Διαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
|
|
- Σιμωνίδης Μαρής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους. Ανεξάρτητη επίλυση υπο-προβληµάτων (αναδροµικά) (για µικρά υποπροβλήµατα εφαρµόζονται στοιχειώδεις αλγόριθµοι). Σύνθεση λύσης αρχικού προβλήµατος από λύσεις υποπροβληµάτων. Ισχυρή µέθοδος, µε πολλές σηµαντικές εφαρµογές! Ταξινόµηση: MergeSort, QuickSort. Πολλαπλασιασµός αριθµών, πινάκων, FFT. «Εκλέπτυνση»: Δυαδική αναζήτηση, QuickSelect, ύψωση σε δύναµη. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
3 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους. Ανεξάρτητη επίλυση υπο-προβληµάτων (αναδροµικά) (για µικρά υποπροβλήµατα εφαρµόζονται στοιχειώδεις αλγόριθµοι). Σύνθεση λύσης αρχικού προβλήµατος από λύσεις υποπροβληµάτων. Ισχυρή µέθοδος, µε πολλές σηµαντικές εφαρµογές! Ταξινόµηση: MergeSort, QuickSort. Πολλαπλασιασµός αριθµών, πινάκων, FFT. «Εκλέπτυνση»: Δυαδική αναζήτηση, QuickSelect, ύψωση σε δύναµη. (Εύκολη) ανάλυση µε αναδροµικές σχέσεις. Μη γραµµικές, συγκεκριµένης µορφής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
4 Πρόβληµα Ταξινόµησης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 3
5 Πρόβληµα Ταξινόµησης Πρόβληµα Ταξινόµησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθµών (α 1, α 2,..., α n ). Έξοδος : αναδιάταξη (α 1, α 2,..., α n ) µε αριθµούς σε αύξουσα σειρά ( i α i α i+1 ). Στατική συλλογή δεδοµένων (όχι εισαγωγή και διαγραφή). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 3
6 Πρόβληµα Ταξινόµησης Πρόβληµα Ταξινόµησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθµών (α 1, α 2,..., α n ). Έξοδος : αναδιάταξη (α 1, α 2,..., α n ) µε αριθµούς σε αύξουσα σειρά ( i α i α i+1 ). Στατική συλλογή δεδοµένων (όχι εισαγωγή και διαγραφή). Θεµελιώδες αλγοριθµικό πρόβληµα. Πολλές εφαρµογές (περ. 25% υπολογιστικού χρόνου). Ταχύτατη αναζήτηση σε ταξινοµηµένα δεδοµένα. Σηµαντικές αλγοριθµικές ιδέες και τεχνικές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 3
7 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
8 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αντιµετάθεση κάθε ζεύγους στοιχείων εκτός διάταξης (bubble sort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
9 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αντιµετάθεση κάθε ζεύγους στοιχείων εκτός διάταξης (bubble sort). Εισαγωγή στοιχείου σε κατάλληλη θέση ταξινοµηµένου πίνακα (insertion sort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
10 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αντιµετάθεση κάθε ζεύγους στοιχείων εκτός διάταξης (bubble sort). Εισαγωγή στοιχείου σε κατάλληλη θέση ταξινοµηµένου πίνακα (insertion sort). Επιλογή µεγαλύτερου στοιχείου και τοποθέτηση στο τέλος (selection sort, heapsort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
11 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αντιµετάθεση κάθε ζεύγους στοιχείων εκτός διάταξης (bubble sort). Εισαγωγή στοιχείου σε κατάλληλη θέση ταξινοµηµένου πίνακα (insertion sort). Επιλογή µεγαλύτερου στοιχείου και τοποθέτηση στο τέλος (selection sort, heapsort). Συγχώνευση ταξινοµηµένων πινάκων : Διαίρεση στη µέση, ταξινόµηση, συγχώνευση (mergesort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
12 Μέθοδοι Ταξινόµησης Αντιµετάθεση κάθε ζεύγους στοιχείων εκτός διάταξης (bubble sort). Εισαγωγή στοιχείου σε κατάλληλη θέση ταξινοµηµένου πίνακα (insertion sort). Επιλογή µεγαλύτερου στοιχείου και τοποθέτηση στο τέλος (selection sort, heapsort). Συγχώνευση ταξινοµηµένων πινάκων : Διαίρεση στη µέση, ταξινόµηση, συγχώνευση (mergesort). Διαίρεση σε µικρότερα και µεγαλύτερα από στοιχείο-διαχωρισµού και ταξινόµηση (quicksort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 4
13 Συγκριτικοί Αλγόριθµοι Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 5
14 Συγκριτικοί Αλγόριθµοι Ταξινόµηση αποκλειστικά µε συγκρίσεις και αντιµεταθέσεις στοιχείων. Δεν εκµεταλλεύονται τύπο δεδοµένων (π.χ. αριθµούς, συµβολοσειρές) : γενική εφαρµογή. Ανάλυση : πλήθος συγκρίσεων. πλήθος αντιµεταθέσεων. Κάτω φράγµα #συγκρίσεων : Ω(n log n). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 5
15 Συγκριτικοί Αλγόριθµοι Ταξινόµηση αποκλειστικά µε συγκρίσεις και αντιµεταθέσεις στοιχείων. Δεν εκµεταλλεύονται τύπο δεδοµένων (π.χ. αριθµούς, συµβολοσειρές) : γενική εφαρµογή. Ανάλυση : πλήθος συγκρίσεων. πλήθος αντιµεταθέσεων. Κάτω φράγµα #συγκρίσεων : Ω(n log n). Ταξινόµηση (µε αλγόριθµους που δεν είναι συγκριτικοί) σε χρόνο Θ( n + k ) για n φυσικούς αριθµούς στο { 1,..., k } (π.χ. bin sort, radix sort). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 5
16 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 6
17 MergeSort MergeSort (ταξινόµηση µε συγχώνευση): Διαίρεση ακολουθίας εισόδου (n στοιχεία) σε δύο υπο-ακολουθίες ίδιου µήκους (n / 2 στοιχεία). Ταξινόµηση υπο-ακολουθιών αναδροµικά. Συγχώνευση (merge) δύο ταξινοµηµένων υπο-ακολουθιών σε µία ταξινοµηµένη ακολουθία. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 6
18 MergeSort MergeSort (ταξινόµηση µε συγχώνευση): Διαίρεση ακολουθίας εισόδου (n στοιχεία) σε δύο υπο-ακολουθίες ίδιου µήκους (n / 2 στοιχεία). Ταξινόµηση υπο-ακολουθιών αναδροµικά. Συγχώνευση (merge) δύο ταξινοµηµένων υπο-ακολουθιών σε µία ταξινοµηµένη ακολουθία. mergesort(int A[], int left, int right) { if (left >= right) return; mid = (left + right) / 2; mergesort(a, left, mid); mergesort(a, mid+1, right); merge(a, left, mid, right); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 6
19 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
20 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
21 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
22 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
23 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
24 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
25 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
26 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
27 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
28 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
29 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
30 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
31 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
32 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
33 MergeSort Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 7
34 Συγχώνευση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
35 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
36 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
37 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
38 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
39 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
40 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
41 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
42 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
43 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[left...mid] και A[mid +1...right] σε ταξινοµηµένο A[left...right]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 8
44 Συγχώνευση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 9
45 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[low...mid] και A[mid+1...up] σε ταξινοµηµένο A[low...up]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 9
46 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[low...mid] και A[mid+1...up] σε ταξινοµηµένο A[low...up]. X[up low+1] A[low...up]; // προσωρινή αποθήκευση i : 0 <= i <= xmid // δείκτης αριστερό τµήµα j : xmid+1 <= j <= xup // δείκτης δεξιό τµήµα k : low <= k <= up // δείκτης στο συγχωνευµένο πίνακα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 9
47 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[low...mid] και A[mid+1...up] σε ταξινοµηµένο A[low...up]. X[up low+1] A[low...up]; // προσωρινή αποθήκευση i : 0 <= i <= xmid // δείκτης αριστερό τµήµα j : xmid+1 <= j <= xup // δείκτης δεξιό τµήµα k : low <= k <= up // δείκτης στο συγχωνευµένο πίνακα Χ[i] : µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στο αριστερό τµήµα. Χ[j] : µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στο δεξιό τµήµα. while ((i <= xmid) && (j <= xup)) if (X[i] <= X[j]) A[k++] = X[i++]; else A[k++] =X[j++]; Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 9
48 Συγχώνευση Συγχώνευση ταξινοµηµένων Α[low...mid] και A[mid+1...up] σε ταξινοµηµένο A[low...up]. X[up low+1] A[low...up]; // προσωρινή αποθήκευση i : 0 <= i <= xmid // δείκτης αριστερό τµήµα j : xmid+1 <= j <= xup // δείκτης δεξιό τµήµα k : low <= k <= up // δείκτης στο συγχωνευµένο πίνακα Χ[i] : µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στο αριστερό τµήµα. Χ[j] : µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στο δεξιό τµήµα. while ((i <= xmid) && (j <= xup)) if (X[i] <= X[j]) A[k++] = X[i++]; else A[k++] =X[j++]; Όταν ένα τµήµα εξαντληθεί, αντιγράφουµε όλα τα στοιχεία του άλλου στο Α[ ]. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 9
49 Συγχώνευση Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 10
50 Συγχώνευση merge(int A[], int low, int mid, int up) { int xmid = mid-low, xup = up low; int i = 0, // δείκτης στο αριστερό τµήµα j = xmid+1, // δείκτης στο δεξιό τµήµα k = low; // δείκτης στο αποτέλεσµα X[up low+1] A[low...up]; // συγχώνευση µέχρι ένα τµήµα να εξαντληθεί while ((i <= xmid) && (j <= xup)) if (X[i] <= X[j]) A[k++] = X[i++]; else A[k++] = X[j++]; // αντέγραψε υπόλοιπα στοιχεία άλλου τµήµατος if (i > xmid) for (int q = j; q <= xup; q++) A[k++] = X[q]; else for (int q = i; q <= xmid; q++) A[k++] = X[q]; Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 10
51 MergeSort: Ορθότητα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 11
52 MergeSort: Ορθότητα Ορθότητα merge επειδή τα τµήµατα είναι ταξινοµηµένα. Όταν ένα στοιχείο µεταφέρεται στον Α[ ], δεν υπάρχει µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στα δύο τµήµατα. mergesort(int A[], int left, int right) { if (left >= right) return; mid = (left + right) / 2; mergesort(a, left, mid); mergesort(a, mid+1, right); merge(a, left, mid, right); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 11
