Η Υποθεση του Riemann

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Υποθεση του Riemann"

Transcript

1 Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/ Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008

2

3 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης Μιχαήλ Κοντογεώργης Αριστείδης Φελουζής Ευάγγελος

4

5 Πρόλογος Στην πτυχιακή αυτή εργασία ϑα ασχοληθούµε µε ένα από τα σπουδαίοτερα προβλήµατα της Θεωρίας Αριθµών την υπόθεση του Riemann για τη ζ - συνάρτηση. Αρχικά ϑα ορίσουµε τη ζ - συνάρτηση σαν µια σειρά Dirichlet και ϑα δούµε τα χωρία σύγκλισής της. Η ζ - συνάρτηση συγκλίνει στο ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου που ορίζεται από την Re(z) 1. Η συναρτησιακή εξίσωση µας δίνει την δυνατότητα να ορίσουµε την ζ-συνάρτηση ως µια µερόµορφη συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από τον πόλο στο s = 1. Περιγράφουµε τα αναλυτικά εργαλεία που χρειαζόµαστε για να σκιαγραφήσουµε την αποδείξη της συναρτησιακής της εξίσωσης. Από την συναρτησιακή εξίσωση υπολογίζουµε τις τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης και διατυπώνουµε την υπόθεση του Riemann για τις µη τετριµµένες ϱίζες της. Η απόδειξη της υπόθεσης Riemann είναι ένα ανοιχτό πρόβληµα, από τα σηµαντικότερα για την ϑεωρία αριθµών και τα µαθηµατικά γενικότερα. Θα µπορούσε να πει κανείς ότι διαισθητικά η ζ-συνάρτηση περιγράφει την κατανοµή των πρώτων του δακτυλίου των ακεραίων Z του σώµατος των ϱητών αριθµών. Υπάρχουν γόνιµες γενικεύσεις της ζ-συνάρτησης για αλγεβρικά σώµατα αριθµών και πολλές ιδιότητες ενός σώµατος αριθµών αποτυπώνονται στην Ϲήτα συνάρτηση του. Από την άλλη µεριά τα σώµατα Q και F p (t) παρουσιάζουν πολλές οµοιότητες. Οι δακτύλιοι των ακεραίων τους Z, F p [t] είναι για παράδειγµα και οι δύο µονοδιάστατοι δακτύλιοι του Dedekind. Οι αλγεβρικές επεκτάσεις του σώµατος F p (t) αντιστοιχούν σε σώµατα συναρτήσεων αλγεβρικών καµπυλών και τα ονοµάζουµε αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων µίας µεταβλητής. Η ϑέαση των σωµάτων αυτών ως σώµατα συναρτήσεων καµπυλών προσθέτει στο οπλοστάσιο µας ένα πλήθος γεωµετρικών εργαλείων. v

6 vi Στην πτυχιακή αυτή εργασία προσπαθούµε να δόσουµε µία γενίκευση της ζ- συνάρτησης. Οδηγούµαστε και πάλι σε µία µερόµορφη συνάρτηση στο µιγαδικό επίπεδο, η οποία περιέχει όλη την πληροφορία για το πλήθος των σηµείων της αντίστοιχης καµπύλης πάνω από κάθε επέκταση F p r του F p. Το ενδιαφέρον σχετικά µε την ζ-συνάρτηση ενός σώµατος συναρτήσεων είναι ότι αθροίζεται σε µία ϱήτη συνάρτηση στο C(t). Τοπολογικές και γεωµετρικές ιδιότητες της ζ-συνάρητησης όπως για παράδειγµα το γένος της καµπύλης εµφανίζονται στην ϱητή γραφή της ζ- συνάρτησης. Το κυριότερο όµως χαρακτηριστικό της ζ-συνάρτησης είναι ότι οι ϱίζες της ικανοποιούν την υπόθεση Riemann. Πρώτος ο A. Weil παρατήρησε ότι τα σηµεία µίας καµπύλης πάνω από το F p r είναι τα σταθερά σηµεία του οµοµορφισµού του Frobenious x x pr και επιρεασ- µένος από τα ϑεωρήµατα σταθερού σηµείου της αλγεβρικής τοπολογίας κατάφερε να δώσει µία «απόδειξη», υπό την προϋπόθεση ότι µία «κατάλληλη» συνοµολογιακή ϑεωρία για αλγεβρικές καµπύλες υπήρχε. Την ϑεωρία αυτή την κατασκεύασε ο A. Grothendick και η χρήση αυτής της ϑεωρίας οδήγησε τον P. Deligne στην απόδειξη της εικασίας του Riemann για τις ζ-συναρτήσεις αλγεβρικών πολλαπλοτήτων. Εµείς ϑα περιοριστούµε σε αλγεβρικές καµπύλες και στα σώµατα συναρτήσεων τους και ϑα παρουσιάσουµε µία ϐατή απόδειξη της εικασίας του Riemann η οποία οφείλεται στον Bombieri. Αφού ορίσουµε τα εργαλεία και τις έννοιες που ϑα χρειαστούµε όπως του αλγε- ϐρικού σώµατος συναρτήσεων, των ϑέσεων και των διαιρετών και την σύνδεσή τους µε την γεωµετρία ϑα ορίσουµε την ζ-συνάρτηση ενός αλγεβρικού σώµατος συναρτήσεων και ϑα υπολογίσουµε την ϱητή έκφραση µε την ϐοήθεια του ϑεωρήµατος των Riemann-Roch. Τέλος ϑα περιγράψουµε την απόδειξη της εικασίας του Riemann και το ϕράγµα των Hasse-Weil

7 Περιεχόµενα Πρόλογος iv 1 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Εισαγωγή Σειρές Dirichlet Η Γάµµα συνάρτηση του Euler Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων Θέσεις Το Σώµα των ϱητών συναρτήσεων ιαιρέτες Το ϑεώρηµα Riemman - Roch Αλγεβρικές καµπύλες και αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων Αφινική πολλαπλότητα Προβολική πολλαπλότητα Κάλυµµα προβολικής πολλαπλότητα µε αφινική πολλαπλότητα Το προβολικό κάλυµµα µιας αφινικής πολλαπλότητας Ρητές απεικονίσεις και µορφισµοί Αλγεβρικές καµπύλες Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων / πεπερασµένων σωµάτων σταθερών Η ζ-συνάρτηση του σώµατος συναρτήσεων Το ϑεώρηµα των Hasse-Weil Βιβλιογραφία 80 vii

8 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό σκοπός µας είναι να µελετήσουµε τη Ϲήτα συνάρτηση του Riemann ως µια σειρά Dirichlet και να µελετήσουµε την συναρτησιακή της εξίσωση. Το 1737 ο Euler έδωσε µια εναλλακτική απόδειξη του ϑεωρήµατος του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθµών, αποδεικνύοντας ότι η σειρά p P p 1 αποκλίνει, δηλαδή, p 1 = p P P το σύνολο των πρώτων αριθµών Αυτό το συµπέρανε από το γεγονός ότι η συνάρτηση ζ(s) = n=1 1 n s R s>1 =, όταν s 1. (Την απόδειξη ότι η απειρία των πρώτων αριθµών σχετίζεται µε την απόκλιση της ζ - συνάρτησης του Euer ϑα την αποδείξουµε στο τέλος αυτής της ενότητας.) Ο Riemann, µελετώντας την ζ - συνάρτηση του Euler, ϑεώρησε την µεταβλητή s να είναι ένας µιγαδικός αριθµός της µορφής s = σ + it, όπου σ και t είναι πραγ- µατικοί αριθµοί. Την σπουδαιότητα αυτής της ϑεώρησης ϑα την δούµε παρακάτω. 1

10 2 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές 1.2 Σειρές Dirichlet Πριν αρχίσουµε να µιλάµε για τις σειρές Dirichlet ϑα πούµε δυο λόγια για τη σύγκλιση σειρών και γινοµένων. Ορισµός 1.1 (Σύγκλιση σειρών) Εστω {a n } n=1, n N µία ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Θα λέµε ότι η σειρά n=1 a n συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό l και ϑα γράφουµε n=1 a n = l, αν και µόνον αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων σ n = a 1 + a a n, n N συγκλίνει στο l δηλαδή lim n σ n = l. Σηµείωση 1.2 Από τον προηγούµενο ορισµό αν l = + ϑα λέµε ότι η σειρά n=1 a n απειρίζεται ϑετικά, ενώ αν l = ϑα λέµε ότι η σειρά n=1 a n απειρίζεται αρνητικά. Γενικά αν η σειρά απειρίζεται είτε ϑετικά είτε αρνητικά ϑα λέµε ότι σειρά αποκλίνει. Ορισµός 1.3 (Απόλυτη σύγκλιση σειρών) Θα λέµε ότι η σειρά n=1 a n συγκλίνει απόλυτα αν και µόνον αν η σειρά n=1 a n συγκλίνει. Σηµείωση 1.4 Η απόλυτη σύγκλιση µιας σειράς συνεπάγεται την απλή σύγκλιση της, δηλαδή a n < + a n < +. n=1 Ορισµός 1.5 (Σύγκλιση άπειρου γινοµένου) Εστω {z n } n=1 µία ακολουθία µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Θα λέµε ότι το άπερο γινόµενο n=1 z n συγκλίνει σ έ- να µη µηδενικό αριθµό l, αν η ακολουθία των µερικών γινοµένων P N = z 1 z 2 z N συγκλίνει στο l δηλαδή lim N P N = l. n=1 Σηµείωση 1.6 Από τον προηγούµενο ορισµό αν l = 0 τότε λέµε ότι το άπειρο γινόµενο αποκλίνει στο 0. Θεώρηµα 1.7 ( Dirichlet) Αν k > 0 και (h, k) = 1 τότε υπάρχουν άπειροι πρώτοι στην αριθµητική πρόοδο nk + h, n = 0, 1, 2, 3,.... Η απόδειξη αυτού του ϑεωρήµατος (παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [TOMA]) ϐασίζεται στις L - σειρές Dirichlet, που ϑα µιλήσουµε γι αυτές λίγο παρακάτω. Ορισµός 1.8 (Χαρακτήρας Dirichlet) Εστω k N \ {0} και η πεπερασµένη οµάδα Z k = {n (mod k) : µκδ (n, k) = 1}. Κάθε οµοµορφισµός οµάδων χ : Z k C ϑα λέγεται χαρακτήρας Dirichlet mod k.

11 Σειρές Dirichlet 3 Σχόλιο 1.9 Από τον προηγούµενο ορισµό έχουµε ότι ο χ ορίζεται µόνο στα n για τα οποία µκδ (n, k) = 1. Επεκτείνουµε λοιπόν τον ορισµό ως εξής { n (mod k), αν µκδ (n, k) = 1 χ(n) = 0, αν µκδ (n, k) > 1 και ϑα τον ονοµάζπυµε και πάλι χαρακτήρα Dirichlet. Ωστε χαρακτήρας Dirichlet να είναι µία συνάρτηση χ : Z C µε τις ακόλουθες ιδιότητες : i. Υπάρχει ϑετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε χ(n) = χ(n + k) για όλους τους ακεραίους n. ii. χ(n) = 0 για κάθε n µε µκδ(n, k) > 1. iii. χ(mn) = χ(m)χ(n) για όλους τους ακεραίους m και n. iv. χ(1) = 1. Ορισµός 1.10 Μια σειρά Dirichlet είναι µία σειρά της µορφής z n e λns n=1 όπου {λ n } είναι ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε λ 1 < λ 2 < < λ n, z n αυθαίρετοι µιγαδικοί αριθµοί και s = σ + it C Παράδειγµα 1.11 Εστω λ n = log n η σείρα Dirichlet γράφεται ως n=1 z n n s όπου f(n), αριθµητική συνάρτηση. zn=f(n) = n=1 f(n) n s Τη σειρά αυτή ϑα τη λέµε συνήθη σειρά Dirichlet. Ορισµός 1.12 Εστω k N και χ είναι ένας χαρακτήρας Dirichlet mod k. Η L- σειρά Dirichlet ορίζεται ως εξής : L(s, χ) = n=1 χ(n) n s Αφού χ(n) = 1 για κάθε ϕυσικό αριθµό n, έπεται ότι συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. χ(n) n s 1 n σ, άρα η L(s/x) Θεώρηµα 1.13 Εστω ότι η σειρά n=1 f(n)n s δεν συγκλίνει για όλα τα s ούτε αποκλίνει για όλα τα s. Τότε υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός σ a, που λέγεται τετµηµένη απόλυτης σύγκλισης, τέτοιος ώστε η σιερά n=1 f(n)n s να συγκλίνει απόλυτα για σ > σ a, ενώ για σ < σ a η σειρά να µην συγκλίνει απόλυτα.

12 4 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Απόδειξη : Εστω D το σύνολο των πραγµατικών σ, για τους οποίους η σειρά f(n)n s n=1 αποκλίνει. Το D, διότι η σειρά δε συγκλίνει για όλους τους s, ενώ το D είναι άνω ϕραγµένο, διότι η σειρά δεν αποκλίνει για όλα τα s. Εποµένως το D έχει ένα ελάχιστο άνω ϕράγµα, που το ονοµάζουµε σ a. Αν σ < σ a, τότε σ D, διότι διαφορετικά, το σ ϑα ήταν άνω ϕράγµα για το D, µικρότερο από το ελάχιστο άνω ϕράγµα. Αν σ > σ a, τότε σ D, διότι το σ a είναι άνω ϕράγµα για το D. Παράδειγµα 1.14 Η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann. Η σειρά Dirichlet n=1 n s συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. Οταν s = 1, η σειρά αποκλίνει, οπότε σ a = 1. Το άθροισµα αυτής της σειράς συµβολίζεται µε ζ(s) και λέγεται συνάρτηση Ϲήτα του Riemann. Σηµείωση 1.15 Αρχικά η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann ορίζεται για σ > 1, κάνοντας χρήση της συναρτησιακής εξίσωσης, που ϑα µελετήσουµε παρακάτω, ϑα την ορίσουµε σε όλο το C \ {1}. Στη συνέχεια ϑα ορίσουµε την έννοια της πολλαπλασιαστικής συνάρτησης και αποδείξουµε το ϑεώρηµα που συνδέει µια άπειρη, συγκλίνουσα απόλυτα σειρά µε το γινόµενο Euler. Αρχικά ας δούµε πως η σύγκλιση µιας µιγαδικής σειράς συνδέεται µε τη σύγκλιση ενός άπειρου γινοµένου µιγαδικών όρων. Πρόταση 1.16 Αν z n 1, n = 1, 2,..., το n=1 (1 + z n) συγκλίνει αν και µόνον αν η σειρά n=1 log(1 + z n) συγκλίνει (µε log z συµβολίζουµε τον κύριο κλάδο του αλγορίθµου, δηλαδή π < Im log z = arg z π). Απόδειξη : Θέτουµε S K = K n=1 log(1 + z n). Τότε P K = e S K και, αν S K S, έχουµε P K P = e S. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι P K P 0. Τότε κάποιος κλάδος του λογαρίθµου (τον οποίο ϑα συµβολίζουµε µε log ) είναι συνεχής στο P και log P K log P όταν K. Ορίζουµε επαγωγικά ακεραίους b n έτσι ώστε K ( ) log(1 + zn ) + 2πb n = log P K. n=1 Αφού η log P K συγκλίνει, η σειρά K ( ) log(1 + zn ) + 2πib n n=1 συγκλίνει. Εποµένως, log(1 + z n ) + 2πib n 0 όταν n. Αφού z n 0 και log είναι ένας κύριος κλάδος του λογαρίθµου, έπεται ότι b n = 0, αν το n είναι αρκετά µεγάλο. Συνεπώς, η σειρά n=1 log(1 + z n) συγκλίνει.

13 Σειρές Dirichlet 5 Πρόταση 1.17 Αν η σειρά n=1 z n συγκλίνει, τότε το n=1 (1 + z n) συγκλίνει απόλυτα. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι η n=1 z n συγκλίνει σ έναν αριθµό K, τέτοιον ώστε για n > K να ισχύει z n < 1 2. Τότε, αν n > K, log(1 + z n ) = z n z n z 3 n 3 z n ( ) 2 z n. Εποµένως, η σειρά n=k+1 log(1 + z n) συγκλίνει και, από την προηγούµενη πρόταση, συγκλίνει και το απειρογινόµενο n=1 (1 + z n). Ορισµός 1.18 Λέµε ότι το άπειρο γινόµενο (1 + z n ) n=1 συγκλίνει απόλυτα, αν το άπειρο γινόµενο n=1 συγκλίνει. (1 + z n ) Ορισµός 1.19 Η συνάρτηση f : N C ϑα λέγεται πολλαπλασιαστική συνάρτηση όταν f(mn) = f(m)f(n) για όλους τους m, n N µε (m, n) = 1 και υπάρχει τουλάχιστον ένας n 0 N τέτοιος ώστε f(n 0 ) 0. Επιπλέον ϑα λέγεται πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση όταν απαλείψουµε τον περιορισµό (m, n) = 1. Παράδειγµα 1.20 Ο χαρακτήρας Dirichlet είναι µία πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Θεώρηµα 1.21 (Γινόµενο Euler) Αν f πολλαπλασιατική και n=1 f(n) απολύτως συγκλίνουσα τότε { 1 + f(p) + f(p 2 ) + } n=1 f(n) = p P και το απειρογινόµενο συγκλίνει απολύτως. Αν f πλήρως πολλαπλασιαστική τότε n=1 f(n) = p P 1 1 f(p).

14 6 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Απόδειξη : Αρχικά ορίζουµε P (x) := p x { 1 + f(p) + f(p 2 ) + } Το P (x) είναι πεπερασµένο γινόµενο απόλυτα συγκλινουσών σειρών, συνεπώς µ- πορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να αλλάξουµε τη σειρά των όρων, χωρίς να αλλάξει το άθροισµα. Θα έχουµε δηλαδή γινόµενα της µορφής f(p a1 1 )f(pa2 2 ) f(pan n ) = f(p a1 1 pa1 1 pa1 n ) Από το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα της αριθµητικής : Κάθε ϕυσικός αριθµός n > 1 αναπαρίσταται σε γινόµενο πρώτων αρι- ϑµών. Η αναπαράσταση αυτή είναι µοναδική αν αγνοήσουµε τη διάταξη των παραγόντων του γινοµένου. έχουµε ότι : P (x) = n A f(n) όπου A = {n N οι πρώτοι παράγοντες του n είναι όλοι x}. Εποµένως n=1 f(n) P (x) = n B f(n) όπου B = {n N p P, p n, τέτοιος ώστε p > x}. Αρα f(n) P (x) f(n) f(n) n>x n=1 n=1 Τώρα αφού n=1 f(x) συγκλίνει, έπεται ότι για x το n>x f(x) 0. Επίσης από την πρόταση 1.17 γνωρίζουµε ότι : (1 + zn ) συγκλίνει απόλυτα z n συγκλίνει. Επίσης έχουµε ότι f(p) + f(p 2 ) + ( f(p) + f(p 2 ) + ) f(n). p x p x Αφού όλα τα µερικά αθροίσµατα είναι πεπερασµένα, η σειρά ϑετικών όρων f(p) + f(p 2 ) + p P συγκλίνει, οπότε και το αντίστοιχο άπειρο γινόµενο συγκλίνει απόλυτα. Τώρα αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική τότε f(p n ) = f(p) n για κάθε πρώτο p και 1 έχουµε συγκλίνουσες γεωµετρικές σειρές µε αθροίσµα 1 f(p). Αρα αποδείξαµε ότι f(n) = 1 1 f(p). n=1 p P n=2

15 Σειρές Dirichlet 7 Παράδειγµα 1.22 Η σειρά Dirichlet µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο Euler n=1 f(n) n s = p P 1 1 f(p)p s ; Απόδειξη : Από προηγούµενο ϑεώρηµα η σειρά Dirichlet συγκλίνει απόλυτα για σ > σ a R. Θέτω g(n) = f(n) n, η οποία είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση διότι f πολλαπλασιαστική g(mn) = f(mn) (mn) s = f(m) f(n) s m s n = g(m)g(n) για όλους τους s m, n N µε (m, n) = 1 και υπάρχει τουλάχιστον ένας n 0 N τέτοιος ώστε g(n 0 ) 0. Εποµένως έχουµε από το προηγούµενο ϑεώρηµα για την g(n) ότι { 1 + g(p) + g(p 2 ) + } g(n) = n=1 p P f(n) n s = { 1 + f(p) } p s + f(p2 ) p 2s + n=1 p P Αν f πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση g πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Εποµένως από το προηγούµενο ϑεώρηµα για τη g(n) έχουµε n=1 g(n) = p P 1 1 g(p) n=1 f(n) n s = p P 1 1 f(p)p s Παράδειγµα 1.23 Η ζ(s) συνάρτηση του Riemann µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο Euler ζ(s) = 1 n s = 1 1 p s n=1 p P Απόδειξη : Από προηγούµενο παράδειγµα η ζ(s) συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. Θέτω g(n) = 1 n s, η οποία είναι πολλαπλασιαστική και πλήρως πολλαπλασιαστική (προφανές). Εποµένως n=1 g(n) = p P 1 1 g(p) n=1 1 n s = p P 1 1 p s. Τώρα, µπορούµε να απόδειξουµε την απειρία των πρώτων αριθµών. Απόδειξη : Γνωρίζουµε ότι η σειρά n=1 1 n αποκλίνει και συγκεκριµένα απειρίζεται ϑετικά. Αρα από το ϑεώρηµα 1.21 προκύπτει ότι για f(n) = 1 n έχουµε : n=1 1 n = 1 1 p 1 p P

16 8 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές αφού το άθροισµα απειρίζεται ϑετικά και το άπειρο γινόµενο ϑα απειρίζεται, εποµένως ( ) p P 1 1 p ϑα αποκλίνει στο 0, δηλαδή η κολουθία των µερικών γινοµένων ϑα συγκλίνει στο 0, αλλά από την πρόταση 1.17 αφού το γινόµενο ( ) p P 1 1 p αποκλίνει στο 0 άρα και η σειρά p P 1 p αποκλίνει. Τελικά p P 1 p = Η Γάµµα συνάρτηση του Euler Για το υπόλοιπο του κεφαλαίου ϑα χρειαστούµε κάποιες από τις ιδιότητες της Γ- συνάρτησης, έτσι στην ενότητα αυτή ϑα τις παραθέσουµε παραθέσουµε αν και δεν ϑα µας χρειαστούν όλες. Αρχικά ϑα ορίσουµε την Γ-συνάρτηση. Ορισµός 1.24 (Γ-συνάρτηση) Η Γ-συνάρτηση ορίζεται να είναι το γενικευµένο ολοκλήρωµα για Re(s) > 0. Ιδιοτητες : 1. Γ(1) = 1 2. Γ(s + 1) = sγ(s) Γ(s) = 0 e t t s dt t 3. Γ(s)Γ(1 s) = π sin(πs) s C \ Z. 4. Γ ( ) ( s 2 Γ s+1 ) 2 = π2 1 s Γ(s) s C \ { n n N }. 5. Γ(s + 1) = s! για s N Για τις αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. 1.4 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) Σ αυτή την ενότητα, όπως αναφέρει και ο τίτλος, ϑα αποδείξουµε την συναρτησιακή εξίσωση της Ϲ-συνάρτησης, που απεδείχθει από τον Riemann στο άρθρο του το Η συναρτησιακή εξίσωση εκφράζει το ζ(s) ως συνάρτηση του ζ(1 s). Ετσι µε τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε τη Ϲ-συνάρτηση και για αρνητικά s. Για παράδειγµα : ζ( 2), ζ( 4),... που αποτελούν τις τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης. Πριν προχωρίσουµε στην απόδειξη ϑα αναφέρουµε κάποιες προτάσεις και ορισ- µούς που ϑα χρειαστούµε στη συνέχεια.

17 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 9 Ορισµός 1.25 (Μετασχηµατισµός Mellin) Ο µετασχηµατισµός Mellin µιας συνάρτησης f είναι {Mf}(s) = φ(s) = 0 f(t)t s dt t. Παρατήρηση 1.26 Ειδικότερα ο µετασχηµατισµός Mellin είναι ο µετασχηµατισµός που σχετίζει τη συνηθισµένη σειρά Dirichlet f(s) = n=1 a nn s µε τη δυναµοσειρά µε τους ίδιους συντελεστές F (s) = n=1 a ns n ως εξής : f(s) = 1 Γ(s) 0 F (e t )t s 1 dt. Ορισµός 1.27 Ορίζουµε τη ϑήτα συνάρτηση ως εξής Θ(t) := + n= e πtn2 (t > 0). Πρόταση 1.28 Η ϑήτα συνάρτηση Θ(t) επαληθεύει την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση Θ(t) = 1 t Θ ( ) 1. t Για την απόδειξη παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. Πρόταση 1.29 Για t 0 + έχουµε : Θ(t) t 1 2 < e c/t όπου c ϑετική σταθερά. Για την απόδειξη παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. Ορισµός 1.30 Μία συνάρτηση λέγεται αναλυτική σ ένα σηµείο z αν είναι παραγωγίσιµη σε µία περιοχή του z. Οµοίως λέγεται αναλυτική σ ένα σύνολο S αν είναι παραγωγίσιµη σε όλα τα σηµεία ενός ανοικτού συνόλου που περιέχει το S. Ορισµός 1.31 Εστω f(z) = A(z)/B(z) µε A, B να είναι αναλυτικές στο z 0 µε A(z 0 ) 0 και B(z 0 ) = 0, τότε λέµε ότι η f έχει πόλο στο z 0. Ορισµός 1.32 Εστω f(z) = A(z)/B(z) και f(z) = C k (z z 0 ) k σε µια τρυπηµένη περιοχή του z 0, ο Res(f; z 0 ) λέγεται υπόλοιπο της f στο z 0. Αν η f(z) έχει απλό πόλο στο z 0 τότε Res(f; z 0 ) = lim z z 0 (z z 0 )f(z) = A(z 0) B (z 0 ).

18 10 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Ορισµός 1.33 (Μερόµορφη συνάρτηση) Μερόµορφη λέµε µια µιγαδική συνάρτηση, η οποία στο C εκτός από πόλους δεν έχει άλλα ανώµαλα σηµεία. Καθε µερόµορφη συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακέραιων συναρτήσεων (ακέραια λέγεται η συνάρτηση που είναι ορισµένη και αναλυτική στο C). Πρόταση 1.34 Μία µιγαδική συνάρτηση f = u + iv είναι παραγωγίσιµη στο z αν ικανοποιείται η Εξίσωση Cauchy - Riemann ( f x = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h ή ισοδύναµα f y = if x ) f(x, y + h) f(x, y) και f y = lim h 0 h u x = v y και u y = v x. Θεώρηµα 1.35 Η Ϲήτα συνάρτηση του Riemann η οποία ορίζεται, κατ αρχήν, για Re(s) > 1 επεκτείνεται αναλυτικά σ όλο το µιγαδικό s-επίπεδο, εκτός από µοναδικό απλό πόλο στη ϑέση s = 1 µε ολοκληρωτικό υπόλοιπο ίσο προς 1. Αν Λ(s) := π s/2 Γ ( s 2) ζ(s) τότε η Λ(s) παραµένει αναλλοίωτη αν s 1 s Λ(s) = Λ(1 s) δηλαδή η ζ(s) επαληθεύει τη συναρτησιακή εξίσωση π s 2 Γ ( s 2 ) ζ(s) = π 1 s 2 Γ ( 1 s 2 ) ζ(1 s). Απόδειξη : Για να καταλήξουµε στο Ϲητούµενο ϑα χρησιµοποιήσουµε τον µετασχη- µατισµό Mellin, που αναπτύξαµε παραπάνω Οπως ορίσαµε προηγούµενα 0 Θ(t)t s dt t. Θ(t) = n= e πtn2 συνεπώς για µεγάλο t και n 0 όλοι οι όροι ϕθίνουν στο 0, ενώ για n = 0 η Θ(t) τείνει στο 1. Από την άλλη µεριά για πολύ µικρό t και κοντά στο 0 η πρόταση 1.29 λέει ότι η Θ(t) τείνει στο t 1/2. Επειδή όµως ϑέλουµε ο µετασχηµατισµός µας να συγκλίνει και στα δύο άκρα ϑα πρέπει να προσθέσουµε διαφορετικούς όρους, επιπλέον ϑα πρέπει να ϑέσουµε s = s/2 γιατί διαφορετικά ϑα πάρουµε την τιµή ζ(2s) αντι για ζ(s) που ϑέλουµε. Ορίζουµε λοιπόν φ(s) := 1 t s/2( Θ(t) 1 ) dt t t s/2 ( Θ(t) 1 t ) dt t.

19 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 11 Τώρα ϑα ελέγξουµε αν οι ποσότητες Θ(t) 1 και Θ(t) 1 t συγκλίνουν για κάθε s. Αρχικά η ποσότητα Θ(t) 1 = n= e πtn2 1 = 2 n=1 e πtn2 t 0 s C αλλά και η ποσότητα Θ(t) 1 t από την πρόταση (1.29) συγκλίνει για κάθε s. Αφού η Θ(t) όταν t 0 ϕράσεται από την t 1 2, στο διάστηµα (0, 1] µπορούµε να πάρουµε s τέτοιο ώστε Re(s) > 1, συνεπώς το ολοκλήρωµα 1 0 t s/2 ( Θ(t) 1 t ) dt t είναι 1 0 t s 2 Θ(t) dt t 1 0 t s 1 2 dt t = = t s 2 Θ(t) dt t 2 s 1 t 2 t s 2 Θ(t) dt t 2 s 1. s Εποµένως για s C µε Re(s) > 1 έχουµε φ(s) = 2 = 2 = 2 n=1 1 n=1 0 n=1 0 e πtn2 t s 2 e πtn2 t s 2 e πtn2 t s 2 ( dt 1 t + t s 2 0 dt t + 2 s t 2 s dt t s 1 dt t + 2 s 2 s 1. n=1 1 0 e πtn2 t s 2 ) dt t 2 s 1 Τώρα µε τη χρήση του µετασχηµατισµού Mellin t s 1 e nt dt = n s Γ(s) 0 µπορούµε να ϑέσουµε c = n, για κάθε σταθερά c > 0 και να πάρουµε 0 t s ct dt e t = c s Γ(s). (1.1) Αν ϑέσουµε c = πn 2 και s s/2 και πολλαπλασιάσουµε την φ(s) που υπολογίσαµε παραπάνω µε 1/2 και αντικαταστήσουµε τον µετασχηµατισµό Mellin της σχέσης (1.1) παίρνουµε 1 2 φ(s) = ( (πn 2 ) s s 2 Γ 2 n=1 = π s 2 Γ ( s 2 ) + 1 s s ) ζ(s) + 1 s s.

20 12 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Οπως δείξαµε τα ολοκληρώµατα που ορίζουν την φ(s) συγκλίνουν για κάθε s, συνεπώς η φ(s) είναι µία ακέραια συνάρτηση του s. Εποµένως, υπάρχει µερόµορφη συνάρτηση του s σε όλο το µιγαδικό επίπεδο, η ( π s 2 1 Γ ( ) s 2 φ(s) 1 s + 1 ) 1 s 2 = ζ(s) η οποία είναι η ζ(s) για Re(s) > 1. Επειδή π s/2, 1/ ( Γ(s/2) ) και φ(s) είναι όλες ακέραιες συναρτήσεις, έπεται ότι οι µόνοι πιθανοί πόλοι είναι για s = 0 και s = 1. Αλλά κοντά στο s = 0 µπορούµε να αντικαταστήσουµε το sγ(s/2) του παρονοµαστή µε ( s ( s ( s ) 2 Γ = 2Γ 2) 2) καθώς s 0 Σηµείωση 1.36 Η ανωτέρω σχέση προκύπτει µε τη ϐοήθεια της ιδιότητας 2 της Γ συνάρτησης, δηλαδή Γ(s + 1) = sγ(s) s ( s 2 s ) = Γ είναι = ( s ( s Γ. 2) 2) Αρα έχουµε µοναδικό πόλο για s = 1 του οποίου το ολοκληρωτικό υπόλοιπο lim s 1 s π 2 (s 1) Γ( s 2 ) ( 1 2 φ(s) 1 s + 1 ) s 1 Από την ιδιότητα 4 της Γ έχουµε ότι ( ( ) s s + 1 Γ Γ = 2) π2 1 s Γ(s) (για s = 1) 2 ( ) ( ) Γ Γ = π2 1 1 ( ) Γ(1) Γ(1) = ( ) 1 Γ = π Αρα τελικά ( ) π 1 2 Γ ( ) 1 = π 1 2 = 1. 2 π 1 2 Μένει λοιπόν να δείξουµε την συναρτησιακή εξίσωση. Εχουµε = π 1 2 Γ ( ) 1 ( ) 2 Λ(s) = 1 2 φ(s) 1 s 1 s 1. (1.2) Επειδή η s 1 s αφήνει αναλοίωτο το 1/s + 1/(s 1) αρκεί φ(s) = φ(1 s). 1.28) Τώρα χρειαζόµαστε την συναρτησιακή εξίσωση της ϑήτα συνάρτησης (πρόταση Θ(t) = 1 t Θ ( ) 1. t Αν στον ορισµό της φ(s) αντικαταστήσουµε το t µε 1 t παίρνουµε : φ(s) = 1 t s 2 0 [ Θ ( ) ] 1 dt 1 t t + t s 2 1 [ Θ ( ) 1 ] dt t t t (1.3)

21 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 13 οπότε η πρόταση 1.29 µας δίνει 1 ( ) (1.3) = t s dt 2 tθ(t) 1 0 t + t s ( = t 1 s 2 Θ(t) 1 ) dt 0 t t + 1 = φ(1 s). ( tθ(t) t ) dt t t 1 s 2 (Θ(t) 1) dt t Αποδείξαµε λοιπόν αυτό που Ϲητούσαµε φ(s) = φ(1 s) και εποµένως Λ(s) = Λ(1 s). Καταλήξαµε τελικά τη συναρτησιακή εξίσωση της ζ - συνάρτησης. Παρατήρηση 1.37 Η πληροφορία ότι το s είναι ένας µιγαδικός αριθµός είναι πολύ συµαντική. Αρχικά η ζ - συνάρτηση ορίζεται για Re(s) > 1, δηλαδή σε ανοικτό και συνεκτικό χωρίο. Επιπλέον, από την συναρτησιακή εξίσωση επεκτείνεται στο ηµιεπίπεδο µε Re(s) < 0. Αρα από την µιγαδική ανάλυση και λόγω αναλυτικής συνέχισης η επέκταση αυτή είναι µοναδική. Στη συνέχεια ϑα µορφοποιήσουµε την συναρτησιακή εξίσωση ώστε να µπορέσουµε να ϐρούµε τις τετριµµένες ϱίζες της συνάρτησης ζ του Riemann. Υπολογισµός των τετριµµένων ϱιζών της ζ-συνάρτησης. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 ζ(s) = π s Γ ( ) 1 s Γ ( ) s ζ(1 s) (1.4) 2 Πρώτα ϑα απλοποιήσουµε την ποσότητα Γ ( ) 1 s 2 Γ ( ) s. 2 Από την ιδιότητα 3 της Γ-συνάρτησης εύκολα υπολογίζουµε ότι : ( s π Γ = 2) Γ ( 1 2) s sin π s 2 και αν αντικαταστήσουµε το προηγούµενο στην ποσότητα Γ ( 1 s 2 ) ( Γ 1 s 2 π ) ( ) sin π s 2. 1 s Γ( 2 ) ϑα έχουµε Γ( 2) s Θέτουµε s = 1 s (ο µετασχηµατιµός είναι καλός αφού είναι αντιστρέψιµος), ε- ποµένως η ποσότητα Γ ( ) ( ( 1 s 2 Γ 1 s 2) γίνεται Γ s ) ( 2 Γ 1+s ) 2 η οποία από την ιδιότητα 4 της Γ-συνάρτησης για ισούται µε π2 1 s Γ(s). και αντιστρέφοντας τον µετασχηµατισµό έχουµε Γ ( ) 1 s ( 2 Γ ( ) s = π 1/2 2 s Γ(1 s) sin π s ) 2 2

22 14 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές αντικαθιστούµε στην συναρτησιακή εξίσωση και παίρνουµε ( ζ(s) = π s 1 2 s Γ(1 s) sin π s ) ζ(1 s) 2 Οι τετριµµένες ϱίζες της συναρτησιακής εξίσωσης είναι οι ϱίζες του ηµιτόνου που ϐρίσκεται µέσα στην συναρτησική εξίσωση, δηλαδή { ( sin π s ) ( = 0 sin π s ) = sin 0 s = 2 2 4m 4m + 2 m Z Μπορούµε να γενικεύσουµε τις ϱίζες της συναρτησιακής εξίσωσης και ϑα έχουµε s = 2k, k Z. Οµως για τις ϑετικές τιµές του k ϑα πάρουµε τις τιµές της ζ - συνάρτησης ζ(2), ζ(4),... οι οποίες δεν είναι µηδέν. Συνεπώς οι τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης ορίζονται για τις αρνητικές τιµές του k. Αρα οι τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης είναι s = 2k, k N. Σηµείωση 1.38 Θα πρεπει s 1, αφού για s = 1 η ζ(s) δεν συγκλίνει και επιπλέον τις τιµές s = k στις οποίες η Γ-συνάρτηση έχει πόλους τάξης 1. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να ορίσουµε την εικασία του Riemann. Η εικασία του Riemman Οι µη τετριµµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης έχουν πραγµατικό µέρος 1/2. Παράδειγµα 1.39 Από τον προηγούµενο υπολογισµό για το s διαλέγουµε k = 1 και k = 2 έτσι έχουµε s = 2 και s = 4 άρα ζ( 2) = 0 και ζ( 4) = 0. Παράδειγµα 1.40 ζ(2) = n=1 1 n 2 = π2 6 ( Ενας τρόπος να υπολογίσουµε την ζ(2) είναι να υπολογίσουµε το πλήρες σύστηµα Fourier της συνάρτησης f(x) = x, x [ 1, 1]).

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων 2.1 Θέσεις Σηµείωση 2.1 (Ορισµός) i. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και 1 1 λέγεται µονοµορφισµός. ii. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και επί λέγεται επιµορφισµός. iii. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και 1 1 και επί λέγεται ισοµορφισµός. Ορισµός 2.2 Εστω F ένα σώµα και K υπόσωµα του F. i. Το F/K λέγεται επέκταση σώµατος. Θεωρώντας το F ως έναν διανυσµατικό χώρο πάνω από το K, η διάστασή του ονοµάζεται ϐαθµός του F/K και συµ- ϐολίζεται µε [F : K]. ii. Το F/K λέγεται πεπρασµενη επέκταση αν [F : K] = n <. Τότε υπάρχει µία ϐάση {a 1,..., a n } του F/K, δηλαδή κάθε γ F γράφεται µε µοναδικό τρόπο στη µορφή n γ = c i a i µε c i K. i=1 Αν F/K και M/F είναι πεπερασµένες επεκτάσεις, τότε και το M/K είναι πεπερασµένη επέκταση και ισχύει [M : K] = [M : F ] [F : K]. 15

24 16 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων iii. Ενα στοιχείο a F καλείται αλγεβρικό πάνω από το Κ αν υπάρχει µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) K[x] (K[x]: ο δακτύλιος πολυωνύµων του x µε συντελεστές από το K) έτσι ώστε f(a) = 0. Αν δεν υπάρχει πολυώνυµο που να ικανοποιεί τις παραπάνω προΰποθέσεις τότε το στοιχείο a δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το K, το a τότε καλείται υπερβατικό πάνω από το Κ. iv. Η επέκταση σώµατος F/K λέγεται αλγεβρική επέκταση αν όλα τα στοιχεία a F είναι αλγεβρικά πάνω από το K. Σχόλια 2.3 i. Εστω γ 1,..., γ r F. Το µικρότερο υπόσωµα του F το οποίο περιέχει το K και όλα τα στοιχεία γ 1,..., γ r το συµβολίζουµε µε K(γ 1,..., γ r ). Η επέκταση K(γ 1,..., γ r )/K είναι πεπερασµένη αν-ν όλα τα γ i, i = 1,..., r είναι αλγεβρικά πάνω από το Κ. ii. Ειδικότερα το a F είναι αλγεβρικό πάνω από το K αν και µόνο αν [K(a) : K] <. Παράδειγµατα 2.4 i. Το Q( 2) είναι µια πεπερασµένη επέκταση του Q, µε [Q( 2) : Q] = 2. Το 2 είναι αλγεβρικό πάνω του Q, εφόσον υπάρχει µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) = x 2 2 Q[x], του οποίου ο 2 είναι ϱίζα. ii. Οµοίως το C είναι µια πεπερασµένη επέκταση του R, µε [C : R] = 2. Το i είναι αλγεβρικό πάνω από το Q, αφού είναι ϱίζα του (x 2 + 1) R[x]. iii. Οι αριθµοί π και e είναι υπερβατικοί πάνω από το Q. Οµως οι π και e είναι αλγεβρικοί πάνω από το R ως ϱίζες των (x π) R[x] και (x e) R[x] αντίστοιχα. Στο σηµείο αυτό ϑα πρέπει να αναφέρουµε την αιτιολόγηση της έκφρασης «πάνω από» που ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στη συνέχεια του κεφαλαίου. Σχόλιο 2.5 Εστω K είναι ένα σώµα. Οταν µιλάµε για µια επέκταση ενός σώµατος, για παράδειγµα F, πάνω από το K µπορούµε να δούµε το F σαν ένα διανυσµατικό χώρο πάνω από το K όπου η πρόσθεση διανυσµάτων ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσ- ϑεση του σώµατος F και ο ϐαθµωτός πολλαπλασιαµός ενός στοιχείου του F µε ένα στοιχείο του K ταυτίζεται µε τον συνήθη πολλαπλασιασµό στο F. Ενα απλό παράδειγµα είναι το εξής Παράδειγµα 2.6 Για κάθε σώµα K µπορούµε να δούµε τον K[x] ως διανυσµατικό χώρο πάνω από το K, στον οποίο η πρόσθεση διανυσµάτων ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσθεση πολυωνύµων του K[x] και το ϐαθµωτό γινόµενο ενός στοιχείου του K[x] µε ένα στοιχείο του K ταυτίζεται µε το γινόµενο στον K[x].

