Καθιερωµένο πρότυπο, Επανακανονικοποίηση της QED και Πρότυπο SU(5)

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΓΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Καθιερωµένο πρότυπο, Επανακανονικοποίηση της QED και Πρότυπο SU5 Πατέλλης Γρηγόρης Επιβλέπων Καθηγητής : Γιώργος Ζουπάνος 18 εκεµβρίου 13

2

3 Περιεχόµενα I Το Καθιερωµένο Πρότυπο 5 1 Εισαγωγικά στοιχεία-φορµαλισµός Μη σχετικιστική κβαντοµηχανική Ειδική σχετικότητα Η εξίσωση Klein-Gordon Αντιµετώπιση των προβληµάτων της εξίσωσης Klein-Gordon Η εξίσωση Dirac ιατηρούµενο ϱεύµα Λύσεις της εξίσωσης Dirac Κβαντική ϑεωρία πεδίου 31.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης Λανγκρατζιανή διατύπωση σε ϑεωρία πεδίων Θεώρηµα Noether, συµµετρίες και νόµοι διατήρησης Εκτεταµένοι και τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας Συµµετρίες και ϑεωρία οµάδων Αβελιανές και µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας Ο U1 τοπικός µετασχηµατισµός Ο SU τοπικός µετασχηµατισµός Ο SU3 µετασχηµατισµός Συµπεράσµατα Το καθιερωµένο πρότυπο της ϕυσικής Αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας-κρυµµένη συµµετρία Αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας Αυθόρµητο σπάσιµο εκτεταµένης συµµετρίας ϐαθµίδας Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgsαβελιανή περίπτωση Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgs- Μη αβελιανή περίπτωση Οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του Καθιερωµένου Προτύπου Η συµµετρία U1 Y Η συµµετρία SU L Η συµµετρία SU3 c

4 3.3 Οι ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις - Το µοντέλο των Weinberg- Salam Φερµιονικές µάζες - ανάµιξη γενιών Εύρεση γωνίας Cabibbo συναρτήσει των ϕυσικών µαζών των κουάρκ Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις Συµπεράσµατα II Επανακανονικοποίηση της QED Κβαντική Ηλεκτροδυναµική QED Μη σχετικιστική χρονοεξαρτώµενη ϑεωρία διαταραχών Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων χωρίς σπιν Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Σκέδαση ηλεκτρονίου - µιονίου Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων µε σπιν 1/ Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Η σκέδαση Moller e e e e Σκέδαση ηλεκτρονίου-µιονίου Κανόνες Feynman και η επέκταση iε Επανακανονικοποίηση µε τη µέθοδο Pauli-Villars ιορθώσεις ανώτερης τάξης Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας ϕωτονίου - Η πόλωση του κενού Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας του ηλεκτρονίου Η διόρθωση της κορυφής Ταυτότητες Ward Η µετατόπιση Lamb & η ανώµαλη µαγνητική ϱοπή Επανακανονικοποίηση Θωράκιση ϕορτίου στην QED και σταθερά Ϲεύξής της Περίληψη-Συµπεράσµατα Επανακανονικοποίηση µε τη µέθοδο της ιαστατικής Οµαλοποίησης Αποκλίσεις στην ϑεωρία φ ιαστατική Οµαλοποίηση της ϑεωρίας φ Επανακανονικοποίηση της φ Οµάδα Επανακανονικοποίησης Αποκλίσεις και διαστατική οµαλοποίηση της QED Επανακανονικοποίηση ενός ϐρόχου της QED Επανακανονικοποιησιµότητα της QED Περίληψη-Συµπεράσµατα

5 III Εισαγωγή στο πρότυπο SU Η Οµάδα SU Ενοποίηση Επιλογή της SU Εισαγωγή των Φερµιονίων Οι αναπαραστάσεις της SU Η Κβάντωση του Φορτίου Εξουδετέρωση Ανωµαλίας Μποζόνια Βαθµίδας Αυθόρµητο Σπάσιµο Συµµετρίας Σπάσιµο της SU Ενοποίηση Σταθερών Ζεύξης

6

7 Μέρος I Το Καθιερωµένο Πρότυπο 5

8

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά στοιχεία-φορµαλισµός 1.1 Μη σχετικιστική κβαντοµηχανική Γνωρίζουµε ότι η κλασική ϕυσική διέπεται από τη σχέση E = p m 1.1 η οποία συνδέει την κινητική ενέργεια µε την ορµή ενός σωµατιδίου. Είναι γνωστό ότι στην κβαντοµηχανική τα ϕυσικά µεγέθη ισοδυναµούν µε ερµιτιανούς τελεστές, δηλαδή οι ιδιοτιµές τους είναι πραγµατικοί αριθµοί όπως οφείλουν αφού οι ιδιοτιµές τους αντιστοιχούν σε αποτελέσµατα µετρήσεων. Οπότε αν αντικαταστήσουµε στη σχέση 1.1 τα µεγέθη µε τους αντίστοιχους τελεστές Ê = i t 1. ˆ p = i 1.3 και αυτοί δράσουν πάνω σε µια µιγαδική στη γενική περίπτωση κυµατοσυνάρτηση Ψ x, t παίρνουµε την διαφορική εξίσωση του Schrondinger η οποία περιγράφει την κίνηση ενός σωµατιδίου στο µικρόκοσµο : Ο τελεστής Ψ x, t m Ψ x, t + i = 1.4 t Ĥ = m + V r 1.5 ονοµάζεται χαµιλτονιανή και οι ιδιοτιµές του αποτελούν τις δυνατές τιµές της ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή, όπου V r =, ο τελεστής ονοµάζεται ελεύθερη χαµιλτονιανή, H. Η 1.4 µπορεί, λοιπόν, να γραφτεί σαν ĤΨ = ÊΨ 1.6 7

10 Οι τελεστές που χρησιµοποιούνται στην κβαντοµηχανική και δρουν πάνω στις κυµατοσυναρτήσεις είναι κατά πλειοψηφία διαφορικοί και, επιπλέον, γραµ- µικοί. Αυτό σηµαίνει ότι, κατά τη δράση τους πάνω σε έναν γραµµικό συνδυασµό κυµατοσυναρτήσεων, ο τελεστής µεταφέρεται σε κάθε συνάρτηση του συνδυασµού ξεχωριστά. ηλαδή για τον τελεστή Â ϑα ισχύει : Âc 1 Ψ 1 + c Ψ = c 1 ÂΨ 1 + c ÂΨ 1.7 Συνεπώς, η 1.4 είναι γραµµική µε άµεση συνέπεια µεγάλης ϕυσικής σηµασίας το παρακάτω ϑεώρηµα : ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Κάθε γραµµικός συνδυασµός λύσεων της εξίσωσης Schrodinger, είναι επίσης λύση της. 1 Πρέπει να αποδειχτεί ότι η κυµατοσυνάρτηση Ψ: Ψ x, t = c 1 Ψ 1 x, t + c Ψ x, t 1.8 είναι λύση της 1.4, αν οι Ψ 1 και Ψ αποτελούν επίσης λύσεις της. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του Schrondinger της µορφής την 1.8 έπεται ότι i Ψ t = ĤΨ 1.9 i t c 1Ψ 1 + c Ψ = Ĥc 1 Ψ 1 + c Ψ 1.1 και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της γραµµικότητας καταλήγουµε : c 1 i Ψ 1 + c i Ψ = c 1 ĤΨ 1 + c ĤΨ 1.11 t t όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει, αφού οι Ψ 1 και Ψ αποτελούν από εκφώνηση λύσεις της εξίσωσης Schrondinger. Πέρα από τη γραµµικότητα, η οποία αποτελεί µία κοινή ιδιότητα της εξίσωσης Schrondinger και της κυµατικής εξίσωσης η οποία είναι το κλασικό ανάλογο της πρώτης, τις δυο αυτές εξισώσεις χωρίζουν δυο µεγάλες διαφορές. 1. Οι συντελεστές της εξίσωσης του Schrondinger είναι µιγαδικοί αριθµοί, ενώ η κυµατική εξίσωση είναι καθαρά πραγµατική.. Η κλασική εξίσωση είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης ως προς το χρόνο ενώ η αντίστοιχη στην κβαντοµηχανική είναι πρώτης τάξης. 1 Τραχανάς, Σ., Κβαντοµηχανική ΙΙ : Θεµελιώδεις αρχές και µέθοδοι, κβαντικοί υπολογιστές

11 Η µιγαδική ϕύση της εξίσωσης του Schrondinger δείχνει πως δεν αφορά πα- ϱατηρήσιµα κύµατα, αλλά αντιπροσωπεύει ένα κύµα πιθανότητας, αφού το τετράγωνο της απόλυτης τιµής της κυµατοσυνάρτησης ρ = Ψ δίνει την πι- ϑανότητα ανά µονάδα όγκου πυκνότητα πιθανότητας να ϐρεθεί το σωµατίδιο σε µια περιοχή του χώρου. Το γεγονός αυτό αποτελεί τη στατιστική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης. Εδώ ο χρόνος παραλείπεται, αφού, όσον αφορά την ερµηνεία αυτή, δεν συνιστά κάποιο σηµαντικό ϱόλο παρά µόνο µια παράµετρο µε την παράλειψη του χρόνου αναφερόµαστε σε κάποιο στιγµιότυπο της κυµατοσυνάρτησης. Η πιθανότητα το σωµατίδιο να ϐρεθεί στο στοιχείο όγκου d 3 x είναι : P = Ψ d 3 x 1.1 και συνεπώς η ολική πιθανότητα το σωµατίδιο να ϐρεθεί σε ολόκληρο το χώρο είναι : + P = Ψ d 3 x 1.13 Φυσικά η ολική πιθανότητα, εφ οσον ερµηνεύουµε τη κβαντοµηχανική στατιστικά, οφείλει να είναι ίση µε τη µονάδα : P = + Ψ d 3 x = Η συνθήκη αυτή ονοµάζεται κανονικοποίηση και για να έχει νόηµα ϑα πρέπει αναγκαίως το ολοκλήρωµα να συγκλίνει, ή αλλιώς η Ψ να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη. Οσον αφορά την πυκνότητα πιθανότητας µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. Οπότε, όταν σε κάποια περιοχή αυξάνεται η πιθανότητα, σε κάποια άλλη µειώνεται, ώστε η ολική πιθανότητα να παραµένει αµετάβλητη. Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι έχουµε µεταφορά πιθανότητας. Το κλασικό ανάλογο αυτής της συµπεριφοράς είναι η κίνηση ενός συµπιεστού υγρού, όπου κάθε µεταβολή στην πυκνότητα µάζας σε µια περιοχή του χώρου επιφέρει και µια αντισταθµιστική εισροή ή εκροή ϱευστού από τη συνοριακή επιφάνεια. Το ισοζύγιο ανάµεσα στη µεταβολή της πυκνότητας µάζας και της ϱοής από τη συνοριακή επιφάνεια δίνεται από την εξίσωση συνέχειας : ρ t + j = 1.15 Οπότε αναλογικά, όπως η παραπάνω µεταβολή της πυκνότητας της µάζας ε- πιφέρει µεταβολή στη ϱοή του υγρού, έτσι και η µεταβολή της πυκνότητας πιθανότητας επιφέρει µεταβολή στη ϱοή της πιθανότητας - ένα ϱεύµα πιθανότητας j. Το ϱεύµα αυτό υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την 1.4 µε το iψ Τραχανάς, Σ., Κβαντοµηχανική ΙΙ : Θεµελιώδεις αρχές και µέθοδοι, κβαντικοί υπολογιστές

12 και προσθέτοντας το αποτέλεσµα στο γινόµενο της συζυγούς της 1.4 επί το iψ. ηλαδή : iψ m Ψ + i Ψ t } {{ } iψ m Ψ i Ψ }{{ t} 1.4 = Ψ Ψ t + Ψ Ψ i t m Ψ Ψ + i m Ψ Ψ = t ΨΨ i m Ψ Ψ Ψ Ψ = ρ t + i m Ψ Ψ Ψ Ψ = 1.16 }{{} j Συγκρίνοντας, λοιπόν, την 1.16 µε την εξίσωση συνέχειας 1.15, προκύπτει η έκφραση για το ϱεύµα πιθανότητας : 1. Ειδική σχετικότητα j = i m Ψ Ψ Ψ Ψ 1.17 Το γεγονός ότι τα στοιχειώδη σωµατίδια κινούνται µε σχετικιστικές ταχύτητες καθιστά απαραίτητη την εισαγωγή του ϕορµαλισµού της ειδικής ϑεωρίας της σχετικότητας και τη συγχώνευσή της µε την κβαντοµηχανική. Το 195 ο Einstein υπέθεσε ότι η αρχή της ισοδυναµίας ταυτοτικά πειρά- µατα που διαξάγονται σε διαφορετικά αδρανειακά συστήµατα δίνουν ταυτόσηµα αποτελέσµατα 3 ισχύει για τα ηλεκτροµαγνητικά ϕαινόµενα όπως αυτά περιγράφονται από τις εξισώσεις Maxwell. Θεώρησε δηλαδή ότι σε όλα τα α- δρανειακά συστήµατα η ταχύτητα του ϕωτός παραµένει σταθερή και ίση µε c, πράγµα το οποίο έχει αποδειχθεί από το πείραµα των Michelson-Morley Πριν από αυτή τη ϑεώρηση, επικρατούσε ο ισχυρισµός του Νεύτωνα περί πρόσθεσης των ταχυτήτων. Πιο συγκεκριµένα, ας υποθέσουµε ότι ένα σωµατίδιο έχει σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΑΣΑ ταχύτητα u = u x, u y, u z και σε ένα άλλο, το οποίο κινείται µε ταχύτητα v κατά το ϑετικό άξονα των x σε σχέση µε το πρώτο, έχει ταχύτητα u = u x, u y, u z. Σύµφωνα µε τους µετασχηµατισµούς του Γαλιλαίου : - x = x vt - y = y 3 Hartle J.B., An Introduction to Einstein s General Relativity 3 1

13 - z = z - t = t η σχέση των ταχυτήτων στον άξονα x ϑα είναι : u x = dx dt = dx dt = dx vt dt = dx dt v = u x v 1.18 Οπότε οι συνιστώσες της ταχύτητας που µετριούνται στο δεύτερο ΑΣΑ ϑα είναι σε σχέση µε αυτές του πρώτου : u x = u x v u y = u y u z = u z που σηµαίνει ότι οι εξισώσεις του Maxwell είναι έγκυρες µόνο για ένα ΑΣΑ, αφού προβλέπουν µόνο µία ταχύτητα για το ϕως. Για ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα η ταχύτητα του ϕωτός ϑα προέκυπτε εκ νέου από την παραπάνω πρόσθεση των ταχυτήτων. Οµως ο Einstein δε συµπεριέλαβε στη ϑεωρία του τους µετασχηµατισµούς του Γαλιλαίου οι οποίοι υπεισέρχονται στη Νευτώνεια µηχανική και οδηγούν στην πρόσθεση των ταχυτήτων, αλλά εισήγαγε µια σύνδεση των αδρανειακών συστηµάτων που είναι συνεπής µε την αρχή της ισοδυναµίας, καταργώντας, έτσι, την ιδέα περί απόλυτου χρόνου του Νεύτωνα. Η σύνδεση αυτή είναι γνωστή ως µετασχηµατισµοί Lorentz. Στη ϑεωρία της σχετικότητας, για να καθοριστεί ένα σηµείο για παράδειγµα σε καρτεσιανές συντεταγµένες, είναι απαραίτητες 4 συντεταγµένες, οι 3 χωρικές και ο χρόνος x, x 1, x, x 3 = ct, x, y, z, αφού, όπως προανα- ϕέρεται, ο χρόνος δεν είναι ίδιος σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα. Αυτή η τετραδιάστατη ενοποίηση ορίζει ένα χώρο που ονοµάζεται χωρόχρονος του Minkowski. Οι µετασχηµατισµοί Lorentz αναµιγνύουν το χώρο και το χρόνο δύο αδρανειακών συστηµάτων σε σχετική κίνηση. Πριν την ανάπτυξη και τη µελέτη των µετασχηµατισµών αυτών είναι ϕρόνιµο να προηγηθεί µια σύντοµη περιγραφή για τη σχετικιστική διατύπωση. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΙΑΤ ΥΠΩΣΗ Το 4-διάνυσµα της ϑέσης ορίζεται : x µ = x, x 1, x, x 3 = ct, x, y, z = ct, x 1.19 και η µετατόπιση για απειροστά διαστήµατα : dx µ = dx, dx 1, dx, dx 3 = cdt, dx, dy, dz = cdt, d x 1. 11

14 ιανύσµατα που ϕέρουν πάνω δείκτες ονοµάζονται συναλλοίωτα. Επίσης ορίζονται και 4-διανύσµατα µε κάτω δείκτες, που λέγονται ανταλλοίωτα : dx µ = dx, dx 1, dx, dx 3 = dx, dx 1, dx, dx 3 = cdt, dx, dy, dz 1.1 ιαφορετικοί παρατηρητές δε συµφωνούν στις παραπάνω συντεταγµένες, όµως συµφωνούν για το αναλλοίωτο µήκος, το οποίο για απειροστές µεταβολές είναι : ds = dx dx 1 dx dx 3 1. που προκύπτει από τις εξισώσεις 1. και 1.1 ως εξής : ds = dx dx +dx 1 dx 1 +dx dx +dx 3 dx 3 = 3 dx µ dx µ dx µ dx µ 1.3 Στην τελευταία ισότητα ϑεωρείται ότι το σύµβολο της άθροισης είναι περιττό, αφού οι επαναλαµβανόµενοι δείκτες αθροίζονται σύµβαση Einstein. µ= Ο ορισµός των 4-διανυσµάτων 1. και 1.1, δεν είναι τυχαίος αλλά τέτοιος, ώστε να συνδέονται µεταξύ τους µε τον µετρικό τανυστή g µν ο οποίος είναι ένας 4x4 διαγώνιος και συµµετρικός πίνακας g µν = g νµ και µάλιστα ο αντίθετός του υπάρχει µη µηδενική ορίζουσα και είναι ο ίδιος πίνακας : g µν 1 = g µν = g µν. 1 g µν = Ο τρόπος που λειτουργεί ο παραπάνω τανυστής και συνδέει δυο 4-διανύσµατα A µ και A µ είναι ο εξής : A µ = g µν A ν 1.5 A µ = g µν A ν 1.6 Συµπερασµατικά, η µέτρική αυτή χρησιµοποιείται για να ανεβοκατεβαίνουν οι δείκτες των 4-διανυσµάτων. Επίσης για τον µετρικό τανυστή ισχύει η παρακάτω ιδιότητα : g νρ g ρµ = δ ν µ 1.7 Οπως στον 3-διάστατο χώρο, έτσι και στον 4-διάστατο χώρο Minkowski ορίζεται το εσωτερικό ή αλλιώς ϐαθµωτό γινόµενο δύο 4-διανυσµάτων a, b: a b a µ b µ = g µν a µ b ν = a b a 1 b 1 a b a 3 b 3 a µ b µ 1.8 1

15 Ολοι οι παρατηρητές συµφωνούν µε το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο, είναι δηλαδή ένα αναλλοίωτο γινόµενο. Ενα τέτοιο αναλλοίωτο γινόµενο αποτελεί και η εξίσωση 1.. Γενικότερα για να σχηµατιστεί µια αναλλοίωτη ποσότητα ως προς τους µετασχηµατισµούς Lorentz ϑα πρέπει για κάθε άνω δείκτη να υπάρχει και ο αντίστοιχος κάτω. Συνεχίζοντας την ανάλυση πάνω στους µετασχηµατισµούς Lorentz, ο Einstein τους χρησιµοποίησε στο πρόβληµα όπου ένα ΑΣΑ Σ κινείται µε ταχύτητα v κατά το ϑετικό άξονα των x σε σχέση µε ένα άλλο ΑΣΑ Σ, ο Lorentz, ενώ είχε αντιληφθεί ότι οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου δεν ήταν επαρκείς και ενώ είχε ϐγάλει τους οµώνυµους µετασχηµατισµούς, δεν κατάφερε να ϑεµελιώσει την ειδική ϑεωρία της σχετικότητας για να περιγράψει τη σχέση των συντεταγµένων τους. Αυτοί είναι : όπου τα ϐ, γ είναι : x = γx βx 1 x 1 = γ βx + x 1 x = x x 3 = x 3 β = v c και γ = 1 1 β Επίσης, αντικαθιστώντας το β µε β και εναλλάσσοντας τα x µε x, προκύπτουν οι αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Lorentz. Αυτό γιατί ϑεωρούµε τώρα το ισοδύναµο πρόβληµα ότι το ΑΣΑ Σ είναι ακίνητο ενώ το ΑΣΑ Σ κινείται µε ίση και αντίθετη ταχύτητα v ως προς το Σ. x = γx + βx 1 x 1 = γβx + x 1 x = x x 3 = x 3 Στο χώρο που µελετάµε, για να συνιστά ένα σύνολο 4 ποσοτήτων ένα 4- διάνυσµα, ϑα πρέπει να µετασχηµατίζονται όπως οι συνιστώσες του x µ κάτω από τους µετασχηµατισµούς Lorentz 4. Στην απαίτηση αυτή υπακούνε - ενέργεια και οι χωρικές συνιστώσες της ορµής : p µ E/c, p p, p 1, p, p Ζουπάνος Γ. Σηµειώσεις του µαθήµατος Στοιχειώδη Σωµατίδια ΙΙ 13

16 - η χρονική και η χωρική παράγωγος µ x µ = x, x 1, x, µ x µ = x, x 1, x, 1 x 3 = c t, x, y, 1 = z c t, 1 = x 3 c t, x, y, 1 = z c t, 1.3 Αξίζει να σηµειωθεί ότι το ανταλλοίωτο τετραδιάνυσµα της παραγώγου µε τον δείκτη επάνω µ είναι αυτό που συµπεριλαµβάνει τις αρνητικές χωρικές συνιστώσες. Αυτό συµβαίνει διότι αυτό είναι το τετραδιάνυσµα που µετασχηµατίζεται µε τον ευθύ µετασχηµατισµό Lorentz, όπως δηλαδή µετασχηµατίζεται και το x µ. Το συναλλοίωτο τετραδιάνυσµα µ µε τις ϑετικές χωρικές συνιστώσες µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς Lorentz, όπως δηλαδή το x µ. Πράγµατι, σύµφωνα µε τον κανόνα της αλυσίδας ϑα ισχύει : x x 1 = x x x + x 1 x 1 x = x x x + x 1 1 x 1 x 1 = γ = γ + β x x 1 β + x x 1 Με απλή σύγκριση ϕαίνεται η αντιστοιχία µε τους αντίστροφους µετασχη- µατισµούς Lorentz. Παροµοίως προκύπτει ότι το µ αντιστοιχεί στον ευθύ µετασχηµατισµό. Οι µετασχηµατισµοί Lorentz είναι γνωστοί ως ωθήσεις boosts. Κάτω από τους µετασχηµατισµούς αυτούς, επαληθεύεται ότι τα διαστήµατα ds παρα- µένουν αναλλοίωτα. Γενικότερα, το εσωτερικό γινόµενο δύο 4-διανυσµάτων παραµένει αναλλοίωτο κάτω από τους µετασχηµατισµούς Lorentz. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στο κλασικό όριο v/c << 1 οι µετασχηµατισµοί αυτοί ανάγονται στους µετασχηµατισµούς του Γαλιλαίου, όπως αναµενόταν. Οµως, οι µετασχηµατισµοί Lorentz δεν αρκούνται στις ωθήσεις που περιγράφονται παραπάνω. Εξ ορισµού, οι µετασχηµατισµοί Lorentz είναι αντιστρεπτοί γραµµικοί µετασχηµατισµοί των συντεταγµένων που σέβονται την ισότητα στοιχείου µήκους ds = ds για δύο ΑΣΑ, Σ και Σ. 5 Γενικά ένας µετασχηµατισµός Lorentz περιγράφεται από τη γραµµική σχέση x µ = 3 Λ µ ν x ν = Λ µ ν x ν 1.31 ν= 5 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια εισαγωγή στη ϐασική δοµή της ύλης, 8, σελ

17 Ενδεικτικά, για τις ωθήσεις Lorentz το Λ µ ν είναι : γ βγ Λ µ ν = βγ γ Ο πίνακας αυτός δεν είναι διαγώνιος, επιβεβαιώνοντας έτσι το γεγονός ότι οι µετασχηµατισµοί Lorentz µπλέκουν το χρόνο και το χώρο δυο αδρανειακών συστηµάτων. Αληθεύει ότι εκτός από το στοιχείο µήκους οι ϑεµελιώδεις νόµοι έχουν την ίδια µόρφή σε όλα τα συστήµατα Lorentz τα συστήµατα αναφοράς που έχουν µια οµοιόµορφη σχετική ταχύτητα 6, είναι δηλαδή Lorentz αναλλοίωτοι. Για παράδειγµα, το εσωτερικό γινόµενο της 4-ορµής ενός σωµατιδίου µε το εαυτό της p µ p µ δίνει : p µ p µ = E, p x, p y, p z E, p x, p y, p z = E p = m 1.33 }{{}}{{} p p Εποµένως η ποσότητα που µένει αµετάβλητη σε όλα τα συστήµατα αναφοράς είναι η µάζα ηρεµίας ενός σωµατιδίου αποτελεί αναλλοίωτη ποσότητα. 1.3 Η εξίσωση Klein-Gordon Το πέρασµα στη σχετικότητα δεν επηρεάζει µόνο το συµβολισµό αλλά και τον τρόπο που συµπεριφέρεται η ϕύση στις ταχύτητες αυτές. Εποµένως η εξίσωση του Schrodinger πλέον είναι ανίκανη να περιγράψει την κίνηση των σωµατιδίων αφού αποτελεί µια µη σχετικιστική κυµατική εξίσωση. Οπως στη µη σχετικιστική κβαντοµηχανική, όπου το σηµείο εκκίνησης ήταν η µη σχετικιστική σχέση ορµής και ενέργειας εξίσωση 1.1, έτσι και εδώ ξεκινάµε από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας και ορµής E = p + m 1.34 και αντικαθιστώντας στη ϑέση της ενέργειας και της ορµής τους αντίστοιχους κβαντοµηχανικούς τελεστές εξισώσεις παίρνουµε µε = c = 1: Ψ t + Ψ = m Ψ 1.35 Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση Klein-Gordon και περιγράφει την κίνηση ενός σωµατιδίου µε µάζα αδρανείας m και ταχύτητα κοντά σε αυτή του ϕωτός. Οπως προαναφέρεται η τετραορµή ενός σωµατιδίου είναι : p µ = E, p Halzen F., Martin D.A., QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course In Modern Physics 15

18 Αντικαθιστώντας στην έκφραση της τετραορµής τις εξισώσεις 1. και 1.3, προκύπτει : p µ = i t, i = i t, = i µ 1.37 και ορίζοντας επίσης τον τελεστή του D Alembert: η Klein-Gordon γίνεται : µ µ = t, t, = t m Ψ = 1.39 Πολλάπλασιάζοντάς την µε τον όρο iψ και αφαιρώντας την έπειτα από το γινόµενο της µιγαδικής συζυγούς της επί τον όρο iψ, παράγεται το σχετικιστικό ανάλογο της εξίσωσης 1.16 της εξίσωσης συνέχειας: [ ] t i Ψ Ψ t Ψ Ψ t }{{} ρ + [ ] iψ Ψ Ψ Ψ = 1.4 } {{ } j Η τετράδα των ποσοτήτων πιθανότητα και ϱεύµα πιθανότητας ϱ, j µετασχη- µατίζονται κάτω από µετασχηµατισµούς Lorentz µε τον ίδιο τρόπο που µετασχηµατίζονται οι συνιστώσες του x µ. Οπότε συνιστούν ένα τετραδιάνυσµα στο χώρο Minkowski: j µ = ρ, j = i Ψ Ψ t Ψ Ψ, iψ Ψ Ψ Ψ t = i Ψ µ Ψ Ψ µ Ψ 1.41 Προφανώς η παραπάνω εξίσωση, ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας στη συναλλοίωτη µορφή της. µ j µ = 1.4 Εκ κατασκευής η εξίσωση Klein-Gordon για ένα ελεύθερο σωµατίδιο έχει λύσεις τα επίπεδα κύµατα της µορφής : Ψt, x = Ne i p x Et = Ne ipx 1.43 Από την εξίσωση 1.4 υπολογίζεται η πυκνότητα πιθανότητας καθώς και το ϱεύµα πιθανότητας : τα οποία γράφονται πιο συνοπτικά : ρ = E N j = p N j µ = p µ N

19 Οπως ϕαίνεται, το πρόσηµο της πυκνότητας πιθανότητας είναι αυτό της ιδιοτι- µής της ενέργειας. Αν αντικαταστήσουµε την 1.43 στην 1.39, ϐρίσκουµε ότι οι ιδιοτιµές της ενέργειας προκύπτουν, όπως αναµενόταν, από τη σχετικιστική σχέση ενέργειας - ορµής : E = ± p + m 1.45 Αυτό σηµαίνει ότι η ενέργεια µπορεί να παίρνει είτε ϑετικές είτε αρνητικές τιµές. Εποµένως σύµφωνα µε την εξίσωση 1.44 η πυκνότητα πιθανότητας µπορεί να είναι επίσης ϑετική ή αρνητική, ανάλογα µε την ενέργεια. Αυτό όµως οδηγεί σε αδιέξοδο γιατί αφένός είναι δυνατό να γίνουν µεταπτώσεις σε όλο και χαµηλότερες ενεργειακές στάθµες και αφέτέρου η αρνητική πυκνότητα πιθανότητας δεν µπορεί να ερµηνευτεί ϕυσικά. Επίσης, για να προσπεραστει το πρόβληµα αυτό δε γίνεται απλά να αγνοήσουµε τις αρνητικές ενέργειες, γιατί πρέπει να υφίσταται πλήρες σύνολο καταστάσεων, πράγµα το οποίο πε- ϱιλαµβάνει και τις ανεπιθύµητες τιµές. Η Klein-Gordon, παρουσιάζει κι άλλο πρόβληµα ως κβαντική κυµατική εξίσωση, ότι η εξίσωση είναι δευτέρας τάξης ως προς το χρόνο. Αυτό καθιστά απαραίτητη τη γνώση όχι µόνο της κυµατοσυνάρτησης τη χρονική στιγµή µηδεν, αλλά και της πρώτης παραγώγου της. Αυτό όµως αντιβαίνει µε την αρχή της κβαντοµηχανικής ότι ο µοναδιακός τελεστής της χρονικής εξέλιξης απαιτεί τη γνώση µόνο της κυµατοσυνάρτησης για t = και τις ιδιοτιµές της ενέργειας για να δώσει την κατάσταση του συστήµατος κάποια χρονική στιγµή στο µέλλον. Συµπεραίνουµε λοιπόν, ότι η εξίσωση κύµατος που παράγεται από τη σύνθεση κβαντοµηχανικής και σχετικότητας παρουσιάζει προβλήµατα και δυσκολίες στη ϕυσική ερµηνεία της. 1.4 Αντιµετώπιση των προβληµάτων της εξίσωσης Klein- Gordon Προσπαθώντας να υπερνικήσει τα προβλήµατα αυτά, ο Dirac το 197 εφηύρε µια σχετικιστική κυµατική εξίσωση η οποία είναι γραµµική ως προς τη χωρική και τη χρονική παράγωγο, στην οποία ϑα επεκταθούµε παρακάτω. Κατάφερε να ξεπεράσει το πρόβληµα της αρνητικής πυκνότητας πιθανότητας και σαν να µην έφτανε αυτό, η εξίσωση περιέγραφε σωµατίδια µε σπιν 1/. Επίσης, κατάφερε να ελιχθεί στο πρόβληµα των αρνητικών ενεργειών επικαλούµενος την απαγορευτική αρχή του Pauli. εν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο ϕερµιόνια που να περιγράφονται από την ίδια ακριβώς κβαντική κατάσταση. Υπέθεσε ότι όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι κατειλληµένες, ϑεώρησε δηλαδή το κενό σαν µια άπειρη ϑάλασσα από ηλεκτρόνια αρνητικής ενέργειας. Ετσι κατάφερε να ξεπεράσει το πρόβληµα ότι τα ηλεκτρόνια ϑα µπορούσαν να µεταπίπτουν σε όλο και χαµηλότερες καταστάσεις, αφού δεν µπορούν να καταλάβουν µια ήδη κατειλληµένη ενεργειακή στάθµη απαγορευτική αρχή. 17

20 Αν όµως κάποιο από τα αρνητικής ενέργειας ηλεκτρόνιο -Ε διεγερθεί σε µια ϑετική ενεργειακή στάθµη Ε, τότε δηµιουργείται µια ο- πή στη θάλασσα των αρνητικής ενέργειας η- λεκτρονίων, όπως ϕαίνεται στην εικόνα. Η α- πουσία του σωµατιδίου ηλεκτρονίου αρνητικού ϕορτίου και αρνητικής ενέργειας µετα- ϕράζεται σαν παρουσία ενός αντισωµατιδίου ποζιτρόνιο ϑετικού ϕορτίου και ϑετικής ενέργειας. Οπότε, στην ουσία αυτό το ϕαινόµενο ερµηνεύεται σαν παραγωγή Ϲεύγους σωµατιδίων e E + e + E όπου προφανώς απαιτείται E + E m. Ενώ µετά τις ανακαλύψεις του Dirac είχε σταµατήσει η προσπάθεια υπερπήδησης των εµποδίων της εξίσωσης Klein-Gordon, οι Pauli και Weisskopf 1934 κατάφεραν να προσδώσουν ϕυσική ερµηνεία στο αρνητικό πρόσηµο της πυκνότητας πιθανότητας. Εισάγοντας το ϕορτίο του ηλεκτρονίου e, µετέτρεψαν την πυκνότητα πιθανότητας σε πυκνότητα ϕορτίου και το ϱεύµα πιθανότητας σε ηλεκτρονιακό ϱεύµα : j µ = ieψ Ψ Ψ Ψ 1.46 Πλέον το γεγονός ότι το ρ = j µπορεί να είναι αρνητικό δεν αποτελεί σφάλµα. Θεωρήσαν δηλαδή ότι οι λύσεις µε αρνητική ενέργεια ενός σωµατιδίου µε αρνητικό ϕορτίο, µπορούν να ϑεωρηθούν σα λύσεις ϑετικής ενέργειας και άντίθετου ϑετικού ϕορτίου. Ενώ η ϑεωρία της οπής του Dirac δεν µπορούσε να εξηγήσει την περίπτωση των µποζονίων, όπου δεν ισχύει η απαγορευτική αρχή, η εξήγηση των Pauli και Weisskopf µπορεί. Λίγο αργότερα ο Stuckelberg 1941 και ο Feynman 1948 χειρίστηκαν τις αρνητικές ενέργειες υποστηρίζοντας πως η αρνητική λύση αντιστοιχεί σε σωµατίδιο που ταξιδεύει αντίθετα στο χρόνο ή σε ένα αντισωµατίδιο ϑετικής ενέργειας που ταξιδεύει κανονικά στο χρόνο. 7 Για παράδειγµα,το j µ για ένα ηλεκτρόνιο ενέργειας E, ορµής p και ϕορτίου e είναι : j µ e = e N E, p 1.47 Υπολογίζουµε το ίδιο για το αντισωµατίδιο, ίδιας ενέργειας και ορµής και ϕορτίου +e j µ e + = +e N E, p = e N E, p Halzen F.,Martin D.A. Quarks & Leptons:An Introductory Course in Modern Particle Physics, 1984, p.77 18

21 παρατηρούµε ότι αντιστοιχεί σε j µ για ηλεκτρόνιο ενέργειας E και ορµής p. Οπότε, γενικά για ένα σύστηµα, η εκποµπή απορρόφηση αντισωµατιδίου τετραορµής p µ αντιστοιχεί σε απορρόφηση εκποµπή σωµατιδίου τετραορµής p µ Η εξίσωση Dirac Η εξίσωση Klein-Gordon εκτός των άλλων προβληµάτων που παρουσίαζε δεν µπορούσε να περιγράψει σωµατίδια που διαθέτουν µη µηδενικό σπιν. Επίσης, όπως προαναφέρθηκε, ο Dirac ήθελε να προσεγγίσει το πρόβληµα καταστρώνοντας µια σχετικιστική κυµατική εξίσωση η οποία να δίνει ϑετική πυκνότητα πιθανότητας. Γιάυτό υποστήριξε την ύπαρξη µιας εξίσωσης η οποία να πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις : 1. Να είναι γραµµική ως προς τη χρονική παράγωγο για ϑετική ϱ. Να είναι γραµµική ως προς τις χωρικές παραγώγους για να είναι σχετικιστικά αναλλοίωτη 3. Οι κυµατοσυναρτήσεις να που ϑα προκύπτουν να ικανοποιούν και την εξίσωση Klein-Gordon. Από τις δύο πρώτες προυποθέσεις εξάγεται µια γενική εξίσωση, η οποία έχει τη µορφή : i Ψ t = i a + βmψ 1.49 Οµως πρέπει τρίτη προυπόθεση, να ικανοποιείται η 1.35, οπότε υψώνουµε τους τελεστές της 1.43 στο τετράγωνο, και έπειτα ακολουθεί µεταξύ τους σύγκριση. Με τη διαδικασία αυτή ϑα ληφθούν όλες οι απαραίτητες πληροφορίες για τις αρχικά αυθαίρετες ποσότητες που παρουσιάζονται στη γενική εξίσωση. i Ψ = i a t + βm i a + βm = 3 i=1 + im a i 3 i=1 Ψ x i Συγκρίνοντας λοιπόν µε την Klein-Gordon i Ψ = t 3 i,j=1/i>j a i a j + a j a i Ψ x i x j a i β + βa i Ψ x i + β m Ψ i=1 Ψ x i + m Ψ Aitchison I,J,R, Hey A,J,G, Gauge Theories In Particle Physics, p.96 19

22 είναι προφανές πως µόνο ο πρώτος και τελευταίος όρος του δεξιού µέλους της 1.5 ϑα πρέπει να επιζούν, ενώ οι δύο ενδιάµεσοι ϑα πρέπει να µηδενίζονται, εποµένως για τα a 1, a, a 3, β ισχύει : Τα τετράγωνα των συντελεστών δίνουν µονάδα : a 1 = a = a 3 = β = Ολοι οι συντελεστές αντιµετατίθενται µεταξύ τους. a i β + βa i = i = 1,, a i a j + a j a i = i, j = 1,, 3 & i j 1.54 Επειδή οι συντελεστές a i, β δε µετατίθενται δε µπορούν να ϑεωρηθούν αριθµοί. Ο Dirac πρότεινε ότι πρέπει να ϑεωρηθούν πίνακες οι οποίοι ϑα δρουν πάνω σε µια κυµατοσυνάρτηση Ψ, η οποία ϑα έχει κάποιες συνιστώσες σε µορφή στήλης. Οι κυµατοσυναρτήσεις αυτές ονοµάζονται σπίνορες του Dirac. Αξίζει να σηµειωθεί ότι εφ όσον η κάθε συνιστώσα του σπίνορα υπακούει στην ίδια κυµατική εξίσωση, οι ϕυσικές καταστάσεις που ϑα περιγράφουν ϑα ϐρίσκονται στην ίδια ενεργειακή κατάσταση. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την παρουσία ενός είδους εκφυλισµού, η άρση του οποίου συνδέεται µε ένα νέο κβαντικό µέγεθος, το σπίν. Για τους πίνακες a i, β ισχύουν τα κάτωθι : a i, β είναι ερµιτιανοί έτσι ώστε να ικανοποιείται η απάιτηση ότι η Χαµιλτονιανή της εξίσωσης Dirac είναι ερµιτιανός τελεστής εξαγωγή ιδιοτιµών οι οποίες ɛr. Από την 1.54 πολλαπλασιάζοντας µε a 1 i Συνεπώς : προκύπτει : a j = a 1 i a j a i. Tra j = Tra 1 i a j a i = Tra j a 1 i a i = Tra j Tra j = 1.55 και αντίστοιχα ακολουθώντας ίδια διαδικασία, πολλαπλασιάζοντας την 1.53 µε a 1 i από τα αριστερά, προκύπτει : β = a 1 i βa i. Συνεπώς : Trβ = Tra 1 i βa i = Trβa 1 i a i = Trβ Trβ = 1.56 Στις παραπάνω αποδείξεις χρησηµοποιήθηκε η ιδιότητα TrAB = TrBA. Οπότε οι 1.55 και 1.56 υποδεικνύουν ότι οι a i, β είναι πίνακες µηδενικού ίχνους. Οι ιδιοτιµές των πινάκων a i, β είναι ±1, πράγµα το οποίο προκύπτει άµεσα από την 1.5.

23 Ισχύει ότι το ίχνος ενός πίνακα είναι ίσο µε το άθροισµα των ιδιοτιµών του. Εφ οσον οι ιδιοτιµές των πινάκων a i, β είναι ±1 και το ίχνος µηδέν, σηµαίνει ότι : Tra i = = k 1 + l 1 k = l ηλαδή, όσες ϕορές υπάρχει η ιδιοτιµή 1 τόσες πρέπει να υπάρχει και η ιδιοτιµή 1 για να µηδενίζεται το ίχνος. Αυτό ισχύει µόνο όταν ο αριθµός των ιδιοτιµών είναι άρτιος, ή ισοδύναµα, όταν η διάστασή του είναι άρτια, αφού D = k + l = k. Πιο απλά αυτό αποδεικνύεται αν πάρουµε τις ορίζουσες των γινοµένων των πινάκων που εµφανίζονται στην αντίστοιχα, δηλαδή : deta i a j = det a j a i = 1 D deta j a i, όπου D η διάσταση. Εποµένως η διάσταση των πινάκων a i, β είναι άρτια. Η µικρότερη πιθανή διάσταση των πινάκων είναι D = 4. Για D = υπάρχουν µόνο τρεις αντιµετατιθέµενοι πίνακες, οι πίνακες του Pauli σ i. Συνεπώς, η µικρότερη διάσταση τεσσάρων πινάκων που ικανοποιούν την άλγεβρα 1.54, είναι D = 4. 9 Οι ιδιότητες των πινάκων γράφονται συνοπτικά : {a i, β} = {a i, a j } = δ ij 1 β = όπου 1 είναι ο 4x4 ταυτοτικός πίνακας. Η επιλογή των a i, β δεν είναι µοναδική. Κατά γενική οµολογία τα αποτελέσµατα είναι ανεξάρτητα από την επιλογή αυτή. Μια συµβατική επιλογή των τεσσάρων πινάκων είναι η αναπαράσταση Dirac-Pauli:οι υπόλοιπες µπορούν να προκύψουν από αυτήν µε µοναδιαίους µετασχηµατισµούς. a i = [ ] σi σ i β = [ ] I I 1.58 όπου Ι ο ταυτοτικός x πίνακας, ο µηδενικός πίνακας ίδιας διάστασης και σ i οι πίνακες του Pauli: [ ] [ ] [ ] 1 i 1 σ x = σ 1 y = σ i z = Αφού οι πίνακες a i, β προέκυψαν 4x4 αυτό σηµαίνει πως και οι σπίνορες ϑα είναι αναγκαστικά διάνυσµατα στήλης µε τέσσερις συνιστώσες το γεγονός αυτό δεν καθιστά την τετράδα αυτή ως τετραδιάνυσµα-µια τετράδα αναλλοίωτη κάτω 9 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική, Μια Εισαγωγή στη Βασική οµή της Υλης, 8, σελ.47 1

24 από τους µετασχηµατισµούς Lorentz. Αυτό ϕαίνεται ανεπιθύµητο εκ πρώτης όψεως, αφού ένα σωµατίδιο µε σπιν 1/ αφού αυτά υποτίθεται ότι περιγράφει η εξίσωση του Dirac έχει δύο ϐαθµούς ελευθερίας σπιν πάνω και σπιν κάτω και όχι τέσσερις. Οι δύο παραπάνω που περισσεύουν, τελικά όχι µόνο δεν είναι ανεπιθύµητοι, αλλά ανοίγουν ένα νέο παράθυρο στη ϑεωρητική ϕυσική, την ταυτόχρονη περιγραφή του αντίστοιχου αντισωµατιδίου. Η εξίσωση 1.49, ως σχετικιστική κυµατική εξίσωση, µπορεί να γραφτεί σε συναλλοίωτη µορφή. Πολλαπλασιάζοντάς την λοιπόν µε τον πίνακα ϐ από τα αριστερά, παίρνουµε : iβ Ψ t = iβ a Ψ + βmψ 1.6 Αν ϕέρουµε όλους τους όρους σε ένα µέλος, και ϑεωρήσουµε τις τέσσερις ποσότητες β, β a σαν ένα τετραδιάνυσµα παρ ολο που δε µετασχηµατίζονται σαν ένα, τότε η παραπάνω µπορεί να γραφτεί σαν εσωτερικό γινόµενο στο χώρο Minkowski: γ µ i β, β a }{{} t, Ψ mβψ = 1.61 }{{} µ Θέτοντας γ µ β, β a και συνδυάζοντάς την µε την 1.3 για c = 1, προκύπτει η εξίσωση του Dirac σε συναλλοίωτη µορφή : iγ µ µ mψ = 1.6 Ορίζοντας γ µ µ και αντίστοιχα γ µ p µ p η παραπάνω εξίσωση γράφεται : i mψ = p mψ = 1.63 Από τον ορισµό των γ-πινάκων και σε συνδυασµό µε τις ιδιότητες των πινάκων a i, β εξισώσεις 1.5, 1.53 προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητές τους : 1. γ µ γ ν + γ ν γ µ = g µν. γ = γ 3. γ = I 4. γ k = βa k = a k β = γ k 5. γ k = βa k βa k = I όπου k = 1,, 3.

25 1.5.1 ιατηρούµενο ϱεύµα Για την εύρεση του διατήρούµενου ϱεύµατος ακολουθούµε την ίδια διαδικασία που µας έδωσε το διατηρούµενο ϱεύµα της Klein-Gordon. Εδώ όµως δεν αρκεί να ϑεωρήσουµε τη µιγαδική συζυγή εξίσωση της 1.6, αλλά την ερµιτιανή συζυγή, εφ όσον πλέον η κυµατική εξίσωση δουλεύει µε πίνακες και όχι µε µιγαδικούς αριθµούς. Αυτή είναι : iγ Ψ Ψ + iγk t x k mψ = i Ψ t γ i Ψ x k γk mψ = 1.64 Με απώτερο σκοπό τη διατήρηση της αναλλοίωτης µορφής της εξίσωσης, πολλαπλασιάζουµε από τα δεξιά µε το γ. Οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται : i Ψ t γ γ i Ψ x k γk γ mψ γ = 1.65 Από την πρώτη ιδιότητα των γ-πινάκων, ισχύει ότι : Συνδυάζοντας την 1.65 µε την 1.66, προκύπτει : γ γ k = γ k γ 1.66 i Ψ t γ γ i Ψ x k γ γ k mψ γ = 1.67 Θεωρώντας τον πίνακα γραµµή Ψ Ψ γ, παίρνουµε την εξίσωση : i µ Ψγ µ + m Ψ = 1.68 Τώρα η εξίσωση συνέχειας µ j µ = προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την 1.6 µε Ψ από αριστερά και έπειτα προσθέτοντας το γινόµενο της 1.68 επί Ψ από δεξιά : i Ψγ µ µ Ψ m ΨΨ + i µ Ψγ µ Ψ + m ΨΨ = Ψγ µ µ Ψ + µ Ψγ µ Ψ = µ Ψγ µ Ψ = 1.69 Προφανώς, συγκρίνοντας µε την εξίσωση συνέχειας µ j µ = προκύπτει ότι το τετραδιάνυσµα του ϱεύµατος πιθανότητας είναι : Εποµένως, η πυκνότητα πιθανότητας ϱ ϑα είναι : j µ = Ψγ µ Ψ 1.7 ρ = j = Ψγ Ψ = Ψ γ γ }{{} Ψ = Ψ Ψ = γ =I 3 4 Ψ i 1.71 i=1

26 ηλαδή, αντιπροσωπεύει πάντα µια ϑετική ποσότητα, όπως ακριβώς ήθελε ο Dirac εξάρχής - ανεξαρτησία από το πρόσηµο της ενέργειας. Ακολουθώντας λοιπόν τη συνταγή των Pauli-Weisskopf, εισάγοντας πολλαπλασιαστικά το ϕορτίο στην έκφραση του ϱεύµατος πιθανότητας j µ = e Ψγ µ Ψ 1.7 παίρνουµε το 4-διάνυσµα της πυκνότητας του ηλεκτρονιακού ϱεύµατος Λύσεις της εξίσωσης Dirac Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε για ένα ελεύθερο σωµατίδιο ιδιοκαταστάσεις, οι οποίες ϑα είναι της µορφής Ψ = ωe ip x 1.73 όπου το ω αποτελεί ένα σπίνορα τεσσάρων συνιστώσεων. Είναι ϐολικό να ϑεωρήσουµε επίσης το σπίνορα ω αποτελούµενο από δύο σπίνορες δύο συνιστώσεων ο καθένας. [ ] ϕ ω = 1.74 χ Εισάγοντας την 1.73 στην 1.49, ϐρίσκουµε τις ιδιοτιµές της ενέργειας. ηλαδή, Hωe ipx = a p + βmωe ipx = Eωe ipx Για ακίνητο σωµατίδιο p = η 1.75 γίνεται : [ ] [ ϕ ϕ βmω = Eω βm = E χ χ [ ] [ ] [ ] I ϕ Eϕ m = I χ Eχ [ ] [ ] [ ] mi ϕ Eϕ = mi χ Eχ [ ] [ ] miϕ Eϕ = miχ { Eϕ = miϕ Eχ = miχ Eχ { ] E = m, m E = m, m 1.76 Οι ιδιοτιµές της ενέργειας είναι λοιπόν : E = m, m, m, m. Από την 1.75 παίρνουµε τις ιδιοκαταστάσεις που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση : E=m Οι δύο πρώτες λύσεις απευθύνονται στο σωµατίδιο ηλεκτρόνιο ϑετικής 4

27 ενέργειας µε ιδιοκαταστάσεις : [ ] m Eϕ = miϕ ϕ = mϕ m [ ] [ ] [ ] ϕ 1 1 =, ϕ =, χ = 1 ϕ 1, ω 1, = 1.77 E=-m ενώ οι άλλες δύο λύσεις αρνητικής ενέργειας απευθύνονται στο αντισω- µατίδιο ποζιτρόνιο ϑετικής ενέργειας µε ιδιοκαταστάσεις : [ ] m Eχ = miχ χ = mχ [ χ 1 1 = ω 3,4 = ], χ = χ 1, m [ 1 ], ϕ = [ 1.78 ] Για σωµατίδιο µε p η 1.75 γίνεται : [ ] [ σ I p + σ I [ ] [ σ p mi + σ p mi [ ] [ ] mi σ p ϕ = E σ p mi χ { σ p χ = E mϕ σ p ϕ = E + mχ ] m ω = Eω ] ω = Eω [ ] ϕ χ 1.79 Επιλύοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις ως προς ϕ και χ αντίστοιχα, προκύπτουν : Λαµβάνοντας υπ οψη τη σχέση : ϕ = σ p E m χ 1.8 χ = σ p E + m ϕ 1.81 σ p = p I 1.8 5

28 και αντικαθιστώντας την 1.8 στην 1.81 ϐρίσκουµε τις αναµενόµενες ιδιοτιµές της ενέργειας : χ = σ p σ p E + m E m χ χ = σ p E me + m χ E me + mχ = p χ E = ± p + m 1.83 Σε παρόµοια εξίσωση ιδιοτιµών ϑα καταλήγαµε αν αντικαθιστούσαµε αντίστρο- ϕα. Συνεπώς, µε ϐάση την εξίσωση 1.74 οι δύο λύσεις για κάθε ιδιοτιµή της ενέργειας ϑα είναι : E = + p + m : Οι δύο λύσεις ϑετικής ενέργειας είναι : ω 1, = N [ ϕ 1, σ p E+m ϕ1, E = p + m : Οι δύο λύσεις αρνητικής ενέργειας είναι : ω 3,4 = N ] [ ] σ p E m χ1, χ 1, όπου Ν είναι και στις δύο περιπτώσεις ένας συντελεστής κανονικοποίησης. Στην ανάλυση που προηγήθηκε αποδείχθηκε ότι και στις δύο περιπτώσεις ακίνητου και κινούµενου σωµατιδίου, στην κάθε ιδιοτιµή της ενέργειας αντιστοιχούν δύο ιδιοκαταστάσεις. Αυτό καταδεικνύει την παρουσία εκφυλισµού, τάξης. Συνεπάγεται λοιπόν, πως ϑα υπάρχει κάποιο επιπλέον µέγεθος του οποίου ο ερµιτιανός τελεστής ϑα µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή του Dirac και τον τελεστή της ορµής, έτσι ώστε οι ιδιοτιµές του να αποτελούν έναν καλό κβαντικό αριθµό ο οποίος ϑα µας διακρίνει τις δύο λύσεις, δηλαδή, ϑα αίρει τον εκφυλισµό. Η παρουσία των πινάκων του Pauli στους α-πίνακες της χα- µιλτονιανής, καθώς επίσης και το γεγονός ότι οι σ-πίνακες υπεισέρχονται στις εκφράσεις του σπίνορα στις εξισώσεις 1.84, 1.85, µας καθοδηγεί να υποπτευθούµε ότι ένα µέγεθος που σχετίζεται µε το σπιν είναι το κβαντικό µέγεθος που ψάχνουµε. Στην περίπτωση µη σχετικιστικής κβαντοµηχανικής, ορίζεται ένα µέγεθος που ονοµάζεται ελικότητα, ως η προβολή του σπιν στην κατεύθυνση κίνησης του σωµατιδίου. Ο ερµιτιανός τελεστής που αντιστοιχεί στο µέγεθος αυτό είναι : λ = sˆp = s p p 1.86 όπου s ο τελεστής του σπιν για σωµατίδια µε σπιν 1/: s = 1 σ

29 Συνεπώς, ο τελεστής της ελικότητας, παίρνει τη µορφή : λ = 1 σ p p 1.88 Αυτό σηµαίνει ότι, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, για ένα σωµατίδιο [ ] που κινείται στον άξονα z, και έχει ορµή p =,, p, η ιδιοκατάσταση σπιν πάνω 1 αντιστοιχεί σε ιδιοτιµή λ = 1 : λ [ ] 1 = 1 p σ p [ ] 1 = 1 σ z [ ] 1 = 1 [ 1 1 ενώ µε παρόµοιο υπολογισµό η ιδιοκατάσταση ] [ ] 1 = 1 [ ] [ ] σπιν κάτω, υπολογίζεται 1 ότι αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 1. Εχει επικρατήσει η σύµβασή ότι η ϑετική ιδιοτιµή αντιστοιχεί σε ένα δεξιόστροφο σωµατίδιο, ενώ η αρνητική σε ένα αριστερόστροφο. Οµως για την ανάλυση πάνω στο διαχωρισµό των λύσεων της εξίσωσης του Dirac, ο τελεστής της ελικότητας όπως τον ορίσαµε στην εξίσωση 1.88, δεν είναι σε ϑέση να διαχωρίσει τις λύσεις, αφού είναι µεγέθους x και δρα σε διάνυσµα στήλη συνιστώσεων, ενώ οι σπίνορες Dirac αποτελούνται από 4 συνιστώσες. Εποµένως, επεκτείνουµε τον ορισµό του τελεστή της ελικότητας στις τέσσερις διαστάσεις, για να γίνει χρήσιµο εργαλείο στη σχετικιστική κβαντο- µηχανική την οποία µελετάµε και να τον χρησιµοποιήσουµε παρακάτω στην περίπτωση κινουµένου σωµατιδίου: λ = 1 Σ p p 1.9 όπου Σ, ορίζεται γενικεύοντας, κατάναλογία µε τον s, ο τελεστής του σπιν µεγέθους 4x4. Σ = 1 [ ] σ 1.91 σ Για τον τελεστή αυτόν ισχύει η µεταθετική σχέση : [ 1 Σ x, 1 ] Σ y = i 1 Σ z 1.9 καθώς και 1 Σ = Αυτές είναι ιδιότητες που αναµένονται από έναν τελεστή στροφορµής µεγέθους 1/, όπως από αυτόν της τροχιακής. Ο τελεστής αυτός 1.91 είναι κατάλληλος να µας διαχωρίσει τις δυο λύσεις στο σύστηµα µάζας ηρεµίας του σωµατιδίου όπου δηλαδή p =, πράγµα που σηµαίνει ότι δε χρειάζεται να χρησιµοποιήσουµε τον τελεστή της ελικότητας απαραίτητη γίνεται η χρήση στο σύστηµα κινουµένου σωµατιδίου. Στην περίπτωση αυτή 7

30 {}}{ ο µεταθέτης του µε τη χαµιλτονιανή H D = a p +βm H D = βm είναι µηδέν : [ H D, 1 ] Σ = 1 [ ] mi σ 1 [ ] σmi mi σ σmi = 1 [ ] σ m 1 [ ] σ σ m = 1.93 σ οπότε αποτελεί το κβαντοµηχανικό µέγεθος που αναζητούµε. ηλαδή, υποθέτοντας ότι το σπιν είναι ευθυγραµµισµένο στον άξονα z: 1 Σω 1 = 1 [ ] σ3 σ 3 = = Σω = 1 [ ] 1 σ3 1 σ 3 = = 1 1 = Ο τελεστής του σπιν καταφέρνει να άρει τον εκφυλισµό των καταστάσεων µε ενέργεια E = m. Οµως εάν ϑεωρήσουµε την περίπτωση σωµατιδίου που διαθέτει µη µηδενική ορµή και άρα ϐρίσκεται εν κινήσει, παρατηρούµε πως ο τελεστής αυτός του σπιν δεν µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή του προβλήµατος H D = a p + βm και άρα παύει να είναι ο κβαντικός αριθµός που ψάχνουµε : = [ H D, 1 ] Σ = 1 [ a p, Σ] + 1 {}}{ [βm, Σ] = 1 [ a p, Σ] 1.95 Το µέγεθος που µετατίθεται µε τη χαµιλτονιανή και καταφέρνει να άρει και τον εκφυλισµό είναι η ελικότητα, όπως την ορίσαµε στην εξίσωση 1.9 Οπότε παροµοίως µε παραπάνω, ϑεωρώντας ένα σωµατίδιο που κινείται στον άξονα z µε ορµή p =,, p, για τις δύο λύσεις ω 1, ισχύει : λω 1, = 1 Σ p p [ ϕ 1, σ p E+m ϕ1, ] = 1 [ ] [ σ3 σ 3 Αναλυτικά για την κάθε λύση ω 1 και ω, ϑα ισχύει : ω 1 : [ ] [ 1 σ3 σ 3 ϕ 1 σ 3 p E+m ϕ1 ] 1 = ϕ 1, σ 3 p E+m ϕ1, 1 σ 3 p E+m = 1 ] 1 σ 3 p E+m

31 ω : [ ] [ 1 σ3 σ 3 ϕ σ 3 p E+m ϕ ] 1 = σ 3 p E+m = 1 1 σ 3 p E+m 1.97 Είναι εµφανές λοιπόν πως ο τελεστής της ελικότητας καταφέρνει να διαχωρίσει τις εκφυλισµένες καταστάσεις σε µια µε σπιν πάνω ϑετική ελικότητα και µία µε σπιν κάτω αρνητική ελικότητα. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, όπως στις εξισώσεις 1.94, 1.96 οι τελεστές του σπιν και της της ελικότητας αντίστοιχα, σπάνε τον εκφυλισµό που διέπουν τους σπίνορες ω 3,4 και διαχωρίζουν τις καταστάσεις στην κάθε περίπτωση E = m, E = p + m. Οι λύσεις αρνητικής ενέργειας, ϑεωρούµε ότι είναι αυτές που σχετίζονται µε το αντισωµατίδιο ποζιτρόνιο. Οµως επειδή όλα τα ελεύθερα σωµατίδια και αντισωµατίδια πρέπει να µεταφέρουν ϑετική ενέργεια και ορµή, αλλάζουµε τα πρόσηµά τους E, p p µ έτσι ώστε οι λύσεις αρνητικής ενέργειας να επανερµηνευθούν σα λύσεις ϑετικής ενέργειας αντισωµατιδίων. Η αντίστοιχη κυµατοσυνάρτηση ϑα είναι λοιπόν : Ψ = ω 3,4 E, pe i px = ω 3,4 E, pe ipx 1.98 Στη µορφή αυτή καλούµε τους σπίνορες, σπίνορες v: [ ] σ p v 1 E, p = ω 4 E, p = N E m χ χ = N [ ] σ p v E, p = ω 3 E, p = N E m χ1 χ 1 = N Οπότε γενικά η κυµατοσυνάρτηση γράφεται : ] [ σ p E+m χ χ [ σ p E+m χ1 χ 1 ] 1.99 Ψ = v,1 E, pe ipx 1.1 Συνεπώς η εξίσωση του Dirac 1.6, για την περιγραφή αντισωµατιδίων γίνεται : p mu E, p = p + mve, p = 1.11 Στην αντιστοίχιση σωµατιδίου µε αρνητικές λύσεις σε αντισωµατίδιο, µένει µόνο να εξετάσουµε τι συµβαίνει µε το σπιν. Οπως η απουσία ενός ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας ισοδυναµεί µε την παρουσία µιας ϑετικά ϕορτισµένης 9

32 εκδοχής ηλεκτρονίου ϑετικής ενέργειας, ο Dirac παροµοίως ερµήνευσε την απουσία ενός σπιν πάνω ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας ισοδύναµη µε την παρουσία ενός σπιν κάτω ποζιτρόνιου ϑετικής ενέργειας. Η ισοδυναµία αυτή καταδεικνύεται στον τρόπο που αντιστοιχίσαµε τους σπίνορες v 1, µε τους αρνητικής ενέργειας ω 4,3 στην εξίσωση 1.99, ώστε οι σπίνορες µε δείκτη 1 να αντιστοιχουν σε σπιν πάνω σωµατίδια ενώ οι σπίνορες µε δείκτη να αντιστοιχούν σε σωµατίδια µε σπιν κάτω. Αφού εν τέλει στη ϑεώρηση αντισωµατιδίου αντιστρέφεται τόσο η ορµή όσο και το σπιν, αυτό σηµαίνει πως η ελικότητα αποτελεί ένα µέγεθος που παραµένει αναλλοίωτο. Καθίσταται προφανές, πλέον, ότι η ϑεωρία του Dirac δεν αποτελεί ϑεωρία περιγραφής ενός σωµατιδίου. Αυτό γιατί αν διεγερθεί κάποιο ηλεκτρόνιο αρνητικής ενέργειας από τα άπειρα που αποτελούν το κενό σε µια ϑετική ενεργειακή στάθµη, τότε έχουµε την παρουσία δύο σωµατιδίων : του προανα- ϕερθέντος ηλεκτρονίου και της ϑετικά ϕορτισµένης οπής ποζιτρονίου µέσα στο κενό ή απλούστερα, έχουµε δύο σωµατίδια από δίδυµη γένεση. Ο τρόπος αυτός αντιµετώπισης του προβλήµατος των αρνητικών λύσεων για τα ϕερ- µιόνια, αναδεικνύει την ανάγκη για την κατάστρωση µιας κβαντικής ϑεωρίας πεδίου. 3

33 Κεφάλαιο Κβαντική ϑεωρία πεδίου.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης Το 18ο αιώνα, στον τοµέα της κλασικής µηχανικής, στην περιγραφή της κίνησης ενός υλικού σηµείου, δεσπόζουσα ϑέση κατέχει η Νευτώνεια µηχανική. Ξεκινώντας λοιπόν από τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο σηµείο αυτό, από τους νόµους του Νεύτωνα εξάγονται οι εξισώσεις κίνησής του, οι οποίες παρέχουν πληροφορίες για την τροχιά που ακολουθεί το σωµατίδιο αυτό. Ταυτόχρονα όµως, επωάζεται µια καινούρια ιδέα η οποία ϑα οδηγήσει σε µια εναλλακτική, µαθηµατικά πιο ευέλικτη, διατύπωση ανεξάρτητη από τους νευτωνικούς νόµους από την οποία ϑα εξάγεται η εξίσωση της κίνησης για ένα σηµειακό αντικείµενο. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ιδέα αυτή δεν αναπτύχθηκε µε σκοπό να ανατρέψει τη νευτώνεια µηχανική. Επίσης, δε ϐασίζεται σε πειραµατικές ενδείξεις ή αποτελέσµατα αλλά αποτελεί ένα οικοδόµηµα που συνίσταται από ϐασικές έννοιες και µαθηµατικές διεργασίες των µεγάλων ευ- ϱωπαίων µαθηµατικών της εποχής. Η ιδέα έχει καταγωγή την αρχή του Fermat, ότι το ϕως διαδίδεται από τον πιο σύντοµο δρόµο. Αυτό έστρωσε το δρόµο προς νέα ερωτήµατα όπως, πρώτον, ποια είναι η διαδροµή από τις άπειρες δυνατές που επιλέγει ένα σώµα να ακολουθήσει µέσα σε ένα µέσο και δεύτε- ϱον, αν υπάρχει κάποια ευρύτερη περιγραφή της κίνησης από την οποία να απορρέουν οι µαθηµατικές προτάσεις των νόµων του Νεύτωνα. Για να απαντήσουµε στα ερωτήµατα, ϑα χρειαστεί να µελετήσουµε το πεί- ϱαµα κατά το οποίο ένα σωµατίδιο ϱίπτεται κατακόρυφα και εκτελεί ελεύθερη κίνηση ανάµεσα σε δύο ϑέσεις, µέσα σε ένα ϐαρυτικό πεδίο σε χρονικό διάστηµα t = t t 1, όπως ϕαίνεται στο πρώτο διάγραµµα. Η τροχιά αυτή είναι η πραγµατική. Εστω τώρα, σε επανάληψη της ϱίψης, ότι το σώµα αυτό ξεκινάει και καταλήγει στις ίδιες ϑέσεις όπως πριν και στις ίδιες χρονικές στιγµές, όµως εκτελεί διαφορετική κίνηση - δηλαδή διαγράφει διαφορετική τροχιά, όπως ϕαίνεται στο δεύτερο διάγραµµα. Η τροχιά αυτή είναι ϕανταστική. 31

34 Πραγµατική τροχιά σωµατιδίου Φανταστική τροχιά σωµατιδίου Αν υπολογίσουµε την ποσότητα της κινητικής ενέργειας µειωµένη κατά τη δυναµική ενέργεια και έπειτα την ολοκληρώσουµε ως προς το χρόνο µε άκρα τις χρονικές στιγµές t 1 και t για τις δύο διαφορετικές περιπτώσεις, ϑα ϐρούµε ότι για τη ϕανταστική τροχιά η τιµή ϑα ϐγαίνει µεγαλύτερη. Αυτό ϑα συµβαίνει και για οποιαδήποτε άλλη ϕανταστική τροχιά επιλέξουµε. Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται δράση και η πραγµατική τροχιά είναι αυτή που την ελαχιστοποιεί. Για παράδειγµα, για να ϐρούµε την πραγµατική τροχιά στην οποία ταξιδεύει ένα σωµατίδιο αρκεί να υπολογίσουµε όλες τις πιθανές τροχιές όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα και να διαπιστώσουµε ποια είναι αυτή που ελαχιστοποιεί τη δράση. Πιθανές τροχιές σωµατιδίου α- νάµεσα σε δυο χρονικές στιγ- µές. Η αρχή της ελαχίστης δράσης για µεταβολές που συντελούνται στη ϕύση, η δράση που απαιτείται είναι πάντα η ελάχιστη δυνατή, ϕιλτράρει τις υποψήφιες τροχιές και εξάγει την πραγµατική. Η διαδικασία αυτή για την εύρεση της πραγµατικής τροχιάς είναι αρκετά επίπονη και ϕυσικά κάθε άλλο παρά πρακτική. Ευτυχώς υπάρχει άλλη µέθοδος την οποία και ακολουθούµε. Πριν αναλύσουµε τη µέθοδο αυτή ας εξετάσουµε λίγο την ποσότητα, από την ολοκλήρωση της οποίας, προκύπτει η δράση. Η µαθηµατική έκφραση της δράσης είναι η κάτωθι : S = t t 1 Lqt, qtdt.1 όπου qt η ϑέση του σωµατιδίου και qt η ταχύτητά του. Η συνάρτηση L, 3

35 που εξαρτάται από τις παραπάνω ποσότητες, ονοµάζεται λανγκρατζιανή. Στις απλές εφαρµογές όπως παραπάνω στη ϱίψη σωµατιδίου σε ϐαρυτικό πεδίο, όπου έχουµε διατηρητικό σύστηµα, η λανγκρατζιανή ορίζεται ως το αποτέλεσµα της αφαίρεσης της δυναµικής ενέργειας από την κινητική, L = T V. Επανερχόµαστε λοιπόν στην αναζήτηση µιας µεθόδου που να µας επιτρέπει να αποφύγουµε τη διερεύνηση όλων των πιθανών σεναρίων που είναι πιθανό να πραγµατοποιήσει το σωµατίδιο. Η εναλλακτική αυτή προσέγγιση γίνεται µέσω του λογισµού των µεταβολών και οι Euler-Langrange καταφέρνουν να ϕτάσουν σε µια µαθηµατική διατύπωση κατά την οποία µπορεί να γίνει πρό- ϐλεψη των ϑέσεων που ϑα καταλάβει ένα σωµατίδιο στο µέλλον. Οταν µελετούµε τη συνάρτηση µιας ποσότητας, όπως η ϑερµοκρασία, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο, µια από τις ιδιότητες του ακρότατου µας λέει ότι αν µετακινηθούµε από το σηµείο αυτό µε µεταβολή πρώτης τάξης, τότε η απόκλιση της συνάρτησης από το ελάχιστο είναι µόλις δεύτερης τάξης. Σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο της καµπύλης, µια µεταβολή πρώτης τάξης, αλλάζει την τιµή της συνάρτησης επίσης σε πρώτη τάξη. Οµως, σε ελάχιστο µια µικρή µεταβολή δεν µεταβαλλει την τιµή της συνάρτησης σε προσέγγιση πρώτης τάξης. Βέβαια στην περίπτωση αυτή δεν έχουµε µια απλή συνάρτηση που ε- ξαρτάται από το χρόνοόπως η ϑερµοκρασία αλλά συνάρτηση της συνάρτησης qt ένα συναρτησιακό της qt. Βασιζόµενοι στο παραπάνω επιχείρηµα, οι δύο επιστήµονες συνέχισαν στην εύρεση της πραγµατικής τροχιάς. ηλαδή, υπέθεσαν αναλογικά όσον αφορά την περίπτωση της απλής συνάρτησης-ϑερµοκρασίας ότι αν απαιτήσουµε την πραγµατική καµπύλη, τότε η καµπύλη που διαφέρει µόλις λίγο από αυτή δε ϑα δηµιουργεί αλλαγή στη δράση σε προσέγγιση πρώτης τάξης. ηλαδή, ϑεω- ϱώντας µια µεταβολή : qt q t = qt + δqt, η αλλαγή αυτή στη δράση δίνεται από τη σχέση : t L δs = qt δqt + L qt δ qt dt. Χρησιµοποιώντας τη συνθήκη : t 1 δ qt = dδqt dt.3 η παραπάνω εξίσωση γίνεται : δs = t t 1 L qt δqt + L qt και ολοκληρώνοντας το δεύτερο όρο κατά µέλη προκύπτει : δs = t t 1 L δqt qt d dt 33 L qt dδqt dt.4 dt [ ] L t dt + qt δqt.5 t 1

