Η Υποθεση του Riemann

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Υποθεση του Riemann"

Transcript

1 Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/ Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008

2

3 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης Μιχαήλ Κοντογεώργης Αριστείδης Φελουζής Ευάγγελος

4

5 Πρόλογος Στην πτυχιακή αυτή εργασία ϑα ασχοληθούµε µε ένα από τα σπουδαίοτερα προβλήµατα της Θεωρίας Αριθµών την υπόθεση του Riemann για τη ζ - συνάρτηση. Αρχικά ϑα ορίσουµε τη ζ - συνάρτηση σαν µια σειρά Dirichlet και ϑα δούµε τα χωρία σύγκλισής της. Η ζ - συνάρτηση συγκλίνει στο ηµιεπίπεδο του µιγαδικού επιπέδου που ορίζεται από την Re(z) 1. Η συναρτησιακή εξίσωση µας δίνει την δυνατότητα να ορίσουµε την ζ-συνάρτηση ως µια µερόµορφη συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός από τον πόλο στο s = 1. Περιγράφουµε τα αναλυτικά εργαλεία που χρειαζόµαστε για να σκιαγραφήσουµε την αποδείξη της συναρτησιακής της εξίσωσης. Από την συναρτησιακή εξίσωση υπολογίζουµε τις τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης και διατυπώνουµε την υπόθεση του Riemann για τις µη τετριµµένες ϱίζες της. Η απόδειξη της υπόθεσης Riemann είναι ένα ανοιχτό πρόβληµα, από τα σηµαντικότερα για την ϑεωρία αριθµών και τα µαθηµατικά γενικότερα. Θα µπορούσε να πει κανείς ότι διαισθητικά η ζ-συνάρτηση περιγράφει την κατανοµή των πρώτων του δακτυλίου των ακεραίων Z του σώµατος των ϱητών αριθµών. Υπάρχουν γόνιµες γενικεύσεις της ζ-συνάρτησης για αλγεβρικά σώµατα αριθµών και πολλές ιδιότητες ενός σώµατος αριθµών αποτυπώνονται στην Ϲήτα συνάρτηση του. Από την άλλη µεριά τα σώµατα Q και F p (t) παρουσιάζουν πολλές οµοιότητες. Οι δακτύλιοι των ακεραίων τους Z, F p [t] είναι για παράδειγµα και οι δύο µονοδιάστατοι δακτύλιοι του Dedekind. Οι αλγεβρικές επεκτάσεις του σώµατος F p (t) αντιστοιχούν σε σώµατα συναρτήσεων αλγεβρικών καµπυλών και τα ονοµάζουµε αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων µίας µεταβλητής. Η ϑέαση των σωµάτων αυτών ως σώµατα συναρτήσεων καµπυλών προσθέτει στο οπλοστάσιο µας ένα πλήθος γεωµετρικών εργαλείων. v

6 vi Στην πτυχιακή αυτή εργασία προσπαθούµε να δόσουµε µία γενίκευση της ζ- συνάρτησης. Οδηγούµαστε και πάλι σε µία µερόµορφη συνάρτηση στο µιγαδικό επίπεδο, η οποία περιέχει όλη την πληροφορία για το πλήθος των σηµείων της αντίστοιχης καµπύλης πάνω από κάθε επέκταση F p r του F p. Το ενδιαφέρον σχετικά µε την ζ-συνάρτηση ενός σώµατος συναρτήσεων είναι ότι αθροίζεται σε µία ϱήτη συνάρτηση στο C(t). Τοπολογικές και γεωµετρικές ιδιότητες της ζ-συνάρητησης όπως για παράδειγµα το γένος της καµπύλης εµφανίζονται στην ϱητή γραφή της ζ- συνάρτησης. Το κυριότερο όµως χαρακτηριστικό της ζ-συνάρτησης είναι ότι οι ϱίζες της ικανοποιούν την υπόθεση Riemann. Πρώτος ο A. Weil παρατήρησε ότι τα σηµεία µίας καµπύλης πάνω από το F p r είναι τα σταθερά σηµεία του οµοµορφισµού του Frobenious x x pr και επιρεασ- µένος από τα ϑεωρήµατα σταθερού σηµείου της αλγεβρικής τοπολογίας κατάφερε να δώσει µία «απόδειξη», υπό την προϋπόθεση ότι µία «κατάλληλη» συνοµολογιακή ϑεωρία για αλγεβρικές καµπύλες υπήρχε. Την ϑεωρία αυτή την κατασκεύασε ο A. Grothendick και η χρήση αυτής της ϑεωρίας οδήγησε τον P. Deligne στην απόδειξη της εικασίας του Riemann για τις ζ-συναρτήσεις αλγεβρικών πολλαπλοτήτων. Εµείς ϑα περιοριστούµε σε αλγεβρικές καµπύλες και στα σώµατα συναρτήσεων τους και ϑα παρουσιάσουµε µία ϐατή απόδειξη της εικασίας του Riemann η οποία οφείλεται στον Bombieri. Αφού ορίσουµε τα εργαλεία και τις έννοιες που ϑα χρειαστούµε όπως του αλγε- ϐρικού σώµατος συναρτήσεων, των ϑέσεων και των διαιρετών και την σύνδεσή τους µε την γεωµετρία ϑα ορίσουµε την ζ-συνάρτηση ενός αλγεβρικού σώµατος συναρτήσεων και ϑα υπολογίσουµε την ϱητή έκφραση µε την ϐοήθεια του ϑεωρήµατος των Riemann-Roch. Τέλος ϑα περιγράψουµε την απόδειξη της εικασίας του Riemann και το ϕράγµα των Hasse-Weil

7 Περιεχόµενα Πρόλογος iv 1 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Εισαγωγή Σειρές Dirichlet Η Γάµµα συνάρτηση του Euler Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων Θέσεις Το Σώµα των ϱητών συναρτήσεων ιαιρέτες Το ϑεώρηµα Riemman - Roch Αλγεβρικές καµπύλες και αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων Αφινική πολλαπλότητα Προβολική πολλαπλότητα Κάλυµµα προβολικής πολλαπλότητα µε αφινική πολλαπλότητα Το προβολικό κάλυµµα µιας αφινικής πολλαπλότητας Ρητές απεικονίσεις και µορφισµοί Αλγεβρικές καµπύλες Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων / πεπερασµένων σωµάτων σταθερών Η ζ-συνάρτηση του σώµατος συναρτήσεων Το ϑεώρηµα των Hasse-Weil Βιβλιογραφία 80 vii

8 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό σκοπός µας είναι να µελετήσουµε τη Ϲήτα συνάρτηση του Riemann ως µια σειρά Dirichlet και να µελετήσουµε την συναρτησιακή της εξίσωση. Το 1737 ο Euler έδωσε µια εναλλακτική απόδειξη του ϑεωρήµατος του Ευκλείδη για την ύπαρξη άπειρων πρώτων αριθµών, αποδεικνύοντας ότι η σειρά p P p 1 αποκλίνει, δηλαδή, p 1 = p P P το σύνολο των πρώτων αριθµών Αυτό το συµπέρανε από το γεγονός ότι η συνάρτηση ζ(s) = n=1 1 n s R s>1 =, όταν s 1. (Την απόδειξη ότι η απειρία των πρώτων αριθµών σχετίζεται µε την απόκλιση της ζ - συνάρτησης του Euer ϑα την αποδείξουµε στο τέλος αυτής της ενότητας.) Ο Riemann, µελετώντας την ζ - συνάρτηση του Euler, ϑεώρησε την µεταβλητή s να είναι ένας µιγαδικός αριθµός της µορφής s = σ + it, όπου σ και t είναι πραγ- µατικοί αριθµοί. Την σπουδαιότητα αυτής της ϑεώρησης ϑα την δούµε παρακάτω. 1

10 2 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές 1.2 Σειρές Dirichlet Πριν αρχίσουµε να µιλάµε για τις σειρές Dirichlet ϑα πούµε δυο λόγια για τη σύγκλιση σειρών και γινοµένων. Ορισµός 1.1 (Σύγκλιση σειρών) Εστω {a n } n=1, n N µία ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Θα λέµε ότι η σειρά n=1 a n συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό l και ϑα γράφουµε n=1 a n = l, αν και µόνον αν η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων σ n = a 1 + a a n, n N συγκλίνει στο l δηλαδή lim n σ n = l. Σηµείωση 1.2 Από τον προηγούµενο ορισµό αν l = + ϑα λέµε ότι η σειρά n=1 a n απειρίζεται ϑετικά, ενώ αν l = ϑα λέµε ότι η σειρά n=1 a n απειρίζεται αρνητικά. Γενικά αν η σειρά απειρίζεται είτε ϑετικά είτε αρνητικά ϑα λέµε ότι σειρά αποκλίνει. Ορισµός 1.3 (Απόλυτη σύγκλιση σειρών) Θα λέµε ότι η σειρά n=1 a n συγκλίνει απόλυτα αν και µόνον αν η σειρά n=1 a n συγκλίνει. Σηµείωση 1.4 Η απόλυτη σύγκλιση µιας σειράς συνεπάγεται την απλή σύγκλιση της, δηλαδή a n < + a n < +. n=1 Ορισµός 1.5 (Σύγκλιση άπειρου γινοµένου) Εστω {z n } n=1 µία ακολουθία µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Θα λέµε ότι το άπερο γινόµενο n=1 z n συγκλίνει σ έ- να µη µηδενικό αριθµό l, αν η ακολουθία των µερικών γινοµένων P N = z 1 z 2 z N συγκλίνει στο l δηλαδή lim N P N = l. n=1 Σηµείωση 1.6 Από τον προηγούµενο ορισµό αν l = 0 τότε λέµε ότι το άπειρο γινόµενο αποκλίνει στο 0. Θεώρηµα 1.7 ( Dirichlet) Αν k > 0 και (h, k) = 1 τότε υπάρχουν άπειροι πρώτοι στην αριθµητική πρόοδο nk + h, n = 0, 1, 2, 3,.... Η απόδειξη αυτού του ϑεωρήµατος (παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [TOMA]) ϐασίζεται στις L - σειρές Dirichlet, που ϑα µιλήσουµε γι αυτές λίγο παρακάτω. Ορισµός 1.8 (Χαρακτήρας Dirichlet) Εστω k N \ {0} και η πεπερασµένη οµάδα Z k = {n (mod k) : µκδ (n, k) = 1}. Κάθε οµοµορφισµός οµάδων χ : Z k C ϑα λέγεται χαρακτήρας Dirichlet mod k.

11 Σειρές Dirichlet 3 Σχόλιο 1.9 Από τον προηγούµενο ορισµό έχουµε ότι ο χ ορίζεται µόνο στα n για τα οποία µκδ (n, k) = 1. Επεκτείνουµε λοιπόν τον ορισµό ως εξής { n (mod k), αν µκδ (n, k) = 1 χ(n) = 0, αν µκδ (n, k) > 1 και ϑα τον ονοµάζπυµε και πάλι χαρακτήρα Dirichlet. Ωστε χαρακτήρας Dirichlet να είναι µία συνάρτηση χ : Z C µε τις ακόλουθες ιδιότητες : i. Υπάρχει ϑετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε χ(n) = χ(n + k) για όλους τους ακεραίους n. ii. χ(n) = 0 για κάθε n µε µκδ(n, k) > 1. iii. χ(mn) = χ(m)χ(n) για όλους τους ακεραίους m και n. iv. χ(1) = 1. Ορισµός 1.10 Μια σειρά Dirichlet είναι µία σειρά της µορφής z n e λns n=1 όπου {λ n } είναι ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε λ 1 < λ 2 < < λ n, z n αυθαίρετοι µιγαδικοί αριθµοί και s = σ + it C Παράδειγµα 1.11 Εστω λ n = log n η σείρα Dirichlet γράφεται ως n=1 z n n s όπου f(n), αριθµητική συνάρτηση. zn=f(n) = n=1 f(n) n s Τη σειρά αυτή ϑα τη λέµε συνήθη σειρά Dirichlet. Ορισµός 1.12 Εστω k N και χ είναι ένας χαρακτήρας Dirichlet mod k. Η L- σειρά Dirichlet ορίζεται ως εξής : L(s, χ) = n=1 χ(n) n s Αφού χ(n) = 1 για κάθε ϕυσικό αριθµό n, έπεται ότι συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. χ(n) n s 1 n σ, άρα η L(s/x) Θεώρηµα 1.13 Εστω ότι η σειρά n=1 f(n)n s δεν συγκλίνει για όλα τα s ούτε αποκλίνει για όλα τα s. Τότε υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός σ a, που λέγεται τετµηµένη απόλυτης σύγκλισης, τέτοιος ώστε η σιερά n=1 f(n)n s να συγκλίνει απόλυτα για σ > σ a, ενώ για σ < σ a η σειρά να µην συγκλίνει απόλυτα.

12 4 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Απόδειξη : Εστω D το σύνολο των πραγµατικών σ, για τους οποίους η σειρά f(n)n s n=1 αποκλίνει. Το D, διότι η σειρά δε συγκλίνει για όλους τους s, ενώ το D είναι άνω ϕραγµένο, διότι η σειρά δεν αποκλίνει για όλα τα s. Εποµένως το D έχει ένα ελάχιστο άνω ϕράγµα, που το ονοµάζουµε σ a. Αν σ < σ a, τότε σ D, διότι διαφορετικά, το σ ϑα ήταν άνω ϕράγµα για το D, µικρότερο από το ελάχιστο άνω ϕράγµα. Αν σ > σ a, τότε σ D, διότι το σ a είναι άνω ϕράγµα για το D. Παράδειγµα 1.14 Η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann. Η σειρά Dirichlet n=1 n s συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. Οταν s = 1, η σειρά αποκλίνει, οπότε σ a = 1. Το άθροισµα αυτής της σειράς συµβολίζεται µε ζ(s) και λέγεται συνάρτηση Ϲήτα του Riemann. Σηµείωση 1.15 Αρχικά η συνάρτηση Ϲήτα του Riemann ορίζεται για σ > 1, κάνοντας χρήση της συναρτησιακής εξίσωσης, που ϑα µελετήσουµε παρακάτω, ϑα την ορίσουµε σε όλο το C \ {1}. Στη συνέχεια ϑα ορίσουµε την έννοια της πολλαπλασιαστικής συνάρτησης και αποδείξουµε το ϑεώρηµα που συνδέει µια άπειρη, συγκλίνουσα απόλυτα σειρά µε το γινόµενο Euler. Αρχικά ας δούµε πως η σύγκλιση µιας µιγαδικής σειράς συνδέεται µε τη σύγκλιση ενός άπειρου γινοµένου µιγαδικών όρων. Πρόταση 1.16 Αν z n 1, n = 1, 2,..., το n=1 (1 + z n) συγκλίνει αν και µόνον αν η σειρά n=1 log(1 + z n) συγκλίνει (µε log z συµβολίζουµε τον κύριο κλάδο του αλγορίθµου, δηλαδή π < Im log z = arg z π). Απόδειξη : Θέτουµε S K = K n=1 log(1 + z n). Τότε P K = e S K και, αν S K S, έχουµε P K P = e S. Αντίστροφα, ας υποθέσουµε ότι P K P 0. Τότε κάποιος κλάδος του λογαρίθµου (τον οποίο ϑα συµβολίζουµε µε log ) είναι συνεχής στο P και log P K log P όταν K. Ορίζουµε επαγωγικά ακεραίους b n έτσι ώστε K ( ) log(1 + zn ) + 2πb n = log P K. n=1 Αφού η log P K συγκλίνει, η σειρά K ( ) log(1 + zn ) + 2πib n n=1 συγκλίνει. Εποµένως, log(1 + z n ) + 2πib n 0 όταν n. Αφού z n 0 και log είναι ένας κύριος κλάδος του λογαρίθµου, έπεται ότι b n = 0, αν το n είναι αρκετά µεγάλο. Συνεπώς, η σειρά n=1 log(1 + z n) συγκλίνει.

13 Σειρές Dirichlet 5 Πρόταση 1.17 Αν η σειρά n=1 z n συγκλίνει, τότε το n=1 (1 + z n) συγκλίνει απόλυτα. Απόδειξη : Υποθέτουµε ότι η n=1 z n συγκλίνει σ έναν αριθµό K, τέτοιον ώστε για n > K να ισχύει z n < 1 2. Τότε, αν n > K, log(1 + z n ) = z n z n z 3 n 3 z n ( ) 2 z n. Εποµένως, η σειρά n=k+1 log(1 + z n) συγκλίνει και, από την προηγούµενη πρόταση, συγκλίνει και το απειρογινόµενο n=1 (1 + z n). Ορισµός 1.18 Λέµε ότι το άπειρο γινόµενο (1 + z n ) n=1 συγκλίνει απόλυτα, αν το άπειρο γινόµενο n=1 συγκλίνει. (1 + z n ) Ορισµός 1.19 Η συνάρτηση f : N C ϑα λέγεται πολλαπλασιαστική συνάρτηση όταν f(mn) = f(m)f(n) για όλους τους m, n N µε (m, n) = 1 και υπάρχει τουλάχιστον ένας n 0 N τέτοιος ώστε f(n 0 ) 0. Επιπλέον ϑα λέγεται πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση όταν απαλείψουµε τον περιορισµό (m, n) = 1. Παράδειγµα 1.20 Ο χαρακτήρας Dirichlet είναι µία πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Θεώρηµα 1.21 (Γινόµενο Euler) Αν f πολλαπλασιατική και n=1 f(n) απολύτως συγκλίνουσα τότε { 1 + f(p) + f(p 2 ) + } n=1 f(n) = p P και το απειρογινόµενο συγκλίνει απολύτως. Αν f πλήρως πολλαπλασιαστική τότε n=1 f(n) = p P 1 1 f(p).

14 6 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Απόδειξη : Αρχικά ορίζουµε P (x) := p x { 1 + f(p) + f(p 2 ) + } Το P (x) είναι πεπερασµένο γινόµενο απόλυτα συγκλινουσών σειρών, συνεπώς µ- πορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να αλλάξουµε τη σειρά των όρων, χωρίς να αλλάξει το άθροισµα. Θα έχουµε δηλαδή γινόµενα της µορφής f(p a1 1 )f(pa2 2 ) f(pan n ) = f(p a1 1 pa1 1 pa1 n ) Από το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα της αριθµητικής : Κάθε ϕυσικός αριθµός n > 1 αναπαρίσταται σε γινόµενο πρώτων αρι- ϑµών. Η αναπαράσταση αυτή είναι µοναδική αν αγνοήσουµε τη διάταξη των παραγόντων του γινοµένου. έχουµε ότι : P (x) = n A f(n) όπου A = {n N οι πρώτοι παράγοντες του n είναι όλοι x}. Εποµένως n=1 f(n) P (x) = n B f(n) όπου B = {n N p P, p n, τέτοιος ώστε p > x}. Αρα f(n) P (x) f(n) f(n) n>x n=1 n=1 Τώρα αφού n=1 f(x) συγκλίνει, έπεται ότι για x το n>x f(x) 0. Επίσης από την πρόταση 1.17 γνωρίζουµε ότι : (1 + zn ) συγκλίνει απόλυτα z n συγκλίνει. Επίσης έχουµε ότι f(p) + f(p 2 ) + ( f(p) + f(p 2 ) + ) f(n). p x p x Αφού όλα τα µερικά αθροίσµατα είναι πεπερασµένα, η σειρά ϑετικών όρων f(p) + f(p 2 ) + p P συγκλίνει, οπότε και το αντίστοιχο άπειρο γινόµενο συγκλίνει απόλυτα. Τώρα αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική τότε f(p n ) = f(p) n για κάθε πρώτο p και 1 έχουµε συγκλίνουσες γεωµετρικές σειρές µε αθροίσµα 1 f(p). Αρα αποδείξαµε ότι f(n) = 1 1 f(p). n=1 p P n=2

15 Σειρές Dirichlet 7 Παράδειγµα 1.22 Η σειρά Dirichlet µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο Euler n=1 f(n) n s = p P 1 1 f(p)p s ; Απόδειξη : Από προηγούµενο ϑεώρηµα η σειρά Dirichlet συγκλίνει απόλυτα για σ > σ a R. Θέτω g(n) = f(n) n, η οποία είναι µια πολλαπλασιαστική συνάρτηση διότι f πολλαπλασιαστική g(mn) = f(mn) (mn) s = f(m) f(n) s m s n = g(m)g(n) για όλους τους s m, n N µε (m, n) = 1 και υπάρχει τουλάχιστον ένας n 0 N τέτοιος ώστε g(n 0 ) 0. Εποµένως έχουµε από το προηγούµενο ϑεώρηµα για την g(n) ότι { 1 + g(p) + g(p 2 ) + } g(n) = n=1 p P f(n) n s = { 1 + f(p) } p s + f(p2 ) p 2s + n=1 p P Αν f πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση g πλήρως πολλαπλασιαστική συνάρτηση. Εποµένως από το προηγούµενο ϑεώρηµα για τη g(n) έχουµε n=1 g(n) = p P 1 1 g(p) n=1 f(n) n s = p P 1 1 f(p)p s Παράδειγµα 1.23 Η ζ(s) συνάρτηση του Riemann µπορεί να εκφραστεί σαν γινόµενο Euler ζ(s) = 1 n s = 1 1 p s n=1 p P Απόδειξη : Από προηγούµενο παράδειγµα η ζ(s) συγκλίνει απόλυτα για σ > 1. Θέτω g(n) = 1 n s, η οποία είναι πολλαπλασιαστική και πλήρως πολλαπλασιαστική (προφανές). Εποµένως n=1 g(n) = p P 1 1 g(p) n=1 1 n s = p P 1 1 p s. Τώρα, µπορούµε να απόδειξουµε την απειρία των πρώτων αριθµών. Απόδειξη : Γνωρίζουµε ότι η σειρά n=1 1 n αποκλίνει και συγκεκριµένα απειρίζεται ϑετικά. Αρα από το ϑεώρηµα 1.21 προκύπτει ότι για f(n) = 1 n έχουµε : n=1 1 n = 1 1 p 1 p P

16 8 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές αφού το άθροισµα απειρίζεται ϑετικά και το άπειρο γινόµενο ϑα απειρίζεται, εποµένως ( ) p P 1 1 p ϑα αποκλίνει στο 0, δηλαδή η κολουθία των µερικών γινοµένων ϑα συγκλίνει στο 0, αλλά από την πρόταση 1.17 αφού το γινόµενο ( ) p P 1 1 p αποκλίνει στο 0 άρα και η σειρά p P 1 p αποκλίνει. Τελικά p P 1 p = Η Γάµµα συνάρτηση του Euler Για το υπόλοιπο του κεφαλαίου ϑα χρειαστούµε κάποιες από τις ιδιότητες της Γ- συνάρτησης, έτσι στην ενότητα αυτή ϑα τις παραθέσουµε παραθέσουµε αν και δεν ϑα µας χρειαστούν όλες. Αρχικά ϑα ορίσουµε την Γ-συνάρτηση. Ορισµός 1.24 (Γ-συνάρτηση) Η Γ-συνάρτηση ορίζεται να είναι το γενικευµένο ολοκλήρωµα για Re(s) > 0. Ιδιοτητες : 1. Γ(1) = 1 2. Γ(s + 1) = sγ(s) Γ(s) = 0 e t t s dt t 3. Γ(s)Γ(1 s) = π sin(πs) s C \ Z. 4. Γ ( ) ( s 2 Γ s+1 ) 2 = π2 1 s Γ(s) s C \ { n n N }. 5. Γ(s + 1) = s! για s N Για τις αποδείξεις αυτών των ιδιοτήτων παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. 1.4 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) Σ αυτή την ενότητα, όπως αναφέρει και ο τίτλος, ϑα αποδείξουµε την συναρτησιακή εξίσωση της Ϲ-συνάρτησης, που απεδείχθει από τον Riemann στο άρθρο του το Η συναρτησιακή εξίσωση εκφράζει το ζ(s) ως συνάρτηση του ζ(1 s). Ετσι µε τον τρόπο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε τη Ϲ-συνάρτηση και για αρνητικά s. Για παράδειγµα : ζ( 2), ζ( 4),... που αποτελούν τις τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης. Πριν προχωρίσουµε στην απόδειξη ϑα αναφέρουµε κάποιες προτάσεις και ορισ- µούς που ϑα χρειαστούµε στη συνέχεια.

17 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 9 Ορισµός 1.25 (Μετασχηµατισµός Mellin) Ο µετασχηµατισµός Mellin µιας συνάρτησης f είναι {Mf}(s) = φ(s) = 0 f(t)t s dt t. Παρατήρηση 1.26 Ειδικότερα ο µετασχηµατισµός Mellin είναι ο µετασχηµατισµός που σχετίζει τη συνηθισµένη σειρά Dirichlet f(s) = n=1 a nn s µε τη δυναµοσειρά µε τους ίδιους συντελεστές F (s) = n=1 a ns n ως εξής : f(s) = 1 Γ(s) 0 F (e t )t s 1 dt. Ορισµός 1.27 Ορίζουµε τη ϑήτα συνάρτηση ως εξής Θ(t) := + n= e πtn2 (t > 0). Πρόταση 1.28 Η ϑήτα συνάρτηση Θ(t) επαληθεύει την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση Θ(t) = 1 t Θ ( ) 1. t Για την απόδειξη παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. Πρόταση 1.29 Για t 0 + έχουµε : Θ(t) t 1 2 < e c/t όπου c ϑετική σταθερά. Για την απόδειξη παραπέµπουµε στο ϐιβλίο [ΓΙΑΝΑΝ]. Ορισµός 1.30 Μία συνάρτηση λέγεται αναλυτική σ ένα σηµείο z αν είναι παραγωγίσιµη σε µία περιοχή του z. Οµοίως λέγεται αναλυτική σ ένα σύνολο S αν είναι παραγωγίσιµη σε όλα τα σηµεία ενός ανοικτού συνόλου που περιέχει το S. Ορισµός 1.31 Εστω f(z) = A(z)/B(z) µε A, B να είναι αναλυτικές στο z 0 µε A(z 0 ) 0 και B(z 0 ) = 0, τότε λέµε ότι η f έχει πόλο στο z 0. Ορισµός 1.32 Εστω f(z) = A(z)/B(z) και f(z) = C k (z z 0 ) k σε µια τρυπηµένη περιοχή του z 0, ο Res(f; z 0 ) λέγεται υπόλοιπο της f στο z 0. Αν η f(z) έχει απλό πόλο στο z 0 τότε Res(f; z 0 ) = lim z z 0 (z z 0 )f(z) = A(z 0) B (z 0 ).

18 10 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Ορισµός 1.33 (Μερόµορφη συνάρτηση) Μερόµορφη λέµε µια µιγαδική συνάρτηση, η οποία στο C εκτός από πόλους δεν έχει άλλα ανώµαλα σηµεία. Καθε µερόµορφη συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακέραιων συναρτήσεων (ακέραια λέγεται η συνάρτηση που είναι ορισµένη και αναλυτική στο C). Πρόταση 1.34 Μία µιγαδική συνάρτηση f = u + iv είναι παραγωγίσιµη στο z αν ικανοποιείται η Εξίσωση Cauchy - Riemann ( f x = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h ή ισοδύναµα f y = if x ) f(x, y + h) f(x, y) και f y = lim h 0 h u x = v y και u y = v x. Θεώρηµα 1.35 Η Ϲήτα συνάρτηση του Riemann η οποία ορίζεται, κατ αρχήν, για Re(s) > 1 επεκτείνεται αναλυτικά σ όλο το µιγαδικό s-επίπεδο, εκτός από µοναδικό απλό πόλο στη ϑέση s = 1 µε ολοκληρωτικό υπόλοιπο ίσο προς 1. Αν Λ(s) := π s/2 Γ ( s 2) ζ(s) τότε η Λ(s) παραµένει αναλλοίωτη αν s 1 s Λ(s) = Λ(1 s) δηλαδή η ζ(s) επαληθεύει τη συναρτησιακή εξίσωση π s 2 Γ ( s 2 ) ζ(s) = π 1 s 2 Γ ( 1 s 2 ) ζ(1 s). Απόδειξη : Για να καταλήξουµε στο Ϲητούµενο ϑα χρησιµοποιήσουµε τον µετασχη- µατισµό Mellin, που αναπτύξαµε παραπάνω Οπως ορίσαµε προηγούµενα 0 Θ(t)t s dt t. Θ(t) = n= e πtn2 συνεπώς για µεγάλο t και n 0 όλοι οι όροι ϕθίνουν στο 0, ενώ για n = 0 η Θ(t) τείνει στο 1. Από την άλλη µεριά για πολύ µικρό t και κοντά στο 0 η πρόταση 1.29 λέει ότι η Θ(t) τείνει στο t 1/2. Επειδή όµως ϑέλουµε ο µετασχηµατισµός µας να συγκλίνει και στα δύο άκρα ϑα πρέπει να προσθέσουµε διαφορετικούς όρους, επιπλέον ϑα πρέπει να ϑέσουµε s = s/2 γιατί διαφορετικά ϑα πάρουµε την τιµή ζ(2s) αντι για ζ(s) που ϑέλουµε. Ορίζουµε λοιπόν φ(s) := 1 t s/2( Θ(t) 1 ) dt t t s/2 ( Θ(t) 1 t ) dt t.

19 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 11 Τώρα ϑα ελέγξουµε αν οι ποσότητες Θ(t) 1 και Θ(t) 1 t συγκλίνουν για κάθε s. Αρχικά η ποσότητα Θ(t) 1 = n= e πtn2 1 = 2 n=1 e πtn2 t 0 s C αλλά και η ποσότητα Θ(t) 1 t από την πρόταση (1.29) συγκλίνει για κάθε s. Αφού η Θ(t) όταν t 0 ϕράσεται από την t 1 2, στο διάστηµα (0, 1] µπορούµε να πάρουµε s τέτοιο ώστε Re(s) > 1, συνεπώς το ολοκλήρωµα 1 0 t s/2 ( Θ(t) 1 t ) dt t είναι 1 0 t s 2 Θ(t) dt t 1 0 t s 1 2 dt t = = t s 2 Θ(t) dt t 2 s 1 t 2 t s 2 Θ(t) dt t 2 s 1. s Εποµένως για s C µε Re(s) > 1 έχουµε φ(s) = 2 = 2 = 2 n=1 1 n=1 0 n=1 0 e πtn2 t s 2 e πtn2 t s 2 e πtn2 t s 2 ( dt 1 t + t s 2 0 dt t + 2 s t 2 s dt t s 1 dt t + 2 s 2 s 1. n=1 1 0 e πtn2 t s 2 ) dt t 2 s 1 Τώρα µε τη χρήση του µετασχηµατισµού Mellin t s 1 e nt dt = n s Γ(s) 0 µπορούµε να ϑέσουµε c = n, για κάθε σταθερά c > 0 και να πάρουµε 0 t s ct dt e t = c s Γ(s). (1.1) Αν ϑέσουµε c = πn 2 και s s/2 και πολλαπλασιάσουµε την φ(s) που υπολογίσαµε παραπάνω µε 1/2 και αντικαταστήσουµε τον µετασχηµατισµό Mellin της σχέσης (1.1) παίρνουµε 1 2 φ(s) = ( (πn 2 ) s s 2 Γ 2 n=1 = π s 2 Γ ( s 2 ) + 1 s s ) ζ(s) + 1 s s.

20 12 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές Οπως δείξαµε τα ολοκληρώµατα που ορίζουν την φ(s) συγκλίνουν για κάθε s, συνεπώς η φ(s) είναι µία ακέραια συνάρτηση του s. Εποµένως, υπάρχει µερόµορφη συνάρτηση του s σε όλο το µιγαδικό επίπεδο, η ( π s 2 1 Γ ( ) s 2 φ(s) 1 s + 1 ) 1 s 2 = ζ(s) η οποία είναι η ζ(s) για Re(s) > 1. Επειδή π s/2, 1/ ( Γ(s/2) ) και φ(s) είναι όλες ακέραιες συναρτήσεις, έπεται ότι οι µόνοι πιθανοί πόλοι είναι για s = 0 και s = 1. Αλλά κοντά στο s = 0 µπορούµε να αντικαταστήσουµε το sγ(s/2) του παρονοµαστή µε ( s ( s ( s ) 2 Γ = 2Γ 2) 2) καθώς s 0 Σηµείωση 1.36 Η ανωτέρω σχέση προκύπτει µε τη ϐοήθεια της ιδιότητας 2 της Γ συνάρτησης, δηλαδή Γ(s + 1) = sγ(s) s ( s 2 s ) = Γ είναι = ( s ( s Γ. 2) 2) Αρα έχουµε µοναδικό πόλο για s = 1 του οποίου το ολοκληρωτικό υπόλοιπο lim s 1 s π 2 (s 1) Γ( s 2 ) ( 1 2 φ(s) 1 s + 1 ) s 1 Από την ιδιότητα 4 της Γ έχουµε ότι ( ( ) s s + 1 Γ Γ = 2) π2 1 s Γ(s) (για s = 1) 2 ( ) ( ) Γ Γ = π2 1 1 ( ) Γ(1) Γ(1) = ( ) 1 Γ = π Αρα τελικά ( ) π 1 2 Γ ( ) 1 = π 1 2 = 1. 2 π 1 2 Μένει λοιπόν να δείξουµε την συναρτησιακή εξίσωση. Εχουµε = π 1 2 Γ ( ) 1 ( ) 2 Λ(s) = 1 2 φ(s) 1 s 1 s 1. (1.2) Επειδή η s 1 s αφήνει αναλοίωτο το 1/s + 1/(s 1) αρκεί φ(s) = φ(1 s). 1.28) Τώρα χρειαζόµαστε την συναρτησιακή εξίσωση της ϑήτα συνάρτησης (πρόταση Θ(t) = 1 t Θ ( ) 1. t Αν στον ορισµό της φ(s) αντικαταστήσουµε το t µε 1 t παίρνουµε : φ(s) = 1 t s 2 0 [ Θ ( ) ] 1 dt 1 t t + t s 2 1 [ Θ ( ) 1 ] dt t t t (1.3)

21 Η συναρτησική εξίσωση της ζ(s) 13 οπότε η πρόταση 1.29 µας δίνει 1 ( ) (1.3) = t s dt 2 tθ(t) 1 0 t + t s ( = t 1 s 2 Θ(t) 1 ) dt 0 t t + 1 = φ(1 s). ( tθ(t) t ) dt t t 1 s 2 (Θ(t) 1) dt t Αποδείξαµε λοιπόν αυτό που Ϲητούσαµε φ(s) = φ(1 s) και εποµένως Λ(s) = Λ(1 s). Καταλήξαµε τελικά τη συναρτησιακή εξίσωση της ζ - συνάρτησης. Παρατήρηση 1.37 Η πληροφορία ότι το s είναι ένας µιγαδικός αριθµός είναι πολύ συµαντική. Αρχικά η ζ - συνάρτηση ορίζεται για Re(s) > 1, δηλαδή σε ανοικτό και συνεκτικό χωρίο. Επιπλέον, από την συναρτησιακή εξίσωση επεκτείνεται στο ηµιεπίπεδο µε Re(s) < 0. Αρα από την µιγαδική ανάλυση και λόγω αναλυτικής συνέχισης η επέκταση αυτή είναι µοναδική. Στη συνέχεια ϑα µορφοποιήσουµε την συναρτησιακή εξίσωση ώστε να µπορέσουµε να ϐρούµε τις τετριµµένες ϱίζες της συνάρτησης ζ του Riemann. Υπολογισµός των τετριµµένων ϱιζών της ζ-συνάρτησης. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 ζ(s) = π s Γ ( ) 1 s Γ ( ) s ζ(1 s) (1.4) 2 Πρώτα ϑα απλοποιήσουµε την ποσότητα Γ ( ) 1 s 2 Γ ( ) s. 2 Από την ιδιότητα 3 της Γ-συνάρτησης εύκολα υπολογίζουµε ότι : ( s π Γ = 2) Γ ( 1 2) s sin π s 2 και αν αντικαταστήσουµε το προηγούµενο στην ποσότητα Γ ( 1 s 2 ) ( Γ 1 s 2 π ) ( ) sin π s 2. 1 s Γ( 2 ) ϑα έχουµε Γ( 2) s Θέτουµε s = 1 s (ο µετασχηµατιµός είναι καλός αφού είναι αντιστρέψιµος), ε- ποµένως η ποσότητα Γ ( ) ( ( 1 s 2 Γ 1 s 2) γίνεται Γ s ) ( 2 Γ 1+s ) 2 η οποία από την ιδιότητα 4 της Γ-συνάρτησης για ισούται µε π2 1 s Γ(s). και αντιστρέφοντας τον µετασχηµατισµό έχουµε Γ ( ) 1 s ( 2 Γ ( ) s = π 1/2 2 s Γ(1 s) sin π s ) 2 2

22 14 Οι συναρτήσεις Γάµµα και Ζήτα και οι L-σειρές αντικαθιστούµε στην συναρτησιακή εξίσωση και παίρνουµε ( ζ(s) = π s 1 2 s Γ(1 s) sin π s ) ζ(1 s) 2 Οι τετριµµένες ϱίζες της συναρτησιακής εξίσωσης είναι οι ϱίζες του ηµιτόνου που ϐρίσκεται µέσα στην συναρτησική εξίσωση, δηλαδή { ( sin π s ) ( = 0 sin π s ) = sin 0 s = 2 2 4m 4m + 2 m Z Μπορούµε να γενικεύσουµε τις ϱίζες της συναρτησιακής εξίσωσης και ϑα έχουµε s = 2k, k Z. Οµως για τις ϑετικές τιµές του k ϑα πάρουµε τις τιµές της ζ - συνάρτησης ζ(2), ζ(4),... οι οποίες δεν είναι µηδέν. Συνεπώς οι τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης ορίζονται για τις αρνητικές τιµές του k. Αρα οι τετριµµένες ϱίζες της ζ - συνάρτησης είναι s = 2k, k N. Σηµείωση 1.38 Θα πρεπει s 1, αφού για s = 1 η ζ(s) δεν συγκλίνει και επιπλέον τις τιµές s = k στις οποίες η Γ-συνάρτηση έχει πόλους τάξης 1. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να ορίσουµε την εικασία του Riemann. Η εικασία του Riemman Οι µη τετριµµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης έχουν πραγµατικό µέρος 1/2. Παράδειγµα 1.39 Από τον προηγούµενο υπολογισµό για το s διαλέγουµε k = 1 και k = 2 έτσι έχουµε s = 2 και s = 4 άρα ζ( 2) = 0 και ζ( 4) = 0. Παράδειγµα 1.40 ζ(2) = n=1 1 n 2 = π2 6 ( Ενας τρόπος να υπολογίσουµε την ζ(2) είναι να υπολογίσουµε το πλήρες σύστηµα Fourier της συνάρτησης f(x) = x, x [ 1, 1]).

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων 2.1 Θέσεις Σηµείωση 2.1 (Ορισµός) i. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και 1 1 λέγεται µονοµορφισµός. ii. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και επί λέγεται επιµορφισµός. iii. Αν η ϕ : R R είναι οµοµορφισµός και 1 1 και επί λέγεται ισοµορφισµός. Ορισµός 2.2 Εστω F ένα σώµα και K υπόσωµα του F. i. Το F/K λέγεται επέκταση σώµατος. Θεωρώντας το F ως έναν διανυσµατικό χώρο πάνω από το K, η διάστασή του ονοµάζεται ϐαθµός του F/K και συµ- ϐολίζεται µε [F : K]. ii. Το F/K λέγεται πεπρασµενη επέκταση αν [F : K] = n <. Τότε υπάρχει µία ϐάση {a 1,..., a n } του F/K, δηλαδή κάθε γ F γράφεται µε µοναδικό τρόπο στη µορφή n γ = c i a i µε c i K. i=1 Αν F/K και M/F είναι πεπερασµένες επεκτάσεις, τότε και το M/K είναι πεπερασµένη επέκταση και ισχύει [M : K] = [M : F ] [F : K]. 15

24 16 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων iii. Ενα στοιχείο a F καλείται αλγεβρικό πάνω από το Κ αν υπάρχει µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) K[x] (K[x]: ο δακτύλιος πολυωνύµων του x µε συντελεστές από το K) έτσι ώστε f(a) = 0. Αν δεν υπάρχει πολυώνυµο που να ικανοποιεί τις παραπάνω προΰποθέσεις τότε το στοιχείο a δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το K, το a τότε καλείται υπερβατικό πάνω από το Κ. iv. Η επέκταση σώµατος F/K λέγεται αλγεβρική επέκταση αν όλα τα στοιχεία a F είναι αλγεβρικά πάνω από το K. Σχόλια 2.3 i. Εστω γ 1,..., γ r F. Το µικρότερο υπόσωµα του F το οποίο περιέχει το K και όλα τα στοιχεία γ 1,..., γ r το συµβολίζουµε µε K(γ 1,..., γ r ). Η επέκταση K(γ 1,..., γ r )/K είναι πεπερασµένη αν-ν όλα τα γ i, i = 1,..., r είναι αλγεβρικά πάνω από το Κ. ii. Ειδικότερα το a F είναι αλγεβρικό πάνω από το K αν και µόνο αν [K(a) : K] <. Παράδειγµατα 2.4 i. Το Q( 2) είναι µια πεπερασµένη επέκταση του Q, µε [Q( 2) : Q] = 2. Το 2 είναι αλγεβρικό πάνω του Q, εφόσον υπάρχει µη µηδενικό πολυώνυµο f(x) = x 2 2 Q[x], του οποίου ο 2 είναι ϱίζα. ii. Οµοίως το C είναι µια πεπερασµένη επέκταση του R, µε [C : R] = 2. Το i είναι αλγεβρικό πάνω από το Q, αφού είναι ϱίζα του (x 2 + 1) R[x]. iii. Οι αριθµοί π και e είναι υπερβατικοί πάνω από το Q. Οµως οι π και e είναι αλγεβρικοί πάνω από το R ως ϱίζες των (x π) R[x] και (x e) R[x] αντίστοιχα. Στο σηµείο αυτό ϑα πρέπει να αναφέρουµε την αιτιολόγηση της έκφρασης «πάνω από» που ϑα χρησιµοποιούµε συχνά στη συνέχεια του κεφαλαίου. Σχόλιο 2.5 Εστω K είναι ένα σώµα. Οταν µιλάµε για µια επέκταση ενός σώµατος, για παράδειγµα F, πάνω από το K µπορούµε να δούµε το F σαν ένα διανυσµατικό χώρο πάνω από το K όπου η πρόσθεση διανυσµάτων ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσ- ϑεση του σώµατος F και ο ϐαθµωτός πολλαπλασιαµός ενός στοιχείου του F µε ένα στοιχείο του K ταυτίζεται µε τον συνήθη πολλαπλασιασµό στο F. Ενα απλό παράδειγµα είναι το εξής Παράδειγµα 2.6 Για κάθε σώµα K µπορούµε να δούµε τον K[x] ως διανυσµατικό χώρο πάνω από το K, στον οποίο η πρόσθεση διανυσµάτων ταυτίζεται µε τη συνήθη πρόσθεση πολυωνύµων του K[x] και το ϐαθµωτό γινόµενο ενός στοιχείου του K[x] µε ένα στοιχείο του K ταυτίζεται µε το γινόµενο στον K[x].

