ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ"

Transcript

1

2 ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ªÈ Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ó ÙËÛË E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ I Ú ÙÈÎ ˆÚ ÁÎÚËÙÈÎ EÓÒÛˆ AÌÂÚÈÎ HΡΑΚΛΕΙΟ 2011

3 Π ANEΠIΣTHMIAKEΣ E KΔOΣEIΣ K PHTHΣ IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ Hράκλειο Kρήτης, T.Θ. 1527, Tηλ , 2810, Fax: Aθήνα: Κλεισόβης 3, Tηλ , Fax: ΣEIPA: ΠANEΠIΣTHMIAKH BIBΛIOΘHKH ΘETIKΩN EΠIΣTHMΩN / ΦΥΣΙΚΗ Διευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς 2009: Πρώτη έκδοση: Στοιχειοθεσία σελιδοποίηση: Ηλεκτρονική σχεδίαση σχημάτων: Eκτύπωση: Σχεδίαση εξωφύλλου: Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Kρήτης Σεπτέμβριος 2009 Σοφία Βλάχου (Π.E.K.) Ιάκωβος Ουρανός ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Bάσω Aβραμοπούλου Θέμα εξωφύλλου Το δυναμικό Pöschl-Teller: Ένα επιλύσιμο υπόδειγμα μοριακού δυναμικού. ISBN

4 ÙÔ Ã ÓË Â Î È ÛÙÔ ÏÏÔ ÊÔÈÙËÙ ÌÔ appleô Ú Î Ó ÙÔ ÈÎfi ÙÔ ÚfiÌÔ. È ÛÂ fiûô ÙÔÓ Ó ËÙÔ Ó ÎfiÌË.

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xiii Ευχαριστίες xvii ΜΕΡΟΣ Α ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηματισμοί σε δευτεροτάξιες γραμμικές εξισώσεις: Η κανονική μορφή Η εξίσωση Schrödinger: Από ένα επιλύσιμο δυναμικό σε ένα άλλο: Ο μετασχηματισμός Darboux Υπερδιαπερατά δυναμικά: Η απλούστερη δυνατή εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux Ιδιόμορφα δυναμικά: Μια δεύτερη στοιχειώδης εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux Τα «αρχικά» επιλύσιμα δυναμικά. Ο μετασχηματισμός Liouville Σύνοψη των αποτελεσμάτων: Τα κλασικά επιλύσιμα δυναμικά

6 x ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΟΥΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΔΙΒΑΘΜΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΡΙΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η έννοια του βαθμού: Διβάθμιες και μονοβάθμιες εξισώσεις Το πρώτο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων: Συνθήκες ύπαρξης πολυωνυμικών λύσεων Ασυμπτωτικές συμπεριφορές και ιδιόμορφα σημεία: Τα τρία είδη διβάθμιων εξισώσεων δευτέρας τάξεως Το δεύτερο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων. Οι διβάθμιες εξισώσεις βήματος ένα και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις Ταχεία επίλυση των διβάθμιων εξισώσεων: Η μέθοδος της ασυμπτωτικής σύγκρισης Οι συναφείς τριβάθμιες εξισώσεις Παραδείγματα συναφών τριβάθμιων εξισώσεων Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων Schrödinger Η αρχή της ανάμιξης Και μια στοιχειώδης μέθοδος αναζήτησης των κλασικών επιλύσιμων δυναμικών ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX 1. Εισαγωγή: Ο μετασχηματισμός Darboux ως εργαλείο φασματικών «παρεμβάσεων» στην εξίσωση Schrödinger Οι φασματικές «δυνατότητες» του μετασχηματισμού Darboux: Η περίπτωση του απλού μετασχηματισμού Η περίπτωση του διπλού εκφυλισμένου μετασχηματισμού Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi ΜΕΡΟΣ Β ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Εισαγωγή: Η χρονεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger Ο χρονεξαρτημένος μετασχηματισμός Darboux: Το βασικό αποτέλεσμα και ο τρόπος χρήσης του Και μια στοιχειώδης εφαρμογή: Κατασκευή ενός ακριβώς επιλύσιμου χρονοπεριοδικού δυναμικού Και ένα παρεμπίπτον αποτέλεσμα: Η χρονική εξέλιξη των «συμπιεσμένων» ιδιοκαταστάσεων του αρμονικού ταλαντωτή σε κλειστή μορφή Απόδειξη του χρονεξαρτημένου μετασχηματισμού Darboux Μελέτη της γενικής περιπτώσεως Ê = 1 2 x 2 + x+á Το πρόβλημα των αρχικών τιμών ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ 1. Εισαγωγή Ακριβής λύση του εξαναγκασμένου κβαντικού ταλαντωτή Η λύση και το φυσικό της περιεχόμενο Μερική ανασκόπηση τυπολόγιο Ακριβής λύση της κβαντικής κίνησης σε ομογενές χρονομεταβαλλόμενο πεδίο δυνάμεων Ακριβής λύση του κβαντικού παραμετρικού ταλαντωτή. Ειδικοί «παλμοί» Προκαταρκτικά: Ποιο είναι το πρόβλημα Ο κλασικός παραμετρικός ταλαντωτής: Μια κλασική εξίσωση Schrödinger! Ο κβαντικός παραμετρικός ταλαντωτής: Ένας «άεργος παλμός» που αφήνει «ίχνη» Επεκτάσεις Παραλειπόμενα Βιβλιογραφία Βιβλιογραφικά σχόλια

8 ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ (1) 1. Η εξίσωση Schrödinger και η στατιστική της ερµηνεία: Μια γρήγορη εισαγωγή 2. Προβλήµατα 2.1 Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Προβλήµατα Κεφ Μαθηµατικά συµπληρώµατα 3.1 Μετασχηµατισµοί που διατηρούν τη µορφή µιας διαφορικής εξίσωσης 3.2 ιβάθµιες εξισώσεις και ακριβής επιλυσιµότητα: Γενική συζήτηση και βιβλιογραφικές αναφορές 3.3 Η συνάρτηση Γάµµα 3.4 Περιοδικά δυναµικά: Το θεώρηµα Floquet-Bloch. 3.5 Χρονοπεριοδικά δυναµικά 4. Άεργοι παλµοί σε δικαταστασιακά συστήµατα 5. Ακριβώς επιλύσιµα δυναµικά στη µονοδιάστατη εξίσωση Dirac 6. Οι λύσεις των κλασικών επιλύσιµων δυναµικών 7. Χρονεξαρτηµένα αναλλοίωτα 8. Ο µετασχηµατισµός Darboux και η έννοια της υπερσυµµετρίας 9. Πειραµατικές πλευρές 10. Βιβλιογραφική ενηµέρωση (1) Θα είναι διαθέσιµο στην ιστοσελίδα του βιβλίου (www.cup.gr) ένα εύλογο διάστηµα µετά την κυκλοφορία του και θα συνεχίσει να εµπλουτίζεται µε βιβλιογραφικές αναφορές καί ό,τι άλλο κρίνεται αναγκαίο για ενηµέρωση του αναγνώστη. Αυτή τη στιγµή είναι αναρτηµένα τα τµήµατα 2.1, 2.2, 3.1, 3.2, 3.3 και 3.4 και συνιστάται στον αναγνώστη να τα «κατεβάσει».

9 ... και ένας Ο ΗΓΟΣ στα πιο «ιδιάζοντα σηµεία» του βιβλίου («Παράξενα δυναµικά» ή «παράξενες λύσεις» σε συνηθισµένα δυναµικά) 1. Υπερδιαπερατά δυναµικά: Πηγάδια δυναµικού που δεν ανακλούν το προσπίπτον σωµατίδιο οποιαδήποτε κι αν είναι η ενέργειά του Σελίδες 10-14, Δυναµικά µε συνεχές φάσµα δέσµιων καταστάσεων: Ποια είναι και γιατί έχουν αυτή την «τρελή» ιδιότητα Σελίδες Δυναµικά µε δέσµιες καταστάσεις στο συνεχές: Ένα συγκεκρι- µένο παράδειγµα και πώς κατασκευάζεται Σελίδες Δυναµικά ισοφασµατικά προς τον αρµονικό ταλαντωτή: Μέθοδος κατασκευής και ένα παράδειγµα Σελίδες Κυµατοπακέτα που «µαζεύονται» πριν αρχίσουν να απλώνουν: Πώς κατασκευάζονται ώστε να έχουν αυτή την ιδιότητα Σελίδες Η.Σ. 6. Κβαντικός συντονισµός: Ένα ακριβώς επιλύσιµο µοντέλο «αλλιώτικο από τ άλλα» Σελίδες Η.Σ. ( ) Η.Σ. = Ηλεκτρονικό Συµπλήρωµα

10 xiv Ο ΗΓΟΣ 7. Χρονική εξέλιξη χωρίς ανάπτυγµα σε «στάσιµες καταστάσεις»: Ένα νέο είδος πλήρων βάσεων για τον υπολογισµό της χρονικής εξέλιξης Σελίδες , Ακριβώς επιλύσιµα χρονοπεριοδικά δυναµικά: Περιοδικές προσθήκες στον αρµονικό ταλαντωτή που δεν προκαλούν συντονισµό. Μελέτη του θεωρήµατος Floquet Σελίδες Η.Σ. 9. Άεργοι παλµοί: Χρονεξαρτηµένες παραβολικές διαταραχές στον αρµονικό ταλαντωτή που δεν εκτελούν έργο, δηλαδή δεν προκαλούν κβαντικές µεταβάσεις Σελίδες Η.Σ. 10. Η κλασική εξίσωση Schrödinger: Ο κλασικός παραµετρικός ταλαντωτής ως µια εξίσωση Schrödinger σε ένα κατάλληλο «δυναµικό» Σελίδες

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Παρά την αναµφισβήτητη ραγδαία πρόοδο στις αριθµητικές µεθόδους επίλυσης της εξισώσεως Schrödinger οι οποίες καλύπτουν πλέον και τα πιο πολύπλοκα κβαντικά συστήµατα (από τα µεγάλα µόρια έως και τα άµορφα στερεά) εντούτοις η ανάγκη για ακριβώς επιλύσιµα µοντέλα κάθε άλλο παρά έχει εκλείψει. Αντιθέτως µάλιστα: Η αλµατώδης επίσης πρόοδος σε τεχνητά κβαντικά συστήµατα όπως, π.χ., τα κβαντικά συµπυκνώµατα και οι σχετικές µαγνητικές παγίδες, οι κβαντικές «τελείες», οι ιοντικές παγίδες τύπου Paul κ.λπ. διαµορφώνει πλέον µια νέα κατάσταση στο πλαίσιο της οποίας περίπου κάθε εξιδανικευµένο κβαντικό σύστηµα µπορεί να πραγµατοποιηθεί πειραµατικά. Σε αυτό το πλαίσιο τα ακριβώς επιλύσι- µα κβαντοµηχανικά δυναµικά ιδίως εκείνα µε ασυνήθιστες ιδιότητες αποκτούν ένα ανανεωµένο ενδιαφέρον. Ενώ παραµένει, βέβαια, η παλιά ανάγκη για χρήση των ακριβώς επιλύσιµων δυναµικών ως πρότυπων συστηµάτων για τη βαθύτερη ποιοτική κατανόηση της κβαντικής συµπεριφοράς σε µια διαρκώς διευρυνόµενη ποικιλία συνθηκών και καταστάσεων. Μια ανάγκη εξίσου σηµαντική στην έρευνα όσο και στη διδασκαλία. Το αντικείµενο του βιβλίου είναι, βεβαίως, προφανές από τον τίτλο του: Η συστη- µατική αναζήτηση και καταγραφή όπου αυτό είναι δυνατόν των κβαντοµηχανικών δυναµικών για τα οποία η εξίσωση Schrödinger µπορεί να επιλυθεί ακριβώς. Στην πραγµατικότητα το αντικείµενό µας θα είναι λίγο πιο περιορισµένο. Θα αφορά µόνο την κατηγορία των µονοδιάστατων δυναµικών η οποία περιλαµβάνει βεβαίως και τριδιάστατα προβλήµατα µε κεντρικά δυναµικά, για τα οποία η αρχική τριδιάστατη εξίσωση Schrödinger ανάγεται σε µια µονοδιάστατη εξίσωση ως προς τη µεταβλητή r. Όµως, από µια άλλη πλευρά, ο στόχος του βιβλίου θα είναι ευρύτερος από τον παραπάνω. εν θα περιοριστούµε µόνο στην αναζήτηση των επιλύσιµων δυναµικών που δεν εξαρτώνται από το χρόνο (χρονανεξάρτητα δυναµικά) αλλά και εκείνων που εξαρτώνται από αυτόν (χρονεξαρτηµένα δυναµικά) και τα οποία απαιτούν µια διαφορετική µεθοδολογία αναζήτησης, αφού τότε η εξίσωση που πρέπει να λύσουµε δεν είναι η χρονανεξάρτητη αλλά η χρονεξαρτηµένη εξίσωση Schrödinger.

12 xvi ΠΡΟΛΟΓΟΣ Εν όψει των παραπάνω, τα πέντε κεφάλαια του βιβλίου χωρίζονται φυσιολογικά σε δύο µέρη. Το πρώτο µέρος (κεφάλαια 1 έως 3) είναι αφιερωµένο στα χρονανεξάρτητα δυναµικά και το δεύτερο (κεφάλαια 4 και 5) στα χρονεξαρτηµένα επιλύσιµα δυναµικά. Προκειµένου να κρατηθεί µικρός ο όγκος του βιβλίου, ένας αριθµός ειδικών θε- µάτων έχει «απωθηθεί» στο ηλεκτρονικό του συµπλήρωµα (βλ. είτε υπό µορφή καθοδηγηµένων προβληµάτων για λύση από τον αναγνώστη, είτε υπό µορφή κατάλληλων παραρτηµάτων. Στο ηλεκτρονικό συµπλήρωµα περιλαµβάνεται επίσης και µια σύντοµη εισαγωγή στην εξίσωση Schrödinger και τη στατιστική της ερµηνεία, για όσους από τους αναγνώστες δεν έχουν καµιά προηγούµενη σχετική γνώση. Οι απαραίτητες εξηγήσεις δίνονται όµως και στο ίδιο το κείµενο όπου αυτό είναι αναγκαίο οπότε το βιβλίο είναι, στην πραγµατικότητα, τελείως αύταρκες. Τα µαθηµατικά προαπαιτούµενα του βιβλίου είναι επίσης πολύ λίγα. Στο µεγαλύτερό τους µέρος καλύπτονται επαρκώς από ένα προπτυχιακό µάθηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, αν και ένα µάθηµα µερικών διαφορικών εξισώσεων µε έµφαση στις µερικές διαφορικές εξισώσεις της µαθηµατικής φυσικής και τα προβλήµατα συνοριακών τιµών θα ήταν επίσης χρήσιµο. Το βιβλίο προϋποθέτει όµως µαθηµατική ωριµότητα και, κυρίως, ένα γνήσιο ενδιαφέρον για το θέµα και τις «απολήξεις» του. Και από αυτή την πλευρά το πιθανό κοινό του είναι αρκετά περιορισµένο: Αποτελείται από προχωρηµένους προπτυχιακούς ή µεταπτυχιακούς φοιτητές φυσικής και µαθηµατικών µε κλίση προς τη θεωρητική φυσική και, βεβαίως, από πανεπιστηµιακούς δασκάλους µε εκπαιδευτικό ή ερευνητικό ενδιαφέρον για το θέµα. Προς διευκόλυνση των αναγνωστών του που προσβλέπουν σε µια γρήγορη πρόσβαση στα θέµατα που τους ενδιαφέρουν, το βιβλίο έχει γραφτεί έτσι ώστε µια ποικιλία «αναγνωστικών διαδροµών» να είναι δυνατή. Το κοινό προαπαιτούµενο για κάθε «διαδροµή» είναι το Κεφ. 1. Εκεί θα βρει ο αναγνώστης τις πιο βασικές ιδέες και τεχνικές όλου του βιβλίου π.χ., τους µετασχηµατισµούς Darboux και Liouville και επίσης µια συστηµατική καταγραφή όλων των «κλασικών» επιλύσιµων δυναµικών. Εκεί θα βρει επίσης ως αποτέλεσµα της εφαρµογής του µετασχηµατισµού Darboux την πρώτη γενεά «απογόνων» του µηδενικού δυναµικού µε εξέχον παράδειγµα το υπερδιαπερατό ή διαφανές δυναµικό Bargmann. Από εκεί και πέρα οι επιλογές είναι πολλές. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για την περαιτέρω µελέτη του µετασχηµατισµού Darboux και των δυνατοτήτων που εµπεριέχει για την πραγµατοποίηση µιας ποικιλίας φασµατικών παρεµβάσεων σε ένα δεδοµένο δυναµικό µπορεί να προχωρήσει κατευθείαν στη µελέτη του Κεφ. 3 και

13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ xvii από εκεί συνέχεια στο Κεφ. 4, αν η επέκταση του µετασχηµατισµού Darboux σε χρονεξαρτηµένα προβλήµατα ανήκει στα ενδιαφέροντά του. Η µελέτη των Κεφ. 4 και 5 είναι επίσης δυνατή κατευθείαν µετά το Κεφ. 1 και αυτή είναι η «διαδροµή» που συνιστάται σε όσους ενδιαφέρονται για µια γρήγορη πρόσβαση στα χρονεξαρτηµένα επιλύσιµα δυναµικά και τις πιθανές εφαρµογές τους. Τέλος, το Κεφ. 2 είναι υποχρεωτικό για όσους θέλουν να εκτεθούν σε µια πιο συστηµατική θεώρηση του προβλήµατος της ακριβούς επιλυσιµότητας αλλά και στην ανάπτυξη µεθόδων ταχείας επίλυσης της εξισώσεως Schrödinger για όλα τα «κλασικά» επιλύσιµα δυναµικά. Όµως τα ακριβώς επιλύσιµα δυναµικά παρουσιάζουν ενδιαφέρον και από µια πιο ειδική σκοπιά. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγονται και ορισµένα µε πολύ παράξενες ιδιότητες που, µερικές φορές, έρχονται σε ευθεία αντίθεση µε τις πιο εδραιωµένες αντιλήψεις µας για το τι µπορεί και τι δεν µπορεί να συµβεί σε ένα κβαντικό σύστηµα. Λόγω της ιδιαίτερης σηµασίας τους αυτά τα «παράξενα δυναµικά», ή οι «παράξενες λύσεις» σε συνηθισµένα δυναµικά, παρουσιάζονται µαζί µε τις κατάλληλες παραποµπές στις σχετικές σελίδες του βιβλίου στον «οδηγό» που ακολουθεί τα περιεχόµενά του. Αποµένει να ειπωθούν λίγα πράγµατα και για την επίσης «παράξενη» µικρή ιστορία τούτου του βιβλίου. Για να το πω εξαρχής χωρίς αµήχανες εισαγωγές: Κάθε µικρό ή µεγαλύτερο εύρηµα που περιέχεται εδώ είναι καρπός µιας πολύ προσωπικής και µακρόχρονης ενασχόλησης µε το πρόβληµα της ακριβούς επιλυσιµότητας των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε µεταβλητούς συντελεστές και ειδικότερα της εξισώσεως Schrödinger. Η αναζήτηση αυτή οδήγησε αρχικά στην καίρια έννοια των διβάθµιων και των συναφών τριβάθµιων εξισώσεων (1) και λίγο µετά στη διατύπωση του προβλήµατος της κρυπτοεπιλυσιµότητας (1) για να κορυφωθεί στο διάστηµα εκέµβριος-ιανουάριος µε τη µελέτη των µετασχηµατισµών που περιέχουν και την παράγωγο της µετασχηµατιζόµενης συνάρτησης και την εισαγωγή αυτού που αποκαλείται σήµερα µετασχηµατισµός Darboux στη χρονανεξάρτητη ή τη χρονεξαρτηµένη εκδοχή του. Όλα τα βασικά στοιχεία αυτής της δουλειάς αποτυπώθηκαν «ζωντανά» σε ένα γράµµα που άρχισε να γράφεται τον εκέµβριο του 1981 µε αποδέκτη τον συνάδελφο και στενό φίλο Πέτρο ήτσα και εξελίχθηκε σε ένα «ηµερολόγιο εργασίας» εκτάσεως 142 σελίδων και ενός «παραρτήµατος» άλλων 35(!) όπου καταγράφονται όλες οι τροπές του θέµατος από τα αρχικά ερωτήµατα και τις αλλεπάλληλες «µεταµορφώσεις» τους, έως την ευτυχή τους κατάληξη στο µετασχη- (1) Σ. Τραχανάς, Κβαντοµηχανική Ι (1η έκδοση, 1981), Κεφ. 5, και Σ. Τραχανάς, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (1η έκδοση, 1989), Κεφ. 9, 10 και Κεφ. 5, σελ. 185.

14 xviii ΠΡΟΛΟΓΟΣ µατισµό που απεικονίζει µια χρονανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε µια άλλη, και την επέκτασή του στη χρονεξαρτηµένη περίπτωση. Για να διαπιστωθεί όµως λίγο αργότερα όχι χωρίς έντονα συναισθήµατα απογοήτευσης ότι ο µετασχη- µατισµός αυτός είχε ανακαλυφθεί από τον Darboux ήδη από το 1882 (2) και, αφού παρέµεινε τελείως άγνωστος, ανασύρθηκε στην επιφάνεια µεταξύ άλλων και από τους Deift και Trubowitz για να χρησιµοποιηθεί ως εργαλείο µελέτης του αντίστροφου προβλήµατος σκέδασης στην κλασική πλέον εργασία τους Inverse scattering on the line. (3) Το 1982 η δική µου δουλειά πάνω στο θέµα παρουσιάστηκε σε µια διήµερη συνάντηση µε τους Λευτέρη Οικονόµου και Κώστα Σούκουλη, στα τότε εργαστήρια Exxon στο New Jersey, χωρίς εντούτοις η ενθάρρυνση που πήρα να µε αποτρέψει από την απόφαση που ήδη είχα λάβει, να εγκαταλείψω την περαιτέρω ενασχόλησή µου µε το θέµα. Το ενδιαφέρον µου αναζωπυρώθηκε όµως γύρω στο 2001, (4) όταν ήρθε στα χέρια µου µε φροντίδα του ίδιου καλού φίλου ένα µεγάλο σχετικό άρθρο ανασκόπησης (5) και πείστηκα ότι η αρχική µου προσέγγιση στο ζήτηµα συνέχιζε να είναι επίκαιρη. Αν όχι για τα επιµέρους ευρήµατά της που τα περισσότερα δεν ήταν πια πρωτότυπα όσο για τη βασική απλότητα των ιδεών και µεθόδων της και τη φυσιολογική τους ένταξη σε ένα µεγαλύτερο πρόβληµα. Το πρόβληµα της ακριβούς επιλυσιµότητας των γραµµικών διαφορικών εξισώσεων µε µεταβλητούς συντελεστές. Πέρα από την ευρετική γονιµότητα που πιστεύω ότι έχει αυτή η προσέγγιση και η οποία µου έγινε ξανά εµφανής από τα πολλά νέα ερωτήµατα που ανέκυψαν κατά τη συγγραφή του βιβλίου και δεν συζητώνται στην παρούσα του έκδοση το βασικό της πλεονέκτηµα είναι ότι βγάζει το θέµα από το ασφυκτικό (όπως πιστεύω) αλγεβρικό πλαίσιο εντός του οποίου συνήθως εξετάζεται και το φέρνει στην περιοχή της στοιχειώδους ανάλυσης δηλαδή των διαφορικών εξισώσεων όπου και φυσιολογικά ανήκει. Και χάρις σε αυτή την «αλλαγή πλαισίου» πιστεύω ότι το θέµα γίνεται, εκτός των άλλων, και «πλήρως διδάξιµο» ακόµα και στο βασικό προπτυχιακό επίπεδο. Ελπίζεται έτσι ότι η έκδοση του βιβλίου κυρίως, βέβαια, µια αγγλική του έκδοση θα βοηθήσει τους ενδιαφερόµενους δασκάλους, της κβαντοµηχανικής ή των διαφορικών εξισώσεων, να εµπλουτίσουν τη διδασκαλία τους µε αρκετά από τα θέµατα των Κεφ. 1, 5, ή 2. Ενώ αποµένει να κριθεί στην πράξη (2) G. Darboux, C.R. Academy Sc. (Paris) 94 (1882) (3) P. Deift and E. Trubowitz, Commun. Pure Appl. Math. 32, 121 (1979). (4) Χωρίς εντούτοις να υπάρξει συνέχεια, πέραν µιας βραχύχρονης εµπλοκής µου µε αυτό, η οποία απέδωσε κάποια από τα επιλύσιµα χρονεξαρτηµένα δυναµικά των Κεφ. 4 και 5. (5) F. Cooper, A. Khare and U. Sukhatme, Phys. Rep.251, 267 (1995).

15 και η ερευνητική γονιµότητα αυτού του πλαισίου: Αν µπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέροντα νέα ερωτήµατα ή σε ενδιαφέρουσες νέες απαντήσεις στα παλιά. Σε ένα πιο προσωπικό επίπεδο, αποµένει η χαρά ενός περιπετειώδους ταξιδιού που ίσως να µην τέλειωσε ακόµη. Στέφανος Τραχανάς Ίδρυµα Τεχνολογίας και Έρευνας Ηράκλειο Κρήτης, Αύγουστος 2009 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Παρά το γεγονός ότι η βασική δουλειά πίσω από αυτό το βιβλίο παρήχθη τον χρόνο που παρήχθη υπό ιδιάζουσες συνθήκες επιστηµονικής αυτοαποµόνωσης, εντούτοις οι οφειλές δεν είναι αµελητέες. Πέρα από τα πρόσωπα που ανέφερα πριν και των οποίων η βοήθεια (επιστηµονική και άλλη) υπήρξε ανεκτίµητη η αλληλεπίδρασή µου µε τον Νίκο Παπανικολάου είναι επίσης σηµαντική και µε διαχρονικό χαρακτήρα. Περιλαµβάνει πολλές συζητήσεις πάνω σε ζητήµατα αντίστροφης σκέδασης και ολοκληρώσιµων εξισώσεων ζητήµατα πάνω στα οποία ο ίδιος έχει µια αναγνωρισµένη ειδικότητα και επίσης συχνές ανταλλαγές απόψεων πάνω σε ορισµένα «ειδικά δυναµικά» που κίνησαν το ενδιαφέρον µου και µελετήθηκαν λεπτοµερώς ενώ γραφόταν το βιβλίο. Όπως και τα προηγούµενα βιβλία µου έτσι και τούτο στοιχειοθετήθηκε «διά χειρός» Σοφίας Βλάχου σε χρόνο ρεκόρ για τη δεδοµένη πυκνότητα των µαθη- µατικών του τύπων ενώ τα σχήµατα είναι ξανά έργο του, µέχρι πρόσφατα, φοιτητή του φυσικού τµήµατος Ιάκωβου Ουρανού. Ένας άλλος φοιτητής του φυσικού τµήµατος ο µόλις δευτεροετής Μάνος Ξυπάκης ανέλαβε (κυρίως για εκπαιδευτικούς λόγους) να επαναλάβει όλους τους υπολογισµούς του βιβλίου και να εντοπίσει τυχόν λάθη. Και απέδειξε, «παρεµπιπτόντως», ότι όντως το βιβλίο µπορεί να διαβαστεί επωφελώς από έναν καλό προπτυχιακό φοιτητή. Τους ευχαριστώ όλους και από εδώ. εδοµένου ακόµα ότι δεν χρησιµοποίησα καµιά επαγγελµατική βοήθεια για τη φιλολογική ή την τυπογραφική επιµέλεια του βιβλίου, όλα τα λάθη βαρύνουν αποκλειστικά εµένα. Στέφανος Τραχανάς

16

17 ΜΕΡΟΣ Α ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ

18

19 κ ε φ ά λ α ι ο 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE 1. Μετασχηµατισµοί σε δευτεροτάξιες γραµµικές εξισώσεις: Η κανονική µορφή Ξεκινάµε από την τυπική µορφή µιας δευτεροτάξιας γραµµικής (και οµογενούς) εξίσωσης y + P (x)y + Q(x)y = 0 (1.1) στην οποία ο συντελεστής της δευτέρας παραγώγου έχει γίνει µονάδα διαιρώντας µε τον συντελεστή που τυχόν υπήρχε. Προκειµένου τώρα να µετασχηµατίσου- µε την (1.1) σε µια άλλη (ενδεχοµένως επιλύσιµη) µορφή, τα µόνα εργαλεία που έχουµε στη διάθεσή µας είναι οι αλλαγές εξαρτηµένης και ανεξάρτητης µεταβλητής: y = f(y ) και t = t(x) αντίστοιχα. εδοµένου όµως ότι η εξίσωσή µας είναι γραµµική και οµογενής, και θέλουµε να παραµείνει τέτοια (διότι, βεβαίως, οι µη γραµµικές εξισώσεις είναι πολύ δυσκολότερες) οι µόνες αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που έχει νόηµα να χρησιµοποιήσουµε είναι εκείνες µε τη γραµµική και οµογενή µορφή y(x) = g(x)y (x), (1.2) όπου g(x) µια αυθαίρετη συνάρτηση που εναπόκειται σε µας να επιλέξουµε, ανάλογα µε τον επιδιωκόµενο σκοπό. Εισάγοντας τη (1.2) στην (1.1) παίρνουµε gy + (P g + 2g )Y + (g + P g + Qg)Y = 0, (1.3)

20 4 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι από όπου είναι φανερό ότι αν διαλέξουµε το g ώστε να είναι ( P g + 2g = 0 g = exp 1 ) P (x) dx, (1.4) 2 η (1.3) θα καταλήγει στη λεγόµενη κανονική µορφή Y + I(x)Y = 0, (1.5) στην οποία ο συντελεστής της πρώτης παραγώγου έχει µηδενιστεί, ενώ ο συντελεστής του Y έχει πάρει όπως είναι εύκολο να δείτε τη µορφή I(x) = Q(x) 1 2 P 1 4 P 2. (1.6) Θα δείξουµε τώρα ότι η αναγωγή σε κανονική µορφή δηλαδή µια µορφή χωρίς πρώτη παράγωγο είναι δυνατή και µε χρήση µιας αλλαγής εξαρτηµένης µεταβλητής t = t(x) για µια κατάλληλη t(x). Πράγµατι, κάνοντας µια τέτοια αλλαγή στην (1.1) θα έχουµε τη νέα, ως προς t, εξίσωση ( ) t 2 ÿ + ( t + P t )ẏ + Qy = 0, (1.7) που έρχεται σε κανονική µορφή αν η συνάρτηση t = t(x) εκλεγεί έτσι ώστε t + P t = 0 t(x) = e R P (x)dx dx, (1.8) οπότε η (1.7) καταλήγει στην ( Q(x) ÿ + e 2 R P (x)dx ) y = 0 (1.9) x=x(t) όπου, βέβαια, x = x(t) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της t = t(x) όπως αυτή ορίζεται από την (1.8). Για λόγους που θα γίνουν σύντοµα κατανοητοί το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη είναι µια πολύ χρήσιµη τεχνική για την οποία πρέπει να πούµε δυο λόγια σε τούτη την εισαγωγή. Η βασική ιδέα είναι πολύ απλή: Να κάνουµε στην εξίσωση y + q(x)y = 0 (1.10) ( ) Επειδή θα τις χρησιµοποιούµε συχνά από εδώ και µπρος, σηµειώνουµε για διευκόλυνση του αναγνώστη τις σχέσεις y = t ẏ, y = t 2 ÿ + t ẏ, όπου y dy/dx και ẏ dy/dt.

21 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 πρώτα µια αλλαγή ανεξάρτητης µεταβλητής t = t(x) η οποία την «βγάζει» από την κανονική µορφή και εν συνεχεία να την επαναφέρουµε σε κανονική µορφή (διαφορετική όµως από την προηγούµενη) µε τη συνήθη αλλαγή εξαρτηµένης µεταβλητής y = gy. Και όπως µπορείτε να δείξετε µόνοι σας, το αποτέλεσµα θα είναι η νέα, ως προς t, εξίσωση Ÿ (t) + Q(t)Y (t) = 0, (1.11) όπου η σχέση της παλιάς προς τη νέα εξαρτηµένη µεταβλητή θα δίνεται από τον τύπο Y (t) = ẋ(t) 1 y ( x(t) ) (1.12) µε x = x(t) ή t = t(x) τη συνάρτηση που συνδέει τις ανεξάρτητες µεταβλητές x και t και η οποία µπορεί να είναι τυχούσα. Όσο για τη σχέση των Q(t) και q(x) αυτή θα περιγράφεται από τον τύπο όπου {x, t} η παράσταση {x, t} = ορ Q(t) = qẋ 2 + {x, t}, (1.13) 1 2 (ẍ ẋ ) 1 4 (ẍ ) 2, (1.14) που είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως η σβαρτσιανή της συνάρτησης x = x(t) και είχε µελετηθεί από τους µαθηµατικούς στο πλαίσιο της θεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων, για την πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητά της να παραµένει αναλλοίωτη στους µετασχηµατισµούς Möbius w = (az + b)/(cz + d). Να είναι δηλαδή { } ax + b {x, t} = cx + d, t, (1.15) όπου a, b, c, d αυθαίρετες (και µιγαδικές εν γένει) σταθερές. Όµως οι αλλαγές εξαρτηµένης µεταβλητής που µπορούµε να πραγµατοποιήσουµε σε µια γραµµική (και οµογενή) εξίσωση δεν περιορίζονται στη µορφή (1.2). Μπορούν να συµπεριλάβουν και τη γενικότερη γραµµική και οµογενή απεικόνιση ẋ Y = Ly (1.16) στην οποία οι δύο εξαρτηµένες µεταβλητές y(x) και Y (x) συνδέονται όχι απλώς µέσω της δράσης µιας συνάρτησης g(x) ή 1/g(x) αλλά ενός γραµµικού διαφορικού τελεστη L όπως, παραδείγµατος χάριν, του L = a(x)d 2 + b(x)d + c(x)

22 6 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι για τον οποίο θα είναι Y = ay + by + cy. (1.17) εδοµένου όµως ότι η y ικανοποιεί εξ υποθέσεως µια δευτεροτάξια εξίσωση της µορφής ( ) y + p(x)y + q(x)y = 0 (1.18) θα είναι y = py qy και η (1.17) θα ξαναγράφεται ως Y = (b ap)y + (c aq)y A(x)y + B(x)y (AD + B)y το οποίο σηµαίνει ότι για τη διερεύνηση των µετασχηµατισµών (1.16) µπορούµε να περιοριστούµε σε πρωτοτάξιους διαφορικούς τελεστές L, οπότε η (1.16) θα γράφεται ως Y = (AD + B)y A(x)y + B(x)y (1.19) ή, ισοδύναµα, ως Y = A (y + BA ) y A(y + fy) f = B/A. (1.20) εδοµένου όµως ότι οι µετασχηµατισµοί του τύπου Y = A(x)y έχουν ήδη µελετηθεί εξίσωση (1.2) µπορούµε να αγνοήσουµε τον παράγοντα A(x) στην (1.20) και να περιοριστούµε µόνο στη µελέτη του γραµµικού µετασχηµατισµού Y = (D + f)y = y + fy. (1.21) Παραλείποντας µια γενικότερη διερεύνηση των επιπτώσεων του µετασχηµατισµού (1.21) σε µια τυχούσα δευτεροτάξια εξίσωση, θα δείξουµε τώρα ότι µε χρήση αυτού του µετασχηµατισµού και µε κατάλληλη εκλογή της συναρτήσεως f µπορούµε να επιτύχουµε τη µετάβαση y + q(x)y = 0 Y + Q(x)Y = 0, (1.22) δηλαδή το πέρασµα από µια κανονική µορφή σε µια άλλη µε την ίδια ανεξάρτητη µεταβλητή x. Σηµειώστε όµως ότι τώρα δεν έχουµε την ευχέρεια να εκφράσουµε ( ) Σηµειώστε ότι στην (1.18), αντίθετα µε την (1.1), χρησιµοποιούµε για τους συντελεστές της εξίσωσης τα πεζά γράµµατα p και q αντί των κεφαλαίων P και Q που είχαν χρησιµοποιηθεί αρχικά. Και ο λόγος είναι απλός. Εδώ θέλουµε να κρατήσουµε τα κεφαλαία γράµµατα P και Q για τη µετασχηµατισµένη εξίσωση ως προς Y, όπως ήδη κάναµε στην περίπτωση της εξίσωσης (1.10).

23 1. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΕ ΕΥΤΕΡΟΤΑΞΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 το y συναρτήσει του Y παρά µόνο µε χρήση ολοκληρωµάτων οπότε η διαδικασία µετασχηµατισµού της αρχικής εξίσωσης y + qy = 0 δεν µπορεί να γίνει µε αντικατάσταση όπως παλιά π.χ., όπως µε την αλλαγή (1.2) αλλά µε αντικατάσταση του Y = y + fy, στην τελική εξίσωση Y + QY = 0 µε τον σκοπό να εκλεγούν κατάλληλα τόσο το Q όσο και η συνάρτηση µετασχηµατισµού f ώστε η εξίσωση ως προς y που θα προκύψει να συµπίπτει µε την αρχική. Σηµειώστε ακό- µα ότι στη διαδικασία αυτή θα εµφανιστεί και η τρίτη παράγωγος τής y η οποία θα πρέπει να επανεκφραστεί µέσω χαµηλότερων παραγώγων µε χρήση της εξίσωσης που ικανοποιεί η y. ηλαδή y + qy = 0 y = (qy) = (qy + q y). Εκτελώντας το παραπάνω «σχέδιο» θα έχουµε Y + QY = (y + fy) + Q(y + fy) = y + (fy) + Q(y + fy) = (qy + q y) + (fy + 2f y + f y) + (Qy + Qfy) = fy + ( q + 2f + Q)y + ( q + f + Qf)y = 0 και διαιρώντας µε f παίρνουµε την εξίσωση y + Q + 2f q f y + (Qf + f q ) y = 0, f που θα συµπίπτει µε την αρχική (y + qy = 0) µόνο αν είναι Q + 2f q = 0 Q = q 2f (1.23) f και Qf + f q = q, (1.24) f οπότε λόγω και της (1.23) η (1.24) θα γράφεται τελικά ως f 2ff q = 0 (f f 2 q) = 0 f f 2 q = c = σταθερά. (1.25) Όµως η (1.25) είναι µια εξίσωση τύπου Ricatti ( ) που µετατρέπεται σε µια γραµ- µική δευτεροτάξια εξίσωση µε τον µετασχηµατισµό ( ) f = u u (1.26) Έτσι αποκαλούνται οι εξισώσεις της µορφής y = ay 2 + by + c των οποίων το δεύτερο µέλος είναι ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο ως προς y µε συντελεστές a, b, c που υποτίθενται τυχούσες συναρτήσεις του x. Η ιδιαιτερότητα των εξισώσεων Ricatti έγκειται στο γεγονός ότι ανάγονται σε γραµµικές (2ας τάξεως) µε τον µετασχηµατισµό y = (1/a)(u /u) που τις φέρνει στη µορφή u (b + (a /a))u + acu = 0. Αποδείξτε το.

24 8 ΚΕΦ. 1 ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ Ι που όντως την µετατρέπει στη γραµµική εξίσωση u + (q + c)u = 0, (1.27) που είναι η ίδια µε την αρχική εξίσωση αλλά µε το q + c στη θέση του q και µε c µια τυχούσα σταθερά. Ενώ βέβαια, σύµφωνα µε τις (1.23) και (1.26), η µετασχη- µατισµένη µορφή της αρχικής εξίσωσης θα είναι η ( Y + q + 2 ( u u ) ) Y = 0. (1.28) 2. Η εξίσωση Schrödinger: Από ένα επιλύσιµο δυναµικό σε ένα άλλο: Ο µετασχηµατισµός Darboux Θα δείξουµε τώρα ότι το τελευταίο µας αποτέλεσµα, δηλαδή η απεικόνιση y + qy = 0 Y =y +fy Y + QY = 0, (1.29) µπορεί να χρησιµοποιηθεί άµεσα για την κατασκευή µιας άπειρης αλυσίδας ακριβώς επιλύσιµων δυναµικών δηλαδή ακριβώς επιλύσιµων εξισώσεων Schrödinger µε αφετηρία ένα από αυτά. Ξεκινάµε από την εξίσωση Schrödinger στη «µαθηµατική γραφή» y + ( λ v(x) ) y = 0, (1.30) την οποία προτιµήσαµε έναντι της «φυσικής» µορφής ψ + 2m 2 ( E V (x) ) ψ ψ + ( ɛ U(x) ) ψ = 0 (1.31) [ ɛ = 2mE/ 2, U(x) = 2mV (x)/ 2] για λόγους που θα γίνουν σύντοµα εµφανείς. Με την αντιστοιχία συµβόλων λ ɛ, y ψ το πέρασµα από τη µια µορφή στην άλλη είναι, βεβαίως, τετριµµένο, όπως το ίδιο ισχύει και για τη µετατροπή των αποτελεσµάτων στις συνήθεις µονάδες, που είναι θέµα καθαρής διαστατικής ανάλυσης, αφού (πέρα από την αλλαγή συµβόλων) η (1.30) προκύπτει από την (1.31) επιλέγοντας ένα σύστηµα µονάδων στο οποίο είναι = 2m = 1.

25 2. Η ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRÖDINGER: Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ DARBOUX 9 Αν εφαρµόσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου στην εξίσωση (1.30) δηλαδή για q(x) = λ v(x) θα έχουµε την απεικόνιση y + ( λ v(x) ) y = 0 Y + ( λ V (x) ) Y = 0, (1.32) όπου η σχέση της αρχικής (y) µε τη νέα (Y ) κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από τον τύπο Y = y u u y (1.33) και η σχέση του αρχικού (v) µε το νέο (V ) δυναµικό, από την ( u ) V (x) = v(x) 2, (1.34) u όπου η συνάρτηση µετασχηµατισµού u ικανοποιεί την εξίσωση u + (µ v)u = 0, (1.35) δηλαδή την αρχική εξίσωση Schrödinger, αλλά µε την τυχούσα παράµετρο µ στη θέση της αρχικής ιδιοτιµής λ. Και αυτό δηλαδή η αντικατάσταση του λ µε την τυχούσα παράµετρο µ οφείλεται προφανώς στο γεγονός ότι στην εξίσωση (1.27) εµφανίζεται και η τυχούσα σταθερά c που προστίθεται στην ιδιοτιµή λ (αφού q = λ v(x)) και τη µετατρέπει σε µια τυχούσα άλλη παράµετρο µ άσχετη πλέον µε το λ. Και είναι σηµαντικό να τονίσουµε εδώ ότι χάρις σε αυτό ακριβώς το γεγονός η νέα, ως προς Y, εξίσωση είναι πάλι µια εξίσωση Schrödinger µε ένα νέο δυναµικό V (x) που δεν εξαρτάται από το λ όπως απαιτείται. ιότι, βέβαια, αν το µ στην (1.35) ήταν πάλι το ίδιο το λ η λύση u θα εξαρτιόταν από αυτό θα ήταν δηλαδή u = u(x, λ) οπότε το ίδιο θα συνέβαινε και µε το νέο δυναµικό (1.34). Θα ήταν V = V (x, λ) και η Y + (λ V (x, λ))y = 0 δεν θα ήταν πλέον µια εξίσωση ιδιοτιµών τύπου Schrödinger. Λόγω της µεγάλης σηµασίας τους θα συνοψίσουµε τα προηγούµενα αποτελέσµατα που θα τα επικαλούµαστε στο εξής υπό τον συλλογικό τίτλο ο µετασχη- µατισµός Darboux στον ακόλουθο πίνακα. Πίνακας 1.1 Ο µετασχηµατισµός Darboux y + (λ v)y = 0 Y + (λ V )Y = 0 ( ) Y = y u u u y, V = v 2 u u + (µ v)u = 0

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2)

y(x) = g(x) Y (x), (1) y + P y + Qy = 0 (2) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Ι ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΟΥ ΙΑΤΗΡΟΥΝ ΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΚΡΙΒΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ «ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ» ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Περιεχοµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 4-5 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρέας Φ. Τερζής Πάτρα Γενάρης 5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΕΣ [ΠΙΝΑΚΕΣ]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Η Εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση

Κεφάλαιο 11. Η Εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση Κεφάλαιο 11. Η Εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση Εισαγωγικές Παρατηρήσεις Στο προηγούμενο κεφάλαιο είχαμε μια πρώτη επαφή με την εξίσωση του Schrödinger, σε μια διάσταση, και την «επίλυση» της για ένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x + 1 2 V (0)x 2 +.

F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x + 1 2 V (0)x 2 +. κ ε φ ά λ α ι ο 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Εισαγωγή Θα δείξουµε τώρα ότι ο µαθηµατικός φορµαλισµός που αναπτύξαµε στο προηγού- µενο κεφάλαιο και ο οποίος δίνει έµφαση στην αφηρηµένη αλγεβρική δοµή της κβαντικής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ 1 ο ΘΕΜΑ (1,5 Μονάδες) Στην παράδοση είχε παρουσιαστεί η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης «καθαρής συναγωγής» σε µία διάσταση, η µαθηµατική δοµή της οποίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε

Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε Παραδείγµατα σχέσεων διασποράς Παραπάνω, φαίνεται η απόκριση ενός διηλεκτρικού µέσου σε ηλεκτροµαγνητικό κύµα κυκλ. Συχνότητας ω. Παρατηρούµε ότι η πολωσιµότητα του µέσου εξαρτάται µε την εκφραση 2.42

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα