Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός

Transcript

1 Σελίδα από 0 ΘΕΜΑ ο Γενικό Διαγώνισμα στην Κατεύθυνση της Γ Λυκείου Απρίλιος Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής και πότε παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της ; Μονάδες 6 Β. Να αποδείξετε ότι αν f() συν, τότε f () ημ, για κάθε R. Μονάδες 9 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ,αν είναι σωστές ή με Λ,αν είναι λανθασμένες. α) Αν ο z είναι μιγαδικός αριθμός, τότε z z z β) Αν μια συνάρτηση f: A IR είναι, τότε η εξίσωση f() β,έχει ακριβώς μία λύση στο Α για κάθε τιμή του β. γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σύνολο Α και δε μηδενίζεται για καμιά τιμή του διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Α. A, τότε η συνάρτηση αυτή δ) Μια πολυωνυμική συνάρτηση δεν μπορεί να έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + ή το ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και G είναι μια αρχική της f στο [α, β], τότε : β α f()d G(β)-G(α)

2 Σελίδα από 0 ΘΕΜΑ ο Μονάδες 0 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f, όπου > 0. α) Να βρείτε την παράγωγο της f και την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο της Μ(, f()). Μονάδες 6 β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. Μονάδες 6 γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 6 δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της και το σύνολο τιμών της. C f Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3 ο Τρεις μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ έχουν μέτρο και ικανοποιούν τη σχέση α + β + γ. Να αποδειχθεί ότι : α) αβ + βγ + γα αβγ β) ( - α)( - β)( - γ) 0 α β γ γ) Μονάδες 7 Μονάδες 5 Μονάδες 7

3 Σελίδα 3 από 0 δ) Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Για μία συνάρτηση φ ( ln) φ 0 ότι: φ :, + R ισχύει ότι: > για κάθε και φ ln,> Β. Για δύο συναρτήσεις g lnf ( ) και f lng Αν f 0 και g( ), τότε: Μονάδες 6 φ. Να αποδείξετε Μονάδες 7 f,g :, + R ισχύουν οι σχέσεις: για κάθε > α) Να αποδείξετε ότι: f ln και g + ln Μονάδες 9 β) Να βρείτε την μονοτονία των συναρτήσεων f και g Μονάδες 4 γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C,C f g και των ευθειών, 3. Μονάδες 5 Καλή Επιτυχία!!!

4 Σελίδα 4 από 0 Υποδείξεις για τη λύση των θεμάτων ( Οι υποδείξεις έγιναν από το συνάδελφο Βασίλη Μαυροφρύδη) ΘΕΜΑ Ο Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδες 88 και 3 Β. Αποδείξεις σελίδα 5 Γ. (α) Σ, (β) Λ, (γ) Λ, (δ) Λ, (ε) Σ ΘΕΜΑ Ο α) Είναι f, > 0 ln ln ln ln f, > 0 Η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι η ln ( ε ):y f f ( ) y ln ( ) y ln ( ) y y β) > 0 f > 0 ln> 0 ln> 0 > Όμοια f < 0 0< <,f 0 Τα παραπάνω συνοψίζονται στον πίνακα 0 + f - + f( ) f 0 ΟΕ

5 Σελίδα 5 από 0 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,] και γνησίως αύξουσα στο [,+οο) ως συνεχής σε αυτά. Επίσης παρουσιάζει ελάχιστο στο με τιμή f 0. γ) Για την μονοτονία και τα κοίλα χρειαζόμαστε την δεύτερη παράγωγο ln f ln ln+ ( ln ),> 0 > 0 f < 0 ( ) < 0 < 0 > ln > f > 0 0< <,f 0 Όμοια 0 + f + - f( ) f ΣΚ Άρα η f είναι κυρτή στο (0,] και κοίλη στο [, +οο). Επίσης παρουσιάζει καμπή στο σημείο (,) δ) Επειδή η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της η αναζήτηση ασύμπτωτων θα γίνει για κατακόρυφες στο 0 και για πλάγιες οριζόντιες στο + ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ lim f + άρα η 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C 0 + f

6 Σελίδα 6 από 0 ΠΛΑΓΙΕΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ ( ) lim lim lim lim + + f DLH + + DLH lim 0 R + lim f 0 lim R + + άρα η f δεν έχει πλάγια + οριζόντια ασύμπτωτη στο +οο. ΘΕΜΑ 3 Ο Είναι α α α α, ομοίως α β, γ β γ α) Ισχύει α+ β+ γ α+ β+ γ α+ β+ γ + + βγ + αγ + αβ αβγ α β γ β) Κάνοντας πράξεις στο πρώτο μέλος έχουμε ( α)( β)( γ) ( β α+ αβ)( γ) β α+ αβ γ+ βγ+ αγ αβγ ( α+ β+ γ) + ( αβ+ βγ+ αγ) αβγ + αβγ αβγ 0 γ) Επειδή ( - α)( - β)( - γ) 0 τουλάχιστον ένας από τους α, β, γ θα ισούται με Ας υποθέσουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι γ τότε με αντικατάσταση στην α+ β+ γ έχουμε α+ β+ α+ β 0 α β Επομένως α β γ β β 009

7 Σελίδα 7 από 0 δ) Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας όπως και στο προηγούμενο υποερώτημα ότι γ, οπότε όπως δείξαμε προηγουμένως θα είναι και α β Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των α, β, γ στο μιγαδικό επίπεδο τότε Αλγεβρική προσέγγιση ΑΒ β α β + β β β 4 ΒΓ + ΑΓ γ β + γ α β + + β ( β)( β) ( β)( β) ( β)( β) ( β)( β) β β + ββ + + β + β + β + 4 Οπότε ( ΑΒ) 4 ( ΒΓ) + ( ΑΓ) Γ ˆ 90 Γεωμετρική προσέγγιση + ββ (από τον συνάδελφο ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟ ΝΙΚΟ) θα είναι Γ(,0). Επειδή α β γ οι εικόνες των α, β, γ είναι ομοκυκλικά σημεία, του κύκλου ( Ο,) Αν α + iy επειδή β α A(,y ), Β(, y) δηλαδή τα Α, Β είναι θα είναι β iy άρα συμμετρικά ως προς το Ο, οπότε ΑΒ διάμετρος. Αυτό σημαίνει ότι η εγγεγραμμένη γωνία ΑΓΒ βαίνει σε ημικύκλιο οπότε είναι ορθή, άρα το τρίγωνο μας είναι ορθογώνιο. Όμοια αν υποθέσουμε ότι β τότε προκύπτει Γ Β ˆ 90, ενώ αν α τότε προκύπτει ˆ Α 90 Α Ο Β

8 Σελίδα 8 από 0 ΘΕΜΑ 4 Ο Α) Ισχύει φ ln φ 0 ln φ ln φ 0 φ φ φ 0 0 φ φ φ 0 c φ cln,> Για : φ cln c άρα φ ln,> Β) α) Αφαιρώντας κατά μέλη τις δοσμένες σχέσεις έχουμε f g lng + lnf f g ( ln) f g 0, f g 0 Άρα η f-g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Α για την φ, οπότε f g ln,> Προσθέτοντας κατά μέλη τις δοσμένες σχέσεις έχουμε f + g lng lnf f g f g ( f g( + )) 0 ln( f + g ) c c f + g( ),> c :f + g 0+ c c ln Άρα f + g ( ),> Λύνοντας το σύστημα (με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη)

9 Σελίδα 9 από 0 f g ln,> f + g ( ),> Βρίσκουμε f ln και g β) Για τις παραγώγους των f και g έχουμε f + < 0,> + ln g ( ) ( ln+ )( ln ), > Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα g > 0 + > 0 ( + ) > 0 > > 0 > ln > [,+ και γνησίως φθίνουσα στο ( ] g < 0 < < Ομοίως που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως g 0 αύξουσα στο ], ως συνεχής σε αυτά. Επίσης παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο με τιμή g γ) Έστω Ω το περικλειόμενο χωρίο και Ε(Ω) το εμβαδό του. 3 Τότε είναι E( Ω ) f g d και f g ln< 0 Άρα

10 Σελίδα 0 από 0 ( Ω) ( 6ln3 6) E f g d lnd lnd [ ln] ( ln) d 3ln3 ln d 3 [ ] 6ln3 6ln3 3 τμ Καλή Επιτυχία!!!