5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ. 1. Ορισµός. 2. Ιδιότητες από τον ορισµό. 3. Ιδιότητες. 4. εκαδικοί και Φυσικοί λογάριθµοι. 5. Ιδιότητες logθ = x

Transcript

1 . ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός θ λέγετι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουµε τον γι ν βρούµε τον θ, δηλδή : θ θ Περιορισµοί : > 0 κι, θ > 0. Ιδιότητες πό τον ορισµό. Ιδιότητες θ θ 0 ( θθ ) θ + θ θ θ θ θ κ θ κ θ, κ R ν θ ν θ θ, ν N µε ν ν 4. εκδικοί κι Φυσικοί λογάριθµοι εκδικοί λογάριθµοι λογάριθµοι µε βάση το 0 Φυσικοί λογάριθµοι λογάριθµοι µε βάση το e Συµφωνί : 0θ θ κι eθ lnθ. Ιδιότητες θ 0 θ κι lnθ e θ 6. Τύπος λλγής βάσης βθ θ β, όπου θ > 0 κι 0 <, β

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Μάθετε πολύ κλά i) τον ορισµό ii) τους περιορισµούς iii) τις ιδιότητες Γρήγορ θ διπιστώσετε ότι οι σκήσεις είνι εύκολες ΑΣΚΗΣΕΙΣ. είξτε ότι Είνι Έστω ότι (4 ) ( ) Άρ Αν, y, z 4, > 0 κι, δείξτε ότι y z + y + z + ( ) y y y 4 4 z 4 z z ( ) z Άρ y z 8 κι + y + z Oπότε y z + ψ + z +

3 . Ν ποδείξετε ότι + 6 () () + + () + + [ + ] ( + ) Ν ποδείξετε ότι ( ) 6 [ ( 6 ) + ( 6 { } + (6 ) + (6 ) 4 + [ 6+ ]

4 4. Αν 0,0 κι 4,46, ν βρείτε τους λογάριθµους 4 8,, 6,,. 7 8 ( 4) + 4 0,0 +,46, ,0 0, (7 8) ,46 0,0 + 0,90, ,4 ( 7) ,44 6. Γι κάθε, y > 0 κι δείξτε ότι y y Αρκεί ν ποδείξουµε ότι ( y ) (y ) y y που είνι προφνής.

5 7. Ν βρείτε τον > έτσι ώστε ν ισχύει ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) ( 8) () Θέτουµε 8 y, οπότε η () y + y 9 0 y ή y 8 ή 8 8 ή 8 ή 8 8 (πορρίπτετι) ή Ν βρείτε τον έτσι ώστε ν ισχύει

6 6 9. Αν µί ριθµητική πρόοδος έχει πρώτο όρο κι δεύτερο β, ν ν( ν ) β ποδείξετε ότι το άθροισµ S ν των ν πρώτων όρων της είνι Sν ν( ν ) [ + ( ν ) ων ] Είνι S ν () Όµως ω β β () S ν ν + ( ν )β ν β + ν ν β ν ν β ν ν ν β ν ν β ν ν ν β ν( ν ) ν( ν ) 0. Ν λυθεί η εξίσωση ( + ) + Περιορισµός : + > 0 κι > 0 > κι > 0 > 0 (+ ) + (+ ) + ( ) (+ ) + [( +)] ( + ) ή 4. Η πορρίπτετι γιτί δεν ικνοποιεί τον περιορισµό

7 7. Ν λυθεί η εξίσωση Περιορισµός : > 0 κι + 0 κι 0 Θέτοντς y η εξίσωση γίνετι y y+ + y+ y 7y + y 4 0 y ή 7 y 7 ή ή Ν λυθεί η εξίσωση [( + )] 0 Περιορισµοί : + > 0 κι ( + ) > 0. [( + )] 0 [( + )] ( + ) ( + ) ή πορρίπτετι

8 8. Ν λυθεί η εξίσωση + Περιορισµός : > Θέτουµε y, oπότε η εξίσωση γίνετι y+ y y y+ 0 y 8 ή y 4 8 ή ή 4 ή 0 ή 0

9 9 4. Ν λυθεί η εξίσωση + (4) 00 Περιορισµός : > 0 + (4) 00 (4) ( + )[(4)] ( + )( 4+ ) 00 ( + )( + ) 00 (+)(+) 00 ( + ) 0 ( + ) 4 + ± + ± (4) ή (4) 4 0 ή 4 0 ή 400

10 0. Ν λυθεί η εξίσωση ( + ) Πρέπει ν είνι + > 0, που ισχύει. ( + ) ( + ) [8( + )] (78 ) Ν λυθεί η εξίσωση 0 Πρέπει ν είνι > 0 [0 ] ( ) ( ) ( ) + 0 Θέτουµε y y y + 0 y ή y ή 0 ή 0 00 ή 0

11 7. Ν λυθεί η εξίσωση ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) + ( + ) ( + 7) [4( + )] (-) Θέτουµε y y 4y + 0 y ή y - ή - 0 ή 0 ή 8. Ν λυθεί η εξίσωση + (+ ) ( + ) (+ ) + 6 [0 ( + )] (6 ) 0 (+ ) 6 (+ ) 6 ( + ) 6 Θέτουµε y y + y 6 0 y ή y οπότε (δύντη) ή

12 9. Ν βρείτε το ώστε οι ριθµοί, ( ), ( + ) µε την σειρά που δίνοντι ν είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Γι ν ορίζοντι οι ριθµοί πρέπει ν ισχύει > 0 κι + > 0 Γι ν ποτελούν διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου πρέπει ( ) + ( +) ( ) [( + )] ( ) Θέτουµε y y 4y 0 y ή y ή δύντη 0. y Ν λυθεί το σύστηµ + y Πρέπει ν ισχύουν > 0 κι y > 0 y 0 y ( y ) 00 + y 0 y y 00 0y 4 00y 00 0 y

13 . i) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε, y > 0 ισχύει y y + ii) Ν λυθεί το σύστηµ y i) y y y y ii) Πρέπει ν είνι > 0 κι y > 0 y y 0 y..y η οποί είνι προφνής + y y y 0 (i) y 0 (y) y 0 (y) Θέτουµε κι y β y 0 (y) y + y β +β κι β κι y 0 κι y 0