υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Εκπαιδευτική Ενότητα6 η Mοντελοποίηση δυναµικών συστηµάτων συνεχούς µέσου - Μοντελοποίηση δοκού σε εφελκυσµό - Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων (Εισαγωγή) Γενικά Μέχρι στιγµής, στις προηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες, εξετάσθηκαν διακριτά δυναµικά συστήµατα, δηλαδή δυναµικά συστήµατα, τα οποία είναι δυνατόν να αντικατασταθούν από µία συγκεκριµένη διάταξη (συνδεσµολογία) πεπερασµένου πλήθους δυναµικών στοιχείων, όπως είναι η µάζα, το ελατήριο και ο αποσβεστήρας. Ως παράδειγµα, αναφέρεται η απλοποιηµένη θεώρηση της ανάρτησης ενός οχήµατος (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 4 / Σχήµα 4). Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση δεν επαρκεί σε όλες τις περιπτώσεις. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα αποτελούν το αµάξωµα ενός οχήµατος, η πτέρυγα ενός αεροσκάφους και ο άξονας µίας µηχανής. Αυτά αποτελούν συστήµατα συνεχούς µέσου (ισοδύναµα, συνεχή συστήµατα ή κατανεµηµένα συστήµατα), η χρονική απόκριση των οποίων καθορίζεται τόσο από τη χωρική κατανοµή όσο και από τις ιδιότητες του υλικού κατασκευής. Η µοντελοποίηση ενός συνεχούς µέσου αποτελεί προέκταση της µοντελοποίησης των διακριτών συστηµάτων, συνεπώς και σε αυτήν την περίπτωση θα χρησιµοποιηθούν οι, γνωστές από τη Μηχανική, ενεργειακές µέθοδοι, όπως είναι η Ενεργειακή Αρχή agrange. οκός σε εφελκυσµό Έστω η µονόπακτη δοκός (πρόβολος) του Σχήµατος α, η οποία υπόκειται σε εφελκυσµό. ρ, Α, E, σ f () σ σ + d f () d (α) Σχήµα : Μονόπακτη δοκός σε εφελκυσµό: (α) σχηµατική αναπαράσταση και (β) ισορροπία στοιχειώδους τµήµατος, µήκους d, της δοκού Η περίπτωση της δοκού του Σχήµατος α αποτελεί την πλέον απλή περίπτωση συνεχούς συστήµατος (ισοδύναµα, συστήµατος συνεχούς µέσου). Ειδικότερα, πρόκειται για µία δοκό µήκους, διατοµής µε εµβαδόν A και κατασκευασµένης από υλικό πυκνότητας ρ και µέτρου ελαστικότητας E. Κατά τον διαµήκη άξονα της δοκού, γύρω από τον οποίο είναι κατανεµηµένη η µάζα της δοκού, επιβάλλεται κατανεµηµένο εφελκυστικό φορτίο f ( ). Τυπική περίπτωση εµφάνισης τέτοιου είδους φόρτισης αποτελεί η θερµοκρασιακή συστολή ή διαστολή της δοκού, η οποία επιτυγχάνεται όταν στα δύο άκρα της δοκού επιβληθούν διαφορετικές θερµοκρασίες. Εξ αιτίας της επιβολής του φορτίου f ( ), κάθε σηµείο του άξονα της δοκού εµφανίζει µία µετατόπιση (, t ), δηλαδή µία µετατόπιση, η τιµή της οποίας εξαρτάται και από την εξεταζόµενη χρονική στιγµή t αλλά και από τη χωρική θέση (β)

4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - (συντεταγµένη) του εξεταζόµενου σηµείου πάνω στον άξονα της δοκού. Η µετατόπιση (, t ) αποτελεί µία κινηµατική µεταβλητή. Η δοκός, ως συνεχές µέσο, αποτελείται από άπειρο πλήθος υλικών σηµείων. Επειδή κάθε υλικό σηµείο χαρακτηρίζεται από τη δική του µετατόπιση, άρα από τη δική του κινηµατική µεταβλητή, έπεται ότι η δοκός, θεωρητικά, χαρακτηρίζεται από άπειρο πλήθος κινηµατικών µεταβλητών. Στις προηγούµενες Εκπαιδευτικές Ενότητες, έχει παρουσιασθεί ο τρόπος µε τον οποίο ο Μηχανικός καταστρώνει την εξίσωση κίνησης ενός συστήµατος πεπερασµένου πλήθους κινηµατικών µεταβλητών, µέσω της Ενεργειακής Αρχής agrange: PC Pt + = t () Ανακύπτει, λοιπόν, άµεσα το ερώτηµα µε ποιον τρόπο δύναται ο Μηχανικός να καταστρώσει την εξίσωση κίνησης ενός συστήµατος απείρου πλήθους κινηµατικών µεταβλητών. εδοµένου ότι η Ενεργειακή Αρχή argrange ισχύει για κάθε σύστηµα, είναι προφανές ότι η Εξ.() ισχύει και στην περίπτωση του απείρου πλήθους κινηµατικών µεταβλητών, απλά απαιτείται επαναδιατύπωση του τρόπου υπολογισµού των επί µέρους ενεργειακών όρων. Έστω ότι αναζητείται η εξίσωση κίνησης της δοκού του Σχήµατος α, υπό την παραδοχή ότι οι µεταβλητές ρ, A, E είναι σταθερές κατά τον διαµήκη άξονα και το υλικό της δοκού είναι γραµµικά ελαστικό. Προς τούτο, πρώτα θα καταστρωθεί η εξίσωση ισορροπίας ενός στοιχειώδους τµήµατος, µήκους d, της δοκού (βλ. Σχήµα β). Από τη Μηχανική του Παραµορφωσίµου Σώµατος, είναι γνωστό ότι η αξονική παραµόρφωση ε ενός στοιχειώδους τµήµατος της δοκού, υπό την επιβολή αξονικού κατανεµηµένου φορτίου f, ισούται µε: ' ε = = () Από το νόµο του Hooke, λόγω της παραµόρφωσης εµφανίζεται αξονική τάση σ ίση µε: ε, στο στοιχειώδες τµήµα της δοκού σ = Eε (3) όπου E είναι το µέτρο ελαστικότητας (µέτρου του Yong) του υλικού της δοκού. Ο συνδυασµός των Εξ.(,3) δίδει: σ = E (4) Από την στατική ισορροπία στο στοιχειώδες τµήµα του Σχήµατος β, και χρησιµοποιώντας, για τις τάσεις, ανάπτυγµα Taylor πρώτης τάξεως, προκύπτει: σ σ F = fd+ A σ + d Aσ = fd+ A d= (5)

5 Εισάγοντας την Εξ.(4) στην Εξ.(5), προκύπτει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - fd+ A E d= fd+ AE d= (6) Για την κατάστρωση της εξίσωσης της δυναµικής ισορροπίας του στοιχειώδους τµήµατος του Σχήµατος β, αξιοποιείται η Αρχή του D Alembert. Υπενθυµίζεται ότι σύµφωνα µε την Αρχή του D Alembert, η εξίσωση της δυναµικής ισορροπίας ενός σώµατος προκύπτει εάν, στην εξίσωση της στατικής ισορροπίας, προστεθεί ο αδρανειακός όρος του σώµατος, µε φορά αντίθετη από αυτήν της συνισταµένης των εξωτερικών δυνάµεων. Για το στοιχειώδες τµήµα, µήκους d, της δοκού, ο αδρανειακός όρος ισούται µε (θεωρώντας ότι το µήκος d είναι πολύ µικρό, δεχόµαστε ότι η ταχύτητα είναι σταθερή σε όλη την έκταση του τµήµατος µήκους d ): a= t m= ρ Ad ma ρ A d t (7) Με βάση τα ανωτέρω, η δυναµική ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος του Σχήµατος β εκφράζεται ως εξής: ρ ρa d+ AE d+ f d= A + AE + f = t t (8) Ισοδύναµα, η Εξ.(8) γράφεται και ως εξής: (9) ρ A+ AE = f Στην Εξ.(9) αναγνωρίζουµε ότι οι δυνάµεις αδρανείας ( ρ A ) και οι δυνάµεις. ελαστικότητας ( AE ) εξισορροπούν τις εξωτερικές δυνάµεις f Σε ένα τυπικό δυναµικό σύστηµα m k, η εξίσωση κίνησης ισούται µε (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα / Εξ.() για c= ): () m + k = F t Συγκρίνοντας τις Εξ.(9,), προκύπτει ότι αυτές, αν και εµπλέκουν όρους µε την ίδια φυσική σηµασία (όροι αδράνειας, όροι ελαστικότητας και εξωτερικές δυνάµεις) εµφανίζουν µία σηµαντική διαφορά: η Εξ.() αφορά σε ολόκληρο το δυναµικό σύστηµα, ενώ η Εξ.(9) αφορά σε κάθε στοιχειώδες τµήµα αυτού. Η ισχύς της Εξ.(9) σε κάθε σηµείο της εξεταζοµένης δοκού (συνεχές µέσο) αναγνωρίζεται ποιοτικά από την παρουσία της χωρικής παραγώγου, η οποία δηλώνει ότι οι δυνάµεις ελαστικότητας εν γένει µεταβάλλονται από σηµείο σε σηµείο ενός συνεχούς σώµατος. Αντίστοιχες παρατηρήσεις είναι δυνατόν να διατυπωθούν και για άλλες περιπτώσεις φορέων, όπως είναι η πλάκα και το κέλυφος, καθώς και για άλλες περιπτώσεις φόρτισης, όπως είναι η κάµψη και η στρέψη

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Σχετικά µε την κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης της εξεταζοµένης δοκού, θα χρησιµοποιήσουµε την Ενεργειακή Αρχή agrange (βλ. Εξ.()). Στην Εκπαιδευτική Ενότητα 7, παρουσιάσθηκε η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange για δυναµικά συστήµατα, τα οποία περιγράφονται από την Εξ.(). Επειδή η Εξ.() είναι όµοια µε την Εξ.(9), έπεται ότι ο υπολογισµός των ενεργειακών όρων, οι οποίοι αναφέρθηκαν στην Εκπαιδευτική Ενότητα 7, εφαρµόζεται και για συστήµατα τα οποία περιγράφονται από την Εξ.(9), αλλά µε τη σηµαντική διαφορά ότι η εφαρµογή αφορά στοιχειώδη τµήµατα του συστήµατος (του φορέα εν προκειµένω). Από µαθηµατικής απόψεως, αυτό σηµαίνει ότι: Η κινητική ενέργεια dt του στοιχειώδους τµήµατος του φορέα, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα dm του εν λόγω στοιχειώδους τµήµατος, ισούται µε (όπως και προηγουµένως, θεωρούµε ότι το µήκος d είναι πολύ µικρό και δεχόµαστε ότι η ταχύτητα είναι σταθερή σε όλη την έκταση του τµήµατος µήκους d ): ρ () m= ρ Ad dt = dm dt = A d Η δυναµική ενέργεια du του στοιχειώδους τµήµατος του φορέα, η οποία συσσωρεύεται, λόγω της ελαστικότητας E του υλικού, στον όγκο του εν λόγω τµήµατος, ισούται µε: ' ε = = σ ' = Eε du = σ ε dv E( ε ) dv du = E dv Ad ( ) Ad () = Στο στοιχειώδες τµήµα του φορέα δεν διαχέεται ενέργεια dp C, διότι θεωρήθηκε ότι το υλικό του φορέα είναι γραµµικά ελαστικό, άρα δεν διαθέτει χαρακτηριστικά απόσβεσης: Η εξωτερική ισχύς dp = (3) C dp t, η οποία προσφέρεται στο στοιχειώδες τµήµα του φορέα, είναι: dp t = f (4) Συνεπώς, για τον υπολογισµό των ενεργειακών όρων T, U, P C και P t, δηλαδή για τον υπολογισµό των ενεργειακών όρων της Εξ.() για ολόκληρο το φορέα (και όχι µόνο για ένα στοιχειώδες τµήµα του), απαιτείται η ολοκλήρωση των Εξ.(,,3,4). Συνεπώς, ισχύει: Η κινητική ενέργεια T του φορέα, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα m του, ισούται µε: = = = = = = T = dt = ρa d T = ρa d (5) Η δυναµική ενέργεια U του φορέα, η οποία συσσωρεύεται, λόγω της ελαστικότητας E του υλικού, στον όγκο του φορέα, ισούται µε: = = = U = du = E Ad U = AE d ' ' (6) = = =

7 Στο φορέα δεν διαχέεται ενέργεια υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P C, διότι θεωρήθηκε ότι το υλικό του φορέα είναι γραµµικά ελαστικό, άρα δεν διαθέτει στοιχεία απόσβεσης, οπότε ισχύει: P = (7) Η εξωτερική ισχύς P t, η οποία προσφέρεται στο φορέα, ισούται µε: C = = = f= const t= t= t= = = = P dp f d P f d (8) Από τις Εξ.(5,6,7,8), προκύπτει ότι η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrange σε συνεχή δυναµικά συστήµατα απαιτεί τον υπολογισµό ολοκληρωµάτων, η παράγουσα των οποίων εµπλέκει την άγνωστη µετατόπιση (, t ). Συνεπώς, για να καταστεί δυνατή η ολοκλήρωση, θα πρέπει, µε κάποιον τρόπο, να εκφρασθεί η µετατόπιση (, t ) συναρτήσει γνωστών ή/και προσδιοριστέων ποσοτήτων. Η πλέον απλή θεώρηση, η οποία αποτελεί και τη βάση µοντελοποίησης των συνεχών συστηµάτων, είναι η γραµµική παρεµβολή: [ ], t = c + c,,, c, c R (9) l Πιο συγκεκριµένα, για τιµές του µέσα στο πεδίο ορισµού [, ], η µετατόπιση (, t ) θεωρείται ότι µεταβάλλεται γραµµικά, ενώ c και c είναι προσδιοριστέοι συντελεστές. Στην προκειµένη περίπτωση (δοκός σε εφελκυσµό), θεωρούµε το ακόλουθο πεδίο ορισµού: [, ] [, ] l l = () Εποµένως, ως l = περιγράφεται το αριστερό άκρο της δοκού, το οποίο είναι πακτωµένο, ενώ ως = περιγράφεται το δεξί άκρο της δοκού, το οποίο είναι ελεύθερο. Επειδή η Εξ.(9) πρέπει να ισχύει σε όλο το πεδίο ορισµού, θα πρέπει να ισχύει και στα άκρα l και αυτού. Εποµένως, θα πρέπει να ισχύει: Για το άκρο l Πρόκειται για το πακτωµένο άκρο της δοκού, το οποίο είναι ακλόνητο (δεν εµφανίζει µετατόπιση, ή, ισοδύναµα, εµφανίζει µηδενική µετατόπιση. Η Εξ.(9) δίδει: = :, t = c + c, t = c () Το ακλόνητο άκρο εµφανίζει µηδενική µετατόπιση (συνθήκη στήριξης, ή, ισοδύναµα, οριακή συνθήκη στη θέση = ), εποµένως ισχύει: Ο συνδυασµός των Εξ.(,) δίδει: (, t ) = () c = (3)

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Για το άκρο Πρόκειται για το ελεύθερο άκρο της δοκού, το οποίο είναι δυνατόν να µετατοπισθεί οριζόντια (δηλαδή, κατά το διαµήκη άξονα της δοκού, βλ. Σχήµα α). Η Εξ.(9) δίδει: = :, t = c + c, t = = c + c (4) Εισάγοντας την Εξ.(3) στην Εξ.(4), προκύπτει: (, t) = = c c = Ο συνδυασµός των Εξ.(9,3,5) δίδει: ( t) (, t) =,, [ ] (5) (6) Μέσω της Εξ.(6), η µετατόπιση (, t ), για οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού [, ], εκφράζεται συναρτήσει του (γνωστού) µήκους της δοκού και της (άγνωστης) οριζόντιας µετατόπισης του ελευθέρου άκρου της δοκού. Από την Εξ.(6), προκύπτει ότι: Η πρώτη χρονική παράγωγος της µετατόπισης ισούται µε: d t t (, t) = =,, dt [ ] (7) Η πρώτη χωρική παράγωγος της µετατόπισης ισούται µε: d t t (, t) = =,, d [ ] (8) Εισάγοντας τις Εξ.(7,8) στις Εξ.(5,6,7,8), προκύπτει: Η κινητική ενέργεια T του φορέα ισούται µε: = = 3 = ρ A = = = T = ρa d= ρa d= ρa T = 3 3 Η δυναµική ενέργεια U του φορέα ισούται µε: = = AE U = AE d= AE d= AE U = ' = [ ] = (3) = = Στο φορέα δεν διαχέεται ενέργεια P C, οπότε ισχύει: (9) P = (3) C

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η εξωτερική ισχύς P t, η οποία προσφέρεται στο φορέα, ισούται µε: = = = = t = = = t = = = = = = P f d f d f d f P f (3) Παρατηρώντας τις Εξ.(9,3,3,3), διαπιστώνουµε ότι η µοναδική εµφανιζόµενη ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή είναι η µετατόπιση (οριζόντια µετατόπιση του ελευθέρου άκρου της δοκού), η οποία αποτελεί και τον Βαθµό Ελευθερίας του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος (της δοκού, εν προκειµένω). Εφαρµόζοντας, κατά τα γνωστά, την Ενεργειακή Αρχή agrange για τον Βαθµό Ελευθερίας Η ενεργειακή µεταβλητή agrange του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(9,3,33), προκύπτει: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: q=, προκύπτουν τα ακόλουθα: = T U (33) ρ A AE = T U = 3 (34) ( T U) ρ q= A AE ρ A = = = q 3 3 (35) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d ρ A ρ A = = dt dt 3 3 (36) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( T U) ρ q= A AE AE = = = q 3 AE = (37) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC q= PC PC = = q (38) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: Pt q= Pt Pt = f = f q (39) Εισάγοντας τις Εξ.(36,37,38,39) στην Εξ.(), προκύπτει:

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P P t + C = t ρ A AE + = f 3 M K F Η Εξ.(4) αποτελεί την εξίσωση κίνησης της δοκού σε εφελκυσµό, υπό τις παραδοχές ότι: οι µεταβλητές ρ, A, E είναι σταθερές κατά τον διαµήκη άξονα και το υλικό της δοκού είναι γραµµικά ελαστικό (βλ. παραδοχές στη σελ.6.4) η µετατόπιση (, t ) µεταβάλλεται γραµµικά κατά µήκος της δοκού (4) Παρατηρήσεις Συγκρίνοντας τις Εξ.(,4) µεταξύ τους, προκύπτει ότι αυτές είναι ίδιες. Συνεπώς, ο φορέας του Σχήµατος α (βλ. και Σχήµα α) είναι ισοδύναµος µε ένα διακριτό δυναµικό σύστηµα m k ενός Βαθµού Ελευθερίας (βλ. Σχήµα β). Αυτό σηµαίνει ότι, βάσει της διαδικασίας που εφαρµόσθηκε, ο φορέας του απείρου πλήθους κινηµατικών µεταβλητών µοντελοποιήθηκε ως δυναµικό σύστηµα πεπερασµένου πλήθους ανεξάρτητων κινηµατικών µεταβλητών. ρ, Α, E, f () (α) Σχήµα : Μονόπακτη δοκός σε εφελκυσµό: (α) σχηµατική αναπαράσταση και (β) ισοδύναµο διακριτό σύστηµα Αντίστοιχη διαδικασία είναι δυνατόν να διατυπωθεί για οποιονδήποτε φορέα, δηλαδή ισχύει: Βήµα : Υποδιαίρεση του φορέα σε ένα ή περισσότερα τµήµατα. Στην περίπτωση που εξετάσθηκε, χρησιµοποιήθηκε µια υποδιαίρεση (ένα τµήµα). Βήµα : Για κάθε υποδιαίρεση του φορέα, υπόθεση κατανοµής σχετικά µε την κινηµατική παραµόρφωση του φορέα. Βήµα 3: Εφαρµογή της ανωτέρω υπόθεσης στις οριακές συνθήκες του προβλήµατος. Βήµα 4: Αντικατάσταση στους ενεργειακούς όρους. Βήµα 6: Κατάληξη σε διακριτό δυναµικό σύστηµα. Περισσότερες λεπτοµέρειες για κάθε ένα από τα βήµατα αυτά, θα δοθούν σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα. Όσον αφορά στην υπόθεση της κατανοµής (Βήµα ), η πλέον απλή περίπτωση είναι η υπόθεση της γραµµικής κατανοµής (ισοδύναµα, υπόθεση γραµµικής παρεµβολής). Ωστόσο, είναι δυνατόν να επιλέξουµε οποιαδήποτε άλλη µορφή κατανοµής (π.χ. παραβολική, πολυωνυµική, ηµιτονοειδή, κοκ), αρκεί: α) Να ικανοποιούνται οι οριακές συνθήκες του προβλήµατος (δηλαδή, οι µετατοπίσεις του φορέα στα άκρα του). K (β) M F (t)

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - β) Όταν αντικαθίσταται η κατανοµή στη χωρική παράγωγο της δυναµικής ενέργειας, αυτή (η δυναµική ενέργεια) να µην µηδενίζεται. Για παράδειγµα, εάν υποθέσουµε σταθερή κατανοµή = const, τότε θα είναι =, άρα και η παραµόρφωση θα είναι µηδενική (ως εάν δεν υπάρχει ελαστική παραµόρφωση, κάτι αντίθετο µε το φυσικό πρόβληµα). Επίσης, σηµειώνεται ότι, ανάλογα µε τη µορφή της κατανοµής, η ισοδύναµη µάζα M και η ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου K στην Εξ.(4) λαµβάνουν διαφορετική έκφραση. Ένα εύλογο ερώτηµα που ανακύπτει είναι αφού διαφορετικές κατανοµές δίδουν διαφορετικά K και M, ποια κατανοµή πρέπει να χρησιµοποιείται;. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι κάπως πιο σύνθετη: όλες οι κατανοµές αποτελούν προσεγγίσεις, συνεπώς για να αξιολογηθούν θα πρέπει να συγκριθούν µε την ακριβή λύση. Τέτοιες λύσεις υπάρχουν µόνον για ορισµένες απλές περιπτώσεις φορέων και φορτίσεων. Εάν, λοιπόν, υπάρχει ακριβής λύση τότε, προφανώς, επιλέγεται η κατανοµή βάσει της οποίας προκύπτει απόκριση πλησιέστερα στην ακριβή λύση. Εάν, ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής λύση, τότε η µοναδική εναλλακτική είναι είτε η αύξηση της τάξεως της κατανοµής (π.χ. από γραµµική σε παραβολική, κοκ), είτε η αύξηση των υποδιαιρέσεων του φορέα (προκειµένου να αυξηθεί το πλήθος των ανεξάρτητων Βαθµών Ελευθερίας της µοντελοποίησης), είτε και συνδυασµός αυτών, έως ότου η προκύπτουσα απόκριση του συστήµατος να καταστεί ανεξάρτητη από την οποιαδήποτε περαιτέρω αύξηση της τάξεως της κατανοµής ή/και του πλήθους των υποδιαιρέσεων. Εφαρµογή: οκός υπό τη δράση συγκεντρωµένου εφελκυστικού φορτίου Έστω η µονόπακτη δοκός (πρόβολος) του Σχήµατος 3α, στην οποία µία µάζα m είναι σταθερά συνδεδεµένη στο ελεύθερο άκρο της δοκού. Η δοκός έχει µήκος, διατοµή µε εµβαδόν A και είναι κατασκευασµένη από γραµµικά ελαστικό υλικό, πυκνότητας ρ και µέτρου ελαστικότητας E. Στη µάζα m επιβάλλεται µία, χρονικά σταθερή, εφελκυστική δύναµη F. Ζητείται η εξίσωση κίνησης της δοκού. ρ, Α, E, m F Σχήµα 3: Μονόπακτη δοκός µε µάζα στο ελεύθερο άκρο της και υπό τη δράση συγκεντρωµένου εφελκυστικού φορτίου Λύση Το εξεταζόµενο σύστηµα αποτελείται από ένα σώµα συνεχούς µέσου (δοκός) και από ένα διακριτό δυναµικό στοιχείο (µάζα m ). Για την εύρεση της ζητουµένης εξίσωσης κίνησης, θα εφαρµοσθεί η Ενεργειακή Αρχή agrange. Ειδικότερα, θα ακολουθηθούν τα εξής βήµατα: Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξ.() για τη δοκό Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξ.() για τη συγκεντρωµένη µάζα Βήµα 3: Υπέρθεση των επί µέρους ενεργειακών όρων Βήµα 4: Εφαρµογή της Εξ.() Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή κάθε βήµατος, ξεχωριστά

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξ.() για τη δοκό Η κινητική ενέργεια T beam της δοκού ισούται µε (βλ. Εξ.9): Η δυναµική ενέργεια T beam ρ A = 3 (4) U beam της δοκού ισούται µε (βλ. Εξ.3): U beam AE = (4) Στη δοκό δεν διαχέεται ενέργεια P C, beam (είναι κατασκευασµένη από ελαστικό υλικό): P C, beam = (43) Στη δοκό δεν ασκείται εξωτερικό φορτίο, άρα δεν προσφέρεται εξωτερική ισχύς P t, beam : P t, beam = (44) Βήµα : Υπολογισµός των ενεργειακών όρων της Εξ.() για τη συγκεντρωµένη µάζα Η κινητική ενέργεια T beam της µάζας ισούται µε: T mass = m Η µάζα δεν αποτελεί στοιχείο συσσώρευσης δυναµικής ενέργεια (45) U mass, άρα ισχύει: U = (46) mass Η µάζα δεν αποτελεί στοιχείο διάχυσης ενέργειας P, C mass, άρα ισχύει: P C, mass = (47) Η εξωτερική ισχύς P t, mass, η οποία προσφέρεται στη µάζα, ισούται µε: P t, mass = F (48) Βήµα 3: Υπέρθεση των επί µέρους ενεργειακών όρων Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος ισούται µε: Η δυναµική ενέργεια A T Tbeam Tmass T ρ = + = + m 3 (49) U mass του συστήµατος ισούται µε: AE AE U = U + U = + U = beam mass (5)

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η διάχυση ενέργειας P C, mass του συστήµατος ισούται µε: P = P + P P = (5) C C, beam C, mass C Η εξωτερικά προσφερόµενη ισχύς P t, mass στο σύστηµα ισούται µε: P P P F P F (5) t = t, beam+ t, mass = + t = Βήµα 4: Εφαρµογή της Εξ.() Η ενεργειακή µεταβλητή agrange του συστήµατος, ισούται µε: = T U (53) Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(49,5,53), προκύπτει: Για τον αδρανειακό όρο, ισχύει: ρ A AE = T U = + m (54) 3 ( T U) ρ q= A AE = = + m q 3 ρ A = + m 3 (55) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d ρ A ρ A = + m = + m dt dt 3 3 (56) Για τον όρο ελαστικότητας, ισχύει: ( T U) ρ q= A AE = = + m q 3 AE AE = = (57) Για τον όρο διάχυσης, ισχύει: PC q= PC PC = = q (58) Για τον όρο διέγερσης, ισχύει: P P P = ( F ) = F q t q= t t (59)

14 Εισάγοντας τις Εξ.(56,57,58,59) στην Εξ.(), προκύπτει: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - P P t + C = t ρ A AE + m + = F 3 M K (6) Η Εξ.(6) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος. Και σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό δυναµικό σύστηµα τελικά ανάγεται σε διακριτό δυναµικό σύστηµα m k ενός Βαθµού Ελευθερίας (βλ. και Σχήµα β), στο οποίο η (ισοδύναµη) µάζα ισούται µε ρ A M = + m 3 και η (ισοδύναµη) σταθερά ελατηρίου ισούται µε AE K =. Περί υποδιαίρεσης του φορέα και γραµµικής κατανοµής σε κάθε υποδιαίρεση Μέχρι στιγµής, εξετάσθηκε η περίπτωση κατά την οποία ο συνεχής φορέας, η δοκός εν προκειµένω, αντιµετωπίζεται ως ένα (ενιαίο) σώµα, εντός του οποίου υποτίθεται ότι η µετατόπιση (, t ) προσεγγίζεται ως µία γραµµική κατανοµή. Ωστόσο, η θεώρηση του φορέα ως ένα σώµα (µία ενιαία υποδιαίρεση) δεν είναι πάντοτε επαρκής. Όπως αναφέρθηκε στη σελ.6.4, µια τέτοια θεώρηση προϋποθέτει ότι τα µεγέθη ρ (πυκνότητα υλικού), A (εµβαδόν διατοµής) και E (µέτρο ελαστικότητας) είναι σταθερά σε όλη την έκταση του φορέα. Όταν αυτή η απαίτηση παραβιάζεται, τότε ο φορέας θα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε τµήµατα, έτσι ώστε κάθε ένα από αυτά να ικανοποιεί τις προαναφερθείσες προϋποθέσεις. Ως χαρακτηριστικό παράδειγµα αναφέρεται η δοκός του Σχήµα 4α, η οποία διακρίνεται σε δύο τµήµατα: το πρώτο τµήµα διαθέτει διατοµή εµβαδού A, ενώ το δεύτερο τµήµα διαθέτει διατοµή εµβαδού A. ιευκρινίζεται ότι, στο Σχήµα 4α, τα άκρα των ανωτέρω τµηµάτων σηµειώνονται ως θέσεις, και. Μία γενικότερη περίπτωση παρουσιάζεται στο Σχήµα 4β, στο οποίο η δοκός διακρίνεται πάλι σε δύο τµήµατα, απλά κάθε ένα από αυτά έχει τις δικές του τιµές για τα µεγέθη ρ, A, E και (µήκος τµήµατος). ρ, Α, E ρ, Α, E ρ, Α, E ρ, Α, E F m / / m F (α) Σχήµα 4: Μονόπακτη δοκός µε µάζα στο ελεύθερο άκρο της και υπό τη δράση συγκεντρωµένου εφελκυστικού φορτίου: (α) µεταβολή διατοµής κατά µήκος της δοκού και (β) µεταβολή των µεγεθών ρ, A, E κατά µήκος της δοκού (β)

15 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Θα εξετάσουµε τη δοκό του Σχήµατος 4β. ιαιρούµε τη δοκό σε τόσα τµήµατα, έτσι ώστε σε κάθε ένα από αυτά οι τιµές των µεγεθών ρ, A, E να είναι σταθερές. Άµεσα, προκύπτει ότι η δοκός πρέπει να υποδιαιρεθεί σε δύο τµήµατα: το πρώτο τµήµα (Τµήµα #) µήκους και το δεύτερο τµήµα (Τµήµα #) µήκους. Θα εξετάσουµε κάθε ένα τµήµα ξεχωριστά. Για το Τµήµα #: [, + ] Εκτείνεται µεταξύ των θέσεων και, οι οποίες ορίζονται στο Σχήµα 4α. Αποκόπτουµε το εν λόγω τµήµα και το εξετάζουµε µεµονωµένα (βλ. Σχήµα 5α). Έστω ότι η τιµή της µετατόπισης στη θέση είναι και στη θέση είναι (βλ. Σχήµα 5α). Στο Σχήµα 5β απεικονίζεται ποιοτικά η κατανοµή της µετατόπισης (, t ) µεταξύ των θέσεων και. ιευκρινίζεται ότι η απεικόνιση αυτή έχει σχεδιασθεί ως προς το καθολικό σύστηµα αναφοράς του φορέα (η αρχή του συστήµατος τοποθετήθηκε στη θέση, βλ. Σχήµα 4α). + (α) (β) (γ) Σχήµα 5: Για το Τµήµα # της δοκού: (α) µοντελοποίηση, (β) ποιοτική απεικόνιση της, t ως προς το καθολικό σύστηµα αναφοράς και (γ) ποιοτική απεικόνιση µετατόπισης της µετατόπισης (, t ) ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς Υποθέτοντας γραµµική κατανοµή της µετατόπισης (, t ) µεταξύ των θέσεων και, από τη Γραµµική Άλγεβρα, έπεται ότι ισχύει: = Επιλύοντας την Εξ.(6) ως προς, προκύπτει: = = + = + X (6) N = + N (6) Στην Εξ.(6), ο αριθµητικός συντελεστής των µετατοπίσεων και ορίζεται ως η βοηθητική συνάρτηση N( ) και N [, + ], ορίζουµε τις βοηθητικές συναρτήσεις, αντίστοιχα. Συνεπώς, για το Τµήµα #, δηλαδή για N και N ως εξής:

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Ο συνδυασµός των Εξ.(6,63,64) δίδει: N N = = ( ) ( ) ( ) ( ) µετατόπιση στη µετατόπισηστη ποσοστό συµµετοχής µετατόπισηστη ποσοστό συµµετοχής θέση θέση '' τιµ ής στηντιµ ή θέση '' τιµ ής στηντιµ ή [ ] = N + N,, + (63) (64) (65) Η Εξ.(65) έχει την ακόλουθη φυσική ερµηνεία: για το τµήµα της δοκού [, ] +, οι τιµές της µετατόπισης και στα άκρα του τµήµατος συµµετέχουν στην τιµή της µετατόπισης οποιουδήποτε σηµείου του εν λόγω τµήµατος, µε βαρύτητα (ποσοστό συµµετοχής), η οποία περιγράφεται από τις συναρτήσεις N( ) και N µετατόπισης σε οποιοδήποτε σηµείο του τµήµατος [, ]. Με άλλα λόγια, η τιµή της + της δοκού, ισούται µε το γραµµικό συνδυασµό των τιµών της µετατόπισης στα άκρα του εν λόγω τµήµατος, όπου οι τιµές των συντελεστών του γραµµικού συνδυασµού περιγράφονται από τις συναρτήσεις N( ) και N. Μία λεπτοµερέστερη µατιά στις συναρτήσεις N( ) και N ενδιαφέρουσες λεπτοµέρειες. Ειδικότερα, για τη συνάρτηση N αποκαλύπτει µερικές (βλ. Εξ.(63)) ισχύει: Ο παρονοµαστής ισούται µε το µήκος του εξεταζοµένου Τµήµατος # διότι (βλ. και Σχήµα 5β): = + = (66) Ο αριθµητής ισούται µε την απόσταση από το αριστερό άκρο του εξεταζοµένου Τµήµατος # διότι (βλ. και Σχήµα 5β): ( ) ( ) = (67) Η Εξ.(67) εκφράζει τη µεταφορά του καθολικού συστήµατος συντεταγµένων στο αριστερό άκρο του Τµήµατος # (τοπικό σύστηµα), και ορίζεται η νέα συντεταγµένη: X = = (68) Εισάγοντας τις Εξ.(66,68) στην εξίσωση ορισµού της συνάρτησης N (βλ. Εξ.(63)), προκύπτει: X N = N X =, X, [ ] X= = (69)

17 Επειδή X [, ] υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - και η Εξ.(63) είναι γραµµική, έπεται ότι οι ακραίες τιµές της συνάρτησης N εµφανίζονται για X = και X =. Ισχύει, δε: για για X X = = X= X = : N ( X) N = = = = X X = = : N ( X) N ( ) N ( ) Άρα, η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης N( X ) είναι N X =, ενώ η µέγιστη τιµή της,min είναι N,ma( X ) =. Τονίζεται ιδιαιτέρως ότι επειδή η µεταβλητή X εκφράζει µεταφορά του συστήµατος συντεταγµένων, έπεται ότι ισχύει N,min( ) = και N,ma( ) =. Η ανωτέρω διαδικασία, εφαρµοζόµενη στη συνάρτηση N (βλ. Εξ.(64)), δίδει: ( ) ( ) X= N = N X = X = X, [, ] (7) Επειδή X [, ] και η Εξ.(64) είναι γραµµική, έπεται ότι οι ακραίες τιµές της συνάρτησης N εµφανίζονται για X = και X =. Ισχύει, δε: για για X = = X = : X X= N X N X = : X = N X N ( ) N ( ) = = = Κατ αντιστοιχία µε τη συνάρτηση N( X ), έπεται ότι η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης N είναι N ( X) = N =, ενώ η µέγιστη τιµή της είναι N ( X) = N =.,min,min,ma,ma Οι συναρτήσεις N και N καλούνται συναρτήσεις παρεµβολής ή συναρτήσεις µορφής και η γραφική παράσταση των N( X ), N( ), N( X ), N παρουσιάζεται στο Σχήµα 6. N N N N X + (α) (β) (γ) (δ) Σχήµα 6: Γραφική παράσταση της συναρτήσης παρεµβολής: (α) N( X ), (β) N N( X ) και (δ) N( ) για το Τµήµα # X +, (γ) Βάσει των Εξ.(69,7), η Εξ.(6) γράφεται, ισοδύναµα και απλούστερα, ως εξής:

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - X X X t t N X t N X t t X (, ) = + = +, [, ] (7) Συνοψίζοντας, για τον υπολογισµό της µετατόπισης οποιουδήποτε σηµείου του Τµήµατος #, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί είτε η Εξ.(6) είτε, ισοδύναµα, η Εξ.(7). Η Εξ.(6) (έκφραση ως προς το καθολικό σύστηµα αναφοράς) είναι δυνατόν να απεικονισθεί ως εξής: (, ) = + ( t), [, + ] t t N + N + Κατ αντιστοιχία, για την Εξ.(7) (έκφραση ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς) θα είναι: (, ) = + ( t) X [, ] X t t N X N X Για το Τµήµα #: [, ] Το τµήµα αυτό εκτείνεται µεταξύ των θέσεων και, οι οποίες ορίζονται στο Σχήµα 4α. Αποκόπτουµε το εν λόγω τµήµα και το εξετάζουµε µεµονωµένα (βλ. Σχήµα 7α), όπως ακριβώς έγινε και µε το Τµήµα #. Στη θέση η τιµή της µετατόπισης είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει =, διότι η θέση αντιστοιχεί σε θέση στήριξης. Η θέση του Τµήµατος # συµπίπτει µε τη θέση του Τµήµατος # και η τιµή της µετατόπισής είναι. = = + = (α) (β) (γ) Σχήµα 7: Για το Τµήµα # της δοκού: (α) µοντελοποίηση, (β) ποιοτική απεικόνιση της µετατόπισης (, t ) ως προς το καθολικό σύστηµα αναφοράς και (γ) ποιοτική απεικόνιση της µετατόπισης (, t ) ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς X Υποθέτοντας γραµµική κατανοµή της µετατόπισης (, t ) µεταξύ των θέσεων και, από τη Γραµµική Άλγεβρα, έπεται ότι ισχύει: = Επιλύοντας την Εξ.(7) ως προς, προκύπτει: (7)

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - = = + = + = + No N (73) Στην Εξ.(73), οι αριθµητικοί συντελεστές της µετατόπισης και ορίζονται ως οι βοηθητικές συναρτήσεις N( ) και N για [, ], ορίζουµε τις βοηθητικές συναρτήσεις N, αντίστοιχα. Συνεπώς, για το Τµήµα #, δηλαδή = N και N ( ) ( ) ως εξής: (74) N = ( ) ( ) (75) Τονίζεται ιδιαιτέρως ότι αµφότερες οι Εξ.(63,75) αφορούν στη µετατόπιση. Η βασική διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι η Εξ.(63) εκφράζει τον τρόπο µε τον οποίο η µετατόπιση συνεισφέρει στη µετατόπιση για [, ] οποίο η µετατόπιση Εξ.(73,74,75) δίδει: +, ενώ η Εξ.(75) εκφράζει τον τρόπο µε τον συνεισφέρει στη µετατόπιση για [, ] o ποσοστόσυµµετοχής τιµ ής στην τιµ ή. Ο συνδυασµός των = N + N, [, ] µετατόπιση στη µετατόπισηστη µετατόπισηστη ό ή θ ση θέση '' θέση '' ποσοστ συµµετοχ ς τιµ ς στηντιµ έ ή ή Ωστόσο, επειδή όπως προαναφέρθηκε, =, η Εξ.(76) λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: Επίσης, από το Σχήµα 5β προκύπτει ότι: [ ] N,, µετατόπιση στη µετατόπισηστη ό ή θέση θέση '' ή ή ποσοστ συµµετοχ ς τιµ ς στηντιµ (76) = (77) Ο παρονοµαστής της Εξ.(75) ισούται µε το µήκος του εξεταζοµένου Τµήµατος # διότι: = = (78) Ο αριθµητής της Εξ.(75), εξ ορισµού, ισούται µε την απόσταση από το αριστερό άκρο του εξεταζοµένου Τµήµατος #. Είναι, λοιπόν, δυνατόν να ορισθεί η νέα συντεταγµένη: X = ( ) (79) Εισάγοντας τις Εξ.(78,79) στην εξίσωση ορισµού της συνάρτησης N (βλ. Εξ.(75)), προκύπτει:

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ( ) X, [, ] X= N = N X = X = (8) Επειδή X [, ] και η Εξ.(8) είναι γραµµική, έπεται ότι οι ακραίες τιµές της συνάρτησης N εµφανίζονται για X = και X =. Ισχύει, δε: για για X X = = X= X = : N ( X) N = = = X X = = : N ( X) N ( ) N ( ) Άρα, η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης N( X ) είναι N X =, ενώ η µέγιστη τιµή της,min είναι N,ma( X ) =. Τονίζεται ιδιαιτέρως ότι, όπως και στο Τµήµα #, επειδή η µεταβλητή X εκφράζει µεταφορά του συστήµατος συντεταγµένων, έπεται ότι ισχύει N N,ma( ) =. Στο Σχήµα 8 απεικονίζονται οι συναρτήσεις N( X ) και N. = και,min N N (α) X Σχήµα 8: Γραφική παράσταση της συναρτήσης παρεµβολής: (α) N( X ) και (β) N το Τµήµα # (β) + για Βάσει της Εξ.(8), η Εξ.(77) γράφεται, ισοδύναµα και απλούστερα, ως εξής: X X t t N X t X (, ) = =, [, ] (8) Συνοψίζοντας, για τον υπολογισµό της µετατόπισης οποιουδήποτε σηµείου του Τµήµατος #, είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί είτε η Εξ.(73) είτε, ισοδύναµα, η Εξ.(8). Η Εξ.(73) (έκφραση ως προς το καθολικό σύστηµα αναφοράς) είναι δυνατόν να απεικονισθεί ως εξής: (, ) = X [, ] X t t N X Κατ αντιστοιχία, για την Εξ.(8) (έκφραση ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς) θα είναι: (, ) = ( t), [, ] t N

21 Παρατηρήσεις υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Η µετατόπιση (, t ) είναι δυνατόν να απεικονισθεί και ως εξής: (, ) t = t N + ( t), [, + ] N + + Στην ανωτέρω απεικόνιση, εµφανίζονται µόνον οι συναρτήσεις N( ) και N εµφανίζεται η συνάρτηση N, ενώ δεν (βλ. Εξ.(74)). Συνεπώς, εµφανίζονται οι συναρτήσεις παρεµβολής που αφορούν µόνον σε ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (στην προκειµένη περίπτωση, τις ( t ) και [, ] υποδιαιρέσεις [, ] και [, ] N( ) για [, + ] προέκυψε υπερθέτοντας το διάγραµµα της συνάρτησης N [, ] και το διάγραµµα της συνάρτησης N( ) για [, ] τρόπο, προέκυψε και το διάγραµµα της συνάρτησης N t ). Το διάγραµµα κάθε συνάρτησης παρεµβολής στο πεδίο + προκύπτει από την υπέρθεση των αντιστοίχων διαγραµµάτων στις +. Για παράδειγµα, το διάγραµµα της συνάρτησης για +. Με αντίστοιχο. Η διαδικασία αυτή είναι δυνατόν να γενικευθεί, εµπλέκοντας µεγάλο αριθµό υποδιαιρέσεων. Ειδικότερα, η πιο συνηθισµένη τεχνική κατανοµής συνεχών µεγεθών σε συνεχείς φορείς είναι η υποδιαίρεση του συνεχούς φορέα σε µεγάλο αριθµό τµηµάτων και η παραδοχή της γραµµικής κατανοµής σε καθένα από τα τµήµατα αυτά. Αυτά τα τµήµατα, ακριβώς επειδή έχουν πεπερασµένες διαστάσεις, καλούνται Πεπερασµένα Στοιχεία. Συνεπώς, κάθε Πεπερασµένο Στοιχείο αποτελεί ένα µικρό τµήµα ενός συνεχούς µέσου, για το οποίο (τµήµα) αποδεχόµαστε µία συγκεκριµένη υπόθεση κατανοµής (π.χ. γραµµική), η οποία µαθηµατικά περιγράφεται από κάποιες συναρτήσεις (συναρτήσεις παρεµβολής). Όταν στη συνέχεια, θεωρήσουµε ενωµένα µεταξύ τους τα Πεπερασµένα Στοιχεία, προς σχηµατισµό του φορέα, τότε τα επί µέρους διαγράµµατα των συναρτήσεων παρεµβολής κάθε Πεπερασµένου Στοιχείου υπερτίθενται κατάλληλα, σχηµατίζοντας τµηµατικά συνεχείς συναρτήσεις (βλ. και ανωτέρω απεικόνιση). Σχετικά µε τις κινηµατικές συναρτήσεις παρεµβολής, έχουµε τη µαθηµατική ελευθερία να κατασκευάσουµε άπειρες τέτοιου είδους συναρτήσεις, αρκεί να επιλέγουµε κάθε φορά τη γεωµετρική µορφή της συνάρτησης, το είδος (π.χ. µετατόπιση, γωνία στροφής, κοκ) καθώς και το πλήθος των εµπλεκοµένων Βαθµών Ελευθερίας. Στη υναµική, η γενικότερη επιθυµία για µεγάλο πλήθος Βαθµών Ελευθερίας έγκειται σε δύο λόγους: στη δυνατότητα υπολογισµού ικανοποιητικά µεγάλου πλήθους ιδιοσυχνοτήτων καθώς και στην επιθυµία πιστής αναπαράστασης της γεωµετρίας του (συνεχούς) δυναµικού συστήµατος. Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων αποτελεί την πλέον συστηµατική µέθοδο κατασκευής συναρτήσεων παρεµβολής και το πλέον προσφιλές εργαλείο για την ανάλυση των κατασκευών, η οποία αποτελεί αντικείµενο του αντιστοίχου µαθήµατος του 6 ου εξαµήνου