Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις"

Transcript

1 Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν στην ανάλυση µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ συνόλων πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών, µε ανάλογο τρόπο στην γραµµική άλγεβρα µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Τις συναρτήσεις που διατηρούν την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε τις βασικές ιδιότητες των γραµµικών απεικονίσεων και θα δούµε πως περιγράφονται µε την άλγεβρα των πινάκων. Στην µελέτη των γραµµικών απεικονίσεων οι πίνακες παίζουν κυρίαρχο ρόλο αφού, κάθε πίνακας ορίζει µια γραµµική απεικόνιση αλλά και κάθε γραµµική απεικόνιση µπορεί να παρασταθεί µε ένα πίνακα. Αρχικά δίνουµε τον ορισµό µιας γραµµικής απεικόνισης, κατόπιν ορίζουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις.στη συνέχεια προσεγγίζουµε τον πυρήνα και την εικόνα µε την βοήθεια γραµµικών συστηµάτων και δίνουµε το σηµαντικότερο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου που είναι η αντιστοιχία (ισοµορφία) µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων. Τέλος, χαρακτηρίζουµε τους ισοδύναµους και τους όµοιους πίνακες. 1 Συγγραφέας: Γιώργος Σαραφόπουλος

2 Σελίδα από Ορισµοί και παραδείγµατα...5 Εισαγωγικό παράδειγµα Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) Παραδείγµατα...7 Παράδειγµα Παράδειγµα...7 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) Παράδειγµα...11 Εισαγωγικά παραδείγµατα Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων) Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) Ορισµός (ισοµορφισµού)...15 Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού Θεώρηµα Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων)...17 Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση ) Παραδείγµατα...0 Παράδειγµα Παράδειγµα Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων Παραδείγµατα...4 Παράδειγµα Παράδειγµα...4 Παράδειγµα 3...5

3 Σελίδα 3 από 9 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Πυρήνας και εικόνα Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) Παραδείγµατα...30 Παράδειγµα Παράδειγµα...31 Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα ( οµή πυρήνα και εικόνας) Θεώρηµα Θεώρηµα ( της διάστασης) Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισοµορφισµού) Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισόµορφων διανυσµατικών χώρων) Παραδείγµατα...41 Παράδειγµα Παράδειγµα...4 Παράδειγµα Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Γραµµικές Απεικονίσεις και Γραµµικά Συστήµατα Θεώρηµα ( Πυρήνας και εικόνα της γραµµικής απεικόνισης L ) Θεώρηµα ( ιάσταση του χώρου λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)...47 Εισαγωγικό παράδειγµα Θεώρηµα ( Σύνολο λύσεων γραµµικού συστήµατος)...48 Παράδειγµα Παραδείγµατα...50 Παράδειγµα Παράδειγµα...51 Παράδειγµα 3...5

4 Σελίδα 4 από 9 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Πίνακες και Γραµµικές Απεικονίσεις Θεώρηµα ( Ύπαρξης πίνακα ) Ορισµός (Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις βάσεις) Παράδειγµα Εισαγωγικό παράδειγµα Παρατηρήσεις Ορισµός ( Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς διατεταγµένες βάσεις) Θεώρηµα (Συντεταγµένες εικόνας) Παράδειγµα Ορισµός (Πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διατεταγµένη βάση) Παράδειγµα Θεώρηµα (Πίνακας ταυτοτικής απεικόνισης) Θεώρηµα (Ισοµορφία διανυσµατικού χώρου γραµµικών απεικονίσεων και διανυσµατικού χώρου πινάκων) Παράδειγµα Θεώρηµα ( Πίνακας σύνθεσης) Πόρισµα (Πίνακας αντίστροφης)...69 Πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας µετάβασης Εισαγωγικό παράδειγµα Ορισµός (Πίνακας αλλαγής βάσης) Παράδειγµα Θεώρηµα (Συντεταγµένες διανύσµατος ως προς διαφορετικές διατεταγµένες βάσεις) Θεώρηµα (Αντίστροφος πίνακα αλλαγής βάσης) Παραδείγµατα...74 Παράδειγµα Παράδειγµα...76 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Ισοδύναµοι και όµοιοι πίνακες...81 Εισαγωγικό παράδειγµα...81

5 Σελίδα 5 από Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις) Ορισµός (Ισοδύναµοι πίνακες) Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις) Ορισµός ( Όµοιοι πίνακες) Παραδείγµατα...85 Παράδειγµα Παράδειγµα...86 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα Πόρισµα...91 Χαρακτηρισµός ισοδύναµων πινάκων...91 Χαρακτηρισµός όµοιων πινάκων...91 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις...9

6 Σελίδα 6 από Ορισµοί και παραδείγµατα Σε προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε την έννοια της απεικόνισης µεταξύ δύο συνόλων. Στην παράγραφο αυτή θα εισαγάγουµε µια ειδική µορφή απεικονίσεων µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, τις γραµµικές απεικονίσεις Μπορούµε να πούµε ότι µια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι γραµµική αν διατηρεί την δοµή του διανυσµατικού χώρου, δηλαδή αν µετασχηµατίζει το άθροισµα δύο διανυσµάτων σε άθροισµα των εικόνων τους και το βαθµωτό πολλαπλάσιο ενός διανύσµατος στο ίδιο βαθµωτό πολλαπλάσιο της εικόνας του. Ας δούµε όµως πρώτα ένα παράδειγµα. Εισαγωγικό παράδειγµα Θεωρούµε την απεικόνιση (συνάρτηση) f:, µε τύπο f (x) = ax (όπου a ένας πραγµατικός αριθµός). Παρατηρούµε ότι x,y f (x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay= f(x) + f(y) και λ, x f ( λx) = a( λx) = λ(ax) = λf(x) ηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: x,y, f (x+ y) = f(x) + f(y) και λ, x, f ( λx) = λ f(x) Μια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, για την οποία ισχύουν οι προηγούµενες ιδιότητες θα την λέµε γραµµική απεικόνιση Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) Έστω V,W δύο F-διανυσµατικοί χώροι (F = ή F = ). Μια απεικόνιση L:V και W θα λέγεται γραµµική απεικόνιση αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1) Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων u, του V ισχύει L( u + ) = L( u ) + L( ) ) Για κάθε βαθµωτό µέγεθος λ και για κάθε διάνυσµα u του V ισχύει Παρατηρήσεις: L( λu ) = λl( u ) α) Οι προηγούµενες συνθήκες 1) και ) του ορισµού ισοδυναµούν µε τη συνθήκη u, V, λ, µ F L( λ u + µ ) = λ L( u ) + µ L( )

7 Σελίδα 7 από 9 β) Στην περίπτωση που V = W, µια γραµµική απεικόνιση L:V V λέγεται και γραµµικός µετασχηµατισµός 8.1. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Η ταυτοτική απεικόνιση γραµµική. Πράγµατι, V 1 V :V V µε τύπο 1(u) u V =, για κάθε u V είναι u, V, λ, µ F V 1( λ u+ µ ) = λ u+ µ = λ 1(u) + µ 1() V Παράδειγµα Η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W µε τύπο ϑ (u) = 0W, για κάθε u V, είναι γραµµική. Πράγµατι, u, V, λ, µ F ϑ( λ u+ µ ) = 0 και W λϑ + µϑ = λ + µ = (u) () 0W 0W 0 W Παράδειγµα 3 ίνεται ο 3 πίνακας Αν σε κάθε διάνυσµα X 1 1 = x = του αντιστοιχίσουµε το διάνυσµα y x + y X = x y y 3 δηµιουργούµε µια απεικόνιση µε πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το. Την απεικόνιση αυτή θα την συµβολίσουµε µε L. ηλαδή, µε τύπο 3 L : Θα γράφουµε τα διανύσµατα του F ως πίνακες µε µία στήλη.

8 Σελίδα 8 από 9 L(X) = X Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική. 1 ος τρόπος: Αν x x X =,Y = y y στοιχεία του και λ έχουµε: και ος τρόπος: Αν x x y y x y x y x+ x ( + ) = = + = + y+ y L X Y L x x y y x y x y y y y + y x x = L + L y y λx+ λy x+ y λx L( λx) = L = λx λy λ x y λl( X λ y = = λ y y X,Y και λ, επειδή η απεικόνιση L : 3 ορίζεται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α L : 3, X X λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασµού πινάκων προκύπτει: και Εποµένως η L ( X Y ) ( X Y ) X Y L ( X ) L (Y ) είναι γραµµική. L + = + = + = + L( λ X) = ( λx) = λ(x) = λl(x) ) Παράδειγµα 4 Το προηγούµενο παράδειγµα γενικεύεται για κάθε πίνακα Α τύπου m µε στοιχεία από το F. ηλαδή αν µας δοθεί ένας πίνακας τύπου m µε στοιχεία από το F, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε πολλαπλασιασµό ( από τα αριστερά) µε τον µια γραµµική απεικόνιση µε τον τύπο L :F F m

9 Σελίδα 9 από 9 L(X) = X X = x x x. όπου ( ) 1 Παράδειγµα 5 a b Αν X 4 4 = διάνυσµα του, θα δείξουµε ότι η απεικόνιση f: 3 µε τύπο c d a+ b f (X) = b c a+ d είναι γραµµική. Πράγµατι, επειδή a a+ b b f (X) = b c a 0 b 1 c 1 d = = = X c a d d όπου = Η απεικόνιση f δηµιουργείται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α και όπως δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα είναι γραµµική. Παρατήρηση: Στο προηγούµενο παράδειγµα είδαµε ότι µπορούµε να εκφράσουµε µια γραµµική 4 3 απεικόνιση από το στο µε τη βοήθεια κάποιου πίνακα τύπου 3 4έτσι ώστε, η εικόνα ενός διανύσµατος να προκύπτει µε πολλαπλασιασµό του διανύσµατος µε αυτόν τον πίνακα. Αργότερα θα δούµε ότι το ίδιο ισχύει και σε γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ τυχαίων διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης.

10 Σελίδα 10 από 9 Παράδειγµα 6 Η απεικόνιση f:, x x δεν είναι γραµµική, αφού f (x+ y) = (x+ y) = x + y + xy= f(x) + f(y) + xy f(x) + f(y) Παράδειγµα 7 Έστω Α το σύνολο των συναρτήσεων f: που έχουν παραγώγους κάθε τάξης. Το σύνολο αυτό µε τις συνήθεις πράξεις των συναρτήσεων αποτελεί διανυσµατικό χώρο. Μπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση µε την σχέση D: D( f ) = f όπου f είναι η παράγωγος της f. [Για παράδειγµα, η εικόνα D( f ) της συνάρτησης f (x) 3 = x είναι η συνάρτηση f (x) = 3x, η εικόνα D( g ) της συνάρτησης g( x ) = si x είναι η συνάρτηση g(x) = cosx κ.λ.π. ] Είναι εύκολο να δείξουµε, στηριζόµενοι στις ιδιότητες της παραγώγου, ότι η απεικόνιση Πράγµατι, D είναι γραµµική. ( f,g ),D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f ) + D(g) λ λ λ λ λ (, f ),D( f ) = ( f ) = f = D( f ) Παράδειγµα 8 Αν [ x] είναι ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές βαθµού το πολύ, ορίζουµε την απεικόνιση [ ] [ ] f : x x, p( x ) p( 0 ) + xp( x ) + 1 Θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της f. [ x] p(x),q(x) και λ έχουµε:

11 Σελίδα 11 από 9 f [p(x) + q(x)] = f[(p+ q)(x)] = (p+ q)(0) + x(p+ q)(x) = p( 0 ) + q( 0 ) + x[ p( x ) + q( x )] = p(0) + q(0) + xp(x) + xq(x) = f[p(x)] + f[q(x)] f [ λ p( x )] = f [( λp )( x )] = ( λp )(0 ) + x( λp )( x ) = λp(0 ) + λxp( x ) = λ[p(0) + xp(x)] = λf[p(x)] Άρα η f είναι γραµµική. Θα δούµε τώρα µια πρόταση µε την βοήθεια της οποίας µπορούµε να δείξουµε ότι µια απεικόνιση δεν είναι γραµµική Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) Αν η απεικόνιση f :V (1) f (0 V ) = 0W W () ( u V ) f ( u) = f(u) Απόδειξη είναι γραµµική τότε (1) Έχουµε f (0 V ) = f(0f0 V ) = 0F f(0 V ) = 0W () Θα χρησιµοποιήσουµε την προηγούµενη ιδιότητα. Για κάθε u V V (1) f (u) + f( u) = f [u + ( u)] = f(0 ) = 0. Προσθέτοντας f (u) και στα δύο µέλη προκύπτει το ζητούµενο. W Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η απεικόνιση x + 1 f:,x x είναι γραµµική. Παρατηρούµε ότι 1 0 f(0) = 0 0 εποµένως η f δεν είναι γραµµική.

12 Σελίδα 1 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα την γραµµικότητα της σύνθεσης δύο γραµµικών απεικονίσεων και της αντίστροφης απεικόνισης (όταν υπάρχει). Εισαγωγικά παραδείγµατα Έστω 3 f:,g: οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους x x + y x x y f y =,g = y z y x z Η σύνθεση 3 g f : ορίζεται ως εξής: x x + y x+ y ( y z) (g f )(X) = g[ f(x)] = g[ f y ] = g[ ] = y z x y z + x x+ z = = y = X x+ y z g f : L 3 Εποµένως η σύνθεση είναι της µορφής, µε = και εποµένως είναι µια γραµµική απεικόνιση. Παρατηρήσεις: 1) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις f,g είναι της µορφής f = L,g = L όπου και η g f = L, αφού =, = = = = ) Αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος γραµµικών απεικονίσεων που είναι της µορφής f = L,g= L για τις οποίες ορίζεται η σύνθεση g f. (g f )(X) = g[ f(x)] = g(x) = (X) = ()X ηλαδή η σύνθεση είναι της µορφής g f = L.

13 Σελίδα 13 από 9 Γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί (βλ. Κεφάλαιο1). Θα δείξουµε ότι η γραµµική απεικόνιση g: µε τύπο x x y g = y x είναι αντιστρέψιµη και θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της αντίστροφης. 1 ος τρόπος: Παρατηρούµε ότι, αν x1 x X =,Y = τότε y y 1 x y x y y = y = = x1 x x1 = x g( X ) g(y ) X Y ηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. Θα δείξουµε τώρα ότι η g( X ) = Y να έχει λύση ως προς X. g( X ) Y g είναι επί. Αρκεί για δεδοµένο x y x x y = x x = y = Y, η εξίσωση = = x1 y x1 = y y1 = y x Εποµένως η απεικόνιση είναι επί και κατά συνέπεια υπάρχει η αντίστροφή της, που όπως φαίνεται από την σχέση ( ) είναι 1 g : ( ) µε τύπο όπου 1 1 x y 0 1 x g (X ) = g = = = DX y x+ y 1 1 y 0 1 D = 1 1 είναι δηλαδή της µορφής πίνακας D είναι ο αντίστροφος του ). 1 g = L D και άρα είναι γραµµική. ( Παρατηρούµε ότι ο ος τρόπος:

14 Σελίδα 14 από 9 Επειδή g = L έχουµε g( X ) = g(y ) X = Y, ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος (ορίζουσα διάφορη του µηδενός) άρα η προηγούµενη σχέση γράφεται Εποµένως η απεικόνιση είναι 1-1. Από την σχέση g( X ) = Y 1 1 X Y = X = Y X = Y προκύπτει Άρα η 1 X = Y X = Y g είναι επί και εποµένως αντιστρέψιµη, µε αντίστροφη την 1 g :, 1 1 g (X ) = X Οι επόµενες προτάσεις γενικεύουν τις προηγούµενες παρατηρήσεις µας Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων) Αν f :U V και g:v Wείναι γραµµικές τότε και η σύνθεσή τους g f :U W Απόδειξη είναι γραµµική. Έστω u,u U και a, b F. Από τον ορισµό της σύνθεσης και την γραµµικότητα 1 των f και g προκύπτει g γραµµικη ορισµος f γραµµικη ( g f )( au + bu ) = g[ f ( au + bu )] = g[ af ( u ) + bf ( u )] = ag[ f ( u )] + bg[ f ( u )] = a( g f )( u ) + b( g f )( u ) 1 1 Άρα η g f :U W είναι γραµµική Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) Αν η γραµµική απεικόνιση f :V W είναι αντιστρέψιµη τότε και η αντίστροφη 1 f :W V είναι γραµµική. Απόδειξη Έστω w,w 1 W, γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί. Εποµένως υπάρχουν µοναδικά διανύσµατα u,u 1 ώστε w1 = f(u 1),w = f(u ) Θα δείξουµε ότι f (w1+ w ) = f (w 1) + f (w ) V έτσι

15 Σελίδα 15 από 9 f γραµµικη = 1 + = 1+ f (w w ) f [ f(u ) f(u )] f [ f(u u )] ορισµος = ( f f )(u + u ) = (1 )(u + u ) = u + u = f (w ) + f (w ) V Θα δείξουµε τώρα ότι αν a F,w W, 1 1 f (aw) = af (w) w= f(u ) f (aw) = f [af(u)] = f [ f(au)] = ( f f )(au) = = = 1 (1 V )(au) au af (w) Άρα η 1 f :W V είναι γραµµική Ορισµός (ισοµορφισµού) Μια γραµµική απεικόνιση f :V W για την οποία υπάρχει η αντίστροφη λέγεται ισοµορφισµός, οι δε χώροι V,W λέγονται ισόµορφοι. Στην περίπτωση που οι διανυσµατικοί χώροι V,W είναι ισόµορφοι, γράφουµε V W. Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού. Θα δείξουµε ότι για κάθε επιλογή βάσης σε ένα διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης, υπάρχει ισοµορφισµός µεταξύ αυτού του χώρου και του Γνωρίζουµε ότι αν {,..., } 1 F = µια διατεταγµένη βάση. του διανυσµατικού χώρου V, τότε για κάθε διάνυσµα V υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί x 1,...,x ( οι συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την συγκεκριµένη βάση ) έτσι ώστε ηµιουργείται έτσι ένα στοιχείο του = x x F το ( 1 ) x... x που το λέµε διάνυσµα συντεταγµένων του ως προς την βάση και το συµβολίζουµε µε [ ]. ηλαδή Για παράδειγµα, αν dimv 3 και [ ] x1 x x = = τότε = 1 [ ] = 3 1

16 Σελίδα 16 από 9 Θα δείξουµε ότι µε την επιλογή της διαταταγµένης βάσης {,..., } = ο χώρος 1 V γίνεται ισόµορφος µε τον χώρο F Θεώρηµα Η απεικόνιση: :V F, [ ] Απόδειξη Φ είναι ένας ισοµορφισµός. Θα δείξουµε αρχικά ότι είναι γραµµική. Έστω u, V, λ F. Αν = x xκαι u = y y, τότε και Οπότε και + u = = ( x1+ y 1) ( x + y ) λ = ( λx ) ( λx ) 1 1 ( ) Φ (+ u) = x + y x + y... x + y 1 1 ( ) ( = x x... x + y y... y 1 1 = Φ () + Φ (u) ( ) Φ ( λ ) = λx λx... λx 1 = λ ( x x... x ) = λφ () 1 Η απεικόνιση είναι 1-1 διότι διαφορετικά διανύσµατα έχουν διαφορετικές συντεταγµένες ως προς τη δεδοµένη βάση. Ακόµη είναι και επί διότι αν ( ) x... x F 1 Φ ( ) = ( x... x ) 1 Παραδείγµατα υπάρχει το διάνυσµα = x x V έτσι ώστε. Εποµένως είναι ένας ισοµορφισµός. 1) Στον διανυσµατικό χώρο [x] των πολυωνύµων βαθµού το πολύ, θεωρούµε ) τη διατεταγµένη βάση { 1,x,x } =. Κάθε στοιχείο p(x) = a+ bx+ cx του [x] απεικονίζεται, µέσω της Φ : [x] στο διάνυσµα 3 ( ) [p(x)] = a b c

17 Σελίδα 17 από 9 και ισχύει [x] 3. ) Στον διανυσµατικό χώρο M ( ) των πινάκων τύπου, θεωρούµε τη διατεταγµένη βάση { E,E,E,E} Κάθε στοιχείο του =, όπου E 1 =,E =,E 3 =,E4 = a b = M c d ( ) που γράφεται µε νοναδικό τρόπο = ae + be + ce + de απεικονίζεται, µέσω της Φ :M ( ) στο διάνυσµα 4 και ισχύει M( ). ( ) [] = a b c d Θα αποδείξουµε τώρα µια πρόταση, σύµφωνα µε την οποία, η ισότητα δύο γραµµικών απεικονίσεων πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων συνεπάγεται την ισότητά τους σε κάθε στοιχείο του διανυσµατικού χώρου. ηλαδή, αν δύο γραµµικές απεικονίσεις παίρνουν τις ίδιες τιµές πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων τότε είναι ίσες Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων) Υποθέτουµε ότι { 1,...,} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V. Αν f :V W και g:v Wγραµµικές απεικονίσεις έτσι ώστε f ( i ) = g( i ), i = 1,...,, τότε f () = g(), V. ηλαδή f = g. Απόδειξη Επειδή το σύνολο{ 1,...,} παράγει τον V, αν V υπάρχουν βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x11+ x x 4. Εποµένως f ( ) = f ( λ + λ λ ) = λ f ( ) + λ f ( ) λ f ( ) = λ g( ) + λ g( ) λ g( ) = g( λ + λ λ ) = g( ) Επειδή f() = g(), Vέπεται ότι f = g

18 Σελίδα 18 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα το πρόβληµα δηµιουργίας µιας γραµµικής απεικόνισης, αν γνωρίζουµε µια αντιστοιχία που ορίζεται πάνω στα στοιχεία µιας βάσης. Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) 1) Τα διανύσµατα είναι γεννήτορες του e 1 =,e =,u = Αν ορίσουµε µια αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u}, µε f (e 1) = e,f(e ) = e,f(u) = u 1 1 είναι προφανές ότι η f δεν είναι συνάρτηση. ηλαδή, µια τυχαία αντιστοιχία οριζόµενη πάνω σε γεννήτορες δεν οδηγεί αναγκαστικά σε συνάρτηση. ) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι ορίζουµε την αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u} τέτοιο τρόπο ώστε να είναι συνάρτηση. Για παράδειγµα, έστω ότι 5 3 f(e 1) =,f(e ) =,f(u) = 3 1 µε 1 1 Υποθέτουµε επίσης ότι η προηγούµενη συνάρτηση επεκτείνεται σε µια συνάρτηση f:. Η απεικόνιση f δεν είναι γραµµική, αφού f(e1+ e ) = f(u) =,f(e 1) + f(e ) = + = ηλαδή, η συνάρτηση f ορισµένη πάνω σε γεννήτορες δεν επεκτάθηκε σε γραµµική συνάρτηση. 3) Αν ορίσουµε τώρα την συνάρτηση f πάνω στη βάση f :{ e,e } { e,e }, µε f(e 1) =,f(e ) = 3 1 µπορούµε να την επεκτείνουµε σε µια γραµµική συνάρτηση f:. Πράγµατι, αν x X =, ορίζουµε y 5 x+ 5y f(x ) = xf(e 1) + yf(e ) = x + y = 3 1 3x+ y

19 Σελίδα 19 από 9 που είναι γραµµική. Η γραµµική απεικόνιση f είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση µε την ιδιότητα 5 f(e 1) =,f(e ) = 3 1 διότι, αν g: είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε g(e) = f(e),g(e) = f(e) 1 1 τότε οι f,g ταυτίζονται πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων και από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτει ότι είναι ίσες Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση ) Έστω {,..., } = µια βάση του διανυσµατικού χώρου V. Αν w,w,...,w είναι 1 στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου W, τότε υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση f:v Απόδειξη Wέτσι ώστε i i f ( ) = w, ( i = 1,..., ). 1 Αρχικά θα δείξουµε την ύπαρξη µιας γραµµικής απεικόνισης που ικανοποιεί τις υποθέσεις. Έστω V, τότε υπάρχουν µοναδικά βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x x. Θέτουµε ορίζουµε έτσι µια απεικόνιση f :V Πράγµατι, αν και αν λ F w = y y f () = x1w1+ xw xw W έχουµε και θα δείξουµε ότι είναι γραµµική. f(+ w) = (x + y )w + (x + y )w (x + y )w = (x w + x w x w ) + ( y w + y w y w ) = f() + f(w) f ( λ) = ( λx )w + ( λx )w ( λx )w 1 1 ( ) = λ x w + x w x w = λ f() 1 1 Η γραµµική απεικόνιση f εξ ορισµού ικανοποιεί την συνθήκη f ( i ) = wi, ( i = 1,..., ). Θα δείξουµε τώρα ότι είναι µοναδική.

20 Σελίδα 0 από 9 Αν υπάρχει και µια δεύτερη γραµµική απεικόνιση g:v Wέτσι ώστε g( ) = w, i i τότε f ( ) = g( ), (i = 1,...,), δηλαδή οι γραµµικές απεικονίσεις f και i i g ταυτίζονται σε ένα σύνολο γεννητόρων και εποµένως θα είναι ίσες 8.1.9). (Θεώρηµα Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η µοναδική γραµµική απεικόνιση (βλ. προηγούµενο θεώρηµα) 3 4 f: έτσι ώστε 1 3 ( ) f(e ) = ( ) f (e ) = ( ) f(e ) = όπου e,e,e η συνήθης βάση του. 1 3 Να βρεθεί ο τύπο της. Λύση 3 Αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του τότε, επειδή προκύπτει και επειδή η f x z X = y = x 0 + y 1 + z 0 = xe1+ ye + ze 3 f (X) = f(xe1+ ye + ze 3 ) είναι γραµµική η προηγούµενη σχέση γράφεται f (X ) = f(xe + ye + ze ) = xf(e ) + yf(e ) + zf(e ) x+ y 0 0 x = x + y + z = = X y x 3y όπου

21 Σελίδα 1 από = Παράδειγµα Έστω ( ) ( ) ( u = 1 1 0,u = 1 0 1,u = 0 1 1) 1 3 επειδή η ορίζουσά τους είναι διάφορη του µηδενός τα διανύσµατα αυτά αποτελούν 3 µια βάση του. ίνεται η µοναδική γραµµική απεικόνιση 3 f: τέτοια ώστε ( ) ( ) ( f (u ) = 1,f(u ) = 0 0,f(u ) = ) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση: Αν X τυχαίο διάνυσµα του 3 f (X) = f(au1+ bu + cu 3 ) = af(u 1) + bf(u ) + cf(u 3 ) Αρκεί εποµένως να βρούµε τις συντεταγµένες των διανύσµατος X ως προς τη βάση u,u,u 1 3. Αν X = ( x y z) οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος X ως προς την συνήθη βάση, τότε θα αναζητήσουµε τους µοναδικούς πραγµατικούς αριθµούς ώστε ηλαδή Οδηγούµαστε έτσι στην επίλυση, ως προς X = au1+ bu + cu3 x y = a 1 + b 0 + c 1 z a,b,c,του συστήµατος a+ b= x a + c = y b + c = z Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι a,b,c έτσι

22 Σελίδα από 9 και µε γραµµοπράξεις προκύπτει Άρα x y z x + y z x y+ z x + y+ z x + y z a = x y+ z b = x + y+ z c = Άρα, αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του 3 όπου f(x ) = af(u ) + bf(u ) + cf(u ) 1 3 x+ y z 1 x y+ z 0 x+ y+ z = x y z x + + = = y X = x y z + z = Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων Αν 3 3 f:,g: είναι οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους

23 Σελίδα 3 από 9 τότε µπορούµε να ορίσουµε: x x + y f y = f(x ) = X, =, y z z x x y g y = g(x ) = X, = x + z 1 z 0 1 f + g : 3 α) το άθροισµά τους ως εξής: που είναι της µορφής = + ). x+ y x y (f + g)(x) = f(x) + g(x) = + y z x+ z x x = = y = X, = x y z L, και εποµένως είναι γραµµική. (Παρατηρούµε ότι β) το βαθµωτό πολλαπλάσιο λ f,( λ ) της f ως εξής: x+ y λx+ λy ( λf )(X ) = λ f(x ) = λ = y z λy λz x λ λ 0 λ λ 0 = y = X,= 0 λ λ 0 λ z λ L που είναι της µορφής και άρα είναι µια γραµµική απεικόνιση ( παρατηρούµε ότι = λ ). 3 Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το σύνολο L(, ) των γραµµικών απεικονίσεων µε 3 πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το, µε τις προηγούµενες πράξεις πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο. (Προφανώς το µηδενικό στοιχείο είναι η µηδενική απεικόνιση). Ας γενικεύσουµε. Συµβολίζουµε µε L(V,W ) το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων του V στον W, στο σύνολο αυτό θα ορίσουµε µια πράξη πρόσθεσης και µια πράξη βαθµωτού πολλαπλασιασµού έτσι ώστε να του δώσουµε δοµή διανυσµατικού χώρου. Αν f :V W και g:v Wδύο γραµµικές απεικονίσεις και λ F άθροισµα και τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό ως εξής:, ορίζουµε το

24 Σελίδα 4 από 9 (1)f + g:v W,u f(u) + g(u) () λ f :V W,u λf(u) Θα δείξουµε ότι οι δύο αυτές απεικονίσεις είναι γραµµικές. Για το άθροισµα έχουµε: Άρα η f u, V, λ F, ( f + g)(u+ ) = f(u+ ) + g(u+ ) = f(u) + f() + g(u) + g() = (f+ g)(u) + (f+ g)() ( f + g)( λu) = f( λu) + g( λu) = λf(u) + λg(u) + g είναι γραµµική. = λ[ f(u) + g(u)] = λ( f + g)(u) Για τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό που ορίστηκε από την σχέση () η απόδειξη γίνεται µε όµοιο τρόπο. Είναι εύκολο να δούµε ότι υπάρχει µηδενικό στοιχείο, είναι η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W,u 0 W Κάθε γραµµική απεικόνιση f έχει αντίθετη την f = ( 1)f και ικανοποιούνται όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική. 3 ( ) ( + ) f :, x y x y x y y Λύση Ο τύπος της f γράφεται x + y x x f (X) = f = x y 1 1 X, 1 1 y = = = y y δηλαδή η απεικόνιση είναι της µορφής f = L και εποµένως είναι γραµµική. Παράδειγµα Έστω M ( ) ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων και X M ( ). Ορίζουµε την απεικόνιση

25 Σελίδα 5 από 9 να δείξετε ότι είναι γραµµική. Λύση f :M ( ) M ( ), X + X Θα δούµε αν ισχύουν οι δύο ιδιότητες της γραµµικότητας Αν, M ( ), τότε f (+ ) = (+ )X + X(+ ) = (X + X) + (X + X) = f() + f() και για a f (a) = (a)x + X(a) = a(x + X) = af() εποµένως η f είναι γραµµική. Παράδειγµα 3 Έστω f: η γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει f( ) =,f( ) = Να βρείτε τον τύπο της. Λύση Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα 1 0, 1 αποτελούν βάση του πεδίου ορισµού. Θα προσπαθήσουµε να γράψουµε κάθε διάνυσµα του ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων αυτής της βάσης. Από την σχέση προκύπτει Εποµένως x 1 0 = a + b y 1 x a a= x = y a+ b b= x+ y

26 Σελίδα 6 από 9 x f ( ) = f [ x + ( x+ y) ] = xf( ) + ( x+ y)f( ) y y 0 1 x = x + ( x+ y) = = 3 4 5x+ 4y 5 4 y 0 1 x = X, =,X = 5 4 y Παρατήρηση (βλ. και επόµενο παράδειγµα): Ο πίνακας 0 1 = 5 4 είναι αντιστρέψιµος, άρα και η απεικόνιση f έχει αντίστροφη την 1 f : µε τύπο x f f (X ) X X = = = y x x y = 5 5 = 5 5 y 1 0 x Παράδειγµα 4 Έστω η γραµµική απεικόνιση f: µε τύπο x x+ y f( ) = y x y Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε τον τύπο της 1 f. Λύση Αν θέσουµε X x =, η απεικόνιση γράφεται y x x+ y 1 1 x f(x ) = f( ) = = y x y 1 1 y 1 1 = X, = 1 1

27 Σελίδα 7 από 9 Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος έχουµε 1 1 f (X ) f(y ) X Y X Y X δηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. = = = =Y Ακόµη, αν Y0 η εξίσωση f (X) = Y0 γράφεται ισοδύναµα X = Y X = Y έχει δηλαδή λύση ως προς X, άρα η f είναι επί και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη. Η αντίστροφη 1 f : έχει τύπο x = = = y x y + x = = 1 1 y 1 1 x y f f (X ) X X Παράδειγµα 5 Έστω οι γραµµικές απεικονίσεις 3 3 f:,g: µε τύπους x x x x z f( y ),g( = y ) = y z + y z z Να βρεθούν οι απεικονίσεις f + g,f,3f 5g. Λύση Αν θέσουµε X = ( x y z), τότε ος τρόπος: x x z 3x z (f + g)(x) = f(x) = g(x) = + = y+ z y y+ z x 4x (f )(X ) = f(x ) = = y + z y + z x x z (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3 5 y+ z y 6x 5x 5z x 5z = = 3y+ 3z 5y y+ 3z

28 Σελίδα 8 από 9 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = X+ X = (+ )X = X, = + = 0 1 (f )(X ) = f(x ) = (X ) = ()X = DX,D = = 0 (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3X 5X = (3 5)X = EX,E = 3 5 = 0 3 Παράδειγµα 6 Έστω οι απεικονίσεις 3 f:,g: µε τύπους x x x y f( y ) =,g( ) = y+ z y x z Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι απεικονίσεις f g,g f. Λύση f g g f 3 Η δεν ορίζεται. Για την, έχουµε: µε τύπο g f : ος τρόπος Επειδή x y+ z (g f )(X) = g( f(x)) = g( ) = y+ z x f(x ) = X, =,g(x ) = X,= ( g f )( X ) = g( f ( X )) = g( X ) = X = X, = = 0 0 Ασκήσεις 8.1 f: 3 3 1) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές: ( ) = ( ) (1) ( ) f x y z y z 0

29 Σελίδα 9 από 9 ( ) = ( ) () ( ) f x y z z y x ( ) = ( ) (3) ( ) f x y z x z 0 ( ) = ( ) (4) ( ) f x y z x 1 z 0 ( ) = ( + ) (5) ( ) f x y z x y z 0 ( ) = ( + ) (6) ( ) f x y z x y 3z x z x y ) ίνεται ένας τετραγωνικός µη µηδενικός πίνακας M ( ). Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις :M ( ) M ( ) είναι γραµµικές. (1) ( X ) = X X () ( X ) = X X 3) Να εξετάσετε αν η παρακάτω απεικόνιση είναι γραµµική ] µε τύπο ( ) f : [x] [x + 1 f p( x ) = 1+ xp( x ) 4) Έστω I: [x] η απεικόνιση που ορίζεται από τη σχέση να δείξετε ότι είναι γραµµική. ( ) I p( x ) = p( x )dx, 0 1 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.1 1) (1), (), (5), (6) Είναι γραµµικές [χρησιµοποιήστε τον ορισµό 8.1.1, βλ. παράδειγµα )].(3), (4) δεν είναι γραµµικές (χρησιµοποιήστε το θεώρηµα 8.1.3, βλ. παράδειγµα 8.1.4) ) (1) Είναι γραµµική, βλ παράδειγµα ). () εν είναι γραµµική, (βλ. Θεώρηµα 8.1.3) 3) εν είναι γραµµική, βλ. Θεώρηµα ) Είναι γραµµική (χρησιµοποιήστε ιδιότητες του ολοκληρώµατος).

30 Σελίδα 30 από 9 8. Πυρήνας και εικόνα Θα ορίσουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) 1) Ο πυρήνας Kerf µιας γραµµικής απεικόνισης f :V W είναι το σύνολο των διανυσµάτων του V που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του W. ηλαδή { } Kerf = V, f ( ) = 0 V. ) Υπενθυµίζουµε ότι η εικόνα Im f µιας απεικόνισης αποτελείται από τα διανύσµατα w W τα οποία έχουν πρότυπο, δηλαδή τα στοιχεία του πεδίου τιµών για τα οποία υπάρχει V έτσι ώστε w= f(). Im f = { w W, V,w= f() } W W 8.. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η γραµµική απεικόνιση ( ) f :, x y 3x y Θα αναζητήσουµε : α) Τα διανύσµατα που αποτελούν τον πυρήνα Kerf της f. ηλαδή, τα διανύσµατα X = ( x y) του που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του. Επειδή 3x y = 0 y = x 3 τα διανύσµατα του πυρήνα είναι το σύνολο ( x y ) y = x = x x,x = x 1,x Παρατηρούµε ότι ο πυρήνας της του που παράγεται από το διάνυσµα 1 3 συγγραµµικό του όπως το διάνυσµα ( 3 ) f είναι ο µονοδιάστατος διανυσµατικός υπόχωρος και φυσικά και από κάθε

31 Σελίδα 31 από 9 β) Τα διανύσµατα του πεδίου τιµών που ανήκουν στην εικόνα Im f. ηλαδή, τα διανύσµατα του πεδίου τιµών τα οποία έχουν πρότυπα. Εποµένως, αναζητούµε τους πραγµατικούς αριθµούς που γράφονται στην µορφή 3x y,( x,y ). Επειδή κάθε πραγµατικός αριθµός z γράφεται z z z = 3 συµπεραίνουµε ότι 3 η εικόνα της f είναι το. (Παρατηρήστε ότι το άθροισµα των διαστάσεων του πυρήνα και της εικόνας µας δίνουν την διάσταση του πεδίου ορισµού της γραµµικής απεικόνισης). Παράδειγµα Έστω D: η γραµµική απεικόνιση του παραδείγµατος 7 της Ο πυρήνας της D είναι: { } { } { } KerD = f D( f ) = 0 = f f = 0 = c c =, διότι, αν µια παραγωγίσιµη στο συνάρτηση έχει µηδενική παράγωγο τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Η εικόνα της D είναι { } { } Im f = D(f),f = f,f δηλαδή µια συνάρτηση g του Α ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης αν, και µόνο αν µπορεί να γραφεί σαν παράγωγο µιας άλλης συνάρτησης f του Α ( g = f ). Εποµένως, πρόκειται για τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχει παράγουσα ( ή αρχική). Από την Ανάλυση γνωρίζουµε ότι κάθε συνεχής στο συνάρτηση έχει παράγουσα και εποµένως το πεδίο τιµών είναι το Α. Η απεικόνιση είναι επί του Α. Παράδειγµα 3 ίνεται η γραµµική απεικόνιση 3 f: µε τύπο x + y x f = x y y y

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

1 Γραμμικές συναρτήσεις

1 Γραμμικές συναρτήσεις Γραμμικές συναρτήσεις Άσκηση. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x, y, z) =(x y + z,x z), για κάθε (x, y, z) R, είναι μια γραμμική συνάρτηση, και να βρεθεί ο πυρήνας της. Απόδειξη.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

i. f(v + u) = f(v) + f(u),

i. f(v + u) = f(v) + f(u), Κεφάλαιο 4 Γραµµικές Συναρτήσεις Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε µία ειδική κατηγορία συναρτήσεων µεταξύ των k- διανυσµατικών χώρων Θα δούµε ότι οι συναρτήσεις αυτές καθορίζονται πλήρως από τις τιµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα