ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ"

Transcript

1 ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç óõíý åéá èá ëýãåôáé åðßóçò êáé âáèìùôþ óõíüñôçóç. Ïñéóìüò (óõíüñôçóçò). óôù D êáé T äýï ôõ üíôá ìç êåíü õðïóýíïëá ôïõ R. Ôüôå ëýãåôáé óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï D êáé ðåäßï ôéìþí ôï T, ìßá ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç, Ýóôù f, ôïõ óõíüëïõ D óôï T, äçëáäþ D x y = f(x) T ( ) Þ óõíôïìüôåñá óõíüñôçóç f D ìå ðåäßï ôéìþí T Þ êáé óõíüñôçóç f(x), x D ìå ôéìýò óôï T. 1Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôùí åííïéþí ôïõ ìáèþìáôïò ï áíáãíþóôçò ðñýðåé íá ãíùñßæåé ôï ÌÜèçìá Äéáíýóìáôá. 835

2 836 ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ç ó Ýóç y = f(x), ðïõ éó ýåé ãéá êüèå x D, ïñßæåé ôïí ôýðï ôçò óõíüñôçóçò, ôï ãñüììá x ôçí áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ óôï D, åíþ ôï y ôçí åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ óôï T. Ôüôå ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò åêöñüæåé ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï óõíäýïíôáé ïé ìåôáâëçôýò y êáé x. ÅðïìÝíùò ç óõíüñôçóç f(x) = x 2 ìå ðåäßï ïñéóìïý D = R, èá áðåéêïíßæåé ôá óôïé åßá 1; 3; 5; : : : óôá 1 2 ; 3 2 ; 5 2 ; : : : : Ãåíéêåýïíôáò ôï ðáñáðüíù ðáñüäåéãìá èåùñïýìå üôé åßíáé äõíáôüí íá ïñéóôåß åðßóçò ìéá ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç (óõíüñôçóç) ôùí óôïé åßùí 1; 3; 5; : : : óôá ( 1 2 ; 1 3) ; : : : ; ( 3 2 ; 3 3) ; : : : ; ( 5 2 ; 5 3) ; : : : ( ) ôïõ þñïõ R R = R 2, áíôßóôïé á óôá ( 1 2 ; 1 3 ; 1 ) ; : : : ; ( 3 2 ; 3 3 ; 3 ) ; : : : ; ( 5 2 ; 5 3 ; 5 ) ; : : : ( ) ôïõ R R R = R 3. Ôüôå ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò ãéá ôá óôïé åßá (17:1:1 2) ðñýðåé íá åßíáé ôçò ìïñöþò ( x 2 ; x 3), åíþ ãéá ôá (17:1:1 2) ôçò ìïñöþò ( x 2 ; x 3 ; x ), üôáí x R. ïíôáò ôþñá õðüøç ôéò ó Ýóåéò (1:4:1 5) êáé (1:4:1 3) ôá ðáñáðüíù óôïé åßá åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèïýí ùò ïé óõíéóôþóåò áíôßóôïé ùí äéáíõóìüôùí, äçëáäþ ôùí 1 2 i j; : : : ; áíôßóôïé á 1 2 i j + k; : : : ; ïðüôå ï áíôßóôïé ïò ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, ðïõ ëýãåôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìéáò ìåôáâëçôþò, èá Ý åé ôç ìïñöþ F(x) = F ( x 2 ; x 3) = x 2 i + x 3 j; áíôßóôïé á F(x) = F ( x 2 ; x 3 ; x ) = x 2 i + x 3 j + x k; ( ) üôáí x R.

3 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 837 Óôéò óõíáñôþóåéò ôïõ åßäïõò áõôïý ñçóéìïðïéåßôáé óõíþèùò óôïí óõìâïëéóìü ôçò ìåôáâëçôþò ôï ãñüììá t - ðïõ óõíþèùò ðáñéóôüíåé ôïí ñüíï - áíôß ôïõ x. 2 Äßíåôáé óôç óõíý åéá ï ïñéóìüò ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò. Ïñéóìüò (äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç). óôù D R êáé T R 2, áíôßóôïé á T R 3 äýï ôõ áßá ìç êåíü óýíïëá. Ôüôå ïñßæåôáé ùò äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç (vector function Þ vector-valued function) ìéáò ìåôáâëçôþò ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï D êáé ðåäßï ôéìþí ôï T, ìßá ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç, Ýóôù F, ôïõ óõíüëïõ D óôï T, äçëáäþ D t F(t) = y = f 1 (t); f 2 (t) T R 2 ; áíôßóôïé á ( ) f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t) T R 3 ; üðïõ êüèå f i (t) ìå i = 1; 2, áíôßóôïé á i = 1; 2; 3 åßíáé ìßá óõíüñôçóç ìå ìåôáâëçôþ t, ðïõ ëýãåôáé óõíéóôþóá (argument) ôçò F. Óçìåßùóç ÐïëëÝò öïñýò, üôáí áðáéôåßôáé, ñçóéìïðïéåßôáé êáé ç ðáñüóôáóç ôùí óõíéóôùóþí ìå ðßíáêá äéüíõóìá, äçëáäþ 3 D t F(t) = y = [f 1 (t); f 2 (t)] T R 2 ; áíôßóôïé á [f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t)] T R 3 : Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü , áí Oxy åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí ôïõ þñïõ ôùí 2-äéáóôÜóåùí, áíôßóôïé á Oxyz ôïõ þñïõ ôùí 3- äéáóôüóåùí, ôüôå ç F åêöñüæåôáé óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò óõíáñôþóåé ôùí 2Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 3, 4, 5]. 3ÂëÝðå ÌÜèçìá ÃñáììéêÞ ëãåâñá êáé Á. ÌðñÜôóïò [2] Êåö. 3.

4 838 ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò óõíéóôùóþí ùò åîþò: F(t) = f 1 (t)i + f 2 (t)j = f 1 (t); f 2 (t) ; áíôßóôïé á F(t) = f 1 (t)i + f 2 (t)j + f 3 (t)k = f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t) ; ( ) üôáí i, j êáé k ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá êáôü ìþêïò ôùí áîüíùí 0x, 0y êáé 0z áíôßóôïé á. Ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý D ôçò F äåí äéáöýñåé áðü åêåßíïí ôçò óõíüñôçóçò f(x), åöüóïí ôåëéêü óõíåðüãåôáé ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðåäßùí ïñéóìïý êáèåìéüò óõíéóôþóáò êáé óôç óõíý åéá ôùí êïéíþí ôïõò óçìåßùí. ÐáñÜäåéãìá óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç (Ó ) F(t) = f 1 (t) f {}}{ 2 (t) {}}{ t cos t i + sin t j = f 1 (t) i + f 2 (t) j: Ôüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíéóôþóáò f 1 (t) = t cos t åßíáé ôï D 1 = [0; + ); åíþ ôçò f 2 (t) = sin t ôï D 2 = R: ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý D ôçò F åßíáé D = D 1 D 2 = [0; + ):

5 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò t Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç êáìðýëç ìå ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç F(t) = t cos t i + sin t j ìå ðåäßï ïñéóìïý D = [0; + ), üôáí t [0; 2]. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá Ýóôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç (Ó ) F(t) = f 1 (t) {}}{ sin t i + f 2 (t) {}}{ cos t j + f 3 (t) {}}{ 1 t = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k: k Ôüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõíéóôùóþí f 1 (t) = sin t; f 2 (t) = cos t åßíáé ôï D 1 = R; åíþ ôçò óõíéóôþóáò f 3 (t) = 1 t ôï D 2 = R {0}: ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý D ôçò F åßíáé D = D 1 D 2 = R {0}.

6 840 ÄéáíõóìáôéêÝò óõíáñôþóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò t 0 1 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç êáìðýëç ìå ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç F(t) = sin t i+cos t j+ 1 t k ìå ðåäßï ïñéóìïý D = R {0}, üôáí t [ 2; 2]. Ç åõèåßá áíôéóôïé åß óôçí ôéìþ t = ÏñéáêÞ ôéìþ Ç ïñéáêþ ôéìþ ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò õðïëïãßæåôáé áðü ôçí ïñéáêþ ôéìþ ôùí óõíéóôùóþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: üôáí t 0 D R. lim t t 0 F(t) = lim t t 0 f 1 (t) i + lim t t 0 f 2 (t) j áíôßóôïé á lim t t 0 F(t) = lim t t 0 f 1 (t) i + lim t t 0 f 2 (t) j + lim t t 0 f 3 (t) k; ( ) ÅðïìÝíùò ï õðïëïãéóìüò ôçò ïñéáêþò ôéìþò áíüãåôáé óôïí õðïëïãéóìü ôùí ïñéáêþí ôéìþí êáèåìéüò óõíéóôþóáò ùñéóôü, ïðüôå åöáñìüæïíôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ïé Þäç ãíùóôýò óôïí áíáãíþóôç áðü ôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò - ÌÝèïäïé õðïëïãéóìïý. ÐáñÜäåéãìá óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = ( 3 2t 2) i + e t j + cos t 1 t k:

7 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 841 Ôüôå, áí t 0 = 0, óýìöùíá ìå ôçí (17:1:2 1) Ý ïõìå ( lim F(t) = lim 3 2t 2 ) i + lim e t j + lim t 0 t 0 t 0 t ÓõíÝ åéá de L'H^opital {}}{ cos t 1 t sin t = 3 i + j + lim k = 3 i + j + 0 k = 3 i + j: t 0 1 Ç óõíý åéá ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò óå Ýíá óçìåßï t 0 D ïñßæåôáé áðü ôç óõíèþêç lim F(t) = F (t 0 ) ; ( ) t t 0 üôáí ï õðïëïãéóìüò ôïõ lim t t0 F(t) ãßíåôáé áðü ôçí (17:1:2 1). ¼ðùò êáé óôçí ðáñáðüíù ðåñßðôùóç õðïëïãéóìïý ôçò ïñéáêþò ôéìþò, ç óõíý åéá áíüãåôáé óôçí åîýôáóç ôçò óõíý åéáò êáèåìéüò óõíéóôþóáò ùñéóôü. Ïé Þäç ãíùóôýò óôïí áíáãíþóôç áðü ôï ÌÜèçìá ÓõíÝ åéá óõíüñôçóçò - Éäéüôçôåò êáé ÈåùñÞìáôá åöáñìüæïíôáé áíüëïãá êáé óôçí ðåñßðôùóç. ÐáñÜäåéãìá óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = ln ( 9 t 2) i + j 2 t t k: Ðñïöáíþò êüèå óõíéóôþóá åßíáé óõíå Þò óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò, ïðüôå çf(t) èá åßíáé óõíå Þò óôï êïéíü ðåäßï ïñéóìïý ôùí, Ýóôù D, üðïõ ðñïöáíþò èá éó ýåé ç (17:1:3 1). Ôüôå, åðåéäþ ç óõíéóôþóá f 1 (t) = ln ( 9 t 2) Ý åé ðåäßï ïñéóìïý ôï D 1 = ( 3; 3), ç f 2 (t) = 1 ôï D 2 = ( ; 2) (2; + ) 2 t êáé ç f 3 (t) = 1 + t ôï D 3 = [ 1; + ); ðñýðåé ôï ðåäßï óôï ïðïßï ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F åßíáé óõíå Þò íá åßíáé ôï D = D 1 D 2 D 3 = [ 1; 2) (2; 3): k

8 842 ÄéáíõóìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 17.2 ÐáñáìåôñéêÞ ðáñüóôáóç êáìðõëþí Ïñéóìïß Ï ãíùóôüò ìý ñé ôþñá ðñïóäéïñéóìüò ôçò áíáëõôéêþò åîßóùóçò ìéáò êáìðýëçò, Ýóôù C, óôïí þñï R 2, áíôßóôïé á R 3 ìå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò, äçëáäþ óå óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Oxy ôïõ þñïõ ôùí 2-äéáóôÜóåùí, áíôßóôïé á Oxyz ôïõ þñïõ ôùí 3-äéáóôÜóåùí, ðïëëýò öïñýò äçìéïõñãåß äõóêïëßåò óôïí õðïëïãéóìü äéáöüñùí öõóéêþí ìåãåèþí. Ãéá íá áíôéìåôùðéóôïýí ïé äõóêïëßåò áõôýò áíáæçôåßôáé Ýíáò Üëëïò ôñüðïò ðåñéãñáöþò ôçò åîßóùóçò ôçò ðáñáðüíù êáìðýëçò C. Õðåíèõìßæåôáé óôï óçìåßï üôé: Ïñéóìüò íá õëéêü óçìåßï êéíïýìåíï óôïí þñï êáé Ý ïíôáò Ýíáí âáèìü åëåõèåñßáò äéáãñüöåé ãåíéêü ìßá êáìðýëç ãñáììþ, åíþ üôáí Ý åé äýï âáèìïýò åëåõèåñßáò ìéá åðéöüíåéá. óôù ôþñá üôé æçôåßôáé ï ðñïóäéïñéóìüò ôçò åîßóùóçò ìéáò êáìðýëçò C ôïõ R 3. Áí Oxyz åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí êáé M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ôõ üí óçìåßï ôçò êáìðýëçò C, ôüôå óôï óçìåßï áõôü áíôéóôïé åß áêñéâþò Ýíá äéüíõóìá èýóçò, Ýóôù r 0, üðïõ r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ( ) êáé áíôßóôñïöá óôï r 0 áíôéóôïé åß ôï óçìåßï M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ). ¼ìïéá óå Ýíá Üëëï óçìåßï M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) ôçò C èá áíôéóôïé åß ôï äéüíõóìá èýóçò êáé ãåíéêü óôï ôõ üí óçìåßï M (x; y; z), ôï r 1 = x 1 i + y 1 j + z 1 k ( ) r = x i + y j + z k: ( ) ïíôáò õðüøç êáé ôïí Ïñéóìü ôá äéáíýóìáôá r 0 óôçí (17:2:1 1), r 1 óôçí (17:2:1 2) êáé ãåíéêü r óôçí (17:2:1 3) åßíáé äõíáôüí íá èåùñçèïýí ùò ïé ôéìýò ìéáò êáôüëëçëçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò, Ýóôù (Ó ) ìå ôçí Ýííïéá üôé: áí r(t); üôáí t [á; â];

9 ÐáñáìåôñéêÞ ðáñüóôáóç êáìðõëþí 843 Ó Þìá : ðáñáìåôñéêþ ðáñüóôáóç êáìðõëþí. t = t 0, ôüôå ç r (t) = r (t 0 ) èá éóïýôáé ìå ôçí (17:2:1 1), t = t 1, ç r (t) = r (t 1 ) ìå ôçí (17:2:1 2), êáé ãåíéêü t = t, ç r (t) ìå ôçí (17:2:1 3). Ç r(t) èá ëýãåôáé óôï åîþò äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò. Ç áíáëõôéêþ Ýêöñáóç ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò r(t) åßíáé r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k; üôáí t [á; â] R: ( ) Ç (17:2:1 4) èá ëýãåôáé ôüôå üôé ïñßæåé ôçí ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò êáìðýëçò C ìå ðáñüìåôñï t. Ìå üìïéïí ôñüðï ïñßæåôáé ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ìéáò åðßðåäçò êáìðýëçò C ùò åîþò: r(t) = x(t) i + y(t) j ; üôáí t [á; â]: ( ) Ïé ðáñáìåôñéêýò åîéóþóåéò ôùí êáìðõëþí Ý ïõí ìåãüëç åöáñìïãþ óôç ÖõóéêÞ, êõñßùò üôáí ç ðáñüìåôñïò t óõìâïëßæåé ôïí ñüíï. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïñéóìýíåò ðáñáìåôñéêýò ðáñáóôüóåéò ñþóéìùí êáìðõëþí Åõèåßá Áí M åßíáé Ýíá ôõ üí óçìåßï ôçò åõèåßáò (Ó ) ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) êáé M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ), ôüôå, åðåéäþ M 1 M 2 = r 2 r 1,

10 844 ÄéáíõóìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : ÐáñáìåôñéêÞ åîßóùóç åõèåßáò. áðïäåéêíýåôáé üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé 4 r(t) = t r 2 + (1 t) r 1 ; üôáí t R: ( ) Ç (17:2:2 1) ïñßæåé ôçí ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá M 1 êáé M 2. ñçóéìïðïéþíôáò ôéò áíáëõôéêýò åêöñüóåéò r 1 = x 1 i + y 1 j + z 1 k; êáé r 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k ç (17:2:2 1) ôåëéêü ãñüöåôáé r(t) = [tx 2 + (1 t)x 1 ] i + [ty 2 + (1 t)y 1 ] j + [tz 2 + (1 t)z 1 ] k; üôáí t R: ( ) 4ÂëÝðå ÌÜèçìá ÁíáëõôéêÞ Ãåùìåôñßá êáé âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [2] Êåö. 1.

11 ÐáñáìåôñéêÞ ðáñüóôáóç êáìðõëþí 845 Áí r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k áðü ôçí (17:2:2 2 åîéóþíïíôáò ôéò áíôßóôïé åò óõíôåôáãìýíåò ôùí i; j êáé k ðñïêýðôåé üôé: Óçìåßùóç x(t) = tx 2 + (1 t)x 1 y(t) = ty 2 + (1 t)y 1 z(t) = tz 2 + (1 t)z 1 : ( ) Ç (17:2:2 2), åéäéêü üôáí t [0; 1], ïñßæåé ôçí ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôùí óçìåßùí ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò M 1 M 2. ÐáñÜäåéãìá Íá õðïëïãéóôåß ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò M 1 M 2, üôáí M 1 (1; 2; 0) êáé M 2 (2; 4; 3) (Ó ). Ëýóç. óôù M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) = M 1 (1; 2; 0) êáé M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) = M 2 (2; 4; 3). Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé: x 1 = 1; y 1 = 2; z 1 = 0: x 2 = 2; y 2 = 4; z 2 = 3; ïðüôå áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (17:2:2 2) ôåëéêü óýìöùíá êáé ìå ôç Óçìåßùóç ðñïêýðôåé üôé ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôïõ åõèýãñáììïõ ôìþìáôïò M 1 M 2 åßíáé r(t) = (1 + t) i + 2(1 + t) j + 3t k; üôáí t [0; 1]: Ãéá íá ãßíåé êáôáíïçôþ ç äõóêïëßá õðïëïãéóìïý ôçò áíôßóôïé çò åîßóùóçò ôïõ M 1 M 2 óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò, åíäåéêôéêü ãñüöåôáé üôé áñ éêü ðñýðåé íá õðïëïãéóôåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò óôïí þñï, ðïõ äßíåôáé áðü ôéò åîéóþóåéò: x x 1 = y y 1 = z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 êáé óôç óõíý åéá íá ðåñéïñéóôïýí ôá x; y; z, Ýôóé þóôå ïé åîéóþóåéò íá ðåñéãñüöïõí ôï M 1 M 2.

12 846 ÄéáíõóìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐåñéöÝñåéá êýêëïõ óôù áñ éêü üôé ôï êýíôñï ôïõ êýêëïõ óõìðßðôåé ìå ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ôüôå ç åîßóùóç ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéáò åßíáé ÈÝôïíôáò x 2 + y 2 = R 2 : x = R cos t; êáé y = R sin t; Ý ïõìå ôçí ðáñáêüôù ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç: r(t) = R cos t i + R sin t j ìå t [0; 2): ( ) Áí ôï êýíôñï ôïõ êýêëïõ åßíáé ôï óçìåßï (á; â), ôüôå ç åîßóùóç ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéáò åßíáé (x á) 2 + (y â) 2 = R 2 ; ïðüôå óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå ùò ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçí r(t) = (á + R cos t) i + (â + R sin t) j ìå t [0; 2): ( ) ÐáñÜäåéãìá óôù üôé æçôåßôáé ç ðåñéãñáöþ ôïõ ôüîïõ ÂB ôçò ðåñéöýñåéáò x2 + y 2 = 4, üôáí A ( 1; 3 ) êáé B ( 3; 1 ) (Ó ). Ðñïöáíþò R = 2, ïðüôå óýìöùíá ìå ôçí (17:2:3 1) ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò ðåñéöýñåéáò èá åßíáé r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j ìå t [0; 2): Ï ðñïóäéïñéóìüò ôùí ãùíéþí t A, ðïõ ïñßæåé ôï óçìåßï A, ãßíåôáé ùò åîþò: åðåéäþ ôï A åßíáé óçìåßï ôçò ðåñéöýñåéáò, ðñýðåé ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ ( 1; 3 ) íá åðáëçèåýïõí ôçí ðáñáðüíù ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç, äçëáäþ r (t A ) = 2 cos t A i + 2 sin t A j = i + 3 j; ïðüôå cos t A = 1 3 êáé sin t A = 2 2 ; ïðüôå t A = 3 :

13 ÐáñáìåôñéêÞ ðáñüóôáóç êáìðõëþí y A B x 1 2 Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôïõ ôüîïõ ÂB ôçò ðåñéöýñåéáò x 2 +y 2 = 4, üôáí t 1 = =3 (äéáêåêïììýíç êáöý êáìðýëç) êáé t 2 = 5=6 (êáöý êáìðýëç). ¼ìïéá õðïëïãßæåôáé üôé t B = 5=6 : ÅðïìÝíùò ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôïõ êõêëéêïý ôüîïõ ÂB åßíáé [ r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j ìå t 3 ; 5 ] : 6 Ç ðáñáðüíù åîßóùóç åßíáé ðñïöáíþò áðëïýóôåñç åêåßíçò ðïõ ñçóéìïðïéåß ôçí áíáëõôéêþ åîßóùóç x 2 + y 2 = 4, åðåéäþ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ç Ýêöñáóç ôïõ y óõíáñôþóåé ôïõ x åßíáé y = ± 4 x 2 ìå üôé óôç óõíý åéá äõóêïëßá Þèåëå ðñïêýøåé áðü ôç ñßæá óôïõò ðåñáéôýñù õðïëïãéóìïýò ëëåéøç ¼ìïéá ãéá ôçí Ýëëåéøç ìå åîßóùóç x 2 á 2 + y2 â 2 = 1 Ý ïõìå ùò ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçí r(t) = á cos ti + â sin t j ìå t [0; 2): ( )

14 848 ÐáñÜãùãïò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñáâïëÞ Áí ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëþò åßíáé y = áx 2 ; ôüôå ìßá ðáñáìåôñéêþ åîßóùóþ ôçò ðñïêýðôåé èýôïíôáò x = t, ïðüôå y = á t 2 êáé êáôü óõíýðåéá r(t) = t i + á t 2 j ìå t R: ( ) Óçìåéþóåéò i) Áí åßíáé ãíùóôþ ç åîßóùóç ôçò êáìðýëçò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò, ôüôå ïé óõíôåôáãìýíåò ôçò ðáñáìåôñéêþò åîßóùóçò ðïõ èá ðñïóäéïñéóôåß, ðñýðåé íá åðáëçèåýïõí ôçí áñ éêþ åîßóùóç ôçò êáìðýëçò. ii) Áðü ôçí ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò êáìðýëçò åßíáé äõíáôüí íá ðñïóäéïñéóôåß ç áíôßóôïé ç åîßóùóç óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò, èýôïíôáò x = x(t); y = y(t) êáé z = z(t) êáé áðáëåßöïíôáò ôçí ðáñüìåôñï t, åöüóïí áõôü åßíáé äõíáôüí. ÐáñÜäåéãìá óôù ç êáìðýëç ðïõ äßíåôáé ìå ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ùò åîþò: r(t) = (1 + cos t)i + (2 + sin t)j ìå t [0; ]: ÈÝôïíôáò x = 1 + cos t; y = 2 + sin t; ïðüôå x 1 = cos t; y 2 = sin t êáé áðáëåßöïíôáò ôçí ðáñüìåôñï t, ðñïêýðôåé üôé ç åîßóùóç óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò åßíáé (x 1) 2 + (y 2) 2 = 1: ÅðåéäÞ t [0; ] ðñüêåéôáé ãéá ôï Üíù ìýñïò ôçò ðåñéöýñåéáò, ðïõ Ý åé êýíôñï ôï óçìåßï (1; 2) êáé áêôßíá 1 (Ó ).

15 Ïñéóìüò ðáñáãþãïõ t Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç êáìðýëç ìå ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç r(t) = (1 + cos t)i + (2 + sin t) R, üôáí t [0; ] ÐáñÜãùãïò êáé ïëïêëþñùóç Ïñéóìüò ðáñáãþãïõ Ï ïñéóìüò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ôïõ ÌáèÞìáôïò ÐáñÜãùãïò ÓõíÜñôçóçò åðåêôåßíåôáé êáé óôçí ðåñßðôùóç ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: Ïñéóìüò (êëßóçò). óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F (a; b) êáé óçìåßï t 0 (a; b). Ôüôå ãéá êüèå t (a; b) {t 0 } ìå ôïí ôýðï K t0 (x) = F(t) F (t 0) t t 0 ( ) ïñßæåôáé ìßá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç, ðïõ ëýãåôáé ðçëßêï äéáöïñþí Þ êëßóç ôçò F óôï óçìåßï t 0. Áí t = t 0 + t, ïðüôå t = t t 0 ãéá êüèå t (a; b) {t 0 } ; ( ) ôüôå ï ôýðïò (17:3:1 1) ãñüöåôáé K t0 = f (t 0 + t) f (t 0 ) t : ( )

16 850 ÐáñÜãùãïò êáé ïëïêëþñùóç Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïñéóìüò (ðáñáãþãïõ). óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F (a; b) êáé óçìåßï t 0 (a; b). Ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç F ðáñáãùãßæåôáé óôï óçìåßï t 0 (a; b) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ç ïñéáêþ ôéìþ õðüñ åé. F (t) F (t lim K 0 ) t0 (x) = lim : ( ) t t 0 t t 0 t t 0 Ç (17:3:1 4) èá ëýãåôáé ôüôå ç 1çò ôüîçò äéáíõóìáôéêþ ðáñüãùãïò ôçò F óôï t 0 êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå F (t 0 ). ïíôáò õðüøç ôçí (17:3:1 2), ç (17:3:1 4) éóïäýíáìá ãñüöåôáé F (t 0 ) = lim t t 0 F (t) F (t 0 ) t t 0 F (t 0 + t) F (t 0 ) = lim : ( ) Ät 0 t Ïñéóìüò óôù ç óõíüñôçóç F (a; b) Ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç F ðáñáãùãßæåôáé óôï (a; b) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé ç ðáñüãùãïò F (t 0 ) ãéá êüèå t 0 (a; b). Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ óõìâïëéêü ãñüöåôáé F (t) = F (1) (F) = d F(t) D 1 F(t) = D F(t); ( ) d t üðïõ üìïéá ôï óýìâïëï (ôåëåóôþò) D = D 1 = d d t ðáñüãùãï ôçò F ìå ìåôáâëçôþ t. ÐáñáôçñÞóåéò óõìâïëßæåé ôçí 1çò ôüîçò Áðü ôïõò Ïñéóìïýò êáé ðñïêýðôïõí ôá åîþò: i) ç F (t 0 ), åöüóïí õðüñ åé, åßíáé äéüíõóìá, åíþ ii) ç F (t) åßíáé äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç. Ïñéóìüò óôù üôé ôçò óõíüñôçóçò F (a; b) õðüñ åé ç F (t) ãéá êüèå t (a; b). Ôüôå èá ëýãåôáé üôé õðüñ åé ç 2çò ôüîçò ðáñüãùãïò ôçò F óôï (a; b) ôüôå êáé ìüíïí, üôáí õðüñ åé ç ðáñüãùãïò ôçò F (t) ãéá êüèå t (a; b).

17 Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ óõìâïëéêü ãñüöåôáé F (t) = F (2) (t) = d d t Ïñéóìüò ðáñáãþãïõ 851 ( ) d F(t) d t = d 2 F(t) d t 2 = D 2 F(t); ( ) üðïõ üìïéá ôï D 2 = d 2 óõìâïëßæåé ôïí ôåëåóôþ ôçò 2çò ôüîçò ðáñáãþãïõ d t2 ôçò F ìå ìåôáâëçôþ t. ÁíÜëïãá ïñßæïíôáé ïé ðáñüãùãïé: 3çò ôüîçò: F (t) = F (3) (t) = d d t üðïõ ôï D 3 = d 3 d t 3 ãåíéêü ç - ôüîçò: F () (t) = d d t ( d 2 ) F(t) d t 2 = d 3 F(t) d t 3 = D 3 F(t); ( ) óõìâïëßæåé ôïí ôåëåóôþ ôçò 3çò ôüîçò ðáñáãþãïõ, êáé ( ) d 1 F(t) d t 1 üðïõ üìïéá ï ôåëåóôþò D = d d t óõíüñôçóçò ìå ìåôáâëçôþ t. ÅéäéêÜ ïñßæåôáé üôé = d F(t) d t = D F(t); ( ) óõìâïëßæåé ôçí -ôüîçò ðáñüãùãï ìéáò F (0) (t) = F(t): ( ) Áí ôþñá Oxy, áíôßóôïé á Oxyz åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí, ôüôå ãéá êüèå t (a; b) óýìöùíá ìå ôçí (17:1:1 6) åßíáé Áðïäåéêíýåôáé üôé: F(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j; áíôßóôïé á F(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f 3 (t) k: ( ) Ðñüôáóç Ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F èá Ý åé 1çò ôüîçò ðáñüãùãï óôï (a; b) ôüôå êáé ìüíï, üôáí õðüñ ïõí óôï (a; b) ïé 1çò ôüîçò ðáñüãùãïé ôùí óõíéóôùóþí óõíáñôþóåùí f 1 (t), f 2 (t) êáé f 3 (t).

18 852 ÐáñÜãùãïò êáé ïëïêëþñùóç Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éó ýåé F (t) = f 1(t) i + f 2(t) j = f 1 (t); f 2 (t) ; áíôßóôïé á F (t) = f 1(t) i + f 2(t) j + f 3(t) k = f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t) ( ) ãéá êüèå t (a; b) ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ðáñáãþãïõ Åßíáé Þäç ãíùóôü áðü ôï ÌÜèçìá ÐáñÜãùãïò ÓõíÜñôçóçò üôé ãéá ôç ãåùìåôñéêþ óçìáóßá ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ìéáò ìåôáâëçôþò óå Ýíá óçìåßï, Ýóôù x 0, ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò üôé éó ýåé ç ðáñáêüôù ðñüôáóç: Ðñüôáóç Ç ðáñüãùãïò ìéáò óõíüñôçóçò y = f(x) (a; b) óôï óçìåßï x 0 (a; b) éóïýôáé ìå ôçí åöáðôïìýíç ôçò ãùíßáò Þ äéáöïñåôéêü ìå ôïí óõíôåëåóôþ äéåýèõíóçò ôçò åöáðôïìýíçò ôïõ äéáãñüììáôïò ôçò f óôï óçìåßï (x 0 ; f (x 0 )). Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ç åîßóùóç ôçò åöáðôüìåíçò åõèåßáò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) ; ( ) åíþ ôçò êüèåôçò åõèåßáò ôïõ äéáãñüììáôïò ôçò f óôï óçìåßï (x 0 ; f (x 0 )), åöüóïí (x 0 ; f (x 0 )) 0, áðü ôïí y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0) : ( ) Ãéá ôçí áíôßóôïé ç ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò èåùñïýìå ìéá êáìðýëç, Ýóôù C, ðïõ ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò r(t). Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (17:2:1 4), áíôßóôïé á (17:2:1 5) ôçò ÐáñáãñÜöïõ ç óõíüñôçóç r(t) éóïýôáé ìå r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k; áíôßóôïé á r(t) = x(t) i + y(t) j;

19 ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ðáñáãþãïõ 853 Ó Þìá : (17:3:2 3). ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôùí äéáíõóìüôùí ôçò ó Ýóçò üôáí t [t 1 ; t 2 ]. Áí t = a, óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü êáé ôïí ôýðï (17:3:1 5) åßíáé (Ó ) r (a + t) r (a) lim : ( ) Ät 0 t 5 óôù Ät > 0. Ôüôå, üôáí ôï Ät 0, ôï äéüíõóìá r (a + t) r (a) óôïí áñéèìçôþ ôïõ êëüóìáôïò (17:3:2 3), ðïõ áñ éêü åíþíåé äýï äéáöïñåôéêü óçìåßá ôçò C (Ó a-b), ôåëéêü óôçí ïñéáêþ ôéìþ ôåßíåé íá Ý åé Ýíá êïéíü óçìåßï ìå ôçí C óôï óçìåßï r(a), äéáöïñåôéêü íá ãßíåé ôï åöáðôüìåíï äéüíõóìá ôçò C óôï óçìåßï áõôü (Ó ). ÅðïìÝíùò Ý åé áðïäåé èåß üôé: Ðñüôáóç óôù ìéá êáìðýëç C ðïõ ïñßæåôáé ðáñáìåôñéêü áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò r(t), üôáí t D ìå D = [t 1 ; t 2 ]. Áí a D, ç r (a) ïñßæåé ôç äéåýèõíóç ôçò åöáðôüìåíçò ôçò C óôï óçìåßï r(a). 5ÁíÜëïãá óõìðåñüóìáôá åîüãïíôáé, üôáí Ät < 0.

20 854 ÐáñÜãùãïò êáé ïëïêëþñùóç Êáè. Á. ÌðñÜôóïò (a) (b) Ó Þìá : Äéáäï éêýò èýóåéò ôïõ äéáíýóìáôïò r (a + t) r (a), üôáí ôï Ät 0. ôýðï Ôüôå ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò åöáðôüìåíçò åõèåßáò äßíåôáé áðü ôïí r(t) = r(a) + t r (a); üôáí t D: ( ) ìåóç óõíýðåéá ôçò ðáñáðüíù ðñüôáóçò åßíáé ôüôå ï ðáñáêüôù ïñéóìüò: Ïñéóìüò óôù ìéá êáìðýëç C ðïõ ðåñéãñüöåôáé ðáñáìåôñéêü áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò r(t), üôáí t D ìå D = [t 1 ; t 2 ]. Ôüôå ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá óõìâïëßæåôáé ìå T(t) êáé ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç T(t) = r (t) r (t) ãéá êüèå t D ìå r (t) 0: ( ) ÐáñÜäåéãìá óôù ç êáìðýëç C ìå ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç r(t) = cos 2t i + sin 2t j: Íá ãßíåé ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò C êáé óôç óõíý åéá íá õðïëïãéóôåß ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá óôï óçìåßï ôçò r(=4) êáé ç ðáñáìåôñéêþ

21 ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ðáñáãþãïõ 855 Ó Þìá : ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôïõ äéáíýóìáôïò r (a). åîßóùóç ôçò åöáðôüìåíçò åõèåßáò. Ëýóç. Óýìöùíá êáé ìå ôçí åîßóùóç (17:2:3 1) ôçò ÐáñáãñÜöïõ ç ðáñáðüíù åîßóùóç ðáñéóôüíåé ðåñéöýñåéá êýêëïõ ìå êýíôñï ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé áêôßíá R = 1 (Ó ). ÅðåéäÞ æçôåßôáé ôï åöáðôüìåíï äéüíõóìá óôï óçìåßï ôçò ðåñéöýñåéáò ðïõ Ý åé äéüíõóìá èýóçò r(=4), ïðüôå t = =4, äéáäï éêü Ý ïõìå åíþ r(t) = cos 2t i + sin 2t j; ïðüôå r ( ) = cos 4 2 i + sin j = 0; 1 ; 2 r (t) = 2 sin 2t i + 2 cos 2t j; ïðüôå r ( ) = 2 sin 4 2 i + cos j = 2; 0 : 2 Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (17:3:2 5) ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá óôï óçìåßï r(=4) åßíáé T ( ) ( ) = r 4 4 r ( ) = 2 i + 0 j = i:

22 856 ÐáñÜãùãïò êáé ïëïêëþñùóç Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôçí (17:3:2 4) ç ðáñáìåôñéêþ åîßóùóç ôçò åöáðôüìåíçò åõèåßáò åßíáé r(t) = r ( ) + t r ( ) = 0; 1 + t 2; = 2t; 1 = 2t i + j: Áðü ôá ðáñáðüíù ðñïêýðôåé üôé ãéá ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ôùí r(=4) êáé r (=4) éó ýåé: r ( ) r ( ) = 0; 1 2; 0 = = 0; 4 4 äçëáäþ ôá äéáíýóìáôá r(=4) êáé r (=4) åßíáé êüèåôá ìåôáîý ôïõò. Äßíåôáé óôç óõíý åéá ï ðáñáêüôù ïñéóìüò, ðïõ ïñßæåé ôï åßäïò ìéáò êáìðýëçò: Ïñéóìüò óôù ìéá êáìðýëç C ðïõ ðåñéãñüöåôáé ðáñáìåôñéêü áðü ôç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò r(t), üôáí t D ìå D = [t 1 ; t 2 ]. Ôüôå ç C èá åßíáé ëåßá (smooth), üôáí ç r (t) åßíáé óõíå Þò, r (t) 0, åêôüò ßóùò áðü ôá Üêñá óçìåßá ôïõ D.

23 Êáíüíåò ðáñáãþãéóçò y x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç C, üôáí [ 1; 0) ìðëå êáé (0; 1] êüêêéíç êáìðýëç. Óôï óçìåßï t = 0, äçëáäþ üôáí (x; y) = (1; 0), äçìéïõñãåßôáé ìéá ãùíßá. Ïé êáìðýëåò ôçò ÐáñáãñÜöïõ 17.2 åßíáé ëåßåò. Óôï óçìåßï ðïõ ìéá êáìðýëç äåí åßíáé ëåßá, ó çìáôßæåôáé ìéá ãùíßá Þ äéáöïñåôéêü ìéá áé ìþ (ëýãåôáé åðßóçò êáé ïîý Üêñï) (cusp). ÐáñÜäåéãìá óôù ç êáìðýëç C ìå äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò (Ó ) r(t) = 1 + t 2 ; t 3 = ( 1 + t 2) i + t 3 j: Ôüôå r (t) = 1 + t 2 ; t 3, ðïõ ðñïöáíþò åßíáé óõíå Þò ãéá êüèå t R, åðåéäþ ïé óõíéóôþóåò óõíáñôþóåéò 2t êáé 3t 2 åßíáé óõíå åßò. ÅðåéäÞ üìùò r (t) = 0, üôáí t = 0, ç r(t) åßíáé ëåßá ãéá êüèå t R {0} Êáíüíåò ðáñáãþãéóçò óôù ïé äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò F, G êáé W ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D = (a; b) êáé ðáñáãùãßóéìåò óôï D. Ôüôå, áí ö åßíáé ìßá ðñáãìáôéêþ óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý üìïéá ôï D, áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù êáíüíåò ðáñáãþãéóçò:

24 858 ÐáñÜãùãïò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò i) Áí F = c óôáèåñü, ôüôå F = 0 ii) (F + G) = F + G iii) (k F) = kf üôáí k óôáèåñü iv) (F G) = F G + F G v) (F G) = F G + F G vi) vii) (öf) = ö F + öf üôáí ö âáèìùôþ óõíüñôçóç (F G W) = F G W + F G W + F G W viii) [F (G W)] = F (G W ) + F (G W) + F (G W). Ïé éäéüôçôåò (ii)-(iv) ãåíéêåýïíôáé ãéá -ôï ðëþèïò óõíáñôþóåéò. ÐáñÜäåéãìá óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = cos t i + sin 2 t j + t k: Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí Ðñüôáóç êáé ôïõò ãíùóôïýò ôýðïõò ðáñáãþãéóçò óýíèåôùí óõíáñôþóåùí åßíáé sin 2t F (t) = (cos t) i + ( sin 2 t ) {}}{ j + t k = sin t i + 2 sin t cos t j + k = sin t i + sin 2t j + k; F (t) = (sin t) i + (sin 2t) j + 0 k = cos t i + 2 cos 2t j; ê.ëð. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá, Ýóôù ïé äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò F(t) = t i + 2 j êáé G(t) = t 3 i + t j: Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí êáíüíá ðáñáãþãéóçò (iv) åßíáé (F G) = F G + F G = (i + 0 j) (t 3 i + t j ) + (t i + 2 j) (3 t 2 i + j ) = ( 1 t t ) + ( t 3 t ) = 4 t 3 + 2:

25 Êáíüíåò ðáñáãþãéóçò 859 ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôïýí ïé 1çò êáé ïé 2çò ôüîçò ðáñüãùãïé ôùí ðáñáêüôù äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí F(t): i) cos ti + 2 sin tj iv) e t (cos ti + sin tj) ii) ti t 2 j v) ln (1 + t) i + sin 2 tj + t k iii) e 3t i cos 2tj vi) tan 1 ti + e t2 j + t 2 k. 2. Äåßîôå üôé ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = be t + ae t ; üôáí a, b óôáèåñü äéáíýóìáôá, åðáëçèåýåé ôç äéáöïñéêþ åîßóùóç 3. Áí F (t) 2 F(t) = 0: F(t) = t i + cos 2t j + sin 2t k êáé G(t) = t i sin 2t j + cos 2t k; íá õðïëïãéóôïýí ïé ðáñüãùãïé (F G) ; (F G) êáé (F F) : 4. óôù ç êáìðýëç C ìå äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç èýóçò r(t) = t; e t2 ; sin 2t. Íá õðïëïãéóôåß ç ðáñüãùãïò r (t), ôï ìïíáäéáßï åöáðôüìåíï äéüíõóìá êáé ç åîßóùóç ôçò åöáðôüìåíçò åõèåßáò óôï óçìåßï ôçò r(0). ÁðáíôÞóåéò (i) F (t) = sin t i + 2 cos t j, F (t) = cos t i 2 sin t j, (ii) F (t) = i 2t j, F (t) = 2 j, (iii) F (t) = 3e 3t i + 2 sin 2t j, F (t) = 9e 3t i + 4 cos 2t j (iv) F (t) = e t (cos t + sin t) i + e t (cos t sin t) j, F (t) = 2e t sin t i 2e t cos t j (v) F (t) = 1 1+t i + sin 2t j + k, F (t) = 1 i + 2 cos 2t j (1+t) 2 (vi) F (t) = 1 1+t i 2te t2 j + 2t k, F (t) = 2t i + 2 ( 2t 2 1 ) e t2 j + 2 k. 2 (1+t 2 ) 2 2. F (t) = b e t i a e t j, F (t) = 2 b e t i + 2 a e t j, 3. (F G) = 2t,

26 860 ÐáñÜãùãïò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò F G = i + t (sin 2t cos 2t) j t (sin 2t + cos 2t) k, (F G) = 4 [(t + 1) cos 2t (t 1) sin 2t] j + 4 [(t 1) cos 2t + (t + 1) sin 2t] k, (F F) = 2t. 4. r (t) = 1; 2te t2 1 ; 2 cos 2t, T(0) = 2 5 ; 0; 5, åîßóùóç åöáðôüìåíçò åõèåßáò r(t) = t; 1; 2t ÏëïêëÞñùóç ÁíÜëïãá ìå ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðáñáðüíù ðáñáãñüöùí ç ïëïêëþñùóç ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôþóåùí áíüãåôáé ôåëéêü óôçí ïëïêëþñùóç ôùí åðéìýñïõò óõíéóôùóþí óýìöùíá ìå ôïõò ðáñáêüôù ïñéóìïýò: Ïñéóìüò óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t) : Ôüôå ç G(t) èá åßíáé ìéá ðáñüãïõóá (antiderivative) ôçò F(t), ôüôå êáé ìüíïí üôáí G (t) = F(t). Ïñéóìüò óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý D. F(t) = f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t) Ôüôå, áí ïé óõíáñôþóåéò f 1 (t); f 2 (t) êáé f 3 (t) åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óôï D, ôï áüñéóôï ïëïêëþñùìá F(t) d t õðüñ åé êáé éóïýôáé ìå F(t) d t = f 1 (t) d t; f 2 (t) d t; üôáí C = c 1 ; c 2 ; c 3 ç äéáíõóìáôéêþ óôáèåñü ïëïêëþñùóçò. f 3 (t) d t + C ; ( ) Ïé Þäç ãíùóôïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ ÌáèÞìáôïò Áüñéóôï ÏëïêëÞñùìá åöáñìüæïíôáé êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãéá êáèåìéü óõíéóôþóá ùñéóôü.

27 Êáíüíåò ðáñáãþãéóçò 861 ÐáñÜäåéãìá Áí F(t) = íá õðïëïãéóôåß ôï áüñéóôï ïëïêëþñùìá G(t) = 1 cos 2t; 2 sin t; 1 + t 2 F(t) d t; üôáí G(0) = 3; 2; 1 : Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôçí (17:3:4 1) äéáäï éêü Ý ïõìå G(t) = F(t) d t = cos 2t d t; 2 sin t d t; t 2 d t = 1 2 sin 2t + c 1; 2 cos t + c 2 ; tan 1 t + c 3 : ÅðåéäÞ G(0) = 3; 2; 1 áðü ôï ðáñáðüíù ïëïêëþñùìá ðñïêýðôåé üôé G(0) = 3; 2; 1 = {}}{ sin 0 +c 1 ; {}}{{}}{ cos 0 +c 2 ; tan 1 0 +c 3 = c 1 ; 2 + c 2 ; c 3 : ñá c 1 = 3, c 2 = 4 êáé c 3 = 1, ïðüôå G(t) = 1 2 sin 2t + 3; 2 cos t 4; tan 1 t + 1 : Ïñéóìüò óôù ç äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç F(t) = f 1 (t); f 2 (t); f 3 (t)

28 862 ÐáñÜãùãïò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ìå ðåäßï ïñéóìïý [a; b ]. Ôüôå, áí ïé óõíáñôþóåéò f 1 (t); f 2 (t) êáé f 3 (t) åßíáé ïëïêëçñþóéìåò óôï [a; b ], ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá b a F(t) d t õðüñ åé êáé éóïýôáé ìå I = b a F(t) d t = b a b f 1 (t) d t; a b f 2 (t) d t; a f 3 (t) d t : ( ) ÁíÜëïãá, üðùò êáé óôçí ðáñáðüíù ðåñßðôùóç ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò, ïé Þäç ãíùóôïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôïõ ÌáèÞìáôïò ÏñéóìÝíï ÏëïêëÞñùìá åöáñìüæïíôáé êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãéá êáèåìéü óõíéóôþóá ùñéóôü. ÐáñÜäåéãìá Áí F(t) = sin t; 6; 4t íá õðïëïãéóôåß ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá I = 1 0 F(t) d t: Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôçí (17:3:4 2) äéáäï éêü Ý ïõìå I = = F(t) d t 1 sin t d t; d t; 4 0 t d t = cos t; 6t; 2t = cos 1; 6; 2 1; 0; 0 (áöáßñåóç äéáíõóìüôùí) = 1 cos 1; 6; 2 = (1 cos 1) i + 6 j + 2 k:

29 17.4 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (2011). ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 978{960{351{874{7. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2002). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] Finney, R. L. & Giordano, F. R. (2004). Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{524{184{1. [4] Marsden, J.E. & Tromba, A.J. (2011). Äéáíõóìáôéêüò Ëïãéóìüò. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{730{945{7. [5] Spiegel, M. & Wrede, R. (2006). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 960{418{087{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá;

ÊåöÜëáéï 2. Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá; ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Μηχανική του Συνεχούς Μέσου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ

ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç

Διαβάστε περισσότερα

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x

Διαβάστε περισσότερα

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4

Διαβάστε περισσότερα

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.

ÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç

ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç 8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý

ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού. Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί. Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού. Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί. Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού Ενότητα 4: Συμβολικοί υπολογισμοί Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης è Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. è Για

Διαβάστε περισσότερα

ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô

ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô 11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -

ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας. ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï

ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí.

Διαβάστε περισσότερα

ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç

ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,

Διαβάστε περισσότερα