53 MergeSort: Ορθότητα Ορθότητα merge επειδή τα τµήµατα είναι ταξινοµηµένα. Όταν ένα στοιχείο µεταφέρεται στον Α[ ], δεν υπάρχει µικρότερο διαθέσιµο στοιχείο στα δύο τµήµατα. Ορθότητα mergesort αποδεικνύεται επαγωγικά : Βάση (ένα στοιχείο) τετριµµένη. Δύο τµήµατα σωστά ταξινοµηµένα (επαγωγική υποθ.) και συγχωνεύονται σωστά (ορθότητα merge) Σωστά ταξινοµηµένος πίνακας Α[ ]. mergesort(int A[], int left, int right) { if (left >= right) return; mid = (left + right) / 2; mergesort(a, left, mid); mergesort(a, mid+1, right); merge(a, left, mid, right); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 11
54 Χρόνος Εκτέλεσης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
55 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
56 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
57 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
58 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. T(n / 2) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
59 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. T(n / 2) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). T(n / 2) : ταξινόµηση δεξιού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
60 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. T(n / 2) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). T(n / 2) : ταξινόµηση δεξιού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). Θ(n) : συγχώνευση ταξινοµηµένων τµηµάτων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
61 Χρόνος Εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης merge (για n στοιχεία) : Θ(n) (γραµµικός) Θ(1) λειτουργίες για κάθε στοιχείο. Χρόνος εκτέλεσης αλγόριθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε διατύπωση και λύση αναδροµικής εξίσωσης λειτουργίας. Τ(n) : χρόνος (χ.π.) για ταξινόµηση n στοιχείων. T(n / 2) : ταξινόµηση αριστερού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). T(n / 2) : ταξινόµηση δεξιού τµήµατος (n / 2 στοιχεία). Θ(n) : συγχώνευση ταξινοµηµένων τµηµάτων. T(n) = 2 T(n / 2) + Θ(n), T(1) = Θ(1) Χρόνος εκτέλεσης ΜergeSort: T(n) =??? Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 12
62 Δέντρο Αναδροµής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 13
63 Δέντρο Αναδροµής T(n) = 2 T(n / 2) + Θ(n), Τ(1) = Θ(1) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 13
64 Δέντρο Αναδροµής T(n) = 2 T(n / 2) + Θ(n), Τ(1) = Θ(1) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 13
65 Δέντρο Αναδροµής T(n) = 2 T(n / 2) + Θ(n), Τ(1) = Θ(1) Δέντρο αναδροµής : Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 13
66 Δέντρο Αναδροµής T(n) = 2 T(n / 2) + Θ(n), Τ(1) = Θ(1) Δέντρο αναδροµής : Ύψος : Θ(log n) #κορυφών : Θ(n) Χρόνος / επίπεδο : Θ(n) Συνολικός χρόνος : Θ(n log n). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 13
67 Master Theorem Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 14
68 Master Theorem Ανάλυση χρόνου εκτέλεσης αλγορίθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε αναδροµικές σχέσεις της µορφής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 14
69 Master Theorem Ανάλυση χρόνου εκτέλεσης αλγορίθµων «διαίρει-και-βασίλευε» µε αναδροµικές σχέσεις της µορφής όπου α, b σταθερές και f(n) θετική συνάρτηση. Επίλυση µε Θεώρηµα Κυρίαρχου Όρου (Master Theorem) Ασυµπτωτικά µεγαλύτερος από f(n) και καθορίζει λύση. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 14
70 Master Theorem: Ειδικές Μορφές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 15
71 Master Theorem: Ειδικές Μορφές Όταν f(n) = Θ(n), δηλ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 15
72 Master Theorem: Ειδικές Μορφές Όταν f(n) = Θ(n), δηλ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 15
73 Master Theorem: Ειδικές Μορφές Όταν f(n) = Θ(n), δηλ. Όταν f(n) = Θ(n d ), δηλ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 15
74 Master Theorem: Ειδικές Μορφές Όταν f(n) = Θ(n), δηλ. Όταν f(n) = Θ(n d ), δηλ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 15
75 Παραδείγµατα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
76 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
77 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
78 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
79 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
80 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Τ(n) = 3 T(n / 4) + n log n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
81 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Τ(n) = 3 T(n / 4) + n log n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
82 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Τ(n) = 3 T(n / 4) + n log n. Τ(n) = 2 T(n / 2) + n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
83 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Τ(n) = 3 T(n / 4) + n log n. Τ(n) = 2 T(n / 2) + n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
84 Παραδείγµατα Τ(n) = 9 T(n / 3) + n. Τ(n) = T(2n / 3) + 1. Τ(n) = 3 T(n / 4) + n log n. Τ(n) = 2 T(n / 2) + n. Τ(n) = 2 T(n / 2) + n log n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 16
85 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
86 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
87 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
88 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Διαίρει-και-Βασίλευε: Διαίρεση: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
89 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Διαίρει-και-Βασίλευε: Διαίρεση: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
90 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Διαίρει-και-Βασίλευε: Διαίρεση: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
91 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Διαίρει-και-Βασίλευε: Διαίρεση: 4 πολλαπλασιασµοί (n Χρόνος: / 2)-bits, 2 ολισθήσεις, 3 προσθέσεις. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
92 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Υπολογισµός αθροίσµατος x + y, x και y αριθµοί n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πρόσθεσης, χρόνος Θ(n). Υπολογισµός γινοµένου x y, x και y αριθµοί µε n-bits. Κλασσικός αλγόριθµος πολ/µού, χρόνος Θ(n 2 ). Καλύτερος αλγόριθµος; Διαίρει-και-Βασίλευε: Διαίρεση: 4 πολλαπλασιασµοί (n Χρόνος: / 2)-bits, 2 ολισθήσεις, 3 προσθέσεις. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 17
93 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
94 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
95 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Όµως z m υπολογίζεται µε 1 µόνο πολ/µο (n / 2 + 1)-bits. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
96 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Όµως z m υπολογίζεται µε 1 µόνο πολ/µο (n / 2 + 1)-bits. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
97 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Όµως z m υπολογίζεται µε 1 µόνο πολ/µο (n / 2 + 1)-bits. 3 πολλαπλασιασµοί (n / 2)-bits, 2 ολισθήσεις, 6 προσθέσεις. Χρόνος: Παράδειγµα: = Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
98 Πολλαπλασιασµός Αριθµών Όµως z m υπολογίζεται µε 1 µόνο πολ/µο (n / 2 + 1)-bits. 3 πολλαπλασιασµοί (n / 2)-bits, 2 ολισθήσεις, 6 προσθέσεις. Χρόνος: Παράδειγµα: = Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 18
99 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
100 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
101 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Εφαρµογή ορισµού: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
102 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Εφαρµογή ορισµού: Χρόνος Θ(n 3 ) (n 2 στοιχεία, χρόνος Θ(n) για καθένα). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
103 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Εφαρµογή ορισµού: Χρόνος Θ(n 3 ) (n 2 στοιχεία, χρόνος Θ(n) για καθένα). Διαίρει-και-Βασίλευε: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
104 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Εφαρµογή ορισµού: Χρόνος Θ(n 3 ) (n 2 στοιχεία, χρόνος Θ(n) για καθένα). Διαίρει-και-Βασίλευε: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
105 Πολλαπλασιασµός Πινάκων Υπολογισµός γινοµένου C = A B. A, B τετραγωνικοί πίνακες n n. Εφαρµογή ορισµού: Χρόνος Θ(n 3 ) (n 2 στοιχεία, χρόνος Θ(n) για καθένα). Διαίρει-και-Βασίλευε: 8 πολ/µοι και 4 προσθέσεις πινάκων Χρόνος: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 19
106 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
107 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
108 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
109 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
110 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
111 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
112 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
113 Αλγόριθµος Strassen (1969) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
114 Αλγόριθµος Strassen (1969) 7 πολ/µοι και 24 προσθέσεις πινάκων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
115 Αλγόριθµος Strassen (1969) 7 πολ/µοι και 24 προσθέσεις πινάκων Χρόνος: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 20
116 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
117 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Συµφωνία Αλίκης και Βασίλη σε κρυπτογραφικό κλειδί. Εύα παρακολουθεί για να «κλέψει» το κλειδί. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
118 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Συµφωνία Αλίκης και Βασίλη σε κρυπτογραφικό κλειδί. Εύα παρακολουθεί για να «κλέψει» το κλειδί. Α, Β συµφωνούν δηµόσια σε πρώτο p και ακέραιο q < p. Ε γνωρίζει p, q. Εµπλεκόµενοι αριθµοί είναι πολυψήφιοι (π.χ. 512 ψηφία). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
119 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Συµφωνία Αλίκης και Βασίλη σε κρυπτογραφικό κλειδί. Εύα παρακολουθεί για να «κλέψει» το κλειδί. Α, Β συµφωνούν δηµόσια σε πρώτο p και ακέραιο q < p. Ε γνωρίζει p, q. Εµπλεκόµενοι αριθµοί είναι πολυψήφιοι (π.χ. 512 ψηφία). Α διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Β διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Α, Β ανταλλάσσουν q α, q b και τα µαθαίνει Ε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
120 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Συµφωνία Αλίκης και Βασίλη σε κρυπτογραφικό κλειδί. Εύα παρακολουθεί για να «κλέψει» το κλειδί. Α, Β συµφωνούν δηµόσια σε πρώτο p και ακέραιο q < p. Ε γνωρίζει p, q. Εµπλεκόµενοι αριθµοί είναι πολυψήφιοι (π.χ. 512 ψηφία). Α διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Β διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Α, Β ανταλλάσσουν q α, q b και τα µαθαίνει Ε. Α, B υπολογίζουν Κ (µόνοι τους). Ε δεν ξέρει Κ. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
121 Υπολογισµός Δύναµης (Diffie-Hellman) Συµφωνία Αλίκης και Βασίλη σε κρυπτογραφικό κλειδί. Εύα παρακολουθεί για να «κλέψει» το κλειδί. Α, Β συµφωνούν δηµόσια σε πρώτο p και ακέραιο q < p. Ε γνωρίζει p, q. Εµπλεκόµενοι αριθµοί είναι πολυψήφιοι (π.χ. 512 ψηφία). Α διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Β διαλέγει τυχαία και υπολογίζει Α, Β ανταλλάσσουν q α, q b και τα µαθαίνει Ε. Α, B υπολογίζουν Κ (µόνοι τους). Ε δεν ξέρει Κ. Για Κ, Ε χρειάζεται α, b (δεν µεταδόθηκαν). Επίλυση διακριτού λογαρίθµου (πολύ δύσκολο). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 21
122 Υπολογισµός Δύναµης Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
123 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
124 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Υπολογισµός δυνάµεων µε τη σειρά (1, 2, 3, ): αν µήκος 512 bits, χρειάζεται περίπου πολ/µους!!! Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
125 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Υπολογισµός δυνάµεων µε τη σειρά (1, 2, 3, ): αν µήκος 512 bits, χρειάζεται περίπου πολ/µους!!! Διαίρει-και-Βασίλευε (έστω n δύναµη του 2): Υπολογίζουµε αναδροµικά και Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
126 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Υπολογισµός δυνάµεων µε τη σειρά (1, 2, 3, ): αν µήκος 512 bits, χρειάζεται περίπου πολ/µους!!! Διαίρει-και-Βασίλευε (έστω n δύναµη του 2): Υπολογίζουµε αναδροµικά και Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
127 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Υπολογισµός δυνάµεων µε τη σειρά (1, 2, 3, ): αν µήκος 512 bits, χρειάζεται περίπου πολ/µους!!! Διαίρει-και-Βασίλευε (έστω n δύναµη του 2): Υπολογίζουµε αναδροµικά και #πολλαπλασιασµών: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
128 Υπολογισµός Δύναµης Εφαρµογή υποθέτει αποδοτικό αλγόριθµο υπολογισµού, x, n, p πολυψήφιοι ακέραιοι. Υπολογισµός δυνάµεων µε τη σειρά (1, 2, 3, ): αν µήκος 512 bits, χρειάζεται περίπου πολ/µους!!! Διαίρει-και-Βασίλευε (έστω n δύναµη του 2): Υπολογίζουµε αναδροµικά και #πολλαπλασιασµών: p µε µήκος 512 bits: περίπου 2 10 πολ/µους. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 22
129 Προϋποθέσεις Εφαρµογής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 23
130 Προϋποθέσεις Εφαρµογής Διαίρεση σηµαντικά ευκολότερη από επίλυση αρχικού. Σύνθεση σηµαντικά ευκολότερη από επίλυση αρχικού. Υπο-στιγµιότυπα σηµαντικά µικρότερα από αρχικό (π.χ. αρχικό µέγεθος n, υπο-στιγµ. µεγέθους n / c, c > 1). Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 23
131 Προϋποθέσεις Εφαρµογής Διαίρεση σηµαντικά ευκολότερη από επίλυση αρχικού. Σύνθεση σηµαντικά ευκολότερη από επίλυση αρχικού. Υπο-στιγµιότυπα σηµαντικά µικρότερα από αρχικό (π.χ. αρχικό µέγεθος n, υπο-στιγµ. µεγέθους n / c, c > 1). Ανεξάρτητα υπο-στιγµιότυπα που λύνονται από ανεξάρτητες αναδροµικές κλήσεις. Ίδια ή επικαλυπτόµενα υπο-στιγµιότυπα : σηµαντική και αδικαιολόγητη αύξηση χρόνου εκτέλεσης. Επικαλυπτόµενα υπο-στιγµιότυπα : Δυναµικός Προγραµµατισµός Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 23
132 (Αντι)παράδειγµα Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
133 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
134 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
135 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
136 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. Χρόνος εκτέλεσης: long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
137 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. Χρόνος εκτέλεσης: long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
138 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. Χρόνος εκτέλεσης: long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } long fib(long n) { long cur = 1, prev = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { cur = cur + prev; prev = cur prev; } return(cur); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
139 (Αντι)παράδειγµα Υπολογισµός n-οστού όρου ακολουθίας Fibonacci. Χρόνος εκτέλεσης: long fibrec(long n) { if (n <= 1) return(n); return(fibrec(n-1) + fibrec(n-2)); } Λύση: Επικαλυπτόµενα στιγµ.: Εκθετικός χρόνος! Αλγόριθµος γραµµικού χρόνου; Καλύτερος αλγόριθµος; long fib(long n) { long cur = 1, prev = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { cur = cur + prev; prev = cur prev; } return(cur); } Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 24
140 Ακολουθία Fibonacci Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
141 Ακολουθία Fibonacci Ακολουθία Fibonacci: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
142 Ακολουθία Fibonacci Ακολουθία Fibonacci: Θεωρούµε πίνακα και Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
143 Ακολουθία Fibonacci Ακολουθία Fibonacci: Θεωρούµε πίνακα και Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
144 Ακολουθία Fibonacci Ακολουθία Fibonacci: Θεωρούµε πίνακα και Παρατηρούµε ότι Με επαγωγή αποδεικνύουµε ότι Διαίρει-και-Βασίλευε: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
145 Ακολουθία Fibonacci Ακολουθία Fibonacci: Θεωρούµε πίνακα και Παρατηρούµε ότι Με επαγωγή αποδεικνύουµε ότι Διαίρει-και-Βασίλευε: Υπολογισµός σε χρόνο Ο(log n) (όπως µε αριθµούς). Υπολογίζω αναδροµικά το και Χρόνος: Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 25
ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Διαίρει-και-Βασίλευε Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1
Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»
Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι
Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα Επιλογής. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1
Πρόβληµα Επιλογής Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Επιλογή 1 Πρόβληµα Επιλογής Πίνακας Α[ Αριθµός k, 1 k n. ] µε n στοιχεία (όχι ταξινοµηµένος). Υπολογισµός του k-οστού µικρότερου στοιχείου (στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές
Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραQuicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1
Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ
Διάλεξη 14: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης 3) Mergesort Ταξινόμηση με Συγχώνευση 4) BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Επιλογή ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I
Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectionSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. InsertionSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 19: Αλγόριθμοι ΤαξινόμησηςII Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Γ. MergeSort Ταξινόμηση με Συγχώνευση Δ. BucketSort Ταξινόμηση με Κάδους Διδάσκων:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 0-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Διαίρει και Βασίλευε Quick-sort και Merge-sort
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο
Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Είσοδος n αντικείμενα a 1, a 2,..., a n με κλειδιά (συνήθως σε ένα πίνακα, ή λίστα, κ.τ.λ)
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική ταξινόµηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι ταξινόμησης
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης BuubleSort, SelectionSort, InsertionSort, Merger Sort, Quick Soft ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση με συγχώνευση Merge Sort
Ταξινόμηση με συγχώνευση Merge Sort 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 Πληροφορικής 1 Διαίρει και Βασίλευε Η μέθοδος του «Διαίρει και Βασίλευε» είναι μια γενική αρχή σχεδιασμού αλγορίθμων
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση. Παύλος Εφραιμίδης. Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1
Ταξινόμηση Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 1 Το πρόβλημα της ταξινόμησης Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση 2 Ταξινόμηση Δίνεται πολυ-σύνολο Σ με στοιχεία από κάποιο σύμπαν U (πχ. U = το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 13: Αλγόριθμοι-Μεγάλων ακεραίων- Εκθετοποίηση- Πολλαπλασιασμός πινάκων -Strassen Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 9 ο Ταξινόµηση Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ταξινόµηση Εισαγωγή Selection sort Insertion sort Bubble sort
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4. Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα.0 Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 06-7 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Ταξινόμηση Selection-Sort Bubble-Sort και
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 2 Μανόλης Κουμπαράκης 1 Προχωρημένοι Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τρείς προχωρημένους αλγόριθμους ταξινόμησης: treesort, quicksort και mergesort. 2
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Αλγορίθμων -Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο
Πολλαπλασιασμός μεγάλων ακεραίων (1) Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ακεραίους με n 1 και n 2 ψηφία με το χέρι, θα εκτελέσουμε n 1 n 2 πράξεις πολλαπλασιασμού Πρόβλημα ρβημ όταν έχουμε πολλά ψηφία: A = 12345678901357986429
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Divide-and- Conquer
Αλγόριθµοι Divide-and- Conquer Περίληψη Αλγόριθµοι Divide-and-Conquer Master Theorem Παραδείγµατα Αναζήτηση Ταξινόµηση Πλησιέστερα σηµεία Convex Hull Αλγόριθµοι Divide-and-Conquer Γενική Μεθοδολογία Το
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ ΕΠΛ 035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. και Μηχ. Υπολ.
Διάλεξη : Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας / Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, 6 παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων
Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραauth Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ - Εξάμηνο 4ο
Σχεδίαση Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/courses/algorithms/ auth 1 Διαίρει και Βασίλευε Η γνωστότερη ρημέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: 1. Διαιρούμε το στιγμιότυπο του προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Αναζήτησης
Αλγόριθμοι Αναζήτησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων. 10η Διάλεξη Ταξινόµηση. E. Μαρκάκης
Δοµές Δεδοµένων 10η Διάλεξη Ταξινόµηση E. Μαρκάκης Περίληψη Ταξινόµηση µε αριθµοδείκτη κλειδιού Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση κάδου και ταξινόμηση Ρίζας Bucket-Sort και Radix-Sort
Ταξινόμηση κάδου και ταξινόμηση Ρίζας Bucket-Sort και Radix-Sort 1, c 3, a 3, b 7, d 7, g 7, e B 0 1 3 4 5 6 7 8 9 1 BucketSort (Ταξινόμηση Κάδου) - Αρχικά θεωρείται ένα κριτήριο κατανομής με βάση το οποίο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 04: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Η Μέθοδος «Διαίρει & Βασίλευε» Η Μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας
Εργαστήριο 6: Αναζήτηση, Ανάλυση Πολυπλοκότητας Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Αναζήτηση με linearsearch, binarysearch, ternarysearch - Ανάλυση Πολυπλοκότητας ternarysearch
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου
Διάλεξη 6: ΠαραδείγματαΑνάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: -Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα -Γραμμική
Διαβάστε περισσότεραΠροχωρημένες έννοιες προγραμματισμού σε C
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr)
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων
Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις
Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 1. α. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά μεγέθους τις παρακάτω συναρτήσεις χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων: nlogn, n logn,
Διαβάστε περισσότεραΔιωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1
Διωνυµικοί Συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1 Διωνυµικοί Συντελεστές Διωνυµικοί συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 20 Επιλογή Το πρόβληµα
Διαβάστε περισσότερα8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 8. Σωροί (Heaps)-Αναδρομή- Προχωρημένη Ταξινόμηση 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕργαστηριακή Άσκηση 1
Εργαστηριακή Άσκηση 1 Επανάληψη προγραμματισμού Βασικοί Αλγόριθμοι Είσοδος τιμών από το πληκτρολόγιο Σε όλα τα προγράμματα που θα γράψουμε στην συνέχεια του εξαμήνου θα χρειαστεί να εισάγουμε τιμές σε
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΠΑΤΡΑ) ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΠΑΤΡΑ) ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Γιάννης Κουτσονίκος Επίκουρος Καθηγητής Οργάνωση Δεδομένων Δομή Δεδομένων: τεχνική οργάνωσης των δεδομένων με σκοπό την
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση
Διαβάστε περισσότεραΟυρά Προτεραιότητας: Heap
Ουρά Προτεραιότητας: Heap Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης (λίγες τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δομές Δεδομένων (Αναπαράσταση,)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 4 Διαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Διαίρει και Βασίλευε (Divide-and-Conquer) Διαίρει-και-βασίλευε (γενικά) Χωρίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Ουρές Προτεραιότητας 2
Δοµές Δεδοµένων Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Ουρές Προτεραιότητας 2 Δοµές Δεδοµένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειµένων για αποδοτική ενηµέρωση και ανάκτηση πληροφορίας.
Διαβάστε περισσότεραMerge Sort (Ταξινόμηση με συγχώνευση) 6/14/2007 3:04 AM Merge Sort 1
Merge Sort (Ταξινόμηση με συγχώνευση) 7 2 9 4 2 4 7 9 7 2 2 7 9 4 4 9 7 7 2 2 9 9 4 4 6/14/2007 3:04 AM Merge Sort 1 Κύρια σημεία για μελέτη Το παράδειγμα του «διαίρει και βασίλευε» ( 4.1.1) Merge-sort
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων. 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων. Ε. Μαρκάκης
Δοµές Δεδοµένων 11η Διάλεξη Ταξινόµηση Quicksort και Ιδιότητες Δέντρων Ε. Μαρκάκης Περίληψη Quicksort Χαρακτηριστικά επιδόσεων Μη αναδροµική υλοποίηση Δέντρα Μαθηµατικές ιδιότητες Δοµές Δεδοµένων 11-2
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων & Αναζήτηση & Ταξινόμηση 1 Αναζήτηση Έχω έναν πίνακα Α με Ν στοιχεία. Πρόβλημα: Βρες αν το στοιχείο x ανήκει στον πίνακα Αν ο πίνακας είναι αταξινόμητος τότε μόνη λύση σειριακή αναζήτηση
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΟυρά Προτεραιότητας: Heap
Δομές Δεδομένων Ουρά Προτεραιότητας: Heap Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (Αναπαράσταση,)
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε Δυναμικός Προγραμματισμός Απληστία Π. Μποζάνης ΤHMMY - Αλγόριθμοι 2014-2015 1 Διαίρει και Βασίλευε Βασικά Βήματα Διαίρει: Κατάτμηση του αρχικού προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 25 Φεβρουαρίου 2015 1 / 53 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόµηση. Παύλος Εφραιµίδης. οµές εδοµένων και
Παύλος Εφραιµίδης 1 Το πρόβληµα της ταξινόµησης 2 3 ίνεται πολυ-σύνολο Σ µε στοιχεία από κάποιο σύµπαν U (πχ. U = το σύνολο των ακεραίων αριθµών). του Σ είναι η επιβολή µιας διάταξης στα στοιχεία του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Ταξινόµησης
Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα Αλγορίθµων
Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4
Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Μέρος 4 Μανόλης Κουμπαράκης Δομές Δεδομένων και Τεχνικές 1 Μέθοδοι Ταξινόμησης Βασισμένοι σε Συγκρίσεις Κλειδιών Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης που είδαμε μέχρι τώρα αποφασίζουν πώς να
Διαβάστε περισσότερα1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2.0 Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αναδρομικές Σχέσεις Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 22 Counting sort, bucket sort και radix sort 1 / 16 Ιδιότητες αλγορίθμων ταξινόμησης ευστάθεια (stable
Διαβάστε περισσότερα1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I
Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectoSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. IsertoSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή Γ. MergeSort
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραUnion Find, Λεξικό. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Union Find, Λεξικό Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Διαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία σύμπαντος διαμερίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 232: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα. Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων
ΕΠΛ 22: Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων. (α) Έστω δροµολόγηση e, e 2,, e των εργασιών, 2,,. Τότε οι χρόνοι συµπλήρωσης των εργασιών είναι e d e e 2 d e + d e 2 e d e + d
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Φ Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Ο 1 : ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ Δ Ρ Ι Τ Σ Α Σ Η Λ Ι Α Σ Υ Π Ο Ψ Η Φ Ι Ο Σ Δ Ι Δ Α Κ Τ Ο Ρ Α Σ
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Φ Ρ Ο Ν Τ Ι Σ Τ Η Ρ Ι Ο 1 : ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ Δ Ρ Ι Τ Σ Α Σ Η Λ Ι Α Σ Υ Π Ο Ψ Η Φ Ι Ο Σ Δ Ι Δ Α Κ Τ Ο Ρ Α Σ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ Ορισμός ταξινόμησης 2 Κατηγορίες αλγορίθμων ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΟυρά Προτεραιότητας: Heap
Ουρά Προτεραιότητας: Heap ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ομές εδομένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειμένων για
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΟυρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση. Σωροί / Αναδρομή / Ταξινόμηση. Υλοποίηση Σωρού. Σωρός (Εισαγωγή) Ορέστης Τελέλης
Ουρές Προτεραιότητας: Υπενθύμιση Σωροί / Αναδρομή / Ταξινόμηση Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς (Abstract Data Type) με μεθόδους: Μπορεί να υλοποιηθεί με
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
- Πίνακες 1 Πίνακες Οι πίνακες έχουν σταθερό μέγεθος και τύπο δεδομένων. Βασικά πλεονεκτήματά τους είναι η απλότητα προγραμματισμού τους και η ταχύτητα. Ωστόσο δεν παρέχουν την ευελιξία η οποία απαιτείται
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 8 Quick Sort 1 / 11 Ο αλγόριθμος QuickSort 1 Προτάθηκε από τον CAR (Tony) Hoare το 1961 2 Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΤαξινόμηση. Σαλτογιάννη Αθανασία
Ταξινόμηση Σαλτογιάννη Αθανασία Ταξινόμηση Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν λέμε ταξινόμηση; Ποια είδη αλγορίθμων ταξινόμησης υπάρχουν; Ταξινόμηση Τι εννοούμε όταν
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός: αλγόριθμος
ΟΛΛΑΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ολλαπλασιασμός: αλγόριθμος Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς x και κατασκευάζουμε έναν πίνακα από ενδιάμεσα αθροίσματα, κάθε ένα από τα οποία προκύπτει ως γινόμενο του x με ένα ψηφίο του
Διαβάστε περισσότερα