25 Θέσεις 17 Ορισµός 2.7 (Αλγεβρικό σώµα συναρτήσεων) Ενα αλγεβρικό σώµα συναρτήσεων F/K µίας µεταβλητής πάνω από το K είναι µία επέκταση σώµατος F ( K) έτσι ώστε F να είναι µία πεπερασµένη αλγεβρική επέκταση του K(x) για κάποια x F τα οποία είναι υπερβατικά πάνω από το K. Για συντοµία το F/K το λέµε σώµα συναρτήσεων. Για εκείνα τα στοιχεία του F που είναι υπερβατικά πάνω από το K ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 2.8 Ενα στοιχείο z F είναι υπερβατικό πάνω από το K αν και µόνο αν [F : K(z)] <. Απόδειξη : (= ) Ενα z F λέµε ότι είναι υπερβατικό πάνω από το K, αν δεν υπάρχει ανάγωγο πολυώνυµο ελαχίστου µε συντελεστές από το K που να έχει ως ϱίζα το z, δηλαδή F K(z) K πεπερασµένη άπειρη εποµένως [F : K(z)] <. ( =) Αν [F : K(z)] < και z αλγεβρικό τότε [K(z) : K] <. Εποµένως [F : K] = [F : K(z)] [K(z) : K] <. Ατοπο, άρα z υπερβατικό πάνω από το K. Ορισµός 2.9 Το σύνολο K := {z F : z είναι αλγεβρικό πάνω από το K} λέγεται σώµα των σταθερών του F/K. Παρατηρήσεις 2.10 i. Το K είναι υπόσωµα του F. Πράγµατι, αν a, β αλγεβρικά στοιχεία του F, αρκεί να δείξουµε ότι a + β, a β, a και a 1 (µε a 0) είναι επίσης αλγεβρικά. Αφού a είναι αλγεβρικό ισχύει [K(a) : K] <. Επιπλέον το β είναι αλγεβρικό πάνω από το K άρα είναι και αλγεβρικό πάνω απο το σώµα K(a). Αρα το σώµα K(a, β) είναι µία πεπερασµένη επέκταση του K(a), δηλαδή [K(a, β) : K(a)] <. Επειδή K K(a), το [K(a, β) : K] είναι επίσης πεπερασµένο. Αρα κάθε στοιχείο του K(a, β) είναι αλγεβρικό πάνω από το K. Τα στοιχεία a + β, a β, a και a 1 ϐρίσκονται όλα στο K(a, β). Αρα είναι αλγεβρικά.

26 18 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων ii. Ισχύει ότι K K F και ότι το F/ K είναι σώµα συναρτήσεων πάνω από το K. iii. Το K ϑα λέγεται αλγεβρικά κλειστό στο F (δηλαδή κάθε µη σταθερό πολυώνυ- µο στον K[x] έχει µία ϱίζα στο K) αν K = K. Παράδειγµατα 2.11 Το απλούστερο παράδειγµα ενός αλγεβρικού σώµατος συναρτήσεων είναι το σώµα των ϱητών συναρτήσεων. το K. Το F/K ονοµάζεται ϱητό αν F = K(x) για κάποιο x F υπερβατικό πάνω από Κάθε στοιχείο z( 0) K(x) γράφεται µε µοναδικό τρόπο z = a p i (x) n i (2.1) i όπου a( 0) K, τα p i (x) K[x] έχουν µεγιστοβάθµιο συντελεστή µονάδα (µονικά πολυώνυµα) και είναι ανάγωγα, n i Z. Σχόλια 2.12 i. Ενα αυθαίρετο σώµα συναρτήσεων F/K (το οποίο δεν είναι απαραίτητα ϱητό) συχνά αναπαρίσταται ως µία απλή αλγεβρική επέκταση σώµατος, του σώµατος των ϱητών συναρτήσεων K(x), δηλαδή F = K(x, y), όπου ϕ(y) = 0 για κάποια ανάγωγα πολυώνυµα ϕ(t) K(x)[t]. ii. Αν F/K δεν είναι ϱητό σώµα συναρτήσεων, δεν είναι σαφές αν κάθε µη µηδενικό στοιχείο z F δέχεται ανάλυση ανάλογης της (2.1). Πράγµατι δεν είναι ξεκάθαρο τι εννοούµε όταν λέµε ανάγωγο στοιχείο του F. Ενα άλλο πρόβληµα σχετικά µε την (2.1) είναι το ακόλουθο : Πρόβληµα : ίνονται τα στοιχεία a 1,..., a n K. Να ϐρείτε όλες τις ϱητές συναρτήσεις f(x) K(x) µε προκαθορισµένη τάξη ϱιζών (ή πόλων) στα a 1,..., a n. Για να απαντήσουµε σε τέτοια προβλήµατα εισάγουµε τις έννοιες των δακτυλίων εκτίµησης και των ϑέσεων. Ορισµός 2.13 ( ακτύλιος εκτίµησης) Ενας δακτύλιος εκτίµησης ενός σώµατος συναρτήσεων F/K είναι ένας δακτύλιος O F µε τις ακόλουθες ιδιότητες : i. K O F και ii. Για κάθε z F το z O ή z 1 O. Παρατηρήσεις 2.14 Στην περίπτωση του σώµατος των ϱητών συναρτήσεων K(x) δοθέντος ενός ανάγωγου πολυωνύµου p(x) K[x] ϑεωρούµε το σύνολο { } f(x) O p(x) := : f(x), g(x) K[x] και p(x) g(x). g(x) Εποµένως,

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα