FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga"

Transcript

1 VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R n vektorinė erdvė Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ), kuriuos vadinsime šios erdvės taškais Be mums jau žinomu vektoriu veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena operacija Apibrėžimas Dvie vektoriu a = {a 1,, a n } ir b = {b 1, b n } skaliarine sandauga (žymėsime a b) vadinsime skaičiu α β = a 1 b a n b n Vektorinės erdvės sa voka šiek tiek susiaurinkime, reikalaudami, kad vektorinėje erdvėje būtu apibrėžta skaliarinė sandauga Kitaip tariant, mes nagrinėsime tik tas vekorines erdves, kuriose apibrėžta vektorinė sandauga Apibrėžimas Tarkime, kad x, y, z R n Tuomet funkcija (ρ R n R n R ), kuri dviems vektorinės erdvės elementams priskiria koki nors realu skaičiu, vadinsime atstumu, jeigu ji turi savybes 1) ρ(x, y) 0, ρ(x, y) = 0 x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x); 3) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) Kyla klausimas - kaip apibrėžti funkcija ρ(, )? Pasirodo, kad tai atlikti galime naudodami skaliarine sandauga Skaitytojas nesunkiai patikrins, kad visas atstumo savybes tenkina funkcija Kitaip tariant ρ(x, y) = (x y) (x y) ρ n (x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2, čia x, y R n n N Tikimės skaitytojas supranta, kad atstumas (metrika) tarp erdvės elementu nusakomas ne vieninteliu būdu! Ateityje mes nagrinėsime vektorines erdves R n, kai n = 1, 2, 3,, su jose apibrėžta metrika ρ n (, ) Beje, pastaroji metrika vadinama Euklidine metrika Visiškai analogiškai, bet kokia metrine erdve R n, su Euklidine metrika ρ(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2, x, y R n, x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ), vadinsime n mate metrine erdve Beje, kai n = 1, 2, 3, tai šias erdves vadinsime tiese, plokštuma bei trimate erdve, atitinkamai Apibrėžimas Taisykle, kuri realiu skaičiu rinkiniams (x 1, x n ) priskiria viena realu skaičiu, vadinsime n funkcija, i gyjančia realias reikšmes Žymėsime z = f(x 1,, x n ) Skaičius z vadinamas n funkcijos reikšme, o rinkinys x 1,, x n funkcijos f laisvaisiais kintamaisiais Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) apibrėžimo sritimi vadinsime erdvės R n tašku aibe D(f) = {x R n, z R, f(x) = z} Realiu skaičiu aibės poaibis E(f) = {z R; x = (x 1,, x n ) D(f), f(x 1, x 2,, x n ) = z} yra vadinamas funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) reikšmiu aibe Pavyzdys Panagrinėkime funkcija f(x, y) = x 2 y 2 Šios funkcijos reikšmiu sriti sudaro visi neneigiami realūs skaičiai, ty E(f) = [0, + ) Šios funkcijos apibrėžimo sriti sudaro visi plokštumos taškai tenkinantys nelygybe 82

2 (x y)(x + y) 0 Skaitytojui siūlome pažymėti šia sriti plokštumoje Apibrėžimas Sakysime, kad n- funkcija yar didėjanti kintamojo x i atžvilgiu, jeigu f(x 1,, x 0 i,, x n ) f(x 1,, x 1 i,, x n ) > 0, jei x 0 i > x 1 i Sakysime, kad n- funkcija yar mažėjanti kintamojo x i atžvilgiu, jeigu f(x 1,, x 0 i,, x n ) f(x 1,, x 1 i,, x n ) < 0, jei x 0 i > x 1 i Pateiksime keleta daugelio funkci pavyzdžiu, kurios taikomos ekonominėse teorijose Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu f(x) = n x α i, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n} vadinsime Kobo-Duglo (Cobb-Douglas) funkcija Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu f(x) = min { x 1 α 1,, x n α n }, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n} vadinsime Leontjevo (Leontief) funkcija Pavyzdys Funkcija f [0, ) n R, n N apibrėžta tokiu būdu ( n ) f(x) = x q 1 i α q i, fiksuotiems α i > 0, i {1,, n}, q 1, q 0 vadinsime CES funkcija Visos šios funkcijos yrs didėjančios x i atžvilgiu Bet koki vektorinės erdvės poaibi vadinsime sritimi Aibės B R n srities siena vadinsime plokštumos tašku aibe, kurios aplinkoje yra ir aibės B ir šios aibės papildinio B c tašku Visi B taškai nepriklausantys srities sienai yra vadinami vidiniais srities taškais Sritis bus vadinama uždara, jeigu jai priklauso visi sienos taškai Kitu atveju sritis bus vadinama atvira Sakysime, kad sritis yra aprėžta, jeigu atstumas tarp bet kokiu šios srities elementu yra baigtinis Tarkime A R n, r 0 Sriti B(A, r) = {X R n, ρ(a, X) < r}, vadinsime atviru rutuliu, o sriti (B(A, r) = {X R n, ρ(a, X) r}) r 0, vadinsime uždaru rutuliu Bet koki atvira rutuli, kuriam priklauso taškas X 0 = (x 1,, x n ), vadinsime šio taško aplinka 72 Funkcijos riba Funkcijos tolydumas Pažymėkime M = (x 1, x 2,, x n ) ir M 0 = (x 0 1,, x 0 n) ir M k = (x k 1,, x k n), k N 83

3 Apibrėžimas Sakysime, kad seka {M k } R n konverguoja vektorinėje erdvėje R n i ribini taška A R n, jei kiekvienam ɛ > 0, egzistuoja numeris n 0 toks, kad visiems k > n 0, atstumas tarp ribinio taško A ir sekos nariu M k, kai k > n 0 yra mažesnis negu ɛ, ty ρ(m k, A) < ɛ Jei seka M k konverguoja i A, tai ši fakta trumpai žymėsime lim k M k = A Teisinga tokia teorema 1 Teorema Seka M k turi riba (x 0 1,, x 0 n) tada ir tik tada, kai kiekviena sekos M k koordinatė konverguoja i atitinkama taško M 0 koordinate, ty lim k xk i = x 0 i, i {1,, n} Apibrėžimas Realu skaičiu A vadinsime funkcijos f(x 1, x 2,, x n ) riba taške M 0, jeigu bet kokiai sekai {M k }, tokiai, kad lim k M k = M 0 išplaukia, kad funkcijos reikšmiu seka Trumpai, Skaitytojui siūlome i sitikinti, kad M n = 2 Teorema Sakykime, kad Tada Jei f(m) = A 0, tai lim f(m k ) = A k lim f(m) = A M M 0 ( 2n ) n+2 ( 1) n n lim f(m) = A, M M 0 lim g(m) ± f(m) = B ± A, M M 0 g(m) lim M M 0 f(m) = B A ( ) 2, kai n 0 lim g(m) = B M M 0 lim g(m) f(m) = B A M M 0 Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija f(m) yra nykstama taške A, jei lim M A f(m) = 0 Nagrinėdami vieno kintamojo funkcijas, norėdami i rodyti, kad riba taške egzistuoja, turėjome i sitikinti, kad ribos iš kairės ir dešinės egzistuoja ir be to jos sutampa Daugelio atveju, turėtume tikrinti ribas, kai artėjama prie taško, bet kokia trajektorija Pastaroji savybė dažnai naudojama, kai norima parodyti, kad taške riba neegzistuoja Kalbant konkrečiai, norint i rodyti, kad riba neegzistuoja, pakanka nurodyti keleta trajektori kuriomis artėdami prie ribinio taško gauname skirtingas funkcijos ribines reikšmes Apibrėžimas Funkcija z = f(x 1, x 2,, x n ) = f(m) yra tolydi taške M 0, jeigu lim f(m) = f(m 0 ) (1) M M 0 84

4 Jeigu taške M 0 (1) nėra tenkinama, tai tada taškas M 0 vadinamas funkcijos trūkio tašku Sakysime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi srityje D, jeigu ji tolydi bet kokiame šios srities taške Taškas M 1 bus trūkio tašku, jeigu 1) funkcija z = f(m) yra apibrėžta visuose taško M 1 aplinkos taškuose, išskyrus taška M 1 ; 2) funkcija z = f(m) apibrėžta visuose taško M 1 aplinkos taškuose, bet riba neegzistuoja arba lim f(m) M M 1 lim f(m) f(m 1 ) M M 1 Auksčiau paminėti požymiai sudaro prielaidas nustatyti trūkio taškus Pavyzdys Panagrinėkime funkcija kad f(x, y) = { xy x 2 +y 2, jei x 2 + y 2 0, 0, jei x 2 + y 2 = 0 Pastebėsime, kad f(0, 0) = 0 Suskaičiuokime riba, kai y artėja link 0 tiese y = 2x Turime, lim (x,2x) (0,0) x2x x 2 + (2x) 2 = 2 5 Matome, kad egzistuoja ribinė reikšmė, kuri nesutampa su funkcijos reikšme šiame taške Taigi, taške (0, 0) nagrinėjam funkcija nėra tolydi arba (1) lygybe galime perrašyti ir taip lim f(x 1 + x 1,, x n + x n ) = f(x 1, x n ) x 1 0, x n 0 lim ( f(x1 + x 1,, x n + x n f(x 1, x n ) ) = 0 (2) x 1 0, x n 0 Pažymėkime ρ = ( x 1 ) ( x n ) 2 Nesunku suprasti, kad tada, kai x 1 0 x n 0 Remdamiesi šiais žymėjimais, (2) lygybe galime perrašyti taip ρ 0 tada ir tik lim f = 0 (3) ρ 0 Tolydžios daugelio funkcijos turi panašias savybes kaip ir vieno kintamojo funkcijos Be i rodymo paminėkime šias savybes Tarkime, kad M R n 1 Savybė Jeigu funkcija z = f(m) apibrėžta ir tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D, tai šioje srityje egzistuoja taškai, tarkime M 0 ir M 1, kuriuose funkcija i gyja didžiausia ir mažiausia reikšmes, atitinkamai, ty max f(m) = A ir min M D 85 f(m) = a M D

5 Kitaip tariant, A = f(m 0 ) ir a = f(m 1 ) yra didžiausia ir mažiausia funkcijos f(m) reikšmės srityje D, atitinkamai 2 Savybė Tarkime, kad a < µ < A Tarkime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D Tada egzistuoja srities D taškas M 2 toks, kad teisinga lygybė f(m 2 ) = µ 3 Savybė Tarkime, kad funkcija z = f(m) yra tolydi uždaroje ir aprėžtoje srityje D Jeigu šioje srityje funkcija i gyja skirtingu reikšmiu ženklus, tai egzistuoja taškas N 0 D toks, kad f(n 0 ) = 0 Tikimės, kad skaitytojas atkreipė dėmesi i tai, kad minėtosios savybės tėra vieno kintamojo funkci savybiu apibendrinimas 4 Savybė Jei funkcijos f(m), g(m) yra tolydžios taške M 0, tai šiame taške yra tolydi ir šiu funkci suma, skirtumas ir sandauga Jei funkcija g(m 0 ) 0, tai šiame taške tolydus šiu funkci santykis, ty f(m)/g(m) tolydi taške M 0 73 Dalinės išvestinės Nagrinėsime n funkcija z = f(x 1,, x n ) Su koordinate x i susiekime skaičiu x i + x i, i = 1,, n; x i R Šiuo atveju sakysime, kad koordinatei x i suteikiame pokyti x i Apibrėžimas Funkcijos f daliniu pokyčiu taške (x 1, x n ), kintamojo x i atžvilgiu (žymėsime xi f), atitinkančiu argumento pokyti x i, vadinsime toki skirtuma xi f = f(x 1, x i 1, x i + x i,, x n ) f(x 1,, x n ) Suteikime laisviesiems kintamiesiems x i, i = 1, n pokyčius x i Funkcijos z = f(x 1, x n ) pilnuoju pokyčiu taške (x 1,, x n ) vadinsime toki skirtuma f = f(x 1 + x 1,, x n + x n ) f(x 1, x 2,, x n ) Apibrėžimas Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) daline išvestine kintamojo x i, i = 1,, n atžvilgiu vadinsime tokia santykio riba z x i = f x i = f(x 1, x i 1, x i + x i, x i 1,, x n ) f(x 1, x 2,, x n ) lim, x i 0 x i jei ši riba egzistuoja Priešingu atveju sakysime, kad dalinė išvestinė neegzistuoja Gana dažnai naudojamas ir toks dalinės išvestinės žymėjimas f((x 1, x 2,, x n )) x i = z x i Pastebėsime, kad jei funkcija kokiame nors taške turi visas dalines išvestines, tai dar nereiškia, kad šiame taške funkcija yra tolydi! Kai tuo tarpu nagrinėdami vieno kintamojo funkcijas galime tvirtinti, kad jei funkcija turi tolydžia išvestine taške, tai šiame taške funkcija yra tolydi Skaičiuodami dalines išvestines, kurio nors kintamojo, tarkime x 1, atžvilgiu, mes laikome, kad visi kiti laisvieji kintamieji yra konstantos ir skaičiuojame išvestine šio kintamojo atžvilgiu, tardami, kad funkcija priklauso tik nuo vieno kintamojo x 1 Sakykime, kad duota aibiu sistema A i R Tada aibiu A i, i = 1,, n tiesiogine sandauga vadinsime tokia aibe 86

6 A = A 1 A 2 A n = {(x 1,, x n ); x i A i } Tada vektorine erdve R n galime apibrėžti tokiu būdu R n = R R 3 TeoremaTarkime, kad A = A 1 A 2 A n, ir f A R funkcija, turinti dalines išvestines visu atžvilgiu, Y, T R Sakykime, kad 10) g i T A i, A i A visiems i {1, 2,, n} diferencijuojamos funkcijos Tada funkcijos h T Y, apibrėžtos tokiu būdu išvestinė yra lygi h(t) = f(g 1 (t),, g n (t)), t T, dh dt (t) = n f x i (g 1 (t),, g n (t)) dg i dt (t) 2) Tarkime, kad g i V A i, V R k, visiems i {1, 2,, n}, yra funkcijos, turinčios dalines išvestines visu atžvilgiu Tada galime apibrėžti funkcija h R k Y, tokiu būdu h(t) = f(g 1 (t),, g n (t)), t V Be to, šios funkcijos išvestinės t j, j = 1,, k atžvilgiu yra lygios dh dt j (t) = n f x i (g 1 (t),, g n (t)) dg i dt j (t), j {1,, k} ir t R k Pavyzdys Tarkime, kad f(x 1, x 2 ) = x 2 1(x 2 + 1), g 1 (t) = sin t, g 2 (t) = t 2 Apibrėžkime funkcija h(t) = f(g 1 (t), g 2 (t)) Tada, naudodamiesi paskutine teorema gauname, kad šios funkcijos išvestinė kintamojo t R atžvilgiu yra lygi dh f (t) = dt (g 1 (t), g 2 (t)) dg 1 x 1 dt (t) + f x 2 (g 1 (t), g 2 (t)) dg 2 dt (t) = 2 sin t(t 2 + 1) cos t + sin 2 t 2t 74 Pilnas funkcijos diferencialas Aukštesniu eiliu diferencialai Tarkime, kad funkcijos u = f((x 1, x 2,, x n )) išvestinė u x i egzistuoja kokioje nors taško M aplinkoje Taigi, šiuo atveju išvestinė nurodyto kintamojo atžvilgiu yra funkcija, x 1,, x n at=vilgiu Jeigu ši funkcija turi išvestine taško M aplinkoje kintamojo x k atžvilgiu, tai šia išvestine vadinsime pradinės funkcijos antros eilės išvestine x i, x k atžvilgiu ir šia išvestine žymėsime simboliu 2 f(m), arba u x x i x i x k k Jei i k, tai ši išvestinė bus vadinama mišria ja Visiškai analogiškai yra apibrėžiamos ir aukštesniu eiliu išvestinė, tačiau mes apie tai plačiau nekalbėsime Skaitytojas besidomintis šia problema galėtu paskaityti A Kabailos Matematinės analizės vadovėli, 2d 87

7 Perrašykime funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) pilna ji pokyti tokiu būdu f(x 1, x 2,, x n ) = ( f(x1 + x 1, x n + x n ) f(x 1, x 2 + x 2, x n + x n )+ f(x 1, x 2 + x 2, x n + x n ) f(x 1, x 2, x 3 + x 3, x n + x n ) +(f(x 1, x i, x n + x n ) ) f(x 1, x 2,, x i + x i, x n + x n )) + +(f(x 1, x n 1, x n + x n ) f(x 1, x 2,, x n )) (4) Taikydami Lagranžo teorema skirtumui f(x 1, x i + x i, x n + x n ) f(x 1, x i, x i+1 + x i+1,, x n + x n ), i = 1,, n gauname tokia lygybe f(x 1, x i + x i, x n + x n ) f(x 1, x i, x i+1 + x i+1,, x n + x n ) = x i f(x 1,, x i 1 + x i 1, η, x i+1 + x i+1 x n ) x i, Remdamiesi (5) lygybe iš (4) sa ryšio gauname Pastebėkime, kad x i η x i + x i (5) f = f(η 1, x 2, x 3,, x n ) x 1 x 1 + f(x 1, x 2,, η n ) x n x n (6) f(x 1,, x i 1, η, x i+1,, x n ) lim = f((x 1, x 2,, x n )) x i 0 x i x i i = 1, n Remdamiesi paskutiniosiomis lygybėmis, iš (6) gauname, kad f = f((x 1, x 2,, x n )) x 1 x 1 + f((x 1, x 2,, x n )) x 2 x Pastebėsime, kad dydžiai f((x 1, x 2,, x n )) x n + α 1 x α n x n (7) α 1 x 1 ρ,, α n x n ρ yra nykstami, kai ρ 0, kadangi x 1 / ρ 1 x n / ρ 1, (ty yra aprėžti), o α i, i = 1 n, yra nykstami Beje, (7) lygybėje pirmieji n dėmenu yra tiesiniai, pokyčiu x i atžvilgiu Jeigu dalinės išvetinės z x i yra nelygios nuliui, kokiame nors taške, tai šiame taške (7) lygybės pirmieji n dėmenu sudaro pagrindine funkcijos pokyčio dali, kadangi like dėmenys yra aukštesnės eilės nykstami dydžiai 88

8 Apibrėžimas Funkcijos z = f(x 1, x 2,, x n ) pilnojo pokyčio šios funkcijos pilnuoju diferencialu ir žymėsime pagrindine dali vadinsime dz = f x 1 x f x n x n (7) lygybe galime perrašyti ir taip z = dz + α 1 x α n x n Matome, kad z dz Pastaroji lygybė dažnai naudojama apytiksliams skaičiavimams Kalbant kiek konkrečiau, perrašykime šia apytiksle lygybe tokiu būdu f(x 1 + x 1, x n + x n ) f((x 1, x 2,, x n )) + f x 1 x 1 + f x n x n Laisvu pokyti ateityje žymėsime simboliais dx i = x i, i = 1,, n Naudodami šiuos žymėjimus, funkcijos z pilna ji diferenciala perrašome taip dz = f x 1 dx f x n dx n Taigi, jei funkcija z = f(x 1,, x n ), tai funkcijos pilnasis diferencialas yra lygus dz = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n Apibrėžimas Funkcijos z antros eilės diferencialu vadinsime pirmos eilės diferencialo, diferenciala Visu pirma panagrinėkime dvie funkcija z = f(x, y) Suskaičiuokime šios funkcijos antros eilės diferenciala Turime, kad d 2 z = d(dz) = d ( f x 1 dx f x n dx n ) Pastebėsime, kad x i, i = 1,, n, yra laisvieji kintamieji, todėl (x i ) x j = 0, i j Tada d 2 z = ( dz ) x 1 x ( dz ) x n x n = f x 1 ( x 1 ) 2 + f x n ( x n ) i<j n f x i x j x i x j dz = f x 1 x 1 dx f x 2 x 2 dx f x n x n dx 2 n+ 2 n i,j=1 i j f x i x j dx i dx j Nesunku suprasti, kad paskutini ji diferenciala galime perrašyti ir taip d 2 z = n i,j=1 f x i x j dx i dx j 89

9 Apibrėžimas Funkcijos y = f(x 1, x n ), k os eilės diferencialas yra lygus k 1 eilės diferencialo, diferencialui Kitaip tariant, norint rasti aukštesnės eilės diferenciala, reikia mokėti skaičiuoti žemesnės eilės diferencialus Praktiškai susidursime tik su antros eilės diferencialais, todėl apie aukštesnės eilės diferencialus plačiau nekalbėsime 75 Sudėtinės ir neišreikštinės funkcijos išvestinės ir diferencialai Tarkime, kad duota funkcija z = F (u, v), o funkcijos u, v yra laisvu x, y funkcijos, ty u = ϕ(x, y) ir v = ξ(x, y) Taigi, funkcija F yra sudėtinė, dvie funkcija Laikome, kad funkcijos u ir v yra tolydžios nagrinėjamoje srityje Apskaičiuokime šios funkcijos dalines išvestines laisvu atžvilgiu Suteikime laisva jam kintama jam pokyti x, o tuo tarpu y laikykime fiksuotu Tada funkcijos u ir v taip pat pakinta dydžiais x u ir x v Bet tada funkcija F irgi pakinta, o jos pokytis yra toks z = F u x u + F v x v + α 1 x u + α 2 x v Padaline abi paskutiniosios lygybės puses iš x ir perėje prie ribos, kai x 0 gauname, kad ir x u 0 ir x v 0 (kadangi funkcijos yra tolydžios) Tada z x = F uu x + F vv x Visiškai analogiškai samprotaudami gauname, kad z y = F uu y + F vv y Beje, jeigu z = F (u 1,, u m ) ir u i = (x 1, x n ), i = 1, m, tai tada z x i = F u i u i x1 + F u i u i xn, i = 1,, m Žinodami funkcijos dalines išvestines galime užrašyti šios funkcijos diferenciala Tikimės, kad tai su malonumu atliks skaitytojas Panagrinėkime funkcija F (x, y) = 0, be to y = y(x) Pasirodo, kad nors ir negalime pačios funkcijos išreikšti laisvuoju kintamuoju x, bet išvestinės šia savybe turi Teisinga tokia teorema 4 Teorema Tarkime, kad funkcija y = y(x), apibrėžta lygtimi F (x, y) = 0, čia F (x, y), F x, F y yra tolydžios funkcijos apibrėžimo srityje D Tarkime, kad (x, y) D, F y(x, y) 0 Tada egzistuoja išvestinė y x kuri skaičiuojama tokiu būdu y x = F x(x, y) F y(x, y) Tarkime, kad funkcija y = y(x) apibrėžta lygtimi F (x, y) = 0 Suteikime laisva jam kintama jam x pokyti x Suprantama, kad funkcija y = y(x) i gys pokyti y Iš lygybės F (x, y) = 0 gauname, kad F (x + x, y + y) = 0 Bet tada F (x + x, y + y) F (x, y) = 0 Paskutinysis skirtumas yra dvie funkcijos pilnasis pokytis, kuris yra lygus 90

10 F (x + x, y + y) F (x, y) = F x x + F y y + α 1 x + α 2 y Bet paskutiniosios lygybės kairioji pusė yra lygi nuliui Tada išplaukia, kad F x x + F y y + α 1 x + α 2 y = 0 Padaline šia lygybe iš x ir perėje prie ribos, kai x 0, gauname lim F x + F y y x 0 x + α y 1 + α 2 x = 0 arba y xf y + F x = 0 Iš paskutiniosios lygybės išplaukia teoremos i rodymas 76 Daugelio funkcijos ekstremumai Mažiausiu kvadratu metodas Funkcijos z = f(x, y) lokalinio maksimumo ir minimumo taškus vadinsime šios funkcijos ekstremumo taškais Šio skyriaus pradžioje pateiktus minimumo ir maksimumo apibrėžimus šiek tiek perfrazuokime Pažymėkime, x = x 0 + x, y = y 0 + y Tad funkcijos f pilna pokyti galime perrašyti taip f(x, y) f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) Remdamiesi ekstremumo apibrėžimu galime tvirtinti, kad 1 jei egzistuoja laisvu pokyčiai, x, y, tokie, kad f(x 0, y 0 ) < 0, tai taškas (x 0, y 0 ) yra lokalinio maksimumo taškas; 2 jei egzistuoja laisvu pokyčiai, x, y, tokie, kad f(x 0, y 0 ) > 0, tai taškas (x 0, y 0 ) yra lokalinio minimumo taškas; 5 Teorema (Būtina ekstremumo egzistavimo sa lyga dvie atveju )Jeigu taškas (x 0, y 0 ) yra funkcijos z = f(x, y) lokalinio ekstremumo taškas, tai bet kokia pirmos eilės dalinė išvestinė šiame taške arba lygi nuliui arba neegzistuoja Šios teoremos i rodymas panašus i vieno kintamojo funkcijos atveji, tereikia fiksuoti viena iš laisvu Tai atlikti paliekame skaitytojui Taškus, kuriuose dalinės išvestinės arba neegzistuoja arba yra lygios nuliui, vadinsime funkcijos kritiniais taškais Pateiksime keleta be i rodymo teiginiu, kuriuose bus nurodytos pakankamos, ekstremumo egzistavimo sa lygos Visu pirma suformuluokime pagrindine teorema, kurios dėka bus galima nustatyti dvie funkcijos ekstremumo taškus Pažymėkime A = z xx(x 0, y 0 ), B = z xy(x 0, y 0 ), C = z yy(x 0, y 0 ), ir D = AC B 2 6Teorema Tarkime, kad taško (x 0, y 0 ) aplinkoje funkcija turi tolydžias dalines (iki trečios eilės imtinai) išvestines Be to tarkime, kad taškas (x 0, y 0 ) yra funkcijos z = f(x, y) kritinis taškas Tada šis taškas yra funkcijos f(x, y) 1 lokalinio maksimumo taškas, jeigu D > 0 ir A < 0; 2 lokalinio minimumo taškas, jeigu D > 0 ir A > 0; 3 ekstremumo nėra, jei D < 0; 4 situacija neapibrėžta ir reikia te sti nagrinėjima, jeigu D = 0 Be i rodymo pateiksime daugelio funkcijos ekstremumo egzistavimo būtinas ir pakankamas sa lygas Tegu z = f(x 1,, x n ) Be to ρ = dx dx2 n 91

11 7 Teorema (Funkcijos, turinčios dalines išvestines, būtinos ekstremumo egzistavimo sa - lygos) Tarkime, kad funkcija z turi tolydžias, antros eilės dalines išvestines, kokioje nors taško M 0 R n aplinkoje Jei taškas M 0 yra funkcijos maksimumo taškas, tai tada egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r teisinga nelygybė d 2 z 0 Jei taškas M 0 yra funkcijos minimumo taškas, tai tada egzistuoja taško aplinka B(M 0, r) tokia, kad visiems ρ r teisinga tokia nelygybė d 2 z 0 (Pakankamos ekstremumo egzistavimo sa lygos) Tarkime, kad z = f(x 1,, x n ) turi tolydžias antros eilės dalines išvestines taško M 0 aplinkoje Jeigu df(m 0 ) = 0 ir egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r, d 2 f(m) < 0, tai taškas M 0 yra funkcijos lokalaus maksimumo taškas Jeigu df(m 0 ) = 0 ir egzistuoja taško aplinka B(M 0, r), kad visiems ρ r, d 2 f(m 0 ) > 0, tai taškas M 0 yra funkcijos lokalaus minimumo taškas Pastebėsime, kad pateiktas ekstremumo tašku radimo, bei ekstremumo pobūdžio nustatymon metodas praktiškai taikant gana nepatogus Panagrinėkime pakankamas ekstremumo egzistavimo sa lygas (6 Teorema) kiek kitu būdu Apibrėžkime keleta nau sa voku Apibrėžimas Funkcija h R n R apibrėžta lygybe h(x) = a ij x i x j, x = (x 1,, x n ) 1 i,j n vadinsime kvadratine forma Kvadratine forma vadinsime teigiamai apibrėžta, ( neigiamai apibrėžta), jei h(x) > 0, (h(x) < 0) visiems x R n Šios formos elementu matrica a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn vadinsime kvadratinės formos matrica Beje, ši matrica yra simetrinė, ty a ij = a ji, i, j {1, n} Matricos A pagrindiniais minorais vadinsime tokius detarminantus A 1 = a 11, A 2 = a 11 a 12 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 A 3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 1n a A n = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Pasirodo, kad kvadratinė forma yra teigiamai apibrėžta, jei paskutinės matricos visi pagrindiniai minorai A k, k = 1,, n yra teigiami Kvadratinė forma yra neigiamai apibrėžta, jei pagrindiniu minoru ženklai išsidėste tokia seka ( 1) k A k > 0, ty A 1 < 0, A 2 > 0, A 3 < 0, Kvadratine forma vadinsime neapibrėžta, jei ši forma nei teigiamai, nei neigiamai nėra apibrėžta bei nėra lygi nuliui Pažymėje a ij = 2 f(x 0 ), x i x j matome, kad antrasis diferencialas yra kvadratinė forma Beje, šios formos matrica yra simetrinė Nesunku pastebėti, kad daugelio funkcijos antrasis diferencialas taške x 0, yra kvadratinė forma pokyčiu atžvilgiu 92

12 Aišku, kad nustatant kritiniu tašku pobūdi galime naudotis 6 teorema Taigi, kritinis taškas bus lokalinio minimumo taškas, jei antrasis diferencialas (kvadratinė forma) šiame taške yra teigiamai apibrėžta ir taškas bus lokalinio maksimumo taškas, jei kvadratinė forma šiame taške bus neigiami apibrėžta Tuo atveju, kai nagrinėjamame taške kvadratinė forma neapibrėžta, tai nagrinėjamas taškas nėra ekstremumo taškas Jei kvadratinė forma taške lygi nuliui, tai šiuo atveju reikėtu nagrinėti funkcijos pokyti šiame taške ir nustatyti ar funkcijos pokytis išlaiko pastovu ženkla šio taško aplinkoje ar ne Jei egzistuoja taško aplinka, kurioje funkcijos pokyčio ženklas nekinta, tai šis taškas yra funkcijos ekstremumo taškas, priešingu atveju- ne Pavyzdys Tarkime, kad maisto pramonės i monė gamina dvie rūšiu tarkime A ir B pavadinimu varškės sūrelius A rūšies sūreliai kainuoja 70ct, o B 80ct Pažymėkime šiu produktu kiekius q A ir q B atitinkamai Sakykime, kad šiu produktu pardavimai žinoma ir nustatomi tokiomis formulėmis q A = 240(p B p A ), q B = 240(150 + p A 2p B ), p A ir p B yra vieneto, atitinkamu produktu, pardavimo kainos centais Tarkime, kad P yra i monės pelnas Nustatykime produktu pardavimo kaina, kuri maksimizuotu gaunama i monės pelna Pastebėsime, kad produkto A pelnas pardavus vieneta yra p A 70, atitinkamai Bpelnas p b 80 Turime, kad P = (p A 70)q A + (p b 80)q B = (p A 70) ( 240(p B p A )big) + (p B 80) ( 240(150 + p A 2p B ) ) Rasime kritinius šios funkcijos taškus Tad skaičiuojame dalines išvestines { P p A = (p A 70) ( 240 ) + (p B p A )240 + (p B 80)240 = 0, P p B = (p A 70) ( 240 ) + (p B 80)( 2)240 + (150 + p A 2p B )240 = 0 Pertvarke paskutinia ja sistema gauname { pb p A 5 = 0, 2p B + p A = 0 Nesunkiai randame šios sistemos sprendini p A = 110, p B = 115 Be to 2 P 2 P 2 P p 2 = 480, A p 2 = 960, = 480 B p A p B Remdamiesi 5 Teorema tvirtiname, kad maksimalus pelnas bus gaunamas, jei pirmojo produkto pardavimo kaina bus p A = 110, o antrojo- p B = 115 Mažiausiu kvadratu metodas glaudžiai susije s su daugelio funkcijos ekstremaliu reikšmiu paieškos uždaviniais Trumpai aptarsime mažiausiu kvadratu metodo esme Sakykime, kad eksperimento metu reikia nustatyti dvie dydžiu, tarkime y ir x funkcini ryši y = ϕ(x) Laikykime, kad eksperimento metu atitinkamoms n argumento x reikšmėms buvo gauta n funkcijos y reikšmiu Kitaip tariant ϕ(x i ) = y i, i = 1,, n Gauta sias tašku poras atidedame Dekarto koordinačiu sistemoje Gausime tam tikros atitikties grafika Kyla klausimas, kiek šios atitikties grafikas skiriasi nuo teorinės funkcijos grafiko arba kiek eksperimentinė funkcija skiriasi nuo teorinės funkcijos? Priklausomai nuo to, kaip išsidėste eksperimentinio grafiko taškai, mes parenkame šiuos taškus aproksimuojančia funkcija Tarkime, kad parinkome kokia nors funkcija y = ϕ(x, a 1, a m ), priklausančia nuo m parametru Mūsu užduotis parinkti tuos parametrus 93

13 taip, kad funkcija ϕ kuo tiksliau atspindėtu praktinio eksperimento rezultatus Šiai užduočiai atlikti dažnai naudojamas mažiausiu kvadratu metodas Aptarsime šio metodo esme Sudarykime funkcija S = S(a 1,, a m ) = n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) 2 Minėto metodo esmė- minimizuoti funkcija S Kitaip tariant reikia rasti parametru a 0 1, a 0 m reikšmes taip, kad m funkcija S i gytu minimalia reikšme Žinome, kad minimumo būtina egzistavimo sa lyga yra tokia arba S a i = 0, i = 1,, m n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a 1 = 0, n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a 2 = 0,, n ( yi ϕ(x i, a 1,, a m ) ) ϕ a m = 0 Turime m lygčiu su m nežinomaisiais Išsprende šia sistema rasime parametru a i reikšmes, kurie yra funkcijos S = S(a 1,, a m ) galimo minimumo taškai Tuo pačiu radome pasirinkto pobūdžio funkcija, kuri geriausiai aproksimuoja praktinius duomenis Pavyzdys Aproksimuokime (priartinkime) praktiniu duomenu funkcija tiesine funkcija y = ax + b Turime, kad n ( S(a, b) = yi (ax i + b) ) 2 Sudarykime (8) sistema Turėsime S a = 2 n ( yi (ax i + b) ) x i = 0, S b = 2 n ( yi (ax i + b) ) = 0 Ši sistema turi sprendini (kodėl?) Beje, šis taškas yra minimumo taškas (kodėl?) 77 Sa lyginiai ekstemumai Lagranžo daugikliu metodas Sprendžiant taikomojo pobūdžio uždavinius dažnai tenka susidurti su daugelio funkci ekstremaliu reikšmiu paieška, kai funkcijos argumentai tenkina tam tikras papildomas sa lygas Funkcijos ekstremalias reikšmes, kai funkcijos argumentai tenkina papildomas sa lygas, vadinsime sa lyginiu funkcijos ekstremumu Šiame skyrelyje aptarsime šia problema Pradžioje panagrinėkime pavyzdi Pavyzdys Raskime funkcijos z = x 2 +y 2 ekstremalia reikšme, su papildoma sa lyga x+y 1 = 0 Nagrinėjama funkcija yra apibrėžta visoje plokštumoje R 2 Mes ieškosime ekstremalios funkcijos reikšmės ne visoje plokštumoje, bet tik tiesėje x + y 1 = 0 Pastebėsime, kad paskutinėje lygtyje kintamieji y ir x siejami labai paprastu būdu Išreiške kintama ja, pavyzdžiui, y per x gauname, kad y = 1 x ir i raše pastara ja išraiška i pradine lygti gauname, kad 94 (8)

14 z = 2x 2 2x + 1 Šios vieno kintamojo funkcijos ekstremumo reikšme randame lengvai, būtent, taške x = 05 nagrinėjama funkcija i gyja minimuma, kuris lygus z(05) = 05 Taigi, nagrinėjama funkcija i gyja sa lygini minimuma plokštumos taške (05, 05) Suformuluokime ir aptarkime ekstremumo paieškos problema, kai ryšio lygtyse galime išreikšti nežinomuosius ir juos i raše i nagrinėja funkcija, mes sprendžiama problema transformuojame i daugelio funkcijos besa lyginio ekstremumo radimo uždavini Tarkime, kad reikia rasti m + n funkcijos u = f(x 1,, x n, y 1,, y m ) (9) ekstremalia reikšme, kai papildomos sa lygos aprašytos tokiomis lygtimis F 1 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, F 2 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, (10), F m (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0, Pažymėkime M 0 = M 0 (x 0 1,, x 0 n, y 0 1,, y 0 m) Apibrėžimas Sakysime, kad funkcija (9) i gyja lokalu ji ekstremuma taške M 0 kai taško koordinatės tenkina ryšio lygtis (10), jeigu egzistuoja šio taško aplinka B(ɛ, M 0 ) tokia, kad visiems taškams M B(ɛ, M 0 ), M M 0 ir tokiems, kad šie taškai M tenkina (10) ryšio lygtis, o funkcijos reikšmės tenkina viena iš nelygybiu f(m) > f(m 0 ) arba f(m) < f(m 0 ) Šiame skyrelyje mes nenagrinėsime teorinės problemos- kad galima m ryšio lygtyse m - išreikšti likusiais n kintamaisias Apie tai skaitytojas plačiau galėtu rasti A Kabailos vadovėlyje Matematinė analizė II d Tarkime, kad kokioje nors erdvės dalyje (srityje) ryšio lygtis galime pakeisti tokiu funkci sistema y 1 = φ 1 (x 1,, x n ) y 2 = φ 2 (x 1,, x n ), (11), y m = φ m (x 1,, x n ) Kitaip tariant, funkcijos φ i, i = 1,, m yra (x 2 ) sistemos sprendiniai I raše šias funkcijas i (9) gauname sudėtine funkcija, priklausančia nuo n Φ(x 1,, x n ) = f ( x 1,, x n, φ 1 (x 1,, x n ), φ 2 (x 1,, x n ),, φ m (x 1,, x n ) ) (12) Kitaip tariant, sa lyginio ekstremumo problema perkeliame i besa lyginio ekstremumo radimo uždavini Nurodykime būtinas funkcijos (12) ekstremumo egzistavimo sa lygas Kai ir minėjome, nagrinėjama funkcija yra n funkcija taigi, jei taškas M 0 yra ekstremumo taškas, tai funkcijos Φ diferencialas šiame taške turi būti lygus nuliui Φ(M 0 ) x 1 dx Φ(M 0) x n dx n = 0 Naudodamiesi diferencialo invariantiškumu, paskutinia ja lygybe perrašome tokiu būdu 95

15 f(m 0 ) x 1 dx f(m 0) x n dx n + f(m 0) y 1 dy f(m 0) dy m = 0 (13) Tarkime, kad i ryšio lygčiu sistema (10) i rašėme funkcijas φ i, i = 1,, m iš sistemos (11) Kadangi sistemos (11) funkcijos buvo išreikštos iš (10) sistemos, tai iš tiesu mes gauname tapatybes, kurias diferencijuodami, gauname sistema F 1 (M 0 ) x 1 dx F 1(M 0 ) x n dx n + F 1(M 0 ) y 1 dy F 1(M 0 ) dy m = 0,, F m (M 0 ) x 1 dx F m(m 0 ) x n dx n + F m(m 0 ) y 1 dy F m(m 0 ) dy m = 0 Pastebėkime, kad laikydami diferencialus dy j nežinomaisias, o dx i paskutiniosios sistemos lygtyse perkėle i dešine puse gausime lygčiu sistema, kurioje m lygčiu ir m nežinomu Tokia sistema galime išspre sti dy j atžvilgiu, pavyzdžiui naudodami Kramerio metoda, jei šios sistemos determinantas nelygus nuliui, ty F 1 F 1 F m y 1 0 F m Gauta sias dy j išraiškas sprendinius i raše i (13) lygybe gauname lygti A 1 dx + + A n dx n = 0, čia reiškiniai A i gauti sutraukus panašius narius kai, i (13) lygybe buvo i rašytos dy j išraiškos per dx i Taigi, būtinos sa lyginio ekstremumo egzistavimo sa lygos yra tokios A 1 = 0, A n = 0, F 1 = 0,, F m = 0 Kitaip tariant, norint nustatyti potencialu ekstremumo taška, priklausanti erdvei R n+m, turime rasti paskutinės sistemos sprendini Pavyzdys Raskime funkcijos f(x, y, z) = x 2 +2y z 2 kritinius taškus, kai papildomos sa lygos { 2x y = 0, y + z = 0 (14) Kadangi paskutinėje sistemoje dvi lygtys ir vienas nežinomasis, tai viena nežinoma ji pasirinke laisvuoju, kitus du galime išreikšti per pasirinkta ji Pasirinkime laisvuoju nežinomuoju x Tada iš sistemos gauname, kad y = 2x, z = 2x = g(x) I raše gauta sias nežinomu išraiškas i funkcijos formule gauname vieno kintamojo funkcija f(x, 2x, 2x) = 3x 2 + 4x Šios funkcijos išvestinė lygi g (x) = 6x + 4 Taigi, šios funkcijos kritinis taškas yra 2/3 Vadinasi pradinės funkcijos kritinis taškas bus ( 2 3, 4 3, 4 3 ) Pastebėsime, kad ne visada taip paprasta ryšio lygtyse išreikšti vienus nežinomuosius kitais, kartais netgi nei manoma, todėl šiuo atveju praverčia kitas metodas, kuris vadinamas Lagranžo neapibrėžtiniu daugikliu metodu Šio metodo esmė- simetrizavimas vienodas traktavimas 96

16 Padauginkime (14) sistemos visas lygtis iš konstantu λ 1,, λ m atitinkamai Po to kiekviena šios sistemos lygti sudėkime su (13) lygtimi Gausime toki reiškini čia Ψ dx Ψ dx n + Ψ dy Ψ dy m = 0, x 1 x n y 1 Ψ = f + λ 1 F 1 + λ 2 F λ m F m Šia funkcija vadinsime Lagranžo funkcija Parinkime konstantas λ 1,, λ m taip, kad Tai padaryti visada galima, kadangi Ψ = 0,, Ψ = 0 (15) y 1 F 1 F 1 F m y 1 F m 0 Kai nurodytu būdu parenkame konstantas λ i, iš (14) lygybės gauname toki sa ryši Ψ dx Ψ dx n = 0 x 1 x n Pastebėsime, kad x 1,, x n yra laisvi nežinomieji, taig paskutinioji lygybė galima tik tuo atveju, jei Ψ = 0,, Ψ = 0 x 1 x n Prie paskutiniu lygybiu prijunge (15) lygybes bei ryšio lygtis gauname n + 2m lygčiu sistema Ψ y 1 = 0,, Ψ = 0 Ψ x 1 = 0,, Ψ x n = 0 (16) F 1 = 0,, F m = 0 Pastebėsime, kad šioje sistemoje yra vienodas lygčiu ir nežinomu skaičius Taigi, spre sdami šia sistema nustatome konstantu λ 1,, λ m reikšmes, bei randame galimo ekstremumo koordinates Pakankamos ekstremumo radimo sa lygos Tarkime, kad taškas M 0 tenkina (16) sistema Laikome, kad funkcijos f, F 1,, F m yra du kartus tolydžiai diferencijuojamos nagrinėjamoje srityje (pakanka taško M 0 aplinkoje) Iš Lagranžo funkcijos konstrukcijos išplaukia, kad Lagranžo funkcijos ir pradinės funkcijos f ekstremumo taškai sutampa Vadinasi, jei prie sistemos (16) prijungsime kvadratinės formos d 2 Ψ apibrėžtumo sa lyga, galėsime nustatyti taško M 0 pobūdi Būtent, jei d 2 Ψ(M 0 ) > 0, tai nagrinėjamame taške funkcija i gyja minimuma, o jei d 2 Ψ(M 0 ) < 0 maksimuma Pastebėsime, kad d 2 Ψ = ( x 1 dx x n dx n + y 1 dy Ψ y 1 d 2 y Ψ d 2 y m 97 ) 2Ψ+ dy m

17 Remdamiesi (16) sistema gauname, kad d 2 Ψ = ( x 1 dx x n dx n + y 1 dy dy m ) 2Ψ (17) Taigi, antraji diferenciala nagrinėjame lyg visi kintamieji x 1,, x n, y 1, y m būtu laisvi, o nustatydami šio diferencialo (kvadratinės formos) apibrėžtuma mes išreikšime dy j per dx 1,, dx n, žr sistema (14) Pavyzdys Raskime funkcijos f(x, y, z) = xy + yz, sa lyginio ekstremumo taškus, kai { x 2 + y 2 = 2, y + z = 2, x > 0y > 0, z > 0 Ši uždavini būtu galima spre sti Lagranžo daugikliu metodu, tačiau tuo atveju, kai ryšio lygtyse nežinomuosius galime išreikšti vienus kitais (nagrinėjamu atveju yra dvi lygtys ir trys nežinomieji, taigi laikydami viena nežinoma ji laisvuoju galime du nežinomuosius išreikšti per viena ) žymiai supaprastiname uždavinio sprendima Taigi, laikydami laisvuoju nežinomuoju kintama ji y gauname, kad z = 2 y, x = 2 y 2 (18) I raše šias nežinomu išraiškas i pradine funkcijos formule gauname tokia vieno kintamojo funkcija f(x, y, z) = y 2 y 2 + y(2 y) = g(y) Ieškodami šios funkcijos kritiniu tašku skaičiuojame šios funkcijos išvestine ir lyginame ja nuliui Gauname g (y) = 2 2y2 + (2 2y) 2 y 2 2 2y 2 = 0 Iš paskutiniosios lygybės gauname, kad 2(1 y)(1 + y + 2 y 2 ) = 0 Kadangi y > 0, tai iš paskutiniosios lygybės išplaukia, kad y = 1 Taigi, funkcija g(y) turi kritini taška y = 1 Nagrinėdami paskutinia ja lygybe nustatome, kad kairėje šio taško aplinkoje funkcijos išvestinė teigiama, o dešinėje- neigiama Taigi, y = 1 yra funkcijos g(y) lokalinio maksimumo taškas Naudodamiesi šia y reikšme ir (18) lygybėmis, randame sa lygini maksimumo taška nustatome M = (1, 1, 1) Beje, funkcijos reikšmė šiame taške f(m) = 2 Pavyzdys papildoma sa lyga Raskime funkcijos y = f(x, y, z) = xyz, ekstremumo taškus, kai tenkinama Sudarykime Lagranžo funkcija xy + xz + yz = 1, x, y, z > 0 F (x, y, z, λ) = xyz + λ(xy + xz + yz 1) 98

18 Skaičiuojame šios funkcijos dalines išvestines visu atžvilgiu ir lyginame nuliui F x = yz + λ(y + z) = 0, F y = xz + λ(x + z) = 0, F z = yx + λ(y + x) = 0, = yz + xy + xz 1 = 0 F λ Paskutiniosios sistemos pirma ja lygti padaugine iš x, antra ja iš y, o trečia ja iš z ir sudėj jas visas, bei turėdami omenyje sistemos ketvirta lygti gauname, kad λ = 3xyz 2 I raše gauta lygybe i sistemos pirma sias tris lygtis gauname yz ( 1 3x 2 (y + z)) = 0, xz ( 1 3y 2 (x + z)) = 0, yx ( 1 3z 2 (y + x)) = 0 Iš pirmu dvie sistemos lygčiu gauname, kad x = y, o iš antrosios ir trečiosios- y = z iš pastaru 1 lygybiu ir pirmosios sistemos ketvirtos lygties gauname, kad x = y = z = 3 Norint nustatyti šio taško pobūdi (min ar max,) naudojant formalius argumentus, tektu atlikti gana sudėtinga technini darba, ty nustatyti (17) kvadratinės formos apibrėžtuma Šiuo konkrečiu atveju mums to daryti nereikės, kadangi nagrinėjama funkcija yra stačiakampio gretasienio su matmenimis x, y, z tūris Taigi, nagrinėjamas taškas (1, 1, 1) yra sa lyginio maksimumo taškas Beje, tūrio reikšmė f(1, 1, 1) = Uždaviniai 1 Raskite bei pavaizduokite sritis, kuriose apibrėžtos pateiktos funkcijos a) f(x, y) = 1 x y 2, b) f(x, y, z) = ln(xyz); c) f(x, y) = arcsin x y 2 Nustatykite ar egzistuoja riba 3 Raskite funkcijos ribine reikšme tiese y = 2x, kai x 4 Parodykite, kad funkcijos lim x 0, y 0 2xy x 2 + y 2 f(x, y) = x 2 e x2 y f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y kartotinės ribos ( lim lim f(x, y) ) ( ir lim lim f(x, y) ) x 0 y 0 y 0 x 0 99

19 neegzistuoja, bet egzistuoja riba x 0, lim f(x, y) = 0 y 0 5 Raskite ribas 6 Patikrinkite ar funkcija a) lim x, y x + y x 2 xy + y 2 ; b) lim (x 2 + y 2 )e (x+y) x, y f(x, y) = yra tolydi tiesės y = 3x taške (0, 0) 7 Nustatykite pateiktu funkci trūkio taškus { x 2 y x 4 +y, 2 x 2 + y 2 0, 0, x 2 + y 2 = 0 a) f(x, y) = xy 1 x + y ; b) f(x, y, z) = ; c) f(x, y) = x y xyz x 3 + y 3 ; 8 Raskite f x(x, 1), f y(1, 1), jeigu x f(x, y) = x + (y 1)arcsin( y ) 9 Raskite pateiktu funkci pirmos ir antros eilės diferencialus a) f(x, y) = ( x y ) x y ; b) f(x, y) = e xy ; c) f(x, y) = ln x 2 + y 2 ; d) f(x, y) = arctg x + y 1 + xy 10 Raskite 9 užduotyje pateiktu funkci pirmo ir antros eilės diferencialu reikšmes taške (1, 1), (0, 1), atitinkančius pokyčius x = 01, y = Raskite pateiktu funkci kritinius taškus, bei nustatykite pobūdi a) fx, y = x 2 + y 2 5x + 4y + xy, b) f(x, y) = xy 1 x 1 y c) f(x, y) = x 3 3xy + y 2 + y 5, d) f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z xy + 2z 12 Raskite funkci sa lyginio ekstremumo taškus, naudodami Lagranžo metoda a) f(x, y, z) = xy + zy, kai x 2 + y 2 = 8, yz = 8; b) f(x, y, z) = xyz, kai x + y + z = 12, x + y z = 0; c) f(x, y, z) = x 2 + xy + 2y 2 + z 2, kai x 3y 4z = 16; d) f(x, y, z, u) = 2x 2 + 2y 2 + 3z 2 4u 2, kai 4x 8y + 6z + 16u = 6 100

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas

Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros

Διαβάστε περισσότερα

Arenijaus (Arrhenius) teorija

Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos

1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos 1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorinis darbas Nr. 2

Laboratorinis darbas Nr. 2 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

Matematinis modeliavimas

Matematinis modeliavimas ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:

Ketvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip: PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1

DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas

4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti

Διαβάστε περισσότερα

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...

MONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas... MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010

Praeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010 Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

TERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

5 klasė. - užduotys apie varniuką.

5 klasė. - užduotys apie varniuką. 5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =

cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du = ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.

Pav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka. Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D

M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija

Rinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos

Διαβάστε περισσότερα

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas

Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Krūvio pernašos vyksmų skaitinis modeliavimas Darbas Nr. 1 Šotkio diodo voltamperinės charakteristikos tyrimas Parengė A. Poškus 214-9-3 Turinys

Διαβάστε περισσότερα

Donatas Surgailis Finansų matematika

Donatas Surgailis Finansų matematika Donatas Surgailis Finansų matematika Paskaitų konspektas Vilnius 2015 vasario 9 ii Turinys 1 Įvadas 1 2 Finansų rinka 3 2.1 Finansų rinkos struktūra................................. 3 2.2 Opcionai..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS

2.6. IŠVESTINĖ, DIFERENCIJAVIMAS 6 IŠVESTINĖ DIFERENCIJAVIMAS 61 Išvestiės sąvok Fukcijos išvestiės sąvok yr mtemtikos istrumets kurio reikšmę suku įvertiti Glbūt ti glim plygiti su vidus degimo vriklio sukūrimu Diferecijuoti pprsčiusis

Διαβάστε περισσότερα

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai)

. (2 taškai) (1 taškas) . (2 taškai) . (2) (2 taškai) 0 m. ietuvos 6-ojo fizikos čempionato UŽDUOČŲ SPRENDMA 0 m. gruodžio 6 d. (Kiekvienas uždavinys vertinamas 0 taškų, visa galimų taškų suma 00). Pervyniojant transformatoriaus ritę buvo pastebėta, kad ritėje

Διαβάστε περισσότερα

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ

2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.

Διαβάστε περισσότερα

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS

4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos

Διαβάστε περισσότερα