ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΝΕΡΓΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΧΑΜΗΛΟΣΥΧΝΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΝΕΡΓΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΧΑΜΗΛΟΣΥΧΝΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Δημήτρης Όρλης Επιβλέπων Καθηγητής: Γεώργιος Παπανικολάου Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2016

2

3 Ευχαριστίες Η εργασία αυτή διεξάχθηκε κατά το ακαδημαϊκό έτος και με την ολοκλήρωσή της θα ήθελα να ευχαριστήσω όσους με βοήθησαν αυτό το χρονικό διάστημα, αλλά και τα προηγούμενα χρόνια στο ΤΗΜΜΥ. Πρωτίστως να ευχαριστήσω τον κ. Γεώργιο Παπανικολάου ο οποίος με εισήγαγε στην επιστήμη της ακουστικής. Τον ευχαριστώ επίσης για την ευκαιρία να ασχοληθώ με αυτό το θέμα που ενδιέφερε ιδιαίτερα και με ενδιαφέρει ακόμα περισσότερο μετά το τέλος της εργασίας. Θερμές ευχαριστίες θέλω να δώσω και στο διδάκτορα κ. Χρήστο Σεβαστιάδη ο οποίος με βοήθησε να στήσω τις βάσεις, τα όρια, και τους στόχους της πρώτης μου ερευνητικής εργασίας. Εκτός από τις συζητήσεις μαζί του, πολύ σημαντικές για την εκπλήρωση της εργασίας ήταν και οι συχνές συμβουλές του υποψήφιου διδάκτορα του τμήματος, κ. Μάριου Γιουβανάκη. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα για την υπομονετική καθοδήγησή του. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον αναπληρωτή καθηγητή κ. Νικόλαο Κανταρτζή για την παραπάνω από πρόθυμη βοήθειά του κατά την αρχή της ενασχόλησής μου με τη μέθοδο FDTD. Τέλος, περισσότερο από όλους θέλω να ευχαριστήσω την οικογένειά μου. Οι γονείς και ο αδερφός μου με βοήθησαν να βουτήξω στον ωκεανό του ΤΗΜΜΥ, να βγω από αυτόν, και να περάσω αξέχαστα κατά τη διάρκεια αυτού του «ταξιδιού».

4

5 Περίληψη Σκοπός της εργασίας είναι η δημιουργία ενός μοντέλου με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου για την προσομοίωση ενεργού ελέγχου θορύβου σε ένα μικρό, κλειστό εργασιακό χώρο. Η πηγή θορύβου στο χώρο θεωρείται ένας κινητήρας, που προσεγγίζεται από ένα συνημίτονο αντίστοιχης συχνότητας. Οι θέσεις της πηγής θορύβου και της πηγής ελέγχου περιορίζονται από τις ιδιότητες του χώρου, όπως και το σημείο ενδιαφέροντος στο οποίο επιθυμείται η ακύρωση του θορύβου. Το σήμα της πηγής ελέγχου που δημιουργεί το αντί-πεδίο στο σημείο ενδιαφέροντος είναι η έξοδος ενός εμπροσθοτροφοδοτικού σχηματισμού, ο οποίος προσαρμόζεται μέσω του FxLMS αλγορίθμου. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης σε συγκεκριμένες συνθήκες δείχνουν πως είναι εφικτή μείωση της στάθμης του θορύβου στο προκαθορισμένο σημείο ενδιαφέροντος. Εκτός από τη δυνατότητα εκτίμησης της εφαρμογής του ενεργού ελέγχου το μοντέλο προσφέρει τη δυνατότητα άμεσης εποπτείας της συνολικής επίδρασης του συστήματος στο χώρο κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, η οποία ενδέχεται κατά περιπτώσεις να επιδέχεται επιπλέον περιορισμούς. Το μοντέλο επιδέχεται βελτιώσεων και η χρήση του μπορεί να επεκταθεί στη μελέτη ενεργού ελέγχου διάφορων συχνοτήτων με ποικίλους τύπους πηγών σε χώρους με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. ACTIVE LOW FREQUENCY NOISE CONTROL SIMULATION IN CLOSED SPACES USING THE FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD Abstract The aim of this thesis was to create a finite difference time domain model for the simulation of active noise control in a small enclosed workplace. The noise source in the room is considered to be a rotating motor that is approximated by a sinusoid signal of a corresponding frequency. The positions of both the initial noise source and the control source, as well as the location of interest where control is targeted, are constrained by the properties and usage of the room. The control source that creates destructing interference at the location of interest is fed with the output of an adaptive feedforward control configuration based on the filteredx least-mean-squared algorithm. The sound pressure level in the whole room is plotted while the simulation is running offering an instant overview of the system s performance. Apart from confirming the ability to combine those methods numerical results demonstrate the quality of the active control in the location of interest. A practical complex application can then be designed and applied easier and more effectively based on the results of this simulation.

6

7 Περιεχόμενα 1 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ Διάδοση ακουστικού κύματος Φαινόμενα κατά τη διάδοση ακουστικών κυμάτων Ανάκλαση και διάθλαση Περίθλαση και διάχυση Συμβολή κυμάτων και στάσιμα κύματα Ακουστική κλειστών χώρων ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Γενικά για υπολογιστικές μεθόδους Άλλες μέθοδοι Προτερήματα και αδυναμίες της μεθόδου FDTD Θεωρητική ανάλυση της μεθόδου FDTD Διακριτοποίηση του χώρου Διακριτοποίηση του χρόνου Εξίσωση ανανέωσης Συνοριακές συνθήκες Διέγερση του πλέγματος ΕΝΕΡΓΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΟΡΥΒΟΥ Γενικά για Ενεργό Έλεγχο Θορύβου Ανατροφοδοτικός σχηματισμός Μη προσαρμοστικός ανατροφοδοτικός ANC Προσαρμοστικός ανατροφοδοτικός ANC Εμπροσθοτροφοδοτικός σχηματισμός Μη προσαρμοστικός εμπροσθοτροφοδοτικός ANC Προσαρμοστικός εμπροσθοτροφοδοτικός ANC ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΝΕΡΓΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Υλοποίηση μεθόδου FDTD Ο χώρος του προβλήματος Λεπτομέρειες μοντέλου Προσομοίωση ελέγχου σημειακής τονικής διέγερσης Πηγή θορύβου 100 Hz Πηγή θορύβου 71 Hz... 62

8 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ Συμπεράσματα Μελλοντικές επεκτάσεις... 73

9 Ευρετήριο Εικόνες Εικόνα Πυκνώσεις και αραιώσεις στο μέσο κατά τη διάδοση ημιτονοειδούς διαταραχής Εικόνα Ανάκλαση και διάθλαση ακουστικού κύματος Εικόνα Διάθλαση στην άκρη ενός λεπτού τοίχου Εικόνα Διάχυση από ανωμαλίες σε επιφάνεια τοίχου: α) d λ, β) d λ, γ) d λ.. 16 Εικόνα Συμβολή κυμάτων α) σε φάση και β) με διαφορά φάσης Εικόνα Ηχητικό πεδίο σε κλειστό χώρο μετά από κρουστικό ακουστικό παλμό Εικόνα Σύστημα μεταφοράς Εικόνα Βασικοί ρυθμοί ενός δωματίου διαστάσεων 7,3 3,8 m. Μέγιστα με κόκκινο, ελάχιστα με μπλε Εικόνα Υπολογιστικές μέθοδοι για προβλήματα ακουστικής Εικόνα Διάταξη κόμβων για 2D FDTD με τη διανυσματική διατύπωση Εικόνα Κόμβοι που χρησιμοποιούνται σε κάθε τοπολογία Εικόνα Γειτονικοί κόμβοι σημείου στο όριο α) επιφάνειας β) γωνίας Εικόνα Ομαδοποίηση ghost nodes Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα μη-προσαρμοστικού ανατροφοδοτικού ANC συστήματος. 41 Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα προσαρμοστικού ανατροφοδοτικού ANC συστήματος με χρήση του FxLMS αλγορίθμου Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα μη-προσαρμοστικού εμπροσθοτροφοδοτικού ANC συστήματος Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα προσαρμοστικού εμπροσθοτροφοδοτικού ANC συστήματος με χρήση του FxLMS αλγορίθμου Εικόνα Δισδιάστατη διάδοση με δύο διαφορετικές τοπολογίες Εικόνα Στιγμιότυπα διάδοσης στο χώρο για τέσσερις χρονικές στιγμές στην αρχή της προσομοίωσης Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και θέσεις ANC Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου Α για το X Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου B για το X Εικόνα 4.7 Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου B για το X Εικόνα 4.8 Θεωρητική διέγερση του συνδυασμού των ρυθμών (4,0,0) και (2,2,0) στο επίπεδο z0 = 1,2 m Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου C για το X Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου C για το X Εικόνα 4.11 Επιφάνεια γύρω από το Χ1 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις A και B

10 Εικόνα Επιφάνεια γύρω από το Χ2 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις A και B Εικόνα 4.13 Επιφάνειες γύρω από τα Χ1 και Χ2 πριν και μετά τον ANC από τη θέση C Εικόνα 4.14 Θεωρητική διέγερση του ρυθμού (3,0,0) στο επίπεδο z0 = 1,2 m Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz σε θέση ελαχίστου του ρυθμού Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz σε θέση μεγίστου του ρυθμού και θέσεις ANC Εικόνα 4.17 Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Β για το Χ Εικόνα Διέγερση επιπέδου z0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Β για το Χ Εικόνα 4.21 Επιφάνεια γύρω από το Χ1 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις Α και Β Εικόνα Επιφάνεια γύρω από το Χ2 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις Α και Β Διαγράμματα Διάγραμμα Πλάτος συμβολής (μαύρο) για κύματα (μπλε, κόκκινο) με διαφορά φάσης 0,180,60 και 102, Διάγραμμα 2.1 Σχετική αριθμητική φασική ταχύτητα συναρτήσει της πυκνότητας του πλέγματος Διάγραμμα Φασματικό περιεχόμενο θορύβου από τον κινητήρα στον εναλλάκτη Διάγραμμα Ιδιοσυχνότητες και κρουστικές αποκρίσεις του δωματίου για διαφορετικές τοπολογίες Διάγραμμα Διαφορά της εισαγόμενης διέγερσης από την επιθυμητή για τα τρία είδη πηγών Διάγραμμα Φασματική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) σήματος αρχικού θορύβου (100 Hz) Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X1 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X2 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X1 για ANC από τη θέση B για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X2 για ANC από τη θέση B για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X1 για ANC από τη θέση C για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα 4.10 Πίεση στο σημείο Χ2 για ANC από τη θέση C για διέγερση 100 Hz Διάγραμμα Φασματική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) σήματος αρχικού θορύβου (71 Hz) Διάγραμμα 4.12 Πίεση στο σημείο Χ1 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 71 Hz Διάγραμμα 4.13 Πίεση στο σημείο Χ2 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 71 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο Χ1 για ANC από τη θέση Β για διέγερση 71 Hz Διάγραμμα Πίεση στο σημείο Χ2 για ANC από τη θέση Β για διέγερση 71 Hz

11 Πίνακες Πίνακας Ακουστικά μεγέθη για διάφορες περιπτώσεις Πίνακας Συχνότητες συντονισμού ενός δωματίου διαστάσεων 7,3 3,8 3 m Πίνακας Παράμετροι διαφορετικών τοπολογιών Πίνακας Αριθμητικοί παράμετροι σύνθετης αντίστασης Πίνακας Στατιστικά στοιχεία περιοχών γύρω από τα σημεία ελέγχου για αρχικό θόρυβο 100 Hz Πίνακας Στατιστικά στοιχεία περιοχών γύρω από τα σημεία ελέγχου για αρχικό θόρυβο 71 Hz Συντομογραφίες Όρος Πλήρως Αγγλικά Ελληνικά ANC Active Noise Control Ενεργός Έλεγχος Θορύβου BEM Boundary Elements Method Μέθοδος Οριακών Στοιχείων FDTD Finite Difference Time Πεπερασμένες Διαφορές στο Πεδίο του Χρόνου Domain FEM Finite Elements Method Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων IWB Interpolated Wideband LMS Least Mean Squared LRS Locally Reacting Surface Τοπικά Αντιδρώσα Επιφάνεια MSE Mean Squared Error Μέσο Τετραγωνικό Σφάλμα OCTA Octahedral Οκταεδρική PDE Partial Differential Equation Μερική Διαφορική Εξίσωση SLF Standard Leapfrog SPL Sound Pressure Level Στάθμη Ηχητικής Πίεσης STD Standard Deviation Τυπική Απόκλιση TETRA Tetrahedral Τετραεδρική TWSL Time-Weighted Sound Level Χρονικά Σταθμισμένη Ηχητική Στάθμη 7

12 8

13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ακοή είναι ίσως η πιο σημαντική αίσθηση του ανθρώπου, μετά την όραση, για την αντίληψη του κόσμου γύρω του. Η καθημερινότητά μας είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με διαφόρων ειδών ήχους, είτε είναι ομιλία, είτε μουσική, είτε ακόμα και θόρυβος. Το ανθρώπινο αυτί, λόγω της ανατομίας του, είναι ικανό να ανιχνεύσει συχνότητες περίπου από 16 Hz ως 20 KHz, όρια όχι απόλυτα, που μεταβάλλονται από άνθρωπο σε άνθρωπο και από παράγοντες όπως η ηλικία [1] [2]. Τα διάφορα φαινόμενα, όμως, δεν περιορίζονται στο μικρό αυτό εύρος. Ήχοι συχνότητας χαμηλότερης από το κατώτατο όριο ακοής χαρακτηρίζονται ως υπόηχοι (infrasound), ενώ αυτοί με συχνότητα μεγαλύτερη από 20 KHz ονομάζονται υπέρηχοι (ultrasound). Ως παραδείγματα, υπόηχοι χρησιμοποιούνται συχνά από ορισμένους κλάδους της γεωλογίας (σεισμολογία) και στους υπέρηχους βασίζονται ορισμένες επιτυχημένες ιατρικές εφαρμογές. Η εργασία αυτή ασχολείται με ήχους που είναι αντιληπτοί από τον άνθρωπο και, κυρίως, με αυτούς στο χαμηλότερο άκρο αυτού του εύρους συχνοτήτων. Οι μικροί, κλειστοί χώροι παρουσιάζουν ενδιαφέρουσα συμπεριφορά στις χαμηλές συχνότητες του ηχητικού πεδίου. Το γεγονός πως οι διαστάσεις του χώρου και ορισμένων αντικειμένων είναι συγκρίσιμες με το μήκος κύματος προκαλεί ευδιάκριτους συντονισμούς, οι οποίοι γίνονται αντιληπτοί και επηρεάζουν την ανθρώπινη ακοή. Σε περιπτώσεις ακρόασης ηχητικών προγραμμάτων η παραμόρφωση του αποτελέσματος από τέτοια επιρροή μπορεί να αλλοιώσει σημαντικά την ποιότητα του προγράμματος όπως την αντιλαμβάνεται ο ακροατής, ενώ η χρόνια έκθεση σε θορυβώδες περιβάλλον μπορεί να έχει σημαντικότατες επιπτώσεις στην ανθρώπινη υγεία. Η εξάλειψη του θορύβου σε τέτοιους χώρους αποτελεί ιδιαίτερο πρόβλημα της Ακουστικής. Μπορούν να εφαρμοστούν τεχνικές παθητικού ή ενεργού ελέγχου για το σκοπό αυτό. Συνήθως, λόγω των διαφόρων συνθηκών ή των ιδιομορφιών της πηγής του θορύβου, ιδιαίτερα στις χαμηλές συχνότητες, δε μπορεί να υλοποιηθεί ο παθητικός έλεγχος, επομένως η έρευνα επικεντρώνεται στον ενεργό έλεγχο. Στον ενεργό έλεγχο θορύβου (Active Noise Control/Cancelation, στο εξής ANC) χρησιμοποιείται η αρχή της καταστροφικής παρεμβολής δημιουργώντας ένα πεδίο ίσο και αντίθετο με αυτό του θορύβου στα σημεία ενδιαφέροντος. Για την αντιμετώπιση προβλημάτων που σχετίζονται με την παραγωγή και τη διάδοση του ήχου σε κάποιο περιβάλλον καθώς και την πρόβλεψη της επίδρασής τους διακρίνονται τρεις μέθοδοι: η πειραματική, η αναλυτική και η υπολογιστική. Η πειραματική μέθοδος συνήθως απαιτεί μια χρονοβόρα διαδικασία κατασκευής των κατάλληλων διατάξεων που συνοδεύεται από υψηλό οικονομικό κόστος και, σε ορισμένες περιπτώσεις, υστερεί στην επίτευξη των επιθυμητών συνθηκών του προβλήματος και στην αξιοπιστία των αποτελεσμάτων που παρουσιάζει. Η δεύτερη μέθοδος προσφέρει την ακρίβεια των μαθηματικών αλλά η εφαρμογή της σε προβλήματα με σύνθετα γεωμετρικά χαρακτηριστικά είναι εξαιρετικά δύσκολη ως αδύνατη, καθιστώντας την ακατάλληλη για πλήθος εφαρμογών. Η υπολογιστική μέθοδος εξελίσσεται ραγδαία τα τελευταία χρόνια, αφότου κάμφθηκε το εμπόδιο της υπολογιστικής ισχύος των περισσότερων υπολογιστών. Οι ικανότητες ταχύτητας εκτέλεσης υπολογισμών και η χωρητικότητα αποθήκευσης δεδομένων στους σύγχρονους υπολογιστές δημιούργησαν τις συνθήκες για την αποτελεσματική υλοποίηση υπολογιστικών 9

14 μεθόδων σε πραγματικά προβλήματα [3]. Η υπολογιστική μέθοδος των Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου (Finite Difference Time Domain, στο εξής FDTD) χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα διπλωματική εργασία. Ο σκοπός της εργασίας είναι να μελετηθεί η εφαρμογή τεχνικών ενεργού ελέγχου θορύβου μέσω προσομοιώσεων με την προαναφερθείσα υπολογιστική μέθοδο. Ο συνδυασμός τους μπορεί να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο στο σχεδιασμό υλοποιήσιμων και αξιόπιστων συστημάτων ενεργού ελέγχου θορύβου για μικρούς, κλειστούς χώρους. Η εργασία διαρθρώνεται στα παρακάτω κεφάλαια: Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της Ακουστικής. Περιγράφεται η διάδοση του ακουστικού κύματος και οι νόμοι που τη διέπουν, καθώς επίσης και ζητήματα που προκύπτουν κατά τη διάδοση του ήχου σε κλειστούς χώρους. Κεφάλαιο 2 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η υπολογιστική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε στην προσομοίωση. Θίγονται ζητήματα διέγερσης του μοντέλου και οριακών συνθηκών που ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα καθώς και η επίτευξη βέλτιστου συνδυασμού ακρίβειας και υπολογιστικού κόστους. Κεφάλαιο 3 ΕΝΕΡΓΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΟΡΥΒΟΥ Εδώ παρουσιάζονται οι πιο διαδεδομένες τεχνικές ενεργού ελέγχου θορύβου μαζί με τους θεωρητικούς και πρακτικούς περιορισμούς που υπάρχουν. Στη συνέχεια επιλέγεται μία εκ των τεχνικών που θα χρησιμοποιηθεί στην προσομοίωση και εξηγούνται οι λόγοι επιλογής της. Κεφάλαιο 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται λεπτομέρειες σχετικά με την τεχνική ενεργού ελέγχου που χρησιμοποιήθηκε, καθώς και τη μορφή της μεθόδου FDTD με την οποία μοντελοποιήθηκε ο χώρος και έγινε η προσομοίωση. Αξίζει να σημειωθεί πως στις επιλογές αυτές λήφθηκαν υπόψη οι συνθήκες χρήσης του χώρου. Παρουσιάζονται επίσης τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις προσομοιώσεις που έγιναν με το συνδυασμό των μεθόδων. Κεφάλαιο 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ Στο τελευταίο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας σχολιάζονται τα παραπάνω αποτελέσματα και οι μικρές αποκλίσεις που παρουσιάζει η προσομοίωση από την πραγματικότητα. Τέλος, δίνονται μερικές προτάσεις για μελλοντική έρευνα και βελτίωση όσων παρουσιάστηκαν. 10

15 1 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ 1.1 Διάδοση ακουστικού κύματος Πρώτο βήμα για την ενασχόληση με προβλήματα ακουστικής είναι η κατανόηση του μηχανισμού παραγωγής και διάδοσης του ήχου. Ο ήχος είναι αποτέλεσμα της διάδοσης μηχανικού κύματος σε ελαστικό μέσο το οποίο προκαλεί διαταραχές στην πίεση ή μετατόπιση των σωματιδίων του μέσου αυτού οι οποίες ανιχνεύονται από το αυτί ή από κάποιο όργανο [4]. Το ελαστικό μέσο που θα απασχολήσει το παρόν κείμενο είναι ο αέρας. Η έκφραση των φυσικών ιδιοτήτων των αερίων είναι απλούστερη από αυτή των υγρών ή άλλων πιο σύνθετων μέσων (π.χ. ανθρώπινο σώμα), αλλά μεγάλο μέρος της ανάλυσης μπορεί να επεκταθεί και σε διαφορετικού είδος περιβάλλον. Πέρα από την απλότητα, ο αέρας είναι το μέσο μέσω του οποίου ως επί το πλείστον αντιλαμβανόμαστε τον ήχο, με ελάχιστες εξαιρέσεις περιπτώσεων, όπως για παράδειγμα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Εικόνα Πυκνώσεις και αραιώσεις στο μέσο κατά τη διάδοση ημιτονοειδούς διαταραχής. Οι διαταραχές από τα ηχητικά κύματα μετατοπίζουν τα σωματίδια του μέσου από τη θέση ισορροπίας τους. Αυτό δε συμβαίνει σε όλα τα σωματίδια με την ίδια φάση, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται πυκνώματα και αραιώματα στο μέσο. Όπως φαίνεται στην εικόνα (1.1) τα πυκνώματα συσχετίζονται με την αύξηση της πίεσης, ενώ τα αραιώματα με τη μείωση. Αξίζει να σημειωθεί πως η παραπάνω ταλάντωση της πίεσης συμβαίνει γύρω από τη σταθερή ατμοσφαιρική πίεση. Η διαφορά της στιγμιαίας από την ατμοσφαιρική πίεση καλείται 11

16 ακουστική πίεση, η οποία συσχετίζεται με τη σωματιδιακή ταχύτητα μέσω της αρχής διατήρησης της ορμής, όπως εκφράζεται στην εξίσωση (1.1). p v 0 t (1.1) Με p συμβολίζεται η ακουστική πίεση, με v το διάνυσμα της σωματιδιακής ταχύτητας και με ρ 0 η πυκνότητα του μέσου σε ηρεμία. Για τη σωματιδιακή ταχύτητα ισχύει επίσης η αρχή διατήρησης της μάζας, από την οποία προκύπτει η εξίσωση (1.2), όπου c είναι η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ο ήχος στο μέσο. 1 p v 2 (1.2) c t 0 Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα εξαρτάται από τη θερμοκρασία θ ( ) σύμφωνα με την εξίσωση (1.3). Σε θερμοκρασία δωματίου (25 ) η ταχύτητα είναι περίπου ίση με 346 m/s [5]. c (1.3) Με βάση την ταχύτητα αυτή σχετίζονται η συχνότητα με την οποία επαναλαμβάνονται τα πυκνώματα και τα αραιώματα στο χρόνο και η απόστασή τους στο χώρο, ή, πιο απλά, η συχνότητα f και το μήκος κύματος λ αντίστοιχα. c f (1.4) Απαλείφοντας τη σωματιδιακή ταχύτητα από τις εξισώσεις (1.1) και (1.2) προκύπτει η εξίσωση κύματος, στην οποία περιλαμβάνεται μόνο η ακουστική πίεση ως συνάρτηση του χρόνου, όπως φαίνεται στην παρακάτω εξίσωση. 2 p c 2 1 p t 2 2 (1.5) Η ακουστική πίεση μετράται σε μονάδες Pascal: 1Pa = 1N/m 2 = 1kg/m/s 2. Οι μονάδες αυτές είναι γενικά δύσχρηστες, οπότε συνηθίζεται η παρουσίαση σε στάθμη ακουστικής πίεσης (Sound Pressure Level, στο εξής SPL) ως προς μία τιμή αναφοράς. Η τιμή αναφοράς (p 0 ) αυτή είναι συνήθως τα 20 μpa, που αντιστοιχεί περίπου στο όριο στο οποίο ήχοι συχνότητας 1000 Hz γίνονται αντιληπτοί από το ανθρώπινο αυτί. Έτσι, η ακουστική πίεση δίνεται σε db από την εξίσωση (1.6), με βάση τη root-mean-square τιμή της [6]. SPL p rms 20 log10 (1.6) p0 12

17 1.2 Φαινόμενα κατά τη διάδοση ακουστικών κυμάτων Αρκετά συχνά η διάδοση των ακουστικών κυμάτων δε γίνεται σε ανοιχτό χώρο ελεύθερο από εμπόδια. Τα εμπόδια αυτά θεωρούνται γενικά μέσα διάδοσης του ήχου διαφορετικά από τον αέρα, είτε είναι, παραδείγματος χάρη, ένας τοίχος, είτε η επιφάνεια της θάλασσας. Η αλληλεπίδραση του ακουστικού κύματος με τέτοια εμπόδια περιγράφεται από τα φαινόμενα της ανάκλασης, τη διάθλασης, της περίθλαση και της σκέδασης Ανάκλαση και διάθλαση Όταν ένα κύμα προσπίπτει σε μία συμπαγή επιφάνεια που είναι αρκετά μεγάλη, συγκριτικά με το μήκος κύματος, τότε αυτό ανακλάται, σύμφωνα με τους νόμους της ανάκλασης, όπως ισχύουν στην οπτική. Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης και τα δύο κύματα παραμένουν στο ίδιο επίπεδο. Επιπλέον, όταν η διαχωριστική επιφάνεια δεν είναι συμπαγής, όπως στην περίπτωση αέρα-υγρού, τότε ένα τρίτο κύμα διαδίδεται στο δεύτερο μέσο, κατά τους νόμους που διέπουν το φαινόμενο της διάθλασης. Στην εικόνα (1.2) παρουσιάζονται τα τρία κύματα με την απλουστευμένη μορφή διανυσμάτων, για δύο μέσα διάδοσης με c 1 > c 2. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει διαθλώμενο κύμα, το μεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας του προσπίπτοντος θα διατηρηθεί και στο ανακλώμενο. Τέλεια ανάκλαση, όπου όλη η ενέργεια ανακλάται θα υπάρξει μόνο όταν η ανακλαστική επιφάνεια είναι πλήρως άκαμπτη και μη πορώδης. Το πλάτος του ανακλώμενου κύματος μειώνεται γενικά κατά έναν παράγοντα R 1, όπου η ισότητα ισχύει για τέλειες ανακλάσεις. Ο παράγοντας αυτός καλείται συντελεστής ανάκλασης και εξαρτάται από τις σύνθετες αντιδράσεις των δύο μέσων και τη γωνία πρόσπτωσης. Η σύνθετη αντίσταση (impedance) ενός μέσου δίνεται από την εξίσωση (1.7). Εικόνα Ανάκλαση και διάθλαση ακουστικού κύματος. 13

18 Η σύνθετη αντίσταση μετράται σε Rayls ή, ισοδύναμα, σε Pa s m. Ορίζεται επίσης η σχετική χαρακτηριστική αντίσταση, ζ, συνήθως ως προς το πρώτο μέσο διάδοσης που στην παρούσα εργασία είναι ο αέρας. Στο υπόλοιπο κείμενο η σχετική χαρακτηριστική αντίσταση των μέσων θα είναι εκφρασμένη ως προς τη σύνθετη αντίσταση του αέρα, η οποία θα συμβολίζεται ως Z 0. Z c (1.7) Z Z Z Z (1.8) Z Z c Rayls air Ο συντελεστής ανάκλασης συνδέεται με τις σύνθετες αντιδράσεις με βάση την εξίσωση (1.9α). Η εξάρτηση από τη γωνία πρόσπτωσης συχνά αμελείται, θεωρώντας μόνο κάθετη πρόσπτωση (θ = 0 ), οπότε προκύπτει η εξίσωση (1.9β). Η σύνθετη αντίσταση εκφράζεται ως προς το συντελεστή ανάκλασης στην εξίσωση (1.9γ). Z cos Z0 cos 1 R Z cos Z cos R 1 (1.9α) (1.9β) Z Z 0 1 R 1 R (1.9γ) Ένας ακόμα όρος που θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια και αξίζει να αναφερθεί είναι ο συντελεστής απορρόφησης α, μέγεθος με βάση το οποίο περιγράφεται συνήθως η ακουστική συμπεριφορά ενός υλικού. Για πολλά υλικά ο συντελεστής απορρόφησης εξαρτάται από τη συχνότητα του προσπίπτοντος κύματος. Στον πίνακα (1.1) παρουσιάζονται οι τιμές του συντελεστή απορρόφησης, του συντελεστή ανάκλασης για χαμηλές συχνότητες, περίπου 100 Hz. 2 1 R (1.10) Πίνακας Ακουστικά μεγέθη για διάφορες περιπτώσεις. Υλικό α R Z/Z 0 Άκαμπτη επιφάνεια 0 1 Ανηχοϊκός τερματισμός Υλικό με μικρή απορρόφηση 0,05 0, Υλικό με μεγάλη απορρόφηση 0,89 0,

19 1.2.2 Περίθλαση και διάχυση Τα παραπάνω δύο φαινόμενα βασίστηκαν στην ύπαρξη επαρκώς μεγάλης διαχωριστικής επιφάνειας. Αν ένα εμπόδιο είναι αρκετά μικρό, δηλαδή συγκρίσιμο με το μήκος κύματος, τότε η άκρη του θα λειτουργήσει ως δευτερεύουσα πηγή, η οποία θα επιδράσει και τον υπόλοιπο χώρο. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που υπάρχει ένα μικρό άνοιγμα σε μια διαχωριστική επιφάνεια. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται περίθλαση και εξαιτίας αυτού ο ήχος φτάνει και σε περιοχές στις οποίες φαινομενικά θα έπρεπε να δημιουργείται μια σκιά από το εμπόδιο, όπως φαίνεται στην εικόνα (1.3). Εικόνα Διάθλαση στην άκρη ενός λεπτού τοίχου. Ακόμα και όταν μια διαχωριστική επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί επαρκώς μεγάλη για την ύπαρξη περίθλασης, είναι αρκετά συχνό η τραχύτητά της να δημιουργήσει το φαινόμενο της διάχυσης. Αν στην επιφάνεια παρουσιάζονται εσοχές ή εξογκώματα μεγαλύτερα σε μέγεθος με το μήκος κύματος που προσπίπτει, τότε κάθε ένα από αυτά ανακλά το κύμα με το δικό του τρόπο. Αν το μέγεθός τους είναι πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος τότε ουσιαστικά αγνοούνται και η ανάκλαση συμβαίνει όπως παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα. Μία ιδιαίτερη περίπτωση παρουσιάζεται όταν οι διαστάσεις των ανωμαλιών της επιφάνειας είναι συγκρίσιμες με το μήκος κύματος. Σε αυτή την περίπτωση κάθε εσοχή ή εξόγκωμα διαχέει σημαντικό μέρος της προσπίπτουσας ενέργειας προς όλες τις κατευθύνσεις. Οι τρεις παραπάνω ελαφρώς διαφορετικές περιπτώσεις παρουσιάζονται στην εικόνα (1.4) [5]. Αξίζει να σημειωθεί πως το φαινόμενο της διάχυσης μπορεί να παρατηρηθεί και σε λείους τοίχους, στους οποίους όμως η χαρακτηριστική αντίσταση δεν είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια. 15

20 Εικόνα Διάχυση από ανωμαλίες σε επιφάνεια τοίχου: α) d λ, β) d λ, γ) d λ Συμβολή κυμάτων και στάσιμα κύματα Λόγω των φαινομένων που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες δύο ενότητες είναι εξαιρετικά σπάνιο, ως αδύνατο, το να διαδίδεται μόνο ένα κύμα σε κάποιον κλειστό χώρο. Η μελέτη περιπτώσεων όπου δύο ή περισσότερα κύματα συνυπάρχουν στο ίδιο μέσο βασίζεται στην αρχή της υπέρθεσης. Σύμφωνα με αυτή, όταν δύο ή περισσότερα οδεύοντα κύματα κινούνται σε ένα μέσο και συναντιούνται σε κάποιο σημείο, η μετατόπιση αυτού του σημείου θα ισούται με το άθροισμα των μετατοπίσεων που προκαλεί κάθε κύμα ξεχωριστά. Για ακουστικά κύματα, η υπέρθεση ισχύει για την ακουστική πίεση. Μια εικονική αναπαράσταση αυτής της αρχής δίνεται στην εικόνα (1.5). Έστω ότι τα δύο κύματα περιγράφονται από τις εξισώσεις (1.11α) και (1.11β), με φ να είναι η διαφορά φάσης ανάμεσά τους. Για απλότητα, θεωρείται πως διαδίδονται κατά τη διεύθυνση x. Σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, στο σημείο που θα συμβάλουν τα δύο αυτά κύματα η συνολική μετατόπιση (ή πίεση) θα περιγράφεται από την εξίσωση (1.12). Εικόνα Συμβολή κυμάτων α) σε φάση και β) με διαφορά φάσης. 16

21 2 x1 Asin( x t) (1.11α) 2 x2 Asin( x t ) (1.11α) 2 x x1 x2 2Acos sin x t 2 2 (1.12) Παρατηρείται πως το τελικό πλάτος εξαρτάται από τη διαφορά φάσης των δύο κυμάτων. Όπως φαίνεται και από τις δύο περιπτώσεις στην εικόνα (1.5), όταν τα δύο κύματα βρίσκονται σε φάση (φ = 0 ), το τελικό πλάτος είναι το άθροισμα των επί μέρους, ενώ όταν τα δύο κύματα διαφέρουν κατά φ = 180, το τελικό πλάτος είναι ίσο με μηδέν. Για διαφορετικές τιμές της διαφοράς φάσης (π.χ. 45,60,102,5 ) η συμβολή συμβαίνει όπως περιγράφεται από την εξίσωση (1.12), απλά το τελικό πλάτος βρίσκεται μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής του. Ορισμένες περιπτώσεις συμβολής κυμάτων παρουσιάζονται στο διάγραμμα (1.1), στο οποίο το μπλε κύμα αντιστοιχεί στο x 1, το κόκκινο στο x 2 και το μαύρο στο άθροισμά τους, x, σύμφωνα με τις προηγούμενες εξισώσεις. Στην πρώτη περίπτωση (φ = 0 ) τα δύο κύματα ταυτίζονται και η συμβολή τους, που οδηγεί στο μέγιστο πλάτος, ονομάζεται ενισχυτική. Αντίθετα, στη δεύτερη περίπτωση (φ = 180 ) το τελικό πλάτος είναι μηδενικό και η συμβολή καλείται καταστρεπτική. Η καταστρεπτική συμβολή δύο, ή περισσότερων, κυμάτων είναι το φαινόμενο στο οποίο βασίζεται ο ενεργός έλεγχος θορύβου, όπως θα παρουσιαστεί στο κεφάλαιο 3. Διάγραμμα Πλάτος συμβολής (μαύρο) για κύματα (μπλε, κόκκινο) με διαφορά φάσης 0,180,60 και 102,5. 17

22 Μια ιδιαίτερη περίπτωση συμβολής δημιουργείται όταν ένα κύμα προσπίπτει κάθετα σε έναν τοίχο. Για συντελεστή ανάκλασης πολύ κοντά στη μονάδα, το πλάτος του ανακλώμενου κύματος είναι περίπου ίσο με αυτό του προσπίπτοντος και τα δύο διαδίδονται προς αντίθετη κατεύθυνση. Τότε, το πλάτος του κύματος που προκύπτει από το άθροισμά τους εξαρτάται ημιτονοειδώς από την απόσταση από την ανακλαστική επιφάνεια και δεν περιέχει κάποιο όρο που φανερώνει διάδοση στο χώρο, όπως φαίνεται στην εξίσωση (1.13). Το κύμα αυτό καλείται στάσιμο. Η ημιτονοειδής εξάρτηση του πλάτους προκαλεί μεγιστοποιήσεις και μηδενισμούς σε συγκεκριμένα σημεία κατά τον άξονα της διάδοσης. Οι μηδενισμοί, ή κόμβοι, επαναλαμβάνονται στα σημεία που απέχουν περιττό πολλαπλάσιο του λ/4 από τον τοίχο, ενώ οι μεγιστοποιήσεις για άρτιο πολλαπλάσιο [7]. 2 y 2Asin x cos t (1.13) 1.3 Ακουστική κλειστών χώρων Επεκτείνοντας την επίδραση μίας ανακλαστικής επιφάνειας σε ένα οδεύον κύμα, μελετάται η διάδοση ακουστικών κυμάτων μέσα σε κλειστούς χώρους. Παραδείγματα τέτοιων χώρων είναι, μεταξύ άλλων, μικρά δωμάτια ή γραφεία, αλλά και μεγαλύτεροι βιομηχανικοί χώροι ή αίθουσες συναυλιών. Σε τέτοιες περιπτώσεις συχνά συμβαίνουν όλα τα φαινόμενα που περιγράφηκαν στις προηγούμενες ενότητες. Το αρχικό κύμα ανακλάται στους τοίχους και έπειτα τα ανακλώμενα κύματα ανακλούνται και αυτά με τη σειρά τους όταν προσπίπτουν στα όρια του χώρου. Στην πραγματικότητα, οι τοίχοι απορροφούν ένα μικρό ποσοστό της ενέργειας καθώς ανακλάται ένα κύμα, κάτι που εξαρτάται από τις ιδιότητες του υλικού. Το ίδιο κάνουν και όλα τα εμπόδια που μπορεί να βρίσκονται στο χώρο, όπως οι ακροατές μιας μουσικής παράστασης ή τα έπιπλα, τα οποία προκαλούν επιπρόσθετα το φαινόμενο της περίθλασης. Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, η προσέγγιση τέτοιων προβλημάτων με τις αναλυτικές μαθηματικές σχέσεις είναι δύσκολη ως αδύνατη. Το ηχητικό πεδίο σε ένα κλειστό δωμάτιο μπορεί να χωριστεί σε τρία τμήματα, όπως φαίνεται στην εικόνα (1.6). Ο κρουστικός ακουστικός παλμός θεωρείται πως συμβαίνει κάποια χρονική στιγμή t < 0 και το απευθείας κύμα φτάνει για t = 0 με καθυστέρηση και πλάτος που εξαρτώνται μόνο από την απόσταση του ακροατή από την πηγή. Λίγο αργότερα φτάνουν στον ακροατή οι πρώτες ανακλάσεις, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους αρκετά ms ώστε να είναι διακριτές. Στο τέλος παρουσιάζεται το πεδίο αντήχησης, το οποίο δημιουργείται από όλα τα φαινόμενα που έχουν παρουσιαστεί νωρίτερα. Το πλάτος και η διάρκειά του επηρεάζονται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του χώρου και από τη συχνότητα των ηχητικών κυμάτων. Ο αριθμός των παλμών που φτάνουν στον ακροατή Ν έπειτα από χρονικό διάστημα t υπολογίζεται από την εξίσωση (1.14). Ενδεικτικά, για ένα τυπικό δωμάτιο συνολικού όγκου 100 m 3 μετά από μόλις 0,5 s έχουν φτάσει πάνω από παλμοί [2]. 3 4 ( ct) N (1.14) 3V 18

23 Εικόνα Ηχητικό πεδίο σε κλειστό χώρο μετά από κρουστικό ακουστικό παλμό. Σύμφωνα με τα παραπάνω, όταν σταματήσει η λειτουργία μίας πηγής ήχου, η οποία ήταν σε λειτουργία σε σταθερή κατάσταση για επαρκώς μεγάλο χρονικό διάστημα, το ηχητικό πεδίο θα μειωθεί βαθμιαία και όχι αμέσως. Το μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα αυτής της μείωσης και χρησιμοποιείται για να συγκριθούν δύο χώροι είναι ο χρόνος αντήχησης. Ορίζεται ως ο χρόνος που χρειάζεται ώστε η στάθμη της ακουστικής πίεσης να μειωθεί κατά 60 db από το επίπεδο στο οποίο βρισκόταν κατά τη λειτουργία της πηγής. Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από τον όγκο του δωματίου, V, και τους συντελεστές απορρόφησης των επιφανειών, a i, όπως φαίνεται στην εξίσωση (1.15), όπου s i είναι το εμβαδόν κάθε επιφάνειας σε m 2. RT 60 0,161V 0,161V (1.15) A s i i Ο ιδανικός χρόνος αντήχησης εξαρτάται από τη χρήση για την οποία προορίζεται ο χώρος και περιορίζεται από τον όγκο και τα χαρακτηριστικά, όπως φαίνονται στην παραπάνω εξίσωση. Είναι σημαντικό να αναφερθεί πως η ανθρώπινη παρουσία εισάγει περαιτέρω απορρόφηση, οπότε το μέγεθος του ακροατηρίου πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη. Ένα άλλο βασικό χαρακτηριστικό μέγεθος που περιγράφει τις ακουστικές ιδιότητες ενός χώρου είναι η κρίσιμη απόσταση, D c. Η D c εκφράζει την απόσταση από την πηγή που διεγείρει το χώρο στην οποία η στάθμη από το απευθείας κύμα ισούται με τη στάθμη του πεδίου αντήχησης. Σε σημεία πιο κοντά στην πηγή από την κρίσιμη απόσταση κυριαρχεί το απευθείας πεδίο, ενώ στα πιο μακρινά κυριαρχεί το πεδίο αντήχησης. Η κρίσιμη απόσταση δίνεται από την παρακάτω εξίσωση [5]. 19

24 D c A V 0,1 16 RT (1.16) 60 Μερικά από τα παραπάνω εκφράζονται στην κρουστική απόκριση του δωματίου, η οποία μετασχηματιζόμενη στο πεδίο της συχνότητας αποτελεί τη συχνοτική απόκριση ή συνάρτηση μεταφοράς. Ο μετασχηματισμός Fourier που συνδέει τις δύο αποκρίσεις δίνεται από την εξίσωση (1.17). Η κρουστική απόκριση είναι η έξοδος ενός συστήματος για είσοδο μια κρούση Dirac, όπου η τιμή της είναι διαφορετική από το μηδέν μόνο στο πρώτο δείγμα, όπως φαίνεται στην εξίσωση (1.18). Ο μετασχηματισμός Fourier της εξίσωσης Dirac είναι σταθερός σε όλο το φάσμα, δηλαδή με την κρούση αυτή διεγείρονται όλες οι συχνότητες. Για δωμάτια που προορίζονται για ακρόαση η συχνοτική απόκριση πρέπει να είναι κατά το δυνατόν επίπεδη, δηλαδή ανεξάρτητη από τη συχνότητα. Όμως, λόγω των ανακλάσεων και το σχηματισμό ρυθμών, όπως περιγράφονται στη συνέχεια, η διάδοση του ήχου διαφέρει από σημείο σε σημείο και για διαφορετικές συχνότητες [8]. 1 it H ( ) h( t) e dt 2 (1.17) 1, (tt 0) 0, t t 0 t t 0 (1.18) Η κρουστική απόκριση χρησιμοποιείται συχνά στη θεωρία συστημάτων και στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί έτσι και το σύστημα ενεργού ελέγχου θορύβου εκτός από την ακουστική συμπεριφορά του δωματίου. Μια γενική περίπτωση ενός συστήματος με μία είσοδο και μία έξοδο φαίνεται στην εικόνα (1.7), με την κρουστική απόκριση h(t) να το περιγράφει. Εναλλακτικά το σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τη συνάρτηση μεταφοράς του στο πεδίο της συχνότητας, H(ω), ή σε κάποιο άλλο πεδίο, όπως θα φανεί στο τρίτο κεφάλαιο όπου χρησιμοποιείται το πεδίο Ζ. Με u(t) συμβολίζεται το σήμα στην είσοδο και με w(t) το σήμα που βγαίνει στην έξοδο. Τα δύο μεγέθη συνδέονται στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας από τις εξισώσεις (1.19α) και (1.19β) αντίστοιχα. Στην (1.19α) με αστερίσκο συμβολίζεται η πράξη της συνέλιξης, όπως ορίζεται στη συνέχεια από το ολοκλήρωμα [6]. Εικόνα Σύστημα μεταφοράς w( t) h( t) u( t) s( ) h( t ) d (1.19α) W ( ) H( ) U( ) (1.19β) 20

25 Ανατρέχοντας στην προηγούμενη ενότητα και τα στάσιμα κύματα, αν περιοριστεί το εύρος της απόστασης x, τότε οι μεγιστοποιήσεις του πλάτους συμβαίνουν σε ορισμένα μόνο μήκη κύματος, ή αντίστοιχα συχνότητες. Οι συχνότητες αυτές καλούνται συχνότητες συντονισμού ή ρυθμοί. Τέτοιοι ρυθμοί υπάρχουν άπειροι, καθώς άπειρες είναι οι μεγιστοποιήσεις του ημιτόνου. Στην παραπάνω μονοδιάστατη περίπτωση, υπονοείται πως οι υπόλοιπες διαστάσεις είναι πολύ μικρές ώστε να διαδοθεί το ακουστικό κύμα σε αυτές. Μεταφέροντας το πρόβλημα σε ένα μικρό δωμάτιο, τα κύματα δυνητικά ταξιδεύουν προς όλες τις διευθύνσεις, οπότε σχηματίζονται και τα αντίστοιχα στάσιμα κύματα στις τρεις διαστάσεις. Κάθε τέτοιο στάσιμο κύμα αποτελεί ένα ρυθμό του χώρου. Οι συχνότητες συντονισμού για έναν ορθογώνιο χώρο μήκους L x, πλάτους L y και ύψους L z δίνονται από την εξίσωση (1.20), με τα n x, n y, n z να παίρνουν ακέραιες τιμές. Στον πίνακα (1.2) παρουσιάζονται οι πρώτες συχνότητες συντονισμού ενός δωματίου με μήκος 7,3 m, πλάτος 3,8 m και ύψος 3 m. Μαζί με τις μεγιστοποιήσεις στο χώρο, υπάρχουν και οι κόμβοι, στους οποίους η ακουστική πίεση ελαχιστοποιείται. Η διέγερση ενός ρυθμού δεν μπορεί να επιτευχθεί αν η πηγή είναι τοποθετημένη σε σημείο που αποτελεί κόμβο, ενώ αντίστοιχα διεγείρονται ιδανικά ρυθμοί που παρουσιάζουν μεγιστοποιήσεις στη θέση της πηγής. Ο αντίστοιχος περιορισμός ισχύει για την τοποθεσία του μικροφώνου για τη μέτρηση της ηχητικής στάθμης [9]. Στην εικόνα (1.8) φαίνεται η μορφή των πρώτων ρυθμών σε ένα δισδιάστατο ορθογώνιο μήκους 7,3m και πλάτους 3,8m. f n c n n x y n z 2 L x L y Lz (1.20) Πίνακας Συχνότητες συντονισμού ενός δωματίου διαστάσεων 7,3 3,8 3 m. f n (Hz) n x n y n z f n (Hz) n x n y n z 23, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

26 Εικόνα Βασικοί ρυθμοί ενός δωματίου διαστάσεων 7,3 3,8 m. Μέγιστα με κόκκινο, ελάχιστα με μπλε. 22

27 2 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 2.1 Γενικά για υπολογιστικές μεθόδους Τα τελευταία χρόνια οι υπολογιστικές μέθοδοι ερευνούνται τακτικά τόσο στον τομέα της Ακουστικής όσο και σε άλλους, όπως του Ηλεκτρομαγνητισμού. Η ανάπτυξη σταθερών, αξιόπιστων και αποδοτικών μεθόδων που μπορούν να εφαρμοστούν σε πληθώρα προβλημάτων έχει αποδειχθεί κάθε άλλο παρά απλή. Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιαστούν πολύ συνοπτικά αυτές που χρησιμοποιούνται συχνά σε προβλήματα ακουστικής και θα εξηγηθούν τα χαρακτηριστικά της μεθόδου Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου που οδήγησαν στην επιλογή της για τη συγκεκριμένη εργασία Άλλες μέθοδοι Η Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Elements Method, FEM) χρησιμοποιείται κυρίως για την αριθμητική επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Partial Differential Equations, PDEs). Ο υπολογιστικός χώρος μοντελοποιείται από ένα πυκνό πλέγμα που αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό μη επικαλυπτόμενων στοιχείων τα οποία συνήθως έχουν τη μορφή τριγώνου για επιφάνειες και τετραέδρου ή εξαέδρου για τρισδιάστατες περιπτώσεις. Οι τιμές του πεδίου, δηλαδή της ακουστικής πίεσης σε προβλήματα ακουστικής, σε ολόκληρο το χώρο προσεγγίζονται τμηματικά από τις υποπεριοχές αυτές. Εικόνα Υπολογιστικές μέθοδοι για προβλήματα ακουστικής. Αρκετά όμοια με τη FEM είναι η Μέθοδος Οριακών Στοιχείων (Boundary Elements Method, BEM). Στη BEM διακριτοποιείται μια ολοκληρωτική εξίσωση ισοδύναμη της PDE που 23

28 περιγράφει το πρόβλημα. Η επαναδιατύπωση αυτή αποτελείται από μια εξίσωση που ορίζεται στο όριο του χώρου και η λύση της συσχετίζεται με τη λύση στα εσωτερικά σημεία του χώρου. Καθώς αυτή η αντιστοίχιση δεν είναι εφικτή για όλες τις PDE, η BEM δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε τόσο μεγάλο εύρος προβλημάτων όπως η FEM, αλλά είναι εν τέλει πιο απλή και αποδοτική. Μία ακόμα μέθοδος που αξίζει να αναφερθεί, αν και αρκετά διαφορετική από τις δύο προηγούμενες και την FDTD, είναι η Στατιστική Ανάλυση Ενέργειας (Statistical Energy Analysis, SEA). Στη μέθοδο αυτή το συνολικό σύστημα χωρίζεται σε συζευγμένα επιμέρους συστήματα, η ακουστική συμπεριφορά του οποίου περιγράφεται με όρους ενέργειας. Αποτελεί μια ικανοποιητική εναλλακτική σε προβλήματα μεγάλων διαστάσεων ή υψηλών συχνοτήτων, όπου οι άλλες μέθοδοι που αναφέρονται είναι πιο δύσχρηστες [10] Προτερήματα και αδυναμίες της μεθόδου FDTD Στη μέθοδο FDTD διακριτοποιείται η εξίσωση ακουστικού κύματος στο χώρο και στο χρόνο και οι διαφορίσεις αντικαθιστούνται από αντίστοιχες πεπερασμένες διαφορές. Η ακουστική πίεση σε κάθε σημείο του πλεγματοποιημένου χώρου υπολογίζεται βηματικά για κάθε χρονική στιγμή μέσω ρητών σχέσεων με τα γειτονικά σημεία. Μέσω αυτών των σχέσεων υλοποιείται η κυματική διάδοση και οι ανακλάσεις ή περιθλάσεις από διαφόρων ειδών εμπόδια που βρίσκονται στο μοντελοποιημένο χώρο. Στη συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της μεθόδου, τα οποία θα γίνουν πιο εύκολα κατανοητά μέσα από την αναλυτική θεωρητική παρουσίαση της μεθόδου στην ενότητα 2.2 [11]. Πλεονεκτήματα Οι ρητές σχέσεις με βάση τις οποίες ανανεώνεται η ακουστική πίεση στο πλέγμα είναι υπολογιστικά απλές, επιτρέποντας μεγαλύτερο αριθμό συνολικών πράξεων από άλλες μεθόδους στις οποίες χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, γραμμική άλγεβρα. Η μέθοδος είναι ακριβής και αξιόπιστη, καθώς όλες οι πιθανές πηγές σφαλμάτων είναι εκ των προτέρων γνωστές και μπορούν να περιοριστούν κατάλληλα. Δρώντας εξ ολοκλήρου στο πεδίο του χρόνου η μέθοδος FDTD μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί άμεσα η κρουστική απόκριση ενός χώρου. Κάτι τέτοιο είναι ιδιαίτερα χρήσιμο καθώς οι ιδιοσυχνότητες πολύπλοκων χώρων δεν είναι δυνατό να υπολογιστούν αναλυτικά. Για τον ίδιο λόγο, η προσομοίωση μπορεί να περιλαμβάνει ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων ή μία μόνο συχνότητα, με το μοναδικό περιορισμό να εισάγεται στο συνολικό χρόνο εκτέλεσης. Η δομή της μεθόδου είναι τέτοια που επιτρέπει τη σχετικά εύκολη παραλληλοποίηση της εκτέλεσής της χρησιμοποιώντας σύγχρονες GPGPUs. Τέτοιες τεχνικές μπορούν να επιταχύνουν σημαντικά τη συνολική διαδικασία. Ο υπολογισμός των τιμών της ακουστικής πίεσης απευθείας στο πεδίο του χρόνου μπορεί να συνδυαστεί ιδανικά με την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων σε έγχρωμα video στα οποία παρουσιάζεται το συνολικό ακουστικό πεδίο. Οι αδιάκοπες τεχνολογικές 24

29 εξελίξεις επιτρέπουν προσομοιώσεις που δύνανται να συνυπολογίζουν μεταβολές σε πραγματικό χρόνο. Μειονεκτήματα Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την ακουστική πίεση προσεγγίζεται με όρους δεύτερης τάξης, όπως περιγράφεται στην ενότητα 2.2. Στα περισσότερα προβλήματα το σφάλμα που εισάγεται από την ανακρίβεια αυτή μπορεί να παραμεληθεί, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις ενδέχεται η προσέγγιση να μην είναι ικανοποιητική. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση θα μπορούσε να διακριτοποιηθεί χρησιμοποιώντας και όρους τέταρτης τάξης, κάτι που θα αύξανε κατά πολύ τη συνολική πολυπλοκότητα. Το χρονικό βήμα εξαρτάται άμεσα από τις διαστάσεις του πλέγματος. Η εξάρτηση αυτή μπορεί να περιορίσει τη χρήση της μεθόδου σε ορισμένες εφαρμογές. Το μέγεθος του πλέγματος εξαρτάται από τη μέγιστη συχνότητα για την οποία επιθυμείται η προσομοίωση. Σε υψηλές συχνότητες το υπολογιστικό κόστος μπορεί να γίνει υπερβολικά μεγάλο. Το κυβικό πλέγμα είναι δύσχρηστο σε καμπυλωτές επιφάνειες οι οποίες προσεγγίζονται κλιμακωτά, κάτι που εισάγει ένα μικρό σφάλμα στο σύνολο των υπολογισμών. Τέλος, λόγω της φύσης της μεθόδου, τα σφάλματα σε ένα σημείο του πλέγματος μεταφέρονται σε όλο το υπόλοιπο. 2.2 Θεωρητική ανάλυση της μεθόδου FDTD Για τη δημιουργία μιας προσομοίωσης με την FDTD υπάρχουν μερικά σημεία στα οποία πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή. Το μεγαλύτερο μέρος της θεωρητικής ανάλυσης για τη μέθοδο αύτη έχει γίνει για προβλήματα που αφορούν στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, αλλά μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί στα δεδομένα προβλημάτων ακουστικής. Στην ενότητα αυτή θα αναλυθούν τα κυριότερα σημεία για τη δημιουργία του μοντέλου και το πώς αυτά επηρεάζουν την προσομοίωση Διακριτοποίηση του χώρου Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία του μοντέλου του χώρου για τον οποίο θα γίνει η προσομοίωση είναι ο ορισμός του πλέγματος. Θεωρώντας τη διακριτοποίηση του χώρου ως δειγματοληψία ο πρώτος περιορισμός για το χωρικό βήμα εισέρχεται από το θεώρημα του Nyquist και την ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας που αυτό επιβάλλει. Εκφρασμένο σε δεδομένα χώρου το θεώρημα επιβάλλει την ύπαρξη τουλάχιστον δύο δειγμάτων ανά μήκος κύματος, όπως περιγράφεται από την εξίσωση (2.1). Το κελί θεωρείται αρχικά πως έχει διαστάσεις Δx, Δy και Δz αντίστοιχα κατά άξονα. Τα τρία αυτά μεγέθη πρέπει να είναι ίσα ώστε η διακριτοποίηση να μη διαφέρει ανά διάσταση κάτι που θα οδηγούσε σε αλλοίωση της ομοιόμορφης διάδοσης στο πλέγμα. Έτσι, το κελί επιλέγεται να είναι ένας κύβος ακμής Δh. Στη συνέχεια του κειμένου θα χρησιμοποιηθεί αυτό το μέγεθος, για το οποίο ισχύει Δh = Δx = Δy = Δz. 25

30 h 2 (2.1) Να σημειωθεί πως το μήκος κύματος που χρησιμοποιείται είναι το ελάχιστο για το οποίο απαιτείται ακριβής προσομοίωση, ή ανάλογα, αυτό που αντιστοιχεί στη μέγιστη συχνότητα του εύρους ενδιαφέροντος. Αρκετά συχνά στη βιβλιογραφία προτείνεται το μέγεθος του κελιού να είναι ίσο με λ/10, δηλαδή αρκετά μικρότερο από αυτή της παραπάνω σχέσης [12]. Το κλάσμα του μήκους κύματος που θα επιλεχθεί τελικά για το μέγεθος του κελιού του πλέγματος αποτελεί προϊόν ενός συμβιβασμού μεταξύ υπολογιστικού κόστους και επιθυμητής ακρίβειας των αποτελεσμάτων. Επίσης, το Δh πρέπει να είναι αρκετά μικρό ώστε οι διάφορες λεπτομέρειες του χώρου να περιγράφονται ικανοποιητικά στο πλέγμα. Υπάρχει δυνατότητα αύξησης της πυκνότητας του πλέγματος μόνο σε ορισμένα σημεία, αλλά γενικά προτιμάται η ομοιόμορφη κατανομή. Η επιλογή λ/10 αιτιολογείται από το γεγονός πως για μικρότερο μέγεθος (π.χ. λ/20) η βελτίωση της ακρίβειας της μεθόδου είναι δυσανάλογα μικρή συγκριτικά με το υπολογιστικό κόστος. Η πρόταση αυτή περιγράφεται γραφικά στην επόμενη υποενότητα, στο διάγραμμα (2.1), αφού παρουσιαστεί και η χρονική διακριτοποίηση. Ενδεικτικά, αναφέρεται πως ο υποδιπλασιασμός του Δh οδηγεί σε 2 3 = 8 φορές περισσότερα κελιά για τον ίδιο τρισδιάστατο χώρο. Έτσι, ξεκινώντας από το συχνοτικό εύρος που θα εξεταστεί στην προσομοίωση, επιλέγεται με βάση τα προηγούμενα το κλάσμα του μήκους κύματος και δημιουργούνται τα αντίστοιχα κελιά. Ως παράδειγμα, για μία προσομοίωση με όριο τα 500 Hz η επιλογή ακμής λ/10 αντιστοιχεί σε περίπου 7 cm. Ένα τυπικό ορθογώνιο δωμάτιο διαστάσεων m μοντελοποιείται από περίπου 175,000 τέτοια κελιά. Είναι φανερό πως για συχνότητες της τάξης των KHz το υπολογιστικό κόστος θα είναι πολύ μεγαλύτερο και αυτή είναι μία από τις αιτίες που η FDTD χρησιμοποιείται κυρίως σε προβλήματα χαμηλών συχνοτήτων. Η αύξηση της διαθέσιμης υπολογιστικής ισχύος σε τυπικούς υπολογιστές αίρει σταδιακά αυτόν τον περιορισμό Διακριτοποίηση του χρόνου Το χρονικό βήμα περιορίζεται άμεσα από το χωρικό, με σκοπό η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο υπολογιστικό πλέγμα να απέχει όσο το δυνατόν λιγότερο από την ταχύτητα του ήχου στο φυσικό μέσο. Μεταξύ δύο διαδοχικών χρονικών στιγμών πρέπει όλα τα σημεία των κυμάτων στο χώρο να διασχίζουν το πολύ ένα ολόκληρο κελί, καθώς η μέθοδος συσχετίζει ένα σημείο με τα αμέσως γειτονικά του. Ο περιορισμός αυτός εκφράζεται από τη συνθήκη των Courant-Friedrichs-Lewy με τον αριθμητικό παράγοντα σταθερότητας, S, γνωστό και απλά ως αριθμό Courant. Η διάταξη των κελιών στο πλέγμα έχει ήδη καθοριστεί από τη δημιουργία του και, αγνοώντας προσωρινά τις οριακές επιφάνειες ή ακμές, κάθε κόμβος έχει 26 άμεσα γειτονικά σημεία. Το πόσα και ποια από αυτά τα σημεία θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της ακουστικής πίεσης ενός κόμβου είναι μία τις παραμέτρους της προσομοίωσης που μπορεί να επιλεγεί εξ αρχής με βάση ένα συμβιβασμό υπολογιστικού κόστους και ακρίβειας. Μερικές τέτοιες τοπολογίες θα αναλυθούν στην επόμενη υποενότητα μαζί με την εξίσωση 26

31 ανανέωσης, αλλά ο ορισμός των ουσιαστικών γειτονικών σημείων επηρεάζει, σύμφωνα με τα παραπάνω, και το χρονικό βήμα. Το Δt περιορίζεται από το μέγιστο επιτρεπτό αριθμό Courant, σύμφωνα με την εξίσωση (2.2). Τονίζεται πως ο αριθμός Courant διαφέρει ανάλογα με την επιλεγμένη τοπολογία. Αποδεικνύεται πως η βέλτιστη επιλογή του Δt γίνεται για τη μέγιστη τιμή του S, για την οποία ισχύει η ισότητα της (2.2) και έτσι θα χρησιμοποιείται στο εξής. S h c max t (2.2) Σύμφωνα με το σύντομο παράδειγμα της προηγούμενης υποενότητας, για την προσομοίωση 5 δευτερολέπτων των περίπου 175,000 κόμβων με μια τοπολογία που S = 1 θα χρειαστούν περίπου 25,000 επαναλήψεις. Γίνεται πλέον κατανοητό πως ο υποδιπλασιασμός του μεγέθους του κελιού επιφέρει και διπλασιασμό του απαραίτητου χρόνου εκτέλεσης, εκτός από τον οχταπλασιασμό του αριθμού των κελιών. Για να εξεταστεί η απόκλιση της ταχύτητας διάδοσης του κύματος στο πλέγμα από αυτή στο φυσικό μέσο χρησιμοποιείται η σχετική αριθμητική φασική ταχύτητα v p. Αυτή εξαρτάται από τον αριθμό Courant, τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και το κλάσμα της διακριτοποίησης Ν λ = λ/δh. Για την απλούστερη τοπολογία, στην οποία θεωρούνται μόνο τα έξι γειτονικά σημεία στους τρεις άξονες, η v p περιγράφεται από την εξίσωση (2.3), όπου k είναι ο κυματικός αριθμός, θ η γωνία της διάδοσης ως προς τον άξονα x (αζιμούθιο) και φ η γωνία της διάδοσης ως προς το επίπεδο xy (υπερύψωση). v p ˆ ˆ ˆ 1 2 k hcos cos 2 k hsin cos 2 k hsin 2sin S sin sin sin Shkˆ (2.3 ) Για ορισμένες διευθύνσεις διάδοσης η παραπάνω εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε κλειστή μορφή συναρτήσει του Ν λ, το οποίο προκύπτει μέσω του κυματικού αριθμού. Στο διάγραμμα (2.1) παρουσιάζονται οι σχετικές αριθμητικές φασικές ταχύτητες για διεύθυνση διάδοσης κατά τον άξονα x, (θ, φ) = (0,0), και κατά τη μικρή διαγώνιο στο επίπεδο xy, (θ, φ) = (45, 0). Τονίζεται πως η συμπεριφορά κατά τη διάδοση σε αντίστοιχες διευθύνσεις σε άλλους άξονες ή μικρές διαγώνιους είναι αντίστοιχη, ενώ μπορεί να δειχθεί πως κατά τη διάδοση στη μεγάλη διαγώνιο, (θ, φ) = (45, 45 ), η προσέγγιση είναι ιδανική για κατάλληλη επιλογή του αριθμού Courant, S = 1/ 3 [11]. Με αυτό το διάγραμμα επιβεβαιώνεται πως η επιλογή διακριτοποίησης του πλέγματος με Ν λ = 10 προσφέρει έναν ικανοποιητικό συνδυασμό ακρίβειας και υπολογιστικού κόστους. Για μικρότερες τιμές (πιο αραιό πλέγμα) το σφάλμα μεγαλώνει, ιδιαίτερα για μικρές γωνίες διάδοσης, ενώ για τιμές μεγαλύτερες του 10 η βελτίωση είναι πολύ μικρή. Διευκρινίζεται πως οι περιπτώσεις διευθύνσεων διάδοσης είναι ενδεικτικές, καθώς σε μια προσομοίωση διάδοσης κύματος σε τρισδιάστατο χώρο με ανακλάσεις θα υπάρχουν κύματα προς πάρα πολλές κατευθύνσεις. Η συμπεριφορά τους, όμως, θα περιγράφεται ανάλογα με τα παραπάνω. 27

32 Διάγραμμα 2.1 Σχετική αριθμητική φασική ταχύτητα συναρτήσει της πυκνότητας του πλέγματος Εξίσωση ανανέωσης Αφού δημιουργηθεί το υπολογιστικό πλέγμα και επιλεχθούν τα βασικά μεγέθη που θα χρησιμοποιηθούν, πρέπει να οριστεί ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζεται η ακουστική πίεση στο μέσο. Η υποενότητα αυτή επικεντρώνεται στους κόμβους του πλέγματος που βρίσκονται στο εσωτερικό του, έχουν δηλαδή 26 γειτονικούς κόμβους. Η διαχείριση των σημείων στις συνοριακές επιφάνειες, ακμές και γωνίες παρουσιάζεται στην επόμενη υποενότητα. Στα προβλήματα διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις των Ampere και Faraday, με κύρια μεγέθη τις εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Στα προβλήματα ακουστικής τα κύρια μεγέθη με βάση τα οποία ορίζονται οι εξισώσεις που ανανεώνονται βηματικά είναι η ακουστική πίεση p και η σωματιδιακή ταχύτητα v. Για τα προβλήματα ακουστικής υπάρχουν δύο διατυπώσεις της μεθόδου που διαφοροποιούνται στον αριθμό των μεταβλητών που χρησιμοποιούν. Η διανυσματική διατύπωση βασίζεται στην ακουστική πίεση και στη σωματιδιακή ταχύτητα και αντιστοιχεί στην αρχική μορφή του αλγορίθμου του Yee, στον οποίο βασίζεται η μέθοδος FDTD, όπως παρουσιάστηκε για ηλεκτρομαγνητικά μεγέθη [13]. Η βαθμωτή διατύπωση, αντίθετα, χρησιμοποιεί μόνο την ακουστική πίεση, κάτι που την καθιστά υπολογιστικά πιο αποδοτική, ενώ παραμένει ισοδύναμη με τη διανυσματική ως προς τα αποτελέσματα που αποφέρει [14]. 28

33 Διανυσματική διατύπωση Αρχικά, για την ανάκτηση των εξισώσεων που θα χρησιμοποιηθούν διακριτοποιείται η ακουστική πίεση και η σωματιδιακή ταχύτητα στο χώρο και το χρόνο. Ο συμβολισμός που θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια της εργασίας για τα δύο διακριτοποιημένα μεγέθη παρουσιάζεται στις εξισώσεις (2.4). Ο διαχωρισμός των πεδίων της πίεσης και της ταχύτητας επιβάλλει τον υπολογισμό των τιμών τους σε διαφορετικές θέσεις στο πλέγμα, οι οποίες έχουν απόσταση Δx/2, αλλά θα περιγράφονται από τον ίδιο δείκτη σε προγραμματιστική υλοποίηση [3]. n p( x, y, z, t) p( l x, m y, i z, n t) p l, m, i (2.4α) v x y z t v l x my iz n t v l m i (2.4β) n1/2 x(,,, ) x([ 1/ 2],,,[ 1/ 2] ) x (,, ) v x y z t v lx m y iz n t v l m i (2.4γ) n1/2 y(,,, ) y(,[ 1/ 2],,[ 1/ 2] ) y (,, ) v x y z t v lx my i z n t v l m i (2.4δ) n1/2 z(,,, ) z(,,[ 1/ 2],[ 1/ 2] ) z (,, ) Από τις εξισώσεις (1.1) και (1.2) προκύπτουν οι εξισώσεις (2.5) που χρησιμοποιούνται στη διανυσματική διατύπωση. Με την ισότητα Δx = Δy = Δz = Δh που παρουσιάστηκε στην υποενότητα μπορεί να προκύψει μια πιο απλουστευμένη μορφή, αλλά εδώ δίνονται για τη γενική περίπτωση [15]. Στην εικόνα (2.2) παρουσιάζεται η διάταξη των κόμβων για τη δισδιάστατη περίπτωση, χάριν ευκρίνειας, η οποία μπορεί εύκολα να επεκταθεί και στην τρίτη διάσταση. Τονίζεται πως σε μια ανάλογη υλοποίηση οι κόμβοι μέσα σε κάθε διακεκομμένο κύκλο θα έχουν τους ίδιους χωρικούς δείκτες [16]. 2 n1 n c t l 1/2 l 1/2 pl, m, i pl, m, i vx l 1/ 2, m, i vx l 1/ 2, m, i x 2 c t l1/2 l 1/2 vy l, m 1/ 2, i vy l, m 1/ 2, i y 2 c t l1/2 1/2 vz l m i vz l m i z l,, 1/ 2,, 1/ 2 n1/2 n1/2 t n n vx ( l 1/ 2, m, i) vx l 1/ 2, m, i pl 1, m, i pl, m, i x n1/2 n1/2 t n n vy ( l, m 1/ 2, i) vy l, m 1/ 2, i pl, m1, i pl, m, i y n1/2 n1/2 t n n vz ( l, m, i 1/ 2) vz l, m, i 1/ 2 pl, m, i1 pl, m, i z (2.5α) (2.5β) (2.5γ) (2.5δ) 29

34 Εικόνα Διάταξη κόμβων για 2D FDTD με τη διανυσματική διατύπωση. Βαθμωτή διατύπωση Στη βαθμωτή διατύπωση η σωματιδιακή ταχύτητα απαλείφεται και η εξίσωση ανανέωσης εξάγεται με βάση την εξίσωση (1.5). Ακολουθώντας το συμβολισμό που δίνεται στη (2.4α), η ακουστική πίεση σε ένα σημείο (l, m, i) υπολογίζεται γενικά με βάση την εξίσωση (2.6). p d ( p p p p p p ) n1 n n n n n n l, m, i 1 l1, m, i l1, m, i l, m1, i l, m1, i l, m, i1 l 1, m, i1 d ( p p p p n n n n 2 l1, m1, i l1, m1, i l1, m, i1 l1, m, i1 p p p p n n n n l, m1, i1 l, m1, i1 l, m1, i1 l, m1, i1 n n n n pl 1, m1, i pl 1, m1,i pl 1, m, i1 pl 1, m, i1 d ( p p p p n n n n 3 l1, m1, i1 l1, m1, i1 l1, m1, i1 l1, m1, i1 d p p p p p n n n n l1, m1, i1 l1, m1, i1 l1, m1, i1 l1, m1, i1 p n n1 4 l, m, i l, m, i ) ) (2.6) Οι παράμετροι d 1, d 2, d 3, d 4 υπολογίζονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις (2.7), με τους συντελεστές a, b, c να εξαρτώνται από την τοπολογία που χρησιμοποιείται, δηλαδή από το πόσα και ποια γειτονικά σημεία στην εξίσωση (2.6) λαμβάνονται υπόψη. Παρατηρείται πως για τον υπολογισμό της ακουστικής πίεσης ενός κόμβου για το επόμενο χρονικό βήμα χρησιμοποιούνται οι τιμές του ίδιου κόμβου και των γειτονικών του για την παρούσα και την 30

35 αμέσως προηγούμενη χρονική στιγμή. Έτσι, αρκεί η διατήρηση στη μνήμη μόνο τριών τιμών για κάθε κόμβο, κάτι που μειώνει τις συνολικές απαιτήσεις μνήμης d S b c (2.7α) d S b c (2.7β) d3 2 S c d S S b S c (2.7γ) (2.7δ) Ο αλγόριθμος του Yee όπως παρουσιάστηκε αρχικά για ηλεκτρομαγνητικά κύματα εκφράζεται στην απλούστερη τοπολογία, γνωστή ως Standard Leapfrog (στο εξής SLF), στην οποία χρησιμοποιούνται μόνο έξι γειτονικοί κόμβοι, ανά δύο εκατέρωθεν του σημείου στο οποίο θα υπολογιστεί η πίεση για τις τρεις διαστάσεις. Απαιτώντας μικρότερο αριθμό συνολικών πράξεων, η SLF είναι η αυτή με το μικρότερο υπολογιστικό κόστος, αλλά αναπόφευκτα με σχετικά μεγαλύτερο σφάλμα. Στην τοπολογία αυτή οι παράμετροι d 2, d 3, d 4 είναι ίσοι με μηδέν. Αυξάνοντας τα σημεία που συνυπολογίζονται στην εξίσωση (2.6), προκύπτουν δύο ακόμα τοπολογίες. Στην οκταεδρική (Octahedral, στο εξής OCTA) χρησιμοποιούνται τα οχτώ σημεία στις κορυφές του κελιού, ενώ στην τετραεδρική (Tetrahedral, στο εξής TETRA) χρησιμοποιούνται τα δώδεκα σημεία στα μέσα των ακμών του κελιού. Οι δύο αυτές τοπολογίες έχουν το μικρό πλεονέκτημα πως οι συντελεστές τους είναι δυνάμεις του 1 2, κάτι χρήσιμο για μερικές περιπτώσεις. Τέλος, η τοπολογία που χρησιμοποιεί και τα είκοσι έξι γειτονικά σημεία παρουσιάζει το μικρότερο σφάλμα για μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων (Interpolated Wideband, στο εξής IWB). Αναπόφευκτα, το υπολογιστικό κόστος είναι λίγο μεγαλύτερο από τις προαναφερθείσες τοπολογίες. Ανάλυση χαρακτηριστικών όπως η ευστάθεια, η αριθμητική διασπορά, η ακρίβεια και το υπολογιστικό κόστος έχει δείξει πως η συγκεκριμένη τοπολογία είναι η βέλτιστη για χρήση σε μοντελοποιήσεις εσωτερικών χώρων [17]. Στην εικόνα (2.3) παρουσιάζονται σχηματικά οι διατάξεις των τεσσάρων τοπολογιών που αναφέρθηκαν και στον πίνακα (2.1) δίνονται οι τιμές των παραμέτρων τους. Πίνακας Παράμετροι διαφορετικών τοπολογιών. Παράμετρος SLF OCTA TETRA IWB b c S d d d d

36 Εικόνα Κόμβοι που χρησιμοποιούνται σε κάθε τοπολογία Συνοριακές συνθήκες Ένα ακόμα σημαντικό ζήτημα σε προβλήματα ακουστικής χώρων είναι η σωστή μοντελοποίηση των ανακλαστικών συνοριακών επιφανειών. Στην πραγματικότητα η πλειοψηφία των ορίων παρουσιάζει συμπεριφορά εξαρτώμενη από τη συχνότητα και στις περισσότερες προσομοιώσεις το εύρος ενδιαφέροντος είναι αρκετά μεγάλο ώστε να απαιτείται η υλοποίηση τέτοιας συμπεριφοράς. Επίσης, μία απόλυτα ρεαλιστική μοντελοποίηση θα έπρεπε να συμπεριλαμβάνει και τη διάδοση του κύματος στο ίδιο το όριο, αλλά έχει αποδειχθεί πως η διαφορά που προκύπτει αν αυτή αγνοηθεί δεν είναι ιδιαίτερα σημαντική [15]. Τέτοιες επιφάνειες στις οποίες αγνοείται η διάδοση του κύματος και η σωματιδιακή ταχύτητα μπροστά τους εξαρτάται μόνο από την ακουστική πίεση στο ίδιο σημείο και όχι από την πίεση των γειτονικών κόμβων, καλούνται τοπικά αντιδρώσες (Locally Reacting Surface, στο εξής LRS) [5]. Η ιδιότητα αυτή μεταφέρεται αντίστοιχα και στη βαθμωτή διατύπωση στην οποία δεν χρησιμοποιείται η σωματιδιακή ταχύτητα. Στην εξίσωση (2.6) φαίνεται πως αν το σημείο για το οποίο απαιτείται ο υπολογισμός της ακουστικής πίεσης βρίσκεται στο όριο του πλέγματος, ορισμένες τιμές του δεξιού μέλους δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν καθώς βρίσκονται εκτός του υπολογιστικού χώρου. Δύο παραδείγματα τέτοιων περιπτώσεων δίνονται στην εικόνα (2.4), όπου ο κόμβος (l, m, i) που πρέπει να ανανεωθεί σημειώνεται με κόκκινο χρώμα και βρίσκεται α) στη δεξιά οριακή επιφάνεια και β) στην άνω δεξιά γωνία. Με γεμισμένο μαύρο είναι ο κόμβοι που βρίσκονται εντός του πλέγματος, ενώ οι υπόλοιποι βρίσκονται εκτός του υπολογιστικού χώρου και καλούνται κόμβοι φάντασμα (ghost nodes) [18]. 32

37 Εικόνα Γειτονικοί κόμβοι σημείου στο όριο α) επιφάνειας β) γωνίας. Στη θέση των κόμβων που δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην εξίσωση (2.6) εισάγονται εκτιμήσεις της τιμής τους. Οι εκτιμήσεις αυτές εξαρτώνται από την ανακλαστική συμπεριφορά του ορίου που, εξαρτώμενη ή όχι από τη συχνότητα, εκφράζεται στη σύνθετη αντίστασή του. Η σύνθετη αντίσταση στις χαμηλές συχνότητες μπορεί να προσεγγιστεί από το μοντέλο μάζας-ελατηρίου. Λεπτά απορροφητικά στρώματα μπροστά από σκληρότερες επιφάνειες, όπως καλύμματα τοίχων ή καρέκλες, προσεγγίζονται από το μοντέλο του ελατηρίου, ενώ πιο ελαστικοί τοίχοι ή κουρτίνες ακολουθούν το μοντέλο της μάζας. Πιο σύνθετες επιφάνειες προσεγγίζονται από το συνδυασμό των παραπάνω, όπως φαίνεται στην εξίσωση (2.8) όπου M είναι η μάζα ανά μοναδιαία επιφάνεια, R η αντίσταση και K η σταθερά ελατηρίου και s είναι η συχνότητα στο πεδίο Laplace [15]. Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για τη χρήση της εξίσωσης αυτής με σκοπό το σχηματισμό εξισώσεων ανανέωσης της πίεσης των οριακών κόμβων. Αρχικά παρουσιάζεται η σχετικά απλή, άμεση προσέγγιση, που χρησιμοποιείται κυρίως με την SLF τοπολογία και στη συνέχεια δίνονται τα βασικά σημεία της τεχνικής που μοντελοποιεί τις ανακλαστικές επιφάνειες σαν ψηφιακά φίλτρα με βάση την εξίσωση (2.8). Σημειώνεται πως και στις δύο περιπτώσεις οι ανακλαστικές επιφάνειες θεωρούνται τοπικά αντιδρώσες (LRS). Z ( ) / s w s R Ms K (2.8) Σχηματισμός εξίσωσης οριακών κόμβων Αρχικά, η εξίσωση διάδοσης τροποποιείται ώστε να εκφράζεται ως προς τη σχετική χαρακτηριστική αντίσταση, η οποία αντικαθίσταται από την αντίστοιχης μορφής (2.8), η οποία έχει μετασχηματιστεί στο πεδίο Z. Ο διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transform) που περιγράφεται από την εξίσωση (2.9) χρησιμοποιείται για το μετασχηματισμό αυτό. 1 21z s z e 1 t1z st (2.9) 33

38 Πίνακας Αριθμητικοί παράμετροι σύνθετης αντίστασης. Παράμετρος Περιγραφή α R = R ρc Σχετική αντίσταση α K = KΔt 2ρc Σχετική σταθερά ελατηρίου α K = 2M Δtρc Σχετική σταθερά μάζας α = α R + α K + α M Άθροισμα Τέλος, μετά από μερικές ανακατατάξεις προκύπτει η εξίσωση (2.10), βάσει της οποίας υπολογίζεται η πίεση στους οριακούς κόμβους. Στην εξίσωση αυτή χρησιμοποιούνται δύο βοηθητικές μεταβλητές, S K και S M, που περιγράφονται από τις εξισώσεις (2.12α-β) αντίστοιχα. Οι μεταβλητές αυτές χρησιμοποιούνται και για την εκτίμηση της παρελθοντικής τιμής της πίεσης του κόμβου που βρίσκεται εκτός του πλέγματος (ghost node), σύμφωνα με την εξίσωση (2.11). Υπενθυμίζεται πως στην SLF τοπολογία χρησιμοποιούνται μόνο δύο γειτονικά σημεία ανά διάσταση, οπότε για συνοριακές επιφάνειες υπάρχει μόνο ένας κόμβος φάντασμα. Οι εξισώσεις περιγράφουν και πάλι μια οριακή επιφάνεια στο επίπεδο x = (l + 1)Δh, όπως φαίνεται στην εικόνα (2.4). Ο υπολογισμός των εξισώσεων πρέπει να γίνει με τη σειρά που παρουσιάζονται, καθώς η μία περιέχει αποτέλεσμα της προηγούμενης. Οι παράμετροι α περιγράφονται στον πίνακα (2.2)[19]. p [ S 2p p p p p n 2 n n n n n l1, m, i l1, m, i l, m1, i l, m1, i l, m, i1 l, m, i1 2 n S n1 2(1 3 S ) pl, m, i 1 pl, m, i K M n1 n1 pl 1, m, i pl 1, m, i 2 S a a 2 ak n1 2 am n1 S SK S SM ] / 1 S n n 1 n1 n1 pl 1, m, i pl 1, m, i pl, m, i pl, m, i S a a a a p p S S a a K M n1 n1 K n1 M n1 l1, m, i l1, m, i K M (2.10) (2.11) S p p p p S (2.12α) n n n n1 n1 n1 K l1, m, i l1, m, i l1, m, i l1, m, i K S p p p p S (2.12β) n n n n1 n1 n1 M l1, m, i l1, m, i l1, m, i l1, m, i M Συνεχίζοντας με την ίδια λογική προκύπτουν οι εξισώσεις για κόμβους στις άλλες επιφάνειες και σε ακμές και γωνίες του τρισδιάστατου πλέγματος. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται σε περιπτώσεις όπου μία ακμή ή γωνία «εισέρχεται» του πλέγματος, καθώς για την τοπολογία SLF οι απαραίτητοι κόμβοι βρίσκονται εντός του υπολογιστικού πεδίου. Για τις άλλες τοπολογίες που παρουσιάστηκαν, και συγκεκριμένα για την IWB, η προσέγγιση γίνεται με την τεχνική που περιγράφεται στη συνέχεια και δίνονται εκεί οι αντίστοιχες εξισώσεις. 34

39 Μοντελοποίηση ανακλαστικών επιφανειών σαν ψηφιακά φίλτρα Η μοντελοποίηση των ορίων σαν ψηφιακά φίλτρα αποσκοπεί στην ακριβέστερη υλοποίηση της εξάρτησης από τη συχνότητα. Το πρώτο βήμα για την προσέγγιση αυτή είναι η μετατροπή της έκφρασης της σχετικής χαρακτηριστικής αντίστασης όπως δίνεται στην εξίσωση (1.9γ) στη μορφή ενός IIR φίλτρου: b b z b z b z (z) a a z a z a z 1 2 N N 1 2 N N (2.13) Υπάρχουν ορισμένες τεχνικές για τη μετατροπή αυτή [20]. Μία από αυτές χρησιμοποιεί την εξίσωση (2.8) μεταφέροντάς τη στο πεδίο Ζ είτε με το διγραμμικό μετασχηματισμό όπως παρουσιάστηκε νωρίτερα είτε, πιο αποδοτικά, με την Impulse Invariant Method (IIM). Η μέθοδος αυτή μετατρέπει μια αναλογική συνάρτηση μεταφοράς στην αντίστοιχη ψηφιακή έτσι ώστε η κρουστική απόκριση να παραμένει αμετάβλητη. Μια σημαντική λεπτομέρεια είναι πως η μέθοδος απαιτεί αυστηρά κανονική (strictly proper) συνάρτηση μεταφοράς, δηλαδή με περισσότερους πόλους από μηδενικά, οπότε χρησιμοποιείται η σύνθετη αντίδραση y(z) = 1 ζ(z) και έπειτα αντιστρέφεται το αποτέλεσμα [21]. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, ο σκοπός είναι να αντικατασταθούν οι κόμβοι φάντασμα της εξίσωσης (2.6) με ποσότητες που μπορούν να υπολογιστούν επαναληπτικά και εκ των προτέρων. Για την IWB τοπολογία υπάρχουν εννιά τέτοιοι κόμβοι σε μία οριακή επιφάνεια, οι οποίοι χωρίζονται σε τρεις ομάδες ανάλογα με την απόστασή τους από το κέντρο και αντικαθίστανται κατάλληλα. Οι συντελεστές a i και b i χρησιμοποιούνται για την αντικατάσταση αυτή, μαζί με ορισμένες ενδιάμεσες μεταβλητές αντίστοιχες αυτών των εξισώσεων (2.12). Ο κεντρικός κόμβος φάντασμα υπολογίζεται μόνος του ξεχωριστά, στη δεύτερη ομάδα ανήκουν τα σημεία στις γωνίες του υποθετικού τετραγώνου, και στην τρίτη οι κόμβοι που βρίσκονται στα μέσα των πλευρών αυτού του τετραγώνου, όπως φαίνεται στην εικόνα (2.5). Όπως και πριν, οι εξισώσεις αναφέρονται στη δεξιά οριακή επιφάνεια, οπότε οι 9 αυτοί κόμβοι βρίσκονται στο επίπεδο x = (l + 1)Δh [22]. Κάθε μία από τις δύο τετράδες προσεγγίζεται γραμμικά από ένα σημείο το οποίο βρίσκεται στην τομή του άξονα που είναι κάθετος στην οριακή επιφάνεια και περνάει από τον κόμβο (l, m, i) και τη σφαίρα με κέντρο τον κόμβο αυτό που έχει στην επιφάνειά της τα σημεία κάθε τετράδας. Το ίδιο γίνεται και για τα αντίστοιχα σημεία στο εσωτερικό του πλέγματος, οπότε προκύπτουν δύο ακόμα περιπτώσεις όμοιες με αυτή του κεντρικού. Τονίζεται πως η επιφάνεια θεωρείται και πάλι τοπικά αντιδρώσα. Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα των παραπάνω προκύπτει ένα σύνολο εξισώσεων αντίστοιχο με αυτό των (2.10)-(2.12), όπως φαίνεται παρακάτω στις (2.14)-(2.17). Η σειρά υπολογισμού των εξισώσεων είναι και πάλι αυτή με την οποία παρουσιάζονται. Τα x και y εκφράζουν αντίστοιχα την είσοδο και την έξοδο στο φίλτρο που περιγράφει την οριακή επιφάνεια και χρησιμοποιούνται ως βοηθητικές μεταβλητές. 35

40 Εικόνα Ομαδοποίηση ghost nodes. N n ni ni i i i1 g b x a y (2.14) [ n n n n S 2b 2c pl 1, m1, i pl 1, m1, i pl 1, m, i1 pl 1, m, i1 2 n n n n S b 2c pl, m1, i1 pl, m1, i1 pl, m1, i1 pl, m1, i1 2 n n n n S 2c pl 1, m1, i1 pl 1, m1, i1 pl 1, m1, i1 pl 1, m1, i1 p S b c p p p p p n1 2 n n n n n l, m, i l 1, m, i l, m 1, i l, m 1, i l, m, i 1 l, m, i 1 2 S g n S 6 bs n 4 cs p l, m, i b0 Sa Sa ( 1) p ] / 1 b 0 n1 0 l, m, i 0 b0 n n 0 n1 n1 l, m, i l, m, i Sb0 b0 (2.15) a g x p p (2.16) 1 y b x g (2.17) n n n 0 a0 Ανάλογη διαδικασία ακολουθείται και για τις ακμές και τις γωνίες με την αντικατάσταση των αντίστοιχων κόμβων. Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται και πάλι οι περιπτώσεις εσωτερικών ακμών ή γωνιών, καθώς στην IWB τοπολογία μερικοί από τους γειτονικούς κόμβους θα βρίσκονται εκτός πλέγματος. Η παρουσίαση αυτών των εξισώσεων ξεφεύγει από τους στόχους της παρούσας διπλωματικής εργασίας, καθώς προσδιορίζονται με παρόμοιο 36

41 τρόπο με τις εξωτερικές αιχμές ή γωνίες, όπως παρουσιάζεται στη σχετική βιβλιογραφία. Ωστόσο, παρακάτω δίνονται ενδεικτικά οι εξισώσεις υπολογισμού της ακουστικής πίεσης των κόμβων επί της (εξωτερικής) ακμής, εξίσωση (2.18), και της (εξωτερικής) γωνίας, εξίσωση (2.19), που αντιστοιχούν στη διάδοση κατά τους θετικούς άξονες, ή, αντίστοιχα, στα σύνολα (x max, y max, z min + 1: z max 1) και (x max, y max, z max ) [18]. p [ d 2 p 2 p p p n1 n n n n l, m, i 1 l1, m, i l, m1, i l, m, i1 l, m, i1 2d 2p p p p p n n n n n 2 l1, m1, i l1, m, i1 l1, m, i1 l, m1, i1 l, m1, i1 n n n n n 2 g g x y 4d3 pl 1, m1, i1 pl 1, m1, i1 d4 pl, m, i S b0, x b 0, y Sa Sa Sa Sa 1 p ] / 1 0, x 0,y n1 0, x 0,y l, m, i b0, x b 0,y b0, x b 0,y p [2d p p p n1 n n n l, m, i 1 l1, m, i l, m1, i l, m, i1 4d p p p n n n 2 l1, m1, i l1, m, i1 l, m1, i1 n n n n n 2 g g x y g z 8d3 pl 1, m1, i1 d4 pl, m, i S b0, x b0,y b 0,z Sa0, x Sa0,y Sa 0,z n1 Sa x Sa0,y Sa 1 pl,m,i ] / 1 b0, x b0,y b 0,z b x b b 0, 0,z 0, 0,y 0,z (2.18) (2.19) Οι ποσότητες g x, g y, g z υπολογίζονται σε όλες τις περιπτώσεις από την εξίσωση (2.14) με χρήση των αντίστοιχων ενδιάμεσων μεταβλητών από τις (2.16) και (2.17). Κάθε μία εκφράζει τη συμπεριφορά της οριακής επιφάνειας στην εκάστοτε διάσταση, όπως και οι αντίστοιχοι συντελεστές του φίλτρου της σχετικής χαρακτηριστικής αντίστασης (a 0,x, b 0,y, κλπ). Με αυτόν τον τρόπο δίνεται η δυνατότητα προσομοίωσης ακμών ή γωνιών μεταξύ επιφανειών με διαφορετική ακουστική συμπεριφορά, κάτι που συχνά συμβαίνει για παράδειγμα στους κατακόρυφους τοίχους και στο πάτωμα ή στην οροφή ενός κλειστού χώρου. Οι εξισώσεις (2.15), (2.18) και (2.19) μαζί με τις εκφράσεις για τις υπόλοιπες επιφάνειες, ακμές και γωνίες στο χώρο χρησιμοποιούνται συμπληρωματικά με την εξίσωση (2.6) για τον υπολογισμό της ακουστικής πίεσης σε ολόκληρο το υπολογιστικό πλέγμα. Η σειρά με την οποία θα υπολογιστούν οι τέσσερις παραπάνω εξισώσεις επηρεάζει ελάχιστα το τελικό αποτέλεσμα. Στην υλοποίηση που περιγράφεται στο κεφάλαιο 4 ακολουθήθηκε η σειρά από το εσωτερικό προς το εξωτερικό, υπολογίζοντας πρώτα την πίεση στο εσωτερικό του δωματίου, έπειτα των οριακών επιφανειών, των ακμών και τέλος των γωνιών, δηλαδή ακολουθείται η σειρά με την οποία παρουσιάστηκαν στην υποενότητα αυτή Διέγερση του πλέγματος Το τελευταίο σημαντικό ζήτημα για τη δημιουργία του μοντέλου είναι ο τρόπος με τον οποίο θα διεγερθεί. Έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές για το σκοπό αυτό, κάθε μία από τις 37

42 οποίες έχει ορισμένα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Στην παρούσα υποενότητα παρουσιάζονται οι βασικές αρχές των τριών κύριων μεθόδων. Σε περιπτώσεις που το μοντέλο προορίζεται για σχετικά απλή χρήση, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης ενός χώρου, το μέγεθος της πηγής στο υπολογιστικό πλέγμα δεν παίζει ιδιαίτερο ρόλο. Πιο σύνθετες προσομοιώσεις χρησιμοποιούν τη διέγερση για να προσεγγίσουν ένα υπαρκτό μεγάφωνο στο χώρο με μη αμελητέες διαστάσεις. Σε αυτή την περίπτωση η σημειακή πηγή, που αντιστοιχεί χωρικά περίπου σε έναν όγκο ακμής Δh, είναι μια απλοϊκή προσέγγιση της φυσικής πηγής, ιδιαίτερα για πηγές χαμηλών συχνοτήτων. Το ίδιο ισχύει και για δονούμενες επιφάνειες που συμπεριφέρονται ως ακουστικές πηγές. Για τις ανάγκες της εργασίας υλοποιήθηκαν χάριν απλότητας σημειακές πηγές και οι εξισώσεις που θα παρουσιαστούν αντιστοιχούν σε τέτοιες. Πέρα από το ζήτημα του φυσικού μεγέθους, η κατευθυντικότητα των πηγών πρέπει να συνυπολογιστεί κατά τη δημιουργία του μοντέλου, καθώς στις περισσότερες περιπτώσεις παρουσιάζεται κατευθυντική συμπεριφορά. Για την υλοποίηση της επιθυμητής κατευθυντικότητας συνήθως απαιτείται η χρήση περισσότερων από ένα σημείων του πλέγματος και ο κατάλληλος χειρισμός των επιμέρους τροφοδοσιών [23] [24]. Οι παρακάτω εξισώσεις και η μετέπειτα υλοποίηση αφορούν σε πανκατευθυντικές πηγές. Η υλοποίηση της σημειακής πανκατευθυντικής πηγής στο υπολογιστικό πλέγμα γίνεται με τις μεθόδους της σκληρής (hard), της μαλακής (soft ή additive) και της διαφανούς (transparent) πηγής. Σε κάθε περίπτωση ο σκοπός είναι η διέγερση του σημείου της πηγής με μια γνωστή συνάρτηση που συμβολίζεται ως p in. Η συνάρτηση αυτή πρέπει να διακριτοποιηθεί με κατάλληλο τρόπο ώστε να ταιριάζει στη χρονική διακριτοποίηση του μοντέλου. Αν δηλαδή η p in είναι το αποτέλεσμα δειγματοληψίας, αυτή πρέπει να γίνει με συχνότητα ίση με 1 Δt. Οι μέθοδοι αυτές μπορούν να προσαρμοστούν ανάλογα και στην υλοποίηση της διανυσματικής διατύπωσης. Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται δίνονται στη μορφή της εξίσωσης (2.6), με τον κόμβο της πηγής να συμβολίζεται με βάση τη (2.4α) ως p xs,y s,z s [25]. Η απλούστερη περίπτωση είναι αυτή των σκληρών πηγών, όπου η συνάρτηση p in ανατίθεται απευθείας στον κόμβο που υλοποιεί την πηγή. Έτσι, η ακουστική πίεση στον κόμβο αυτό περιγράφεται από την εξίσωση (2.20α). Η εξαίρεση του κόμβου από την εξίσωση (2.6) προκαλεί την τοπική διάχυση του προσπίπτοντος σε αυτόν ήχου, κάτι που μειώνει την ποιότητα της προσομοίωσης. Στην περίπτωση της κρουστικής διέγερσης το φαινόμενο αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με την απόσυρση της τροφοδοσίας μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, στο οποίο πρέπει να μην έχουν φτάσει ακόμα οι ανακλάσεις στο συγκεκριμένο κόμβο. Σε πολλές περιπτώσεις αυτό είναι δύσκολο ή ανέφικτο, οπότε προτάθηκε η μέθοδος της μαλακής πηγής ως βελτίωση. Στη μαλακή πηγή ο κόμβος δεν εξαιρείται από την εξίσωση (2.6), στην τιμή της οποίας προστίθεται η p in, όπως περιγράφεται από τη (2.20β). Με αυτόν τον τρόπο αποφεύγεται η διάχυση του ανακλώμενου ήχου στο σημείο της πηγής, αλλά η τιμή της πίεσης που τελικά εισάγεται στο πλέγμα απέχει αρκετά από την επιθυμητή. Η διαφορά αυτή αντισταθμίζεται στη μέθοδο της διαφανούς πηγής. Η διαφορά της διέγερσης που εισάγεται στη μαλακή πηγή από την επιθυμητή εκτιμάται χρησιμοποιώντας την κρουστική απόκριση του δωματίου στο συγκεκριμένο κόμβο. Η κρουστική απόκριση πρέπει να υπολογιστεί εκ των προτέρων για κατάλληλο αριθμό δειγμάτων, για το ίδιο πλέγμα και την ίδια τοπολογία. Ο υπολογισμός της γίνεται 38

43 τροφοδοτώντας τον κόμβο της πηγής με μία κρούση Dirac με τη μέθοδο της σκληρής πηγής και εκτιμώντας την τιμή του κόμβου με βάση τους γειτονικούς του, όπως στην εξίσωση (2.6). Έπειτα, η συνέλιξη της h s με τη συνάρτηση τροφοδοσίας αφαιρείται από το αντίστοιχο μέγεθος της μαλακής πηγής, όπως φαίνεται στην εξίσωση (2.20γ) που περιγράφει την τροφοδοσία με τη μέθοδο της διαφανούς πηγής [26]. p n1 n1 ( xs,y s,z s ), hard in n1 n1 n1 ( xs,y s,z s ),soft xs,y s,zs in p (2.20α) p p p (2.20β) n n1 n1 n1 nt1 t ( xs,y s,z s ), transparent xs,y s,zs in s in t0 p p p h p (2.20γ) Όπως γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, η ακρίβεια που προσφέρει η διαφανής πηγή συνοδεύεται από μια μικρή αύξηση του υπολογιστικού κόστους. Η μέθοδος αυτή είναι ιδανική για την εκτίμηση της κρουστικής απόκρισης ενός χώρου. Αντίθετα, τα πραγματικά ηχεία προκαλούν ανακλάσεις που επιδρούν στο χώρο, κάτι που μπορεί να προσεγγιστεί από τη λειτουργία της σκληρής πηγής. 39

44 3 ΕΝΕΡΓΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΟΡΥΒΟΥ 3.1 Γενικά για Ενεργό Έλεγχο Θορύβου Στον Ενεργό Έλεγχο Θορύβου (ANC) χρησιμοποιείται η αρχή της καταστρεπτικής συμβολής δύο ή περισσότερων κυμάτων. Το φαινόμενο αυτό πολύ σπάνια μπορεί να επιτευχθεί σε ολόκληρο το χώρο και το επιθυμητό αποτέλεσμα, που είναι η μείωση του επιπέδου του θορύβου, συχνά αρκεί να επιτευχθεί μόνο σε μερικά σημεία του χώρου του προβλήματος. Για παράδειγμα, σε ένα θορυβώδες εργασιακό περιβάλλον η υλοποίηση μπορεί να επικεντρωθεί στις περιοχές όπου οι εργαζόμενοι περνάνε τον περισσότερο χρόνο. Ορίζονται με αυτόν τον τρόπο ένα ή περισσότερα σημεία ενδιαφέροντος που καθορίζουν ως ένα βαθμό την πολυπλοκότητα και τη δυσκολία του ελέγχου. Για τη δημιουργία των κυμάτων που θα συμβάλουν καταστρεπτικά χρησιμοποιούνται μία ή περισσότερες πηγές ελέγχου. Η παρούσα εργασία επικεντρώθηκε στη χρήση μίας μόνο πηγής ελέγχου τοποθετημένης κατάλληλα στο χώρο. Η πηγή αυτή τροφοδοτείται από το σήμα που προκύπτει από τον επιλεγμένο σχηματισμό και αλγόριθμο βάσει των οποίων υλοποιείται το σύστημα ANC. Διακρίνονται δύο κύριοι σχηματισμοί, οι Ανατροφοδοτικοί (Feed-Back) και οι Εμπροσθοτροφοδοτικοί (Feed-Forward), που θα παρουσιαστούν συνοπτικά στο κεφάλαιο αυτό [27]. 3.2 Ανατροφοδοτικός σχηματισμός Στους ανατροφοδοτικούς σχηματισμούς είναι απαραίτητη η χρήση ενός αισθητήρα σφάλματος. Ο αισθητήρας αυτός, που είναι συνήθως ένα μικρόφωνο, τοποθετείται στο σημείο ενδιαφέροντος και σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση της ακουστικής πίεσης που λαμβάνει. Στο σήμα του μικροφώνου σφάλματος βασίζεται η δημιουργία του σήματος ελέγχου, μέσο ενός φίλτρου ελέγχου W. Οι συντελεστές του φίλτρου αυτού μπορεί να επαναπροσδιορίζονται ανά τακτά χρονικά διαστήματα, διαχωρίζοντας έτσι τις δύο αντίστοιχες περιπτώσεις των προσαρμοστικών (adaptive) ή μη προσαρμοστικών (nonadaptive) αλγορίθμων [28] Μη προσαρμοστικός ανατροφοδοτικός ANC Η απλούστερη περίπτωση ενεργού ελέγχου είναι αυτή με τη χρήση μη προσαρμοστικού ανατροφοδοτικού σχηματισμού, όπως παρουσιάζεται στην εικόνα (3.1). Με d συμβολίζεται το σήμα του αρχικού θορύβου το οποίο διαδίδεται στο μονοπάτι που συμβολίζεται με P, από την πηγή θορύβου ως το σημείο ενδιαφέροντος, και φτάνει στο μικρόφωνο σφάλματος ως d. Με S συμβολίζεται το μονοπάτι από την πηγή ελέγχου ως το σημείο ενδιαφέροντος, στο οποίο διαδίδεται το σήμα ελέγχου y. Το συνολικό σήμα στο μικρόφωνο σφάλματος, e, 40

45 εκφράζεται συναρτήσει των υπόλοιπων μεγεθών και το W σχεδιάζεται κατάλληλα ώστε να ελαχιστοποιείται το e. Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα μη-προσαρμοστικού ανατροφοδοτικού ANC συστήματος. Υποθέτοντας την ύπαρξη των μεγεθών στο πεδίο Ζ, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου του συστήματος δίνεται από την εξίσωση (3.1). Από αυτήν προκύπτει πως το σήμα σφάλματος μπορεί να μειωθεί επιλέγοντας έναν ελεγκτή με μεγάλο κέρδος στη εύρος ενδιαφέροντος. Για λόγους ευστάθειας, το κέρδος αυτό πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το συνολικό κέρδος του βρόγχου να μην είναι μεγαλύτερο της μονάδας για διαφορά φάσης 180, για την οποία η ανάδραση αλλάζει πρόσημο και οδηγεί το σύστημα σε αστάθεια. Η άμεση εξάρτηση του W από τα S και d καθιστά το σχηματισμό αυτό σχετικά ασταθή, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις όπου κάποιο από τα δύο μεγέθη μεταβάλλονται με το χρόνο [29]. Ez ( ) 1 H( z) D( z) 1 S( z) W ( z) (3.1) Προσαρμοστικός ανατροφοδοτικός ANC Η αδυναμία του προηγούμενου σχηματισμού να χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα με χρονικές μεταβολές οδηγεί στη χρήση προσαρμοστικών αλγορίθμων για τον υπολογισμό του φίλτρου W. Ένας αλγόριθμος που χρησιμοποιείται αρκετά συχνά είναι ο FxLMS (Filtered-x Least Mean Squares), για τον οποίο υπάρχουν πολλές παραλλαγές, αλλά επιλέχθηκε η απλή εκδοχή, η οποία παρουσιάζεται εδώ [30]. Η βασική ιδέα είναι η χρήση μιας εκτίμησης του αρχικού θορύβου για τον υπολογισμό του W, η οποία γίνεται μέσω μιας προσέγγισης του δευτερεύοντος μονοπατιού S και του σήματος σφάλματος, όπως φαίνεται στην εικόνα (3.2). Παρατηρείται πως όσο καλύτερη είναι η προσέγγιση του S τόσο καλύτερη είναι η εκτίμηση του d, δηλαδή x(n) = d(n) για S (z) = S(z). Η χρήση του φίλτρου S (z) γίνεται για να αντισταθμιστεί η μετέπειτα διάδοση του σήματος ελέγχου στο μονοπάτι αυτό και πρέπει να έχουν υπολογιστεί εκ των προτέρων. Έχουν προταθεί τεχνικές εκτίμησης του S (z) κατά τη διάρκεια της εφαρμογής του ANC [31] [32], αλλά κάτι τέτοιο ξεφεύγει από τους στόχους της εργασίας. Οι συντελεστές του φίλτρου W υπολογίζονται από την εξίσωση (3.2) η οποία 41

46 περιγράφει τη λειτουργία του LMS αλγορίθμου. Τονίζεται πως το σήμα σφάλματος προκύπτει από τη διαφορά των σημάτων, σύμφωνα με την εξίσωση (3.3), κάτι που πρέπει να προσεχτεί στη χρήση σε μια προσομοίωση όπου η πρόσθεση γίνεται φυσικά και το αρνητικό πρόσημο θα πρέπει να εισαχθεί στο σήμα τροφοδοσίας της πηγής ελέγχου. Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα προσαρμοστικού ανατροφοδοτικού ANC συστήματος με χρήση του FxLMS αλγορίθμου. Οι παράγοντες του FxLMS που επηρεάζουν τη λειτουργία του συστήματος είναι το μήκος του φίλτρου που επιλέγεται, L, και το βήμα προσαρμογής μ. Αρχικά επιλέγεται το L, που πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο ώστε να περιγράφεται επαρκώς η φυσική απόκριση του συστήματος [33], αλλά αρκετά μικρό ώστε η διαδικασία να συγκλίνει σχετικά γρήγορα [34]. Η μέγιστη τιμή του μ περιορίζεται για λόγους ευστάθειας από τη διάταξη των πηγών και των μικροφώνων και το L [35]. w( n 1) w( n) e( n) x( n) (3.2) e( n) d(n) y (n) (3.3) 3.3 Εμπροσθοτροφοδοτικός σχηματισμός Όπως παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα, στους προσαρμοστικούς ανατροφοδοτικούς σχηματισμούς επιχειρείται η εκτίμηση του αρχικού σήματος θορύβου. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται με βάση το σήμα σφάλματος το οποίο τροφοδοτείται προς τα πίσω στον ελεγκτή (Feed-Back). Αντίθετα, στους εμπροσθοτροφοδοτικούς σχηματισμούς ο υπολογισμός βασίζεται σε ένα σήμα αναφοράς που λαμβάνεται κοντά στην πηγή θορύβου και τροφοδοτείται προς τα εμπρός στον ελεγκτή (Feed-Forward). 42

47 Αποδεικνύεται πως η συνολική επίδοση του συστήματος ANC περιορίζεται από τη συνάφεια (coherence) του σήματος που λαμβάνεται από τον αισθητήρα αναφοράς [36]. Για να επιτευχθεί αυτό, το μικρόφωνο αναφοράς τοποθετείται κατά το δυνατόν κοντά στην αρχική πηγή θορύβου προς την κατεύθυνση του σημείου ενδιαφέροντος. Αξίζει να σημειωθεί πως σε ορισμένες περιπτώσεις υπάρχει η δυνατότητα ανάκτησης του σήματος αναφοράς μέσω άλλων αισθητήρων, όπως επιταχυνσιόμετρα ή στροφόμετρα. Στις υποενότητες που ακολουθούν παρουσιάζονται η μη προσαρμοστική και η προσαρμοστική χρήση των εμπροσθοτροφοδοτικών σχηματισμών. Σκοπός είναι και πάλι ο υπολογισμός του φίλτρου ελέγχου W για τη δημιουργία του κατάλληλου σήματος ελέγχου Μη προσαρμοστικός εμπροσθοτροφοδοτικός ANC Η περίπτωση αυτή είναι όμοια με αυτή της ενότητας 3.2.1, καθώς το φίλτρο ελέγχου παραμένει σταθερό στο χρόνο. Η διαφορά είναι πως η είσοδος του φίλτρου προέρχεται από το σήμα αναφοράς. Ο σχηματισμός παρουσιάζεται στην εικόνα (3.3) και καθώς δε χρησιμοποιείται αισθητήρας σφάλματος δεν υπάρχει ανάδραση. Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα μη-προσαρμοστικού εμπροσθοτροφοδοτικού ANC συστήματος.. Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, το σήμα σφάλματος στο πεδίο Laplace δίνεται από την εξίσωση (3.4) και για το μηδενισμό του προκύπτει το βέλτιστο φίλτρο W που περιγράφεται στην επόμενη εξίσωση. Η λύση αυτή ενδέχεται να μην ικανοποιεί τη συνθήκη αιτιατότητας για τυχαίο αρχικό θόρυβο, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περιοδικό θόρυβο, όπως προκύπτει για παράδειγμα από τη λειτουργία κινητήρων [37]. Παρατηρείται πως αν ο αρχικός θόρυβος d υπολογίζεται ιδανικά από τη σημείο αναφοράς x το φίλτρο ελέγχου προκύπτει από το λόγο των συναρτήσεων μεταφοράς των δύο μονοπατιών διάδοσης. E(z) P(z) D( z) S( z) W ( z) X( z) (3.4) P( z) D( z) W( z) (3.5) S( z) X ( z) 43

48 3.3.2 Προσαρμοστικός εμπροσθοτροφοδοτικός ANC Όπως και στον αντίστοιχο ανατροφοδοτικό σχηματισμό η προσαρμοστικότητα του φίλτρου ελέγχου ενισχύει την ευστάθεια του συστήματος σε μικρές αλλαγές. Στην υποενότητα αυτή χρησιμοποιείται και πάλι ο FxLMS αλγόριθμος, προσαρμοσμένος στο σχηματισμό αυτό. Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί το σήμα σφάλματος και το σήμα αναφοράς, οδηγώντας έτσι στη χρήση δύο συνολικά αισθητήρων για την τροφοδοσία της πηγής ελέγχου. Εικόνα Μπλοκ διάγραμμα προσαρμοστικού εμπροσθοτροφοδοτικού ANC συστήματος με χρήση του FxLMS αλγορίθμου. Οι εξισώσεις (3.2) και (3.3) της υποενότητας χρησιμοποιούνται με τον ίδιο τρόπο και σε αυτό το σχηματισμό με τη διαφορά πλέον πως το x δεν προκύπτει από τη σήμα σφάλματος. Ένας σημαντικός περιορισμός που μπορεί να προκύψει είναι η δυνατότητα λήψης ικανοποιητικού σήματος αναφοράς, κάτι που καθιστά το σχηματισμό αυτό λιγότερα εύκολο υλοποιήσιμο συγκριτικά με τον ανατροφοδοτικό. Όταν όμως το σήμα αναφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο προσαρμοστικός εμπροσθοτροφοδοτικός ενεργός έλεγχος είναι ιδιαίτερα αποδοτικός οπότε προτιμάται συχνά σε πρακτικές εφαρμογές που το επιτρέπουν [38]. Ο σχηματισμός αυτός, όπως παρουσιάζεται στην εικόνα (3.4), επιλέχθηκε για την υλοποίηση του ενεργού ελέγχου στην προσομοίωση, όπως περιγράφεται στο επόμενο κεφάλαιο. 44

49 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΝΕΡΓΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4.1 Υλοποίηση μεθόδου FDTD Ο σκοπός της διπλωματικής εργασίας ήταν η προσομοίωση της εφαρμογής του ενεργού ελέγχου θορύβου σε μικρό κλειστό χώρο με τη μέθοδο FDTD. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις που έγιναν και τα αποτελέσματα που λήφθηκαν για τον ANC που επιλέχθηκε. Το μοντέλο το οποίο χρησιμοποιήθηκε δημιουργήθηκε εξ ολοκλήρου στο MATLAB 8.3 (R2014a) για τις ανάγκες της εργασίας. Το πρώτο βήμα ήταν η υλοποίηση της μεθόδου FDTD και ακολουθεί η εισαγωγή της πηγής ελέγχου συνοδευόμενη από τους κατάλληλους αλγορίθμους. Στην ενότητα αυτή δίνονται οι απαραίτητες λεπτομέρειες της υλοποίησης, όπως παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 2. Κατά τη δημιουργία του μοντέλου καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ποικίλες περιπτώσεις, για χώρους με διαφορετικές διαστάσεις, συνοριακές συνθήκες, περιεχόμενα εμπόδια και για διαφορετικές συχνότητες. Παρά τη δυνατότητα αυτή, για το σκοπό της εργασίας επικεντρωθήκαμε σε ένα συγκεκριμένο χώρο όπως παρουσιάζεται στην υποενότητα Στην επόμενη υποενότητα δίνονται τα χαρακτηριστικά του μοντέλου που χρησιμοποιήθηκε μαζί με ένα σύντομο δείγμα της λειτουργίας του Ο χώρος του προβλήματος Ως χώρος του προβλήματος επιλέχθηκε ένα ορθογώνιο δωμάτιο που προσεγγίζει ένα λεβητοστάσιο του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Οι κύριοι τοίχοι σχηματίζουν ένα ορθογώνιο μήκους 7,3m, πλάτους 3,8m και ύψους 3m το οποίο υλοποιήθηκε στο μοντέλο που δημιουργήθηκε. Όλες οι οριακές επιφάνειες επιλέχθηκε να παρουσιάζουν προσεγγιστικά την ίδια συμπεριφορά, με χαμηλό συντελεστή απορρόφησης, περίπου ίσο με 0,04. Στο διάγραμμα (4.1) φαίνεται το ηχογραφημένο σήμα του θορύβου στο πεδίο της συχνότητας από τον κινητήρα στο δωμάτιο στο οποίο βασίστηκε ο χώρος του προβλήματος. Στο σχετικά θορυβώδες σήμα μια μεγάλη κορυφή παρουσιάζεται κοντά στα 100 Hz και μερικές ακόμα σε υψηλότερες συχνότητες. Σκοπός της εργασίας ήταν ο έλεγχος χαμηλών συχνοτήτων, οπότε η εστίαση έγινε κυρίως σε συχνότητες κάτω των 150 Hz. 45

50 Διάγραμμα Φασματικό περιεχόμενο θορύβου από τον κινητήρα στον εναλλάκτη Λεπτομέρειες μοντέλου Το δωμάτιο έχει όγκο περίπου 83m 3 ο οποίος πρέπει να διακριτοποιηθεί σε κύβους σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο 2. Ο αριθμός των κελιών πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος ώστε να μοντελοποιείται ο χώρος και η διάδοση των ακουστικών κυμάτων με ικανοποιητική λεπτομέρεια, αλλά και αρκετά μικρός ώστε να είναι υπολογιστικά ανεκτός. Έτσι, ως μέγιστη συχνότητα της προσομοίωσης επιλέχθηκαν τα 300 Hz που για διακριτοποίηση λ/10 και για ταχύτητα του ήχου ίση με 346 m/s αντιστοιχούν σε κελί ακμής ίσης με περίπου 12 cm. Με βάση αυτό το βήμα οι ακριβείς διαστάσεις του υπολογιστικού χώρου γίνονται ίσες με 7,32 m, 3,84 m και 3 m για μήκος, πλάτος και ύψος αντίστοιχα. Σε αυτές αντιστοιχούν συνολικά = κόμβοι. Ο αριθμός αυτός είναι αρκετά μικρός ώστε να επιτρέπεται η προσομοίωση μερικών χιλιάδων επαναλήψεων μέσα σε λίγα λεπτά σε έναν συμβατικό υπολογιστή. Χρησιμοποιήθηκε η βαθμωτή διατύπωση της μεθόδου FDTD και υλοποιήθηκαν δύο διαφορετικές τοπολογίες, η SLF και η IWB, όπως παρουσιάζονται στην υποενότητα Για τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στις επόμενες ενότητες χρησιμοποιήθηκε η IWB στην οποία ο αριθμός Courant είναι ίσος με 1 και το χρονικό βήμα προκύπτει περίπου ίσο με 0,35 ms. Οι προσομοιώσεις επιλέχθηκε να διαρκούν από βήματα που αντιστοιχούν σε περίπου 14 δευτερόλεπτα χρόνου διάδοσης, για τα οποία απαιτούνται λιγότερα από 10 λεπτά πραγματικού χρόνου σε συμβατικό υπολογιστή. Στην εικόνα (4.1) φαίνονται τα πρώτα ms της διάδοσης του κύματος σε δισδιάστατο υπολογιστικό χώρο για τις δύο διαφορετικές τοπολογίες που υλοποιήθηκαν. Παρατηρείται πως με την IWB προσεγγίζεται ακριβέστερα η διάδοση προς όλες τις διευθύνσεις. Οι τοπολογίες συμπεριφέρονται ανάλογα και στην τρισδιάστατη περίπτωση στην οποία χρησιμοποιήθηκαν. Μία ακόμα σύγκριση των δύο τοπολογιών γίνεται υπολογίζοντας την κρουστική απόκριση του άδειου ορθογώνιου δωματίου και συγκρίνοντας τις ιδιοσυχνότητες που παρουσιάζονται 46

51 με αυτές που προκύπτουν από τη θεωρία. Οι ιδιοσυχνότητες αυτού του δωματίου είναι αρκετά κοντά, αλλά όχι ακριβώς ίσες, με αυτές που παρουσιάστηκαν στον πίνακα (1.2). Όπως φαίνεται στο διάγραμμα (4.2) αμφότερες οι τοπολογίες λειτουργούν ικανοποιητικά στις χαμηλές συχνότητες και συμβαδίζουν με τα αναμενόμενα από τη θεωρία. Η μικρή διαφορά στις στάθμες οφείλεται στη διαφορά με την οποία προσομοιώνεται η διάδοση του κύματος σε κάθε περίπτωση. Εικόνα Δισδιάστατη διάδοση με δύο διαφορετικές τοπολογίες. Διάγραμμα Ιδιοσυχνότητες και κρουστικές αποκρίσεις του δωματίου για διαφορετικές τοπολογίες. Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, όλες οι ανακλαστικές επιφάνειες στα όρια θεωρήθηκαν όμοιες και με μικρό συντελεστή απορρόφησης. Η μοντελοποίησή τους έγινε με τη μέθοδο των ψηφιακών φίλτρων, όπως περιγράφεται στην υποενότητα 2.2.4, με την απλουστευτική παραδοχή πως η συμπεριφορά τους δεν είναι εξαρτώμενη από τη συχνότητα. Έτσι, όλοι οι συντελεστές της έκφρασης της σχετικής χαρακτηριστικής αντίστασης ως IIR φίλτρο στην εξίσωση (2.13) είναι ίσοι με μηδέν, εκτός από τα a 0 και b 0, ο λόγος των οποίων ισούται με τη σχετική χαρακτηριστική αντίσταση της οριακής επιφάνειας. 47

52 Τέλος, όλες οι διεγέρσεις εισάχθηκαν στο πλέγμα με τη μορφή της σκληρής πηγής, σύμφωνα με την εξίσωση (2.20α). Η τεχνική αυτή επιλέχθηκε για την απλότητά της και, κυρίως, επειδή θεωρήθηκε πως τα φαινόμενα που προκαλούνται από την εξαίρεση του κόμβου από την εξίσωση υπολογισμού της ακουστικής πίεσης για το πλέγμα, (2.6), προσεγγίζουν αυτά που προκαλεί μια πηγή με πραγματικές διαστάσεις στο χώρο. Με την τεχνική της διαφανούς πηγής η πηγή είναι φυσικά ανύπαρκτη, όπως δηλώνει και το όνομά της, ενώ με τη μαλακή πηγή η διέγερση που τελικά εισάγεται απέχει από την επιθυμητή. Η διαφορά αυτή παρουσιάζεται στο διάγραμμα (4.3) για τα τρία είδη πηγών. Όπως φαίνεται, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (Mean Squared Error, MSE) της μαλακής πηγής είναι πολύ υψηλό και στη συγκεκριμένη περίπτωση που διεγείρεται το εύρος Hz αντιστοιχεί σε διαφορά στάθμης (SPL) περίπου 9 db. Διάγραμμα Διαφορά της εισαγόμενης διέγερσης από την επιθυμητή για τα τρία είδη πηγών. Ένα από τα πλεονεκτήματα της μεθόδου FDTD είναι ο χειρισμός των μεγεθών απευθείας στο πεδίο του χρόνου. Αυτό, σε συνδυασμό με το ότι διατηρούνται στη μνήμη οι τρεις πιο πρόσφατες διακριτές χρονικές στιγμές, όπως αναφέρθηκε στην υποενότητα 2.2.3, προσφέρει τη δυνατότητα οπτικοποίησης του ακουστικού πεδίου στο δωμάτιο παράλληλα με την εξέλιξη της προσομοίωσης. Κάτι τέτοιο επιβραδύνει όπως είναι αναμενόμενο την εκτέλεσή της, αλλά επιτρέπει μια γενική και άμεση εποπτεία της λειτουργίας του μοντέλου. Στην εικόνα (4.2) φαίνονται τέσσερα στιγμιότυπα από τα πρώτα ms της διάδοσης στον παραπάνω ορθογώνιο χώρο για τα επίπεδα x = 7,3 m, y = 3,8 m, z = 0 m, και z = 1,2 m. Τα επίπεδα που θα προβάλλονται μπορούν να επιλεχθούν εκ των προτέρων με βάση την περιοχή ενδιαφέροντος της κάθε περιοχής, ωστόσο ενδείκνυται να μην ξεπερνούν τα δύο ανά διάσταση καθώς τότε αλλοιώνεται αισθητά το οπτικό αποτέλεσμα. 48

53 Εικόνα Στιγμιότυπα διάδοσης στο χώρο για τέσσερις χρονικές στιγμές στην αρχή της προσομοίωσης. 4.2 Προσομοίωση ελέγχου σημειακής τονικής διέγερσης Το πρώτο μέρος των προσομοιώσεων αφορά στον ενεργό έλεγχο τονικού θορύβου που προέρχεται από σημειακή πηγή. Επιλέχθηκαν δύο συχνότητες για δύο διαφορετικές περιπτώσεις διέγερσης του χώρου, κάθε μία από τις οποίες παρουσιάζεται στις επόμενες υποενότητες. Η πρώτη, στα 100 Hz, βασίζεται στη μέτρηση που έγινε στο δωμάτιο που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα και η δεύτερη είναι στα 71 Hz, συχνότητα στην οποία διεγείρεται ένας αξονικός ρυθμός του ορθογώνιου δωματίου. Το σύστημα ενεργού ελέγχου αποτελείται και στις δύο περιπτώσεις από έναν εμπροσθοτροφοδοτικό σχηματισμό που προσαρμόζεται με τον FxLMS αλγόριθμο και τροφοδοτεί μία σημειακή πηγή. Προτιμήθηκε ο σχηματισμός αυτός καθώς μπορεί να προσομοιωθεί πιο εύκολα με τη μέθοδο FDTD και επειδή γενικά προσφέρει καλύτερα αποτελέσματα από αντίστοιχους ανατροφοδοτικούς σχηματισμούς όπως έχει ήδη αναφερθεί. Στην εικόνα (3.2) παρουσιάζεται το μπλοκ διάγραμμα του ανατροφοδοτικού σχηματισμού και φαίνεται πως για τον υπολογισμό του x(n) απαιτείται το επιπλέον φιλτράρισμα του σήματος ελέγχου. 49

54 Οι θέσεις των πηγών θορύβου και ελέγχου αλλά και του σημείου ενδιαφέροντος περιορίζονται σε ευρύτερες περιοχές του χώρου, αλλά διαφέρουν στις δύο περιπτώσεις. Οι θέσεις αυτές επηρεάζονται άμεσα από τη διέγερση του χώρου, όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Η πηγή θορύβου ενδέχεται να διεγείρει κάποιο ρυθμό του δωματίου, κάτι που εξαρτάται από τη συχνότητα και τη θέση της, δημιουργώντας έτσι σημεία μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης της ακουστικής πίεσης στο χώρο. Αν το σημείο ενδιαφέροντος είναι σε κάποιο ελάχιστο μπορεί ο αισθητήρας σφάλματος να μη λαμβάνει ικανοποιητικά τον αρχικό θόρυβο με αποτέλεσμα να μη δημιουργείται το απαραίτητο σήμα ελέγχου. Στην άλλη περίπτωση, αν η πηγή ελέγχου τοποθετηθεί σε κάποιο ελάχιστο τότε το ακουστικό κύμα που θα δημιουργούσε την καταστρεπτική συμβολή δεν μπορεί να διαδοθεί επαρκώς με αποτέλεσμα την αύξησή του από τον προσαρμοστικό αλγόριθμο χωρίς όμως ιδιαίτερο αποτέλεσμα [39]. Ένα ιδιαίτερο ζήτημα που προκύπτει είναι η παρεμβολή της διέγερσης από τη δευτερεύουσα πηγή στο μικρόφωνο αναφοράς. Σε πρακτικές εφαρμογές η διαφορά μπορεί να αντισταθμιστεί με κατάλληλη επεξεργασία του σήματος αναφοράς, που αυξάνουν τη συνολική καθυστέρηση που εισάγει ο ελεγκτής. Μια εναλλακτική μέθοδος που μπορεί να εφαρμοστεί σε ορισμένες περιπτώσεις είναι η λήψη του σήματος αναφοράς μέσω ενός αισθητήρα ο οποίος δεν επηρεάζεται από τη δευτερεύουσα πηγή, όπως για παράδειγμα ένα ταχόμετρο. Το φαινόμενο αυτό δε συμπεριλαμβάνεται στις προσομοιώσεις που παρουσιάζονται, καθώς το σήμα αναφοράς θεωρείται ίσο με το σήμα της πηγής. Η λήψη του σήματος αναφοράς από έναν γειτονικό κόμβο της πηγής θορύβου προς το σημείο ενδιαφέροντος αλλοιώνει μερικώς το αποτέλεσμα του ελέγχου, καθώς μειώνεται η συνάφειά του με το αρχικό σήμα θορύβου. Για τις περιπτώσεις στις δύο επόμενες υποενότητες επιλέχθηκαν συνδυασμοί των πηγών και του σημείου ενδιαφέροντος σε μεγιστοποιήσεις και ελαχιστοποιήσεις της εκάστοτε διέγερσης. Σε όλες τις περιπτώσεις το ύψος όλων παράμεινε σταθερό και ίσο με z 0 = 1,2 m και όλες οι κατόψεις που ακολουθούν αντιστοιχούν σε αυτό. Με μια σταθερή διέγερση όπως οι πηγές θορύβου που χρησιμοποιήθηκαν ο χώρος αναμένεται να φτάσει σε ισορροπία μετά από κάποιο χρονικό διάστημα και στην ισορροπία αυτή να φαίνονται οι μεγιστοποιήσεις και οι ελαχιστοποιήσεις που προκαλούνται. Το χρονικό βήμα είναι όμως πολύ μικρό για κάτι τέτοιο και σε κάθε επανάληψη η κάτοψη μεταβάλλεται ελαφρώς, αντίστοιχα με όσα παρουσιάζονται στην εικόνα (4.2). Για να υπολογιστεί η κατανομή της ακουστικής πίεσης στο χώρο χρησιμοποιήθηκε η τεχνική που υλοποιείται σε ηχόμετρα για τον υπολογισμό της χρονικά σταθμισμένης ηχητικής στάθμης (time-weighted sound level, TWSL), όπως ορίζεται από το πρότυπο IEC Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με τρεις διαφορετικές τιμές του τ της εξίσωσης (4.1) που τον περιγράφει, οι οποίες αντιστοιχούν στην αργή (Slow, τ = 1 s), στη γρήγορη (Fast, τ = 125 ms) και στην κρουστική (Impulse, τ = 35 ms) στάθμιση. Για τις ανάγκες της εργασίας χρησιμοποιήθηκε η γρήγορη, F. Στην εξίσωση (4.1) p είναι ακουστική πίεση σε κάθε σημείο για κάθε στιγμή, τα x, y και z παίρνουν τις τιμές του μήκος, του πλάτους και του ύψους αντίστοιχα, το u είναι η μεταβλητή ολοκλήρωσης και το ρ 0 είναι η ακουστική πίεση αναφοράς, ίση με 20 μpa. Τα t 1 και t 2 ορίζουν το χρονικό διάστημα στο οποίο γίνεται η ολοκλήρωση. Η παρακάτω σχέση συνήθως εμφανίζεται για t 1 =, αλλά στο περιβάλλον της προσομοίωσης αυτό δεν είναι εφικτό, οπότε ορίζεται μία πραγματική τιμή. 50

55 2 t2 1 2 (t u) ptwsl 20log p (x, y,z, u) e du 0 t1 (4.1) Πηγή θορύβου 100 Hz Για τη διέγερση του χώρου χρησιμοποιήθηκε ένα συνημίτονο 100 Hz παρουσία θορύβου πολύ χαμηλότερης στάθμης, όπως φαίνεται στη φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density) που παρουσιάζεται στο διάγραμμα (4.4). Οι κοντινότερες ιδιοσυχνότητες του δωματίου στη συχνότητα αυτή είναι στα 94 Hz και στα 102 Hz, που αντιστοιχούν στους ρυθμούς (4,0,0) και (2,2,0). Οι ρυθμοί αυτοί επηρεάζουν το σύστημα ANC όπως θα φανεί στη συνέχεια. Διάγραμμα Φασματική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) σήματος αρχικού θορύβου (100 Hz). Στην εικόνα (4.3) φαίνεται το αποτέλεσμα της εξίσωσης (4.1), δηλαδή η διέγερση του χώρου από την πηγή αυτή στο επίπεδο σταθερού ύψους 1,2 μέτρων. Η πηγή σημειώνεται με μαύρο κύκλο στο σημείο (3,48 m, 3,72 m, 1,2m) θεωρώντας ως αρχή των αξόνων την κάτω αριστερά γωνία όπως φαίνεται στην κάτοψη. Με A, B, C σημειώνονται οι διαφορετικές θέσεις της πηγής ελέγχου και με Χ 1, Χ 2 τα σημεία ενδιαφέροντος. Διακρίνονται δηλαδή έξι συνολικά διαφορετικοί συνδυασμοί για την εφαρμογή του ελέγχου στη συχνότητα αυτή. Σημειώνονται επίσης με μαύρο πλαίσιο δύο περιοχές γύρω από τα σημεία ενδιαφέροντος, κάθε μία με εμβαδόν 1 m 2, για να εκτιμηθεί η τοπική επίδραση του συστήματος. 51

56 Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και θέσεις ANC. Οι έξι περιπτώσεις ομαδοποιούνται σε τρεις, ανάλογα με τη θέση της πηγής ελέγχου. Για να μελετηθούν οι διαφορές τους χρησιμοποιήθηκε σε όλες το ίδιο σύστημα ενεργού ελέγχου. Με τη μέθοδο της δοκιμής-και-σφάλματος οι παράγοντες του FxLMS επιλέχθηκαν να είναι L = 1000 και μ = 0,001 για τους οποίους το σύστημα είναι ευσταθές και επιβάλλει μείωση της στάθμης στην περίπτωση που η πηγή ελέγχου και το σημείο ενδιαφέροντος βρίσκονται σε θέσεις που διεγείρονται επαρκώς. Ενδέχεται μια άλλη επιλογή των τιμών αυτών να οδηγούσε σε μεγαλύτερη μείωση της στάθμης στο σημείο ενδιαφέροντος ή επίτευξή της σε μικρότερο χρονικό διάστημα. Επίσης, είναι δυνατή η χρήση μια παραλλαγής του FxLMS αλγορίθμου όπου τα μεγέθη L και μ μεταβάλλονται κατά την εκτέλεσή του οδηγώντας σε ακόμα ταχύτερα και καλύτερα αποτελέσματα [40]. Ο ενεργός έλεγχος ξεκινάει περίπου 2,8 s (8.000 δείγματα) μετά την έναρξη της προσομοίωσης έτσι ώστε το πεδίο που προκαλείται από την πηγή θορύβου να έχει φτάσει σε κατάσταση ισορροπίας. Η πηγή ελέγχου υλοποιείται με την τεχνική της σκληρής πηγής, όπως αναφέρθηκε νωρίτερα. Για να αποφευχθεί η παρεμβολή της στο χώρο κατά τις πρώτες αυτές επαναλήψεις η πίεση στον κόμβο τον οποίο αντιστοιχίζεται συμπεριλαμβάνεται κανονικά στον υπολογισμό του πλέγματος μέχρι να ξεκινήσει η λειτουργία της. Επιλέχθηκε να δίνεται περιορισμένος χρόνος για τη σύγκλιση του ANC και στην περίπτωση αυτή το σύστημα σταματάει να αναπροσαρμόζεται μετά από περίπου 9,4 s ( δείγματα) λειτουργίας. Έπειτα, αφήνονται ακόμα περίπου 2 s για τη δημιουργία του πεδίου στη σταθερή κατάσταση παρουσία του ANC. Πηγή ελέγχου σε θέση μεγίστου (Α) Στη θέση Α η πηγή ελέγχου βρίσκεται σε σημείο που ο χώρος διεγείρεται επαρκώς και αναμένεται να είναι σε θέση να διαδώσει ικανοποιητικά το σήμα από το οποίο θα τροφοδοτηθεί. Το αποτέλεσμα του ενεργού ελέγχου από την πηγή αυτή για τις δύο διαφορετικές προσομοιώσεις παρουσιάζεται στα διαγράμματα (4.5) και (4.6) με τις στάθμες SPL του κάθε μικροφώνου σφάλματος. Όπως ήταν αναμενόμενο από τα όσα αναφέρθηκαν 52

57 μέχρι τώρα, στην περίπτωση που του σήμα ελέγχου λαμβάνεται από ελάχιστο της διέγερσης το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια. Αντίθετα, για το σημείο ελέγχου στο X 1 επιτυγχάνεται μείωση της στάθμης στο συγκεκριμένο σημείο κατά περίπου 3 db σε λίγο λιγότερο από 10 δευτερόλεπτα. Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X 1 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 100 Hz. Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X 2 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 100 Hz. Ο ANC βασίζεται στο σημείο ενδιαφέροντος στο οποίο βρίσκεται το μικρόφωνο σφάλματος. Πέρα από την επίδραση στο σημείο αυτό, ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η επίδραση της λειτουργίας της πηγής ελέγχου σε μια γειτονιά γύρω από το σημείο αυτό, αλλά και γενικότερα σε ολόκληρο το χώρο. Το μοντέλο που δημιουργήθηκε προσφέρει τη δυνατότητα μελέτης και σύγκρισης των παραπάνω. Η διέγερση σταθερής κατάστασης με τις δύο πήγες φαίνεται κατ αντιστοιχία με την εικόνα (4.3) στην εικόνα (4.4), όπου με μαύρο τετράγωνο 53

58 σημειώνεται η πηγή ελέγχου. Αντίστοιχα, στην εικόνα (4.5) φαίνεται η διέγερση με την πηγή ελέγχου στο ίδιο σημείο, αλλά με τον ANC να επικεντρώνεται στο σημείο X 2. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ 1. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου Α για το X 2. Παρατηρείται πως ενώ στο συγκεκριμένο σημείο ελέγχου επιτυγχάνεται μείωση της στάθμης, η πηγή ελέγχου επιφέρει την αύξησή της σε κάποια άλλα σημεία του δωματίου. Η επίδραση αυτή μπορεί να εκτιμηθεί σε όλα τα σημεία του χώρου με το μοντέλο που υλοποιήθηκε. Η κρισιμότητα αυτής της επίδρασης και το αν είναι αποδεκτή ή όχι εξαρτάται από τις συνθήκες χρήσης του χώρου και την εκάστοτε εφαρμογή, οπότε δε θα μας απασχολήσει στο πλαίσιο αυτής της εργασίας. 54

59 Πηγή ελέγχου σε θέση ελαχίστου (Β) Μετατοπίζοντας την πηγή ελέγχου στο σημείο B, που αντιστοιχεί σε διαστάσεις (6,48 m, 1,08 m, 1,2 m), όπως φαίνεται στην εικόνα (4.2), λαμβάνονται τέσσερα διαγράμματα αντίστοιχα των (4.5)-(4.6) και κατόψεις του επίπεδου σαν αυτές των εικόνων (4.4) και (4.5). Ο ANC λειτουργεί και πάλι για το ίδιο χρονικό διάστημα. Στα διαγράμματα (4.7) και (4.8) είναι εμφανές πως ο ενεργός έλεγχος δεν μπορεί να λειτουργήσει από τη συγκεκριμένη τοποθεσία της πηγής ελέγχου. Για τον έλεγχο του σημείου Χ 1 το σύστημα οδηγείται σε αστάθεια, ενώ για το Χ 2 το σήμα σφάλματος παραμένει εξ αρχής χαμηλό εξαιτίας της θέσης του σημείου, οπότε το σύστημα δεν αλλάζει την αρχική κατάσταση. Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X 1 για ANC από τη θέση B για διέγερση 100 Hz. Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X 2 για ANC από τη θέση B για διέγερση 100 Hz. 55

60 Στις εικόνες (4.6) και (4.7) φαίνεται καλύτερα η αδυναμία της συγκεκριμένης πηγής ελέγχου να μειώσει τη στάθμη στα επιλεγμένα σημεία ή, πιο συγκεκριμένα για τη δεύτερη περίπτωση, να μεταβάλλει το συνολικό ηχητικό πεδίο στο επίπεδο αυτό. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου B για το X 1. Εικόνα 4.7 Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου B για το X 2. Με την τοποθέτηση της πηγής ελέγχου σε σημεία ελάχιστης και μέγιστης διέγερσης εξετάζεται η λειτουργία του συστήματος στις οριακές συνθήκες του. Όπως γίνεται κατανοητό από τα παραπάνω, προτιμάται η θέση από την οποία θα γίνει ο έλεγχος να βρίσκεται σε κάποιο μέγιστο του ρυθμού που επιθυμείται να ελεγχθεί. Η περίπτωση που η πηγή τοποθετείται στη θέση C είναι λίγο διαφορετική από τις προηγούμενες δύο και για αυτό παρουσιάζεται εδώ. 56

61 Πηγή ελέγχου σε τρίτη θέση (C) Όπως ήδη αναφέρθηκε, τα 100 Hz είναι ανάμεσα στο ρυθμό (4,0,0) στα 94 Hz και στον (2,2,0) στα 102 Hz. Η πηγή θορύβου βρίσκεται πολύ κοντά σε μεγιστοποιήσεις των ρυθμών αυτών, όπως φαίνεται στην εικόνα (1.8), αλλά η διέγερση του επιπέδου προσεγγίζει περισσότερο την αντίστοιχη του (2,2,0) επειδή είναι σε πιο κοντινή συχνότητα. Από την άλλη, οι θέσεις των πηγών ελέγχου Α και C αντιστοιχούν σε ελαχιστοποιήσεις της διέγερσης του (4,0,0). Η διαφορά της θέσης C είναι πως βρίσκεται σε μεγιστοποίηση του ρυθμού (4,0,0) και συζεύγνυνται σε μεγάλο βαθμό, παρά τη διαφορά συχνότητας. Διεγείρεται, έτσι, ένας συνδυασμός των δύο παραπάνω ρυθμών, για τον οποίο το σημείο Χ 1 βρίσκεται σε ελάχιστο με αποτέλεσμα η στάθμη που καταγράφεται να σημειώνει σημαντική πτώση. Για το σημείο Χ 2, όμοια με πριν, δε γίνεται ικανοποιητική λήψη του σήματος σφάλματος και έτσι το σύστημα οδηγείται τελικά σε αστάθεια. Στα διαγράμματα (4.9) και (4.10) παρουσιάζονται οι στάθμες που μετρήθηκαν στα δύο μικρόφωνα. Διάγραμμα Πίεση στο σημείο X 1 για ANC από τη θέση C για διέγερση 100 Hz. Στην εικόνα (4.8) φαίνεται ο πλήρης συνδυασμός των ρυθμών (2,2,0) και (4,0,0), όπως προκύπτει θεωρητικά από την εξίσωση (4.2), και στις εικόνες (4.9) και (4.10) φαίνονται οι διεγέρσεις του επιπέδου μετά τον ANC για τα Χ 1 και Χ 2 αντίστοιχα. 4 x 0 y 0 z 2 x 2 y 0 z cos cos cos cos cos cos L x L y Lz L x L y Lz 4 x 2 x 2 y cos cos cos Lx L x L y (4.2) 57

62 Διάγραμμα 4.10 Πίεση στο σημείο Χ 2 για ANC από τη θέση C για διέγερση 100 Hz. Εικόνα 4.8 Θεωρητική διέγερση του συνδυασμού των ρυθμών (4,0,0) και (2,2,0) στο επίπεδο z 0 = 1,2 m. Οι περιοχές γύρω από τα σημεία ενδιαφέροντος που εξετάζονται ορίστηκαν με τα πλαίσια στην εικόνα (4.3) και φαίνονται σε όλες τις υπόλοιπες αποτυπώσεις της στάθμης της πίεσης στο επίπεδου που παρουσιάστηκαν. Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται η επιρροή της θέσης του σημείου ενδιαφέροντος, ή αντίστοιχα του μικροφώνου σφάλματος, ενώ αν επικεντρωθούμε στις περιοχές γύρω από αυτά τονίζεται η σημασία της θέσης της πηγής ελέγχου. Στις εικόνες της επόμενης κατηγορίας παρουσιάζονται συγκριτικές κατόψεις των συγκεκριμένων περιοχών και συγκρίνονται οι στάθμες πριν και μετά τον ANC για κάθε διαφορετική θέση. 58

63 Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου C για το X 1. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 100 Hz και πηγή ελέγχου C για το X 2. Σύγκριση επίδρασης της θέσης της πηγής ελέγχου για κάθε σημείο ενδιαφέροντος Στην εικόνα (4.11) φαίνεται η επιφάνεια γύρω από το σημείο Χ 1 πριν τον ANC και μετά από αυτόν, αριστερά για την πηγή ελέγχου στη θέση Α και δεξιά για τη θέση Β. Παρατηρείται μικρή μείωση στην πρώτη περίπτωση. Αντίστοιχα, στην εικόνα (4.12) φαίνεται η περιοχή κοντά στο σημείο Χ 2 για το οποίο ο ενεργός έλεγχος δε λειτουργεί ικανοποιητικά από αυτές τις θέσεις της πηγής ελέγχου. Τέλος, η ιδιαιτερότητα της θέσης C παρουσιάζεται στην εικόνα (4.13), με την επίδραση της πηγής ελέγχου από αυτή τη θέση και στα δύο σημεία. Σημειώνεται πως σε κάθε περίπτωση το μικρόφωνο σφάλματος βρίσκεται στο εκάστοτε σημείο ενδιαφέροντος. Η επίδραση της πηγής σε άλλα σημεία εκτός της επιφάνειας στην 59

64 οποία στοχεύει ο έλεγχος φαίνεται στις εικόνες (4.9) και (4.10) και τις αντίστοιχες προηγούμενες. Τα στατιστικά μεγέθη που περιγράφουν τις διαφορετικές καταστάσεις αυτών των επιφανειών παρουσιάζονται στον πίνακα (4.1). Στον πίνακα αυτό γίνεται ξεκάθαρη η επιρροή του εκάστοτε συστήματος στην κάθε περιοχή. Στις δύο τελευταίες γραμμές με έντονη γραφή σημειώνεται η μέση μείωση στην επιφάνεια που επιτυγχάνεται με το αντίστοιχο σύστημα ANC. Επίσης, οι τυπικές αποκλίσεις στις γραμμές αυτές αντιστοιχούν σε αυτές της επιφάνειας που σχηματίζεται από την αφαίρεση των τιμών της πίεσης στην επιφάνεια πριν και μετά τον ANC και όχι στη διαφορά των επιμέρους τυπικών αποκλίσεων. Όλα τα μεγέθη δίνονται σε SPL [db]. Εικόνα 4.11 Επιφάνεια γύρω από το Χ 1 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις A και B. 60

65 Εικόνα Επιφάνεια γύρω από το Χ 2 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις A και B. Πίνακας Στατιστικά στοιχεία περιοχών γύρω από τα σημεία ελέγχου για αρχικό θόρυβο 100 Hz. [db] Πριν τον ANC ANC από Α (Max) ANC από B (Min) ANC από C Mean STD Mean STD Mean STD Mean STD X 1 (Max) 68,2 3,3 67,3 3,6 71,1 3,3 60,3 6,3 X 2 (Min) 55,9 5,1 66,1 5,1 56,1 5,2 58,4 3,8 Διαφορά X 1 0, 9 2,5 +2,9 0,2 7, 9 7,5 Διαφορά X 2 +10,2 7,2 +0,2 0,3 +2,3 3,7 61

66 Εικόνα 4.13 Επιφάνειες γύρω από τα Χ 1 και Χ 2 πριν και μετά τον ANC από τη θέση C Πηγή θορύβου 71 Hz Όμοια με όσα περιγράφτηκαν στην προηγούμενη υποενότητα, για τη διέγερση του χώρου στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιήθηκε ένα συνημίτονο 71 Hz παρουσία θορύβου πολύ χαμηλότερης στάθμης. Στο διάγραμμα (4.11) φαίνεται η φασματική πυκνότητα ισχύος του σήματος αυτού. Στη συχνότητα αυτή διεγείρεται ο αξονικός ρυθμός (3,0,0), όπως φαίνεται στην εικόνα (4.14), που υπολογίζεται με την αντίστοιχη μορφή της εξίσωσης (4.2) της προηγούμενης υποενότητας. Για τον υπολογισμό της στάθμης της πίεσης στο επίπεδο σταθερού ύψος 1,2 m στη σταθερή κατάσταση χρησιμοποιήθηκε και πάλι η εξίσωση (4.1). 62

67 Διάγραμμα Φασματική Πυκνότητα Ισχύος (PSD) σήματος αρχικού θορύβου (71 Hz). Εικόνα 4.14 Θεωρητική διέγερση του ρυθμού (3,0,0) στο επίπεδο z 0 = 1,2 m. Ακολουθείται και εδώ ο ίδιος συμβολισμός των θέσεων των πηγών ελέγχου (Α, Β) και των σημείων ενδιαφέροντος (Χ 1, Χ 2 ). Η πηγή θορύβου τοποθετήθηκε σε θέση που αντιστοιχεί σε μέγιστο του ρυθμού που διεγείρεται από αυτή τη συχνότητα. Στην εικόνα (4.15) φαίνεται η αντίθετη περίπτωση όπου η πηγή θορύβου βρίσκεται σε θέση ελαχίστου. Παρατηρείται πως η πηγή δεν μπορεί να συζευχθεί με το ρυθμό, οπότε η συνολική διέγερση του χώρου είναι πολύ μικρή, της τάξης των 50 db. Στην περίπτωση αυτή δεν έχει νόημα η εφαρμογή ANC καθώς το ηχητικό πεδίο στο χώρο είναι ήδη σε ανεκτό επίπεδο για την πλειοψηφία των περιπτώσεων. 63

68 Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz σε θέση ελαχίστου του ρυθμού. Έτσι, σύμφωνα με τα παραπάνω, η προσομοίωση εφαρμογής ANC για τη συγκεκριμένη συχνότητα έγινε για την περίπτωση που η πηγή θορύβου βρίσκεται σε θέση από την οποία διεγείρει επαρκώς το θόρυβο. Η διέγερση αυτή φαίνεται στην εικόνα (4.16) κατά αντιστοιχία με όσα παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη υποενότητα. Μελετούνται και πάλι συνολικά τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις που προκύπτουν από το συνδυασμό δύο θέσεων πηγών ελέγχου και δύο σημείων ενδιαφέροντος σε μεγιστοποιήσεις και σε ελαχιστοποιήσεις της διέγερσης. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz σε θέση μεγίστου του ρυθμού και θέσεις ANC. 64

69 Οι σημαντικές χρονικές στιγμές παρέμειναν ίδιες με την προηγούμενη περίπτωση. Ο ANC ξεκινάει περίπου 2,8 s μετά την αρχή της προσομοίωσης και σταματάει 9,4 s αργότερα, με 2 επιπλέον δευτερόλεπτα να αφήνονται για τη δημιουργία σταθερής κατάστασης. Αντίθετα, οι παράμετροι L και μ έπρεπε να αλλάξουν, ώστε να είναι ευσταθές και λειτουργικό το σύστημα ελέγχου. Ακολουθώντας και πάλι τη μέθοδο της δοκιμής-και-σφάλματος οι τιμές τους επιλέχθηκαν να είναι L = 500 και μ = Πηγή ελέγχου σε θέση μεγίστου (Α) Στην πρώτη περίπτωση η πηγή ελέγχου τοποθετείται στη θέση Α, που αντιστοιχεί στις συντεταγμένες (4,92 m, 1,08 m, 1,2m) και εξετάζεται το αποτέλεσμα του ANC στα σημεία Χ 1 και Χ 2. Στα διαγράμματα (4.12) και (4.13) φαίνονται η στάθμη της πίεση κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης στα δύο σημεία αντίστοιχα. Όπως ήταν αναμενόμενο, ο ενεργός έλεγχος εφαρμόζεται με επιτυχία για το σημείο ενδιαφέροντος στη θέση μέγιστης διέγερσης, στο οποίο παρατηρείται μείωση της στάθμης κατά περίπου 3 db. Αντίθετα, για το σημείο Χ 2, η επίδραση του ANC είναι ανεπαίσθητη. Εφόσον η διέγερση είναι στη συχνότητα των 71 Hz και δεν εισάγεται διασπορά από το χώρο το μικρόφωνο σφάλματος στο σημείο ενδιαφέροντος θα λαμβάνει αυτή τη συχνότητα και θα την τροφοδοτεί στο σύστημα ANC. Έτσι, και το σήμα ελέγχου θα είναι στην ίδια συχνότητα. Η θέση Α αντιστοιχεί βρίσκεται σε μέγιστο του ρυθμού αυτής της συχνότητας, οπότε από τη διέγερση που προκαλεί δεν αναμένεται να αλλάξει ιδιαίτερα η κατανομή της πίεσης στο χώρο και συγκεκριμένα στο επίπεδο z 0 στο οποίο αναφερόμαστε. Η κατανομή αυτή στη σταθερή κατάσταση μετά τη λειτουργία του ANC φαίνεται στις εικόνες (4.17) και (4.18) για σημείο ενδιαφέροντος το Χ 1 και το Χ 2 αντίστοιχα. Διάγραμμα 4.12 Πίεση στο σημείο Χ 1 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 71 Hz. 65

70 Διάγραμμα 4.13 Πίεση στο σημείο Χ 2 για ANC από τη θέση Α για διέγερση 71 Hz. Εικόνα 4.17 Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ 1. Παρατηρείται η μικρή μείωση στην πρώτη περίπτωση, η οποία θα φανεί καλύτερα στη σύγκριση των περιοχών γύρω από τα σημεία ενδιαφέροντος στο τρίτο μέρος αυτής της υποενότητας. Επίσης, στη δεύτερη περίπτωση, η χαμηλή στάθμη του σήματος σφάλματος οδηγεί σε χαμηλή στάθμη του σήματος ελέγχου, όπως φαίνεται από τη χαμηλή, σχετικά, στάθμη της πηγής ελέγχου μέσα στο μικρό μαύρο τετράγωνο της (4.18). 66

71 Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Α για το Χ 2. Πηγή ελέγχου σε θέση ελαχίστου (Β) Με τη μετατόπιση της πηγής ελέγχου στο σημείο Β το σύστημα ANC δεν αναμένεται να λειτουργήσει αποδοτικότερα, σύμφωνα με όσα έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα. Τα αποτελέσματα που λήφθηκαν επιβεβαιώνουν την παραπάνω υπόθεση. Όπως φαίνεται στα διαγράμματα (4.14) και (4.15) οι στάθμες των μικροφώνων σφάλματος παραμένουν αμετάβλητες κατά τη λειτουργία του ANC, κάτι που φανερώνει την αδυναμία της πηγής ελέγχου να διεγείρει το χώρο. Αυτό οφείλεται στο ότι βρίσκεται σε θέση ελαχίστου του αντίστοιχου ρυθμού. Το ίδιο ισχύει και για την κατανομή της στάθμης σε ολόκληρο το επίπεδο και για τις δύο περιπτώσεις, όπως παρουσιάζονται στις εικόνες (4.19) και (4.20). Διάγραμμα Πίεση στο σημείο Χ 1 για ANC από τη θέση Β για διέγερση 71 Hz. 67

72 Διάγραμμα Πίεση στο σημείο Χ 2 για ANC από τη θέση Β για διέγερση 71 Hz. Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Β για το Χ 1. 68

73 Εικόνα Διέγερση επιπέδου z 0 = 1,2 m από τονική πηγή 71 Hz και πηγή ελέγχου Β για το Χ 2. Σύγκριση επίδρασης της θέσης της πηγής ελέγχου για κάθε σημείο ενδιαφέροντος Όπως έγινε και στην προηγούμενη υποενότητα, συγκρίνεται η επίδραση του ANC από τις δύο διαφορετικές θέσεις σε μία περιοχή γύρω από το κάθε σημείο ενδιαφέροντος. Δίνεται έτσι μια εικόνα για τη μεταβολή που επιτυγχάνεται τοπικά και όχι αποκλειστικά σε ένα σημείο. Στις εικόνες (4.21) και (4.22) παρουσιάζονται οι τιμές της στάθμης της πίεσης πριν και μετά τον ANC για τις περιοχές 1 m 2 γύρω από τα σημεία Χ 1 και Χ 2 αντίστοιχα. Τονίζεται πως στην (4.21) ο χρωματικός κώδικας που χρησιμοποιείται είναι διαφορετικός από τις μέχρι τώρα περιπτώσεις για να φαίνεται καλύτερα η μείωση στην επιφάνεια. Στον πίνακα (4.2) δίνονται τα στατιστικά στοιχεία της κάθε επιφάνειας σε db. Πίνακας Στατιστικά στοιχεία περιοχών γύρω από τα σημεία ελέγχου για αρχικό θόρυβο 71 Hz. [db] Πριν τον ANC ANC από Α (Max) ANC από B (Min) Mean STD Mean STD Mean STD X 1 (Max) 81,1 1 78,1 1 81,1 1 X 2 (Min) 70,6 7,6 69,8 7,5 70,6 7,6 Διαφορά X Διαφορά X 2 0, 8 0,6 0 0,1 69

74 Εικόνα 4.21 Επιφάνεια γύρω από το Χ 1 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις Α και Β. 70

75 Εικόνα Επιφάνεια γύρω από το Χ 2 πριν και μετά τον ANC από τις θέσεις Α και Β. 71