ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο"

Transcript

1 ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 ΓΕ Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο

2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΒΔΕ και ΓΖΕ. (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 10)

3 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΚΒΣ και ΚΔΣ είναι ίσα. (Μονάδες 10) ii. ΚΛ=ΚΜ. (Μονάδες 10) β) Να αιτιολογήσετε γιατί οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. (Μονάδες 5)

4 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΕ= ΒΕ. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)

5 Στο σχήμα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτομένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σημείο του Α και επιπλέον ισχύουν Γ A ˆx = 85 και ˆB Α = 40. α) Να αποδείξετε ότι B = 45. (Μονάδες 10) ˆ1 β) Να υπολογίσετε τη γωνία φˆ. (Μονάδες 15)

6 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ) η ΑΗ είναι διάμεσος του ΒΑΕ τριγώνου. (Μονάδες 9)

7 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) ΕΗ = ΔΖ. (Μονάδες 12) Αν

8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο φέρουμε τις διαμέσους του ΒΜ και ΓΝ. Προεκτείνουμε την ΒΜ (προς το Μ) κατά τμήμα ΜΔ=ΒΜ και την ΓΝ (προς το Ν) κατά τμήμα ΝΕ=ΓΝ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ//ΒΓ. (Μονάδες 13) β) Είναι τα σημεία Ε, Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

9 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιός του ΒΔ. Από τις κορυφές Α και Γ φέρουμε τις κάθετες ΑΕ και ΓΖ στη ΒΔ, που την τέµνουν στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΒΖ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)

10 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΓΑ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΑ=ΑΕ (Μονάδες 8) β) Τα σημεία Δ, Α και Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. (Μονάδες 9) γ) ΔΕ=ΒΓ (Μονάδες 8)

11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Από το Δ διέρχεται μια τυχαία ευθεία (ε) που τέμνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σημείο Ε. Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε ένα τρίγωνο ΑΔΕ και σε ένα τετράπλευρο ΒΔΕΓ. α) Ποια πρέπει να είναι η θέση του σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΒΔΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β) Ποιο πρέπει να είναι το είδος του ΑΒΓ τριγώνου, ώστε το τραπέζιο του ερωτήματος (α) να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

12 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, προεκτείνουμε την πλευρά ΔΑ (προς το Α) κατά τμήμα ΑΗ=ΔΑ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ, η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΔΖΗ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Ζˆ. (Μονάδες 13)

13 Δίνεται ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Είναι το σημείο Ε μέσο της πλευράς ΑΒ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

14 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Θεωρούμε σημείο Ε του τμήματος ΑΟ και σημείο Ζ του τμήματος ΟΓ, ώστε ΟΕ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΒΖ (Μονάδες 12) β) το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

15 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ), η διχοτόμος τη γωνίας Γˆ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ. Από το Δ φέρουμε προς την πλευρά ΒΓ την κάθετο ΔΕ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ (Μονάδες 13) β) ΑΔ<ΔΒ (Μονάδες 12)

16 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ). Η διχοτόμος της γωνίας Βˆ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΕ=ΑΒ. (Μονάδες 12) β) Αν επιπλέον Β Α ˆ = 55, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ. (Μονάδες 13)

17 Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( Â = 90 ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ= ΒΓ 2 (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) ΑΓ γ) ΔΕ= 2 (Μονάδες 9)

18 ο Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Αˆ = 120 και ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε, και στη συνέχεια το κάθετο τμήμα ΑΖ στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) γωνία Α Ε ˆ = 30. (μον.10) ΑΒ β) ΑΖ = (μον.15) 4

19 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς την ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. (Μονάδες 15)

20 ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΑΔ=ΑΕ (Μονάδες 10)

21 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΚ=ΜΛ. (Μονάδες 13) β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. (Μονάδες 12)

22 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α) ΜΔ=ΜΕ (Μονάδες 12) β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές (Μονάδες 13)

23 o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ) με ΒΓ = 8 cm. Έστω ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου και ΜΔ ΑΓ. Αν η γωνία ΑΜΓ ˆ είναι ίση με 120 ο, τότε: α) Να δείξετε ότι ΑΒ = 4 cm. (Μονάδες 12) β) Να βρείτε το μήκος της ΜΔ. (Μονάδες 13)

24 o Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Aˆ = Δˆ = 90, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και ˆΒ = 60 ο. Φέρουμε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ = 3ΓΔ. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

25 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ (προς το μέρος της κορυφής Α) παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΒ = ΑΔ και στην προέκταση της ΔΓ (προς το μέρος της κορυφής Γ) παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΔΓ = ΓΕ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΓΒ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΒΕ//ΑΓ και ΒΕ ΑΓ =. (Μονάδες 13) 2

26 Ένας μαθητής της Α' λυκείου βρήκε έναν τρόπο να κατασκευάζει παράλληλες ευθείες. Στην αρχή σχεδιάζει μια τυχαία γωνία ΧΟΨ. Στη συνέχεια με κέντρο την κορυφή Ο της γωνίας σχεδιάζει δυο ομόκεντρους διαφορετικούς κύκλους με τυχαίες ακτίνες. Ο μικρότερος κύκλος τέμνει τις πλευρές ΟΧ και ΟΨ της γωνίας στα σημεία Α, Β αντίστοιχα και ο μεγαλύτερος στα σημεία Γ, Δ. Ισχυρίζεται ότι οι ευθείες που ορίζονται από τις χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες. Μπορείτε να το δικαιολογήσετε; (Μονάδες 25)

27 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ=ΜΓ. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΜΚ=ΜΛ. (Μονάδες 13)

28 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η εξωτερική γωνία Α είναι διπλάσια της εσωτερικής γωνίας Β. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. (Μονάδες 10) β) Η μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο εσωτερικό της σημείο Δ. Αν η γωνία ΑΔΒ είναι ίση με 80 ο, τότε να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 15)

29 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Αx ΑΒ και Αy ΑΓ. Στις Αx και Αy θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΜΝ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)

30 Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Αx ΑΒ και Αy ΑΓ. Οι κάθετες στην πλευρά ΒΓ στα σημεία Β και Γ τέμνουν τις Αx και Αy στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με 80 ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΑΕ. (Μονάδες 13)

31 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. (Μονάδες 15)

32 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Βˆ και Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Οι γωνίες Α Ι Γ και Α Ι Β είναι ίσες. (Μονάδες 10) γ) Η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7)

33 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Η ΒΕ διέρχεται από το μέσο της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 13)

34 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Αν το σημείο Ζ είναι το ίχνος του Δ στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) ΒΓ β) Ζ = (Μονάδες 13) 4

35 Στο ακόλουθο σχήμα, η εφαπτομένη του κύκλου στην κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζει γωνία φ=30 ο με την πλευρά ΑΒ. Αν το μέτρο του τόξου Β Γ είναι 160 ο, α) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 18) β) να βρείτε το μέτρο του τόξου ΑΕΓ. (Μονάδες 7)

36 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. ˆΓ ˆ 60 ο = =, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. (Μονάδες 13)

37 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΓΖ. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΕ. (Μονάδες 13)

38 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξτε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) Το τετράπλευρο ΑΖΔΕ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)

39 Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Α Β Γ (Α Β =Α Γ ). α) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΒ = Α'Β' και Λ Λ Α = Α', τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΓ = Α'Γ' και Λ Λ Β = Β', τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. (Μονάδες 12)

40 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) Η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ. (Μονάδες12)

41 ο Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και γωνία Γ = 30. Θεωρούμε το ύψος ΑΔ και το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ. Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ (προς το Δ) κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) =. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 13)

42 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές του ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ, τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΓ=ΑΒ. (Μονάδες 13)

43 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 13)

44 ο Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε το ΑΔ (προς το Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Έστω Κ το συμμετρικό του Β ως προς το Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΚ είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)

45 ο Θωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημεία Δ και Ε στην ευθεία ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ=ΓΕ. Έστω ότι και. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΒΖ=ΓΗ. (Μονάδες 10) ii. Το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) Αν 50, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΖΗ. (Μονάδες 8)

46 Στο ακόλουθο σχήμα, η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και το Ε είναι σημείο στην προέκταση της ΑΔ, ώστε ΔΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=ΓΕ (Μονάδες 12) β) (Μονάδες 13)

47 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) και η διχοτόμος της γωνίας του, η οποία τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ. Από το Δ φέρουμε. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Η ευθεία ΓΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΕ. (Μονάδες 12)

48 Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Έστω ότι και. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε ΑΖ=ΑΕ. (Μονάδες 12) β) Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΖ=ΑΕ, τότε αυτό είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)

49 Σ η ικύκ ιο ια έτ ο ΑΒ π ο κτ ί ο τη ΑΒ π ος το έ ος το Α και παί ο έ α ση ίο Γ. Θ ω ού Ε έ α ση ίο το η ικ κ ίο και έστω το ση ίο το ής το τ ή ατος ΓΕ το η ικύκ ιο. Α το τ ή α Γ ισούται το ΟΒ και η ω ία, α πο ο ίσ τ τη ω ία Μο ά ς 25)

50 ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ // Γ στο οποίο η ια ώ ιος Β ί αι ίση τη π ά Α. Α η ω ία και η ω ία, α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 25)

51 Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ). Οι σοκάθ τ ς θ ί ς τω ίσω π ώ το τέ ο ται στο Μ και π ο κτ ι ό ς τέ ο τη βάση ΒΓ στα Ζ και Η. α) α σ κ ί τ τα τ ί ω α ΒΗ και ΕΖΓ. Μο ά ς 5) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΜΖΗ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0)

52 ί ται ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ και ΑΒ<Γ. Θ ω ού τα ση ία Ε και Ζ πά ω στη ΑΒ έτσι ώστ ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το ση ίο το ής τω Ζ και ΓΕ. α απο ί τ ότι: α) Ζ=ΓΕ (Μο ά ς ) β) Τα τ ί ω α ΕΚΖ και ΚΓ ί αι ισοσκ ή (Μο ά ς 2)

53 Στο ακό ο θο σχή α η πίκ τ η ω ία 15. ˆ ί αι 20 και η ω ία ˆ ί αι α) α πο ο ίσ τ τη ω ία ΒΓ. (Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι η ω ία ω ί αι 45. (Μο ά ς )

54 Σ κύκ ο κέ τ ο Ο ί ο ται οι χο ές ΑΒ και Α τέτοι ς ώστ η ω ία ˆ α ί αι 44. Θ ω ού τ χαίο ση ίο Γ το κύκ ο και σχη ατίζο το τ τ άπ ο ΒΓ Ο. α) α πο ο ίσ τ τη ω ία x. (12 Μο ά ς) β) α απο ί τ ότι η ω ία y ί αι 6. Μο ά ς)

55 Α στο πα ακάτω σχή α ί αι ˆ ˆ, ˆ ˆ και ΑΒ=ΑΓ, α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓ ί αι ίσα. 2 Μο ά ς) β) Οι ω ί ς και ζ ί αι ίσ ς. Μο ά ς)

56 ί ται πα α η ό α ο ΑΒΓ και Ο ί αι το κέ τ ο το. Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα έσα τω Ο, ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι : α) Το τ τ άπ ο ΕΖΗΘ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 0) β) Α η π ί τ ος το πα α η ο ά ο ΑΒΓ ί αι 40, α β ίτ τη π ί τ ο το ΕΘΗΖ. (Μο ά ς 5)

57 Σ κύκ ο κέ τ ο Ο, έστω ΟΑ ία ακτί α το. Φέ ο τη σοκάθ τη της ΟΑ πο τέ ι το κύκ ο στα ση ία Β και Γ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο ΟΒΑ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς ) β) Το τ τ άπ ο ΟΒΑΓ ί αι ό βος. (Μο ά ς 12)

58 Έστω κ τό τ τ άπ ο ΑΒΓ και. α απο ί τ ότι: α) Μο ά ς 8) β) Το τ ί ω ο Α Γ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) β) Η θ ία Β ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΑΓ. Μο ά ς 7)

59 ί ται ω ία xoy και ση ίο Α στο σωτ ικό της. Από το Α φέ ο τις κάθ τ ς ΑΒ, ΑΓ π ος τις π ές Οx, Oy της ω ίας α τίστοιχα, και ο ο άζο Μ το έσο το ΟΑ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο ΒΜΓ ί αι ισοσκ ές. (Μο ά ς 0) β) = 2 xoy (Μο ά ς 5)

60 Α ια το ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) το σχή ατος ισχύο και, α ά τ ια από ι η ια καθέ α από το ς ακό ο θο ς ισχ ισ ούς: α) Τα τ ί ω α ΑΕΒ και ΑΕΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 8) β) Το τ ί ω ο ΓΕΒ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 8) ) Η θ ία Α ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΒΓ. Μο ά ς 9)

61 Σ κύκ ο κέ τ ο Ο θ ω ού τ ις ια οχικές ίσ ς ω ί ς ΑΟΒ, ΒΟΓ και ΓΟΑ. α) α απο ί τ ότι η π οέκταση της ακτί ας ΑΟ ιχοτο ί τη ω ία ΒΟΓ. (Μο ά ς 10) β) α β ίτ το ί ος το τ ι ώ ο ΑΒΓ ως π ος τις π ές το. (Μο ά ς 8) ) Α κέ τ ο Ο και ακτί α ΟΚ όπο Κ το έσο της ακτί ας ΟΑ, ά ο έ α ά ο κύκ ο πο θα τέ ι τις ακτί ς ΟΒ και ΟΓ στα ση ία και Μ α τίστοιχα, τότ τα τό α ΚΜ και ΑΒ ί αι ίσα; ικαιο ο ήστ τη απά τησή σας. (Μο ά ς 7)

62 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ και. Επιπ έο, τα ση ία, Ε και Ζ ί αι τα έσα τω π ώ το ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ α τίστοιχα. α) α πο ο ίσ τ τη ω ία το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι. Μο ά ς 9) ) α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 8)

63 ί ται θ ία το πιπέ ο. Τα πα ά η α τ ή ατα ΑΒ και Γ καθώς και έ α τ χαίο ση ίο Ε β ίσκο ται στο ί ιο η ι πίπ ο της. α απο ί τ ότι: α) Α το Ε ί αι κτός τω τ η άτω ΑΒ και Γ τότ : + (Μο ά ς 0) β) Α το Ε ί αι α ά σα στα τ ή ατα ΑΒ και Γ και ΕΖ//ΑΒ, τότ α απο ί τ ότι (Μο ά ς 5)

64 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και Κ σωτ ικό ση ίο το τ ι ώ ο τέτοιο ώστ ΚΒ=ΚΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΒΑΚ και ΚΑΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η ΑΚ ί αι ιχοτό ος της ω ίας. Μο ά ς 6) ) Η π οέκταση της ΑΚ ιχοτο ί τη ω ία το τ ι ώ ο ΒΚΓ. Μο ά ς 7)

65 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ). Στη π οέκταση της π άς ΒΓ και π ος τα ο της άκ α, θ ω ού ση ία και Ε α τίστοιχα έτσι ώστ Β = ΓΕ. α απο ί τ ότι: α) Μο ά ς 6) β) Τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) ) Η ιά σος ΑΜ το τ ι ώ ο ΑΒΓ ί αι και ιά σος το τ ι ώ ο Α Ε. Μο ά ς 7)

66 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ και. Έστω Κ ση ίο της ιχοτό ο της ω ίας, τέτοιο ώστ ΚΒ=ΚΑ=ΚΓ. α) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΒΚΑ και ΓΚΑ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) β) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς και. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη ω ία. Μο ά ς 7)

67 ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ). Έστω ση ίο της π άς ΑΓ τέτοιο ώστ, η ιχοτό ος Ε της ω ίας α ί αι πα ά η η στη π ά ΒΓ. α απο ί τ ότι: α) Το τ ί ω ο Β Γ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) β) Α, I. α πο ο ίσ τ τη ω ία. (Μο ά ς 8) II. α απο ί τ ότι Μο ά ς 7)

68 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και η ιά σός το ΑΜ. Φέ ο η ι θ ία π ος το η ι πίπ ο πο α ήκ ι το Α και παί ο σ α τή τ ή α Γ = ΑΒ. α απο ί τ ότι: α) Η ω ία ί αι ίση τη ω ία. Μο ά ς 2) β) Η Α ί αι ιχοτό ος της ω ίας. Μο ά ς )

69 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ<ΑΓ. Έστω Αχ η ιχοτό ος της ωτ ικής το ω ίας = Από τη κο φή Β φέ ο θ ία πα ά η η στη Αχ, η οποία τέ ι τη π ά ΑΓ στο ση ίο. α) α απο ί τ ότι: i. το τ ί ω ο ΑΒ ί αι ισόπ ο. Μο ά ς 0) ii. = Μο ά ς 5) β) Α η ω ία ί αι ιπ άσια της ω ίας το τ ι ώ ο ΑΒΓ, α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο Β Γ. Μο ά ς 0)

70 Στις π ο κτάσ ις τω π ώ ΒΑ (π ος το Α) και ΓΑ π ος το Α) τ ι ώ ο ΑΒΓ παί ο τα τ ή ατα Α =ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Ε //ΒΓ Μο ά ς )

71 Στις π ο κτάσ ις τω π ώ ΒΑ και ΓΑ τ ι ώ ο ΑΒΓ παί ο τα τ ή ατα Α =ΑΒ και ΑΕ=ΑΓ. α απο ί τ ότι α) Τα τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η π οέκταση της ια έσο ΑΜ π ος το έ ος της κο φής Α ιχοτο ί τη π ά Ε το τ ι ώ ο ΑΕ. Μο ά ς )

72 Σ ο θο ώ ιο ΑΒΓ, α Μ και ί αι τα έσα τω ΑΒ και Γ α τίστοιχα, α απο ί τ ότι: α) Μ =ΜΓ. Μο ά ς 2) β) Η θ ία Μ ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος Γ. Μο ά ς )

73 Θ ω ού πα α η ό α ο ΑΒΓ και Α, Γ οι π οβο ές τω κο φώ Α και Γ στη ια ώ ιο Β. Α τα ση ία Α και Γ τα τίζο ται, α απο ί τ ότι: α) ΑΑ // ΓΓ Μο ά ς 8) β) ΑΑ =ΓΓ Μο ά ς 0) β) Το τ τ άπ ο ΑΓ ΓΑ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς 7)

74 Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και ση ίο Μ σωτ ικό το τ ι ώ ο, τέτοιο ώστ ΜΒ=ΜΓ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΜΒ και ΑΜΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Η θ ία ΑΜ ιχοτο ί τη ω ία. Μο ά ς )

75 ί ται τ ί ω ο ισοσκ ές ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) ω ία π άς ΑΓ, τέτοιο ώστ Β =ΒΓ. = Έστω ί αι ση ίο της α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι η ω ία ί αι ίση τη ω ία. Μο ά ς )

76 Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ) = Έστω τ χαίο ση ίο της π άς ΑΓ και. α πο ο ίσ τ : α) τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΕΓ. Μο ά ς 0 ) β) τις ω ί ς το τ τ απ ύ ο Α ΕΒ. Μο ά ς 5)

77 Θ ω ού ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) ω ία κο φής = Στη π οέκταση της ΓΒ (π ος το Β) παί ο τ ή α Β τέτοιο ώστ =. α πο ο ίσ τ α) τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 0) β) τη ω ία. Μο ά ς 5)

78 Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ). Έστω ότι η Α ί αι η ιχοτό ος της ω ία Α και η //. Α η ω ία = , α) α πο ο ίσ τ : I. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) II. τις ω ί ς και. Μο ά ς 0) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 7)

79 Θ ω ού ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ = 90 0 ) ω ία = 2. Από το έσο Μ της ΒΓ φέ ο θ ία πα ά η η στη ΑΒ, η οποία τέ ι τη π ά ΑΓ στο. α) α πο ο ίσ τ I. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 7) II. τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΜΓ. Μο ά ς 9) β) α απο ί τ ότι η θ ία Μ ί αι σοκάθ τος το ΑΓ. Μο ά ς 9)

80 Στο πα ακάτω σχή α ισχύο Β=ΒΑ=ΑΓ=ΓΕ και = α απο ί τ ότι α) = = Μο ά ς 0) β) τα τ ί ω α ΑΒ και ΑΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) ) το τ ί ω ο ΑΕ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 5)

81 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ = 40 0 και = Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω ΑΒ και ΑΓ = 9 και = 16. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές και α β ίτ ποι ς ί αι οι ίσ ς π ές το. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι ΒΓ= 8. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

82 Θ ω ού πα α η ό α ο ΑΒΓ. Α οι ιχοτό οι τω απέ α τι ω ιώ και τέ ο τις π ές ΑΒ και Γ στα ση ία Ε και Ζ α τίστοιχα, α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΕ και ΒΓΖ ί αι ίσα. Μο ά ς 2) β) Το τ τ άπ ο ΕΒΖ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς )

83 Στις π ές Α και ΒΓ πα α η ο ά ο ΑΒΓ θ ω ού ση ία E και Z, τέτοια ώστ ΑE=ΓZ. Α η θ ία ΖΕ τέ ι τις π ο κτάσ ις τω π ώ ΑΒ και Γ στα ση ία H και Θ, α απο ί τ ότι: α) = (Μο ά ς 8) β) = Μο ά ς 8) ) ΒΗ=Θ Μο ά ς 9)

84 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Έστω ότι τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΒΓ και ΑΓ α τίστοιχα, τέτοια ώστ. α) α ικαιο ο ήσ τ ιατί. Μο ά ς 8) β) α πο ο ίσ τ I. τη ω ία. Μο ά ς 8) II. τις ω ί ς και το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

85 Έστω τ ί ω ο ΑΒΓ και Ε τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα, Α =9, ΕΓ= 0 και ΒΓ= 0. α) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9) β) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΕΓΒ ί αι τ απέζιο. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ το ήκος x το τ ή ατος Ε. Μο ά ς 8)

86 Στο τ ί ω ο ΑΒΓ το πα ακάτω σχή ατος τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα, ΑE=8, Ε =9 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΕΓΒ ί αι τ απέζιο. Μο ά ς 8) β) α πο ο ίσ τ το ήκος της π άς ΒΓ. (Μο ά ς 8) ) α σ κ ί τ τις π ι έτ ο ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ και το τ τ απ ύ ο ΕΓΒ. Μο ά ς 9)

87 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. Επιπ έο ισχύο Α =Ε = Β ΑΕ=8 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕΒ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ ότι ΒΓ=20. Μο ά ς 8) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9 )

88 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ. Τα ση ία και Ε ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. Επιπ έο ισχύο Α =Ε = Β ΑΕ=8 και Β= 0. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΕΒ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 6) β) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

89 Από ωτ ικό ση ίο Ρ ός κύκ ο Ο, ) φέ ο τα φαπτό α τ ή ατα ΡΑ και ΡΒ. Α Μ ί αι έ α τ χαίο σωτ ικό ση ίο το θ ά ο τ ή ατος ΟΡ, α απο ί τ ότι: α) τα τ ί ω α ΡΑΜ και PMB ί αι ίσα. (Μο ά ς 2) β) οι ω ί ς και ί αι ίσ ς. (Μο ά ς )

90 Στο πα ακάτω σχή α ί αι 1 // 2 και το ση ίο Ο ί αι το έσο της Β. α απο ί τ ότι: α) τα τ ί ω α ΑΟΒ και ΓΟ ί αι ίσα και α ά τ τα ίσα στοιχ ία το ς. Μο ά ς 2) β) το ΑΒΓ ί αι πα α η ό α ο. Μο ά ς )

91 Στο πα ακάτω σχή α ί αι 1 // 2 και AB=6. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς φ και ω. Μο ά ς 0) β) α π οσ ιο ίσ τ το ί ος το τ ι ώ ο ΑΒΚ ως π ος τις ω ί ς το. Μο ά ς 7) ) α πο ο ίσ τ το ήκος της ΑΚ, αιτιο ο ώ τας τη απά τησή σας. Μο ά ς 8)

92 Στο πα ακάτω σχή α ί ται κύκ ος O,R) και τα φαπτό α τ ή ατα ΜΑ και ΜΒ. Π ο κτ ί ο τη ΑΜ κατά τ ή α ΜΓ=ΜΑ και τη ΟΜ κατά τ ή α Μ =ΟΜ. α) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΟΜΒ και ΜΓ ί αι ίσα, και α ά τ τα ίσα στοιχ ία το ς. Μο ά ς ) β) α αιτιο ο ήσ τ ιατί ΟΑ//Γ. Μο ά ς 2)

93 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ=ΑΓ) και στις ίσ ς π ές ΑΒ,ΑΓ παί ο α τίστοιχα 1 1 τ ή ατα Α = ΑΒ και ΑΕ= ΑΓ. Α Μ ί αι το έσο της ΒΓ, α απο ί τ ότι: 3 3 α) τα τ ή ατα Β και ΓΕ ί αι ίσα. Μο ά ς 5) β) τα τ ί ω α Β Μ και ΜΕΓ ί αι ίσα. Μο ά ς 0) ) το τ ί ω ο ΕΜ ί αι ισοσκ ές. Μο ά ς 0)

94 ί ται ισοσκ ές τ ί ω ο ΚΑΒ (ΚΑ=ΚΒ) και ΚΓ ιχοτό ος της ω ίας Kˆ. Στη π οέκταση της ΒΑ π ος το Α) παί ο ση ίο και στη π οέκταση της ΑΒ π ος το Β) παί ο ση ίο Μ, έτσι ώστ Α =ΒΜ. α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο Κ Μ ί αι ισοσκ ές Μο ά ς 12) β) η ΚΓ ί αι ιά σος το τ ι ώ ο Κ Μ Μο ά ς 13)

95 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ Â 80 και ˆB 20 ˆ, και Α η ιχοτό ος της ω ίας Â. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ και ˆ. Μο ά ς 2) β) Φέ ο από το θ ία πα ά η η στη ΑΒ, πο τέ ι τη ΑΓ στο Ε. α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ, ˆ. Μο ά ς 13)

96 ί ται τ τ άπ ο ΑΒΓ ΒA=ΒΓ και A= Γ. Οι ια ώ ιοι ΑΓ, Β το τ τ απ ύ ο ί αι ίσ ς και τέ ο ται κάθ τα. α απο ί τ ότι: α) Η Β ί αι ιχοτό ος τω ω ιώ Β και το τ τ απ ύ ο ΑΒΓ. (Μο ά ς 2) β) Η Β ί αι σοκάθ τος το τ ή ατος ΑΓ. (Μο ά ς )

97 ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Φέ ο τη ωτ ική ιχοτό ο Αx της ω ίας ˆΑ και από το ση ίο Γ τη κάθ το Γ στη Αx. Τα ση ία Ε και Ζ ί αι τα έσα τω π ώ ΑΒ και ΑΓ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο ΑΖ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς ) β) το τ τ άπ ο Α ΖΕ ί αι ό βος. (Μο ά ς 2)

98 ο ί ται κύκ ος Ο, R) ια έτ ο ΑΒ, και χο ή ΑΓ τέτοια ώστ ΒΑΓ ˆ 0. Στο ση ίο Γ φέ ο τη φαπτο έ η το κύκ ο, η οποία τέ ι τη π οέκταση της ια έτ ο ΑΒ π ος το Β) στο ση ίο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΟΓ. (Μο ά ς 2) β) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΑΟΓ και ΓΒ ί αι ίσα. (Μο ά ς )

99 ί ται ω ία xoy και η ιχοτό ος της Ο. Θ ω ού ση ίο Μ της Ο και ση ία Α και Β στις η ι θ ί ς Οx και Oy α τίστοιχα, τέτοια ώστ ΟΑ=ΟΒ. α απο ί τ ότι: α) MA=MB. (Μο ά ς 5) β) Η Ο ί αι ιχοτό ος της ω ίας ˆ AMB. (Μο ά ς 0)

100 Σ πα α η ό α ο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) ΑΒ > ΒΓ φέ ο από τις κο φές Α και Γ καθέτο ς στη ια ώ ιο Β, οι οποί ς τη τέ ο σ ιαφο τικά ση ία Ε και Ζ α τίστοιχα. α απο ί τ ότι: α) ΑΕ=ΓΖ. (Μο ά ς 5) β) Το τ τ άπ ο ΑΕΓΖ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 0) Γ

101 Θ ω ού ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) Γ >ΑΒ και ˆΒ = 135 ο. Από τις κο φές Α και Β φέ ο τα ύ η το ΑΕ και ΒΖ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ απ ζίο. (Μο ά ς 0) β) α απο ί τ ότι ΑΕ=Ε =ΒΖ=ΓΖ (Μο ά ς 5)

102 ί ται ο ώ ιο τ ί ω ο ΑΓΒ. Φέ ο από τη κο φή Α θ ία ) πα ά η η στη ΒΓ. Η σοκάθ τος της π άς ΑΒ τέ ι τη ) στο και τη ΒΓ στο Ε. α) α απο ί τ ότι Α= Β και ΕΑ=ΕΒ. (Μο ά ς 6) β) Α Μ το έσο το ΑΒ, α σ κ ί τ τα τ ί ω α ΑΜ και ΕΜΒ. (Μο ά ς 0) ) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο Α ΒΕ ί αι ό βος. (Μο ά ς 9)

103 Σ τ ί ω ο ΑΒΓ ισχύ ι Αˆ Γ 20 ˆ 0 και Αˆ Γˆ. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ο θο ώ ιο και α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το. (Μο ά ς 5) β) Α η π ά ΒΓ=2cm α β ίτ το ήκος της ΑΒ. (Μο ά ς 0)

104 Α Α ˆΟ Β=Β ˆΟ Γ=Γ ˆΟ και ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=Ο, α απο ί τ ότι: α) ΑΓ=Β. (Μο ά ς 0) β) το Μ ί αι έσο της Β, όπο Μ το ση ίο το ής τω τ η άτω ΟΓ και Β. (Μο ά ς 5)

105 ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ˆΑ 90 0 και 0 ˆΓ 25. ί ο ται πίσης η ιά σος ΑΜ, το ύ ος ΑΗ από τη κο φή Α και η ιχοτό ος Α της ω ίας ˆΑ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς ˆ ΑΜΒ, ˆ ΗΑΒ, ˆ Α Β. Μο ά ς 5) 0 β) α απο ί τ ότι ΜΑ ˆ ΑΗ ˆ 20. Μο ά ς 0)

106 ί ται ισοσκ ές τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ), ΑΒ=6, ΒΓ=4 και πίσης τα ύ η ΑΕ και ΒΖ από τις κο φές Α και Β α τίστοιχα. ˆΓ ί ο ται α) α πο ο ίσ τ τις πό οιπ ς ω ί ς το τ απ ζίο ΑΒΓ. (Μο ά ς 6) β) α απο ί τ τα τ ί ω α ΑΕ, ΒΖΓ ί αι ίσα. (Μο ά ς 10) ) α πο ο ίσ τ τη π ί τ ο το ΑΒΓ. (Μο ά ς 9)

107 ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ), ΑΒ=ΒΓ=4, ύ ος ΒΕ από τη κο φή Β. ˆΑ 90 0 και ˆΓ ί ται πίσης το α) α πο ο ίσ τ τις ά ς ο ω ί ς το τ απ ζίο ΑΒΓ. Μο ά ς 8) β) α απο ί τ 2ΕΓ=ΒΓ. Μο ά ς 9) ) Α Μ, τα έσα τω π ώ Α, ΒΓ α τίστοιχα α β ίτ το ήκος το θ ά ο τ ή ατος Μ. Μο ά ς 8)

108 ί ται κύκ ος κέ τ ο Ο, και από έ α ση ίο Ρ κτός α τού φέ ο τα φαπτό α τ ή ατα ΡΑ και ΡΒ. Το τ ή α ΡΟ τέ ι το κύκ ο στο ση ίο Μ και η φαπτο έ η το κύκ ο στο Μ τέ ι τα ΡΑ και ΡΒ στα ση ία και Γ α τίστοιχα. α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο Ρ Γ ί αι ισοσκ ές. (Μο ά ς 13) β) Α η ω ία ΑΡΒ ί αι 40 0 α πο ο ίσ τ τη ω ία ΑΟΒ. (Μο ά ς 12)

109 ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Στη π οέκταση της ΒΓ π ος το έ ος το Γ) θ ω ού τ ή α Γ =ΒΓ. Φέ ο τ ή α Ε κάθ το στη Α στο ση ίο της, τέτοιο ώστ Ε=ΒΓ. ( Α και Ε στο ί ιο η ι πίπ ο ως π ος τη Β ). α) α β ίτ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒ. (Μο ά ς 12) β) α απο ί τ ότι ΑΒ Ε πα α η ό α ο. (Μο ά ς 13)

110 ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ ( ˆΑ 90 0 ) και η ιχοτό ος της ω ίας ˆΓ τέ ι τη π ά ΑΒ στο ση ίο, τέτοιο ώστ Γ = Β=2cm. α απο ί τ ότι: α) ˆΒ 0 0. (Μο ά ς 2) β) ΑΒ= cm (Μο ά ς 13)

111 Στα ο θο ώ ια τ ί ω α ΑΒΓ και Α Ε ω ία Α ο θή) το πα ακάτω σχή ατος ισχύ ι ˆΒ Δˆ 30 ο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ τ απ ύ ο ΑΕΖΓ. (Μο ά ς ) β) α απο ί τ ότι τα τ ί ω α ΓΖ και ΕΒΖ ί αι ισοσκ ή. (Μο ά ς 2)

112 Στο πα ακάτω σχή α, οι Α και ΒΕ ί αι πα ά η ς. Επιπ έο ισχύο Α =ΑΖ, ΒΕ=ΒΖ και ˆΑ 70 ο. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς τω τ ι ώ ω Α Ζ και ΒΖΕ. (Μο ά ς 6) β) α απο ί τ ότι Δ ˆ 90 ο. (Μο ά ς 9)

113 Στο πα ακάτω σχή α οι ω ί ς Α, ˆ Β ˆ ί αι ο θές και πιπ έο Α =ΒΓ και ΑΓ=ΒΕ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΓ και ΒΓΕ ί αι ίσα. (Μο ά ς ) β) Α η ω ία 40 τότ το τ ί ω ο ΓΕ ί αι ο θο ώ ιο και ισοσκ ές. (Μο ά ς 2)

114 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ΒΓ=2ΑΒ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ και Ε σημείο στην προέκτασή της ώστε ΑΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) MΕ=ΜΓ (Μονάδες 13)

115 Θ ω ού τ τ ά ω ο ΑΒΓ και ση ία Ε και Ζ στις π ο κτάσ ις τω ΑΒ π ος το Β) και ΒΓ π ος το Γ) α τίστοιχα, ώστ ΒΕ=ΓΖ. α απο ί τ ότι: α) Τα τ ί ω α ΑΒΖ και ΑΕ ί αι ίσα. (Μο ά ς 2) β) Οι ω ί ς Ε Γ και ΑΖΒ ί αι ίσ ς. (Μο ά ς )

116 ί ται τ απέζιο ΑΒΓ ΑΒ//Γ ) ΑΒ=, Γ =4. Θ ω ού ση ίο Ε στη ΑΒ ώστ ΑΕ=. Στο τ απέζιο ΕΒΓ θ ω ού τα Κ και, έσα τω Ε και ΒΓ α τίστοιχα. α) α πο ο ίσ τ τη ιά σο Κ το τ απ ζίο ΕΒΓ. (Μο ά ς 3) β) α απο ί τ ότι το τ τ άπ ο ΑΒ Κ ί αι πα α η ό α ο. (Μο ά ς 2)

117 Σ τ ί ω ο ΑΒΓ ισχύο Α ˆ Γ ˆ 2Β ˆ και Α ˆ 3Γ ˆ. α) α απο ί τ ότι η ω ία Β ί αι 60 ο. Μο ά ς 0) β) Α το ύ ος το Α και η ιχοτό ος το ΒΕ τέ ο ται στο ση ίο Ζ, α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΑΖΕ ί αι ισόπ ο. (Μο ά ς 5)

118 Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στην ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ (Μονάδες 8) β) ΑΔ < ΔΓ (Μονάδες 9) γ) ΑΓ>ΑΒ (Μονάδες 8)

119 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A ˆ = 90 o, ˆB = 35 ο και Μ το μέσο της ΒΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία Γ. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΒ. (Μονάδες 15)

120 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (προς το Α) θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΕ = ΓΔ (Μονάδες 6) β) ΒΔ = ΓΕ (Μονάδες 10) γ) ˆ ˆ ΒΓ = ΕΓΒ (Μονάδες 9)

121 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή, ˆ ˆ 2Γ = Β και ΑΔ το ύψος του. α) Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογιστεί η γωνία ΒΑΔ. (Μονάδες 7) ΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι: Β =. (Μονάδες 9) 2

122 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΒΔ = ΒΓ. Αν υπολογίσετε: ο ΒΓ = 110 και ο Α Β = 25 α) Τη γωνία Γ. (Μονάδες 11) β) Τη γωνία Α. (Μονάδες 14) να

123 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες i. ΑΒ Ε (Μονάδες 8) ii. ΒΕ Α (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

124 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΑΒΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) 2 ΕΓ Α = 90 ο ΒΑΓ ˆ. (Μονάδες 15)

125 Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) ΒΓ Α = Α Ε (Μονάδες 8)

126 Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΓ και ΒΔΕΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) ΑΒ Ζ = Γ Ε. (Μονάδες 12)

127 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ημιευθεία Αx παράλληλη στη ΒΓ (στο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΜ με το σημείο Γ). Να αποδείξετε ότι: α) Μ Α Γ = Μ Γ Α (Μονάδες 12) β) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑx. (Μονάδες 13)

128 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΜΔ, ΝΕ οι μεσοκάθετοι των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΝΕ τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Αν ΑΒ = ΑΓ τότε ΜΔ = ΝΕ (Μονάδες 13)

129 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και από σημείο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΜΕ, τότε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Αν ΑΒ = ΑΓ και Μ μέσο του ΒΓ, τότε ΜΔ = ΜΕ. (Μονάδες 12)

130 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΜΕ τότε: i. τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) β) Αν ΑΒ = ΑΓ τότε ΜΔ = ΜΕ. (Μονάδες 8)

131 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΔ = ΒΕ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από το Ε φέρουμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ = ΑΕ (Μονάδες 12) β) ΕΖ = ΔΗ (Μονάδες 13)

132 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου του ΑΜ. Αν ΒΓ = 2 ΒΕ να αποδείξετε ότι: α) ΑΕΒ = Ε Μ Γ (Μονάδες 12) β) ΑΒ = ΕΓ. (Μονάδες 13)

133 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και η διάμεσός του ΑΔ τέτοια ώστε Θεωρούμε σημείο Ε στην ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΕ. ο Β Α = 30. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ. (Μονάδες 8)

134 Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 13) β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

135 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Αν η διάμετρος ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τόξα ΒΔ και ΔΓ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 15)

136 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ, οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Θ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα (Μονάδες 13)

137 Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και διάμετρό του ΑΒ. Στην εφαπτομένη του κύκλου στο Β θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε, η γωνία ΒΓΟ να είναι ίση με 30 ο. Αν η ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι: α) ΟΓ = 2 ΟΑ. (Μονάδες 12) β) ΒΓ = Α. (Μονάδες 13)

138 Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ˆ = 90 ο ) θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)

139 Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ<r). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο,R) εφάπτονται του κύκλου (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΔΓ=ΖΕ. (12 Μονάδες) β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. (13 Μονάδες)

140 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος, και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε Μ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)

141 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. (Μονάδες 13)

142 Δίνεται γωνία xαy και η διχοτόμος της Αδ. Από τυχαίο σημείο Β της Αx φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο, η οποία τέμνει την Αδ στο Δ και την Ay στο Γ. Να αποδείξετε ότι : α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τυχαίο σημείο Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. (Μονάδες 13)

143 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Λ = 90 ο και Λ B = 30 ο. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα με ΕΔ=1, να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ.. (Μονάδες 9) γ) ΑΔ.. (Μονάδες 8) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

144 Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΒΓ. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο του Α ώστε να σχηματίζει με τη χορδή ΑΓ γωνία 45 ο. Φέρουμε επίσης μια παράλληλη ευθεία στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΓ. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 15)

145 Δίνονται δυο ίσοι κύκλοι (Ο,ρ) και (Κ,ρ) με ΟΚ=ρ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Δ. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΚ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 10) β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΚ. (Μονάδες 15)

146 Δίνονται τα τμήματα ΑΓ=ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΗ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες Λ Α Ο και Λ ΒΓΟ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΗ. (Μονάδες 13)

147 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΕΗ=ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. (Μονάδες 10)

148 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Σε σημείο Ν του κύκλου φέρουμε την εφαπτόμενή του, και εκατέρωθεν του Ν θεωρούμε σημεία Α και Β, τέτοια ώστε ΝΑ=ΝΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) β) Το σημείο Ν είναι μέσο του τόξου ΚΛ. (Μονάδες 12)

149 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ και ΓΔ κάθετο στην ΑΟ να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΟΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) Λ ΑΟΓ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ. (Μονάδες 12)

150 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ. (Μονάδες 15)

151 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε την ακτίνα ΟΑ και τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της Μ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΟΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΟΒ. (Μονάδες 15)

152 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το Α φέρνουμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι Β = ΓΕ. (Μονάδες 10) β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ τότε: i. Να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. (Μονάδες 8) ii. Nα αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία Λ ΜΕ (Μονάδες 7)

153 Δίνεται ρόμβος ΑΒΔΓ. Στην προέκταση της διαγωνίου ΑΔ (προς το Δ) παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ε ισαπέχει από τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα). (Μονάδες 10) β) Το σημείο Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. (Μονάδες 15)

154 Έστω τρίγωνο ΑΒΔ με Α Λ = 120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα Να αποδείξετε ότι: ΑΕΒ και ΑΖ. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΒΔΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)

155 Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δυο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12)

156 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12)

157 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β Λ = 90 ο και Ζ το μέσο του ΑΓ. Με υποτείνουσα το ΑΓ κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο Α Γ με Λ = 90 Ο. α) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = Ζ. (Μονάδες 13) β) Αν ο ΑΓΒ Λ = 30, να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. (Μονάδες 12)

158 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με και Ε τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ = ΑΓ, και γωνία Β Λ ίση με 30 Ο. Θεωρούμε Δ Ε Γ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 16) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Α Ε είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)

159 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = Γ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΖ = Ε (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)

160 Στο πα ακάτω σχή α έχο το χά τη ίας π ιοχής όπο ί αι κ έ ος έ ας θησα ός. Οι η ι θ ί ς Αx και Αy πα ιστά ο ύο ποτά ια και στα ση ία Β και Γ β ίσκο ται ύο π ατά ια. α π οσ ιο ίσ τ ω τ ικά τις ατές θέσ ις το θησα ού, α ί αι ωστό ότι: α) ισαπέχ ι από τα ύο π ατά ια. Μο ά ς 9) β) ισαπέχ ι από τα ύο ποτά ια. Μο ά ς 9) ) ισαπέχ ι και από τα ύο π ατά ια και από τα ύο ποτά ια. Μο ά ς 7) α αιτιο ο ήσ τ τη απά τησή σας σ κάθ π ίπτωση.

161 ί ται ισόπ ο τ ί ω ο ΑΒΓ. Θ ω ού ση ίο Ε στη π οέκταση της ΒΑ (π ος το Α) και ση ίο στο σωτ ικό της π άς ΑΓ, ώστ ΑΕ=Α. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο Α Ε. (Μο ά ς 0) β) Α Ζ ί αι το ση ίο το ής της π οέκτασης της Ε (π ος το ) τη ΒΓ, α απο ί τ ότι η ΕΖ ί αι κάθ τη στη ΒΓ. (Μο ά ς 5)

162 Θ ΜΑ 2 Σ ο θο ώ ιο ί ω ο Α αι ˆ φέ ο ο ύψος ο Α αι η ιά σο ΑΜ σ η ά. α α ο ί ό ι: α) οι ω ί ς αι ί αι ίσ ς, Μο ά ς 2) β) ˆ 2. Μο ά ς )

163 Θ ΜΑ 2 ί αι α α η ό α ο Α ˆ =60 Ο. Φέ ο α ύψη Α αι Ζ ο α α η ο ά ο ο α ισ οιχού σ η θ ία. α α ο ί ό ι: α) Α Ζ, Μο ά ς 8) 2 β) ο ί ω ο Α ί αι ίσο ο ί ω ο Ζ, Μο ά ς 9) ) ο ά ο Α Ζ ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 8)

164 Θ ΜΑ 2 Έσ ω ο θο ώ ιο Α αι α ση ία αι Κ ω Α αι α ίσ οιχα, έ οια ώσ Α = Κ. α) α α ο ί ό ι: i. α ί ω α Α αι Κ ί αι ίσα, Μο ά ς 8) ii. ο ά ο Κ ί αι α α η ό α ο. Μο ά ς 8) β) Α αι Ζ ί αι α έσα ω αι Κ α ίσ οιχα, α α ο ί ό ι ο ά ο ΚΖ ί αι α έ ιο. Μο ά ς 9)

165 Θ ΜΑ 2 ί αι ο θο ώ ιο ί ω ο Α ( φέ ο η α ά η η ος η Α ο έ ι η Α σ ο ) αι Α η ιχο ό ος ης ω ίας Α. Α ό ο ση ίο α) α α ο ί ό ι ο ί ω ο ί αι ο θο ώ ιο. Μο ά ς 9) β) α ο ο ίσ η ω ία Α. Μο ά ς 9) ) Α η ω ία ί αι 20 οί ς α ύ η ης ω ίας ˆ, α ο ο ίσ η ω ία. Μο ά ς 7)

166 Θ ΜΑ 2 ί αι ισοσ ές α έ ιο Α Α // ) Α =8 αι = 2. Α ΑΗ αι Θ α ύψη ο α ίο, α) α α ο ί ό ι Η = Θ. Μο ά ς 2) β) α ο ο ίσ η ιά σο ο α ίο. Μο ά ς )

167 Στο πα ακάτω σχή α η θ ία φάπτ ται το κύκ ο O, ) στο ση ίο Γ. α) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς x,y και ω ικαιο ο ώ τας σ κάθ π ίπτωση τη απά τησή σας. Μο ά ς 5) β) α β ίτ το ί ος το τ ι ώ ο ΟΑΓ ως π ος τις π ές. (Μο ά ς 10)

168 Έστω κύκ ος κέ τ ο Κ, ια ιά τ ός το ΒΓ και ση ίο Α το κύκ ο τέτοιο ώστ ΒΑ=ΚΓ. Α τ χαίο ση ίο το κύκ ο ιαφο τικό τω Β και Γ, α) α απο ί τ ότι το τ ί ω ο ΒΚΑ ί αι ισόπ ο. Μο ά ς 7) β) α πο ο ίσ τ τη ω ία ˆ. Μο ά ς 9) ) α πο ο ίσ τ τις ω ί ς το τ ι ώ ο ΑΒΓ. Μο ά ς 9)

169 Στο τ απέζιο το πα ακάτω σχή ατος έχο ΑΒ=Α =, 2 o 60 και Μ το έσο της π άς Γ. α απο ί τ ότι: α) η Β ί αι ιχοτό ος της ω ίας, Μο ά ς 9) β) η ΒΜ χω ίζ ι το τ απέζιο σ έ α ό βο και έ α ισόπ ο τ ί ω ο. Μο ά ς 16) M Γ

170 Θ ΜΑ 2 ί αι ισοσ ές ί ω ο Α Α =Α ). Σ α ση ία αι ης φέ ο ος ο ί ιο έ ος ης, α ή α α αι έ οια ώσ =. Α Μ ο έσο ης, α α ο ί ό ι : α) α ί ω α Μ αι Μ ί αι ίσα, Μο ά ς 2) β) Α =Α. Μο ά ς )

171 Θ ΜΑ 2 Έσ ω ισοσ ές ί ω ο Α Α =Α ). α) α α ο ί ό ι α έσα αι ω ώ Α αι Α α ίσ οιχα, ισα έχο α ό η βάση. β) Α A 75 B, α ο ο ίσ ις ω ί ς ο ι ώ ο Α. Μο ά ς ) (Μο ά ς 2)

172 Στο πα ακάτω σχή α, α απο ί τ ότι: α) το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι ισοσκ ές, (Μο ά ς 2) β) η ω ία ΑΕ ί αι ο θή. (Μο ά ς )

173 Α Η Α ΠΟ Ο ΟΧΟ ο Π.. Μαθη ατικά: Γ ω τ ία ΓΕ Tl. Τα ι ο ού τα τ ί ω α βάση τις σχέσ ις τω π ώ και το ί ος τω ω ιώ το, α α ω ίζο τα τ ύο τα στοιχ ία το τ ι ώ ο ιά σος, ιχοτό ος ύ ος) βάση το ς α τίστοιχο ς ο ισ ούς, τα σχ ιάζο και τα σ βο ίζο. ΠΕ. Απο ικ ύο και χ ησι οποιού στη πί ση π οβ η άτω τη π όταση ια το άθ οισ α ω ιώ τ ι ώ ο.

174 φώ α ιό α ί ται ο θο ώ ιο τ ί ω ο ΑΒΓ µ 90 και Ζ το ση ίο το ής το ύ ο ς το Α και της ιχοτό ο το ΒΕ. i) α απο ί τ ότι. ii)α το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισόπ ο, α πο ο ίσ τ τις ω ί ς µ και µ Γ. ι ι Α ά Α Β Ζ 1 Ε Γ i)για α απο ί ο ότι το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισοσκ ές Α Α, α κ ί α απο ί ο ότι µ µ 1 1. Π ος τούτο, πα ατη ού ότι οι ω ί ς µ 1 και Β µ 2 ί αι οι ο ί ς ω ί ς το ο θο ω ίο τ ι ώ ο ΑΕΒ. Επο έ ως, µ µ 1 90 Β2(1) Επίσης, µ µ 1 2, ως κατακο φή και µ µ 2 90 Β1 2)αφού το τ ί ω ο Β Ζ ί αι ο θο ώ ιο. Ό ως, ηβε ί αι ιχοτό ος της ω ίας µ Β και σ πώς Βµ µ 1 Β2(3) Από τις σχέσ ις ), 2) και ) σ π αί ο ότι Β µ µ 1 Β2. ii)a το τ ί ω ο ΑΕΖ ί αι ισόπ ο,

175 τότ Α µ Και π ι ή το τ ί ω ο Α Γ ί αι ο θο ώ ιο Δ µ 90 σ π αί ο ότι $ Γ 90 Αµ Το τ ί ω ο ΑΒΓ ί αι πίσης ο θο ώ ιο Α µ 90. Επο έ ως, µβ 90 $ Γ Α 4 Ω Η ΑΠΑ Η Η (4,2),(4,5),(4,8) 2. α ο τις ώσ ις πο ιαθέτο ια τη πί ση ός η οικ ίο π ο-β ή ατος. 5. α ι ο αι α ια ώ ο ι α ί τις οποί ς α απο ικ ύο πι- έ ο τας τη κατά η η στ ατη ική. 8. α ο α ό ο ός π οβ ή ατος ότα τα ο έ α της κφώ η-σης ταβά ο ται.

176 ί ται τ ί ω ο ΑΒΓ ΑΒ<ΑΓ και Μ το έσο της ΒΓ. Π ο κτ ί ο τη ιά σο ΑΜ κατά τ ή α Μ =ΜΑ. Από το Α φέ ο πα ά η η π ος τη ΒΓ η οποία τέ ι τη π οέκταση της Γ στο ση ίο Ε. α απο ί τ ότι: α) το τ τ άπ ο ΑΒ Γ ί αι πα α η ό α ο, Μο ά ς 2) β) (Μο ά ς )

177 Θ ΜΑ 2 ί αι ί ω ο Α έ οιο, ώσ AΓ AB.Σ η ά Α θ ω ού ση ίο έ οιο ώσ AΔ AΓ αι σ η οέ αση ης Α ος ο Α) θ ω ού ση ίο έ οιο ώσ AE AΓ. α α ο ί ό ι: α) ΔΓ EΓ, Μο ά ς 2) β) η ω ία Α ί αι ι άσια ης ω ίας Α. Μο ά ς 13)

178 Θ ΜΑ 2 Σ α α η ό α ο Α ί αι ι ώ ο. ˆ B αι. Έσ ω Ζ η ιά σος ο α) α ο ο ίσ ις ω ί ς Α αι ο α α η ο ά ο. (Μο ά ς 8) β) Α Κ ί αι ο έσο ης άς Α, α α ο ί ό ι Ζ=ΑΚ. (Μο ά ς 9) ) α ο ο ίσ η ω ία Ζ. (Μο ά ς 8)

179 Θ ΜΑ 2 ί αι ο θο ώ ιο ί ω ο Α Α=90 0 ) αι η ιχο ό ος ο. Α ό ο φέ ο ο έ ι η οέ αση ης Α ος ο Α) σ ο Ζ. α α ο ί ό ι: α) =Α, Μο ά ς 2) β) ο ί ω ο B Ζ ί αι ισοσ ές. Μο ά ς )

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Β ΘΕΜΑ ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΘΕΜΑ 2 _2814 0 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με 80.Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ 5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Τρίγωνα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Τρίγωνα 1.Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι = (Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι = (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ, οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Θ. α) Οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 1 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η.

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦ 4 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦ 4 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΘΕΜΑ 1 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου

Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

«Β Θέματα» (Έκδοση: )

«Β Θέματα» (Έκδοση: ) «Β Θέματα» (Έκδοση: 13 03-2015) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Έκδοση: 13 03 2015 (συνεχής ανανέωση) Το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης 1 Σ.Μιχαήλογλου Δ.Πατσιμάς ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ο ΘΕΜΑ 509. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA B και. A B A

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης 1 Σ.Μιχαήλογλου Δ.Πατσιμάς ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ο ΘΕΜΑ 509. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA B και. A B A

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler

Διαβάστε περισσότερα

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ. 2ο ΘΕΜΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ. 2ο ΘΕΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ο ΘΕΜΑ 8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB B. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα E A και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο Η. α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΔΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ

Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Οι αζκήζεις ηης ηράπεζας θεμάηωμ απαλλαγμέμες από ηα ζτήμαηα (όποσ ήηαμ δσμαηόμ) 13/11/015 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ 6-10-014 514. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν 5, και. α) Να προσδιορίσετε ως προς τις πλευρές, το είδος των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΕ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 6 β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των

α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Λυκείου. 14ο Λύκειο Περιστερίου

Μαθηματικά Α Λυκείου. 14ο Λύκειο Περιστερίου Μαθηματικά Α Λυκείου 4ο Λύκειο Περιστερίου 06-7 Το φυλλάδιο αυτό χρησιμοποιείται συμπληρωματικά στο σχολικό βιβλίο. Πιθανότητες. Δίνεται το σύνολο Ω={,,,4,5,6} και τα υποσύνολά του Α={,,4,5} και Β={,4,6}.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ). Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ,ΓΑ (προς το μέρος του Α) θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ,ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανάληψη Α Λυκείου

Μεθοδική Επανάληψη Α Λυκείου www.askisopolis.gr Μεθοδική Επανάληψη Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr 3ο Κεφάλαιο: Τρίγωνα 3.1. Στοιχεία και είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία τριγώνου; Οι πλευρές και οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr 3ο Κεφάλαιο: Τρίγωνα Στοιχεία και είδη τριγώνων σελίδες 35-36 i. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία τριγώνου; ii. Πως διακρίνονται

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα