Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Transcript

1 Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :... 5 Θέμα 4 ο :... 6 Εργασία η... 7 Θέμα ο :... 7 Θέμα ο :... 8 Θέμα 3 ο :... 8 Εργασία 3 η... 9 Θέμα ο :... 9 Θέμα ο :... Θέμα 3 ο :... Εργασία 4 η... 3 Θέμα ο :... 3 Θέμα ο :... 5 Θέμα 3 ο :... 6 Εργασία 5η... 7 Θέμα ο :... 7 Θέμα ο :... 8

2 Εργασία η Θέμα ο : Τα εβδομαδιαία έσοδα Χ και έξοδα Y μιας επιχείρησης θεωρούνται ότι είναι τυχαίες μεταβλητές. Τα επόμενα δεδομένα δίνουν τιμές των Χ και Y σε δρχ. για 4 εβδομάδες. Χ(*) Y(*) α) Αν μ ο άγνωστος θεωρητικός μέσος των εσόδων και μ ο άγνωστος θεωρητικός μέσος των εξόδων, δώσατε αμερόληπτες εκτιμήσεις αυτών. β) Όμοια, αν σ και σ οι άγνωστες διακυμάνσεις των εσόδων και εξόδων αντίστοιχα, ποιες οι αμερόληπτες εκτιμήσεις αυτών. γ) Διατυπώσατε τις εξής υποθέσεις: ) Τα έσοδα είναι ίδια με τα έξοδα ) Τα έσοδα είναι μεγαλύτερα από τα έξοδα. α) Είναι γνωστό ότι (ubased) αμερόληπτος εκτιμητής του πληθυσμιακού μέσου μ ) είναι ο δειγματικός μέσος ( ) δηλ. E μ. Άρα αρκεί να υπολογίσουμε ( τους αριθμητικούς μέσους των δύο δειγμάτων σύμφωνα με τον τύπο:. Άρα , ,86 4

3 β) Οι αμερόληπτες εκτιμήσεις των διακυμάνσεων και δίνονται σύμφωνα με τον παρακάτω τύπο: Άρα γ) s s ) s. ( 4 58,7) ( 68 58,7) 3 ( 5 5,86) ( 3 5,86) : μ μ : μ μ 3 σ 56,83 64,68 ) σ : μ μ : μ μ 3

4 Θέμα ο : Σε μια περιοχή οικογένειες ρωτήθηκαν για το μηνιαίο εισόδημά τους. Η δειγματοληψία έδωσε x 9 (* ) δρχ. και s 64( *) δρχ. Δώσατε το αριθμητικό διάστημα εμπιστοσύνης με συντελεστή εμπιστοσύνης,99 για το μέσο εισόδημα των οικογενειών ( Z, 576 ).,5 s Το διάστημα εμπιστοσύνης δίνεται από τον παρακάτω τύπο: x± Zα () α, άρα Z,5, 576. Έτσι, () 9 ±, κι επομένως το διάστημα είναι (745,36 374,864). 4

5 Θέμα 3 ο : α) Αν μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την - κατανομή και είναι m ανεξάρτητη προς την τυχαία μεταβλητή Y που ακολουθεί την - κατανομή, τότε ποια η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής m Y ; β) Σ ένα εργοστάσιο εμφιάλωσης ποτών παρατηρήθηκε ότι η ποσότητα Χ του ποτού σε κάθε φιάλη ακολουθεί την ( 4,,5 ) Να ελεγχθεί η υπόθεση σημαντικότητας α,5. ( ) 3 N. Εξετάστηκαν 5 φιάλες και είχαμε 399,5 cm. : μ 4 έναντι της A : μ 4 σε επίπεδο α) Ο λόγος δύο τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την - κατανομή μας δίνει την F κατανομή με m και βαθμούς ελευθερίας για τον αριθμητή και παρονομαστή αντίστοιχα. β) 5<3 ( 4,,5 ) N 399, 5 Βήμα ο Βήμα ο : μ 4 : μ 4 α,5 Βήμα 3 ο Βήμα 4 ο x μ Z Για μονόπλευρο έλεγχο Z. Άρα σ,5,65 αν Ζ>,65, απορρίπτω την. Βήμα 5 ο 399,5 4,75, 5,5,3 5 Z. Άρα αποτυγχάνω να απορρίψω την. 5

6 Θέμα 4 ο : Θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο οι 4 λωρίδες μιας κεντρικής οδού χρησιμοποιούνται εξ ίσου από τα αυτοκίνητα. Παρατηρήθηκαν αυτοκίνητα κατά τη διάρκεια μιας ημέρας ως εξής: Χρησιμοποιούνται εξίσου οι 4 λωρίδες; ( 4,86, 3, 83) 4 ;,5 ;,5 Κλάσεις P P ( P ) P 94 /4 5 7, /4 5, /4 5, /4 5,544 3,68 Άρα η ( P ) 3,68 και η κριτική τιμή της P είναι η ακόλουθη: κ, α 3,,5,83 : P P P3 P4 4 : P P P3 P4 4 Επειδή λοιπόν,83<3,68 η απορρίπτεται. 6

7 Εργασία η Θέμα ο : α) Ένας αναλυτής αγοράς μιας εταιρείας πετρελαίων ενδιαφέρεται να προσδιορίσει το ποσό των χρημάτων που δαπανώνται από τα νοικοκυριά για την αγορά πετρελαίου θέρμανσης σε μια πόλη. Να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση δαπάνη των νοικοκυριών για πετρέλαιο θέρμανσης, όταν σε 64 νοικοκυριά είχαμε 36 (* ), και s 87( * ). ( Z,96 ). β) Αν,5,,..., ανεξάρτητες μεταβλητές που ακολουθούν την Ν(,), τότε ποια η κατανομή της ; α) 64>3 36 s 87 και Z, 96 Το διάστημα είναι: ± Zα s,5 87 Άρα 36 ±,96 36 ± 45, 85 και συνεπώς (9,85 8,85). 64 β) Η ακολουθεί την βαθμούς ελευθερίας. κατανομή με - βαθμούς ελευθερίας δηλαδή με 7

8 Θέμα ο : Μια μέθοδος χρησιμοποιείται για να ελεγχθεί η ακαταλληλότητα ενός προϊόντος. Η μέθοδος αυτή θεωρείται ακριβής αλλά δαπανηρή. Μια νέα μέθοδος προτείνεται σαν λιγότερο δαπανηρή και με εξίσου καλή ακρίβεια. Από την εμπειρία η διακύμανση της πρώτης μεθόδου είναι παρατηρήσεις λαμβάνονται με την ίδια μέθοδο και δώσανε 8%. Να ελεγχθεί η υπόθεση : σ σ έναντι της Α : σ σ σε επίπεδο σημαντικότητας α,5. Είναι η νέα μέθοδος πιο ακριβής; ( 3, 4 ) 9 ;,5 s σ 7%. Είκοσι Εναλλακτικά : σ σ : σ σ 9,,5 ( ) s σ 3,4 9*,8,7,7,7<3,4 Κρατώ την Η. Θέμα 3 ο : Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει συσκευές οικιακής χρήσεως. Το τμήμα έρευνας αγοράς του εργοστασίου ερωτά οικογένειες σχετικά με τις προτιμήσεις τους στο χρώμα των συσκευών. Τα αποτελέσματα δώσανε: Προτίμηση χρώματος Λευκό Χαλκού Μπεζ Χρυσαφί Αριθμός οικογενειών

9 Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι οι καταναλωτές έχουν τις ίδιες προτιμήσεις αναφορικά με το χρώμα, σε επίπεδο σημαντικότητας α,. (,34 ) Κλάσεις P P ( P ) P Λευκό 35 /4 5 4,5 Χαλκού 8 /4 5,48 Μπεζ 3 39 /4 5,4 Χρυσαφί 4 44 /4 5,7 8, Άρα η ( P ) 8, και η κριτική τιμή της P είναι η ακόλουθη: κ, α 3,,,34 : P P P3 P4 4 : P P P3 P4 4 Επειδή 8,>,34 η απορρίπτεται. Εργασία 3 η Θέμα ο : Ένας ερευνητής επιθυμεί να μελετήσει το ποσοστό των εργαζομένων που έχουν κάμει ασφάλεια ζωής. Το ποσοστό αυτό πριν από χρόνια ήταν %. Αν 9

10 σήμερα σε ένα δείγμα 4 εργαζομένων οι 8 είναι ασφαλισμένοι τότε: α) Να βρεθεί ένα Διάστημα Εμπιστοσύνης με σ.ε.,99 για το ποσοστό p των ασφαλισμένων. β) Να αναφερθούν όλες οι δυνατές στατιστικές υποθέσεις για το p. γ) Να γίνει ο έλεγχος : p, έναντι της A : p, σε ε.σ.,. α) p, 8, 4 4 ( ) ± a, *,8, ±,58, ±,58*, 4, ±,58*,, ±, 5 4 Άρα (,5,5 ) β) p, p, p, p, p <, p >, γ) Βήμα ο p, p, Βήμα 4 ο Απορρίπτω την p Βήμα ο α, Βήμα 3 ο Z p ( p ) Αν Ζ а,58 & >>,58 Βήμα 5 ο Z,,,, 6,6 Άρα απορρίπτω την,*,, 5,5 4

11 Θέμα ο : Αν Χ η μεταβλητή που μετρά τον αριθμό των κοριτσιών σε νοικοκυριά με τρία παιδιά και παίρνει τις τιμές,,, και 3 με αντίστοιχες πιθανότητες, 4,.39,.36 και. τότε : ) Πιο είναι το μέσο πλήθος κοριτσιών ) Ποια είναι η διακύμανση 3) Αν τα ετησία έξοδα R σε αυτά τα νοικοκυριά δίνονται από την σχέση R g( ) ποιο είναι το μέσο ετήσιο έξοδο. Απάντηση : Χ Χ,4

12 ,39,36 4 3, 9 ) f x,4* +,39*+,36* +,*3,44 ) 3) S f ( x x ) 5,4 R ER E ( ) ( ) E( ) E( ) 3 E( ) *,8 + 3*, Θέμα 3 ο : Οι παραγόμενες βίδες σύμφωνα με μία βιομηχανική μέθοδο οφείλουν να έχουν διάμετρο κατά μέσο ορό 3,5 εκ. Λόγω τυχαίων παραγόντων οι διάμετροι αυτών διακυμαίνονται μετάξι 3,3 & 3,7. Ο υπεύθυνος της παραγωγής για να ικανοποιούνται κάποια ποιοτικά στοιχεία θεωρεί ότι μία βίδα είναι αποδεκτή αν η διάμετρος της βρίσκεται σε ένα Δ.Ε. με σ.ε.,99 και σφάλμα περιθωρίου,5 % ( η μήκος l ίσον με,5 μήκος διαστήματος σφάλμα περιθωρίου) Πόσες βίδες πρέπει να εξετασθούν ; (Δίνεται ότι 4σ 3,7 3,3 και z_{,5},575 )

13 μ 3,5 (3,3 3, 7), 4, 4 4 σ, 4 Z a σ Ε,575*,, 575 (,3) 6,9,5,5 Άρα χρειάζονται 7 βίδες Εργασία 4 η Θέμα ο : Ο Γραμματέας ενός κόμματος Α γνωρίζει ότι για να εισέλθει το κόμμα του στη βουλή πρέπει να λάβει το 5% των ψήφων του εκλογικού σώματος. Σε μια δειγματοληψία ρωτήθηκαν άτομα και απάντησαν ότι 3 άτομα θα ψηφίσουν το κόμμα Α. α) Να κατασκευαστεί το διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ποσοστό ψήφων που θα λάβει το κόμμα Α και με σ. ε.,95. β) Αν την ερχόμενη Κυριακή γινόταν εκλογές, με την παραπάνω δημοσκόπηση θα εισέρχετο το κόμμα Α στη βουλή με σ. ε.,95; 3

14 P,5 Άρα 3,55 α) a,95 a,5 a, 5 ± Z,5 ( ),55,9485,55 ±,96,55 ±,96,494,55 ±,96 (,49,6) β) Βήμα ο Βήμα ο : p,5 έναντι της A: p >,5. Βήμα 3 ο α,5 Βήμα 4 ο Z p p ( p ) Αν Ζ>,65, απορρίπτω την. Βήμα 5 ο,55,5,5, 3,5,95,487 Z. Άρα διατηρώ την. Το κόμμα δεν θα μπει στη βουλή. 4

15 Θέμα ο : Ρωτήθηκαν νοικοκυριά για το μέσο εισόδημά τους και η δειγματοληψία έδωσε x 45. α) Αν η τυπική απόκλιση των εισοδημάτων ήταν σ, 8. Ποιο το Διάστημα Εμπιστοσύνης για το μέσο εισόδημα με σ. ε.,95. β) Αν από τη δειγματοληψία μας είχαμε μια εκτίμηση για το σ, 6, πως θα μεταβαλλότανε το Διάστημα Εμπιστοσύνης; ( Z,96, t,93 ),5 9;, 5 α) <3 x 45 σ, 8 5

16 Αφού είναι γνωστή η πληθυσμιακή τυπική απόκλιση (σ) το διάστημα εμπιστοσύνης δίνεται από τον τύπο: α,5 α,5 Ζ,96 α σ ± Zα,8 45 ±,96,8 45 ±,96 4,47 45 ±,96 6,57 45 ± 444,7 (97,93 859,7) ± Z α σ β) Αφού <3 και σ άγνωστο έχουμε ± t a, σ ±,93 6,57 45 ± 474, (94,78 889,) Άρα το διάστημα διευρύνεται. Θέμα 3 ο : Αναφερόμενοι στο θέμα () να ελεγχθεί η υπόθεση : μ 43 έναντι της A : μ 43σε ε.σ.,5 όταν η τυπική απόκλιση είναι ίση με,8 και όταν έχουμε μια εκτίμηση αυτής ίση με,6. α) Βήμα ο : μ 43 : μ 43 α,5 Βήμα ο 6

17 Βήμα 3 ο Βήμα 4 ο Z x μ σ Αν Ζ>,96 ή Ζ<-,96, απορρίπτω την. Βήμα 5 ο 45 43, 94,8, Z. Άρα αποτυγχάνω να απορρίψω την. Δέχομαι ότι ο μέσος είναι 43. β) Βήμα ο : μ 43 : μ 43 Βήμα ο α,5 Βήμα 3 ο Βήμα 4 ο t x μ s Αν t>,93 ή t<-,93, απορρίπτω την Βήμα 5 ο,6,9, 94 t. Άρα αποτυγχάνω να απορρίψω την. Εργασία 5η Θέμα ο : Κάποια χρονιά το μέσο επιτόκιο δανείων ήταν 8 % με τυπική απόκλιση,8 εκατοστιαία σημεία. Δυο χρονιά αργότερα ένα δείγμα μεγεθος έδωσε μέσο επιτόκιο 8,36 %. α ) Πιστεύετε ότι έχει γίνει αλλαγή στα μέσα επιτόκια ; Ελέγξτε αυτό σε ε.σ.,5 β) Τι σημάνει ισχύς ελέγχου ; Αν β, β, β 3 είναι οι τιμή ισχύος για μ 8, 38, μ 9, μ3 Πώς θα τις διατάσσατε ; ( Ζ,5,65) 7

18 α ) P,8 σ,8 Βήμα ο : p,8 : p,8 p Βήμα ο α,5 Βήμα 3 ο Z p ( p ) Βήμα 4 ο Απορρίπτω εάν Ζ Z οπου,5 >,96 ;,96 Βήμα 5 ο,8*36,8,36,36 Z,9,8*,8,476,384 Άρα δεν απορρίπτω απορρίπτω την Η β ) Ζ είναι η στατιστική ελέγχου ( η περιοχή ελέγχου απόρριψης του (-,-,96) (,96, +), τότε η πιθανότητα να δεχτούμε την ενώ ισχύει η Η (εναλλακτική) είναι πιθανότητα σφάλματος ΙΙ, ενώ ισχύς είναι πιθανότητα να δεχτούμε την ενώ ισχύει η Η. Επίσης, έχουμε Ισχύς -Σφάλμα τύπου ΙΙ Όσο μεγαλώνει το μ τόσο μικραίνει η πιθανότητα να κάνω σφάλμα τύπου ΙΙ και λόγο της παραπάνω σχέσης β3 > β > β. Θέμα ο : α ) Θέλουμε να εξετάσουμε κατά πόσο οι 4 λωρίδες μίας κεντρικής οδού σε μία πόλη χρησιμοποιούνται εξίσου από τα αυτοκίνητα. αυτοκίνητα, παρατηρηθήκαν κατά την διάρκεια μιας μέρας ως εξής : Χρησιμοποιούνται εξίσου οι λωρίδες.83, ;,5 β ) Αν,, 3 ανεξάρτητη μεταβλητή με κατανομή την Ν( 3, 5 ),τότε ποια ( 3) ( 3) ( 3 3) είναι η κατανομή της + + ;

19 9