ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ"

Transcript

1

2 ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ªÈ Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ó ÙËÛË E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ I Ú ÙÈÎ ˆÚ ÁÎÚËÙÈÎ EÓÒÛˆ AÌÂÚÈÎ HΡΑΚΛΕΙΟ 2011

3 Π ANEΠIΣTHMIAKEΣ E KΔOΣEIΣ K PHTHΣ IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ Hράκλειο Kρήτης, T.Θ. 1527, Tηλ , 2810, Fax: Aθήνα: Κλεισόβης 3, Tηλ , Fax: ΣEIPA: ΠANEΠIΣTHMIAKH BIBΛIOΘHKH ΘETIKΩN EΠIΣTHMΩN / ΦΥΣΙΚΗ Διευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς 2009: Πρώτη έκδοση: Στοιχειοθεσία σελιδοποίηση: Ηλεκτρονική σχεδίαση σχημάτων: Eκτύπωση: Σχεδίαση εξωφύλλου: Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Kρήτης Σεπτέμβριος 2009 Σοφία Βλάχου (Π.E.K.) Ιάκωβος Ουρανός ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Bάσω Aβραμοπούλου Θέμα εξωφύλλου Το δυναμικό Pöschl-Teller: Ένα επιλύσιμο υπόδειγμα μοριακού δυναμικού. ISBN

4 ÙÔ Ã ÓË Â Î È ÛÙÔ ÏÏÔ ÊÔÈÙËÙ ÌÔ appleô Ú Î Ó ÙÔ ÈÎfi ÙÔ ÚfiÌÔ. È ÛÂ fiûô ÙÔÓ Ó ËÙÔ Ó ÎfiÌË.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xiii Ευχαριστίες xvii ΜΕΡΟΣ Α ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηματισμοί σε δευτεροτάξιες γραμμικές εξισώσεις: Η κανονική μορφή Η εξίσωση Schrödinger: Από ένα επιλύσιμο δυναμικό σε ένα άλλο: Ο μετασχηματισμός Darboux Υπερδιαπερατά δυναμικά: Η απλούστερη δυνατή εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux Ιδιόμορφα δυναμικά: Μια δεύτερη στοιχειώδης εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux Τα «αρχικά» επιλύσιμα δυναμικά. Ο μετασχηματισμός Liouville Σύνοψη των αποτελεσμάτων: Τα κλασικά επιλύσιμα δυναμικά

6 x ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΟΥΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΔΙΒΑΘΜΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΡΙΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η έννοια του βαθμού: Διβάθμιες και μονοβάθμιες εξισώσεις Το πρώτο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων: Συνθήκες ύπαρξης πολυωνυμικών λύσεων Ασυμπτωτικές συμπεριφορές και ιδιόμορφα σημεία: Τα τρία είδη διβάθμιων εξισώσεων δευτέρας τάξεως Το δεύτερο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων. Οι διβάθμιες εξισώσεις βήματος ένα και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις Ταχεία επίλυση των διβάθμιων εξισώσεων: Η μέθοδος της ασυμπτωτικής σύγκρισης Οι συναφείς τριβάθμιες εξισώσεις Παραδείγματα συναφών τριβάθμιων εξισώσεων Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων Schrödinger Η αρχή της ανάμιξης Και μια στοιχειώδης μέθοδος αναζήτησης των κλασικών επιλύσιμων δυναμικών ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 1. Εισαγωγή: Ο μετασχηματισμός Darboux ως εργαλείο φασματικών «παρεμβάσεων» στην εξίσωση Schrödinger Οι φασματικές «δυνατότητες» του μετασχηματισμού Darboux: Η περίπτωση του απλού μετασχηματισμού Η περίπτωση του διπλού εκφυλισμένου μετασχηματισμού Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi ΜΕΡΟΣ Β ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Εισαγωγή: Η χρονεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger Ο χρονεξαρτημένος μετασχηματισμός Darboux: Το βασικό αποτέλεσμα και ο τρόπος χρήσης του Και μια στοιχειώδης εφαρμογή: Κατασκευή ενός ακριβώς επιλύσιμου χρονοπεριοδικού δυναμικού Και ένα παρεμπίπτον αποτέλεσμα: Η χρονική εξέλιξη των «συμπιεσμένων» ιδιοκαταστάσεων του αρμονικού ταλαντωτή σε κλειστή μορφή Απόδειξη του χρονεξαρτημένου μετασχηματισμού Darboux Μελέτη της γενικής περιπτώσεως Ê = 1 2 x 2 + x+á Το πρόβλημα των αρχικών τιμών ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ 1. Εισαγωγή Ακριβής λύση του εξαναγκασμένου κβαντικού ταλαντωτή Η λύση και το φυσικό της περιεχόμενο Μερική ανασκόπηση τυπολόγιο Ακριβής λύση της κβαντικής κίνησης σε ομογενές χρονομεταβαλλόμενο πεδίο δυνάμεων Ακριβής λύση του κβαντικού παραμετρικού ταλαντωτή. Ειδικοί «παλμοί» Προκαταρκτικά: Ποιο είναι το πρόβλημα Ο κλασικός παραμετρικός ταλαντωτής: Μια κλασική εξίσωση Schrödinger! Ο κβαντικός παραμετρικός ταλαντωτής: Ένας «άεργος παλμός» που αφήνει «ίχνη» Επεκτάσεις Παραλειπόμενα Βιβλιογραφία Βιβλιογραφικά σχόλια

8 ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ (1) 1. Η εξίσωση Schrödinger και η στατιστική της ερµηνεία: Μια γρήγορη εισαγωγή 2. Προβλήµατα 2.1 Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Μαθηµατικά συµπληρώµατα 3.1 Μετασχηµατισµοί που διατηρούν τη µορφή µιας διαφορικής εξίσωσης 3.2 ιβάθµιες εξισώσεις και ακριβής επιλυσιµότητα: Γενική συζήτηση και βιβλιογραφικές αναφορές 3.3 Η συνάρτηση Γάµµα 3.4 Περιοδικά δυναµικά: Το θεώρηµα Floquet-Bloch. 3.5 Χρονοπεριοδικά δυναµικά 4. Άεργοι παλµοί σε δικαταστασιακά συστήµατα 5. Ακριβώς επιλύσιµα δυναµικά στη µονοδιάστατη εξίσωση Dirac 6. Οι λύσεις των κλασικών επιλύσιµων δυναµικών 7. Χρονεξαρτηµένα αναλλοίωτα 8. Ο µετασχηµατισµός Darboux και η έννοια της υπερσυµµετρίας 9. Πειραµατικές πλευρές 10. Βιβλιογραφική ενηµέρωση (1) Θα είναι διαθέσιµο στην ιστοσελίδα του βιβλίου (www.cup.gr) ένα εύλογο διάστηµα µετά την κυκλοφορία του και θα συνεχίσει να εµπλουτίζεται µε βιβλιογραφικές αναφορές καί ό,τι άλλο κρίνεται αναγκαίο για ενηµέρωση του αναγνώστη. Αυτή τη στιγµή είναι αναρτηµένα τα τµήµατα 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 3.3 και 3.4 και συνιστάται στον αναγνώστη να τα «κατεβάσει».

9 ... και ένας Ο ΗΓΟΣ στα πιο «ιδιάζοντα σηµεία» του βιβλίου («Παράξενα δυναµικά» ή «παράξενες λύσεις» σε συνηθισµένα δυναµικά) 1. Υπερδιαπερατά δυναµικά: Πηγάδια δυναµικού που δεν ανακλούν το προσπίπτον σωµατίδιο οποιαδήποτε κι αν είναι η ενέργειά του Σελίδες 10-14, Δυναµικά µε συνεχές φάσµα δέσµιων καταστάσεων: Ποια είναι και γιατί έχουν αυτή την «τρελή» ιδιότητα Σελίδες Δυναµικά µε δέσµιες καταστάσεις στο συνεχές: Ένα συγκεκρι- µένο παράδειγµα και πώς κατασκευάζεται Σελίδες Δυναµικά ισοφασµατικά προς τον αρµονικό ταλαντωτή: Μέθοδος κατασκευής και ένα παράδειγµα Σελίδες Κυµατοπακέτα που «µαζεύονται» πριν αρχίσουν να απλώνουν: Πώς κατασκευάζονται ώστε να έχουν αυτή την ιδιότητα Σελίδες Η.Σ. 6. Κβαντικός συντονισµός: Ένα ακριβώς επιλύσιµο µοντέλο «αλλιώτικο από τ άλλα» Σελίδες Η.Σ. ( ) Η.Σ. = Ηλεκτρονικό Συµπλήρωµα

10 xiv Ο ΗΓΟΣ 7. Χρονική εξέλιξη χωρίς ανάπτυγµα σε «στάσιµες καταστάσεις»: Ένα νέο είδος πλήρων βάσεων για τον υπολογισµό της χρονικής εξέλιξης Σελίδες , Ακριβώς επιλύσιµα χρονοπεριοδικά δυναµικά: Περιοδικές προσθήκες στον αρµονικό ταλαντωτή που δεν προκαλούν συντονισµό. Μελέτη του θεωρήµατος Floquet Σελίδες Η.Σ. 9. Άεργοι παλµοί: Χρονεξαρτηµένες παραβολικές διαταραχές στον αρµονικό ταλαντωτή που δεν εκτελούν έργο, δηλαδή δεν προκαλούν κβαντικές µεταβάσεις Σελίδες Η.Σ. 10. Η κλασική εξίσωση Schrödinger: Ο κλασικός παραµετρικός ταλαντωτής ως µια εξίσωση Schrödinger σε ένα κατάλληλο «δυναµικό» Σελίδες

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Παρά την αναµφισβήτητη ραγδαία πρόοδο στις αριθµητικές µεθόδους επίλυσης της εξισώσεως Schrödinger οι οποίες καλύπτουν πλέον και τα πιο πολύπλοκα κβαντικά συστήµατα (από τα µεγάλα µόρια έως και τα άµορφα στερεά) εντούτοις η ανάγκη για ακριβώς επιλύσιµα µοντέλα κάθε άλλο παρά έχει εκλείψει. Αντιθέτως µάλιστα: Η αλµατώδης επίσης πρόοδος σε τεχνητά κβαντικά συστήµατα όπως, π.χ., τα κβαντικά συµπυκνώµατα και οι σχετικές µαγνητικές παγίδες, οι κβαντικές «τελείες», οι ιοντικές παγίδες τύπου Paul κ.λπ. διαµορφώνει πλέον µια νέα κατάσταση στο πλαίσιο της οποίας περίπου κάθε εξιδανικευµένο κβαντικό σύστηµα µπορεί να πραγµατοποιηθεί πειραµατικά. Σε αυτό το πλαίσιο τα ακριβώς επιλύσι- µα κβαντοµηχανικά δυναµικά ιδίως εκείνα µε ασυνήθιστες ιδιότητες αποκτούν ένα ανανεωµένο ενδιαφέρον. Ενώ παραµένει, βέβαια, η παλιά ανάγκη για χρήση των ακριβώς επιλύσιµων δυναµικών ως πρότυπων συστηµάτων για τη βαθύτερη ποιοτική κατανόηση της κβαντικής συµπεριφοράς σε µια διαρκώς διευρυνόµενη ποικιλία συνθηκών και καταστάσεων. Μια ανάγκη εξίσου σηµαντική στην έρευνα όσο και στη διδασκαλία. Το αντικείµενο του βιβλίου είναι, βεβαίως, προφανές από τον τίτλο του: Η συστη- µατική αναζήτηση και καταγραφή όπου αυτό είναι δυνατόν των κβαντοµηχανικών δυναµικών για τα οποία η εξίσωση Schrödinger µπορεί να επιλυθεί ακριβώς. Στην πραγµατικότητα το αντικείµενό µας θα είναι λίγο πιο περιορισµένο. Θα αφορά µόνο την κατηγορία των µονοδιάστατων δυναµικών η οποία περιλαµβάνει βεβαίως και τριδιάστατα προβλήµατα µε κεντρικά δυναµικά, για τα οποία η αρχική τριδιάστατη εξίσωση Schrödinger ανάγεται σε µια µονοδιάστατη εξίσωση ως προς τη µεταβλητή r. Όµως, από µια άλλη πλευρά, ο στόχος του βιβλίου θα είναι ευρύτερος από τον παραπάνω. εν θα περιοριστούµε µόνο στην αναζήτηση των επιλύσιµων δυναµικών που δεν εξαρτώνται από το χρόνο (χρονανεξάρτητα δυναµικά) αλλά και εκείνων που εξαρτώνται από αυτόν (χρονεξαρτηµένα δυναµικά) και τα οποία απαιτούν µια διαφορετική µεθοδολογία αναζήτησης, αφού τότε η εξίσωση που πρέπει να λύσουµε δεν είναι η χρονανεξάρτητη αλλά η χρονεξαρτηµένη εξίσωση Schrödinger.

12 xvi ΠΡΟΛΟΓΟΣ Εν όψει των παραπάνω, τα πέντε κεφάλαια του βιβλίου χωρίζονται φυσιολογικά σε δύο µέρη. Το πρώτο µέρος (κεφάλαια 1 έως 3) είναι αφιερωµένο στα χρονανεξάρτητα δυναµικά και το δεύτερο (κεφάλαια 4 και 5) στα χρονεξαρτηµένα επιλύσιµα δυναµικά. Προκειµένου να κρατηθεί µικρός ο όγκος του βιβλίου, ένας αριθµός ειδικών θε- µάτων έχει «απωθηθεί» στο ηλεκτρονικό του συµπλήρωµα (βλ. είτε υπό µορφή καθοδηγηµένων προβληµάτων για λύση από τον αναγνώστη, είτε υπό µορφή κατάλληλων παραρτηµάτων. Στο ηλεκτρονικό συµπλήρωµα περιλαµβάνεται επίσης και µια σύντοµη εισαγωγή στην εξίσωση Schrödinger και τη στατιστική της ερµηνεία, για όσους από τους αναγνώστες δεν έχουν καµιά προηγούµενη σχετική γνώση. Οι απαραίτητες εξηγήσεις δίνονται όµως και στο ίδιο το κείµενο όπου αυτό είναι αναγκαίο οπότε το βιβλίο είναι, στην πραγµατικότητα, τελείως αύταρκες. Τα µαθηµατικά προαπαιτούµενα του βιβλίου είναι επίσης πολύ λίγα. Στο µεγαλύτερό τους µέρος καλύπτονται επαρκώς από ένα προπτυχιακό µάθηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, αν και ένα µάθηµα µερικών διαφορικών εξισώσεων µε έµφαση στις µερικές διαφορικές εξισώσεις της µαθηµατικής φυσικής και τα προβλήµατα συνοριακών τιµών θα ήταν επίσης χρήσιµο. Το βιβλίο προϋποθέτει όµως µαθηµατική ωριµότητα και, κυρίως, ένα γνήσιο ενδιαφέρον για το θέµα και τις «απολήξεις» του. Και από αυτή την πλευρά το πιθανό κοινό του είναι αρκετά περιορισµένο: Αποτελείται από προχωρηµένους προπτυχιακούς ή µεταπτυχιακούς φοιτητές φυσικής και µαθηµατικών µε κλίση προς τη θεωρητική φυσική και, βεβαίως, από πανεπιστηµιακούς δασκάλους µε εκπαιδευτικό ή ερευνητικό ενδιαφέρον για το θέµα. Προς διευκόλυνση των αναγνωστών του που προσβλέπουν σε µια γρήγορη πρόσβαση στα θέµατα που τους ενδιαφέρουν, το βιβλίο έχει γραφτεί έτσι ώστε µια ποικιλία «αναγνωστικών διαδροµών» να είναι δυνατή. Το κοινό προαπαιτούµενο για κάθε «διαδροµή» είναι το Κεφ. 1. Εκεί θα βρει ο αναγνώστης τις πιο βασικές ιδέες και τεχνικές όλου του βιβλίου π.χ., τους µετασχηµατισµούς Darboux και Liouville και επίσης µια συστηµατική καταγραφή όλων των «κλασικών» επιλύσιµων δυναµικών. Εκεί θα βρει επίσης ως αποτέλεσµα της εφαρµογής του µετασχηµατισµού Darboux την πρώτη γενεά «απογόνων» του µηδενικού δυναµικού µε εξέχον παράδειγµα το υπερδιαπερατό ή διαφανές δυναµικό Bargmann. Από εκεί και πέρα οι επιλογές είναι πολλές. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για την περαιτέρω µελέτη του µετασχηµατισµού Darboux και των δυνατοτήτων που εµπεριέχει για την πραγµατοποίηση µιας ποικιλίας φασµατικών παρεµβάσεων σε ένα δεδοµένο δυναµικό µπορεί να προχωρήσει κατευθείαν στη µελέτη του Κεφ. 3 και

13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ xvii από εκεί συνέχεια στο Κεφ. 4, αν η επέκταση του µετασχηµατισµού Darboux σε χρονεξαρτηµένα προβλήµατα ανήκει στα ενδιαφέροντά του. Η µελέτη των Κεφ. 4 και 5 είναι επίσης δυνατή κατευθείαν µετά το Κεφ. 1 και αυτή είναι η «διαδροµή» που συνιστάται σε όσους ενδιαφέρονται για µια γρήγορη πρόσβαση στα χρονεξαρτηµένα επιλύσιµα δυναµικά και τις πιθανές εφαρµογές τους. Τέλος, το Κεφ. 2 είναι υποχρεωτικό για όσους θέλουν να εκτεθούν σε µια πιο συστηµατική θεώρηση του προβλήµατος της ακριβούς επιλυσιµότητας αλλά και στην ανάπτυξη µεθόδων ταχείας επίλυσης της εξισώσεως Schrödinger για όλα τα «κλασικά» επιλύσιµα δυναµικά. Όµως τα ακριβώς επιλύσιµα δυναµικά παρουσιάζουν ενδιαφέρον και από µια πιο ειδική σκοπιά. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγονται και ορισµένα µε πολύ παράξενες ιδιότητες που, µερικές φορές, έρχονται σε ευθεία αντίθεση µε τις πιο εδραιωµένες αντιλήψεις µας για το τι µπορεί και τι δεν µπορεί να συµβεί σε ένα κβαντικό σύστηµα. Λόγω της ιδιαίτερης σηµασίας τους αυτά τα «παράξενα δυναµικά», ή οι «παράξενες λύσεις» σε συνηθισµένα δυναµικά, παρουσιάζονται µαζί µε τις κατάλληλες παραποµπές στις σχετικές σελίδες του βιβλίου στον «οδηγό» που ακολουθεί τα περιεχόµενά του. Αποµένει να ειπωθούν λίγα πράγµατα και για την επίσης «παράξενη» µικρή ιστορία τούτου του βιβλίου. Για να το πω εξαρχής χωρίς αµήχανες εισαγωγές: Κάθε µικρό ή µεγαλύτερο εύρηµα που περιέχεται εδώ είναι καρπός µιας πολύ προσωπικής και µακρόχρονης ενασχόλησης µε το πρόβληµα της ακριβούς επιλυσιµότητας των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε µεταβλητούς συντελεστές και ειδικότερα της εξισώσεως Schrödinger. Η αναζήτηση αυτή οδήγησε αρχικά στην καίρια έννοια των διβάθµιων και των συναφών τριβάθµιων εξισώσεων (1) και λίγο µετά στη διατύπωση του προβλήµατος της κρυπτοεπιλυσιµότητας (1) για να κορυφωθεί στο διάστηµα εκέµβριος-ιανουάριος µε τη µελέτη των µετασχηµατισµών που περιέχουν και την παράγωγο της µετασχηµατιζόµενης συνάρτησης και την εισαγωγή αυτού που αποκαλείται σήµερα µετασχηµατισµός Darboux στη χρονανεξάρτητη ή τη χρονεξαρτηµένη εκδοχή του. Όλα τα βασικά στοιχεία αυτής της δουλειάς αποτυπώθηκαν «ζωντανά» σε ένα γράµµα που άρχισε να γράφεται τον εκέµβριο του 1981 µε αποδέκτη τον συνάδελφο και στενό φίλο Πέτρο ήτσα και εξελίχθηκε σε ένα «ηµερολόγιο εργασίας» εκτάσεως 142 σελίδων και ενός «παραρτήµατος» άλλων 35(!) όπου καταγράφονται όλες οι τροπές του θέµατος από τα αρχικά ερωτήµατα και τις αλλεπάλληλες «µεταµορφώσεις» τους, έως την ευτυχή τους κατάληξη στο µετασχη- (1) Σ. Τραχανάς, Κβαντοµηχανική Ι (1η έκδοση, 1981), Κεφ. 5, και Σ. Τραχανάς, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (1η έκδοση, 1989), Κεφ. 9, 10 και Κεφ. 5, σελ. 185.

14 xviii ΠΡΟΛΟΓΟΣ µατισµό που απεικονίζει µια χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε µια άλλη, και την επέκτασή του στη χρονεξαρτηµένη περίπτωση. Για να διαπιστωθεί όµως λίγο αργότερα όχι χωρίς έντονα συναισθήµατα απογοήτευσης ότι ο µετασχη- µατισµός αυτός είχε ανακαλυφθεί από τον Darboux ήδη από το 1882 (2) και, αφού παρέµεινε τελείως άγνωστος, ανασύρθηκε στην επιφάνεια µεταξύ άλλων και από τους Deift και Trubowitz για να χρησιµοποιηθεί ως εργαλείο µελέτης του αντίστροφου προβλήµατος σκέδασης στην κλασική πλέον εργασία τους Inverse scattering on the line. (3) Το 1982 η δική µου δουλειά πάνω στο θέµα παρουσιάστηκε σε µια διήµερη συνάντηση µε τους Λευτέρη Οικονόµου και Κώστα Σούκουλη, στα τότε εργαστήρια Exxon στο New Jersey, χωρίς εντούτοις η ενθάρρυνση που πήρα να µε αποτρέψει από την απόφαση που ήδη είχα λάβει, να εγκαταλείψω την περαιτέρω ενασχόλησή µου µε το θέµα. Το ενδιαφέρον µου αναζωπυρώθηκε όµως γύρω στο 2001, (4) όταν ήρθε στα χέρια µου µε φροντίδα του ίδιου καλού φίλου ένα µεγάλο σχετικό άρθρο ανασκόπησης (5) και πείστηκα ότι η αρχική µου προσέγγιση στο ζήτηµα συνέχιζε να είναι επίκαιρη. Αν όχι για τα επιµέρους ευρήµατά της που τα περισσότερα δεν ήταν πια πρωτότυπα όσο για τη βασική απλότητα των ιδεών και µεθόδων της και τη φυσιολογική τους ένταξη σε ένα µεγαλύτερο πρόβληµα. Το πρόβληµα της ακριβούς επιλυσιµότητας των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε µεταβλητούς συντελεστές. Πέρα από την ευρετική γονιµότητα που πιστεύω ότι έχει αυτή η προσέγγιση και η οποία µου έγινε ξανά εµφανής από τα πολλά νέα ερωτήµατα που ανέκυψαν κατά τη συγγραφή του βιβλίου και δεν συζητώνται στην παρούσα του έκδοση το βασικό της πλεονέκτηµα είναι ότι βγάζει το θέµα από το ασφυκτικό (όπως πιστεύω) αλγεβρικό πλαίσιο εντός του οποίου συνήθως εξετάζεται και το φέρνει στην περιοχή της στοιχειώδους ανάλυσης δηλαδή των διαφορικών εξισώσεων όπου και φυσιολογικά ανήκει. Και χάρις σε αυτή την «αλλαγή πλαισίου» πιστεύω ότι το θέµα γίνεται, εκτός των άλλων, και «πλήρως διδάξιµο» ακόµα και στο βασικό προπτυχιακό επίπεδο. Ελπίζεται έτσι ότι η έκδοση του βιβλίου κυρίως, βέβαια, µια αγγλική του έκδοση θα βοηθήσει τους ενδιαφερόµενους δασκάλους, της κβαντοµηχανικής ή των διαφορικών εξισώσεων, να εµπλουτίσουν τη διδασκαλία τους µε αρκετά από τα θέµατα των Κεφ. 1, 5, ή 2. Ενώ αποµένει να κριθεί στην πράξη (2) G. Darboux, C.R. Academy Sc. (Paris) 94 (1882) (3) P. Deift and E. Trubowitz, Commun. Pure Appl. Math. 32, 121 (1979). (4) Χωρίς εντούτοις να υπάρξει συνέχεια, πέραν µιας βραχύχρονης εµπλοκής µου µε αυτό, η οποία απέδωσε κάποια από τα επιλύσιµα χρονεξαρτηµένα δυναµικά των Κεφ. 4 και 5. (5) F. Cooper, A. Khare and U. Sukhatme, Phys. Rep.251, 267 (1995).

15 και η ερευνητική γονιµότητα αυτού του πλαισίου: Αν µπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέροντα νέα ερωτήµατα ή σε ενδιαφέρουσες νέες απαντήσεις στα παλιά. Σε ένα πιο προσωπικό επίπεδο, αποµένει η χαρά ενός περιπετειώδους ταξιδιού που ίσως να µην τέλειωσε ακόµη. Στέφανος Τραχανάς Ίδρυµα Τεχνολογίας και Έρευνας Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2009 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Παρά το γεγονός ότι η βασική δουλειά πίσω από αυτό το βιβλίο παρήχθη τον χρόνο που παρήχθη υπό ιδιάζουσες συνθήκες επιστηµονικής αυτοαποµόνωσης, εντούτοις οι οφειλές δεν είναι αµελητέες. Πέρα από τα πρόσωπα που ανέφερα πριν και των οποίων η βοήθεια (επιστηµονική και άλλη) υπήρξε ανεκτίµητη η αλληλεπίδρασή µου µε τον Νίκο Παπανικολάου είναι επίσης σηµαντική και µε διαχρονικό χαρακτήρα. Περιλαµβάνει πολλές συζητήσεις πάνω σε ζητήµατα αντίστροφης σκέδασης και ολοκληρώσιµων εξισώσεων ζητήµατα πάνω στα οποία ο ίδιος έχει µια αναγνωρισµένη ειδικότητα και επίσης συχνές ανταλλαγές απόψεων πάνω σε ορισµένα «ειδικά δυναµικά» που κίνησαν το ενδιαφέρον µου και µελετήθηκαν λεπτοµερώς ενώ γραφόταν το βιβλίο. Όπως και τα προηγούµενα βιβλία µου έτσι και τούτο στοιχειοθετήθηκε «διά χειρός» Σοφίας Βλάχου σε χρόνο ρεκόρ για τη δεδοµένη πυκνότητα των µαθη- µατικών του τύπων ενώ τα σχήµατα είναι ξανά έργο του, µέχρι πρόσφατα, φοιτητή του φυσικού τµήµατος Ιάκωβου Ουρανού. Ένας άλλος φοιτητής του φυσικού τµήµατος ο µόλις δευτεροετής Μάνος Ξυπάκης ανέλαβε (κυρίως για εκπαιδευτικούς λόγους) να επαναλάβει όλους τους υπολογισµούς του βιβλίου και να εντοπίσει τυχόν λάθη. Και απέδειξε, «παρεµπιπτόντως», ότι όντως το βιβλίο µπορεί να διαβαστεί επωφελώς από έναν καλό προπτυχιακό φοιτητή. Τους ευχαριστώ όλους και από εδώ. εδοµένου ακόµα ότι δεν χρησιµοποίησα καµιά επαγγελµατική βοήθεια για τη φιλολογική ή την τυπογραφική επιµέλεια του βιβλίου, όλα τα λάθη βαρύνουν αποκλειστικά εµένα. Στέφανος Τραχανάς

16

17 ΜΕΡΟΣ Α ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ

18

19 κ ε φ ά λ α ι ο 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηµατισµοί σε δευτεροτάξιες γραµµικές εξισώσεις: Η κανονική µορφή Ξεκινάµε από την τυπική µορφή µιας δευτεροτάξιας γραµµικής (και οµογενούς) εξίσωσης y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) στην οποία ο συντελεστής της δευτέρας παραγώγου έχει γίνει µονάδα διαιρώντας µε τον συντελεστή που τυχόν υπήρχε. Προκειµένου τώρα να µετασχηµατίσου- µε την (1.1) σε µια άλλη (ενδεχοµένως επιλύσιµη) µορφή, τα µόνα εργαλεία που έχουµε στη διάθεσή µας είναι οι αλλαγές εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής: y = f(y ) και t = t(x) αντίστοιχα. εδοµένου όµως ότι η εξίσωσή µας είναι γραµµική και οµογενής, και θέλουµε να παραµείνει τέτοια (διότι, βεβαίως, οι µη γραµµικές εξισώσεις είναι πολύ δυσκολότερες) οι µόνες αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που έχει νόηµα να χρησιµοποιήσουµε είναι εκείνες µε τη γραµµική και οµογενή µορφή y(x) = g(x)y (x), (1.2) όπου g(x) µια αυθαίρετη συνάρτηση που εναπόκειται σε µας να επιλέξουµε, ανάλογα µε τον επιδιωκόµενο σκοπό. Εισάγοντας τη (1.2) στην (1.1) παίρνουµε gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)

20 4 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι από όπου είναι φανερό ότι αν διαλέξουµε το g ώστε να είναι ( P g + 2g = 0 g = exp 1 ) P (x) dx, (1.4) 2 η (1.3) θα καταλήγει στη λεγόµενη κανονική µορφή Y + I(x)Y = 0, (1.5) στην οποία ο συντελεστής της πρώτης παραγώγου έχει µηδενιστεί, ενώ ο συντελεστής του Y έχει πάρει όπως είναι εύκολο να δείτε τη µορφή I(x) = Q(x) 1 2 P 1 4 P 2. (1.6) Θα δείξουµε τώρα ότι η αναγωγή σε κανονική µορφή δηλαδή µια µορφή χωρίς πρώτη παράγωγο είναι δυνατή και µε χρήση µιας αλλαγής εξαρτηµένης µεταβλητής t = t(x) για µια κατάλληλη t(x). Πράγµατι, κάνοντας µια τέτοια αλλαγή στην (1.1) θα έχουµε τη νέα, ως προς t, εξίσωση ( ) t 2 ÿ + ( t + P t )ẏ + Qy = 0, (1.7) που έρχεται σε κανονική µορφή αν η συνάρτηση t = t(x) εκλεγεί έτσι ώστε t + P t = 0 t(x) = e R P (x)dx dx, (1.8) οπότε η (1.7) καταλήγει στην ( Q(x) ÿ + e 2 R P (x)dx ) y = 0 (1.9) x=x(t) όπου, βέβαια, x = x(t) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της t = t(x) όπως αυτή ορίζεται από την (1.8). Για λόγους που θα γίνουν σύντοµα κατανοητοί το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη είναι µια πολύ χρήσιµη τεχνική για την οποία πρέπει να πούµε δυο λόγια σε τούτη την εισαγωγή. Η βασική ιδέα είναι πολύ απλή: Να κάνουµε στην εξίσωση y + q(x)y = 0 (1.10) ( ) Επειδή θα τις χρησιµοποιούµε συχνά από εδώ και µπρος, σηµειώνουµε για διευκόλυνση του αναγνώστη τις σχέσεις y = t ẏ, y = t 2 ÿ + t ẏ, όπου y dy/dx και ẏ dy/dt.

21 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 πρώτα µια αλλαγή ανεξάρτητης µεταβλητής t = t(x) η οποία την «βγάζει» από την κανονική µορφή και εν συνεχεία να την επαναφέρουµε σε κανονική µορφή (διαφορετική όµως από την προηγούµενη) µε τη συνήθη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής y = gy. Και όπως µπορείτε να δείξετε µόνοι σας, το αποτέλεσµα θα είναι η νέα, ως προς t, εξίσωση Ÿ (t) + Q(t)Y (t) = 0, (1.11) όπου η σχέση της παλιάς προς τη νέα εξαρτηµένη µεταβλητή θα δίνεται από τον τύπο Y (t) = ẋ(t) 1 y ( x(t) ) (1.12) µε x = x(t) ή t = t(x) τη συνάρτηση που συνδέει τις ανεξάρτητες µεταβλητές x και t και η οποία µπορεί να είναι τυχούσα. Όσο για τη σχέση των Q(t) και q(x) αυτή θα περιγράφεται από τον τύπο όπου {x, t} η παράσταση {x, t} = ορ Q(t) = qẋ 2 + {x, t}, (1.13) 1 2 (ẍ ẋ ) 1 4 (ẍ ) 2, (1.14) που είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως η σβαρτσιανή της συνάρτησης x = x(t) και είχε µελετηθεί από τους µαθηµατικούς στο πλαίσιο της θεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων, για την πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητά της να παραµένει αναλλοίωτη στους µετασχηµατισµούς Möbius w = (az + b)/(cz + d). Να είναι δηλαδή { } ax + b {x, t} = cx + d, t, (1.15) όπου a, b, c, d αυθαίρετες (και µιγαδικές εν γένει) σταθερές. Όµως οι αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που µπορούµε να πραγµατοποιήσουµε σε µια γραµµική (και οµογενή) εξίσωση δεν περιορίζονται στη µορφή (1.2). Μπορούν να συµπεριλάβουν και τη γενικότερη γραµµική και οµογενή απεικόνιση ẋ Y = Ly (1.16) στην οποία οι δύο εξαρτηµένες µεταβλητές y(x) και Y (x) συνδέονται όχι απλώς µέσω της δράσης µιας συνάρτησης g(x) ή 1/g(x) αλλά ενός γραµµικού διαφορικού τελεστη L όπως, παραδείγµατος χάριν, του L = a(x)d 2 + b(x)d + c(x)

22 6 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι για τον οποίο θα είναι Y = ay + by + cy. (1.17) εδοµένου όµως ότι η y ικανοποιεί εξ υποθέσεως µια δευτεροτάξια εξίσωση της µορφής ( ) y + p(x)y + q(x)y = 0 (1.18) θα είναι y = py qy και η (1.17) θα ξαναγράφεται ως Y = (b ap)y + (c aq)y A(x)y + B(x)y (AD + B)y το οποίο σηµαίνει ότι για τη διερεύνηση των µετασχηµατισµών (1.16) µπορούµε να περιοριστούµε σε πρωτοτάξιους διαφορικούς τελεστές L, οπότε η (1.16) θα γράφεται ως Y = (AD + B)y A(x)y + B(x)y (1.19) ή, ισοδύναµα, ως Y = A (y + BA ) y A(y + fy) f = B/A. (1.20) εδοµένου όµως ότι οι µετασχηµατισµοί του τύπου Y = A(x)y έχουν ήδη µελετηθεί εξίσωση (1.2) µπορούµε να αγνοήσουµε τον παράγοντα A(x) στην (1.20) και να περιοριστούµε µόνο στη µελέτη του γραµµικού µετασχηµατισµού Y = (D + f)y = y + fy. (1.21) Παραλείποντας µια γενικότερη διερεύνηση των επιπτώσεων του µετασχηµατισµού (1.21) σε µια τυχούσα δευτεροτάξια εξίσωση, θα δείξουµε τώρα ότι µε χρήση αυτού του µετασχηµατισµού και µε κατάλληλη εκλογή της συναρτήσεως f µπορούµε να επιτύχουµε τη µετάβαση y + q(x)y = 0 Y + Q(x)Y = 0, (1.22) δηλαδή το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη µε την ίδια ανεξάρτητη µεταβλητή x. Σηµειώστε όµως ότι τώρα δεν έχουµε την ευχέρεια να εκφράσουµε ( ) Σηµειώστε ότι στην (1.18), αντίθετα µε την (1.1), χρησιµοποιούµε για τους συντελεστές της εξίσωσης τα πεζά γράµµατα p και q αντί των κεφαλαίων P και Q που είχαν χρησιµοποιηθεί αρχικά. Και ο λόγος είναι απλός. Εδώ θέλουµε να κρατήσουµε τα κεφαλαία γράµµατα P και Q για τη µετασχηµατισµένη εξίσωση ως προς Y, όπως ήδη κάναµε στην περίπτωση της εξίσωσης (1.10).

23 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 το y συναρτήσει του Y παρά µόνο µε χρήση ολοκληρωµάτων οπότε η διαδικασία µετασχηµατισµού της αρχικής εξίσωσης y + qy = 0 δεν µπορεί να γίνει µε αντικατάσταση όπως παλιά π.χ., όπως µε την αλλαγή (1.2) αλλά µε αντικατάσταση του Y = y + fy, στην τελική εξίσωση Y + QY = 0 µε τον σκοπό να εκλεγούν κατάλληλα τόσο το Q όσο και η συνάρτηση µετασχηµατισµού f ώστε η εξίσωση ως προς y που θα προκύψει να συµπίπτει µε την αρχική. Σηµειώστε ακό- µα ότι στη διαδικασία αυτή θα εµφανιστεί και η τρίτη παράγωγος τής y η οποία θα πρέπει να επανεκφραστεί µέσω χαµηλότερων παραγώγων µε χρήση της εξίσωσης που ικανοποιεί η y. ηλαδή y + qy = 0 y = (qy) = (qy + q y). Εκτελώντας το παραπάνω «σχέδιο» θα έχουµε Y + QY = (y + fy) + Q(y + fy) = y + (fy) + Q(y + fy) = (qy + q y) + (fy + 2f y + f y) + (Qy + Qfy) = fy + ( q + 2f + Q)y + ( q + f + Qf)y = 0 και διαιρώντας µε f παίρνουµε την εξίσωση y + Q + 2f q f y + (Qf + f q ) y = 0, f που θα συµπίπτει µε την αρχική (y + qy = 0) µόνο αν είναι Q + 2f q = 0 Q = q 2f (1.23) f και Qf + f q = q, (1.24) f οπότε λόγω και της (1.23) η (1.24) θα γράφεται τελικά ως f 2ff q = 0 (f f 2 q) = 0 f f 2 q = c = σταθερά. (1.25) Όµως η (1.25) είναι µια εξίσωση τύπου Ricatti ( ) που µετατρέπεται σε µια γραµ- µική δευτεροτάξια εξίσωση µε τον µετασχηµατισµό ( ) f = u u (1.26) Έτσι αποκαλούνται οι εξισώσεις της µορφής y = ay 2 + by + c των οποίων το δεύτερο µέλος είναι ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς y µε συντελεστές a, b, c που υποτίθενται τυχούσες συναρτήσεις του x. Η ιδιαιτερότητα των εξισώσεων Ricatti έγκειται στο γεγονός ότι ανάγονται σε γραµµικές (2ας τάξεως) µε τον µετασχηµατισµό y = (1/a)(u /u) που τις φέρνει στη µορφή u (b + (a /a))u + acu = 0. Αποδείξτε το.

24 8 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι που όντως την µετατρέπει στη γραµµική εξίσωση u + (q + c)u = 0, (1.27) που είναι η ίδια µε την αρχική εξίσωση αλλά µε το q + c στη θέση του q και µε c µια τυχούσα σταθερά. Ενώ βέβαια, σύµφωνα µε τις (1.23) και (1.26), η µετασχη- µατισµένη µορφή της αρχικής εξίσωσης θα είναι η ( Y + q + 2 ( u u ) ) Y = 0. (1.28) 2. Η εξίσωση Schrödinger: Από ένα επιλύσιµο δυναµικό σε ένα άλλο: Ο µετασχηµατισµός Darboux Θα δείξουµε τώρα ότι το τελευταίο µας αποτέλεσµα, δηλαδή η απεικόνιση y + qy = 0 Y =y +fy Y + QY = 0, (1.29) µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για την κατασκευή µιας άπειρης αλυσίδας ακριβώς επιλύσιµων δυναµικών δηλαδή ακριβώς επιλύσιµων εξισώσεων Schrödinger µε αφετηρία ένα από αυτά. Ξεκινάµε από την εξίσωση Schrödinger στη «µαθηµατική γραφή» y + ( λ v(x) ) y = 0, (1.30) την οποία προτιµήσαµε έναντι της «φυσικής» µορφής ψ + 2m 2 ( E V (x) ) ψ ψ + ( ɛ U(x) ) ψ = 0 (1.31) [ ɛ = 2mE/ 2, U(x) = 2mV (x)/ 2] για λόγους που θα γίνουν σύντοµα εµφανείς. Με την αντιστοιχία συµβόλων λ ɛ, y ψ το πέρασµα από τη µια µορφή στην άλλη είναι, βεβαίως, τετριµµένο, όπως το ίδιο ισχύει και για τη µετατροπή των αποτελεσµάτων στις συνήθεις µονάδες, που είναι θέµα καθαρής διαστατικής ανάλυσης, αφού (πέρα από την αλλαγή συµβόλων) η (1.30) προκύπτει από την (1.31) επιλέγοντας ένα σύστηµα µονάδων στο οποίο είναι = 2m = 1.

25 2. Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRÖDINGER: Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 9 Αν εφαρµόσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου στην εξίσωση (1.30) δηλαδή για q(x) = λ v(x) θα έχουµε την απεικόνιση y + ( λ v(x) ) y = 0 Y + ( λ V (x) ) Y = 0, (1.32) όπου η σχέση της αρχικής (y) µε τη νέα (Y ) κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από τον τύπο Y = y u u y (1.33) και η σχέση του αρχικού (v) µε το νέο (V ) δυναµικό, από την ( u ) V (x) = v(x) 2, (1.34) u όπου η συνάρτηση µετασχηµατισµού u ικανοποιεί την εξίσωση u + (µ v)u = 0, (1.35) δηλαδή την αρχική εξίσωση Schrödinger, αλλά µε την τυχούσα παράµετρο µ στη θέση της αρχικής ιδιοτιµής λ. Και αυτό δηλαδή η αντικατάσταση του λ µε την τυχούσα παράµετρο µ οφείλεται προφανώς στο γεγονός ότι στην εξίσωση (1.27) εµφανίζεται και η τυχούσα σταθερά c που προστίθεται στην ιδιοτιµή λ (αφού q = λ v(x)) και τη µετατρέπει σε µια τυχούσα άλλη παράµετρο µ άσχετη πλέον µε το λ. Και είναι σηµαντικό να τονίσουµε εδώ ότι χάρις σε αυτό ακριβώς το γεγονός η νέα, ως προς Y, εξίσωση είναι πάλι µια εξίσωση Schrödinger µε ένα νέο δυναµικό V (x) που δεν εξαρτάται από το λ όπως απαιτείται. ιότι, βέβαια, αν το µ στην (1.35) ήταν πάλι το ίδιο το λ η λύση u θα εξαρτιόταν από αυτό θα ήταν δηλαδή u = u(x, λ) οπότε το ίδιο θα συνέβαινε και µε το νέο δυναµικό (1.34). Θα ήταν V = V (x, λ) και η Y + (λ V (x, λ))y = 0 δεν θα ήταν πλέον µια εξίσωση ιδιοτιµών τύπου Schrödinger. Λόγω της µεγάλης σηµασίας τους θα συνοψίσουµε τα προηγούµενα αποτελέσµατα που θα τα επικαλούµαστε στο εξής υπό τον συλλογικό τίτλο ο µετασχη- µατισµός Darboux στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 1.1 Ο µετασχηµατισµός Darboux y + (λ v)y = 0 Y + (λ V )Y = 0 ( ) Y = y u u u y, V = v 2 u u + (µ v)u = 0

y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) y(x) = g(x)y (x), (1.2) gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)

y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) y(x) = g(x)y (x), (1.2) gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3) κ ε φ ά λ α ι ο 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηµατισµοί σε δευτεροτάξιες γραµµικές εξισώσεις: Η κανονική µορφή Ξεκινάµε από την τυπική µορφή µιας

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ SECTION 0 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. Ορισµοί Συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ Ε) καλείται µια εξίσωση της µορφής f [y (n), y (n ),..., y'', y', y, x] 0 όπου y', y'',..., y (n ), y (n) είναι οι παράγωγοι

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2)

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Ι ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ «ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ» ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Περιεχοµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0 Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους

Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα