14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ"

Transcript

1 SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται κατά µήκος τριών ευθειών κάθετων ανά δύο δηλαδή το Oxy είναι ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων. Επίσης η θέση του P µπορεί να καθοριστεί µε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες (u u u. Τα δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µε τρεις (συνεχώς διαφορίσιµες εξισώσεις µετασχηµατισµού x x(u u u y y(u u u (u u u Η Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού (που είναι µια ορίζουσα x/ u x/ u x/ u ( xy y/ u y/ u y/ u ( u u u / u / u / u υποτίθεται διάφορη του µηδενός ώστε να είναι αντιστρεπτές οι εξισώσεις µετασχηµατισµού. Το σύστηµα συντεταγµένων u u u παραµένει καρτεσιανό (γενικά όµως πλαγιογώνιο και όχι ορθογώνιο αν και µόνο αν οι εξισώσεις µετασχηµατισµού είναι γραµµικές. Αν διατηρηθούν σταθερές οι u και u και µεταβληθεί µόνο η u το σηµείο P που ορίζεται από το διάνυσµα xi yj k γράφει µια καµπύλη που καλείται συντεταγµένη καµπύλη u από το P. Όµοια ορίζονται οι συντεταγµένες καµπύλες u και u από το P και γενικότερα από κάθε σηµείο. Αν διατηρηθεί σταθερή µόνο η u και µεταβληθούν οι u και u το σηµείο P γράφει µια δισδιάστατη επιφάνεια η οποία καλείται συντεταγµένη επιφάνεια u. Όµοια ορίζονται οι συντεταγµένες επιφάνειες u και u.

2 SECTION Τα διανύσµατα /u /u /u εφάπτονται στις συντεταγµένες καµπύλες u u u. Αν είναι τα µοναδιαία διανύσµατα που εφάπτονται σε αυτές τις καµπύλες τότε όπου u u u u u u είναι οι συντελεστές κλίµακας. Αν τα είναι ανά δύο κάθετα (δηλαδή αν i j δ ij το καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων καλείται ορθογώνιο. ιαφορικά µεγέθη Σε καµπυλόγραµµες συντεταγµένες το στοιχειώδες διάνυσµα είναι d u du u du du du du du u Αν οι συντεταγµένες είναι ορθογώνιες όπως υποτίθεται σε όλα τα επόµενα το στοιχειώδες µήκος είναι ds d d du du du Το στοιχείο όγκου είναι dv ( du ( du ( du du du du u u u du du du xy ( ( u u u du du du Μετασχηµατισµός ολοκληρωµάτων Η αλλαγή συντεταγµένων µετασχηµατίζει τα ολοκληρώµατα σύµφωνα µε τον τύπο R ( xy ( x y dxdyd G( u u u du du du ( u u u R όπου R' η περιοχή στην οποία απεικονίζεται η R και G(u u u η τιµή της (x y που προκύπτει από το µετασχηµατισµό.

3 SECTION 4. Κλίση Απόκλιση Περιστροφή Στα παρακάτω Φ είναι µια βαθµωτή συνάρτηση και A A A A µια διανυσµατική συνάρτηση των ορθογώνιων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων u u u. Κλίση του gd u u u Απόκλιση του A diva A u ( A u ( A u ( A Περιστροφή του A cula A u u u A A A u A ( ( A u u A u A ( ( ( ( A u A u Παράγωγος κατά κατεύθυνση ( A A A A u u u Λαπλασιανή του u u u u u Από την ίδια σχέση προκύπτει ο διαρµονικός τελεστής 4 Φ ( Φ u

4 4 SECTION 4. ιάφορα Συστήµατα Συντεταγµένων Κυλινδρικές συντεταγµένες (ρ φ x ρcosφ y ρsinφ µε ρ 0 0 φ < π < <. φ ρ d dρ ρdφ φ d ds dρ ρ dφ d dv ρdρdφd f f A ( A A ( A f A A ( A A A ( A u A f f f ( A A A A f f Σφαιρικές συντεταγµένες ( θ φ x sinθcosφ y sinθsinφ cosθ µε 0 0 θ π 0 φ < π. θ φ sinθ d d dθ θ sinθdφ φ ds d dθ sin θdφ dv sinθddθdφ

5 SECTION 5 u u sinu f A ( A sin u ( A sin u ( A sinu u f A ( A sin u ( A sinu u f A ( A sin u ( u sinu f A A u ( A A A A f sinu ( f ( u sin sinu u u sin u Παραβολικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x!(u υ y uυ u y ( u y u y f f Οι τοµές των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο σταθ. είναι δύο οικογένειες συνεστιακών παραβολών. Οι εξισώσεις αυτών των οικογενειών είναι x!(y /υ υ και x!(y /u u από τις οποίες παίρνουµε τις δύο οικογένειες του Σχ. 4-4 δίνοντας τιµές στα u και υ. Παραβολικές συντεταγµένες (u υ φ x uυcosφ y uυsinφ!(u υ όπου u 0 υ 0 0 φ < π u y uυ ( ( y y y y y uu ( u u u ( u y u y f

6 6 SECTION Οι συντεταγµένες επιφάνειες προκύπτουν µε περιστροφή των παραβολών του Σχ. 4-4 γύρω από τον άξονα x που µετά ονοµάζεται. Τοµή των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο που περνάει από τον άξονα των δίνει το Σχ Ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x cosucosυ y sinusinυ u 0 0 υ < π < < sin u sin y ( (sin u sin y u y Οι τοµές των συντεταγµένων επιφανειών µε τυχόν επίπεδο σταθ. είναι συνεστιακές ελλείψεις και παραβολές. Οι εξισώσεις αυτών των οικογενειών είναι x y και x y cos u sin u cos y sin y από τις οποίες προκύπτουν οι καµπύλες του Σχ. 4-6 για διάφορες τιµές των u και υ. Γεωειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες (ξ η φ x cosξcosηcosφ y cosξcosηsinφ sinξsinη ξ 0 π/ η π/ 0 φ < π sin j sin cosξ cosη (sin j sin cos j j ( cos j j cos (sin j sin cos cos jcos f ύο οικογένειες συντεταγµένων επιφανειών προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-6 γύρω από τον άξονα y που µετά ονοµάζεται. Η τρίτη οικογένεια συντεταγµένων επιφανειών αποτελείται από επίπεδα που περιέχουν αυτόν τον άξονα. Σε ένα επίπεδο που περιέχει το νέο άξονα οι συντεταγµένες καµπύλες (Σχ. 4-6 δίνονται από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] cos j sin j και cos sin για διάφορες τιµές των ξ και η.

7 SECTION 7 Ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες (ξ η φ x sinξsinηcosφ y sinξsinηsinφ cosξcosη ξ 0 0 η π 0 φ < π sin j sin sinξ sinη (sin j sin j ( sin j j (sin j sin sin sin sin jsin f ύο οικογένειες συντεταγµένων επιφανειών προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-6 γύρω από τον άξονα x που µετά ονοµάζεται. Η τρίτη οικογένεια συντεταγµένων επιφανειών αποτελείται από επίπεδα που περιέχουν αυτόν τον άξονα. Σε ένα επίπεδο που περιέχει το νέο άξονα οι συντεταγµένες καµπύλες (Σχ. 4-8 δίνονται από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] sin j cos j και cos sin για διάφορες τιµές των ξ και η. ιπολικές κυλινδρικές συντεταγµένες (u υ x sin y cosy cosu y sinu cos y cosu όπου 0 u < π < υ < < < cos y cosu ( (cos y cos u u y Επειδή x y u ( cot και ( x cot y y sin u sin y οι τοµές των κυλινδρικών συντεταγµένων επιφανειών u σταθ. και υ σταθ. είναι κύκλοι όπως στο Σχ. 4-9.

8 8 SECTION Τοροειδείς συντεταγµένες (u υ φ sin ycosf x cos y cosu sin ysin f y cos y cosu sinu cos y cosu cos y cosu sin y cos y cosu (cos y cos u u cos y cosu u (cos y cos u sin y ( sin y (cos y cos ( u y cos y cosu y sin y f Οι συντεταγµένες επιφάνειες προκύπτουν µε περιστροφή του Σχ. 4-9 γύρω από τον άξονα y που µετά ονοµάζεται. Οι συντεταγµένες επιφάνειες u σταθ. υ σταθ. και φ σταθ. δίνονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις [ρ (x y / απόσταση από τον άξονα ] ρ ( cotu /sin u ρ ρcotυ και tnφ y/x για διάφορες τιµές των u υ και φ. Κωνικές συντεταγµένες (λ µ ν lmn b b x y l ( m ( n l ( m ( n b b b b l ( m n ( ( b l ( m n m m ( n ( b n Συνεστιακές ελλειψοειδείς συντεταγµένες (λ µ ν x y c b b c l l l l < < < x y c m b m c m < m < b < x y b c c < b < n < n n n

9 SECTION 9 x y ( l( m( n ( b ( c ( b l( b m( b n ( b ( b c ( c l( c m( c n ( c ( c b ( m l( n l 4( l( b l( c l ( n m( l m 4( m( b m( c m ( l n( m n 4( n( b n( c n Συνεστιακές παραβολοειδείς συντεταγµένες (λ µ ν x y b b l < l l l < x y b b m < m < m m x y n b n n < n < ( l( m( n x b ( b l( b m( b n y b l m n b

10 0 SECTION ( m l( n l 4( l( b l ( n m( l m 4( m( b m ( l n( m n 6( n( b n

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1

Διαβάστε περισσότερα

( () () ()) () () ()

( () () ()) () () () ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)

{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA

EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2 ΦΥΣ 211 - Διαλ.04 1 Παραδείγματα Κίνηση ενός και μόνο σωματιδίου, χρησιμοποιώντας Καρτεσιανές συντεταγμένες και συντηρητικές δυνάμεις. Οι εξισώσεις Lagrange θα πρέπει να επιστρέφουν τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ

Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ Ι ΤΕΛΕΣΤΕΣ, ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, ΣΕΙΡΕΣ, ΙΑΦΟΡΟΙ ΤΥΠΟΙ TΑ TΡΙΑ ΣΥΝΗΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ O P(,, ) O φ φ φ P(, φ, ) P(,, φ) O φ (α) (β) (γ) (α) Κατεσιαό σύστηµα συτεταγµέω,,. (σχήµα (α)) (β) Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν.

4. Να βρεθεί η προβολή του σημείου Ρ=(6,1,5) πάνω στην ευθεία ε: x ={3,1,2}+λ{1,2,1},, και η απόστασή του από αυτήν. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙI Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 009-00 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V Ι. Δίνονται οι ευθείες δ: x ={,0,0}+λ{,,}, ε: x -x + x -=0, x -x =. Να εξετάσετε αν οι ευθείες δ, ε είναι ασύμβατες. Αν ναι, βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας

ϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009 Περιεχόµενα 1 Επιφανειες 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Αλυτα Προβληµατα..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί

() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59

3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59 3. Καµπυλόγραµµες συντεταγµένες 6 3. Κυλινδρικές πολικές συντεταγµένες 64 3.3 Η µετρική σε καµπυλόγραµµες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεµελιώδες Θεώρηµα Θεωρίας Επιφανειών Αφορά στην ανάπτυξη τριών διαφορετικών εξισώσεων (Gauss-Cdazzi)

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ θα εξετάσουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Χρήστος Θ. Αναστασίου Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις

6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ. 6.1 Ορισµοί. Συναρτήσεις SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. 1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή Σύντομη μαθηματική εισαγωγή (ή πώς να γίνουν ομοιογενείς 250 φοιτητές από 130 διαφορετικά Σχολεία δύο διαφορετικούς δασκάλους ο καθένας) με δύο http://www.cc.uoa.gr/~ctrikali http://eclass.uoa.gr Α. Καραμπαρμπούνης,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Hλεκτροδυναμική

Κλασική Hλεκτροδυναμική Κλασική Hλεκτροδυναμική Ενότητα 1: Εισαγωγή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι μια σύντομη επανάληψη στις βασικές έννοιες της ηλεκτροστατικής.

Διαβάστε περισσότερα

Μ8 Η µερική παράγωγος

Μ8 Η µερική παράγωγος Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ. t 1 (x 1,y 1 ) Η αρχή ενός οποιουδήποτε ορθογωνίου xy συστήματος συντεταγμένων

ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ. t 1 (x 1,y 1 ) Η αρχή ενός οποιουδήποτε ορθογωνίου xy συστήματος συντεταγμένων ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 1 ( 1, 1 ) ορθογωνίου συστήματος r1 1 1 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ (, ) ορθογωνίου συστήματος r ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 3 ( 3, 3 ) ορθογωνίου συστήματος r3 3 3 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 4 ( 4, 4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα 6: Σχεδίαση Πτερυγίων Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Ιδανικό ρευστό - εξίσωση Laplace Στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός

11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός 56 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση,, Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε σταθερά τα και και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2) Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1999 1) Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας, η οποία έχει κέντρο το σημείο Κ(1,3,) και τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 4. () ) Να βρεθεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας

Διαβάστε περισσότερα

Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων

Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων Προσδιορίστε την αναπαράσταση των τελεστών και σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Εξειδικεύστε τα αποτέλεσματά σας στις περιπτώσεις : (α) πολικών συντεταγμένων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα