkadlo pod uhlom α od kolmice. Po dopade tejto vlny na zrkadlo nastáva odraz daného vlnenia. Vlnoplochu odrážajúceho sa rovinného vlnenia môžeme rozdeliť na dve časti, jedna časť vlnoplochy už dopadla na zrkadlo, kým druhá časť je ešte v priestore pred ním. Tá časť, čo už dopadla, sa správa ako nový zdroj vlnenia, vznikajú polguľové vlnoplochy. Ich poskladaním vzniká nová odrazená vlnoplocha, ktorá sa šíri opätovne do priestoru. Druhá časť postupne dopadá na zrkadlo a po dopade nastáva jej odraz už popísaným spôsobom. Týmto postupom prebehne postupne odraz celého rovinného vlnenia. Kvôli zjednodušeniu znázorňovania šírenia sa vlnenia, vlnoplochy v prostredí (optickými sústavami) zavádzame pojem svetelný lúč. Svetelný lúč má smer šírenia sa elektromagnetického vlnenia a má zhodný smer s normálou na vlnoplochu (obr. 17.1).

3 Základné zákony geometrickej optiky Základné zákony geometrickej optiky Prvé poznatky o šírení svetla sa postupne dopĺňali novými a formulovali sa v zákonoch, ktoré určovali šírenie svetla pri rôznych podmienkach. Experimenty dokázali, že svetlo sa v rovnorodom prostredí šíri priamočiaro, bol objavený zákon odrazu a lomu a zistilo sa, že optické deje sú vratné. V geometrickej optike sa podarilo P. Fermatovi 2 nájsť súvislosť medzi jednotlivými zákonmi a princípmi formuláciou princípu minimálneho času. Podľa tohto princípu si svetlo zo všetkých možných dráh spájajúcich dva body vyberá vždy takú dráhu, ktorú prejde za najkratší čas. kolmica na rozhranie vzduch sklo Obrázok 17.2: Lom svetelného lúča na rozhraní dvoch prostredí. Na základe procesov čo boli popísané, sa dajú formulovať štyri zákony geometrickej optiky. Tieto zákony možno formulovať aj bez využitia akejkoľvek predstavy o fyzikálnej povahe svetla. Sú to: 1. Zákon priamočiareho šírenia sa svetla. Vo vákuu a rovnorodom prostredí sa svetlo šíri priamočiaro a lúče sa znázorňujú ako priamky - svetelný lúč. 2. Zákon nezávislosti svetelných lúčov. Tým istým bodom priestoru môže súčasne prechádzať rôznym smerom viacero svetelných lúčov a zároveň sa neovplyvňujú. 3. Zákon odrazu svetla. Kolmica na rozhranie dvoch prostredí určuje s dopadajúcim lúčom rovinu dopadu. Ak dopadajúci lúč dopadá pod 2 PIERRE de FERMAT ( ) bol francúzsky matematik. Zaslúžil sa o rozvoj matematiky v niekoľkých oblastiach: teória čísel, teória pravdepodobnosti i matematická analýza.

4 262 Optika uhlom α meraným od kolmice (obr. 17.1), potom lúč po odraze zostáva v rovine dopadu a zviera s kolmicou na rozhranie uhol α rovný uhlu α α = α. (17.2) 4. Zákon lomu. Lúč po dopade na rozhranie dvoch prostredí sa odráža a súčasne aj láme (obr. 17.2). Lomený lúč zotrváva v rovine dopadu, pričom zmení smer svojho šírenia a zviera s kolmicou uhol β. Medzi uhlom dopadu α a uhlom lomu β platí Snellov 3 zákon: kde n 1 a n 2 sú indexy lomu daných prostredí. sin α sin β = n 2 n 1, (17.3) Pri prechode svetelného lúča do opticky hustejšieho prostredia (n 2 > n 1 ) nastáva lom ku kolmici β < α. Ak však svetlo prechádza z prostredia opticky hustejšieho (sklo, voda) do prostredia opticky redšieho (vzduch, vákuum), nastáva lom od kolmice a platí β > α. Je zrejmé, že pri určitom medznom uhle dopadu α M bude uhol β = 90 o a vtedy sa lomený lúč bude šíriť rozhraním. Pre všetky uhly α > α M nastáva potom už len totálny odraz Optické zobrazovanie Zákony geometrickej optiky rozpísané v predchádzajúcej kapitole sú základom optického zobrazovania. Hlavnou úlohou optického zobrazovania je spraviť predmety viditeľnými na inom mieste s dobrou viditeľnosťou a ostrosťou obrazu. Útvar, ktorý zobrazujeme, sa nazýva všeobecne predmet - A. Medzi najjednoduchšie typy predmetu patrí (svetelný) bod alebo priamka. Pri zobrazovaní sa využíva to, že zväzok svetelných lúčov, ktoré sa pretínajú v jednom bode predmetu, vstupujú do optickej sústavy S, ktorou prechádzajú, pričom jej vplyvom nastáva ich lom prípadne odraz (obr. 17.3). Zväzok svetelných lúčov sa teda transformuje na iný zväzok s vrcholom v bode A, ktorý voláme 3 WILLEBRORD SNELLIUS ( ) bol nemecký fyzik, astronóm, matematik i prekladateľ. Na základe veľkého počtu experimentov a štúdia prác (napr. Johanna Keplera) dospel okolo roku 1621 k objavu zákona lomu svetelných lúčov. Pracoval tiež na geodetických prácach, pri ktorých používal triangulačnú sieť tak dôsledne a novátorsky, že dostal prívlastok otec triangulácie.

5 Optické zobrazovanie 263 obrazom. Obrazom svetelného alebo osvetleného predmetu je súhrn obrazov jednotlivých bodov predmetu, pričom vytvárajú výsledný obraz, napr. priamku. Priestor, v ktorom sa nachádza vzhľadom na optickú sústavu predmet, sa volá predmetový priestor a v obrazovom priestore vzniká obraz. V prípade, že sa lúče po prechode optickou sústavu pretínajú, tak hovoríme o skutočnom (reálnom) obraze (obr. 17.3). Tento obraz možno zaznamenať na tienidle. Pokiaľ sú lúče po prechode optickou sústavou rozbiehavé a obraz môžeme skonštruovať len mysleným predĺžením daných lúčov, hovoríme o zdanlivom (neskutočnom, virtuálnom) obraze (obr. 17.7). A y optická os S A y Obrázok 17.3: Charakteristické veličiny optického zobrazovania. Lámavé plochy optických sústav majú prevažne guľový alebo rovinný tvar. Guľové plochy sú usporiadané tak, že ich stred krivosti leží na jedinej priamke pomenovanej optická os. Rovinné plochy bývajú k optickej osi kolmé. Takejto sústave potom hovoríme centrovaná sústava. Každá optická sústava zobrazuje s určitým zväčšením Z. Na obrázku 17.3 vidíme, že priamka dĺžky y kolmá k optickej osi sa zobrazuje znovu ako priamka dĺžky y, znovu kolmo k danej osi. Podiel Z = y y (17.4) voláme priečnym zväčšením Z. Ak je Z > 1, hovoríme o zväčšenom obraze (obr. 17.3), v príprade Z < 1, je obraz zmenšený. Ak je obraz nad optickou osou, má y kladné znamienko a v príprade obrazu pod optickou osou má y záporné znamienko (znamienková konvencia). Ak Z > 0, majú priamky y, y rovnaký smer - vzniká priamy obraz a v prípade Z < 0 je obraz prevrátený (obr. 17.3).

6 1 264 Optika 17.3 Zobrazovanie rovinným zrkadlom Zrkadlo je povrch, ktorý odráža zväzok svetelných lúčov prakticky do jedného smeru. Iné povrchy ich rozptyľujú do všetkých možných smerov alebo ich pohlcujú. Leštený povrch kovu sa správa ako zrkadlo, betónová stena však nie. Najjednoduchšie je rovinné zrkadlo. Rovinné zrkadlá používané v bežnom živote majú zrkadliacu vrstvu obyčajne na zadnej stene sklennej dosky. A 1 / a a A / Obrázok 17.4: Zobrazovanie pomocou rovinného zrkadla. Majme bod A pred rovinným zrkadlom, z ktorého vychádza rozbiehavý zväzok lúčov (obr. 17.4). Lúče sa po dopade na zrkadlo odrážajú podľa zákona odrazu. Keďže aj odrazené lúče sú rozbiehavé, pozorovateľovi sa zdá, že lúče vychádzajú spoza zrkadla z jedného bodu A. Polohu tohto bodu A vieme nájsť konštrukčne len mysleným predĺžením odrazených lúčov na základe uhla dopadu a matematických pravidiel. A je zdanlivý obraz bodu A. Je to bod súmerne združený s bodom A vzhľadom na rovinu zrkadla. Ak je predmet vzdialený od zrkadla vo vzdialenosti a, potom obraz je vo vzdialenosti a, pričom z obrázku 17.4 je zrejmé, že a = a. Keďže kolmosť sa pri zobrazovaní zachováva, môžeme takýmto postupom zostrojiť obraz ľubovoľných bodov, alebo celého predmetu. Vzniknutý obraz predmetu vytvorený rovinným zrkadlom je neskutočný, rovnako veľký ako predmet a súmerne združený s predmetom podľa roviny zrkadla. Použitie rovinných zrkadiel je veľmi rozšírené v domácnostiach, ale nájdu uplatnenie aj v iných odboroch (meracie prístroje, astronomické zariadenia, periskop a pod.).

7 Zobrazovanie pomocou guľovej plochy Zobrazovanie pomocou guľovej plochy Pri zobrazovaní využívame hlavne paraxiálny priestor, v ktorom sú paraxiálne lúče v blízkosti optickej osi. V paraxiálnom zobrazení sa bod zobrazí ako bod, priamka ako priamka a rovina ako rovina. predmet F (a) C obraz konkálne V predmet konvexné V obraz F (b) C Obrázok 17.5: Zobrazovanie pomocou guľového zrkadla. Zrkadliacu plochu guľových zrkadiel tvorí časť pokovenej guľovej plochy (guľový vrchlík). Keď svetlo odráža vnútorná plocha gule, hovoríme o dutom zrkadle (konkávne), keď vonkajšia plocha, vzniká vypuklé zrkadlo (konvexné). Stred guľovej plochy (obr. 17.5) je stred krivosti zrkadla - C a polomer guľovej plochy je polomer krivosti - r = CV, kde V je vrchol zrkadla. V strede vzdialenosti medzi vrcholom V a stredom krivosti C sa nachádza ohnisko F. Vzdialenosť ohniska F od vrcholu zrkadla V sa označuje f a nazýva sa ohnisková vzdialenosť. Pri konštrukcii obrazu predmetu na guľovom zrkadle (obr. 17.5) využívame vlastnosti nasledujúcich lúčov : 1. Lúč prechádzajúci stredom krivosti dopadá na zrkadliacu plochu kolmo a odráža sa do tej istej priamky, len v opačnej orientácii. 2. Lúč rovnobežný s optickou osou zrkadla sa na zrkadliacej ploche odrazí do ohniska. 3. Lúč smerujúci do ohniska sa od zrkadliacej plochy odrazí rovnobežne s optickou osou. Pri riešení úloh platí vzťah, ktorý nazývame zobrazovacia rovnica pre guľové zrkadlá: 1 a + 1 a = 2 r, (17.5)

8 266 Optika kde a je vzdialenosť predmetu od vrcholu guľového zrkadla, a je vzdialenosť obrazu od vrcholu a r je polomer krivosti guľového zrkadla - plochy. Guľové zrkadlá sa používajú v praxi pri zobrazovaní a v meracích prístrojoch. Duté zrkadlá sa používajú v medicíne, na osvetľovanie v mikroskopoch a zrkadlových ďalekohľadoch. Zväzok lúčov vychádzajúci z ohniska sa odráža ako zväzok lúčov rovnobežných s optickou osou. Keď umiestnime v ohnisku takéhoto zrkadla bodový zdroj svetla, zrkadlo odráža rovnobežný zväzok lúčov, pričom so vzdialenosťou ubúda svetla len nepatrne. To je podstata reflektorov, ktoré sa používajú v motorových vozidlách, na hľadanie i vo vreckových lampách Zobrazovanie pomocou šošoviek Šošovka je vyrobená z opticky číreho prostredia s dvoma lámavými plochami, pričom ich centrálne osi splývajú - centrálna os šosovky. Rozoznávame dva druhy šošoviek: spojky a rozptylky. Svetlo dopadá na povrch šošovky, kde sa láme, ďalej prechádza šošovkou a znova sa láme na rozhraní šošovky a vzduchu. Pri každom lome sa môže meniť smer chodu svetla. Ak máme šošovku s dvoma guľovými plochami s polomerom r 1 a r 2, indexe lomu n a je vo vzduchu, tak jej ohnisková vzdialenosť je určená rovnicou ( 1 1 = (n 1) + 1 ). (17.6) f r 1 r 2 Spojka má polomer krivosti r 1 (r 2 ) kladný a jej predná plocha šošovky je vypuklá do predmetového (obrazového) priestoru. Ak je predná plocha šošovky dutá v predmetovom (obrazovom) priestore, potom je polomer krivosti r 1 (r 2 ) záporný a ide o rozptylku. Pre polomer krivosti r 2 platí to isté s tým rozdielom, že ide o plochu v obrazovom priestore. V klasickom prípade zobrazovania šošovkami používame tenkú šošovku, zanedbávame rozmer šošovky, na ktorej nastáva len jeden lom podľa stanovených pravidiel. Veličina ϕ = 1 f sa volá optická mohutnosť šošovky. Jej jednotkou je dioptria, je to optická mohutnosť šošovky s ohniskovou vzdialenosťou 1 m. Ohnisková vzdialenosť aj dioptria majú kladnú hodnotu pre spojky a zápornú pre rozptylky. Zobrazenie šošovkou sa riadi zobrazovacou rovnicou tenkej šošovky: 1 a + 1 a = 1 f (17.7)

9 Zobrazovanie pomocou šošoviek 267 kde a je predmetová vzdialenosť, a obrazová vzdialenosť a f je ohnisková vzdialenosť (obr. 17.6). Pre jednotlivé parametre zobrazovacej rovnice platí znamienková konvencia. Číselnú hodnota a dosadzujeme do zobrazovacej rovnice kladnú, ak sa predmet nachádza v predmetovom priestore. Číselná hodnota a má kladné znamienko, ak je obraz v obrazovom priestore a záporné, ak je obraz v predmetovom priestore. y F / F y / a f f / a / Obrázok 17.6: Zobrazovanie pomocou spojky. Určiť polohu a veľkosť obrazu môžeme pri tenkej šošovke pomocou lúčového obrazca na obrázku 17.6 ako priesečník špeciálnych lúčov vyslaných z predmetového bodu (koniec sviečky). Špeciálne lúče sú: 1. lúč šíriaci sa od predmetu rovnobežne s optickou osou sa po prechode šošovkou láme tak, že prechádza obrazovým ohniskom F, 2. lúč idúci od predmetu do predmetového ohniska F sa po prechode šošovkou láme tak, že ide rovnobežne s optickou osou, 3. lúč mieriaci od predmetu do stredu šošovky sa neláme. Zo zobrazovacej rovnice vyplýva, že keď sa a zväčšuje, zmenšuje sa a. Pre a dopadajú na šošovku zväzky rovnobežné s osou. Tieto sa po lome v šošovke zbiehajú v obrazovom ohnisku a a = f. Keď a = f, tak a, takže svetelné zväzky sú po lome rovnobežné s optickou osou a obraz sa nachádza v nekonečne. Pri zobrazovaní pomocou spojky rozlišujeme tri prípady typu obrazu 1. ak a > r 2, obraz je skutočný, prevrátený a zmenšený, 2. ak r 2 > a > f, obraz je skutočný, prevrátený a zväčšený,

10 268 Optika 3. ak a < f, obraz je neskutočný, priamy a zmenšený. V prípade rozptylky (obr. 17.7) je to jednoduchšie, lebo typ obrazu neskutočný, priamy a zmenšený nezávislý od polohy predmetu. 1 O 2 I F F Obrázok 17.7: Zobrazovanie pomocou rozptylky Základné optické prístroje Ľudské oko a videnie Teraz sa budeme zaoberať okom nie z biologického, ale z fyzikálneho hľadiska. Oko je vynikajúci optický prístroj, ktorý pomocou očnej šošovky vytvára na citlivej sietnici zmenšený, skutočný a prevrátený obraz. Pomocou očného nervu sa tieto informácie prenášajú do mozgu, kde však skúsenosťou získanou skoro po narodení vnímame obraz ako priamy (neprevrátený). Očná šošovka je dvojvypuklá spojná sústava a jej vzdialenosť od sietnice je stála. Na rôzne vzdialené predmety sa zaostruje zmenou jej optickej mohutnosti, čo nazývame akomodácia oka. Akomodačná schopnosť zdravého oka má isté hranice. Najbližší bod, ktorý sa ostro zobrazí na sietnici, voláme blízky bod a najvzdialenejší bod, ktorý sa ostro zobrazí na sietnici, voláme ďaleký bod. Vzdialenosť, z ktorej môžeme predmety dlhodobo pozorovať bez väčšej únavy je 250mm a nazývame ju konvenčná vzdialenosť l k. Množstvo svetla, ktoré dopadá na sietnicu reguluje dúhovka, ktorá slúži ako clona a plynulo sa mení podľa intenzity dopadajúceho svetla. Zadná stena oka je bohato zásobená živinami z krvných vlásočníc a je pokrytá sietnicou. Na sietnici sa nachádzajú bunky citlivé na svetlo tyčinky (rozlišujú intenzitu svetla) a čapíky (rozlišujú farby). Veľkosť obrazu na sietnici závisí od veľkosti zorného uhla τ, ktorý zvierajú svetelné lúče prechádzajúce optickým stredom šošovky a okrajmi predmetu (obr. 17.8).

11 Základné optické prístroje 269 y l k Obrázok 17.8: Pozorovanie pomocou oka. Keďže zrakový vnem oka sa zachováva asi 0,1s, človek vníma deje okolo seba ako plynulý dej. Táto vlastnosť sa nazýva zotrvačnosť oka a je využitá pri premietaní v kine a v televízii. Ak je tvar oka zmenený, nevytvorí sa ostrý obraz na sietnici, ale napríklad pred sietnicou. Hovoríme, že oko je krátkozraké. Aby takéto oko videlo ostro aj vzdialené predmety, treba zmenšiť jeho optickú mohutnosť, čo sa dá dosiahnuť vhodnou rozptylkou. Ak sa ostrý obraz predmetov vytvára za sietnicou, oko je ďalekozraké. Optická mohutnosť takéhoto oka je malá a jej zväčšenie dosiahneme spojnou šošovkou (spojkou). y` F y l k Obrázok 17.9: Zväčšenie pomocou lupy. Lupa Veľkosť obrazu predmetu na sietnici oka je určený zorným uhlom (τ, obr. 17.8), pod ktorým vidíme predmet. Priblížením pozorovaného predmetu k oku zväčšujeme i tento uhol, čím dosahujeme lepšie pozorovateľné detaily. Zo skúsenosti vieme, že oko je najmenej namáhané ak je predmet v konvenčnej vzdialenosti - l k = 25cm. Ak zmenšujeme vzdialenosť oko - predmet, dosiahneme blízkeho bodu a v tomto prípade je maximálne rozlíšenie. Ak predmet ďalej približujeme k oku, zväčšuje sa zorný uhol, ale predmet sa stáva neostrý, lebo oko už nie je schopné akomodovať sa. Lepšie rozlíšenie detailov predmetu dosiahneme pomocou lupy. Lupa je spojná šošovka s ohniskovou vzdialenosťou menšou ako je konvenčná vzdia-

12 270 Optika lenosť. Vhodnou polohou šošovky a predmetu dosiahneme (obr. 17.9), že šošovka vytvorí neskutočný obraz vo vzdialenosti, v ktorej je oko schopné vytvoriť ostrý obraz. V prípade, že predmet pozorujeme v konvenčnej vzdialenosti pod zorným uhlom (< 60 ), oko už ho nerozlišuje. Ak ho však umiestnime pred spojnú šošovku (obr. 17.9), ktorá zobrazí pozorovaný predmet do konvenčnej vzdialenosti, zväčší sa zorný uhol z τ (obr. 17.8) na τ 0, pod ktorým pozorujeme daný predmet. Výpočtom dostaneme, že vzťah pre zväčšenie lupy je Z = l k f. (17.8) Praktické použitie zväčšenia zorného uhla je obmedzené chybami, ktoré pri zobrazovaní vznikajú. Jednoduchá šošovka je použiteľná do šesťnásobného zväčšenia. Mikroskop Väčšie zväčšenie a možnosť pozorovania veľmi drobných predmetov možno dosiahnuť viacerými šošovkami, ktoré majú spoločný názov mikroskop. Skladá sa z dvoch priestorovo od seba oddelených spojných systémov, z objektívu (časť na strane predmetu) a okuláru (na strane oka). V najjednoduchšom prípade sú obe šošovky spojky a sú usporiadané tak, aby ich optická os bola spoločná. Predmet sa umiestňuje pred objektív, ktorý vytvára jeho reálny obraz v ohniskovej rovine okuláru. Tento obraz sa okulárom pozoruje ako lupou. Ďalekohľad Ďalekohľad je optický prístroj na pozorovanie vzdialených predmetov, ktorých zorný uhol je malý. Delíme ich na dva základné typy: refraktory a reflektory. Pri refraktore objektívom je aspoň jedna spojná šošovka, ktorú pri reflektore nahradzuje duté zrkadlo. Obraz vytvorený objektívom v jeho ohniskovej rovine pozorujeme okulárom ako lupou. Predmetová rovina okuláru splýva pritom s obrazovou ohniskovou rovinou objektívu. Najčastejšie použitie ďalekohľadov je v astronómii, v armáde, pri turistike, v námornej doprave a podobne.

2.6 Zobrazovanie odrazom a lomom

2.6 Zobrazovanie odrazom a lomom ktorých vzniká aspoň čiastočne polarizované svetlo. Toto odrazené svetlo spôsobuje nepríjemné reflexy, ktoré sú pri fotografovaní nežiaduce. Vhodne orientovaným analyzátorom môžeme tieto reflexy odstrániť.

Διαβάστε περισσότερα

Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie

Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie Bezpečnosť práce v laboratóriu biológie Riziká: chemické (slabé roztoky kyselín a lúhov) biologické rastlinné pletivá/ infikované umyť si ruky el. prúd len obsluha zariadení, nie ich oprava Ochrana: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Vlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010)

Vlnová optika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky III pre EF Dušan PUDIŠ (2010) Vlnová optika Fyzikálna podstata svetla. Svetlo ako elektromagnetické vlnenie. Základné zákony geometrickej optiky. Inde lomu. Fermatov princíp. Snellov zákon. Ohyb svetla na jednoduchej štrbine a na mriežke.

Διαβάστε περισσότερα

ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA. Dátum:

ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA. Dátum: ABSORPCIA SVETLA I. SKÚMANIE VLASTNOSTÍ SVETLA 1. Priraď k optickým prostrediam správnu charakteristiku tak, že ich spojíš čiarami. Ku každému druhu doplň konkrétny príklad. PRIEHĽADNÉ... PRIESVITNÉ...

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory Pro trial version ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách

PDF created with pdffactory Pro trial version  ZOBRAZOVANIE LOMOM. ŠOŠOVKY AKO ZOBRAZOVACIE SÚSTAVY alebo O spojkách a rozptylkách PedDr. Joze Beňušk jbenusk@nextr.sk ZBRAZVANIE LMM ŠŠVKY AK ZBRAZVACIE SÚSTAVY lebo spojkách rozptlkách ptická sústv -je sústv optických prostredí ich rozhrní, ktorá mení smer chodu svetelných lúčov. Šošovk

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Vzorce a definície z fyziky 3. ročník

Vzorce a definície z fyziky 3. ročník 1 VZORCE 1.1 Postupné mechanické vlnenie Rovnica postupného mechanického vlnenia,=2 (1) Fáza postupného mechanického vlnenia 2 (2) Vlnová dĺžka postupného mechanického vlnenia λ =.= (3) 1.2 Stojaté vlnenie

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Geometrická a fyzikálna optika

Geometrická a fyzikálna optika Geometrická a fyzikála optika Fyzikála podstata svetla. Svetlo ako elektromagetické vleie. Základé zákoy geometrickej optiky. Idex lomu. Fermatov pricíp. Sellov záko. Ohyb svetla a jedoduchej štrbie a

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

UFOčebnica: Svetlo a optika

UFOčebnica: Svetlo a optika Fyzikálny korešpondenčný seminár 8. ročník, 2014/2015 UFO, KTFDF FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava e-mail: otazky@fks.sk web: http://ufo.fks.sk UFOčebnica: Svetlo a optika Milí riešitelia! V nasledujúcom

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Merania na optických sústavách

Merania na optických sústavách Merania na optických sústavách Teoretický úvod V tejto úohe si overíme zákadné vastnosti najbe¾nej¹ie pou¾ívaných optick centrovaných sústav - ¹o¹ovk, mikroskopu a transfokátora. Predpokadá sa znaos» z

Διαβάστε περισσότερα

Uhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n =

Uhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n = Lom svetla. Lom svetla hraolom, optickým kliom a plaparalelou doštičkou Záko lomu Na rozhraí dvoch prostredí sa svetelý lúč láme tak, aby prešiel dráhu z bodu A do bodu B za ajkratší možý čas. Teda v opticky

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015

Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015 Fyzikálny korešpondenčný seminár 8. ročník, 2014/2015 UFO, KTFDF FMFI UK, Mlynská dolina, 842 48 Bratislava e-mail: otazky@fks.sk web: http://ufo.fks.sk Zadania 2. kola zimnej časti 2014/2015 Termín: 27.

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Obr. 28 Pohľad na ceruzku ponorenú vo vode. Urob pokus s pozorovaním predmetu v akváriu a pokús sa o vysvetlenie pozorovaného javu.

Obr. 28 Pohľad na ceruzku ponorenú vo vode. Urob pokus s pozorovaním predmetu v akváriu a pokús sa o vysvetlenie pozorovaného javu. 1.6 Lom svetla Urob jednoduché pozorovanie: do skleného pohára s vodou vlož lyžicu alebo ceruzku. Ak sa pozeráme zboku alebo zhora, javí sa predmet vo vode ako zlomený (obr. 28). Obr. 28 Pohľad na ceruzku

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Zhodné zobrazenia (izometria)

Zhodné zobrazenia (izometria) Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných

Διαβάστε περισσότερα

Geometrická optika. Konštruovanie a dizajn svietidiel, prednášky Ing. Róbert Fric, PhD., Katedra mechaniky FEI STU Bratislava, 2008

Geometrická optika. Konštruovanie a dizajn svietidiel, prednášky Ing. Róbert Fric, PhD., Katedra mechaniky FEI STU Bratislava, 2008 Geometrická optika 2 Základné hypotézy geometrickej optiky Vhomogénnom prostredí sa svetlo šíri priamočiaro Daným bodom priestoru môže súčasne prechádzať ľubovoľné množstvo svetelných lúčov bez toho, aby

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.

Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie. Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach. Vysokoškolské učebné texty. Fotonika. Gregor Bánó. Košice, 2017

Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach. Vysokoškolské učebné texty. Fotonika. Gregor Bánó. Košice, 2017 Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Vysokoškolské učebné texty Fotonika Gregor Bánó Košice, 2017 FOTONIKA Učebné texty predmetu Fotonika pre poslucháčov 1. ročníka magisterského

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky

8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky 8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky 8. Úvod Zo vzájomnej väzby a vzťahov medzi vektormi elektrickej intenzity a intenzity magnetického poľa vyjadrených Mawellovými rovnicami vyplývajú vlnové

Διαβάστε περισσότερα

ŠOŠOVKY, základné pojmy. Spojné šošovky (Spojky, konvexné šošovky) Rozptylné šošovky (Rozptylky, konkávne)

ŠOŠOVKY, základné pojmy. Spojné šošovky (Spojky, konvexné šošovky) Rozptylné šošovky (Rozptylky, konkávne) ŠOŠOVKY, základné pojmy Spojné šošovky (Spojky, konvexné šošovky) Rozptylné šošovky (Rozptylky, konkávne) Ohraničené dvoma guľovovými (Guľa/rovina) plochami optická os S a S 2 stredy guľových plôch V a

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík

9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Integrovaná optika a. Zimný semester 2017

Integrovaná optika a. Zimný semester 2017 Inegrovaná opka a opoelekronka Zmný semeser 07 Inegrovaná opka a opoelekronka Skladba predmeu Prednášky Výpočové cvčena ( písomky, max. 40b) Skúška (max. 60b) Leraúra Marnček I., Káčk D., Tarjány N., Foonka

Διαβάστε περισσότερα

1. OKO - ORGÁN ZRAKU

1. OKO - ORGÁN ZRAKU 1. OKO - ORGÁN ZRAKU Mozog si našiel spôsob, ako sa pozerať na vonkajší svet. Oko je časť mozgu, ktorá sa dotýka svetla. /Richard P. Feynman/ 1.1 ONTOGENÉZA A FYLOGENÉZA ZRAKOVÉHO ORGÁNU Taký zložitý a

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol

ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov

Διαβάστε περισσότερα

1. Trojuholník - definícia

1. Trojuholník - definícia 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz

PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)

Διαβάστε περισσότερα

Svetlo encyklopedické heslo

Svetlo encyklopedické heslo Svetlo encyklopedické heslo Svetlo je elektromagnetické žiarenie, na ktoré je citlivé ľudské oko. Preto ho nazývame aj viditeľným, prípadne optickým žiarením. Rozsah vlnových dĺžok svetla je v rozmedzí

Διαβάστε περισσότερα

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

Analytická geometria

Analytická geometria Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah rovinných útvarov

Obvod a obsah rovinných útvarov Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom

Διαβάστε περισσότερα

Meranie šírky drážky na CD laserovým ukazovátkom Soňa Gažáková a Ján Pišút FMFI UK

Meranie šírky drážky na CD laserovým ukazovátkom Soňa Gažáková a Ján Pišút FMFI UK Názov projektu: CIV Centrum Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 2005/1-046 ITMS: 11230100112 Meranie šírky drážky na CD laserovým ukazovátkom Soňa Gažáková a Ján Pišút FMFI UK Meranie

Διαβάστε περισσότερα

Stereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:

Stereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2: Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Svetelnotechnické veličiny

Svetelnotechnické veličiny ELEKTRICKÉ SVETLO Svetlo Osvetlenie vnútorných i vonkajších priestorov má významný vplyv na bezpečnosť osôb, ich zrakovú pohodu a s tým súvisiaci pracovný výkon, únavu, orientáciu v priestore a celkový

Διαβάστε περισσότερα

ZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie

ZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie ZOBRAZOVACIE METÓDY 2 (prvý ročník, letný semester; prednáška 2 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 6 kreditov, 40 / 60) Program druhého semestra (Zobrazovacie metódy 2): I Mongeovo zobrazenie; II Perspektívna

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, 9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky

Διαβάστε περισσότερα

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č: 0 Název: Stavba Michelsonovho interferometra a overenie jeho funkcie Vypracoval: Viktor Babjakstud sk F 11 dne:

Διαβάστε περισσότερα

Kapitola K2 Plochy 1

Kapitola K2 Plochy 1 Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca

Διαβάστε περισσότερα

Ďalekohľad encyklopedické heslo.

Ďalekohľad encyklopedické heslo. Ďalekohľad encyklopedické heslo. Ďalekohľad teleskop, je opticko mechanický prístroj, ktorý umožňuje zväčšiť zorný uhol pozorovaného predmetu a sústredením svetla na malú plochu zvýšiť jeho jasnosť a rozlišovaciu

Διαβάστε περισσότερα

Optoelektronika a laserová technika

Optoelektronika a laserová technika Optoelektronika a laserová technika Úvodná prednáška do OEaLT: Úvod do optoelektroniky, spektrum optického žiarenia, fyzikálna podstata žiarenia, šírenie optickej vlny v rôznych prostrediach Obsah Sylaby

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Vlnové vlastnosti svetla

2.5 Vlnové vlastnosti svetla Námety na samostatnú prácu študentov 1. Nájdite si v literatúre, alebo na webe podrobnejšie vysvetlenie vzniku dúhy, pripravte o tom ilustrovaný výklad pre celú triedu. 2. Nájdite si v literatúre z histórie

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem hranola

Povrch a objem hranola Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné

Διαβάστε περισσότερα

Vektorové a skalárne polia

Vektorové a skalárne polia Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá

Διαβάστε περισσότερα

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom

Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Semetrálna práca. Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní.

Semetrálna práca. Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní. Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Semetrálna práca Lentikulárne sklá a ích využitie v 3D zobrazovaní. Plzeň, 2011 Peter Citriak Obsah 1 Úvod

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnetické pole

Elektromagnetické pole Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie

Διαβάστε περισσότερα

Milan Dado Ivan Turek. Ladislav Bitterer Stanislav Turek Eduard Grolmus Patrick Stibor

Milan Dado Ivan Turek. Ladislav Bitterer Stanislav Turek Eduard Grolmus Patrick Stibor Milan Dado Ivan Turek Július Štelina Ladislav Bitterer Stanislav Turek Eduard Grolmus Patrick Stibor Vydala Žilinská univerzita v Žiline 998 Recenzenti: Doc. RNDr. Stanislav Kolník, CSc. Ing. Štefan Sivák,

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA

GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a

Διαβάστε περισσότερα

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA

DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy

Διαβάστε περισσότερα

OPTIKA. obsah prednášok EMO

OPTIKA. obsah prednášok EMO OPTIKA obsah prednášok EMO Peter Markoš zimný semester 208/209 Obsah Prednáška 5. Elektromagnetické vlny vo vákuu I........................ 5 2 Prednáška 2 7 2. Elektromagnetické pole vo vákuu II.......................

Διαβάστε περισσότερα

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III

G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH) Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.

Διαβάστε περισσότερα

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník

Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5

Διαβάστε περισσότερα

CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE

CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014

Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk

Διαβάστε περισσότερα