36 εδοµένου όµως ότι όλες οι πιθανές τροχιές ξεκινούν και καταλήγουν τη στιγµή t 1 και t αντίστοιχα, σηµαίνει ότι δqt 1 = δqt =. Οπότε η µεταβολή της δράσης ϑα είναι τώρα : t L δs = δqt qt d L dt =.6 dt qt t 1 Αφού όµως η παραπάνω εξίσωση πρέπει να ισχύει για κάθε αυθαίρετη µετα- ϐολή, αυτό σηµαίνει πως η παρένθεση πρέπει να είναι αυτή που µηδενίζεται : L qt d L dt qt =.7 Αυτή αποτελεί την περίφηµη εξίσωση κίνησης Euler-Langrange, η λύση της οποίας είναι η πραγµατική τροχιά του σωµατιδίου. Μια απλή εφαρµογή µε την οποία ϕαίνεται η χρησιµότητα της παραπάνω εξίσωσης, είναι να ϑεωρήσουµε τη λανγκρατζιανή ενός σωµατιδίου σε ένα ϐα- ϱυτικό πεδίο, δηλαδή : L = T V = 1 mẋ V x και όπου q = x και να την αντικαταστήσω στην εξίσωση Euler-Langrange. Αυτοµάτως προκύπτει : V x x 1 m d ẋ dt ẋ =.8 Κάνοντας τις πράξεις : V x = 1 d mẋ.9 x dt και καταλήγουµε στο δεύτερο νόµο του Νεύτωνα : F = mẍ.1 Αξίζει να σηµειωθεί ότι µόλις αποδείξαµε ότι οι νόµοι του Νεύτωνα που αποτελούν αξιώµατα στη νευτώνεια ϕυσική, µέσω της λανγκρατζιανής αντιµετώπισης απορρέουν αβίαστα από την εξίσωση των Euler-Langrange. Τέλος, πολύ ση- µαντικό πλεονέκτηµα της λανγραντζιανής διατύπωσης είναι ότι δεν είµαστε υποχρεωµένοι να ϑεωρήσουµε ένα συγκεκριµένο σύστηµα αναφοράς 1.. Λανγκρατζιανή διατύπωση σε ϑεωρία πεδίων Για να προσεγγίσουµε την περιγραφή ενός πεδίου µε κάποια εξίσωση πα- ϱόµοια της Euler-Langrange, ϑα ξεκινήσουµε µελετώντας ένα σύστηµα που αποτελείται από Ν µάζες και ϑα το επεκτείνουµε στο όριο όπου N, για παράδειγµα µια χορδή. ηλαδή, ένα σύστηµα που έχει ένα πολύ µεγάλο νούµερο διακριτών ϐαθµών ελευθερίας σηµειακές µάζες, ϑα το προσεγγίσουµε σαν ένα σύστηµα συνεχούς ϐαθµού ελευθερίας, δηλαδή ένα πεδίο, 1 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.73 34

37 για το οποίο η µετατόπιση ϑα δίνεται για οποιοδήποτε σηµείο από τη συνεχή συνάρτηση φ x, t. Στην περίπτωση αυτή του συνεχούς, η δράση ϑα είναι : S = L dt.11 όπου L = L dx.1 όπου η ποσότητα L ονοµάζεται λανκρατζιανή πυκνότητα. µε αυτή ϑα δουλεύουµε από εδώ και πέρα όσον αφορά στα πεδία, και ϑα αναφερόµαστε σε αυτή απλά ως λανγκρατζιανή. Οπως αναφέρεται παραπάνω στην περίπτωση του διακριτού η λανκγρατζιανή εξαρτάται από τη µετατόπιση και από τη χρονική της παράγωγο. Στην περίπτωση του συνεχούς πεδίο η λανγκρατζιανή εξαρτάται από τα παραπάνω αλλά εξαρτάται και από τη χωρική παράγωγο της µετατόπισης. ηλαδή : φ L = Lφ, φ, x.13 ή αλλιώς σε σχετικιστική διατύπωση : L = Lφ, φ x µ = Lφ, µ φ.14 Συνεπώς η.11 ϑα είναι : S = L φ, φ φ, dt dx.15 x Για να καταλήξουµε στην εξίσωση πεδίου Euler-Langrange, E-L ξεκινάµε πάλι από την ίδια ϑεµελιώδη αρχή ότι στην πραγµατική διαδροµή η µεταβολή της δράσης ϑα είναι. Εργαζόµαστε σε µια διάσταση για λόγους ευκολίας και στο τέλος ϑα επεκτείνουµε το αποτέλεσµα στις τρεις διαστάσεις. Θεωρώντας λοιπόν τη µεταβολή φx φ x = φx + δφx, η µεταβολή στη δράση από την εξίσωση.15 ϑα είναι : δs = dt [ L L δφ + φ φ δ φ + ] L φ/ x δ φ/ x dx =.16 Σπάζοντας το άθροισµα εντός του ολοκληρώµατος σε επι µέρους ολοκληρώ- µατα, προκυπτει : δs = L δφ dt dx + φ Λαµβάνοντας λοιπόν υπ οψη ότι : L φ δ φ dt dx + L δ φ/ x dt dx = φ/ x.17 δ φ = φ φ t t = φ φ + δφ t t = φ t + δφ φ t t = δφ t.18 35

38 δ φ x = φ φ x x = φ φ + δφ x x = φ x + δφ x φ x = δφ x.19 η.17 γίνεται : L L L δs = δφ dt dx + δφ dt dx + δφ dt dx φ φ/ t t φ/ x x. και εκτελώντας παραγοντική ολοκλήρωση του δφ/ t δεύτερος όρος ως προς t και παροµοίως του δφ/ x τρίτος όρος ως προς x γίνεται : [ ] L L δs = δφ dt dx + φ φ/ t t δφ L δφ dt dx t φ/ t [ ] L + φ/ x x δφ L δφ dt dx.1 x φ/ x και διώχνοντας χωρίς να προκαλείται κάποιο πρόβληµα στην περίπτωση αυτή τους επιφανειακούς όρους, προκύπτει : ] L δs = dt dx δφ [ L φ t φ x L φ/ x =. Επειδή το δφ είναι αυθαίρετο, για το µηδενισµό της παραπάνω εξίσωσης α- παιτείται η παρένθεση εντός του ολοκληρώµατος να µηδενίζεται. Συνεπώς, προκύπτει η εξίσωση πεδίου Euler-Langrange. L φ L t φ L =.3 x φ/ x Επεκτείνοντας στις 3-διαστάσεις, όπου / x, η E-L ϑα ναι : L φ L t φ L φ =.4 Για σχετικιστικά πεδία η παραπάνω εξίσωση στην αναλλοίωτη µορφή της γρά- ϕεται ως : L φ L µ µ φ =.5 Οπότε, για κάθε περίπτωση ϑα πρέπει να κατασκευάσουµε µια σχετικιστικά αναλλοίωτη λανκγρατζιανή πυκνότητα για κάποιο πεδίο ϕ και µέσω της εξίσωσης E-L, ϑα παίρνουµε κάθε ϕορά την αντίστοιχη εξίσωση κίνησης. Επί παραδείγµατι, αντικαθιστώντας την αναλλοίωτη λανγκρατζιανή L = 1 µφ µ φ 1 m φ.6 36

39 ϑα καταλήξουµε στην εξίσωση κίνησης του πεδίου αυτού : Η παραπάνω εξίσωση γράφεται για διευκόλυνση στον υπολογισµό των παραγωγίσεων: L = 1 φ φ 1 φ 1 φ φ φ 3 φ 3 φ 1 m φ.7 Υπολογίζουµε τώρα τις παραγώγους που υπεισέρχονται στην εξίσωση E-L: L µ φ = L φ = 1 φ m φ = m φ.8 1 µ φ µφ µ φ = µ φ.9 Η τελευταία παραγώγιση προέκυψε αβίαστα υπολογίζοντας ξεχωριστά το χρονικό και το χωρικό κοµµάτι : L φ = L i φ = φ i φ 1 φ = φ = φ.3 1 iφ = i φ = i φ.31 Αντικαθιστώντας στη σχετικιστική εξίσωση E-L.5 τα αποτελέσµατα των πα- ϱαγωγίσεων από τις.8 και.9, προκύπτει η Ϲητούµενη εξίσωση κίνησης. µ µ φ = m φ.3 η οποία είναι η σχετικιστική εξίσωση κίνησης σωµατιδίου µάζας m, χωρίς σπιν, που µελετήθηκε στο πρώτο κεφάλαιο, η Klein-Gordon..3 Θεώρηµα Noether, συµµετρίες και νόµοι διατή- ϱησης Η γερµανίδα µαθηµατικός Emmy Noether ϑεωρείται µια από τις µεγαλύτε- ϱες γυναικείες προσωπικότητες στον τοµέα των µαθηµατικών. Το οµώνυµο ϑεώρηµα που δηµοσίευσε το 1915 την ανέδειξε και ως σπουδαία µορφή της ϑεωρητικής ϕυσικής. Με το ϑεώρηµα της αυτό καταφέρνει να συνδέσει τις δυναµικές συµµετρίες που διέπουν ένα σύστηµα µε νόµους διατήρησης διατηρούµενες ποσότητες. Το ϑεώρηµα λέει ότι κάθε συµµετρία της ϕύσης συνεπάγεται ένα νόµο διατήρηρσης, και αντίστροφα, κάθε νόµος διατήρησης αποκαλύπτει την ύπαρξη κάποιας υποκείµενης συµµετρίας. Με άλλα λόγια Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.3 37

40 το ϑεώρηµα της Noether δηλώνει ότι αν η λανγκρατζιανή ενός ϕυσικού συστήµατος δεν επηρεάζεται από µεταβολές στο σύστηµα συντεταγµένων από το οποίο περιγράφεται, τότε ϑα υπάρχει και ένας αντίστοιχος νόµος διατήρησης. Για παράδειγµα, αν η λανγκρατζιανή είναι ανεξάρτητη από τη ϑέση της αρχής των αξόνων τότε το σύστηµα διατηρεί την ορµή του µε την πάροδο του χρόνου. Αν είναι ανεξάρτητη από την αρχική χρονική στιγµη, τότε η διατηρούµενη ποσότητα είναι η ενέργεια και αν είναι ανεξάρτητη από τη γωνία µέτρησης, τότε διατηρείται η στροφορµή. Το ϑεώρηµα αυτό δεν αρκείται στο να συνδέσει τις παραπάνω συµµετρίες µε κάποια διατηρούµενη ποσότητα. αλλά έχει γενικότερη ισχύ. Αυτό γιατί µας πληροφορεί ότι αν ένας µετασχηµατισµός έστω συνεχής του συστήµατος συντεταγµένων ικανοποιεί µια συγκεκριµένη συνθήκη, τότε απαραίτητα ϑα υ- πάρχει µια ποσότητα που να διατηρείται. Η ακριβής αυτή ποσότητα µπορεί να µην είναι γνωστή αλλά παρ όλα ταύτα, είναι γνωστό ότι υπάρχει. Επίσης, υπάρχουν και κάποιες πρόσθετες συµµετρίες, οι διακριτές συµµετρίες, των οποίων οι µετασχηµατισµοί είναι διακριτοί χρήση ακεραίων αριθµών και όχι παραγµατικών. Μια χαρακτηριστική τέτοια συµµετρία είναι η συµµετρία αναστροφής χώρου, της οποίας ο αντίστοιχος κβαντικός αριθµός ±1, η οµοτιµία, διατηρείται εκτός από την περίπτωση των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Για να αναδείξουµε τη χρησιµότητα του παραπάνω ϑεωρήµατος, αρχικά ας µελετήσουµε συµµετρίες µιας κλασικής λανγκρατζιανής. Επειτα ϑα πε- ϱάσουµε και σε λανγκρατζιανή πυκνότητα σωµατιδιακής ϑεωρίας πεδίου. Εστω λοιπόν, η µεταβολή qt q t = qt + δqt στην Lq, q, όπου δqt = ɛf qt. Η F qt είναι µια τυχαία συνάρτηση που καθορίζεται κάθε ϕορά απο τη µεταβολή που ϑέλουµε να επιβάλουµε και ɛ µια απειροστή ποσότητα. Εξετάζουµε αρχικά εάν η λανγκρατζιανή παραµένει αµετάβλητη κάτω από αυτή τη µεταβολή. Αν ναι, αυτό σηµαίνει ότι πρόκειται για ένα µετασχηµατισµό συµµετρίας. Αποδεικνύεται παρακάτω ότι µε τη ϐοήθεια της αναλλοιώτητας της L δl = και της.3, προκύπτει µια σταθερή ποσότητα Q ως προς το χρόνο η οποία αποτελεί ένα διατηρούµενο ϕορτίο. Κατάρχήν, η µεταβολή της Lq, q µε την εφαρµογή της.18 είναι : δl = L q δq + L q δ q = L q και λαµβάνοντας υπ οψη την.3 έχουµε : δl = d dt L q δq + L q δq + L q d δq =.33 dt d δq =.34 dt από την οποία συµπτύσσοντας παίρνουµε : d L dt q δq =.35 }{{} ɛq 38

41 Θέτοντας την ποσότητα εντός της παρένθεσης ίση µε ɛq, διαπιστώνουµε πως αυτή αποτελεί ένα διατηρούµενο ϕορτίο, µια ποσότητα δηλαδή αναλλοίωτη στο πέρασµα του χρόνου. Και επειδή δq = qt + ɛf qt qt = ɛf qt, το διατηρούµενο ϕορτίο προκύπτει : ɛq = L L δq = q q ɛf Q = L q F.36 Εφαρµογή της παραπάνω γενικής µεθόδου αποτελεί η εξαγωγή του νόµου διατήρησης της ορµής ενός συστήµατος του οποίου η λανγκρατζιανή εξαρτάται µόνο από την ταχύτητα και όχι από τη ϑέση, δηλαδή L = L q. Μ αλλα λόγια, η λανγκρατζιανή αυτή παραµένει αναλλοίωτη κάτω από το µετασχηµατισµό qt q t = qt + ɛ έχει δηλαδή συµµετρία µετατόπισης στη ϑέση, όπου ɛ κάποια σταθερά και η συνάρτηση F qt = 1. Επειδή δq = qt+ɛ qt = ɛ, η σταθερά της κίνησης ϑα είναι και λόγω της.36: ɛq = L L δq = q q ɛ Q = L q = p.37 όπου σύµφωνα µε τη χαµιλτονιανή µηχανική, χρησιµοποιήθηκε ότι η γενικευµένη ορµή είναι p = L/ q. Επίσης, η χαµιλτονιανή ορίζεται ως Hp, q = p q L. Με παρόµοια επιχειρηµατολογία οδηγούµαστε σε αντίστοιχα αποτελέσµατα στην περίπτωση που τώρα εργαζόµαστε µε τη λανγκρατζιανή πυκνότητα ενός πεδίου. Βέβαια εδώ οι συµµετρίες, οι µετασχηµατισµοί των οποίων αφήνουν τη λανγκρατζιανή αµετάβλητη, συνεπάγονται την ύπαρξη διατηρούµενων ϱευµάτων j µ = ρ, j, δηλαδή µ j µ =.38 Είναι ωστόσο προφανές, ότι η ύπαρξη διατηρούµενου ϱεύµατος, συνεπάγεται την ύπαρξη ενός διατηρούµενου ϕορτίου, το οποίο ορίζεται : Qt = j t, x d 3 x = ρt, x d 3 x.39 V V Οµως ο µηδενισµός το εσωτερικού γινοµένου της.38 είναι η γνωστή εξίσωση συνέχειας : j t + j =.4 Παίρνοντας λοιπόν τη χρονική παράγωγο της.39, έχουµε : dq dt = V j t d3 x = V 39 j d 3 x = j da.41 A

42 όπου χρησιµοποιήσαµε στο δεύτερο ϐήµα την εξίσωση συνέχειας και στο τρίτο το ϑεώρηµα απόκλισης του διανυσµατικού λογισµού. Επειδή ϑεωρούµε ότι για πολύ µεγάλο όγκο V το ϱεύµα µηδενίζεται στην επιφάνεια A που περικλείει τον όγκο V, δεν υπάρχει ϱεύµα που να ϱέει διαµέσου της επιφάνειας κι εποµένως το παραπάνω επιφανειακό ολοκλήρωµα µηδενίζεται. Ετσι προκύπτει ότι το ϕορτίο Q είναι ανεξάρτητο από το χρόνο, δηλαδή είναι µια ποσότητα που διατηρείται. dq dt =.4 Θεωρούµε λοιπόν σε αντιστοιχία µε την περίπτωση της κλασικής λανγκρατζιανής µια µεταβολή του πεδίου φx φ x = φx + δφx. Θεωρώντας ότι δφx = ɛhφx, όπου Hφx είναι µια συνάρτηση που καθορίζεται κάθε ϕορά από το είδος της µεταβολής που επιβάλουµε και ɛ µια απειροστή ποσότητα. Με εργαλεία την αναλλοιώτητα της Lφ, µ φ πρόκειται δηλαδή για µετασχηµατισµό συµµετρίας και την εξίσωση E-L.5, η µεταβολή της Lφ, µ φ ϑα δίνει : Οµως, λόγω του ότι δl = L φ δφ + L µ φ δ µφ =.43 δ µ φ = µ φ µ φ = µ φ + µ δφ µ φ = µ δφ.44 η παραπάνω εξίσωση γίνεται : δl = L φ δφ + L µ φ µδφ =.45 Μέσω της εξίσωσης.5, συνεπάγεται ότι : L δl = µ µ φ δφ + L µ φ µδφ =.46 Συµπτύσσοντας τους δύο όρους ως παράγωγο γινοµένου η παραπάνω γίνεται : [ ] L δl = µ µ φ δφ =.47 }{{} ɛj µ Αντικαθιστώντας το δφ = ɛhφx και ορίζοντας την ποσότητα εντός της πα- ϱένθεσης ίση µε ɛj µ, παίρνουµε το διατηρούµενο ϱεύµα αφού καταλήξαµε σε µια εξίσωση της µορφής µ j µ = : ɛj µ = L µ φ δφ = L µ φ ɛh j µ = L µ φ H.48 4

43 Οταν δεν πρόκειται για µετασχηµατισµό συµµετρίας, δηλαδή η µεταβολή της λανγκρατζιανής δεν είναι µηδέν, πάλι µπορούµε να εξαγάγουµε ένα διατηρού- µενο ϱεύµα. Γενικότερα, επιτρέπεται η δράση να αλλάζει για έναν επιφανειακό όρο, αφού η παρουσία του όρου αυτού δε ϑα επηρέαζε την εξαγωγή της εξίσωσης κίνησης E-L. Εποµένως η λάνγκρατζιανή ϑα πρέπει να είναι αναλλοίωτη κάτω από µια 4-µεταβολή : L L = L + α µ I µ.49 για κάποιο τυχαίο I µ3. Η µεταβολή της λανγκρατζιανής ϑα είναι : δl = α µ I µ.5 Οπότε από την.47 και δεδοµένου ότι το διατηρούµενο ϱεύµα υπάρχει και ικανοποιεί την εξίσωση µ j µ =, προκύπτει ότι : [ ] L δl = µ µ φ δφ j µ = L µ φ δφ Iµ.51 Εφαρµογή της παραπάνω επεξεργασίας, αποτελεί να ϑεωρήσουµε µια µετα- ϐολή της µορφής x µ x µ = x µ + ɛ µ µετατόπιση στο χωρόχρονο, όπου το ɛ µ είναι ένα απειροστό και σταθερό 4-διάνυσµα. Η µεταβολή αυτή επιφέρει την εξής µεταβολή στο πεδίο : φx µ φ x µ = φx µ + ɛ µ φx µ + ɛ µ µ φx µ.5 Με την επιβολή αυτής της µεταβολής, υποθέτουµε ότι η λανγκρατζιανή L = Lφ, µ φ ϑα µετασχηµατίζεται µε τον ίδιο τρόπο επειδή είναι και αυτή ϐαθ- µωτή όπως η µεταβολή των πεδίων. Συνεπώς : L L = L + ɛ µ µ L = L + ɛ ν µ δ µ ν L.53 Στο παράδειγµα αυτό, η µεταβολή της λανγκρατζιανής ϐγαίνει µη µηδενική εποµένως δεν πρόκειται για κάποιον µετασχηµατισµό συµµετρίας: δl = µ ɛ ν δ µ ν L.54 Εποµένως σύµφωνα µε την εξίσωση.51, το διατηρούµενο ϱεύµα ϑα είναι : ɛ ν j µ ν = L µ φ ɛν δ µ ν L j µ ν = L µ φ νφ δ µ ν L.55 Συνεπώς ϑα υπάρχει και ένα διατηρούµενο ϕορτίο : p ν = jν d 3 x.56 Το διατηρούµενο αυτό ϕορτίο είναι η 4-ορµή και γιάυτό το διατηρούµενο ϱεύµα λέµε πως ορίζει τον τανυστή ενέργειας-ορµής. 3 Peskin and Schroeder:Introduction to quantum field theory, p.17 41

44 .4 Εκτεταµένοι και τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθ- µίδας Πολύ σηµαντικό ϱόλο για τη διατύπωση µιας κβαντικής ϑεωρίας πεδίου παί- Ϲουν οι µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας. Η σηµαντικότητα τους ϑα εκδηλωθεί αργότερα στην περιγραφή των αλληλεπιδράσεων που συµβαίνουν στη ϕύση. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα αναλύσουµε το πως µέσω των ϑεωριών ϐαθµίδας, µας παρέχεται ένας ενιαίος ϕορµαλισµός που περιγράφει τις κβαντικές ϑεωρίες πεδίου του ηλεκτροµαγνητισµού, των ασθενών αλλά και ισχυρών αλληλεπιδράσεων και το πως από αυτές συνάγεται ένα συλλογικό µοντέλο, το καθιερωµένο πρότυπο. Εδώ προς το παρόν ϑα µελετήσουµε εκτεταµένους και τοπικούς µετασχη- µατισµούς ϐαθµίδας πάνω σε κάποιες ενδεικτικές λανγκρατζιανές και ϑα ερ- µηνεύσουµε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν. Ξεκινώντας, ϑεωρούµε τη λανγκρατζιανή πυκνότητα ενός ελεύθερου σω- µατιδίου Dirac, µάζας m: στην οποία επιβάλουµε το µετασχηµατισµό L = i ψγ µ µ ψ mψ ψ.57 ψ ψ = e iα ψ.58 ο οποίος επιφέρει ταυτόχρονα τις παρακάτω µετατροπές : ψ ψ = e iα ψ µ ψ µ ψ = e iα µ ψ Οι µετασχηµατισµοί αυτού του είδους είναι γνωστοί σαν εκτεταµένοι µετασχη- µατισµοί ϐαθµίδας global gauge transformations, επειδή η παράµετρος α στο εκθετικό είναι σταθερή και αυτό υπονοεί ότι ο µετασχηµατισµός γίνεται παντού ταυτόχρονα. Εξετάζουµε τι συµβαίνει µετά την επιβολή του µετασχη- µατισµού στην παραπάνω λανγκρατζιανή : L = i e iα ψ γ µ µ e iα ψ m e iα ψ e iα ψ = e} iα {{ e iα } i ψγ µ µ ψ mψ ψ = L.59 }{{} =1 =L Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός αυτός την αφήνει αναλλοίωτη πρόκειται για µετασχηµατισµό συµµετρίας. Το γεγονός αυτό, ότι δηλαδή δl =, µας οδηγεί στο να ϑεωρήσουµε ότι ϑα προκύπτει κάποιο ϱεύµα Noether και κατέπέκταση κάποιο διατηρούµενο ϕορτίο. Για να τα υπολογίσουµε ϑεωρούµε τον απειροστό µετασχηµατισµό της.58, που δίνεται από τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγµατος Taylor: ψ ψ = 1+iαψ, και τον ενσωµατώνουµε στη σχέση της µεταβολής της λανγκρατζιανής, στη σχέση δηλαδή.43. Οι 4

45 µεταβολές των πεδίων στην περίπτωση αυτή ϑα είναι : δψ = ψ ψ = iαψ και δ ψ = ψ ψ = iα ψ. Τονίζουµε ότι στην περίπτωση αυτή όµως ϑέλει λίγη παραπάνω προσοχή, αφού πέρα από το πεδίο ψ, εµπλέκεται και το πεδίο ψ. Αυτό σηµαίνει πως πρέπει να γίνει άθροιση σε όλα τα εµπλεκόµενα πεδία : δl = L ψ δψ + L µ ψ δ µψ + L ψ δ ψ + L δ µ ψ µ ψ = L ψ iαψ + L µ ψ iα µψ + L ψ iα ψ + L iα µ ψ µ ψ = iα L ψ ψ + iα L µ ψ µψ + iα L ψ ψ + iα L µ ψ.6 µ ψ Με απώτερο σκοπό να σχηµατιστεί η εξίσωση E-L µέσα στην παραπάνω εξίσωση ώστε να λιγοστέψουν οι όροι, για το δεύτερο και τέταρτο όρο ισχύει : L µ µ ψ ψ L = µ µ ψ ψ + L µ ψ µψ L L µ ψ µψ = µ µ ψ ψ L µ µ ψ ψ.61 Οµοίως πράττουµε και για το πεδίο ψ και αντικαθιστούµε στην παραπάνω εξίσωση : δl = iα L L ψ ψ + iα µ µ ψ ψ L iα µ µ ψ ψ iα L ψ ψ L L iα µ ψ + iα µ ψ.6 µ ψ µ ψ Τα Ϲευγάρια πρώτος-τρίτος όρος και τέταρτος-έκτος µηδενίζονται λόγω της ε- ξίσωσης E-L.5. Συνεπώς προκύπτει : µ iα L µ ψ ψ iα L ψ =.63 µ ψ }{{} j µ Οπότε το διατηρούµενο ϱεύµα ϑα είναι : L j µ = ia µ ψ ψ L ψ µ ψ.64 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τη δοθείσα λανγκρατζιανή.57, υπολογίζεται το συσχετισµένο ϱεύµα Noether. Οι παραγωγίσεις δίνουν αναλυτικά : L µ ψ = L µ ψ = i ψγ µ µ ψ mψ µ ψ ψ = i ψγ µ i ψγ µ µ ψ mψ µ ψ =.65 43

46 Αντικαθιστώντας τώρα τις παραπάνω παραγωγίσεις στο παραπάνω ϱεύµα που καταλήξαµε, το υπολογίζουµε : j µ = α ψγ µ ψ.66 Αποτέλεσµα το οποίο ϐρίσκεται σε πλήρη συµφωνία µε αυτό της εξίσωσης 1.7 αν αντιστοιχίσουµε τη σταθερά α µε το ηλεκτρικό ϕορτίο, το οποίο υπολογίστηκε ακολουθώντας διαφορετική µεθοδολογία. Για να ϐρούµε το διατηρούµενο ϕορτίο που προκύπτει αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα : Q = j d 3 x.67 Θέτοντας λοιπόν την πρώτη χρονική συνιστώσα του 4-διανύσµατος του ϱεύ- µατος στο ολοκλήρωµα και αν α = e, υπολογίζουµε, ενθυµούµενοι ότι ψ = ψ γ και ότι από τις ιδιότητες των γ-πινάκων γ = I: Q = e ψγ ψ d 3 x = e ψ γ γ ψ d 3 x = e ψ ψ d 3 x = e.68 } {{ } =1 ηλαδή, αποδείξαµε,όπως ήταν αναµενόµενο, ότι το διατηρούµενο ϕορτίο είναι το ϕορτίο του ηλεκτρονίου e, το οποίο είναι ανεξάρτητο από το χρόνο. dq dt = d e =.69 dt Οπως αναφέρεται και παραπάνω η καθολικότητα των εκτεταµένων µετασχηµατισµών, του είδους.58, οφείλεται στο γεγονός ότι στο εκθετικό η παράµετρος α είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη ϑέση. Ιδιαίτερο ενδια- ϕέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η παράµετρος α εξαρτάται από τη ϑέση και τη χρονική στιγµή 4-διάνυσµα της ϑέσης α = αx όπου στο πρόβληµα αυτό το x ϑεωρείται το x µ, απλά παραλείπεται το µ για λόγους συντοµίας. Κάτι τέτοιο συνάδει περισσότερο και µε το πνεύµα της σχετικότητας. Αυτοί οι µετασχηµατισµοί είναι γνωστοί ως τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας. Επιβάλοντας τον τοπικό µετασχηµατισµό ψ ψ = e iαx ψ, επιφέρονται και οι παρακάτω µετασχηµατισµοί local gauge transformations. ψ ψ = e iαx ψ µ ψ µ ψ = e iαx µ ψ + ie iαx ψ µ α Ο τελευταίος όρος του παραπάνω µετασχηµατισµού χαλάει την αναλλοιότητα 44

47 της λανγκρατζιανής που επικρατούσε στην εκτεταµένη περίπτωση : L = i ψ γ µ µ ψ mψ ψ = ie iαx µ ψγ e iαx µ ψ + ie iαx ψ µ α e iαx e iαx mψ ψ = ie iαx ψγ µ e iαx µ ψ ψγ µ ψ µ α mψ ψ = i ψγ µ µ ψ mψ }{{ ψ } ψγ µ ψ µ α L = L ψγ µ ψ µ α δl = ψγ µ ψ µ α.7 Ενώ το παραπάνω αποτέλεσµα εκφράζει ϱητά τη µη αναλλοιότητα της λανγκρατζιανής, εµείς ϑέλουµε η συµµετρία ϐαθµίδας που αντιστοιχούσε στην εκτεταµένη περίπτωση να επεκτείνεται και στην τοπική. Από µια σύγχρονη οπτική γωνία η συµµετρία ϐαθµίδας αναλλοιότητα λανγκρατζιανής δεν είναι συµπτωµατική αλλά ϑεµελιώδης αρχή της ϕυσικής. Κάτω από αυτές λοιπόν τις συνθήκες, απαιτούµε αξιωµατικά η λανγκρατζιανή να είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς. Αυτό σηµαίνει ότι ϑα χρειαστεί να γίνουν κάποιες τροποποιήσεις έτσι ώστε ο όρος που περισσεύει, να εξαφανίζεται. Ετσι, στη λανγκρατζιανή.57 επιβάλουµε την εξής µετατροπή : µ D µ µ + iea µ.71 Με τη µετατροπή αυτή ορίζουµε µία παράγωγο η οποία κάτω από το µετασχη- µατισµό ϕάσης παραµένει αναλλοίωτη, γι αυτό και ονοµάζεται αναλλοίωτη παράγωγος. Αυτή µετασχηµατίζεται ακριβώς όπως το πεδίο : D µ D µ ψ = e iαx D µ ψ.7 Στην.71 το e είναι κάποια ελεύθερη παράµετρος που ϑα την ταυτοποιήσουµε αργότερα µε το ηλεκτρικό ϕορτίο και το A µ είναι το διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας µποζόνιο το οποίο µετασχηµατίζεται ως εξής : A µ A µ = A µ + 1 e µα.73 Ετσι, αντικαθιστώντας στην.57 την αναλλοίωτη παράγωγο στη ϑέση της απλής, επιτυγχάνουµε την αναλλοιώτητα της λανγκρατζιανής : L = i ψ γ µ D µ ψ mψ ψ = ie iαx ψγ µ e iαx D µ ψ me iαx e iαx ψ ψ = i ψγ µ D µ ψ mψ ψ = L.74 Ετσι λοιπόν κατορθώσαµε όλο το µηχανισµό ακύρωσης του περιττού όρου της.7 να το ϑάψουµε µέσα στην αναλλοίωτη παράγωγο. Συνεπώς η νέα 45

48 ϐελτιωµένη λανγκρατζιανή που περιγράφει ένα σωµατίδιο Dirac µάζας m και ταυτόχρονα τηρεί την αναλλοιώτητα είναι : L = i ψγ µ µ iea µ ψ m ψψ = i ψγ µ µ ψ mψ ψ + e ψγ µ ψa µ.75 Συνεπώς, κερδίζοντας την πολυπόθητη αναλλοιώτητα κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς έπρεπε να πληρώσουµε το τίµηµα : την εισαγωγή ενός διανυσµατικού πεδίου πεδίου ϐαθµίδας το οποίο συζευγνύεται µε το σωµατίδιο Dirac µε το σπίνορά του ψ για την ακρίβεια, όπως ϕανερώνει ο τελευταίος όρος της.75. Η µορφή αυτή ϐέβαια της λανγκρατζιανής δεν είναι ακόµα η τελική. Για να είναι το A µ ένα διανυσµατικό πεδίο που διαδίδεται, για παράδειγ- µα ένα ϕυσικό ϕωτονικό πεδίο ϑα πρέπει να υπακούει και αυτό µε τη σειρά του σε κάποια ελεύθερη λανγκρατζιανή που ως γνωστό αποτελείται από έ- να κινητικό και ένα δυναµικό όρο. Προκειµένου να παραµένει αναλλοίωτη η λανγκρατζιανή κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς, ϑα πρέπει το πεδίο να είναι άµαζο, δηλαδή να µην περιέχει όρους µάζας 1 m A µ A µ, οι ο- ποίοι δεν παραµένουν αναλλοίωτοι δυναµικοί όροι. Θα πρέπει λοιπόν στη λανγκραντζιανή µας απλά να εισάγουµε έναν αναλλοίωτο κινητικό όρο, σε αναλογία µε τον κινητικό όρο 1 µφ της.6, ο οποίος ϑα είναι επίσης αναλλοίωτος και ως προς το µετασχηµατισµό του πεδίου.73. Εποµένως, ο µοναδικός υποψήφιος που ϑα µπορεί να περιέχει είναι ο τανυστής δύναµης πεδίου. F µν = µ A ν ν A µ.76 Συνεπώς η πλήρης λανγκρατζιανή του συστήµατός µας ϑα είναι : L = ψiγ µ µ mψ + e ψγ µ A µ ψ 1 4 F µνf µν = ψiγ µ µ mψ j µ A µ 1 4 F µνf µν.77 Ο πρώτος όρος είναι η ελεύθερη λανγκρατζιανή του ηλεκτρονίου, ο δεύτερος όρος υποδηλώνει την αλληλεπίδραση του ηλεκτρονίου µέσω του ϱεύµατος του µε το διανυσµατικό πεδίο ϕωτονιακό πεδίο και ο τρίτος είναι η ελεύθερη λανγκρατζιανή διανυσµατικού πεδίου του ϕωτονιακού πεδίου όπου επικρατεί όπως προείπαµε µόνο ο κινητικός όρος. Συµπερασµατικά, η τοπική µεταβολή της ϕάσης, δηµιουργεί διαφορές ϕάσης οι οποίες ϑα ήταν παρατηρήσιµες αν δεν εξαλείφονταν. Η εξαφάνιση των διαφορών αυτών συνέβη µε την εισαγωγή ενός νέου πεδίου, του ϕωτονικού πεδίου A µ. Το πεδίο ϐαθµίδας προκύπτει άµαζο, αποτέλεσµα σε πλήρη αντιστοιχία µε τη ϕύση, όπου η µάζα του ϕωτονίου όντως είναι µηδεν. Τελικά, επιβάλοντας την αναλλοιώτητα της λανγκρατζιανής ελεύθερου ϕερ- µιονίου στην περίπτωση τοπικών µετασχηµατισµών, οδηγηθήκαµε στη ϑεωρία πεδίου αλληλεπιδράσεων της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. 46

49 Η παραπάνω ανάλυση αποτελεί ειδική περίπτωση µιας γενικότερης µεθοδολογίας. Γενικότερα λοιπόν, εάν ένα σωµατίδιο ϕέρει κάποιο διαφορετικό ϕορτίο και η λανγκραντζιανή παραµένει αναλλοίωτη κάτω από διαφορετικούς τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας, τότε ϑα προκύπτουν διανυσµατικά πεδία διανυσµατικά πεδία ϐαθµίδας και τα αντίστοιχα σωµατίδια τα κβάντα του εκάστοτε πεδίου µε σπιν 1 που ονοµάζονται µποζόνια ϐαθµίδας, τα οποία ϑα είναι οι ϕορείς κάποιων διαφορετικών αλληλεπιδράσεων. Κινούµενοι λοιπόν σε αυτό το γενικό πλαίσιο -κάνοντας ουσιαστικά µια εισαγωγή για το κεφάλαιο που ακολουθεί- για κάποιο τυχαίο πεδίο ψ ϑα ισχύει : ψ ψ = Uψ.78 όπου U είναι ένας µοναδιακός µετασχηµατισµός συµµετρίας ϑα αφήνει την αντίστοιχη L αναλλοίωτη που επιβάλεται πάνω στο πεδίο. Εποµένως, πρέπει να ορίσουµε µια συναλλοίωτη παράγωγο D µ ψ = µ + iga µ ψ.79 όπου g η σταθερά σύζευξης που ϑα µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : D µ D µ ψ = UD µ ψ.8 το οποίο πεδίο ϐαθµίδας ϑα µετασχηµατίζεται στη γενική περίπτωση : A µ A µ = UA µ U 1 + i g µuu 1.81 Ενδεικτικά, αν εξειδικεύσουµε και αντικαταστήσουµε U = e iαx και g = q εξάγεται πάλι ο µετασχηµατισµός ϐαθµίδας του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου, A µ A µ = A µ 1 q µαx..5 Συµµετρίες και ϑεωρία οµάδων Το κοµµάτι της άλγεβρας που αποτελεί απαραίτητο εργαλείο για τη µελέτη της ϕυσικής στοιχειωδών σωµατιδίων και ειδικότερα για τη συστηµατική µελέτη των συµµετριών είναι η ϑεωρία οµάδων. Συγκεκριµένα ϑα ασχοληθούµε εδώ µε το χτίσιµο ενός πλαισίου µέσα στο οποίο ϑα γενικεύσουµε την έννοια της συµµετρίας κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας. Κατάρχήν, για να µπορεί ένα σύνολο να ϑεωρείται οµάδα, πρέπει να πλη- ϱοί τις παρακάτω προυποθέσεις. Κλειστότητα : Π i Π j = Π k, δηλαδή το γινόµενο δύο στοιχείων του συνόλου είναι στοιχείο του συνόλου. Ταυτοτικότητα : Υπάρχει το ταυτοτικό στοιχείο I, έτσι που IΠ i = Π i I = Π i για όλα τα στοιχεία Π i 47

50 Αντίστροφο : Για κάθε στοιχείο Π i υπάρχει το αντίστροφό του Π 1 i, έτσι που Π i Π 1 i = Π 1 i Π i = I Προσεταιριστικότητα : Ισχύει Π i Π j Π k = Π i Π j Π k 4 Ενδεικτικά, εξετάζουµε την περίπτωση του συνόλου των παραγόντων ϕάσης U = e iαx, µε διµελή πράξη τον πολλαπλασιασµό, αν όντως είναι οµάδα, αν δηλαδή ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις : Uα 1 Uα = e iα 1 e iα = e iα 1+α = Uα 1 + α U = I U 1 α = U α : UαU 1 α = U 1 αuα = e iα e iα = I Uα 1 [Uα Uα 3 ] = [Uα 1 Uα ]Uα 3 Οπως αποδεικνύεται λοιπόν, όντως είναι οµάδα και ονοµάζεται οµάδαu1. Εάν τα στοιχεία µιας οµάδας χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της µετα- ϑετικότητας : Π i Π j = Π j Π i.8 τότε η οµάδα ονοµάζεται αβελιανή. Αν η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει, τότε ονοµά- Ϲεται µη αβελιανή. Η U1 εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αβελιανή : Uα 1 Uα = e iα 1 e iα = e iα e iα 1 = Uα Uα 1.83 Ισχύει επίσης ότι αν κάποιοι µετασχηµατισµοί αποτελούν µετασχηµατισµούς συµµετρίας ενός συστήµατος, τότε τα στοιχεία Π είναι ερµιτιανοί τελεστές. 5 Εκτός από την παραπάνω διάκριση των οµάδων σε αβελιανές-µη αβελιανές, αυτές διακρίνονται και σε δυο άλλες µεγάλες κατηγορίες, τις συνεχείς και διακριτές. 1Συνεχείς οµάδες Οι οµάδες, τα στοιχεία Π i των οποίων εξαρτώνται από µια ή περισσότερες συνεχείς παραµέτρους ονοµάζονται συνεχείς. Εστω ότι έχουµε n συνεχείς παραµέτρους ɛ α x, όπου α = 1,,...n, τότε για τα στοιχεία της οµάδας γρά- ϕουµε n Πɛ 1, ɛ,...ɛ n = exp i ɛ α F α.84 όπου F α είναι οι γεννήτορες της οµάδας του εκάστοτε µετασχηµατισµού. Στην περίπτωση που έχουµε µετασχηµατισµούς συµµετρίας, όπως προαναφέρεται, 4 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.87 5 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή Φυσική : Μια Εισαγωγή Στη Βασική οµή Της Υλης, 8, σελ.88 α=1 48

51 τα στοιχεία Π της οµάδας είναι µοναδιακοί τελεστές. Αυτή η µοναδιακότητα των τελεστών, συνεπάγεται την ερµιτιανότητα των γεννητόρων. Λόγου χάρη, η οµάδα ο µοναδιακός τελεστής που εκφράζει τη συµµετρία µετατοπίσεων στο χρόνο µε στοιχεία Π = e it+t H.85 έχει ως γεννήτορα τον ερµιτιανό τελεστή της χαµιλτονιανής H. Οταν οι παράµετροι ɛ α παίρνουν απειροστές τιµές ɛ α 1, τότε η.84 αναπτύσσεται κατά Taylor: Πɛ 1, ɛ,...ɛ n = I + i n ɛ α F α.86 Στη γενική περίπτωση, οι γεννήτορες της οµάδας δε µετατίθεται µεταξύ τους και αυτό εκδηλώνει την µη αβελιανότητα της οµάδας. Γενικά ισχύει : α=1 [F α, F β ] = if abc F c.87 όπου οι συντελεστές f abc καλούνται σταθερές δοµής της οµάδας. Αν από τους συνολικά n γεννήτορες οι k µετατίθενται µεταξύ τους τότε ο αριθµός αυτός k ονοµάζεται ϐαθµός της οµάδας. ιακριτές οµάδες Οι οµάδες, τα στοιχεία των οποίων χαρακτηρίζονται από έναν δείκτη που παίρνει µόνο ακέραιες τιµές, ονοµάζονται διακριτές. Χαρακτηριστικές είναι η ο- µάδα της οµοτιµίας καθώς και η οµάδα της συζυγίας ϕορτίου. Οι οµάδες οι οποίες κυρίως µας αφορούν και µας ανοίγουν το δρόµο για το καθιερωµένο πρότυπο είναι οι οµάδες πινάκων. Οι πιο συνηθισµένες είναι οι οµάδες µοναδιακών πινάκων nxn που αποτελούν την µοναδιακή οµάδα Un µοναδιακοί :U = U 1. Επιπλέον µια πολύ σηµαντική οµάδα είναι η ειδική µοναδιακή οµάδα SUn, η οποία απαρτίζεται από όλους τους µοναδιακούς πίνακες διάστασης nxn και ταυτόχρονα έχουν ορίζουσα ίση µε τη µονάδα detu = 1. Συνεχίζοντας, άλλη χρήσιµη οµάδα είναι αυτή που συνίσταται από όλους τους πραγµατικούς µοναδιακούς πίνακες διάστασης nxn και ονοµάζεται ορ- ϑογώνια οµάδα On ορθογώνιοι : R T = R 1. Αναλογικά µε το παραπάνω Ϲευγάρι οµάδων, προκύπτει µια άλλη οµάδα που αποτελείται από όλους τους ορθογώνιους πίνακες µε ορίζουσα ίση µε τη µονάδα detu = 1 και ονοµάζεται ειδική ορθογώνια οµάδα SOn. Η οµάδα αυτή µπορεί να ϑεωρηθεί ότι περιγράφει τις στροφές σε ένα χώρο n διαστάσεων. Παραδείγµατος χάρη, η SO είναι η οµάδα που περιγράφει τις στροφές στο επίπεδο. Η κάθε οµάδα από τις παραπάνω έχει συγκεκριµένο αριθµό γεννητόρων και συγκεκριµένο αριθµό παραµέτρων οι οποίοι εξαρτώνται µόνο από τον α- ϱιθµό n. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει συνοπτικά τις πληροφορίες αυτές : 49

52 Οµάδα παράµετροι γεννήτορες µοναδιακή Un n n ειδική µοναδιακή SUn n 1 n 1 ορθογώνια On nn 1/ nn 1/ ειδική ορθογώνια SOn nn 1/ nn 1/ Συνήθως στη ϕυσική, τα στοιχεία που απαρτίζουν µια οµάδα G, είναι τελεστές που δρουν σε ένα χώρο Hilbert. Αν εκλεγεί κατάλληλη ϐάση στο χώρο αυτό, τα στοιχεία της οµάδας αναπαρίστανται από έναν πίνακα 6. Αυτό ση- µαίνει ότι κάθε στοιχείο σ της οµάδας G αντιστοιχεί σε έναν πίνακα M σ. Το σηµαντικό είναι ότι η απεικόνιση αυτή σέβεται τη διµελή πράξη της οµάδας. ηλαδή, αν τ,ω δυο διαφορετικά στοιχεία της οµάδας τα οποία αντιστοιχούν στους πίνακες M τ, M ω αντίστοιχα, τότε : στ = ω M σ M τ = M ω.88 Συµπεραίνεται λοιπόν ότι για κάθε οµάδα G µπορούµε να έχουµε πολλές δια- ϕορετικές αναπαραστάσεις. Θεµελιώδη αναπαράσταση έχουµε εάν η οµάδα G είναι µια οµάδα πινάκων. Επιπλέον, υπάρχουν οµάδες οι οποίες είναι δοµικά ίδιες ή αλλιώς ισόµορ- ϕες. Για να γίνει κατανοητό, δίνονται οι παρακάτω ορισµοί : Ορισµός 1 Ισοµορφισµός φ : G G είναι ένας οµοµορφισµός ένα προς ένα και επί της G. Ο συνήθης συµβολισµός είναι ο G G. Ορισµός Οµοµορφισµός : Μια απεικόνιση ϕ µιας οµάδας G σε µια οµάδα G λέγεται οµοµορφισµός αν : φa, b = φaφb για κάθε a, bɛg 7. Ενδεικτικά ϑα αποδείξουµε ότι SO U1. Απόδειξη Αν θɛso, ορίζουµε την απεικόνιση φ = e iθ για την οποία φ : SO U1. Αν φθ 1 = φθ, τότε e iθ = e iθ, άρα θ 1 = θ. Εποµένως η φ είναι Η απεικόνιση είναι και επί, αφού λόγω της ταυτότητας του Euler e iθ = cos θ+i sin θ µπορούµε να γράψουµε το µιγαδικό αυτό αριθµό σε µορφή 6 Βέργαδος Ι.., Θεωρία οµάδων µέρος α : ιακρίσιµες οµάδες και εφαρµογές, Εκδόσεις Συµεών, σελ.53 7 Fraleigh B.John: Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, σελ.136,147 5

53 πίνακα x πραγµατικών αριθµών. Αυτός ϑα είναι : [ ] e iθ cos θ sin θ = cos θ + i sin θ = sin θ cos θ.89 Αν θ 1, θ ɛso, ϑα ισχύει : Συνεπώς SO U1. φθ 1 + θ = e iθ 1+θ = e iθ 1 e iθ = φθ 1 φθ.9 Ακόµα σηµαντικότερη καταδεικνύεται από τον άνωθεν ισοµορφισµό, η τοπική ισοδυναµία δύο άλλων οµάδων : SU SO3. Αυτή η ισοδυναµία καταφέρνει να συνδέσει την ειδική ορθογώνια οµάδα περιστροφών SO3, η οποία έχει ως γεννήτορες τους τελεστές στροφορµής, µε την ειδική µοναδιακή οµάδα SU. Οπότε αυτό ϑα µας επιτρέψει να ϐρούµε τη ϑεµελιώδη αναπα- ϱάσταση της SU, µέσω της γενικότερης ϑεωρίας στροφορµών. Τα στοιχεία της οµάδας SO3 είναι : Rθ = e iθ η j.91 όπου j η γενικευµένη στροφορµή. Αν j =, 1/, 1, παίρνουµε αναπαράσταση διάστασης 1,,3 αντίστοιχα. Ειδικά για j = 1/ παίρνουµε : Rθ = e iθ η σ/.9 Οπως ϕαίνεται από τους ερµιτιανούς πίνακες x του P auli, προκύπτουν οι µοναδιακοί πίνακες x Rθ. Επίσης, επειδή τα ίχνη των πινάκων του P auli είναι µηδέν και ταυτόχρονα λόγω του ότι ισχύει η ιδιότητα det e A = e TrA, προκύπτει ότι det Rθ = 1. Συµπερασµατικά, ϐρήκαµε τη ϑεµελιώδη αναπαράσταση x της οµάδας SU. Οι γεννήτορες της SU µπορούν να προκύψουν και αλλιώς, µε πιο µα- ϑηµατικά άµεσο τρόπο. Αρχικά ϑεωρούµε έναν τυχαίο µοναδιακό πίνακα : U = e ih H = H.93 Προαναφέρεται ότι η µοναδιακότητα των στοιχείων συνεπάγεται την ερµιτιανότητα των γεννητόρων Από την ιδιότητα det U = e TrH = 1 TrH =. Λόγω των δυο τελευταίων συνθηκών ο πίνακας x µπορεί να γραφτεί : [ ] a b + ic H =.94 b ic a όπου a, b, c πραγµατικοί αριθµοί. Παρατηρούµε επίσης ότι : [ ] [ ] [ ] 1 1 i H = a +b c 1 1 i }{{}}{{}}{{} σ z σ x σ y.95 51

54 Συνεπώς κάθε ερµιτιανός και άιχνος πίνακας Η εκφράζεται ως συνάρτηση των τριών ϐασικών πινάκων Pauli. Παρατηρούµε ότι [s i, s j ] = iε ijk s k.96 όπου s i = 1 σ i. Λόγω και της πιο πάνω αντιστοιχίας των οµάδων SO3 και SU, εύκολα συµπεραίνεται ότι οι παραπάνω πίνακες είναι οι γεννήτορες της οµάδας SU 8, µε σταθερές δοµής τον αντισυµµετρικό τανυστή f abc = ε ijk..6 Αβελιανές και µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας Αφού λοιπόν κατορθώσαµε να εξηγήσουµε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις µέσω του µοναδιακού µετασχηµατισµού που επιφέρουν τα στοιχεία της οµάδας U1, ϑα επιχειρήσουµε τώρα να κάνουµε το ίδιο και µε τις άλλες δύο αλληλεπιδράσεις που κυριαρχούν στο µικρόκοσµο των στοιχειωδών σωµατιδίων, την ασθενή και την ισχυρή. Θα προσπαθήσουµε δηλαδή να ερ- µηνεύσουµε τις αλληλεπιδράσεις αυτές σαν αποτελέσµατα που επιφέρονται έπειτα από την επιβολή τοπικών µετασχηµατισµών ϐαθµίδας. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί αντιστοιχούν σε οµάδες, τις ειδικές µοναδιακές οµάδες SU και SU3 αντίστοιχα. Πριν από αυτό, ϑα ήταν ϕρόνιµο να συνοψίσουµε όσα έχου- µε δει για την αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας U1, και έπειτα να προχωρήσουµε στην εξαγωγή των µη αβελιανών..6.1 Ο U1 τοπικός µετασχηµατισµός Επειδή οι τοπικοί µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας ψ ψ = e iαx ψ.97 δεν είναι µετασχηµατισµοί συµµετρίας, µας αναγκάζουν να εισαγάγουµε έ- να διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας, τέτοιο ώστε να προκύπτει µια συναλλοίωτη παράγωγος µ D µ = µ + iqa µ.98 q είναι η σταθερά Ϲεύξης της ϑεωρίας ϐαθµίδας U1, δηλαδή το ϕορτίο του ηλεκτρονίου η οποία να µετασχηµατίζεται ακριβώς όπως το πεδίο : D µ ψ D µ ψ = e iαx D µ ψ.99 Το πεδίο που εισάγαµε µετασχηµατίζεται ως εξής : A µ A µ = A µ 1 q µαx.1 8 Βεργαδος Ι.., Θεωρία οµάδων µέρος ϐ : Συνεχείς οµάδες και άλγεβρες Lie -εφαρµογές, Εκδόσεις Συµεών, σελ.9 5

55 Η λαγκρατζιανή του πεδίου είναι L = 1 4 F µνf µν.11 όπου για το F µν ισχύει F µν = µ A ν ν A µ.1 και έχει µόνο κινητικό όρο καθώς ο ϕορέας της αλληλεπίδρασης αυτής είναι άµαζος. Τελικά, η αλληλεπίδραση ενός σπινοριακού πεδίου ύλης µε το πεδίο A µ, δίνεται από τη λαγκρατζιανή L = ψiγ µ D µ ψ m ψψ 1 4 F µνf µν Ο SU τοπικός µετασχηµατισµός Η επόµενη περίπτωση είναι αυτή της µη αβελιανής ϑεωρίας ϐαθµίδας SU. Θα χρησιµοποιήσουµε πάλι ένα σπινοριακό πεδίο του οποίου η λαγκρατζιανή είναι η.57. Κατά τα γνωστά, κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας, για το πεδίο ϑα ισχύει : ψ ψ = Uψ = e iθ ixτ i / ψ, i = 1,, 3.14 Η οµάδα SU, σύµφωνα µε τον πίνακα του προηγούµενου υποκεφαλαίου, έχει n 1 = 1 = 3 παραµέτρους και γεννήτορες. Οπότε σύµφωνα µε την.84, θ i x είναι οι παράµετροι και τ i / οι γεννήτορες της οµάδας. Οι γεννήτορες αποδείχθηκε παραπάνω ότι είναι οι πίνακες του Pauli, για τους οποίους ισχύει η µεταθετική σχέση.96. Ο µετασχηµατισµός του πεδίου.14, επιφέρει αυτοµάτως τις εξής µεταβολές : ψ ψ = e iθ ixτ i / ψ.15 µ ψ µ ψ = iθ i x τ i eiθ ixτ i / ψ + e iθ ixτ i / µ ψ.16 Συνεπώς όπως είναι αναµενόµενο, ο πρώτος όρος της.16 που προκύπτει από την παραγώγιση κατά παράγοντες, ϑα δηµιουργεί πρόβληµα στην αναλλοιώτητα της L: L = ψ iγ µ µ ψ mψ ψ = e iθ ixτ i / ψiγ µ iθ i x τ i ψ + µψe iθ ixτ i / e iθ ixτ i / e iθ ixτ i / mψ ψ = ψiγ µ µ ψ mψ ψ ψγ µ θ i x τ i ψ = L ψγ µ θ i x τ i ψ δl = ψγ µ θ i x τ i ψ.17 53

56 Εποµένως, έπειτα από αξιωµατική απαίτηση της αναλλοιώτητας της L, κατα- ϕεύγουµε στην αναβάθµιση της παραγώγου σε συναλλοίωτη µορφή. µ D µ = µ + ig τ i W i µ.18 η οποία κατά τα γνωστά µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : D µ ψ D µ ψ = UD µ ψ = e iθ ixτ i / D µ ψ.19 Στην.18, g είναι η σταθερά Ϲεύξης µιας ϑεωρίας ϐαθµίδας SU, ενώ όπως ϕαίνεται κρίθηκε απαραίτητη η εισαγωγή τριών πεδίων ϐαθµίδας Wµ i τα οποία αντιστοιχούν στους τρεις γεννήτορες της οµάδας. Ο υπολογισµός των πεδίων ϐαθµίδας γίνεται αντικαθιστώντας την.18 στην.19: ] µ + ig τ iw i µ ψ = U [ µ + ig τ iw i µ ψ.11 Αφού ψ = Uψ και µ ψ = µ Uψ = µ Uψ+U µ ψ, η παραπάνω εξίσωση γίνεται : µ Uψ + U µ ψ + ig τ iw i µ Uψ = U µ ψ + ig Uτ iw i µψ µ U + ig τ iw i µ U = ig Uτ iw i µ.111 Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση από αριστερά µε U 1, έχουµε : µ UU 1 + ig τ iw i µ UU 1 = ig Uτ iw i µu 1.11 από όπου προκύπτει το αποτέλεσµα που µας δίνει την πληροφορία για το νόµο µετασχηµατισµού των πεδίων ϐαθµίδας. τ i W i µ τ i W i µ = U τ i W i µu 1 + i g µuu Τώρα, ϑεωρώντας τις παραµέτρους του µετασχηµατισµού ϐαθµίδας, απειροστές : θ i x 1, ϐρίσκουµε το νόµο µετασχηµατισµού του πεδίου για απει- ϱοστές µεταβολές. Αρχικά αναπτύσσουµε το U, και κρατάµε µέχρι και τον όρο πρώτης τάξης U = e iθ ixτ i / 1 + iθ i x τ i.114 έπειτα παίρνουµε µια πολύ µικρή µεταβολή των πεδίων ϐαθµίδας W i µ W i µ + δw i µ.115 και τέλος υπολογίζουµε ξεχωριστά τα δύο µέλη της.19: 54

57 Πρώτο µέλος : D µ ψ = D µψ µ + ig τ i W µ1 i + iθ j x τ j ψ [ = µ ψ + ig τ i W µ i ψ + i τ j µθ j ψ g τ i W µθ i τ ] j j ψ εύτερο µέλος : e iθ iτ i / D µ ψ τα εξισώνουµε = µ ψ + ig τ i W i µψ + ig τ i δw i µψ + i τ j µθ j ψ + i τ j θ j µ ψ g τ i W i µθ j τ j ψ iθ i τ i µ + ig τ j W µ j ψ = µ ψ + ig τ j W j µ + iθ i τ i µψ g τ i θ iτ j W j µψ.117 µ ψ + ig τ i W i µψ + ig τ i δw i µψ + i τ j µθ j ψ + i τ j θ j µ ψ g τ i W i µθ j τ j = µ ψ + ig τ j W j µ + iθ i τ i µψ g τ i θ i ψ τ j W µψ j.118 και αφού απαλείψουµε τους ίδιους όρους, λύνουµε ως προς τον όρο που περιέχει το δw i µψ: ig τ i δw i µψ = i τ j µθ j ψ + g τ i W i µθ j τ j ψ g τ i θ iτ j W j µψ Και τώρα ϐρίσκουµε το δw i µψ: = i τ j µθ j ψ + g 4 τ iwµθ i j τ j τ i θ i τ j Wµψ j = i τ i µθ i ψ + g 4 τ jwµθ j i τ i τ i θ i τ j Wµψ j = i τ i µθ i ψ + g 4 θ iwµτ j j τ i τ i τ j ψ = i τ i µθ i ψ g 4 θ iwµiε j ijk τ k ψ = i τ i µθ i ψ i g ε ijkθ j Wµ k τ i ψ.119 δw i µ = 1 g µθ i ε ijk θ j W k µ.1 Συνεπώς, αν επιβάλουµε απειροστούς τοπικούς µετασχηµατισµούς, τα πεδία ϐαθµίδας ϑα µετασχηµατιστούν ως εξής : W i µ W i µ = W i µ 1 g µθ i x ε ijk θ j xw k µ.11 55

58 Στο σηµείο αυτό πρέπει να ϐρούµε την ελεύθερη λανγκρατζιανή των τριων διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας που προέκυψαν και έπειτα να χτίσουµε την αναλλοίωτη λανγκρατζιανή του αρχικού σπινοριακού πεδίου Dirac. Πρέπει λοιπόν να ϐρούµε τον τανυστή που γενικεύει τον.1, αφού και σε αυτήν την περίπτωση ψάχνουµε µια λανγκρατζιανή στην οποία να µην περιέχεται δυναµικός όρος αλλά µόνο αναλλοίωτος κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU κινητικός όρος. Ο όρος αυτός ϑα πρέπει επίσης να µην επηρεάζεται από το µετασχηµατισµό του πεδίου.11. Για να ϐρούµε τον τανυστή που επεκτείνει τον F µν, χρησιµοποιούµε το µεταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων. Κάνουµε αρχικά µια παράκαµψη, δουλεύοντας για την περίπτωση U1 και έπειτα κάνουµε την αντιστοίχιση για την περίπτωση SU. Υπολογίζουµε το µεταθέτη : [D µ, D ν ] = µ + iqa µ ν + iqa ν ν + iqa ν µ + iqa µ = µ ν + iq µ A ν + iqa µ ν q A µ A ν ν µ iq ν A µ iqa ν µ + q A ν A µ = g µν ν ν + iq µ A ν + iqg µν A ν ν q g µν A ν A ν g µν ν ν iq ν A µ iqg µν A µ µ + q g µν A µ A µ = iq µ A ν ν A µ [D µ, D ν ] = iqf µν.1 Επειδή για το µετασχηµατισµό της αναλλοίωτης παραγώγου ισχύει ότι D µ ψ = UD µ ψ = UD µ U 1 Uψ D µ = UD µ U 1.13 Αυτό σηµαίνει ότι ο µεταθέτης των µετασχηµατισµένων συναλλοίωτων παραγώγων ϑα είναι : [D µ, D ν] = [UD µ U 1, UD ν U 1 ] = UD µ U 1 UD ν U 1 UD ν U 1 UD µ U 1 = UD µ D ν U 1 UD ν D µ U 1 = U[D µ D ν D ν D µ ]U 1 Από όπου και άµεσα προκύπτει ότι : = U[D µ, D ν ]U 1 = iquf µν U 1.14 F µν = UF µν U 1.15 Μέσω λοιπόν της.14, επαληθεύουµε χωρίς πολύ κόπο, αν και λίγο κα- ϑυστερηµένα, ότι για U = e iθx η ελεύθερη λανγκρατζιανή του ϕωτονικού πεδίου.11 παραµένει αναλοίωτη. L = 1 4 F µνf µν = 1 4 UF µνu 1 UF µν U 1 = 1 4 F µνf µν = L.16 56

59 Οπότε, αναλογικά, για τους µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU γίνονται οι κατάλληλες µετατροπές ώστε να υπολογίσουµε τον τανυστή Wµν i που γενικεύει τον F µν και κατέπέκταση τη λανγκρατζιανή των πεδίων που αρµόζει στην περίσταση αυτή. Οπότε, κατά αντιστοιχία λοιπόν µε την.1, µε συναλλοίωτη παράγωγο την.18 προκύπτει ότι : [D µ, D ν ] = ig τ i W i µν.17 ϐρίσκεται υπολογίζοντας αναλυτικά τον παραπάνω µε- όπου ο τανυστής Wµν i ταθέτη : [D µ, D ν ] = µ + ig τ i W i µ ν + ig τ j W j ν ν + ig τ j W j ν µ + ig τ i W i µ = µ ν + ig τ j µw j ν + ig τ i W i µ ν g τ i W i µ ν µ ig τ i νw i µ ig τ j W j ν µ + g τ j W j ν = ig τ j µw j ν + ig τ i g τ i W i µ τ j W j ν + g τ j W j ν τ j W ν j τ i W µ i W µ i ν ig τ i νwµ i ig τ j W ν j µ τ i W µ i = ig τ i µw i ν + ig τ i g µνw i µ µ ig τ i νw i µ ig τ i g µνw µi µ g 4 g µνw νi Wν j τ i τ j + g 4 g µνwν j W νi τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 g µν W νi Wν j τ i τ j W νi Wν j τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 W µw i ν j τ i τ j τ j τ i = ig τ i µ Wν i ν W i g µ 4 W µw i ν j iε ijk τ k = ig τ i µ W i ν ν W i µ ig τ i ε ijkw j µw k ν = ig τ i µw i ν ν W i µ gε ijk W j µw k ν }{{} W i µν.18 Οπότε, µε τον τρόπο αυτό ϐρήκαµε πως ορίζονται τα διανυσµατικά πεδία ϐαθ- µίδας W i µν : W i µν = µ W i ν ν W i µ gε ijk W j µw k ν.19 Σε σύγκριση µε τον.1 παρατηρούµε ότι στον τανυστή W i µν υπεισέρχεται ακόµη ένας όρος. Αυτό δεν είναι ούτε τυχαίο ούτε παραβλέψιµο, αλλά ϑα το αναλύσουµε παρακάτω αφού ϐρούµε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα και για την ειδική οµάδα SU3. Ω i µνw µνi = 1 4 UW i µνw µνi U 1 UW µνi U 1 57

60 = 1 4 UW i µνw µνi U 1 = LΣυνεπώς η λανγκρατζιανή που δίνει την αλληλεπίδραση των διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας W i µ της SU µε ένα σπινοριακό πεδίο ύλης ψ ϑα είναι : L = 1 4 W i µνw µνi + ψid µ ψ m ψψ.19 µε συναλλοίτωη παράγωγο αυτήν της εξίσωσης.18 Η ϑεωρία ϐαθµίδας SU συνδέεται άµεσα µε την περιγραφή των ασθενών αλληλεπιδράσεων, όπως ϑα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο..6.3 Ο SU3 µετασχηµατισµός Γενικεύοντας την παραπάνω διαδικασία για τη µη αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας SU3, άµεσα εξάγονται τα αντίστοιχα αποτελέσµατα π.χ. τα πεδία ϐαθµίδας. Προς αποφυγή επαναλήψεων, όπου κρίνεται απαραίτητο οι ενδιάµεσες πράξεις ϑα παραλείπονται. Χρησιµοποιώντας πάλι ένα σπινοριακό πεδίο του οποίου η λαγκρατζιανή είναι η.57, κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας ισχύει ότι : ψ ψ = Uψ = e iθ ixλ i / ψ, i = 1, Η οµάδα SU3, έχει n 1 = 3 1 = 8 παραµέτρους και γεννήτορες. Οπότε σύµφωνα µε την.84, θ i x είναι οι παράµετροι και λ i / οι γεννήτορες της οµάδας. Οι γεννήτορες της οµάδας είναι οκτώ πίνακες 3x3, άιχνοι, γραµ- µικώς ανεξάρτητοι και είναι γνωστοί ως οι πίνακες του Gell-Mann, οι οποίοι γενικεύουν τους x πίνακες του Pauli και υπακούουν στην εξής µεταθετική σχέση : [ λi, λ ] j λ k = if ijk.131 Οι πίνακες του Gell-Mann είναι : 1 i 1 λ 1 = 1 λ = i λ 3 = 1 1 i λ 4 = λ 5 = λ 6 = 1 1 i 1 λ 7 = i λ 8 = i 3 και οι µη µηδενικές σταθερές δοµής είναι : 3 f 13 = 1, f 458 = f 678 = f 147 = f 516 = f 46 = f 57 = f 345 = f 637 =

61 Ο µετασχηµατισµός του πεδίου.13, επιφέρει τις εξής µεταβολές : ψ ψ = e iλ ixτ i / ψ.134 µ ψ µ ψ = iθ i x λ i eiθ ixλ i / ψ + e iθ ixλ i / µ ψ.135 Ο πρώτος όρος της.135 χαλάει την αναλλοιώτητα της L, περισσεύει δηλαδή ένας όρος : δl = ψγ µ θ i x λ i ψ.136 Οπως λοιπόν πράξαµε και στην περίπτωση της SU, έτσι και εδώ ϑεωρώντας σα ϑεµελιώδη απαίτηση της ϕύσης την αναλλοιώτητα της λανγκρατζιανής, αναβαθµίζουµε την παράγωγο σε συναλλοίωτη. έτσι ώστε να µετασχηµατίζεται όπως το πεδίο : µ D µ = µ + ig λ i Gi µ.137 D µ ψ D µ ψ = UD µ ψ = e iθ ixλ i / D µ ψ.138 Στην.137, g είναι η σταθερά Ϲεύξης της ϑεωρίας ϐαθµίδας SU3 και G i µ είναι τα οκτώ πεδία ϐαθµίδας λόγω των 8 γεννητόρων τα οποία αναγκαστικά εισάγαµε ως τίµηµα για τη συναλλοίωτη παράγωγο και κατ επέκταση για την αναλλοιώτητα της λανγκρατζιανής. Ο υπολογισµός των πεδίων ϐαθµίδας γίνεται αντικαθιστώντας την.137 στην.138 και πέρνοντας απειροστή µεταβολή των παραµέτρων, καταλήγουµε : µ + ig τ iw i µ ψ = U [ µ + ig τ iw i µ ] ψ.139 Επαναλαµβάνοντας ακριβώς τα ίδια ϐήµατα που ακολουθήσαµε για τη διαδικασία εύρεσης των πεδίων ϐαθµίδας της SU, ϐρίσκουµε ότι τα πεδία ϐαθµίδας µετασχηµατίζονται ως εξής : G i µ G i µ = G i µ 1 g µθ i x f ijk θ j xg k µ.14 Τώρα πρέπει να υπολογίσουµε την ελεύθερη λανγκρατζιανή των οκτώ διανυσµατικών πεδίων ϐαθµίδας που προέκυψαν και έπειτα να χτίσουµε την α- ναλλοίωτη λανγκρατζιανή του αρχικού σπινοριακού πεδίου Dirac. Κατά τα γνωστά ψάχνουµε µια λανγκρατζιανή στην οποία να µην περιέχεται δυναµικός όρος αλλά µόνο αναλλοίωτος κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας SU3 κινητικός όρος. Ο όρος αυτός ϑα πρέπει επίσης να µην επηρεάζεται από το µετασχηµατισµό του πεδίου.14. Οπως και στην περίπτωση της προηγούµενης µη αβελιανής ϑεωρίας ϐαθ- µίδας, χρησιµοποιούµε το µεταθέτη των συναλλοίωτων παραγώγων και ο τανυστής του πεδίου προκύπτει. G i µν = µ G i ν ν G i µ gf ijk G j µg k ν

62 Η Ϲητούµενη ελεύθερη λανγκραντζιανή που περιγράφει λοιπόν τα διανυσµατικά πεδία ϑα είναι κατ αντιστοιχία µε την ;; L = 1 4 Gi µνg µνi.14 Συνεπώς, για την αλληλεπίδραση των πεδίων ϐαθµίδας G i µ της SU3 µε ένα σπινοριακό πεδίο Dirac ψ ϑα είναι : L = 1 4 Gi µνg µνi + ψiγ µ D µ ψ m ψψ.143 µε συναλλοίωτη παράγωγο αυτήν της εξίσωσης.137. Οπως είδαµε ότι από τη ϑεωρία ϐαθµίδας U1 προκύπτει η ϑεωρία αλληλεπίδρασης του ηλεκτροµαγνητισµού, κβαντική ηλεκτροδυναµική QED, αντίστοιχα από τη ϑεωρία ϐαθµίδας SU3 προκύπτει η ϑεωρία που περιγράφει τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, η κβαντική χρωµοδυναµική QCD. Η εξίσωση.143 είναι η λανγκρατζιανή που δίνει την αλληλεπίδραση σπινο- ϱιακού πεδίου, δηλαδή των κουαρκ, µε τα πεδία ϐαθµίδας, τα γκλουόνια. Τα κουάρκ χαρακτηρίζονται από έναν κβαντικό αριθµό που ονοµάζεται χρώµα. Το κάθε κουάρκ διαφορετικής γεύσης διαφορετικού είδους λοιπόν µπορεί να εµφανιστεί σε τρεις διαφορετικές καταστάσεις τρία διαφορετικά χρώµατα κόκκινο, µπλε, πράσινο. Παρ ολο που το κάθε κουάρκ διαφορετικής γεύσης έχει διαφορετική µάζα, το ίδιο κουάρκ διαφορετικού χρώµατος ϕέρει την ίδια µάζα. Εποµένως η κάθε κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει ένα κουάρκ στην ουσία είναι ένα διάνυσµα-στήλη τριών συνιστωσών µια τριπλέτα. Βέβαια, όπως είπαµε, η.143 περιγράφει την αλληλεπίδραση των κουάρκ µε τα µποζόνια ϐαθµίδας, αντικαθιστώντας όµως κάθε ϕορά τη µάζα του κουάρκ που µελετούµε 6 συνολικά διαφορετικές λανγκρατζιανές, αφού κουαρκ διαφορετικής γεύσης έχουν διαφορετική µάζα. ψ = ψ r ψ b ψ g, ψ = ψr ψb ψg.144 Στη λανγκρατζιανή ϐέβαια του σπινοριακού πεδίου που περιγράφει ένα κουάρκ ϕερµιόνιο µε σπιν 1/.57 δεν επιφέρεται κάποια αλλαγή, απλά τώρα το ψ δεν είναι ένας σπίνορας Dirac αλλά, µια τριπλέτα που το κάθε στοιχείο της είναι ένας σπίνορας..7 Συµπεράσµατα Οπως ϕάνηκε στο τελευταίο υποκεφάλαιο, για να εξάγουµε τα πεδία ϐαθµίδας της SU3 δε χρειάστηκε επιπλέον εργασία. Το µόνο που χρειάστηκε ήταν να γενικεύσουµε τη διαδικασία που ακολουθήσαµε στην περίπτωση της SU. Ανάλογα λοιπόν, µπορούµε να εξάγουµε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα 6

63 για οποιαδήποτε ϑεωρία SUn. Γενικά, όλες αυτές οι µη αβελιανές ϑεωρίες ϐαθµίδας ονοµάζονται ϑεωρίες Yang-Mills επειδή οι δυο αυτοί επιστήµονες ήταν οι πρώτοι που έγραψαν την SU. Οπως είδαµε στις.19 και.141, στους ορισµούς των τανυστών πεδίου των ϑεωριών ϐαθµίδας SU και SU3 αντίστοιχα υπάρχει ένας όρος παραπάνω συγκριτικά µε τον τανυστή πεδίου της U1, στην.1. Η ϕυσική σηµασία των παραπάνω όρων έγκειται στην παρακάτω διαφορά. Για τη ϑεωρία U1 µε λανγκρατζιανή την.11, από τις εξισώσεις Euler- Langrange απορρέουν οι εξισώσεις Maxwell. ν F µν =.145 Οµως για τις ϑεωρίες SU και SU3 µε λανγκρατζιανή την ;; και.14 αντίστοιχα, οι εξισώσεις Euler-Langrange δίνουν : ν W µνi = g ε ijk W j ν W µνk.146 ν G µνi = g 3 f ijk G j νg µνk.147 Συµπεραίνεται λοιπόν ότι, η χαρακτηριστική διαφορά που υπάρχει ανάµεσα σε µια αβελιανή και µια µη αβελιανή ϑεωρία ϐαθµίδας γίνεται τώρα ϕανερή από το δεύτερο µέλος των παραπάνω εξισώσεων. Αντίθετα µε ότι ισχύει για ένα αβελιανό πεδίο, ένα µη αβελιανό πεδίο Ϲευγνύεται µε τον εαυτό του, ενεργώντας σαν πηγή του εαυτού του. Με άλλα λόγια, αντίθετα µε ένα αβελιανό πεδίο που δεν µεταφέρει το ίδιο ϕορτίο και δεν ενεργεί σαν πηγή του εαυτού του όπως πχ συµβαίνει µε το ϕωτόνιο, ένα µη αβελιανό πεδίο µεταφέρει αντίστοιχο ϕορτίο και ενεργεί σαν πηγή του εαυτού του αυτό που συµβαίνει µε τα W και G 9. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό εξάγαµε λανγκραντζιανές που δίνουν την αλληλεπίδραση ϕερµιονίων µε τα µποζόνια ϐαθµίδας, τα οποία προέκυψαν άµαζα ώστε οι λανγκραντζιανές να παραµένουν αναλλοίωτες κάτω από τους µετασχη- µατισµούς. Στο κεφάλαιο που έπεται αφ ενός ϑα δούµε πως από τις ϑεωρίες ϐαθµίδας που αναλύσαµε παραπάνω καταφέρνουµε να χτίσουµε ένα ενιαίο µοντέλο που περιγράφει τη συµπεριφορά των στοιχειωδών σωµατιδίων της ϕύσης και αφ ετέρου ϑα δούµε το µηχανισµό µε τον οποίο τα διανθσµατικά µποζόνια αποκτούν µάζα. 9 Βαγιονάκης Ε.Κ., Σωµατιδιακή ϕυσική : Μια εισαγωγή στη ϐασική δοµή της ύλης, 8, σελ

64 Κεφάλαιο 3 Το καθιερωµένο πρότυπο της ϕυσικής 3.1 Αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας-κρυµµένη συµ- µετρία Στο προηγούµενο κεφάλαιο, είδαµε πως τα πεδία ϐαθµίδας που εισάγαµε στη λανγκραντζιανή έπρεπε να είναι άµαζα ώστε να µην καταστρέφεται η αναλλοιώτητά της. Οσον αφορά το ϕωτόνιο και τα γκλουόνια, δεν υπάρχει κάποιο πρόβληµα αφού η απαίτηση να είναι άµαζα συµπίπτει µε τα πειραµατικά α- ποτελέσµατα. Οµως, αναδύεται ένα µεγάλο πρόβληµα αφού όπως είδαµε για τη διατήρηση της αναλλοιώτητας ϑα πρέπει και τα πεδία ϐαθµίδας της SU να είναι άµαζα, πράγµα το οποίο αντιτίθεται στο πείραµα που µας λέει ότι τα µποζόνια αυτά έχουν µάζα της τάξης των 1GeV, µάζα καθόλου αµελητέα. Το πρώτο πράγµα λοιπόν που τίθεται υπό αµφισβήτηση είναι η ad hoc απαίτηση της αναλλοιώτητας. ηλαδή, γιατί να µην εισάγουµε έναν όρο µάζας m W µ W µ στη λανγκρατζιανή και ας αγνοήσουµε το σπάσιµο της συµµετρίας ως προς τους τοπικούς µετασχηµατισµούς ; Η απάντηση είναι ότι αν πράξουµε έτσι και εισάγουµε τον όρο µάζας, αντιµετωπίζουµε µη επανακανονικοποιήσιµες αποκλίσεις που καθιστούν τη ϑεωρία άχρηστη, αφού µια ϑεωρία για να είναι συνεπής και να δίνει προβλέψεις για το πείραµα, πρέπει να είναι ε- πανακανονικοποιήσιµη. ηλαδή, ένας συνεπής χειρισµός των απειριών που εµφανίζονται σε µια ϑεωρία πεδίου στους όρους ανώτερης τάξης της ϑεωρίας διατιαραχών, απορροφώντας τους σε ένα πεπερασµένο αριθµό παραµέτρων. Συµπερασµατικά, το να ϐάλουµε µε το χέρι έναν όρο µάζας και να αµελήσουµε την άρση της αναλλοιώτητας, οδηγεί σε αδιέξοδο. Υπάρχει όµως άλλος τρόπος εισαγωγής του όρου µάζας χωρίς να σπάει η αναλλοιώτητα της λανγκρατζιανής ; Η απάντηση είναι καταφατική και η εισαγωγή του απαραίτητου όρου µάζας στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις συµβαίνει µεσω του αυθόρµητου σπασίµατος συµµετρίας, µε το µηχανισµό Higgs. Εστω ένα ϕυσικό σύστηµα το οποίο διέπεται από κάποια συµµετρία. Ο- 6

65 ταν η ϐασική κατάσταση -δηλαδή το κενό- και οι λύσεις της ϑεωρίας παύει να υπακούει στη συµµετρία αυτή, τότε έχουµε σπάσιµο της συµµετρίας. Ο προσδιορισµός αυθόρµητο προσδίδεται επειδή το σπάσιµο της συµµετρίας συµβαίνει χωρίς να έχει επέµβει κάποιος εξωτερικός παράγοντας. Εποµένως, αφού η ϐασική κατάσταση έχει πάψει να υπακούει στην αρχική συµµετρία, ολόκληρο το σύστηµα δε διέπεται πια από τη συµµετρία αυτή. Με άλλα λόγια, αν έχουµε κάποιο σύστηµα το οποίο ϐρίσκεται σε κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, περιγράφεται από κάποια αρχική λανγκρατζιανή και υπακούει σε κάποια συµµετρία, µετά από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας το σύστηµα αυτό περνάει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας όπου η λανγκρατζιανή πια δεν υπακούει στην αρχική συµµετρία. Η αρχική συµµετρία είναι πλέον κρυµµένη στην αυθαίρετη επιλογή της νέας, ασύµµετρης, ϑεµελιώδους κατάστασης. Τέτοια παραδείγµατα υπάρχουν αρκετά στη ϕύση και ϑα αναφερθούν παρακάτω όπου κατηγοριοποιούµε τα αυθόρµητα σπασίµατα συµµετρίας ανάλογα µε το αν είναι διακριτή ή συνεχής η αρχική συµµετρία Αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας Σε µακροσκοπική κλίµακα, στην καθηµερινή Ϲωή, αυθόρµητο σπάσιµο διακριτής συµµετρίας παρατηρείται στο σύστηµα όπου ένας χάρακας πιέζεται από το δείκτη και τον αντίχειρα ενός χεριού, όπως ϕαίνεται στην εικόνα. Αυθόρµητο σπάσιµο συµ- µετρίας ενός χάρακα που δέχεται στα άκρα του ϑλιπτική δύναµη. Η δύναµη αυτή ϑα το αναγκάσει να µεταπηδήσει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Οταν η δύναµη που ασκούν τα δάχτυλα στα άκρα του χάρακα ϕτάσουν µια οριακή τιµή, τότε ο χάρακας λυγίζει προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Ο χάρακας έχει µόνο αυτές τις δύο επιλογές και το ποια τελικά ϑα επιλέξει δεν παίζει κανένα ϱόλο αφού και οι δύο καταστάσεις είναι ισοδύναµες και αποτελούν καταστάσεις ελάχιστης ενέργειας. Η αρχική διακριτή συµµετρία λοιπόν ως προς το αν κοιτάµε το σύστηµα από τα αριστερά ή από τα δεξιά σπάει αυθόρµητα και το νέο σύστηµα δεν υπακούει σάυτή. Εστω τώρα ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη λανγκρατζιανή ενός 63

66 πραγµατικού ϐαθµωτού πεδίου L = T V = 1 µφ 1 µ φ λφ4 λ > 3.1 Η λανγκρατζιανή αυτή υπακούει στη διακριτή συµµετρία φ φ = φ 3. γεγονός το οποίο ϕαίνεται µε απλή αντικατάσταση στην 3.1: L = 1 1 µφ µ φ λφ 4 = 1 1 µ φ µ φ λ φ 4 = 1 1 µφ µ φ λφ4 = L 3.3 Το δυναµικό της λανγκραντζιανής 3.1 είναι V = 1 µ φ λφ4 3.4 και η µορφή του εξαρτάται από το αν η σταθερά µ παίρνει ϑετικές ή αρνητικές τιµές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η ποσότητα µ δεν είναι απαραίτητα το τετράγωνο µιας πραγµατικής µάζας, αλλά µια παράµετρος. Η γραφική παράσταση του δυναµικού σε κάθε περίπτωση ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. µ > µ < Τώρα µελετούµε τις δύο διαφορετικές περιπτώσεις ξεχωριστά αναζητώντας το ελάχιστο του δυναµικού ή αλλιώς τη ϑεµελιώδη κατάσταση ή πιο απλά, το κενό, έτσι ώστε να αναπτύξουµε τα πεδία γύρω από τις τιµές αυτές, για να ορίσουµε τις διεγερµένες καταστάσεις, δηλαδή τα σωµατίδια της ϑεωρίας. Αν µ > : Στην περίπτωση αυτή, η λανγκρατζιανή 3.1 περιγράφει ένα ϐαθ- µωτό πεδίο µάζας µ. Εύκολα µπορούµε να την αντιστοιχίσουµε µε τη λανγκρατζιανή της εξίσωσης Klein-Gordon.6. Βέβαια στη λανγκρατζιανή 3.1 υπάρχει και ένας όρος φ 4 ο οποίος ϕανερώνει την ύπαρξη 64

67 µιας κορυφής τεσσάρων σωµατιδίων µε σταθερά σύζευξης λ. Με άλλα λόγια, το πεδίο ϕ είναι ένα πεδίο που αλληλεπιδρά και µε τον εαυτό του. Υπολογίζουµε το ελάχιστο του δυναµικού για να ϐρούµε σε ποια τιµή του ϕ είναι η ϑεµελιώδης κατάσταση. V φ = φ 1 µ + λφ 4 = µ φ + λφ 3 = φ µ + λφ = φ = ή φ = µ λ 3.5 Επειδή στην περίπτωση αυτή λ > και µ >, η τελευταία ισότητα α- πορρίπτεται και το κενό της ϑεωρίας µας ϐρίσκεται στο φ = όπως ϕαίνεται και στο αριστερό γράφηµα της παραπάνω εικόνας. Η ϑεµελιώδης αυτή κατάσταση σέβεται τη διακριτή συµµετρία κατοπτριµού φ φ. Αν µ < : Η περίπτωση αυτή παρουσιάζει µεγαλύτερο ενδιαφέρον καθώς ξε- ϕεύγει από τετριµµένα αποτελέσµατα. Το αποτέλεσµα που ϐρήκαµε στην 3.5 κατά την ελαχιστοποίηση του δυναµικού και το αποκλείσαµε στην προηγούµενη περίπτωση, τώρα είναι µια λύση αποδεκτή φ = ±υ όπου υ = µ 3.6 λ ενώ η λύση φ = δεν ελαχιστοποιεί τώρα το δυναµικό, όπως ϕαίνεται και στο δεξιό γράφηµα της παραπάνω εικόνας. Για να ορίσουµε το ϕάσµα της ϑεωρίας, µελετούµε τι συµβαίνει στην περιοχή του ελαχίστου όπου φ = υ παίρνοντας µικρές κβαντικές διακυ- µάνσεις διαταραχές ηx γύρω του, δηλαδή φx = υ + ηx 3.7 Φυσικά, λόγω του ότι το αρχικό µας σύστηµα διέπεται από τη διακριτή συµµετρία φ φ = φ, ϑα µπορούσαµε ισοδύναµα να πάρουµε τις διακυµάνσεις γύρω από το άλλο ελάχιστο, όπου φ = υ, αφού ούτως ή άλλως το σύστηµα ϑα καταλήξει αµερόληπτα είτε στη µία κατάσταση είτε στην άλλη. Αντικαθιστώντας στη λανγκρατζιανή 3.1 την

68 παίρνουµε : L = 1 µυ + η 1 µ υ + η + 1 λυ + η4 4 = 1 1 µυ + µ η µ υ + µυη + 1 µ η λυ4 + 4υ 3 η + 6υ η + 4υη 3 + η 4 = 1 1 µη µ υ + 1 µ η + µ ηυ λυ λη4 + λυ 3 η + 3 λυ η + λυη 3 = 1 µη λυ η λυη λη4 + σταθ. 3.8 Ο όρος που περιέχει το πεδίο υψωµένο στο τετράγωνο αποτελεί τον όρο µάζας του πεδίου. Συγκρίνοντας τη λανγκρατζιανή.6: L = 1 µφ µ φ 1 m φ 3.9 µε τη λανγκρατζιανή 3.8 στην οποία καταλήξαµε παραπάνω, παρατη- ϱούµε πως πλέον ο όρος µάζας έχει το ίδιο πρόσηµο στην αρχική λανγκρατζιανή δεν ίσχυε κάτι τέτοιο και ταυτοποιώντας τους όρους παίρνουµε : 1 m η = λυ m η = λυ = µ 3.1 Συνεπώς ϕαίνεται ότι στην περίπτωση αυτή όπου η παράµετρος µ είναι αρνητική, η λανγκραντζιανή µας περιγράφει ένα ϕυσικό πεδίο µε µάζα m η = µ γεγονός το οποίο δε ϕαινόταν στην αρχική λανγκρατζιανή 3.1. Οπως προαναφέρεται, οι υψηλότερης τάξης όροι του πεδίου η αντιπροσωπεύουν αλληλεπιδράσεις του πεδίου µε τον εαυτό του. Εξετάζουµε τώρα αν στην λανγκρατζιανή της 3.8, ισχύει ακόµα η αρχική συµµετρία αντιστροφής χώρου φ φ. Αντικαθιστώντας το µετασχηµατισµό στην 3.8, διαπιστώνουµε ότι, λόγω του όρου λυη 3, δεν την αφήνει αναλλοίωτη και εποµένως η αρχική συµµετρία αποτελεί παρελθόν. Στην πραγµατικότητα παρ όλο που η αρχική λανγκρατζιανή σέβεται τη συµµετρία, ενώ η δεύτερη όχι, οι δύο αυτές είναι ισοδύναµες. ηλαδή, αν µπορούσαµε να λύσουµε τις δύο λανγκρατζιανές επακρι- ϐώς, ϑα παίρναµε ταυτοτικά αποτελέσµατα και ϑα ήταν προφανές ότι οι δυο τους περιγράφουν την ίδια ϕυσική. Οµως αυτό δε γίνεται και έτσι αναγκαζόµαστε να δουλέψουµε µε διαταραχές γύρω από τα ελάχιστα της ενέργειας. Αν χρησιµοποιούσαµε την αρχική λανγρατζιανή 3.1, ϑα ϐρίσκαµε ότι η διαταρακτική σειρά δε συγκλίνει γιατί προσπαθούµε να αναπτύξουµε γύρω από το ασταθές σηµείο φ =. Το σωστό είναι να 66

69 χρησιµοποιήσουµε τη 3.8 αναπτύσσοντας ως προς το πεδίο ηx γύρω από το σταθερό κενό φ = υ 1. Συµπερασµατικά, καταλήξαµε λοιπόν στο ότι το πεδίο φ έχει µάζα. Σ αυτόν τον τρόπο γέννησης, ή ακόµα καλύτερα, αποκάλυψης της µάζας του πεδίου αναφερόµαστε µε τον όρο αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας Αυθόρµητο σπάσιµο εκτεταµένης συµµετρίας ϐαθµίδας Στην καθηµερινή Ϲωή, αυθόρµητο σπάσιµο συνεχούς συµµετρίας παρατηρείται στην περίπτωση κάτα την οποία πιέζουµε στα άκρα µια ϐελόνα όπως ϕαίνεται στην εικόνα. Αυθόρµητο σπάσιµο συµ- µετρίας µιας ϐελόνας που δέχεται στα άκρα του ϑλιπτική δύναµη. Η δύναµη αυτή ϑα το αναγκάσει να µεταπηδήσει σε µια άλλη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Οταν η ϑλιπτική δύναµη που ασκείται ξεπεράσει µια οριακή τιµή, τότε η ϐελόνα ϑα λυγίσει προς κάποια κατεύθυνση όχι απλά δεξιά ή αριστερά όπως στην περίπτωση του χάρακα. Η επιλογή είναι αυθαίρετη, και δεν υποκινείται από κάποιον παράγοντα. Επίσης η κατεύθυνση στην οποία µπορεί να ϐρε- ϑεί λυγίζοντας η ϐελόνα µπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ολες οι πιθανές αυτές καταστάσεις αποτελούν τις νέες καταστάσεις ελάχιστης ενέργειας τα νέα κενά. Εστω λοιπόν τώρα ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα ϐαθµωτό µιγαδικό πεδίο φ = φ 1 + iφ /, ή ισοδύναµα από δύο πραγµατικά φ 1, φ, και περιγράφεται από τη λανγκρατζιανή L = µ φ µ φ µ φ φ λφ φ 3.11 η οποία παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τον εκτεταµένο µετασχηµατισµό ϕάσης φ φ = e iα φ, δηλαδή, έχει µια U1 εκτεταµένη συµµετρία. Μελετώντας τη λανγκρατζιανή αυτή ϑα αγνοήσουµε τελείως την τετριµµένη περίπτωση όπου η παράµετρος µ είναι ϑετική κατά τα γνωστά προκύπτει ότι η πα- ϱάµετρος µ ερµηνεύεται σαν µάζα και ϑα περάσουµε κατευθείαν στην περίπτωση όπου λ > και µ <. 1 Ζουπάνος Γ.: Σηµειώσεις του µαθήµατος Στοιχειώδη Σωµατίδια ΙΙ 67

70 Η λανγκρατζιανή 3.11 γράφεται αλλιώς στην παρακάτω µορφή : L = µ φ 1 + µ φ 1 µ φ 1 + φ 1 4 λφ 1 + φ 3.1 Οπως πράξαµε και στην αντίστοιχη περίπτωση της διακριτής συµµετρίας, ε- λαχιστοποιούµε το δυναµικό V = µ φ φ + λφ φ 3.13 για να ϐρούµε ποιές είναι οι τιµές των πεδίων στις οποίες ϐρίσκεται το ευστα- ϑές κενό. V φ = µ φ φ + λφ φ = φ [µ + λφ φ] = φ φ = ή φ = φ φ = µ λ φ 1 + φ = µ λ = υ 3.14 Οπως ϕαίνεται ο µηδενισµός της παραγώγου του δυναµικού δίνει πως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που αποτελούν ϑεµελιώδεις καταστάσεις, είναι ένας κύκλος που ϐρίσκεται στο επίπεδο φ 1, φ και έχει ακτίνα ίση µε υ, όπως ϕαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Το γράφηµα που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση του δυναµικού για το σύστηµα ενός µιγαδικού, ϐαθµωτού πεδίου. Το σχήµα του ϑυµίζει ένα αναποδογυρισµένο µεξικάνικο καπέλο. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, τώρα παίρνουµε δυο τιµές που να ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου : φ 1 = υ και φ =. Οπως και στην περίπτωση της διακριτής συµµετρίας, αναπτύσσουµε γύρω από το κενό παίρνοντας µικρές διακυµάνσεις : φx = 1 [υ + ηx + iξx]

71 και αντικαθιστώντας στη λανγκρατζιανή 3.11, έχουµε : [ ] υ + ηx + iξx υ + ηx + iξx L = µ µ [ υ + ηx + iξx ] υ + ηx + iξx µ λ [ υ + ηx + iξx ] υ + ηx + iξx = 1 [ µηx + iξx] µ ηx + iξx µ [ υ + υηx + iυξx + υηx + η x + ηxiξx iυξx iξxηx + ξ x ] λ [ υ + υηx + iυξx + υηx + η x 4 + iηxξx iυξx iξxηx + ξ x ] = 1 [ µηx i µ ξx] [ µ ηx + i µ ξx] µ + η x + ξ x λ 4 [υ + υηx + η x + ξ x] υ + υηx = 1 µηx + 1 µξx µ υ µ υηx µ η x µ ξ x λ [ υ 4 + 4υ 3 ηx + 4υ η x + υ η x 4 + υ ξ x + 4υη 3 x + 4υηxξ 3 x + η 4 x + η xξ x + ξ 4 x ] = 1 µηx + 1 µξx + µ η x + σταθ. + 3,4ες δυνάµεις των η,ξ 3.16 Η λανγκρατζιανή στην οποία καταλήξαµε δε σέβεται την αρχική συµµετρία η οποία έσπασε έπειτα από την αυθαίρετη επιλογή κενού. Για τη λανγκρατζιανή αυτή, παρατηρούµε πως ο τρίτος όρος είναι όρος πραγµατικής µάζας, αφού έχει τη µορφή 1 m ηη x. Εποµένως, η µάζα του πεδίου ηx ϑα είναι : 1 m η = µ m η = µ 3.17 Για το πεδίο ξx, παρατηρούµε πως στη λανγκρατζιανή υφίσταται κινητικός όρος αλλά απουσιάζει όρος της µορφής 1 m ξ ξ x. Αυτό σηµαίνει ότι πρόκειται για ένα άµαζο πεδίο. Αυτό εξηγείται αν λογαριάσουµε ότι το πεδίο ξx κείται στην εφαπτοµένη του κύκλου 3.14, στον οποίο το δυναµικό είναι σταθερό. Το αποτέλεσµα αυτό που προέκυψε αποτελεί ένα παράδειγµα ενός γενικότερου ϕαινοµένου που ονοµάζεται ϑεώρηµα Goldstone: Από το αυ- ϑόρµητο σπάσιµο συνεχούς συµµετρίας αναδύεται ένα άµαζο σωµατίδιο που ονοµάζεται σωµατίδιο Goldstone. Είναι αλήθεια ότι η προσθήκη ενός ακόµα 69

72 ϐαθµωτού πεδίου προκαλεί σύγχυση και αποπροσανατολίζει από τον αρχικό στόχο, ο οποίος ήταν µε το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας να διαπιστώσοµε πως παίρνουν µάζα τα µποζόνια στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Οπως είναι λογικό η εισαγωγή ενός άµαζου και µάλιστα µη παρατηρήσιµου σω- µατιδίου ϑολώνει το τοπίο. Εν τέλει όµως επέρχεται ολική ανατροπή, καθώς αναβαθµίζοντας τη συµµετρία σε τοπική, καταφέρνουµε να απαλλαγούµε από τα ανεπιθύµητα µποζόνια Goldstone Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgsαβελιανή περίπτωση Περνάµε τώρα στη µελέτη του σπασίµατος τοπικής συµµετρίας ϐαθµίδας. Αρχικά ϑα δουλέψουµε µε την αβελιανή συµµετρία U1 και αργότερα ϑα επεκτείνουµε την ανάλυση και στη µη αβελιανή περίπτωση της SU. Σύµφωνα µε όσα αναφαίρονται στην παράγραφο.6.1, για να γίνει η λανγκρατζιανή 3.11 αναλλοίωτη κάτω από το µετασχηµατισµό U1 : φ e iαx φ, ϑα πρέπει να εισαγάγουµε το άµαζο πεδίο ϐαθµίδας A µ και να αναβαθµίσουµε την παράγωγο σε αναλλοίωτη : όπου το πεδίο A µ µετασχηµατίζεται ως D µ = µ iea µ 3.18 A µ A µ + 1 e µα 3.19 Εποµένως, επιβάλοντας τους µετασχηµατισµούς στην 3.11 η gauge-αναλλοίωτη λανγκρατζιανή που προκύπτει ϑα είναι : L = µ + iea µ φ µ iea µ φ µ φ φ λφ φ 1 4 F µνf µν 3. Αν η παράµετρος µ είναι ϑετική τότε αποκτούµε τη λανγκρατζιανή της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής ενός ϐαθµωτού σωµατιδίου µάζας µ. Το ϕερµιονικό ανάλογο αυτής της λανγκρατζιανής είναι το αποτέλεσµα που είχαµε ϐρει στο προηγούµενο κεφάλαιο για τους τοπικούς µετασχηµατισµούς U1, συγκεκριµένα στην εξίσωση.13. Παρ όλα αυτά, ϑα επιλέξουµε µ <, µιας και ϑέλουµε να προκύψουν οι µάζες από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµ- µετρίας. Οπως πράξαµε και στην περίπτωση της εκτεταµένης συµµετρίας, µεταφέρουµε το σύστηµα σε µια πραγµατική κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, αναπτύσσουµε το πεδίο γύρω από µια τιµή του κενού και αντικαθιστούµε την 7

73 3.15 στη λανγκρατζιανή 3.. L = 1 µ + iea µ υ + η iξ µ iea µ υ + η + iξ }{{} L kin µ υ + η iξυ + η + iξ λ [υ + η iξυ + η + iξ] }{{ 4 } L pot 1 4 F µνf µν }{{} L bos 3.1 Σπάµε τώρα τη λανγκρατζιανή L σε τρία κοµµάτια για να γίνει πιο εύκολη η µελέτη της. Ο δυναµικός όρος L pot ϑα δώσει τα αποτελέσµατα που πήραµε και στην περίπτωση του σπασίµατος της εκτεταµένης συµµετρίας, αφού η ανα- ϐάθµιση της παραγώγου δεν επιφέρει κάποια αλλαγή. Συνεπώς το δυναµικό της λανγκρατζιανής L pot = µ υ + η iξυ + η + iξ + λ 4 [υ + η iξυ + η + iξ] 3. ϑα δώσει µετά από πράξεις έναν όρο που ϕέρει µάζα και µια σειρά από όρους αλληλεπίδρασης και σταθερών. L pot = µ η µ 4λ λυυη η3 ηξ 3 λ 4 η4 λ η ξ 3.3 Ο όρος L bos παραµένει ανεπηρέαστος από το µετασχηµατισµό. Ο κινητικός όρος L kin είναι αυτός που διαφοροποιεί τα αποτελέσµατα από την εκτεταµένη περίπτωση, αφού αποτελείται από όρους οι οποίοι περιέχουν την τροποποιηµένη παράγωγο. Κάνουµε λοιπόν τις πράξεις : L kin = 1 µ + iea µ υ + η iξ µ iea µ υ + η + iξ = 1 µ η i µ ξ + ieυa µ + iea µ η + ea µ ξ µ η + i µ ξ ieυa µ iea µ η + ea µ ξ = 1 µ η µ η + i µ η µ ξ ieυa µ µ η iea µ η µ η + e µ ηa µ ξ i µ ξ µ η + µ ξ µ ξ eυ µ ξa µ e µ ξa µ η ie µ ξa µ ξ + ieυa µ µ η + e υ A µ A µ eυa µ µ ξ + e υa µ A µ η + ie υa µ A µ ξ + iea µ µ η e µ ξa µ η + e υa µ A µ η + e A µ A µ η + ie A µ A µ ηξ + ea µ ξ µ η + ie µ ξa µ ξ ie υa µ A µ ξ ie A µ A µ ξη 71

74 + e A µ A µ ξ = 1 [ µ η µ η + µ ξ µ ξ] + ea µ ξ µ η eυa µ µ ξ ea µ η µ ξ + 1 e υ A µ A µ + e υa µ A µ η + 1 e A µ A µ η + 1 e A µ A µ ξ 3.4 Συνθέτοντας πάλι τα κοµµάτια, η λανγκρατζιανή του συστήµατος είναι : L = 1 µη + 1 µξ + 1 e υ A µ A µ + e µ ηa µ ξ eυ µ ξa µ e µ ξa µ η + e υa µ A µ η + 1 Aµ A µ η + 1 e A µ A µ ξ µ η µ4 4λ λυυη η 3 ηξ 3 λ 4 η4 λ η ξ 1 4 F µνf µν 3.5 Κρατώντας λοιπόν µόνο τους όρους που µας ενδιαφέρουν, παίρνουµε την τελική µορφή της λανγκρατζιανής : L = 1 µη + 1 µξ + 1 e υ A µ A µ µ η eυa µ µ ξ 1 4 F µνf µν + inter.terms + const. 3.6 Ερµηνεύοντας την παραπάνω λανγκρατζιανή διαπιστώνουµε ότι το σωµατιδιακό της ϕάσµα είναι ένα άµαζο µποζόνιο Goldstone ξ, ένα ϐαθµωτό µποζόνιο η που έχει µάζα και ένα πολυπόθητο µαζικό διανυσµατικό µποζόνιο A µ. Οι µάζες τους είναι : 1 m η = µ m η = µ 1 m A = 1 e υ m A = eυ 3.7 Μέσα λοιπόν από την παραπάνω διαδικασία καταφέραµε να αναδείξουµε τη µάζα του πεδίου ϐαθµίδας A µ, αλλά ακόµα αντιµετωπίζουµε πρόβληµα από την παρουσία του άµαζου µποζονίου Goldstone. Οµως το µποζόνιο αυτό δεν είναι το µόνο πρόβληµα που καλούµαστε να αντιµετωίσουµε. Στη λανγκρατζιανή παρατηρείται και ο περίεργος όρος eυ µ ξa µ. Αν προσπαθήσουµε να τον ερµηνεύσουµε σαν αλληλεπίδραση, τότε πρόκειται για µια διαδικασία κατά την οποία το ξ µετατρέπεται σε A. Οµως ο όρος αυτής της µορφής, διγραµµικός σε δύο διαφορτικά πεδία, δείχνειο ότι έχουµε ταυτοποιήσει λαν- ϑασµένα τα σωµατίδια από τη λανγκρατζιανή 3.6. Επιπλέον, υπάρχει ακόµα ένα πρόβληµα το οποίο µας υποδεικνύει ότι πρέπει να αναθεωρήσουµε τη λανγκρατζιανή µας. Αν µετρήσουµε τους ϐαθ- µούς ελευθερίας της αρχικής µας λανγκρατζιανής 3. είναι συνολικά τέσσερις. ύο για τα φ, φ και δύο εγκάρσιες συνιστώσες για το άµαζο µποζόνιο 7

75 ϐαθµίδας A µ. Αν µετρήσουµε τους ϐαθµούς ελευθερίας της λανγκρατζιανής 3.6 διαπιστώνουµε ότι έχουµε συνολικά πέντε. ύο λόγω των η, ξ και τρεις οι ϐαθµοί ελευθερίας πόλωσης του µποζονίου A µ, αφού πέρα από τους δύο που είχε λόγω των εγκάρσιων συνιστωσών, αποκτώντας µάζα, αποκτά αυτό- µατα έναν τρίτο διαµήκη ϐαθµό ελευθερίας. Οµως η αύξηση των ϐαθµών ελευθερίας είναι αδύνατο να οφείλεται σε µια απλή αλλαγή στις µεταβλητές των πεδίων. Αυτό σηµαίνει πως έχουµε ερµηνεύσει λάθος τους όρους της λανγκρατζιανής καθώς κάθε πεδίο δεν αντιστοιχεί σε ξεχωριστό σωµατίδιο και πως πρέπει να την απαλλάξουµε από κάποιο σωµατίδιο. Το ποιο σωµατίδιο ϑα είναι αυτό και ο τρόπος κατά τον οποίο χειριζόµαστε τη λανγκρατζιανή ώστε να αποµείνουν τα σωµατίδια που πρέπει, είναι η ακόλουθη. Παρατηρούµε ότι οι διακυµάνσεις γύρω από το κενό µας µπορούν να γρα- ϕτούν : φ = 1 υ + η + iξ 1 υ + ηe iξ/υ 3.8 Στο σηµείο αυτό, αντιλαµβανόµαστε ότι πρέπει να αντικαταστήσουµε στην αρχική λανγκρατζιανή 3. µε ένα διαφορετικό σύνολο πραγµατικών πεδίων hx, θx, A µ x φ = 1 υ + he iθ 3.9 Γνωρίζουµε ότι η αρχική λανγκρατζιανή 3., παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας U1. Εποµένως κάνουµε ένα µετασχηµατισµό ϐαθµίδας και λόγω της 3.9, ο µετασχηµατισµός ϑα είναι : φ φ = e iθ φ 3.3 φ φ = 1 υ + he iθ e iθ = 1 υ + h A µ A µ = A µ 1 eυ µθ 3.31 Αυτή είναι µια πολύ συγκεκριµένη επιλογή της ϐαθµίδας όπου το θx ε- πιλέχθηκε έτσι ώστε το πεδίο h να είναι πραγµατικό. Περιµένουµε λοιπόν αποτελέσµατα τα οποία να είναι ανεξάρτητα από το πεδίο θ. Θα προκύψει λοιπόν η παρακάτω λανγκρατζιανή. L = µ + iea µ φ µ iea µφ µ φ φ λφ φ 1 }{{}}{{} 4 F µνf µν }{{} L L kin pot L bos 3.3 Οπως έχουµε επαναλάβει και παραπάνω, σπάµε τη λανγκρατζιανή L σε τρία κοµµάτια για να τη µελετήσουµε καλύτερα. 73

76 Ο δυναµικός όρος L pot ϑα δώσει : L pot = µ φ φ λφ φ = 1 µ υ + hυ + h + λ [υ + hυ + h] 4 = 1 µ υ + 1 µ h + µ υh + λ [ υ + υh + h ] 4 = 1 µ µ + 1 λ µ h + λ [ υ 4 + 4υ h + 4υ 3 h 4 + h 4 + h υ + 4υh 3] = µ4 λ + 1 µ h + λ µ 4 4 λ + λυ h + λυ 3 h λh4 + λ h υ + λυh 3 + µ4 4λ µ h + λυ 3 h + λ 4 h4 + λυh ο όρος που αντιπροσωπεύει το πεδίο ϐαθµίδας L bos παραµένει αναλλοίωτος κάτω από τους U1 µετασχηµατισµούς. Το κοµµάτι που περιέχει τους κινητικούς όρους ϑα γίνει : L kin = 1 [ µ + ie A µ + 1 ] [ eυ µ θ υ + h µ ie A µ + 1 ] eυ µθ υ + h = 1 [ µ υ + µ h + iea µ υ + iea µ h + ie 1 eυ µ θυ + ie 1 ] eυ µ θh [ µ υ + µ h iea µ υ iea µ h ie 1 eυ µθυ ie 1 ] eυ µθh κρατώντας µόνο τα γινόµενα που χρειάζονται για εξοικονόµηση χώρου = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 e A µ A µ h + 1 ieaµ h iea µ υ + 1 ieaµ υ iea µ h = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + 1 e υa µ A µ h + 1 e υa µ ha µ = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + e υa µ A µ h 3.34 Συνεπώς, ενώνοντας τα κοµµάτια παίρνουµε την ολική λανγκρατζιανή L tot = 1 µ h µ h + 1 e υ A µ A µ + 1 eaµ A µ h + e υa µ A µ h + µ h λυ 3 h λ 4 h4 λυh 3 µ4 4λ 1 4 F µν F µν

77 Πράγµατι, όπως αποδείχθηκε, η ϑεωρία µας είναι ανεξάρτητη από το σωµατίδιο θ, δηλαδή, το σωµατίδιο Goldstone έχει εξαφανιστεί. Ας δούµε πάλι αναλυτικά το ϕάσµα των σωµατιδίων που ανέκυψαν : Ενα ϕυσικό ϐαθµωτό πεδίο h και ένα διανυσµατικό πεδίο ϐαθµίδας A µ των οποίων οι µάζες είναι : m A = eυ και m h = µ 3.36 Απαλλαγµένοι λοιπόν από το πεδίο που µε την παρουσία του έδινε ένα ϐαθµό ελεθερίας παραπάνω από ότι έπρεπε, οι ϐαθµοί ελευθερίας του συστήµατος πλέον είναι τέσσερις, τρεις του διανυσµατικού µποζονίου ϐαθµίδας A µ και ένας του ϐαθµωτού πεδίου h όπως επιζητούσαµε. Ο παραπάνω ϐαθµός ε- λευθερίας που περίσσευε στη L είναι κίβδηλος αφού απλά αντιστοιχεί στην ελευθερία επιλογής να κάνουµε έναν µετασχηµατισµό ϐαθµίδας. Οι δύο εκφράσεις της λανγκρατζιανής 3.6 και 3.35 είναι ισοδύναµες, περιγράφουν δηλαδή το ίδιο σύστηµα, απλά η ταυτοποίηση των ϕυσικών σω- µατιδίων µπορούσε να γίνει µόνο µέσω της δεύτερης. Σε αυτήν, το would-be goldstone boson ξx όπως καλείται, έχει απορροφηθεί από το διανυσµατικό µποζόνιο ϐαθµίδας και έχει αναλάβει το ϱόλο της τρίτης και διαµήκους καταστάσεως πόλωσης. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται µηχανισµός Higgs, και το ϕυσικό ϐαθµωτό σωµατίδιο h που παραµένει στη ϑεωρία µας ονοµάζεται µποζόνιο Higgs. Αυτός είναι λοιπόν ο µηχανισµός κατά τον οποίο τα µποζόνια µιας αβελιανής ϑεωρίας ϐαθµίδας αποκτούν µάζα. Παρακάτω ϑα επεκταθούµε και στη µη αβελιανή περίπτωση της SU, από την οποία περιµένουµε να προκύψουν οι µάζες των τριών διανυσµατικών µποζονίων Αυθόρµητο σπάσιµο τοπικής συµµετρίας-µηχανισµός Higgs- Μη αβελιανή περίπτωση Παροµοίως µε την παραπάνω µεθοδολογία, ϑα κινηθούµε για να µελετήσουµε το αυθόρµητο σπάσιµο µη αβελιανής συµµετρίας. Τα αποτελέσµατα ϑα µας χρησιµεύσουν στα µετέπειτα υποκεφάλαια όπου ϑα ξεδιπλωθεί το καθιερωµένο πρότυπο. Για την SU ϑεωρία ϐαθµίδας ξεκινάµε λοιπόν µε τη λανγκρατζιανή L = µ φ µ φ µ φ φ λφ φ 3.37 όπου φ είναι µια µιγαδική δυάδα από ϐαθµωτά πεδία : φα φ = = 1 φ1 + iφ φ β φ 3 + iφ Γνωρίζουµε πλέον από την περίπτωση της U1, ότι πρέπει να πάρουµε τη λανγκρατζιανή που είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς SU µετασχηµατισµούς, δηλαδή, να προσαρµόσουµε την 3.37 αναβαθµίζοντας την 75

78 παράγωγο από απλή σε συναλλοίωτη εξίσωση.18 µ D µ = µ + ig τ i W i µ 3.39 και έπειτα εισάγοντας στη λανγκρατζιανή µας τη λανγκρατζιανή των πεδίων ϐαθµίδας, τα οποία µετασχηµατίζονται εξίσωση.11 κατά τον εξής τρόπο : W i µ W i µ = W i µ 1 g µθ i x ε ijk θ j xw k µ 3.4 και τον τανυστή πεδίου W i µν να ορίζεται εξίσωση.19 ως W i µν = µ W i ν ν W i µ gε ijk θ j xw k µ 3.41 Εποµένως επιβάλοντας αυτές τις ϐελτιώσεις στην 3.37, αυτή γίνεται : L = D µ φ D µ φ µ φ φ λφ φ 1 4 W i µνw µνi 3.4 Αν πάρουµε την περίπτωση που η παράµετρος µ είναι ϑετική, τότε ϑα πρόκειται για µια λανγκρατζιανή η οποία περιγράφει ένα σύστηµα τεσσάρων πραγµατικών, ϐαθµωτών πεδίων φ i, καθένα από τα οποία έχει µάζα µ και αλληλεπιδρά µε τα τρία άµαζα µποζόνια ϐαθµίδας Wµ i. Η περίπτωση αυτή δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον, συνεπώς δε ϑα σχοληθούµε περεταίρω. Η περίπτωση µε την οποία ϑα ασχοληθούµε ενδελεχώς είναι εκείνη κατά την οποία η παράµετρος µ είναι αρνητική. Ακολουθώντας τη γνωστή πλέον διαδικασία, ϐρίσκουµε την καινούρια κατάσταση ελαχίστης ενέργειας όπου συνεχίζουµε µε το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας. Συνεπώς η δυναµική ενέργεια V φ = µ φ φ + λφ φ 3.43 παρουσιάζει ελάχιστο στα σηµεία : V φ = µ φ + λφ φ = φ µ + λφ φ = φ = ή φ = µ λ φ φ 1 φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 = µ λ 3.44 Ο γεωµετρικός τόπος των ελαχίστων του συστήµατος µας είναι όπως ϕαίνεται µια τετραδιάστατη σφαίρα µια υπερσφαίρα. Ενα από τα άπειρα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση της υπερσφαίρας είναι το : φ 1 = φ = φ 4 =, φ 3 = µ λ υ

79 Η επιλογή του σηµείου έγινε καθαρά µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση των πράξεων. Συνεπώς, επειδή το πεδίο φ είναι µια δυάδα, το κενό µας γράφεται : φ υ Αν εκτελούσαµε λοιπόν στην τύχη µικρές διαταραχές γύρω άπό το κενό, το πεδίο µαζί µε τη διαταραχή ϑα ήταν : φ = 1 η1 x + iη x 3.47 υ + η 3 x + iη 4 x Οµως πλέον είµαστε σε ϑέση να πονηρευτούµε ότι αν πάρουµε τυχαία τη διαταραχή, δε ϑα είναι εύκολο να απαλλαγούµε καθοριστικά από τα άµαζα µποζόνια Goldstone. Γιάυτό και υπολογίζουµε την ακόλουθη ποσότητα, όπου τα πεδία θ i, h είναι πραγµατικά φx = e iτ iθ i x/υ υ + hx/ 3.48 και η οποία δεν είναι καθόλου τυχαία, αλλά είναι µια ποσότητα η οποία αποτελεί τον SU µετασχηµατισµό συµµετρίας. Ετσι αν αφού κάνουµε τις πράξεις καταλήξουµε σε ένα πεδίο φ όπου τα τέσσερα αυτά πραγµατικά πεδία ϑα είναι ανεξάρτητα και ϑα παραµετροποιούν πλήρως τη διαταραχή γύρω από το κενό φ τότε η επιλογή µας είναι έγκυρη και µετά κάνοντας ένα µετασχηµατισµό ϐαθµίδας, ο οποίος γίνεται χωρίς κάποιο τίµηµα - η λανγκρατζιανή µας πα- ϱαµένει πλέον αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας-, τα δύο εκθετικά ϑα αλληλοαναιρεθούν και στο τέλος το διαταραγµένο πεδίο µας ϑα είναι : φx = 1 υ + hx 3.49 Ας εκτελέσουµε µε τη σειρά από την αρχή τις πράξεις. εδοµένου ότι αναφερό- µαστε σε απειροστές διαταραχές, υπολογίζουµε το πεδίο που δίνει η εν ξεχνάµε ότι όταν µετασχηµατίζεται το πεδίο, µετασχηµατίζεται και το µποζόνιο ϐαθµίδας σύµφωνα µε τη σχέση.81 φx = e iτ iθ i x/υ = 1 [ i 1 υ + hx/ 1 + i 1 θ 3 ] υ + hx 1 + iτ i θ i x i θ 1 + i i = iθ3 /υ iθ 1 iθ /υ iθ 1 + iθ /υ 1 θ 3 /υ = 1 θ + iθ 1 υ + h iθ 3 θ υ + hx υ + hx/

80 όπου στο τελευταίο γινόµενο κρατήσαµε µόνο τους όρους πρώτης τάξης. Βλέπουµε λοιπόν από το παραπάνω αποτέλεσµα ότι τα τέσσερα πεδία είναι όντως ανεξάρτητα και παραµετροποιούν πλήρως τις αποκλίσεις από το κενό. Αντικα- ϑιστώντας την έκφραση αυτή των πεδίων στη λανγκρατζιανή L, και εφαρµόζοντας το αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας σε αυτή, τότε, ϑα είχαµε την εµφάνιση ανεπιθύµητων µποζονίων Goldstone. Γιάυτό όπως προαναφέραµε ϑα κάνουµε ένα µετασχηµατισµό SU ϐαθµίδας στο πεδίο 3.48, µε αποτέλεσµα να µη µείνει ίχνος πεδίου θ i : φ φ = Uφ = Ue iτ iθ i x/υ 1 υ + hx = 1 e iτ iθ i x/υ e iτ iθ i x/υ = 1 υ + hx υ + hx 3.51 Καταλήξαµε λοιπόν σε ένα πεδίο φ χωρίς κανένα θ i πεδίο, όπως ακριβώς το προβλέψαµε. Τώρα, το µόνο που µένει για να πάρουµε τα αποτελέσµατα της ϑεωρίας µας, είναι να αντικαταστήσουµε την 3.48 στην έκφραση της L, ενθυµούµενοι ότι η ποσότητα WµνW i µνi παραµένει αναλλοίωτη και ότι η συναλλοίωτη παράγωγος ϑα είναι D µ φ = U 1 D µφ. Οπότε λανγκρατζιανή στη µοναδιαία ϐαθµίδα ϑα είναι : L = U 1 D µφ U 1 D µ φ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = D µφ U 1 U 1 D µ φ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = D µφ D µ φ µ υ + η λ 4 υ + η4 1 4 W i µνw µνi = µ φ + ig 1 τ iw µ i φ µ φ + ig 1 τ iw µi φ µ υ + h λ υ + h W i µνw µνi 3.5 Γνωρίζουµε ότι οι όροι της λανγκρατζιανής που ϕέρουν µάζα είναι οι τετραγωνικοι ως προς ένα κάθε ϕορα πεδίο. Βλέπουµε ότι από την παραπάνω σχέση 78

81 ένας τέτοιος όρος είναι : ig 1 τ iwµ i φ ig 1 τ iwµ i φ = ig 1 τ iw iµφ ig 1 τ iw iµφ +... ig 1 τ iwµφ i ig 1 τ iwµφ i = g 8 [ Wµ 3 Wµ 1 iwµ ] W Wµ 1 + Wµ W µ 3 µ 3 Wµ 1 iwµ υ Wµ 1 + Wµ W µ 3 υwµ 1 iwµ υwµ 3 υwµ 1 iwµ = g 8 = g υ 8 υw 3 µ υ [ W 1 µ + W µ + W 3 µ ] 3.53 και δίνει ότι η µάζα κάθε µποζονίου είναι 1 m w = g υ 8 m w = 1 gυ 3.54 Ο δεύτερος όρος που µας δίνει όρο µάζας και µάλιστα του ϐαθµωτού µποζονίου προκύπτει από τους δυναµικούς όρους της λανγκρατζιανής.: V φ = µ υ + h + λ υ + h4 4 = µ4 4λ + µ h + λυ 3 h + λ 4 h4 + λυh από όπου µας δίνεται ότι η µάζα του µποζονίου higgs είναι : 1 m h = µ m h = µ 3.56 Συµπερασµατικά, η λανγκρατζιανή που προκύπτει από το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας SU, περιγράφει τρία διανυσµατικά πεδία ϐαθµίδας και ένα ϐαθµωτό πεδίο h τα οποία έχουν όλα µάζα. Αυτό που έχει συµβεί εδώ είναι ότι τα πεδία ϐαθµίδας έχουν απορροφήσει τα µποζόνια Goldstone, αποκτώντας έτσι µάζα. Οι ϐαθµοί ελευθερίας που ϑα οφείλονταν στα τρία πεδία θx έχουν ενσωµατωθεί στα διανυσµατικά µποζόνια ϐαθµίδας σαν µια τρίτη διαµήκη κατάσταση πόλωσης. Με αυτό τον τρόπο λοιπόν, µέσω του µηχανισαµού higgs, τα πεδία της ϐαθµίδας SU αποκτούν µάζα. Ανακεφαλαιώνοντας, ο µηχανισµός Higgs µας επιτρέπει να απαλλασσόµαστε από τα άµαζα µποζόνια. Βέβαια, το ϐασικό µας πρόβληµα παραµένει να είναι το γεγονός ότι πρέπει τις µάζες που κατάφεραν να πάρουν τα σωµατίδια να τις ενσωµατώσουµε στη ϑεωρία µας κρατώντας την επανακανονικοποιήσι- µη. Θα µπορούσαµε να εισαγάγουµε στη λανγκρατζιανή τους όρους µάζας µε το χέρι και να σπάσουµε τη συµµετρία της. Οµως, όπως είδαµε, δεν το πράξαµε για να µη χάσει η ϑεωρία µας την ικανότηα να δίνει προβλέψεις. Με 79

82 το αυθόρµητο σπάσιµο η συµµετρία δεν εξαφανίζεται αλλά είναι κατά κάποιο τρόπο κρυµµένη στη νέα κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Λόγω αυτού του πλεονεκτήµατος, πιστεύεται ότι µέσω των ϑεωριών ϐαθµίδας ίσως αποτυπωθεί ένα πλάνο για όλες τις σωµατιδιακές αλληλεπιδράσεις. Στο επόµενο υποκεφάλαιο ϑα µπούµε στην καρδιά του καθιερωµένου προτύπου, όπου οι ασθενείς και οι ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις χτίζονται από µια ϑεωρία ϐαθµίδας τεσσάρων πεδίων, του ϕωτονίου και των τριών διανυσµατικών µποζονίων W ±, Z. Με το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας τα µποζόνια της ασθενούς αλληλεπίδρασης κερδίζουν µάζα, ενώ ένα πεδίο παραµένει άµαζο, το ϕωτόνιο. Μια τέτοια ϑεωρία ϑα είναι επανακανονικοποιήσιµη και ϑα περιέχει ένα ή και παραπάνω ϐαθµωτά µποζόνια Higgs, αλλά κανένα Goldstone. 3. Οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του Καθιερωµένου Προτύπου Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι µε τη χρήση εσωτερικών συµµετριών ϐαθµίδας συµµετρίες που δεν επηρεάζουν τον εξωτερικό χωρόχρονο και την ταυτόχρονη απαίτηση η λανγκρατζιανή να παραµένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς µετασχηµατισµούς, προέκυψαν τα πεδία ϐαθµίδας που περιγράφουν τις αντίστοιχες αλληλεπιδράσεις. Συνολικά οι συµµετρίες που απαιτούνται για την περιγραφή όλων των γνωστών στοιχειωδών σωµατιδίων και των αλληλεπιδράσεών τους είναι τρεις άρα ϑα χρειαστούµε τρεις ϑεωρίες ϐαθµίδας και η ένωσή τους µας δίνει το καθιερωµένο πρότυπο. Ας τις εξετάσουµε αναλυτικά : 3..1 Η συµµετρία U1 Y Η πρώτη συµµετρία είναι µια συµµετρία U1, η οποία ως γνωστό είναι µια εσωτερική συµµετρία. Η συµµετρία αυτή, δεν είναι η ίδια που είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο από την οποία οδηγηθήκαµε στην QED ϑεωρία. Φυσικά, οι δυο αυτές συµµετρίες συνδέονται µέσω ϕυσικών επιχειρηµάτων, µια σύνδεση που ϑα αναλύσουµε παρακάτω. Το πεδίο ϐαθµίδας που αντιστοιχεί στη συµµετρία µας ϑα το ονοµάσουµε B µ σε αντιστοιχία µε το πεδίο ϕωτονίου A µ και τον κβαντικό αριθµό της ϑα τον ονοµάσουµε υπερφορτίο και ϑα συµ- ϐολίζεται µε Y σε αντιστοιχία µε τον κβαντικό αριθµό του ϕορτίου q. Για να γίνεται σαφές σε ποια συµµετρία αναφερόµαστε, τη συµβολίζουµε ως U1 Y. Ο τοπικός µετασχηµατισµός ϐαθµίδας είναι : και η συναλλοίωτη παράγωγος ϑα είναι : ψ ψ = U Y ψ = e i Y θx 3.57 µ D µ = µ + ig 1 Y B µ

83 3.. Η συµµετρία SU L Η δεύτερη συµµετρία είναι µια εσωτερική συµµετρία ϐαθµίδας SU η οποία συνδέεται πάλι µέσω ϕυσικών επιχειρηµάτων τόσο µε τις ασθενείς όσο και µε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Αρχικά µια εσωτερική συµµετρία SU µε κβαντικό αριθµό το ισχυρό ισοτοπικό σπιν, χρησιµοποιείτο στον τοµέα της πυρηνικής ϕυσικής ώστε να ξεχωρίζει τις δύο καταστάσεις ενός νουκλεονίου : την κατάσταση του πρωτονίου και την κατάσταση του νετρονίου. Επειδή οι µάζες του πρωτονίου και του νετρονίου είναι σχεδόν ίδιες, τα δυο σωµατίδια µπορούν να ϑεωρηθούν σαν εκφυλισµένες καταστάσεις µε ίδια ενέργεια µάζα. Οι ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις αδυνατούσαν να ξεχωρίσουν τις δυο αυτές καταστάσεις. Ετσι, p ως προς κάποια συµµετρία SU το νουκλεόνιο N =, αποτελούσε τη n ϑεµελιώδη αναπαράσταση µε ισχυρό ισοτοπικό σπιν T = 1/, όπου το πρωτόνιο αντιστοιχούσε στην T 3 = 1/ συνιστώσα, ενώ στην T 3 = 1/ συνιστώσα αντιστοιχούσε το νετρόνιο. Η ιδέα αυτή αποτελεί επέκταση της συµπεριφο- ϱάς του ηλεκτρονίου απουσία µαγνητικού πεδίου όπου οι δυο διαφορετικές καταστάσεις του ηλεκτρονίου µε σπιν πάνω και σπιν κάτω είναι εκφυλισµένες. Παροµοίως, µε το ίδιο σκεπτικό, ως προς την ίδια συµµετρία SU, τα πιόνια π ±, π αποτελούσαν την T = 1 αναπαράσταση του ισχυρού ισοτοπικού π 1 σπιν. Ετσι, η κατάσταση του πιονίου γραφόταν σα µια τριπλέτα π = π, όπου τα στοιχεία της αντιστοιχούσαν στις τρεις συνιστώσες T 3 = ±1, ορίζοντας τις καταστάσεις : π ± = 1 π 1 iπ, π = π π 3 σαν τις ηλεκτρικά ϕορτισµένες καταστάσεις. Εµείς εδώ ϑα χρησιµοποιήσουµε τη συµµετρία SU σα συµµετρία ϐαθ- µίδας για την περιγραφή των ασθενών αλληλεπιδράσεων. Για να συµβεί αυτό πρέπει να εισάγουµε τον κβαντικό αριθµό ασθενούς ισοτοπικού σπιν T. Είναι γνωστό ότι ο κβαντικός αριθµός της οµοτιµίας διατηρείται σε όλες τις αλληλεπιδράσεις εκτός από τις ασθενείς. Σε αυτήν την παραβίαση της οµοτιµίας ϐασίζεται η συµπεριφορά των στοιχειωδών σωµατιδίων ως προς τον κβαντικό αριθµό του ασθενούς ισοτοπικού σπιν. Με τη ϐοήθεια των προβολικών τελεστών ξεχωρίζουµε τις κυµατοσυναρτήσεις σε αριστερόστροφο και δεξιόστροφο µέρος. Οι δεξιόστροφες συνιστώσες των σωµατιδίων ύλης λεπτονίων και κουαρκς ψ R = 1 + γ5 ψ

84 αποτελούν τετριµµένες T = αναπαραστάσεις : f i R : e R u R d R µ R c R s R t R t R b R l i R U i R D i R T = 3.61 Οι αριστερόστροφες συνιστώσες των ϕερµιονίων ψ L = 1 γ5 ψ 3.6 αποτελούν τις T = 1/ αναπαραστάσεις εδώ έχουµε χωρίσει τα λεπτόνια από τα κουαρκς: l i L ve e L vµ µ L vτ τ L Q i L u d L c s L t b L T = όπου σε κάθε διπλέτα το πάνω στοιχείο είναι η συνιστώσα T 3 = 1/, ενώ η κάτω είναι T 3 = 1/. Βλέπουµε λοιπόν ότι υπάρχουν τρεις οικογένειες κουαρκ και τρεις λεπτονίων αριστερόστροφων. Τα πεδία ϐαθµίδας Wµ i της SU συµµετρίας ϐαθµίδας αποτελούν την T = 1 αναπαράστασή της. W 1 µ W µ = Wµ T = Wµ 3 και οι ηλεκτρικά ϕορτισµένες καταστάσεις ϑα είναι : W ± µ = 1 W 1 µ iw µ, W µ = W 3 µ 3.65 Μιας και η συµµετρία ϐαθµίδας SU είναι συνδεδεµένη µε τις αριστερόστροφες συνιστώσες των πεδίων ύλης, συµβολίζουµε τη συµµετρία SU L, της οποίας ο τοπικός µετασχηµατισµός είναι : µε συναλλοίωτη παράγωγο ψ ψ = Uψ = e i τ i θ i x ψ 3.66 µ D µ = µ ig τ i W i µ

85 Παρακάτω ϑα γίνει κατανοητό το πώς η συµµετρία SU L συνδέεται µε τις ασθενεις και τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Προς το παρόν, πρέπει να καταστήσουµε σαφή τη σχέση των κβαντικών αριθµών των τριών συµµετριών U1 Q, U1 Y, SU L. Το ηλεκτρικό ϕορτίο συνδέεται µε το ασθενές ισοτοπικό σπιν και το υπερφορτίο µε τη σχέση : Q = T 3 + Y 3.68 όπου η συµµετρία U1 Q µετασχηµατίζει ένα πεδίο : µε συναλλοίωτη παράγωγο : ψ ψ = Uψ = e iqθx ψ 3.69 µ D µ = µ + iqea µ 3.7 Στο προηγούµενο κεφάλαιο, ο µετασχηµατισµός αυτός δινόταν στην εξίσωση.98. Εκεί έλειπε στη διόρθωση της παραγώγου ο παράγοντας Q. Αυτό γιατί µελετούσαµε µόνο το ηλεκτρονιακό πεδίο για το οποίο Q = 1. Επειδή όµως εµείς πλέον ϑέλουµε να ενσωµατώσουµε όλα τα πεδία των λεπτονίων και των κουάρκ, απαιτείται η παρουσία του Q. Συµπερασµατικά, το γινόµενο των δυο συµµετριών ϐαθµίδας που αναλύονται στα δυο τελευταία υποκεφάλαια SU L xu1 Y, αποτελεί το πρώτο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου και περιγράφει τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Το µεγαλείο της ϑεωρίας αυτής ϑα ξεδιπλωθεί αµέσως παράκάτω, µετά την παρεµβολή της τρίτης συµµετρίας στην οποία οφείλουµε να αναφερθούµε Η συµµετρία SU3 c Η τρίτη συµµετρία είναι µια συµµετρία ϐαθµίδας SU3, η οποία είναι επίσης µια εσωτερική συµµετρία ϐαθµίδας που σχετίζεται µε τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Ο κβαντικός αριθµός της συµµετρίας αυτής είναι το χρώµα και χαρακτηρίζει µόνο τα κουάρκ. Το κάθε κουάρκ αποτελεί ένα γραµµικό συνδυασµό από τρία χρώµατα, σχηµατίζοντας έτσι τη ϑεµελιώδη αναπαράσταση ως προς την SU3. Οπότε για κάθε οικογένεια κουαρκ για δεξιόστροφα και αριστερόστροφα σωµατίδια έχουµε : u R u 1, u, u 3 R, d R d 1, d, d 3 R u u1 u f ql = = u 3 d d 1 d d 3 L L 3.71 Τα οκτώ πεδία που αντιστοιχούν στη συµµετρία αυτή είναι τα οκτώ γκλουονια G i µ i = 1,,... 8, και η αντίστοιχη ϑεωρία ϐαθµίδας ονοµάζεται κβαντική χρωµοδυναµική QCD. Συµβολίζεται µε SU3 c και διατυπώθηκε ως ϑεωρία 83

86 ϐαθµίδας των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Αποτελεί το δεύτερο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου. Τα συνηθισµένα αδρόνια απαρτίζονται από συνδυασµούς των κουάρκς τα οποία αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µέσω των γκλουονίων. Κάθε κουάρκ ϕέρει χρώµα, αλλά οι τελικοί συνδυασµοί προκύπτουν άχρωµοι. Για τα κουάρκ υπάρχουν τρία ϐασικά χρώµατα τρεις καταστάσεις, το κόκκινο, το πράσινο και το µπλε. Η πρόσθεση των τριών ϐασικών χρωµάτων δίνει λευκό χρώµα. Σε κάθε ϐασικό χρώµα αντιστοιχεί το συµπληρωµατικό του χρώµα µε την ιδιότητα [ϐασικό χρώµα]+[συµπληρωµατικό χρώµα]=λευκό. Αναλογικά, η πρόσθεση τριών συµπληρωµατικών χρωµάτων, γαλάζιο αντικόκκινο, µατζέντα αντι-πράσινο και κίτρινο αντι-µπλέ δίνει πάλι λευκό χρώµα. Για τα µεσόνια έχουµε τους συνδυασµούς 1/ 3q i q i ενώ για τα ϐαρυόνια 1/ 6ε ijk q i q j q k. Συνεπώς η συµµετρία αυτή χρησιµοποιείται για την περιγραφή των ισχυ- ϱών αλληλεπιδράσεων, µε µετασχηµατισµό µε συναλλοίωτη παράγωγο ψ ψ = Uψ = e iλ i/θ i x 3.7 µ D µ = µ ig 3 λ i Gi µ 3.73 Συνοψίζοντας τα παραπάνω τρία υποκεφάλαια, µπορούµε να πούµε ότι οι ϑεωρίες ϐαθµίδας του καθιερωµένου προτύπου δίνονται από το γινόµενο SU3 c xsu L xu1 Y µε συνολική συναλλοίωτη παράγωγο D µ = µ ig 1 Y B µ ig τ i W i µ ig 3 λ i Gi µ 3.74 Η εξίσωση αυτή συνοψίζει και τα τρία είδη αλληλεπιδράσεων. Η λανγκρατζιανή του καθιερωµένου προτύπου πριν την εφαρµογή του µηχανισµού Higgs, δηλαδή παραλείποντας τους όρους µάζας γράφεται : L SM = 1 4 B µνb µν 1 4 W i µνw µνi 1 4 Gi µνg µνi + f fiγ µ D µ f 3.75 όπου το άθροισµα που περιέχεται στην εξίσωση είναι πάνω σε όλα τα ϕερµιόνια ύλης, µε την προϋπόθεση ότι οι όροι της συναλλοίωτης παραγώγου δρουν πάντα σε ϕερµιόνια ίδιας αναπαράστασης, έτσι ώστε η λανγκρατζιανή να είναι µια αναλλοίωτη ϐαθµωτή ποσότητα. 3.3 Οι ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις - Το µοντέλο των Weinberg-Salam Ας εξετάσουµε αρχικά το πρώτο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου, τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Για την ακρίβεια, η ηλεκτρασθενής αλληλεπίδραση είναι η ενοποιηµένη περιγραφή δύο από τις συνολικά τέσσερις 84

87 ϑεµελιωδών αλληλεπιδράσεων. Παρ ολο που οι δύο αυτές δυνάµεις εµφανί- Ϲονται στο ϕυσικό µας κόσµο µε πολύ διαφορετική συµπεριφορά, στην ουσία αποτελούν τις δύο πλευρές του ίδιου νοµίσµατος. ηλαδή, πέρα από ένα ε- νεργειακό κατώφλι της τάξης των 1GeV, πρόκειται για µια ενιαία δύναµη η οποία όµως κάτω από το κατώφλι αυτό έχει δύο διαφορετικές εκφάνσεις - γεγονός που έχει αποδειχθεί πειραµατικά. Η λανγκρατζιανή που χρησιµοποιούµε εδώ είναι η L = L ύλης kin + Lgauge kin V φ + L Y uk 3.76 η οποία είναι αρκετά σύνθετη, γιάυτό και είναι προτιµότερο να ασχληθούµε µε κάθε όρο ξεχωριστά. Μέσα από αυτήν την ανάλυση ϑα λάβουµε πολλές πλη- ϱοφορίες όπως τη µάζα ϕυσικού πεδίου Higgs, τις µάζες των διανυσµατικών µποζονίων, µάζες ϕερµιονίων κ.ά.. Ο όρος L ύλης kin εµπεριέχει τους κινητικούς όρους των ϕερµιονίων του καθιερωµένου προτύπου. Οι αλληλεπιδράσεις των ϕερµιονίων γίνονται µέσω της συναλλοίωτης παραγώγου, που είναι : D µ = µ i g τ i W i µ ig 1 Y B µ 3.77 όπου το Y/ ϐρίσκεται κάθε ϕορά από την εξίσωση Συνεπώς : Η L ύλης kin ϑα είναι : L ύλης kin = i Q i L γµ µ i g τ i Wµ i i g 1 6 B µ Q i L i + i l i L γµ µ i g τ i W i µ + i g 1 B µ + i l i R γµ µ + ig 1 B µ l i R + iū i R γµ µ i 3 g 1B µ U i R i + i D R γµ µ + i g 1 3 B µd i R + µ i g τ i Wµ i i g 1 B µφ }{{} D µφ D µ φ l i L 3.78 Η L gauge kin ϑα είναι : L gauge kin = 1 4 µw i ν ν W i µ g ε ijk θ j xw k µ 1 4 µb ν ν B µ 3.79 Ο δυναµικός όρος µε τη σειρά του ϑα δίνεται : V φ = µ φ φ + λφ φ, µ >

88 Ο τελευταίος όρος L Y uk είναι : L Y uk = f ij l l i L φlj R + f ij U Q i j L φu R + f ij D i Q L φdj R + h.c και είναι υπεύθυνος για τη γέννηση των ϕερµιονικών µαζών. ηλαδή περιγράφει τη σύζευξη ανάµεσα στο ϐαθµωτό πεδίο Higgs και στα άµαζα ακόµα ϕερµιονικά πεδία. Στο µεθεπόµενο κεφάλαιο ϑα αναλύσουµε τον τρόπο µε τον οποίο συµβαίνει το ϕαινόµενο αυτό. Κατά τα γνωστά, προχωράµε στο αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας. Επειτα από τους διάφορους όρους της λανγκρατζιανής ϑα πάρουµε διάφορα χρήσιµα αποτελέσµατα. Χρησιµοποιώντας σαν το ϐαθµωτό πεδίο µας τη διπλέτα φ + φ = φ = 1 φ1 + iφ 3.8 φ 3 + iφ 4 Ξεκινάµε την ανάλυση για το δυναµικό όρο της λανγκρατζιανής µας V φ. Κατά τα γνωστά, προχωράµε στο αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας και ϐρίσκουµε τη νέα κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. V φ = µ φ + λφ φ = φ µ + λφ φ = φ = ή φ = µ λ φ φ 1 φ 1 + φ + φ 3 + φ 4 = µ λ 3.83 Οπως έχουµε ξαναδεί, ο γεωµετρικός τόπος των ελαχίστων του συστή- µατος µας είναι µια τετραδιάστατη σφαίρα µια υπερσφαίρα. Ενα από τα άπειρα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση της υπερσφαίρας είναι το : φ 1 = φ = φ 4 =, φ 3 = µ λ υ 3.84 Εποµένως, επειδή το πεδίο φ είναι µια διπλέτα, το κενό µας γράφεται : φ υ ιαταράσσουµε το σύστηµα γύρω από το κενό µας, οπότε το πεδίο ϑα είναι : φ = υ + ηx 86

89 και αντικαθιστώντας το στην 3.8 παίρνουµε : V = µ = µ υ + η υ + η υ + η υ + η = µ υ + η + λ υ + η4 4 [ + λ 4 + λ 4 υ + η υ + η [ υ + η υ + η ] ] και κρατώντας µόνο τους τετραγωνικούς όρους ως προς το πεδίο η, δηλαδή τους όρους µάζας, παίρνουµε την έκφραση : V φ = µ η + 3 λυ η = 1 µ η + 3 υ η = 1 µ η + 3 µ υ η = 1 µ η + 3 µ η = µ η 3.87 Οπότε, ταυτοποιώντας παίρνουµε : 1 m h = µ m h = µ. Αυτή είναι η µάζα του ϐαθµωτού πεδίου Higgs. Από τον τελευταίο όρο της 3.78 ϑα πάρουµε τις µάζες των διανυσµατικών µποζονίων. Στην περίπτωση µας το υπερφορτίο είναι ίσο µε τη µονάδα. Οποτε υπολογίζουµε το D µ φ D µ φ D: D = φ µ + ig τ i = 1 µ ig τ i = 1 W µ i + i g 1 B µ µ τ i ig W µi i g 1 Bµ φ τ i υ + η µ + ig W µ i 1 + ig 1 B µ W µi i g 1 Bµ 1 υ + η W µ i + 1 g 1B µ υ + η υ + η g τ i 3.88 όπου στο τελευταίο ϐήµα κρατήσαµε µόνο όρους που δεν περιέχουν παράγωγο. Κρατώντας επίσης και εδώ µόνο τους τετραγωνικούς όρους ως προς τα τέσσερα πεδία ϐαθµίδας ϑα ϐρούµε τις µάζες τους. Οι όροι που µπλέκουν τα πεδία µε το ϐαθµωτό πεδίο για την ώρα µας αφήνουν αδιάφορους. Εποµένως η παραπάνω εξίσωση ϑα γίνει : D = υ 1 g τ i W i µ + 1 g 1B µ

90 Για ευκολία υπολογίζω το άθροισµα των πινάκων ξεχωριστά και έπειτα ϑα το ενσωµατώσω στην παραπάνω σχέση. τ i Wµ i = τ 1 Wµ 1 + τ Wµ + τ 3 Wµ 3 Wµ 3 Wµ 1 iw µ = Wµ 1 + iwµ Wµ 3 g τ i W i µ + g 1 B µ = g W 3 µ + g 1 B µ g W 1 µ iw µ g W 1 µ + iw µ g W 3 µ + g 1 B µ 3.9 Αντικαθιστώντας λοιπόν στην 3.88 τον πίνακα που µόλις ϐρήκαµε, έ- χουµε διαδοχικά : D = υ g Wµ 3 + g 1 g B µ Wµ 1 iwµ 1 g Wµ 1 + iwµ g Wµ 3 + g 1 B µ g Wµ 3 + g 1 B µ g Wµ 1 iwµ g Wµ 1 + iwµ g Wµ 3 + g 1 B µ 1 = υ = υ 8 g W µ1 + iw µ g W µ3 + g 1 B µ g W 1 µ iw µ g W 3 µ + g 1 B µ g W 1 µ + g W µ + g W 3 µ + g 1B µ g 1 g W 3 µb µ Αξιώνω ότι πρέπει η έκφραση D µε την οποία ασχολούµαστε να είναι : 3.91 D = M W W + µ W µ + 1 M ZZ µ Z µ 3.9 ηλαδή, πρέπει να παίρνουµε µια έκφραση κατά την οποία, εν αντιθέσει µε την 3.91, να έχουµε µόνο τετραγωνικούς όρους των πεδίων. Η πα- ϱουσία µη τετραγωνικού όρου ϕανερώνει ότι ο πίνακας µαζών δεν είναι διαγώνιος. Οπότε απαιτώντας η 3.91 να γραφεί στη µορφή της 3.9, στην ουσία διαγωνοποιούµε τον πίνακα των µαζών, ώστε να εξαλείψουµε τους µη τετραγωνικούς όρους και να πάρουµε τις προβλέψεις των µαζών που µας δίνει ο µηχανισµός. Από τη σύγκριση των δυο παραπάνω εξισώσεων, παίρνουµε : M W W + µ W µ = g υ 8 [W 1 µ + W µ ] 3.93 Ορίζοντας λοιπόν, W ± µ = 1 W 1 µ iw µ

91 κάνοντας ουσαστικά µια αλλαγή µεταβλητών η 3.93 γίνεται : M W W + µ W µ = g υ 4 W + µ W µ 3.95 Συνεπώς η µάζα των ϕυσικών µποζονίων W ± µ είναι : M W = g υ 4 M W = gυ 3.96 Επίσης από τις 3.91 και 3.9 προκύπτει ότι ϑα πρέπει : 1 M ZZ µ Z µ = υ g 8 Wµ 3 + g1b µ g 1 g WµB 3 µ = υ 8 g W 3 µ gb µ 3.97 Προκειµένου να γράψουµε την παραπάνω έκφραση σα γινόµενο πινάκων ϑεωρούµε ότι τα πεδία Wµ, 3 B µ αποτελούν τα στοιχεία µιας διπλέτας : W 3 µ. Συνεπώς, η 3.97 γράφεται ισοδύναµα : B µ 1 M ZZ µ Z µ = υ 8 g Wµ 3 g 1 B µ g W µ3 g 1 B µ = υ 8 W 3 µ B µ g g 1 g g 1 g g 1 W µ3 B µ 3.98 Στο σηµείο αυτό ορίζουµε ένα πίνακα στήλη δύο πεδίων Z µ, A µ τα οποία αποτελούν τα ϕυσικά πεδία. Με άλλα λόγια τα δυο αυτά πεδία είναι αυτά τα οποία ϑα προκύψουν αφού απαλλαγούµε από τους µη τετραγωνικούς όρους της Απαιτούµε λοιπόν το µεσαίο πίνακα που είναι ο πίνακας Μ που δίνει τις µάζεις της εξίσωσης 3.98 να είναι διαγώνιος και µάλιστα το στοιχείο M να είναι, αφού ως γνωστό το ϕωτόνιο είναι ένα µποζόνιο άµαζο. 1 M ZZ µ Z µ = M Z µ A Z Z µ µ A µ 3.99 Από τη διαγωνοποίηση λοιπόν του πίνακα Μ της 3.98 ϑα πάρουµε : 1 M ZZ µ Z µ = υ W 3 g 8 µ B g 1 g W µ3 µ g 1 g g1 B µ = υ W 3 8 µ B µ U U 1 g g 1 g }{{} g 1 g g1 U U 1 W µ3 B µ part1 } {{ } part UMU 1 } {{ } part

92 όπου U είναι ένας µοναδιακός πίνακας. Μια εύκολη επιλογή ενός τέτοιου πίνακα είναι ο πίνακας στροφών -µε ϑετική γωνία στροφής-, δηλαδή : cosθ sinθ U = και U 1 cosθ sinθ = 3.11 sinθ cosθ sinθ cosθ Υπολογίζω τα τρία κοµµάτια της 3.1 ξεχωριστά. Για το πρώτο έχου- µε : 1ο κοµµάτι W 3 µ B µ U = W 3 cosθ sinθ µ B µ sinθ cosθ = cosθwµ 3 sinθb µ sinθwµ 3 + cosθb µ 3.1 ο κοµµάτι M υ 8 U 1 MU = υ 8 U 1 g g 1 g g 1 g g1 U = υ cosθ sinθ g g 1 g cosθ sinθ 8 sinθ cosθ g 1 g g1 sinθ cosθ Ο παραπάνω πολλαπλασιασµός πινάκων δίνει τον εξής πίνακα γραµ- µένο στα στοιχεία του : M 11 = υ 8 g cos θ + g 1 g sin θ cos θ + g 1 sin θ M 1 = υ 8 g cos θ sin θ g 1 g cos θ + g 1 g sin θ g 1 cos θ sin θ M 1 = υ 8 g sin θ cos θ + g 1 g sin θ g 1 sin θ cos θ g 1 g cos θ M = υ 8 g sin θ g 1 g sin θ cos θ + g 1 cos θ ο κοµµάτι U 1 W µ3 B µ cosθ sinθ W µ3 = sinθ cosθ B µ cos θw = µ3 + sin θb µ sin θw µ3 + cos θb µ 3.14 Σύµφωνα όµως µε την 3.99 πρέπει όλα τα στοιχεία του πίνακα M να είναι µηδέν, εκτός από το στοιχείο M 11. Επίσης, από την απαίτηση αυτή 9

93 του µηδενισµού των τριών στοιχείων πίνακα παίρνουµε πληροφορίες για τη γωνία θ. M 1 = M 1 = g sin θg cos θ + g 1 sin θ g 1 cos θg cos θ + g 1 sin θ = g cos θ + g 1 sin θg sin θ g 1 cos θ = tan θ = g 1 g 3.15 Η γωνία αυτή είναι γνωστή σα γωνία W einberg ή αλλιώς σα γωνία µίξης των ασθενών αλληλεπιδράσεων, συµβολίζεται µε θ w και πειραµατικά δίνεται έχει ϐρεθεί ότι sin θ w.3. Το ίδιο αποτέλεσµα προκύπτει και από το µηδενισµό του στοιχείου M, γι αυτό και οι πράξεις παραλείπονται. Επίσης, από τη σύγκριση των εξισώσεων 3.99 και 3.1, συµπεραίνουµε ότι : - Zµ A µ = W 3 µ B µ U = 3.1.part Z µ A µ = U 1 W µ3 B µ = 3.1.part και από τα αποτελέσµατα που ϐρήκαµε από τις 3.1 και 3.14, οι παραπάνω εξισώσεις ϑα µας δώσουν το ίδιο αποτέλεσµα : Z µ = cos θ W W 3 µ sin θ W B µ A µ = sin θ W W 3 µ + cos θ W B µ 3.18 Τα αποτελέσµατα των σχέσεων 3.18 και 3.94 αποτελούν τις σχέσεις που συνδέουν τα ϕυσικά πεδία W µ ±, Z µ, A µ µε τα πεδία ϐαθµίδας Wµ 1,, Wµ, 3 B µ, αντίστοιχα. Αν λάβουµε υπ όψη ότι η 3.15 σε συνδυασµό µε την τριγωνοµέτρική ταυτότητα sin θ + cos θ = 1, µας δίνει το ηµίτονο και το συνηµίτονο της γωνίας W einberg, συναρτήσει των σταθερών σύζευξης g 1, g. ηλαδή : sin θ W = g 1 g 1 + g 3.19 cos θ W = g g 1 + g

94 Ετσι, οι εξισώσεις των ϕυσικών πεδίων 3.18 ϑα είναι : Z µ = g W 3 µ g 1 B µ g 1 + g A µ = g 1W 3 µ + g B µ g 1 + g 3.11 Τέλος, όπως είδαµε νωρίτερα, το στοιχείο M 11 του πίνακα M από την εξίσωση 3.13 µας δίνει το τετράγωνο της µάζας του ϕυσικού µποζονίου Z µ : M Z = υ 8 g cos θ W + g 1 g sin θ W cos θ W + g 1 sin θ W = υ 8 g cos θ W + g 1 sin θ W = υ g1 + g 8 g 1 + g M Z = 1 υ g1 + g Από την εξίσωση 3.1 παρατηρούµε ότι ο συντελεστής 1 αποβάλλεται κι έτσι η µάζα του ϕυσικού µποζονίου Z µ ϑα είναι : M Z = υ g 1 + g και η µάζα του ϕωτονίου ίση µε µηδέν, M A =. Αυτό είναι ένα αποτέλεσµα που προέκυψε αλλά δεν αποτελεί πρόβλεψη απλά µια επιβεβαίωση ότι η απαίτηση η µάζα του ϕωτονίου να είναι µηδέν είναι συνεπής. Τέλος, άλλη µια παρατήρηση για τις µάζες των µποζονίων είναι ότι διαιρώντας κατά µέλη τις δυο εξισώσεις 3.96 και προκύπτει : M W M Z = g g1 + g M W = cos θ w M z Η ανισότητα αυτή των µαζών των µποζονίων προκύπτει από την ανάµιξη των W 3 µ και B µ. Στο όριο όπου θ w =, οι µάζες εξισώνονται M Z = M W. Τώρα, µέσω των κινητικών όρων των ϕερµιονίων που δίνονται από τη λανγκρατζιανή 3.78 ϑα ϐρούµε τα ϕορτισµένα αλλά και τα αφόρτιστα ουδέτερα ϱεύµατα. Οι όροι της λανγκρατζιανής που ϑα χρησιµοποιή- 9

95 σουµε είναι : L ύλης kin = i i i Q L γµ µ i g τ i Wµ i i g 1 6 B µ Q i L i l i L γµ µ i g τ i W i µ + i g 1 B µ l i L i l i R γµ µ + ig 1 B µ l i R iū i R γµ µ i 3 g 1B µ U i R i D i R γµ µ + i g 1 3 B µd i R 3.1 Υπολογίζω ξεχωριστά τους διάφορους όρους του αθροίσµατος. Για τα ασθενή isospin-ϱεύµατα της SU ϑα πάρουµε τους όρους και 3.117, χωρίς να συµπεριλάβουµε τους όρους αλληλεπίδρασης µε το B µ. Αυτοί ϑα είναι : Ορος g = g + g + g = g + g + g i Q L γµ τ i WµQ i i L ū d L γµ τ 1 Wµ 1 u d L ū d L γµ τ Wµ u d L ū d L γµ τ 3 Wµ 3 u d L 1 ū d γ µ W 1 u L µ 1 d L i ū d γ µ W u L µ i d 1 ū d γ µ W 3 u L µ 1 d = g d L γ µ u L + ū L γ µ d L W 1 µ + g i d L γ µ u L iū L γ µ d L W µ + g ū Lγ µ u L d L γ µ d L W 3 µ 3.11 L L 93

96 Ορος Παροµοίως : g i l L γµ τ i Wµl i i L = g ē Lγ µ vl e + v Lγ e µ e L Wµ 1 + g iē Lγ µ vl e i v Lγ e µ e L Wµ + g ve Lγ µ vl e ē L γ µ e L Wµ και στα δύο αποτελέσµατα δουλεύουµε µόνο µε την πρώτη οικογένεια των κουάρκ και των λεπτονίων. Κανονικά, τα παραπάνω α- ποτελέσµατα είναι πλήρη όταν προσθέσω τους αντίστοιχους όρους και των άλλων οικογενειών. Εφ οσον η λανγκρατζιανή που περιγράφει την αλληλεπίδραση των µπο- Ϲονίων της ασθενούς αλληλεπίδρασης µε τα ϕερµιόνια γράφεται : L = g j µi W i µ = g j µ1 W 1 µ + g j µ W µ + g j µ3 W 3 µ 3.13 ϑα πρέπει τώρα να ταυτοποιήσουµε το άθροισµα των αποτελεσµάτων 3.11 και 3.1 µε την παραπάνω εξίσωση Συνεπώς τα ϱεύ- µατα j µ1, j µ, j µ3 ϑα δίνονται : j µ1 = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L 3.14 j µ = 1 iē Lγ µ v e L i v e Lγ µ e L + i d L γ µ u L iū L γ µ d L 3.15 j µ3 = 1 ve Lγ µ v e L ē L γ µ e L + ū L γ µ u L + d L γ µ d L 3.16 Οµως, όπως υποδεικνύει η εξίσωση 3.94, η παραπάνω λανγκρατζιανή γράφεται : L = L ch + L unch όπου L ch = g j µ+ W + µ + j µ W µ δηλαδή j µ± = j µ1 ± ij µ 3.17 τη L unch ϑα τη µελετήσουµε αµέσως µετά. Οπότε, τα ϕορτισµένα ϱεύ- µατα ϑα είναι σύµφωνα µε την εξίσωση 3.17: j µ+ = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L ē L γ µ v e L + v e Lγ µ e L d L γ µ u L + ū L γ µ d L j µ+ = v e Lγ µ e L + ū L γ µ d L j µ = 1 ē Lγ µ v e L + v e Lγ µ e L + d L γ µ u L + ū L γ µ d L + ē L γ µ v e L v e Lγ µ e L + d L γ µ u L ū L γ µ d L j µ = ē L γ µ v e L + d L γ µ u L

97 Η L unch εµπεριέχει την αλληλεπίδραση του j µ3 µε το Wµ 3 αλλά επίσης και την αλληλεπίδραση του Υυπερφορτίου-ϱεύµατος της U1 µε το B µ, όπως ϕαίνεται στην παρακάτω εξίσωση : L unch = g j µ3 W 3 µ + g 1 jµy B µ 3.19 ενώ η 3.19 στη ϕυσική ϐάση γράφεται : L nb unch = ejµ ema µ + g cos θ w j µ o Z o µ 3.13 Πριν συνεχίσουµε, πρέπει από τη L ύλης ως 3.1, να συµπεριλάβουµε όλους τους όρους αλληλεπίδρασης που περιέχουν το B µ, όπως είναι λογικό αφού ψάχνουµε ϱεύµατα που προκύπτουν από τη ϑεωρία U Y 1 της οποίας το µποζόνιο ϐαθµίδας είναι το B µ. όρος όρος όρος όρος όρος 3.1 Q i g L γµ 1 6 B µq i L = ū d g L γµ 1 u 6 B µ d = g 1 6 ū Lγ µ B µ u L + d L γ µ B µ d L = g 1 6 ū Lγ µ u L + d L γ µ d L B µ i l g L γµ 1 B µl i L = v e ē g L γµ 1 v B e µ e = g 1 ve Lγ µ B µ v e L + ē L γ µ B µ e L = g 1 ve Lγ µ v e L + ē L γ µ e L B µ 3.13 l i R γµ g 1 B µ l i R = g 1ē R γ µ B µ e R = g 1 ē R γ µ e R B µ Ū i R γµ 3 g 1B µ U i R = 3 g 1ū R γ µ B µ u R = 3 g 1ū R γ µ u R B µ D i R γµ g 1 3 B µd i R = g 1 3 d Rγ µ B µ d R g 1 3 d Rγ µ d R B µ L L 95

98 Οπότε, όπως ϕαίνεται από την 3.19, η συνολική έκφραση για το ϱέυµα j µy είναι : j µy = 1 ū Lγ µ u L + d L γ µ d L v e Lγ µ v e L ē L γ µ e L ē R γ µ e R + 4 3ūRγ µ u R 3 d R γ µ d R Επίσης, πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση 3.17 από αριστερά επί U, ϐρίσκουµε δυο χρήσιµες εκφράσεις των πεδίων ϐαθµίδας W 3 µ, B µ συναρτήσει των ϕυσικών πεδίων Z µ, A µ : Z µ A µ = U 1 W µ3 B µ W µ3 Z µ = U B µ A µ W µ3 B µ cosθ sinθ = sinθ cosθ Z µ A µ W 3 µ = cos θz µ + sin θa µ B µ = sin θz µ + cos θa µ Αν αντικαταστήσουµε τις δυο παραπάνω εκφράσεις των πεδίων ϐαθµίδας στην 3.19, τότε ϑα πάρουµε : L unch = g j µ3 cos θz µ + sin θa µ + g 1 jµy sin θz µ + cos θa µ = g j µ3 sin θ + g 1 jµy cos θa µ + g j µ3 cos θ g 1 jµy sin θz µ Επειδή το A µ αποτελεί το πεδίο του ϕωτονίου, οι εκφράσεις g sin θj µ3 και g 1 cos θ ϑα πρέπει να συµπίπτουν µε την έκφραση ej µ3 A µ του η- λεκτροµαγνητισµού που δίνει την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονιακού ϱεύµατος µε ένα ϕωτόνιο. Ταυτοποιώντας παίρνουµε ότι e = g sin θ = g 1 cos θ 3.14 κι έτσι η γίνεται µέσω της 3.14: L unch = ej µ3 + e jµy A µ + g cos θj µ3 sin θ j µy Z µ cos θ Ταυτοποιώντας λοιπόν την εξίσωση µε τη λανγκρατζιανή των ουδέτερων ϱευµάτων στη ϕυσική ϐάση της εξίσωσης 3.13 ϐρίσκουµε δυο 96

99 εκφράσεις για το ουδέτερο και το ηλεκτροµαγνητικό ϱεύµα. j µ em = j µ3 + 1 jµy και 3.14 j o µ = cos θj µ3 sin θ j µy Λύνοντας την 3.14 ως προς το j µy, η γίνεται : j o µ = cos θj µ3 sin θ j em µ j µ3 j o µ = cos θj µ3 sin θj em µ + sin θj µ 3 j µ o = j µ3 sin θj µ em Οπότε, έχουµε ϐρει δύο εξισώσεις για το αφόρτιστο ϱεύµα, τις και Τέλος, αν αντικαταστήσουµε στην τα αποτελέσµατα 3.16 και ϐρίσκουµε το ουδέτερο ϱεύµα που αντιστοιχεί : j µ = cos θ v e Lγ µ vl e ē L γ µ e L + ū L γ µ u L + d L γ µ d L sin θ ū L γ µ u L + 4 d L γ µ d L v Lγ e µ vl e ē L γ µ e L ē R γ µ e R + 4 3ūRγ µ u R 3 d R γ µ d R Ανακεφαλαιώνοντας, από τη λανγκρατζιανή που αποτελείται από τους κινητικούς όρους των ϕερµιονίων καταφέραµε να ϐρούµε τα ϕορτισµένα και τα ουδέτερα ϱεύµατα που δηµιουργούνται λόγω της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης. Τέλος, από τον όρο 3.81 της συνολικής λανγκρατζιανής 3.76, ϑα δού- µε τον τρόπο µε τον οποίο αποκτούν µάζα τα ϕερµιόνια στο καθιερωµένο πρότυπο. Η διαδικασία είναι παρόµοια µε αυτή όπου τα µποζόνια λαµ- ϐάνουν τη µάζα δηλαδή, ϑα χρησιµοποιήσουµε το µηχανισµό Higgs. Ετσι µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας SU L xu1 Y ϑα ανακύψουν οι όροι µάζας των ϕερµιονίων. Η µορφή των όρων αλληλεπίδρασης ϕερµιονίων-ϐαθµωτών πεδίων είναι γνωστή σαν αλληλεπίδραση Yukawa, και οι σταθερές σαν σταθερές Ϲεύξης Yukawa. Ετσι, για την πρώτη οικογένεια λεπτονίων οµοίως και για τις άλλες δύο, χρησιµοποιώντας πάλι τη γνωστή διπλέτα 3.8 για το ϐαθµωτό µας πεδίο, γράφουµε τη λανγκρατζιανή : [ L l Y uk = f e 11 v e ē φ + L φ o e R + ē R φ φo v e e ] L

100 Ακολουθούµε τη γνωστή διαδικασία ελαχιστοποίησης του δυναµικού για την εύρεση του νέου κενού και µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας παίρνουµε µια διαταραχή Hx - το ϕυσικό πεδίο Higgs- γύρω από την αναµενόµενη τιµή του κενού υ. Το πεδίο µας ϑα είναι τώρα : φ o = 1 υ φ = 1 υ + Hx Συνεπώς, αντικαθιστώντας το διαταραγµένο πεδίο φ, στη λανγκρατζιανή 3.146, ϑα καταλήξουµε στην εξαγωγή όρου µάζας : L l Y uk = f e 11 [ v e ē L υ + H e R + ē R = f e 11 [ē L υ + He R + ē R υ + He L ] υ + H v e = f e 11 υ [ē L e R + ē R e L ] + f e 11 H [ē L e R + ē R e L ] e L ] Ο πρώτος όρος της παραπάνω εξίσωσης είναι όρος µάζας και αυτή προκύπτει : m e = f e 11 υ Αν ϑεωρήσουµε ότι m e ēe = m e ē L e R +ē R e L, το παραπάνω αποτέλεσµα γράφεται : L l Y uk = m eēe + m e υ m eēeh 3.15 Ο δεύτερος όρος της τελευταίας εξίσωσης, 3.15, παρουσιάζει µια σύ- Ϲευξη του ηλεκτρονίου µε το ϐαθµωτό πεδίο Higgs. Επειδή όµως η σταθερά σύζευξης m e /υ είναι πολύ µικρή και συνεπώς δε παράγει κάποιο ανιχνεύσιµο ϕαινόµενο στις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις. Αντίστοιχα αποτελέσµατα ϑα προκύπτουν και για τις άλλες δύο οικογένειες λεπτονίων για την ακρίβεια για τα άλλα δύο ϕορτισµένα λεπτόνια. Οι µάζες των κουάρκ αναδεικνύονται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως αυτές των ϕορτισµένων λεπτονίων. Αρχικά ϑα ασχοληθούµε µε την πα- ϱαγωγή µάζας των κάτω στοιχείων των οικογενείων των κουάρκ d, s, b και έπειτα µε την παραγωγή µάζας των u, c, t, αφού για αυτή την πε- ϱίπτωση πρέπει να σηµειώσουµε κάποια αλλαγή. [ L d Y uk = f 11 φ + d ū d L φ o d R + d R φ φo u d ] L

101 Μετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας προκύπτουν οι µάζες των κουάρκ µε την αρνητική συνιστώσα 1/ ισοσπίν, επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία από την οποία προέκυψε η µάζα του ηλεκτρονίου στην ακριβώς προηγούµενη περίπτωση. Οπότε : L d Y uk = f 11 d υ [ dl d R + d R d L ] + f 11 d H [ dl d R + d R d L ] 3.15 Πάλι, ο πρώτος όρος µας δίνει τη µάζα του d κουάρκ m d = f 11 d υ Εποµένως, η 3.15 γράφεται στη µορφή L d Y uk = m d dd + m d υ ddh Τα κουάρκ µε ϑετική συνιστώσα ισοσπίν αποκτούν µάζα µε τον ίδιο µηχανισµό µόνο που εδώ εισέρχεται ένα νέο στοιχείο. Για τη δηµιουργία µάζας των κουαρκ u, c, t, µέσω του πεδίου φ, ϕτιάχνουµε µια νέα διπλέτα για πεδίο Higgs. φ = iτ φ = i i i = 1 1 φ + φ o 1 φ1 iφ φ 3 iφ 4 i = i i = 1 φ3 iφ 4 φ 1 iφ 1 φ1 iφ φ 3 iφ 4 = φo φ Το πεδίο φ µετασχηµατίζεται κάτω από τους SU L xu1 Y µετασχη- µατισµούς ακριβώς το ίδιο µε τη µόνη διαφορά ότι έχει αντίθετο ασθενές υπερφορτίο, Y = 1. Γιάυτό και µπορούµε να το χρησιµοποιήσουµε για να χτίσουµε µια gauge-αναλλοίωτη συνεισφορά στη λανγκρατζιανή. Κατασκευάζουµε λοιπόν τη λανγκρατζιανή από όπου ϑα πάρουµε τις µά- Ϲες των u, c, t κουαρκ και µετά το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας ϑα έχουµε. [ ] L u Y uk = f u 11 φo ū d u R + ū R φ o L φ = f u 11 [ υ + H ū d L u R + ū R υ + H φ + u d u d = f u 11 υ [ū L u R + ū R u L ] + f u 11 [ū L u R + ū R u L ] H L L ] 99

102 Συνεπώς, ο όρος µάζας προκύπτει m u = f u 11 υ και η παραπάνω λανγκρατζιανή ϑα είναι L u Y uk = m uūu + m u ūuh υ Συµπερασµατικά, η συνολική λανγκρατζιανή των ϕερµιονίων των οικογενειών v e u f e L = e f ul = d L L ϑα είναι L f,h = m e ēe + m d dd + mu ūu + m e υ ēeh + m d υ ddh + m u ūuh 3.16 υ Οι σταθερές σύζευξης f 11 l, f 11 d, f u 11, οι οποίες εµπλέκονται στις εκ- ϕράσεις των µαζών είναι αυθαίρετες, εποµένως οι µάζες δεν µπορούν να προβλεφθούν. Επίσης οι όροι στις λανγκρατζιανές που υποδεικνύουν την αλληλεπίδραση των ϕερµιονίων µε το πεδίο Higgs συζευγνύονται µε σταθερά η οποία εξαρτάται από τη µάζα. Συνεπώς, είναι προφανές ότι τα ϐαρύτερα ϕερµιόνια αλληλεπιδρούν ισχυρότερα µε το ϐαθµωτό πεδίο H. 3.4 Φερµιονικές µάζες - ανάµιξη γενιών Στην περίπτωση των λεπτονίων η σύζευξη µε το µποζόνιο W ± πραγµατοποιείται µόνο εντός µιας συγκεκριµένης οικογένειας. Πιο συγκεκριµένα, στη ϕύση πραγµατοποιούνται αλληλεπιδράσεις του είδους e v e + W µ v µ + W τ v τ + W αλλά δεν έχει παρατηρηθεί κάποια αλληλεπίδραση του τύπου e v τ + W που σηµαίνει ότι στη ϕύση δεν απαντώνται αλληλεπιδράσεις κατά τις οποίες αναµιγνύονται οι οικογένειες. Το ϕαινόµενο αυτό αποτυπώνεται µαθηµατικά µε τη διατήρηση του λεπτονικού αριθµού ηλεκτρονίου, µιονίου και ταυ αντίστοιχα. 1

103 Παρά την παρόµοια κατηγοριοποίηση των κουάρκ σε τρεις οικογένειες διπλέτες, η σύζευξη τους µε το W δε σέβεται το ξεχωριστό των οικογενειών. εν υπάρχει δηλαδή η διατήρηση κάποιου αριθµού που να απαγορεύει την ανάµιξη των γενιών. Ενδεικτικά, η διάσπαση β n p + e + v e κατά την οποία ένα νετρόνιο µετατρέπεται σε ένα πρωτόνιο, σε επίπεδο κουάρκ γράφεται : d u + W Η διάσπαση αυτή όπως ϕαίνεται υπακούει τη διατήρηση της οικογένειας, όπως ακριβώς συνέβαινε και στην περίπτωση των λεπτονίων. Ωστόσο, υπάρχουν και κάποιες ασθενείς αλληλεπιδράσεις όπως η διάσπαση του Λ, Λ p + e + v e, η οποία σε επίπεδο κουάρκ γράφεται s u + W και αποτελεί απόδειξη ότι στις W ± ασθενείς αλληλεπιδράσεις δε διατηρείται η γεύση. Στην προηγούµενη υποπαράγραφο, καταλήξαµε στις εξισώσεις 3.18 και οι οποίες µας πληροφορούν ότι τα ασθενή ϱεύµατα ϕορτισµένα και α- ϕόρτιστο δεν επιτρέπουν τη σύζευξη µεταξύ δύο κουάρκ διαφορετικής γεύσης. Αυτό συνέβη γιατί, όπως ϕαίνεται και στην 3.16, ο τρόπος που γράψαµε τη λανγκρατζιανή είναι τέτοιος ώστε να εννοείται ότι ο πίνακας µαζών είναι διαγώνιος στη ϐάση των ϱευµάτων, πράγµα που δεν ισχύει αφού όπως είδαµε παραπάνω η ανάµιξη των οικογενειών έχει παρατηρηθεί πειραµατικά. Αυτό σηµαίνει ότι ενώ δουλεύουµε στη ϐάση των ϱευµάτων, έχουµε υπολογίσει τις µάζες σαν να ήτανε στη δική τους ϕυσική ϐάση. Οπότε αυτό που πρέπει να κάνουµε είναι να διαφοροποιήσουµε τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας στη ϕυσική ϐάση των µαζών από αυτές της αλληλεπίδρασης στη ϐάση των ϱευµάτων. Με τις ιδιοκαταστάσεις της πρώτης περιγράφουµε ένα κουάρκ όταν διαδίδεται ελεύθερο, ενώ µε της δεύτερης περιγράφουµε το κουάρκ κατά την αλληλεπίδραση. Η εναλλαγή ανάµεσα σε αυτά τα δυο είδη καταστάσεων γίνεται µέσω του πίνακα Cabibo-Kombayashi-Maskawa. Ο πίνακας αυτός είναι µοναδιακός και δίνει τις απαραίτητες πληροφορίες για τη δύναµη των διασπάσεων που αλλάζουν τη γεύση. Ας πάρουµε όµως τις ανακαλύψεις µε την ιστορική τους σειρά. Τη χρονική περίοδο κατά την οποία έχουν ανακαλυφθεί µόνο οι δύο πρώτες οικογένειες κουαρκ, ο Cabibo πρότεινε 1963 ότι τα d και s κουάρκ που λαµβάνουν µέρος στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις αναµιγνύονται και µάλιστα έχουν µια στροφή ανάµιξης θ c. Με άλλα λόγια η γωνία αυτή, σχετίζεται µε την πιθανότητα παραδείγµατος χάρη το u κουάρκ να διασπάται στο d ή στο s. ηλαδή, το κουάρκ που αλληλεπιδρά µε το u µέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων δεν είναι µόνο το d ή το s αλλά ένας γραµµικός συνδυασµός τους. d = d cos θ c + s sin θ c και s = d sin θ c + s cos θ c

104 Η γωνία Cabibo αντιπροσωπεύει τη στροφή του διανύσµατος της ιδιοκατάστασης της µά- Ϲας στη ϐάση των ιδιοκαταστάσεων της µάζας σε ένα διάνυσµα της ασθενούς ιδιοκατάστασης στη ϐάση των ασθενών καταστάσεων. Η γωνία έιναι θ c = 13.4 Η γωνία Cabibo αντιπροσωπεύει τη στροφή του διανύσµατος της ιδιοκατάστασης της µάζας στο διανυσµατικό χώρο που σχηµατίζεται από τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας σε ένα διάνυσµα της ασθενούς ιδιοκατάστασης που σχηµατίζεται από τις ασθενείς καταστάσεις. Η γωνία έιναι θ c = 13.4 d Οπότε αν συµβολίσουµε µε s τις ιδιοκαταστάσεις των ασθενών αλληλεπιδράσεων τις ιδιοκαταστάσεις στο χώρο των ϱευµάτων για τις T 3 = 1 συνιστώσες των κουάρκ των δύο οικογενειών, η σύνδεση τους µε τις ιδιοκαταστάσεις της µάζας τις ιδιοκαταστάσεις στο ϕυσικό χώρο, ϑα είναι η d s γραµµένη µε τη µορφή πινάκων : d cosθc sin θ s = c d 3.16 sinθ c cosθ c s Συνεπώς, το W συζευγνύεται µε τις στραµµένες κατά Cabibo" καταστάσεις u c d και s ακριβώς όπως πράττει και µε τα λεπτονικά Ϲευγάρια. Ε- ποµένως οι συζεύξεις µε τα ϕυσικά κουάρκ ϑα είναι : u u c c d = και d cos θ c + s sin θ c s = d sin θ c + s cos θ c Ενα πολύ σηµαντικό Ϲήτηµα είναι ότι η στροφή δεν επηρεάζει τη δοµή των ασθενών ϱευµάτων. Αν πάρουµε λοιπόν την έκφραση που έχουµε ϐρει νω- ϱίτερα για το ουδέτερο ϱεύµα, 3.145, συµπεριλαµβάνοντας µόνο τους όρους 1

105 που µας ενδιαφέρει στο παρόν εδάφιο, j o µ = cos θ dl γ µ d L + s L γ µ d L + s L γ µ s L sin θ d L γ µ d L + s L γ µ d L + s L γ µ s L 3 4 d R γ µ d R 3 s Rγ µ s R και αντικαταστήσουµε d d και s s τότε αποδεικνύεται ότι η έκφραση ϑα παραµείνει αναλλοίωτη : j o µ = cos θ w [ dl cos θ c + s L sin θ c γ µ d L cos θ c + s L sin θ c + d L sin θ c + s L cos θ c γ µ d L sin θ c + s L cos θ c ] + sin θ w [ dl cos θ c + s L sin θ c γ µ d L cos θ c + s L sin θ c 4 + d L sin θ c + s L cos θ c γ µ d L sin θ c + s L cos θ c 3 d R cos θ c + s R sin θ c γ µ d R cos θ c + s R sin θ c 3 d R sin θ c + s R cos θ c γ µ d R sin θ c + s R cos θ c ] = cos θ w [ cos θ c dl γ µ d L + sin θ c s L γ µ s L + sin θ c cos θ c s L γ µ d + sin θ c cos θ c dl γ µ s L + sin θ c dl γ µ d L + cos θ c s L γ µ s L sin θ c cos θ c dl γ µ s sin θ c cos θ c s L γ µ d ] + sin θ w 4 [...] = j µ o όπου επίσης η παράσταση που παραλείψαµε προφανώς δίνει αναλλοίωτο αποτέλεσµα. Η απουσία µεταβάσεων ουδέτερων ϱευµάτων αλλαγής του κβαντικού αριθµού της γεύσης F CN C αποτελεί, εκτός από ϑεωρητική πρόβλεψη, πει- ϱαµατική απόδειξη. Οι Glashow- Ηλιόπουλος- Maiani διατύπωσαν τον οµώνυµο GIM µηχανισµό, ο οποίος περιγράφει το πως καταπιέζονται η µετάβαση µέσω ουδέτερων ϱευµάτων καθώς και οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις µε µεταβολή της παραδοξότητας ίση µε S =. Οι τρεις επιστήµονες, από τα πειράµατα γνωρίζαν δύο σηµαντικά πράγµατα. Πρώτον, ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις στις οποίες αλλάζει η γεύση εδώ συγκεκριµένα η παραδοξότητα, αλλάζει µόνο κατά µία µονάδα και δεύτερον ότι οι επιτρεπόµενες αλληλεπιδράσεις κατα τις ο- ποίες παρατηρείται f lavour = 1 λαµβάνουν χώρα µόνο µέσω µεταβάσεων ϕορτισµένων ϱευµάτων. Επειδή όµως τα παρατηρούµενα ϕορτισµένα ϱεύµατα δε συµφωνούσαν µε τη ϑεωρία, στηρίχθηκαν στην απουσία των µεταβάσεων ουδέτερων ϱευµάτων αλλαγής του κβαντικού αριθµού της γεύσης F CN C και διατύπωσαν ότι οι στραµµένες καταστάσεις των κουάρκ d, s κατά γωνία 13

106 Cabibo εξισώσεις 3.161, µε την εισαγωγή ενός τέταρτου κουάρκ, διορθώνουν το ϱεύµα και οι υπολογισµοί δίνουν το παρατηρούµενο. Ενώ αρχικά η εισαγωγή ενός τέταρτου κουάρκ παραξένεψε την επιστηµονική κοινότητα, τέσσερα χρόνια µετά την πρόβλεψη, η ανακάλυψη του κουάρκ c επιβεβαίωσε την εγκυρότητα του µηχανισµού. Στο καθιερωµένο πρότυπο η παρουσία τρίτης οικογένειας κουάρκ αναδεικνύει την ανάγκη για την ύπαρξη ενός 3x3 µοναδιακού πίνακα ως επέκταση του x πίνακα στην περίπτωση δύο οικογενειών ο οποίος περιέχει πληροφο- ϱίες για την δύναµη των ασθενών διασπάσεων αλλαγής γεύσης. Οπως έχουµε δει παραπάνω οι ιδιοκαταστάσεις των κουάρκ στη ϕυσική ϐάση όταν διαδίδονται ελεύθερα δε συµµετέχουν ατόφιες στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Ο µοναδιακός µετασχηµατισµός πίνακας που εξηγεί αυτό το κακοταίριασµα και συνδέει τις κβαντικές ιδιοκαταστάσεις των δυο ϐάσεων ϕυσικής-ϱευµάτων, αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα Cabibo-Kombayashi-Maskawa. Συµβατικά, επιλέγουµε τα κουάρκ u, c, t ως τις καθαρές καταστάσεις και τα d, s, b είναι τα κουάρκ των οποίων οι καταστάσεις αναµιγνύονται µέσω του µετασχηµατισµού : d d V ud V us V ub d s = V s = V cd V cs V cb s b b V td V ts V tb b Το αριστερό µέλος της παραπάνω εξίσωσης τα στοιχεία του διανύσµατος α- ποτελούνται από τα ταίρια των πάνω-είδους κουάρκ στη ϐάση των ϱευµάτων και στο δεξί µέλος ϐρίσκεται ο πίνακας µετασχηµατισµού πολλαπλασιασµένος από ένα διάνυσµα του οποίου τα στοιχεία είναι τα ίδια όµως στη ϕυσική ϐάση. Για να παραµετροποιήσουµε τον παραπάνω πίνακα 3.166, είναι απα- ϱαίτητο να ϐρούµε τον αριθµό παραµέτρων του πίνακα που εµφανίζονται στα πειράµατα και άρα έχουν µεγάλη ϕυσική σηµασία. Εχοντας λοιπόν N g οικόγενειες N g γεύσεις, τότε : Ενας NxN µοναδιακός πίνακας U U = 1 απαιτεί Ng πραγµατικές παραµέτρους να προσδιοριστούν. Κανονικά απαιτεί Ng αλλά λόγω µοναδιακότητας ανάγεται σε Ng. N g 1 είναι οι σχετικές ϕάσεις µεταξύ των πεδίων των διάφορων κουάρκ. Συνεπώς οι πραγµατικά παρατηρήσιµες παράµετροι, ανεξάρτητες από την επιλογή ϐάσης, ϑα είναι : N g N g 1 = N g 1. Από αυτές οι N g N g 1/ είναι γωνίες περιστροφής και λέγονται γωνίες ανάµιξης των οικογενειών. Οι υπόλοιπες N g 1N g / είναι µιγαδικές ϕάσεις οι οποίες είναι υπεύθυνες για την παραβίαση της συµµετρίας CP. Οπότε για N g = 3 προκύπτουν τα απαραίτητα στοιχεία για την παραµετροποίηση του πίνακα C K M. Επίσης, παρακάτω παραθέτουµε και 14

107 τα αποτελέσµατα για τις περιπτώσεις N g = 1 και N g = από όπου ϑα προκύψουν ένα τετριµµένο αποτέλεσµα και το αποτέλεσµα που πήραµε παραπάνω από το µηχανισµό Cabibbo-GIM, αντίστοιχα. Οι τρεις περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες. - Για N g = 1 N g 1 =, που σηµαίνει ότι δεν παίρνουµε κα- u µία πραγµατική παράµετρο γεγονός το οποίο συνεπάγεται µόνο d σύνδεση χωρίς ανάµιξη οικογενειών. - Για N g = N g 1 = 1, που σηµαίνει ότι έχουµε µία πραγ- µατική παράµετρο, τη γωνία Cabbibo, θ c. Ο µετασχηµατισµός που προκύπτει είναι ο πίνακας στην εξίσωση Για N g = 3 N g 1 = 4, που σηµαίνει ότι έχουµε N g N g 1/ = 3 τρεις πραγµατικές γωνίες περιστροφής και N g 1N g / = 1 µια µιγαδική ϕάση. Ετσι η καθιερωµένη παραµετροποίηση του πίνακα µετασχηµατισµού χρησιµοποιεί τις τρεις γωνίες του Euler και τη γωνία δ 13. V = 1 c 3 s 3 s 3 c 3 c 13 s 13 e iδ 13 1 s 13 e iδ 13 c 13 c 1 s 1 s 1 c 1 1 = c 1 c 13 s 1 s 13 s 13 e iδ s 1 c 3 c 1 s 3 s 13 e iδ 13 c 1 c 3 s 1 s 3 s 13 e iδ 13 s 3 c 13 s 1 s 3 c 1 c 3 s 13 e iδ 13 c 1 s 3 s 1 c 3 s 13 e iδ 13 c 3 c όπου, c ij = cos θ ij, s ij = sin θ ij και δ 13 παραµετροποιεί τη CP. Οι γωνίες θ 1, θ 3, θ 13 ονοµάζονται γωνίες µίξης. Προφανώς, η θ 1 είναι η γωνία Cabibbo θ c. Ανακεφαλαιώνοντας, αν αντικαταστήσουµε στην τον πίνακα της τότε παίρνουµε τους γραµµικούς συνδυασµούς των κάτω-είδους κουάρκ όταν αλληλεπιδρούν ασθενώς. Τα στοιχεία του πίνακα CKM δίνει τα διαφορετικά κανάλια τα οποία ακολουθεί η διάσπαση του κάθε κουάρκ. Η ένταση µε την οποία πραγµατοποιείται το κάθε κανάλι ϕαίνεται στην παρακάτω εικόνα : 15

108 Εικονική αναπαράσταση των διαφορετικών τρόπων διάσπασης των 6 κουάρκ µε τις µάζες να αυξάνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά 3.5 Εύρεση γωνίας Cabibbo συναρτήσει των ϕυσικών µαζών των κουάρκ Ενα σηµαντικό αποτέλεσµα που µπορούµε να εξάγουµε για τη γωνία Cabibbo, το οποίο ϐοηθάει στην προσέγγιση της τιµής της, είναι να δίνεται συναρτήσει των µαζών των κουάρκ, που µπορούµε να τις ϐρούµε πειραµατικά. Ετσι λοιπόν, στην περίπτωση όπου υπάρχουν µόνο δυο οικογένειες κουάρκ N g = u d f ul = και f c dl = s L L µε αντίστοιχους πίνακες µαζών στη ϐάση των ϱευµάτων : n m M U = n n και M D = m m Η λανγκρατζιανή που εµπεριέχει τους όρους µάζας των κουάρκ στη ϐάση των αλληλεπιδράσεων είναι : L = d s L M d D + ū s c L M u U + h.c c R R Τώρα ορίζουµε κάποιους συµβολισµούς προς αποφυγή συγχυσεων : P L, P R : Τα ιδιοδιανύσµατα των στραµµένων κουάρκ της δεύτερης οικογένειας στη ϐάση των ϱευµάτων d d P L = και P R = s L s R 16

109 N L, N R : Τα ιδιοδιανύσµατα των στραµµένων κουάρκ της πρώτης οικογένειας στη ϐάση των ϱευµάτων u u N L = και N R = 3.17 c L p L, p R : Τα ιδιοδιανύσµατα των κουάρκ της δεύτερης οικογένειας στη ϕυσική ϐάση d d p L = και p s R = s L n L, n R : Τα ιδιοδιανύσµατα των κουάρκ της πρώτης οικογένειας στη ϕυσική ϐάση u u n L = και n c R = c L U p, V p : Πίνακες στροφής Cabbibo της εξίσωσης 3.16 για τα κουαρκ της δεύτερης οικογένειας. Για τους δυο αυτούς πίνακες ισχύει U p = V p και αφού είναι µοναδιακοί U 1 p c = V 1 p = U p = V p. U N, V N : Αντίστοιχοι πίνακες στροφής Cabbibo για τα κουαρκ της πρώτης οικογένειας. Για τους δυο αυτούς πίνακες ισχύει U N = V N και αφού είναι µοναδιακοί U 1 N = V 1 N = U N = V N. Οπότε σύµφωνα µε όσα µελετήσαµε στο προηγούµενο υποκεφάλαιο, οι διπλέτες των κουάρκ των δύο διαφορετικών ϐάσεων ϑα δίνονται ως εξής : P L = U p p L P R = V p p R N L = U N n L N R = V N n R Η λανγκρατζιανή 3.17 γράφεται συνεπώς σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς : L = P L M D P R + N L M U N R = P L U p Up 1 M D V p Vp 1 P R + N L U N U 1 N M UV N V 1 N N R = p L Up 1 M D V p p R + n L U 1 N M UV N n R Οι δύο όροι της τελευταίας εξίσωσεις που ϐρίσκονται εντός παρενθέσεων, συµπίπτουν µε τη διαγωνοποίηση των πινάκων των µαζών. Ο πίνακας που ϑα προκύψει µετά τους πολλαπλασιασµούς ϑα απαιτήσουµε να είναι διαγώνιος. Για τον πρώτο υπογραµµισµένο όρο της λανγκρατζιανής έχουµε : Up 1 M D V p = Up 1 c s m c s M D U p = s c m m s c scm + s = m c s m scm c s m scm scm + c m R R R 17

110 όπου στην παραπάνω εξίσωση για οικονοµία ϑέσαµε c = cos θ, s = sin θ. Τώρα επιβάλουµε την απαίτηση ο πίνακας αυτός να είναι διαγώνιος, δηλαδή : md scm + s = m c s m scm m s c s m scm scm + c m Εξισώνοντας τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο πινάκων και αφού λύσουµε το σύστηµα προκύπτει ότι tan θ 1 = m d m s 3.18 Παροµοίως, ο δεύτερος υπογραµµισµένος όρος της λανγκρατζιανής ϑα δώσει : tan θ = m u m c Πλεόν, για τη γωνια Cabibbo παίρνουµε : U = U pu c1 s N = 1 c s s 1 c 1 s c c1 c = + s 1 s c 1 s s 1 c c1 s = 1 s 1 c s c 1 s 1 s + c 1 c s 1 c Εποµένως η γωνία Cabibbo, γνωρίζοντας τις µάζες των κουάρκ υπολογίζεται θ c = θ 1 θ 13 o 3.6 Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις Οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις που µελετήσαµε παραπάνω αποτελούν το ένα µόνο κοµµάτι του καθιερωµένου προτύπου. Το δεύτερο, και τελευταίο, είναι αυτό των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Η λανγκρατζιανή που δίνει την αλληλεπίδραση των κουάρκ µε τα γκλουόνια είναι : L si = g 3 q αγ µ λ αβ i q β G i µ i = 1,..., όπου α, β = 1,, 3, τα τρία χρώµατα ενός οποιουδήποτε κουάρκ. Κατά τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, το χρώµα ενός κουάρκ µπορεί να αλλάξει. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το γκλουόνιο έχει την ιδιότητα να µεταφέρει χρώ- µα, το οποίο αποτελείται από µια µονάδα χρώµατος και µια αντιχρώµατος το χρώµα διατηρείται όπως το ηλεκτρικό ϕορτίο. Παραδείγµατος χάρη, έστω ένα αδρόνιο που αποτελείται από τρία κουαρκ τα οποία ϕέρουν το καθένα από ένα ϐασικό χρώµα. Το κουάρκ που έχει χρώµα µπλε, µπορεί να αλλάξει χρώµα και να γίνει πράσινο, εκπέµποντας ένα γκλουόνιο το οποίο ϑα ϕέρει µπλε και αντι-πράσινο µατζέντα χρώµα. Το γκλουόνιο αυτό ϑα απορροφήθει από ένα άλλο κουάρκ χρώµατος πράσινου και ϑα αποκτήσει µπλε χρώµα, µε αποτέλεσµα το αδρόνιο να παραµένει άχρωµο. Η διαδικασία αυτή ϕαίνεται στις παρακάτω εικόνες. 18

111 Απεικόνιση της ανταλλαγής ενός γκλουονίου εντός ενός αδρονίου και αλλαγή χρώµατος των δυο κουάρκ. Το αδρόνιο παραµένει άχρωµο. Το γεγονός ότι τα γκλουόνια µεταφέρουν χρώµα σηµαίνει ότι Ϲευγνύονται µεταξύ τους. Η αλληλεπίδραση αυτή αντιακτοπτρίζει τη µη αβελιανότητα της ϑεωρίας ϐαθµίδας SU3 c, ϕαινόµενο που το συναντήσαµε και στα διανυσµατικά µποζόνια ϐαθµίδας της ασθενούς αλληλεπίδρασης αφού και στην περίπτωση αυτή η ϑεωρία ϐαθµίδας SU L είναι µη αβελιανή. Αντίθετα, το ϕωτόνιο δε µεταφέρει ηλεκτρικό ϕορτίο µε αποτέλεσµα τη µη σύζευξη του µε τον εαυτό του. Αυτό είναι αποτέλεσµα της αβελιανότητας της ϑεωρίας ϐαθµίδας του ηλεκτροµαγνητισµού U1 Q. Οπως έχουµε αναφέρει, τα αδρόνια ϐαρυόνια και µεσόνια αποτελούν καταστάσεις που δε ϕέρουν χρώµα και ονοµάζονται µονές καταστάσεις χρώµατος. Τα κουάρκ και τα γκλουόνια παραµένουν διαρκώς σε δέσµιες καταστάσεις γι αυτό δεν είναι δυνατό να παρατηρηθούν σαν ελεύθερα σωµατίδια. Το ϕαινό- µενο αυτό είναι το ϕαινόµενο του εγκλωβισµού. Η δηµιουργία των µονών καταστάσεων χρώµατος αποτελεί αντικείµενο για περεταίρω µελέτη. Στην κβαντική χρωµοδυναµική έχουµε συνολικά 3 χρώµατα και συνεπώς, στη ϑεµελιώδη αναπαράσταση, τα κουάρκ είναι τριπλέτες. Η ϐασική λοιπόν κατάσταση έχει τρεις συνιστώσες και άρα υπάρχουν δυο τρόποι για να ϕτιάξουµε µονές καταστάσεις, σε αντίθεση µε την περίπτωση της SU, όπου µια µονή κατάσταση του σπιν προκύπτει από το συνδυασµό των σπιν δυο σωµατιδίων σε µια αντισυµµετρική κατάσταση συνολικού σπιν ίσου µε µηδεν χ, = 1/ χ 1 ο 1/ 3q 1 χ χ1 χ. Ο πρώτος λοιπόν συδυασµός είναι i q i. Παρατηρούµε ότι ο συµµετρικός αυτός συνδυασµός είναι ένα άθροισµα από τρεις καταστάσεις κουάρκ-αντικουάρκ και αποτελεί τα µεσόνια. Ο δεύτερος συνδυασµός είναι ο 1/ 6ε ijk q 1 i q j q 3 k και αποτελεί τον αντισυµµετρικό συνδυασµό ο οποίος περιέχει µόνο καταστάσεις κουαρκ καθόλου αντικουάρκ και αντιστοιχεί στα σωµατίδια που λεγονται ϐαρυόνια. Ετσι λοιπόν, ξεκινώντας από το ϕαινόµενο του εγκλωβισµού καταλήξαµε στο γεγονός ότι υπάρχουν µόνο δυο είδη αδρονικών καταστάσεων που είναι άχρωµες, τα µεσόνια και τα ϐαρυόνια. Είναι σηµαντικό, µελετώντας την αλληλεπίδραση των κουάρκ µε τα γκλουό- 19

112 νια, να µελετήσουµε το µεταξύ τους δυναµικό, δηλαδή το δυναµικό της κβαντικής χρωµοδυναµικής ανάλογο του δυναµικό της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. Οι πειραµατικές µελέτες δέσµιων καταστάσεων µεσονίων αποτελούµενα από Ϲευγάρια ϐαρέων κουάρκ σύστηµα κουαρκόνιουµ, σε αντιστοιχία µε το ποζιτρόνιουµ έχουν δείξει ότι η αλληλεπίδραση q q σε µικρές αποστάσεις ϑα είναι το ίδιο µε το δυναµικό Coulomb αντίθετων ϕορτίων της QED, µε τη διαφορά ότι η σταθερά της λεπτής υφής α = e /4π ϑα αντικαθίσταται από µια άλλη σταθερά fα 3 = g 3 /4π: V q q r = f α 3 r όπου f ένας παράγοντας χρώµατος ο οποίος εξαρτάται από τη χρωµατική κατάσταση των δυο αλληλεπιδρόντων κουάρκ. Ο παράγοντας αυτός προκύπτει ϑετικός όταν τα κουαρκ ϐρίσκονται στη µονή κατάσταση χρώµατος. Συνεπώς το δυναµικό προκύπτει αρνητικό και αυτό σηµαίνει ότι τα κουάρκ έλκονται πιο ισχυρά όταν ϐρίσκονται στη µονή κατάσταση χρώµατος. Στην περίπτωση µεγάλων αποστάσεων, το δυναµικό αλληλεπίδρασης των δυο σωµατιδίων είναι γραµµικό : V q q r = br Η γραµµικότητα του δυναµικού κωδικοποιεί το ϕαινόµενο του εγκλωβισµού απαιτείται άπειρη ενέργεια διαχωρισµού κουάρκ-αντικουάρκ. Το ϕαινόµενο αυτό ευθύνεται για το γεγονός ότι δεν µπορούµε να παρατηρήσουµε ελεύ- ϑερα κουάρκ ή γκλουόνια και έχει ως συνέπεια, η ενέργεια που παρέχεται στην περίπτωση µιας σύγκρουσης να οδηγείται σε σχηµατισµό αδρονίων, µια διαδικασία γνωστή ως αδρανοποίηση. Ετσι, σε µια σύγκρουση υψηλής ε- νέργειας δεν πρόκειται να παρατηρήσουµε κουάρκ ή γκλουόνια σε ελεύθερη µορφή, αλλά πίδακες αδρονίων, στα οποία υποβόσκει η ύπαρξη των κουάρκ και γκλουονίων. Κατά τη σύγκρουση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου µεγάλης ενέργειας παρατη- ϱούνται δυο διαφορετικά κανάλια από τα οποία παίρνουµε εν τέλει πίδακες αδρονίων : e + e q q jj e + e q q G jjj Η παρουσία του γκλουονίου στην αλληλεπιδραση 3.187, προέρχεται από ένα από τα κουάρκ της τελικής κατάστασης. Η κατανοµή των τριών πινάκων δίνεται έγκυρα από την κβαντική χρωµοδυναµική µε αποτέλεσµα την έµµεση επιβεβαίωση των γκλουονίων και των αλληλεπιδράσεών τους µε τα κουάρκ, όπως περιγράφονται από την κβαντική χρωµοδυναµική µε σταθερά Ϲεύξης α 3 η οποία ταυτίζεται µε τη σταθερά των ισχυρών αλληλεπιδράσεων α s. Πέρα από το ϕαινόµενο του εγκλωβισµού, µια ακόµη πιο καθοριστική ι- διότητα της κβαντικής χρωµοδυναµικής στάθηκε η ασυµπτωτική ελευθερία. 11

113 Ξεκινώντας τη συζήτηση για την ιδιότητα αυτή περισσότερα ϑα δούµε στο µε- ϑεπόµενο κεφάλαιο, πρέπει να διευκρινήσουµε ότι οι σταθερές που Ϲεύξης των τριών αλληλεπιδράσεων που µελετήσαµε, δεν είναι στην πραγµατικότητα σταθερές, αλλά εξαρτώνται από την κλίµακα ενεργειών στην οποία τις µελετούµε ή αλλιώς, από την απόσταση. Για να µελετηθεί το ϕαινόµενο αυτό χρησιµοποιούµε όρους υψηλότερης τάξης της ϑεωρίας διαταραχών. Η ασυµπτωτική ελευθερία είναι λοιπόν µια ιδιότητα κατά την οποία όσο αυξάνεται η ενέργεια, δηλαδή µικαραίνει η απόσταση, οι δεσµοί µεταξύ των κουάρκ γίνονται συνεχώς ασθενέστεροι ασυµπτωτικά. Συνεπώς, στη δοµή του αδρονίου, τα κουάρκ ϐρίσκονται τόσο κοντά, που λόγω της ιδιότητας αυτής, είναι σχεδόν ελεύθερα. Βέβαια, όσο αποµακρύνονται τα κουάρκ, τόσο δυναµώνει η µεταξύ τους έλξη. 3.7 Συµπεράσµατα Αυτή ήταν η περιγραφή του καθιερωµένου προτύπου της ϕυσικής U1 Y xsu L xsu3 c. Από τους όρους των λανγκρατζιανών πυκνοτήτων που αναλύσαµε παραπάνω προκύπτουν χρήσιµες πληροφορίες σύµφωνα µε τους κανόνες του Feynman για τις αλληλεπιδράσεις των στοιχειωδών σωµατιδίων. Επίσης, τα πειραµατικά αποτελέσµατα, επιβεβαιώνουν προβλέψεις από το καθιερωµένο πρότυπο, µε αποτέλεσµα να χρίζεται ως µια πολύ επιτυχηµένη ϑεωρία της ϕυσικής. Βέβαια, στην τρέχουσα µορφή του, περιέχει έναν αρκετά µεγάλο αριθµό αυθαίρετων παραµέτρων. Είναι αλήθεια πως η µορφή αυτή δε ϑα είναι η τελευταία λέξη στην προσπάθεια για µια ενοποιηµένη ϑεωρία πάνω στις ϑεµελιώδεις αλληλεπιδράσεις της ϕύσης. Για ϕυσικές ϑεωρίες πέρα από το καθιερωµένο πρότυπο, µόνο οι ενδείξεις για µάζα των νετρίνων δείχνουν προς αυτή την κατεύθυνση. Αν τα νετρίνα έχουν µη µηδενική ϕυσική µάζα τότε, όπως αναµένεται, ϑα υπάρχει ένας αντίστοιχος µε τον πίνακα K-C-M πίνακας µίξης για τα λεπτόνια. Η ϕυσική δε σταµατά να εξελίσσεται και µε το πείραµα σαν οδηγό οι επιστήµονες κατευθύνονται προς την αποσαφήνισή της. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεωρία της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής, µέσω της οποίας ϑα µπορέσουµε να µελετήσουµε την ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση πραγµατικών -και ϕανταστικών- σωµατιδίων. 111

114

115 Μέρος II Επανακανονικοποίηση της QED 113

116

117 Περίληψη Σε αυτό το µέρος ϑα ασχοληθούµε µε την επανακανονικοποίηση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναµικής. Αφού εξηγήσουµε τα ϐασικά στοιχεία της ϑεωρίας αυτής, ϑα αναλύσουµε την άρση των απειρισµών που εµφανίζονται, αρχικά µε τη µέθοδο Pauli-Villars και έπειτα µε µια πιο σύγχρονη µέθοδο, αυτήν της διαστατικής οµαλοποίησης

118

119 Κεφάλαιο 4 Κβαντική Ηλεκτροδυναµική QED Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε το πλάτος σκέδασης και το πως αυτό προκύπτει. Επειτα ϑα αναλύσουµε τους κανόνες Feynman για το πως εξάγουµε τις απαραίτητες πληροφορίες από τα διαγράµµατα, αλλά και το πως ϐρίσκουµε το αναλλοίωτο πλάτος µέσω των όρων τις λανγκρατζιανής. 4.1 Μη σχετικιστική χρονοεξαρτώµενη ϑεωρία διατα- ϱαχών Ενα από τα ϐασικά προβλήµατα της κβαντοµηχανικής είναι ο υπολογισµός της πιθανότητας µετάβασης από µια αρχική κατάσταση φ i σε µια τελική κατάσταση φ f. Τις πιθανότητες αυτές τις συµβολίζουµε µε T fi. Τέτοιες µεταβάσεις δε συµβαίνουν αυθόρµητα, αλλά προκύπτουν όταν στο ϕυσικό σύστηµα που µελετάµε επιδράσει µια χρονοεξαρτηµένη διαταραχή V r, t. Η διαταρταχή αυτή ταρακουνάει το σύστηµα, έτσι ώστε ενώ αυτό ϐρισκόταν στην αρχική κατάσταση φ i, να υπάρχει κάποια πιθανότητα να παραµείνει σε αυτή, αλλά να υπάρχουν και µη αµελητέες πιθανότητες να ϐρεθεί σε κάποια από τις άλλες καταστάσεις του συστήµατος, τις ψ n. Εποµένως έστω ότι γνωρίζουµε τις λύσεις της εξίσωσης Schrondinger του αδιατάρακτου συστήµατος. H φ n = E n φ n µε φ mφ n d 3 x = δ mn 4.1 όπου έχουµε κανονικοποιήσει τις λύσεις σε ένα κουτί όγκου V. Η χρονική εξάρτηση των κυµατοσυναρτήσεων φ n προκύπτει αν εφαρµόσουµε πάνω τους το µοναδιακό τελεστή της χρονικής εξέλιξης U = e i Ent : V φ n = φ n ru = φ n e i Ent 4. όπου όπως ϕαίνεται η χρονική εξέλιξη των ιδιοσυναρτήσεων αυτών χαρακτηρί- Ϲεται από την αντίστοιχη ιδιοτιµή της ενέργειας. Συνεπώς, οι ιδιοσυναρτήσεις 117

120 φ r, t ικανοποιούν την εξαρτηµένη από το χρόνο εξίσωση Schrondinger : i φ t = H r φ 4.3 Επανερχόµαστε τώρα στον αρχικό µας στόχο, που είναι να λύσουµε την εξίσωση Schrondinger ψ r, t H + V r, t ψ r, t = i t 4.4 όπου ψ r, t είναι οι άγνωστες ακριβείς λύσεις του διαταραγµένου συστήµατος. Τις κυµατοσυναρτήσεις αυτές, µπορούµε να γράψουµε τις σα γραµµικό συνδυασµό των γνωστών λύσεων φ n r, t του αδιατάρακτου συστήµατος. ψ r, t = n a n t φ n r, t 4.5 Με στόχο να ϐρούµε τους συντελεστές a n t, αντικαθιστούµε την 4.5 στην 4.4 και παίρνουµε : i a n φn = H a n φn + V a n φn t n n n i n da k dt φ n + n a n i φ t = n a n H φn + n a n V φ n i n da n dt φ n = n a n V φ n 4.6 όπου στο τελευταίο ϐήµα δυο όροι εξαφανίστηκαν λόγω της 4.6. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά µε φ f την 4.3 και ολοκληρώνοντας σε όλο τον όγκο, παίρνουµε : i da n d 3 x dt φ φ f n = a n d 3 x φ f V φ n n n i da n dt e ien E f t/ d 3 xφ f φ n = a n e ien E f t/ d 3 xφ f V φ n n n i n da n dt e ien E f t/ δ fn = n a n V fn e ien E f t/ i da f dt = n a n V fn e ien E f t/ 4.7 όπου έγινε η αντικατάσταση V fn = d 3 xφ V φ n

121 Για να εκπληρώσουµε τον αρχικό µας στόχο που ήταν ο προσδιορισµός της πιθανότητας µετάβασης, αποµένει απλώς να υπολογίσουµε το συντελεστή a f t. υστυχώς ο συντελεστής αυτός δεν µπορεί να υπολογιστεί επακριβώς αλλά µόνο µε διαδοχικές προσεγγίσεις. Σε προσέγγιση µηδενικής τάξης, µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η τιµή του συντελεστή παραµένει ίδια, ακριβώς όπως ήταν πριν τη διαταραχή, δηλαδή a n t = δ kn 4.9 Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στο δεξί µέλος της 4.7, µπορούµε να προσδιορίσουµε την προσέγγιση πρώτης τάξης. i da1 f dt = n a n V fn e ien E f t/ = n δ kn V fn e ie k E f t/ i da1 f dt = V fk e ie k E f t/ 4.1 Αν υποθέσουµε ότι ακριβώς πριν την εφαρµογή του δυναµικού V τη στιγµή t = T/ το σύστηµα ϐρίσκεται στην ιδιοκατάσταση i της µη διαταραγµένης χαµιλτονιανής. Αυτό σηµαίνει ότι Εποµένως a i T/ = 1 και a k T/ = για k i 4.11 da 1 f = i dt V fie ie i E f t/ 4.1 Τώρα δεδοµένου ότι το δυναµικό είναι ανίσχυρο και προσωρινό, µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι αυτές οι αρχικές συνθήκες παραµένουν έγκυρες για όλο το χρόνο. Εποµένως ολοκληρώνοντας την 4.1 παίρνουµε : a f t = i t dt d 3 xφ f V φ ie ie f E i t / 4.13 T/ και πιο συγκεκριµένα, για τη χρονική στιγµή t = T/ µετά από το πέρασµα της διαταραχής ϑα έχουµε : T fi a fi T/ = i T/ dt d 3 x [ φ f re ie f t r ] [ V r, t φi re ie it ] T/ 4.14 Το παραπάνω αποτέλεσµα γράφεται σε συναλλοίωτη µορφή : T fi = i d 4 xφ f xv xφ ix 4.15 Είναι προφανές πως το τετράγωνο της ποσότητας T fi µεταφράζεται σαν την πιθανότητα που έχει το σύστηµα π.χ. ένα σωµατίδιο να µεταβεί από µια 119

122 αρχική κατάσταση i σε µια τελική f. Θεωρώντας την περίπτωση η οποία είναι χρονοανεξάρτητη V r, t = V r, τότε η 4.13 γράφεται : T fi = i V fi dte ie f E i = πi V fiδe f E i 4.16 Η δ-συνάρτηση εκφράζει το γεγονός ότι η ενέργεια του συστήµατος διατηρείται κατά τη µετάβαση από την αρχική στην τελική κατάσταση. Αυτό σηµαίνει ότι αφού E =, σύµφωνα µε την αρχή της αβεβαιότητας, η µετάβαση i f συµβαίνει σε άπειρο χρόνο. Συνεπώς η ποσότητα Tfi που ϑα µας έδινε την πιθανότητα είναι ανούσια. Για το λόγο αυτό ορίζουµε την ποσότητα του ϱυθµού µετάβασης πιθανότητας T fi W = lim T T 4.17 Τετραγωνίζουµε λοιπόν την 4.16 για να µπορέσουµε να υπολογίσουµε το ϱυθµό µετάβασης πιθανότητας. π V fi W = lim T T [δe f E i ] π V fi T/ = lim T T δe f E i T/ dte ie f E i = π V fi δe f E i 4.18 Στη ϕυσική των στοιχειωδλών σωµατιδίων συνήθως ασχολούµαστε µε συστή- µατα τα οποία ξεκινούν από µια συγκεκριµένη αρχική κατάσταση διακριτού ϕάσµατος και καταλήγουν σε ένα σύνολο τελικών καταστάσεων συνεχές ϕάσµα. Εστω λοιπόν ότι ρe f είναι η πυκνότητα των τελικών καταστάσεων και συνεπώς ρe f de f είναι ο αριθµός των καταστάσεων στο ενεργειακό διάστηµα E f, E f + de f. Ολοκληρώνοντας πάνω στην πυκνότητα αυτή και επιβάλοντας τη διατήρηση της ενέργειας, παίρνουµε το ϱυθµό µετάβασης : W fi = π de f ρe f V fi δe f E i W fi = π V fi ρe i 4.19 Η τελευταία αυτή εξίσωση ονοµάζεται ο χρυσός κανόνας του Fermi. Για να ϐελτιώσουµε την παραπάνω προσέγγιση για το πλάτος T fi, εισάγουµε στο δεξί µέλος της 4.1 την εξίσωση 4.13 και παίρνουµε : da f dt =... + i t V ni dt e ien E it V fn e ie f E nt 4. n i T/ 1

123 όπου οι τελείες υποκαθιστούν το αποτέλεσµα της προσέγγισης πρώτης τάξης. Ολοκληρώνοντας ως προς το χρόνο την παραπάνω διαφορική εξίσωση, παίρνουµε για το πλάτος : T fi =... 1 t V fn V ni dte ie f E nt dt e ien E it 4.1 n i Για να αποκτήσει το ολοκλήρωµα πάνω στο t νόηµα, πρέπει να συµπεριλάβουµε έναν όρο στο εκθετικό που εµπλέκει µια µικρή ϑετική παράµετρο, την οποία και αφήνουµε να µηδενιστεί µετά την ολοκλήρωση. Περισσότερες λεπτοµέρειες για τον όρο αυτό ϑα δώσουµε παρακάτω. Εποµένως το ολοκλή- ϱωµα υπολογίζεται : t dt e ien E i iεt = i eien E i iεt 4. E i E n + iε Η διόρθωση δεύτερης τάξης για το πλάτος ϑα προκύπτει : T fi =... πi V fn V fi E i E n + iε δe f E i 4.3 n i Οι δυο πρώτοι όροι που προκύπτουν για το πλάτος 4.16 και 4.3, όπως τους υπολογίσαµε, παριστάνονται γραφικά ως εξής : Πρώτης και δεύτερης τάξης συνεισφορές για τη µετάβαση i f Οπως ϕαίνεται και στην εικόνα, για κάθε κορυφή αλληλεπίδρασης έχουµε έναν παράγοντα τύπου V ni και για τη διάδοση για κάθε ενδιάµεση κατάσταση, έχουµε έναν παράγοντα τύπου 1/E i E n. Οι ενδιάµεσες καταστάσεις είναι εικονικές από την άποψη ότι η ενέργεια δε διατηρείται, αλλά οπωσδήποτε διατηρείται η ενέργεια ανάµεσα στην αρχική και τελική κατάσταση E i = E f, όπως ϕαίνεται από τη δέλτα συνάρτηση. Αποτελεί καίριο Ϲήτηµα να χειριζό- µαστε κατ αυτόν τον τρόπο σχετικιστικά σωµατίδια αλλά και τα αντισωµατίδιά τους. 11

124 Επειδή δεν µπορούµε απλά να αγνοήσουµε την ύπαρξη των αντισωµατιδίων, πρέπει να ϐρούµε µια συνταγή η οποία να περιλαµβάνει τα αντισωµατίδια τις αρνητικής ενέργειας λύσεις των εκάστοτε κυµατικών εξισώσεων και ταυτόχρονα να είναι συνεπής µε τη διατήρηση της ενέργειας. Γενικά, ενδιαφερόµαστε για την σκέδαση ενός σωµατιδίου από το πεδίο που δηµιουργεί ένα άλλο σωµατίδιο και όχι σκέδαση σωµατιδίου από στατικό ϕορτίο, όπως αυτό που αναλύσαµε παραπάνω. Η διαδικασία αυτή ανάµεσα σε ηλεκτρόνια γίνεται µε την εκποµπή και απορρόφηση ϕωτονίων. Εστω ένα ηλεκτρόνιο ότι απορροφά ένα ϕωτόνιο όπως ϕαίνεται στην παρακάτω εικόνα : Ελεύθερο ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά µε κάποιο άλλο σωµατίδιο απορροφώντας έ- να ϕωτόνιο που είχε εκπέµψει το άλλο σωµατίδιο Το δυναµικό της αλληλεπίδρασης ϑα έχει χρονική εξάρτηση της µορφής e iωt λόγω του εισερχόµενου ϕωτονίου ενέργειας ω. Συνεπώς αφού δεν έχουµε εξασφαλίσει ακόµα την αναλλοιώτητα το πλάτος µετάβασης T fi ϑα είναι ανάλογο : T fi e ie f t e iωt e ieit = πδe f ω E i 4.4 που δίνει ότι η ενέργεια διατηρείται E f = E i + ω. Προφανώς, ακριβώς το ίδιο επιχείρηµα ϑα ακολουθήσουµε για το αντισωµατίδιο, το ποζιτρόνιο. Επειδή όµως ϑέλουµε να υπολογίζουµε το πλάτος µετάβασης συναρτήσει µόνο καταστάσεων του ηλεκτρονιού, χειριζόµαστε το αντισωµατίδιο ϑετικής ενέγειας σαν σωµατίδιο αρνητικής ενέργειας που κινείται ανάποδα στο χρόνο προσέγγιση των Feynman-Stuckelberg, όπως ακριβώς ϕαίνεται στην παρακάτω εικόνα : 1

125 Το πλάτος σκέδασης λοιπόν για την περίπτωση του ποζιτρονίου ϑα ναι : T fi e i Eit e iωt e i E f t = πδ E i ω + E i 4.5 από όπου εξάγεται ότι πάλι η ενέργεια διατηρείται : E f = E i + ω 4.6 όπως ακριβώς και απαιτείται. Ο γενικός κανόνας λοιπόν είτε δουλεύουµε µε σωµατίδια είτε µε αντισωµατίδια, είναι να σχηµατίσουµε το στοιχείο πίνακα V fi σύµφωνα µε το διάγραµµα Feynman, σύµφωνα δηλαδή µε το ποια σωµατίδια εισέρχονται και εξέρχονται σε µια κορυφή. V fi = φ εξερχ V φ εισερχ d 4 x Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων χωρίς σπιν Εστω ότι ο κόσµος µας δεν είναι ακριβώς έτσι όπως τον γνωρίζουµε, αλλά υ- πάρχουν λεπτόνια τα οποία δε ϕέρουν καθόλου σπιν. Τα λεπτόνια αυτά ϑα ικανοποιούν την εξίσωση Klein-Gordon, και υποθέτουµε ότι αλληλεπιδρούν µεταξύ τους ηλεκτροµαγνητικά. Αρχικά, µελετούµε ένα τέτοιο ϕανταστικό σύστηµα, για να γίνει πιο οµαλή η µετάβαση στις πραγµατικές αλληλεπιδράσεις δυο ϕορτισµένων λεπτονίων που ϕέρουν σπιν 1/. Επίσης, σκοπός µας είναι να ανακαλύψουµε πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τα αποτελέσµατα α- πό τη ϑεωρία διαταραχών, που ϐρήκαµε στο προηγούµενο υποκεφάλαιο. Ενα ηλεκτρόνιο που στερείται σπιν, ικανοποιεί την εξίσωση Klein-Gordon Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Σύµφωνα µε όσα έχουµε δει στο δεύτερο κεφάλαιο, για να παραµείνει αναλλοίωτη η λανγκρατζιανή κάτω από U1 µετασχηµατισµό, αναγκαστήκαµε να 13

126 αναβαθµίσουµε την παράγωγο σε συναλλοίωτη Συνεπώς, αντικαθιστώντας το µετασχηµατισµό αυτό στην η εξίσωση Klein-Gordon γίνεται : µ µ + m φ = V φ 4.8 όπου η ηλεκτροµαγνητική διαταραχή είναι : V = ie µ A µ + A µ µ e A 4.9 Η παράµετρος e που χαρακτηρίζει το δυναµικό συνδέεται µε τη σταθερά της λεπτής υφής α = e 4π Χρησιµοποιώντας τη ϑεωρία διαταραχών, το δυναµικό αναπτύσσεται σε δυνά- µεις του α. Η συνεισφορά της χαµηλότερης τάξης µπορεί να ϑεωρηθεί µια καλή προσέγγιση. Ετσι, µπορούµε να αµελήσουµε τον e όρο και να πάρου- µε, σύµφωνα µε την 4.15, µια έκφραση του πλάτους σε συναλλοίωτη µορφή για τη σκέδαση ενός ηλεκτρονίου, από µια αρχική σε µια τελική κατάταση φ i φ f, από ένα ηλεκτροµαγνητικό δυναµικό A µ. Η σκέδαση του ηλεκτρονίου από έ- να δυναµικό A µ, όπως ϕαίνεται υπακούει στο γενικό κανόνα 4.7 όσον αφορά στο χωρικό κοµµάτι και επο- µένως το πλάτος ϑα είναι : T fi = i φ f xv xφ ix d 4 x = i φ f ieaµ µ + µ A µ φ i d 4 x 4.31 Στο δεύετερο όρο στην εξίσωση 4.31, η παράγωγος δρα και στο A µ και στο φ i. Ετσι, εκτελούµε παραγοντική ολοκλήρωση και διώχνοντας τον επιφανειακό όρο που προκύπτει το δυναµικό µηδενίζεται για t ±, το πλάτος ϑα γράφεται στη µορφή : T fi = i όπου έχουµε ορίσει την ποσότητα j fi µ : j fi µ A µ d 4 x 4.3 j fi µ ieφ f µφ i µ φ f φ i 4.33 να είναι το ηλεκτροµαγνητικό ϱεύµα για τη µετάβαση i f. Αυτό γιατί η ποσότητα αυτή ταυτοποιήθηκε µε την ποσότητα που ονοµάσαµε ορίσαµε ως ϱεύµα στο πρώτο κεφάλαιο, στην εξίσωση Αν λοιπόν ϑεωρήσουµε σα λύση την κυµατοσυνάρτηση µορφής : φ i x = N i e ip ix

127 και αντικαταστήσουµε στην έκφραση του ϱεύµατος 4.33, παίρνουµε : j fi µ = en i N f p i + p f µ e ip f p i x Σκέδαση ηλεκτρονίου - µιονίου Τώρα ϑα µελετήσουµε τη σκέδαση eµ, ϑεωρώντας ότι πρόκειται για σωµατίδια χωρίς σπιν. Πρόκειται λοιπόν για µια αλληλεπίδραση που δεν παρατηρείται στη ϕύση. Το διάγραµµα Feynman της αλληλεπίδρασης είναι : Η σκέδαση του ηλεκτρονίου από ένα δυναµικό A µ, το οποίο σχετίζεται µε το µιονικό ϱεύµα. Η 4-ορµή του ϕωτονίου είναι q = p C p A = p D p B Ο συσχετισµός του µιονικού ϱεύµατος και του A µ ϐρίσκεται από τους νόµους του ηλεκτροµαγνητισµού. Από την εξίσωση του Maxwell, ισχύει : µ F µν = j ν µ µ A ν ν A µ = j ν µ µ A ν µ ν A µ = j ν A ν ν µ A µ = j ν A ν = j ν 4.36 όπου στο τελευταίο ϐήµα χρησιµοποιήθηκε η συνθήκη Lorenz µ A µ = η οποία µας γλιτώνει από περιττούς ϐαθµούς ελευθερίας. Πολλαπλασιάζοντας την 4.36 µε e iqx και ολοκληρώνοντας, παίρνουµε : d 4 xe iqx A ν = d 4 j ν e iqx 4.37 Εκτελώντας στο ολοκλήρωµα του αριστερού µέλους δυο ϕορές παραγοντική ολοκλήρωση και απορρίπτοντας τους επιφανειακούς όρους : iq A ν e iqx d 4 x = j ν e iqx d 4 x A ν q = 1 q jν q 4.38 Από την εξίσωση 4.3 το πλάτος της αλληλεπίδρασης είναι : T fi = i j µ 1 A µ d 4 x

128 Αντικαθιστώντας στο ϱεύµα την έκφραση 4.35, παίρνουµε : T fi = ien A N C p A + p C µ e iqx A µ x d 4 x = ien A N C p A + p C µ A µ q d 4 x = ien A N C p A + p C µ 1 q j µ q = ien A N C p A + p C µ 1 q j µ e iqx d 4 x 4.4 Το ϱεύµα που σχετίζεται µε το χωρίς-σπιν µιόνιο έχει την ίδια µορφή µε το ηλεκτρονιακό της έκφρασης 4.35: j µ = en BN D p D + p B µ e ip D p B x 4.41 Αντικαθιστώντας τη σχέση 4.41 στην 4.4: [ ena T fi = i N C p a + p C µ e iqx] 1 [ enb q N D p D + p B µ e iqx] d 4 x 4.4 = i j µ 1 1q j µ d4 x 4.43 Η τελευταία σχέση είναι γενική και µπορεί να χρησιµοποιηθεί απευθείας σε αυτού του είδους τις αλληλεπιδράσεις. Αν στη σχέση 4.4 εκτελέσουµε την ολοκήρωση, προκύπτει : όπου για το M: T fi = in A N B N C N D π 4 δ 4 p D + p C p B p A M 4.44 im = iep A + p C µ i g µν q iep B + p D ν 4.45 Στην εξίσωση 4.44 η δ-συνάρτηση εκφράζει τη διατήρηση της 4-ορµής και καταδεινύει ποια είναι η 4-ορµή του διαδότη. Γνωρίζουµε ότι το εσωτερικο γινόµενο της 4-ορµής µε τον εαυτό της δίνει m. Παρατηρούµε όµως ότι q = m, όπως ϑα έπρεπε καθώς γνωρίζουµε ότι τι ϕωτόνιο ειναι άµαζο. Για το λόγο αυτό λέµε ότι το ϕωτόνιο είναι εικονικό ή αλλιώς "off-mass shell. Το M ορίζεται σαν το αναλλοίωτο πλάτος και το γεγονός αυτό µας παρέχει ένα πολύ χρήσιµο µηχανισµό : Μπορούµε να υπολογίζουµε τα αναλλοίωτα πλάτη οποιασδήποτε σκέδασης, χωρίς να επαναλαµβάνουµε τους παραπάνω υπολογισµούς µόνο και µόνο σχετίζοντας τους παράγοντες κατά τους οποίους συνεισφέρει κάθε στοιχείο στην κάθε αλληλεπίδραση στο κάθε διάγραµµα Feynman. Στην παρακάτω εικόνα ϕαίνεται η σκέδαση που µελετήσαµε, αλλά έχει αναγραµµένους τους παράγοντες αυτούς. 16

129 Ο παράγοντας των στοιχείων της αλληλεπίδρασης : Φωτονικός διαδότης : i gµν q Κορυφή πάνω: iep A + p C µ Κορυφή κάτω: iep B + p D ν Η κάθε κορυφή περιέχει τη σύζευξη e του ηλεκτροµαγνητισµού αλλά και ένα δείκτη 4-διάνυσµα για συνδέεται µε τους δείκτες του ϕωτονίου. Τελικά, µε αυτό τον τρόπο οι δείκτες κλείνουν και συνεπώς το πλάτος είναι αναλλοίωτο κατα Lorentz. Οπότε, πλέον όποτε συναντούµε σε κάποιο διάγραµµα τα ίδια στοιχεία, απλά αυτά ϑα συνεισφέρουν πολλαπλασιαστικά στο αναλλοίωτο πλάτος. Αυτό έχει περισσότερο νόηµα στο παρακάτω κεφάλαιο, στο οποίο ϑα µελετήσουµε αλληλεπιδράσεις πραγµατικών σωµατιδίων λεπτονίων µε σπιν 1/. Ετσι, ϑα ορίσουµε τις συνεισφορές των στοιχείων και ϑα υπολογίζουµε το πραγµατικό im της αλληλεπίδρασης χωρίς καθόλου κόπο. 4.3 Ηλεκτροδυναµική σωµατιδίων µε σπιν 1/ Στο υποκεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις των λεπτονίων και ϕωτονίων. Αυτή ακριβώς η ϑεωρία αλληλεπιδράσεων είναι η κβαντική ηλεκτροδυναµική. Ουσιαστικά, ϑα ξαναπεράσουµε τη διαδικασία του προηγούµενου υποκεφαλαίου, αυτή τη ϕορά όµως για σωµατίδια µε σπιν 1/ που περιγράφονται από την εξίσωση Dirac. Θα καταλήξουµε λοιπόν στους αντίστοιχους κανόνες Feynman Ηλεκτρόνιο σε η/µ πεδίο A µ Ενα σωµατίδιο που έχει σπιν 1/, όπως έχουµε δει, περιγράφεται από την εξίσωση Dirac. Κατά τα γνωστά για να παραµείνει η λανγκρατζιανή αναλλοίωτη κάτω από µετασχηµατισµούς U1, πρέπει να αναβαθµίσουµε την παράγωγο µε την ταυτόχρονη εισαγωγή ενός διανυσµατικού πεδίου A µ. όπου η ηλεκτροµαγνητική διαταραχή είναι : γ µ p µ mψ = γ V ψ 4.46 γ V = eγ µ A µ

130 Σύµφωνα µε τη συναλλοίωτη σχέση για το πλάτος 4.15 που ϐρήκαµε από τη ϑεωρία διαταραχών : T fi = i ψ f xv xψ i d4 x = ie ψγ µ A µ ψ i d 4 x = i jµ fi A µ d 4 x 4.48 όπου j fi µ e ψ f γ µ ψ i και αν ϑεωρήσουµε σα λύση της εξίσωσης Dirac την κυµατοσυνάρτηση ψ = u pe ipx τότε το ϱεύµα που ορίσαµε ϑα γίνει : j fi µ = eū f γ µ u i e ip f p i x 4.49 Αυτό ϑεωρείται το ηλεκτροµαγνητικό ϱεύµα µετάβασης για τις καταστάσεις i f. Το αντίστοιχο ϱεύµα που ϐρήκαµε στην περίπτωση που ϑεωρήσαµε ϕερµιόνια χωρίς σπιν δίνεται από την Για την περίπτωση αυτή δείξαµε ότι αντιστοιχούν κάποιοι κανόνες Feynman, που περιγράφουν την αλληλεπίδραση. Εδώ, από το ϱεύµα που ϐρήκαµε απορρεέουν αντίστοιχοι κανόνες. Ο παράγοντας της κορυφής σκέδασης είναι τώρα ένας 4x4 πίνακας στο χώρο του σπιν και κείται ανάµεσα στη στήλη u s p i και τη γραµµή ū r p f. Οι σπίνορες αυτοί περιγράφουν εισερχόµενο και εξερχόµενο ηλεκτρόνιο αντίστοιχα ορµής p i, p f και κατάστασης σπιν s, r. Επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία της 4.., µε τα ίδια ακριβώς ϐήµατα εξισώσεις , καταλήγουµε στο αναλλοίωτο πλάτος της αλληλεπίδρασης : im = ieū f p γ µ u i p ig µν q ieū f k γ ν uk Η σκέδαση Moller e e e e Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο διαγράµµατα Feynman που περιγράφουν την αλληλεπίδραση. ιάγραµµα α ιάγραµµα ϐ 18

131 Για το διάγραµµα α, ακολουθώντας τα ϐήµατα που κάναµε στην περίπτωση που δεν είχαµε σπιν, καταλήγουµε σε µια έκφραση για το πλάτος µετάβασης : 1q T fi = i j µ x d4 x = i eū C γ µ u A 1q eū D γ µ u B π 4 δ 4 p A + p B p C p D j 1 µ x όπου αν ϑεωρήσουµε όπως πριν ότι 4.51 T fi = iπ 4 δ 4 p A + p B p C p D M 4.5 το αναλλοίωτο πλάτος για το διάγραµµα αυτό ϑα είναι : im = ieū C γ µ u A ig µν q ieū D γ ν u B 4.53 Το αποτέλεσµα έρχεται σε συµφωνία µε αυτό που ϐρίσκουµε αν ϐρούµε το πλάτος συνεισφέροντας πολλαπλασιαστικά µε τους παράγοντες όπως τους ο- ϱίσαµε παραπάνω. Για να ϐρούµε το αναλλοίωτο πλάτος για το δεύτερο διάγραµµα αρκεί απλά να κάνουµε την ανταλλαγή C D µε ένα σχετικό πλην, µιας και µιλάµε για ανταλλαγή ταυτοτικών ϕερµιονίων. Οποτε το συνολικό πλάτος στο οποίο συνεισφέρουν και τα δυο διαγράµµατα ϑα είναι : M = e ū Cγ µ u A ū D γ ν u B p A p C + e ū Dγ µ u A ū C γ µ u B p A p D 4.54 Για να ϐρούµε το τετράγωνο του πλάτους ποσότητα που εµπλέκεται µε τη διαφορική διατοµή στη µη πολωµένη περίπτωση, όπου δε γνωρίζουµε την κατάσταση των σπιν στο πείραµα, ϑα πρέπει : M M 1 s A + 1s B + 1 allstates M 4.55 όπου s A και s B είναι οι καταστάσεις σπιν των εισερχοµένων σωµατιδίων. Στο µη σχετικιστικό όριο, οι καταστάσεις του σπιν δεν αλλάζουν έπειτα από µια αλληλεπίδραση. Αυτό συµβαίνει διότι, στις χαµηλές ταχύτητες, τα ηλεκτρόνια αλληλεπιδρούν κυρίως µε το ηλεκτρικό τους πεδίο, το οποίο είναι ανίκανο να αλλάξει τα σπιν. Στις µεγάλες ενέργειες, το µέγεθος της ταχύτητας καθιστά ικανή την αλληλεπίδραση µέσω µαγνητικού πεδίου, το οποίο µπορεί να αναποδογυρίσει τα σπιν. Αυτό σηµαίνει ότι για τον υπολογισµό του τετραγώνου του πλάτους ϑα πρέπει να γίνει άθροιση πάνω και στις έξι πιθανές αλλαγές του σπιν. 19

132 4.3.3 Σκέδαση ηλεκτρονίου-µιονίου Στη σκέδαση αυτή περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα Feyman: ιάγραµµα Feynman για την αλληλεπίδραση e µ. Στην περίπτωση αυτή που δεν έ- χουµε ταυτοτικά σωµατίδια, το διάγραµµα υ- τό είναι το µόνο που συνεισφέρει στο πλάτος σκέδασης. Τα αποτελέσµατα που ϑα ϐρούµε γενικεύονται σε όλες τις παρόµοιες καταστάσεις. Το αναλλοίωτο πλάτος προκύπτει από τους κανόνες Feynman: M = e ūk γ µ uk 1 q ūp γ µ up 4.56 Για να ϐρούµε στην περίπτωση αυτή το τετράγωνο του πλάτους, χρησιµοποιού- µε την 4.55 µόνο που για λόγους ευκολίας, χωρίζουµε την άθροιση σε δύο : µια πάνω στα ηλεκτρόνια και µια πάνω στα µιόνια. όπου οι δύο τένσορες είναι : L µν e 1 L muon µν 1 M = e4 q 4 Lµν e L muon µν 4.57 [ūk γ µ uk][ūk γ ν uk] 4.58 espins µspins [ūp γ µ up][ūp γ ν up] 4.59 Οι υπολογισµοί αν και ϕαίνονται πολύ δύσκολοι εως απαγορευτικοί, χρησι- µοποιώντας τις τεχνικές για το χειρισµό των ιχνών, ϑα απλοποιηθούν. Εφ οσον, για τη δεύτερη παρένθεση στην έκφραση για τον τένσορα του ηλεκτρονίου ισχύει : [ūk γ ν uk] = [u k γ γ ν uk] [u kγ ν γ uk ] = [u kγ γ ν uk ] = [ūkγ ν uk ] 4.6 που σηµαίνει ότι απλά αναστρέφεται η σειρά των παραγόντων του γινοµένου, µπορούµε να γράψουµε το γινόµενο πινάκων σε γινόµενο των στοιχείων τους. L µν e = 1 ū s α k γ µ αβ u s β kūs γ kγ ν γδ us δ k s s = 1 u s δ k ū s α k γ µ αβ u s β kūs γ kγγδ ν 4.61 s s 13

133 Γενικά, για τους σπίνορες u s, ū s ισχύει η σχέση πληρότητας : u s pū s p = p + m 4.6 s=1, s=1, v s p v s p = p m 4.63 Εποµένως, η 4.61, λόγω της σχέσης πληρότητας γίνεται : L µν e = 1 k + m δα γ µ αβ k + m βγγ ν γδ 4.64 Συνεπώς, ο τένσορας γίνεται ένα ίχνος γινοµένου των 4x4 πινάκων. L µν e = 1 Tr k + m γ µ k + mγ ν 4.65 Αντίστοιχο αποτέλεσµα παίρνουµε και για το µιονικό τένσορα. L muon µν = 1 Tr p + M γ µ p + Mγ ν 4.66 Για να τους υπολογίσουµε, χρησιµοποιούµε ϑεωρήµατα ιχνών των 4x4 πινάκων : Tr1 = 4 TrA + B = TrA + TrB Trγ µ γ ν = 4g µν Trγ µ γ ν... γ α =, Tr a b = 4ab Αν αριθµός γ µ πινάκων : περιττός Tr a b c d = 4[abcd acbd + adbc] Trγ µ γ µ = 4 Trγ µ aγ µ = a Trγ µ a bγ µ = 4ab Trγ µ a b cγ µ = c b a 4.67 Εποµένως, οι υπολογισµοί για τους δύο τένσορες γίνονται πλέον απευθείας. Πρώτα για του ηλεκτρονίου, από την 4.65 υπολογίζεται : L µν e = 1 Tr k γ µ kγ ν + m k γ µ γ ν + m kγ µ γ ν + m γ µ γ ν = 1 Tr k γ µ kγ ν + 1 Trm γ µ γ ν = k µ k ν + k ν k µ k k m g µν 4.68 και έπειτα για του µιονίου από την 4.66 παροµοίως προκύπτει : L muon µν = p µp ν + p νp µ p p M g µν

134 Εποµένως, µέσω των εξισώσεων 4.68 και 4.69 υπολογίζουµε το τετράγωνο του πλάτους από την εξίσωση 4.57: M = e4 q 4 [k p kp + k pkp m p p M k k + m M ] Κανόνες Feynman και η επέκταση iε Οταν δίνεται η λανγκρατζιανή ενός συστήµατος, τότε από τους διάφορους ό- ϱους της µπορούµε να εξαγάγουµε πληροφορίες για τις αλληλεπιδράσεις που συµβαίνουν, να σχεδιάσουµε τα διαγράµµατα Feynman που αντιστοιχούν και τελευταίο αλλά εξ ίσου σηµαντικό, να υπολογίσουµε το αναλλοίωτο πλάτος. Εστω η λανγκρατζιανή : L = 1 µφ µ φ 1 m φ g 4! φ Η ελεύθερη κινητική λανγκρατζιανή καθορίζει τον αριθµό των σωµατιδίων της ϑεωρίας και των διαδοτών τους. Εδώ έχουµε µόνο ένα ϐαθµωτό πεδίο φ. Η Λανγκρατζιανή αλληλεπίδρασης όροι µε τρία ή παραπάνω πεδία ο- ϱίζουν πιθανές κορυφές αλληλεπιδράσεων. Για την εύρεση του αναλλοίωτου πλάτους, υπάρχουν κανόνες που συσχετίζουν τους όρους της λανγκρατζιανής µε παράγοντες συνεισφοράς στο πλάτος. Φυσικά για να γίνει η συσχέτιση αυτή πρέπει πρώτα οι όροι της λανγκρατζιανής να µεταφραστούν σε διαγράµµατα Feynman. Ο παράγοντας συνεισφοράς της κορυφής είναι ο όρος αλληλεπίδρασης επί i, στερούµενος των πεδίων που κουβαλάει. il I = i g 4! φ4 Ο διαδότης είναι ο αντίστροφος του τελεστή κίνητικής ενέργειας που ορίζεται από την ελεύθερη εξίσωση κίνησης στο χώρο των ορµών, πολλαπλασιασµένος επί i. L free E L µ µ + m φ = 4.7 Πηγαίνουµε λοιπόν στο χώρο των ορµών µ ip µ και τέλος αντιστρέ- ϕουµε : 13

135 p m φ = Στην πραγµατικότητα ο σωστός παράγοντας για το διαδότη είναι : i p m i p m + iε 4.73 Για τον απειροστό ϕανταστικό όρο iε ϑα µιλήσουµε αργότερα πιο αναλυτικά. Οι εξωτερικές γραµµές των διαγραµµάτων απεικονίζονται από το κατάλληλο διάνυσµα πόλωσης ή σπίνορα : Οπότε για τη φ 4 ϑεωρία που µελετάµε το αναλλοίωτο πλάτος είναι : im = i g 4! 4.74 Αν τώρα ασχοληθούµε µε τη λανγκρατζιανή που περιγράφει την QED, όπως την έχουµε υπολογίσει σε προηγούµενο κεφάλαιο : L = ψi + e A m ψψ 1 4 F µν F µν 4.75 ϐρίσκουµε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα. Με παρόµοια λοιπόν διαδικασία µε πριν, ο ηλεκτρονιακός διαδότης ϑα είναι : i p + m = p m Οπως ϕαίνεται ο ηλεκτρονιακός διαδότης είναι ίσος µε το διαδότη ϐαθµωτού πεδίου που ϐρήκαµε για το ϕ πολλαπλασιασµένος µε το άθροισµα πάνω στα σπιν. Είναι ευχάριστο το γεγονός ότι αυτό γενικεύεται σε όλους τους σωµατιδιακούς διαδότες : 133

136 Ολα τα παραπάνω αποτελέσµατα µας αρκούν για να µπορούµε να υπολογίζουµε το αναλλοίωτο πλάτος για όλα τα πιθανά διαγράµµατα Feynman πρώτης τάξης. Οι κανόνες αυτοί συνοψίζονται στον πίνακα της επόµενης σελίδας 1. Για µεγαλύτερης τάξης διαγράµµατα εκτός από τους παραπάνω, υπεισέρχονται και κάποιοι άλλοι κανόνες : Γενικά γνωρίζουµε ότι η 4-ορµή σε κάθε κορυφή διατηρείται. Οµως σε κάποια διαγράµµατα περιέχονται εσωτερικές ορµές οι οποίες είναι ακα- ϑόριστες. Για οποιαδήποτε 4-ορµή που δε συνδέεται λοιπόν µε κάποια διατήρηση π.χ. µια ορµή p που κυκλοφορεί γύρω από ένα ϐρόχο, επειδή αυτή µπορεί να πάρει κάθε τιµή µιας και δεν είναι παρατηρήσιµη, παίρνουµε το ολοκλήρωµα σε όλες τις πιθανές τιµές. Σε διαγράµµατα όπου εµφανίζονται ϕερµιονικοί ϐρόχοι πολλαπλασιά- Ϲουµε το αναλλοίωτο πλάτος µε έναν όρο 1 ν, όπου ν ο αριθµός των ϐρόχων αυτών. Αυτό έχει να κάνει µε το γεγονός ότι ανάµεσα σε δυο όρους που διαφέρουν αν εναλλάξουµε ταυτόσηµα ϕερµιόνια π.χ. ένα ηλεκτρόνιο ϑετικής ενέργειας και ένα αρνητικής, πρέπει να υπάρχει ένα σχετικό πλην. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα ασχοληθούµε µε διαγράµµατα Feynman υψηλότερης τάξης όπου ϑα πρέπει να εφαρµόσουµε τους παραπάνω κανόνες. 1 Halzen F., Martin D.A., QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course In Modern Physics,p

137 Η συνταγή iε Οι διαδότες στο χώρο των µετατοπίσεων είναι συναρτήσεις Green για την ε- ξίσωση K G. Αυτό σηµαίνει ότι είναι συναρτήσεις Gx, y που ικανοποιούν : t x + m Gx, y = δx y 4.76 Κάνοντας µετασχηµατισµό Fourier παίρνουµε : p + m Gp = και εφ οσον η εξίσωση xfx = 1, έχει λύσεις τις fx = 1/x ± iε, όπου 135

138 ε. Παρακάτω εξετάζουµε τη σωστή επιλογή του προσήµου. Η λύση για την περίπτωσή µας είναι : Gx, y = 1 π 4 e ipx y d 4 p p m ± iε 4.78 όπου px y το εσωτερικό γινόµενο 4-διανυσµάτων: p x y p x y. Οι διαφορετικές επιλογές της διαδροµής ολοκλήρωσης στην παραπάνω έκ- ϕραση, οδηγεί σε διαφορετικές µορφές του διαδότη. Η επιλογή της διαδροµής συνήθως εκφράζεται σε όρους του ολοκληρώµατος p. Η προς ολοκλήρωση συνάρτηση έχει λοιπόν δυο πόλους p = ± p + m, οπότε διαφορετικές επιλογές στο πως να τους αποφύγουµε οδηγούν σε διαφορετικούς διαδότες. Η επιλογή µας µε την οποία δουλεύουµε είναι η διαδροµή του Feynman κατά την οποία η διαδροµή περνάει κάτω από τον αρνητικό πόλο και πάνω από το ϑετικό όπως ϕαίνεται στην εικόνα. Η διαδροµή µετατοπίζεται γύρω από τους πόλους. Μια ισοδύναµη συνταγή είναι να µετατοπίσουµε τους πόλους α- πειροστά και να αφήσου- µε τη διαδροµή ανέπαφη. Η εισαγωγή του iε µετατοπίζει τους πόλους λίγο κάτω και λίγο πάνω αντίστοιχα. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διαγράµµατα Feynman ψηλότε- ϱης τάξης από τα οποία απορρέουν αποτελέσµατα τα οποία ανταποκρίνονται σε πραγµατικά ϕαινόµενα που έχουν καταγραφεί πειραµατικά. Επίσης, ϑα γίνει εµφανές, το γεγονός ότι οι σταθερές Ϲεύξης που υπολογίσαµε για τις αλληλεπιδράσεις στο τρίτο κεφάλαιο, κατ ευφηµισµό ονοµάζονται έτσι, αφού είναι ποσότητες που µεταβάλλονται ανάλογα µε τις συνθήκες του πειράµατος. 136

139 Κεφάλαιο 5 Επανακανονικοποίηση µε τη µέθοδο Pauli-Villars Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε την επανακανονικοποίηση, µια διαδικασία κατά την οποία οι διορθώσεις ανώτερης τάξης στη ϑεωρία διαταραχών κατορθώνουν να απαλλάξουν τη ϑεωρία µας από απειρισµούς, να δώσει πολύ εύστοχες προβλέψεις και να µας δείξει πως οι σταθερές Ϲεύξης που µελετήσαµε παραπάνω παίρνουν τιµές ανάλογες της ενέργειας. Ο τρόπος αυτός απαλλαγής των απειριών στηρίζεται σε µη τετριµµένους υπολογισµούς ιχνών και ολοκληρωµάτων και αποτελεί µια δύσκολη διαδικασία στην οποία απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή. Πιο συγκεκριµένα, εδώ ϑα ασχοληθούµεµε τη µέθοδο οµαλοποίησης Pauli-Villars. 5.1 ιορθώσεις ανώτερης τάξης Στο προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι το πλάτος της σκέδασης του ηλεκτρονίου από ένα πεδίο A µ δίνεται από την εξίσωση : T fi = i jµ fi A µ d 4 x 5.1 Επαναλαµβάνοντας τη διαδικασία που ακολουθήσαµε στην 4.. όπου χρησιµοποιήσαµε και τις εξισώσεις Maxwell καταλήγουµε πως το αναλλοίωτο πλάτος ϑα είναι : im = ieū f γ µ igµν u i q ij ν q 5. όπου το j ν q είναι το ϱεύµα που σχετίζεται µε την πηγή που παράγει το πεδίο A µ, ένα άλλο σωµάτιο, ένας πυρήνας. Αν ψάχνουµε το αναλλοίωτο πλάτος για τη σκέδαση Rutherford κατά την οποία ένα ηλεκτρόνιο σκεδάζεται από ένα στατικό ϕορτίο έστω από έναν πυ- ϱήνα, 137

140 επεξεργαζόµαστε τη σχέση 5., αντικαθιστώντας όπου j ν q το ϱεύµα που δηµιουργεί ο στατικός πυρήνας ϕορτίου Ze: j x = ρ x = Zeδx j x = } j ν = Zeδ x, Εποµένως η σχέση 5. ϑα γίνει : im = ieū f γ µ igµ u i q i = ieū f γ u i q i = ieū f γ u i q ij q ize δ xe i q x d 3 x ize 5.3 Από τον παραπάνω υπολογισµό καταλήξαµε στο αναλλοίωτο πλάτος σκέδασης τάξης Oe. Για να λάβουµε πιο ακριβή αποτελέσµατα, αποτελέσµατα που προσεγγί- Ϲουν καλύτερα τις µετρήσεις του πειράµατος, ϑα πρέπει να υπολογίσουµε τον όρο ακόµα µεγαλύτερης τάξης στη ϑεωρία διαταραχών. Με την εισαγωγή όµως ενός παραπάνω όρου του Oe 4 στη ϑεωρία µας, ϑα πρέπει να εισαγάγουµε και στο διάγραµµα Feynman τον όρο αυτόν γραφικά. Τα διαγράµµατα που αντιστοιχούν στην προσθήκη των όρων µεγαλύτερης τάξης είναι : 138

141 Το διάγραµµα a απεικονίζει την ιδιοενέργεια του ϕωτονίου όπου παρατη- ϱείται ο σχηµατισµός ενός ϕερµιονικού ϐρόχου, ενώ τα διαγράµµατα c την ιδιοενέργεια του ηλεκτρονίου όπου ένα ηλεκτρόνιο εκπέµπει ένα ϕωτόνιο και το απορροφά πριν την αλληλεπίδραση. Στο διάγραµµα b επηρεάζεται η κο- ϱυφή της αλληλεπίδρασης λόγω της εκποµπής και επαναπορρόφησης ενός εικονικού ϕωτονίου κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασης. Ο υπολογισµός των πλατών σκέδασης των διαγραµµάτων οδηγεί σε απειρισµούς και γιάυτό πρέπει κάπως να τους εξαφανίσουµε. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται επανακανονικοποίηση. Θα αναλύσουµε τις τρεις περιπτώσεις ξεχωριστά παρακάτω αφού παρουσιάζουν ιδιαίτερο ϕυσικό ενδιαφέρον. 5. Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας ϕωτονίου - Η πόλωση του κενού Αρχικά ξεκινάµε µε τη µελέτη του διαγράµµατος a. Το πλάτος σκέδασης προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό των συνεισφορών των στοιχείων του διαγράµµατος, όπως αυτές δίνονται στον πίνακα µε τους κανόνες Feynman του προηγούµενου κεφαλαίου. 139

142 Στο διάγραµµα αυτό ϕαίνεται πως το εικονικό ϕωτόνιο ορµής q περνά σε δίδυµη γένεση και µετατρέπεται σε Ϲεύγος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου. Επειτα, τα δυο αυτά σωµατίδια εξαϋλώνονται σε ένα ϕωτόνιο το οποίο έχει την ίδια ορµή q µε το αρχικό. Το ϕερµιονικό Ϲεύγος, δηµιουργεί έ- να ϐρόχο µέσα στον οποίο κυκλοφο- ϱεί η ακαθόριστη ορµή p. Το ϕαινό- µενο αυτό ϑα οδηγήσει στην τροποποίηση του νόµου του Coulomb που προκύπτει από το γυµνό από ϐρόχους διάγραµµα. Εφαρµόζοντας τους κανόνες Feynman που αναλύσαµε στο προηγούµενο κε- ϕάλαιο, παίρνουµε το αναλλοίωτο πλάτος της αλληλεπίδρασης : im = 1 1 ieū f γ µ ig µµ u i q d 4 p π 4 i g νν q i p + m ieγ µ βλ αβ p m ieγ ν λτ i q p + m τα q p m ij ν q 5.4 Το πλάτος αυτό προέκυψε κατά τα γνωστά πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες συνεισφοράς των στοιχείων του παραπάνω διαγράµµατος. Ο µόνος µη τετριµµένος παράγοντας είναι αυτός της δεύτερης γραµµής. Εκεί αναγκαζό- µαστε να πάρουµε το ολοκλήρωµα, επειδή η ορµή p δεν είναι καθορισµένη και µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή ανάµεσα στο µηδέν και το άπειρο. Η συνάρτηση προς ολοκλήρωση περιέχει τους ϕερµιονικούς παράγοντες που προκύπτουν από το ϐρόχο έχουµε πάρει άθροιση σε όλες τις καταστάσεις του σπιν µιας και έχουµε µη πολωµένες καταστάσεις και τις δύο κορυφές όπου γίνεται η ανταλλαγή ορµής. Το γινόµενο πινάκων έχει µετασχηµατιστεί σε γινόµενο των στοιχείων τους, το οποίο µπορεί να γραφτεί σε µορφή ίχνους των 14

143 πινάκων. im = 1 1 ieū f γ µ ig µµ u i q d 4 p π 4 Tr i p + m i q p + m ieγ µ p m ieγν q p m i g νν q ij ν q 5.5 Ουσιαστικά, η προσθήκη της 5.5 στην 5. µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία τροποποίηση του διαδότη του πλάτους χαµηλότερης τάξης : I µ ν i g µν q i g µν q + i g µν q i g µµ q i g ν ν q + i q I i µν q 5.6 όπου το ηλεκτροµαγνητικό ϱεύµα I µν q στο ϐρόχο είναι : { } I µν q d 4 p = π 4 Tr i p + m ieγ µ p m ieγ i q p + m ν q p m 5.7 { } d 4 p I µν q = π 4 Tr i ieγ µ p m ieγ i ν 5.8 q p m Η τροποποίηση αυτή του διαδότη παριστάνεται γραφικά : Η διόρθωση αυτή τάξης Oe 4 υπολογίζεται µια ϕορά και έ- πειτα µπορούµε να χρησιµοποιούµε το αποτέλεσµα σε ο- ποιοδήποτε διάγραµµα Feynman χρειάζεται. Είναι δυσάρεστο το γεγονός ότι οι συνεισφορές των κλειστών ϐρόχων, δηλαδή οι διορθώσεις µέσω όρων Oe 4, αποκλίνουν για p. Το ολοκλήρωµα της 5.8 περιέχει δυο ηλεκτρονιακούς όρους και εποµένως µε τις τετραγωνικές δυνάµεις της ορµής στους παρονοµαστές, το ολοκλήρωµα αποκλίνει τετραγωνικά. Υποθέτοντας ότι το ϕωτόνιο της αλληλεπίδρασης είναι πραγµατικό δηλαδή q = ϑα πρέπει εξάιτίας των διατηρούµενων ϱευµάτων εξίσωση συνέχειας να ισχύει ότι : q µ I µν q =

144 Εισάγοντας στην 5.9 την 5.8, παίρνουµε : q µ I µν = e Tr = e Tr = e d 4 p π 4 q 1 p m + iε γ ν 1 q p m + iε d 4 p 1 π 4 p q m + iε [ p m p q m] 1 p m + iε γ ν d 4 p π 4 Tr 1 p q m + iε 1 γ ν 5.1 p m + iε Παρατηρούµε ότι το ολοκλήρωµα συνεχίζει να αποκλίνει και ο υπολογισµός του παραµένει ασαφής. Για να µπορέσουµε να συνεχίσουµε, στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος, ϑεωρούµε ένα cut-off στις υψηλές ορµές και εποµένως : I µν q, m I µν q = I µν q, m + i C i M i I µν q, M i i c i I µν q, m i 5.11 Στην εξίσωση αυτή το Mi είναι µεγάλες τιµές µάζας και τα C i είναι επιλεγ- µένα έτσι ώστε το ολοκλήρωµα να συγκλίνει. Η διαδικασία αυτή µε τη χρήση του cut-off δεν είναι µοναδική, αλλά την υιοθετούµε για να ξεπεράσουµε το µαθηµατικό πρόβληµα. Η ϑεωρία που χτίζουµε δε ϑεωρείται επιτυχής εάν τα αποτελέσµατα µας εξαρτώνται από οποιαδήποτε από τις παραµέτρους που χρησιµοποιήσαµε για την αποκοπή. Οπως και να χει, η ύπαρξη αποκλινουσών ποσοτήτων µας οδηγεί στο να ύποπτευθούµε την ύπαρξη προβλήµατος στη ϑεωρία για µεγάλες όρµές ή αλλιώς, για µικρές αποστάσεις. Σηµείωνεται επίσης ότι η µέθοδος της αποκοπής, έχει το προταίρηµα να διατηρεί την gauge-συνθήκη της 5.9. Η απόδειξη ότι το I µν υπόκειται στην gauge- συν- ϑήκη, γίνεται, ανυψώνοντας τους παρανοµαστές των διαδοτών σε εκθετικούς όρους σύµφωνα µε την ταυτότητα : i i k + m = k m + iε k m = k + m + iε dze izk m +iε 5.1 Με τη ϐοήθεια της παραπάνω πολύ χρήσιµης ταυτότητας, αποδεικνύεται 14

145 η διατήρηση της gauge- συνθήκης. Εχουµε ξεκινώντας απ την 5.8: { } I µν q = e d 4 p π 4 Tr i γ µ p m + iε γ i ν q p m + iε { } = e d 4 p π 4 Tr i p + m γ µ p m + iε γ i q p + m ν q p m + iε { = e d 4 p π 4 Tr γ µ p + m dz 1 e iz 1p m +iε } γ ν q p + m dz e iz q p m +iε = e d 4 p π 4 dz 1 e iz 1p m +iε dz e iz q p m +iε { } Tr = e T r { γ µ p + mγ ν q p + m d 4 p π 4 γ µ p + mγ ν p + m dz 1 e iz 1p m +iε } } {{ } Ορος του ίχνους :T Εστω Τ το µέρος που αφορά το ίχνος : { } T = Tr = Tr { γ µ p + mγ ν p + m γ µ pγ ν p + γ µ pγ ν m + γ µ mγ ν p + γ µ mγ ν m dz e iz p m +iε } 5.13 = Tr { γ µ pγ ν p } + Tr { γ µ pγ ν m } + Tr { γ µ mγ ν p } + Tr { γ µ mγ ν m } Εδώ ο δεύτερος και ο τρίτος όρος είναι µηδέν, αφού είναι ίχνη γινοµένου περιττού αριθµού πινάκων γ µ. Οπότε συνεχίζουµε τους υπολογισµούς και η παραπάνω έκφραση του ίχνους γίνεται : T = { Tr γ µ pγ ν p } + m { } Tr γ µ γ ν = 4 p µ p ν + p µ p ν p p g µν + 4m g µν = p µ p q ν + p ν p q µ g µν p p q m 5.14 Αντικαθιστώντας την έκφραση του ίχνους της 5.14 στο ολοκλήρωµα της 143

146 5.13, ϐρίσκουµε : I µν = 4e dz 1 dz exp d 4 p π 4 pµ p q ν + p ν p q µ g µν p p q m ] 5.15 [ iz 1 p m + iε + iz q p m + iε Συµπληρώνουµε το ανάπτυγµα τετραγώνου στο εκθετικό, αλλάζοντας τη µετα- ϐλητή ολοκλήρωσης σε : οπότε αντικαθιστούµε όπου και όπου l = p qz z 1 + z = p q + qz 1 z 1 + z p µ = l µ + qµ z z 1 + z p µ = p q µ = l µ qµ z 1 z 1 + z Στην 5.15 λοιπόν, επιβάλλουµε το µετασχηµατισµό των συντεταγµένων : {{ I µν = 4e d 4 l dz 1 dz π 4 l µ + qµ z l ν qν z 1 z 1 + z z 1 + z + l ν + qν z z 1 + z g µν [ l ν + q νz z 1 + z l µ qµ z 1 z 1 + z l ν qν z 1 z 1 + z m ]} [ exp {iz 1 l + qz ] [ m + iz l qz ]} 1 m z 1 + z z 1 + z } 5.16 Ονοµάζουµε Ε τον παράγοντα µε το εκθετικό και εκτελούµε τις πράξεις. Ετσι 144

147 έχουµε : E = exp = exp {iz 1 { l + lqz z 1 + z + q z z 1 + z m + iz iz 1 l + iz 1 lqz z 1 + z + iz 1 q z z 1 + z iz 1m + iz l lqz 1 q z1 iz + iz z 1 + z z 1 + z iz m { } l lqz 1 z 1 + z + q z 1 z 1 + z m = exp iz 1 l q z + iz 1 z 1 + z iz 1m + iz l q z1 + iz z 1 + z iz m } = exp {il z 1 + z + iq z z 1 z z 1 + z + z 1 z 1 + z im z 1 + z { } = exp il z 1 + z + iq z 1 z im z 1 + z z 1 + z { } { } = exp il q z 1 z z 1 + z exp i m z 1 + z z 1 + z Στην 5.16 αντικαθιστούµε την 5.17 στην οποία ο δεύτερος παράγοντας είναι ανεξάρτητος από το l. Αυτό σηµαίνει ότι ϑα ϐγει έξω από το ολοκλήρωµα. Εκτελώντας λοιπόν τις πράξεις, η 5.16 παίρνει τη µορφή : { } I µν = 4e q z 1 z dz 1 dz exp i m z 1 + z z 1 + z {{ d 4 l π 4 l µ + qµ z l ν qν z 1 z 1 + z z 1 + z + l ν + qν z z 1 + z [ g µν l ν + q νz z 1 + z { }} exp il z 1 + z l µ qµ z 1 z 1 + z l ν qν z 1 z 1 + z m ]} 5.18 } } 5.17 Ονοµάζουµε Ξ το µέρος της παραπάνω εξίσωσης που αποτελείται από όλες τις 145

148 γραµµές εκτός της πρώτης : {{ d 4 l Ξ = π 4 l µ + qµ z l ν qν z 1 z 1 + z z 1 + z + l ν + qν z z 1 + z [ g µν l ν + q νz z 1 + z { }} exp il z 1 + z l µ qµ z 1 z 1 + z l ν qν z 1 z 1 + z m ]} 5.19 Ξ = = {{ d 4 l π 4 l µ l ν l µ q ν z 1 + q µ l ν z q µ q ν z 1 z z 1 + z z 1 + z z 1 + z + l ν l µ l ν q µ z 1 + q ν l µ z q ν q µ z 1 z z 1 + z z 1 + z z 1 + z [ g µν l ν l ν l ν q ν z 1 z 1 + z + q ν l ν z z 1 + z q ν q ν z 1 z z 1 + z m { } } exp il z 1 + z {{ d 4 l π 4 l µ l ν l µ q ν z 1 + q µ l ν z q µ q ν z 1 z z 1 + z z 1 + z z 1 + z + l ν l µ l ν q µ z 1 + q ν l µ z q ν q µ z 1 z z 1 + z z 1 + z z 1 + z } l µ l ν + l µ q ν z 1 z 1 + z + g µν q z 1 z z 1 + z + gµν m { } } exp il z 1 + z 5. ]} Ξ = {{ d 4 l π 4 l ν l µ l µ q ν z 1 + q µ l ν z q µ q ν z 1 z z 1 + z z 1 + z z 1 + z lν q µ z 1 z 1 + z } + q ν l µ z z 1 + z + l µ q ν z 1 z 1 + z + g µν q z 1 z z 1 + z gµν q z 1 z z 1 + z + gµν m { } } exp il z 1 + z

149 Με τη ϐοήθεια των ταυτοτήτων d 4 l π 4 [1, lµ, l µ l ν ] = 1 16π iz 1 + z [ 1,, ] g µν z 1 + z 5. υπολογίζω όλα τα ολοκληρώµατα της 5.1: d 4 l { } π 4 lν l µ exp il z 1 + z = 1 ig µν 16π iz 1 + z z 1 + z d 4 l π 4 lµ q ν z { } 1 exp il z 1 + z = z 1 + z d 4 l π 4 qµ l ν z { } exp il z 1 + z = z 1 + z d 4 l π 4 qµ q ν z 1 z { } z 1 + z exp il z 1 +z q µ q ν z 1 z = 16π iz 1 + z z 1 + z d 4 l π 4 lν q µ z { } 1 exp il z 1 + z = z 1 + z d 4 l π 4 qν l µ z { } exp il z 1 + z = z 1 + z d 4 l π 4 lµ q ν z { } 1 exp il z 1 + z = z 1 + z d 4 l π 4 gµν q z 1 z { } z 1 + z exp il z 1 +z = d 4 l π 4 gµν q z 1 z { } z 1 + z exp il z 1 +z g µν q z 1 z 16π iz 1 + z z 1 + z g µν q z 1 z = 16π iz 1 + z z 1 + z d 4 l { } π 4 gµν m exp il z 1 + z = m g µν 16π iz 1 + z 147

150 Οπότε ο όρος Ξ της 5.1 γίνεται τώρα : 1 ig µν Ξ = 16π iz 1 + z z 1 + z qµ q ν z 1 z z 1 + z + gµν q z 1 z z 1 + z gµν q z 1 z z 1 + z + gµν m 1 = 16π iz 1 + z g µν q q µ q ν z 1 z z 1 + z + gµν[ i z 1 + z q z 1 z z 1 + z + m] Επιστρέφουµε στην 5.18 και ϐάζουµε όπου Ξ την ποσότητα που ϐρήκαµε στην 5.3. Το I µν ϑα είναι πλέον : I µν = i α dz c i dz 1 π i z 1 + z exp { i q z 1 z z 1 + z m i z 1 + z } { g µν q z 1 z [ q µ q ν z 1 + z + g µν i z 1 + z q z 1 z z 1 + z + m i Μιας και η πιο γενική µορφή ενός δευτεροβάθµιου τένσορα που µπορεί να σχηµατιστεί µόνο από το 4-διάνυσµα q µ, λόγω της gauge απαίτησης, είναι : ] } 5.4 Π µ, νq = g µν Aq + q µ q ν Bq 5.5 οι όροι της 5.4 που είναι ανάλογοι του g µν q q µ q ν αυτοµάτως επιζούν, ενώ όπως ϑα αποδείξουµε οι τρεις τελευταίοι όροι της 5.4 αυτοί που είναι

151 ανάλογοι του g µν, όχι : = = { exp i { exp i { = iλ λ = iλ λ exp iλ ] dz 1 dz z 1 + z c i [m i i q z 1 z z i 1 + z z 1 + z [ ]} q z 1z z 1 + z m i z 1 + z ] λ dz 1 λ dz λz 1 + λz c i [m i i q λz 1 λz λz i 1 + λz λz 1 + λz [ ]} q λz 1λz λz 1 + λz m i λz 1 + λz ] dz 1 dz z 1 + z c i [m i i λz i 1 + z q z 1 z z 1 + z [ ]} q z 1z z 1 + z m i z 1 + z { [ dz 1 dz λz 1 + z 3 c i exp iλ i dz 1 dz λ λ λ z 1 λ + z λ 3 i c i { exp iλ [ q q z 1z z 1 + z m i z 1 + z z 1λ z λ z 1λ + z λ m i z 1 λ + z λ όπου αρχικά ϑέσαµε το µετασχηµατισµό z i λz i. Επειτα, παίρνοντας τον αντίθετο µετασχηµατισµό λz i z i, παρατηρούµε ότι το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο από το λ και συνεπώς η 5.6 είναι ίση µε µηδέν. Οπότε, πλέον ικανοποιείται πλήρως η gauge-συνθήκη. Συνεχίζουµε εποµένως στον υπολογισµό του ϱεύµατος I µν της 5.4 µε όσους όρους απέµειναν. ]} ]} 5.6 I µν q = iα π q µq ν g µν q { [ i c i exp i dz 1 dz z 1 + z 4 z 1z ]} q z 1z z 1 + z m i z 1 + z 5.7 Κάνοντας χρήση της ταυτότητας 1 = dλ λ δ 1 z 1 + z λ

152 και αντικαθιστώντας την στο ολοκλήρωµα της εξίσωσης 5.7, έχουµε : I µν q = iα π q µq ν g µν q dλ dz 1 dz λ z 1 + z 4 z 1z δ 1 z 1 + z λ { [ ]} i c i exp i q z 1z z 1 + z m i z 1 + z Απαιτώντας, όπως πριν, τη ϐάθµωση z i λz i, έχουµε διαδοχικά : 1 λz 1 + λz λ I µν q = iα π q µq ν g µν q dλ λ dz 1 λ dλz λ λz 1 + λz 4 λz 1λz { [ δ c i exp i I µν q = iα π q µq ν g µν q i c i exp { iλ [ i dλ λ q z 1z z 1 + z m i z 1 + z 5.9 q λz 1λz λz 1 + λz m i λz 1 + λz dz 1 dz z 1 + z 4 z 1z δ ]} ]} z 1 + z Οπως ϕαίνεται από τα όρια του ολοκληρώµατος, πρέπει z i >. Επιπλέον αφού πρέπει λόγω του περιορισµού της δέλτα συνάρτησης να ισχύει z 1 + z = 1, ϑα πρέπει αναγκαστικά z 1, z ɛ[, 1]. Επίσης από τη δέλτα συνάρτηση προκύπει και ότι z 1 = 1 z z. Οπότε το διπλό ολοκλήρωµα πάνω στις δύο µεταβλητές z 1, z ανάγεται σε µονό, της µεταβλητής z. Εισάγουµε τις τροποποιήσεις αυτές στην εξίσωση 5.31 και παίρνουµε : 5.31 I µν q = iα π q µq ν g µν q { i c i exp 1 dz1 zz } iλ[q z1 z m ] dλ λ 5.3 Η ολοκλήρωση πάνω στο λ, δυστυχώς αποκλίνει λογαριθµικά. Ο υπολογισµός του γίνεται µε µια διαδικασία αποκοπής cut-off. Από την 5.11, επιλέγοντας C 1 = 1, C i = για i > 1 έτσι ώστε να αποκόψουµε τον απειρισµό 15

153 µε M πολύ µεγάλη µάζα, ισχύει : I µν = I µν m I µν M = iα π q µq ν g µν q 1 iα π q µq ν g µν q 1 = iα 1 π q µq ν g µν q 1 dz1 zz dz1 zz dz1 zz iα π q µq ν g µν q dz1 zz = iα 1 π q µq ν g µν q dz1 zz = iα π q µq ν g µν q 1 dz1 zz ln Στο τελευταίο ϐήµα κάναµε χρήση της ταυτότητας : dλ λ { } dλ λ exp iλ[q z1 z m ] { dλ λ exp { dλ λ exp expiaλ expibλ = ln b a iλ[q z1 z M ] iλ[q z1 z m ] dλ λ exp { iλm } Αποµονώνουµε το λογαριθµικό για να εκτελέσουµε κάποιες πράξεις : ln M m 1 q m z1 z = ln M m dλ λ exp { iλ[q z1 z m ] } exp iλm M m q 5.33 z1 z 1 1 q z1 z m 5.34 = ln M m + ln 1 1 q z1 z = ln M q ln 1 z1 z 5.35 m m m Επιστρέφουµε στην 5.33 και αντικαθιστώντας την 5.35 σε αυτήν, παίρνου- µε : I µν = iα π q µq ν g µν q = iα π q µq ν g µν q = iα π q µq ν g µν q = iα 6π q µq ν g µν q = iα 3π q µq ν g µν q [ 1 dz1 zz ln M ] 1 m dz1 zz ln 1 q z1 z m [ ln M [z ] 1 [ z 3 ] ] 1 1 m dz1 zz ln 1 q z1 z 3 m [ 1 6 ln M ] 1 m dz1 zz ln 1 q z1 z m [ ln M ] 1 m 6 dz1 zz ln 1 q z1 z m [ ln M 1 m 6 dz1 zz ln 1 q z1 z m ] } }

154 Οπως έχουµε ξαναδεί, ο ϕωτονιακός διαδότης γράφεται σαν το άθροισµα δύο όρων : ig µν q + i q I µνq i q 5.37 Εισάγοντας την 5.37 στην 5.36 και ταυτόχρονα διώχνοντας τους όρους που είναι ανάλογοι στα q µ και q ν αφού αυτοί εξαφανίζονται λόγω της διατήρησης του ϱεύµατος q µ j µ = στην ηλεκτρονιακή κορυφή της αλληλεπίδρασης έχουµε : [ ig µν q + i q iα 3π g µνq ln M ] 1 m 6 dz1 zz ln 1 q i z1 z m q [ = ig µν q 1 a 3π lnm m + α ] 1 dz1 zz ln 1 q i z1 z π m q 5.38 Η έκφραση της 5.38 αφορά διαδότη µε διορθώσεις τάξης α ή αλλιώς τάξης e οι συνολικές διορθώσεις στο πλάτος σκέδασης ϑα είναι τάξης α ή e 4 αντίστοιχα και αποτελεί γενικό αποτέλεσµα όποτε ένα ϕωτόνιο σχηµατίζει η- λεκτρονιακό ϐρόχο ανάµεσα σε δυο διατηρούµενα ϱεύµατα. Κάνουµε έλεγχο για τρεις ξεχωριστές περιπτώσεις : 1. q Στο όριο αυτό ο διαδότης αλλάζει µόνο κατά έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα Z 3, όπως ϕαίνεται απ την εξίσωση 5.38, ο οποίος ορίζεται : Z 3 = 1 α 3π ln M m 5.39 κι έτσι το αναλλοίωτο πλάτος για σκεδάσεις Coulomb όπως το πλάτος της 5.3 για τη σκέδαση Rutherford µε µικρή µεταφορά ορµής ϑα είναι : im = ie ūγ u q ie ūγ u q 1 α 3π ln M m = ie Rūγ u q 5.4 Συµπεραίνουµε ότι η παράµετρος e που εµφανίζεται στην εξίσωση Dirac δεν είναι 4π/137 αλλά κατά τι µεγαλύτερη, αφού η παράµετρος e R είναι η παράµετρος που µετρούµε 4π/137. Η παράµετρος e R ονοµάζεται επανακανονικοποιηµένο ϕορτίο και e ονοµάζεται το γυµνό ϕορτίο. Σε κάθε διαδικασία όπου ανταλλάσσεται ένα ϕωτόνιο, ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας Z 3 ϑα είναι παρών : e R Z 3 e = e 1 α 3π ln M m

155 ανεξάρτητα από τη µεταφορά ορµής. Συνεπώς, ϑα ισχύει η ίδια επανακανονικοποίηση του ηλεκτρονιακού ϕορτίου που προκύπτει από την στατική πόλωση του κενού. Εποµένως, η απόκλιση στον υπολογισµό τάξης e, εξαφανίζεται αν γράψουµε το αναλλοίωτο πλάτος ή την ενεργό διατοµή µε όρους του παρατηρήσιµου ϕορτίου e R. Οι παρατηρήσι- µες q εξαρτώµενες διορθώσεις προέρχονται από τον τελευταίο όρο της 5.38, ο οποίος εξαφανίζεται στο στατικό όριο q. Η συνεισφορά του είναι πεπερασµένη και ανεξάρτητη από τη διαδικασία αποκοπής. Μόνο η σχέση µεταξύ του e και e R εµπεριέχει την εξάρτηση από τη διαδικασία αποκοπής.. q /m << 1 Στο όριο χαµηλής µεταφοράς της ορµής, ο λογαριθµικός παράγοντας στον τελευταίο όρο της 5.38 γίνεται : ln 1 q z1 z m q z1 z m 5.4 iε Εποµένως η ποσότητα Iq ϑα είναι : Iq α 3π ln M m + α 15π q m 5.43 Οπότε, αν ανατρέξουµε πάλι στη σκέδαση Rutherford, το αναλλοίωτο πλάτος της εξίσωση 5.3 ϑα γίνει : im = ieūγ u i q 1 α 3π ln M m α 15π q m ize 5.44 Χρησιµοποιώντας την έκφραση του επανακανονικοποιηµένου ϕορτίου 5.41, τότε το παραπάνω πλάτος παίρνει τη µορφή : im = ie R ūγ u i q 1 e R 6π q m ize R im = ie R ūγ u i q 1 α R 15π q m ize R 5.45 Παροµοίως και σε αυτήν την περίπτωση οι απειρισµοί έχουν απορροφη- ϑεί στην πειραµατικά µετρούµενη ποσότητα του ϕορτίου του ηλεκτρονίου. Αυτό σηµαίνει ότι η έκφραση του πλάτους είναι πεπερασµένη και ότι δεν υπάρχει πουθενά η πολύ µεγάλη µάζα που ϑέσαµε ως cut-off. 3. q /m >> 1 Στο όριο των µεγάλων ορµών, δηλαδή για αλληλεπιδράσεις σε µικρές 153

156 αποστάσεις παρατηρούµε ότι ο λογαριθµικός παράγοντας στον τελευταίο όρο της 5.38 γίνεται : ln 1 q z1 z q m ln m 5.46 και εποµένως η ποσότητα Iq ϑα γίνει : Iq α 3π ln M m α 3π q m = α 3π ln M q 5.47 Μετά τον καθορισµό του cut-off εξίσωση 5.11 υποπτευθήκαµε πως ϑα εµφανιζόταν κάποιο πρόβληµα στο όριο των µεγάλων ορµών. Στην εξίσωση 5.47 ϕαίνεται ότι η υποψία αυτή επαληθεύεται, καθώς το αποτέλεσµα µας εξαρτάται από τη σταθερά αποκοπής και όπως ϕαίνεται για M η ποσότητα αποκλίνει λογαριθµικά. Επίσης, όταν το εικονικό ϕωτόνιο έχει ορµή που ξεπερνά το 4m, η διόρθωση του διαδότη γίνεται µιγαδική. Οπως έχουµε ξαναναφέρει αν στα αποτελέσµατά µας υπεισέρχεται η µεγάλη αυτή ποσότητα που χρησιµοποιήσαµε για τη διαδικασία της αποκοπής, τότε η ϑεωρία µας δε ϑεωρείται επιτυχής και στο αποτέλεσµά µας δεν υπάρχει καµία ϕυσική σηµασία. 5.3 Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας του ηλεκτρονίου Σειρά έχει η µελέτη των διαγραµµάτων c. Το αναλλοίωτο πλάτος σκέδασης προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό των συνεισφορών των στοιχείων του εκάστοτε διαγράµµατος, όπως αυτές δίνονται στον πίνακα µε τους κανόνες Feynman του προηγούµενου κεφαλαίου. Θα µελετήσουµε το ένα από τα δύο αφού το δεύτερο δεν παρουσιάζει κάποια διαφοροποίηση. Οπως η διόρθωση της ιδίας ενέργειας του ϕωτονίου τροποποιεί το διαδότη του ϕωτονίου, έτσι και η διόρθωση της ιδίας ενέργειας του η- λεκτρονίου τροποποιεί διορ- ϑώνει την κυµατοσυνάρτηση του εισερχοµένου ή εξερχοµένου για το άλλο ηλεκτρονίου. 154

157 όπου η διόρθωση Σp είναι : iσp i = ie Συνεπώς αν ϑεωρήσουµε ότι οι ορµές συµπεριφέρονται όπως ϕαίνεται στο διπλανό σχήµα, τότε το αναλλοίωτο πλάτος σκέδασης είναι : im = ū f ieγ µ Σp i u i ig µν q ij ν q 5.48 d 4 k π 4 i k λ + iε γ i ν p i k m + iε γν 5.49 Η εξίσωση 5.49 αποκλίνει µιας και στον παρονοµαστή έχουµε ως το πολύ τρίτες δυνάµεις ως προς k. Η παράµετρος λ είναι µια µικρή ϕωτονιακή µάζα που υποθέσαµε ώστε να γλιτώσουµε από τις ανεπιθύµητες υπέρυθρες αποκλίσεις. Παροµοίως µε το ϕωτονιακό διαδότη, ο ηλεκτρονιακός τροποποιείται και αυτός αντίστοιχα : i p m i p m + i p m iσp i i p m 5.5 Η γραφική αναπαράσταση της τροποποίησης του διαδότη : Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα η οποία ισχύει για δυο τελεστές Α,Β: Ξαναγράφω την 5.5: 1 A B = 1 A + 1 A B 1 A + 1 A B 1 A B 1 A i p i m i p i m Σp i 5.5 Το αριστερό µέλος λοιπόν της εξίσωσης αφορά το εισερχόµενο, µη αλληλεπιδρών ηλεκτρόνιο, ενώ το δεξιό αφορά το αλληλεπιδρών. Ξεκινάµε λοιπόν το υπολογισµό του Σp i επαναλαµβάνοντας τα ϐηµατα που ακολουθήσαµε και στον υπολογισµό του I µν. Συνεπώς αν στην

158 εφαρµόσουµε την ταυτότητα 5.1, ϑα πάρουµε : iσp = ie d 4 k i π 4 k λ + iε γ i ν p k m + iε γν = e π 4 d 4 k dz 1 e iz 1k λ +iε γ ν p k + m = e π 4 dz e iz p k m +iε γ ν Trγ ν p k + mγ ν }{{} ίχνος πινάκων : Τ d 4 k dz 1 e iz 1k λ +iε dz e iz p k m +iε 5.53 όπου το ίχνος προέκυψε µετατρέποντας το γινόµενο πινάκων σε γινόµενο των στοιχείων τους όπως πράξαµε και στην 5.13, διαδικασία γνωστή ως το τρικ του Cashimir. Υπολογίζω ξεχωριστά το παραπάνω ίχνος : T = Trγ ν p k + mγ ν = Trγ ν pγ ν γ ν kγ ν + γ ν mγ ν = Trγ ν pγ ν Trγ ν kγ ν + Trγ ν mγ ν = p + k + 4m = [m p k] 5.54 Επιστρέφουµε στην 5.53 αντικαθιστώντας της την iσp i = e π 4 d 4 k[m p k] dz 1 e iz 1k λ +iε dz e iz p k m +iε = e π 4 d 4 k[m p k] dz 1 dz e i[z 1k λ +iε+z p k m +iε] 5.55 Αποσκοπώντας στην συµπλήρωση τετραγώνου κάνουµε αλλαγή συντεταγµένων : l = k p iz = k p i + p iz 1 z 1 + z z 1 + z Οπότε ϑα αντικαταστήσουµε στις ποσότητές µας : k = l + p iz z 1 + z και k p i = l p iz 1 z 1 + z

159 Αντικαθιστώντας λοιπόν στην 5.55, έχουµε : iσp i = e π [ 4 d 4 l[m p k] λ dz 1 dz ] l + m z 1 + z exp i z 1 l + p iz pi z 1 + z z 1 + z }{{} Εκθετικό Ε 5.57 Υπολογίζω ξεχωριστά το παραπάνω εκθετικό : E = exp [iz 1 l + lp iz + p i z z 1 + z z 1 + z λ + p iz i z1 z 1 + z p ] iz 1 l + l m z 1 + z [ = exp iz 1 l + ilp iz 1 z + iz 1z p i z 1 + z z 1 + z iλ z 1 + ip i z 1 z z 1 + z ilz ] z 1 p i + iz l im z z 1 + z = exp [ il z 1 + z ] [ ] p exp i i z 1 z z 1 + z z 1 + z m z λ z Αντικαθιστώντας την έκφραση για το εκθετικό της 5.58 στην 5.57, παίρνου- µε : e iσp i = π 4 d 4 l [ m dz 1 pi z 1 z 1 + z l = e π 4 dz 1 dz e i [ d 4 l4me ilz 1+z dz e i p i z 1 z m z 1 +z z λ z 1 ] p i z 1 z e ilz 1+z z 1 +z m z λ z 1 d 4 l p iz 1 e ilz 1+z z 1 + z ] d 4 l le ilz 1+z 5.59 Στο σηµείο αυτό πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις 5. για να υπο- 157

160 λογίσουµε τα ολοκληρώµατα της Μετά τον υπολογισµό ϑα γίνει : iσp i = e dz 1 Σp i = α π 1 16π iz 1 + z dz e i p i z 1 z m z 1 +z z λ z 1 4m pz 1 z 1 + z dz 1 dz z 1 + z [ m pz 1 z 1 + z ] e i p i z 1 z m z 1 +z z λ z Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα 5.8 στην 5.6, η τελευταία γίνεται : Σp i = α dγ dz 1 dz π γ z 1 + z δ 1 z 1 + z γ m p iz 1 e i p i z 1 z m z 1 +z z λ z z 1 + z Εκτελώντας το µετασχηµατισµό z i z i = γz i, η 5.61 γίνεται : 1 γz 1 + γz γ Σp i = α dγ γ dz 1 γ dz π γ γz 1 + γz δ m p iγz 1 e i p i γz 1 γz m γz 1 +γz γz λ γz 1 γz 1 + γz = α dγ dz 1 dz π γ z 1 + z δ 1 z 1 + z m p iz 1 e iγ p i z 1 z m z 1 +z z λ z 1 z 1 + z 5.6 Εξάίτιας της δέλτα-συνάρτησης παίρνουµε z 1 + z = 1. Ωστόσο, από τα άκρα του ολοκληρώµατος ϐλέπουµε ότι z 1, z >. Αυτό σηµαίνει ότι z 1, z ɛ[, 1]. Λαµβάνοντας τα στοιχεία αυτά υπόψη η σχέση 5.6 ϑα γίνει : Σp i = α π 1 dz m p i 1 z dγ γ eiγp i 1 z z m z λ 1 z Το ολοκλήρωµα πλέον παρατηρούµε είναι µιας µεταβλητής z z: 5.63 Σp i = α 1 dγ dz m p π i 1 z γ eiγp i 1 zz m z λ 1 z+iε }{{} Jp i,m,λ 5.64 Το ολοκλήρωµα Jp i, m, λ αποκλίνει λογαριθµικά. Για το λόγο αυτό καταφεύγουµε στη διαδικασία της αποκοπής, αποτραβώντας την ποσότητα 158

161 Jp i, m, Λ, όπου Λ µια πολύ µεγάλη µάζα. Η πράξη αυτή είναι αντίστοιχη αυτής στην περίπτωση της πόλωσης του κενού στην αρχή της έκφρασης 5.33: Σp i, m, λ Σp i = Σp i, m, λ Σp i, m, Λ 5.65 Το ολοκλήρωµα Jp i, m, Λ ϑα είναι : Jp i, m, Λ = dγ γ eiγp i 1 zz m z λ 1 z+iε dγ γ e iγλ1 z 5.66 Εποµένως η διόρθωση Σp i, σύµφωνα µε τις σχέσεις 5.64, 5.66, 5.65 ϑα είναι : Σp i = α 1 dγ dz m p π i 1 z γ eiγp i 1 zz m z λ 1 z+iε α π = α π 1 1 dγ γ dz m p i 1 z dz m p i 1 z dγ γ e iγλ e iγp i z1 z m z λ 1 z e iγλ 1 z 5.67 Λαµβάνοντας υπόψη την ταυτότητα 5.34 η έκφραση 5.67 ϑα γίνει : 1 Σp i = α Λ 1 z dz m p π i 1 z ln m z + λ 1 z p i z1 z iε 5.68 Αποµονώνουµε το λογαριθµικό κοµµάτι, ας το ορίσουµε L, για να εφαρµόσουµε κάποιες ιδιότητες και να το ϕέρουµε στη µορφή που µας ϐολεύει : Λ 1 z L = ln m z + λ 1 z p i z1 z Λ 1 z = ln m z + λ 1 z m z + λ 1 z m z + λ 1 z p i 1 zz = ln Λ 1 z m z + λ 1 z m z + ln m z + λ 1 z p i 1 zz 5.69 Εποµένως, αντικαθιστώντας την έκφραση της 5.69 στην 5.68, παίρνουµε : Σp i = α π + α π 1 1 dz m p i 1 z ln Λ 1 z m z 5.7 m z + λ 1 z dz m p i 1 z ln m z + λ 1 z p 5.71 i z1 z 159

162 Παίρνουµε µόνο τον όρο 5.7, ας τον ονοµάσουµε O 1 και κάνουµε τους υπολογισµούς : O 1 = mα π = mα π 1 = αm π + αm π 3αm 4π = 3αm 4π dz ln Λ 1 z m z α π p i α π p 1 i ln Λ m ln Λ m λ ln m 5 α 4 π p i α 4π p i ln Λ m Λ ln m + αm Λ ln 4π m α 4π p i ln Λ m dz1 z ln Λ 1 z m z Λ ln m α 4π p i m ln Λ m 5.7 Επιστρέφοντας τώρα στην 5.71 και αντικαθιστώντας την 5.7, ϑα πάρουµε : Σp i = 3αm 4π + α π 1 Λ ln m α 4π p i m ln Λ m m z + λ 1 z dz m p i 1 z ln m z + λ 1 z p 5.73 i z1 z Στην παραπάνω εξίσωση 5.73 έχουµε καταφέρει να περιορίσουµε την παρουσία της µεγάλης µάζας Λ στους δύο πρώτους όρους οι οποίοι ϑα υποβληθούν στη διαδικασία επανακανονικοποίησης. Το ολοκλήρωµα δεν περιέχει τη µάζα αυτή και εποµένως είναι πεπερασµένο. Μετά την επανακανονικοποίηση ϑα καταλήξουµε σε µια πεπερασµένη διόρθωση Σp i. Το ολοκλήρωµα, ας το 16

163 ονοµάσουµε Ι, υπολογίζεται για p m << mλ: I = α π = αm π = αm π m z + λ 1 z dz m p i 1 z ln m z + λ 1 z p i z1 z m z dz ln m p i 1 z α 1 π p m z i dz ln m p i 1 z dz ln m z αm 1 dz ln m p i 1 z π 1 1 α π p i dz1 z ln m z + α π p i = αm 1 + ln m 1 + m ln m π p i α 1 π p i ln m dz1 z lnm p i 1 z m p i lnm p i p i + α π p m p i + p4 i m4 ln m + m 4 p 4 i lnm p i i = αm π α 4π p i = αm π m p i p i p i m m p i p i p i 4p 4 i ln m + m p i p i ln m p i m + ln m p4 i m4 p 4 i lnm p i + m4 p 4 i α 4π p m p i i p i p 4 i lnm p i 1 + m + p i p i ln m p i m 5.74 Αντικαθιστώντας πίσω στην 5.73 το αποτέλεσµα από τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος της 5.74, παίρνουµε : Σp i = 3αm 4π + αm π Λ ln m α 4π p i m ln Λ m m p i p i ln m p i m α 4π p i m p i p i 1 + m + p i p i ln m p i m 5.75 Κοντά στο mass-shell, όπου p m αλλά p m >> mλ, µε την προϋπόθεση ότι το Σ ϐρίσκεται δίπλα σε κάποιον σπίνορα ελεύθερου σωµατιδίου : Σp i = 3a Λ m ln 4π m α 4π p i m ln Λ m + 4 ln m p i m 5.76 Παρατηρούµε ότι όταν p i m έχουµε λογαριθµική ανωµαλία. Για τιµές της ορµής p i > m, το Σ γίνεται µιγαδικό και ανταποκρίνεται στην ύπαρξη της διαδικασίας διάσπασης εικονικού ηλεκτρονίου σε ηλεκτρόνιο και ϕωτόνιο σε αναλογία µε ότι συµβαίνει και στο ϕωτονιακό διαδότη. 161

164 Ορµώµενοι από την 5.76, γράφουµε τη διόρθωση Σp i του διαδότη ως εξής : Σp i = δm [Z Cp i ] p i m 5.77 όπου έχουµε ϑεωρήσει : και Z Cp i = α 4π δm = 3αm Λ ln 4π m 5.78 ln Λ m + 4 ln m p i m Το Cp διαλέγεται έτσι ώστε για p i = m, να µηδενίζεται. Εποµένως, δεν περιέχει καµία εξάρτηση από τη σταθερά αποκοπής Λ. Συνεπώς, για p i = m γίνεται : Z 1 1 = a ln Λ m ln 4π m λ 5.79 Εποµένως χρησιµοποιώντας την 5.77, η τροποποίηση του διαδότη 5.5 γίνεται : i p i m Σp i = = = i p i m δm [Z Cp i ] p i m iz p i m[1 + Z Cp i ] Z δm iz p i m δm[1 + Cp i ] + Oa 5.8 Ταυτοποιούµε m ph = m + δm ως τη ϕυσική µάζα του ηλεκτρονίου. Οπως ϕαίνεται, η παράµετρος m που εµφανίζεται στην εξίσωση Dirac δεν αποτελεί κάποια ϕυσική ποσότητα, αλλά αποτελεί µια µη µετρήσιµη ποσότητα, όπως ακριβώς συµβαίνει και µε την παράµετρο του γυµνού ϕορτίου που µελετήσαµε παραπάνω. Λόγω της αλληλεπίδρασης του ηλεκτρονιακού πεδίου µε το ηλεκτροµαγνητικό, η πραγµατική µάζα του ηλεκτρονίου m ph διαφέρει από τη µάζα m του µη αληλεπιδρόντος λεπτονίου. Η m ph ονοµάζεται επανακανονικοποιηµένη µάζα. Παρ ολο που η διόρθωση της µάζας είναι µια πεπερασµένη ποσότητα, συγκριτικά µε τη µάζα αποκοπής Λ είναι εξαιρετικά µικρή. Γιάυτό, µε σκοπό να απαλλαγούµε από τη διόρθωση αυτή της µάζας, καταφεύγουµε στο να ξαναγράψουµε την εξίσωση Dirac σε όρους της ϕυσικής µάζας και να ϑεωρήσουµε τη διαφορά λόγω της διόρθωσης σαν έναν επιπλέον όρο αλληλεπίδρασης. ηλαδή : i m ph ψx = i m δmψx = i mψx δmψx =

165 Συνεπώς, η χρήση της ϕυσικής µάζας στην εξίσωση Dirac, αποζηµιώνεται από τον counter-term µάζας δmψx. Οπως ϕαίνεται η εισαγωγή της ϕυσικής µάζας στην Dirac, αναδεικνύει ένα παραπάνω όρο αλληλεπίδρασης της µορ- ϕής ηλαδή, µεταφράζοντας την αλληλεπίδραση, καταλαβαίνουµε ότι σε κάθε γρά- ϕηµα δύο γραµµών ενός διαγράµµατος Feynman, πρέπει να συνεισφέρει πολλαπλασιαστικά στο αναλλοίωτο πλάτος ένας όρος iδm, όπως ακριβώς συνεισφέ- ϱει για κάθε κορυφή ένας παράγοντας ieγ µ. Πάντως στο όριο p i m ph, όπου ισχύει ότι Cp i =, ο counter-term που ϐρήκαµε ακυρώνει τον πρώτο όρο της διόρθωσης Αυτό σηµαίνει, σύµφωνα µε την 5.8, ότι ο ηλεκτρονιακός διαδότης µεταβάλλεται µόνο κατά έναν παράγοντα Z. i p i m iz p i m 5.8 Ο παράγοντας Z είναι αντίστοιχος µε τον παράγοντα Z 3 που επανακανονικοποιεί το ϕορτίο 5.41 στην περίπτωση της διόρθωσης του ϕωτονιακού διαδότη. Παροµοίως και εδώ, ο παράγοντας αυτός µπορεί να απορροφηθεί από τον ε- παναορισµό του ϕορτίου που εµφανίζεται στις κορυφές σε οποιοδήποτε άκρο της ηλεκτρονιακής γραµµής στο διάγραµµα Feynman: e R = Z e 5.83 Παρ όλα αυτά, αυτό δεν είναι απαραίτητο µιας, και όπως ϑα δούµε παρακάτω στην περίπτωση της διόρθωσης του διαγράµµατος b, η αντίστοιχη διόρθωση αλληλοαναιρείται µε τούτη. Τέλος, δεν µπορούµε κιόλας να περιµένουµε ο παράγοντας Z να έχει µεγάλη ϕυσική σηµασία, εφ οσον περιέχει την µάζα αποκοπής Λ. 5.4 Η διόρθωση της κορυφής Σειρά έχει η µελέτη του διαγραµµάτος b. Το αναλλοίωτο πλάτος ϑα προκύψει από τον πολλαπλασιασµό των συνεισφορών των στοιχείων του διαγράµµατος, όπως αυτές δίνονται στον πίνακα µε τους κανόνες Feynman του προηγούµενου κεφαλαίου. Οπως στις προηγούµενες περιπτώσεις οι ϐρόχοι τροποποίησαν το ϕωτονιακό και ηλεκτρονιακό διαδότη αντίστοιχα, έτσι και στην περίπτωση αυτή, το ϕωτόνιο που εκπέµπεται πριν τη σκέδαση και απορροφάται µετά ϑα τροποποιεί τη συνεισφορά της κορυφής και κατέπέκταση το ηλεκτρονιακό ϱεύµα. Το ϕαινόµενο αυτό ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. 163

166 Στο διάγραµµα αυτό εµφανιζεται ϐρόχος ο οποίος τροποποιεί το ηλεκτρονιακό ϱεύµα της κορυφής. Εποµένως, σύφωνα µε τη συµπεριφορά των ορµών, όπως ϕαίνεται στο πα- ϱακάτω σχήµα, το αναλλοίωτο πλάτος σύµφωνα µε τους κανόνες Feynman ϑα είναι : im = ū f ieγ µ p i, p f u i g µν q j ν q 5.84 όπου η τροποποίηση της κορυφής της αλληλεπίδρασης είναι : και σχηµατικά : ieγ µ ieγ µ p i, p f ieγ µ ieλ µ p i, p f 5.85 και ο διορθωτικός παράγοντας Λp i, p f είναι, πάλι σύµφωνα µε τους κανόνες Feynman: d 4 k i i i Λp i, p f = π 4 k λ + iε γν p i k m + iε γµ p f k m + iε γ ν 5.86 Η ορµή που κυκλοφορεί γύρω από το ϐρόχο πάλι δεν είναι περιορισµένη, εποµένως το ολοκλήρωµα αποκλίνει κι έτσι πρέπει να καταφύγουµε πάλι στη 164

167 διαδικασία της επανακανονικοποίησης. Επιπροσθέτως, προσδώσαµε στο ϕωτόνιο µια πολύ µικρή µάζα λ, µε σκοπό να αποφύγουµε τις πιθανές υπέρυθρες αποκλίσεις. Το ολοκλήρωµα της 5.86 γίνεται : d 4 k i i Λp i, p f = π 4 k λ + iε γν p i k + m p i k m + iε γ µ i p f k + m p f k m + iε γ ν 5.87 Λαµβάνοντας υπόψη την ταυτότητα 5.1 το ολοκλήρωµα της 5.87 γίνεται : Λp i, p f = d 4 k π 4 dz 1 e iz 1k λ +iε γ ν p i k + m e iz p i k m +iε γ µ p f k + m dz 3 e iz 3 p f k m +iε γν d 4 k = π 4 dz 1 dz dz 3 exp [ iz 1 k λ + iz pi k m + iz pi k m ] [ Tr γ ν p i k + mγ µ ] p f k + mγ ν 5.88 Υπολογίζουµε το ίχνος µε ϐάση τις ιδιότητες που έχουµε καταγράψει στο προηγούµενο κεφάλαιο και το ολοκλήρωµα της 5.88 γίνεται : Λp i, p f = dz d 4 k π 4 dz 1 dz dz 3 exp [ iz 1 k λ + iz pi k m + iz pi k m ] 4 [γ µ p i kp f k k + p i + p f + k µ k mk µ ] 5.89 Επαναλαµβάνοντας τα ίδια ϐήµατα που ακολουθήσαµε για τον υπολογισµό των προηγούµενων διορθώσεων : Αλλαγή συντεταγµένων Υπολογισµός του εκθετικού και αποµόνωση του όρου που είναι ανεξάρτητος από τη νέα µεταβλητή Υπολογισµός των ολοκληρωµάτων που προκύπτουν πάνω σε όλες τις ορµές µε τη ϐοήθεια των σχέσεων 5. Χρήση της ταυτότητας 5.8 ιαδικασία αποκοπής για να σταµατήσει το ολοκλήρωµα να αποκλίνει µε τη ϐοήθεια µιας πολύ µεγάλης µάζας Λ 165

168 Βρίσκουµε ότι η διόρθωση Λp i, p f ϑα είναι : Λp i, p f = α ] 4π γ µ [ln Λ m + O1 + α π γ µ dz 1 dz dz 3 δ 1 3 z i m 1 z 1 + λ z 1 ln m 1 z 1 + λ z 1 q z z 3 iε α 3 dz 1 dz dz 3 δ 1 z i 4π i=1 [ pi 1 z p f z 3 + m ] γ µ [ pf 1 z 3 p i z + m ] γ ν γν i=1 m 1 z 1 + λ z 1 q z z 3 iε 5.9 Στο σηµείο αυτό µπορούµε να λιγοστέψουµε τους όρους του αριθµητή του τελευταίου όρου της παραπάνω έκφρασης 5.9, αντεµεταθέτοντας τα p i και p f στις δυο άκρες, όπου και ϑα δράσουν πάνω στους ηλεκτρονιακούς σπίνορες, µιας και διόρθωση Λ µ εγκλωβίζεται ανάµεσα σε αυτούς. Με χρήση λοιπόν και του αναπτύγµατος Gordon: ū i p i γ µ up f = 1 mūp f p f + p i + iσ µν p f p i ν upi 5.91 ο τελευταίος όρος της 5.9 γίνεται : γ µ [ m 1 4z 1 + z 1 + q 1 z 1 z 3 ] mz 1 z [ q, γ µ ] 5.9 Η ολοκλήρωση πάνω στα z i είναι δύσκολη και µακροσκελής διαδικασία ωστόσο το αποτέλεσµα έχει υπολογισθεί και υπάρχει σε κάποιες πηγές και για το λόγο αυτό περιοριζόµαστε στη µελέτη των δύο ορίων q << m και q >> m. Αυτά δίνουν µόνο για τον τρίτο όρο της 5.9: Για q << m : [ γ µ + Λp i, p f = γ µ 1 + α q 3π m ln m λ 3 ] + α 8 8mπ [ q, γ µ] 5.93 Για q >> m : γ µ + Λp i, p f = γ µ [ 1 α π ln m λ ln q m 1 + O ] m q 5.94 Οταν µελετήσαµε τη διόρθωση στην περίπτωση της πόλωσης του κενού, για την περίπτωση µικρής µεταφοράς ορµής q << m, είδαµε το πως αυτή συνεισφέρει στην τροποποίηση κάποιων αλληλεπιδράσεων, όπως για παράδειγµα 166

169 της σκέδασης Rutherford, όπως ϕαίνεται στην εξίσωση Εισάγοντας το αποτέλεσµα αυτό, σε εκείνο που πήραµε στην εξίσωση 5.93 ϐλέπουµε ότι το ϕαινόµενο της πόλωσης του κενού προσθέτει µια σταθερά 1/5 στη σταθερά 3/8 της Οι άλλοι όροι της που έχουν να κάνουν µε την υπέρυθρη α- πόκλιση και µε τη µαγνητική ϱοπή δεν επηρεάζονται από την εισαγωγή αυτή. Αναπτύσσουµε τώρα το Λ µ p i, p f σαν άθροισµα ενός όρου της αλληλεπίδρασης µηδενικής µεταφοράς ενέργειας ευθεία σκέδαση q = p i p f και ενός της διαφοράς τους : Λ µ p i, p f = Λ µ p, p+λ µ p i, p f Λ µ p, p Λ µ p, p+λ µ c p i, p f 5.95 Ξεχωρίζουµε λοιπόν το άπειρο κοµµάτι από το πεπερασµένο ϑεωρώντας πως το άπειρο εµπεριέχεται εξ ολοκλήρου στο Λ µ p, p. Οταν κατασκευάζουµε την ευθεία σκέδαση, προφανώς δεν έχουµε στη διάθεσή µας το τετραδιάνυσµα ορµής q µ. Αυτό σηµαίνει ότι το Λ µ p, p ϑα µπρεί να κατασκευαστεί αποκλειστικά από όρους ανάλογους των γ µ και p µ : ūpλ µ p, pup = Aūpγ µ up + Bp µ ūpup 5.96 Λόγω του αναπτύγµατος Gordon για το ϱέυµα Dirac 5.91, το οποίο για p i = p f = p δίνει : mū f pγ µ u i p = p µ ū f pu i p 5.97 η εξίσωση 5.96 ϑα γίνει : Εποµένως η εξίσωση 5.95 ϑα γραφτεί : ūpλ µ p, pup = Lūpγ µ up 5.98 Λ µ p i, p f = Lγ µ + Λ µ c p i, p f 5.99 Το σκεπτικό µε το οποίο κινούµασταν ώστε να ϕτάσουµε στην 5.99, είναι ότι στο όριο Λ αφενός να επανακτούµε την QED και αφετέρου, παρ όλο που η ποσότητα L ϑα απειρίζεται, ο όρος Λ µ c p i, p f να παραµένει πεπερασµένος και κατ επέκταση να παραµένει πεπερασµένη η Λ µ p i, p f. Εποµένως ϑέτοντας κατά σύµβαση ότι : Z 1 = 1 + L 1 Z 1 1 = 1 + L Z = L 5.1 η εξίσωση 5.98 ϑα πάρει τη µορφή : ūpλ µ p, pup = Z 1 1 1ūpγ µ up 5.11 όπου όπως και η L, η ποσότητα Z 1 είναι µια σταθερά η οποία εξαρτάται από τις µάζες m = p, λ και από τη σταθερά αποκοπής Λ που απαιτείται για να είναι πεπερασµένη η διόρθωση. 167

170 5.5 Ταυτότητες Ward Ωστόσο, όσον αφορά την ποσότητα Z 1 που χρησιµοποιήσαµε στην 5.11, κρίνεται µη αναγκαίο να την υπολογίσουµε. Αυτό διότι εαν συγκρίνουµε την 5.86 για p i = p f = p µε την 5.49 παρατηρούµε ότι : Λ µ p, p = Σp p µ 5.1 όπου έγινε χρήση της ταυτότητας p µ 1 p m = 1 p m γ 1 µ p m 5.13 Η εξίσωση αυτή µας δίνει την πληροφορία ότι η παραγώγιση ενός ελεύθερου διαδότη ως προς την ορµή ισοδυναµεί µε την εισαγωγή ενός ϕωτονίου µηδενικής ενέργειας στη γραµµή εικόνα α. Προφανώς µπορούµε να συσχετίσουµε τη διόρθωση της κορυφής για q = µε το διάγραµµα ιδίας ενέργειας και αυτό ακριβώς υποδεικνύει η εξίσωση 5.1, εικόνα ϐ : Εκτελώντας την παραγώγιση που υπαγορεύει η εξίσωση 5.1, ϐρίσκουµε : ūpλ µ p, pup = Z 1 1ūpγ µ up 5.14 και συγκρίνοντάς την µε την εξίσωση 5.11 προκύπτει ότι Επίσης η 5.85 δίνει ότι : Z 1 = Z 5.15 ieγ µ ieγ µ ieλ µ p i, p f = ieγ µ ielγ µ = ieγ µ 1 + L = iz 1 1 eγµ 5.16 δηλαδή, ότι το ϕορτίο χρειάζεται µια περεταίρω επανακανονικοποίηση πέρα από αυτές που πράξαµε στις προηγούµενες περιπτώσεις : e R = Z 1 1 e 5.17 Εποµένως, από 5.41, 5.83, 5.17 προκύπτει ότι η τελική µορφή του επανακανονικοποιηµένου ϕορτίου είναι : έκφραση η οποία µέσω της 5.15 γίνεται : e R = Z 3 Z Z 1 1 e 5.18 e R = Z 3 e

171 Το αποτέλεσµα αυτό που ϐρήκαµε είναι πολύ σηµαντικό. Κατ αρχήν, εκτελώντας την παραπάνω ανάλυση ϑεωρήσαµε ότι στον επαναορισµό του ηλεκτρονιακού ϕορτίου συνεισφέρουν διορθωτικοί παράγοντες και από τα τρία διαφορετικά είδη διορθώσεων. Αν λοιπόν επαναλάβουµε τον υπολογισµό των διορθώσεων για τα γραφήµατα a, b, c για την περίπτωση σκέδασης ενός µιονίου από έναν πυρήνα, τότε ϑα πρέπει να ϐρούµε διαφορετικό αποτέλεσµα. Αυτό γιατί, ενώ στη διόρθωση λόγω της πόλωσης του κενού το είδος του σωµατιδίου δεν παίζει κάποιο ϱόλο, στις άλλες δύο περιπτώσεις η µάζα του σωµατιδίου υπεισέρχεται στους διορθωτικούς παράγοντες. Αυτό όµως έρχεται σε σύγκρουση µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα τα οποία µας δίνουν ότι το ηλεκτρόνιο και το µιόνιο έχουν ακριβώς το ίδιο ηλεκτρικό ϕορτίο. Η συµφωνία της ϑεωρίας µε το πείραµα εξασφαλίζεται µέσω της εξίσωσης 5.15, κατά την οποία η η τροποποίηση του ϕορτίου λόγω του γραφήµατος b και η αντίστοιχη τροποποίηση λόγω του γραφήµατος c αλληλοεξουδετερώνονται. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η 5.19 να αποτελεί την πλήρη απάντηση για τον επαναορισµό του ϕορτίου και δηλαδή, ο παράγοντας επανακανονικοποίησης δίνεται εξόλοκλήρου από την Συνεπώς, το ϕορτίο του ηλεκτρονίου και του µιονίου είναι ίδια καθολικότητα της ηλεκτροµαγνητικής αλληλεπίδρασης αφού το µόνο διάγραµµα που συνεισφέρει είναι αυτό της πόλωσης του κενού, στο οποίο δεν υπεισέρχεται κάπου η µάζα το είδος του σωµατιδίου. Η αλληλοαναίρεση αυτή επαναλαµβάνεται σε όλες τις µεγαλύτερες τάξεις της ϑεωρίας διαταραχών. Η ιδιότητα αυτή ανάµεσα στα διαγράµµατα b, c αντικατοπτρίζει µια πολύ ϐασική ιδιότητα των ϑεωριών πεδίου που ονοµάζεται ταυτότητα Ward. 5.6 Η µετατόπιση Lamb & η ανώµαλη µαγνητική ϱοπή Η παρουσία των παραπάνω ϐρόχων και η επανακανονικοποίηση του ϕορτίου δεν αποτελούν απλώς ϑεωρητικά κατασκευάσµατα, αλλά οι προβλέψεις και τα ϕαινόµενα που υπεισέρχονται έχουν εξακριβωθεί πειραµατικά. ύο µεγάλες επιτυχίες της ϑεωρίας είναι η µετατόπιση Lamb ανάµεσα σε δύο αρχικά εκφυλισµένες στάθµες του υδρογόνου και η παρουσία ενός διορθωτικού όρου στη µαγνητική ϱοπή του ηλεκτρονίου που ονοµάζεται ανώµαλη µαγνητική ϱοπή. Μετατόπιση Lamb Οταν πια ϕαινόταν ότι για τις ενεργειακές στάθµες του υδρογόνου ήταν τα πάντα γνωστά, οι Lamb και Retherford το 1947 αποφάσισαν να ελέγξουν τα αποτελέσµατα της ϑεωρίας του Dirac. Χρησιµοποίησαν λοιπόν τεχνικές µε µικροκύµατα που ήταν διαθέσιµες από τις κατασκευές των ϱαντάρ και κατέληξαν πως η εµφάνιση µιας ενεργειακής διαφοράς στη χαµηλότερη στάθµη του διεγερµένου ατόµου του υδρογόνου δεν µπορούσε να εξηγηθεί µε κανέναν τρόπο χωρίς την εισαγωγή νέας ϕυσικής, της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. Ας 169

172 τα πάρουµε όµως µε τη σειρά. Από την εξίσωση 5.45: im = ie R ūγ u i q 1 e R q 6π m ize R 5.11 ο πρώτος όρος που είναι ανάλογος του q, σχετίζεται µε το δυναµικό Coulomb. Ο συσχετισµός αυτός απορρέει από το µετασχηµατισµό : 1 q = d 3 xe i q x 1 4π x Εποµένως λαµβάνοντας την παραπάνω εξίσωση 5.111, περνώντας τώρα από το χώρο των ορµών στο χώρο των µετατοπίσεων, αναδεικνύεται το δυναµικό Coulomb στη συνηθισµένη του µορφή : V 1 r = Ze R π 3 d 3 qe i q r 1 q = Ze R 4πr 5.11 Ο δεύτερος όρος της 5.45 αντιπροσωπεύει την επίδραση του κβαντικού ϕαινοµένου του e e + ϐρόχου κατά τη διάδοση του ανταλασσόµενου ϕωτονίου. Αυτός περιέχει επίσης έναν παράγοντα q αντίστοιχο µε αυτόν του πρώτου όρου. Επίσης, αφού στο χώρο των συντεταγµένων q ο δεύτερος όρος ϑα αντιστοιχεί σε ένα δυναµικό της µορφής : V r = e R 6m π Ze R πr Λόγω της σχέσης για τη δέλτα συνάρτηση 1 = δ r πr ο όρος του δυναµικού της εξίσωσης ϑα γίνει : V r = Ze4 R 6m δ r π Συνεπώς το ολοικό δυναµικό αλληλεπίδρασης του ηλεκτρονίου µε τον πυρήνα ϑα αποτελείται από τους δύο όρους των 5.11, και ϑα είναι : V r = Ze R 4πr Ze4 R 6m δ r π Στην έκφραση αυτή του δυναµικού, όταν q, το ηλεκτρόνιο «ϐλέπει» α- πό µεγάλη απόσταση το στατικό ϕορτίο του πυρήνα Ze R και αλληλεπιδρά µαζί του µέσω της αλληλεπίδρασης Coulomb. Η αλληλεπίδραση εκφράζεται µέσω του πρώτου όρου της εξίσωσης Το e R αποτελεί το γνωστό 17

173 ηλεκτρονιακό ϕορτίο το οποίο µετράται πειραµατικά στις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Καθώς όµως η ορµή q αυξάνει και το ηλεκτρόνιο πλησιά- Ϲει περισσότερο τον πυρήνα, διαπερνά το νέφος εικονικών Ϲευγών e e + που τον περιτριγυρίζει. Αυτό λοιπόν εντείνει την αλληλεπίδραση οι δυο όροι έχουν ίδιο πρόσηµο µε τον δεύτερο όρο να εκφράζει το ϕαινόµενο αυτό. Εποµένως, η παρουσία του ϐρόγχου προσδίδει µια επιπλέον ελκτική δύναµη ανάµεσα στο ηλεκτρόνιο και τον πυρήνα. Η παραπάνω αλληλεπίδραση είναι ανιχνεύσιµη και έχει καθιερωθεί και πειραµατικά. Αν ϑέσουµε Z = 1 τότε πρόκειται για την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-πρωτονίου, η οποία λαµβάνει χώρα στο εσωτερικό του ατόµου του υδρογόνου. Η λοιπόν αφορά στην περίπτωση αυτή τη δέσµια κατάσταση του ατόµου Η συµπεριλαµβανοµένης και της επιπλέον έλξης όπου το ηλεκτρόνιο ϐρίσκεται µέσα στο σύννεφο των Ϲευγών e e + το οποίο ϑωρακίζει το ϕορτίο του πυρήνα. Το ϕαινόµενο αυτό αντιπροσωπεύεται σε χαµηλότερη τάξη από το δ r δυναµικό και συνεισφέρει στα ενεργειακά επίπεδα E nl του ατόµου του υδρογόνου. Το µέγεθος του υπολογίζεται µε εφαρµογή απλής κβαντικής µηχανικής, σύµφωνα µε την οποία µπορούµε να χειριστούµε το δεύτερο όρο της σαν διαταραχή. Ετσι, αποκτούµε τη συνεισφορά στη µετατόπιση Lamb. E nl = e4 R 6π m Ψ nl δ l = 8a3 R 15πn 3 R yδ nl όπου η Ψ nl είναι οι κυµατοσυναρτήσεις του ατόµου του υδρογόνου και R y = mαr / είναι η σταθερά του Rydberg. Το δ l προκύπτει επειδή το δ r δυναµικό µπορεί µόνο να διαταράξει µόνο τα ενεργειακά επίπεδα που περιγράφονται από κυµατοσυναρτήσεις που είναι πεπερασµένες στη ϑέση r =, δηλαδή αυτές για τις οποίες ισχύει l = s τροχιακά, στα p τροχιακά η αρχή των αξόνων δε συµπεριλαµβάνεται. Η διαταραχή λοιπόν ϑα ανυψώσει κατά ένα ενεργειακό διάστηµα τη στάθµη s 1/, ενώ ϑα αφήσει αδιατάρακτη την p 1/. Αν δε συµπεριλάβουµε καθόλου τις διορθώσεις ανώτερης τάξης πόλωση του κενού, ιδιοενέργεια του ηλεκτρονίου και διόρθωση της κορυφής, οι δύο αυτές στάθµες είναι εκφυλισµένες. Το αποτέλεσµα αυτό επιβεβαιώνεται πει- ϱαµατικά µετρώντας τη συνολική µετατόπιση Lamb, ανάµεσα στα επίπεδα s 1/ και p 1/, η οποία έχει ϐρεθεί 157MHz. Η εξίσωση λοιπόν 5.117, συνεισφέρει κατά 7M Hz το αρνητικό πρόσηµο δείχνει ότι µετατοπίζει την στάθµη προς τα κάτω στην ολική µετατόπιση Lamb, στην οποία όπως ϕαίνεται συνεισφέρουν περισσότερο τα άλλα διαγράµµατα Oα. ηλαδή, το δυναµικό λόγω της πόλωσης του κενού συµβάλει κατά ένα µικρό, αλλά µετρήσιµο, ποσοστό στη συνολική άρση του εκφυλισµού. Το ϕαινόµενο αυτό απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα : 171

174 Τελικά καταλήγουµε ότι η αλληλεπίδραση του ηλεκτρονίου µε τον πυρήνα ε- ξαρτάται από την απόσταση ορµή. Για παράδειγµα, το άτοµο του υδρογόνου αποτελεί δέσµια κατάσταση λόγω της ανταλλαγής ϕωτονίων του ηλεκτρονίου και του πρωτονίου του πυρήνα. Η δύναµη Coulomb κρατά τα δυο σωµάτια σε κάποια απόσταση η οποία κατά µέσο όρο είναι ίση µε την ακτίνα του Bohr. Σύµφωνα µε την κβαντική ηλεκτροδυναµική, το ηλεκτρόνιο αποκλίνει από αυτή την απόσταση λόγω ανάµεσα και σε άλλους λόγους της συνεχούς εµφάνισης Ϲευγών e e +. Μπορούµε ποιοτικά να ϑεωρήσουµε ότι τα εικονικά ηλεκτρόνια έλκονται από τον πυρήνα, ενώ τα ποζιτρόνια απωθούνται πόλωση του κενού. Ετσι τα εικονικά ηλεκτρόνια ϑωρακίζουν τον πυρήνα όταν το ηλεκτρόνιο ϐρίσκεται µακριά και η έλξη µειώνεται. Ωστόσο, ένα ηλεκτρόνιο που ϐρίσκεται στην s στάθµη, ϑα εισχωρήσει στο νέφος αυτό και εν τέλει ϑα το διαπεράσει ώστε να καταφέρει να «δει» ολόκληρο το ϕορτίο του πυρήνα. Συνεπώς, η ελκτική δύναµη όσο το ηλεκτρόνιο προσεγγίζει τον πυρήνα, ενισχύεται. Ανώµαλη Μαγνητική Ροπή Οπως αναλύσαµε παραπάνω, ο ϐρόχος της πόλωσης του κενού αποτελεί έ- να µόνο κλάσµα της συνολικής άρσης του εκφυλισµού των σταθµών µε ίδια συνολική στροφορµή s 1/ και p 1/. Η συνολική µετατόπιση Lamb ϐρίσκεται αν συνυπολογίσουµε και τις συνεισφορές και των άλλων διαγραµµάτων που περιέχουν ϐρόχους. Οµως, εκτός από την παραπάνω µετατόπιση, διαγράµµατα που εµπεριέχουν ϐρόχους, συγκεκριµένα αυτό που ο ϐρόχος σχηµατίζεται γύρω από την κορυφή, αποτελεί αιτία και για την παρουσία ενός άλλου ϕαινοµένου, της µεταβολής της µαγνητικής ϱοπής του ηλεκτρονίου. Για το όριο q << m η διόρθωση στην κορυφή δίνεται από την Την ξαναγρά- ϕουµε παρεµβαλόµενη ανάµεσα στους σπίνορες ώστε να πάρουµε ουσιαστικά 17

175 την τροποποίηση του ηλεκτρονιακού ϱεύµατος της κορυφής 5.85: { [ eū f γ µ u i eū f γ µ 1 + α q 3π m ln m λ 3 ] + α } 8 8mπ [ q, γ µ] u i Ο πρώτος όρος της δίνει µια συνεισφορά στη µετατόπιση Lamb. Ο υπολογισµός της δυστυχώς είναι µακροσκελής και απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή, γιάυτό και ϑα τον παρακάµψουµε. Ο δεύτερος όρος της παρουσιάζει ενδιαφέρον, το οποίο γίνεται εµφανές αν υπολογίσουµε το µεταθέτη του. [ q, γ µ ] = [γ ν q ν, γ µ ] = γ ν [q ν, γ µ ] + [γ ν, γ µ ]q ν = γ ν q ν γ µ γ ν γ µ q ν + γ ν γ µ q ν γ µ γ ν q ν = γ ν q ν γ µ γ µ γ ν q ν = γ ν γ µ γ µ γ ν q ν = iσ µν q ν αφού ισχύει ότι : σ µν = i γµ γ ν γ ν γ µ 5.1 Εποµένως η ϑα γίνει : eū f γ µ u i eū f { γ µ [ 1 + α 3π q m ln m λ 3 ] [ α 8 π ]} 1 m iσ µνq ν u i 5.11 Παρατηρώντας την έκφραση του ϱεύµατος Dirac του αναπτύγµατος Gordon, εξίσωση 5.91, γίνεται σαφές ότι το ηλεκτρόνιο αλληλεπιδρά µέσω του ηλεκτρικού του ϕορτίου πρώτος όρος αλλά και µέσω της µαγνητικής του ϱοπής δεύτερος όρος, αφού το σ µν q ν αντιπροσωπεύει τη µαγνητική ϱοπή του ηλεκτρονίου : µ = e σ 5.1 m µ = g e S m 5.13 όπου όπως έχουµε δει στο πρώτο κεφάλαιο S = 1 σ και ο γυροµαγνητικός λόγος g =. Συγκρίνοντας λοιπόν την 5.11 µε την 5.91 διαπιστώνουµε ότι ο δεύτερος όρος της 5.11 προσδίδει έναν παραπάνω όρο αλληλεπίδρασης µε τη µαγνητική ϱοπή. Από τις εξισώσεις 5.11, 5.91, 5.1, ϐρίσκουµε ότι η µαγνητική ϱοπή ϑα είναι : µ = e m ή αλλιώς ο γυροµαγνητικός λόγος ϑα είναι : 1 + α σ 5.14 π g = + α π

176 Το ηλεκτρόνιο λοιπόν έχει µια ανώµαλη µαγνητική ϱοπή α/π η οποία προστίθεται σε αυτήν του Dirac. Η µετατόπιση αυτή της µαγνητικής ϱοπής ερµηνεύεται σα µια µετατόπιση του παράγοντα g, η οποία δίνεται στην παρακάτω µορφή : a e g = α = π Αυτό το αποτέλεσµα το εξήγαγε πρώτος ο Schwinger το 1948 και αποτελεί µια πρόβλεψη η οποία επιβεβαιώθηκε πειραµατικά το ίδιο έτος, µιας και έδειξε ότι : a exp e =.119 ± Λαµβάνοντας υπόψη διαγράµµατα µεγαλύτερων τάξεων διόρθωσης, η ϑεωρητική πρόβλεψη ταυτίζεται µε τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Οσον αφορά στην περίπτωση του µιονίου, πάλι προκύπτει διόρθωση στη µαγνητική ϱοπή και αν συµπεριλάβουµε µεγαλύτερης τάξης διορθώσεις, η ϑεωρητική τιµή συγκλίνει σε αυτήν του πειράµατος. Το γεγονός ότι ο ϑρίαµβος της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής να εξηγήσει την ανώµαλη µαγνητική ϱοπή του ηλεκτρονίου επεκτείνεται και στην περίπτωση του µιονίου, αποτελεί περεταίρω απόδειξη ότι ο χειρισµός των απειριών που ακολουθήσαµε όντως είναι σωστός. Μια δεύτερη τρανή απόδειξη της εγκυρότητας της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής αποτελεί η πειραµατική επιβεβαίωση της µετατόπισης Lamb. Το ουσιαστικό µήνυµα που µας δίνει η QED µέσα από τις παραπάνω εφαρµογές της, είναι ότι το κενό δεν είναι ποτέ άδειο. 5.7 Επανακανονικοποίηση Είναι γεγονός ότι η διαδικασία χειρισµού των απειρισµών, παρ ολο που δίνει προβλέψεις που συµφωνούν µε το πείραµα, απαιτεί λίγη παραπάνω προσοχή. Επιστρέφουµε στη σχέση που διέπει όλη την παραπάνω ανάλυση, εξίσωση Η σχέση αυτή µας λέει ότι η ποσότητα που ονοµάζαµε ϕορτίο του ηλεκτρονίου -αυτή που εµφανίζεται στα χαµηλότερης τάξης Feynman πλάτηαλλάζει από µεγαλύτερης τάξης αλληλεπιδράσεις. Το ϕορτίο λοιπόν είναι άλλο από αυτο που νοµίζαµε ότι ήταν και ϐέβαια άλλο από το ϕορτίο που µετράται στα πειράµατα. Ας το ϑέσουµε αλλιώς, το ϕορτίο σχετίζεται µε τη σύζευξη ηλεκτρονίου-ϕωτονίου, η οποία συµβολίζεται : 174

177 Στην εικόνα στα αριστερά αλλά και στις παρακάτω, περιγράφονται αλληλεπιδράσεις από τις οποίες παίρνουµε το ϕορτίο του ηλεκτρονίου Αλλά αυτό είναι παράλογο, αφού το ϕορτίο σχετίζεται επίσης και µε τις παρακάτω αλληλεπιδράσεις : Στην πραγµατικότητα το ϕορτίο δεν είναι κάποια από τις παραπάνω αλληλεπιδράσεις ούτε κάποια άλλη, αλλά είναι όλες οι αλληλεπιδράσεις µαζί. Εποµένως, από εδώ και πέρα ϑα ονοµάζουµε e το ϕορτίο που προκύπτει από την σύζευξη ηλεκτρονίου-ϕωτονίου της εικόνας 5.18 και e το ϕορτίο που προκύπτει από το συνυπολογισµό όλων των διαγραµµάτων πρώτης και µεγαλύτερης τάξης. Οπότε, συνοψίζουµε την κατάσταση αυτή γράφοντας : q Q = µ : = στο Q = µ Οι τελείες αντιπροσωπεύουν διαγράµµατα µε όλες τις πιθανές τροποποιήσεις στο διαδότη. Εδώ λαµβάνουµε υπόψη µόνο τις τροποποιήσεις στο ϕωτονιακό διαδότη, αφού όπως είδαµε, οι άλλες αλληλοεξουδετερώνονται λόγω της ταυτότητας Ward. Επίσης η εναλλαγή στο πρόσηµο, οφείλεται στο γεγονός ότι για κάθε ένα ϕερµιονικό ϐρόχο, αντιστοιχεί και ένα πλήν από κανόνες Feyn- 175

178 man. Το ϕορτίο e είναι αυτό που µετράται στα πειράµατα π.χ. σκέδαση δύο χαµηλής ενέργειας ηλεκτρονίων και δίνει το γνωστό e /4π 1/137. Το «γυµνό» ϕορτίο e σχετίζεται µε το ϕορτίο e, για µια συγκεκριµένη τιµή της ορµής q Q = µ, από τη σχέση : e = e [1 Iq = µ + Oe 4 ] 5.19 όπου το Iq είναι η διόρθωση τάξης Oe, και αντιπροσωπεύει το αποτέλεσµα των υπολογισµών του ενός ϐρόχου. Αποτετραγωνίζοντας την παραπάνω εξίσωση, προκύπτει : το οποίο διαγραµµατικά απεικονίζεται : e = e [1 1 Iq = µ + Oe 4 ] 5.13 Η παραπάνω διαγραµµατική εξίσωση δ.εξ.1 γράφεται σε όλες τις ανώτερες τάξεις : e = e 1 + e A 1 Q + e 4 A Q +... στο Q = µ όπου q Q. Προφανώς το A 1 Q σχετίζεται µε I Q, και είναι άπειρη ποσότητα. Το ίδιο συµβαίνει και µε τις ποσότητες A i Q, i > 1, πράγµα το οποίο δεν προξενεί κανένα πρόβληµα, µε την προϋπόθεση ϐέβαια ότι τα παρατηρήσιµα µεγέθη είναι πεπερασµένα. Εκτελούµε το παράδειγµα της σκέδασης ηλεκτρονίου-µιονίου στις 9 o διαλέγουµε τη γωνία αυτή ώστε η παρατησρήσιµη ποσότητα µας, η διαφορική ενεργός διατοµή, να εξαρτάται µόνο από την ορµή.. Υπολογίζουµε το πλάτος σε όρους µόνο του γυµνού ϕορτίου e. Το πλάτος ϑα είναι : ime = - + στο Q 176

179 = e [F 1 Q + e F Q + Oe 4 ] 5.13 Για να πάρουµε αληθινά αποτελέσµατα ϑα πρέπει να υπολογίσουµε και τους όρους µεγαλύτερης τάξης που κρύβονται στα αποσιωποιητικά. Εδώ ϑα δείξου- µε απλά τις τεχνικές απαλλαγής από τους απειρισµούς, για παράδειγµα του όρου µε τον ένα ϐρόγχο. Γενικά όλοι οι όροι του γυµνού ϕορτίου απειρίζονται. Εδώ εφαρµόζουµε τη µέθοδο της επανακανονικοποίησης, όπου εκφράζουµε τώρα το πλάτος µε όρους του e. Λύνοντας ως προς το γυµνό ϕορτίο τη διαγραµµατική εξίσωση 1, προκύπτει : στο Q = µ Χρησιµοποιώντας λοιπόν αυτό το αποτέλεσµα για να αντικαταστήσουµε τις e κορυφές στο πλάτος Me διαγραµµατική εξίσωση Με αυτόν τον τρόπο καταλήγουµε να έχουµε µια έκφραση του πλάτους συναρτήσει µόνο του πραγµατικού ϕορτίου e. ime = + - +Oe 6 στο Q στο Q = µ στο Q = e [F 1Q + e F Q + Oe 4 ] Οι δύο πρώτοι οροι προήλθαν από τον πρώτο όρο της 5.13 ενώ στον δεύτερό της απλά αντικαταστήσαµε όπου e το e - η διαφορά τους αποκρύπτεται στο Oe 6. Επειτα, η εξίσωση µπορεί να γραφτεί : 177

180 = e [F 1Q + e F Q + Oe 4 ] Στην εξίσωση αυτή ϐλέπουµε πως έχουµε πετύχει αυτό ακριβώς που ϑέλαµε. Προέκυψε µια έκφραση για το αναλλοίωτο πλάτος που δεν περιέχει το γυµνό ϕορτίο e αλλά το ϕορτίο e, του οποίου η τιµή προσδιορίστηκε πειραµατικά για Q = µ. Κάνοντας το ϐλέπουµε ότι τίποτα δε ϕεύγει και τίποτα δεν προστίθεται, απλά ξαναπαραµετρικοποιήσαµε την αρχική έκφραση του πλάτους. Οπότε : Me = Me Η διαφορά είναι ότι το πλάτος µε το e 4 περιέχει απειρισµό ενώ το πλάτος µε το ϕορτίο e 4, όχι. Βλέπουµε στο τελευταίο διάγραµµα ότι ο όρος e 4 έχει χωριστεί σε δύο όρους, ο ένας περιέχει το ϐρόγχο Q και ο άλλος Q = µ των οποίων τα πρόσηµα είναι ανάποδα. Αυτό εξασφαλίζει τον αφανισµό των απειριών. Το εφαρµόζουµε για την περίπτωση της εξίσωσης 5.47, δηλαδή για το όριο µεγάλης µεταφοράς ορµής : a 3π ln M Q a 3π ln M µ = a 3π ln µ Q Απ οτι ϐλέπουµε η διαφορά των δύο όρων είναι πεπερασµένη. εν εξαρτάται από τη σταθερά αποκοπής που έχουµε επιβάλλει. Ετσι η εξισωση σε αντιδιαστολή µε την 5.13, ορίζει τα παρατηρήσιµα µεγέθη σε πεπερασµένες ποσότητες. 5.8 Θωράκιση ϕορτίου στην QED και σταθερά Ϲεύξής της Στα προηγούµενα καεφάλαια µε τη µελέτη των ϑεωριών ϐαθµίδας του καθιε- ϱωµένου προτύπου, προέκυψαν κάποιες σταθερές αλληλεπίδρασης οι οποίες ουσιαστικά καταδεικνύουν την ισχύ του κάθε είδους αλληλεπίδρασης g i, οι σταθερές που εµφανίστηκαν στην αναβάθµιση της παραγώγου σε συναλλοίωτη. Για τον ηλεκτροµαγνητισµό η ισχύς αυτή είναι e ϕορτίο ηλεκτρονίου ή ισοδύναµα ίση µε τη σταθερά της λεπτής υφής α = e /4π η οποία είναι ίση µε 1/137. Ο αριθµός αυτός ισχύει µόνο για χαµηλές ενέργειες. Οµως, στα πλαίσια της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής, όπως είδαµε σε αυτό το κεφάλαιο, το ηλεκτρονιακό ϕορτίο επαναορίζεται από την πόλωση του 178

181 κενού. Οπότε, αυτό σηµαίνει ότι ϑα επηρεάζεται και η σταθερά σύζευξης - σταθερά της λεπτής υφής- πράγµα το οποίο δεν την καθιστά πλέον σταθερά. Παρακάτω, παρατίθεται ο τρόπος µε τον οποίον επηρεάζεται η «σταθερά» σύ- Ϲευξης της ηλεκτροµαγνητικής αλληλεπίδρασης. Η εµφάνιση λοιπόν ϕερµιονικών ϐρόχων που επαναλαµβάνεται στις διορ- ϑώσεις της ϑεωρίας διαταραχών, µπορεί να γραφτεί ως εξής : Το άθροισµα της γεωµετρικής σειράς είναι : Οπότε επαναορίζουµε το ϕορτίο συµπεριλαµβάνοντας όλους τους ϐρόχους. Συνεπώς από τη δ.εξ.4 και την εξίσωση 5.13 προκύπτει η εξίσωση : e Q = e Iq Η εξίσωση αυτή δηλώνει ότι το ϕορτίο που µετράται πειραµατικά, εξαρτάται από το Q του πειράµατος. Το αq e Q /4π αναφέρεται ως το η µεταβαλλόµενη σταθερά σύζευξης «running coupling constant». Στο όριο για µεγάλες ορµές, από τις 5.47 και 5.137, έχουµε : αq α = α 3π ln Q M Για να εξαλείψουµε την εξάρτηση του αq από το Μ, επιλέγουµε µια µάζα επανακανονικοποίησης µάζα αναφοράς, µ. Αφαιρούµε από το αq το αµ και ϐρίσκουµε : αq = αµ 1 αµ 3π ln Q µ Η παραπάνω εξίσωση περιέχει µόνο πεπερασµένες, µετρήσιµες ποσότητες. Το «running coupling constant», αq, περιγράφει το πως το ενεργό ϕορτίο ε- ξαρτάται από το διαχωρισµό των δυο ϕορτισµένων σωµατιδίων. Με την άθροιση 179

182 όλων των τάξεων της ϑεωρίας διαταραχών, αποκτούµε τη ϑωράκιση ϕορτίου της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής. Οσο το Q αυξάνεται, το ϕωτόνιο ϐλέπει όλο και περισσότερο ϕορτίο, µέχρι κάποια πολύ µεγάλη τιµή του Q αλλά ακόµα πεπερασµένηόπου η σύζευξη αq γίνεται άπειρη. Παρ ολα αυτά, εισάγοντας αριθµητικές τιµές, ϐλέπουµε ότι η απόκλιση του α µε το Q, είναι αρκετά µικρή. Εννοείται ότι όσο το Q αυξάνεται, συνεισφέρουν και άλλοι ϐρόχοι. Εξάρτηση του ϕορτίου από την α- πόσταση ορµή του πειράµατος. Ο άξονας x πηγαίνει από τις µεγάλες ενέργειες προς τις µικρές, δηλαδή όσο αυξάνεται η απόσταση µειώνεται η ορµή. Αντίθετα στον άξονα y οι τιµές του ϕορτίου πηγαίνουν κανονικά κατά αύξουσα σειρά. 5.9 Περίληψη-Συµπεράσµατα Στο κεφάλαιο αυτό αναλύσαµε πως για να υπολογίσουµε µε µεγαλύτερη ακρί- ϐεια το αναλλοίωτο πλάτος µιας αλληλεπίδρασης, πρέπει να συµπεριλάβουµε διορθώσεις ανώτερης τάξης από τη ϑεωρία διαταραχών, πράγµα το οποίο εκ- ϕράζεται µέσω διαγραµµάτων Feynman ανώτερης τάξης τα οποία περιέχουν ϐρόχους. Κατά τον συνυπολογισµό των ϐρόχων για το πλάτος σκέδασης παρατηρούνται απειρισµοί από τους οποίους απαλασσόµαστε µέσω της διαδικασίας της αποκοπής, επιβάλοντας µια πολυ µεγάλη µάζα η οποία τείνει στο άπειρο. Το αποτέλεσµα της διαδικασίας αυτής είναι να ϑάψουµε τελικά τους απειρισµούς µέσα στις παραµέτρους της αλληλεπίδρασης έτσι ώστε οι παρατηρήσι- µες ποσότητες να παραµένουν πεπερασµένες. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να πάρυµε προβλέψεις από τη ϑεωρία και να τις επιβεβαιώσουµε ή να τις α- πορρίψουµε από το πείραµα. Ο επαναορισµός του ηλεκτρονιακού ϕορτίου µέσα από τη διαδικασία της επανακανονικοποίησης, µας οδηγεί στο να συµπεράνουµε ότι η ισχύς της ηλεκτροµαγνητικής αλληλεπίδρασης εξαρτάται από την ορµή ή αλλιώς από την απόσταση του σκεδαζόµενου σωµατιδίου. Επειδή λόγω της πόλωσης του κενού εικονικά Ϲεύγη e e + ϑωρακίζουν το στόχο, όσο µεγαλύτερη η ορµή του σκεδαζόµενου σωµατιδίου, τόσο περισσότερο εισχωρεί σε αυτό το νέφος και έτσι τόσο περισσότερο «ϐλέπει» τον πυρήνα, αυξάνοντας έτσι την ένταση της αλληλεπίδρασης. 18

183 Κεφάλαιο 6 Επανακανονικοποίηση µε τη µέθοδο της ιαστατικής Οµαλοποίησης Παρόλη την ϕαινοµενική επιτυχία της µεθόδου Pauli-Villars, παρουσιάζονται προβλήµατα όταν εφαρµόζεται σε µη αβελιανές ϑεωρίες. Συγκεκριµένα, δεν διατηρείται η αναλλοιώτητα ϐαθµίδας. Ετσι, καθίσταται απαραίτητη η εισαγωγή µιας νέας µεθόδου οµαλοποίησης των απειρισµών που σέβεται την gauge invariance σε κάθε περίπτωση πχ QED, QCD.... Η νέα µέθοδος εξετάζει το πρόβληµα διαστατικά και, µε τη ϐοήθεια των συναρτήσεων Γ επιτυγχάνει το στόχο της. Θα επανακανονικοποιήσουµε αρχικά µια µποζονική ϑεωρία 4 σωµατιδίων που υπακούουν στην εξίσωση Klein-Gordon, γνωστή και ως ϑεωρία φ 4 και στη συνέχεια ϑα κινηθούµε µε τον ίδιο τρόπο και στην περίπτωση της QED. 6.1 Αποκλίσεις στην ϑεωρία φ 4 Στον ελεύθερο διαδότη g d 4 q 1 π 4 q m 6.1 υπάρχουν 4 δυνάµεις του q στον αριθµητή και στον παρονοµαστή, άρα το ολοκλήρωµα αποκλίνει τετραγωνικά σε µεγάλα q. Το διάγραµµα είναι της τάξης του g. Το διάγραµµα 181

184 g d 4 q 1 π 4 d 4 q π 4 δq 1 + q p 1 p q 1 m q m = g d 4 q 1 π 8 q m [p 1 + p q m ] 6. είναι της τάξης Og και αποκλίνει λογαριθµικά, εφόσον υπάρχουν 4 δυνάµεις του q και στον αριθµητή και στον παρονοµαστή. Πώς ϐρίσκουµε όµως το ϐαθµό απόκλισης ενός διαγράµµατος κάθε διαδότης συµβάλλει µε q στον παρονοµαστή και κάθε κορυφή q 4 τον αριθµητή, µαζί µε µία δ-συνάρτηση που συµβολίζει τη διατήρηση ορµής, ενώ ο αριθµός των ελεύθερων ορµών πάνω στις οποίες ολοκληρώνουµε είναι ο αριθµός των ϐρόχων. Οπότε ας ϑεωρήσουµε ένα διάγραµµα n τάξης,π.χ. µε n κορυφές, E εξωτερικές γραµµές, I εσωτερικές γραµµές και L ϐρόχους, ενώ ο χωρόχρονος ϑεωρείται να έχει d διαστάσεις. Τότε ο Επιφανειακός Βαθµός Ελευθερίας D είναι ο : D = dl I 6.3 Στα παραπάνω διαγράµµατα ϐγαίνει D = και D =, όπως αναµένεται.θέλουµε να εκφράσουµε το D συναρτήσει των E και n, οπότε πρέπει να απαλείψουµε τα I και L. Υπάρχει διατήρηση ορµής σε κάθε κορυφή, αλλά υπάρχει επίσης και συνολική διατήρηση ορµής, άρα υπάρχουν n 1 σχέσεις µεταξύ των εσωτερικών ορµών I. Άρα οι ανεξάρτητες ορµές είναι : L = I n Στην ϑεωρία φ 4 κάθε κορυφή δίνει 4 πόδια, άρα έχουµε 4n πόδια, εσωτε- ϱικά και εξωτερικά, εκ των οποίων τα εσωτερικά µετράνε δύο ϕορές, αφού ακουµπάνε σε κορυφές, οπότε : Οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν D = d 4n = E + I 6.5 d 1 E + nd ενώ για d = 4 έχουµε D = 4 E

185 που συµφωνεί µε τα παραπάνω διαγράµµατα, ενώ υποδεικνύει ότι διαγράµ- µατα µε περισσότερα από 4 εξωτερικά πόδια ϑα συγκλίνουν υπόθεση που ϑα εξετάσουµε παρακάτω. Ας ϑεωρήσουµε τον τελευταίο όρο στην 6.6, οποίος εγείρει ένα τροµακτικό σενάριο. Αν το n >,τότε το D αυξάνει µε το n, οπότε ολόκληρη η ϑεωρία δηλαδή αθροίζοντας σε όλα τα n ϑα περιέχει άπειρο αριθµό όρων που ο έ- νας αποκλίνει πιο πολύ από τον προηγούµενο. Οµως, στην ϑεωρία φ 4 σε 4 διαστάσεις, η 6.7 δείχνει ότι το D εξαρτάται µόνο από το E και όχι από την τάξη της διαταραχής, οπότε έχουµε ένα µικρό µόνο αριθµό αποκλίνοντων διαγραµµάτων, άρα ελπίζουµε ότι αυτό µπορεί να εξαλειφθεί από την επανακανονικοποίηση διάφορων ϕυσικών ποσοτήτων. Αν αυτό γίνεται στην φ 4 γίνεται, τότε η ϑεωρία λέγεται επανακανονικοποιήσιµη. Για την ϑεωρία φ r είναι rn = E + I, οπότε έχουµε [ ] d D = d E 1 r n d d 6.8 που, για d = 4 δίνει D = 4 E + nr Ετσι, στην φ 6 ϑα είναι D = 4 E + n και άρα ϑα είναι µη επανακανονικοποιήσιµη, ενώ στην φ 3 ϑα είναι D = 4 E n, οπότε ϑα είναι ϋπερεπανακανονικοποιήσιµη, αφού το D µειώνεται µετο n, άρα υπάρχει πεπερασµένος αριθµός αποκλίνοντων διαγραµµάτων για δεδοµένο E. Επιστρέφοντας στην 6.7, ώστε να δούµε αν όλα τα διαγράµµατα για E > 4 είναι συγκλίνοντα. Στην φ 4 το E είναι Ϲυγός αριθµός. Εξετάζουµε, λοιπόν, τα διαγράµµατα στο Σχ. 6.1 όπου E = 6, τα οποία ϑα έπρεπε να συγκλίνουν : το a συγκλίνει, όπως ϕαίνεται εύκολα από το πλάτος του, αλλά το b περιέχει έναν ϐρόχο σε µια συνάρτηση σηµείων όπως στην 6.1, και αποκλίνει πάντα. Παροµοίως, το c περιέχει ϐρόχους σε συνάρτηση 4 σηµείων, οπότε επίσης αποκλίνει. Αυτό συµβαίνει µε όλατα διαγράµµατα Feynman : αν περιέχουν κρυµµένες συναρτήσεις ή 4 σηµείων µε έναν ή περισσότερους ϐρόχους ϑα αποκλίνουν, ανεξάρτητα µε την εξίσωση D = 4 E. Γι αυτό το λόγο το D λέγεται επιφανειακός ϐαθµός ελεθερίας. Σύµφωνα µ το ϑεώρηµα του Weinberg ένα διάγραµµα Feynman συγκλίνει αν το D του, µαζί µε τα D όλων των υποδιαγραµµάτων του, είναι αρνητικό. Τα δύο αποκλίνοντα διαγράµµατα G και G 4 στις 6.1 και 6., αντίστοιχα, λέγονται πρωταρχικές αποκλίσεις και είναι οι µόνες πρωταρχικές στην φ 4. Θα τις αντιµετωπίσουµε στη συνέχεια. 183

186 Σχ. 6.1 ιαστατική Ανάλυση Η δράση σε d διαστάσεις S = d d xl είναι αδιάστατη. Άρα [L] = L d L είναι το µήκος ή [L] = Λ d Λ είναι η ορµή Ο κινητικός όρος στη L είναι ο µ φ µ φ αγνοώντας τις διαστάσεις της µετρικής, οπότε, αφού [ µ ] = L 1, έχουµε : label1[φ] = L 1 d/ orλ d/ Ας ϑεωρήσουµε, στη συνέχεια, µια αλληλεπίδραση gφ r. Αν [g] = L d ήλ δ, τότε δ + r 1 d = d δ = d + r rd Οπότε η σταθερά Ϲεύξης g έχει τις ακόλουθες διαστάσεις στις ακόλουθες ϑεω- ϱίες : 184

187 gφ 4 : δ = 4 d [g] = Λ 4 d gφ 3 : δ = 3 d gφ 6 : δ = 6 d [g] = Λ 3 d 6.1 [g] = Λ 6 d Αντικαθιστώντας την 6.11 στην 6.8 εξαλείφοντας το r έχουµε d D = d 1 E nδ Άρα µια επανακανονικοποιήσιµη ϑεωρία πρέπει να έχει σταθερά Ϲεύξης g µε διαστάσεις µάζας δ >=. Γι αυτό η ϑεωρία του Fermi των ασθενών αλληλεπιδράσεων, η οποία χαρακτηρίζεται από το G F, µε διαστάσεις µάζα, είναι µη επανακανονικοποιήσιµη. Είναι ϐολικό να ξέρουµε τις διαστάσεις διαφόρων συναρτήσεων Green, γι αυτό παρατίθεται ο Πίνακας 6.1, οποίος επεξηγείται από τα παρακάτω. 1 Βγαίνει απευθείας από τον ορισµό. Κάθε δ/δjx κατεβάζει ένα φx, π.χ. η G x, y d d pe ipx y p m 1 έχει ξεκάθαρα διάσταση d, ενώ η G 4 x, y = GG. Η συνάρτηση Green στο χώρο των ορµών δίνεται από τους µετασχηµατισµούς Fourier της G n x i. 3 Η συνολική διατήρηση ορµής µας επιτρέπει να ορίσουµε G n p 1,..., p n = Ḡn p 1,..., p n 1 δp και το δp έχει διάσταση µάζας d. 5 Βγαίνει από τον ορισµό. 6 Βγαίνει από µετασχηµατισµό Fourier. 7 Βγαίνει από ολική διατήρηση ορµής, όπως µε το Ḡn p 1 παραπάνω. 185

188 Πίνακας 6.1 Κανονικές διαστάσεις διαφόρων ποσοτήτων σε χωρόχρονο d διαστάσεων και 4 διαστάσεων 6. ιαστατική Οµαλοποίηση της ϑεωρίας φ 4 Η σύγχρονη αυτή µέθοδος είναι κοµψή και χωρίς προβλήµατα και έτσι έχει γίνει πολύ δηµοφιλής. Η ϐασική ιδέα είναι να ϑεωρήσουµε τα ολοκληρώµατα ϐρόχων που προκαλούν τις αποκλίσεις ως ολοκληρώµατα πάνω σε d-διάστατη ορµή και έπειτα να πάρουµε το όριο d 4. ιαπιστώνεται έτσι ότι οι µοναδικότητες singularities των µονών ϐρόχων γίνονται απλοί πόλοι στο d 4. Για την φ 4 ϑα έχουµε την εξής Λαγκρανζιανή : 186

189 L = 1 µφ µ φ m φ g 4! φ4 σε d διαστάσεις. Εφόσον το φ Εχει διάσταση 1 d 1 και η L διάσταση d ;;, τότε το g είναι αδιάστατο σε 4 διαστάσεις, αλλά για να κρατήσει αυτήµ την ιδιότητα σε d διαστάσεις, πρέπει να πολλαπλασιαστεί µε έναν παράγοντα µ 4 d, όπου το µ είναι µια αυθαίρετη µάζα. Άρα L = 1 µφ µ φ m φ µ4 d g φ ! Οπότε από κανόνες Feynman ϑα υπολογίσουµε την τάξη της διόρθωσης του g στον ελεύθερο διαδότη. Το ολοκλήρωµα ϐρόχου της 6.1 γίνεται 1 gµ4 d d d q π d 1 p m 6.15 Το 1 είναι όρος συµµετρίας, ενώ δουλεύουµε πλέον σε d-διάστατο χώρο Minkowski µε µία χρονική και d 1 χωρικές διαστάσεις. Εδώ ϑα ανοίξουµε µια παρένθεση, ώστε να παρεθέσουµε τη γενική µαθηµατική µέθοδο της οµαλοποίησης, την οποία ϑα χρησιµοποιήσουµε ουκ ολίγες ϕορές στη συνέχεια. Ενδιαφερόµαστε για ολοκληρώµατα του τύπου I d q = Α d d p p + pq m α Εξίσωση Α1 όπου p = p, r. Εισάγουµε τις πολικές συντεταγµένες p, r, φ, θ 1, θ,..., θ d 3 ούτως ώστε d d p = dp r d drdφsinθ 1 dtheta 1 sin θ dθ...sin d 3 θ d 3 dθ d 3 d 3 = dp r d drdφ sin k θ k dθ k 187 k=1

190 < p <, < ϱ <, < φ < π, < θ i < π. Τότε I d q = π dp π d 3 r d k=1 dr sink θ k dθ k p + pq m α Χρησιµοποιώντας στη συνέχεια τον τύπο π sinθ n 1 cosθ m 1 dθ = 1 ΓnΓm Γn + m και ϑέτοντας m = 1 έχοντας υπόψιν ότι Γ 1 = π ϑα είναι π sinθ k = π Γ Γ k+1 k+ οπότε I d q = πd 1/ Γ d 1 dp r d dr p r + pq m α Αυτό το ολοκλήρωµα είναι Lorentz αναλλοίωτο, οπότε το υπολογίζουµε στο σύστηµα αναφοράς q µ = µ,, άρα pq = µp. Με τη αλλαγή p µ = p µ + q µ, που υποδεικνύει ότι p µ q = p + έχουµε I d q = πd 1/ Γ d 1 dp Η εξίσωση ϐήτα του Euler είναι Bx, yfracγxγyγx + y = r d dr [p r q + m ] α Εξίσωση Α που ισχύει για Rex >, Rey >, οπότε ϑέτοντας ϑα έχουµε x = 1 + β, y = α 1 + β, t = s M dtt x t x y 188

191 s β ds s + M α = Γ 1+β Γ α 1+β M α 1+β/ Γα Εξίσωση Α3 Αντικαθιστώντας την στην Εξίσωση Α, µε β = d, M = p + q + m δίνει I d q = 1 α π d 1/ Γ α d 1 Γα = 1 α+d 1/ π d 1/ Γ α d 1 dp q + m p α d 1/ Γα [p q + m ] α d 1/. Για να υπολογίσουµε αυτό το ολοκλήρωµα, επικαλούµαστε την Εξίσωση Α3 για να πάρουµε I d q = iπ d/ Γ α d Γα = 1 α iπ d/ Γ Άρα, από την Εξίσωση Α1 1 [ q + m ] α d/ α d Γα Γ d 4 p p + pq m α = 1d/ iπ d/ 1 q + m α d/ α d Γα 1 [ q m ] α d/ dp Εξίσωση Α4 Εξίσωση Α5 ιαφορίζοντας ως προς το q µ α d d p µ p p + pq m [ α + 1] = 1 d/ iπ d/ Γ α d Γα q µ α + fracd [ q m ] α d/+1 189

192 Χρησιµοποιώντας βγβ = Γβ + 1 και ϑέτοντας α + 1 α έχουµε p d d p p + pq m α = 11+d/ iπ d/ Γ α d Γα q µ q m α d/ Εξίσωση Α6 ιαφορίζοντας ξανά, τώρα ως προς το q ν παίρνουµε d d p µ p ν iπd/ 1 p p + pq m = 1d/ α Γα q m [ α d/ Άρα ϑα έχουµε q µ q ν Γ α d + 1 g µν q m Γ α 1 d d d iπd/ 1 p p + pq m = 1d/ α Γα q m [ α d/ p q Γ α d + d q m Γ α 1 d Εξίσωση Α7 Εξίσωση Α8 Βέβαια για τα παραπάνω χρειαζόµαστε µαθηµατική επεξήγηση, π.χ. η Εξίσωση Α1 συγκλίνει µόνο αν d < α. Β Στη συνέχεια ϑα αποδείξουµε ότι όπου Γ n + ɛ = 1n n! [ ] 1 ɛ + ψ 1n Oɛ ψ 1 n + 1 = n γ Εξίσωση Εξίσωση Β1 Β και γ είναι η σταθερά Euler-Mascheroni. Χρειαζόµαστε τους τύπους zγz = Γz + 1 ψ 1 z = dlnγz = Γ z dz Γz 1 Γz = zeyz 1 + z n n=1 e zn Ι ΙΙ ΙΙΙ 19

193 όπου ο Ι είναι ορισµός του ψ 1 z και ο ΙΙΙ είναι η Weierstrass αναπαράσταση της Γz. Για το γ ισχύει : γ = lim n = n lnn οπότε Από τον ΙΙΙ έχουµε lnγz = lnz + γz + [ ] ln 1 + z z r r r=1 d dz lnγz = 1 [ ] z + γ z r=1 r r 1 r = 1 z + γ + 1 z + r 1 r r=1 Άρα από τον ΙΙ ψ 1 z = γ 1 z + r=1 1 r 1 r + z Οταν z = n =ακέραιος n 1 1 ψ 1 n = γ + r ;. Από ανάπτυγµα Taylor ɛ << 1 r=1 ψ 11 = γ Γ1 + ɛ = Γ1 + ɛγ 1 + Oɛ = 1 + ɛγ1ψ Oɛ = 1 ɛγ + Oɛ 191

194 . Άρα από τον Ι Γɛ = 1 Γ1 + ɛ ɛ = 1 ɛ γ + Oɛ και µε τη χρήση του Ι πάλι. Παροµοίως Γ 1 + ɛ = 1 1 ɛ Γɛ = 1 + ɛ + ɛ ɛ γ + Oɛ [ ] 1 = = ɛ + 1 γ + Oɛ Γ + ɛ = 1 ɛ, και στη γενική περίπτωση Γ n + ɛ = 1n n! που είναι η Εξίσωση Β1. = 1n n! Γ 1 + ɛ [ 1 ɛ γ + Oɛ [ ] 1 ɛ γ + Oɛ n ] Επιστρέφοντας τώρα στην οµαλοποίηση της φ 4 µπορούµε να πάρουµε από την Εξίσωση Α5 την έκφραση d/ ig 4πµ Γ 3π m m 1 d

195 . Η συνάρτηση γάµµα έχει πόλους στο µηδέν και στους αρνητικούς ακεραίους, οπότε ϐλέπουµε ότι η απόκλιση του ολοκληρώµατος παρουσιάζεται ως ένας απλός πόλος όταν d 4. Από το Β ϑα έχουµε ] Γ n + ɛ 1n n! όπου, όπως αναφέραµε προηγουµένως [ 1 ɛ + ψ 1n Oɛ 6.17 ψ 1 n + 1 = n γ και γ ψ 1 1 =.577. Θέτοντας ɛ = 4 d 6.18 δίνει Γ1 d/ = Γ 1 + ɛ/ = ɛ 1 + γ + Oɛ Οπότε, επεκτείνοντας την 6.16 για D = 4, δίνει µε χρήση του α ɛ = 1 + ɛlnα +... [ ] igm 3π ][1 ɛ 1 + γ + Oɛ + ɛ lm 4πµ m [ ] = igm 16π ɛ + igm 4πµ 3π 1 γ + ln m + Oɛ = igm 16π + finite 6. ɛ. Το finite τµήµα της διόρθωσης στον διαδότη δεν είναι πολύ σηµαντικό, αλλά σηµειεται ότι εξαρτάται από την αυθαίρετη µάζα µ. Ας υπολογίσουµε τώρα την συνάρτηση 4 σηµείων τάξης g. Οι κανόνες Feynman δίνουν : = 1 g µ 4 d d d p 1 1 π d p m p q m

196 Οι παρονοµαστές στο ολοκλήρωµα συνδυάζονται µε χρήση του τύπου του Feyman : 1 1 ab = dz [az + b1 z] 6. που ϐγαίνει παρατηρώντας ότι 1 ab = 1 1 b a a 1 = 1 b dx b b a a x και ϑέτοντας x = az + b1 z. Τα a, b ϑεωρούνται µιγαδικές µεταβλητές, ώστε να αποφύγουµε τη µοναδικότητα a = b.τότε p m p q m = dz [p m pq1 z + q 1 z] Αλλάζοντας µεταβλητές : p = p q1 z ϐλέπουµε ότι ο παρονοµαστής είναι το τετράγωνο του p m + q z1 z. Αλλά d d p = d d p, οπότε µε p p γίνεται. 1 g µ 4 d 1 dz d d p 1 π d [p m + q z1 z] Το τελευταίο ολοκλήρωµα έχει τώρα τη µορφή της Εξίσωσης Α5, οπότε παίρνουµε d/ ig µ 4 d 1 Γ d/ 4π Γ = ig 3π µ d/ Γ d/ 1 1 dz[q z1 z m ] d/ [ ] d/ q z1 z m dz 4πµ 6.3 Στο όριο d 4, η 6.17 δίνει Γ d/ = Γɛ/ = ɛ γ + Oɛ

197 οπότε η 6.3 γίνεται { ig µ ɛ 3π ɛ γ + Oɛ 1f racɛ { = ig µ ɛ 16π ɛ ig µ ɛ 3π γ [ ]} q z1 z m dzln 4πµ [ ]} q z1 z m dzln 4πµ 6.5 Εδώ, ο πρώτος όρος εξαρτάται απο το µ και ο finite όρος εξαρτάται απο την συνολική ορµή p 1 + p = q = s. Θέτοντας [ ] 1 sz1 z m F s, m, µ = dzln 4πµ 6.6 και έχουµε, τελικά, ig µ ɛ 16π ɛ ig µ ɛ 3π [γ + F s, m.µ] = ig µ ɛ 16π + finite 6.7 ɛ. Εχουµε τώρα σε αναλυτική µορφή τις διορθώσει χαµηλότερης τάξης στις συναρτήσεις και 4 σηµείων της ϑεωρίας φ 4. Τέλος, ϑα γράψουµε τις αντίστοιχες συναρτήσεις κορυφής 1ΠΙ Γ p και Γ 4 p i. Για τάξη g και η Γ δίνεται : Σ = gm 16π ɛ + finite Γ p = p m 1 g 16π ɛ 6.8. Είναι ξεκάθαρα µη πεπερασµένο στο όριο ɛ. Η συνάρτηση 4 σηµείων Γ 4 p 1,..., p 4 = G p G p 4 1 G 4 p 1,..., p 4, όπου η συνάρτηση Green G 4 είναι το άθροισµα του όρου τάξης q, της 6.7 και των διασταυ- ϱούµενων όρων, οι οποίοι προέκυψαν µε την αντικατάσταση των µεταβλητών Mandelstam, όπου s = p 1 + p, t = p 1 + p 3, u = p 1 + p // Οι 4 συναρτήσεις G 1 έχουν την ιδιότητα να αποκόπτουν τα εξωτερικά πόδια µε τον συνήθη τρόπο, οπότε έχουµε 195

198 Γ 4 p i = = igµ ɛ + 3ig µ ɛ 16π ɛ ig µ ɛ [3γ + F s, m, µ + F u, m, µ] 3π = ig µ ɛ 1 3g 16π + finite 6.3 ɛ. Αυτό είναι πάλι µη πεπερασµένο. Για να έχει ϕυσικό νόηµα, πρέπει οι Γ και Γ 4 να είναι πεπερασµένες finite. Παρακάτω ϑα δούµε πως επιτυγχάνεται η επανακανονικοποίηση. Βλέπουµε ότι η Γ είναι τάξης g και η Γ 4 της τάξης g. Η κοινή παράµετρος των δύο περιπτώσεων είναι ο αριθµός των ϐρόχων εδώ 1. Επέκταση σε ϐρόχους Θέλουµε εδώ να δείξουµε ότι η επέκταση στο L είναι ισοδύναµη µε µια επέκταση στο. Για να το δείξουµε αυτό, ϑυµίζουµε ότι το Ldx έχει διαστάσεις της σταθεράς του Planck οπότε Z[Jx] = Dφexp { i } [L + Jxφx] 6.31 Χωρίζοντας την L σε ελεύθερο και αλληλεπιδρόν µέρος L = L + L int παίρνουµε ]} Z[J] = exp { [ i L int 1 i δ δj Z [J] 6.3 όπου Z [J] = [ i Dφexp dxl + Jφ ] 6.33 Τελικά, έχουµε Z [J] = Nexp [ 1 i dxdyjx F x yjy ] Είναι πλέον ξεκάθαρο από την 6.3 ότι κάθε κορυφή συµβάλλει κατά έναν 196

199 παράγοντα 1 και από την 6.34 ότι κάθε διαδότης συµβάλλει κατά έναν παράγοντα, σε ένα γενικό διάγραµµα n-οστής τάξης ϑεωρίας διαταραχών. Ετσι, κάθε τέτοιο διάγραµµα συνεισφέρει έναν παράγοντα I n = L n και µια επάκταση στον αριθµό των ϐρόχων είναι µια επάκταση στις δυνάµεις του στην κλασσική ϑεωρία. 6.3 Επανακανονικοποίηση της φ 4 Θα περιγράψουµε δύο µεθόδους επανακανονικοποίησης. Η πρώτη είναι πιο διαισθητική, αλλά η δεύτερη, η µέθοδος των counterterms είναι η ευρέως διαδεδοµένη στη ϕυσική υψηλών ενεργειών. Φυσικά, είναι απόλυτα ισοδύναµες και γνώση της µιας ϐοηθάει στην καλύτερη κατανόηση της άλλης. Προφανώς ο στόχος µας είναι να καταστήσουµε τις ϕυσικές ποοτητες πεπερασµένες. Ξεκινάµε ϑεωρώντας τις συναρτήσεις κορυφής Γ και Γ 4 και τις εξισώσεις 6.8 και 6.3. Στην προσέγγιση ενός ϐρόχου που εξετάζουµε πρέπει να είναι πεπερασµένες, οπότε ϑέτουµε Γ p = p m όπου m 1 είναι µια νέα παράµετρος, που ορίζεται από αυτήν την εξίσωση. Την πήραµε να είναι πεπερασµένη και να αντιπροσωπεύει την ϕυσική µάζα. Η αρχική µάζα m ϑεωρείται µη πεπερασµένη και χωρίς άµεση ϕυσική σηµασία. Είναι η µάζα που ϑα είχε το σωµατίδιο αν δεν αλληλεπιδρούσε καθόλου και, εφόσον πάντα υπάρχουν αλληλεπιδράσεις, δεν είναι παρατηρήσιµη ποσότητα. Συνδέεται µε το m 1 µέσω της σχέσης m = m 1 + m g 16π ɛ = m g 16π ɛ 6.36 όπου αντικαταστήσαµε m m 1 στη διόρθωση ϐρόχου. Αυτό είναι συνεπές εφόσον το σφάλµα είναι της τάξης g. Η ϕυσική µάζα m 1 λέγεται και επανακανονικοποιηµένη µάζα και δίνεται από τη σχέση m 1 = Γ Αντιµετωπίζουµε µε τον ίδιο τρόπο και την Γ 4.Πρώτα ας γράψουµε την 6.3 ως [ ] iγ 4 p 1 = gµ ɛ g µ ɛ 6 3π 3γ F s, m, µ F t, m, µ F u, m, µ 6.38 ɛ 197

200 . Τώρα ορίζουµε µια νέα παράµετρο g 1, την επανακανονικοποιηµένη σταθερά Ϲεύξης από τη σχέση [ ] g 1 = gµ ɛ g µ ɛ 6 3π 3γ F, m, µ 6.39 ɛ. Ξαναγράφοντας αυτήν την έκφραση αντικαθιστώντας g g 1 και m m 1 όπου χρειάζεται, έχουµε g = g 1 µ ɛ + 3g 1 µ ɛ 3π [ ] γ F, m, µ ɛ 6.4. Εδώ το g 1 ϑεωρείται πεπερασµένο και το g, η αρχική σταθερά Ϲεύξης, ως µη πεπερασµένο. Το g 1 ϑα µπορούσε να ήταν η µετρούµενη ποσότητα της στα- ϑεράς αν η φ 4 ήταν ϱεαλιστική ϑεωρία και αν οι µετρήσεις παίρνονταν στο αφύσικο σηµείο s = t = u =. Το g είναι η γυµνή bare σταθερά. η οποία ϑα µετρούνταν αν οι αλληλεπιδράσεις υψηλότερης τάξης δεν συνεισέφεραν, κάτι που δεν ισχύει. Οπότε το g δεν έχει άµεση ϕυσική σηµασία. Εκφράζοντας την Γ 4 σε όρους g 1 δίνει i Γ 4 p 1 = g 1 + g 1 µ ɛ 3π [F s, m 1, µ + F t, m 1, µ + F u, m 1, µ 3F, m 1, µ] Και ως επακόλουθο iγ 4 p 1 = = g αφού, όταν p 1 = p = p 3 = p 4 =, τότε s = t = u =. Άρα η σταθερά g 1, από ορισµό, είναι η τιµή της iγ 4 όταν όλες οι εξωτερικές ορµές εξαφανίζονται. Σηµειώνουµε, ωστόσο, ότι η Γ 4 εξαρτάται από την αυθαίρετη µάζα µ και ϕυσικά οι ϕυσικές ποσότητες πρέπει να είναι ανεξάρτητες αυτής. Αυτό καθιστά απαραίτητη την οµάδα επανακανονικοποίησης, την οποία ϑα δούµε παρακάτω. Εχουµε πλέον επανακανονικοποιήσει την φ 4 στον ένα ϐρόχο. Τι γίνεται όµως στην προσέγγιση δύο ϐρόχων Τα σχετικά διαγράµµατα ϕαίνονται στο Σχ. 6. παρακάτω. 198

201 Σχ. 6. Αναλύοντας τα ολοκληρώµατα που εµπλέκονται, έχει ϐρεθεί ότι, για τη Γ, η πρόσθεση διαγραµµάτων ϐρόχων αλλάζει την επανακανονικοποιηµένη µάζα m 1, αλλά η Γ περιέχει µια πρόσθετη απόκλιση από το δεύτερο διάγραµµα του Σχ. 6.. Η ερώτηση είναι αν ϑα εξαφανιστεί και αυτή στην επανακανονικοποίηση της σταθεράς Ϲεύξης. Πηγαίνοντας στην Γ 4 ϐλέπουµε ότι και αυτή στους ϐρόχους δίνει επιπλέον αποκλίσεις. Κάποιες από αυτές εξαφανίζονται στην επανακανονικοποίηση της µάζας και οι υπόλοιπες γίνονται πεπερασµένες µε έναν επαναπροσδιορισµό της επανακανονικοποιηµένης σταθεράς g 1. Άρα η Γ 4 είναι πεπερασµένη σε ϐρόχους µε την επανακανονικοποίηση της µάζας και της σταθεράς Ϲεύξης. Η Γ, όµως, παραµένι αποκλίνουσα, καθώς η επανακανονικοποίηση της σταθεράς Ϲεύξης δεν αίρει την απόκλιση στο δεύτερο διάγραµµα του Σχ. 6.. Αίρεται µε την απορρόφηση ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα, οπότε ορίζουµε την επανακανονικοποιηµένη συνάρτηση σηµείων Γ τ ως Γ τ = Z φ g 1, m 1, µγ p, m, µ Τώρα η Γ τ είναι πεπερασµένη και η Z φ είναι µη πεπερασµένη.η Z 1/ φ λέγεται επανακανονικοποιηµένη σταθερά πεδίου. Η Z φ µπορεί να αναπτυχθεί στον αριθµό των ϐρόχων, δίνοντας Z φ = 1 + g 1 Z 1 + g 1Z +... = 1 + g 1Z , αφού δεν υπάρχει όρος ενός ϐρόχου. η εξίσωση 6.43 συντελεί στην επανακανονικοποίηση του πλάτους του πεδίου, αλλα η τιµή της δεν µπορεί να είναι τελείως αυθαίρετη. Ανάλογα µε τις 6.37 και 6.4, απαιτούµε σε κάποιο σηµείο, έστω στο p =, το πλάτος του πεδίου να είναι µονάδα, ώστε p Γ τ = p = Προφανώς, η επιλογή του σηµείου είναι αυθαίρετη. Το ότι η Γ p, m 1, µ ήταν αποκλίνουσα σηµαίνει ότι, στην προσέγγιση ϐρόχων, η m 1 είναι µη πεπερασµένη στο όριο ɛ. Η επανακανονικοποιηµένη Γ τ, ωστόσο, δίνει 199

202 τώρα µια πεπερασµένη µάζα m r : m r = Z φ m 1. Αυτό σηµαίνει ότι οι αποκλίσεις των Z φ και m 1 αλληλοεξουδετερώνονται. Και όπως το Z φ άλλαξε την επανακανονικοποιηµένη µάζα από m 1 σε m r, έτσι αλλάζει και την επανακανονικοποιηµένη σταθερά Ϲεύξης. Ανάλογα µε την 6.43 έχουµε Γ 4 τ = Z φ Γ4 p, m 1, µ 6.46, ώστε η νέα επανακανονικοποιηµένη σταθερά g r να οριστεί ανάλογα µε την εξίσωση 6.4 ως ϐεγινςεντερ. iγ4p i = = g r = Z φ g 1, g r = Z φ g Η Z φ είναι µια συνάρτηση του g 1 = gµ ɛ, οπότε, η επανακανονικοποιηµένη συνάρτηση n σηµείων είναι Γ n τ p i, g r, m r, µ = Z n/ φ gµɛ Γ n p i, g, m 6.48 ή Γ n p i, g, m = Z n/ φ gµ ɛ Γ n τ p i, g r, m r, µ Εχοθµε, πλέον, το αποτέλεσµα ότι, σε ϐρόχους, οι συναρτήσεις κορυφής ή, ισοδύναµα, οι συναρτήσεις Green, η µάζα και η σταθερά Ϲεύξης στην ϑεωρία φ 4 µπορούν να γίνουν πεπερασµένες µε κατάλληλη επανακανονικοποίηση. Γίνεται αυτό όµως σε όλες της τάξεις Αυτό είναι το ερώτηµα της επανακανονικοποίησης και είναι δύσκολο να ϐρεθεί απάντηση. Το µεγαλύτερο πρόβληµα είναι αυτό των επικαλυπτόµενων αποκλίσεων overlapping divergences. Αυτές εµφανίζονται στο δεύτερο διάγραµµα του Σχ. 6., το οποίο δίνεται από το ολοκλήρωµα i d 4 k 1 d 4 k k 1 k p k 1 k. Υπάρχουν 3 ϐρόχοι, οπότε δύο µεταβλητές ολοκλήρωσης. Ο συνολικός ϐαθµός

203 απόκλισης είναι 8 6 =. Αν όµως έστω το k 1 κρατηθεί σταθερό και ολοκληρώσουµε στο k, ο ϐαθµός απόκλισης είναι 4 4 =, οπότε το διάγραµµα πάλι ακόµα δίνει λογαριθµική απόκλιση. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι δεν µπο- ϱούµε να διαχωρίσουµε τις δύο αποκλίσεις. Βέβαια, όπως ϑα δούµε πα- ϱακάτω, οι επικαλυπτόµενες απικλίσεις δεν µας απασχολούν στην QED ε- ξαιτίας της αναλλοιώτητας ϐαθµίδας. Ανακεφαλαιώνοντας, ξεκινώντας από τη Λαγκρανζιανή της φ 4 ϐρήκαµε ότι οι συναρτήσεις Green που περιέχουν έναν ή παραπάνω εσωτερικούς ϐρόχους αποκλίνουν. Μπορούν, όµως, να γίνουν πεπερασµένες µέσω επανακανονικοποίησης της µάζας, της σταθεράς Ϲεύξης και του πλάτους πεδίου, από την γυµνή στην φυσική τιµή τους. Ας περάσουµε όµως στον δεύτερο τρόπο επανακανονικοποίησης, ο οποίος είναι πιο δηµοφιλής στη ϕυσική υψηλών ενεργειών. Σε αυτόν, οι παράµετροι g και m στην αρχική Λαγκρανζιανή ϑεωρούνται οι φυσικές ποσότητες. Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε εναποµείναντες όρους που αποκλίνουν στη Λαγκρανζιανή µας. Γι αυτό προσθέτουµε επιπλέον όρους για να τους εξουδετερώσουν. Αυτοί οι όροι ονοµάζονται counter-terms και µπορούν να κατασκευαστούν σε κάθε τάξη ϑεωρίας διαταραχών. Counter-terms Ας ϑεωρήσουµε την επανακανονικοποίηση της µάζας στο επίπεδο του 1 ϐρόχου 6.8,6.35 και Η σε 1 ϐρόχο τροποποίηση του ελεύθερου διαδότη είναι : = igm 16π ɛ + finite που αποκλίνει για ɛ. Άρα προσθέτουµε στην L έναν όρο δl 1 = gm 3π ɛ φ = δm π 6.5 Αυτό ϑεωρείται αλληλεπίδραση, εξού και ο κανόνας Feynman = igm 16π ɛ = iδm 6.51 Επειτα, σε τάξη g, ο ολικός αντίστροφος διαδότης είναι 1

204 6.5 ή Γ p = i[g p] 1 [ p m = i i ] igm 1 16π ɛ + finite + igm 16π = p m 6.53 αγνοώντας, όπως πριν, τον πεπερασµένο όρο ή εµπεριέχεται στο m. Εδώ το m ϑεωρείται πεπερασµένη ποσότητα, η ϕυσική σωµατιδιακή µάζα και είανι ίση, σε κατάλληλη τάξη ϑεωρίας διαταραχών, µε Γ. Η Λαγκρανζιανή είναι τώρα L+δL 1, όπου το δl 1 είναι ένας counter-term που αποκλίνει. Μπορεί να ϕαίνεται περίεργο που εισαγουµε έναν όρο µάζας 6.5 στη Λαγκρανζιανή και τον αποκαλούµε αλληλεπίδραση, αλλά δεν υπάρχει κάτι παράδοξο. Για να το δείξουµε αυτό, ας πάρουµε την ελεύθερη ϑεωρία που δίνεται από L = frac1 µ φ µ φfrac1m φ και ας ϑεωρήσουµε ότι περιγράφει ένα άµαζο πεδίο φ, το οποίο δίνεται από την πρώτο όρο στη L, µε µια αλληλεπίδραση που δίνεται από τον δεύτερο όρο. Οι κανόνες Feynman είναι τότε και ο διαδότης είναι

205 = i p + i p im i p + i p im i p im i p +... i = p m που είναι ο συνήθης διαδότης για ένα µαζικό πεδίο. Παρόµοια αντιµετώπιση µπορεί να γίνει και για τη Γ 4. Οπως ϕαίνεται στην 6.3, η Γ 4, υπολογισµένη σε τάξη g από την L, αποκλίνει όταν ɛ : = igµ ɛ 1 3g 16π + finite ɛ Οπότε προσθέτοντας έναν counterterm δl = 1 3g µ ɛ 4! 16π ɛ φ4 = Bgµɛ 4! στη Λαγκρανζιανή, παίρνουµε µια επιπλέον αλληλεπίδραση µε κανόνα Feynman φ 4 που καθιστά την Γ 4 πεπερασµένη = igµ ɛ + finite 6.54 Τελικά, η απόκλιση της Γ σε επίπεδο ϐρόχων όπως την περιγράψαµε παραπάνω απαιτούσε το πολλαπλασιασµό της Γ n µε έναν παράγοντα Z n/ φ. 3

206 Αυτό είναι ισοδύναµο µε την πρόσθεση του counterterm δl 3 = A µφ στη Λαγκρανζιανή, µε 1 + A = Z φ. Οι πεπερασµένες συναρτήσεις Green µπο- ϱούν τότε να αποκτηθούν προσθέτοντας στην Λαγκρανζιανή L counterterms L CT : L = 1 µφ m φ gµɛ 4! φ L CT = A µφ δm φ Bgµɛ φ ! Η ολική Λαγκρανζιανή, η οποία ονοµάζεται γυµνή Λαγκρανζιανή L B, είναι η L = 1 + A µ φ m + δm φ 1 + B gµɛ 4! φ οπότε ϐλέπουµε ότι η επίδραση των counterterms είναι ισοδύναµη µε το να πολλαπλασιάσουµε τα φ, m και g µε `παράγοντες επανακανονικοποίησης Z, Ετσι, ορίζοντας τις γυµνές ποσότητες : φ B = Z φ φ, Z φ = 1 + A, m B = Z m m, Z m = m + δm m 1 + A, g B = µ ɛ Z g g, Z g = 1 + B 1 + A 6.58 η γυµνή Λαγκρανζιανή είναι L = 1 µφ B m B φ B g B 4! φ Στη γλώσσα των counterterms, η ϑεωρία είναι επανακανονικοποιήσιµη αν οι counterterms που χρειάζονται για να αλληλοεξουδετερώσουν τις αποκλίσεις σε κάθε τάξη ϑεωρίας διαταραχών είναι της ίδιας µορφής µε αυτούς που πα- ϱουσιάζονται στην αρχική Λαγκρανζιανή. Σε αυτή την περίπτωση, οι γυµνές ποσότητες µπορούν να οριστούν από άπειρους πολλαπλασιαστικούς παράγοντες επανακανονικοποίησης, όπως παραπάνω, και η γυµνή Λαγκρανζιανή είναι της ίδιας µορφής µε την αρχική Λαγκρανζιανή. Η γυµνή Λαγκρανζιανή αποτελεί, όµως, την αληθινή Λαγκρανζιανή της ϑεωρίας, καθώς περιέχει 4

207 πεπερασµένες ϕυσικές ποσότητες σε κάθε τάξη. 6.4 Οµάδα Επανακανονικοποίησης Στην διαστατική οµαλοποίηση, είδαµε ότι ήταν απαραίτητο να εισαγάγου- µε µια νέα παράµετρο µ, η οποία έχει διαστάσεις µάζας.η επανακανονικοποιηµένη 1ΡΙ συνάρτηση Γ n τ εξαρτάται από το µ, όπως ϕαίνεται στην 6.48, µέσα από την εξάρτηση του Z φ από το µ. Με άλλα λόγια, η µηεπανακανονικοποιηµένη Γ n 6.49 είναι αναξάρτητη του µ, οπότε είναι α- ναλλοίωτη κάτω από τον µετασχηµατισµό µ e s µ 6.6 Αυτοί οι µετασχηµατισµοί συνθέτουν την οµάδα επανακανονικοποίησης.εισάγοντας τον διάστατο διαφορικό τελεστή µ / µ έχουµε ή, από την 6.49 µ µ Γn = 6.61 µ d dµ [Z n/ φ gµ ɛ Γ n p i, g r, m r, µ] = 6.6 όπου το g r και το m r εξαρτώνται από το µ. Εκτελώντας την διαφόριση στην 6.6 και πολλαπλασιάζοντας µε Z n/ phi έχουµε [ ] nµ µ ln Z φ + µ µ + µ g r + µ m r Γ τ n = 6.63 µ g r µ m r Για απλότητα, ας γράφουµε από εδώ και στο εξής g για g r, m για m r και Gamma n για Gamma n τ, ώστε, ανεξαρτήτως εµφάνισης, να δουλεύουµε παντα µε επανακανονικοποιηµένες ποσότητες. Επειτα, ορίζοντας τις ποσότητες γg = µ µ ln Z φ βg = µ g µ mγ m g = µ m µ

208 η 6.63 γίνεται [ µ µ + βg g nγg + m mg m ] Γ n = 6.65 Αυτή είναι η εξίσωση της οµάδας επανακανονικοποίησης RG euation. Εκ- ϕράζει την αναλλοιώτητα της επανακανονικοποιηµένης Γ n κάτω από την αλλαγή του µ. Ας γράψουµε τώρα µια παρόµοια εξίσωση που ϑα εκφράζει την αναλλοιώτητα της Γ n κάτω από αλλαγή κλίµακας. Ας ϑεωρήσουµε p tp, m tm και µ tµ. Η Γ n έχει διάσταση µάζας D που δίνεται Πίνακας 6.1 από τον τύπο D = d + n 1 d n = 4 n + ɛ όπου d = 4 ɛ. Τότε Γ n tp i, g, m, µ = t D Γ n p i, g, t 1 m, t 1 µ = µ D g, t p i mµ 6.67 οπότε t t + m m + µ µ D Γ n = 6.68 Τώρα εξαλείφουµε το µ Γ µ µετξύ των 6.65 και 6.68: [ ] t t + β g nγg + mγ mg 1 m + D Γ n tp, g, m, µ = 6.69 Αυτή η εξίσωση εκφράζει άµεσα την επίδραση των ορµών κλίµακας στην Γ n κατά έναν παράγοντα t. Αν β = γg = g m g = η επίδραση δίνεται απλά από τη διάσταση D, όπως είναι αναµενόµενο. Οι αλληλεπιδράσεις είναι που κάνουν αναγκαία την επανακανονικοποίηση και κάνουν τα β, γg και γ m g να µην εξαφανίζονται. Ας σηµειώσουµε ότι, αν πάρουµε άµαζη ϑεωρία, τότε η Λαγκρανζιανή είναι αναλλοίωτη σε κλίµακες, αλλαόι συναρτήσεις Green δεν είναι, διότι τα β και γg δεν εξαφανίζονται. Συνεισφέρουν σε ανώµαλες διαστάσεις. Η αρχή αυτών των ανώµαλων διαστάσεων είναι προφανής : η επανακανονικοποίηση αναπόφευκτα εισάγει µια κλίµακα, στη µορφή της µά- Ϲας µ στη διαστατική οµαλοποίηση, ή στη µορφή της µάζας-διακόπτη Μ στην 6

209 µέθοδο Pauli-Villars, οπότε ακόµα και µία κλασσική ϑεωρία αναλλοίωτη κλί- µακας scale invariant δεν µπορεί να δώσει µια scale invariant κβαντική ϑεωρία. Θέλουµε τώρα να ϐρούµε λύση για την η εξίσωση εκφράζει το γεγονός ότι µια αλλαγή στο t µπορεί να αντισταθµιστεί από µια αλλαγή στα m και g και ένα γενικό παράγοντα. Άρα περιµένουµε ότι ϑα υπάρχουν συναρτήσεις gt, mt, ft τέτοιες ώστε Γ n tp, m, g, µ = ftγ n p, mt, gt, µ 6.7 ιαφορίζοντας ως προς t: t Γn tp, m, g, µ = df dt Γn p, mt, gt, µ = ft m Γ n t m + g t Γ n g ή t t Γn tp, m, g, µ = t df dt + ftt m t m + ftt g Γ n p, mt, gt, µ t g = t df dt + ftt m t m + ftt g 1 t g ft Γn tp, m, g, µ οπότε = t df dt + t df f dt + t m t m + t g t Τώρα ας συγκρίνουµε την 6.71 µε την ίνει g Γ n tp, m, g, µ = 6.71 t gt t = βg 6.7 όπου η gt ονοµάζεται τρέχουσα σταθερά Ϲεύξης ϱυννινγ ςουπλινγ ςονσταντ. Γνώση της συνάρτησης βg µας επιτρέπει να ϐρούµε τη gt. Μεγάλο ενδια- ϕέρον παρουσιάζει το ασυµπτωτικό όριο της gt όταν t. Με την 6.7 έχουµε g1 = g. Συγκρίνοντας τις δύο εξισώσεις παίρνουµε t m t = m[γ mg 1]

210 και οι εναποµείναντες όροι δίνουν t df f dt = D nγg Αυτή η εξίσωση µπορεί να ολοκληρωθεί για να δώσει [ ] t nγgtdt ft = t D exp 1 t που, µε αντικατάσταση στην 6.7 και στο όριο ɛ δίνει [ ] t Γ n tp, m, g, µ = t 4 n γgtdt exp n Γ n p, mt, gt, µ t Αυτή είναι η λύση στην εξίσωση RG 6.69, σε όρους τρέχουσας σταθε- ϱάς Ϲεύξης και τρέχουσας µάζας gt και mt. Ο εκθετικός όρος είναι η ανώµαλη διάσταση. Η ϕυσική στις µεγάλες ορµές κυβαρνάται από αυτές τις δύο ποσότητες και η χρησιµότητα της οµάδας επανακανονικοποίησης είναι να µελετά τη συµπεριφορά της κβαντικής ϑεωρίας πεδίου σε αυτές τις ορµές αλλά και σε µικρότερες ορµές. Μια εξίσωση σαν την 6.74 µας επιτρέπει να ϕηµολογούµε για περιοχές εκτός του ϕάσµατος της ϑεωρίας διαταραχών. ας εξετάσουµε κάποιεες πιθανές συµπεριφορές της gt όταν t, για παράδειγµα σε µεγάλες ορµές, υποθέτοντας ότι η 6.7 ισχύει ακόµα εκεί t gt t = βgt Πρώτον, ας υποθέσουµε ότι η βg έχει τη µορφή που έχει στο Σχ 6.3. Τα µηδενικά της β στα g =, g = g λέγονται σταθερά σηµεία fixed points. Βλέπουµε, τότε, ότι, όπως t, µια τιµή της g κοντά στο g τείνει προς το g. ιότι αν g < g, β >, το g αυξάνει µε το t και πάει προς το g. Αν, από την άλλη, g > g τότε β <, οπότε το g µειώνεται όσο αυξάνεται το t, οπότε πάει πάλι στο g. Άρα g = g και το g ονοµάζεται υπεριώδες ευσταθές σταθερό σηµείο ultra violet stable fixed point. Από ανάλογο επιχείρηµα, αν το g είναι µικρό, τότε όπως t, g και το go = λέγεται υπέρυθρο ευσταθές σταθερό σηµείο. εύτερον, ας υποθέσουµε ότι το βg έχει τη µορ- ϕή που έχει στο Σχ 6.4. Και πάλι υπάρχουν δύο σταθερά σηµεία, αλλά το πρόσηµ του β έχει αλλάξει, άρα το g = g είναι υπέρυθρο σηµείο και το g = είναι υπεριώδες. Για αυτή την συµπεριφορά η ϑεωρία διαταραχών γίνεται όλο και καλύτερη σε µεγάλες ενέργειες και στο άπειρο όριο ορµής η σταθερά εξα- ϕανίζεται. Αυτή η συµπεριφορά είναι γνωστή ως ασυµπτωτική ελευθερία. 8

211 Σχ. 6.3 Σχ. 6.4 Ως παράδειγµα, ας διερευνήσουµε την ασυµπτωτική συµπεριφορά της φ 4, ϑεωρώντας ότι ο υπολογισµός του ενός ϐρόχου για την επανακανονικοποιηµένη σταθερά Ϲεύξης είναι ένας αξιόπιστος δείκτης στην ασυµπτωτική κυ- ϱιαρχία. Αγνοώντας τις πεπερασµένες διορθώσεις, έχουµε από την 6.58, αγνοώντας το A που είναι τάξης g, g B = gµ ɛ 1 + 3g 16π 6.75 ɛ έτσι ώστε µ µ = ɛgµɛ + 3g 16π µɛ Η συνάρτηση β δίνεται από την 6.64, στην οποία η g αναφέρεται στην επανακανονικοποιηµένη σταθερά Ϲεύξης και έχουµ πάρει το όριο ɛ, οπότε παίρνουµε βg = lim ɛ µ g µ = 3g 16π > 6.76 Από την 6.7, ή ίσως πιο άµεσα σηµειώνοντας ότι αν s = lnt, ώστε t t = s, η εξίσωση 6.7 γίνεται gs = βgs 6.77 s Βλέπουµε ότι η τρέχουσα σταθερά Ϲεύξης αυξάνεται µε το s, π.χ. µε την αυξάνουσα ορµή, οπότε η φ 4 δεν είναι ασυµπτωτικά ελεύθερη. Εύκολα δείχνεται 9

212 ότι η λύση στην εξίσωση 6.76 είναι g = g 1 αg lnµ/µ όπου α = 3 16π, οπότε η g αυξάνεται µε το µ. Μέχρι τώρα, σε αυτό το κεφάλαιο, αφοσιωθήκαµε στην διαστατική οµαλοποίηση της φ 4, ώστε να αναπτύξουµε τις απαραίτητες τεχχνικές και ιδέες σε µια πιο εύκολη ϑεωρία. Στη συνέχεια περνάµε στην επανακανονικοποίηση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναµικής QED. 6.5 Αποκλίσεις και διαστατική οµαλοποίηση της QED Τα µόνα σωµατίδια σε αυτήν την ϑεωρία είναι τα ϕωτόνια και τα ηλεκτρόνια. Αποκλίσεις εµφανίζονται σε αρκετούς τύπους διαγραµµάτων Feynman, π.χ. στα διαγράµµατα ιδίας ενέργειας του ϕωτονίου και του ηλεκτρονίου Σχ. 6.5 και Σχ Θα διαχειριστούµε τα διαγράµµατα αυτά µε τον ίδιο τρόπο που δουλέψαµε στην φ 4 καινούριαθα δείξουµε ότι υπάρχει πεπερασµένος αριθµός εγγενώς αποκλίνοντων διαγραµµάτων και ότι, άρα, η QED είναι, ϑεβρητικά, επανακανονικοποιήσιµη. Σχ

213 Σχ. 6.6 Θα οµαλοποιήσουµε, στη συνέχεια, τα ολοκληρώµατα Feynman µε χρήση της διαστατικής οµαλοποίησης και ϑα δείξουµε πώς επανακανονικοποιείται η QED σε τάξη e ενός ϐρόχου και πώς η ταυτότητα Ward εγγυάται ότι η QED είναι επανακανονικοποιήσιµη σε όλες τις τάξεις. Ο γενικός τύπος για τον επιφανειακό ϐαθµό ελευθερίας D ενός διαγράµµατος Feynman σε d-διάστατο χώρο είναι ανάλογος µε πριν : D = dl P i E i 6.78 όπου 6.79 Επιπλέον, ας ϑεωρήσουµε ότι 6.8 Οπως πριν, L =αριθµός ανεξάρτητων ορµών προς ολοκλήρωση=αριθµός εσωτερικών γραµµών nεξαιτίας της διατήρησης της ορµής σε κάθε κορυφή+1εξαιτίας 11

214 της συνολικής διατήρηρσης της ορµής: L = E i + P i n Τώρα, κάθε κορυφή δίνει δύο ηλεκτρονιακά πόδια. Αν είναι εξωτερικά, µετρώνται µία ϕορά, ενώ αν είναι εσωτερικά, δύο ϕορές, οπότε n = E e + E i 6.8 Ανάλογη σχχέση ισχύει για τα ϕωτόνια n = P e + P i 6.83 Οι εξισώσεις 6.78 και 6.81 δίνουν D = d 1E i + d P i dn 1 που, αντικαθιστώντας για τα E i και P i από τις 6.8 και 6.83 δίνει d D = d + n d 1 d E e P e 6.84 Οταν d = 4 δίνει D = 4 3E e P e 6.85 δείχνοντας ότι το D είναι ανεξάρτητο του n, κάτι απαραίτητο για την επανακανονικοποίηση. Ας ελέγξουµε την 6.85 για τα δύο διαγράµµατα ιδίας ενέργειας. Το διάγραµ- µα ιδίας ενέργειας του ηλεκτρονίου, Σχ. 6.5, έχει E e =,P e =, άρα D = 1. Οι κανόνες Feyman δίνουν iσp = ie d 4 k i π 4 γµ p k m ig µν k γ ν 6.86 που έχει 4 δυνάµεις του k στον αριθµητή και 3 στον παρονοµαστή,άρα D = 1, όπως περιµέναµε. Το διάγραµµα ιδίας ενέργειας του ϕωτονίου Σχ. 6.6 έχει E e =,P e = άρα D = και συµβολίζεται Π µν, ο διαδότης του κενού. Σε αντίθεση µε τη ιδία ενέργεια του ηλεκτρονίου, δεν έχει κλασσικό ανάλογο. Οι 1

215 κανόνες Feyman δίνουν iπ µν k = ie d 4 p π 4 T r γ µ i i p m γν p k m 6.87 Το αρνητικό πρόσηµο προέρχεται από τον ϕερµιονικό ϐρόχο. Φαίνεται ότι το ολοκλήρωµα αποκλίνει τετραγωνικά, όπως αναµενόταν. Αυτό το διάγραµµα δίνει έναν τροποποιηµένο ϕωτονικό διαδότη, οπότε, στη ϐαθµίδα Feynman, στον 1 ϐρόχο : id µνk = i g µν k + ig µα k iπ αβ ig βν k k = 6.88 Ενώ οι ιδίες ενέργειες του ηλεκτρονίου και του ϕωτονίου είναι επιφανειακά γραµµικά και τετραγωνικά αποκλίνουσες αντίστοιχα, και οι δύο τελικά γίνονται λογαριθµικά αποκλίνουσες, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Αυτά τα διαγράµµατα είναι εγγενώς αποκλίνοντα και η ερώτηση είναι πόσα και ποια άλλα εγγενώς αποκλίνοντα διαγράµµατα υπάρχουν στην QED. Για την ακρίβεια, υπάρχουν 3 ακόµα, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. το πρώτο είναι το διάγγραµµα κορυφής που ϕαίνεται στο Σχ Εχει E e =,P e = 1, οπότε D =, λογαριθµική απόκλιση. Οι κανόνες Feyman δίνουν ieλ µ p, q, p + q = ie 3 d 4 k ig ρσ i π 4 k + p γρ k q m γ i µ k m γσ 6.89 που είναι όντως λογαριθµική απόκλιση. Αυτά τα τρία διαγράµµατα έχουν την εξής ιδιότητα : η αφαίρεσηςτων απειρισµών τους να καταλήγει στον επαναο- ϱισµό διάφορων ϕυσικών ποσοτήτων, όπως η κανονικοποίηση της κυµατοσυνάρτησης, η µάζα του ηλεκτρονίου και το ηλεκτρικό ϕορτίο. Με άλλα λόγια, εν απαιτούνται counterterms στη Λαγκρανζιανή καινούριου τύπου. 13

216 Σχ. 6.7 Οµως τα άλλα δύο εγγενώς αποκλίνοντα διαγράµµατα ϑα µπορούσαν να ϑέσουν σε κίνδυνο την επανακανονικοποίηση της QED. Το πρώτο είναι η Ϲεύξη 3 ϕωτονίων Σχ. 6.8 µε E e = P e = 3, άρα D = 1. Τελικκά όµως αυτό το διάγραµµα εξουδετερώνεται από ένα άλλο µε αντίθετα ϐέλη στα ηλεκτρόνια και άρα ϑα το αγνοήσουµε. Αυτό είναι το περιεχόµενο του ϑεωρήµατος του Furry, που προκύπτει από την C invariance της Λαγκρανζιανής. Η L είναι αναλλοίωτη κάτω από σύζευξη ϕορτίου : ψ ψ c = C ψ T, A µ A µ και από αυτό προκύπτει ότι οι συναρτήσεις Green, µε περιττό αριθµό εξωτερικών ϕωτονικών γραµµών, µηδενίζονται. Το δεύτερο διάγραµµα που δηµιουργεί πρόβληµα είναι το Σχ. 6.9, η σκέδαση ϕωτός µε ϕώς, όπου E e =,P e = 4, άρα D =, λογαριθµική απόκλιση. Προκύπτει τελικά ότι λόγω αναλλοιώτητας ϐαθµίδας, το διάγραµµα συγκλίνει, όποτε δεν αποτελεί πλέον πρόβληµα. Σχ

217 Σχ. 6.9 Εχοντας αποµονώσει τις 3 αποκλίσεις στην ϑεωρία µας, πρέπει τώρα να τις υπολογίσουµε χρησιµοποιώντας διαστατική οµαλοποίηση. Ας γενικεύσουµε πρώτα τη Λαγκρανζιανή µας : L = i ψγ µ µ ψ m psiψ ea µ ψγµ ψ 1 4 µa ν νa µ 1 µaµ σε d διαστάσεις. υπενθυµίζουµε ότι η διάσταση µάζας της Λαγκρανζιανής είναι d, άρα αν [ψ] = d 1, [A µ] = d 1 τότε όλοι οι όροι στην L παραπάνω, εκτός του τρίτου, έχουν τη σωστή διάσταση. Για τον τρίτο, πρέπει να πολλαπλασιάσουµε το e µε µ d/, όπου µ είναι µια αυθαίρετη µάζα. Οπότε ϑα έχουµε L = i ψγ µ µ ψ m psiψ eµ d/ A µ ψγµ ψ 1 4 µa ν νa µ 1 µaµ 6.9 Εχουµε γ µ, γ ν = g µν 6.91 όπου g µν η µετρική σε d-διάστατο χώρο Minkowski, ώστε δ µ µ = d, άρα γ µ γ µ = d, γ µ γ ν γ µ = dγ ν 6.9 Επιπλέον, T roddnumberof γmatrices = 6.93 T ri = fd, T rγ µ γ ν = fdg µν

218 T rγ µ γ κ γ ν γ λ = fdg µκ g νλ g µν g κλ + g µλ g κν 6.95 όπου fd είναι µια αυθαίρετη συνάρτηση µε f4 = 4. Αυτό που δεν µπο- ϱούµε να κάνουµε στις d διαστάσεις είναι να ορίσουµε τον ανάλογο του γ 5. Σε 4 διαστάσεις, έχουµε γ 5 = i 4! ɛµνρσ γ µ γ ν γ ρ γ σ 6.96 αλλά το σύµβολο ɛ µνρσ Levi-Civita είναι αποκλειστικό για τις 4 διαστάσεις. Ας ϑεωρήσουµε τώρα τα εγγενώς αποκλίνοντα διαγράµµατα, αρχίζοντας µε το Σχ Η 6.86, σε d διαστάσεις, δίνει Σp = ie µ 4 d = ie µ 4 d d d k π d γ 1 µ p k m γ ν g µν k d d k γ µ p k + mγ µ π d [p k m ]k Εισάγοντας την παράµετρο Feyman z, έχουµε Σp = iµ 4 d e 1 Ορίζοντας k = k pz δίνει Σp = iµ 4 d e 1 dz d d k γ µ p k + mγ µ π d [p k z m z + k 1 z] d d k γ µ p pz k + mγ µ dz π d [k m z + p z1 z] Ο όρος που είναι γραµµικός ως προς το k γίνεται µηδέν, οπότε : Σp = iµ 4 d e 1 dzγ µ p pz + mγ µ d d k π d 1 [k m z + p z1 z] Σηµειώνουµε ότι στις 4 διαστάσεις το ολοκλήρωµα της ορµής είναι λογαριθµικά, και όχι γραµµικά, αποκλίνον. Με τη ϐοήθεια της Εξ. Α5 ϑα δώσει Σp = µ 4 d Γ d/ e 4π d/ int 1 dzγ µ [ p1 z + m]γ µ [ m z + p z1 z] d/ Οπως d 4, η Γ d/ σχηµατίζει ένα πόλο. Θέτοντας ɛ = 4 d, και µε 16

219 χρήση των 6.4 και 6.9 δίνει 1 Σp = e 16π Γɛ/ dz[ p1 z 4m ɛ[ p1 z + m]] ɛ/ mz + p z1 z 4πµ [ = e 8π p + 4m + e ɛ 16π p1 + γ m1 + γ ] 1 m z + p z1 z + dz[ p1 z m]ln 4πµ = e 8π p + 4m + finite 6.97 ɛ Στη συνέχεια, υπολογίζουµε το διάγραµµα πόλωσης του κενού. Από την 6.87 έχουµε, σε d διαστάσεις, Π µν k = iµ 4 d e ] = ie µ 4 d [ d d p π d T r 1 γ µ p m γ ν ] 1 p k m d d p T r[γ µ p + mγ ν p k + m] π d p m [p k m ] Εισάγοντας το z καιθέτοντας p = p kz, έχουµε Π µν = ie µ 4 d 1 d d p T r[γ µ p + kz + mγ ν p k1 z + m] dz π d [p m + k z1 z] Εξαιτίας της 6.93 και επειδή οι όροι του p δεν συνεισφέρουν στο ολοκλήρω- µα Εξ. Α6, ο αριθµητής N στο ολοκλήρωµα της ορµής είναι N = [p κ p λ k κ k λ z1 z]t rγ µ γ κ γ ν γ λ + m T rγ µ γ ν που δίνει, από τις 6.94 και 6.95, N = fdp µp ν z1 zk µ k ν k g µν g µν [p m + k z1 z] Οπότε, ϑέτοντας p p, 17

220 Π µν k = ie µ 4 d fd 1 dz [ d d p p µ p ν π d [p m + k z1 z] z1 z[k µk ν g µν k ] [p m + k z1 z] g µν [p m + k z1 z] ] Από τις Εξισώσεις Α5 και Α7 οι συνισφορές του πρώτου και του τρίτου όρου αλληλοεξουδετερώνονται. Ο µεσαίος όρος οδηγεί σε λογαριθµικά αποκλίνον ολοκλήρωµα, που µε την Α5 δίνει : Π µν k = e π k µk ν g µν k [ 1 3ɛ γ ] 1 6 m + k z1 z dzz1 zln 4πµ + Oɛ Οπως αναµένεται τώρα, το αποκλίνον κοµµάτι είναι ένας πόλος στο ɛ. Το πεπερασµένο κοµµάτι περιέχει όρους που εξαρτώνται από το k, οπότε, για µικρό k, έχουµε Π µν = e 6π k µk ν g µν k 1 ɛ + k 1m +... = e 6π ɛ k µk ν g µν k + finite Τέλος, ϑα υπολογίσουµε το διάγραµµα του Σχ Η εξίσωση 6.89 δίνει ieµ d/ Λ µ p, q, p = ieµ d/ 3 d d k π d γ νfraci p i k mγ µ p k m γ ig νρ ρ k = eµ d/ 3 d d k π d γ νfrac p k + mk [p k m p k + m ]γ µ [p k m ] γν Τώρα εισάγουµε τον τύπο Feyman παραµέτρων, ανάλογα µε την 6., που δίνει 1 abc = 1 dx 1 x 1 dy [a1 x y + bx + cy]

221 Λ µ = sie µ 4 d π d 1 dx 1 x dy d d k γ ν p k + mγ µ p k + mγ ν [k m x + y kpx + p y + p x + p y] 3 Ορίζοντας k = k px p y τότε δίνει µε k k Λ µ p, q, p = ie µ 4 d π d 1 dx 1 x dy d d k γ ν[ p 1 y px k + m]γ µ [ p1 x p y k + m]γ ν [k m x + y + p x1 x + p y1 y pp xy] Αυτό το ολοκλήρωµα περιέχει συγκλίνοντα και αποκλίνοντα κοµµάτια. Το κοµµάτι του αριθµητή που είναι τετραγωνικό ως προς k είναι αποκλίνον, ενώ το υπόλοιπο συγκίνον, οπότε ϑέτουµε Λ µ = Λ 1 µ + Λ µ 6.11 Το αποκλίνον κοµµάτι Λ 1 µ µπορεί να γραφεί, από την Εξ. Α7, ως d/ Λ 1 µ p, q, p = e 1 µ4 d Γ d/ 4π 1 dx 1 x γ ν γ ρ γ µ γ ρ γ ν [ m x + y + p x1 x + p y1 y pp xy] d/ dy Και µε ανάλογο τρόπο µε την 6.9 γ ν γ ρ γ µ γ σ γ ν = dγ ρ γ µ γ σ + γ µ γ σ γ ρ γ ρ γ σ γ µ οπότε γ ν γ ρ γ µ γ ρ γ ν = d γ µ Θέτοντας, ως συνήθως, ɛ = 4 d, ώστε d = 4 4ɛ, παίρνουµε Λ 1 µ p, q, p = e 8π ɛ γ µ + finite

222 Το συκγνίνον κοµµάτι του Λ 1 µ είναι εκείνο το κοµµάτι χωρίς k στον αριθµητή του ολοκληρώµατος. Αφού συγκλίνει, µπορούµε να ϑέσουµε d = 4 και να ολοκληρώσουµε στο k χρησιµοποιώντας την Εξ Α5: Λ µ p, q, p = e 16π 1 dx 1 x dy γ ν[ p 1 y px + m]γ µ [p1 x p y + m]γ ν m x + y p x1 x p y1 y + pp xy 6.13 Εχουµε τώρα αναλυτικές εκφφράσεις για τα τρία εγγενώς αποκλίνοντα διαγράµµατα της QED και έχουµε ϐρει τρεις αποκλίνοντες όρους και έναν συγκλίνοντα. Στη συνέχεια ϑα δούµε ότι οι τρεις αποκλίνοντες όροι µπορούν να εξουδετερωθούν από κατάλληλους counterterms και ότι ο συγκλίνων όρος δίνει την ανώµαλη µαγνητική ϱοπή στο ηλεκτρόνιο. 6.6 Επανακανονικοποίηση ενός ϐρόχου της QED Συγκεκεντρώνουµε, για ευκολία,τις αποκλίνουσες ποσότητες που ϐρήκαµε παραπάνω : Σp = e 8π p + 4m + finite ɛ Π µν = e 6π ɛ k µk ν g µν k + finite Λ 1 µ p, q, p = e 8π ɛ γ µ + finite Αξίζει να τονίσουµε ότι τα αποκλίνοντα κοµµάτια των και Λ παραπάνω ικανοποιούν την ταυτότητα Wrd. Η διαστατική οµαλοποίηση σέβεται αυτήν την ταυτότητα και άρα µπορεί να εφαρµοστεί. Ας δούµε τώρα τι counterterms πρέπει να προσθέσουµε στη Λαγκρανζιανή για να κάνουµε αυτές τις ποσότητες πεπερασµένες. Ξεκινάµε µε την ιδία ενέργεια του ηλεκτρονίου που τροποποιεί τον αντστροφο ηλεκτρονιακό διαδότη σε :

223 Γ = S F p 1 = S F p Σp = p m e 8π p + 4m ɛ = p 1 + e 8π m 1 + e ɛ π ɛ 6.14 Αγνοούµε τις πεπερασµένες διορθώσεις. Επειδή οι συνιστώσες των p και m δεν είναι ίσες, χρειαζόµαστε δύο counterterms: έναν για το συνολικό µέγεθος του διαδότη, συνεισφέροντας στην κανονικοποίηση της κυµατοσυνάρτησης του ηλεκτρονίου και έναν για την ηλεκτρονιακή µάζα. Άρα στο L 1 = ψ ψ m ψψ προσθέτουµε L 1 CT = ib ψ ψ A ψψ 6.15 και έχουµε έτσι την ολική γυµνή Λαγκρανζιανή L 1 B = i1 + B ψ ψ m + A ψψ 6.16 όπου τα A,B επιλέχθηκαν για να δώσουν πεπερασµένο ηλεκτρονιακό διαδότη σε τάξη g Είναι εύκολο να ελέγξουµε ότι η αλληλεπίδραση ib p τροποποιεί τον διαδότη i/ p σε i/1 + B p. Οπότε e 8π p + 4m + A B p = finite 6.18 ɛ και αν αγνοήσουµε τους πεπερασµένους όρους A = me π ɛ B = e 8π ɛ

224 έχουµε Z = 1 + B = 1 e 8π ɛ 6.11 Ορίζοντας την γυµνή κυµατοσυνάρτηση ως ψ B = Z ψ µπορούµε να γράψουνµε τη γυµνή Λαγκρανζιανή 6.16 ως L 1 B = i ψ B ψ B m B ψb ψ B 6.11 όπου η γυµνή µάζα m B δίνεται από m B = Z 1 m + A = m 1 e π 1 + e ɛ 8π ɛ = m 1 3e 8π = m + δm ɛ Εφόσον η διαδότης είναι ο µετασχηµατισµός Fourier του vacuum expectation value του γινοµένου ως προς το χρόνο των πεδίων, ο γυµνός διαδότης έιναι ο µετασχηµατισµός Fourier του T ψ B ψ B = Z T ψψ οπότε, εφόσον σε αυτή τη µέθοδο επανακανονικοποίησης counterterms το ψ αναφέρεται στο ϕυσικό ηλεκτρόνιο και το ψ B στο γυµνό ηλεκτρόνιο, ϐλέπουµε ότι το Z1 1 είναι η πιθνότητα να ϐρούµε γυµνό ηλεκτρόνιο να διαδίδεται στην διάδοση ενός ϕυσικού ηλεκτρονίου. Ετσι, η επανακανονικοποιηµένη κυµατοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου και η επανακανονικοποιηµένη ηλεκτρονιακή µάζα µπορούν να παρθούν ως ψ και m. Οµως αυτό είναι αλήθεια µόνο αν α- γνοήσουµε τους πεπερασµένους όρους διόρθωσης, όπως κάναµε πριν. Οντως, ακολουθεί λογικά ότι, αν αγνοήσουµε αυτούς τους όρους, η επανακανονικοποιηµένη κορυφή σηµείων είναι

225 ή Γ p = is F p 1 = p m Σp + A B p = p m + finiteterms όπου χρησιµοποιήσαµε την 6.18.Οι πεπερασµένοι όροι, γενικότερα, ϑα δώσουν επανακανονικοποιηµένες ποσότητες διαφορετικές από τις ψ και m. Κα- ϑορίζονται από την επιλογή της ορµής στην οποία οι διάφορες συναρτήσεις κορυφής εξαφανίζονται. Πέρα από αυτό, πάντως, η ϕιλοσοφία της µεθόδου αυτής είναι η αντίστροφη εκείνης που µελετήσαµε προηγουµένως. Ας περάσουµε τώρα στην πόλωση του κενού Από την 6.88 δηµιουργείται ένας τροποποιηµένος ϕωτονιακός διαδότης D µνk = D µν k D µα kπ αβ kd βν +... [ = g µν k g µα k = g µν k 1 e 6π ɛ k α k β g αβ k e k 6π m 1 ɛ + ] k g βν 1m k +... e 1 k µ k ν 6π ɛ k k Εδώ εκφράσαµε το D µν στην ϐαθµίδα Feynman. Παρατηρούµε 1 ότι η συνιστώσα του κοµµατιού της ϐαθµίδας Feynman του καινούριου διαδότη περιέχει ένα µη πεπερασµένο όπως ɛ κοµµάτι και ένα πεπερασµένο ανεξάρτητο του ɛ κοµµάτι, ανάλογο του k και ότι ο διαδότης δεν είναι στην ϐαθµίδα Feynman εξαιτίας του όρου k µ k ν. Οι ϕυσικές ποσότητες είναι, ασφαλώς, αναλλοίωτες ϐαθµίδας, όποτε δεν επηρεάζονται. Παρόλα αυτά, οι µη πεπερασµένοι όροι στο D µν πρέπει να αφαιρεθούν µε την πρόσθεση counterterms στην αρχική Λαγκρανζιανή. Η Λαγκρανζιανή που δίνει έναν διαδότη ϐαθµίδας Feynman ήταν L = 1 4 F µνf µν 1 µ = 1 Aµ g µν A ν οπότε ο counterterm που ϑέλουµε είναι L CT = C 4 F µνf µν E µa µ

226 όπου τα C,E ϑα είναι διαφορετικά εξαιτίας της παρατήρησης παραπάνω. Τότε η γυµνή Λαγκρανζιανή είναι L B = 1 + C F µν F µν + gaugeterms 4 = Z 3 4 F µνf µν + gaugeterms µε Z 3 = 1 e 6π ɛ Τότε η γυµνή Λαγκρανζιανή δίνει ένα πεπερασµένο ϕωτονιακό διαδότη σε τάξη e. Η ιδία ενέργεια του ηλεκτρονίου δηµιούργησε µια γυµνή ηλεκτρονιακή µάζα διαφορετική από την ϕυσική. Θα γίνει το ίδιο εδώ Με άλλα λόγια, ϑα αποκτήσει το ϕωτόνιο µια πεπερασµένη µάζα λόγω της ιδίας ενέργειας στον πολωτή του κενού Αυτό ϑα ήταν καταστροφή, άλλα ευτυχώς δεν συµβαίνει, καθώς το Π µν k είναι της µορφής Π αβ k = k α k β g αβ k Πk 6.1 Αυτό προκύπτει επειδή η αναλλοιώτητα ϐαθµίδας απαιτεί k α Π αβ k = 6.11 και η 6.1 είναι η πιο γενική Lorentz συναλλοίωτη δοµή που επιµένει σε αυτό. Αντικαθιστώντας την 6.1 την δίνει, σε 1 ϐρόχο D µν = D µν D µα k α k β g αβ k Πk D βν οπότε, ϑέτοντας D µν g µν /k D µν = 1 k [1 + Πk g µν k µk ν ] k Πk 6.1 4

227 Το Πk περιέχει αποκλίσεις. Στην διαστατική οµαλοποίηση Πk = e 1 6π ɛ + k 1m = e 6π ɛ + Π f k 6.13 όπου το Π f k είναι πεπερασµένο και τείνει στο µηδέν όταν k. Ο συνολικός διαδότης µπορεί τότε να γραφτεί D µν = = = g µν k [1 + Πk ] + gaugeterms g µν k [1 + e 6π ɛ + Π f k ] + gaugeterms Z 3 g µν k [1 + Π f k + gaugeterms 6.14 ] όπου έχουµε χρησιµοποιήσει την Η Λαγκρανζιανή 6.118, όµως, που περιέχει τους ςουντερτερµς, προτείνει τον ορισµό του γυµνού πεδίου A µ B = Z1/ 3 A µ 6.15 του οποίου ο διαδότης είναι D µν T A µb A νb Z 3 T A µ A ν = D µν όπου ο D µν είναι ο επανακανονικοποιηµένος συνολικός διαδότης. Από την 6.14 είναι D µν = g µν k [1 + Πk + gaugeterms 6.16 ] Βλέπουµε, τότε, ότι η ϕωτονιακή µάζα παραµένει µηδενική µετά την ε- πανακανονικοποίηση. Επιπλέον, όπως ϑέλαµε και περιµέναµε, η επανακανονικοποίηση ξεφορτώνεται τους µη πεπερασµένους όρους στον διαδότη D µν. Κρατάει, όµως, τον πεπερασµένο όρο διόρθωσης στο k, που δηµιουργεί ϕυσικά ϕαινόµενα. Αγνοώντας τους όρους ϐαθµίδας, ο επανακανονικοποιηµένος διαδότης είναι D µν = g µν k 1 e 6π k m + Ok Ο όρος διόρθωσης γνωστός ως όρος Uehling δηµιουργεί µια τροποποίηση στο δυναµικό Coulomb. Το δυναµικό µεταξύ ϕορτίων e απόστασης r είναι 5

228 τώρα e 4pr + frace 6π m δ 3 r Ο επιπλέον όρος τροποποιεί τα ενεργειακά επίπεδα στο άτοµο του υδρογόνου και συνεισφέρει σηµαντικά στο γνωστό Lamb shift. Η συµφωνία µεταξύ πει- ϱάµατος και ϑεωρίας είναι µεγαλύτερη από.1mhz και ϑεωρούµε ότιθ αυτό είναι τέλεια επικύρωση της παραάνω ϑεωρίας. Περνάµε, τέλος, στη συνάρτηση κορυφής και στο αποκλίνον κοµµάτι Λ 1 µ που δίνεται από την 6.1. Είναι σαφές ότι µπορεί να εξαλειφθεί µε κατάλληλο counterterm L 3 CT = Deµ d/ ψ aψ 6.18 µε D = e 8π ɛ 6.19 ώστε L 3 B = 1 + Deµ ɛ/ A µ ψγµ ψ = Z 1 eµ ɛ/ A µ ψγµ ψ 6.13 µε Z 1 = 1 e 8π ɛ Η συνολική γυµνή Λαγκρανζιανή σε 1 ϐρόχο για την QED είναι από τις 6.16,6.118,6.13 L B = iz ψγ µ µ ψ m + A ψψ Z 1 eµ ɛ/ A µ ψγ µ ψ Z 3 4 µa ν ν A µ + gaugeterms

229 µε z 1 = Z = 1 e 8π ɛ Z 3 = 1 e 6π ɛ, A = me π ɛ Η L B, δίνει σε 1 ϐρόχο πεπερασµένες ιδίες ενέργειες και κορυφές και τα e και m είναι τα πειραµατικά ϕορτίο και µάζα αντίστοιχα. Μπορούµε, εναλλακτικά, να γράψουµε τη Λαγκρανζιανή σε όρους γυµνών ποσοτήτων. Εχουµε άρα ϑα είναι e B = eµ ɛ/ Z 1 Z Z 1/ 3 = eµ ɛ/ Z 1/ L B = i ψ B γ µ ψ B m B ψb ψ B e B A µ B ψ B γ µ ψ B 1 4 µa ν ν A µ Εχουµε απορροφήσει τώρα όλες τις µη πεπερασµένες ποσότητες στον ορισµό των γυµνών ποσοτήτων και το γεγονός ότι µπορούµε να το κάνουµε αυτό, δηλαδή να κρατήσουµε τη Λαγκρανζιανή στην ίδια µορφή µε την αρχική, ση- µαίνει ότι η QED είναι επανακανονικοποιήσιµη. Η απόδειξη για κάθε τάξη δίνεται στην επόµενη παράγραφο. Πριν κλείσουµε όµως την παράγραφο, ϑα εξετάσουµε δύο συνέπειες της κανονικοποίησης αυτής, την ανώµαλη µαγνητική ϱοπή και την ασυµπτωτική συµπεριφορά της QED. Ανώµαλη µαγνητική ϱοπή ηλεκτρονίου Εχοντας αφαιρέσει τα µη πεπερασµένα κοµµάτια της συνάρτησης κορυφής µε την επανακανονικοποίηση, στρέφουµε την προσοχή µας στον πεπερασµένο όρο Λ µ Υπενθυµίζουµε ότι η ολόκληρη συνάρτηση κορυφής δίνεται ως γ µ + Λ µ και αυτή η έκφραση πρέπει να εισαχθεί µεταξύ των σπινόρων ūp...up. Για ζέσταµα, ας δείξουµε ότι ένα ηλεκτροµαγνητικό ϱεύ- µα ūp γ µ up περιγράφει ένα σωµατίδιο µε την Dirac µαγνητική ϱοπή µε g s =. Εχουµε τους ορισµούς γ µ γ ν + γ ν γ µ = µν, γ µ γ ν γ ν γ µ = iσ µν 7

230 και τις εξισώσεις γ µ p µ up = mup, ūp γ µ p µ = mūp Γι αυτές είναι εύκολο να συµπεράνουµε ότι γ µ up = 1 m p µ iσ µν p ν up ūp γ µ = 1 mūp p µ + iσ µν p ν οπότε ūp γ µ up = 1 ūp [γ µ up] + 1 [ūp γ µ ]up = 1 mūp [p µ + p µ + iσ µν q ν ]up όπου q = p p.βλέπουµε ότι είναι ο δεύτερος όρος στο iσ µν q ν που ϕέρει τη µαγνητική ϱοπή g s =. Πρέπει τώρα να συµπεριλάβουµε την επίδραση του Λ µ για να υπολογίσουµε την συνολική κορυφή ūp Γ µ up = ūp γ µ + Λ µ up µε το Λ µ να δίνεται από την Μεταξύ των σπινόρων, µπορούµε να αντικαταστήσουµε στον αριθµητή, p στο m στα αριστερά και p στο m στα δεξιά. Επιπλέον, ο αριθµητής του ολοκληρώµατος της 6.13 γίνεται 4my xy x p µ 4mx xy y p µ + Dγ µ όπου ο όρος στο γ µ δεν συνεισφέρει στη µαγνητική ϱοπή και δεν µας ενδια- ϕέρει. Στον παρονοµαστή, ϑέτοντας p = p = m,p p = q = δίνει µια έκφραση m x + y, οπότε, µεταξύ σπινόρων και αγνοώντας τον όρο στο γ µ, ϑα έχουµε 1 1 x Λ µ = e 4π dx m e = 16π m p µ + p µ 1 dy x + y [y xy x p µ + x xy y p µ] 8

231 Αντικαθιστώντας την στην 6.136: ūp p + p µ up = ūp mγ µ i µν q ν up προκύπτει ότι ο όρος στο γ µ εξουδετερώνει εκείνον που αγνοήσαµε πριν, οπότε η δίνει την συνολική κορυφή ως [ ] ūp Γ µ up = ūp p + p µ m α π iσ µν q ν m up όπου α = e /4π είναι η χαµηλότερης τάξης διόρθωση στη µαγνητικκή ϱοπή του ηλετρκονίου, που έχει γυροµαγνητικό λόγο g = 1 + α π + Oα Εφόσον το g έχει υπολογιστεί για τάξη α 3 έχουµε για το ηλεκτρόνιο α th = 1 g = ± α exp = ± Για το µιόνιο, η συµφωνία πειράµατος ϑεωρίας δεν είναι καλή, αλλά δεν α- ναµένεται να είναι, καθώς υπάρχουν συνισφορές από τα µποζόνια W, Z και Higgs. Ασυµπτωτική συµπεριφορά Η ασυµπτωτική συµπεριφορά της QED µπορεί να εξαχθεί από την εξίσωση και την 6.133: e B = eµ ɛ/ 1 + e 1π ɛ Στο όριο ɛ το γυµνό ϕορτίο e B είναι ανεξάρτητο από το µ, οπότε µπο- ϱούµε να συµπεράνουµε πως το e κλιµακώνεται µε το µ. ιαφορίζοντας την παραπάνω έκφραση δίνει, σε τάξη e 3 µ e µ = ɛ e + e3 1π 9

232 καιι στο ɛ δίνει µ e µ = e3 1π Αλλά από την 6.64 αυτό είναι το βe. Άρα ϐλέπουµε ότι, όπως στην φ 4, β > και η τρέχουσα σταθερά Ϲεύξης e αυξάνει µε αυξανόµενη κλίµακα, οπότε γίνεται ασυµπτωτικά δυνατότερη. Ανεξάρτητα από τη µικρή τιµή της σταθεράς λεπτής υφής α = e /4π = 1/137, τότε, η ϑεωρία διαταραχών στην QED δεν είναι καλή σε µεγάλες ορµές. Η λύση της είναι e µ = e µ e µ lnµµ 6π από την οποία ϐλέπουµε αναλυτικά την αύξηση του e µε το µ. επίσης την διάσηµη Landau singularity : µ = µ exp 6 pi e µ Βλέπουµε Η αύξηση του e µε το µ, π.χ. µε µειούµενη απόσταση, έχει ένα ανάλογο στη µακροσκοπική ηλεκτροστατική σε διηλεκτρικό µέσο. Εδώ, η παρουσία ενός ηλεκτρικού ϕορτίου πολώνει το µέσο Σχ Με πυκνότητα ελεύθερου ϕορτίου ρ f και πυκνότητα πολωµένου ϕορτίου ρ p έχουµε τις εξισώσεις Ε = ρ f vacuo Ε = ρ f + ρ p medium Θέτοντας P = ρ p δίνει E+P = ρ f ή D = ρ f 3

233 όπου D = E + P. Αν P = αe, τότε D = 1 + αe, οπότε τελικά 1 Ε = ρ f α Σχ. 6.1 και ϐλέπουµε ότι η επίδραση του µέσου είναι να σχηµατίζει µια ασπίδα στο αρχικό ϕορτίο. Είναι το ϕαινόµενο προάσπισης που αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. 6.7 Επανακανονικοποιησιµότητα της QED Σε αυτήν την παράγραφο ϑα αποδείξουµε ότι η κβαντική ηλεκτροδυναµική είναι επανακανονικοποιήσιµη σε όλες τις τάξεις ϑεωρίας διαταραχών. Εχουµε δει ότι οι ολικοί διαδότες ξκαι συναρτήσεις κορυφής S F, D και Γ µ είναι όλοι αποκλίνοντες σε δεύτερη και άνω τάξεις. Εχουµε τις εξισώσεις S F p 1 = S F p 1 Σp D k 1 = Dk 1 Πk Γ µ p, q, p + q = γ + Λ µ p, q, p + q Σp p µ = Λ µp,, p

234 όπου D µν k = g µν Dk, D µνk = g µν D k Π µν k = g µν Πk ουλεύουµε στη ϐαθµίδα Feynman. Sthn6.144toΣp είναι η κύρια ιδία ενέργεια και αντίστοιχα στην το Πk είναι η κύρια πόλωση του κενού. Η είναι η ταυτότητα Ward. Τα Σ, Π,Λ δίνονται από τα σχετικά διαγράµµατα Feyman. Η ιδέα είναι να αναλύσουµε τις αποκλίσεις τους για να δείξουµε ότι οι αντιστοιχες αποκλίσεις σε διαδότες και συναρτήσεις κορυφών µπορούν όλες να αφαιρεθούν µε µια πολλαπλασιαστική επανακανονικοποίηση, π.χ. ότι µπορούµε να ορίσουµε πεπερασµένους διαδότες και συναρτήσεις κορυφής S F = 1 Z, DF = 1 Z 3 D F, Γµ = Z 1 Γ µ 6.15 Ασχολούµασττε µε τις αποκλίσεις των διαγραµµάτων Feyman. Εχουµε ανα- ϕέρει τα κύρια διαγράµµατα Feyman. Τώρα ϑα πούµε για ένα υποσύνολό τους, τα ϐασικά. Τα διαγράµµατα χαµηλότερης τάξης για τα Σ, Π είναι παραδείγµατα διαγραµµάτων ιδίας ενέργειας και το διάγραµµα χαµηλότερης τάξης του Λ µ είναι παράδειγµα διαγράµµατος κορυφής. Ας ϑεωρήσουµε, τώρα, ένα αυθαίρετο διάγραµµα, έστω το Σχ a. Είναι κύριο και περιέχει ιδίες ενέργεις και κορυφές. Σε αυτό το διάγραµµα αντιστοιχεί ένα άλλο, ο σκελετός, που προκύπτει αν αντικαταστήσουµε κάθε ιδία ενέργεια µε γραµµή και κάθε κορυφή µε γωνία Σχ b. Ενα διάγραµµα που είναι ο σκελετός του ονοµάζεται ϐασικό. Βλέπουµε ότι ο σκελετός του Σχ είναι συγκλίνων και το κύριο είναι επιφανειακά συγκλίνον, ενώ στην πραγµατικότητα είναι α- ποκλίνον. Για να αναλύσουµε αυτές τις αποκλίσεις, ας ϑεωρήσουµε αρχικά ϐασικά διαγράµµατα. Τα µόνα ϐασικά διαγράµµατα ιδίας ενέργειας είναι τα χαµηλότε- ϱης τάξης Σ και Π, που έχουν ήδη αναλυθεί. Υπάρχει, όµως, άπειρος αριθµός ϐασικών διαγραµµάτων κορυφής, τρία εκ των οποίων ϕαίνονται στο Σχ Από την 6.85 D = για όλα αυτά, άρα είναι λογαριθµικά αποκλίνοντα και µόνο µία µη πεπεραµσένη σταθερά εµφανίζεται στην έκφραση γαι το Λ µ, οπότε, στη δεύτερη τάξη, έχουµε Λ µ = Lγ µ + Λ f µ όπου το L είναι µη πεπερασµένο και το Λ f µ είναι πεπερασµένο και έχει τον 3

235 ορισµό ūpλ f µ p,, pup = 6.15 Σχ.6.11 Σχ. 6.1 που αληθεύει για τη δεύτερη τάξη, όπως έχουµε δει. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι, για όλα τα ϐασικά διαγράµµατα, οι αποκλίσεις µπορούν να απο- µονωθούν. Ας ϑεωρήσουµε τώρα τα µη ϐασικά διαγράµµατα. Κάθε ένα από αυτά αποκτάται από το σκελετό του προσθέτοντας ιδίες ενέργειες και κορυφές στη ϑέση των γραµµών και των γυµνών κορυφών. Πρώτα, ας ϑεωρήσουµε την κορυφή V, µε σκελετό V s. Γράφοντας το Λ µ ως συνάρτηση των S,D,γ τον πίνακα και e και ως συνάρτηση των p,p, έχουµε Λ µ p, p ; S F, D F, γ, e = Λ µs p, p ; S F, D F, Γ, e Οπότε Γ µ p, p = γ µ + Λ µs p, p ; S F, D F, Γ, e Οσον αφορά τα τµήµατα ιδίας ενέργειας η κατάσταση είναι πιο πολύκλοκη, λόγω των επικαλυπτόµενων αποκλίσεων, που δεν εµφανίζονται στις συναρτήσεις κορυφών. Το διάγραµµα a στο Σχ συνεισφέρει στο Σp ως εξής : e 4 d 4 k 1 d k k γµ p k 1 m γρ p k 1 notk m γ 1 1 µ k p k m γ ρ 33

236 Το ολοκλήρωµα έχει επιφανειακό ϐαθµό ελευθερίας D = 1 άρα αποκλίνει γραµµικά. Οµως, αν το k 1 κρατηθεί σταθερό, D = και είναι ακόµα λογαριθµικά αποκλίνον στο k, οπότε οι αποκλίσεις από την κάθε ολοκλήρωση δεν µπορούν να διαχωριστούν. Το διάγραµµα b στο Σχ έχει επίσης επικαλυπτόµενες αποκλίσεις. Αποτελούν ένα µεγάλο εµπόδιο στο διαχωρισµό των αποκλίσεων και άρα στην απόδειξη της επανακανονικοποιησιµότητας, αλλά και αυτό ξεπεράστηκε µε την ταυτότητα Ward. Η γενική ιδέα είναι, αντί να αποµονώσουµε το πεπερασµένο κοµµάτι στο Σp, να το αποµονώσουµε στο Σ/ p µ = Λ µ, ένα τµήµα κορυφής κάτι που έχει γίνει ήδη. Για την τέταρτη τάξη του διαγράµµατος ιδίας ενέργειας στο Σχ a, αφού η διαφόριση στο p είναι ισοδύναµη µε την εισαγωγή µιας µηδενικής ϕωτονικής ορµής, παίρνουµε τρία διαγράµµατα για το Σ/ p, όπως ϕαίνονται στο Σχ Αυτά τα διαγράµµατα πρέπει να προστεθούν. Μαθηµατικά, αυτό δίνει την ταυτότητα Ward-Takahashi : S F p 1 S F p 1 = p = p µ Γ µ p, p Οι εξισώσεις 6.154,6.155 αποτελούν ένα Ϲεύγος εξισώσεων για τον ηλεκτρονιακό διαδότη και τα διαγράµµατα ιδίας ενέεργειας. Ολοι οι όροι είναι µη πεπερασµένοι, αλλά το πρόβληµα των επικαλυπτόµενων αποκλίσεων στα διαγράµµατα ιδίας ενέργειας αντιµετωπίστηκε από την παραπάνω ταυτότητα. Σχ Σχ Τώρα η κατάσταση είναι παρόµοια µε εκείνη των διαγραµµάτων ϕωτονικής ιδίας ενέργειας Π. Κι αυτά έχουν επικαλυπτόµενες αποκλίσεις. Οπότε προχωράµε µε ανάλογο τρόπο. Ορίζουµε τον τελεστή µ ανάλογα µε τον Λ µ ως 34

237 µ k = Π k µ Αυτό καταλήγει σε τρία διαγράµµατα ϕωτονικής κορυφής. Το δεύτερο διάγραµµα από το Σχ 6.13 δίνει δύο διαγράµµατα Σχ Οπως το Λ µ, έτσι και το µ είναι λογαριθµικά αποκλίνον. Αν το µ είναι ανάλογο στο Λ µ, τι είναι ανάλογο στο Γ µ Συµβολίζεται W µ και ορίζεται ως W µ k = k µ + µ k Μπορούµε τώρα να ϐρούµε µια σχέση µεταξύ του συνολικού ϕωτονικού διαδότη D F και του W µ, ανάλογη στην ταυτότητα Ward-Takahashi Από τις 6.115,6.148,6.149, πρώτα επαληθεύουµε την 6.145: D = D + DΠD + DΠDΠD +... = D 1 ΠD D 1 = D 1 Π και στη συνέχεια, ϑέτοντας D = 1/k D 1 k µ = kµ οπότε D 1 k µ = k µ Π k µ = k µ + µ k = W µ Σχ

238 όπου χρησιµοποιήσαµε τις 6.156, Αυτή είναι η σχέση που ϑέλα- µε µεταξύ του D και του W µ. Τέλος, έχουµε ανάλογη της εξίσωσης µ k; S F, D F, k, e = µs k; S F, D F, k, e και η γίνεται τότε W µ k = k µ + µs k; S F, D F, k, e 6.16 Εχουµε τώρα ένα σετ από Ϲεύγη εξισώσεων 6.154,6.155,6.158 και Αναφέρονται όλες σε αποκλίνουσες ποσότητες. Θέλουµε το αντίστοιχο σετ εξισώσεων για πεπερασµένες συναρτήσεις. Πρώτα, ϑα ϐρούµε τις πεπερασµένες συναρτήσεις κορυφής Λ µ p, p και µ k. Αφού τα Λ και αποκλίνουν λογαριθµικά, µόνο µία αφαίρεση είναι απαραίτητη γαι να ορίσουµε συγκλίνουσες συναρτήσεις : Λ µ p, p = Λ µs p, p Λ µs p, p p =m µ k = µs k µsµ 6.16 όπου το µ είναι µια αναλλοίωτη ϕωτονική µάζα και p είναι ορµή ενός on-shell ηλεκτρονίου, ώστε p = m. Θυµίζουµε ότι το Λ µs ϑα εισαχθεί ανάµεσα στους σπίνορες ūp...up. Η οδηγία p = m σηµαίνει ότι το p ϑα µετατεθεί στα δεξιά και ϑα είναι ίσο µε το m. Από τις 6.151, 6.15 Λ µs p, p p =m = Lγ µ όπου το L είανι µια µη πεπερασµένη σταθερά. Τώρα ορίζουµε πεπερασµένους διαδότες και συναρτήσεις κορυφών, που συµβολίζονται, από εξισώσεις ανάλογες στις 6.154,6.155,6.16,6.158: Γ µ p, p = γ µ + Λ µs p, p ; S F, D F, Γ, e ren S F p 1 S F p 1 = p p µ Γµ p, p W µ k = k µ + µs k; S F, D F, W, e ren

239 D F k 1 k µ = W µ k Οι ηλεκτρονιακοί και ϕωτονικοί διαδότες κανονικοποιούνται σε S F p 1 = p m k DF k k =µ = Θα δείξουµε τώρα ότι τα Γ µ, S F, D F και Wµ σχετίζονται µε τα Γ µ,s F,D F και W µ µέσω των σχέσεων 6.15, δεδοµένου ότιθτο ηλεκτρικό ϕορτίο e έχει επίσης επανακανονικοποιηθεί σε e r = Z 3 e 6.17 Για να το δείξουµε αυτό, ας εξετάσουµε πρώτα το Γ µ ή, πιο συγκεκριµένα, το Λ µ. Εστω ότι, εξαιρώντας την αρχική γυµνή κορυφή, είναι της τάξης του e n. τότε περιέχει n διαδότες S F, n διαδότες D F και n + 1 παράγοντες γ µ. Οπότε, εισάγοντας τους µετασχηµατισµούς 6.15 και 6.17, S F 1 Z S F = S F, D F 1 Z 3 D F = D F Γµ Z 1 Γ µ = Γ µ, e Z 3 e = e ren έχουµε Λ µs Z 1 Λ µs όπου χρησιµοποιήσαµε τη σχέση Z 1 = Z, ή [ ] 1 Λ µs S 1 F, D F, Z 1 Γ ν, Z 3 e = Z 1 Λ µs [S F, D F, Γ ν, e ] 6.17 Z Z 3 Τώρα, από τις 6.164,6.161,6.163, 37

240 Γ µ = γ µ + Λ µs = γ µ + Λ µs Lγ µ 1 = 1 L γ µ 1 L Λ µs = Z 1 [γ µ + 1 Z 1 Λ µs S F, D F, Γ, e r ] που γίνεται, µε την 6.17, = Z 1 [γ µ + Λ µs S F, D F.Γ ν, e ] = Z 1 Γ µ µε Z 1 = 1 L. Άρα η επανακανονικοποίηση είναι η σωστή για την Βλέπουµε ότι µια αφαίρεση είναι ισοδύναµη µε την πολλαπλασιαστική επανακανονικοποίηση. Παροµοίως, µπορούµε να δείξουµε ότι η ισχύει ακόµα αν W µ = Z 3 W µ Αυτό δείχνεται ϑεωρώντας ένα τυπικό διάγγραµµα για το µ. Ενας όρος τάξης e n περιέχει n 1 D F συναρτήσεις και n + 1 Γ και S F συναρτήσεις, οπότε µε την µs Z 3 µs ή [ ] 1 µs S 1 F, D F, Z 1 Γ, Z 3 e = Z 3 µs [S F, D F.Γ, e ] Z Z 3 Για να δείξουµε ότι οι και είναι συνεπείς, ϑυµίζουµε τον ορισµό 6.16 ο οποίος, µαζί µε την 6.166, υποδεικνύει W µ k = k µ + µs k µs µ = k µ [1 + 1 sµ ] + µs k [ ] 1 = Z 3 k µ + µs k Z 3 38

241 6.177 άρα τελικά W µ k = Z 3 W µ k όπου το Z 3 = sµ έχουµε ϑέσει µs = k mu s. Αυτή είναι η 6.174, οπότε έχουµε δείξει ξανά την ισοδυναµία αφαίρεσης και πολλαπλασιαστικής επανακανονικοποίησης. Οπότε η επανακανονικοποιησιµότητα της QED σε όλες τις τάξεις αποδείχτηκε. 6.8 Περίληψη-Συµπεράσµατα Ο τύπος για τον επιφανειακό ϐαθµό ελευθερίας δείχνει ότι οι µόνες εγγενείς αποκλίσεις στην φ 4 µε έναν ϐρόχο είναι οι συναρτήσεις και 4 σηµείων. Αυτές οι αποκλίσεις µε τη διαστατική οµαλοποίηση γίνονται στην ουσία απλοί πόλοι στο ɛ = 4 d. είχνεται έπειτα ότι σε 1 και ϐρόχους η ϑεωρία αυτή είναι επανακανονικοποιηµένη. Πρώτα ϑεωρώντας τις παραµέτρους στην αρχική Λαγκρανζιανή ως γυµνές µη πεπερασµένες και τις επανακανονικοποιηµένες ως ϕυσικές πεπερασµένες και στον δεύτερο τρόπο ϑεωρώντας τις αρχικές παραµέτρους ως ϕυσικές πεπερασµένες και προσθέτοντας counterterms στη Λαγκρανζιανή ώστε να µείνουν οι ϕυσικές ποσότητες πεπερασµένες. Στην QED, υπολογίζονται µε τη µέθοδο της διαστατικής οµαλοποίησης τα διαγράµµατα της ιδίας ενέργειας του ηλεκτρονίου, της πόλωσης του κενού και διαγράµµατα κορυφής. Η ϑεωρία επανακανονικοποιείται στον 1 ϐρόχο και δείχνεται ότι µπορεί να επανακανονικοποιηθεί σε οποιαδήποτε τάξη. 39

242

243 Μέρος III Εισαγωγή στο πρότυπο SU5 41

244

245 Κεφάλαιο 7 Η Οµάδα SU5 7.1 Ενοποίηση Φαίνεται πολύ καλά από τις σύγχρονες ϑεωρίες και κυρίως από το Καθιερω- µένο Πρότυπο, ότι η ϕύση Ϲητάει την ενοποίηση των δυνάµεων. Κάθε ϑεωρία ϐαθµίδας εκφράζεται από µια οµάδα και τις αναπαραστάσεις τις, στις οποίες ανήκουν τα σωµατίδιά της. Για παράδειγµα το ΚΠ έχει τις οµάδες SU3 SU U1. Οσον αφορά τα σωµατίδια, ένα παράδειγµα είναι τα u α αριστερόστροφα up και down κουάρκς d α, τα οποία ανήκουν σε µια L διπλέτα ως προς την SU, έχουν 3 χρώµατα και το υπερφορτίο τους είναι 1 Y = 1 6. Μπορούµε λοιπόν συµβολικά να εκφράσουµε το µετσχηµατισµό του κάθε πεδίου κάτω από την αντίστοιχη οµάδα 3,, 1/6 L. Αντίστοιχα, το δεξιόστροφο up κουάρκ u α R είναι τριπλέτα κάτω από την SU3, singlet κάτω από την S και έχει υπερφορτίο 1 Y = 3, άρα γράφουµε 3, 1, /3 R. Συγκεντρώνοντας όλα τα σωµατίδια µιας γενιάς και γράφοντας τις αναπαραστάσεις τους στο ΚΜ ϑα έχουµε την εξής εικόνα : u α d α νe e 3,, 1/ L L u α R 3, 1, /3 R d α R 3, 1, 1/3 R 1,, 1/ L L e R 1, 1, 1 R 7.1 Οπως ϕαίνεται έχουµε συνολικά = 15 πεδία. Πώς ϑα µπορούσε να µοιάζει µια ενοποιηµένη ϑεωρία και ποια η ουσία της Η ιδέα 43

246 είναι ότι υπάρχει µια οµάδα µεγαλύτερη από αυτή του ΚΜ, έστω : G = SU3 SU U1 7. Αυτό που Ϲητάµε από το G είναι να µαζέψει όλες τις παραπάνω αναπαραστάσεις σε µία, ή τουλάχιστον σε µια πιο ενοποιηµένη µορφή. Η ϕυσική του ϑα ισχύει σε µεγάλες ενέργειες και ϑα σπάει αρκετά ψηλά στην ενεργειακή κλίµακα ώστε να δώσει το ΚΜ χαµηλότερα. Ελπίζουµε λοιπόν µέσω των µποζονίων ϐαθµίδας του G και όχι αυτών του ΚΜ να επιτευχθεί κάποια σύζευξη των αναπαραστάσεων. Πριν ψάξουµε για την κατάλληλη οµάδα ϑα αναφέρουµε το εξής : Επειδή οι µετασχηµατισµοί ϐαθµίδας µετατίθενται µε την οµάδα Lorentz, δεν ϑα µπορούµε να µετασχηµατίσουµε αριστερόστροφα σε δεξιόστροφα σωµατίδια. Γι αυτό ϑα αλλάξουµε λίγο το συµβολισµό µας και ϑα µετατρέψουµε όλα τα σωµατίδια σε αριστερόστροφα, ώστε να δουλεύοθµε από εδώ και στο εξής µόνο µε αυτά. Γνωρίζουµε ότι : ψ c = Cγ ψ = iγ ψ 7.3 όπου ϑα είναι ψ R c = ψ c L = ψ c L 7.4 Οπότε η εικόνα των αναπαραστάσεων των αριστερόστροφων πλέον σωµατιδίων κάτω από τις οµάδες του ΚΠ ϑα είναι : u α d α L u αc νe e 3,, 1/ L 3, 1, /3 d αc L 3, 1, 1/3 1,, 1/ L e c L 1, 1, Οπως ϕαίνεται, για τα δεξιόστροφα σωµατίδια πήραµε τα αντισωµατίδιά τους και στις αναπαραστάσεις ϑεωρήσαµε τη συζυγή αναπαράσταση κάτω από την αντίστοιχη οµάδα. Προφανώς δε χρειάζεται να γράφουµε πλέον την ελικότητα, καθώς όλα τα σωµατίδια είναι πια αριστερόστροφα, 44

247 7. Επιλογή της SU5 Επανερχόµαστε τώρα στο ερώτηµα της κατάλληλης οµάδας. το µοντέλο SU3 SU U1 έχει rank = 4, περιέχει δηλαδή 4 γεννήτορες οι ο- ποίόι διαγωνοποιούνται ταυτόχρονα. Αυτοί είναι οι γεννήτορες της SU3, ο γεννήτορας του T 3 της SU και ο γεννήτορας του υπερφορτίου U της U1. Άρα η οµάδα G που ψάχνουµε πρέπει να έχει τουλάχιστον rank = 4: rankg Εχουµε λοιπόν πολλές επιλογές. Πρέπει όµως να διατηρήσουµε και την α- πλότητα, όσο αυτό είναι δυνατό. Μια πρώτη σκέψη είναι να ϑεωρήσουµε µια οµάδα της µορφής : SU3 W 7.7 Αυτή η επιλογή είναι εξαρχής λάθος διότι καµία οµάδα της µορφής αυτής δεν µπορεί να περιγράψει αδρόνια, καθώς ο γεννήτορας του ηλεκτρικού ϕορτίου που προέρχεται από αυτές τις οµάδες δεν παίρνει κλασµατικές τιµές. Για να περιγράψουµε πρωτόνια ή νετρόνια χρειαζόµαστε κλασµατικές τιµές για το ηλεκτρικό ϕορτίο του κάθε κουάρκ. Άρα απορρίπτεται. Η επόµενη σκέψη είναι να ϑεωρήσουµε όλες τος οµάδες που έχουν rank = 4 και να επιλέξουµε αυτήν που µας ταιριάζει περισσότερο. Αυτές είναι οι εξής : [SU] 4, [O5] 5, [SU3], [G ].O8, O9, Sp8, F 4, SU5 7.8 Οι πρώτες απορρίπτονται κατευθείαν διότι δεν έχουν ως υποοµάδα την SU3 και ϑέλουµε να περιέχονται στη G όλες οι οµάδες του ΚΠ. Απορρίπτεται και η [SU3], καθώς είναι της µορφής SU3xW, οπότε δεν µπορεί να περιγράψει αδρόνια. Απορρίπτονται και οι επόµενες 5 οµάδες, καθώς δεν µπορούν να έχουν µιγαδικές αναπαραστάσεις, όπως για παράδειγµα αυτές που έχουν τα αριστερόστροφα αντισωµατίδια που ϑεωρήσαµε προηγουµένως 3, εποµένως δεν µπορούν να εκφράσουν όλα τα σωµατίδια της ϑεωρίας µας. Μένει οπότε µόνο η SU5, η οποία δεν παρουσιάζει κανένα από τα παραπάνω προβλήµατα. Αυτό ϐέβαια δεν µας περιορίζει να κινηθούµε και σε οµάδες µε rank 4. Είναι όµως η απλούστερη επιλογή για ενοποίηση. 7.3 Εισαγωγή των Φερµιονίων Ας ελέγξουµε αν οι αναπαραστάσεις της οµάδας αυτής είναι κατάλληλες ώστε να περιέχουν όλες τις αναπαραστάσεις των σωµατιδίων του ΚΠ. Η SU5 έχει 45

248 n 1 = 4 γεννήτορες. Αυτοί έχουν αναπαραστάσεις που είναι 5 5, ερµιτιανοί και άιχνοι πίνακες που δρουν πάνω στα 5 στοιχεία που συµβολίζουµε µε ψ µ, µ = 1,,...5. Τα 5 αυτά αντικείµενα συγκροτούν την ϑεµελιώδη αναπαράσταση της SU5, την οποία συµβολίζουµε ως 5. Κοιτάζοντας το περιεχόµενο των αναπαραστάσεων της οµάδας αυτής προσπαθούµε να ϐρουµε το περιεχό- µενο στις οµάδες του ΚΠ. Από τους 4 γεννήτορες οι n 1 = 8 ϑα έχουν τη A µορφή µε Α τους 3 3 πίνακες Gell Man της SU3. Θα υπάρχουν επίσης και n 1 = 3 πίνακες της µορφής, µε Β τους πίνακες B P auli της SU. Οσον αφορά την U1 ο αντίστοιχος γεννήτορας ϑα είναι ο 5 5 πίνακας : Y = 1/3 1/3 1/3 1/ 1/ Αυτό είναι το υπερφορτίο. Εκφράσαµε λοιπόν τους 1 γεννήτορες του ΚΠ σε γεννήτορες του SU5. Εχουµε όµως άλλους 1 οι οποίοι δεν ανήκουν στο ΚΠ. Ψάχνουµε να ϐρούµε µε ποιο τρόπο αναλύεται η ϑεµελιώδης αναπαράσταση της SU5 στις οµάδες SU3 SU U1. Αυτό έχει ιδιαίτερη ϐαρύτητα, καθώς όταν υπολογίσουµε την ανάλυση της ϑεµελιώδους, ϑα είµαστε σε ϑέση να γνωρίζουµε την ανάλυση οποιασδήποτε άλλης αναπαράστασης στις οµάδες του ΚΠ, καθώς και κάθε αναπαράσταση που προκύπτει από τη ϑεµελιώδη. Για ευκολία, ϑα χωρίσουµε τους δείκτες µ ως εξής : µ = α, i, α = 1,, 3, i = 4, Ετσι, η SU3 δρα στο δείκτη α και η SU στον δείκτη i, ενώ η U1 προφανώς δρα σε όλους τους δείκτες. Οπότε τα 3 αντικείµενα ψ α µετασχηµατίζονται σαν µια 3 dim αναπαράσταση κάτω από την SU3, άρα µπορεί να είναι µια 3 ή µια 3, η επιλογή είναι δική µας. Ας επιλέξουµε ότι µετασχηµατίζεται σαν 3 που, όπως ϑα δούµε, µε τη δεδοµένη επιλογή πίνακα υπερφορτίου, είναι η σωστή επιλογή. Κάτω από την SU δεν µετασχηµατίζονται καθόλου, οπότε κάθυε ένα από τα αντικείµενα αυτά ανήκει και σε µία singlet αναπαράσταση 1. Επίσης, για τη U1, ϐλέπουµε από τον πίνακα υπερφορτίου, ότι τα αντικείµενα αυτά έχουν όλα υπερφορτίο 1/3. Άρα από τα παραπάνω συνµπε- ϱαίνουµε ότι τα αντικείµενα ψ α της ϑεµελιώδους αναπαράστασης αναλύονται 46

249 στις οµάδες του ΚΠ ως 3, 1, 1/3. Οσον αφορά τα υπόλοιπα στοιχεία της ϑεµελιώδους, τα ψ i, αντιστοίχως µετασχηµατίζονται ως singlet κάτω από την SU3, ως διπλέτα στην SU και έχουν υπερφορτίο 1/,δηλαδή 1,, 1/. Καταφέραµε µέχρι στιγµής να ενσωµατώσουµε όλες τις οµάδες του ΚΠ µέσα στο SU5, προσδιορίζοντας τον ακριβή τρόπο µε τον οποίο αναλύεται η ϑεµελιώδης αναπαράσταση την SU5 στις οµάδες αυτές, δηλαδή : 5 3, 1, 1/3 + 1,, 1/ 7.11 Κοιτάζοντας τις αναπαραστάσεις που εξάγαγαµε στη σχέση 7.5 και συγκρίνοντας µε αυτές που µόλις ϐρήκαµε, ϐλέπουµε ότι καµία δεν ταιριάζει. Αν ϑεωρήσουµε όµως την complex conjugate αναπαράσταση 5, ϑα έχουµε : 5 3, 1, 1/3 + 1,, 1/ 7.1 όπου κάτω από την SU ισχύει =. Αυτό ϕαίνεται και από τα young tableaux: SU : = 1 = = 7.13 Για την SU3 έχουµε : SU3 : = 1 = 3 3 = = Υπενθυµίζουµε εδώ ότι τα young tableaux µας δίνουν τη διάσταση µίας αναπαράστασης ανάλογα µε την οµάδα στην οποία ανήκει και όπως ϑα δού- µε στη συνέχεια είναι ιδιαίτερα χρήσιµα στον υπολογισµό άµεσου γινοµένου αναπαραστάσεων. Για να ϐρούµε το young tableaux µιας n αναπαράστασης, υπολογίζουµε πρώτα τη singlet 1, ϐρίσκουµε το young tableaux που αν ενω- ϑεί µε αυτό της n µας δίνει την 1 και το στρέφουµε 18 µοίρες. Αυτό ϑα είναι το young tableaux της n. Επιτρέφουµε στην 5, την οποία αναλύσαµε στις οµάδες του ΚΠ και ϐλέπουµε ότι υπάρχει ταύτιση µε τις αναπαραστάσεις των σωµατιδίων του ΚΠ. 5 από τα 15 πεδία που παρουσιάσαµε ϕαίνονται να χωράνε στο SU5 και συγκεκριµένα τα d αc νe L, e αναπαραστάσεις έχουµε υπολογίσει :. Εχουν µείνει λοιπόν 1 πεδία των οποίων τις L 47

250 7.15 Είναι προφανές ότι ϑα συνεχίσουµε ανάλογα. Ψάχνουµε κάποια αναπαράσταση της SU5 µεγαλύτερης διάστασης που να χωράει τις υπόλοιπες αναπαραστάσεις. Το ιδανικό ϑα ήταν να χωρούσαµε και τα 1 πεδία σε µια αναπαράσταση, η διάσταση της οποίας πρέπει να είναι 1. Οι µη αναγωγίσιµες αναπαραστάσεις που µας ενδιαφέρουν και συγκεκριµένα µίας οµάδας SUN, είναι traceless τανυστές µε συγκεκριµένες συµµετρίες κάτω από την εναλλαγή των δεικτών τους. Από όλες τις περιπτώσεις ξεχωρίζουνε γενικά οι αναπαραστάσεις τανυστές: ψ i όπως η ψ µ που ήδη είδαµε, ψ ij αντισυµµετρική στην εναλλαγή των δεικτών, ψ ij συµµετρική, ψj i η adjoint representation και η ψ ij k αντισυµµετρική στους πάνω δείκτες. Οι διαστάσεις τους δίνονται παρακάτω για µία οµάδα SUN καθώς και γίνεται εφαρµογή για την SU5: 7.16 Κοιτάζοντας τα παραπάνω κανείς αντιλαµβάνεται ότι ϑα πρέπει κατευθείαν να πάµε να κοιτάξουµε την αντισυµµετρική 1. Εχει τη διάσταση που επιθυµούµε για να αγκαλιάσει όλα τα υπόλοιπα σωµατίδιά µας. Πώς όµως αναλύεται αυτή στις αναπαραστάσεις του SU3 SU U1 Η διαδικασία εδώ δεν είναι η ίδια µε την περίπτωση της ϑεµελιώδους. Οµως όπως αναφέρα- µε πιο πάνω, από τη στιγµή που έχει υπολογιστεί η ανάλυση της ϑεµελιώδους τότε µπορούµε να ϐρούµε την ανάλυση οποιασδήποτε άλλης αναπαράστασης. Για το σκοπό αυτό ας µιλήσουµε λίγο µε τη γλώσσα των τανυστών. Εάν πά- ϱουµε το τανυστικό γινόµενο δύο ϑεµελιωδών αναπαραστάσεων, δηλαδή ψ i ψ j, τότε προκύπτει ο τανυστής T ij. Αυτός όπως ϕαίνεται από τον πίνακα αναπα- ϱαστάσεων που γράψαµε παραπάνω, µπορεί να αναλυθεί σε ευθύ άθροισµα αναπαραστάσεων ψ ij, µίας συµµετρικής και µίας αντισυµµετρικής µίας 1 48

251 και µίας 15. ηλαδή : 5 5 = Οπως είδαµε παραπάνω η 1 είναι αντισυµµετρική και η 15 συµµετρική. Άρα λοιπόν για να ϐρούµε την ανάλυση της 1 σε αναπαραστάσεις της SU3 SU U1, αφού γνωρίζουµε την ανάλυση της 5, ϑα πρέπει να υπολογίσουµε το γινόµενο 5 5 και από αυτό να πάρουµε το αντισυµµετρικό κοµµάτι. Αυτή ϑα είναι η 1. Αυτό που ϑα µείνει ϑα είναι η 15. Για τον υπολογισµό των γινοµένων αναπαραστάσεων είναι όπως αναφέραµε χρήσιµα τα young tableaux που είδαµε παραπάνω. Είναι λοιπόν : 5 3, 1, 1/3 + 1,, 1/ 7.18 όπως δείξαµε στην αρχή. Παίρνουµε το αντισυµµετρικό γινόµενο ϑεµελιωδών : 5 A 5 = = { } { } 3, 1, 1/3 + 1,, 1/ A 3, 1, 1/3 + 1,, 1/ { } { } 3, 1, 1/3 A 3, 1, 1/3 + 3, 1, 1/3 A 1,, 1/ + { } + 1,, 1/ A 1,, 1/ 7.19 Τα γινόµενα προφανώς είναι γινόµενα µεταξύ των αναπαραστάσεων της ίδιας οµάδας. Ετσι η παραπάνω παράσταση ϑα γίνει : 5 A 5 = 3 A 3, 1 A 1, 1/3 A 1/3 + 3 A 1, 1 A, 1/3 A 1/ + +1 A 1, A, 1/ A 1/ 7. Οσον αφορά τα ϕορτία, απλά τα προσθέτουµε, οπότε είναι : 1/3 A 1/3 = /3, 1/3 A 1/ = 1/6, 1/ A 1/ = Επίσης τα γινόµενα µε singlet αναπαραστάσεις µένουν ίδια : SU : 1 A 1 = 1, 1 A = 7. 49

252 και SU3 : 3 A 1 = 3, 1 A 1 = Μας έχουν µείνει λοιπόν γινόµενα, 1 SU3 και 1 SU, τα οποία υπολογίζονται µε τη ϐοήθεια των young tableaux: SU3 : 3 3 = α = α + α = όπου αναγνωρίζουµε τις διαστάσεις των αναπαραστάσεων της SU3 ως την 6 και 3. Οπως γνωρίζουµε όµως σε ένα young tableaux οι γραµµές δηλώνουν συµµετρικούς δείκτες συµµετρικές αναπαραστάσεις, ενώ οι στήλες αντισυµµετρικούς. Οπότε : 3 A 3 = A α = α = και αντίστοιχα 3 S 3 = S α = α = Άρα για το Ϲητούµενο αντισυµµετρικό γινόµενο κρατάµε µόνο την 3. Αντίστοιχα εργαζόµαστε για το γινόµενο στην SU: SU : = α = α + α = οπότε : A = A α = α = S = S α = α =

253 και για το αντισυµµετρικό γινόµενο κρατάµε την 1. Ετσι, εάν συγκεντρώσουµε τα αποτελέσµατά µας ϑα είναι : 3, 1, 1/3 A 3, 1, 1/3 = 3, 1, / , 1, 1/3 A 1,, 1/ = 3,, 1/ ,, 1/ A 1,, 1/ = 1, 1, Η 1, η οποία όπως δείξαµε είναι το αντισυµµετρικό γινόµενο των ϑεµελιωδών της SU5, αναλύεται σε αναπαραστάσεις του SU3 SU U1 ως : 1 = 5 A 5 = 3, 1, /3 + 3,, 1/6 + 1, 1, Παρατηρούµε κατευθείαν από εδώ ότι και οι 3 αναπαραστάσεις που εµu ϕανίζονται αντιστοιχούν στα υπόλοιπα 1 πεδία του ΚΠ:u αc α L, d α και e e L L αντίστοιχα. Εχουµε δηλαδή πλέον καταφέρει να συµπεριλάβουµε όλα τα πεδία µας µέσα σε µόνο αναπαραστάσεις της SU5, τις 5 και 1. Η εικόνα των σωµατιδίων µας είναι πλέον σαφώς καλύτερη. Ο αρχικός µας στόχος ϕαίνεται εδώ να στέφεται µε απόλυτη επιτυχία. Εάν µάλιστα πάµε να συµπληρώσουµε τα στοιχεία των αναπαραστάσεων στη γλώσσα των πεδίων του ΚΠ, τότε οι α- ναπαραστάσεις µας ϑα είναι : και 7.35 d c1 5 : ψ µ ψ α d c = ψ i = d c3 e ν e u c3 u c u 1 d 1 u c3 u c1 u d 1 : ψ µν = {ψ αβ, ψ αi, ψ ij } = u c u c1 u 3 d 3 u 1 u u 3 e c d 1 d d 3 e c

254 Πολύ πιο όµορφη συλλογή, είναι αλήθεια. Ολα τα ϕερµιόνιά µας κατατάχθηκαν στην 5 και την αντισυµµετρική 1. Με την εισαγωγή και των υπόλοιπων ϕερµιονικών γενεών, κάθε µία από αυτές ϑα αντιστοιχηθεί σε µία αναπαράσταση µε αντίστοιχη µορφή. 7.4 Οι αναπαραστάσεις της SU5 Στο σηµείο αυτό ϑα ήταν καλό να γίνει µία ανασκόπηση της τακτικής που εφαρµόσαµε στο ΚΠ και που εφαρµόζεται και εδώ, όσον αφορά το ϱόλο των αναπαραστάσεων των σωµατιδίων και της σηµασίας τους από ϕυσική πλευρά. Στο ΚΠ είχαµε τοποθετήσει τα ϕερµιονικά τα ϋλικά πεδία µας στις ϑεµελιώδεις ήsinglet αναπαραστάσεις των οµάδων του SU3 SU U1 ανάλογα µε το εάν αυτά συµµετέχουν ή όχι στις αντίστοιχες των οµάδων αλληλεπιδράσεις ισχυρές ή ηλεκτρασ- ϑενείς. Ετσι λοιπόν όπως είδαµε, τα λεπτόνια δε συµµετέχουν στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, οπότε και είναι singlets ως προς την SU3. Τα κουάρκς συµµετέχουν κανονικά ευρισκόµενα σε µία από τις 3 καταστάσεις χρώµατος, οπότε και τοποθετούνται σε τριπλέτες κάτω από την SU3. Τα αριστερόστροφα κουάρκς και λεπτόνια είναι διπλέτες κάτω από την SU, ενώ το ίδιο δεν ισχύει για τα δεξιόστροφα, τα οποία είναι singlets. Τέλος όλα τα σωµατίδιά µας έχουν ένα υπερφορτίο κάτω από τη U1 συµµετρία. Ετσι ακριβώς προέκυπτε ο πίνακας που εξήχθη στην αρχή του κεφαλαίου. Επιπλέον έχουµε τα αντισωµατίδια. Αυτά τα τοποθετούµε στην complex conjugate αναπαράσταση της ϑεµελιώδους ή singlet, ανάλογα που τα έχουµε κατατάξει πιο πριν. Ακόµη, όσον αφορά στα πεδία ϐαθµίδας της ϑεωρίας µας, αυτά τοποθετούνται στην adjoint αναπαράσταση της κάθε οµάδας. Προχωρώντας, οι διάφορες αντιδράσεις µέσω συγκεκριµένων αλληλεπιδράσεων αντιστοιχούν σε µετακίνηση των σωµατιδίων µέσα στην αναπαράσταση στην οποία ζουν, µέσω της δράσης των αντίστοιχων τελεστών, δηλαδή των αντίστοιχων µποζονίων ϐαθµίδας. Επιπλέον, συνδυασµοί των παραπάνω αναπαραστάσεων, που σηµαίνει ευθύ γινόµενο των αναπαραστάσεων, σχηµατίζουν αναπαραστάσεις ανώτερης τάξης οι οποίες αντιστοιχούν σε σύνθετα σωµατίδια, πχ µεσόνια κτλ. Ετσι λοιπόν πορευτήκαµε και στην περίπτωση της SU5. Βρήκαµε τη ϑεµελιώδη 5, είδαµε το περιεχόµενό της την ανάλυσή της σε SU3 SU U1 και είδαµε ότι τα γνωστά µας πεδία χωράνε ακριβώς όλα σε µία 5 και µία 1. Οπως και στο ΚΠ ϑα ϑέλουµε να τοποθετήσουµε τα µποζόνια ϐαθµίδας µας στην adjoint 4 όπως δείξαµε πιο πάνω. Επιπλέον ϑα ήταν σωστό να πάµε να δούµε γινόµενα αναπαραστάσεων των 5,5,1, αφού όπως καταλαβαίνει κανείς ϑα εµφανίζονται συχνά µιάς και τα σωµατίδιά µας οι παρα- πάνω αναπαραστάσεις δηλαδή, ϑα αλληλεπιδρούν. Στην 5

255 παράγραφο αυτή λοιπόν ασχολούµαστε µε τον υπολογισµό αναπαραστάσεων της SU5 µεγαλύτερης τάξης, καθώς και µε την εύρεση της ανάλυσής τους στις αναπαραστάσεις SU3 SU αφήνουµε προς στιγµήν τη U1 αφού όπως είπαµε τα υπερφορτία απλά αθροίζονται. Ξεκινάµε και γράφουµε ξανά τις ήδη γνωστές µας αναπαραστάσεις και την ανάλυσή τους σε SU3 SU: 5 3, 1 + 1, , 1 + 1, 7.37 Ενώ µε τη ϐοήθεια τανυστών ϐρήκαµε : 5 5 = µε τη 1 αντισυµµετρική και τη 15 συµµετρική. Για τη ανάλυση σε SU3 SU εκτελούµε τα γινόµενα : 5 5 = {3, 1 + 1, } {3, 1 + 1, } = 3 3, 1 + 3, + 3, + 1, = 3 + 6, 1 + 3, + 3, + 1, = {3, 1 + 3, + 1, 1} + {6, 1 + 3, + 1, 3}7.39 όπου χωρίσαµε το αντισυµµετρικό και συµµετρικό κοµµάτι µε ϐάση τα young tableaux που είδαµε πιο πάνω, οπότε : 1 {3, 1 + 3, + 1, 1} {6, 1 + 3, + 1, 3} 7.41 Κατευθείαν από αυτές µπορούµε να ϐρούµε τις conjugate τους, απλά ϑυ- µίζουµε ότι στην SU: =. Οπότε : 5 5 =

256 όπου 1 {3, 1 + 3, + 1, 1} {6, 1 + 3, + 1, 3 } 7.44 Επίσης µπορούµε να κοιτάξουµε το ευθύ γινόµενο της ϑεµελιώδους µε την conjugate αυτής. Με χρήση τανυστών ϑα είναι : 5 5 = φ i η j = T j i 7.45 και µπορούµε να ξεχωρίσουµε από αυτήν µόνο ένα ίχνος T j i, οπότε : 5 5 = Μας δίνεται λοιπόν η δυνατότητα να υπολογίσουµε την ανάλυση της adjoint αναπαράστασης : 5 5 = {3, 1 + 1, } {3, 1 + 1, } = 3 3, 1 + 3, + 3, + 1, 7.47 Οπως έχουµε υπολογίσει : = για την SU, ενώ για το άλλο γινόµενο µε χρήση των young tableaux: SU3 3 3 = α = α + α = οπότε λοιπόν ϑα πάρουµε : 5 5 = 1 + 8, 1 + 3, + 3, + 1, = {1, 1} + {8, 1 + 3, + 3, + 1, 3 + 1, 1}7.49 άρα : 4 8, 1 + 3, + 3, + 1, 3 + 1,

257 Προχωρώντας τώρα παρακάτω, µπορούµε να πάµε και να µελετήσουµε το ευθύ γινόµενο των αναπαραστάσεων στις οποίες έχουµε τοποθετήσει τα σωµατίδιά µας. Ξεκινώντας πάλι µε χρήση τανυστών : 5 1 = φ k η ij = T ij k 7.51 Το µόνο που µπορούµε να κάνουµε πάλι, είναι να ξεχωρίσουµε το T ij k το οποίο αντιστοιχεί στην 5. Ετσι λοιπόν : 5 1 = Και όπως πριν µπορούµε να ϐρούµε την ανάλυση της 45 εκτελώντας το γινό- µενο : 5 1 = {3, 1 + 1, } {3, 1 + 3, + 1, 1} = 3 3, , + 3, 1 + 3, + 3, + 1, 7.54 Εχουµε ήδη υπολογίσει τα 3 33 = 1 8 και = 1 3 στις SU3 και SU αντίστοιχα, ενώ για το 3ο ευθύ γινόµενο, είναι : SU3 : 3 3 =... = όπου το 1ο young tableaux έχει διαγραφεί καθώς δε σέβεται τους αντίστοιχους κανόνες αφού έχει ακολουθία χαρακτήρων ba, δηλαδή ξεκινά από b, όπως και το 4ο το οποίο έχει 4 κουτάκια στη στήλη του, ενώ µία αναπαράσταση της SU3 µπορεί να έχει µέχρι 3 που είναι και η singlet. Επιπλέον στο 3ο young tableaux µπορούµε να διαγράψουµε την 1η στήλη και να µας µείνει 1 κουτάκι, που είναι η 3 όπως έχουµε δει. Ετσι λοιπόν η παράσταση ϑα γίνει : 5 1 = 6 + 3, , + 3, 1 + 3, + 3, , = {6, 1 + 3, 1 + 1, + 8, + 3, 1 + 3, + 3, 3} + +{3, 1 + 1, }

258 όπου στη η αγκύλη όπως ϕαίνεται ξεχωρίσαµε την 5 από το γινόµενο, οπότε η ανάλυση της 45 ϑα είναι : 45 6, 1 + 3, 1 + 1, + 8, + 3, 1 + 3, + 3, Τέλος, µπορούµε να αναλύσουµε µε την ίδια διαδικασία και το γινόµενο δύο 1 αναπαραστάσεων : 1 1 = φ ij η kl = φ ij ɛ mnhkl η kl = T ij mnh 7.58 Εδώ µπορούµε να εξάγουµε τις T ij mij η οποία αντιστοιχεί στην 5 και την T ij mnj που αντιστοιχεί στην 45 όπως µόλις είδαµε. Οπότε : 1 1 = Η ανάλυση της 45 προκύπτει κατευθείαν από τον υπολογισµό της 45 που έγινε πιο πάνω, αρκεί κανείς να δει, ότι 8 = 8 κάτω από την SU3 και 3 = 3 κάτω από την SU, σύµφωνα µε τους κανόνες εύρεσης της conjugate από ένα young tableaux που δώσαµε πιο πριν. Ετσι λοιπόν ϑα είναι : 45 6, 1 + 3, 1 + 1, + 8, + 3, 1 + 3, + 3, Κατά τα γνωστά από δω και πέρα εκτελούµε τα γινόµενα : 1 1 = {3, 1 + 3, + 1, 1} {3, 1 + 3, + 1, 1} = 3 3, , + 3, , , + 3, 1 + 3, + 1, µε όλα τα γινόµενα υπολογισµένα : SU3 : 3 3 = 6 z+3, 3 3 = 6+3, 3 3 = και SU : =

259 οπότε παίρνουµε : 1 1 =... = = {8, + 6, 1 + 3, 3 + 3, + 3, 1 + 3, 1 + 1, } + +{8, + 6, 3 + 6, 1 + 3, + 3, 1 + 1, 1} + +{3, 1 + 1, } 7.64 Η 1η γραµµή είναι η 45 και η 3η η 5, οπότε τελικώς ϐρέθηκε και η ανάλυση της 5 στις αναπαραστάσεις του SU3 SU: 5 8, + 6, 3 + 6, 1 + 3, + 3, 1 + 1, Η Κβάντωση του Φορτίου Μέχρι στιγµής λοιπόν έχουµε δει ποιό είναι το περιεχόµενο σε ϕερµιόνια της SU5 και έχουµε µελετήσει τις πιο χρήσιµες αναπαραστάσεις της και την ανάλυσή τους στις αναπαραστάσεις του SU3 SU. Ολα λοιπόν τα ϕερ- µιόνιά µας καταφέραµε να τα χωρέσουµε µέσα σε µόνο αναπαραστάσεις της SU5. Επόµενο µέληµα είναι να καταφέρουµε να ϐρούµε τι γίνεται και µε τα µποζόνια είδαµε πιο πριν όσον αφορά στο ΚΠ την τοποθέτηση των µποζονίων στην conjugate αναπαράσταση, οπότε κάτι ανάλογο αναµένεται να γίνει και εδώ. Πριν όµως προχωρήοσυµε στην παραπάνω διαδικασία αξίζει να σταµατήσουµε λίγο και να δούµε το πρώτο πολύ σηµαντικό ϕυσικό αποτέλεσµα που κερδίζουµε µε την ιδέα της ενοποίησης. ;Ενα από τα αναπάντητα ερωτήµατα ερώτηµα στο οποίο ούτε το ίδιο το ΚΠ µπορούσε να δώσει απάντηση είναι η κβάντωση του ηλεκτρικού ϕορτίου. Τα ϕορτία που αποδίδουµε στα κουάρκς και γενικά στα σωµατίδιά µας όλα προέρχονται µέσα απο την παρατήρηση και όχι σαν συνέπεια της ϑεωρίας. Γιατί λοιπόν το ϕορτίο είναι κβαντωµένο Θα δούµε ότι άµεση συνέπεια της SU5 είναι ακριβώς αυτή η κβάντωση του ηλεκτρικού ϕορτίου. Τα κουάρκς αποκτούν το σωστό κβαντωµένο ηλεκτρικό ϕορτίο και ως εφαρµογή ϑα επαληθεύσουµε το +1 ϕορτίο του πρωτονίου. Είναι όµως η SU5 η µοναδική ϑεωρία που µας δίνει εξήγηση για την κβάντωση του ηλεκτρικού ϕορτίου Και ακόµη, γιατί το ΚΠ αδυνατεί να την εξηγήσει Η απάντηση και στα αυτά ερωτήµατα έρχεται άµεσα µε χρήση της ϑεωρίας οµάδων. Η δυναµική της SU5 πηγάζει από το γεγονός ότι Η η οµάδα αυτή είναι απλή, δηλαδή δεν περιέχει ως υποοµάδα τη U1. Η σηµαντική ιδιότητα που έχουν τα simple non Abel groups είναι ότι οι ιδιοτιµές τους είναι 57

260 διακριτές. Οι ιδιοτιµές που δέχεται η U1 είναι συνεχείς. Ο γεννήτορας του ηλεκτρικού ϕορτίου είναι ένας προσθετικός κβαντικός αριθµός, οπότε και ϑα είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των διαγώνιων γεννητόρων της οµάδας. Οπως ήδη ϑυµόµαστε από το ΚΠ είναι : Q = T 3 + Y 7.66 Εδώ ακριβώς ϕαίνεται και το πρόβληµα του ΚΠ, όπου εκεί ο Y/ παίρνει συνεχείς τιµές και αναγκαζόµαστε εµείς να του ορίσουµε ποιές ϑα είναι αυτές. εν προκύπτουν άµεσα από τη ϑεωρία. Αντίθετα οι γεννήτορες του SU5 παίρνουν διακριτές τιµές και όπως ϑα δούµε το ηλεκτρικό ϕορτίο τελικά παίρνει διακριτές τιµές και έτσι εξηγείται σωστά η κβάντωση του ηλεκτρικού ϕορτίου. Βέβαια όπως µπορεί κανείς πολύ εύκολα να διαπιστώσει αυτό δεν είναι αποκλειστικό γνώρισµα της SU5, αλλά οποιοδήποτε unification gauge group είναι απλό, οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσµα. Ας πάµε λοιπόν τώρα να υπολογίσουµε το γεννήτορα του ηλεκτρικού ϕορτίου. Οπως αναφέραµε και πιο πάνω, αυτός, ως προσθετικός κβαντικός αριθµός, ϑα είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των διαγώνιων γεννητόρων της SU5. Η SU5 έχει rank = 4 που σηµαίνει όπως είπαµε ότι έχει 4 διαγώνιους γεννήτορες. Αυτοί είναι οι : T = λ = 1 1 diag,,, 3, 3, U T 3 = λ 3 = 1 diag,,, 1, 1 SU 7.68 T 6 = λ 6 = 1 diag1, 1,,, SU T 1 1 = λ 11 = 1 1 diag1, 1,,, SU Οµως όπως γνωρίζουµε οι διαφορετικές καταστάσεις χρώµατος ενός κουάρκ έχουν το ίδιο ηλεκτρικό ϕορτίο. Αυτό σηµαίνει ότι ο Q µετατίθεται µε τους γεννήτορες της SU3. Άρα λοιπόν το Q ϑα είναι τελικά ένας γραµµικός συνδυασµός των υπόλοιπων γεννητόρων της U1 και SU. Θα είναι δηλαδή : Q = T 3 + Y = T 3 + ct 7.71 Οπως παρατηρούµε το Y/ δεν είναι κάποιος γεννήτορας της SU5. Αυτό 58

261 σηµαίνει ότι δεν είναι κατάλληλα κανονικοποιηµένος για είναι τέτοιος. Θα πρέπει όπως γνωρίζουµε να υπακούει την άλγεβρα της SU5: [ ] λ a, λb abc λc = ic, tr λ a, λb = δ ab, a, b, c, = 1,,..., Για τον υπολογισµό λοιπόν της σταθεράς c που εµφανίζεται πιο πάνω, ϑα πά- ϱουµε τη ϑεµελιώδη Y 5/ και εξισώνοντας µε ct : Y 5 = diag 1/3, 1/3, 1/3, 1/, 1/ = c 1 1 diag,,, 3, 3 = ct και παίρνουµε : 1 3 = c c = Ετσι λοιπόν πολύ ευκολα µπορέσαµε να υπολογίσουµε το ϕορτίο Q της ϑεµελιώδους 5 της SU5 το οποίο ϑα είναι : Q = T 3 + Y = 1 diag,,, 1, 1 + diag 1/3, 1/3, 1/3, 1/, 1/ : Q = Q i = diag 1/3, 1/3, 1/3, 1, = Q i δ ij 7.77 Άµεσα πλέον υπολογίζουµε το ϕορτίο της conjugate 5 : 5 : Qψ i = diag1/3, 1/3, 1/3, 1, = Q i δ ij 7.78 Μπορούµε στο σηµείο αυτό να κάνουµε έναν έλεγχο των αποτελεσµάτων µας. Η 5 όπως είδαµε αντιστοιχεί σε 5 ϕερµιονικά πεδία του ΚΠ: 59

262 7.79 d c1 5 : ψ µ ψ α d c = ψ i = d c3 e ν e και πράγµατι ϐλέπουµε ότι σωστά τα 3 χρώµατα του down antiquark παίρνουν ϕορτίο 1/3, το ηλεκτρόνιο ϕορτίο?1 και το νετρίνο παραµένει αφόρτιστο. Αντίστοιχα και µε τα όσα έχουνε λεχθεί παραπάνω πλέον µπορούµε να ϐρούµε τα ϕορτία και των υπολοίπων αναπαραστάσεων. Συγκεκριµένα µας ενδιαφέρει η άλλη αναπαράσταση που περιέχει τα υπόλοιπα σωµατίδιά µας, δηλαδή η 1, αλλά και όπως ϑα δούµε παρακάτω και προαναφέραµε στην αρχή της παραγράφου αυτής µας ενδιαφέρει και η adjoint 4 η οποία ϑα ϕιλοξενήσει τα µποζόνια της ϑεωρίας µας. Αντίστοιχα λοιπόν ϑα είναι : 1 : Qψ ij = Q i + Q j : Qψ j i = Q i Q j 7.81 όπου αναφερόµαστε στο συµβολισµό στα διαγώνια στοιχεία των πινάκων ϕορτίου. Πρόβλεψη ϕορτίου πρωτονίου : Ολα πλέον έχουν ϕανεί ξεκάθαρα όσον αφορά στην επιτυχία αυτή της SU5. Η κβάντωση του ηλεκτρικού ϕορτίου εξηγήθηκε µε ϕυσικό τρόπο και µάλιστα πήραµε τις αναµενόµενες τιµές : Από την 5 : d 1, d, d 3, e +, ν 7.8 εάν εφαρµόσουµε τη συνθήκη το ίχνος του πίνακα ϕορτίων της 5 να είναι trq = όπως άλλωστε πρέπει να υπακούουν όλοι οι γεννήτορες της SU5, ϑα πάρουµε : trq = 3Q d + Q e + =

263 Q d = 1 3 Q e Πήραµε δηλαδή αυτό που είπαµε από την αρχή. Το down quark έχει το 1/3 του ϕορτίου του e. Και αυτό ακριβώς είναι όπως είπαµε και πιο πάνω συνέπεια του χρώµατος. Τα πάντα λοιπόν ϐρίσκουν ϕυσική ερµηνεία στο επίπεδο αυτο! Παραπέρα από τη σύνθεση του πρωτονίου, ϑα υπολογίσουµε το ηλεκτρικό του ϕορτίο : p = uud Q p = Q u + Q d = Q d Q d = Q e + + Q p = Οπως είπαµε δηλαδή παίρνουµε το σωστό ϕορτίο για το πρωτόνιο και εξηγείται µέσα από τη ϑεωρία ο ακριβής λόγος για τον οποίο αυτό παίρνει τη συγκεκριµένη τιµή. 7.6 Εξουδετέρωση Ανωµαλίας Ενα άλλο επίσης πολύ σηµαντικό πλεονέκτηµα της SU5 είναι ότι είναι επανακανονικοποιήσιµη. Η µεγάλη πληγή πολλών ϑεωριών εδώ γιατρεύεται και κάνει τη ϑεωρία αυτή ακόµη πιο ελκυστική. Ας πάµε όµως να το δείξουµε και αυτο το στοιχείο υπολογίζοντας την ανωµαλία της ϑεωρίας. Αυτή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο για κάθε ϕερµιονική αναπαράσταση : 1 ARdabc = tr{t a R, T b R}, T c R 7.86 όπου T a R ένας πίνακας αναπαράστασης του R. ;Οµως αυτό που ισχύει εδώ είναι ότι η AR είναι κανονικοποιηµένη σε µία από τις ϑεµελιώδεις αναπα- ϱαστάσεις και ανεξάρτητη του R. ;Ετσι λοιπόν αρκεί να πάρουµε µία απλή αναπαράσταση και να δείξουµε ότι για ϕερµιόνια έχουµε αναίρεση των ανω- µαλιών. Θα δουλέψουµε µε τις 5 και 1 στην αναπαράσταση του ϕορτίου Q. Από αυτά που ειπώθηκαν στην προηγούµενη παράγραφο, έχουµε : 61

264 5 : Qψ i = diag1/3, 1/3, 1/3, 1, trq 3 ψ i = 31/ = : Qψ ij = Q i + Q j trq 3 ψ ij =... = Και παίρνοντας το λόγο των ανωµαλιών αυτών : οπότε έχουµε : A5 A1 = trq3 ψ i trq 3 ψ ij = 8/9 = /9 A5 + A1 = 7.9 δηλαδή οι ανωµαλίες µεταξύ τους αλληλοαναιρούνται για τα ϕερµιόνια! Αυτό σηµαίνει ότι η ϑεωρία µας είναι επανακανονικοποιήσιµη και µπορούµε µε επανακανονικοποίηση να απορροφήσουµε όλους τους απειρισµούς. Μία τελευταία αλλά µε πολύ µεγάλη ϐαρύτητα παρατήρηση εδώ έχει να κάνει µε αυτό ακριβώς το αποτέλεσµα που πήραµε µόλις τώρα. Αφού λοιπόν είδαµε ότι οι ανωµαλίες των 5 και 1 αλληλοαναιρούνται, µπορούµε εδώ να σκεφτούµε περαιτέρω ενοποίηση! Θα ήταν πολύ ωραίο και ακόµη πιο συµµετρικό οι δύο αυτές αναπαραστάσεις των ϕερµιονίων µας να χωρούσαν µαζί σε µία και µοναδική αναπαράσταση. Αυτό προφανώς απαιτεί µια οµάδα µεγαλύτερη της SU5 που ϑα χωράει τις παραπάνω αναπαραστάσεις. Τότε όπως µόλις δείξαµε πάλι δε ϑα υπάρχει πρόβληµα απειρισµών και η ϑεωρία ϑα είναι επίσης επανακανονικοποιήσιµη. Η διαδικασία εξέτασης της οµάδας αυτής ϑα έιναι όπως αναµένεται αντίστοιχη της διαδικασίας που παρουσιάζουµε εδω. Τέτοια οµάδα υπάρχει και είναι η οµάδα SO1. 6

265 7.7 Μποζόνια Βαθµίδας Τώρα µπορούµε να περάσουµε στην εύρεση των µποζονίων της SU5. Θα πρέπει, όπως πια είναι σαφές και από τη µελέτη των ϕερµιονίων, να περιέχονται µέσα στα µποζόνια αυτά όλα τα µποζόνια του ΚΠ. Βέβαια εκεί είχαµε συνολικά 1 µποζόνια, ενώ στην SU5 ο αριθµός τους όπως γνωρίζουµε ϑα είναι n?1 = 5?1 = 4. Άρα η ϑεωρία προβλέπει 1 νέα πεδία ϐαθµίδας. Οπως είπαµε τα µποζόνια αυτά αντιστοιχίζονται στην adjoint αναπαράσταση της οµάδας. Η διάσταση, όπως ϐρήκαµε, της adjoint αναπαράστασης της SU5 είναι 4. Περιµένουµε λοιπόν να χωρέσει όλα τα µποζόνια της ϑεωρίας µας. ;Οσον αφορά στο ΚΠ τα πεδία ϐαθµίδας που έχουµε εκεί είναι : 1 πεδίο B της U1, το οποίο µετασχηµατίζεται ως singlet κάτω από τις SU3 και SU, δηλαδή είναι 1, 1, 3 W µποζόνια των ασθενών αλληλεπιδράσεων της SU, τα οποία µετασχηµατίζονται ως triplets κάτω από SU και ως singlets κάτω από µετασχηµατισµούς SU3, δηλαδή είναι 1, 3 και τέλος 8 γλουόνια G α των ισχυρών αλληλεπιδράσεων της SU3, τα οποία ϑα µετασχηµατίζονται σαν 8plets κάτω από SU3 και σαν singlets κάτω από SU. Επανερχόµενοι τώρα στην adjoint 4 αναπαράσταση της SU5 και κάνοντας χρήση των αποτελεσµάτων που ϐγάλαµε στην παράγραφο 1.4, παίρνουµε την ανάλυση της 4 στις αναπαραστάσεις του ΚΠ: 4 {8, 1 + 3, + 3, + 1, 3 + 1, 1} 7.91 Κατευθείαν εδώ αναγνωρίζουµε τα πεδία του ΚΠ που περιγράψαµε πιο πάνω αλλά επίσης αναγνωρίζουµε και την ανάλυση των αναπαραστάσεων των υπόλοιπων 1 πεδίων ϐαθµίδας της SU5. Ολα τα πεδία ϐαθµίδας µας ϐρίσκονται στην adjoint αναπαράσταση. Υιοθετώντας το συµβολισµό δεικτών που επεξηγήσαµε στην αρχή του κεφαλαίου, µε τους δείκτες α, β = 1,, 3 και τους δείκτες r, s = 4, 5, µπορούµε να κάνουµε την αντιστοίχιση των πεδίων του ΚΠ και των νέων πεδίων ϐαθµίδας µας, εισάγοντας νέο συµβολισµό : Επιπλέον ϑα µπορούσαµε µε τον παραπάνω συµβολισµό να χωρέσουµε όλα τα πεδία ϐαθµίδας µας σε έναν πίνακα και να πάρουµε µία συγκντρωτική µορφή της αναπαράστασης αυτής ως εξής : 63

266 A = A = 3 α= A α λα 7.9 όπου επίσης ανατρέχοντας στην παράγραφο 1.5 ϐλέπουµε ότι επιπλέον έχουµε υπολογίσει και τις ιδιοτιµές του ϕορτίου για την adjoint 4 της SU5 και έτσι λοιπόν για τα νέα πεδία X και Y που έχουν εισαχθεί τα αντίστοιχα ηλεκτρικά ϕορτία ϑα είναι : Q X = 4 3, Q Y =

267 Κεφάλαιο 8 Αυθόρµητο Σπάσιµο Συµµετρίας 8.1 Σπάσιµο της SU5 Μέχρι στιγµής λοιπόν έχουµε καταφέρει να επιλέξουµε µία οµάδα που όπως αποδείχτηκε είναι ιδιαίτερα ελπιδοφόρα όσον αφορά στην ενοποίηση των αλληλεπιδράσεων. Είδαµε πώς στην SU5 µπορούµε να περιγράψουµε όλα τα ϕερµιονικά µας πεδία µε µόνο αναπαραστάσεις. Είδαµε επίσης πως όλα τα µποζονικά µας πεδία χωράνε µέσα σε µία 4 αναπαράσταση. Τέλος ϕάνηκαν τα πρώτα δείγµατα της δυναµικής της SU5, καθώς ξεφύγαµε από την εξάρτηση της οµάδας µας από την U1 και κερδίσαµε την εξήγηση της κβάντωσης του ηλεκτρικού ϕορτίου, ενώ δε χάνουµε σε renormalizability α- ϕού όπως δείξαµε η ϑεωρία µας είναι επανακανονικοποιήσιµη. Τι µένει για να προχωρήσουµε στην ανάλυσή µας Εχουµε διατυπώσει µία ϑεωρία συµµετρίας SU5. Μπορούµε να γράψουµε δηλαδή µία Λαγκρανζιανή η οποία ϑα έχει τη συγκεκριµµένη τοπική συµµετρία µε τα σωµατίδιά µας µποζόνια και ϕερµιόνια στις αναπαραστάσεις που ϐρήκαµε παραπάνω. Υπάρχουν όµως τα εξής δύο προβλήµατα. Το πρώτο είναι το αντίστοιχο πρόβληµα που είχαµε και όταν δηµιουργούσαµε το ΚΠ: Η απόδοση µάζας στα σωµατίδιά µας. Πράγµατι η ϑεωρία µας η Λαγκρανζιανή που ϑα πάµε να γράψουµε, αυτή τη στιγµή περιέχει µόνο κινητικούς όρους. Το δεύτερο Ϲήτηµα που πρέπει να µας απασχολήσει είναι το γεγονός ότι όπως γνωρίζουµε στις ενέργειες του ΚΠ ισχύουν αυτά που προβλέπει το ΚΠ µάζες σωµατιδίων κλπ. Αυτά που περιγράφουµε εµείς ϐέβαια ισχύουν σε µία ενεργειακή κλίµακα τάξεις µεγέθους παραπάνω από το ΚΠ. Για να αποδειχθεί η ορθότητα των όσων λοιπόν περιγράφουµε ϑα πρέπει να µπορέσουµε να δείξουµε πώς η ϑεωρία µας κατεβαίνοντας σε ενεργειακή κλίµακα δίνει τελικά το ΚΠ και τις κατάλληλες µάζες στα σωµατίδια του ΚΠ, τα οποία είναι και τα µόνα παρατηρίσιµα όπως είπαµε σε αυτές τις κλίµακες, καθώς τα νέα µας σωµατίδια είναι πολύ ϐαριά. Η ιδέα είχε σκιαγραφηθεί στην αρχή του προηγούµενου κεφαλαίου και είναι παρόµοια µε 65

268 αυτή που υιοθετήσαµε στο ΚΠ. Απαιτούνται δηλαδή δύο στάδια εφαρµογής του µηχανισµού Higgs. Χρειαζόµαστε λοιπόν πεδία Higgs. Το πρώτο πεδίο Higgs ϑα είναι η διαταραχή η οποία σπάει την SU5 συµµετρία πολύ ψηλά στην ενεργειακή κλίµακα και προσδίδει µάζες στα νέα πεδία µας και επίσης το σπάσιµο αυτό µας δίνει την οµάδα του SU3 SU U1, µε αναµενόµενη τιµή ως προς το κενό VEV έστω u 1, ενώ το δεύτερο πεδίο Higgs είναι το Higgs το οποίο σπάει στην ενεργειακή κλίµακα του ΚΠ τη συµµετρία αυτή στην SU3 U1, δίνοντας τις αντίστοιχες µάζες, µε VEV u. Σχηµατικά : SU5 u 1 SU3 SU U1 u SU3?U1 8.1 όπου όπως αναφέραµε ϑα είναι : u 1 >> u και M X,Y >> M W,Z όσον αφορά στα µποζόνια της ϑεωρίας στις δύο αυτές ενεργειακές κλίµακες. Αυτός ϐέβαια δεν είναι και ο µοναδικός τρόπος που µπορεί να γίνει το σπάσιµο της συµµετρίας από τη GUT κλίµακα προς τη SM κλίµακα, καθώς ϑα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε Higgs και να πάµε σε άλλες ενδιάµεσες οµάδες πριν ϕτάσουµε στο group του ΚΠ. Η διαδικασία που γίνεται όµως το σπάσιµο σε κάθε περίπτωση είναι παρόµοια, οπότε εδώ ϑα παρουσιαστεί ο τρόπος που αναφέραµε παραπάνω. Χρειαζόµαστε όπως είπαµε πεδία Higgs. Ας διαλέξουµε λοιπόν και ας ϐάλουµε στο πρώτο σπάσιµο πεδία στην adjoint αναπαράσταση 4 όπου έχουµε τοποθετήσει τα µποζόνιά µας, ενώ στο ο σπάσιµο ϑα τοποθετήσουµε πεδία στη διανυσµατική 5 αναπαράσταση. ιαγραµµατικά ϑα είναι : SU5 <H> SU3 SU U1 <Φ> SU3 U1 8. όπου το H ανήκει στην adjoint 4 H i j και το Φ ανήκει στην vector 5 Φ i. Θέλουµε λοιπόν να γράψουµε έναν όρο δυναµικού στη Λαγκρανζιανή για τα πεδία H και Φ. Ο όρος δυναµικού V H, Φ, για µία ϑεωρία φ 4 όπως έχει αναλυθεί στη ϑεωρία επανακανονικοποίησης, έχουµε δει ότι η ϑεωρία φ 4 είναι κατάλληλη ϑεωρία καθώς είναι η µόνη η οποία παραµένει επανακανονικοποιήσιµη µαζί ϐέβαια µε την φ 3, η οποία όµως δεν έχει τη συµµετρία φ?φ, ϑα περιέχει όρους των πεδίων µας H και Φ µέχρι το πολύ την 4η τάξη. Επιπλέον η απαίτηση της συµµετρίας H Hκαι Φ Φ επιβάλλει την απόρριψη όρων 1ης και 3ης τάξης ως προς H και Φ αντίστοιχα. Η µορφή λοιπόν που ϑα πάρει ο δυναµικός όρος της Λαγκρανζιανής αναλλοίωτος κάτω από µία SUN οµάδα, όταν αναπτύξουµε ως προς H και Φ ϑα είναι : V H, Φ = V H + V Φ + λ 4 trh + Φ Φ + λ 5 trh Φ 8.3 όπου υπενθυµίζουµε ότι ο H είναι ένας hermitian traceless πίνακας αφού ανήκει στην adjoint αναπαράσταση. Επίσης ϑα είναι : V H = m 1trH + λ t rh + λ trh

269 και V Φ = m Φ Φ + λ 3 Φ Φ 8.5 Παρακάτω λοιπόν ϑα παρουσιάσουµε το σπάσιµο της συµµετρίας στα στάδια που παρουσιάσαµε. Συγκεκριµένα στο πρώτο στάδιο, το πεδίο Φ απουσιάζει οπότε ϑεωρούµε Φ = και ψάχνουµε την αναµενόµενη τιµή του H ως προς το κενό, δηλαδή την τιµή < H >= του H η οποία ελαχιστοποιεί το δυναµικό. ηλαδή : V SU5 SU3 SU U1, = 8.6 H H=<H>,Φ= Επειτα, περνώντας στο δεύτερο στάδιο, ψάχνουµε για ϐαθύτερα ελάχιστα σε µικρές πλέον αλλά όχι µηδενικές τιµές του Φ: V SU3 SU U1 SU3 U1, = 8.7 Φ Φ=<Φ> Ας πάµε λοιπόν να εξετάσουµε το 1ο στάδιο του αυθόρµητου σπασίµατος συµ- µετρίας Spontaneous Symmetry Breaking που περιγράψαµε. Για Φ = ϑα είναι : V H, = m 1trH + λ 1 trh + λ trh Ψάχνουµε τιµές H =< H > που να ελαχιστοποιούν το δυναµικό ϐέβαια µη µηδενικές. Οπως δείχτηκε από τον L.F. Li µπορούµε εφαρµόζοντας ένα µοναδιακό µετασχηµατισµό, να διαγωνοποιήσουµε το H, δηλαδή UHU?1 = H j i = H i dj i, ενώ ο πίνακας H παραµένει άιχνος H i =. Οι εξισώσεις για την εύρεση του ελαχίστου του δυναµικού V H i = µας δίνουν εξισώσεις 3ης τάξης ως προς τα διαγώνια στοιχεία του H, οι οποίες µπορούν να πά- ϱουν µέχρι το πολύ 3 διαφορετικές τιµές. ;Ετσι λοιπόν για τιµές των coupling constants l >, l 1 >?7/3l, το δυναµικό ελαχιστοποιείται για µόνον διαφορετικές τιµές των H i και µπορούµε να τις οµαδοποιήσουµε : 8.9 < H >= u i 3 3, u i = m i 6λ λ 67

270 Το H =< H >= u 1 diag,,, 3, 3 είναι το κενό της ϑεωρίας µας στην GU T ενεργειακή κλίµακα. Τι κάνουµε λοιπόν έπειτα ιαταράσουµε το κενό της ϑεωρίας µας. Τοποθετώντας τα 4 πεδία διαταραχές γύρω από το κενό που επιλέξαµε παραπάνω, σε συµβολισµό αντίστοιχο µε αυτόν που υιοθετή- ϑηκε για την παρουσίαση της adjoint αναπαράστασης, ϑα έχουµε τώρα : H = H < H >= 8.1 Το ϕάσµα µάζας των πεδίων αυτών µπορεί να υπολογιστεί απευθείας µέσω της ης παραγώγου του δυναµικού στο σηµείο H =< H >. δηλαδή : V H H =< H > mass spectrum 8.11 Τα πεδία H Xi, HY i είναι τα γνωστά µας would-be Goldstone bosons, τα ο- ποία ϑα ϕαγωθούν όταν εκτελέσουµε µετασχηµατισµό και µεταφερθούµε στη ϕυσική ϐαθµίδα unitary gauge. Οσον αφορά στα υπόλοιπα πεδία της ϑεωρίας µας όπως είπαµε από τη η παράγωγο του δυναµικού ϑα πάρουµε τις τιµές που ϕαίνονται και στον πίνακα.1: [H 8 ] α β = λ u 1, [H 3 ] r 8 = 8λ u 1, H = 4m Επιπλέον η εφαρµογή του µηχανισµού higgs ϑα προσδώσει µάζα και στα υπόλοιπα µποζονικά πεδία της ϑεωρίας µας στο συγκεκριµένο στάδιο, δηλαδή ϑα αποκτήσουν µάζα τα πεδία που ϐρίσκονται στη Φ καθώς και τα πεδία X και Y που ϐρίσκονται στο A µ. Παρακάτω ϑα υπολογίσουµε ακριβώς τις µάζες τους. ;Οσον αφορά στις µάζες του Φ ϑυµούµαστε ότι αυτή είναι µία 5 αναπαράσταση, µπορούµε να χωρίσουµε τα 5 στοιχεία της λοιπόν σε µία triplet δείκτης α = 1,, 3 και µία doublet δείκτης r = 1, για προφανείς ϕυσικούς λόγους που έχουνε γίνει αντιληπτοί µε την παραπάνω συζήτηση. 68

271 ηλαδή γράφουµε : Φ = Φ 1 Φ Φ 3 Φ 4 Φ 5 T = Φtα Φ dr T, α = 1..3 r = 1, 8.13 Επίσης αξίζει εδώ να αναφέρουµε πως µπορεί µεν να ϑεωρήσαµε στο πρώτο αυτό σπάσιµο σε υψηλή ενεργειακή κλίµακα αµελητέα την παρουσία του πεδίου Φ, αυτό όµως δεν σηµαίνει ότι δεν υπάρχει και δεν αποκτά κάποιο όρο µάζας. Από το δυναµικό V H, Φ που γράψαµε λοιπόν, παίρνουµε τους όρους µάζας για τα πεδία της Φ, δηλαδή τους όρους εκείνους οι οποίοι είναι τετραγωνικοί ως προς Φ, δηλαδή ανάλογοι του Φ Φ. Αυτοι είναι οι : V MΦ = m Φ Φ = +λ 4 trh Φ Φ + λ 5 Φ H Φ 8.14 Για H =< H > λοιπόν όπως ϐλέπουµε ϑα είναι : H = u 1diag4, 4, 4, 9, 9 trh = 3u Οπότε οι όροι του δυναµικού ϑα γίνουν : Φ Φ = Φtα Φ tα Φ dr = Φ Φ tα Φ tα + Φ dr Φ dr 8.16 dr και : 4 Φ H Φ = u 1 Φtα Φ dr Φtα Φ dr = 4Φ tα Φ tαu 1+9Φ dr Φ dru

272 Από τα παραπάνω το δυναµικό των όρων µάζας παίρνει τη µορφή : V MΦ H=<H> = [ m +3λ 4 +4λ 3 u 1]Φ tα Φ tα+[ m +3λ 4 +9λ 3 u 1]Φ dr Φ dr 8.18 Οπως ϕνωρίζουµε οι όροι µπροστά από τους Φ Φ είναι το τετράγωνο των αντίστοιχων όρων µάζας, δηλαδή : m Φ tα = m + 3λ 4 + 4λ 3 u m Φ dr = m + 3λ 4 + 9λ 3 u 1 8. Οσον αφορά τώρα στα µποζόνια της ϑεωρίας µας, παρατηρούµε ότι αφού το H ανήκει στην adjoint αναπαράσταση, µπορού µε να σχηµατίσουµε συναλλοίωτη παράγωγο, η οποία ϑα είναι, σύµφωνα µε τη γνωστή από το ΚΠ συνταγή : D µ H = µ H + ig[a µ, H] = µ H + < H > + ig[a µ, H < H >] = µ H + ig[a, H ] + ig[a, < H >] D µ H = D µ H + ig[a, < H >] 8.1 Οι όροι µάζας λοιπόν ϑα προκύψουν από το D µh. Αναπτύσσοντας την παράσταση αυτή, τελικά ο όρος που ϑα µας δώσει τις µάζες, ϑα είναι ο g [A µ, < H >]. Παρουσιάζουµε παρακάτω τη διαδικασία. Αρχικά υ- πενθυµίζουµε το A µ : 7

273 A µ = 1 Είναι : X 1 Y 1 G α β X Y X 3 Y 3 X 1 X X 3 W 3+ W + Y 1 Y Y 3 W W 3, Gβ α = G B/ 3 α β, W 3+ = +W 3 / +3B 3 8. [A µ, < H >] = A µ < H > < H > A µ G 1 1 G 1 G 1 3 3X 1 3Y 1 = u 1 G 1 G G 3 3X 3Y G 3 1 G 3 G 3 3 3X 3 3Y 3 X 1 X X 3 3W 3+ 3W + Y 1 Y Y 3 3W 3W 3 G 1 1 G 1 G 1 3 X 1 Y 1 u 1 G 1 G G 3 X Y G 3 1 G 3 G 3 3 X 3 Y 3 3X 1 3X 3X 3 3W 3+ 3W + 3Y 1 3Y 3Y 3 3W 3W 3 5X 1 5Y 1 Α µ, < H >= u 5X 5Y 1 5X 3 5Y 3 5X 1 5X 5X 3 5Y 1 5Y 5Y Οπότε για τη µάζα ϑα έχουµε : g [A µ, < H >] g [A µ, < H >] = g u 1 5X 15X 1 + 5Y 1 5Y 1 + 5X 5X +... = 5u 1 X + Y 8.4 Απευθείας παίρνουµε από την παραπάνω τις µάζες για τα ϐαριά X και Y µποζόνια : M X = M Y = 5 gu

274 Μέχρι το σηµείο αυτό έχουµε περιγράψει πλήρως το 1ο αυθόρµητο σπάσιµο συµµετρίας όπως υποσχεθήκαµε. Το ϕάσµα µάζας της ϑεωρίας µας ϕαίνεται συγκεντρωτικά στον πίνακα.1 πιο πάνω. Οπως λοιπόν δείξαµε και είχαµε εκτιµήσει από την αρχή της διαδικασίας, όλες οι µη µηδενικές τιµές µάζας µετά το 1ο αυτό σπάσιµο, είναι της τάξης u 1 έστω M X, δηλαδή πολύ µεγάλες. Εχουµε µέχρι στιγµής καλύψει τη µισή διαδροµή. Το επόµενο ϐήµα είναι να ϕτάσουµε σε χαµηλές ενέργειες µπαίνοντας στην περιοχή ισχύος του ΚΠ, δηλαδή τάξη των 5GeV και εκεί να σπάσουµε την SU συµµετρία µε ο µηχανισµό higgs, όπου η αναµενόµενη τιµή ως προς το κενό ϑα είναι πλέον της τάξης του u 1 << u. Προφανώς για το ο σπάσιµο χρειαζόµαστε µία SU doublet εδώ ϕαίνεται ακόµη πιο ξεκάθαρα ο αρχικός λόγος διαχω- ϱισµού της 5 αναπαράστασης Φ πιο πριν, µε αναµενόµενη µάζα m Φd << M X. Η ιδέα εδώ είναι η αντίστροφη αυτής του 1ου σπασίµατος. Θεωρούµε ότι σε χαµηλές ενέργειες τα πολύ ϐαριά µποζόνια σταµατούν να αλληλεπιδρούν µε τα σωµατίδια της ϑεωρίας µας δεν υπάρχει coupling και τελικώς επιζούν µόνο τα ελαφρά µποζόνια δηλαδή η διπλέτα που ορίσαµε πιο πάνω, η Φ d. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται decoupling και ϑα την αναπτύξουµε λίγο περισσότερο παρακάτω. Decoupling theorem : Εάν µία gauge invariant Lagrangian µίας ϑεωρίας περιέχει τάξεις µαζών m και M µε m << M και είναι renormalizable, σε ενέργειες E << M η ϑεωρία περιγράφεται πλήρως από µία renormalizable Lagrangian που περιέχει µόνο τα ελαφρά σωµατίδια. Η δράση των ϐαριών σωµατιδίων της ϑεωρίας το µόνο που επιφέρει είναι απλά ένα rescale στις coupling constants και στις renormalization parameters της ϑεωρίας. Από την οπτική γωνία της Κοσµολογίας και για να αποδώσουµε κάποιο ϕυσικό νόηµα στα παραπάνω µπορούµε να αναφέρουµε τα εξής : ;Ενα σωµατίδιο προκειµένου να διατηρηθεί σε κατάσταση ϑερµοδυναµικής ισορροπίας δηλαδή να παράγονται όσα καταστρέφονται µέσω διαφόρων αντιδράσεων, πρέπει να αντιδρά αρκετά. Η διαστολή του σύµπαντος οδηγεί σε πτώση της ϑερµοκρασίας και κατά συνέπεια της κινητικής ενέργειας των σωµατιδίων. Αυτό οδηγεί σε πτώση του ϱυθµού παραγωγής ειδικά των ϐαρύτερων σωµατιδίων, µε αποτέλεσµα αυτά να ξεφεύγουν από τη ϑερµοδυναµική ισορροπία, οπότε και ο ϱυθµός διάσπασής τους υπερβαίνει το ϱυθµό παραγωγής τους. Μετά από αρκετό χρόνο τα σωµατίδια αυτά ουσιαστικά παύουν να υπάρχουν, δεν αλληλεπιδρούν πλέον και έτσι πια η ϕυσική καθορίζεται κυρίως από τα ελαφρά σωµατίδια. ;Ετσι, µε ϐάση τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε την ;ενεργή ; effective Lagrangian η οποία ισχύει στην περιοχή ενέργειας των περίπου 5GeV. 7

275 V eff φ = m d φ φ + λ 3 φ φ 8.6 όπου πλέον συµβολίζουµε µε φ τη δουβλετ του Φ που ορίσαµε πιο πριν και επίσης µε ϐάση τα παραπάνω και τον πίνακα µαζών που ϐρήκαµε για τη µάζα της Φ d = φ, ϐάλαµε m = m d. Το δυναµικό που γράψαµε παραπάνω είναι ακριβώς το Higgs δυναµικό του ΚΠ. Η διαδικασία λοιπόν από εδώ και κάτω είναι το γνωστό σπάσιµο συµµετρίας του ΚΠ µε V EV u << u1. Το ϐαθύτερο κενό της ϑεωρίας µας λοιπόν ϑα γίνει : < φ d >= 1, u u = m d /λ 3 1/ 5GeV 8.7 Περιγράψαµε στο σηµείο αυτό και το ο στάδιο του σπασίµατος : SU3 SU U u SU3 U1 8.8 Εδώ ϑα πρέπει να αναφέρουµε κάποιες παρατηρήσεις οι οποίες µπορούν να αµφισβητήσουν τη συνέπεια των µέχρι τώρα λεχθέντων. Παρουσιάζεται µία πολύ µεγάλη διαφορά στις τάξεις µεγέθους των ενεργειών που αναφέραµε. Η σχέση τους είναι u u, διαφορά η οποία ϕαίνεται µη ϕυσική. Ε- πιπλέον ο περιορισµός µας σε χαµηλά σωµατίδια µπορεί να γίνει σε όλες τις τάξεις της ϑεωρίας διαταραχών Η απάντηση είναι ότι όντως µπορούµε να πε- ϱιοριστούµε στα ελαφρά σωµατίδια αλλά απαιτείται fine tuning σε κάθε τάξη. Τελική λύση ϐέβαια στο παραπάνω πρόβληµα gauge hierarchy problem πα- ϱέχεται από τη ϑεωρία της Supersymmetry. 8. Ενοποίηση Σταθερών Ζεύξης Μετά από την παρουσίαση των παραπάνω µπορούµε να προχωρήσουµε πιο ϐαθιά στη ϑεωρία µας και να την εξετάσουµε πλέον στην ουσία της. ηλαδή στις προβλέψεις της. Εδώ ϑα κριθεί η ισχύς της και η απόρριψή της ή όχι. Ποιά είναι η ουσία της ενοποίησης Οπως έχουµε δει από το ΚΠ οι ισχυρές και ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις περιγράφονται στο ΚΠ από 3 σταθερές Ϲεύξης. Αυτές είναι οι g s, g, g αντίστοιχα, µία για κάθε οµάδα του µοντέλου. ;Οπως έχει ϐρεθεί και πειραµατικά αυτές οι τρεις coupling constants έχουν διαφορετική ένταση, καθώς και όπως έχουµε δει από τη ϑεωρία επανακανονικοποίησης διαφορετική εξέλιξη µε την ενέργεια. Συγκεκριµένα οι SU3 και SU coupling constants µειώνονται λογαριθµικά µε την αύξηση της 73

276 ενέργειας, ενώ η g που αντιστοιχεί στην Abel U1 αυξάνει µε την αύξηση της ενέργειας. Στα πλαίσια του ΚΠ δεν παρέχεται καµία απολύτως εξήγηση για ποιόν λόγο αυτές οι 3 σταθερές αλληλεπίδρασης έχουνε διαφορετικές εντάσεις. Ερχόµαστε τώρα στη ϑεωρία ενοποίησης που εξετάζουµε. ΕξΆ ορισµού µία ϑεωρία ενοποίησης έχει µόνο 1 σταθερά Ϲεύξης έστω εδώ g 5 για την SU5. Βέβαια αυτό ϑα πρέπει να ισχύει σε µία ενεργειακή κλίµακα αρκετά ψηλα στην περιοχή ισχύος της ενοποιηµένης ϑεωρίας -GUT scale -. Οταν µεταφερθούµε χαµηλά στην ενεργειακή κλίµακα ΚΠ ϑα πρέπει η ϑεωρία µας να µας δίνει το ΚΠ, αφού είναι και πειραµατικά αποδεδειγµένο ότι σε χαµηλές ενέργειες το ΚΠ έχει πλήρη ισχύ. Το πώς µπορεί αυτό να επιτευχθεί το είδαµε ακριβώς πριν. Το αυθόρµητο σπάσιµο της συµµετρίας 1ο στάδιο µας παρέχει τη δυνατότητα να έχουµε µία αρχικά σταθερά Ϲεύξης, η οποία να χωρίζεται σε τρεις όταν κατέβουµε σε χαµηλές ενέργειες, µία για κάθε υποοµάδα της SU5. Υποθέτουµε λοιπόν ότι σε κάποια ψηλή ενεργειακή κλίµακα οι τρεις παραπάνω coupling constants συµπίπτουν και οι τρεις M X και από εκεί και έπειτα η ϑεωρία µας περιγράφεται από µία ενοποιηµένη coupling constant, την g 5. ηλαδή : SU5 SU3 SU U1 g 5 M X g s, g, g M Z 8.9 Τα παραπάνω συνοψίζονται σχηµατικά στην εικόνα..1. Θα πρέπει όµως να τονίσουµε εδώ ότι αυτή είναι µία υπόθεση που κάναµε και κανείς δεν µας εγγυάται ότι αυτό ισχύει. ύο γραµµές προφανώς τέµνονται 74