25 Θέσεις 17 Ορισµός 2.7 (Αλγεβρικό σώµα συναρτήσεων) Ενα αλγεβρικό σώµα συναρτήσεων F/K µίας µεταβλητής πάνω από το K είναι µία επέκταση σώµατος F ( K) έτσι ώστε F να είναι µία πεπερασµένη αλγεβρική επέκταση του K(x) για κάποια x F τα οποία είναι υπερβατικά πάνω από το K. Για συντοµία το F/K το λέµε σώµα συναρτήσεων. Για εκείνα τα στοιχεία του F που είναι υπερβατικά πάνω από το K ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 2.8 Ενα στοιχείο z F είναι υπερβατικό πάνω από το K αν και µόνο αν [F : K(z)] <. Απόδειξη : (= ) Ενα z F λέµε ότι είναι υπερβατικό πάνω από το K, αν δεν υπάρχει ανάγωγο πολυώνυµο ελαχίστου µε συντελεστές από το K που να έχει ως ϱίζα το z, δηλαδή F K(z) K πεπερασµένη άπειρη εποµένως [F : K(z)] <. ( =) Αν [F : K(z)] < και z αλγεβρικό τότε [K(z) : K] <. Εποµένως [F : K] = [F : K(z)] [K(z) : K] <. Ατοπο, άρα z υπερβατικό πάνω από το K. Ορισµός 2.9 Το σύνολο K := {z F : z είναι αλγεβρικό πάνω από το K} λέγεται σώµα των σταθερών του F/K. Παρατηρήσεις 2.10 i. Το K είναι υπόσωµα του F. Πράγµατι, αν a, β αλγεβρικά στοιχεία του F, αρκεί να δείξουµε ότι a + β, a β, a και a 1 (µε a 0) είναι επίσης αλγεβρικά. Αφού a είναι αλγεβρικό ισχύει [K(a) : K] <. Επιπλέον το β είναι αλγεβρικό πάνω από το K άρα είναι και αλγεβρικό πάνω απο το σώµα K(a). Αρα το σώµα K(a, β) είναι µία πεπερασµένη επέκταση του K(a), δηλαδή [K(a, β) : K(a)] <. Επειδή K K(a), το [K(a, β) : K] είναι επίσης πεπερασµένο. Αρα κάθε στοιχείο του K(a, β) είναι αλγεβρικό πάνω από το K. Τα στοιχεία a + β, a β, a και a 1 ϐρίσκονται όλα στο K(a, β). Αρα είναι αλγεβρικά.

26 18 Αλγεβρικά σώµατα συναρτήσεων ii. Ισχύει ότι K K F και ότι το F/ K είναι σώµα συναρτήσεων πάνω από το K. iii. Το K ϑα λέγεται αλγεβρικά κλειστό στο F (δηλαδή κάθε µη σταθερό πολυώνυ- µο στον K[x] έχει µία ϱίζα στο K) αν K = K. Παράδειγµατα 2.11 Το απλούστερο παράδειγµα ενός αλγεβρικού σώµατος συναρτήσεων είναι το σώµα των ϱητών συναρτήσεων. το K. Το F/K ονοµάζεται ϱητό αν F = K(x) για κάποιο x F υπερβατικό πάνω από Κάθε στοιχείο z( 0) K(x) γράφεται µε µοναδικό τρόπο z = a p i (x) n i (2.1) i όπου a( 0) K, τα p i (x) K[x] έχουν µεγιστοβάθµιο συντελεστή µονάδα (µονικά πολυώνυµα) και είναι ανάγωγα, n i Z. Σχόλια 2.12 i. Ενα αυθαίρετο σώµα συναρτήσεων F/K (το οποίο δεν είναι απαραίτητα ϱητό) συχνά αναπαρίσταται ως µία απλή αλγεβρική επέκταση σώµατος, του σώµατος των ϱητών συναρτήσεων K(x), δηλαδή F = K(x, y), όπου ϕ(y) = 0 για κάποια ανάγωγα πολυώνυµα ϕ(t) K(x)[t]. ii. Αν F/K δεν είναι ϱητό σώµα συναρτήσεων, δεν είναι σαφές αν κάθε µη µηδενικό στοιχείο z F δέχεται ανάλυση ανάλογης της (2.1). Πράγµατι δεν είναι ξεκάθαρο τι εννοούµε όταν λέµε ανάγωγο στοιχείο του F. Ενα άλλο πρόβληµα σχετικά µε την (2.1) είναι το ακόλουθο : Πρόβληµα : ίνονται τα στοιχεία a 1,..., a n K. Να ϐρείτε όλες τις ϱητές συναρτήσεις f(x) K(x) µε προκαθορισµένη τάξη ϱιζών (ή πόλων) στα a 1,..., a n. Για να απαντήσουµε σε τέτοια προβλήµατα εισάγουµε τις έννοιες των δακτυλίων εκτίµησης και των ϑέσεων. Ορισµός 2.13 ( ακτύλιος εκτίµησης) Ενας δακτύλιος εκτίµησης ενός σώµατος συναρτήσεων F/K είναι ένας δακτύλιος O F µε τις ακόλουθες ιδιότητες : i. K O F και ii. Για κάθε z F το z O ή z 1 O. Παρατηρήσεις 2.14 Στην περίπτωση του σώµατος των ϱητών συναρτήσεων K(x) δοθέντος ενός ανάγωγου πολυωνύµου p(x) K[x] ϑεωρούµε το σύνολο { } f(x) O p(x) := : f(x), g(x) K[x] και p(x) g(x). g(x) Εποµένως,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα