Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις"

Transcript

1 Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν στην ανάλυση µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ συνόλων πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών, µε ανάλογο τρόπο στην γραµµική άλγεβρα µελετάµε συναρτήσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Τις συναρτήσεις που διατηρούν την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουµε τις βασικές ιδιότητες των γραµµικών απεικονίσεων και θα δούµε πως περιγράφονται µε την άλγεβρα των πινάκων. Στην µελέτη των γραµµικών απεικονίσεων οι πίνακες παίζουν κυρίαρχο ρόλο αφού, κάθε πίνακας ορίζει µια γραµµική απεικόνιση αλλά και κάθε γραµµική απεικόνιση µπορεί να παρασταθεί µε ένα πίνακα. Αρχικά δίνουµε τον ορισµό µιας γραµµικής απεικόνισης, κατόπιν ορίζουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις.στη συνέχεια προσεγγίζουµε τον πυρήνα και την εικόνα µε την βοήθεια γραµµικών συστηµάτων και δίνουµε το σηµαντικότερο αποτέλεσµα αυτού του κεφαλαίου που είναι η αντιστοιχία (ισοµορφία) µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων. Τέλος, χαρακτηρίζουµε τους ισοδύναµους και τους όµοιους πίνακες. 1 Συγγραφέας: Γιώργος Σαραφόπουλος

2 Σελίδα από Ορισµοί και παραδείγµατα...5 Εισαγωγικό παράδειγµα Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) Παραδείγµατα...7 Παράδειγµα Παράδειγµα...7 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) Παράδειγµα...11 Εισαγωγικά παραδείγµατα Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων) Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) Ορισµός (ισοµορφισµού)...15 Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού Θεώρηµα Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων)...17 Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση ) Παραδείγµατα...0 Παράδειγµα Παράδειγµα Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων Παραδείγµατα...4 Παράδειγµα Παράδειγµα...4 Παράδειγµα 3...5

3 Σελίδα 3 από 9 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Πυρήνας και εικόνα Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) Παραδείγµατα...30 Παράδειγµα Παράδειγµα...31 Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα ( οµή πυρήνα και εικόνας) Θεώρηµα Θεώρηµα ( της διάστασης) Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισοµορφισµού) Θεώρηµα (Χαρακτηρισµός ισόµορφων διανυσµατικών χώρων) Παραδείγµατα...41 Παράδειγµα Παράδειγµα...4 Παράδειγµα Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Γραµµικές Απεικονίσεις και Γραµµικά Συστήµατα Θεώρηµα ( Πυρήνας και εικόνα της γραµµικής απεικόνισης L ) Θεώρηµα ( ιάσταση του χώρου λύσεων οµογενούς γραµµικού συστήµατος)...47 Εισαγωγικό παράδειγµα Θεώρηµα ( Σύνολο λύσεων γραµµικού συστήµατος)...48 Παράδειγµα Παραδείγµατα...50 Παράδειγµα Παράδειγµα...51 Παράδειγµα 3...5

4 Σελίδα 4 από 9 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Πίνακες και Γραµµικές Απεικονίσεις Θεώρηµα ( Ύπαρξης πίνακα ) Ορισµός (Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς τις συνήθεις βάσεις) Παράδειγµα Εισαγωγικό παράδειγµα Παρατηρήσεις Ορισµός ( Πίνακας γραµµικής απεικόνισης ως προς διατεταγµένες βάσεις) Θεώρηµα (Συντεταγµένες εικόνας) Παράδειγµα Ορισµός (Πίνακας γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διατεταγµένη βάση) Παράδειγµα Θεώρηµα (Πίνακας ταυτοτικής απεικόνισης) Θεώρηµα (Ισοµορφία διανυσµατικού χώρου γραµµικών απεικονίσεων και διανυσµατικού χώρου πινάκων) Παράδειγµα Θεώρηµα ( Πίνακας σύνθεσης) Πόρισµα (Πίνακας αντίστροφης)...69 Πίνακας αλλαγής βάσης ή πίνακας µετάβασης Εισαγωγικό παράδειγµα Ορισµός (Πίνακας αλλαγής βάσης) Παράδειγµα Θεώρηµα (Συντεταγµένες διανύσµατος ως προς διαφορετικές διατεταγµένες βάσεις) Θεώρηµα (Αντίστροφος πίνακα αλλαγής βάσης) Παραδείγµατα...74 Παράδειγµα Παράδειγµα...76 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις Ισοδύναµοι και όµοιοι πίνακες...81 Εισαγωγικό παράδειγµα...81

5 Σελίδα 5 από Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικής απεικόνισης ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις) Ορισµός (Ισοδύναµοι πίνακες) Θεώρηµα (Πίνακες γραµµικού µετασχηµατισµού ως προς διαφορετικές διατετεγµένες βάσεις) Ορισµός ( Όµοιοι πίνακες) Παραδείγµατα...85 Παράδειγµα Παράδειγµα...86 Παράδειγµα Παράδειγµα Παράδειγµα Θεώρηµα Πόρισµα...91 Χαρακτηρισµός ισοδύναµων πινάκων...91 Χαρακτηρισµός όµοιων πινάκων...91 Ασκήσεις Απαντήσεις Υποδείξεις...9

6 Σελίδα 6 από Ορισµοί και παραδείγµατα Σε προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε την έννοια της απεικόνισης µεταξύ δύο συνόλων. Στην παράγραφο αυτή θα εισαγάγουµε µια ειδική µορφή απεικονίσεων µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, τις γραµµικές απεικονίσεις Μπορούµε να πούµε ότι µια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων είναι γραµµική αν διατηρεί την δοµή του διανυσµατικού χώρου, δηλαδή αν µετασχηµατίζει το άθροισµα δύο διανυσµάτων σε άθροισµα των εικόνων τους και το βαθµωτό πολλαπλάσιο ενός διανύσµατος στο ίδιο βαθµωτό πολλαπλάσιο της εικόνας του. Ας δούµε όµως πρώτα ένα παράδειγµα. Εισαγωγικό παράδειγµα Θεωρούµε την απεικόνιση (συνάρτηση) f:, µε τύπο f (x) = ax (όπου a ένας πραγµατικός αριθµός). Παρατηρούµε ότι x,y f (x+ y) = a(x+ y) = ax+ ay= f(x) + f(y) και λ, x f ( λx) = a( λx) = λ(ax) = λf(x) ηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: x,y, f (x+ y) = f(x) + f(y) και λ, x, f ( λx) = λ f(x) Μια απεικόνιση µεταξύ δύο διανυσµατικών χώρων, για την οποία ισχύουν οι προηγούµενες ιδιότητες θα την λέµε γραµµική απεικόνιση Ορισµός (Γραµµικής Απεικόνισης) Έστω V,W δύο F-διανυσµατικοί χώροι (F = ή F = ). Μια απεικόνιση L:V και W θα λέγεται γραµµική απεικόνιση αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1) Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων u, του V ισχύει L( u + ) = L( u ) + L( ) ) Για κάθε βαθµωτό µέγεθος λ και για κάθε διάνυσµα u του V ισχύει Παρατηρήσεις: L( λu ) = λl( u ) α) Οι προηγούµενες συνθήκες 1) και ) του ορισµού ισοδυναµούν µε τη συνθήκη u, V, λ, µ F L( λ u + µ ) = λ L( u ) + µ L( )

7 Σελίδα 7 από 9 β) Στην περίπτωση που V = W, µια γραµµική απεικόνιση L:V V λέγεται και γραµµικός µετασχηµατισµός 8.1. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Η ταυτοτική απεικόνιση γραµµική. Πράγµατι, V 1 V :V V µε τύπο 1(u) u V =, για κάθε u V είναι u, V, λ, µ F V 1( λ u+ µ ) = λ u+ µ = λ 1(u) + µ 1() V Παράδειγµα Η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W µε τύπο ϑ (u) = 0W, για κάθε u V, είναι γραµµική. Πράγµατι, u, V, λ, µ F ϑ( λ u+ µ ) = 0 και W λϑ + µϑ = λ + µ = (u) () 0W 0W 0 W Παράδειγµα 3 ίνεται ο 3 πίνακας Αν σε κάθε διάνυσµα X 1 1 = x = του αντιστοιχίσουµε το διάνυσµα y x + y X = x y y 3 δηµιουργούµε µια απεικόνιση µε πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το. Την απεικόνιση αυτή θα την συµβολίσουµε µε L. ηλαδή, µε τύπο 3 L : Θα γράφουµε τα διανύσµατα του F ως πίνακες µε µία στήλη.

8 Σελίδα 8 από 9 L(X) = X Θα δείξουµε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική. 1 ος τρόπος: Αν x x X =,Y = y y στοιχεία του και λ έχουµε: και ος τρόπος: Αν x x y y x y x y x+ x ( + ) = = + = + y+ y L X Y L x x y y x y x y y y y + y x x = L + L y y λx+ λy x+ y λx L( λx) = L = λx λy λ x y λl( X λ y = = λ y y X,Y και λ, επειδή η απεικόνιση L : 3 ορίζεται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α L : 3, X X λόγω των ιδιοτήτων του πολλαπλασιασµού πινάκων προκύπτει: και Εποµένως η L ( X Y ) ( X Y ) X Y L ( X ) L (Y ) είναι γραµµική. L + = + = + = + L( λ X) = ( λx) = λ(x) = λl(x) ) Παράδειγµα 4 Το προηγούµενο παράδειγµα γενικεύεται για κάθε πίνακα Α τύπου m µε στοιχεία από το F. ηλαδή αν µας δοθεί ένας πίνακας τύπου m µε στοιχεία από το F, µπορούµε να δηµιουργήσουµε µε πολλαπλασιασµό ( από τα αριστερά) µε τον µια γραµµική απεικόνιση µε τον τύπο L :F F m

9 Σελίδα 9 από 9 L(X) = X X = x x x. όπου ( ) 1 Παράδειγµα 5 a b Αν X 4 4 = διάνυσµα του, θα δείξουµε ότι η απεικόνιση f: 3 µε τύπο c d a+ b f (X) = b c a+ d είναι γραµµική. Πράγµατι, επειδή a a+ b b f (X) = b c a 0 b 1 c 1 d = = = X c a d d όπου = Η απεικόνιση f δηµιουργείται µε πολλαπλασιασµό (από αριστερά) µε τον πίνακα Α και όπως δείξαµε στο προηγούµενο παράδειγµα είναι γραµµική. Παρατήρηση: Στο προηγούµενο παράδειγµα είδαµε ότι µπορούµε να εκφράσουµε µια γραµµική 4 3 απεικόνιση από το στο µε τη βοήθεια κάποιου πίνακα τύπου 3 4έτσι ώστε, η εικόνα ενός διανύσµατος να προκύπτει µε πολλαπλασιασµό του διανύσµατος µε αυτόν τον πίνακα. Αργότερα θα δούµε ότι το ίδιο ισχύει και σε γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ τυχαίων διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης.

10 Σελίδα 10 από 9 Παράδειγµα 6 Η απεικόνιση f:, x x δεν είναι γραµµική, αφού f (x+ y) = (x+ y) = x + y + xy= f(x) + f(y) + xy f(x) + f(y) Παράδειγµα 7 Έστω Α το σύνολο των συναρτήσεων f: που έχουν παραγώγους κάθε τάξης. Το σύνολο αυτό µε τις συνήθεις πράξεις των συναρτήσεων αποτελεί διανυσµατικό χώρο. Μπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση µε την σχέση D: D( f ) = f όπου f είναι η παράγωγος της f. [Για παράδειγµα, η εικόνα D( f ) της συνάρτησης f (x) 3 = x είναι η συνάρτηση f (x) = 3x, η εικόνα D( g ) της συνάρτησης g( x ) = si x είναι η συνάρτηση g(x) = cosx κ.λ.π. ] Είναι εύκολο να δείξουµε, στηριζόµενοι στις ιδιότητες της παραγώγου, ότι η απεικόνιση Πράγµατι, D είναι γραµµική. ( f,g ),D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f ) + D(g) λ λ λ λ λ (, f ),D( f ) = ( f ) = f = D( f ) Παράδειγµα 8 Αν [ x] είναι ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές βαθµού το πολύ, ορίζουµε την απεικόνιση [ ] [ ] f : x x, p( x ) p( 0 ) + xp( x ) + 1 Θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της f. [ x] p(x),q(x) και λ έχουµε:

11 Σελίδα 11 από 9 f [p(x) + q(x)] = f[(p+ q)(x)] = (p+ q)(0) + x(p+ q)(x) = p( 0 ) + q( 0 ) + x[ p( x ) + q( x )] = p(0) + q(0) + xp(x) + xq(x) = f[p(x)] + f[q(x)] f [ λ p( x )] = f [( λp )( x )] = ( λp )(0 ) + x( λp )( x ) = λp(0 ) + λxp( x ) = λ[p(0) + xp(x)] = λf[p(x)] Άρα η f είναι γραµµική. Θα δούµε τώρα µια πρόταση µε την βοήθεια της οποίας µπορούµε να δείξουµε ότι µια απεικόνιση δεν είναι γραµµική Θεώρηµα (Αναγκαίες συνθήκες γραµµικότητας) Αν η απεικόνιση f :V (1) f (0 V ) = 0W W () ( u V ) f ( u) = f(u) Απόδειξη είναι γραµµική τότε (1) Έχουµε f (0 V ) = f(0f0 V ) = 0F f(0 V ) = 0W () Θα χρησιµοποιήσουµε την προηγούµενη ιδιότητα. Για κάθε u V V (1) f (u) + f( u) = f [u + ( u)] = f(0 ) = 0. Προσθέτοντας f (u) και στα δύο µέλη προκύπτει το ζητούµενο. W Παράδειγµα Θα εξετάσουµε αν η απεικόνιση x + 1 f:,x x είναι γραµµική. Παρατηρούµε ότι 1 0 f(0) = 0 0 εποµένως η f δεν είναι γραµµική.

12 Σελίδα 1 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα την γραµµικότητα της σύνθεσης δύο γραµµικών απεικονίσεων και της αντίστροφης απεικόνισης (όταν υπάρχει). Εισαγωγικά παραδείγµατα Έστω 3 f:,g: οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους x x + y x x y f y =,g = y z y x z Η σύνθεση 3 g f : ορίζεται ως εξής: x x + y x+ y ( y z) (g f )(X) = g[ f(x)] = g[ f y ] = g[ ] = y z x y z + x x+ z = = y = X x+ y z g f : L 3 Εποµένως η σύνθεση είναι της µορφής, µε = και εποµένως είναι µια γραµµική απεικόνιση. Παρατηρήσεις: 1) Παρατηρούµε ότι οι γραµµικές απεικονίσεις f,g είναι της µορφής f = L,g = L όπου και η g f = L, αφού =, = = = = ) Αυτό ισχύει για κάθε ζεύγος γραµµικών απεικονίσεων που είναι της µορφής f = L,g= L για τις οποίες ορίζεται η σύνθεση g f. (g f )(X) = g[ f(x)] = g(x) = (X) = ()X ηλαδή η σύνθεση είναι της µορφής g f = L.

13 Σελίδα 13 από 9 Γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί (βλ. Κεφάλαιο1). Θα δείξουµε ότι η γραµµική απεικόνιση g: µε τύπο x x y g = y x είναι αντιστρέψιµη και θα εξετάσουµε την γραµµικότητα της αντίστροφης. 1 ος τρόπος: Παρατηρούµε ότι, αν x1 x X =,Y = τότε y y 1 x y x y y = y = = x1 x x1 = x g( X ) g(y ) X Y ηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. Θα δείξουµε τώρα ότι η g( X ) = Y να έχει λύση ως προς X. g( X ) Y g είναι επί. Αρκεί για δεδοµένο x y x x y = x x = y = Y, η εξίσωση = = x1 y x1 = y y1 = y x Εποµένως η απεικόνιση είναι επί και κατά συνέπεια υπάρχει η αντίστροφή της, που όπως φαίνεται από την σχέση ( ) είναι 1 g : ( ) µε τύπο όπου 1 1 x y 0 1 x g (X ) = g = = = DX y x+ y 1 1 y 0 1 D = 1 1 είναι δηλαδή της µορφής πίνακας D είναι ο αντίστροφος του ). 1 g = L D και άρα είναι γραµµική. ( Παρατηρούµε ότι ο ος τρόπος:

14 Σελίδα 14 από 9 Επειδή g = L έχουµε g( X ) = g(y ) X = Y, ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος (ορίζουσα διάφορη του µηδενός) άρα η προηγούµενη σχέση γράφεται Εποµένως η απεικόνιση είναι 1-1. Από την σχέση g( X ) = Y 1 1 X Y = X = Y X = Y προκύπτει Άρα η 1 X = Y X = Y g είναι επί και εποµένως αντιστρέψιµη, µε αντίστροφη την 1 g :, 1 1 g (X ) = X Οι επόµενες προτάσεις γενικεύουν τις προηγούµενες παρατηρήσεις µας Θεώρηµα (Σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων) Αν f :U V και g:v Wείναι γραµµικές τότε και η σύνθεσή τους g f :U W Απόδειξη είναι γραµµική. Έστω u,u U και a, b F. Από τον ορισµό της σύνθεσης και την γραµµικότητα 1 των f και g προκύπτει g γραµµικη ορισµος f γραµµικη ( g f )( au + bu ) = g[ f ( au + bu )] = g[ af ( u ) + bf ( u )] = ag[ f ( u )] + bg[ f ( u )] = a( g f )( u ) + b( g f )( u ) 1 1 Άρα η g f :U W είναι γραµµική Θεώρηµα (Αντίστροφη γραµµικής απεικόνισης) Αν η γραµµική απεικόνιση f :V W είναι αντιστρέψιµη τότε και η αντίστροφη 1 f :W V είναι γραµµική. Απόδειξη Έστω w,w 1 W, γνωρίζουµε ότι µια απεικόνιση είναι αντιστρέψιµη αν και µόνο αν είναι ένα προς ένα και επί. Εποµένως υπάρχουν µοναδικά διανύσµατα u,u 1 ώστε w1 = f(u 1),w = f(u ) Θα δείξουµε ότι f (w1+ w ) = f (w 1) + f (w ) V έτσι

15 Σελίδα 15 από 9 f γραµµικη = 1 + = 1+ f (w w ) f [ f(u ) f(u )] f [ f(u u )] ορισµος = ( f f )(u + u ) = (1 )(u + u ) = u + u = f (w ) + f (w ) V Θα δείξουµε τώρα ότι αν a F,w W, 1 1 f (aw) = af (w) w= f(u ) f (aw) = f [af(u)] = f [ f(au)] = ( f f )(au) = = = 1 (1 V )(au) au af (w) Άρα η 1 f :W V είναι γραµµική Ορισµός (ισοµορφισµού) Μια γραµµική απεικόνιση f :V W για την οποία υπάρχει η αντίστροφη λέγεται ισοµορφισµός, οι δε χώροι V,W λέγονται ισόµορφοι. Στην περίπτωση που οι διανυσµατικοί χώροι V,W είναι ισόµορφοι, γράφουµε V W. Ένα σηµαντικό παράδειγµα ισοµορφισµού. Θα δείξουµε ότι για κάθε επιλογή βάσης σε ένα διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης, υπάρχει ισοµορφισµός µεταξύ αυτού του χώρου και του Γνωρίζουµε ότι αν {,..., } 1 F = µια διατεταγµένη βάση. του διανυσµατικού χώρου V, τότε για κάθε διάνυσµα V υπάρχουν µοναδικοί αριθµοί x 1,...,x ( οι συντεταγµένες του διανύσµατος ως προς την συγκεκριµένη βάση ) έτσι ώστε ηµιουργείται έτσι ένα στοιχείο του = x x F το ( 1 ) x... x που το λέµε διάνυσµα συντεταγµένων του ως προς την βάση και το συµβολίζουµε µε [ ]. ηλαδή Για παράδειγµα, αν dimv 3 και [ ] x1 x x = = τότε = 1 [ ] = 3 1

16 Σελίδα 16 από 9 Θα δείξουµε ότι µε την επιλογή της διαταταγµένης βάσης {,..., } = ο χώρος 1 V γίνεται ισόµορφος µε τον χώρο F Θεώρηµα Η απεικόνιση: :V F, [ ] Απόδειξη Φ είναι ένας ισοµορφισµός. Θα δείξουµε αρχικά ότι είναι γραµµική. Έστω u, V, λ F. Αν = x xκαι u = y y, τότε και Οπότε και + u = = ( x1+ y 1) ( x + y ) λ = ( λx ) ( λx ) 1 1 ( ) Φ (+ u) = x + y x + y... x + y 1 1 ( ) ( = x x... x + y y... y 1 1 = Φ () + Φ (u) ( ) Φ ( λ ) = λx λx... λx 1 = λ ( x x... x ) = λφ () 1 Η απεικόνιση είναι 1-1 διότι διαφορετικά διανύσµατα έχουν διαφορετικές συντεταγµένες ως προς τη δεδοµένη βάση. Ακόµη είναι και επί διότι αν ( ) x... x F 1 Φ ( ) = ( x... x ) 1 Παραδείγµατα υπάρχει το διάνυσµα = x x V έτσι ώστε. Εποµένως είναι ένας ισοµορφισµός. 1) Στον διανυσµατικό χώρο [x] των πολυωνύµων βαθµού το πολύ, θεωρούµε ) τη διατεταγµένη βάση { 1,x,x } =. Κάθε στοιχείο p(x) = a+ bx+ cx του [x] απεικονίζεται, µέσω της Φ : [x] στο διάνυσµα 3 ( ) [p(x)] = a b c

17 Σελίδα 17 από 9 και ισχύει [x] 3. ) Στον διανυσµατικό χώρο M ( ) των πινάκων τύπου, θεωρούµε τη διατεταγµένη βάση { E,E,E,E} Κάθε στοιχείο του =, όπου E 1 =,E =,E 3 =,E4 = a b = M c d ( ) που γράφεται µε νοναδικό τρόπο = ae + be + ce + de απεικονίζεται, µέσω της Φ :M ( ) στο διάνυσµα 4 και ισχύει M( ). ( ) [] = a b c d Θα αποδείξουµε τώρα µια πρόταση, σύµφωνα µε την οποία, η ισότητα δύο γραµµικών απεικονίσεων πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων συνεπάγεται την ισότητά τους σε κάθε στοιχείο του διανυσµατικού χώρου. ηλαδή, αν δύο γραµµικές απεικονίσεις παίρνουν τις ίδιες τιµές πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων τότε είναι ίσες Θεώρηµα (Αναγκαία και ικανή συνθήκη ισότητας γραµµικών απεικονίσεων) Υποθέτουµε ότι { 1,...,} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του V. Αν f :V W και g:v Wγραµµικές απεικονίσεις έτσι ώστε f ( i ) = g( i ), i = 1,...,, τότε f () = g(), V. ηλαδή f = g. Απόδειξη Επειδή το σύνολο{ 1,...,} παράγει τον V, αν V υπάρχουν βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x11+ x x 4. Εποµένως f ( ) = f ( λ + λ λ ) = λ f ( ) + λ f ( ) λ f ( ) = λ g( ) + λ g( ) λ g( ) = g( λ + λ λ ) = g( ) Επειδή f() = g(), Vέπεται ότι f = g

18 Σελίδα 18 από 9 Θα εξετάσουµε τώρα το πρόβληµα δηµιουργίας µιας γραµµικής απεικόνισης, αν γνωρίζουµε µια αντιστοιχία που ορίζεται πάνω στα στοιχεία µιας βάσης. Εισαγωγικό παράδειγµα (Απεικόνιση ορισµένη πάνω σε βάση) 1) Τα διανύσµατα είναι γεννήτορες του e 1 =,e =,u = Αν ορίσουµε µια αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u}, µε f (e 1) = e,f(e ) = e,f(u) = u 1 1 είναι προφανές ότι η f δεν είναι συνάρτηση. ηλαδή, µια τυχαία αντιστοιχία οριζόµενη πάνω σε γεννήτορες δεν οδηγεί αναγκαστικά σε συνάρτηση. ) Ας υποθέσουµε τώρα, ότι ορίζουµε την αντιστοιχία f :{ e,e,u} { e,e,u} τέτοιο τρόπο ώστε να είναι συνάρτηση. Για παράδειγµα, έστω ότι 5 3 f(e 1) =,f(e ) =,f(u) = 3 1 µε 1 1 Υποθέτουµε επίσης ότι η προηγούµενη συνάρτηση επεκτείνεται σε µια συνάρτηση f:. Η απεικόνιση f δεν είναι γραµµική, αφού f(e1+ e ) = f(u) =,f(e 1) + f(e ) = + = ηλαδή, η συνάρτηση f ορισµένη πάνω σε γεννήτορες δεν επεκτάθηκε σε γραµµική συνάρτηση. 3) Αν ορίσουµε τώρα την συνάρτηση f πάνω στη βάση f :{ e,e } { e,e }, µε f(e 1) =,f(e ) = 3 1 µπορούµε να την επεκτείνουµε σε µια γραµµική συνάρτηση f:. Πράγµατι, αν x X =, ορίζουµε y 5 x+ 5y f(x ) = xf(e 1) + yf(e ) = x + y = 3 1 3x+ y

19 Σελίδα 19 από 9 που είναι γραµµική. Η γραµµική απεικόνιση f είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση µε την ιδιότητα 5 f(e 1) =,f(e ) = 3 1 διότι, αν g: είναι µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε g(e) = f(e),g(e) = f(e) 1 1 τότε οι f,g ταυτίζονται πάνω σε ένα σύνολο γεννητόρων και από το προηγούµενο θεώρηµα προκύπτει ότι είναι ίσες Θεώρηµα (Ύπαρξη και µοναδικότητα γραµµικής απεικόνισης ορισµένης πάνω σε βάση ) Έστω {,..., } = µια βάση του διανυσµατικού χώρου V. Αν w,w,...,w είναι 1 στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου W, τότε υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση f:v Απόδειξη Wέτσι ώστε i i f ( ) = w, ( i = 1,..., ). 1 Αρχικά θα δείξουµε την ύπαρξη µιας γραµµικής απεικόνισης που ικανοποιεί τις υποθέσεις. Έστω V, τότε υπάρχουν µοναδικά βαθµωτά µεγέθη x 1,x,...,xέτσι ώστε = x x. Θέτουµε ορίζουµε έτσι µια απεικόνιση f :V Πράγµατι, αν και αν λ F w = y y f () = x1w1+ xw xw W έχουµε και θα δείξουµε ότι είναι γραµµική. f(+ w) = (x + y )w + (x + y )w (x + y )w = (x w + x w x w ) + ( y w + y w y w ) = f() + f(w) f ( λ) = ( λx )w + ( λx )w ( λx )w 1 1 ( ) = λ x w + x w x w = λ f() 1 1 Η γραµµική απεικόνιση f εξ ορισµού ικανοποιεί την συνθήκη f ( i ) = wi, ( i = 1,..., ). Θα δείξουµε τώρα ότι είναι µοναδική.

20 Σελίδα 0 από 9 Αν υπάρχει και µια δεύτερη γραµµική απεικόνιση g:v Wέτσι ώστε g( ) = w, i i τότε f ( ) = g( ), (i = 1,...,), δηλαδή οι γραµµικές απεικονίσεις f και i i g ταυτίζονται σε ένα σύνολο γεννητόρων και εποµένως θα είναι ίσες 8.1.9). (Θεώρηµα Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η µοναδική γραµµική απεικόνιση (βλ. προηγούµενο θεώρηµα) 3 4 f: έτσι ώστε 1 3 ( ) f(e ) = ( ) f (e ) = ( ) f(e ) = όπου e,e,e η συνήθης βάση του. 1 3 Να βρεθεί ο τύπο της. Λύση 3 Αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του τότε, επειδή προκύπτει και επειδή η f x z X = y = x 0 + y 1 + z 0 = xe1+ ye + ze 3 f (X) = f(xe1+ ye + ze 3 ) είναι γραµµική η προηγούµενη σχέση γράφεται f (X ) = f(xe + ye + ze ) = xf(e ) + yf(e ) + zf(e ) x+ y 0 0 x = x + y + z = = X y x 3y όπου

21 Σελίδα 1 από = Παράδειγµα Έστω ( ) ( ) ( u = 1 1 0,u = 1 0 1,u = 0 1 1) 1 3 επειδή η ορίζουσά τους είναι διάφορη του µηδενός τα διανύσµατα αυτά αποτελούν 3 µια βάση του. ίνεται η µοναδική γραµµική απεικόνιση 3 f: τέτοια ώστε ( ) ( ) ( f (u ) = 1,f(u ) = 0 0,f(u ) = ) Να βρεθεί ο τύπος της f. Λύση: Αν X τυχαίο διάνυσµα του 3 f (X) = f(au1+ bu + cu 3 ) = af(u 1) + bf(u ) + cf(u 3 ) Αρκεί εποµένως να βρούµε τις συντεταγµένες των διανύσµατος X ως προς τη βάση u,u,u 1 3. Αν X = ( x y z) οι συντεταγµένες ενός διανύσµατος X ως προς την συνήθη βάση, τότε θα αναζητήσουµε τους µοναδικούς πραγµατικούς αριθµούς ώστε ηλαδή Οδηγούµαστε έτσι στην επίλυση, ως προς X = au1+ bu + cu3 x y = a 1 + b 0 + c 1 z a,b,c,του συστήµατος a+ b= x a + c = y b + c = z Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι a,b,c έτσι

22 Σελίδα από 9 και µε γραµµοπράξεις προκύπτει Άρα x y z x + y z x y+ z x + y+ z x + y z a = x y+ z b = x + y+ z c = Άρα, αν X = ( x y z) τυχαίο διάνυσµα του 3 όπου f(x ) = af(u ) + bf(u ) + cf(u ) 1 3 x+ y z 1 x y+ z 0 x+ y+ z = x y z x + + = = y X = x y z + z = Ο διανυσµατικός χώρος των γραµµικών απεικονίσεων Αν 3 3 f:,g: είναι οι γραµµικές απεικονίσεις µε τύπους

23 Σελίδα 3 από 9 τότε µπορούµε να ορίσουµε: x x + y f y = f(x ) = X, =, y z z x x y g y = g(x ) = X, = x + z 1 z 0 1 f + g : 3 α) το άθροισµά τους ως εξής: που είναι της µορφής = + ). x+ y x y (f + g)(x) = f(x) + g(x) = + y z x+ z x x = = y = X, = x y z L, και εποµένως είναι γραµµική. (Παρατηρούµε ότι β) το βαθµωτό πολλαπλάσιο λ f,( λ ) της f ως εξής: x+ y λx+ λy ( λf )(X ) = λ f(x ) = λ = y z λy λz x λ λ 0 λ λ 0 = y = X,= 0 λ λ 0 λ z λ L που είναι της µορφής και άρα είναι µια γραµµική απεικόνιση ( παρατηρούµε ότι = λ ). 3 Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το σύνολο L(, ) των γραµµικών απεικονίσεων µε 3 πεδίο ορισµού το και πεδίο τιµών το, µε τις προηγούµενες πράξεις πρόσθεσης και βαθµωτού πολλαπλασιασµού ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο. (Προφανώς το µηδενικό στοιχείο είναι η µηδενική απεικόνιση). Ας γενικεύσουµε. Συµβολίζουµε µε L(V,W ) το σύνολο των γραµµικών απεικονίσεων του V στον W, στο σύνολο αυτό θα ορίσουµε µια πράξη πρόσθεσης και µια πράξη βαθµωτού πολλαπλασιασµού έτσι ώστε να του δώσουµε δοµή διανυσµατικού χώρου. Αν f :V W και g:v Wδύο γραµµικές απεικονίσεις και λ F άθροισµα και τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό ως εξής:, ορίζουµε το

24 Σελίδα 4 από 9 (1)f + g:v W,u f(u) + g(u) () λ f :V W,u λf(u) Θα δείξουµε ότι οι δύο αυτές απεικονίσεις είναι γραµµικές. Για το άθροισµα έχουµε: Άρα η f u, V, λ F, ( f + g)(u+ ) = f(u+ ) + g(u+ ) = f(u) + f() + g(u) + g() = (f+ g)(u) + (f+ g)() ( f + g)( λu) = f( λu) + g( λu) = λf(u) + λg(u) + g είναι γραµµική. = λ[ f(u) + g(u)] = λ( f + g)(u) Για τον βαθµωτό πολλαπλασιασµό που ορίστηκε από την σχέση () η απόδειξη γίνεται µε όµοιο τρόπο. Είναι εύκολο να δούµε ότι υπάρχει µηδενικό στοιχείο, είναι η µηδενική απεικόνιση ϑ :V W,u 0 W Κάθε γραµµική απεικόνιση f έχει αντίθετη την f = ( 1)f και ικανοποιούνται όλα τα αξιώµατα που ορίζουν ένα διανυσµατικό χώρο Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική. 3 ( ) ( + ) f :, x y x y x y y Λύση Ο τύπος της f γράφεται x + y x x f (X) = f = x y 1 1 X, 1 1 y = = = y y δηλαδή η απεικόνιση είναι της µορφής f = L και εποµένως είναι γραµµική. Παράδειγµα Έστω M ( ) ο διανυσµατικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων και X M ( ). Ορίζουµε την απεικόνιση

25 Σελίδα 5 από 9 να δείξετε ότι είναι γραµµική. Λύση f :M ( ) M ( ), X + X Θα δούµε αν ισχύουν οι δύο ιδιότητες της γραµµικότητας Αν, M ( ), τότε f (+ ) = (+ )X + X(+ ) = (X + X) + (X + X) = f() + f() και για a f (a) = (a)x + X(a) = a(x + X) = af() εποµένως η f είναι γραµµική. Παράδειγµα 3 Έστω f: η γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει f( ) =,f( ) = Να βρείτε τον τύπο της. Λύση Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα 1 0, 1 αποτελούν βάση του πεδίου ορισµού. Θα προσπαθήσουµε να γράψουµε κάθε διάνυσµα του ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων αυτής της βάσης. Από την σχέση προκύπτει Εποµένως x 1 0 = a + b y 1 x a a= x = y a+ b b= x+ y

26 Σελίδα 6 από 9 x f ( ) = f [ x + ( x+ y) ] = xf( ) + ( x+ y)f( ) y y 0 1 x = x + ( x+ y) = = 3 4 5x+ 4y 5 4 y 0 1 x = X, =,X = 5 4 y Παρατήρηση (βλ. και επόµενο παράδειγµα): Ο πίνακας 0 1 = 5 4 είναι αντιστρέψιµος, άρα και η απεικόνιση f έχει αντίστροφη την 1 f : µε τύπο x f f (X ) X X = = = y x x y = 5 5 = 5 5 y 1 0 x Παράδειγµα 4 Έστω η γραµµική απεικόνιση f: µε τύπο x x+ y f( ) = y x y Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε τον τύπο της 1 f. Λύση Αν θέσουµε X x =, η απεικόνιση γράφεται y x x+ y 1 1 x f(x ) = f( ) = = y x y 1 1 y 1 1 = X, = 1 1

27 Σελίδα 7 από 9 Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος έχουµε 1 1 f (X ) f(y ) X Y X Y X δηλαδή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα. = = = =Y Ακόµη, αν Y0 η εξίσωση f (X) = Y0 γράφεται ισοδύναµα X = Y X = Y έχει δηλαδή λύση ως προς X, άρα η f είναι επί και κατά συνέπεια αντιστρέψιµη. Η αντίστροφη 1 f : έχει τύπο x = = = y x y + x = = 1 1 y 1 1 x y f f (X ) X X Παράδειγµα 5 Έστω οι γραµµικές απεικονίσεις 3 3 f:,g: µε τύπους x x x x z f( y ),g( = y ) = y z + y z z Να βρεθούν οι απεικονίσεις f + g,f,3f 5g. Λύση Αν θέσουµε X = ( x y z), τότε ος τρόπος: x x z 3x z (f + g)(x) = f(x) = g(x) = + = y+ z y y+ z x 4x (f )(X ) = f(x ) = = y + z y + z x x z (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3 5 y+ z y 6x 5x 5z x 5z = = 3y+ 3z 5y y+ 3z

28 Σελίδα 8 από 9 (f + g)(x) = f(x) + g(x) = X+ X = (+ )X = X, = + = 0 1 (f )(X ) = f(x ) = (X ) = ()X = DX,D = = 0 (3f 5g)(X) = 3f(X) 5g(X) = 3X 5X = (3 5)X = EX,E = 3 5 = 0 3 Παράδειγµα 6 Έστω οι απεικονίσεις 3 f:,g: µε τύπους x x x y f( y ) =,g( ) = y+ z y x z Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι απεικονίσεις f g,g f. Λύση f g g f 3 Η δεν ορίζεται. Για την, έχουµε: µε τύπο g f : ος τρόπος Επειδή x y+ z (g f )(X) = g( f(x)) = g( ) = y+ z x f(x ) = X, =,g(x ) = X,= ( g f )( X ) = g( f ( X )) = g( X ) = X = X, = = 0 0 Ασκήσεις 8.1 f: 3 3 1) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές: ( ) = ( ) (1) ( ) f x y z y z 0

29 Σελίδα 9 από 9 ( ) = ( ) () ( ) f x y z z y x ( ) = ( ) (3) ( ) f x y z x z 0 ( ) = ( ) (4) ( ) f x y z x 1 z 0 ( ) = ( + ) (5) ( ) f x y z x y z 0 ( ) = ( + ) (6) ( ) f x y z x y 3z x z x y ) ίνεται ένας τετραγωνικός µη µηδενικός πίνακας M ( ). Να εξετάσετε αν οι παρακάτω απεικονίσεις :M ( ) M ( ) είναι γραµµικές. (1) ( X ) = X X () ( X ) = X X 3) Να εξετάσετε αν η παρακάτω απεικόνιση είναι γραµµική ] µε τύπο ( ) f : [x] [x + 1 f p( x ) = 1+ xp( x ) 4) Έστω I: [x] η απεικόνιση που ορίζεται από τη σχέση να δείξετε ότι είναι γραµµική. ( ) I p( x ) = p( x )dx, 0 1 Απαντήσεις Υποδείξεις 8.1 1) (1), (), (5), (6) Είναι γραµµικές [χρησιµοποιήστε τον ορισµό 8.1.1, βλ. παράδειγµα )].(3), (4) δεν είναι γραµµικές (χρησιµοποιήστε το θεώρηµα 8.1.3, βλ. παράδειγµα 8.1.4) ) (1) Είναι γραµµική, βλ παράδειγµα ). () εν είναι γραµµική, (βλ. Θεώρηµα 8.1.3) 3) εν είναι γραµµική, βλ. Θεώρηµα ) Είναι γραµµική (χρησιµοποιήστε ιδιότητες του ολοκληρώµατος).

30 Σελίδα 30 από 9 8. Πυρήνας και εικόνα Θα ορίσουµε δύο σηµαντικούς διανυσµατικούς χώρους, τον πυρήνα και την εικόνα µιας γραµµικής απεικόνισης. Ένας τετριµµένος πυρήνας χαρακτηρίζει τις ένα προς ένα απεικονίσεις, ενώ αντίθετα η µεγαλύτερη δυνατή εικόνα τις «επί» γραµµικές απεικονίσεις Ορισµός (Πυρήνα και Εικόνας) 1) Ο πυρήνας Kerf µιας γραµµικής απεικόνισης f :V W είναι το σύνολο των διανυσµάτων του V που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του W. ηλαδή { } Kerf = V, f ( ) = 0 V. ) Υπενθυµίζουµε ότι η εικόνα Im f µιας απεικόνισης αποτελείται από τα διανύσµατα w W τα οποία έχουν πρότυπο, δηλαδή τα στοιχεία του πεδίου τιµών για τα οποία υπάρχει V έτσι ώστε w= f(). Im f = { w W, V,w= f() } W W 8.. Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Έστω η γραµµική απεικόνιση ( ) f :, x y 3x y Θα αναζητήσουµε : α) Τα διανύσµατα που αποτελούν τον πυρήνα Kerf της f. ηλαδή, τα διανύσµατα X = ( x y) του που απεικονίζονται στο µηδενικό στοιχείο του. Επειδή 3x y = 0 y = x 3 τα διανύσµατα του πυρήνα είναι το σύνολο ( x y ) y = x = x x,x = x 1,x Παρατηρούµε ότι ο πυρήνας της του που παράγεται από το διάνυσµα 1 3 συγγραµµικό του όπως το διάνυσµα ( 3 ) f είναι ο µονοδιάστατος διανυσµατικός υπόχωρος και φυσικά και από κάθε

31 Σελίδα 31 από 9 β) Τα διανύσµατα του πεδίου τιµών που ανήκουν στην εικόνα Im f. ηλαδή, τα διανύσµατα του πεδίου τιµών τα οποία έχουν πρότυπα. Εποµένως, αναζητούµε τους πραγµατικούς αριθµούς που γράφονται στην µορφή 3x y,( x,y ). Επειδή κάθε πραγµατικός αριθµός z γράφεται z z z = 3 συµπεραίνουµε ότι 3 η εικόνα της f είναι το. (Παρατηρήστε ότι το άθροισµα των διαστάσεων του πυρήνα και της εικόνας µας δίνουν την διάσταση του πεδίου ορισµού της γραµµικής απεικόνισης). Παράδειγµα Έστω D: η γραµµική απεικόνιση του παραδείγµατος 7 της Ο πυρήνας της D είναι: { } { } { } KerD = f D( f ) = 0 = f f = 0 = c c =, διότι, αν µια παραγωγίσιµη στο συνάρτηση έχει µηδενική παράγωγο τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Η εικόνα της D είναι { } { } Im f = D(f),f = f,f δηλαδή µια συνάρτηση g του Α ανήκει στην εικόνα της απεικόνισης αν, και µόνο αν µπορεί να γραφεί σαν παράγωγο µιας άλλης συνάρτησης f του Α ( g = f ). Εποµένως, πρόκειται για τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχει παράγουσα ( ή αρχική). Από την Ανάλυση γνωρίζουµε ότι κάθε συνεχής στο συνάρτηση έχει παράγουσα και εποµένως το πεδίο τιµών είναι το Α. Η απεικόνιση είναι επί του Α. Παράδειγµα 3 ίνεται η γραµµική απεικόνιση 3 f: µε τύπο x + y x f = x y y y

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων....4.. υνάµεις πινάκων...4.. Εξισώσεις διαφορών...5.. ιαφορικές εξισώσεις......4

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα