Copyright: Γεώργιος Κτίστης, Eκδόσεις Zήτη, 1993, 1998, 4η έκδοση: 2007, Θεσσαλονίκη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright: Γεώργιος Κτίστης, Eκδόσεις Zήτη, 1993, 1998, 4η έκδοση: 2007, Θεσσαλονίκη"

Transcript

1

2 ISBN Copyrght: Γεώργιος Κτίστης, Eκδόσεις Zήτη, 1993, 1998, 4η έκδοση: 007, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: (10 γραμ.) - Fax: e-mal: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fax e-mal:

3 Πρόλογος 4ης έκδοσης H τέταρτη έκδοση του βιβλίου Mαθήματα Φυσικής Φαρμακευτικής έχει για σκοπό, όπως και οι προηγούμενες εκδόσεις του, να δώσει στους αναγνώστες τις ειδικές εκείνες φυσικές και φυσικοχημικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της ερμηνείας των φαινομένων που παρουσιάζονται στην παρασκευή και τον έλεγχο των φαρμάκων. Tο βιβλίο εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1986 για να καλύψει τις διδακτικές ανάγκες του υποχρεωτικού μαθήματος Φυσική Φαρμακευτική, το οποίο διδάσκεται στους τριτοετείς φοιτητές του Tμήματος Φαρμακευτικής του Aριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Mετά τις βελτιώσεις, που έγιναν με τη δεύτερη (1993) και τρίτη (1998), η τέταρτη έκδοση θεωρήθηκε αναγκαία για να εκσυγχρονίσει την παλαιά ύλη όπως και για να συμπεριλάβει νέα, η οποία θεωρείται απαραίτητη για τις γνώσεις των φαρμακοποιών μετά και τις αλλαγές που έγιναν στο πρόγραμμα σπουδών του Tμήματος Φαρμακευτικής. Tα σχόλια για τη μορφή του βιβλίου, τις ασάφειες, τα λάθη ή τις τυπογραφικές αβλεψίες θα είναι χρήσιμα και ευπρόσδεκτα, ώστε τα Mαθήματα Φυσικής Φαρμακευτικής να βελτιωθούν ακόμη περισσότερο σε μια μελλοντική τους έκδοση. Θεσσαλονίκη 007 Γεώργιος X. Kτίστης

4 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 1.1 Mεθοδολογία της Eπιστημονικής Έρευνας Mονάδες και Διαστάσεις Σημαντικά ψηφία Στρογγυλοποίηση αριθμών Eύρεση Eξίσωσης Πειραματικών Aποτελεσμάτων Γραφική Παράσταση Φαινομένου Oρθογώνιο σύστημα Λογαριθμικό Πιθανοτήτων διάγραμμα Tριγωνικά διαγράμματα Σφάλματα Iδιότητες τυχαίων σφαλμάτων...30 Παράδειγμα Έλεγχος Mέσης προς Aληθή Tιμή Φαρμακευτικού Προϊόντος Παράδειγμα Eφαρμογή της Mεθόδου των Eλαχίστων Tετραγώνων στην Eύρεση Eξίσωσης Πειραματικών Aποτελεσμάτων Παράδειγμα Κρυσταλλική Μορφή Φαρμακευτικών Ουσιών Κρυσταλλική δομή Δείκτες Mller Κρυσταλλική μορφή ανάπτυξης Κρυστάλλωση και παράγοντες που επιδρούν στη κρυσταλλική μορφή Πολυμορφία Υγροί κρύσταλλοι Διάλυση Φαρμακευτικών Ουσιών.1 Εκφράσεις της Διαλυτότητας Eλκτικές Δυνάμεις Μεταξύ Μορίων και Διάλυση Tαξινόμηση Διαλυτών και Διάλυση Πολικοί διαλύτες...54

5 6 Μαθήματα Φυσικής Φαρμακευτικής.3. Mη πολικοί διαλύτες Hμιπολικοί διαλύτες Eνεργειακή Μελέτη της Διάλυσης Στερεών σε Υγρά Παράμετροι Διαλυτότητας Διαλυτότητα Ανοργάνων Ηλεκτρολυτών Διαλυτότητα Δυσδιάλυτων Ηλεκτρολυτών Διαλυτότητα Ασθενών Ηλεκτρολυτών...64 Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Ρυθμιστικά Διαλύματα Ρυθμιστική ικανότητα...73 Παράδειγμα Ρεολογία 3.1 Θεωρητική Mελέτη Oρισμός ιξώδους Mορφές ροών...81 α) Nευτώνεια υλικά (Newtonan materals)...81 β) Πλαστικά υλικά (Plastc materals)...8 γ) Ψευδοπλαστικά υλικά (Pseudoplastc materals)...83 δ) Διασταλτικά υλικά (Dlatant materals) Θιξοτροπία Eπίδραση της θερμοκρασίας στο ιξώδες Eκτίμηση Pεολογικών Iδιοτήτων Tριχοειδή ιξωδόμετρα Iξωδόμετρα πίπτουσας σφαίρας Iξωδόμετρα δίσκου - κώνου (Ferrant - Shrley) Eφαρμογές της Pεολογίας στη Φαρμακευτική Pεολογία γαλακτωμάτων Pεολογία εναιωρημάτων Pεολογία αλοιφών Pεολογία κόνεων Επιφανειακά και Μεσεπιφανειακά Φαινόμενα 4.1 Eπιφανειακή και Mεσεπιφανειακή Tάση...106

6 Περιεχόμενα Διαφορά πίεσης σε καμπύλες επιφάνειες Πρότυπα Σταγονόμετρα Mέτρηση του συντελεστή επιφανειακής και μεσεπιφανειακής τάσης α) Mέθοδος σταλαγμομέτρου Traube β) Mέθοδος ανύψωσης σε τριχοειδή σωλήνα...11 γ) Mέθοδος του δακτυλίου ή του ζυγού Du Nouy Συντελεστής Eξάπλωσης Tασενεργές Oυσίες Tο σύστημα HLB στην ταξινόμηση και εφαρμογή τασενεργών ουσιών Hλεκτρικές Iδιότητες των Mεσεπιφανειών Μέγεθος Σωματιδίων 5.1 Oρισμός του Σωματιδίου Χαρακτηρισμός του Σχήματος των Σωματιδίων Xαρακτηρισμός του Mεγέθους των Σωματιδίων Eιδική Eπιφάνεια Σωματιδίων Kατανομή Mεγέθους Σωματιδίων Κανονική κατανομή σωματιδίου Rosn Rammler κατανομή σωματιδίων Παράδειγμα Αναλυτική Κοσκίνιση Mικροσκοπικές Mέθοδοι Kαταμέτρηση σωματιδίων Διάμετροι Martn, Feret Mέτρηση της διαμέτρου προβολής Aυτόματη ανάλυση εικόνας Mέθοδοι Kατακάθισης Zυγοί κατακάθισης Mαθηματική ερμηνεία του διαγράμματος του Oden Mέθοδος σιφωνίου Hλεκτρική Mέθοδος (Coulter Counter) Mέθοδοι Σκέδασης του Φωτός Περίθλαση του φωτός (lght dffracton) Aπλή σκέδαση σωματιδίου (sngle partcle scatterng)...156

7 8 Μαθήματα Φυσικής Φαρμακευτικής Φασματοσκοπία συσχέτισης φωτονίου (photon correlaton spectroscopy, PCS) Φυσικές Iδιότητες των Kόνεων Διευθέτηση των τεμαχιδίων Πυκνότητα των κόνεων Πορώδες Παράδειγμα Φαρμακευτικές Διασπορές 6.1 Φαρμακευτικά Εναιωρήματα Mεσεπιφανειακές ιδιότητες εναιωρουμένων σωματιδίων Kατακάθιση στα φαρμακευτικά εναιωρήματα Θρόμβωση (coagulaton) Kροκίδωση (flocculaton) Pύθμιση θρόμβωσης και κροκίδωσης Φαρμακευτικά Γαλακτώματα Θεωρίες σταθερότητας φαρμακευτικών γαλακτωμάτων Φυσική σταθερότητα φαρμακευτικών γαλακτωμάτων Eφαρμογή του συστήματος HLB στην παρασκευή γαλακτώματος Παράδειγμα Mικρογαλακτώματα Δομή και σταθερότητα των μικρογαλακτωμάτων Tυποποίηση μικρογαλακτωμάτων Παρασκευή μικρογαλακτωμάτων Eφαρμογές των μικρογαλακτωμάτων στη φαρμακευτική Λιποσώματα Παρασκευή λιποσωμάτων Τα λιποσώματα ως φορείς φαρμακευτικών ουσιών Mικκυλίωση Σχηματισμός μικκυλίων Kρίσιμη μικκυλιακή συγκέντρωση Mέτρηση της κρίσιμης μικκυλιακής συγκέντρωσης Δομή των μικκυλίων...01 α) Iονικά μικκύλια...01 β) Mη ιονικά μικκύλια Παράγοντες που επιδρούν στην κρίσιμη μικκυλιακή συγκέντρωση και το μέγεθος των μικκυλίων...03 α) Δομή της υδρόφοβης ομάδας...03

8 Περιεχόμενα 9 β) Φύση της υδρόφιλης ομάδας...04 γ) Φύση του "αντίθετου ιόντος" (counteron)...05 δ) Πρόσθεση ηλεκτρολυτών...05 ε) Θερμοκρασία Διαλυματοποίηση Mέτρηση της μέγιστης διαλυματοποιημένης συγκέντρωσης Θέση της διαλυματοποιημένης ουσίας στο μικκύλιο Aύξηση του μεγέθους των μικκυλίων από τη διαλυματοποίηση μιας ουσίας Παράγοντες που επιδρούν στη διαλυματοποίηση...09 α) Φύση της τασενεργού ουσίας...10 β) Φύση της διαλυματοποιημένης ουσίας Διαλυματοποίηση σε μη υδατικούς διαλύτες Φαρμακευτικές εφαρμογές της διαλυματοποίησης Διάχυση και Διάλυση Φαρμάκων 7.1 Mελέτη της Διάχυσης...17 α) Πρώτος νόμος του Fck...17 β) Δεύτερος νόμος του Fck Πειραματική Mελέτη της Διάχυσης Yπολογισμός του Συντελεστή Διαπερατότητας Συσκευές και Mέθοδοι Mελέτης της Διάχυσης Διάλυση Φαρμάκων Πειραματική Mελέτη της Διάλυσης Στερεών Φαρμακομορφών Nόμος της Kυβικής Pίζας Eλεγχόμενη Aποδέσμευση Φαρμάκων Aποδέσμευση από δισκίο ομοιογενούς πολυμερούς μήτρας...35 Παράδειγμα 7.1: Aποδέσμευση από Δισκίο Kοκκοποιημένης Mήτρας Διάχυση από Πολλαπλό Στρώμα Διάχυση από Mεμβράνη Mεταξύ Σταθερών Yδατικών Στρωμάτων Aποδέσμευση Φαρμακευτικής Oυσίας από Tοπικούς φορείς...44 Παράδειγμα Aποδέσμευση από Kαψάκιο Πολυμερούς Σιλικόνης...46 Παράδειγμα Διέλευση Δραστικών Oυσιών από Bιολογικές Mεμβράνες...51

9 10 Μαθήματα Φυσικής Φαρμακευτικής 7.14 Διέλευση Aερίων Θερμοδυναμική της Διάχυσης...54 Βιβλιογραφία...59 Ευρετήριο όρων...61

10 Εισαγωγή 11 1 Εισαγωγή Γεώργιος Κτίστης H Φαρμακευτική είναι μια επιστήμη στην οποία βρίσκουν εφαρμογή τα ε- ρευνητικά αποτελέσματα και των άλλων Φυσικών επιστημών. O φαρμακοποιός, που εργάζεται στην εκπαίδευση, τη βιομηχανία ή τη διακίνηση των φαρμάκων, πρέπει να γνωρίζει τις τελευταίες εξελίξεις των άλλων επιστημών και να μπορεί να τις εφαρμόζει ή τουλάχιστον να παρακολουθεί την εφαρμογή τους, στη δική του επιστήμη. Για να γίνει όμως αυτό, που σήμερα είναι απαραίτητο περισσότερο από κάθε άλλη φορά, θα πρέπει ο φαρμακοποιός να γνωρίζει τις βασικές αρχές των άλλων συγγενών επιστημών. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούν μερικές βασικές αρχές της Φυσικής και των Mαθηματικών, που πρέπει να είναι γνωστές για να μελετηθούν τα επόμενα κεφάλαια της Φυσικής Φαρμακευτικής, όπου γίνονται εφαρμογές της Φυσικής στη Φαρμακευτική. 1.1 Mεθοδολογία της Eπιστημονικής Έρευνας H φυσική και η χημεία είναι οι πρώτες από τις άλλες φυσικές επιστήμες που στην έρευνά τους ακολουθούν μία ασφαλή και αποδοτική μέθοδο. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή γίνεται προσπάθεια με την παρατήρηση και το πείραμα, να βρεθεί η αιτία που προκαλεί ένα φαινόμενο και να το ερμηνεύσει. Mε την απλή παρατήρηση ενός φαινομένου, όπως ακριβώς αυτό συμβαίνει στη φύση, δεν εξάγονται πάντοτε ασφαλή συμπεράσματα. Γι αυτό γίνεται το πείραμα όπου επαναλαμβάνεται σκόπιμα πολλές φορές το φαινόμενο κάτω από συνθήκες που ρυθμίζονται και ελέγχονται. Mε το πείραμα δίνεται η δυνατότητα να μετρηθούν με ακρίβεια τα διάφορα μεγέθη που υπεισέρχονται στο φαινόμενο

11 1 Κεφάλαιο 1 που εξετάζεται. Aπό τις μετρήσεις αυτές βρίσκεται η μαθηματική συνάρτηση που υπάρχει μεταξύ των διαφόρων μεγεθών του φαινομένου. Aυτή η λογική σχέση, που συνδέει τα διάφορα μεγέθη που εμφανίζονται σε ένα φαινόμενο, αποτελεί ένα νόμο. O λογικός συνδυασμός πολλών νόμων και η συνένωσή τους σε ένα ενιαίο λογικό σύστημα οδηγεί, κατ αρχάς, σε μια υπόθεση για την αιτία που προκαλεί τα φαινόμενα μιας ορισμένης κατηγορίας. Aν αυτή η υπόθεση ερμηνεύει όλα τα γνωστά φαινόμενα μιας κατηγορίας και επιπλέον προβλέπει νέα φαινόμενα, τότε η υπόθεση αυτή γίνεται θεωρία. H θεωρία δηλαδή είναι ένα λογικό σύστημα που ερμηνεύει ορισμένη ομάδα φαινομένων και οδηγεί στην ανακάλυψη νέων φαινομένων. H αξία μιας θεωρίας είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των φαινομένων που ερμηνεύει. Όταν ανακαλυφθεί έστω και ένα φαινόμενο που δεν μπορεί η θεωρία να το ερμηνεύσει τότε αυτή εγκαταλείπεται ή τροποποιείται, ώστε να συμφωνεί απόλυτα με τις προόδους της πειραματικής έρευνας. 1. Mονάδες και Διαστάσεις Kάθε μέγεθος που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των φυσικών φαινομένων ονομάζεται φυσικό μέγεθος. H μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους συνίσταται στη σύγκριση αυτού με άλλο ομοειδές του το οποίο, κατά συνθήκη, γίνεται δεκτό σαν μονάδα. H αριθμητική τιμή που φανερώνει πόσες φορές περιέχεται η μονάδα σε ένα μέγεθος χαρακτηρίζεται σαν μέτρηση, όταν δίνεται απευθείας από ένα όργανο μετρήσεων ή σαν αποτέλεσμα, όταν προσδιορίζεται μετά από κάποια επεξεργασία των πειραματικών μετρήσεων. Oι μονάδες που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των φυσικών μεγεθών διακρίνονται σε θεμελιώδεις μονάδες και παράγωγες μονάδες. Oι θεμελιώδεις μονάδες ορίζονται ανεξάρτητα μεταξύ τους ενώ οι παράγωγες παράγονται από τις θεμελιώδεις με τη βοήθεια των σχέσεων που συνδέουν τα διάφορα μεγέθη. H επιλογή ενός συστήματος μονάδων είναι αποτέλεσμα συμφωνίας των επιστημόνων οι οποίοι διαλέγουν τις μονάδες που θα θεωρήσουν θεμελιώδεις με κριτήρια θεωρητικής συνέπειας και πρακτικής χρησιμότητας. Mε την πρόοδο των επιστημών ενδέχεται να αλλάξουν και οι ανάγκες για μονάδες. Παλαιότερα μετρικά συστήματα όπως το C.G.S. με θεμελιώδεις μονάδες το εκατοστόμετρο (cm), το γραμμάριο (g) και το δευτερόλεπτο (s) και το

12 Εισαγωγή 13 M.K.S. με θεμελιώδεις μονάδες το μέτρο (m), το χιλιόγραμμο (Kg) και το δευτερόλεπτο (s), αντικαταστάθηκαν από το Διεθνές Σύστημα Mονάδων S.I. (Systeme Internatonal) το οποίο έχει για θεμελιώδεις μονάδες το μέτρο (m) το χιλιόγραμμο (Kg), το δευτερόλεπτο (s), το αμπέρ (A), το κέλβιν (K), το μολ (mol) και την καντέλα (cd). Aκόμη και σήμερα εξακολουθούν να επιβιώνουν μερικές μονάδες έξω από το σύστημα S.I., όπως είναι το λεπτό (mn), το άνγκστρομ (Å) κ.ά. Kάθε φυσικό μέγεθος βρίσκεται σε ορισμένη σχέση με τα θεμελιώδη μεγέθη και μπορεί να παρασταθεί σαν συνάρτηση αυτών. Έτσι π.χ. το εμβαδόν (A) και η ταχύτητα (υ) είναι: A = μήκος μήκος μήκος υ = χρόνος Aν παρασταθεί το μήκος με L, η μάζα με M και ο χρόνος με T, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται συμβολικά: ή A= L L= L L υ= = L T T A= L M T υ= L M T - (1.) (1.3) Oι εκθέτες των θεμελιωδών μεγεθών στις εξισώσεις (1.3) ονομάζονται διαστάσεις των μεγεθών. Δηλαδή, οι διαστάσεις του εμβαδού είναι, 0, 0 και της ταχύτητας 1, 0, 1. Kαταχρηστικά, όμως, όταν λέμε διαστάσεις ενός φυσικού μεγέθους, εννοούμε όλο το δεξιό μέλος των εξισώσεων (1.), δηλαδή για το εμβαδό το L και για την ταχύτητα το L T 1. Oι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους νόμους της φυσικής είναι εξισώσεις και θα πρέπει οι διαστάσεις του ενός μέλους της εξίσωσης να είναι ίσες με τις διαστάσεις του άλλου. Aυτό μπορεί να χρησιμεύσει για κριτήριο ορθότητας ενός τύπου. Δηλαδή όταν υπολογίζονται οι διαστάσεις των μελών ενός τύπου θα πρέπει να υπάρχει ισότητα, μεταξύ των διαστάσεων των δύο μελών του.

13 14 Κεφάλαιο 1 Tο μήκος χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της απόστασης και έχει για μονάδα το μέτρο (m). Aυτό οριζόταν από την απόσταση των δύο γραμμών που υ- πάρχουν στον κανόνα του ιριδιούχου λευκόχρυσου που φυλάγεται στο Διεθνές Γραφείο Mέτρων και σταθμών στο παρισινό προάστιο Sèrves. Aργότερα ορίσθηκε από την εξίσωση: 1 m = 1, λ Kr 86 (1.4) όπου λ Kr 86 είναι το μήκος κύματος, σε κενό, της πορτοκαλί γραμμής του φάσματος του Kρυπτού-86. Tο 1983 η απόφαση να ορισθεί η ταχύτητα του φωτός με μηδενικό πειραματικό σφάλμα οδήγησε τους μετρολόγους σε ένα νέο ορισμό του μέτρου που βασίζεται ακριβώς στην ταχύτητα του φωτός (c = m sec 1 ). Έτσι ο επίσημος ορισμός του μέτρου σήμερα είναι: Tο μέτρο είναι το μήκος του διαστήματος που διανύει το φως στο κενό σε χρόνο 1/ του δευτερολέπτου. Στη Φαρμακευτική, συνήθως, χρησιμοποιείται το εκατοστόμετρο (cm) που ισούται με το 1/100 του μέτρου. Στη μικροσκοπία το μήκος εκφράζεται με μικρόμετρα (μm) ή (μ), νανόμετρα (nm) ή (mμ) και angstroms (1 Å = 10 8 cm). Tο εμβαδό και ο όγκος χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της επιφάνειας και του χώρου αντίστοιχα. Aυτά έχουν για μονάδες μέτρησης τις παράγωγες μονάδες τετραγωνικό μέτρο (m ) και κυβικό μέτρο (m 3 ). Στο σύστημα C.G.S. χρησιμοποιείται το τετραγωνικό εκατοστόμετρο (cm ) και το κυβικό εκατοστόμετρο (cm 3 ) ή (cc). Aρχική μονάδα όγκου ήταν το λίτρο (l) και οριζόταν με τον όγκο ενός χιλιόγραμμου νερού σε 4 C που ισούται με 1000 cm 3. Στη Φαρμακευτική χρησιμοποιείται πολύ το χιλιοστόλιτρο (ml) που συνήθως λέγεται μιλιλίτρο (mllter). H μάζα χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ύλης και έχει για μονάδα μέτρησης το χιλιόγραμμο (kg). Aυτό ισούται με τη μάζα του προτύπου χιλιογράμμου που είναι ένας κύλινδρος από ιριδιούχο λευκόχρυσο και φυλάγεται στο Διεθνές Γραφείο Mέτρων και Σταθμών στο Sèrves. Στο σύστημα C.G.S. μονάδα μέτρησης της μάζας είναι το γραμμάριο (g). Στη Φαρμακευτική συνήθως χρησιμοποιούνται το γραμμάριο (g) και το χιλιοστόγραμμο (mllgram) (mg), ενώ οι συμβολισμοί (mcg) και (γ) χρησιμοποιούνται, μερικές φορές, στη συνταγογραφία και στη βιολογία αντίστοιχα για τον συμβολισμό του μικρογραμμαρίου (μg).

14 Εισαγωγή 15 H πυκνότητα μιας ουσίας δίνει τη μάζα της, που περιέχεται στη μονάδα ό- γκου, σε ορισμένη θερμοκρασία και πίεση. Στο σύστημα C.G.S. η πυκνότητα εκφράζεται σε γραμμάρια ανά κυβικό εκατοστόμετρο (g/cm 3 ). 1 Ως σχετική πυκνότητα μιας ουσίας, d, ορίζεται ο λόγος του ορισμένου όγκου της ουσίας αυτής σε θερμοκρασία t 1 ως προς τη μάζα ίσου όγκου νερού σε θερμοκρασία t. Αν δεν ορίζεται αλλιώς, χρησιμοποιείται η σχετική πυκνότητα d. Η σχετική πυκνότητα είναι καθαρός 0 αριθμός. 0 Eιδικό βάρος μιας ουσίας ονομάζεται το πηλίκο της πυκνότητάς της προς την πυκνότητα του νερού. Oι πυκνότητες και των δύο ουσιών μετριούνται στην ίδια θερμοκρασία εκτός αν ορίζεται αλλιώς. Tο ειδικό βάρος είναι καθαρός α- ριθμός και συχνά ορίζεται σαν το πηλίκο της μάζας μιας ουσίας προς τη μάζα ίσου όγκου νερού σε ορισμένες θερμοκρασίες. Γι αυτό, όταν δίνεται επίσημα, το ειδικό βάρος καθορίζονται οι θερμοκρασίες μέτρησης της πυκνότητας της ουσίας και του νερού. H Eλληνική Φαρμακοποιία ζητά η πυκνότητα των ουσιών να εκφράζεται στους 0 C. Tο ειδικό βάρος και η πυκνότητα μιας ουσίας είναι δύο διάφορα φυσικά μεγέθη, που διαφέρουν στη μονάδα μέτρησής τους και στην αριθμητική τιμή τους, ακόμη και όταν εκφράζονται στο ίδιο σύστημα μονάδων. Eπειδή όμως η διαφορά της αριθμητικής τιμής τους είναι σχετικά μικρή στους φαρμακευτικούς υπολογισμούς το ειδικό βάρος και η πυκνότητα θεωρούνται συχνά συνώνυμοι όροι. Στον πίνακα 1.1 αναφέρονται μερικά φυσικά μεγέθη, που συναντιούνται συχνά στη Φαρμακευτική. Στις διπλανές στήλες φαίνονται οι διαστάσεις και οι μονάδες μέτρησής τους στα συστήματα μονάδων C.G.S. και S.I. Tο newton (N) και το pascal (Pa) είναι οι μονάδες μέτρησης της δύναμης και της πίεσης αντίστοιχα στο σύστημα S.I. Eκτός από τις μονάδες των φυσικών μεγεθών, που αναφέρονται στον πίνακα 1.1, στη Φαρμακευτική χρησιμοποιούνται συχνά και τα πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσια στην ονομασία και τον συμβολισμό κάποιας μονάδας, για να σχηματισθεί το πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιό της. Στην πρώτη στήλη του πίνακα 1. φαίνεται η δύναμη του δέκα με την οποία πρέπει να πολλαπλασιασθεί μια μονάδα, για να βρεθεί η αντιστοιχία της με το πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιό της. Έτσι για παράδειγμα έχουμε: t t 1 nm (νανόμετρο) = m (μέτρα) (1.5)

15 16 Κεφάλαιο 1 Πίνακας 1.1: Διαστάσεις και Mονάδες Φυσικών Mεγεθών Mέγεθος Διαστάσεις Mονάδα C.G.S. Mονάδα S.I. Mήκος (l) L cm m = 10 cm Mάζας (m) M g Kg = 10 3 g Xρόνος (t) T sec s = 1 sec Eμβαδό (A) L cm m = 10 4 cm Όγκος (V) L 3 cm 3 m 3 = 10 6 cm 3 Πυκνότητα (ρ) M L 3 g/cm 3 Kg m 3 = 10 3 g cm 3 Tαχύτητα (υ) L T 1 cm/sec m s 1 = 10 cm sec 1 Eπιτάχυνση (α) L T cm/sec m s = 10 cm sec Δύναμη (f) M L T dyne = g cm/sec N = Kg m s = J m 1 = 10 5 dyne Πίεση (p) M L 1 T dyne/cm Pa= N m = Kg m 1 s = 10 dyne cm Ιξώδες (η) M L 1 T 1 poce pa s = 10 p Συντελεστής επιφανειακής τάσης (γ) M T dyne/cm N m 1 = 10 3 dyne cm 1 Eνέργεια (E) M L T erg = g cm /sec J = Kg m s = N m = 10 7 erg Iσχύς (P) M L T 3 erg/sec W = J/s = 17 7 erg/sec Aπορροφηθείσα δόση ακτινοβολίας (D) L T rad = 10 erg/g Gy = J Kg 1 = 10 rad

16 Εισαγωγή 17 Πίνακας 1.: Πολλαπλάσια και Yποπολλαπλάσια των Mονάδων Πολλαπλάσια Πρόθεμα Σύμβολο 10 1 τερα T 10 9 γιγα G 10 6 μεγα M 10 3 κιλο K 10 3 μιλι m 10 6 μικρο μ 10 9 νανο n 10 1 πικο p 1..1 Σημαντικά ψηφία Στρογγυλοποίηση αριθμών H αριθμητική τιμή που εκφράζει το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή ενός υπολογισμού περιέχει έναν συγκεκριμένο αριθμό ψηφίων. O αριθμός αυτός των ψηφίων δηλώνει τον βαθμό ακρίβειας των μετρήσεων ή των υπολογισμών. Σύμφωνα με τον κανόνα που εφαρμόζεται και στη Φαρμακευτική το τελευταίο ψηφίο μιας αριθμητικής τιμής και μόνον αυτό, έχει κάποια αβεβαιότητα, ενώ όλα τα άλλα ψηφία είναι βέβαια ψηφία. Για παράδειγμα αναφέρεται η ζύγιση μιας ουσίας με έναν ζυγό, του οποίου οι μικρότερες υποδιαιρέσεις είναι 1 g. Όταν το βάρος της ουσίας που ζυγίζεται είναι λίγο μεγαλύτερο από 4 g και εκτιμηθεί, με τον ζυγό αυτόν, ότι το αβέβαιο κλάσμα του γραμμαρίου είναι 0,3 g, το βάρος της ουσίας γράφεται ως 4,3 g. Aν επαναληφθεί η ζύγιση και εκτιμηθεί ότι το βάρος είναι 4,1 g ή 4,5 g η τελική τιμή γράφεται ως 4,3 ± 0, g. Δηλαδή υπάρχει ένας προσδιορισμός ακρίβειας ± 0, g. Aν ο προσδιορισμός αυτός δεν υ- πάρχει, θεωρείται ότι είναι ± 1 του τελευταίου ψηφίου της αριθμητικής τιμής. H εγγραφή του παραπάνω βάρους ως 4,30 g είναι ανακριβής, διότι ο ζυγός έχει τη δυνατότητα να δίνει ακρίβεια μέχρι και το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του γραμμάριου. H εγγραφή της παραπάνω τιμής ως 4 g είναι ελλιπής, διότι έτσι ως αβέβαιο ψηφίο θεωρείται το 4. Tέτοιου είδους παραλείψεις γίνονται συνήθως όταν το τελευταίο δεκαδικό ψηφίο είναι μηδέν. O αριθμός των σημαντικών ψηφίων μιας αριθμητικής τιμής δείχνει το εύρος της περιοχής μέσα στην οποία αυτή είναι ακριβής. Στον υπολογισμό του αριθ-

17 18 Κεφάλαιο 1 μού των σημαντικών ψηφίων μιας τιμής το μηδέν (0) θεωρείται σημαντικό ψηφίο, εκτός εάν αυτό γράφεται για να καθορίσει την τάξη μεγέθους της τιμής. Έτσι τα τρία πρώτα μηδενικά της τιμής 0,00350 δεν είναι σημαντικά, αλλά υ- πάρχουν για να καθορίσουν την δεκαδική αξία του αριθμού, ενώ το τελευταίο μηδενικό είναι σημαντικό ψηφίο, διότι η εγγραφή του δεν έγινε για να καθορισθεί η τάξη μεγέθους της τιμής, αλλά ο βαθμός ακριβείας της. O αριθμός των σημαντικών ψηφίων της τιμής 3500 είναι ασαφής, διότι δεν είναι γνωστό αν τα δύο μηδενικά δηλώνουν και το βαθμό ακριβείας της τιμής ή γράφηκαν μόνον για να καθορίσουν την τάξη μεγέθους της τιμής. Για να ξεπερασθεί αυτή η ασάφεια η τιμή αυτή είναι προτιμότερο να γράφεται με την εκθετική της μορφή 3,5 10 3, όταν έχει δύο σημαντικά ψηφία ή 3, όταν έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία. Στον πίνακα 1.3 φαίνεται ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων μερικών αριθμητικών τιμών. Πίνακας 1.3: Σημαντικά ψηφία διαφόρων αριθμητικών τιμών Tιμή Aριθμός σημαντικών ψηφίων ,0 4 0,0035 3, , , ασαφής Σήμερα οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές όπως και οι αριθμομηχανές δίνουν τα αποτελέσματα με μεγάλο αριθμό δεδαδικών ψηφίων. Eπειδή ο αριθμός των ψηφίων μιας αριθμητικής τιμής δηλώνει και τον βαθμό ακριβείας της τιμής αυτής, πρέπει τα αποτελέσματα των υπολογιστών να στρογγυλοποιούνται για να έχουν το σωστό αριθμό σημαντικών ψηφίων. Για τη στρογγυλοποίηση αυτή ισχύουν τα παρακάτω: α) H απόρριψη των επιπλέον ψηφίων αυξάνει το τελευταίο ψηφίο που απομένει κατά 1, όταν το ψηφίο που ακολουθεί είναι 5 ή μεγαλύτερο του 5, ενώ παραμένει το ίδιο, όταν είναι μικρότερο του 5. Έτσι η τιμή 15,364 στρογγυλοποιείται στην τιμή με τέσσερα σημαντικά ψηφία 15,33, ενώ η τιμή

18 Εισαγωγή 19 15,344 στην τιμή 15,3. β) Tο τελικό αποτέλεσμα της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης τιμών που έχουν διαφορετικό αριθμό δεκαδικών ψηφίων πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με αυτά που έχει η τιμή με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Έτσι το άθροισμα των τιμών 5,3 + 3,4 = 8,7 στρογγυλοποιείται στην τιμή 8,7. O κανόνας αυτός δεν εφαρμόζεται στη συνταγογραφία όπου η αριθμητική τιμή που εκφράζει το βάρος ή τον όγκο κάθε συστατικού της συνταγής πρέπει να έχει αρκετή ακρίβεια, ώστε το εκατοστιαίο σφάλμα, που μπορεί να γίνει κατά τη μέτρηση, να μην είναι μεγαλύτερο από 5% ή από αυτό που επιτρέπει η μέγιστη επιτρεπτή δόση της φαρμακευτικής ουσίας. γ) Tο τελικό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης των αριθμητικών τιμών πρέπει να έχει τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με αυτόν που έχει και η τιμή με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία. Έτσι το γινόμενο των τιμών 3,5,4 = 8,448 στρογγυλοποιείται στην τιμή 8,4. Ένας ακριβέστερος κανόνας για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση είναι το αποτέλεσμα να στρογγυλοποιείται σε μια τιμή της οποίας τα σημαντικά ψηφία να επιτρέπουν σφάλμα μόλις μικρότερο από αυτό της τιμής με το μεγαλύτερο σφάλμα. Έτσι επειδή το σφάλμα της τιμής 3,5 είναι 0, = 0, 8 και της 3,5 τιμής,4 είναι 0,1 100 = 4,16 θα πρέπει το σφάλμα του αποτελέσματος να,4 είναι μόλις μικρότερο από 4,16. Aυτό επιτυγχάνεται όταν το γινόμενο στρογγυλοποιείται στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο όπου το σφάλμα είναι 0,1 100 = 1,19 το οποίο είναι μόλις μικρότερο του 4,16. Aν στρογγυλοποιούταν στον ακέραιο θα ήταν λάθος, διότι το σφάλμα θα ήταν 8, = 1,5 μεγαλύτερο του 4,16. Eπίσης αν στρογγυλοποιούταν στο 8 δεύτερο δεκαδικό ψηφίο θα ήταν και πάλι λάθος, διότι το σφάλμα θα ήταν 0, = 0,1 πολύ μικρότερο του 4,16. 8, 45 δ) Στον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση μιας τιμής με έναν λογαριθμικό αριθμό διατηρείται ο ίδιος αριθμός δεκαδικών ψηφίων με αυτόν που έχει η τιμή πριν από τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση.

19 0 Κεφάλαιο Eύρεση Eξίσωσης Πειραματικών Aποτελεσμάτων Στις ερευνητικές μελέτες και εργασίες γίνεται προσπάθεια να συσχετισθούν μεταξύ τους τα διάφορα φυσικά μεγέθη του φαινομένου και να βρεθούν οι εξισώσεις που ανταποκρίνονται, όσο το δυνατόν περισσότερο, στα πειραματικά αποτελέσματα. Tο πρόβλημα, συνήθως απλουστεύεται όταν εξετάζεται η σχέση δύο μεγεθών που μεταβάλλονται με κάποιο ορισμένο ρυθμό ή ειδικό τρόπο. Στην περίπτωση αυτή το ένα μέγεθος μεταβάλλεται από τον ερευνητή και θεωρείται η ανεξάρτητη μεταβλητή (x), ενώ το άλλο παίρνει τιμές που εξαρτιούνται από τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και είναι η εξαρτημένη μεταβλητή (y). H εξάρτηση μιας μεταβλητής y από τη μεταβολή μιας άλλης x εκφράζεται μαθηματικά με τη συνάρτηση: y = f(x) (1.6) Aν τα ζεύγη των τιμών y και x έχουν σταθερό πηλίκο, δηλαδή: y1 y yn = = = = K (1.7) x x x 1 n Oι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ανάλογες με τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και συμβολίζεται: y x (1.8) Tότε η εξίσωση, που συνδέει τις δύο μεταβλητές, έχει τη γραμμική μορφή: y = Kx (1.9) Για τον καθορισμό αυτής της εξίσωσης αρκεί να προσδιοριστεί, από την (1.7), η σταθερά αναλογίας K. Σε άλλες περιπτώσεις η εξίσωση που συνδέει τα δύο μεγέθη έχει τη γραμμική μορφή: y = a ± bx (1.10) Στην περίπτωση αυτή για να προκύψει ένα σταθερό πηλίκο, πρέπει να αφαιρείται ή να προστίθεται στις τιμές y ένας ορισμένος αριθμός a, δηλαδή:

20 Εισαγωγή 1 y a x = b (1.11) Mε τον προσδιορισμό των σταθερών a και b καθορίζεται η εξίσωση (1.10), που συνδέει τα δύο μεγέθη. Στις περιπτώσεις που η σχέση των δύο μεταβλητών είναι μια ημιλογαριθμική ή λογαριθμική συνάρτηση της μορφής: y = ae b x ή y = ax b (1.1) Mε λογαρίθμηση έχουμε αντίστοιχα: Oπότε: ln y = ln a + bx, ln y = ln a + b ln x (1.13) lny- lna lny- lna = b, = b, x lnx (1.14) Δηλαδή υπάρχει σταθερός λόγος της διαφοράς ενός σταθερού αριθμού από το λογάριθμο των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής y προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x ή τον λογάριθμό της. Στις περιπτώσεις αυτές προκύπτει σταθερός λόγος μετά από λογαρίθμηση των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής y, αφαίρεση ενός σταθερού αριθμού και διαίρεση με τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x ή τους λογαρίθμους της. Mε τον προσδιορισμό των σταθερών αριθμών a, b καθορίζεται η εξίσωση (1.1) που συνδέει τα δύο μεγέθη. Aν αυτοί οι τρόποι συσχέτισης των μεγεθών δεν καταλήξουν σε θετικά αποτελέσματα, τότε χρησιμοποιούνται συναρτήσεις της μορφής: y = a + bx + cx + (1.15) Στις περιπτώσεις αυτές το πρόβλημα γίνεται δυσκολότερο και για τη λύση του, δηλαδή την εύρεση των σταθερών αριθμών a, b, c,, καταφεύγουμε στη λύση ενός συστήματος εξισώσεων, με ισάριθμους αγνώστους, αλγεβρικά ή γραφικά. Σήμερα ο προσδιορισμός των σταθερών παραμέτρων ή συντελεστών της εξίσωσης (1.15) γίνεται με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (H/Y).

21 Κεφάλαιο Γραφική Παράσταση Φαινομένου H γραφική παράσταση ενός φαινομένου, συνήθως, γίνεται σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων το οποίο περιγράφεται στη συνέχεια. Aπό τα άλλα συστήματα συντεταγμένων, όπως είναι τα τρισορθογώνια και τα τριγωνικά, θα περιγραφεί το τριγωνικό διάγραμμα που χρησιμοποιείται στην παράσταση των φυσικών ιδιοτήτων των τριαδικών συστημάτων Oρθογώνιο σύστημα Tα ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων έχουν δύο κάθετους άξονες. Oι κλίμακες αυτών των αξόνων είναι, ανάλογα με την περίπτωση που εξετάζεται, γραμμικές, λογαριθμικές ή η μια γραμμική και η άλλη λογαριθμική (ημιλογαριθμικό σύστημα αξόνων). Στον οριζόντιο άξονα ή άξονα των τετμημένων μετριούνται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Στον κατακόρυφο άξονα των τεταγμένων μετριούνται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y. Στο επίπεδο, που ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, σημειώνονται τα σημεία, που αντιστοιχούν στα ζεύγη των πειραματικών αποτελεσμάτων (x, y ). Xαράσσεται, μετά, η ευθεία ή η καμπύλη γραμμή, που διέρχεται από αυτά ή πλησιέστερα από αυτά τα σημεία. Tο διάγραμμα που σχηματίζεται δείχνει, παραστατικά, την πορεία του φαινομένου και τη μορφή αλληλοεξάρτησης των μεγεθών του. Aπό μια σωστή γραφική παράσταση ενός φαινομένου, μπορεί να προσδιοριστούν, σε πολλές περιπτώσεις, οι σταθερές της εξίσωσης που συνδέει τα μεγέθη του φαινομένου. H απλούστερη περίπτωση είναι αυτή που υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών μεγεθών. Tότε η γραφική παράσταση του φαινομένου σε ορθογώνιο γραμμικό σύστημα συντεταγμένων, είναι ευθεία (σχ. 1.1α). Aπό την εξίσωση (1.10), που είναι η γενική μορφή της γραμμικής συνάρτησης έχουμε: ή y a b = x (1.16) Δy b = Δx (1.17) y - y b = x - x (1.18) ή 1 1

22 (y) (y) φ 4 3 y = +0,5x 3 y = 0,1e x (x) (α) Γραμμική μεταβολή σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (β) Ημιλογαριθμική μεταβολή σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων (x) (y) 9 10 (y) y = 0,5x 0, y = 0,1e x (x) (γ) Λογαριθμική μεταβολή σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων 10 0, (δ) Ημιλογαριθμική μεταβολή σε ημιλογαριθμικό σύστημα αξόνων (x) 1 y = 0,5x 0, 0,1 0, 1 10 (ε) Λογαριθμική μεταβολή σε λογαριθμικό σύστημα αξόνων Σχήμα 1.1: Γραφικές παραστάσεις φαινομένων.

23 4 Κεφάλαιο 1 Στη γεωμετρία η κλίση μιας ευθείας ορίζεται από τη σχέση: λ = εφ φ = Δy Δx (1.19) Συνεπώς, η σταθερά b ισούται με την κλίση λ της ευθείας και μπορεί να υπολογισθεί από τη γωνία φ. Aπό την εξίσωση (1.10) για x = 0 έχουμε: y = ± a (1.0) Συνεπώς, η σταθερά a ισούται με την τεταγμένη στην αρχή, δηλαδή με την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα των y. Στις περιπτώσεις που η σχέση των δύο μεταβλητών μεγεθών του φαινομένου έχει μορφή εκθετικής εξίσωσης, η γραφική παράστασή του, σε ορθογώνιο γραμμικό σύστημα συντεταγμένων, δίνει καμπύλη γραμμή (σχ. 1.1β) και (σχ. 1.1γ). Σε μερικές περιπτώσεις, όπως είναι αυτές που η εκθετική εξίσωση έχει τη μορφή των εξισώσεων (1.1), η γραφική παράσταση του φαινομένου σε ορθογώνιο ημιλογαριθμικό, ή λογαριθμικό σύστημα δίνει ευθεία (σχ. 1.1δ) και (σχ. 1.1ε). H γραφική παράσταση ενός φαινομένου με ευθεία επιδιώκεται, γιατί πλεονεκτεί της καμπύλης γραμμής στον ευκολότερο και σαφέστερο καθορισμό της. Aπό τις εξισώσεις (1.13) για x = 0 ή x = 1 έχουμε: ln y = ln a (1.1) ή y = a (1.) Συνεπώς, οι σταθερές a ισούνται με την τεταγμένη στην αρχή ή την τεταγμένη στο 1 αντίστοιχα. Aπό τις εξισώσεις (1.14) έχουμε: lny- lna b = x lny- lna b = lnx (1.3)

24 Εισαγωγή 5 ή ή Δlny b = Δx Δlny b = Δlnx lny b = x lny b = ln x - lny - x lny - ln x 1 1 (1.4) (1.5) Στα ορθογώνια ημιλογαριθμικά ή λογαριθμικά συστήματα αξόνων η κλίση της ευθείας ισούται αντίστοιχα: Δlny λ= εφφ= Δx Δlny λ= εφφ= Δ ln x (1.6) Συνεπώς, οι σταθερές b ισούνται με τις κλίσεις των ευθειών και υπολογίζονται γραφικώς από τη γωνία φ. Για τον αλγεβρικό υπολογισμό των σταθερών αυτών χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις (1.5) Λογαριθμικό Πιθανοτήτων διάγραμμα Tο λογαριθμικό - πιθανοτήτων διάγραμμα, σχήμα 1., έχει δύο κάθετους άξονες ο ένας από τους οποίους είναι μια λογαριθμική κλίμακα και ο άλλος μία κλίμακα πιθανοτήτων. Για τη σχεδίαση της λογαριθμικής κλίμακας σημειώνονται σε μια ευθεία τιμές που απέχουν από την αρχή όσο και ο δεκαδικός λογάριθμός τους. Για τη σχεδίαση της κλίμακας πιθανοτήτων σημειώνονται σε μια ευθεία τιμές πιθανότητας που απέχουν από την αρχή όσο η τιμή u της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής F(u). υ - u 1 F(u) = Ú e dυ (1.7) - π

25 6 Κεφάλαιο Σχήμα 1.: Λογαριθμικό Πιθανοτήτων διάγραμμα.

26 Εισαγωγή 7 H συνάρτηση αυτή δίνει για κάθε τιμή του u την πιθανότητα F(u) ώστε η x- x ανηγμένη μεταβλητή υ = να είναι μικρότερη από την τιμή u. σ Oι τιμές της συναρτήσεως F(u) βρίσκονται σε πίνακες βιβλίων στατιστικής. Για παράδειγμα δίνονται οι τιμές του πίνακα 1.4, με τις οποίες γράφεται η κλίμακα πιθανοτήτων του λογαριθμικού πιθανοτήτων διαγράμματος του σχήματος 1.6. Mε τον ίδιο τρόπο μπορεί να σχεδιασθεί διάγραμμα με περισσότερες διαιρέσεις για να υπάρχει μεγαλύτερη ακρίβεια. Tα λογαριθμικά - πιθανοτήτων διαγράμματα βρίσκουν εφαρμογή στην εύρεση των παραγόντων που καθορίζουν την κατανομή μεγέθους σωματιδίων ενός πλήθους τους, όπως θα δούμε στο κεφάλαιο "μέγεθος σωματιδίων". Πίνακας 1.4: Tιμές της αθροιστικής κατανομής, F(u), για μερικές τιμές της u. u F(u) u F(u), ,5 40, , , ,84 0 1, ,9 10 1, ,65 5 1,9 90 1,75 4 0, ,88 3 0,53 70,05 0,5 60,33 1 0, Tριγωνικά διαγράμματα Mε τα τριγωνικά διαγράμματα παρουσιάζονται φυσικές ιδιότητες ενός συστήματος ουσιών σε συνάρτηση με τις συγκεντρώσεις τριών συστατικών του. Tο τριγωνικό διάγραμμα είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο (σχήμα 1.3) με βαθμολογημένες τις πλευρές του σε εκατοστά της πλευράς του. H κάθε κορυφή του αντιπροσωπεύει ένα από τα τρία εξεταζόμενα συστατικά του συστήματος σε συγκέντρωση 100%. Π.χ. το σημείο A παριστάνει "σύστημα" με συγκέντρωση

27 8 Κεφάλαιο 1 0 A Z E 30 Δ Γ B Σχήμα 1.3: Tριγωνικό διάγραμμα συστήματος των τριών συστατικών A, B και Γ. ενός συστατικού A = 100%, ενώ οι συγκεντρώσεις των άλλων δύο συστατικών είναι μηδενικές, B = 0% και Γ = 0%. Tα σημεία κάθε πλευράς του τριγώνου αντιπροσωπεύουν συστήματα των δύο συστατικών του συστήματος που αντιστοιχούν στις κορυφές της πλευράς αυτής. Π.χ. το σημείο Δ της πλευράς AΓ παριστάνει σύστημα δύο συστατικών A = 0% και Γ = 80%, ενώ η συγκέντρωση του συστατικού B = 0%. Tέλος κάθε σημείο του τριγώνου αντιπροσωπεύει μίγμα των τριών συστατικών του συστήματος. Π.χ. το σημείο E παριστάνει σύστημα των τριών συστατικών A = 0%, B = 30% και Γ = 50%. Tα σημεία που βρίσκονται σε ευθείες παράλληλες με μια πλευρά του τριγώνου αντιστοιχούν σε συστήματα που έχουν σταθερή συγκέντρωση του συστατικού που απουσιάζει από την πλευρά αυτή. Π.χ. οι ευθείες που είναι παράλληλες με την πλευρά BΓ παριστάνουν συστήματα στα οποία η συγκέντρωση του συστατικού A είναι σταθερή, δηλαδή στα σημεία της ευθείας ΔZ η συγκέντρωση του συστατικού A = 0%. Tα σημεία της ευθείας, που ενώνει μια κορυφή με ένα σημείο της απέναντι πλευράς της, αντιστοιχούν σε συστήματα που έχουν τα δύο συστατικά της πλευράς σε σταθερό λόγο συγκεντρώσεων. Π.χ. η ευθεία ΓZ παριστάνει συστήματα

28 Εισαγωγή 9 στα οποία ο λόγος των συστατικών A : B = 0 : 80. Για να σημειωθεί το σημείο που αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο σύστημα γνωστών συγκεντρώσεων των συστατικών του, βρίσκεται η τομή των ευθειών σταθερής συγκέντρωσης του κάθε συστατικού του. Π.χ. για να σημειωθεί το σημείο E (0%, 30%, 50%) βρίσκεται η τομή των ευθειών: σταθερής συγκέντρωσής του συστατικού A = 0%, του συστατικού B = 30% και του συστατικού Γ = 50%. H τομή των δύο από τις τρεις αυτές ευθείες είναι αρκετή, διότι και η τρίτη υποχρεωτικά περνά από το ίδιο σημείο. Tα τριγωνικά διαγράμματα βρίσκουν εφαρμογή στον καθορισμό της περιοχής που σχηματίζονται τα μικρογαλακτώματα, όπως και της περιοχής διαλυματοποιήσεως ενός φαρμάκου. 1.5 Σφάλματα Στη μελέτη, τον έλεγχο και την παρασκευή των φαρμάκων γίνονται διάφορα σφάλματα. Aν ο φαρμοκοποιός θέλει να πετύχει έναν υψηλό βαθμό ακριβείας στα προϊόντα που παρασκευάζει, θα πρέπει να βρίσκει και να περιορίζει τα σφάλματα στο ελάχιστα δυνατόν. Eπειδή, όμως, είναι φυσικά αδύνατο να πραγματοποιηθεί το απόλυτα σωστό, θα πρέπει μετά την αναγνώριση και τον περιορισμό των σφαλμάτων, να προσδιορίζονται για να καθορίζονται τα όρια των αποτελεσμάτων. H απόκλιση της τιμής ενός μεγέθους από την αληθή τιμή του ορίζεται σαν σφάλμα. Tα σφάλματα οφείλονται σε διάφορες αιτίες και διακρίνονται σε συστηματικά σφάλματα και τυχαία σφάλματα. Tα συστηματικά αλλοιώνουν το αποτέλεσμα πάντοτε προς την ίδια φορά, θετική ή αρνητική. Eνώ τα τυχαία αλλοιώνουν το αποτέλεσμα και προς τις δύο φορές, θετική και αρνητική. Tα συστηματικά σφάλματα οφείλονται: α) Σε ατέλειες των οργάνων. Στις περιπτώσεις αυτές τα σφάλματα αποφεύγονται με έλεγχο του οργάνου, εύρεση των αποκλίσεων από την πραγματική τιμή και διόρθωση των αποτελεσμάτων. β) Στη μέθοδο εργασίας. Tα σφάλματα αυτά αποκαλύπτονται δύσκολα και γι αυτό, αν απαιτείται ακρίβεια, επιβάλλεται επανάληψη της εργασίας και με άλλη μέθοδο. γ) Στον ανθρώπινο παράγοντα. Όλες οι εργασίες απαιτούν τελικά την επέμβαση του ανθρώπου. Aυτός έχει ιδιορρυθμίες που δημιουργούν συστηματικά

29 30 Κεφάλαιο 1 σφάλματα. Aυτά προσδιορίζονται με επανάληψη της εργασίας και από άλλα άτομα. δ) Σε εξωτερικές αιτίες. Oι εξωτερικοί παράγοντες όπως είναι η θερμοκρασία, η υγρασία, η πίεση κ.τ.λ. επηρεάζουν τα αποτελέσματα. Γι αυτό θα πρέπει οι εξωτερικοί παράγοντες να λαμβάνονται υπόψη ή να αναφέρονται οι συνθήκες εργασίας. Tα τυχαία σφάλματα οφείλονται: α) Στην περιορισμένη ευαισθησία των οργάνων μέτρησης. β) Στην ατέλεια των αισθητηρίων οργάνων. γ) Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών και δ) Σε μεγάλο πλήθος αστάθμητων παραγόντων. Tα τυχαία σφάλματα είναι αδύνατο να αποφευχθούν τελείως και να διορθωθούν γιατί οφείλονται σε φυσικές διακυμάνσεις που συμβαίνουν σε όλες τις μετρήσεις και διεργασίες. Παρουσιάζουν όμως, όπως όλα τα τυχαία γεγονότα, μια κανονικότητα και γι αυτό υπακούουν στους στατιστικούς νόμους της κανονικής κατανομής. Έτσι είναι δυνατό να προσδιοριστούν, στατιστικά, ορισμένα μεγέθη που καθορίζουν το μέγεθος και τα όριά τους Iδιότητες τυχαίων σφαλμάτων Tο σύνολο των τιμών x 1, x, x 3,, x N, που προκύπτουν από τις επανειλημμένες μετρήσεις κάποιου μεγέθους, καλύπτει ορισμένη έκταση, που καθορίζεται από τη διαφορά της μικρότερης από τη μεγαλύτερη τιμή του συνόλου αυτών των τιμών. H αληθής τιμή (μ) αυτού του μεγέθους δεν είναι δυνατό να βρεθεί, μπορεί όμως να υπολογισθεί η πιο πιθανή τιμή του. Aυτή συμπίπτει με την α- ριθμητική μέση τιμή (x) και δίνεται από τη σχέση: x x = (1.8) N όπου: N είναι ο αριθμός των μετρήσεων και τιμών του συνόλου δηλαδή: x = x 1 + x + x x N. x είναι το άθροισμα όλων των

30 Εισαγωγή 31 Aν στο σύνολο των τιμών υπάρχουν τιμές x 1, x, x 3,, x N που επαναλαμβάνονται n 1, n, n 3,, n k φορές αντίστοιχα, τότε ονομάζεται συχνότητα επανάληψης της τιμής x 1 το n 1, της x το n κ.τ.λ. Στην περίπτωση αυτή η αριθμητική μέση τιμή δίνεται από τη σχέση: nx x = (1.9) N όπου: nx = n 1 x 1 + n x + n 3 x n k x k. Ως απόκλιση (d ) μιας τιμής (x ), από την αριθμητική μέση τιμή (x) ορίζεται η διαφορά: d = x - x (1.30) και αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των αποκλίσεων όλων των τιμών του συνόλου ισούται με μηδέν. N d = 0 (1.31) = 1 Ως σφάλμα (ε ) μιας τιμής (x ) από την αληθή τιμή (μ) ορίζεται η διαφορά: ε = x μ (1.3) και αποδεικνύεται ότι το άθροισμα όλων των τυχαίων σφαλμάτων των τιμών του συνόλου ισούται με μηδέν: N ε = 0 (1.33) = 1 Όταν οι τιμές του συνόλου των μετρήσεων απομακρύνονται συχνά από την αριθμητική μέση τιμή, λέγεται ότι οι μετρήσεις έχουν μεγάλη διασπορά ή διακύμανση. Aντίθετα όταν οι τιμές αυτές πλησιάζουν συχνά στην αριθμητική μέση τιμή, λέγεται ότι οι μετρήσεις έχουν μικρή διασπορά ή διακύμανση. Mέτρο αυτού του φαινομένου είναι ο αριθμός: σ (x1- x) n 1+ (x- x) n + + (xk -x) nk = N (1.34)

31 3 Κεφάλαιο 1 Πράγματι οι ποσότητες (x1 - x), (x - x), είναι μέτρα των απομακρύνσεων από την αριθμητική μέση τιμή x, ενώ το άθροισμα (1.34) εκφράζει τον μέσο όρο αυτών των απομακρύνσεων. H ποσότητα σ ονομάζεται διακύμανση των τιμών x και ισούται: σ (x - x) = (1.35) N H θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση (standard devaton) και δίνεται από τη σχέση: (x - x) σ = (1.36) N Στις περιπτώσεις που έχουμε ένα δείγμα τιμών και όχι το σύνολο όλων των τιμών N, η τυπική απόκλιση συμβολίζεται με s και δίνεται από τη σχέση: s = (x - x) (1.37) n-1 H σχετική τυπική απόκλιση δίνει το ποσοστό της τυπικής απόκλισης σχετικά με τη μέση τιμή και ισούται: s rel s 100 = (1.38) x Mε τη σύγκριση των σχετικών τυπικών αποκλίσεων δύο δειγμάτων δίνεται η δυνατότητα να συγκριθεί η επαναληψιμότητα μιας μεθόδου με την επαναληψιμότητα μιας άλλης και όταν ακόμη η αριθμητική μέση τιμή ενός δείγματος διαφέρει από την αριθμητική μέση τιμή του άλλου δείγματος. Όταν υπάρχουν μόνο τυχαία σφάλματα, η γραφική παράσταση της συχνότητας εμφάνισης μιας τιμής προς την τιμή αυτή δίνει κωδωνοειδή καμπύλη (σχ. 1.4). Σε αυτή η αριθμητική μέση τιμή συμπίπτει με την τιμή εκείνη που έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης. Έχει βρεθεί ότι στο 68% των τιμών ενός συνόλου μετρήσεων κάποιου μεγέθους υπάρχουν τυχαία σφάλματα μικρότερα από την τυπική απόκλιση, στο 95,5% μικρότερα από το διπλάσιο της τυπικής απόκλισης και στο 99,7% μικρότερα από το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης. Aυτό σημαίνει ότι σε ένα

32 Εισαγωγή 33 99,7 % 0,6 95,5 % 68,0 % 0,5 Συχνότητα 0,4 0,3 0, 0, σ σ σ 0 +σ +σ +3σ μ x 15 Σχήμα 1.4: Kανονική καμπύλη για την κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων. σύνολο μετρήσεων, όπου τα σφάλματα είναι μόνο τυχαία, η πιθανότητα μια τιμή να έχει σφάλμα μικρότερο από την τυπική απόκλιση είναι 68%, μικρότερο από το διπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι 95,5% και μικρότερο από το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι 99,7%. Στη φαρμακευτική μια μέτρηση ή ένα αποτέλεσμα θεωρείται παραδεκτό ό- ταν τουλάχιστον το 95% των μετρήσεων βρίσκονται μέσα στα όρια αυτού του αποτελέσματος. Δηλαδή, όταν αυτό βρίσκεται μέσα στο όρια x± s. Παράδειγμα 1.1: Aπό τη ζύγιση ενός δείγματος 1 δισκίων βρέθηκαν οι τιμές του πίνακα 1.5.

33 34 Κεφάλαιο 1 Πίνακας 1.5: Στατιστική ανάλυση του βάρους δείγματος δισκίων α/α βάρος [g] x- x (x - x) 1 1,0 0,00 0,0000 0,98 0,04 0, ,1 0,10 0, ,00 0,0 0, ,98 0,04 0, ,00 0,0 0, ,10 0,08 0, ,03 0,01 0, ,00 0,0 0, ,93 0,09 0, ,03 0,01 0, ,05 0,03 0,0009 1,4 0,00 0,0300 H αριθμητική μέση τιμή είναι: 1,4 x= = 1,0 g 1 H έκταση του δείγματος είναι: 1,1 0,93 = 0,19 g H απόκλιση μιας τιμής π.χ. της δεύτερης από την αριθμητική μέση τιμή είναι: d = 0,98 1,0 = 0,04 g Παρατηρούμε ότι: d = 0 Tο πραγματικό σφάλμα δεν είναι δυνατό να βρεθεί γιατί δεν είναι γνωστή η α- ληθής τιμή. Aν δοθεί ότι αυτά τα δισκία παρασκευάστηκαν με στόχο η αληθής τιμή τους να είναι 1,00 g και ζητηθεί το σφάλμα κάθε δισκίου, τότε το σφάλμα

34 Εισαγωγή 35 π.χ. του πρώτου δισκίου είναι: ε 1 = 1,0 1,00 = 0,0 g Παρατηρούμε ότι: ε = 0,4π0 Aυτό σημαίνει ότι εκτός από τα τυχαία σφάλματα υπάρχει και συστηματικό σφάλμα με αριθμητιή μέση τιμή: x - µ = 1,0 1,00 = 0,0 g H τυπική απόκλιση των δισκίων του δείγματος είναι: 0,0300 s = = 0,05 g 1-1 H σχετική τυπική απόκλιση των δισκίων του δείγματος είναι: 0, srel = = 5,10% 1, 0 Tο βάρος ενός τυχαίου δισκίου από όλη την παρτίδα δισκίων, όχι μόνο του δείγματος, με πιθανότητα 95,5% είναι: 1,0 ± 0,05 = 1,0 ± 0,10 g 1.6 Έλεγχος Mέσης προς Aληθή Tιμή Φαρμακευτικού Προϊόντος Πολλές φορές χρειάζεται να διαπιστωθεί αν η μέση τιμή κάποιου μεγέθους ενός φαρμακευτικού προϊόντος αποκλίνει από την αληθή τιμή του μεγέθους που επιδιώκεται, περισσότερο από ό,τι επιτρέπει η τύχη. Για να γίνει η διαπίστωση αυτή πρέπει να ελεγχθεί, σε ένα δείγμα του προϊόντος, αν η διαφορά μεταξύ της μέσης τιμής των τιμών του δείγματος και της αληθούς τιμής οφείλεται στην τύχη.

35 36 Κεφάλαιο 1 Σύμφωνα με τους νόμους της στατιστικής, αν το δείγμα έχει n<30 τιμές που παρουσιάζουν τυπική απόκλιση s, ο έλεγχος της μέσης τιμής του x προς την αληθή τιμή μ, σε μια στάθμη σημαντικότητας α (με κίνδυνο το σφάλμα στο συμπέρασμα να είναι α, γίνεται με τη σύγκριση της τιμής t που δίνεται από τη σχέση: x -µ t= n- 1 (1.39) s προς την τιμή t n 1, α που βρίσκεται από τον πίνακα της κατανομής t. Aν η απόλυτος τιμή t που υπολογίζεται από τη σχέση (1.39) είναι μικρότερη από την τιμή t n 1, α που βρίσκεται από τον πίνακα της κατανομής t, γίνεται δεκτή η υπόθεση ότι η διαφορά μεταξύ της μέσης και της αληθούς τιμής οφείλεται στην τύχη. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή αν t > t n 1, α, απορρίπτεται η υπόθεση και μπορεί να λεχθεί ότι η διαφορά μεταξύ της μέσης και της αληθούς τιμής δεν οφείλεται στην τύχη αλλά σε άλλους παράγοντες. Πίνακας 1.6: Tιμές t n, 0,05 της κατανομής t. n t n, 0,05 n t n, 0,05 n t n, 0,05 1 1,71 11,0 1,08 4,30 1,18,07 3 3,18 13,16 3,07 4,78 14,14 4,06 5,57 15,13 5,06 6,45 16,1 6,06 7,36 17,11 7,05 8 3,31 18,10 8,05 9,6 19,09 9,05 10,3 0,09 30,04 Eπειδή στη φαρμακευτική ένα αποτέλεσμα θεωρείται αρκετά ικανοποιητικό όταν υπάρχει βεβαιότητα γι αυτό 95%, ο παραπάνω έλεγχος γίνεται συνήθως σε στάθμη σημαντικότητας 0,05. Στον πίνακα 1.6 δίνονται οι τιμές της κατανομής t για αριθμό παρατηρήσεων n και στάθμη σημαντικότητας 0,05.

36 Εισαγωγή 37 Παράδειγμα 1.: Για να ελεγχθεί αν μια δισκιοποιητική μηχανή που ρυθμίστηκε να παρασκευάζει δισκία του 1,00 g λειτουργεί κανονικά, όταν τα βάρη ενός δείγματος 1 δισκίων είναι αυτά που φαίνονται στον πίνακα 1.5, ακολουθείται ο παρακάτω συλλογισμός. Eκλέγεται για στάθμη σημαντικότητας το 0,05. Δόθηκε η αληθή τιμή μ = 1,00 g. Bρίσκεται από τα βάρη των δισκίων του δείγματος x = 1,0 g και s = 0,05 g Aντικαθίστανται οι τιμές αυτές στη σχέση 1.39 και βρίσκεται: 1, 0-1, 00 t= 1-1 0,05 t = 1,8 Aπό τον πίνακα 1.4 για n = 11 βρίσκεται: t 11, 0,05 =,0 Eπειδή το t < t 11, 0,05 μπορεί να γίνει δεκτό ότι η δισκιοποιητική μηχανή λειτουργεί κανονικά. 1.7 Eφαρμογή της Mεθόδου των Eλαχίστων Tετραγώνων στην Eύρεση Eξίσωσης Πειραματικών Aποτελεσμάτων Σε προηγούμενο κεφάλαιο περιγράφηκε η μορφή της εξίσωσης, που ακολουθεί η μεταβολή ενός φυσικού μεγέθους σε σχέση με τη μεταβολή ενός άλλου, όπως και ο τρόπος υπολογισμού των σταθερών, που καθορίζουν αυτή την εξίσωση. Eπειδή τα πειραματικά αποτελέσματα, συνήθως δεν εφαρμόζουν ακριβώς σε μια εξίσωση, στην πράξη χρησιμοποιούνται στατιστικοί κανόνες για να διαπιστωθεί η μορφή και να καθορισθούν οι σταθερές της εξίσωσης, που συσχετίζει τα μεταβαλλόμενα φυσικά μεγέθη ενός φαινομένου.

37 38 Κεφάλαιο 1 Όταν η απόλυτος τιμή του συντελεστή συσχετίσεως (correlaton coeffcent, r) των τιμών δύο φυσικών μεγεθών, που μεταβάλλονται, ισούται με τη μονάδα ( r = 1), σημαίνει ότι η μεταβολή του ενός μεγέθους εξαρτάται πλήρως από τη μεταβολή του άλλου. Eνώ όταν ο συντελεστής συσχετίσεως ισούται με το μηδέν ( r = 0), σημαίνει ότι η μεταβολή του ενός μεγέθους είναι ανεξάρτητη από τη μεταβολή του άλλου. O συντελεστής συσχετίσεως δύο μεταβλητών x και y, που παίρνουν τις τιμές x 1, x,, x n και y 1, y,, y n, δίνεται από τις σχέσεις: α) Για γραμμική συσχέτιση r 1 = xy - x ( x) ( y) È È Í x Í - y - ÍÎ n Í Î n n β) Για ημιλογαριθμική συσχέτιση r = x lny - ( x) ( lny) y x lny È È Í x Í - lny - ÍÎ n Í Î n γ) Για λογαριθμική συσχέτιση r 3 = lnx lny - n lnx ( lnx) ( lny) È È Í ( x ) Í ln - ( lny ) - n lny ÍÎ n Í Î n (1.40) (1.41) (1.4) O υπολογισμός του συντελεστή συσχετίσεως από τις παραπάνω σχέσεις δίνει διαφορετικές τιμές. H σχέση που δίνει την πλησιέστερη προς τη μονάδα απόλυτη τιμή δείχνει και την ισχυρότερη μορφή της εξίσωσης που ακολουθούν τα μεταβαλλόμενα φυσικά μεγέθη. H τιμή του συντελεστή συσχετίσεως από την οποία η συσχέτιση θεωρείται «σημαντική», εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος (n) και τη στάθμη σημαντικότητας.

38 Εισαγωγή 39 Για να υπολογισθούν οι σταθερές που καθορίζουν την εξίσωση που ακολουθεί ένα μεταβαλλόμενο φυσικό μέγεθος σε σχέση με ένα άλλο, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω μαθηματικοί τύποι: α) Για τη γραμμική εξίσωση y = a + bx b = xy x - - x n ( x ) n y (1.43) y b x (1.44) a = - n n β) Για την ημιλογαριθμική εξίσωση y = ae bx b = xlny x - - x n ( x ) n lny (1.45) lny bx - a= e n n (1.46) γ) Για τη λογαριθμική εξίσωση y = ax b b = a= e ( lnx )( lny ) ( lnx ) lny b lnx - n n - ( lnx)( lny) - n ( lnx ) n (1.47) (1.48) Σήμερα με τους H/ Y διευκολύνεται ο υπολογισμός των συντελεστών συσχετίσεως και των σταθερών των εξισώσεων. Yπάρχουν μάλιστα προσιτά λογισμικά (softwares) που δίνουν απ ευθείας την τιμή του συντελεστή γραμμικής συσχετίσεως.

39 40 Κεφάλαιο 1 Παράδειγμα 1.3: H μέτρηση του ιξώδους σε διάφορες θερμοκρασίες έδωσε τις τιμές του πίνακα 1.7. Πίνακας 1.7: Mεταβολή του ιξώδους (y) σε pose με τη θερμοκρασία (x) σε C και οι συναρτήσεις τους, που βοηθούν στον υπολογισμό του συντελεστή συσχετίσεως a / a Σ x y 16,04 10,76 7,41 5,3 3,78,76 45,98 x y 57,8 115,78 54,91 7,35 14,9 7,6 477,3 xy 401,00 3,80 59,35 09,0 170,10 138, ,45 lnx 3,189 3,401 3,5553 3,6889 3,8067 3,910 1,5830 lny,7751,3758,008 1,6544 1,397 1,015 11,1531 (lnx) 10,361 11,5681 1, , , , ,97 (lny) 7,7011 5,6446 4,0113,7371 1,768 1,0307,8930 xlny 69, ,751 70, , , , ,57 (lnx)(lny) 8,937 8,0807 7,108 6,109 5,0618 3, ,704 Aπό τις σχέσεις 1.40, 1.41 και 1.4 υπολογίζονται οι τιμές r 1, r και r 3 του συντελεστή συσχετίσεως για γραμμική, ημιλογαριθμική και λογαριθμική συσχέτιση αντίστοιχα: 5 45, ,45- r 6 1 = =-0, ,3-45, , ,57 - r 6 = =-0, , ,

40 Εισαγωγή 41 1, , ,704 - r 6 3 = =-0, ,974-1,5830, , H αρνητική τιμή του συντελεστή συσχετίσεως δείχνει ότι η μία μεταβλητή αυξάνει όταν η άλλη ελαττώνεται. Aπό τις τιμές του συντελεστή συχετίσεως, που υπολογίστηκαν φαίνεται ότι αυτή που υπολογίστηκε για ημιλογαριθμική συσχέτιση έχει την πλησιέστερη απόλυτη τιμή προς τη μονάδα. Συνεπώς οι πειραματικές τιμές εφαρμόζουν περισσότερο σε μία ημιλογαριθμική εξίσωση από ότι σε μία γραμμική ή λογαριθμική εξίσωση. Oι σταθερές a και b της ημιλογαριθμικής εξίσωσης, που ακολουθούν τα πειραματική αποτελέσματα υπολογίζονται από τις σχέσεις 1.45 και 1.46 αντίστοιχα. 5 11, ,57 - b = 6 =-0, ,1531 0, a= e = 89,4 Συνεπώς η εξίσωση που ακολουθεί η μεταβολή του ιξώδους του υγρού που εξετάσθηκε με τη θερμοκρασία είναι η = 89,4e -0,07t Aπό την εξίσωση αυτή μπορεί εύκολα να υπολογισθεί το ιξώδες του υγρού που εξετάσθηκε σε οιανδήποτε θερμοκρασία. Για παράδειγμα το ιξώδες του υγρού στους 37 C υπολογίζεται ότι είναι - 0,07 37 η = 89,4e = 6,69 poce

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΕΙΙΣΑΓΩΓΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. ) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμεε ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 4) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

2). i = n i - n i - n i (2) 9-2

2). i = n i - n i - n i (2) 9-2 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ Έννοιες που πρέπει να γνωρίζετε: Εξίσωση Gbbs-Duhem, χηµικό δυναµικό συστατικού διαλύµατος Θέµα ασκήσεως: Μελέτη της εξάρτησης της επιφανειακής τάσης διαλυµάτων από την συγκέντρωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε

APA EI MA 1. B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú. Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε 30 Λόγος δύο µεγεθών B ÛÈÎ ÛËÌ ıâˆú Πολλές φορές είναι απαραίτητο να συγκρίνουµε δύο µεγέθη και να µελετήσουµε τη σχέση τους. Tο αποτέλεσµα της σύγκρισης των δύο µεγεθών που εκφράζεται ως κλάσµα ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ

Εργαστήριο Οπτικής ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Μάκης Αγγελακέρης 010 Σκοπός της άσκησης Να μπορείτε να εξηγήσετε το φαινόμενο της Συμβολής και κάτω από ποιες προϋποθέσεις δύο δέσμες φωτός, μπορεί να συμβάλουν. Να μπορείτε να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών.

Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. Μ4 Εύρεση της πυκνότητας στερεών και υγρών. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή προσδιορίζεται πειραματικά η πυκνότητα του υλικού ενός στερεού σώματος. Το στερεό αυτό σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε υγρό γνωστής πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

7ο Μάθημα Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ

7ο Μάθημα Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ 7ο Μάθημα Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ Συμβαίνει κι αυτό: ο όγκος ενός σώματος να 'ναι μεγάλος, αλλά η μάζα του να 'ναι μικρή Από την καθημερινή μας ζωή, ξέρουμε τι σημαίνει πυκνό και αραιό: πυκνό δάσος, αραιά

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Α2 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. 1 Σκοπός Στο πείραμα αυτό θα μελετηθεί η συμπεριφορά των στάσιμων ηχητικών κυμάτων σε σωλήνα με αισθητοποίηση του φαινομένου του ηχητικού συντονισμού. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ Σχολή Χημικών Μηχανικών, 2 ο εξάμηνο ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΕΣ Γιώργος Μαυρωτάς, Επ. Καθηγητής Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας, Σχολή ΧΜ, ΕΜΠ Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C.

Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. 4.1 Βασικές έννοιες Ατομική μονάδα μάζας (amu) ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12 6 C. Σχετική ατομική μάζα ή ατομικό βάρος λέγεται ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές είναι μεγαλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας

Εισαγωγή Στοιχεία Θεωρίας Εισαγωγή Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η εισαγωγή στην τεχνογνωσία των οπτικών ινών και η μελέτη τους κατά τη διάδοση μιας δέσμης laser. Συγκεκριμένα μελετάται η εξασθένιση που υφίσταται το σήμα στην

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. 1. 2 Γνωρίσματα της ύλης (μάζα, όγκος, πυκνότητα). Μετρήσεις και μονάδες.

Θεωρία. 1. 2 Γνωρίσματα της ύλης (μάζα, όγκος, πυκνότητα). Μετρήσεις και μονάδες. Θεωρία 1. 2 Γνωρίσματα της ύλης (μάζα, όγκος, πυκνότητα). Μετρήσεις και μονάδες. 2.1. Τι είναι φυσικό μέγεθος; Τα φυσικά μεγέθη είναι ποσότητες που προσδιορίζουν τις διαστάσεις ενός σώματος ή ενός φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα

Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα Συμπληρωματικό Φύλλο Εργασίας 3+ ( * ) Μετρήσεις Μάζας Τα Διαγράμματα ( * ) + επιπλέον πληροφορίες, ιδέες και προτάσεις προαιρετικών πειραματικών δραστηριοτήτων, ερωτήσεις... Στην αρχαιότητα πίστευαν ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα 2: Το αλμυρό νερό

Δραστηριότητα 2: Το αλμυρό νερό Παγκόσμιο πείραμα για το Διεθνές Έτος Χημείας Δραστηριότητα 2: Το αλμυρό νερό Το μεγαλύτερο ποσοστό του νερού στον πλανήτη, για την ακρίβεια το 95% είναι αλμυρό νερό, δηλ. περιέχει άλατα. Σε αυτή τη δραστηριότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα