výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák"

Transcript

1 výber myšlienok, výrokov i aforizmov pre súčasných aj budúcich učiteľov matematiky (ale nielen pre nich) Vybral a zostavil Dušan Jedinák 2010

2 2 Slovo na úvod Ak človek chápe svoju prácu ako povolanie, ak pracuje s vnútorným presvedčením, ak cíti vo svojej práci vlastný život, potom sa stáva citlivý k výrokom o činnosti, ktorej chcel zasvätiť svoju existenciu. Výber myšlienok, výrokov i aforizmov, ktorý sa vám dostal pred oči, nevznikal pod tlakom povinnosti. Pri štúdiu kníh a časopisov som si vypisoval to, čo našlo odraz v mojej súradnicovej sústave vzhľadom k pôsobeniu učiteľa matematiky smrteľníka, ktorý len tuší základy stále sa rozrastajúcej mohutnej matematickej kultúry. Vyhľadával som podnetné vyjadrenia o hodnotách myslenia i logickej argumentácie. Vyberal som vtipné postrehy, aj ľudskosťou naplnené stručné poznatky nielen tých, ktorých obdivujem, ale aj tých, ktorí ma podnecujú k netradičným predstavám. Tešil som sa zo súzvuku, harmónie, doplnenia, iného vyjadrenia podobnej myšlienky. Predkladám tu uvedený jednoduchý a nenáročný súbor citátov s vyznaním: Všetky názory, aj mylné, ktoré čítaním poznáme a kriticky porovnáme, neobyčajne poslúžia a pomôžu, ak chceme rýchlo dospieť k tomu, čo je pravdivé (J. Milton, ). Chcel som byť rozsievačom. Hľadanie v cudzích myšlienkach ma vždy obšťastnilo vtedy, keď nastal súzvuk vlastný impulz reagoval v slovách z úst povolanejších. Možno preto sa rád skrývam za citáty. Uznal som starodávny názor: Nikdy sa nebudem hanbiť citovať dobrý výrok, nech si už o jeho pôvodcovi myslím čokoľvek (L.A. Seneca, 5 65). Tí, ktorí ma už poznajú dlhšie, vedia, že som bol na citáty možno až patologicky zaťažený. Dúfam, že si v predloženej mozaike rôznych názorov spojených s ľudským myslením a matematickou kultúrou, ktorá vznikla subjektívnym usporiadaním myšlienok často vyslovených v rôznych súvislostiach, predsa len vyberiete aspoň jednu takú, ktorá vás poteší a inšpiruje. Doplnením ďalších citátov podľa vašich možností, potrieb i záujmov máte možnosť si vytvoriť zaujímavú a podnetnú zbierku, ktorá vám môže prinášať radosť aj úžitok. Ak by ste moju radu počúvli, bolo by to viac, ako som očakával. Rád opakujem s R. Péterovou: Milujem matematiku nielen preto, že ju možno použiť v technike, ale aj preto, že je krásna, že do nej človek vložil svoju rozkoš z hry a že matematika je schopná aj tej najvyššej hry a umožňuje nám zmocňovať sa nekonečna. Má čo povedať o nekonečne a o ideách. Má nikdy neuzavretú povahu ľudského tvorenia. Nech vás vaše vlastné myšlienky nielen prekvapia, ale aj povzbudia pre šírenie matematickej kultúry. Dušan Jedinák 2

3 3 O b s a h Hľadanie pravdy Zmysel výchovy Myšlienky o vyučovaní Človek je bytosť mysliaca, so schopnosťou poznania Svet čísiel Čo je matematika Vyučovanie matematiky Jednou vetou K srdciam učiteľov matematiky O vyučovaní (G. Choquet) V silovom poli medzi etikou a matematikou Drobné poznatky veľkých Pre inšpiráciu s filozofickým nádychom Vtipné i logické Vo svete matematiky Vybrané odkazy: Impulzy zo stredoveku Z myšlienok (B. Bolzano) Filozofické myšlienky (A.N. Whitehead) O duši matematickej (G.H. Hardy) Z pedagogického odkazu (J. Hronec) Matematika je kus môjho srdca i života (Š. Schwarz) Symbol kľúč k podstate človeka (E. Cassirer) Listy z kalendára matematici: René Descartes Blaise Pascal Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Carl Friedrich Gauss Kurt Gödel Podnetné aforizmy Lichtenberg: Z aforizmov profesora matematiky Einstein: Pedagogicko výchovné postrehy Calda: Múdrosloví matematicko-pedagogická Max Sobel: Rady Georg Pólya: Desatoro O matematikoch Nematematické odkazy Čo treba ľuďom povedať (A. de Saint Exupéry) Neučesané myšlienky (S.J. Lec) Som rád, keď učím a poznávam tajomstvá skryté Čo si prečítať o matematickej kultúre Slovo na rozlúčenie

4 4 Hľadanie pravdy Jediným šťastím ľudského ducha je nachádzanie pravdy, postupné a tvrdošijné odstraňovanie tajomstva. J.B. Vercors Prvé a posledné, čo žiadame od človeka, je láska k pravde. Pravdu je treba vyhĺbiť ako studňu. J. W. Goethe A. Saint Exupéry Civilizácia pokročila práve tak ďaleko, akou mierou uctievala pravdu. T. Carlyle Dve pravdy si nikdy nemôžu odporovať. Poznávanie pravdy je zdravie ľudského ducha. Rozumom, nie násilím, máme viesť ľudí k pravde. G. Galilei R. Descartes D. Diderot Poznanie pravdy a plnenie povinností sú najvyššie príkazy mravnosti. A. Humboldt Môže byť viacero názorov, ale iba jedna pravda. J. Piaget Hľadaj pravdu, počúvaj pravdu, uč sa pravdu, miluj pravdu, hovor pravdu, drž pravdu, bráň pravdu až do smrti... Zlorečený nech je ten, kto pre skyvu chleba opustí pravdu. J. Hus Spravodlivosť a pravda, to sú prvé ľudské povinnosti. Hovor pravdu a konaj dobro. J. J. Rousseau Disciplínou vedca je zasvätenie pravde. N. Wiener Každý veľký krok vpred v pravdivom poznaní prírody musí vyvolať mravné zdokonalenie človeka. E. H. Haeckel V tejto dobe je pravda tak zatemnená a klam tak zavedený, že pravdu môže poznať iba ten, kto ju miluje... Nielen pravda sama poskytuje istotu, ale už i samo hľadanie poskytuje pokoj. B. Pascal Hodnotu človeka nevytvára pravda, ktorú niekto má alebo si myslí, že ju má, ale poctivá snaha, ktorú venoval tomu, aby sa k pravde dopracoval. Hľadať pravdu je krajšie, ako ju mať. G. E. Lessing Každý, kto sa svojim názorom priblíži k pravde viac ako tí druhí, má väčšinu jediného hlasu. H. D. Thoreau 4

5 5 Skutočne osvietení ľudia, ktorí sa riadia láskou k pravde a múdrosti, sa nikdy nepokladajú za takých múdrych a svoj rozum tak dokonalý, aby neboli schopní prijať pravdu prichádzajúcu odkiaľkoľvek. W. Harvey Napodobniť pravdu je možno dobre, ale vynájsť pravdu je lepšie, oveľa lepšie. G. Verdi Nič nás tak neohromí, ako čistá pravda. E. E. Kisch Nie je najmúdrejší ten, kto pozná najviac právd, ale kto pozná tie najlepšie. S. Prudhome Nežijeme v pravde. Ale pravda, ak ideme za ňou, žije v nás, hovorí našimi ústami. Vtedy, ak ju hľadáme usilovne, nachádzame ju. W. Quine Vedca z človeka nerobí samo vzdelanie, ale vytrvalé a neúmorné hľadanie pravdy. K. Popper Pravda sa vzdala trpezlivosti učencov, ich láske, prostote a oddanosti ďaleko skôr, než ich géniu. T. Huxley Pravda je všeobecná, nepatrí mne, patrí všetkým, ona má mňa, nie ja ju. K. Marx Pravdu dosiahne iba ten, kto ju neúnavne hľadá. Opakom pravdy nie je omyl, ale lož. Polovica pravdy je často veľká lož. To je strašné pri hľadaní pravdy, že sa niekedy nenájde. Človek pravdu nevlastní, ale pravda sa ho skôr zmocňuje. A.F. Ioffe C. Tresmontant B. Franklin P. Sertillanges J. Lacroix Pravda potrebuje dvoch. Jedného, ktorý ju vysloví a druhého, ktorý jej porozumie. Ch. Džibrán Nikdy nemáme definitívne pravdu. Môžeme si byť istí iba tým, že sa mýlime. R. Feynman Sme vôbec schopní poznať pravdu a má vôbec zmysel zaoberať sa vedou? H.A. Lorentz Nikto nemá pravdu. Všetci ju hľadáme. K. Jaspers Čas odhalí pravdu. Seneca 5

6 6 Zmysel výchovy Úlohou výchovy je prebudiť v človeku génia. (Pytagoras) Výchova, ktorú dáva nežná a cnostná matka, má na našu budúcnosť práve taký vplyv ako skvelé prirodzené vlohy. (G.I. Caesar) Cieľom výchovy je uspôsobiť človeka, aby vedel založiť vlastné šťastie a aj šťastie iných ľudí. (J.S. Mill) Výchova odkrýva schopnosti, nevytvára ich. Výchova má byť láskavá a prísna, nie studená a ľahostajná. Výchova človeka znamená vytvoriť pre neho perspektívy. Výchova je pomoc dieťaťu pri rozvoji jeho možností. (Voltaire) (J. Joubert) (A.S.Makarenko) (E. Fromm) Výchova je zámerná a sústavná pomoc človeku, aby samostatným a harmonickým uplatnením všetkých svojich vlôh sa rozvíjal na ušľachtilú mravnú osobnosť. (D. Pecka) Výchova detí nie je v tom poučovať ľudí alebo im robiť kázeň, ale dávať im príležitosť, aby sami premýšľali, sami porovnávali. (K. Čapek) Výchova je vytváranie charakteru. Učiť je možné slovami, vychovávať iba príkladom. Výchova je príklad a láska, nič viac. (T.G. Masaryk) (J. Bruyére) (F.W. Fröbel) Výchova je osvojovanie si umenia ako využívať poznanie. (A.N.Whitehead) Dobrá výchova je najlepší základ, dobrý vychovávateľ je najlepší dobrodinca, najväčší umelec, najväčší učenec. (Fénelon) Základným cieľom výchovy je predovšetkým formovať človeka, oveľa viac je však dynamicky ho viesť k tomu, aby sa formoval sám a aby sa stal človekom. (J. Maritain) Výchova je to, čo zostane v človeku, keď zabudne, čo sa naučil. (O. Skiner) Ak chceš žiaka vychovať vedou, miluj ju, poznaj ju a žiaci si potom zamilujú teba aj vedu a ty ich vychováš. Ak však sám svoju vedu nemiluješ, potom i keď budeš žiakov sebeviac nútiť, aby sa učili, nebude mať veda výchovný vplyv. (L.N. Tolstoj) 6

7 7 Myšlienky o vyučovaní Vyučovanie je medziľudský vzťah a optimálne metódy závisia vždy na osobných vlastnostiach jednotlivcov. (E.E. Moise) Skutočné vyučovanie sa obmedzuje len na žiakov, ktorí trvajú na tom, aby sa niečo naučili. Ostatné sa podobá chovu dobytka. (E. Pound) Vyučovanie je oblasť, v ktorej pravdepodobnosť chýb je dosť vysoká, pričom každá chyba má vážne a dlhodobé následky... Dobré vyučovanie zahŕňa v sebe kaleidoskop rôznych kvalít a vlastností. (P. Hilton) Ak vyučujeme študentov alebo žiakov, tak hlavnou a naprosto nevyhnutnou podmienkou je prianie človeka učiť sa. (P. Kapica) Čo je to dobre učiť? Dávať študujúcemu príležitosť, aby objavoval veci sám, z vlastnej iniciatívy. (G. Polya) Vo vyučovaní sa musíte sústrediť na trvalé nástroje. Študenti potrebujú získať niektoré základné spôsoby myslenia, pružnosť myslenia, stratégiu sebavzdelávania. (A. Engel) Najlepší spôsob ako vyučovať druhých, je prinútiť študentov, aby sa pýtali a tvorili. Nerobte im kázeň povzbuďte ich k činnosti. (P.R. Halmos) Rozumne sa pýtať, znamená vyučovať. (Alcuin z Yorku) Vyučovanie v škole musí byť, aby som sa vyjadril heslom, psychologické a nie systematické. Učiteľ musí byť diplomatom, aby mohol zachytiť záujem chlapca, musí brať ohľad na jeho duševné predpoklady a podarí sa mu to len tak, keď bude podávať učivo názorne a zreteľne. (F. Klein) Vyučovaním sa učíme. (L.A. Seneca) Najdôležitejšie umenie učiteľa je, aby vzbudil radosť z tvorenia a poznávania... Zo školy by ma vychádzať mladý človek ako harmonická osobnosť, nie ako špecialista. (A. Einstein) Prednášať neznamená robiť vedu; to znamená učiť a vychovávať. Nielen učiť vedu, ale učiť učiteľstvo... Učiteľ, ktorý svoju látku miluje a sám si ju neustále pracúva a rozširuje, ktorý svoju náuku považuje za tak krásnu a pre život potrebnú, že poctivo a vyžarujúco sa snaží podať žiakom z nej to najcennejšie a ideovo najvyššie, je dobrý a dokonalý pedagóg. (K. Čapek) Ak nevyučujete s láskou, ale len s nechuťou, bude lepšie, ak opustíte svoje dielo a budete brať almužnu od tých, ktorí pracujú s radosťou. (Chalíl Džibrán) Jediným učiteľom hodným tohto mena je ten, ktorý povzbudzuje ducha slobodného premýšľania a rozvíja cit osobnej zodpovednosti. (J.A. Komenský) 7

8 8 Človek je bytosť mysliaca, so schopnosťou poznania Presné, logické definovanie pojmov je najdôležitejšou podmienkou skutočného poznania. Sokrates Najpozoruhodnejšie na človeku je jeho schopnosť myslieť. Aristoteles Celá ľudská dôstojnosť spočíva v myslení. Snažme sa preto, aby sme mysleli správne; v tom je princíp mravnosti. B. Pascal Pre učeného a vzdelaného človeka znamená žiť toľko ako myslieť. Cicero Číslo je vodcom a pánom ľudského myslenia. Bez jeho sily by všetko ostalo tajuplným a nejasným. Filolaos Žiadnu oblasť ľudského snaženia nemožno vylúčiť z kvantifikujúceho spôsobu myslenia a z tvorby matematických modelov. H.O. Pollak Matematika je nevyhnutná pre rozvoj celého ľudstva tým, že vytvára jeho spôsob myslenia. M. Kac, S.M. Ulam Cieľom matematiky je skúmanie tajomstiev myslenia; tvorba pojmov je len prostriedkom. A. Rényi Matematické myslenie je jednou zo schopností, ktoré majú všetky ľudské bytosti, rovnako ako schopnosť hovoriť a písať, počúvať alebo skladať hudbu, dívať sa a maľovať obrazy, veriť v kultúrne a morálne kódexy a podriaďovať sa im. J.P. Aubin Štúdium matematiky nevyhnutne vedie k zamysleniu sa o podstate, možnostiach a hraniciach poznania vôbec. T. Šalát Podstatou matematického myslenia je schopnosť vedomého zdôvodňovania a schopnosť vzťahového uvažovania orientovaného na narastajúcu abstrakciu. M. Hejný V matematike sa realita prejavuje vo svojej podstatnej funkcii: podnecovať myslenie. G. Bachelard Myslenie je vždy výnimkou zo všeobecne platného pravidla, ktorým je nemyslenie. P. Valéry Ak sme si v niečom neistí, to znamená, že myslíme. G. Greene Vesmír sa nám začína javiť skôr ako veľká myšlienka než ako veľký stroj. J.H. Jeans 8

9 9 Svet čísiel Číslo je podstatou všetkých vecí a celého kozmu. (Pytagoras) Všetko čo sa dá poznať, má číslo, lebo bez neho nie je možné niečo si myslieť alebo poznať... Číslo je vodcom a pánom ľudského myslenia. Bez jeho sily by všetko zostalo tajuplným a nejasným. (Filolaos z Krotonu) Keď sa naše myslenie dvíha od nás k Bohu, prvá dokonalá nemateriálnosť, s ktorou sa stretáva, sú čísla. (Macrobius) Dokonalé čísla sú krásne a krásne veci bývajú zriedkavé. (Nikomachos z Gerasy) Všetko má tvary, pretože všetko má čísla. Odober im čísla a budú ničím... Všetko je na svojom mieste vďaka číslam... Všetko sa deje v pravý čas vďaka číslam. (Aurelius Augustinus) Odober z vecí číslo a všetko sa zrúti do ničoty, ak ulúpiš vekom číslo do temnoty uvrhneš všetko... Od zvieraťa sa nelíši, kto nevie ako sa počíta. (Isidorus zo Sevilly) Prirodzené čísla nám dal sám dobrotivý pán Boh, všetko ostatné je dielom človeka. (L. Kronecker) Viem, že čísla sú krásne. A ak krásne nie sú, tak nie je krásne nič. (P. Erdös) Číslo je nástrojom nášho prenikania do prírody a skutočnosti. Príroda ako celok a so svojimi špeciálnymi oblasťami je - číslo a harmónia. (E. Cassirer) Ak to, o čom hovoríte, môžete zmerať a vyjadriť číslami, tak o tom niečo viete. (W. Thomson Kelvin) Číslo je proces, ktorý bol zvecnený pred dlhou dobou tak dôkladne, že o ňom každý uvažuje ako o veci... Číslo je iba jednou z nepreberného množstva matematických kvalít, ktoré nám pomáhajú pochopiť a popísať prírodu... Reálne čísla sú jednou z najodvážnejších idealizácií, ktoré kedy uskutočnila ľudská myseľ. (I. Stewart) 9

10 10 Čo je (pre nás) matematika? (niekoľko ľudských definícií matematiky) Matematika je široká nádherná krajina, otvorená pre všetkých, ktorým myslenie prináša skutočnú radosť. W. Fuchs Matematika je skvelý prostriedok pre objavenie práv, ktoré sú bez účasti rozumu nedostupné... Matematika je veda, ktorá študuje čísla, veličiny, geometrické útvary. Platón Matematika je gymnastika rozumu a príprava pre filozofiu. Isokrates Matematika je najväčšia potecha rozumu. Jej je treba dať prednosť pred ostatnými ľudskými bádaniami a vedami. Leonardo da Vinci Matematika je sila ľudského ducha povolaní nahradiť nám nedokonalosť našich zmyslov i krátky čas nášho života. J. Fourier Matematika je ľudská činnosť odrážajúca spôsob ľudského myslenia... Matematika je súčasťou všeobecnej vedeckej kultúry... Matematika je integrovaný myšlienkový celok a každá jej časť je potenciálne užitočná pre hociktorú inú časť. M. Atiyah Matematika je umenie vyhýbať sa výpočtom. R. Macmillan Matematika je zároveň umenie i veda, je to eklektická zmes úžitku a tvorby, empirizmu a intuície. J. Ewing Matematika je viac než veda to je jazyk. Matematika je jednou z hlavných zložiek našej kultúry. N. Bohr A. Shenitzer Matematika je veda o nekonečne. Jej cieľom je, aby človek, ktorý je konečný, vystihol nekonečno pomocou znakov. H. Weyl Matematika je každá veda, ktorá sa zaoberá výhradne logickými vzťahmi medzi danými predmetmi podľa daných pravidiel... Matematika je produkt ľudského mozgu, nezávislý na skúsenosti, ale aj tak nádherne zodpovedajúci reálnemu svetu... Matematika je prostriedok na vyjadrenie zákonov, ktoré vládnu javom... Matematika je jediná dokonalá metóda, ako vodiť sám seba za nos. A. Einstein Matematika je veda, ktorá študuje priestorové formy a kvantitatívne vzťahy skutočného sveta. F. Engels 10

11 11 Matematika je jazyk prírody. J. Gibbs Matematika je skúmanie logických implikácií a skutočný svet sa zdá byť v tomto smere logický. H.A.Hauptman Matematika je veda, ktorá študuje priestorové formy a kvantitatívne vzťahy reálneho sveta v najvyššej abstrakcii, v najvšeobecnejšom význame týchto slov. A. N. Kolmogorov Matematika je veda poriadku... Matematika je jazyk, v ktorom vyjadrujeme svoje vysvetlenia; matematika je prostriedok, ktorý nám umožňuje vysvetliť jednu skupinu faktov pomocou inej. S. Weinberg Matematika je jednou z hlavných zložiek našej kultúry. A. Shenitzer Matematika je pojednanie o operáciách, nezávisle na tom, na ktoré predmety ich možno aplikovať. G. Boole Matematika je veda, ktorá nielen ukazuje v každom jave vzájomné vzťahy, ale určuje aj príčiny, od ktorých závisia v samej podstate veci... Matematika je kľúč ku všetkým ľudským vedomostiam. L. Euler Matematika je orgán vnútorného vyššieho zmyslu. Ak sa používa, stáva sa umením ako výrečnosť. J. W. Goethe Matematika je veda o tvaroch a počte. Matematický um je logikou v dôraznom pozorovaní foriem množstva. E. A. Poe Matematika je monumentálna stavba, postavená ľudskou predstavivosťou pre pochopenie vesmíru. V nej sa stretneme s okolitým a nekonečným, uchvacujúcim a nevystihnuteľným. L. Corbusier Matematika je univerzálny symbolický jazyk, ktorý sa nezaoberá opisom vecí, ale všeobecným vyjadrovaním vzťahov... Matematika je sprostredkujúca sféra medzi zmyslovým a nadzmyslovým svetom. E. Cassirer Matematika je veda o vzoroch a príroda využíva takmer každý vzor, ktorý je k dispozícii... Matematika je (viac menej) systematický spôsob objavovania pravidiel a štruktúr, ktoré sa skrývajú za nejakým pozorovaným vzorom alebo pravidelnosťou... Matematika je akýsi stroj na zmocňovanie sa významných faktov a na generovanie významných dôsledkov. I. Stewart Matematika je skúmanie rozdielnosti v podobnom a podobnosti v rozdielnom. J. Sylvester Matematika je klasifikácia a štúdium všetkých možných zákonitostí. W. Sawyer 11

12 12 Matematika je nástroj pre usudzovanie. V nej sú sústredené výsledky exaktného myslenia mnohých ľudí. A. Feynman Matematika je symbolický univerzálny jazyk, umožňujúci popis rôzneho obsahu, vyjadrujúci presné a jasné myslenie, smerujúce k riešeniu najrozličnejších problémov. Ž. Krygovská Matematika je mikrosvet sám pre seba; má však tiež schopnosť odrážať a modelovať procesy myslenia a možno aj celú vedu. M. Kac, S.M. Ulam Matematika je najohromnejšia metafora akú si vôbec dokážeme predstaviť... Najvyššie poslanie matematiky spočíva v tom, aby nachádzala skrytý poriadok v chaose, ktorý nás obklopuje. N. Wiener Matematika je napínavé a krásne dobrodružstvo ľudského umu. Do svojich tajomstiev dovoľuje nazrieť iba tým, ktorí sa k nej približujú nadšení jej krásou a naplnení čistou túžbou po poznaní... Matematika je mapa skutočného sveta. Zaoberať sa matematikou vlastne znamená, v zrkadle nášho myslenia pozorovať a študovať svet, v ktorom žijeme. A. Rényi Matematika je kráľovná všetkých vied. Jej milencom je pravda, prostota i priezračnosť sú jej odevom. J. Sniadecki Matematika je najkrajší a najmohutnejší výtvor ľudského ducha. Matematika je učiteľka presného a poctivého myslenia. S. Banach B. Bydžovský Matematika je prostriedok špeciálne prispôsobený na osvojenie si rôznych abstraktných pojmov a čo sa toho týka, jej moc je neohraničená. P. Dirac Matematika je klbko vlny, motanica nití, kde všetky časti matematiky pôsobia navzájom na seba celkom nepredvídateľným spôsobom. J.A. Dieudonné Matematika je veda, ktorej predmet je daný myslením... Matematika je jazyk, do ktorého je ustanovená logika prekvapujúco zladená s logikou reality... Matematika je najviac sformalizovaná sféra ľudského poznania. J.D. Barrow Matematika je to, za pomoci čoho ľudia riadia prírodu i seba. Matematika je metóda pre poznanie sveta. Matematika je odtlačok ducha života do ľudského vedomia. A.M. Kolmogorov A. Lasota C. Bragdon 12

13 13 Matematika je nerozlučná jednota obsahu a formy, indukcie a dedukcie, názornosti i abstraktného myslenia. E. Brieskorn Matematika je veda najprísnejšej pravdy, neochvejných zákonov v tvaroch a prírode. Jej kroky šli vždy iste a pevne vpred, nikdy naspäť. H. Suter Matematika je veľké dobrodružstvo v myslení. V jej dejinách sa odzrkadľujú mnohé z najhlbších myšlienok nespočetných generácií ľudstva. D.J. Struik Matematika je umenie dávať rôznym veciam jedno a to isté meno... Matematika je, ak chceme naznačiť krátkym a výrazným slovom jej podstatu, veda pre nekonečno. H. Poincaré Matematika je veda, ktorá dáva najlepšiu príležitosť pozorovať proces myslenia a má tu prednosť, že pri jej pestovaní nadobúdame cvik v metóde rozumového uvažovania, ktoré môže byť potom používané na štúdium ktoréhokoľvek predmetu. G. Polya Matematika je učenie o vzťahoch medzi vzorcami zbavenými akéhokoľvek obsahu... Matematika je základom každej presnej prírodnej vedy. D. Hilbert Matematika je ideál a norma každého usilovného myslenia. Matematika je niečo, čo vyvoláva nadšenie. G.S. Hall F. Hausdorff Matematika je istý druh duševného športu. Matematika nie je ilustrovaný časopis, ktorý možno začať čítať na ktorejkoľvek strane. Š. Schwarz Matematika je symfónia, v ktorej písané noty predstavujú aspekt algoritmický a hudba citlivo podľa nôt zahraná, aspekt ontologický. J. Siebenthal Matematika je súhrn formálnych teórií (systémov formálnych dedukcií) rozvíjaných podľa dostatočne presne určených pravidiel... Matematika je veda pre formy i vzťahy v abstrakcii od ich obsahu. A.D. Alexandrov Matematika je jazyk, ktorým hovoria všetky presné vedy. N.I. Lobačevskij Matematika je veda pre kvantitatívne vzájomné vzťahy a priestorové formy skutočného sveta. B.V. Gnedenko Matematika je vyššou filozofickou vedou, vedou veľkých básnikov. Matematika je veda pre súvislosť veličín. M.N. Ostrogradskij H.G. Grassmann 13

14 14 Matematika je pracovná metóda učiť sa uvažovať, učiť sa myslieť. M. Hejný Matematika je abstraktná veda, jej predmetom nie sú samostatné veci a javy reálneho sveta, ale iba z nich abstrahované kvantitatívne vzťahy a priestorové formy. A.J. Chinčin Matematika je v podstate jediná vedná disciplína, ktorá striktne pracuje pomocou dedukcie... Matematika je abstraktná disciplína, ktorá učí človeka myslieť iným spôsobom, ako sa myslí bežne. L. Bukovský Matematika je doktrína, v ktorej nie je známe o čom sa hovorí a či je pravdivé, čo sa hovorí. B. Russell Matematika je veda o nekonečne, jej cieľom je, aby človek, ktorý je konečný, vystihol nekonečno pomocou znakov. H. Weyl Matematika je pátranie po štruktúrach a pravidelnostiach, ktoré usporadúvajú a zjednodušujú svet... Matematika je nezávislou disciplínou pre svoju presnosť a vnútornú krásu a súčasne bohatým zdrojom nástrojov pre svet aplikácií. P.A. Griffith Matematika je sila abstrakcie, ktorá umožnila ľudstvu vyrásť nad nižšie tvory. J.G. Kemeny Matematika je skúmanie najvšeobecnejších možných štruktúr, nech sú už dané priestorovo, časovo alebo dokonca len čisto pojmovo. C.F. Weizsäcker Matematika je rozvíjanie všetkých druhov formálnych, pre myslenie nevyhnutných deduktívnych spôsobov usudzovania.. Matematika je veda o najzložitejších abstrakciách, k akým môže ľudský um dospieť. A.N. Whitehead Matematika je podivuhodná kultúra myslenia a abstraktný jazyk, umožňujúci jednotne popísať aj veľmi rozdielne procesy. N.N. Moisejev Matematika je najčistejší a bezprostredný zážitok pravdy; v tom je jej hodnota pre všeobecné vzdelanie. M. Laue Matematika je veda, ktorá pojednáva o všeobecných zákonitostiach (formách), podľa ktorých sa veci musia riadiť vo svojom bytí. B. Bolzano Matematika je všeobecná reč: jazyk symbolov, technických definícií, výpočtov a logiky... Matematika je potešenie spočívajúce v nachádzaní spôsobov myslenia, ktoré vysvetľujú, organizujú, zjednodušujú. W.P. Thurston Matematika je symbolizácia. W. Servais 14

15 15 Matematika je skôr určité pôsobenie ako veda. L. Brouwer Matematika je idea, ktorá vznikla z potreby rozumu vybudovať model sveta, ktorý nás obklopuje. R. Thom Matematika je štúdium ideálnych konštrukcií a odhalenie predtým neznámych vzťahov medzi časťami týchto konštrukcií... Matematika skúma, čo je a čo nie je logický možné bez toho, aby zodpovedala za jeho aktuálnu existenciu... Matematika má dočinenia so všetkými ostatnými vedami. Nejestvuje veda, na ktorú by sa nevzťahovali aplikácie matematiky. Ch.S. Peirce Matematika je najmohutnejšia a najvznešenejšia veda, ktorá odkrýva ľudstvu cestu k poznaniu zákonov prírody. S.V. Kovalevská Matematika je oblasť ľudskej činnosti, v ktorej každá nová etapa vývoja prináša so sebou najprevratnejšie, no pritom najmenej deštruktívne, zmeny. J.V. Grabinerová Matematika je najmocnejší intelektuálny nástroj, ktorý bol kedy vytvorený a prostredníctvom ktorého unikáme času. L. Kolakowski Matematika je abstraktný kľúč na otváranie tajomstva skutočného vesmíru. J. Polkinghorne Matematika je najvyšší výkon človeka v oblasti abstrakcie voči svojej vnútornej (citovej) a vonkajšej prírodnej určenosti... Matematika je medzisvet rozumu, ktorý vybudovali ľudia medzi prírodou (vecami) a človekom. P. Heintel Matematika je nikdy neukončená tvorba, ktorá nemusí ospravedlňovať svoju existenciu dôležitosťou a rozširujúcim sa počtom svojich aplikácií. Matematika môže poskytovať kľúč k pochopeniu celého vesmíru v snahe zjednocovať všetko ľudské myslenie od prírodných vied až po filozofiu. Ch. Ehresmann Na otázku Čo je matematika? nemôžeme dať dôkladnú odpoveď iba na základe filozofických zovšeobecnení, sémantických označení alebo za pomoci novinárskeho slovníka, tak isto, ako nemožno dať všeobecné označenie hudbe alebo maliarstvu. Nikto neohodnotí tieto druhy umenia, ak nechápe čo je rytmus, harmónia, súlad v hudbe alebo forma, farba a kompozícia v maliarstve. Pre pochopenie podstaty matematiky je nevyhnutné ešte vo väčšej miere ozajstné zahĺbenie sa do skladby jej prvkov. R. Courant Matematika je... 15

16 16 Vyučovanie matematiky Jedným z hlavných cieľov vyučovania matematiky musí byť: ukázať tým, čo sa jej chcú venovať, radosť z poznania a vychovať ich k disciplinovanému logickému mysleniu a ku koncentrovanej duševnej činnosti, bez ktorej v matematike nikto nemôže mať úspech. A. Rényi Myslím, že vyučovanie matematiky, tak ako každé vyučovanie, by sa malo riadiť aspoň touto zásadou: V nadväznosti na prirodzenú túžbu mládeže by ju malo viesť pomaly k vyšším poznatkom a nakoniec k abstraktným formuláciám po tej istej ceste, po ktorej sa ľudstvo vyšvihlo z pôvodného stavu naivity k vyššiemu poznaniu. F. Klein Dnešný svet je stále zložitejší a ku vzdelaniu patrí aj prísun stále rastúceho množstva informácií pre ľudí, ktorí nie sú dnes o nič duševne schopnejší ako boli voľakedy. Jediné riešenie je ohraničiť súbor zdanlivo nesúvisiacich informácií tým, že sa myšlienky združia a usporiadajú abstraktnejšími smermi. To je základný dôvod, prečo sa musí školská matematika postaviť dnes na abstraktnejší základ, ako bolo predtým zvykom. D. B. Scott Súčasná doba je jednou z mála príležitostí v histórii vyučovania matematiky, kedy prebieha revolúcia zasahujúca nielen vyššie, ale aj elementárne partie školskej matematiky. Elementárne základy matematiky sa zmenili, zatiaľ čo sa prv dotýkali a museli sa dotýkať iba čísel, teraz ide o štruktúry. Číslo je stále dôležité, pretože číselné obory tvoria zaujímavé štruktúry a tie možno využiť na popis rozmanitých štruktúr vo svete, ktorý nás obklopuje. Ale číslo už nie je všetkým a nie je už tým, čím by malo vyučovanie matematiky začínať. T. J. Fletcher Úloha spočíva v tom, aby sa už v škole presvedčivo ukázalo, že moderná matematika umožňuje zostrojovať matematické modely reálnych situácií a procesov skúmaných v aplikáciách nielen nie horšie, ale logickejšie a jednoduchšie ako tradičná. A. N. Kolmogorov Hlavným cieľom vyučovania matematiky je rozvinúť určité rozumové schopnosti, medzi nimi nie je najmenej významnou intuícia. H. Poincaré Matematika je v svojej podstate abstraktná. Sila abstrakcie umožnila ľudstvu vyrásť nad nižšie tvory. Schopnosť abstrakcie by sme mali v študentoch rozvíjať čo najskôr. J. G. Kemeny Medzi úsilím študenta, ktorý hľadá riešenie geometrickej úlohy a úsilím génia... je rozdiel iba v miere! J. Hadamard Všeličo sa človek naučí v staršom veku, ale matematika sa nedá doháňať. Je to ako hudobné umenie žiak si cez ňu osvojuje určitú kultúru myslenia. M. Kolibiar Aktívne metódy, ktoré uľahčujú učenie žiakom, neprenikli do vyučovania matematiky, pretože sú ťažké a namáhavé pre učiteľa. Ak nebude vyriešený problém prípravy učiteľov, môžu veľké reformné myšlienky vyvolať úpadok školskej matematiky. Ž. Krygovská 16

17 17 Výklad matematickej teórie nazývame genetický, ak sa zakladá na prirodzenom poznávacom procese pri vytváraní a použití matematiky. Pritom sa vychádza z riešenia problémov a zjemňujú sa primitívne prvotvary. E. Wittmann V procese ľudského poznania majú závažnú úlohu pojmy model a interpretácia. Pojmy model skutočnosti a interpretácia teórie sú formy odrazu objektívnej reality, ktoré umožňujú plniť dôležitú funkciu vedy totiž slúžiť človeku na predpovedanie a tiež sú výrazom aktivity človeka v procese poznania. Vyučovanie matematiky by malo byť podľa môjho názoru predovšetkým štúdiom modelov objektívnej reality. F. Kuřina Hlavným cieľom modernizácie vyučovania matematiky by malo byť nájdenie zjednocujúceho princípu v jej vyučovaní použitím všetkých úspechov a výsledkov, ktoré matematika ako veda v poslednej dobe docielila, a tým dosiahnutie možnosti rozšírenia a prehĺbenia učiva matematiky s cieľom väčšieho spoločenského uplatnenia tejto dôležitej vedy. V. Knichal Jedným z cieľov modernizácie vyučovania matematiky by malo byť vytvorenie čo najrozmanitejších predstáv žiakov o matematických štruktúrach, s ktorými sa majú hlbšie zoznámiť. Vďaka tomu si žiaci budú môcť uvedomiť, že moderná matematiky je spojená s realitou mnohostrannejšie než tradičná matematika, a že poskytuje viac prostriedkov na jej štúdium a ovládnutie. J. Šedivý Úspešnosť našej práce závisí predovšetkým od toho, či poznáme zákonitosti, ako vzniká a rastie proces učenia sa myslieť, či poznáme spôsoby, ako takýto proces môžeme u žiakov navodiť. Učiteľ matematiky potrebuje poznať zákonitosti, ktorými sa riadi genéza matematického myslenia, potrebuje vedieť ako tento proces v žiakoch navodiť. Pri vyučovaní matematiky sa nestačí opierať o štruktúru matematickú. Vyučovanie každej témy je potrebné oprieť o znalosti genézy (ontogenézy i fylogenézy) myšlienok, ktoré sú témou reprezentované. Kostrou tejto genézy je schéma piatich etáp: stimulácia, etapa jednotlivých skúseností, etapa univerzálnych modelov, abstrakčný zdvih, kryštalizácia poznatku v poznatkovej štruktúre. M. Hejný Ohľad na psychologické faktory pri riešení logických a iných problémov vyučovania matematiky neznamená iba prispôsobovanie vyučovania psychológii dieťaťa v danom veku, ale vyžaduje takú metodiku, ktorá by viedla k maximálnemu možnému rozvoju žiakov v danej etape, k urýchleniu ich prechodu na vyššiu úroveň. A. A. Stoljar Matematiku treba považovať za jednu zo základných prostriedkov odrazu javov reálneho sveta v ľudskom vedomí, ktorý umožňuje nielen popisovať ich minulé stavy, ale aj predvídať budúci vývoj. Schopnosť abstrakcie je sila a nie slabosť matematiky. Záleží na učiteľoch matematiky ako úspešne a systematicky poznajú mladí ľudia potrebu a silu matematických teórií pre poznanie, pre život. V. Sýkora Problém výučby možno vyriešiť len vtedy, keď si uvedomíme, že najlepšie vyučovanie je také, v ktorom existuje priamy, osobný vzťah medzi študentom a dobrým učiteľom vtedy študent posudzuje názory, rozmýšľa o veciach, diskutuje o problémoch. R. P. Feynman 17

18 18 Hlboké zaujatie, učiteľova láska k predmetu vychováva lepšie než akákoľvek informácia, ktorú podáva. Keď študenti počúvajú nadšenca, získajú viac ako zo styku s akýmkoľvek učencom: veľký príklad nezištnej lásky. E. S. Ventcelová Život je krajší, ak sa zaoberáme matematikou a ak ju vyučujeme. M. Euwe 18

19 19 Jednou vetou Kto podceňuje výsledky matematiky, škodí celej vede, lebo ten, kto nepozná matematiku, nemôže poznať ostatné exaktné vedy a nemôže pochopiť svet. (R. Bacon) Pokrok a zdokonalenie matematiky súvisí s prosperitou štátu. (Napoleon Bonaparte) Ľudia, ktorí si osvojili princípy matematiky, majú o jeden zmysel viac než obyčajní smrteľníci. (Ch. Darwin) Každá veda, ktorá má byť od základu rozpracovaná, potrebuje využívať vyššiu matematiku. (L. Euler) Kultúrna úroveň určitej krajiny sa dnes posudzuje podľa priemernej matematickej úrovne jej obyvateľov. (A. Lichnerowitz) Hlboké štúdium prírody je najplodnejším prameňom matematických objavov. (J. Fourier) Kritéria rozumnej matematickej krásy postupne prenikajú do všetkých oblastí. (G. Naan) Vedecky učiť to znamená iba priviesť človeka k tomu, aby vedecky myslel. (F. Klein) Meranie veličín je základný bod celého uplatnenia matematiky. (H. L. Lebesgue) Nie je paradoxom povedať, že pri svojich najabstraktnejších teoretických konštrukciách sa približujeme najbližšie k najviac praktickým aplikáciám. (A.N. Whitehead) Tvoriví matematici sú výrobcami, učitelia sú distribútormi. (G. Papy) Zo základ matematiky môžu byť prijaté všetky pojmy získané z prírody. (N.I. Lobačevskij) Hybnou silou matematickej tvorivosti nie je usudzovanie, ale predstavivosť. (A. Morgan) Je nemožné prehlbovať záujem o akúkoľvek presnú vedu nepoznajúc jej matematiku. (J. C. Maxwell) Umenie je najvyšší výraz akejsi vnútornej a neuvedomenej aritmetiky. (G. W. Leibniz) Geometria je akýmsi koníčkom, ktorého nám dala príroda, aby nás potešoval a zabával v temnotách. (J. d Alembert) Kresba je geometriou zraku, hudba je geometriou sluchu. (M. J. Condorcet) Matematická tvorivosť a matematický rozum nemôže byť v nepomere so všeobecnou tvorivosťou a rozumom vôbec. (J. S. Hadamard) Matematická tvorivosť spočíva buď v tom, že si uvedomíme, že na riešený problém je možné použiť už existujúci formalizmus, alebo v tom, že vymyslíme nový. (M. Kac, S. M. Ulam) Rozvoj matematiky sa uskutočňuje aj intuíciou, jednoducho povedané inšpiráciou, vtipom a nielen počítaním podľa určitých známych pravidiel. (J. B. Zeľdovič) Ani jeden veľký objav sa nezrodil bez smelého odhadu. (I. Newton) 19

20 20 Nie je nič praktickejšie ako dobrá teória. (L. E. Boltzman) Dôležité nie je víťazstvo, ale boj o poznanie. (N. Wiener) Jediným cieľom každej vedy je česť ľudského ducha a z toho hľadiska problémy teórie čísel majú rovnakú cenu ako otázka systému sveta. (C. G. Jacobi) Počty a merba vedú k rozumovému poznávaniu, k pravde a lepšiemu pochopeniu všetkých náuk. (Platón) Pre rozvoj matematickej kultúry nie je dôležité množstvo poznaných faktov, ale ich správne pochopenie. (Z. Semadeni) Som presvedčený, že čisto matematická konštrukcia umožní nájsť pojmy a tie zákonité vzťahy medzi nimi, ktoré vydajú kľúč k porozumeniu prírodných javov. (A. Einstein) Matematické abstrakcie nám uľahčujú poznávanie vnímaných predmetov, sú však užitočné potiaľ, pokiaľ sa neobmedzujeme len na ne. (J. d Alembert) Chcel by som vysloviť predpoveď, že čím viac záhad prírody rozriešime, tým viac odvetví matematiky budeme nútení používať. (F. Bacon) Tých, čo odhaľujú vedecké pravdy, možno porovnať s boháčmi, ktorí tým rýchlejšie bohatnú, čím sú bohatší. (R. Descartes) Pravdepodobnosť je upresnené všeobecné cítenie. (P. S. Laplace) Prirodzené čísla nám dal sám dobrotivý Pán Boh, všetko ostatné je dielom človeka. (L. Kronecker) Predmet matematiky je tak vážny, že by sa nemalo zabúdať na žiadnu príležitosť, ako ho urobiť trochu zaujímavým. (B. Pascal) Omnoho viac ako šírenie užitočných právd sa musíme usilovať o to, aby sa cvičením u ľudí rozvinula schopnosť úsudku. (B. Bolzano) Niet inej rozumnej výchovy ako byť príkladom: ak inak nemožno, tak odstrašujúcim. (A. Einstein) Boh je matematik. (P. Dirac) Krása matematiky je v tom, nachádzať pravdu bez ťažkostí. (G. Polya) Matematika sa nevnucuje, ale svet sa úplne nenásilne a zákonite matematizuje. (J. Vyšín) V matematike nezáleží tak na výsledku, ako na ceste, po ktorej sa k nemu došlo. (B. Russell) Prinútiť človeka premýšľať, to znamená urobiť pre neho viac, než vybaviť ho určitým počtom inštrukcií. (Ch. Babbage) 20

21 21 K srdciam učiteľov matematiky Vyučovanie v škole musí byť, aby som sa vyjadril heslom, psychologické a nie systematické. Učiteľ musí byť trochu diplomatom, aby mohol zachytiť záujem chlapca, musí brať ohľad na jeho duševné predpoklady a podarí sa mu to len tak, keď bude podávať učivo názorne a zreteľne. Až v najvyšších triedach možno podávať učivo aj abstraktne. F. Klein Treba viesť žiakov tak, aby sa riadili pravidlom: Mnoho toho neviem, ale to, čo viem, viem dobre. E. Čech Bolo by pekné, keby bolo možné naučiť žiakov všetko, čo je užitočné, aj všetko, čo ozdobuje človeka, ale umenie je dlhé a čas krátky. Preto je potrebné, aby žiaci študovali to, čo je pravdepodobne najužitočnejšie a najozdobnejšie. B. Franklin Pri vyučovaní dávajte prednosť najobecnejším metódam. Prinúťte sa k tomu, aby ste ich vysvetlili čo najjednoduchším spôsobom a hneď uvidíte, že sú skoro vždy najľahšie. P. Laplace Každý učiteľ by sa mal zaoberať výskumom a mal by v tom mať prax, aby mohol učiť iných v bádateľskom prístupe. Hovorím, že každý, kto učí, dokonca i keď učí len stredoškolskú algebru, by bol lepším učiteľom, keby premýšľal o dôsledkoch, ktoré má jeho predmet mimo tento predmet, keby čítal o súvislostiach svojho predmetu s inými predmetmi, keby sa snažil vytvoriť úlohy, ktoré takéto dôsledky a súvislosti naznačujú keby, inými slovami, sa zaoberal výskumom v stredoškolskej algebra a okolo nej. To je jediná cesta, ako si sám v sebe udržať pri živote bádateľský prístup človeka, ktorý kladie otázky a tým byť aj schopným ich odovzdávať ďalším... Najlepší spôsob ako vyučovať druhých, je prinútiť študentov, aby sa pýtali a tvorili. Nerobte im kázeň povzbuďte ich k činnosti. P. R. Halmos Chcem požiadať matematickú verejnosť, aby zvýšila svoje pedagogické úsilie, nie vytváraním nových komisií expertov, ale zvýšením osobného úsilia. Nech si každý zoberie zodpovednosť za to, aby vyučoval s väčšou vitalitou. Ako učitelia máme mimoriadne dôležitú úlohu, aby sme odovzdali mládeži niektoré z intelektuálnych hodnôt civilizovaného ľudstva. Našou úlohou je inšpirovať študentov, aby na základe svojich schopností dosiahli čo najvyššej odbornej i ľudskej úrovne. G. Piranian Skutočnosť má byť soľou školského učenia matematiky. Ak musia byť matematické poznatky abstraktné, nech sú naozaj abstrahované zo skutočnosti a naviac, nech sú abstrahované samotným žiakom. Týmto spôsobom žiak pozná, ako tieto poznatky chutia, a začne pociťovať radosť z matematickej činnosti. W. Okoń Nepýtajte sa nikdy, koľko matematiky sa môže dieťa naučiť. Pýtajte sa radšej, v akej miere môže matematika vo vzdelaní dieťaťa prispieť k jeho ľudskej dôstojnosti. H. Freudenthal 21

22 22 O vyučovaní (nielen, ale aj matematiky) Vyučovanie sa nesmie vzďaľovať od toho, čím nás oslovujú naše zmysly. Umenie vysvetliť vec tak, aby bola pochopiteľná, je veľmi ťažké. Človek sa formuje na základe vzorov od dobrého učiteľa, dobrý žiak. Škola musí byť schopná poskytnúť odlišným typom detí odlišný prístup. Gustave Choquet ( ) francúzsky matematik (Pokroky MFA 37/1992) Najdôležitejšia je vlastná aktivita žiakov. Človek sa nenaučí robiť matematiku počúvaním precíznych výkladov na vyučovacích hodinách, ale samostatnou prácou s matematickými pojmami. Čítať je veľmi dôležité. Nielen počúvať prednášky, ale aj sám čítať články aj knihy. Matematici by mali sprístupňovať svoje rozvinuté inšpirácie a vedieť písať matematiku pre ľudské bytosti. 22

23 23 V silovom poli medzi etikou a matematikou Je už pokročilá doba a voľba medzi dobrom a zlom búcha na naše dvere. N. Wiener Veda sama o sebe objavuje mravné hodnoty, učí nás predovšetkým pravdivosti a bázni. M. Planck Je lepšie byť slepý k zaujatosti a pohotový pri postrehnutí dobre vôle. M. Faraday Morálne vlastnosti znamenitého človeka majú pravdepodobné väčší význam pre jeho pokolenie i historický proces ako čisto intelektuálne výsledky. Tieto posledné sami závisia od veľkosti ducha, veľkosti, ktorá obyčajne zostane neznámou... Čo má robiť každý človek? Má byť príkladom čistoty a mať odvahu seriózne si zachovať mravné presvedčenie v spoločnosti cynikov...len živor, ktorý žijeme pre ostatných, stojí za to. A. Einstein Ľudstvo sa skôr či neskôr vzchopí, vymaní sa spod nadvlády techniky, prestane sa vystatovať svojou všemohúcnosťou a obráti sa k skutočne cenným, rozumným a potrebným veciam k mieru, láske, miernosti, úcte, vyrovnanosti s vlastným osudom, k veľkému umeniu a skutočnej vede. M. Born Základným motívom môjho života je vytvoriť niečo užitočné pre ľudí, neprežiť život zbytočne, pomôcť ľuďom i keď len málo vpred. K. E. Ciolkovskij Matematika učí ako možno žiadny iný predmet, hľadať pre každé tvrdenie dôvod a nedôverovať výrokom nepotvrdeným a je preto dobrou školou kritikov. Matematika vedie k triezvemu, ale pravdivému životu. B. Bydžovský Človek je zlomok. Čitateľ zlomku vyjadruje hodnotu človeka v očiach druhých ľudí, menovateľ je určený vlastným sebahodnotením. Človek nemôže zvýšiť hodnotu čitateľa, ale každý môže zmenšiť svojho menovateľa a tým sa priblížiť k dokonalosti. L. N. Tolstoj Učenosť bez matematiky, bez cností, je kvet bez sadu. J. A. Komenský Práca pri osvojovaní si matematických vedomostí určite vychováva v žiakovi mnoho čŕt, ktoré majú výrazné morálne zafarbenie a sú schopné v budúcnosti stať sa dôležitými znakmi jeho morálneho profilu. A. J. Chinčin Z matematiky môže vzísť iba dobro, ak bude jej štúdium spojené so zábavou, s voľnou hrou predstavivosti a schopnosti pre fantáziu. P. Hilton Necharakterný človek, čím je múdrejší a rozumnejší, tým viac škodí kolektívu a tým je škodlivejší štátu. J. Hronec 23

24 24 Pravé dobro musí byť také, aby ho bez ujmy a bez závisti mohli vlastniť všetci naraz a aby oň nikto proti svojej vôli nesmel prísť. B. Pascal Všeobecnosť matematiky je najúplnejšou všeobecnosťou, zhodnou so spoločenstvom udalostí, ktoré konštituuje našu metafyzickú situáciu... Originalita matematiky spočíva v tom, že v matematickej vede sú vyjadrené vzťahy medzí vecami, ktoré sa bez sprostredkovania ľudským rozumom nedajú vôbec postihnúť. A. N. Whitehead Žiadne ľudské bádanie si nemôže robiť nároky na to, že je skutočnou vedou, ak nepoužíva matematické dôkazy, nie je žiadna istota tam, kde nemožno aplikovať aspoň jednu z matematických disciplín. Leonardo da Vinci Posadnutosť matematikou je posvätným šialenstvom ľudského ducha, útočisko pred naliehavými požiadavkami každodenného diania. A. N. Whitehead Pri popise fungovania reality má nesporný úspech matematika a schopnosť ľudského ducha objavovať a vynachádzať matematické pravdy... Svet vyjadriteľný matematikou môžeme považovať za záhadu záhad... Je matematika vynájdená, alebo objavená stránka vesmíru? J. D. Barrow Najcharakteristickejšou črtou matematiky je jej zvláštny vzťah k prírodným vedám alebo všeobecne k akejkoľvek vede, ktorá interpretuje skutočnosť na vyššej ako čisto popisnej úrovni. J. von Neumann Tajomstvo a sláva matematiky nie je ani tak v tom, že sa abstraktné teórie ukazujú ako užitočné pri riešení problémov, ale v tom, že teória pripravená pre jeden typ problémov je často jedinou cestou pre riešenie problémov úplne iného druhu, problémov, pre ktoré táto teória nebola vymyslená. Gian Carlo Rota Jednou z pozoruhodných vecí na javoch nášho sveta je, s akou neobyčajnou presnosťou vládnu matematické zákony. R. Penrose Čo ma naozaj zaujíma, je to, či mal Boh nejakú alternatívu, keď stvoril svet. A. Einstein Kým sa zem rúti ďalej, napriek všemožnému ľudskému špekulovaniu, uprostred meniacich sa škôl, teológií, filozofií, uprostred starého i nového vrieskajúceho divadla sveta, jej mlčanlivé základné zákony, fakty a spôsoby zostávajú. W. Whitman Jednoduchosť a krása, ktoré nachádzame v pravidlách, ktorými sa riadi hmota, odzrkadľujú niečo, čo je vstavané do logickej štruktúry vesmíru na veľmi hlbokej úrovni. S. Weinberg Neexistuje žiadna možnosť redukovať všetky zákony na jeden zákon... žiadny a priori spôsob, ako vylúčiť zo sveta jedinečné. J. Royce 24

25 25 Absolútne poznanie neexistuje... Všetky informácie sú neúplné a my musíme k ním pristupovať s pokorou... Taký údel pre človeka učí kvantová fyzika. Myslím to doslova. J. Bronowski Príroda je nevyčerpateľná, nikdy nám neprestane klásť nové a neočakávané problémy. E. Cassirer Akokoľvek ďaleko veda rozšíri svoje poznatky, jej pole bude vždy ohraničené, okolo jej hraníc vznáša sa tajomstvo a čím ďalej sa budú posúvať tieto hranice, tým viac sa rozšíri i tajomstvo. H. Poincaré Neexistuje žiadna formula, ktorá by mohla vyjaviť celú pravdu, každú harmóniu, úplnú jednoduchosť... Keby sme mohli prehliadnuť všetko, nevideli by sme vôbec nič. J. D. Barrow Budeme hľadať tak, akoby sme mohli nájsť, ale nikdy nenájdeme tak, aby sme mohli prestať hľadať. Aurelius Augustinus 25

26 26 Drobné postrehy veľkých Pytagoras: Najkratšie odpovede áno a nie vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie. Galilei: Dve pravdy si nikdy nemôžu odporovať. Descartes: Z úvah o príkladoch je možné vytvoriť metódu. Kopernik: Úlohou vedy je vzďaľovať človeka od zla, usmerňovať jeho myseľ k väčšej dokonalosti. Pascal: Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné... Spravodlivosť a moc musia byť jedno, aby sa spravodlivosť stala mocou a moc spravodlivosťou. Tycho de Brahe: Radšej byť, ako sa zdať. Leonardo da Vinci: Ako jedenie bez chuti sa mení na obyčajné napchávanie, tak štúdium bez túžby po poznaní kazí pamäť, lebo tá si nič neuchová z toho, čo dostane. Michelangelo: Krása je v očistení od každej zbytočnosti. Franklin: Najužitočnejšie zo všetkých umení je umenie byť užitočný. Newton: Istejšie je chváliť vec viac ako si zasluhuje, než odsudzovať ju tak ako si zaslúži. Leibniz: Ak dáte vedľa seba dokonalé a nedokonalé, ľudia hneď spoznajú rozdiel. Ak im dáte len nedokonalé, budú spokojní. Euler: Musíme skúr dôverovať algebrickému výpočtu než nášmu úsudku. Lagrange: Skrytá harmónia je mocnejšia ako zjavná. Faraday: Človek, ktorý si je istý tým, že má pravdu, skoro určite sa mýli. Všetky naše teórie sú založené na neurčitých údajoch a všetky vyžadujú zmeny a ďalšie dôkazy. Kapica: Dialektika je ako stradivárky (najlepšie husle), ale hrať na nich musí majster... Iba veľmi hlúpi ľudia nerozumejú žartom. Landau: Ťažko sa niekto môže stať dobrým odborníkom vo vede alebo dobrým umelcom, ak to nie je vec jeho srdca. Edison: Tajomstvo úspechu v živote nie je robiť, čo sa nám páči, ale nachádzať zaľúbenie v tom, čo robíme. Röntgen: Proti vnútornému zadosťučineniu zo šťastného rozriešenia problému je každé uznanie bezvýznamné. Mendelejev: Veda je vtedy prospešná, keď ju prijímame nielen rozumom, aj srdcom. Bernal: Vedecký a umelecký spôsob rozvíjania ľudských schopností sa vzájomne dopĺňajú, a ani vo vede ani v umení nie sú celkom oddelené. Thom: Pravdivé nie je obmedzované nepravdivým, ale tým, čo nič neznamená. Wiener: Samočinný počítač má práve takú hodnotu, akú kvalitu má človek, ktorý ho používa. Born: Ľudstvo sa skôr či neskôr vzchopí, vymaní sa spod nadvlády techniky, prestane sa vystatovať svojou všemohúcnosťou a obráti sa ku skutočne cenným, rozumným a potrebným veciam k mieru, láske, miernosti, úcte, vyrovnanosti s vlastným osudom, k veľkému umeniu a skutočnej vede. Russell: Smutné je, že hlupáci sú takí sebaistí a ľudia múdri plní pochybností. Whitehead: Rozpor teórií nie je katastrofa, je to príležitosť... Patrí k sebaúcte intelektu, aby sledoval každé zauzlenie v myslení až do konečného rozuzlenia... Protirečenie medzi všeobecným dobrom a individuálnym záujmom možno odstrániť iba vtedy, keď záujmom indivídua je všeobecné dobro. Weinberg: Úsilie pochopiť vesmír je jednou z veľmi mála vecí, ktoré dvíhajú ľudský život trochu nad úroveň frašky a dávajú mu niečo z krásy tragédie. Einstein: Známkou skutočného poznávania je vždy prirodzená pokora... Plody duchovného úsilia spolu s úsilím samým v spojení s tvorivou činnosťou umelca prepožičiavajú životu obsah i zmysel. Bolzano: Všetky pocty sveta nie sú ničím v porovnaní s láskou a pravú lásku môže dať iba rodina. 26

27 27 Pre inšpiráciu s filozofickým nádychom Viem, že Pán rozhodne spor úbohého a dopomôže k právu chudobným. Len spravodliví oslávia Tvoje meno, úprimní ostanú pred Tvojou tvárou. (žalm 140) Šťastný je človek, ktorého údelom je poznávať tajomstvá Zeme. Nekrivdí svojím blížnym nespravodlivými činmi, ale s hlbokým obdivom pozoruje nesmrteľnú harmóniu odvekej prírody, rozjíma ako a kedy sa ustanovil jej kolobeh. (Euripides) Ľudský duch je bláznivý, lebo hľadá; je veľký, lebo nachádza. (P. Valéry) Je len jediný poctivý dôvod k vedeckej aktivite a to je uspokojenie potreby nájsť zmysel vecí. (C.R. Rogers) Ideu Boha alebo najvyššieho dokonalého bytia som našiel v sebe s rovnakou istotou ako ideu nejakého tvaru alebo čísla. (R. Descartes) Tí, ktorí sú zvyknutí usudzovať citom, nepochopia nič z vecí rozumových, lebo chcú najskôr preniknúť jediným pohľadom a nie sú zvyknutí hľadať princípy. Tí druhí, ktorí sú zvyknutí rozumovať v princípoch, nepochopia nič z vecí citových, pretože v nich hľadajú princípy a nedokážu vidieť jedným pohľadom... Svoju dôstojnosť nesmiem hľadať v priestore, ale v sústavnosti vlastného myslenia. Nezískam žiadnu výhodu, ak budem vlastníkom zemí. Priestorom ma vesmír obsiahne a pohltí ako bod, myšlienkou ho obsiahnem ja. (B. Pascal) Keď uderí naša posledná hodina, našou nevýslovnou radosťou bude vidieť Toho, ktorého sme mohli vo svojej tvorivej práci iba tušiť. (C.F. Gauss) Skutočný svet v absolútnom zmysle slova nezávisí na jednotlivých osobnostiach, dokonca ani na celej ľudskej inteligencii... Tak ako náboženstvo i prírodné vedy potrebujú na svoju činnosť vieru v Boha. Potom je Boh v náboženstve na počiatku, v prírodných vedách zasa na konci myslenia do hĺbky. Pre jedných je Boh základom, pre druhých korunou výstavby každej svetonázorovej úvahy. (M. Planck) Prírodné vedy nepopisujú a nevysvetľujú prírodu. Sú iba časťou hry medzi prírodou a nami. Popisujú prírodu, ako odpovedá našej metóde otázok... Ani vo vede už nie je predmetom výskumu príroda sama o sebe, ale ľudské skúmanie prírody... Nikdy nebude možné dôjsť iba racionálnym myslením k absolútnej pravde. (W. Heisenberg) 27

28 28 Prúd vedomostí smeruje k matematickej skutočnosti. Vesmír sa nám začína javiť skôr ako veľká myšlienka než ako veľký stroj... prichádzame na to, že vesmír dosvedčuje stopy plánujúcej a kontrolujúcej moci, ktorá má dačo spoločné s naším osobným duchom. Nejde tu, pokiaľ sa nám to doteraz podarilo odkryť, o cit, morálnosť alebo estetické cítenie, ale ide o tendenciu myslieť takým spôsobom, ktorý sme pre nedostatok lepšieho výrazu nazvali matematickým. (J.H. Jeans) Vedomosť o tom, že to nevyspytateľné skutočne jestvuje a že sa zjavuje ako najvyššia pravda a žiarivá krása, o ktorej môžeme mať len slabú predtuchu, toto vedomie a táto predtucha je jadrom každého pravého náboženstva. Moje náboženstvo spočíva v pokornej poklone nekonečnej duchovnej Bytosti, vyššej prirodzenosti, ktorá sa prejavuje v malých jednotlivostiach, čo sme schopní zachytiť svojimi slabými nedostatočnými zmyslami. Toto hlboké citové presvedčenie o existencii vyššej Múdrosti, ktorá sa zjavuje v neprebádateľnom vesmíre, tvorí obsah mojej predstavy o Bohu. (A. Einstein) Fyzika nie je najdôležitejšou vecou. Tou je láska. (R.P. Feynman) V každej častici atómu, v každej molekule, v každej bunke hmoty skryto žije a pôsobí bez toho, aby o tom ktokoľvek vedel, vševedúcnosť večného a všemohúcnosť nekonečného. (P. Teilhard de Chardin) Všetko, čomu veríme, vrátane priestoru a času, všetko, čo si predstavujeme vzhľadom na umiestnenie predmetov a kauzality príčin, čo si môžeme myslieť o deliteľnom charaktere vecí vo vesmíre, to všetko je len obrovská a neustála halucinácia, ktorá prekrýva skutočnosť neprehľadným závojom. Pod závojom existuje podivuhodná, hlboká realita: realita vytvorená nie z hmoty, ale z ducha... Vesmír je rozľahlá myšlienka. Svoj hlboký zmysel nachádza vo vnútri seba samého v podobe nejakej transcendentnej príčiny... Keď uvažujem o matematickom poriadku, ktorý sa vo vnútri reality zjavuje, môj rozum ma núti povedať, že ten neznámy skrytý za kozmom je prinajmenšom hypermatematickou inteligenciou, ktorá kalkuluje a ktorá je vzťahová (produkujúca vzťahy), a teda musí byť typom abstraktným a duchovným... Človek sa musí rozhodnúť medzi absurditou alebo tajomstvom... (J. Guitton) Prírodnou vedou i náboženstvom, hudbou a každým umením, nespútanou túžbou po pravde a spravodlivosti, pomstou i zmúdrením, láskou aj zradou hľadáme nedosiahnuteľné jeho neustálym dosahovaním. (dmj) 28

29 29 Vtipné i logické Každý sa sťažuje na zlú pamäť, ale nikto sa nesťažuje na zlý úsudok. (F. Rochefoucauld) Je lepšie učiť ľudí ako majú myslieť a nie čo majú myslieť. Tým sa vyhneme mnohým nedorozumeniam. (G. Lichtenberg) Rozum je jediný dar, ktorý príroda pravdepodobne rozdelila spravodlivo, pretože nikto sa nesťažuje, že ho má málo. (M. Montaigne) Bez učenia ani svätec nedokáže vynášať správne úsudky. (T. Campanella) Vyspelé usudzovanie nie je prirodzený dar, ale je to skôr náročné a zložité umenie... Ak sa nestaneme pustovníkmi, nevyhnutne si budeme vzájomne ovplyvňovať názory. (Ch.S. Peirce) Ak sa pripustí jeden nezmysel, ostatné vyplynú z neho. Pravdu možno nájsť logikou, len ak už bola objavená bez nej. (Aristoteles) (G.K. Chesterton) Rozpor je základným, veľmi dôležitým činiteľom vedeckého pokroku... Človek si najviac uvedomuje rozpory, ale práve preto musí myslieť logicky, racionálne... Ak nepripustíme, že svet je vybudovaný logicky, tak nie je možná veda. Ale veda možná je a dáva dobré výsledky... Čím je veda pokročilejšia, tým viac potrebuje používať umelé jazyky, napríklad logiku... Za významné výsledky našej vedy vďačíme ďaleko viac mysleniu než pozorovaniu. (J.M. Bocheński) Keď sa zaoberám logickým problémom, mám dojem, že stojím oproti nejakej mohutnej, kompaktnej a odolnej konštrukcii a dolujem pravdu, ktorá nie je vypracovaným modelom, ale je večná. (J. Lukasiewicz) Všetko, čo sa dá myslieť, sa dá myslieť jasne. Všetko, čo sa dá vyjadriť, sa dá vyjadriť jasne... O čom sa nedá hovoriť, o tom sa musí mlčať... Logika nie je žiadnou náukou, ale zrkadlovým obrazom sveta... Všetky vety logiky hovoria to isté. Totiž nič. (L. Wittgenstein) 29

30 30 Vo svete matematiky Svet nemôže byť úplne chaotický, inak by sme v ňom neboli schopní prežiť. Na rozpoznávanie, klasifikáciu a využívanie vzorov vyvinula ľudská myseľ a kultúra formálny systém uvažovania, ktorý nazývame matematika. Matematika má úžasnú moc odkryť nečakanú štruktúru aj tam, kde vládne zdanlivo len chaos. Práve vďaka svojej svojráznosti poskytuje mentálny svet matematiky ľuďom veľkú časť z najhlbšieho porozumenia okolitému svetu. Matematika je viac menej systematický spôsob objavovania pravidiel a štruktúr, ktoré sa skrývajú za nejakým pozorovaným vzorom alebo pravidelnosťou, a následného vysvetlenia toho, čo sa deje, použitím týchto pravidiel a štruktúr. Matematika je veda o vzoroch a príroda využíva takmer každý vzor, ktorý je k dispozícii... Funkciou matematiky je usporadúvať základné vzory a pravidelnosti tým najuspokojivejším spôsobom. Číslo je proces, ktorý bol zvecnený pred dlhou dobou tak dôkladne, že o ňom každý uvažuje ako o veci... Číslo je iba jednou z nepreberného množstva matematických kvalít, ktoré nám pomáhajú pochopiť a popísať prírodu. Reálne čísla sú jednou z najodvážnejších idealizácií, ktoré kedy uskutočnila ľudská myseľ. Život samotný je proces vytvárania symetrie... Matematika môže osvetliť veľa stránok prírody, o ktorých ako o matematických normálne neuvažujeme. Dobrá matematika, nech už pramení z čohokoľvek, sa nakoniec ukáže ako užitočná. Náš svet spočíva na matematických základoch a matematika sa stala neodmysliteľnou súčasťou našej všeobecnej kultúry. Matematika predstavuje vrcholné štádium prenosu technológií skôr než o mechanické ide o mentálne technológie, spôsoby myslenia.. Matematika je nesporne užitočný spôsob premýšľania o prírode. Ian Stewart (Čísla prírody. Bratislava: Archa 1996) 30

31 31 Impulzy zo stredoveku Anicius Manlius Severinus Boethius (okolo ): Pokiaľ to dokážeš, spájaj vieru s rozumom. Všetko čo poznávame, nie je chápané podľa svojej prirodzenosti, ale skôr podľa schopností poznávajúcich. Číslo bolo v mysli Stvoriteľa bezpochyby prvotným vzorom stvorených vec. Všetka náuka o pravde je zahrnutá v mnohosti a veľkosti. Nemôže dosiahnuť poznanie božských vecí ten, kto nie je vôbec zbehlý v matematike. Isidoro de Sevilla (asi 560/70 636): Matematika je teoretická veda, ktorá má za svoj predmet abstraktné množstvo. Abstraktné množstvo je to, o ktorom pojednávame iba uvažovaním, oddeľujúc ho rozumom od látky... Skrz číslo sa učíme nedať sa zmiatnuť. Ak odstrániš zo všetkého číslo, všetko zanikne. Odober ľudstvu počítanie a všetko zachváti slepá nevedomosť a nebude možné odlíšiť človeka od ostatných živočíchov. Rozdiel medzi aritmetikou, geometriou a hudbou je v spôsobe ako sa v nich hľadajú stredy. V aritmetike ich hľadáš takto: sčítaš krajnosti a rozdelíš to na polovice... Podľa hudby hľadáš stred takto: Akým pomerom stred prevyšuje prvé, takým istým pomerom je stred prevýšený posledným... Podľa geometrie hľadáš stred takto: vynásobíš krajnosti a výsledok je ako keď sa vynásobia stredy... Robert Grosseteste (okolo ): Matematika je prvou vedou, bez ktorej sa nedajú popísať ďalšie vedy. Geometrické tvary a vzťahy pôsobia v celom univerze a vo všetkých jeho častiach. Roger Bacon (asi ): Bez skúsenosti nemožno nič dostatočne poznať... Iba skúsenosť dáva istotu, a nie logický dôkaz. Filozofia rozvíja božskú múdrosť pomocou vedy a umenia. Kto podceňuje výsledky matematiky, škodí celej vede, lebo ten, kto nepozná matematiku, nemôže poznať exaktné vedy a nemôže pochopiť svet. Chcel by som vysloviť predpoveď, že čím viac základ prírody rozširujeme, tým viac odvetví matematiky budeme nútení používať. Máme dva spôsoby poznávania: špekuláciu (teóriu) a experiment. Všetko poznanie závisí od teoretickej sily matematiky. Mikuláš Kuzánsky ( ): Intelekt, ktorý nie je pravdou, nikdy nepochopí pravdu tak presne, že by postupom do nekonečna nemohla byť pochopená presnejšie. Všetko skúmanie je porovnávaním, lebo používa pomer ako prostriedok... Číslo je výrazom jednoty... Počet (číslo) znamená pomer. Pomer je myšlienková konštrukcia... Číslo je základ všetkých vecí chápaných myslením... K poznaniu božských vecí je nám otvorená iba cesta prostredníctvom symbolov. Matematika nám najviac pomáha pri pochopení rozličných božských vecí. 31

32 32 Z m y š l i e n o k Bernard BOLZANO ( ) matematik, logik, filozof, kňaz Byť šťastný a iných obšťastňovať to je pravé poslanie človeka. Zo všetkých možných spôsobov jednania vyber vždy ten, ktorý po uvážení všetkých dôsledkov najviac prispeje k blahu celku. Omnoho viac ako o šírenie užitočných právd sa musíme usilovať o to, aby sa cvičením u ľudí rozvinula schopnosť úsudku... musíme ich naučiť samostatne rozpoznávať nesprávne úsudky. Musíme byť rozhodní. Priľnúť k pravde, k dobrej veci ľudstva, a nie sa chcieť zapáčiť nejakej strane, nejakej ľudskej stolici. Odvahu potrebuje aj učiteľ, pretože pravá osveta vždy naráža na odpor; v každej krajine sa nájdu ľudia, pre ktorých je čistá pravda soľou v očiach. Priznajme sa pred celým svetom, že potrebujeme lásku, milovať a byť milovaní. Nehanbime sa za to, že sme ľudia! Predovšetkým som si stanovil pravidlo, že ma žiadna zrejmosť predpokladu nedonúti pre to, aby som sa cítil zbavený povinnosti hľadať preň dôkazy tak dlho, pokiaľ jasne neuvidím, že nemožno a prečo nemožno požadovať žiadny dôkaz. Omnoho lepším prostriedkom overenia určitej vety je jej aplikácia: Vyhľadávajme príležitosti ako čo najčastejšie jednať podľa tejto vety, používať ju, stavať na nej. Nič nemôže zabrániť tomu, aby sme neodvodili z najpravdivejších tvrdení, ak ich spojíme s nepravdivými predpokladmi - najzvrátenejšie a najhanebnejšie závery. Pravá veselosť nielenže neuberá z dôstojnosti ľudskej, ale je aj podstatnou podmienkou jej dokonalosti. Príde doba, keď budú ľudia pociťovať k vojne, k tejto nezmyselnej túžbe dokázať svoju pravdu mečom, rovnako všeobecný odpor, aký teraz pociťujú k súboju... Vyložiť objektívnu súvislosť úsudkov, t. j. vybrať a usporiadať množinu úsudkov tak, aby každý, ktorý je dôsledkom, bol takto aj uvedený, a naopak, to sa mi zdá byť vlastným cieľom, ktorý sledujeme pri vedeckom výklade. Je potrebné, aby sme národ zoznamovali s dejinami vekov predošlých, s veľkými činmi praotcov. Nech počujú s úžasom, že naši predkovia pestovali vedy čo najzdarnejšie. Viera nás nezbavuje povinnosti používať vlastný rozum a naopak. Konečné a nekonečné sa vzťahuje na určité vnútorné vlastnosti predmetov a vôbec sa netýka len ich vzťahov k našej poznávacej schopnosti či dokonca k našim zmyslom. Matematiku možno definovať ako vedu, ktorá pojednáva o všeobecných zákonoch, podľa ktorých sa veci musia riadiť vo svojej existencii. Cenil som si na matematike len to, že je súčasne filozofiou. 32

33 33 Filozofické myšlienky Alfred North Whitehead Myslenie je jednou formou zdôrazňovania... Matematika je štúdiom vzorov... Matematika je veda o najzložitejších abstrakciách, k akým môže ľudský um dospieť. Nič nie je pôsobivejšie ako fakt, že tou mierou, ako matematika postupne prechádzala do vyšších oblastí čoraz abstraktnejšieho myslenia, vracala sa späť na zem, nadobúdajúc čoraz väčší význam pre analýzu konkrétneho faktu. Pytagoras objavil význam používania abstrakcií a osobitne zameral pozornosť na číslo ako to, čo charakterizuje periodicitu hudobných tónov. Význam abstraktnej idey periodicity bol teda prítomný už pri samých začiatkoch matematiky. Všeobecnosť matematiky je najúplnejšou všeobecnosťou, zhodnou so spoločenstvom udalostí, ktoré konštituuje našu metafyzickú situáciu. Aká je funkcia čistej matematiky v myslení? Je to rozhodný pokus prejsť celú cestu smerom k úplnej analýze, aby sa oddelili prvky samých vecí od číro abstraktných podmienok, ktoré spríkladňujú. Originalita matematiky spočíva v tom, že v matematickej vede sú vyjadrené vzťahy medzi vecami, ktoré sa bez sprostredkovania ľudským rozumom nedajú vôbec postihnúť. Umenie pokroku spočíva v zachovaní poriadku uprostred zmien a v zachovaní zmien uprostred poriadku... Každá schéma analýzy prírody sa musí vyrovnať s dvoma skutočnosťami: so zmenou a pretrvávaním... Plodnú koncepciu prináša veľké zovšeobecnenie ohraničené šťastne zvolenými zvláštnosťami... Nové idey nemožno vyjadriť starými pojmami. Matematika je myslenie pohybujúce sa vo sfére úplného abstrahovania od každého jednotlivého prípadu toho, o čom práve vypovedá... Pokiaľ sa 33

34 34 zaoberáme čistou matematikou, sme v ríši úplnej absolútnej abstrakcie... Najväčšie abstrakcie sú tými pravými nástrojmi, ktorými kontrolujeme svoje uvažovanie o konkrétnych faktoch... Istota matematiky spočíva v jej úplnej abstraktnej všeobecnosti. Vzhľadom k nesmiernosti svojej látky je matematika (i moderná matematika) vedou v plienkach. Ak sa civilizácia bude ďalej rozvíjať, potom v budúcich dvoch tisícročiach bude najväčšou novinkou v ľudskom myslení nadvláda matematického rozumu. Veda je podnikanie, v ktorom sa rozum opiera o vieru... Jestvujú obsiahlejšie pravdy a jemnejšie perspektívy, v rámci ktorých možno nájsť zmierenie hlbšieho náboženstva a jemnejšej vedy. Vo veku rozumu nemôže existovať aktívny záujem, ktorý by odsunul nabok všetku nádej na víziu harmónie pravdy. Uspokojiť sa s rozporom znamená narušiť úprimnosť a morálnu čistotu. Patrí k sebaúcte intelektu, aby sledoval každé zauzlenie v myslení až do konečného rozuzlenia. Náboženstvo je víziou čohosi, čo sa nachádza mimo, za a uprostred pominuteľného toku bezprostredných vecí: niečo, čo je reálne, no predsa čaká na svoje uskutočnenie, čosi, čo je vzdialenou možnosťou, a predsa je najvýznamnejším z prítomných faktov: je to niečo, čo dáva zmysel všetkému pominuteľnému, a predsa uniká uchopeniu, niečo, čoho vlastníctvo predstavuje najvyššie dobro, a predsa je mimo dosahu, niečo, čo je najvyšším ideálom, a zároveň beznádejným hľadaním. Morálna stránka nazerania je neoddeliteľne spojená so všeobecnosťou nazerania. Protirečenie medzi všeobecným dobrom a individuálnym záujmom možno odstrániť iba vtedy, keď záujmom indivídua je všeobecné dobro. Anglický filozof, matematik a logik A. N. Whitehead ( ) 34

35 35 O duši matematickej G. H. Hardy ( ), anglický matematik Mohutnosť matematickej pravdy je zrejmá a impozantná... Žiadny iný odbor nemá také vyhranené a jednoznačné pravidlá a nezabudnuteľní objavitelia si takmer vždy zaslúžia úctu. Matematika je zdrojom radosti pre značné množstvo ľudí... Matematika rovnako ako poézia alebo hudba, môže prebúdzať a udržiavať vznešené rozpoloženie ducha a prispievať tak ku šťastiu matematikov aj iných ľudí. Človek, ktorý by dokázal presvedčivo popísať matematickú skutočnosť, by vyriešil veľmi mnoho najobťažnejších problémov metafyziky. Verím, že matematická skutočnosť leží mimo nás, že našou úlohou je objavovať či pozorovať ju a že vety, ktoré dokazujeme a ktoré nafúknuto označujeme ako svoje výtvory, sú jednoducho našimi záznamami našich pozorovaní. Šachové úlohy sú hymnickými spevmi matematiky... šachista môže ako obeť ponúknuť sedliaka alebo figúru, ale matematik ponúka hru. Na svete nie je nič, čo by tak potešilo dokonca i slávnych mužov, ako objavenie alebo znovuobjavenie pôvodnej matematickej vety. Matematik je tvorcom myšlienkových vzorcov a ich krása a závažnosť sú kritériá, podľa ktorých treba jeho vzorce posudzovať. Matematika sa vyznačuje najdôkladnejšou a najúžasnejšou technikou a ponúka čisto odborné, remeselné zručnosti. Matematika je večná, pretože to najlepšie z nej stále hlboko citovo pôsobí na tisíce ľudí po tisícich rokov podobne ako literatúra. Čistá matematika je ako skala, na ktorej stojí celý idealizmus. Matematik by nemal zabúdať, že matematika, viac ako ktorékoľvek umenie alebo veda, je záležitosť mladých... Ak má človek nejaký rýdzi talent, mal by byť pripravený priniesť akúkoľvek obeť, aby ho úplne rozvinul. Matematické myšlienky nezomierajú. Keď svet šalie, môže matematik vo svojej vede nájsť nedostihnuteľne utišujúci prostriedok. Človek niekedy musí hovoriť zložité veci, ale mal by ich hovoriť čo najjednoduchšie. (G. H. Hardy: Obrana matematikova. Praha: Prostor, 1999) 35

36 36 Z pedagogického odkazu, ktorý nám zanechal profesor Jur Hronec ( ): Byť učiteľom, byť formujúcim činiteľom ľudského ducha je veľmi krásne a vznešené poslanie. Hľadať spôsob vyučovania znamená hľadať dobrých učiteľov, a tak aj vnútorná reforma závisí najmä na osobnosti učiteľa. Prvou a najhlavnejšou povinnosťou každého vyučujúceho je získať žiaka pre prácu pri vnímaní pojmov a predstáv, priviesť ho k tomu, aby sa aj on pričinil, aby pracoval a učil sa. Ak chce učiteľ, aby jeho vyučovanie bolo čím úspešnejšie, musí poznať individuálne osobitosti žiakov a musí sa usilovať len tie vlastnosti učiva nechať pôsobiť, ktorým zodpovedajúce zmyslové schopnosti žiakov sa už dosť vyvinuli, sú už dosť intenzívne, aby pôsobenie vnímali a spracovali. Vyučujúci môže oduševnenie u žiakov nižších tried povzbudiť vľúdnosťou, úprimnosťou a taktnosťou, u žiakov vyšších tried zasa vedomosťami, skúsenosťou, vzdelanosťou, zvlášť vynikajúcim charakterom. Učiteľ s týmito vlastnosťami imponuje žiakom, žiaci cítia, že učiteľ s nimi žije, a oni sa mu odplácajú usilovným učením, čo však znova povzbudzuje učiteľa k práci a tak oduševnenie sa stane nevyčerpateľným prameňom učiteľovej sily. Dobrý učiteľ je vždy živou bytosťou, ktorá sa úplne oddá práci, výchove a vyučovaniu, ktorá nehľadí na vlastný záujem, ale pred očami má len objekt vyučovania: tento ju zaujíma a oduševňuje. Treba napísať dobré učebnice a treba určiť dobrý spôsob vyučovania. Dobré účinkovanie učebnice závisí predovšetkým na dobrom učiteľovi a len potom na autorovi učebnice. Každý profesor môže toľko vložiť do jednotlivých predpisov, koľko sám chce a bude vkladať, lebo učiteľa budú posudzovať podľa toho, koľko vedia jeho žiaci. Vedomosti sa dajú dosiahnuť po prvé veľkými požiadavkami učiteľovými, ktoré sú spojené s jeho prísnosťou, po druhé dobrým spôsobom vyučovania. V každom žiakovi, v každom človeku má byť vychovávaná osobnosť ľudská, humanitná, ktorá svoju silu, svoju energiu podľa možnosti čo najekonomickejšie venuje prospechu a dobru celého národa, celého ľudstva. Toto má byť konečný a veľkolepý cieľ každého vyučovania. Za učiteľa treba pripustiť len mladíka ideálne zmýšľajúceho, ktorý pozná ťažkú úlohu pedagóga, kto má srdce vrelo spolucítiace s mládežou, kto sa činne a energicky chce chytiť do vyučovania a kto subjektívne pôsobí na city mládeže. Keby som si mal znova voliť povolanie, chcel by som byť len profesorom matematiky. Je to veda, ktorej zásady platili včera, platia dnes a budú platiť aj zajtra. My učitelia sme povinní vždy a za všetkých okolností usilovať sa urobiť, viac, než sa od nás očakáva. Len tak zabezpečíme, že sa staneme nasledovaniahodnými vzormi pre našu mládež. 36

37 37 Matematika je kus môjho srdca i života [Štefan Schwarz ( )] Matematika bola a bude vždy meradlom hĺbky ľudského myslenia, ukazujúc objektívne, kam až siahajú hranice ľudského poznania. Matematika je neoddeliteľnou súčasťou poznávania skutočnosti. Abstrahuje od konkrétnej povahy veličín a berie do úvahy iba ich tvar, číselné vzťahy alebo iné význačné charakteristiky. Abstraktnosť dovoľuje matematike zachytiť veľké množstvo rozmanitých foriem reálnych javov a odkrývať príbuznosti medzi javmi zdanlivo veľmi odľahlými. Matematika dáva iným vedám svoje prepracované metódy myslenia, ktoré umožňujú analýzu skrytých vlastností a vzájomných vzťahov. Matematika je charakterizovaná predovšetkým osobitým prístupom k riešeniu problémov a jej obsah sa nedá vyčerpať sebaväčším počtom príkladov. Matematika je invencia... Matematika má heuristický význam. Matematika nie je ilustrovaný časopis, ktorý možno začať čítať na ktorejkoľvek strane. Matematika učí vytvárať presnými logickými úvahami platné závery. Matematika učí zmyslu pre pravdu, dôkladnosti a skromnosti. Matematika učí racionálnemu spôsobu myslenia a vyjadrovania. Matematika hovorí vždy o niečom konkrétnom a umožňuje riešenie praktických úloh. Matematika je neoddeliteľnou časťou všeľudskej kultúry a v tom je jej trvalý význam. Zmysel matematiky je v hľadaní a odvodzovaní platných viet a poučiek pomocou dovolených logických úvah a to z daných faktov, ktoré samy o sebe sú nedokázateľné. Cieľom je vytvoriť uzavretý systém navzájom si neodporujúcich viet a poučiek... Dôkaz spočíva v logickom kombinovaní daných predpokladov, prv osvojených poznatkov a používaní poznatkov, ktoré považujeme za samozrejmé. Ak sa niekto vie zamýšľať nad predloženými faktami, má dosť trpezlivosti a neustúpi pokiaľ si neutvorí vlastný názor, potom je v ňom zárodok matematika. Aj priemerný matematik má tú výhodu, že vie napr. systémovo myslieť bez toho, že by sa to explicitne učil. Vyučovací postup v školskej matematike: Učiť sa z kníh a živé slovo je rozdiel... Každé vyučovanie by sa malo začať motiváciou... Matematická príprava sa začína na základnej škole a prebieha celý život... Študent musí prežívať spolu s učiteľom celý pochod objavovania... V istom zmysle musí ísť študent po ceste, po ktorej bola matematika objavovaná... Pokiaľ študent sám, bez pomoci, nezačne počítať a päťkrát sa sám nezmýli, nebude látke nikdy poriadne rozumieť... Metódy vyučovania by mali byť založené na osobných skúsenostiach tých, ktorí matematiku sami tvoria (t.j. objavujú, alebo znova objavujú)... Nijaký učiteľ, ktorý sa vo vlastnom odbore systematicky a trvalo nevzdeláva, nemôže byť dobrým učiteľom... Do vedy môžu hovoriť len srdcia zapálené pre dobrú vec. Len vnútorné nefalšované nadšenie sa prenáša na ďalšie generácie... Matematika nemá len svoju odosobnenú poznatkovú bázu, ale obsahuje aj intímne stránky, vzťahujúce sa k jej tvorcom a ľuďom vôbec. Má svoju psychológiu, estetiku a etiku... Úspešnosť učiteľa záleží na tom, do akej miery považuje školu a svoj predmet za neoddeliteľnú a najdôležitejšiu súčasť vlastného života... Rozhodujúci vplyv na rozvoj matematickej kultúry majú stovky tzv. neznámych učiteľov na základných a stredných školách, ktorí v každodennej práci pripravujú budúcich študentov. Matematika má pre mňa v sebe toľko estetických prvkov, ako výtvarné umenie. Keď niečo pochopím, čo som len málo rozumel, mám rovnaký pocit zadosťučinenia ako umelec z vydareného diela. Len premýšľajte. A nielen o matematike. O všetkom. 37

38 38 Symbol kľúč k podstate človeka Veda predstavuje posledný stupeň v duchovnom vývoji človeka a možno ju pokladať za najvyšší a najcharakteristickejší výdobytok ľudskej kultúry... Veda nám pomáha pochopiť dôvody vecí; umenie zasa uvidieť ich formy. Grécka filozofia objavila v časoch Pytagora a pytagorovcov nový jazyk, jazyk čísel. Tento jav znamenal okamih, keď sa zrodilo naše moderné ponímanie vedy... Pytagorovci boli prvými mysliteľmi, ktorí číslo pochopili ako všetko obsahujúci, skutočne univerzálny princíp. Číslo je nástrojom nášho prenikania do prírody a skutočnosti... Ak chceme fyzikálne myslenie vybaviť všetkými duchovnými nástrojmi, potrebujeme na to úplnú voľnosť pri tvorbe svojho matematického symbolizmu. Príroda je nevyčerpateľná nikdy nám neprestane klásť nové a neočakávané problémy. Nemôžeme predvídať fakty, ale môžeme sa pripravovať na ich interpretáciu, opierajúc sa pritom o silu symbolického myslenia. V oblasti jazyka, náboženstva, umenia, vedy, človek nikdy nemôže robiť viac než tvoriť si svoj vlastný, symbolický svet, ktorý mu umožňuje chápať a vykladať, formovať i organizovať, syntetizovať aj univerzalizovať svoju ľudskú skúsenosť. Ľudské poznanie je vo svojej podstate symbolickým poznaním... Symbol nemá aktuálnu existenciu, neexistuje ako súčasť fyzikálneho sveta; symbol má význam... Matematika nie je teóriou vecí, ale symbolov. Matematika je univerzálny symbolický jazyk, ktorý sa nezaoberá opisom vecí, ale všeobecným vyjadrovaním vzťahov a typov vzťahov. Vo všetkých ľudských aktivitách a vo všetkých formách ľudskej kultúry nachádzame jednotu v rozmanitom. Umenie nám poskytuje jednotu nazerania, veda nám dáva jednotu myslenia, náboženstvo a mýtus nám dávajú jednotu cítenia. Matematický rozum je putom medzi človekom a svetom; umožňuje nám voľný prechod od jedného k druhému. Je kľúčom k pravdivému pochopeniu kozmického a morálneho poriadku. Ernst Cassirer ( ) An Essay on Man. New Haven and London: Yale University Press, Esej o človeku. Bratislava: Nakladateľstvo Pravda,

39 39 39

40 40 René Descartes ( ) Francúzsky filozof, matematik a prírodovedec. Dostal výborné vzdelanie a dosiahol dobrú úroveň vedomostí z matematiky. Vyštudoval právo a medicínu v Poitiers. Viac ako desať rokov slúžil ako jazdecký dôstojník vo vojskách rôznych potentátov. Cestoval po Nemecku, Švajčiarsku a Taliansku. Usadil sa v Holandsku. Tam vznikli jeho najvýznamnejšie diela z filozofie, matematiky a fyziky. Svoju racionalistickú analytickú metódu rozpracoval do novej metodológie a teórie vedy. Vyvrcholením sa stala slávna Rozprava o metóde (1637). Štyri základné pravidlá karteziánskej metódy boli: pravidlo metodickej pochybnosti (za pravdivé považovať iba to, čo je v mysli jasné, zreteľné a evidentné; chrániť sa pred prenáhlením a predpojatosťou); pravidlo analytického postupu (rozkladať veci zložité na čo možno najjednoduchšie); pravidlo syntézy (postupovať v správnom poriadku od ľahšieho k ťažšiemu, zhrnúť vzťahy a závislosti od jednoduchých až k poznaniu najzložitejších javov); pravidlo kontroly (dbať pri riešení každej otázky na to, aby sa čo možno najúplnejšie prihliadalo na jej rozličné súvislosti a aspekty; zaistiť úplnosť skúmania). Descartes sa zaslúžil sa o zdokonalenie algebraickej symboliky. Navrhol označovať známe aj neznáme veličiny písmenami, napr. a, b, c,... x, y, z. Zaviedol označovanie mocnín tak, že mocniteľa písal vpravo hore od mocnenca, napr. a 3, a 4 ; rovnosť značil znakom. Ukázal geometrické konštrukcie, ktoré zodpovedajú operáciám +,,, :, ( ) 2,. Priraďoval dĺžku ku každému číslu, bez ohľadu na to ako vzniklo. Zaviedol do geometrie algebraické metódy. Dal mocný impulz riešiť geometrické úlohy počítaním a skúmať vlastnosti kriviek a priestorových útvarov algebraicky. Popísal napr. tzv. Descartov list, krivku s rovnicou x 3 + y 3 = 3 a x y. Tretia časť jeho diela Geometria obsahuje algebraickú teóriu rovníc s tvrdením o počte koreňov. I keď neobsahuje priame systematické použitie dnešnej metódy súradníc analytickú geometriu, aj tak bola inšpirujúcim podnetom pre spojenie algebry a geometrie. René Descartes považoval ľudský rozum za rozhodujúci zdroj poznania. Celým svojím dielom zdôraznil jeho autoritu. Uznával ideu Boha, nekonečna, dokonalosti. Prírodné javy zodpovedne pozoroval, meral a na vysvetlenie používal matematické úvahy. Snažil sa vytvoriť univerzálnu matematiku, ktorou by exaktne vystihol všetky stránky skutočnosti. V jeho predstavách sa algebraická rovnica stala základným pilierom analytickej geometrie, pomocou rovníc možno riešiť otázky geometrie. Nezaujímal sa o jednotlivé objavy alebo výsledky, ale o zdokonalenie nástrojov poznania. Chcel zjednotiť štruktúru vedy jedinou metódou. Z problémov svojej doby vykročil smerom k novovekej vede, filozofii i matematike, napriek tomu, že kráčal v temnotách sám. 40

41 41 Z myšlienok Všetko, čo svojimi zmyslami prijímam z vonkajšieho sveta, by mohol byť klam, všetko, čo môžem myslieť, môže byť nesprávne ale v pochybovaní som si istý sebou ako mysliacou bytosťou... Myslím, teda som... Poznávanie pravdy je zdravie ľudského ducha. Nesmieme predpokladať, že všetko je tu kvôli nám. Jedine príroda robí veľké veci zadarmo. Mám v sebe ideu Boha ako nekonečnej, všemohúcej a vševedúcej bytosti... Je nemysliteľné, aby ma chcel pravdumilujúci Boh klamať a podvádzať pred mojim zrakom tento svet len ako klamný prelud... Ideu Boha alebo najvyššieho dokonalého bytia som našiel v sebe s rovnakou istotou ako ideu nejakého tvaru alebo čísla. Tých, čo odhaľujú vedecké pravdy, možno porovnať s boháčmi, ktorí tým rýchlejšie bohatnú, čím sú bohatší. Chcem nájsť novú cestu poznania. Tá cesta je: pokus a úvaha. Až vtedy, keď začnem premýšľať, nachádzam seba a svoje myslenie ako niečo veľmi zodpovedné, ale i slobodné, ale aj isté. Aritmetika, geometria sú oveľa spoľahlivejšie než ostatné náuky, pretože jedine tieto sa zaoberajú takým jasným a jednoduchým predmetom, že vôbec nepripúšťajú, čo sa skúsenosťou ukázalo ako neisté, ale úplne spočívajú na dôsledkoch vyvodených rozumovým zdôvodnením. Porovnával som tajomstvá prírody so zákonmi matematiky. Bol som a som presvedčený, že ten istý kľúč otvára dvere k pochopeniu jedného aj druhého. Je v povahe nekonečného, že nemôže byť pochopené nami, ktorí sme koneční. Iba tých pokladám za svojich priateľov, ktorí sú takí smelí, že ma upozornia na moje chyby. (René Descartes) 41

42 42 Blaise Pascal ( ) Francúzsky matematik, fyzik, filozof, spisovateľ, plný duševných i fyzických bolestí, vo svojich fyzikálnych prácach vyjadril závislosť hydrostatického tlaku, opísal hydrostatický paradox, zákon spojených nádob a princíp hydraulického lisu. Dokázal, že tlak vzduchu závisí od nadmorskej výšky, teploty a vlhkosti vzduchu. V teórii čísel odhalil pravidlá deliteľnosti, skúmal kužeľosečky a opísal vlastnosti cykloidy, poznal usporiadanie kombinačných čísel a ich využitie pre rozklad mocnín dvojčlena. Zapísal sa medzi zakladateľov teórie pravdepodobnosti i predchodcov difereciálneho a integrálneho počtu. Skonštruoval sčítací stroj. Vnímal aj paradoxy človeka v jeho biede i veľkosti, medzi absolútnou hodnotou i zbytočnou ničotou, v spojení rozumu s vierou, v milosti i zatratení. Jeho Penseés Myšlienky (pracoval na nich od roku 1660, vyšli až po jeho smrti, roku 1670) sú nedokončeným súborom osobných poznámok, v ktorých Pascal preniknutý láskou k človeku bičuje ľudské slabosti. Myšlienky vynikajú silou predstavivosti, expresivitou, dramatičnosťou. Sú pozoruhodným filozofickým, ale aj dôstojným literárnym dielom francúzskej literatúry. Z myšlienok Všetko sa musí dokázať a pri dôkaze nemožno použiť nič iné okrem axióm a pred tým dokázaných viet... Nikdy nemožno zneužiť to, že sa rôzne veci často označujú rovnakým termínom; preto určený termín musí byť v mysli zamenený za definíciu. Pravdu spoznávame nielen rozumom ale tiež srdcom. Srdce má svoje dôvody, ktoré rozum nepozná... V každom človeku je priepasť, ktorú môže vyplniť iba Boh. Myšlienka je čosi obdivuhodné a neporovnateľné vo svojej podstate... Myšlienka tvarí veľkosť človeka... Človek je zjavne stvorený pre to, aby myslel... Celá naša dôstojnosť spočíva v myslení. V ňom sa musíme vzopnúť, nielen v priestore a čase, ktoré nedokážeme naplniť. Usilujme sa teda, aby sme mysleli správne. V tom je princíp mravnosti. Pravda poskytuje istotu, ale už aj samotné jej hľadanie poskytuje kľud... V tejto dobe je pravda tak zatemnená a lož tak zavedená, že pravdu môže poznať iba ten, kto ju miluje. Rozpornosť nie je známkou nesprávnosti, rovnako ako neprítomnosť rozporu nie je známkou pravdy. Kto nám vytýka nedostatky, zaslúži si našu vďaku. Naše nedostatky síce týmto spôsobom nezmiznú, pretože ich máme ešte veľmi mnoho, ale ak sú nám známe, začínajú nás znepokojovať a my sa snažíme zbaviť sa ich. Spravidla nás presvedčujú viac tie dôvody ktoré sami objavíme, než tie, na ktoré prišli iní... Náhoda pomáha tým, ktorí sú na ňu pripravení. Svoju dôstojnosť nesmiem hľadať v priestore, ale v sústavnosti vlastného myslenia. Nezískam žiadnu výhodu, ak budem vlastníkom zemí. Priestorom ma vesmír obsiahne a pohltí ako bod, myšlienkou ho obsiahnem ja. Pravé blaho človeka musí byť také aby ho mohli vlastniť všetci ľudia súčasne, bez rozdielu a závisti a aby oň nikto proti svojej vôli nemohol prísť. Čím je človek rozumnejší a lepší, tým viac dobra zbadá v ľuďoch. Pre vznešených je potešením, ak môžu robiť ľudí šťastnými. Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné. Spravodlivosť a moc musia byť jedno, aby spravodlivosť sa stala mocou a moc spravodlivosťou. 42

43 43 Isaac Newton ( ) Štúdium prírody, matematiky, fyziky, chémie, či alchýmie, ale aj teológie, biblickej histórie a starých jazykov ho úplne zaujalo na celý život. Vyštudoval Trinity College v Cambridge ( ). Od roku 1667 Newton pôsobil na katedre matematiky a fyziky takmer dvadsaťsedem rokov. Stal sa členom Kráľovskej spoločnosti (1672) i jej predsedom (1703). Newton žil iba pre vedu, pre poznanie zákonitostí prírody. V rokoch zúril v Londýne mor a tak premýšľal v rodnom Woolsthorpe. Tu pripravil teóriu nekonečne malých veličín, metódu fluxií a pripravil si hlavné myšlienky monumentálneho diela Matematické princípy prírodnej filozofie, ktoré vyšlo v roku 1687 a obsahovalo ucelený systém klasickej mechaniky a dynamiky. Tam je aj známy Newtonov gravitačný zákon a tri základné zákony dynamiky. Newton veľmi nerád publikoval. Písal často listy, no zverejňovanie ucelených prác nebolo jeho silnou stránkou. Časť výsledkov svojich matematických prác o výpočte plôch a dĺžok kriviek, stanovenie dotyčníc a zistenie miním a maxím funkcií, ktoré vychádzali predovšetkým z fyzikálnej problematiky a tej obsahovo i formálne vyhovovali, pripravil rukopisne ( ), ale zhrnuté v celku vyšli až v rokoch Napríklad práca Metóda fluxií a nekonečných radov upravená v 1691 vyšla až v roku Jeho Arithmetica universalis vyšla roku 1707 a Newton v nej podal úplnú analytickú teóriu kužeľosečiek i určil metódu numerického riešenia rovníc. Texty, ktoré Newton prednášal v Cambridge v rokoch , musel odovzdávať do univerzitnej knižnice a tam ležali 20 rokov. Mnohé spisy vyšli až po jeho smrti. V matematike okrem základov diferenciálneho a integrálneho počtu, ktorý uplatnil na popis fyzikálnych zákonitostí, zaviedol všeobecný pojem mocniny, aj s iracionálnym mocniteľom. Študoval nekonečné rady, položil základy teórie symetrických funkcií. Z fyziky pripomeňme aspoň vynikajúce práce z optiky a konštrukciu prvého zrkadlového ďalekohľadu. Vysvetlil vplyv Mesiaca na príliv a odliv, zdôvodnil precesiu zmenu polohy zemskej rotačnej osi. Isaac Newton odhalil jednotnú sústavu zákonov, ktoré umožnili aplikáciu v mnohých fyzikálnych odboroch ľudskej činnosti. Apoštol matematického prístupu k prírodným vedám vybadal nové možnosti predvídať vedecké objavy z fyzikálnych princípov. Otvoril cestu pre rozvoj vedeckej teórie, nečakané uplatnenie prírodovedných objavov i zmeny v myslení ľudstva ako celku. Prírodný svet začal byť chápaný ako exaktný systém. 43

44 44 Nad hrobom vo Westminsterskom opátstve je pomník s postavou a nápisom: Tu odpočíva Sir Isaac Newton, dvoran, ktorý temer božským umom prvý dokázal s fakľou matematiky pohyb planét, cesty komét a prílivy oceánov. Skúmal rozmanitosť svetelných lúčov a pritom so prejavujúce rozmanité vlastnosti farieb, čo predtým nik netušil. Snaživý, múdry a oddaný vykladač prírody, staroveku a Písma sv. utvrdzoval svojou filozofiou veľkosť všemohúceho Boha a svojim životom odzrkadľoval prostotu evanjelia. Nech sa smrteľníci radujú, že existovala takáto okrasa ľudského rodu. Z myšlienok Filozofia je taká bezočivá dáma, že by sa človek mal radšej miešať do súdnych záležitostí, ako mať s ňou do činenia. Nové myšlienky sú ťažko pochopiteľné len pre ich nezvyklosť. Nádherný poriadok a harmónia vesmíru mohli vzniknúť iba podľa plánu všetko poznajúcej a všemohúcej bytosti. To je môj posledný a najvyšší poznatok. Boh je nekonečne dokonalou bytosťou, čo vysoko prevyšuje vesmír. Boh prebýva všade, aj vo veciach. Je prostredníkom medzi telesami, on spája v jeden celok telesá tvoriace svet. Príčiny prírodovedných javov rovnakého druhu sú vždy tie isté, indukciou získané zákony možno považovať za veľmi blízke pravde, pokiaľ sa nedosiahne väčšej presnosti. Ani jeden veľký objav sa nezrodil bez smelého odhadu... sám som mohol ďalej vidieť preto, lebo som stál na pleciach gigantov. Ak môžeš udržať rozum nad vášňou, on a ostražitosť budú tvojimi najlepšími ochrancami. Neviem, čím sa môžem zdať svetu, ale pripadám si ako chlapec, hrajúci sa na brehu mora, ktorý občas nachádza farbistejší kamienok ako obyčajne, alebo krajšiu mušľu, zatiaľ čo veľký oceán pravdy sa rozprestiera pred ním nepreskúmaný. 44

45 45 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Posledný polyhistor, nemecký učenec a organizátor vedeckého života. Vyštudoval matematiku, filozofiu i právo. Pôsobil ako diplomat, dvorný radca i knihovník. Debatoval a dopisoval si s významnými osobnosťami vedy a politiky vtedajšieho sveta. Zachovalo sa najmenej 15 tisíc jeho listov. Zaoberal sa aj históriou, lingvistikou, geológiou, teológiou. Písal filozofické pojednania i právne úvahy. Získal povesť univerzálneho génia. Leibniz veľmi chcel vytvoriť univerzálny jazyk, všeobecný myšlienkový algoritmus, ktorým by získaval správnu odpoveď na každú otázku. Systematicky sa zamýšľal nad vlastnosťami matematických funkcií. Odhalil, že je možné vyjadriť konečné ako nekonečný súčet veličín nekonečne malých. Medzi rokmi objavil diferenciálny a integrálny počet. Výsledky publikoval v dielach Nová metóda o najväčších a najmenších veličinách (1684), O skrytej geometrii a analýze nedeliteľných a nekonečných veličín (1686). Jeho terminológia a symbolika sa ujala. Ďalší učenci rozvinuli celú teóriu a jej aplikácie. Leibniz zaviedol napr. symbol pre delenie :, pre násobenie, pre diferenciál dx, pre integrál a celý rad ďalších. Zostavil stroj, ktorý nielen sčitoval a odčitoval, ale aj násobil a delil. Predviedol ho v roku 1643 v Paríži. Neskôr počítací stroj zlepšoval a dosiahol, že sa na ňom dalo i umocňovať a hľadať aj druhú i tretiu odmocninu. Leibniz je predchodcom počítačovej éry ľudstva. Z myšlienok Viac ako čokoľvek iné ma tešila tá skutočnosť, že som pracoval nie podľa cudzích myšlienok, ale podľa vlastných sklonov. Kedykoľvek sa naučím niečo nové, hneď uvažujem, či by sa z toho nedalo niečo vyťažiť pre život. I keď patrím k tým, ktorí sa dôkladne zaoberali matematikou, neprestal som od svojej mladosti uvažovať i filozofii, pretože sa mi zdalo, že má prostriedky pre to, aby sa jasnými dôkazmi zistilo niečo spoľahlivé. Tí, ktorí sa radi zaoberajú detailmi vedy, opovrhujú abstrakciou a všeobecným výskumom. Tí, ktorí prehlbujú princípy, zriedka vniknú do jednotlivostí. Ja si vážim rovnako obidve, lebo som zistil, že analýza princípov slúži na vyjadrenie detailov. Umenie je najvyšší výraz akejsi vnútornej a neuvedomenej aritmetiky... Hudba je radosť duše, ktorá robí výpočty, sama si toho nevšímajúc. Dával som prednosť vede a umeniu, pretože ony neustále zvyšujú slávu božiu a ľudské blaho... Veda a remeslo sú skutočnými pokladmi ľudského rodu, pretože pomocou nich umenie premáha prírodu a civilizované národy sa líšia od barbarských... Od detstva som mal rád vedu, zaoberal som sa ňou a mal som šťastie... Usiloval som sa písať tak, aby študujúci mohol vždy vidieť vnútorný základ študovaného predmetu, aby mohol objaviť zdroj objavu a teda do všetkého vniknúť tak, ako keby to bol vymyslel sám. Je nedôstojné pre nadaného človeka, aby ako otrok strácal hodiny života pri výpočtoch, ktoré určite bolo možné zveriť ľubovoľnej osobe, pokiaľ by pre to použila stroj. Som natoľko pre aktuálne nekonečno, že namiesto, aby som pripustil, že sa ho príroda desí, ako sa bežne hovorí, som presvedčený, že ho má v obľube všade, aby lepšie zdôraznila dokonalosti svojho tvorcu. 45

46 46 Carl Friedrich Gauss ( ) Nemecký matematik, považovaný za majstra troch A aritmetiky, algebry a analýzy. Tlačou vydal 155 odborných prác a veľmi veľa pojednaní zanechal v rukopisoch. Otvoril cestu novodobej teórii čísiel (teória delenia kruhu, kongruencie, teória kvadratických foriem). Prispel k všeobecnému prijatiu komplexných čísiel. Podal výklad metódy najmenších štvorcov, vybudoval základy hyperbolickej geometrie. Študoval elektromagnetizmus, intenzitu zemského magnetického poľa a pod. Vo svojej ľudskej povahe mal hlboko zakorenenú túžbu po pravde a cit pre spravodlivosť. Rozvahu a mravnosť považoval za základ blaha pre jednotlivcov i celé národy. Uviedol prvý presný dôkaz základnej vety algebry. Dokázal tvrdenie o tom, kedy sa dá zostrojiť pravidelný n uholník kružidlom a pravítkom. Na náhrobnom kameni má vytesaný pravidelný sedemnásťuholník s opísanou kružnicou. Z myšlienok Matematika je kráľovnou vied, ale teória čísiel je kráľovnou matematiky. Veda musí byť družkou praxe, nie jej slúžkou; musí jej dávať dary, ale nie jej otrocky slúžiť. Nie poznanie, ale učenie sa, nie vlastnenie, ale získavanie, nie byť v cieli, ale prichádzať na podstatu veci to je to, čo dáva najväčší pôžitok. Výsledky vlastného premýšľania sú hodnotnejšie ako všetka získaná cudzia múdrosť. Prednášky majú ukázať správnu cestu, majú rozvíjať predstavivosť a hĺbavosť. Prednášky majú viesť len prvé kroky, majú zabrániť tvoreniu nesprávnych názorov na začiatku štúdia, majú viesť potiaľ, odkiaľ sa dá ísť ďalej samostatným štúdiom. Musíme si skromne uvedomiť, že ak je číslo produktom nášho ducha, tak priestor mimo nášho ducha má realitu, ktorej nemôžeme a priori predpisovať zákony. 46

47 47 Kurt Gödel ( ) Vo vedeckej oblasti dosiahol najslávnejšie matematické výsledky 20. storočia. Jeho vety, o neúplnosti formálnej teórie a nemožnosti dokázať bezospornosť formálnej teórie v rámci jej formalizmu, spôsobili zásadné zmeny nielen v logike a vo filozofii matematiky. Gödel dokázal, že každý logický systém obsahujúci formalizovanú rekurzívnu aritmetiku je buď sporný alebo obsahuje nejakú nerozhodnuteľnú formulu. Dokázal, že axióma výberu je nezávislá od ostatných axióm teórie množín ( ). Tiež ukázal, že hypotéza kontinua je bezosporná. Vyriešil Einsteinove rovnice gravitačného poľa (1949), publikoval tri odborné práce o problémoch relativistickej kozmológie. Gödel ukázal, že neexistuje všeobecná efektívna metóda s konečným počtom operácií, aby sme mohli všetky formule považovať za dokázané. Matematicky presne môže byť dokázané, že v každom konzistentnom formálnom systéme, ktorý obsahuje určitú časť konečnej teórie čísiel, existujú nerozhodnuteľné aritmetické vety a konzistencia žiadneho takéhoto systému nemôže byť dokázaná v tomto systéme. Ak aj nenachádzame spor, to neznamená, že spor neexistuje. Gödel ukázal, že nie je možná úplná formalizácia nášho poznávania založená na dedukcii zo systému prijatých axióm. Ľudský duch bude asi vždy v reálnej skutočnosti nachádzať svojimi myšlienkovými predstavami také zložité štruktúry, že na ich usporiadanie nebudú úplne stačiť žiadne ním konštruované konečné matematicko-logické formuly alebo filozoficko metodologické sústavy. Ukázalo sa, že bohatstvo matematických teórií nemožno úplne odhaliť axiomaticky. Systém logických formúl exaktnej matematickej teórie môže vystihnúť iba časť skutočného sveta, ktorý spoznávame ľudskou inteligenciou Nerozhodnuteľnosť niektorých tvrdení nie je absolútna, ale je viazaná na príslušný systém axióm s danou logikou. Aj keď budeme naďalej skúmať základy matematiky, konštruovať nové systémy axióm i nové dôkazové metódy, ani formalizácia ani axiomatizácia nám však kameň mudrcov neprinesú. Stále sa vytvárajúca neistota zostane neodstrániteľnou súčasťou aj v matematike. Z myšlienok Nie je možné dokázať bezospornosť formálneho systému dôkazovými prostriedkami, ktoré sú v skúmanom systéme formalizované. Matematika nevyrastá z jazyka, ale jazyk je možný len vďaka matematike. Som presvedčený, že matematické pojmy tvoria svoju vlastnú objektívnu realitu, ktorú nemôžeme ani stvoriť ani zmeniť, len vnímať a popisovať. Matematika popisuje mimozmyslovú skutočnosť, ktorá existuje nezávisle na aktoch aj na dispozíciách ľudskej mysle a je iba vnímaná ľudskou mysľou a to vnímaná pravdepodobne veľmi neúplne. Ak existuje vôbec niečo ako tvorenie v matematike, potom to, čo akákoľvek veta robí, je, že práve obmedzuje slobodu tvorenia. Avšak to, čo obmedzuje, musí evidentne existovať nezávisle na tvorení. Hlavnou funkciou matematiky (ako každého pojmového myslenia) je dostať pod kontrolu obrovskú rozmanitosť jednotlivostí sveta. 47

48 48 Na čo Ti bude matematika, záleží iba na Tebe. Možno, že na nič, keď Ťa nezaujíma a nebaví. Ak by si sa ale aspoň trochu snažil, možno by si niekedy neskôr vedel lepšie zápasiť s niečím iným. (E. Calda) 48

49 49 Z aforizmov profesora matematiky Chcieť nájsť pravdu je zásluha, aj keď cestou blúdime. Najnebezpečnejšie sú pravdy mierne prekrútené. Lepšie je učiť ľudí ako majú myslieť a nie čo majú myslieť. Tým sa vyhneme mnohým nedorozumeniam. Niektorí ľudia si myslia, že je rozumné všetko, čo sa robí s vážnou tvárou. Všetci robíme chyby bez rozdielu, len každý robí chyby inak. Je mnoho ľudí, ktorí iba čítajú, aby nemuseli myslieť. Nič nemôže prispieť pre kľud duše viac, ako keď nemáme vôbec žiadnu mienku. Dobrá pamäť je dobrom, ale schopnosť zabúdať, je často ešte lepším darom od Pána Boha. Človek je tak zdokonaliteľný a skaziteľný, že sa môže stať bláznom z rozumu. Som presvedčený, že človek sa v iných ľuďoch nielen miluje, ale aj nenávidí. Ten človek bol tak inteligentný, že sa na nič na svete nehodil. Existujú ľudia, ktorí majú tak málo odvahy niečo tvrdiť, že sa neodvažujú povedať, že vanie chladný vietor, nech ho akokoľvek pociťujú, pokiaľ predtým nepočuli, že to povedali iní ľudia. Dať prednosť veľkému duchu v malom tele znamená uvažovať, ale pre to sa povznesie pramálo ľudí. Na trhu s dobytkom sa upierajú oči na najväčšieho a najtučnejšieho vola. Bolo by treba sa naučiť rozoznávať medzi tým, čo človek sám vymyslel a tým, čo niekde odpíše. Ženské oči sú pre mňa tak dôležitou vecou, dívam sa do nich často, myslím si pri tom toho toľko, že keby som bol iba hlavou, dievčatá by pre mňa mohli byť iba očami. Keď nehanebník chce, môže vyzerať skromne, ale žiadny skromný človek nemôže vyzerať nehanebne. Všetko, čo skutočne múdry človek môže urobiť, je viesť všetko k dobrému cieľu a predsa brať ľudí takých, akí sú. Zlaté pravidlo: neposudzovať ľudí podľa ich názoru, ale podľa toho, čo z nich tieto názory urobili. Najväčšie šťastie na svete, o ktoré denne úpenlivo žiadam nebesá je: Aby ma v sile a vo vedomostiach prekonali iba rozumní a cnostní ľudia. Aký je človek úbohý, keď má vykonať všetko sám. Ak chceš žiť, zvykni si na mizerné počasie a nespravodlivosť ľudí. Je to, čo človek môže poznať, práve to, čo poznať má? Zapochybuj o všetkom aspoň raz, aj keby to bola veta: Dvakrát dva sú štyri. Vždy je o jedného hlupáka viac než si myslíme. Georg Christoph LICHTENBERG ( ), profesor matematiky, fyziky a astronómie v Göttingene, jeden z najznámejších nemeckých satirických spisovateľov, o ktorom sa Albert Einstein vyjadril: Čudák so záchvatmi skutočnej originality, ktorá vyústila v nesmrteľných básnických výlevoch. 49

50 50 Pedagogicko výchovné postrehy Alberta Einsteina Škola si vyžaduje, aby učiteľ bol umelcom svojho odboru. Najdôležitejšie umenie učiteľa je, aby vzbudil radosť z tvorenia a poznávania. Učiteľ by mal pôsobiť tak, že to, čo ponúkne, je prijímané ako cenný dar, a nie ako úmorná povinnosť. Vždy bolo najdôležitejšou metódou výchovy, že žiak bol nútený niečo naozaj robiť. Niet inej rozumnej výchovy ako byť príkladom; ak inak nemožno, tak odstrašujúcim. Cieľom vzdelania musí byť príprava samostatne konajúcich a mysliacich jednotlivcov, ktorí však vidia najväčší životný cieľ v službe spoločenstvu. Intelekt má ostrý zrak, ak ide o metódy a nástroje, je však slepý k cieľom a hodnotám. Cieľom každej činnosti intelektu je premena nejakého zázraku v niečo, čo pochopíme rozumom. Človek nie je stroj a zakrpatie, ak sa mu odoprie možnosť sebavýchovy a sloboda úsudku. Nech pracuje nejaký stroj hocijako dobre, vždy môže riešiť iba úlohy naň kladené, ale nikdy si ani jedinú nevymyslí. Voľná výmena myšlienok a výsledkov je nevyhnutná pre zdravý vývoj vedy a kultúrneho života vôbec. Početné sú učiteľské kreslá, ale vzácni sú múdri a šľachetní učitelia. Početné a veľké bývajú posluchárne a predsa je malý počet mladých ľudí, ktorí túžia poctivo po pravde a spravodlivosti. Skutočné poznanie môžeme nadobudnúť len vtedy, keď sa celý náš život, celá naša bytosť stane nástrojom na jeho realizáciu. Rozum nevlastní nástroje na pochopenie absolútna. Máme pred sebou jedinú skutočnosť, ktorá s nami hrá mnoho rozličných hier. Netrápte sa nad svojimi problémami s matematikou; môžem vás uistiť, že tie moje sú ešte väčšie. Matematika má oproti všetkým iným vedám mimoriadnu vážnosť: jej vety sú absolútne isté a nepopierateľné, zatiaľ čo vo všetkých ostatných vedách sú dôkazy do určitej miery sporné a sú vždy vystavené nebezpečenstvu, že odhalenie nových skutočností ich vyvráti. Pokiaľ sa matematické vety vzťahujú na skutočnosť, nie sú zaručené, a pokiaľ sú zaručené, nevzťahujú sa na skutočnosť. Rovnice sú pre mňa dôležitejšie, lebo politika je dieťaťom prítomnosti, ale rovnice sú pre večnosť. Matematika je dokonalá metóda ako vodiť sám seba za nos. Albert Einstein ( ) 50

51 51 Úsudky Emila Caldu CALDOVINY Múdrosloví matematicko-pedagogická Pán Emil CALDA, HgS (rtuťovitý stařík), pravidelne inšpiroval didaktickú obec učiteľov matematiky v Čechách svojimi nekonvenčnými príspevkami v odborno-metodických časopisoch (MFI, Rozhledy M-F, Učitel M). Z jeho dielne (Učitel matematiky, roč.6/1997, č.1) sú aj tu vybrané postrehy (preložené do slovenčiny málo vystihujúcej originál průpovídek ): Z Descartovho výroku Myslím, teda som nevyplýva, že Som, teda myslím. Logické myslenie je myslenie, ktorým sa dostávate k záverom, ku ktorým vaša žena dospela už dávno myslením normálnym. Presné matematické vyjadrovanie je jedným z najlepších spôsobov, ako sa s nikým nedorozumieť. Ak chcete, aby vám študenti nerozumeli, vyjadrujte sa čo najpresnejšie. Ťažkosti pri riešení matematických úloh sú v tom, že prvý nápad, ktorý dostanete, je pochybný a žiadny ďalší sa už nedostaví. Ak ste pri riešení úloh zvyknutí brať rozum do hrsti, môže sa vám stať, že raz v nej nič nenájdete. Ak vám zostane rozum nad nejakou úlohou stáť, je to znamenie, že ho stále ešte máte. Príklady zo života sú školské príklady, o ktorých si môžete byť istí, že ich v živote riešiť nebudete. Spojenie školy so životom je predstava, ktorá by sa možno dala uskutočniť, keby sa život dal spojiť so školou. Obťažnosť výchovy niektorých jednotlivcov je v tom, že na najvyššom stupni ich hodnôt sú tie najnižšie pudy. Rada začínajúcim pedagógom: Ak chcete trafiť do čierneho, strieľajte potme. Príkladom trojuholníka, ktorý nie je trojuholník je Pascalov trojuholník; príkladom kružnice, ktorá nie je kružnicou, je Tálesova kružnica; príkladom súčtu, ktorý nie je súčtom je súčet nekonečného radu; príkladom definície, ktorá nie je definíciou, je definícia kruhom. Tiet príklady sú príkladom príkladov, ktoré v žiadnej zbierke nenájdete. Matematická definícia je, keď sa jasný a zrozumiteľný pojem vymedzí tak, že začnete pochybovať o tom, že ešte vôbec viete, o čom je reč. Dôkaz sporom je dôkaz, ktorý obsahuje spor a pritom je nesporný. Existenčný dôkaz je, keď dokážete existenciu objektu, ktorý dovtedy, než bol tento dôkaz urobený, neexistoval. Pedagogický optimizmus je periodicky sa opakujúca nádej, že látke, ktorú dlhú dobu pravidelne vykladáte, tiež niekedy aj porozumiete. Pedagogický pesimizmus je stály životný pocit, ktorý vrcholí na konci prázdnin a začiatkom školského roka. Vyučovanie matematiky je proces, o ktorom sa začínajúci pedagógovia domnievajú, že v ňom zoznamujú mládež s večnými pravdami a zatiaľ hádžu hrach na stenu. Dobrý učiteľ matematiky je učiteľ, ktorý vie, že pre žiakov bude matematika na nič, ale pri jeho výklade na to zabudnete. 51

52 52 Max SOBEL: Rady pre stratégiu pri vzbudzovaní a udržaní záujmu o matematiku 1. Používajte materiál zo súčasnosti. 2. Vyberajte zaujímavé veci z dejín matematiky. 3. Ukazujte použitie preberaných poznatkov v praxi. 4. Nechajte odhadovať výsledky pred vyriešením. 5. Nezanedbávajte experimentovanie žiakov. 6. Pri preberaní nového učiva zmeňte aj vyučovaciu metódu. 7. Používajte čo najviac názorných pomôcok. 8. Pripravujte pre žiakov možnosti znovu objavenia. 9. Zaraďte do vyučovania úlohy rekreačnej matematiky. 10. Vyučujte s nadšením. (Rada síce posledná, ale najdôležitejšia.) G. PÓLYA: Desatoro pre učiteľov (aj matematiky): 1. Učebný premet by vás mal veľmi zaujímať. 2. Svoj vyučovací predmet musíte veľmi dobre poznať. 3. Vy i vaši žiaci sa najlepšie naučíte, ak sami objavíte niečo nové. 4. Z tvárí svojich žiakov vyčítajte, čo od vás očakávajú; predstavte si seba samých na ich mieste. 5. Odovzdávajte žiakom aj spôsob myslenia; naznačujte im uplatnenie vedomostí. 6. Naučte žiakov správne predvídať, odhaliť podstatné. 7. Ukazujte im argumenty, dôkazy. 8. Z jednotlivých prípadov odhaľujte všeobecne platné zásady. 9. Nechajte svojich žiakov postupne odhaľovať tajomstvá. 10. Len ponúkajte, nenapchávajte. 52

53 53 O matematikoch (citáty o ľuďoch žijúcich pre matematiku) Nemožno byť skutočným matematikom a nebyť trochu aj básnikom. K. Weierstrass Matematik je podobne ako básnik alebo maliar tvorcom... Prvým hľadiskom je krása. G.H. Hardy My, matematici sme tiež naozajstní a povolaní básnici, naviac ešte musíme to, čo sme vybásnili, dokázať. L. Kronecker Matematikom je ten, kto vie nachádzať analógie medzi jednotlivými tvrdeniami. S. Banach Pravý matematik je sám od seba nadšencom. Bez nadšenia niet matematiky. Novalis Cieľom matematikov je skúmanie tajomstiev myslenia. A. Rényi Matematik úplne abstrahuje do kvality predmetov a obsahu ich vzťahov. Má dočinenia iba s výpočtami a porovnaniami tých vzťahov medzi sebou. K.F. Gauss Matematik musí byť úplne čestný vo svojej práci, nie na základe vyššej morálky, ale jednoducho preto, že s nepodarkom by nemohol mať úspech. J.E. Littlewood Matematik si zvyká, že v matematike je výhodná len správny objektívna argumentácia, zbavená každej tendenčnosti a že úspech môže priniesť iba nezaujatá objektívna myseľ. A.J. Chinčin Matematici sú druhom Francúzov, keď s nimi hovoríte, preložia si to do svojej reči a potom je to hneď niečo úplne iné. J. W. Goethe Matematici sú básnici. Vyššia matematika sa dotýka tajomstva ako báseň. O. Březina Matematika je nádherná veda, ale matematici často nestoja za fajku. G. Lichtenberg Matematik sa môže spravodlivo chváliť svojou vedou i uvádzať ju ako príklad pre všetky ostatné. N.G. Černyševskij Matematik do svojich formúl ukladá celý planetárny systém, jeho postupné zmeny. P. Laplace V matematike nie je menej logiky a krásy než v šachovej hre. Ale má jednu prednosť. Matematici nesúťažia o titul absolútneho majstra. M. Euwe 53

54 54 Matematikom nie je ten, kto je zbehlý len v obťažných výkladoch, ale ten, kto zvyknúc si na matematickú prísnosť pri rôznych objavoch a dôkazoch dokáže odvodzovať v presnom a neochvejnom poriadku pravdu skrytú v prírode. M.V. Lomonosov Matematici neštudujú objekty, ale vzťahy medzi objektmi, nejde im o to, aby tieto objekty nahradili inými, pokiaľ sa vzťahy nezmenia. Predmet sám je im ľahostajný, zaujíma ich iba forma. H. Poincaré Matematikov poháňa v ich práci jedine to, že majú radi svoju vedu a disponujú určitými schopnosťami. Ich výsledky môžu, ale nemusia byť užitočné, avšak niektoré výsledky sú nepostrádateľnou podmienkou existencie dnešnej civilizácie. G.H. Hardy Matematici sa namáhajú objaviť najuniverzálnejšie predstavy pre operácie, ktoré by dovoľovali jednoducho, logicky a do jedného systému uchopiť čo najširší okruh formálnych vzájomných vzťahov. Snažiac sa dosiahnuť ideovú a logickú vycibrenosť, odkryli formule pre hlbšie preniknutie do zákonov prírody. A. Einstein Matematik je dokonalý len natoľko, nakoľko je dokonalým človekom, nakoľko v sebe cíti to krásne, ktoré je vlastné pravde, iba vtedy je jeho práca dôkladná, čistá, jasná, oduševnená, skutočne dokonalá. J.W. Goethe Práca matematikov mala vždy za cieľ priniesť nové poznatky užitočné pre inú ľudskú činnosť. P. Vopěnka 54

55 55 Nematematické odkazy Veľkosť človeka je v tom, že sa vie povzniesť nad krivdu. (Šalamún) Kto sám seba vystavuje na obdiv, nežiari. (Lao-c) Radosť musíme čerpať nie z iných, ale zo seba. (Sokrates) Človek musí počkať do večera, aby videl, aký bol krásny deň. (Sofokles) Ťažko nás opúšťajú chyby, s ktorými sme rástli. (Seneca) Všade tam, kde možno žiť, možno žiť dobre. (Marcus Aurelius) Nič tak nepoškodzuje štát, ako keď sa v ňom chytráci zdajú byť múdrymi. (F. Bacon) Je hlúposťou vyčítať hruške, že na nej nerastú figy. (B. Disraeli) Čistým ziskom nášho štúdia nech je, že sme sa stali lepšími a múdrejšími. (M. Montaigne) Iba tých pokladám za svojich priateľov, ktorí sú takí smelí, že ma upozornia na moje chyby. (R. Descartes) Ak chceme niekomu užitočne vyčítať a ukázať, že sa mýli, musíme pozorovať, z ktorej strany pozerá na vec, lebo z tej strany je obyčajne pravdivá, a priznať mu túto pravdu, ale zároveň musíme odkryť tú stranu, z ktorej je vec nesprávna. (B. Pascal) Rob iba to, čo ťa morálne povznáša, potom si môžeš byť istý, že tým môžeš byť spoločnosti najviac užitočný. (L.N. Tolstoj) Nie je umením zničiť protivníka, ale urobiť si z neho priateľa. (A. Maurois) Bohatstvo k nám môže prísť, ale k múdrosti musíme kráčať sami. (R. Young) Najhoršou chorobou, ktorou trpí svet, nie je sila zlých, ale slabosť najlepších.(r. Rolland) Krásny je život, ak urobíš niečo dobré a spravodlivé. (F.M. Dostojevskij) Statočnosť získame len vtedy, ak sa odhodláme na obetu.(a. Solženicyn) Do kníh je možné vložiť talent, ale lásku je možné vložiť iba do života. (D. Pecka) Nemožno byť vždy hrdinom. Ale vždy je možné zostať človekom. (J.W. Goethe) Čas je najlepšou cenzúrou a trpezlivosť najdokonalejším učiteľom. (F. Chopin) Príznačnou známkou génia je, že svieti vlastným svetlom. (H. Heine) Človek sám seba nepozná, dokiaľ netrpel. (J. Dutour) Ak človek nemá čas rozmýšľať, znamená to, že nechce myslieť. (J. Steibeck) Je veľkým bláznovstvom chcieť, aby sme boli múdri úplne sami. (P. Rochefoucauld) Iba keď kladieš odpor, poznáš, čo s tebou hýbe. (A. de Saint-Exupéry) Pamätajte, že nadšenie je nutnou podmienkou pre vaše úspechy a prácu. (I.P. Pavlov) Existujú tri predpoklady pre to, aby bol človek v práci šťastný: musí stáť za vecou, ktorú robí; nesmie robiť príliš veľa; musí mať pocit, že má v práci úspech. (J. Ruskin) Dobrú prácu neurobíš cudzími rukami. (P. Kapica) Pokiaľ nevieme, čo hľadáme, neporozumieme tomu, čo nájdeme. (H. Poincaré) Život je kompromis medzi tým, čo chceš, a tým, čo môžeš. Lenže najprv musíš povedať, čo chceš, potom urobíš, čo môžeš. (A. Michnik) Vždy je niekde múr, ktorý nám zabraňuje ísť ďalej. (P. Claudel) Tragédia života spočíva v tom, že dostaneme po čom túžime. (W.S. Maugham) Jediná múdrosť, v ktorú môžeme dúfať, je múdrosť pokory. (T.S. Eliot) Ak budete hľadať to najlepšie u iných, môžete objaviť to najlepšie aj v sebe. (W.A. Ward) Pracujte, aby ste udržali krok so zemou a s dušou sveta, lebo nepracovať znamená stať sa cudzincom v čase a vystúpiť z behu života, ktorý vznešene a v hrdej pokore smeruje k nekonečnu. (K. Gibran) Ži tak, aby sa z tvojich priateľov nestali nepriatelia a z tvojich nepriateľov, aby sa stali priatelia. (Pytagoras) 55

56 56 Čo treba ľuďom povedať (výber z myšlienok, ktorých autorom je A. de Saint Exupéry) Ak kladieme svoj kameň k ostatným, pomáhame stavať svet. Ak máme dávať lásku, musíme začať obetou. Ak prijímaš utrpenie rastieš. Ak dávaš, nič nestrácaš. To, čo máš, sa tým naopak rozmnožuje. Ak je človek uzavretý do seba, stáva sa chudobným. Ak sa má človek oslobodiť, najcennejšie je naučiť ho to, aby sa sám ovládal. Ak sa jedinec nadchne svojou vlastnou dôležitosťou, cesta sa hneď zmení na múr. Podmienkou šťastia je zápas, námaha a vytrvalosť. Modlitbou je každý skutok, ak človek ponúkal sám seba, aby sa uskutočnil. Katedrála je niečo iné než súhrn kameňov. Je geometriou aj architektúrou. Najrozličnejšie kamene slúžia jej jednote Dávať zo svojho srdca, to je akoby vyklenúť most cez priepasť svojej samoty. Milovať neznamená, že sa dívame jeden na druhého, ale dívať sa spolu rovnakým smerom. Priateľ je predovšetkým ten, kto neodsudzuje. Človek sa úplne prejaví, len keď zmeria svoje sily s prekážkou. Snažme sa obohatiť spoločenstvo, pretože len to zase obohacuje človeka. Pravdu treba vyhĺbiť ako studňu. Mám rád, keď človek vydáva zo seba svetlo. Iba duch zúrodňuje rozum. Človek si myslí, že prejavy života sa riadia výpočtom. Výpočty sú iba plášťom jeho túžby. Myšlienky majú takú hodnotu, akú majú ľudia. Budeš navždy zodpovedný za to, čo si k sebe pripútal. Čím viac dávaš v mene lásky, tým viac rastieš. Skutočná láska začína tam, kde za to nič nečakáš. Láska k blížnemu je povinnosťou voči Bohu cez jednotlivca akokoľvek bezvýznamného. Túžiš byť budeš až v Bohu. Kto skrz Boha miluje všetkých ľudí, miluje každého z nich nekonečne viac než ten, kto miluje jedného a len jeho zahŕňa do úzkeho okruhu svojho záujmu. Keď vstupuješ do chrámu, Boh ťa neodsudzuje, ale objíma. Tvoja pyramída nemá zmysel, ak nekončí v Bohu. Rozum má cenu, iba ak slúži láske. A. de Saint Exupéry 56

57 57 Neučesané myšlienky Prečo klamú tí, ktorí nepoznajú pravdu? Smieme sa rozchádzať s pravdou? Áno, ak ju predstihujeme. Niekedy sa lož tak priblíži pravde, že v medzere medzi nimi ťažko žiť. Ako cvičiť pamäť, aby sme vedeli zabúdať? Kto má dobrú pamäť, tomu sa ľahšie mnoho vecí zabúda. Možno sa prepočítať, keď sa s ničím nepočíta? Hrozné číslo: anonymná nula. Z radu núl sa ľahko urobí reťaz. Nejedna nula si myslí, že je elipsou, po ktorej sa točí svet. Jedinec nebuď nulou! Ich kapitál rastie. Obrastajú nulami. Nesúhlasím s matematikou. Domnievam sa, že súčet núl dá strašné číslo. Dve rovnobežky sa stretnú v nekonečne a veria tomu. Niektorí vidia pravým a ľavým okom to isté a myslia si, že to je objektivizmus. Keď musí všetko súhlasiť, musí niečo nesúhlasiť. Nebuď snob! Neklam vtedy, keď sa pravda lepšie vypláca. Rozprávaj múdro, nepriateľ načúva. Keď sa prevoláva: Nech žije pokrok vždy sa spýtaj: Pokrok v čom? Väčšina ľudí je vždy na strane väčšiny. Skráťme meter. Budeme väčší. Buďme ľuďmi aspoň tak dlho, pokiaľ veda neobjaví, že sme niečím iným. Návrat do jaskýň je nemožný, je nás priveľa. Žiadame osemhodinový deň myslenia. Hlúposť neoslobodzuje od myslenia. Myšlienky skáču ako blchy z človeka na človeka, ale nie každého hryzú. Najťažšie je premýšľať o ničom. Myslíte, že tento autor vykonal málo? Znížil celkovú úroveň. Analfabeti musia diktovať. Trpaslíkom sa musí klaňať veľmi hlboko. Dno je dnom, aj keď je obrátené nahor. Rodinný kruh sa nerobí kružidlom. Možno byť aj virtuózom falošnej hry. Nestačí hovoriť k veci, treba hovoriť k ľuďom. Všetko je v ľudských rukách. Preto sa musia často umývať. Niektoré charaktery sú nezlomné, pretože sú pružné. Svedomie mal čisté. Nepoužité. Nevypytuj sa Boha na cestu do neba, lebo ti ukáže najťažšiu. Až stratím vtip, budú ma považovať za filozofa. Poľský aforista S.J. Lec ( ) 57

58 58 Som rád, keď učím a poznávam tajomstvá skryté Predstavujem si školu rozumu a citu, zodpovednosti a spravodlivosti, mravnosti a charakteru, humanity a demokracie, statočnosti aj zušľachtenia. Školu, ktorá hľadaním postupnosti mravných hodnôt ukazuje cestu za významom i zmysluplným charakterom života. Chcem, aby škola prispievala oslobodením ducha k múdrosti a láskavosti, k zárukám dôstojnosti človeka a rozvoju jeho jedinečnosti a neopakovateľnosti. V škole je potrebné pripraviť prostredie vzájomnej spolupráce, mravnej obrody i radosti z neustáleho činorodého poznávania. Charakterové a mravné hodnoty sebazdokonaľovania zdôrazňujú vnútornú slobodu a osobnú zodpovednosť každej ľudskej osobnosti. Ani jeden maliar, ani jeden sochár sa nevyrovná tomu, kto vie formovať ľudskú osobnosť. Výchova a vzdelávanie majú byť súzvukom zdôvodnených zmysluplných myšlienok a precíteného ľudského záujmu. Nesmú byť iba vydávaním pokynov a oznamovaním nových informácií. Dobrý učiteľ pozýva na dialóg, kladie a odpovedá na otázky, znepokojuje i povzbudzuje k činnosti. Skúsený učiteľ inšpiruje, pripravuje hlboké zážitky z pravdivého poznávania, rozvíja charakteristické črty ľudskosti duchom pravdy, dobra a lásky. Výchova a vzdelávanie sú pre ľudskú spoločnosť nenahraditeľné. Na svete nie je nič dôležitejšie a bohatšie ako ľudská osobnosť. Každý mladý človek je neopakovateľná príležitosť pre rozvoj tvorivého ducha i čistého svedomia. Tušíme, že ľudskosť je v tom, že vieme poznávať svet, v ktorom žijeme a že tento svet aj milujeme. Vedecké poznávanie a nezištná láska vytvárajú jednotu zmysluplného ľudského života. Od učiteľov nechceme málo. Majú byť príkladom harmonických osobností. Pokojní, trpezliví, citliví, a spravodliví. Ľudia milujúci svoju učiteľskú profesiu, vyznačujúci sa úctou k mladej rozvíjajúcej sa osobnosti. Nároční a dôslední vo vyučovaní i výchove, voči sebe aj svojim žiakom. Kritici i radcovia s aktívnym morálno vôľovým predsavzatím pre štúdium i spoločenský život. Už viem, že učiť možno slovami, ale vychovávať možno iba príkladom. Ak nemožno inak, tak aj náznakom odstrašujúcim. Spisovateľ Karel Čapek vtipne naznačil: Učiteľ, ktorý má rád svoj učebný predmet a sám si ho neustále spracúva a rozširuje, ktorý svoju náuku považuje za tak krásnu a pre život potrebnú, že poctivo a túžobne chce z nej pre žiakov vybrať to najcennejšie a ideovo najvyššie, je dobrý a dokonalý pedagóg... Je veľkým šťastím pre každého, ak stretol vo svojom živote zodpovedného učiteľa. 58

59 59 Svojim žiakom som chcel umožňovať radosť z premýšľania, podnecovať ich pre nadšenie i zápas o pochopenie zmyslu a príčin javov, ktoré nás obklopujú. Ponúkal som presvedčenie, že šťastie a pokoj možno hľadať v našich osobných myšlienkach, v spolupráci na duchovných hodnotách každého z nás. Vyznávam, že najvyšším prejavom ľudskosti je vzájomné láskavé porozumenie a obetavá nezištná spolupráca. Chcem rozsievať ideály, myšlienky pravdy, lásky a dobra, pre slobodných ľudí so zodpovedným svedomím, mravným zázemím a zmysluplným poznaním. Zdá sa mi, že učiteľský život je aj konfrontáciou so zázrakmi... Spoznávaním rozmanitých stránok prírody i spoločenského života odhaľujeme až neuveriteľnú harmóniu pravdy na duchovnej úrovni sveta i života, v ktorom môžeme spracúvať informácie, vytvárať myšlienkové modely a očakávať aspoň intuitívny dotyk s mohutnosťou Toho, ktorý je nevyhnutnou podstatou, prvou príčinou i večným zmyslom. 59

60 60 ČO SI PREČÍTAŤ O MATEMATICKEJ KULTÚRE (výber z popularizačnej, rekreačno zábavnej, logicko poučnej, didakticko odbornej i historicko filozofickej knižnej produkcie v českom alebo slovenskom jazyku) ACZEL, A.D.: Náhoda příručka pro hazardní hráče,... Praha: Dokořán, ACZEL, A.D.: Umělec a matematik. Praha: Academia, ADLER, I.: Čísel hra kouzelná. Praha: Horizont, ACHESON, D.: 1089 a další parádní čísla. Praha: Dokořán, ANDĚL, J.: Matematika náhody. Praha: Matfyzpress, ATALAY, B.: Matematika a Mona Lisa. Praha: Slovart, 2007 AUSBERGEROVÁ, M. FOLK, R.: Rozvíjení myšlení žáků při vyučování. Praha: PF UK, BALADA, F.: Z dějin elementární matematiky. Praha: SPN, BÁLINT, V. KRIŽALKOVIČ, K.: Album slávnych matematikov. Banská Bystrica: UP, BARROW, J.D.: Kniha o nekonečnu. Praha: Paseka, BARROW, J. D.: Pí na nebesích (O počítaní, myšlení, bytí). Praha: Mladá fronta, BECKMANN, P.: Historie čísla π. Praha: Academia, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Historie matematiky I. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v 19. století. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Člověk, umění, matematika. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Historie matematiky II. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v proměnách věků I. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v 16. a 17. století. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v proměnách věků II. Praha: Prometheus, BEČVÁŘ, J. a kol.: Seznamujeme se s množinami. Praha: SNTL, BEČVÁŘ, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě. Praha: Prometheus, BEČVÁŘOVÁ, M.: Z historie Jednoty ( ). Praha: Prometheus, BEČVÁŘOVÁ, M.: Eukleidovy ZÁKLADY, jejich vydání a překlady. Praha: Prometheus, BEHÚNOVÁ, V.: Úvod do logiky pedagogického myslenia. Prešov: PU, BEĽAJEV, J. PERMINOV, V.: Filozofické a metodologické problémy matematiky. Bratislava: Pravda, BENDOVÁ, K.: Sylogistika. Praha: Karolinum, BERAN, L. ONDRÁČKOVÁ, I.: Prověřte si své matematické nadání. Praha: SNTL, BERAN, L. ONDRÁČKOVÁ, I.: Žádné obavy z matematiky. Praha: SPN, BERO, P.: Matematici, ja a ty. Bratislava: Mladé letá, BERKA, K.: Stručné dějiny logiky. Praha: BERKA, K. JAURIS, M.: Logika. Praha: SPN, BERKA, K. MLEZIVA, M.: Co je logika? Praha: NPL, BEUTELSPACHER, A.: Matematika do vesty. Praha: Baronet, BIZÁM, G. HERCZEG, J.: Hra a logika v 85 príkladoch. Bratislava: Alfa, BIZÁM, G. HERCZEG, J.: Zaujímavá logika. Bratislava: Alfa, BOBER, J.: Malá encyklopédia bádateľov a vynálezcov. Bratislava: Obzor, BOCHEŃSKI, J.M.: Cesty k filosofickému myšlení. Praha: Svoboda, BOKR, J. SVATEK, J.: Základy logiky a argumentace. Dobrá Voda: Čeněk, BUKOVSKÝ, L.: Množiny a všeličo okolo nich. Bratislava: Alfa, BURJAN, V. a kol.: Matematický koktail. Bratislava: SPN, CARROL, L.: Logika hrou. Praha: Pressfoto, CIRJAK, M.: Zbierka divergentných a iných neštandardných úloh. Prešov: Essox, COLERUS, E.: Od násobilky po integrál. Bratislava: Alfa, COLERUS, E.: Od Pythagory k Hilbertovi. Praha: Družstevní práce, CRYAN, D. a kol.: Logika. Praha: Portál, CSONTOS, L.: Úvod do logiky. Bratislava: Dobrá kniha, CVIK, P. a kol: Program pre záujmový útvar matematiky, pre 1. a 2. roč. SŠ. Bratislava: SPN, ČECH, V.: Proč děláme důkazy v matematice. Praha: SPN, ČECHÁK, V. a kol.: Co víte o moderní logice? Praha: Horizont, ČERNÝ, I.: Úvod do inteligentního kalkulu (1000 příkladů z elementární analýzy). Praha: Academia ČUPR, K.: Aritmetické hry a zábavy. Praha: JČMF, ČUPR, K.: Geometrické hry a zábavy. Praha: JČMF, DEPMAN, I. FOLTA, J.: Svet čísel. Bratislava: SPN, DERBYSHIRE, J.: Posedlost prvočísly. Praha: Academia, DEVLIN, K.: Jazyk matematiky. Praha: Argo a Dokořán, DEVLIN, K.: Problémy pro třetí tisíciletí (Sedm nejvĕtších nevyřešených otázek matematiky). Praha: ARGO, DOBROVOLNÝ, B.: Matematické rekreace. Praha: Práce, 1961, DOBROVOLNÝ, B.: Nové matematické rekreace. Praha: SNTL, DOKULIL, M.: Logika pro pedagogy. Praha: SPN, DUPAČ, V. HÁJEK, J: Pravděpodobnost ve vědě a technice. Praha: NČSAV, DUŠEK, F.: Matematické záujmové krúžky. Bratislava: SPN, DYNKIN, J.B.: Matematické hlavolamy. Bratislava: Alfa, 1976,

61 61 EUKLEIDES: Základy I IV. Nymburk: OPS, FISCHER, R. MALLE, G.: Človek a matematika. Bratislava: SPN, FOLTA, J.: Dějiny matematiky I. Praha: NTM, FOLTA, J. a kol.: Matematici Encyklopedická edice LISTY. Praha: Encyklopedický dům, FOLTA, J. NOVÝ, L.: Dějiny přirodních věd v datech. Praha: Mladá fronta, FOLTA, J. NOVÝ, L.: Dejiny prírodných vied v dátach. Bratislava: Smena, FOLTA, J. ŠEDIVÝ, J. a kol.: Dějiny matematiky a fyziky v obrazech I. VIII. Praha: JČSMF, FRANEK, M.: Od algebry k počítačom. Bratislava: SPN, FREGE, G.: Základy aritmetiky (Logicko matematické skúmanie pojmu čísla). Bratislava: Veda, FULIER, J. SEDIVÝ, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. Nitra: UKF-FPV, FUCHS, E. a kol.: Světonázorové problémy matematiky IV. Praha: SPN, GAHÉR, F.: Logické hádanky, hlavolamy, paradoxy. Bratislava: Iris, GAHÉR, F.: Logika pre každého. Bratislava: IRIS, GAJTANSKA, M. KOSMÁK, L.: Diagramy v matematike. Zvolen: Matcentrum, GATIAĽ, J. a kol.: Hry takmer matematické. Praha: Mladá fronta, GLADE, H.: Na začiatku bol abakus. Bratislava: Smena, GOGA, M.: Vieš, uhádneš (hlavolamy). Bratislava: Videopress, GOGA, M. PINDA, Ľ.: Úlohy pre bystré hlavy. Bratislava: SPN, GOLDSTEINOBVÁ, R.: Neúplnost. Důkaz a paradox K. Gödela. Praha: Dokořán, GOWERS, T.: Matematika. Praha: Dokořán, GÖDEL, K.: Filosofické eseje. Praha: Oikoymenh, GÖRKEOVÁ, L. a kol.: Matematika zo všetkých strán. Bratislava: Mladé letá, GÖRKEOVÁ, L. a kol.: Zajímavá matematika. Praha: Albatros, HARDY, G..H.: Obrana matematikova. Praha: Prostor, HAVLÍČEK, K. a kol.: Cesty moderní matematiky. Praha: Horizont, HAUPT, D.: Množinový počet zrozumiteľne. Bratislava: Alfa, HEJNÝ, M. a kol.: Dvacet pĕt kapitol z didaktiky matematiky. Praha: UK PdF, 2004 HEJNÝ, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, HEJNÝ, M. KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, HEJNÝ, M. MICHALCOVÁ, A.: Skúmanie matematického riešiteľského postupu. Bratislava: MC, HEJNÝ, M. NIEPEL, Ľ.: Šestnásť matematických príbehov. Bratislava: Mladé letá, HONČARIV, R.: Matematické obrazy života. Bratislava: Obzor, HONZÍKOVI, K. a M.: Dobroduržství čísel. Praha: Svoboda, HROMEK, P.: Logika v příkladech. Olomouc: UP, HRUŠA, K. a kol.: Úvod do studia matematiky. Praha: SPN, CHURCH, A.: Úvod do matematické logiky. Brno: UJEP, JANÁK, V.: Základy formální logiky. Praha: SPN, JAURIS, M.: Logika. Praha: SPN, JAURIS, M, ZASTÁVKA, Z.: Základy neformální logiky. Praha: S & M, JEDINÁK, D.: Etudy o matematikoch. Bratislava: MC, JEDINÁK, D.: K otázke motivácie a popularizácie pri vyučovaní matematiky. Bratislava: SPN, JEDINÁK, D.: Významné osobnosti matematickej kultúry. Trnava: TU, JELÍNEK, M.: Logické prvky ve školské matematice. Praha: SPN, JIRKŮ, P. a kol.: Miscellanea logica I. Praha: Karolinum, JUŠKEVIČ, A.P.: Dějiny matematiky ve středověku. Praha: Academia, KAC, M. - ULAM, S.: Matematika a logika. Praha: SPN, KADEŘÁVEK, F.: Geometrie a umění v dobách minulých. Praha: 1935, KARFÍKOVÁ, L. ŠÍR, Z.: Číslo a jeho symbolika od antiky po renesanci. Brno: CDK, KATĚTOV, M.: Jaká je logická výstavba matematiky. Praha: JČSMF, KITAJGORODSKIJ, B. N.: Nepravdepodobné = neskutočné. Bratislava: Smena, KOLÁŘ, P.: Argumenty filosofické logiky. Praha: Filosofia, KOLMAN, A.: Dějiny matematiky ve starověku. Praha: Academia, KOMAN, M. VYŠÍN, J.: Malý výlet do moderní matematiky. Praha: Mladá fronta, KONFOROVIČ, A. G.: Významné matematické úlohy. Praha: SPN, KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem: UJEP, KOPKA, J.: Zkoumání ve školské matematice. Ružomberok: KU, 2006 KORDEMSKIJ, B. N.: Hry, triky, hlavolamy. Bratislava: Obzor, KOŠČ, L. Psychológia matematických schopností. Bratislava: SPN, KOVAL, V.: Kamaráti čísla. Bratislava: SPN, KOWAL, S.: Matematika pro volné chvíle. Praha: SNTL, 1975, KRIŽALKOVIČ, K.: Obrazy z histórie matematiky. Banská Bystrica: Učebné pomôcky, KUDRIAVCEV, L.D.: Úvahy o súčasnej matematike a jej vyučovaní. Bratislava: SPN, KUNOVSKÁ, E.: Vědu dělají lidé. Praha: Pressfoto, KUŘINA, F.: Deset geometrických transformací. Praha: Prometheus, KUŘINA, F.: Problémové vyučování v geometrii. Praha: SPN, KUŘINA, F.: Umění vidět v matematice. Praha: SPN, KUŘINA, F. PŮLPÁN, Z.: Podivuhodný svĕt elementární matematiky. Praha: Academia,

62 62 KVASZ, L.: O revolúciách vo vede a ruptúrach v jazyku vedy. Bratislava: UK, LEPKA, K.: Historie Fermatových kvocientů (Fermat Lerch). Praha: Prometheus, LIESSMANN, K. ZENATY, G.: O myšlení. Olomouc: Votobia, LIVIO, M.: Neřešitelná rovnice. Praha: Dokořán Argo, LIVIO, M.: Zlatý řez. Praha: Dokořán Argo, LUHAN, E.: Kapitoly z dĕjin matematiky. České Budĕjovice: PF, MAČÁK, K.: Počátky počtu pravděpodobnosti. Praha: Prometheus, MAČÁK, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh. Praha: Prometheus, MAČÁK, K. SCHUPPENER, G.: Matematika v jezuitském Klementinu ( ). Praha: Prometheus, MALÁČ, J. KURFÜRST, J.: Zajímavé úlohy z učiva matematiky ZŠ. Praha: SPN, MALINA, J. NOVOTNÝ, J.: Kurt Gödel. Brno: NUM, MAREŠ, M.: Příběhy matematiky. Příbram: Pistorius & Olšanská, 2008 MAREŠ, M.: Slova, která se hodí aneb jak si povídat o matematice,... a informatice. Praha: Academia, MATERNA, P.: Viete logicky myslieť? Bratislava: SPN, MATERNA, P.: Svět pojmů a logika. Praha: Filosofia, MATHÉ, S.: Moderná logika. Prešov: VMV MATERNA, P. a kol.: Logická analýza přirozeného jazyka. Praha: Academia, MATOUŠEK, J. NEŠETŘIL, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Praha: Karolinum, MIKAN, M.: Jak se vyvinula matematika a geometrie. Praha: Orbis, MLEZIVA, M.: Neklasické logiky. Praha: Svoboda, MLODINOW, L.: Eukleidovo okno. Praha: Slovart, MOČALOV, L. P.: Hlavolamy. Praha: Mladá fronta, MOISEJEV, N. N. a kol.: Číslo a myšlení. Praha: Mladá fronta, MRÁZEK, J.: Taje matematiky. Praha: Práce, NAGEL, E. NEWMAN, J.R.: Gödelův důkaz. Brno: VUTIUM, NEMOGA, K.- RIEČAN, B.: Matematika v b mol (Š. Schwarz matematik a pedagóg). Bratislava: Veda, NOVOVESKÝ, Š. a kol.: Zábavná matematika. Bratislava: SPN, 1975, NOVOVESKÝ Š. a kol.: 777 matematických zábaviek a hračiek. Bratislava: SPN, NOVÝ, L. a kol.: Dějiny exaktních věd v českých zemích do konce 19. století. Praha: NOWAK, Z.: Kosmické hlavolamy. Praha: SNTL, OLEJÁR, M.: Úvod do vedy. Bratislava: Young Scientist, OPAVA, Z.: Matematika kolem nás. Praha: Albatros, PAPPASOVÁ, T.: Potešenie z matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo Nebojsa, PENROSE, R.: Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl. Praha: Mladá fronta, PEREGRIN, J. (ed): Logika 20. století: medzi filosofií a matematikou. Praha: Filosofia, 2006 PERELMAN, J. I.: Zajímavá algebra. Praha: SNTL, PERELMAN, J. I.: Zajímavá geometrie. Praha: Mladá fronta, PERELMAN, J. I.: Živá matematika. Bratislava: Alfa, PÉTEROVÁ, R.: Hra s nekonečnem. Praha: Mladá fronta, PLOCKI, A.: Pravděpodobnost kolem nás. Ústí nad Labem: Univerzita J.E. Purkyně, PLOCKI, A.: Pravdepodobnosť okolo nás. Ružomberok: KU, POPPER, K.R.: Logika vědeckého bádání. Praha: Oikoymenh, POSPÍŠIL, B.: Nekonečno v matematice. Praha: JČSMF, PÖSS, O.: Dejiny exaktných vied na Slovensku od polovice 19. storočia do roku Bratislava: Veda, PRIEST, G.: Logika (Průvodce pro každého). Praha: Dokořán, PUNČOCHÁŘ, M.: Nedaleko nekonečna. Praha: Academia, REKTORYS, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika. Praha: Academia, RÉNYI, A.: Dialógy o matematike. Bratislava: Alfa, RÉNYI, A.: Dialogy o matematice. Praha: Mladá fronta, 1980, RIEČAN, B.: Príbehy o integráloch. Bratislava: SPN, RIEČAN, B. ZNÁM, Š.: Otec, matka, matematika a ja. Bratislava: SPN, ROSENTHAL, J.S.: Zasažen bleskem (Podivuhodný svět pravdepodobností). Praha: Academia, SARTORI, E.: Velikáni francouzské vědy. Praha, KRIGL, SEDLÁČEK, J.: Nebojte sa matematiky. Bratislava: SVTL, SEIFE, CH.: Nula. Praha: Dokořán Argo, SELUCKÝ, O.: Logika pro střední školy. Praha: Fortuna, SINGH, S.: Velká Fermatova věta. Praha: Academia, SMULLYAN, R.: Jak se jmenuje tahle knížka? Praha: Mladá fronta, SMULLYAN, R.: Logika prvého rádu. Bratislava: Alfa, SMULLYAN, R.: Navĕky nerozhodnuto. Praha: Academia, SMULLYAN, R.: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy. Praha: Portál, SOCHOR, A.: Klasická matematická logika. Praha: Karolinum, SOUSEDÍK, P.: Logika pro studenty humanitních oborů. Praha: Vyšehrad, STEINHAUS, G.: Matematický kaleidoskop. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, STEWART, I.: Čísla prírody. Bratislava: Archa, STEWART, I.: Hraje Bůh kostky? Praha: Argo/Dokořán, STEWART, I.: Odsud až do nekonečna (Průvodce moderní matematikou). Praha: ARGO a Dokořán,

63 63 STOLJAR, A.A.: Logické problémy vyučování matematice. Praha: KPÚ, STREČKO, V.: Desať kapitol z teórie vyučovania matematiky 1., 2. Prešov: MPC, 2004 STREČKO, V.: Pohľady do dejín matematiky ako forma motivácie matematickej činnosti. Prešov: MC, STROUHAL, J.: Hádej, hádej, hadači. Praha: SNDK, STRUIK, D. J.: Dějiny matematiky. Praha: Orbis, SVATEK, J.: Úvod do logiky. Praha: ČVUT, SWOBODA, H.: Moderní statistika. Praha: Svoboda, SUCHOTIN, A. K.: Paradoxy vedy. Bratislava: Smena, SUCHOTIN, A. K.: Rytmy a algoritmy. Bratislava: Smena, SZOMOLÁNYI, J.: Základné logické kalkuly. Bratislava: FF UK, ŠALÁT, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Bratislava: Obzor, ŠARMANOVÁ, P. SCHWABIK, Š.: Malý průvodce historií integrálu. Praha: Prometheus, ŠEDIVÝ, J.: Antologie matematických didaktických textů Praha: SPN, ŠEDIVÝ, J. a kol.: Filosofické a vývojové problémy matematiky 1, 2. Praha: ŠEDIVÝ, J. a kol.: Světonázorové problémy matematiky I III. Praha: SPN ŠEDIVÝ, J.: O modernizacii školské matematiky. Praha: SPN, ŠEDIVÝ, J.: O modernizácii školskej matematiky. Bratislava: SPN, ŠEDIVÝ, O.: Didaktika matematiky. Bratislava: SPN, ŠIŠMA, P.: Teorie grafů Praha: Prometheus, ŠOFR, B.: Populárne o počte pravdepodobnosti. Bratislava: SVTL, 1967, Alfa ŠTĚPÁN, J.: Klasická logika. Olomouc: UP, ŠTĚPÁN, J.: Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, ŠTĚPÁN, J. HRUBEŠ, J.: Logika terminologický a výkladový slovník. Ostrava: Scholaforum, ŠTĚPÁNEK, P.: Matematická logika. Praha: SPN ŠTOLL, I.: Historky o slavných fyzicích a matematicích. Praha: Prometheus, TARSKI, A.: Úvod do logiky. Praha, Academia, TARSKI, A.: Úvod do metodologie deduktívnych věd. Praha: Academia, TICHÝ, P.: Logika. Praha: SPN, TELEPOVSKÝ, M.: Matematické hlavolamy. Nitra: Enigma, THIELE, R.: Matematické důkazy. Praha: SNTL, TUGENDHAT, E. WOLFOVÁ, V.: Logicko sémantická propedeutika. Praha: Rezek, VARGA, T.: Hrajme sa s matematikou. Bratislava: Mladé letá, VARGA, T.: Matematická logika pre začiatočníkov I, II. Bratislava: Alfa, VEJMOLA, S.: Konec záhady hlavolamů. Praha: SPN, VETTER, Q.: Jak se počítalo a měřilo na úsvitě kultúry. Praha: VILENKIN, N.I.: Neznámy svět nekonečných množin. Praha: SNTL, VILENKIN, N.I.: Rozhovory o množinách. Bratislava: SPN, VOLEK, P.: Úvod do logiky a teórie vedy. Bratislava: Update Studio, VOPĚNKA, P.: Horizonty nekonečna. Praha: Moraviapress, VOPĚNKA, P.: Podivuhodný květ českého baroka. Praha: Karolinum, VOPĚNKA, P.: Rozpravy s geometrií. Praha: Panorama, VOPĚNKA, P.: Uhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Praha: Práh, VOPĚNKA, P.: Vyprávní o kráse novobarokní matematiky. Praha: Práh, VYŠÍN, J.: Metodika řešení matematických úloh. Praha: SPN, VYŠÍN, J.: Štyri kapitoly o problémovom vyučovaní matematiky. Bratislava: SPN, WESLEY, R.: Matematika pre každého. Bratislava: Alfa, ÚLEHLA, J.: Dějiny matematiky I II. Praha: 1901, WHITEHEAD, A.N.: Matematika a dobro a jiné eseje. Praha: Mladá fronta, WITTGENSTEIN, L.: Poznámky o základech matematiky. Praha: QUINE, W.V.: Od stimulu k věde. Praha: Filosofia, ZASTÁVKA, Z.: Vše, co není zakázano, se nesmí (O logice formální i neformální). Praha: Radix, ZAPLETAL, M.: Kniha hlavolamů. Praha: Albatros, ZAPLETAL, M.: Kniha hlavolamov.bratislava: Mladé letá, ZELINKA, B.: Matematika hrou i vážne. Praha: Mladá fronta, ZICH, O.: Úvod do filosofie matematiky. Praha: JČSMF, ZICH, O.: Logika pro praxi. Praha: Práce, ZICH, O. a kol.: Moderní logika. Praha: Orbis, ZICH, O. KOLMAN, A.: Zajímavá logika. Praha:1964. ZLATOŠ, P.: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou. Bratislava: IRIS, ZNÁM, Š. a kol.: Pohľad do dejín matematiky. Bratislava: Alfa, Ponúkaný prehľadový výber určite nie je úplný, ani zaradenie do zvolenej tematiky nie je jednoznačné. Každý záujemca si môže predložený súbor dopĺňať, aktualizovať a ponúkať svojim kolegom i študentom. Aj v časoch internetu patrí do učiteľských i študentských rúk vhodná knižka (napríklad Populární encyklopédie matematiky. Praha: SNTL, 1971) s informáciami pre lepšie spoznanie počtov a merby, našej klasickej školskej matematiky. Každé zmysluplné vzdelanie je podmienené aj znalosťou intelektuálne všestranne užitočnej matematickej kultúry. Prajem vám šťastnú ruku pre vhodný výber i potechu ducha pri rozvážnom študovaní. (dmj) 63

64 64 Slovo pre rozlúčenie Možno aspoň v závere poznámok o nezvyčajnej popularizačnej činnosti (zbieranie pôsobivých citátov o svete matematickej kultúry) treba spomenúť sympatický názor, ktorý ponúkal anglický dramatik J. Fletcher ( ): Kto je obklopený ušľachtilými myšlienkami, nie je nikdy sám. Rád opakujem so Senecom: Čokoľvek a kýmkoľvek ak je dobre povedané, pokladám za svoje. Dúfam, že súboru takto zozbieraných myšlienok nevadí ani to, že sa niektoré z nich veľmi podobajú alebo aj opakujú, ani to, že nie je uvedený ich publikačný zdroj. Nechcel som vylučovať opakujúce sa citáty, ak patria do viacerých zvolených tematických okruhov. Neuviedol som podrobný prehľad literárnych prameňov, z ktorých som čerpal, pretože som si ho v priebehu mnohých rokov precízne neviedol. Viem, že som si nevymýšľal, len výnimočne som text gramaticky upravil, možno veľmi málo významovo posunul. Zaručujem autentickosť tohto výberu myšlienok, výrokov i aforizmov pokiaľ mi ju použité pramene umožnili. Budem rád, ak mnou vyhľadané vyjadrenia známych i menej slávnych osobností použijete pre väčšiu česť a slávu matematickej kultúry, ktorá nám umožňuje argumentovať v rozumových súradniciach nášho poznania. Rozumieť niečomu, to znamená nájsť v tom niečo, čo je naše, a práve toto objavovanie seba mimo nás je to, čo nás teší (R. Thákur). Prajem vám potešenie nielen z myšlienok, ktoré tu ponúkam, ale aj z tých vašich i ďalších iných, ktoré víria v každom tvorivom ľudskom vedomí. Dušan Jedinák =================================================================== 64

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti 4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A.

Pravdivostná hodnota negácie výroku A je opačná ako pravdivostná hodnota výroku A. 7. Negácie výrokov Negácie jednoduchých výrokov tvoríme tak, že vytvoríme tvrdenie, ktoré popiera pôvodný výrok. Najčastejšie negujeme prísudok alebo použijeme vetu Nie je pravda, že.... Výrok A: Prší.

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky

Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky

Διαβάστε περισσότερα

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili

Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru

Διαβάστε περισσότερα

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017

Kompilátory. Cvičenie 6: LLVM. Peter Kostolányi. 21. novembra 2017 Kompilátory Cvičenie 6: LLVM Peter Kostolányi 21. novembra 2017 LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov LLVM V podstate sada nástrojov pre tvorbu kompilátorov Pôvodne Low Level Virtual Machine

Διαβάστε περισσότερα

Testament obchodníka s nábytkom. Malý slovník ΙΚΕΑ

Testament obchodníka s nábytkom. Malý slovník ΙΚΕΑ VYDÁVA INTER IKEA SYSTEMS B.V. 2007 Testament obchodníka s nábytkom Malý slovník ΙΚΕΑ Ingvar Kamprad, zakladateľ IKEA Obsah Testament obchodníka s nábytkom Vytvárať lepší každodenný život pre väčšinu ľudí

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ

O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ HCJB SLOVENSKO HLAS EVANJELIA Relácie spracované do 26 častí v r. 2005. O T Č E N Á Š VÝKLAD MODLITBY PÁNOVEJ AUTOR: MGR. PAVEL HANES PHD. Spracoval kol. HCJB-Sk ved. M. Hudec MODLITBA PÁNOVÁ ÚVOD: /vyjadrenie

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER. v školách pribúda. Jeho príspevok obsahoval okrem iného aj otázku: Prečo

A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER. v školách pribúda. Jeho príspevok obsahoval okrem iného aj otázku: Prečo I. STRAUSSOVÁ: UČITELIA ČASTO NEKLADÚ OTÁZKY, IBA PLNIA PRÍKAZY A. BELAN: AKO UDRŽAŤ V TRIEDE MIER str. 4 6 str. 8 9 str. 14 DOBRÁ ŠKOLA D. KRÁLIK: DAJME SVETU VEDIEŤ, ŽE UČÍME INAK! II. ROČNÍK INŠPIRÁCIA

Διαβάστε περισσότερα

TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018

TEST Z MATEMATIKY. Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 TEST Z MATEMATIKY Prijímacie skúšky na školský rok 2017/2018 Milí žiaci, máte pred sebou test z matematiky ku prijímacím skúškam. Budete ho riešiť na dvojhárok. Najprv na nalepený štítok dvojhárku napíšte

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Planárne a rovinné grafy

Planárne a rovinné grafy Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia pojmu derivácia

Motivácia pojmu derivácia Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)

Διαβάστε περισσότερα

Analýza údajov. W bozóny.

Analýza údajov. W bozóny. Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet

Διαβάστε περισσότερα

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Ing. Pavol Vajdečka PROJEKTOVÁ VÝUKA FYZIKY NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Katedra didaktiky fyziky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Vojtěch Žák,

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

Reprezentácia informácií v počítači

Reprezentácia informácií v počítači Úvod do programovania a sietí Reprezentácia informácií v počítači Ing. Branislav Sobota, PhD. 2007 Informácia slovo s mnohými významami, ktoré závisia na kontexte predpis blízky pojmom význam poznatok

Διαβάστε περισσότερα

AKO RIEŠIŤ MATEMATICKÉ PROBLÉMY. Jan Kopka

AKO RIEŠIŤ MATEMATICKÉ PROBLÉMY. Jan Kopka AKO RIEŠIŤ MATEMATICKÉ PROBLÉMY Jan Kopka Ružomberok 2010 Kniha vydaná s podporou projektu na rozvoj vedy a techniky č. 062-04KU- 8/2008 Stredisko didaktiky matematiky pre transfer poznatkov a projektu

Διαβάστε περισσότερα

Učebné osnovy: Fyzika. Ročník: 9., Počet hodín : 1+0 hodiny týždenne, spolu 33 hodín ročne ŠVP:

Učebné osnovy: Fyzika. Ročník: 9., Počet hodín : 1+0 hodiny týždenne, spolu 33 hodín ročne ŠVP: Učebné osnovy: Fyzika Ročník: 9., Počet hodín : 1+0 hodiny týždenne, spolu 33 hodín ročne ŠVP: ŠkVP: Stupeň vzdelania: Forma štúdia: Štátny vzdelávací program pre 2. stupeň ZŠ v Slovenskej republike Základná

Διαβάστε περισσότερα

vybral a zostavil Dušan Jedinák MMXVII

vybral a zostavil Dušan Jedinák MMXVII 1 Predovšetkým pre ZŠ Tribečská ul. v Topoľčanoch, učiteľom i žiakom, pri 50. výročí založenia školy vybral a zostavil Dušan Jedinák MMXVII 1 2 Úvodné rozjímanie emeritného učiteľa počtov a merby Ešte

Διαβάστε περισσότερα

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita. Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [

Διαβάστε περισσότερα

Numerické metódy matematiky I

Numerické metódy matematiky I Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

2 hodiny týždenne / 66 hodín ročne

2 hodiny týždenne / 66 hodín ročne Názov predmetu Časový rozsah predmetu Ročník FYZIKA 2 hodiny týždenne / 66 hodín ročne Deviaty Kód a názov ŠVP Stupeň vzdelania Vyučovací jazyk Typ školy ISCED 2 nižšie stredné vzdelávanie základné slovenský

Διαβάστε περισσότερα

Spojitosť a limity trochu inak

Spojitosť a limity trochu inak Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín

Ročník: šiesty. 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích hodín OKTÓBER SEPTEMBER Skúmanie vlastností kvapalín,, tuhých látok a Mesiac Hodina Tematic ký celok Prierezo vé témy Poznám ky Rozpis učiva predmetu: Fyzika Ročník: šiesty 2 hodiny týždenne, spolu 66 vyučovacích

Διαβάστε περισσότερα

Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce

Vzdelávacia oblasť: Človek a príroda 2. STUPEŇ ZŠ - ISCED 2. Základná škola Pavla Horova Michalovce Základná škola Pavla Horova Michalovce ŠKOLSKÝ ROK: 2016/2017 9. ROČNÍK FYZIKA Vypracovala: Mgr. Gabriela Gombošová Obsah Charakteristika predmetu.... 2 Ciele učebného predmetu.... 3 Kľúčové kompetencie...

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008) ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály

Διαβάστε περισσότερα

Aktivity vo vyučovaní fyziky

Aktivity vo vyučovaní fyziky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky Aktivity vo vyučovaní fyziky Σµρεκοϖιχα 6. 8. σεπτεµβερ 2006 Zborník príspevkov Knižničné a

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

K výročiam významných matematikov

K výročiam významných matematikov K výročiam významných matematikov (v školskom roku 2013/2014) Zostavil Dušan JEDINÁK Topoľčany 2011 2 Úvodná ponuka Už dlhšiu dobu tušíme, že príležitostnou spomienkou na ľudí spojených s matematickou

Διαβάστε περισσότερα

alu OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA DREVENÉ OKNÁ A DVERE Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom.

alu OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA DREVENÉ OKNÁ A DVERE Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom. DREVENÉ OKNÁ A DVERE m i r a d o r 783 OKNÁ, ZA KTORÝMI BÝVA POHODA EXTERIÉROVÁ Profil Mirador Alu 783 Drevohliníkové okno s priznaným okenným krídlom. Je najviac používané drevohliníkové okno, ktoré je

Διαβάστε περισσότερα

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová

CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Výpočet hmotnostného zlomku, látkovej koncentrácie, výpočty zamerané na zloženie roztokov CHÉMIA Ing. Iveta Bruončová Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov

Διαβάστε περισσότερα

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:

1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín: 1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

K výročiam významných matematikov (v školských rokoch 2016/2017 až 2020/2021)

K výročiam významných matematikov (v školských rokoch 2016/2017 až 2020/2021) 1 K výročiam významných matematikov (v školských rokoch 2016/2017 až 2020/2021) Zostavil Dušan Jedinák, emeritný učiteľ počtov a merby TOPOĽČANY 2016 1 2 Úvod Úžasnú konštrukciu matematiky a jej užitočných

Διαβάστε περισσότερα

AUTORIZOVANÝ PREDAJCA

AUTORIZOVANÝ PREDAJCA AUTORIZOVANÝ PREDAJCA Julianovi Verekerovi, už zosnulému zakladateľovi spoločnosti, bol v polovici deväťdesiatych rokov udelený rad Britského impéria za celoživotnú prácu v oblasti audio elektroniky a

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

Vytvorenie koncepcie privítal aj prezident IT Asociácie Slovenska (ITAS) Mário Lelovský.

Vytvorenie koncepcie privítal aj prezident IT Asociácie Slovenska (ITAS) Mário Lelovský. 53/2014, 1. október 2014 Dvojtýždenník o školstve a vzdelávaní Rozširované bezplatne, Ročník LXI Informačná rovnosť Analytici hovoria, že najdrahším tovarom dneška nie je ani zlato, ani diamanty či ropa.

Διαβάστε περισσότερα

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety

Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výroky, hypotézy, axiómy, definície a matematické vety Výrok je každá oznamovacia veta (tvrdenie), o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky označujeme pomocou symbolov: A, B,

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

MIESTO MLADÉHO ČLOVEKA V EUCHARISTICKOM SPOLOČENSTVE. Štefan Šak

MIESTO MLADÉHO ČLOVEKA V EUCHARISTICKOM SPOLOČENSTVE. Štefan Šak MIESTO MLADÉHO ČLOVEKA V EUCHARISTICKOM SPOLOČENSTVE Štefan Šak Abstrakt: Snahou tejto štúdie je poukázať na to, že výchova Cirkvi znamená v prvom rade vedenie, a to vedenie nielen ľudí mladých, ale aj

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore. Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.

Διαβάστε περισσότερα

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin

2. prednáška. Teória množín I. množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin 2. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Verzia: 27. 9. 2009 Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi

Διαβάστε περισσότερα

Metódy vol nej optimalizácie

Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných

Διαβάστε περισσότερα

Teória pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti 2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí

Διαβάστε περισσότερα

O VEDECKOM BÁDANÍ V MEDICÍNE. Hulín Ostatníková. et al.

O VEDECKOM BÁDANÍ V MEDICÍNE. Hulín Ostatníková. et al. O VEDECKOM BÁDANÍ V MEDICÍNE Hulín Ostatníková et al. AEPress 2014 O vedeckom bádaní v medicíne O vedeckom bádaní v medicíne Hulín I., Ostatníková D. et al. AEPress, s. r. o. 2014 O vedeckom bádaní v

Διαβάστε περισσότερα

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE

ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š

Διαβάστε περισσότερα

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text

ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra

Διαβάστε περισσότερα

Téma Obsahový štandard Výkonový štandard

Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Osnovy FOCUS 1 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard 0 Slovná zásoba- abeceda, jazyky triede, čísla, krajiny, národnosti, vek, farby, prídavné mená, rôzne predmety, rodina, bežné slovesá, miestnosti

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické substitúcie

Goniometrické substitúcie Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať

Διαβάστε περισσότερα

didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky.

didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky. Didakticko-motivačná výbava učiteľa matematiky Dušan JEDINÁK, Trnavská univerzita v Trnave Jednou z pozitívnych charakteristík úspešného učiteľa matematiky je aj jeho pripravenosť na improvizáciu (napr.

Διαβάστε περισσότερα

FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ

FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Július Krempaský Žaneta Gerhátová Trnava 014 Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta Recenzenti: doc. RNDr. Anna. Danihelová,

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÁ ŠKOLA MALCOV 16, MALCOV ŠKOLSKÝ VZDELÁVACÍ PROGRAM

ZÁKLADNÁ ŠKOLA MALCOV 16, MALCOV ŠKOLSKÝ VZDELÁVACÍ PROGRAM ZÁKLADNÁ ŠKOLA MALCOV 16, 086 06 MALCOV ŠKOLSKÝ VZDELÁVACÍ PROGRAM ŠKOLA PRE KAŽDÉHO ŽIAKA PLATNOSŤ ŠKOLSKÉHO VZDELÁVACIEHO PROGRAMU: OD 01. 09. 2008 O B S A H 1. Identifikačné údaje 2. Všeobecná charakteristika

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

literárny klub rosenie uvádza zborník vlastnej tvorby edícia drizga

literárny klub rosenie uvádza zborník vlastnej tvorby edícia drizga rosenie rosenie je literárny počin študentiek obidvoch škôl nachádzajúcich sa na sútoku lásky a viery. prežívajú svoje túžby a slová menia na kvapky radosti. načrite do tejto zbierky nie rukami ale srdcom.

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera

LR(0) syntaktické analyzátory. doc. RNDr. Ľubomír Dedera LR0) syntaktické analyzátory doc. RNDr. Ľubomír Dedera Učebné otázky LR0) automat a jeho konštrukcia Konštrukcia tabuliek ACION a GOO LR0) syntaktického analyzátora LR0) syntaktický analyzátor Sám osebe

Διαβάστε περισσότερα