ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Ανισώσεις

Transcript

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Ανισώσει Ανισώσει Θεώρημα 1 i. ii. Προσοχή: Τα αντίστροφα δεν ισχύουν δηλ. Αν i. Αν Θεώρημα Χ ³ ³ Ξ[ ] f d, δεν είναι κατ' ανάγκη f για κάθε, Αν η συνάρτηση f είναι συνεχή στο τότε ισχύουν ii. Αν f ³ ή f Χ d ³ f > ή f Χ d > iii. f ή f Χ d f < ή f Χ d < iv. [ α,β] f ³ για κάθε Ξ α,β ή f Χ d > f για κάθε Ξ α,β ή f Χ d < Έστω η συνεχή στο α,β συνάρτηση f. Αν για κάθε Ξ α,β ισχύει: και δεν είναι σταθερή μηδενική, Βασικέ ανισωτικέ σχέσει Ισχύουν οι σχέσει ln - 1< για κάθε > e ³ + 1> για κάθε Ξ Για κάθε Ξ ισχύει ημ. Η ισότητα ισχύει μόνο για Είναι φανερό ότι ισχύει ημ για κάθε ³. =. Εύκολα βρίσκουμε ότι ισχύει ημ ³ για κάθε. ζ φ Για Ξ η-, ισχύει Η ισότητα ισχύει μόνο για ηθ χ ημ εφ. =. ψ ι φ Αν Ξ, ζ ω είναι και αν είναι κ χ ημ εφ Ξ -, εφ ημ. λ ψ ηθ ϊ 39

3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ασκήσει 1. Έστω f, g δύο συναρτήσει συνεχεί στο α,β. Να αποδειχθεί ότι ii. Αν f g για κάθε α, β και υπάρχει Ξ α, β τέτοιο, ώστε f ( ) Ή g( ), τότε f ( ) Χ d > g( ) Χd ³ g( ) Ξ [ α, β ] ³ Ξ i. Αν f για κάθε, τότε i. Θεωρούμε τη συνάρτηση Η h είναι συνεχή στο (αφού h = f -g Ή ) = - Ξ[ ] h f g,, [, ] ισχύει h( ) ³ για κάθε Ξ[, ] οπότε από Θεώρημα 1 είναι ι ω h Χ d ³ Ϋ λ f -g Χ d ³ Ϋ f Χ d ³ g Χd f Χd - g Χ d ³ Ϋ f Χ d ³ g Χd, [, ] ισχύει h( ) ³ για κάθε Ξ[, ] οπότε από Θεώρημα είναι = - Ξ[ ] ii. Θεωρούμε τη συνάρτηση h f g,, Η h είναι συνεχή στο δεν είναι παντού μηδέν στο [, ] ι ω h Χ d > Ϋ λ f -g Χ d > Ϋ f Χd - g Χ d > Ϋ f Χ d > g Χd, Παρατήρηση: Αποδείξαμε ότι "αν δύο συνεχεί συναρτήσει είναι άνισε σε ένα κλειστό διάστημα [ α,β] ομοίω άνισα"., τότε και τα ορισμένα ολοκληρώματα του, από α έω β, είναι 393

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15. Να συγκριθούν, χωρί να υπολογισθούν, τα ολοκληρώματα Θεωρούμε τι συναρτήσει το [,1], στο οποίο είναι συνεχεί. Έστω ότι είναι Άρα, για [,1] Από τι σχέσει (), (4) προκύπτει I = Χ d και I = Χd f = και g = 4 f g Ϋ Ϋ Ϋ ( > ) - 1 Ϋ - 1 Ϋ 1, που ισχύει. Ξ είναι f ( ) g( ) Ϋ Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε 1 1 με κοινό πεδίο ορισμού Χ d Χd Ϋ I I 3. Χωρί να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα, να αποδειχθεί ότι ημ Χ d Χ d εφχd ι ω Για κάθε Ξ ισχύει hm, οπότε για Ξ, είναι κ λ 5ϊ Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη την (1), θα πάρουμε 5 5 hm Χ d Χd () 1 ι ω Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) = - εφ, Ξ, κ λ 5ϊ Η f είναι συνεχή και παραγωγίσιμη με 1 sun -1 -hm ζ φ f Ά ( ) = 1- = = = - εφ < για κάθε Ξ, η sun sun sun ηθ 5ψχ ι ω επομένω, η f είναι γνησίω φθίνουσα στο,, κ 5 ϊ λ οπότε για ή f ³ f ( ) Ϋ ³ - εφ Ϋ εφ (3) 5 π 5 5 Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη την (3), θα πάρουμε Χ d εφ Χd (4) π Ϋ Ϋ hm Χ d Χ d εφ Χd, hm (1) 394

5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Να αποδειχθεί ότι 6 ημ d 1 3 Χ ημ ι π πω Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) =, Ξ,. κ λ 6 ϊ ι π πω Χsun -hm h Η f είναι συνεχή και παραγωγίσιμη στο, με f Ά ( ) = = ι κλ 6 ϊ ω με h( ) = Χsun -hm, Ξ, κ λ ϊ Βρίσκουμε το πρόσημο τη f Άκαι h. Έστω h f Ά > Ϋ > Ϋ h( ) > Δηλ. η f Ά και η h είναι ομόσημε. ζ φ Είναι hά ( ) = sun - Χhm - sun = - Χ hm < για κάθε Ξη,, ηθ χψ ι ω επομένω, η h είναι γνησίω φθίνουσα στο,, οπότε κλ ϊ ι ω Για > Ϋ h( ) < h Ϋ h( ) <, άρα, f Ά ( ) < για Ξ, κ λ 6 ϊ Το πρόσημο τη f Άφαίνεται στο διπλανό πίνακα, από τον οποίο προκύπτει ότι η f : f Ά π/6 π/ ζφ 3 Έχει ολικό μέγιστο στο άκρο το f η = 6 ηθ 6ψχ ζφ Έχει ολικό ελάχιστο στο άκρο το f η =, ηθ ψχ 3 ι ω επομένω, ισχύει f ( ) για κάθε Ξ, κ λ 6 ϊ Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε Χ d f Χ d Χd Ϋ hm d 1 3 Χ 6, f Ο.Μ. Ο.Ε. 43

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχή στο με f Χ d = 1, (1) να αποδειχθεί ότι Ισχύει οπότε θα ισχύει 1 f Χ d ³ 1 ( ) ( ) f - 1 ³ ή f -1 Χ d ³ 1 1 [,1 ] ( ) 1 Ϋ f - f + 1 Χ d ³ ( 1) Ϋ f Χd - f d + d ³ Ϋ f Χd -Χ 1+ 1³ Ϋ f Χ d ³ 1, 39. Έστω οι συνεχεί συναρτήσει f,g : με g για κάθε Ξ α,β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Ξ f Χg Χ d = f g Χd Είναι g για κάθε,, οπότε θα είναι και Αφού η f είναι συνεχή στο,, έχει μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη τιμή m, [ α,β ] > [ α,β] τέτοιο, ώστε > Ξ ( g( ) > ) g Χ d >. (1) m f M Ϋ mχ g f Χ g MΧg Αν ολοκληρώσουμε κατά μέλη, θα πάρουμε g( ) Χd Από το Θ.Ενδιάμεσων Τιμών, επειδή η f είναι συνεχή στο [ ] υπάρχει ένα τουλάχιστον Ξ[, ] τέτοιο, ώστε Χ,, f g Χd f ( ) = Ϋ f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d, Χ Χ = Χ g Χd m g Χ d f Χg Χ d M g Χd Ϋ Χ f g Χd m M ( 1) 41