5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές."

Transcript

1 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα ένας αριθµός R + που καλείται ακτίνα σύγκλισης της δυναµοσειράς τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά να συγκλίνει απόλυτα για κάθε < R και οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο R< R και η δυναµοσειρά να αποκλίνει για κάθε > R Για την εύρεση της ακτίνας σύγκλισης υπενθυµίζουµε την ακόλουθη: Πρόταση 5 Η ακτίνα σύγκλισης µιας δυναµοσειράς ( ) δίνεται από τη σχέση R lim a a + η R lim a υπό την προϋπόθεση ότι τα παραπάνω όρια υπάρχουν a a Σηµείωση: H οµοιόµορφη σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων είναι µια έννοια ισχυρότερη της σύγκλισης η οποία επιτρέπει τη µεταφορά επιθυµητών ιδιοτήτων των όρων της ακολουθίας στην οριακή συνάρτηση Πιο συγκεκριµένα ισχύει: Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f ) συνεχών συναρτήσεων 7

2 συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ( ) (δηλαδή ή f f lim f f οµοιόµορφα) τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι συνεχής Αν η σύγκλιση δεν είναι οµοιόµορφη τότε η συνέχεια «δεν κληρονοµείται» πάντα στην οριακή συνάρτηση Αν µια ακολουθία f ( ) (ή σειρά f συγκλίνει οµοιόµορφα σε µια οριακή συνάρτηση f ) ολόµορφων συναρτήσεων σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται στον τόπο E τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι ολόµορφη στον τόπο E Επιπλέον ισχύει lim f f (ή f f στον τόπο E ) οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο που περιέχεται Για απλότητα δε θα δώσουµε τον ακριβή ορισµό της οµοιόµορφης σύγκλισης αλλά ένα χρήσιµο κριτήριο για το πότε µια σειρά συναρτήσεων συγκλίνει οµοιόµορφα Κριτήριο Οµοιόµορφης σύγκλισης σειρών (M-test Weierstrass) Aν για µια ακολουθία f ( ) ολόµορφων συναρτήσεων σε τόπο E ισχύει: f M για κάθε E θετικών πραγµατικών αριθµών και αν M <+ τότε η σειρά συναρτήσεων f σε µια ολόµορφη συνάρτηση Εστω τώρα a ( ) όπου { M : } είναι µια ακολουθία συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στο Ε είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R Αν DR είναι ο ανοικτός δίσκος µε κέντρο συνάρτηση και ακτίνα R τότε ορίζεται η 8

3 ( ) f : D : f a Γι αυτή τη συνάρτηση ισχύει το ακόλουθο: R Θεώρηµα 5 (Παραγώγισης δυναµοσειρών) Εστω a ( ) είναι µια δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης R και οριακή συνάρτηση ( ) f : D : f a R Τότε η f είναι ολόµορφη στον ανοικτό δίσκο δίνονται από τη σχέση a f ( )! DR και οι συντελεστές a Επιπλέον η δυναµοσειρά παραγωγίζεται και ολοκληρώνεται όρο προς όρο και ισχύει µε την ίδια ακτίνα σύγκλισης f a Απόδειξη Εφόσον τα µερικά αθροίσµατα της σειράς είναι ολόµορφες συναρτήσεις (ως πολυώνυµα) και η δυναµοσειρά συγκλίνει οµοιόµορφα για κάθε κλειστό δίσκο R< R από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η οριακή συνάρτηση f είναι επίσης ολόµορφη στο δίσκο σύγκλισης DR ( ) και επιπλέον η σειρά παραγωγίζεται όρο προς όρο δηλαδή ισχύει Προφανώς f a f a Παραγωγίζοντας έχουµε f a 9

4 f a Συνεχίζοντας επαγωγικά παίρνουµε το ζητούµενο οπότε Για το αντίστροφο έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµα 5 (Taylor) Εστω f είναι µια ολόµορφη συνάρτηση σε τόπο E και E Αν Dε ( ) είναι ανοικτός δίσκος κέντρου και (οποιασδήποτε) ακτίνας ε ώστε ο δίσκος Dε ( ) να περιέχεται στον τόπο E τότε f ( ) ( ) για κάθε Dε ( ) f! Η παραπάνω καλείται σειρά Taylor της f γύρω από το σηµείο Απόδειξη Θεωρούµε ένα δίσκο D ( ) D ( ) δ και ορίζουµε τον κύκλο ε γ : ζ ε Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy έχουµε Απ την άλλη µεριά έχουµε ( ζ ) f f dζ πi γ ζ για κάθε D ( ) δ ζ ζ ζ ζ όπου χρησιµοποιήσαµε τον τύπο λ < ζ ( ) + ζ ζ ζ λ λ < µε λ λ ζ D ενώ ζ είναι σηµεία του κύκλου γ Αρα: εφόσον δ διότι 3

5 ( ζ ) ( ) ( ) f f dζ f ( ζ ) dζ πi γ ζ πi γ + ζ f ( ) ( ) f ( ζ ) dζ ( ) πi γ + ζ! Παρατήρηση (α) Το ανάπτυγµα Taylor της f είναι µοναδικό ηλαδή αν f a b a b (β) H δυνατότητα αναπαράστασης κάθε ολόµορφης συνάρτησης από µια σειρά Τaylor δεν ισχύει πάντα για απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις Αυτή είναι µια σηµαντική διαφοροποίηση των ολόµορφων συναρτήσεων σε σχέση µε τις απειροδιαφορίσιµες πραγµατικές συναρτήσεις (γ) Η σειρά Taylor McLauri f της f γύρω από το καλείται σειρά! (δ) Αν a και και R τότε για το γινόµενό τους ισχύει b είναι δυο σειρές McLauri µε ακτίνες σύγκλισης R f g ab µε ακτίνα σύγκλισης R mi { R R } (ε) Tα αναπτύγµατα Taylor των στοιχειωδών συναρτήσεων θεωρούνται γνωστά < 3

6 e! + ηµ ( )! συν! ( ) + Log ( + ) < + Το Θεώρηµα Taylor µας εξασφαλίζει το ανάπτυγµα µιας ολόµορφης συνάρτησης f σε σηµείο σε µια συγκλίνουσα δυναµοσειρά µέσα σ ένα δίσκο κέντρου εν µπορούµε να πούµε το ίδιο όταν το είναι ανώµαλο σηµείο της f πχ αν e f Για τέτοιες συναρτήσεις υπάρχει ένα ανάπτυγµα της µορφής f a ( ) το οποίο ισχύει σε κάποιο «διάτρητο» δίσκο < < r Γενικότερα αποδεικνύεται ότι µια συνάρτηση η οποία είναι ολόµορφη σ έναν ανοικτό δακτύλιο έχει µοναδικό ανάπτυγµα της παραπάνω µορφής Εχουµε το εξής: Θεώρηµα 53 (Lauret) Έστω f είναι ολόµορφη στο δακτύλιο Τότε για κάθε G ισχύει όπου { : } ( ) G R < < R R < R a f a ( ) f πi γ ( ) + και γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά λεία καµπύλη στο εσωτερικό του G Το παραπάνω καλείται ανάπτυγµα Lauret d 3

7 της f είναι µοναδικό και συγκλίνει απόλυτα στο G και οµοιόµορφα σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του G Απόδειξη Είναι ένας συνδυασµός του γενικευµένου τύπου Cauchy µε την αποδεικτική µέθοδο στο Θεώρηµα Taylor Ανώµαλα σηµεία και ταξινόµηση αυτών Ορισµός 5 Ένα σηµείο όπου η f δεν ορίζεται ή δεν είναι ολόµορφη καλείται ανώµαλο σηµείο της Εστω είναι ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει κάποιος διάτρητος δίσκο < < R όπου f είναι ολόµορφη τότε λέµε ότι η f έχει αποµονωµένη ή µεµονωµένη ανωµαλία στο Τότε η f αναπτύσσεται σε σειρά Lauret f a ( ) < < R Εστω τώρα ότι το είναι ένα µεµονωµένο ανώµαλο σηµείο της f Αν υπάρχει m έτσι ώστε στο ανάπτυγµα Lauret της f να ισχύει a και a για κάθε < m δηλαδή m f a ( ) < < R m τότε το καλείται πόλος m -τάξης και µπορούµε να γράψουµε g f m όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο R < µε g Στην περίπτωση που το ανάπτυγµα Lauret της f περιέχει άπειρο πλήθος µη µηδενικών συντελεστών a ( ) τότε το καλείται ουσιώδης ανωµαλία της f Τέλος εάν ισχύει a για κάθε < τότε η ανωµαλία καλείται επουσιώδης ή απαλείψιµη 33

8 Ορισµός 5 Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο G εκτός ενός πλήθους σηµείων που είναι πόλοι της f στον G τότε η f καλείται µερόµορφη συνάρτηση Οι ακόλουθες προτάσεις χαρακτηρίζουν τους διαφόρους τύπους ανωµαλιών: Πρόταση 5 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι απαλείψιµη ανωµαλία αν και µόνο αν ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: Η f είναι φραγµένη σε κάποια διάτρητη περιοχή του υπάρχει το lim f lim f Πρόταση 53 Εάν η f είναι ολόµορφη σε τόπο G και έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο σηµείο τότε το είναι πόλος τάξης αν και µόνο αν ο είναι ο µικρότερος φυσικός ώστε να ισχύει κάποια από τις παρακάτω συνθήκες: η ( ) f είναι φραγµένη σε κάποια περιοχή του υπάρχει το lim f και είναι διάφορο του µηδενός + lim f Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα Ορισµός 5 Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο < < R µε ανάπτυγµα Lauret f ( ) ( ) π i γ + ( ) f a d όπου γ είναι οποιαδήποτε απλή κλειστή θετικά προσανατολισµένη τµηµατικά 34

9 λεία καµπύλη στο εσωτερικό του διάτρητου δίσκου < < R Ο συντελεστής a f d πi γ του αναπτύγµατος Lauret της f καλείται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο συµβολικά Res f Θεώρηµα 54 (Ολοκληρωτικών υπολοίπων) Εστω f είναι ολόµορφη πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής κλειστής θετικά προσανατολισµένης τµηµατικά λείας καµπύλης γ µε εξαίρεση ένα πεπερασµένο πλήθος αποµονωµένων ανωµάλων σηµείων στο εσωτερικό της γ Τότε f d π i Res( f ) γ Απόδειξη Αµεση από το γενικευµένο Θεώρηµα Cauchy και τον ορισµό 5 Υπάρχουν απλές µέθοδοι για τον υπολογισµό των ολοκληρωτικών υπολοίπων µιας συνάρτησης σε πόλους Πράγµατι Αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία τότε a Res f οπότε ( ) f a Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε a f a + ( ) οπότε a Res( f ) lim ( ) f Αν το είναι πόλος ης τάξης τότε 35

10 οπότε a a f + + a ( ) + ( ) f a + a ( ) + a ( ) και παραγωγίζοντας και τα δύο µέλη έχουµε Αρα (( ) f ) a + ( + ) a ( ) + d a Res( f ) lim ( ) f d Συνεχίζοντας επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε ότι Αν το είναι πόλος m-τάξης τότε Res f lim ( m )! m (( ) ) m d f m d Aν µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο εξωτερικό κάποιου δίσκου τότε είναι λογικό να πούµε ότι η f έχει αποµονωµένη ανωµαλία στο Στην περίπτωση που θέλουµε να εξετάσουµε µια ολόµορφη συνάρτηση στο είναι λογικό να εξετάσουµε την f στο Εστω F f a a Μελετώντας λοιπόν τη σειρά Lauret της F διαπιστώνουµε αν το είναι απαλείψιµη ανωµαλία ή πόλος ή ουσιώδης ανωµαλία Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο ορίζεται κατά τα γνωστά ως Res( f ) f d πi γ 36

11 όπου γ είναι απλή κλειστή και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη ως προς το χωρίο του σχήµατος (βλέπε ακόλουθο σχήµα) Res f Res - f Πρόταση 54 Ισχύει Απόδειξη Εστω γ είναι ο κύκλος R ο οποίος διαγράφεται µε τη φορά του παραπάνω σχήµατος Τότε θέτοντας w έχουµε Res ( f ) f d f πi i w w dw γ π Γ Res - f Πρόταση 55 Εστω f είναι ολόµορφη σε δίσκο < R και έστω { } είναι µια ακολουθία σηµείων του δίσκου µε λ ( λ ) τέτοια ώστε * lim Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο δίσκο < R Απόδειξη Για κάθε στο δίσκο R Αφού η f είναι συνεχής στο < ισχύει f a + a ( ) έχουµε lim f f a Αρα: οπότε f a+ a f ( ) lim f a + a a 37

12 Επαγωγικά µε τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι a για κάθε Πρόταση 56 Υποθέτουµε ότι µια συνάρτηση f είναι ολόµορφη σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } µε λ ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) τότε ισχύει f ( ) παντού στο G Πόρισµα 5 Οι ρίζες µιας ολόµορφης συνάρτηση σε τόπο G είναι αποµονωµένα σηµεία άρα το πλήθος τους είναι το πολύ αριθµήσιµο Θεώρηµα 55 (Αρχή ταυτισµού) Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ολόµορφες σε τόπο G και ότι η ακολουθία σηµείων { } ( λ ) συγκλίνει σε σηµείο G Αν f ( ) g( ) f g παντού στο G Εφαρµογές των ολοκληρωτικών υπολοίπων (α) Υπολογισµός γενικευµένων ολοκληρωµάτων µε λ τότε ισχύει Θεώρηµα 56 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Τότε: R ( f ) lim π lim f x dx i Res f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Im > Ισοδύναµα R lim f ( x) dx πi Res( f ζ ) R + R όπου ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im( ) < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των γενικευµένων ολοκληρωµάτων θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της s 38

13 ύπαρξης του lim R + R R f x dx f x dx Απόδειξη Εστω είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Εξ υποθέσεως η f είναι ολόµορφη πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών Εκλέγουµε R > ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της f να περικλείονται στο εσωτερικό του ηµικυκλίου R θ [ π ] µε τη θετική φορά όπως στο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε: γ όπου π f d i Res f R R f ( x) dx + f d π i Res( f ) R CR C είναι το άνω ηµικύκλιο Αν δείξουµε f lim d τότε το R + Θεώρηµα θα έχει αποδειχθεί Για κατάλληλα µεγάλο R έχουµε εξ υποθέσεως ότι i Rf( Re θ ) ε όπου ε αυθαίρετα µικρό οπότε π iθ iθ f d f ( Re ) Rie dθ επ ε Αρα το Θεώρηµα αποδείχθηκε C R Το παραπάνω Θεώρηµα µπορεί να γενικευθεί στην περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Αυτό συµβαίνει λόγω της ακόλουθης: Πρόταση 57 (Λήµµα Jorda) Εστω f είναι ολόµορφη στο διάτρητο δίσκο Dr { : r} < < και έχει απλό πόλο στο Αν C R < ε < r 39

14 + είναι τόξο κύκλου και ακτίνας ε και γ { : i e θ ε ε : θ θ θ} τότε ( θ θ ) lim f d i Res f ε γ ε Απόδειξη Εφόσον το είναι απλός πόλος έχουµε a a f d + g d d + g d γε γε γε γε όπου η g είναι ολόµορφη στο δίσκο D Προφανώς r a θ iθ d a i e d a i ( ) i γ ε θ θ θ θ ε θ εe Απ την άλλη µεριά εφόσον η g είναι ολόµορφη στο δίσκο r ( ) συνεχής στο δίσκο Dr ( ) και άρα φραγµένη σε µια περιοχή του αρκούντως µικρό ε έχουµε f M για κάθε Αρα: γ ε και παίρνουµε το ζητούµενο Dε g d M d M θ θ ε ε D θα είναι Αρα για Θεώρηµα 57 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ( f ) lim Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα τότε: όπου R π + π lim f x dx i Res f i Res f r R + R είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο m 4

15 Im > Ισοδύναµα όπου R s π ( ζ ) π lim f x dx i Res f i Res f r R + R ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Im < Απόδειξη Συνδυασµός της Πρότασης 57 και του Θεωρήµατος 56 (β) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων της µορφής π R ( συνθ ηµθ ) όπου R είναι ρητή συνάρτηση του ηµθ συνθ που δεν έχει ανώµαλα σηµεία επί του µοναδιαίου κύκλου dθ m Θέτουµε i e θ θ [ π ) oπότε παίρνουµε: iθ iθ e + e συνθ + iθ iθ e e ηµθ i i και d d e d ie dθ dθ Τότε: i θ i iθ d R d f d i Res f ( συνθ ηµθ ) θ π π όπου είναι όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία της ρητής συνάρτησης f εντός του µοναδιαίου κύκλου µε τη θετική φορά (η f προκύπτει από τις παραπάνω αντικαταστάσεις των συνθ ηµθ στην R και από την αντικατάσταση του dθ ) 4

16 (γ) Υπολογισµός ολοκληρωµάτων τύπου Fourier lim R iω x ω f ( x) e dx ω ( f : ) Φ R + R Θεώρηµα 58 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων εκ των οποίων κανένα δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα και έστω ότι Αν ω τότε: lim f για κάθε ω < ισχύει R iωx iω π ( ) lim f xe dx i Rese f R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει όπου s iωx iω π ( ζ ) R lim f x e dx i Res e f R R + ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < Σηµειώνουµε ότι η σύγκλιση των ολοκληρωµάτων αυτών θεωρείται µε την έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή της ύπαρξης του lim R i x f xe ω dx R + R Το Θεώρηµα αυτό µπορεί να γενικευθεί για την περίπτωση που η f έχει και πεπερασµένο πλήθος απλών πόλων πάνω στον πραγµατικό άξονα Θεώρηµα 59 Εστω f είναι ολόµορφη στο εκτός πεπερασµένου πλήθους αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων και έστω ότι lim f 4

17 Αν η f έχει µόνον απλούς πόλους r r m πάνω στον πραγµατικό άξονα και αν ω τότε: για κάθε ω < ισχύει R m i ω x i i π ( ω ) + π ( ω ) lim f x e dx i Res e f i Res e f r R + R όπου είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο άνω ηµιεπίπεδο Ι m > και για κάθε ω > ισχύει s m iωx iω iω π ( ζ) π ( ) f xe dx i Rese f i Rese f r ζ ζ s είναι όλα τα ανώµαλα σηµεία της f στο κάτω ηµιεπίπεδο Ι m < όπου Σηµείωση: Τα ολοκληρώµατα στα Θεωρήµατα 57 και 59 θεωρούνται ότι συγκλίνουν µε την έννοια πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy δηλαδή: Αν f είναι συνεχής στο τότε υπάρχει το lim R πραγµατικός αριθµός ή R i x f xe ω dx R και είναι αν η f είναι ασυνεχής σε σηµείο a και µη φραγµένη σε µια περιοχή του a τότε υπάρχει το lim a + r lim a + r iω x f xe dx + r ) a r (δ) Αντιστροφή µετασχηµατισµού Laplace γ + i t f () t e F d ( t ) π i > γ i iω x f xe dx + r (ή το a r Eστω ότι µια συνάρτηση F είναι ολόµορφη στο µιγαδικό επίπεδο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων Για αρκετά µεγάλο R θεωρούµε 43

18 ένα κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα της µορφής ix ( x R) γ + το οποίο επιλέγεται έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν (κάτω από κάποιες συνθήκες πάνω στην f ) η συνάρτηση F( ) είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της f δηλαδή + t F f() t e dt τότε η f () t γ ir t lim πi + e F d + R ir i e F d t γ π > γ i γ i t είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace της F υπό την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωµα συγκλίνει κατά Cauchy Θεώρηµα 5 Εστω ότι ο µετασχηµατισµός Laplace F( ) (µιας συνάρτησης f(t) t>) είναι ολόµορφη στο εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος ανώµαλων σηµείων και έστω γ + is ( s R) είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > να είναι αρκετά µεγάλο ώστε όλα τα ανώµαλα σηµεία της F να περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού Αν lim F τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f της συνάρτησης F υπολογίζεται από την ισότητα γ + f() t lim ir e t F d Res( e t F ) ( t ) π i R > γ ir Λυµένες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f 5+ 6 (β) g ηµ και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης (γ) h Log( ) Λύση (α) Χρησιµοποιώντας ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε f

19 + 3 + < συν (β) Χρησιµοποιώντας τον τύπο ηµ παίρνουµε συν ηµ!! (γ) Εχουµε + ( ) + Log < Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο η συνάρτηση f ( + ) i 6i + Λύση Mετά από διαίρεση των δύο πολυωνύµων (αριθµητή και παρονοµαστή) και στη συνέχεια µε ανάλυση σε άθροισµα µερικών κλασµάτων παίρνουµε f 3i 3i 3i ( ) ( ) 3i < ( ) ( ) < 3 + i

20 3i+ < 3 + ( ) Εστω g 3i Τότε g 3i g g > Αρα η g αναπτύσσεται σε πολυώνυµο Taylor γύρω από το σηµείο ως g g g + g ( ) + ( ) ( 3i ) + ( 3i )( ) + ( ) Ετσι έχουµε f ( 3i) + ( 3i)( ) + ( ) + ( ) ( ) + < 3 3 Χρησιµοποιώντας τα ανάπτυγµα McLauri της f υπολογισθεί η σειρά ( ) να Λύση Θεωρούµε τη γεωµετρική σειρά < + Παραγωγίζοντας παίρνουµε ( ) < + Θέτουµε στην παραπάνω παίρνουµε + 4 Να βρεθούν όλες οι ακέραιες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση f f f µε αρχικές συνθήκες f Λύση Eφόσον η f είναι ακεραία θα ισχύει f () f Από το! f f και το θεώρηµα παραγώγισης δυναµοσειρών την εξίσωση θεώρηµα µοναδικότητας για τη σειρά Taylor έχουµε: 46

21 f () f () f f!! ( ) ( + ) f () f ()!! f () f ()!! ( + ) ( + ) f () f () Aπό τις αρχικές συνθήκες παίρνουµε + f () άρα f! ( ) 5 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f + i (β) g ( + ) σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο i Λύση (α) Η f είναι ολόµορφη στο { i} και συνεπώς η f δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i Ετσι έχουµε: ( η περίπτωση): Eστω i < i ( i) Τότε i που να περιέχει το i f i ( i) i i ( i ) i i + i + + ( η περίπτωση): Eστω i > i Τότε 47

22 i f i i i i i + + i i (β) Η g είναι ολόµορφη στο { } ( i) + και συνεπώς η g δε µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Lauret σε δακτύλιο µε κέντρο το i που να περιέχει το ή το Με ανάλυση σε µερικά κλάσµατα έχουµε: g ( + ) + i + i i + + i ιακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ( η περίπτωση): Eστω i < i < Τότε προφανώς ισχύει και i i i < < οπότε στο δακτύλιο { : < i < } + i έχουµε: g i i + i i + + i + i i i ( ) ( ) i i + i + i ( i + ) + i ( + i) ( η περίπτωση): Eστω i > i > i και < i < i + i Τότε στο δακτύλιο { : < i < } έχουµε g i + i + i i + ( i) ( ) ( + i ) 48

23 i i ( ) ( ) i i + i + i a ( i) όπου a ( ) ( i) + ( i) + < (3 η περίπτωση): Eστω i i > i > Τότε > και στο + i i δακτύλιο { : < i } έχουµε g i + i i + ( i) ( + i) ( i ) i + i ( ) ( ) i i i i ( i ( i) )( i) + 6 Να ταξινοµηθούν τα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) + f (β) ηµ π + συν g (γ) h e (δ) ( ηµ ) (ε) l (στ) e m ( )( ) 3 ηµ ( π ) 3 και να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα σηµεία αυτά Λύση (α) Η συνάρτηση f είναι ολόµορφη στο { } + + διαπιστώνουµε ότι το Εφόσον είναι πόλος ης τάξης (άµεσα 49

24 Res f Σηµειώνουµε ότι η f είναι από τον ορισµό) Ετσι έχουµε ολόµορφη στο διότι υπάρχει το f (β) Λύνουµε την εξίσωση παρατηρούµε ότι a lim lim + π e + i Επίσης e e άρα οι είναι απλές ρίζες Για τις τιµές των που βρήκαµε ο αριθµητής της g δε µηδενίζεται ποτέ Από τα παραπάνω συνάγουµε ότι η g είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης της g Ετσι έχουµε lim ( ) Res g g LHosp ' ( ηµ ( π ) ) ( ) πσυν ( π ) ηµ ( π ) lim e e Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της g (γ) Η συνάρτηση h είναι ολόµορφη στο { } Επειδή 4 cos + + +! 4!! 4! η h έχει πόλο ης τάξης στο σηµείο και από τον ορισµό προκύπτει ότι Res( h ) Ισοδύναµα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο d! Res( h) lim ( ) h d lim συν ( π ) π limηµ ( π ) Σηµειώνουµε ότι το είναι ουσιώδες ανώµαλο σηµείο της h (δ) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση 5

25 π i i π + e e 6 ηµ ηµ i π π + π 6 Τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας ενώ ο αριθµητής δεν έχει ρίζες Αρα η είναι ολόµορφη στο { : } όπου είναι πόλοι ης τάξης οπότε d Res( ) lim ( )! d 4 ηµ συν 3 Επειδή lim ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της (ε) Κατ αρχήν λύνουµε την εξίσωση e e π i {} π i { } Η συνάρτηση µας είναι ολόµορφη στο { } : { } Προφανώς τα σηµεία είναι απλές ρίζες του παρονοµαστή ενώ το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο (είναι το όριο των αποµονωµένων ανώµαλων σηµείων ) Τα σηµεία είναι απλοί πόλοι οπότε i Res( l) lim (( ) l ) π Σηµειώνουµε ότι το είναι πόλος ης τάξης της l διότι το σηµείο είναι πόλος ης τάξης της l (στ) Η m δεν είναι ολόµορφη στα σηµεία που είναι ρίζες της εξίσωσης ηµ π Παρατηρούµε ότι τα σηµεία ± είναι απλές ρίζες του αριθµητή το σηµείο είναι ρίζα του αριθµητή πολλαπλότητας 5

26 τα σηµεία είναι ρίζες του παρονοµαστή πολλαπλότητας 3 Αρα συνδυάζοντας τα παραπάνω βρίσκουµε εύκολα ότι τα σηµεία ± είναι πόλοι ης τάξης της m οπότε το σηµείο είναι απαλείψιµη ανωµαλία της m τα υπόλοιπα σηµεία { ± } Εχουµε λοιπόν: είναι πόλοι 3 ης τάξης της m d Res( m) lim ( ) m 3 ( )! d π d 7 Res( m-) lim ( + ) m 3 ( )! d π Res( m ) () d 3 Res( m) lim ( ) m (3 )! d Επειδή lim m ± το σηµείο είναι µη αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της 7 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα (α) ed 3 (β) γ γ ηµ d (γ) e ηµ d γ όπου γ είναι ο µοναδιαίος κύκλος µε θετικό προσανατολισµό Λύση: (α) H συνάρτηση f e έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε 5

27 Επειδή ed πi Res f γ f e! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου Res f Tελικά και το παραπάνω ανάπτυγµα Lauret έχουµε ότι (β) H συνάρτηση 3 ed πi Res f πi πi γ g ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε a Επειδή πi Res( f) g d γ 3 g ! 5! 7! 3! 5! 7! από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res g Tελικά a Lauret έχουµε ότι π g d i Res g πi γ (γ) H συνάρτηση h e ηµ έχει στο σηµείο ουσιώδες ανώµαλο σηµείο στο εσωτερικό της γ Αρα από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε h d πi Res h Επειδή γ ! 3! 5! h 53

28 από τον ορισµό του ολοκληρωτικού υπολοίπου και το παραπάνω ανάπτυγµα Res h Tελικά a Lauret έχουµε ότι h d πi Res h πi πi γ 8 Να υπολογισθούν τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) (γ) d d (β) ( ) ( ) 4 ηµ π d (δ) d ( ) / ( ) 4 ηµ π d 3 d Λύση (α) H συνάρτηση f έχει δύο αποµονωµένα ανώµαλα ( ) σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Επειδή και τα δύο ανώµαλα σηµεία είναι στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή f d πi ( Res( f ) + Res( f )) d Res( f ) lim ( ) lim lim ( )! d ( ) ( ) ( ) και παίρνουµε Res( f ) lim ( ) lim ( ) π f d i + 54

29 (β) Οπως είδαµε παραπάνω η συνάρτηση f έχει δύο ( ) αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία: το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης και το σηµείο που είναι πόλος ης τάξης Τώρα όµως µόνον το είναι στο εσωτερικό του κύκλου / οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε / (γ) Η συνάρτηση g f d πi Res f πi πi ( ) 4 ηµ π έχει στο σηµείο πόλο 3 ης τάξης (παρατηρήστε ότι το είναι απλή ρίζα και του αριθµητή) Επειδή όµως g είναι ολόµορφη στο εσωτερικό του κύκλου από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε g d (δ) Στην περίπτωση αυτή ο πόλος 3 ης τάξης βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου 3 οπότε από το Θεώρηµα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Επειδή παίρνουµε Res g 3 πi Res( g) g d d () ( ) lim ( ) ( ) ηµ π (3 )! d 3 ηµ ( π ) 5π lim ( ) π π i g d π i Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα 55

30 dx (α) (β) 4 + x xdx ( a > ) ( x )( x + a ) Λύση (α) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση 4 ισχύει lim ( f ) lim lim / + Η f έχει 4 απλούς πόλους που είναι ρίζες της εξίσωσης f + για την οποία ισχύει π+ π i e 3 πi 3πi 5πi 7πi Αρα οι πόλοι της f είναι τα σηµεία e e e 3 e Από αυτούς µόνον οι βρίσκονται στο άνω ηµιεπίπεδο (και καµία πάνω στον πραγµατικό άξονα) Αρα από το Θεώρηµα 56 παίρνουµε dx πi 4 ( Res( f ) + Res( f ) ) + x Εφόσον τα είναι απλοί πόλοι έχουµε και + i Res( f ) lim( ) f lim 4 ( )( )( ) 3 i Res( f ) lim( ) f lim 4 dx π Ετσι προκύπτει 4 + x ( )( )( ) 3 (β) Θεωρούµε τη ρητή συνάρτηση f ( )( + a ) για την οποία 56

31 ισχύει 3 lim lim lim ( f ) ( )( + a ) ( / )( + a / ) Η f έχει: έναν απλό πόλο πάνω στον πραγµατικό άξονα και δύο πόλους ης τάξης στα σηµεία ± ai εκ των οποίων µόνον ο ai βρίσκεται στο άνω ηµιεπίπεδο Αρα από το Θεώρηµα 57 παίρνουµε Εφόσον και xdx πi Res ( f ai) + πi Res( f) ( x )( x + a ) Res f lim f lim ( + a ) ( + a ) Res f ai lim ai f lim + i a ( )( ai) + ( + a ) 4a( + a ) ai ai προκύπτει ( a ) xdx π x x + a 4a + a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π ( + συνθ ) 3 dθ i Λύση Θέτουµε e θ θ [ π ) Τότε: iθ d d ie dθ idθ dθ i 57

32 iθ iθ e + e συνθ και iθ iθ e e ηµθ i i i i οπότε το αρχικό ολοκλήρωµα µε αντικατάσταση των παραπάνω γίνεται Η συνάρτηση f d d i i + ( + 3+ ) 3+ ( + 3+ ) έχει πόλους δεύτερης τάξης οι οποίες είναι 3± 5 οι ρίζες της εξίσωσης + 3+ εκ των οποίων µόνον η µια βρίσκεται εντός του µοναδιαίου κύκλου Αρα από το Θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουµε Υπολογίστε: π i 5 5 d πi Res f ( 3 ) + + i iω x xe dx (α) το ολοκλήρωµα + x (β) το ολοκλήρωµα ( 3 ) xηµ x dx ( ab > a b) ( x + a )( x + b ) (γ) τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της συνάρτησης F

33 Λύση (α) Εστω h Τότε lim h Απ την άλλη µεριά η + iω e συνάρτηση g έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± i κανένας εκ + των δυο δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 παίρνουµε ( i) iω x ω xe dx πi Res g i ω < πie / ω < ω + x πi Res g ω > πie / ω > ω πie ω < ω πie ω > xdx Αν ω τότε βρίσκουµε άµεσα ότι (θεωρούµε τη σύγκλιση µε + x την ασθενή έννοια της πρωτεύουσας τιµής κατά Cauchy) (β) Εστω συνάρτηση g h ( + a )( + b ) e 3i ( + a )( + b ) Τότε lim g Απ την άλλη µεριά η έχει τέσσερις απλούς πόλους στα σηµεία ± ai ± bi κανένας εκ των οποίων δε βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα Τότε απ το Θεώρηµα 58 (για ω 3) παίρνουµε 3ix xe dx πi ( Res( h ai) + Res( h bi) ) (ab>) ( x + a )( x + b ) 3a 3b 3a 3b e e πi e e π i ( b a ) ( b a ) b a Εξισώνοντας τα φανταστικά µέρη της παραπάνω ισότητας παίρνουµε xηµ ( 3 ) x dx ( x + a )( x + b ) 3a 3b ( e ) πie b a 59

34 + + 8 (γ) Εστω F Τότε lim F Απ την άλλη µεριά η συνάρτηση F( ) έχει τρεις απλούς πόλους στα σηµεία ± i Aν γ + είναι κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα έτσι ώστε το γ > τότε is ( s R) όλοι οι πόλοι της F περιέχονται εξ αριστερών του τµήµατος αυτού τότε απ το Θεώρηµα 5 έχουµε ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace f ισούται µε ( ) ( ) t t t f () t Res e F + Res e F i + Res e F i i it i it συν t + e + e + ( t > ) 4 4 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + ax dx x + b ( a b > ) i e (β) d όπου γ είναι η περίµετρος ορθογωνίου στο µιγαδικό επίπεδο γ + 4 µε κορυφές τα σηµεία i 3 + i 3 log a Λύση (α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f η οποία είναι πλειονότιµη + b µε το να είναι κλαδικό σηµείο Για ευκολία θεωρούµε εκείνο τον κλάδο του π 3π λογάριθµου για τον οποίο ισχύει log ( a) ( a ) + iθ θ < και έχουµε το σχήµα απ το οποίο χρησιµοποιώντας το θεώρηµα των ολοκληρωτικών υπολοίπων και λαµβάνοντας υπόψη ότι η f έχει δύο απλούς πόλους στα σηµεία ± bi εκ των 6

35 οποίων µόνον ο πόλος bi βρίσκεται στο εσωτερικό του παραπάνω σχήµατος παίρνουµε R r R π Re ( ) f d f x dx f d f x dx i s f bi C R c r Για αρκούντως µεγάλο R C R >> b έχουµε: r θ π ar+ i iθ ar+ π f d Rie dθ R π R + iθ Re + b R b διότι ar+ π lim R π + R b R (L Hospital) Eπίσης για αρκούντως µικρό r << b έχουµε: c r + iθ ar ar + π iθ f d rie dθ r π r π iθ re + b b r + διότι r ( ar) lim άρα και + r r r ar lim Τελικά παίρνουµε: + b r Αλλά + + π f x dx f x dx i Re s f bi π + ax + i ax + iπ f ( x) dx dx dx x + b x + b + ax + dx + i π dx x + b x + b Αρα + + ax + f ( x) dx + f ( x) dx dx + iπ dx πi Re s ( f bi) x + b x + b Εφόσον 6

36 ( a) log( a) log πi Res( f bi) πi lim( bi) πi lim bi + b bi + bi τελικά έχουµε ( abi) ( ab) + i π π ( ab) π log / πi π + i bi b b b π π ax ab ax ab dx dx x + b b x + b b + + i e (β) Η συνάρτηση f έχει απλούς πόλους στα σηµεία ± i εκ των + 4 οποίων µόνον το σηµείο i υπεισέρχεται στην ολοκλήρωση και βρίσκεται πάνω στην κορυφή του ορθογωνίου Ολοκληρώνουµε την f κατά µήκος της κλειστής καµπύλης όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα Τότε από το Θεώρηµα του Cauchy έχουµε f ( ) d συνεπώς R r i + 3 i 3 f d + f d + f d + f d + f d r+ i 3+ i 3 c όπου c r τόξο µε τη φορά του σχήµατος Τότε r i i 3 f d f d f d f d f d r+ i 3+ i 3 cr r i 3 Αφού cr : i re θ π + θ π από την Πρόταση 57 έχουµε διαγράφεται µε τη θετική φορά 6

37 3π πi ie πe lim f d i π Res( fi) + c r 4 8 r συνεπώς f πe d γ 8 Αλυτες ασκήσεις Να αναπτυχθούν σε σειρά McLauri οι συναρτήσεις (α) f ( + )( ) (β) g ηµ ( ) (γ) h Arcta h (δ) sec και να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης συν + < 3 Απάντ (α) (γ) ( ) + + (β) π < (δ) < 4 (-) ( + )! 4+ Να βρεθούν τα αναπτύγµατα Lauret των συναρτήσεων (α) f 3 σε όλους τους δυνατούς δακτυλίους µε κέντρο το σηµείο (β) g µε κέντρο το σηµείο για κάθε < < ( ) (γ) h ηµ γύρω απ το σηµείο Απάντ (α) + 3 όταν < 3 + όταν >

38 (β) ηµ ( + π ) 4 (γ) < <! ( ) 3 Να ταξινοµηθούν όλα τα αποµονωµένα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) f ( + ) (β) g (γ) h ηµ sih (δ) ( e + ) (ε) l e m ηµ π (στ) (ζ) a ηµ ( π ) 4 Απάντ (α) ± 5 πόλοι ης τάξης (β) π ± ± απλοί πόλοι (γ) απαλείψιµη ανωµαλία πi ± ± απλοί πόλοι (δ) + + πi πόλοι ης τάξης (ε) ουσιώδης ανωµαλία (στ) ± π απαλείψιµες ανωµαλίες (ζ) π πόλος ης τάξης 4 Να υπολογισθούν τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα στα ανώµαλα σηµεία των συναρτήσεων (α) e f (β) g ηµ + (γ) h συν ηµ 5 Res f 6 Απάντ (α) Res( f ) e Res( f ) e (β) ( ) (γ) Res( f )!! ( + ) 64

39 5 Να ορισθεί ο χαρακτήρας του ανωµάλου σηµείου των συναρτήσεων (α) f ( + cosh) συν (β) g 7 Απάντ (α) πόλος 4 ης τάξης (β) πόλος 5 ης τάξης 6 Υπολογίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) e t d γ είναι ο κύκλος 3 γ ( + + ) µε θετικό προσανατολισµό (β) ηµ ( π ) ( ) + 3 d γ είναι το τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία ± 3± 3i γ µε θετικό προσανατολισµό (γ) + 5 d γ είναι ο κύκλος i 3 γ 3 ( + ) ( + 4) προσανατολισµό µε θετικό (δ) γ e d cosh γ είναι ο κύκλος 5 µε θετικό προσανατολισµό t π 3π 5πi 3πi + ηµ (β) 6π i (γ) Απάντ (α) i ( t) ( t ) (δ) 8π i 7 Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα dx (α) (β) 6 + x xdx ( x + ) ( x + x+ ) π 7π Απάντ (α) (β) Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 65

40 (α) π dθ (β) 3 συνθ + ηµθ ( 3 ) π συν θ dθ 5 4συνθ π Απάντ (α) π (β) 9 Υπολογίστε: (α) το ολοκλήρωµα τύπου Fourier ηµ x e x iω x dx (β) το ολοκλήρωµα x ηµ π x dx x + x+ 5 Απάντ (α) ( ω) π ω Φ (β) ω > πe π Υπολογίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace των συναρτήσεων (α) F + ( + 9) (β) G 8 5 ( ) Απάντ (α) f () t συν ( 3t) + ηµ 3t (β) g() t ( t+ ) e t Υπολογίστε τα γενικευµένα ολοκληρώµατα: (α) + x + x + dx (β) ηµ x dx (γ) x p + x dx < p < + x Απάντ (α) π ηµ π π π (β) (γ) ( p ) 66

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( ) 4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση

Διαβάστε περισσότερα

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( ) 3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.

2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας

Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Επίλυση Προβληµάτων Αρχικών / Συνοριακών Τιµών Μεταδόσεως Θερµότητας Τα προβλήµατα µεταδόσεως θερµότητας (ή θερµικής αγωγιµότητας heat conduction), µε την υπόθεση ισχύος του νόµου Fourier, διέπονται από

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Β Μιγαδική ανάλυση Μέρος Β Πρόχειρες σημειώσεις Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Πριν ορίσουμε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης f(z) θα σταθούμε

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Περιεχόµενα Eισαγωγή στους µιγαδικούς αριθµούς Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις 3 Οριο-Συνέχεια-Παράγωγος Αναλυτικές Συναρτήσεις 4 Μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος

Κεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος 9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin

[1] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. z : Παρατηρούμε ότι sin [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ. Τμήμα Α (α) Για τη συνάρτηση f () : Παρατηρούμε ότι si u= y x και v x u = ycos x, u = si x, v =, v =. x y x y = οότε Οι ανωτέρω ρώτες μερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im

( ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.: 2. Εστω ότι τα σηµεία z,..., Υπολογίστε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. θ,n ισούται µε. (α) βρίσκονται στο ηµιεπίπεδο Im ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Α.Μ.:. είξτε ότι η οσότητα συνθ + συν ( θ + a) +... + συν ( θ + na) θ,n ισούται µε ( ) ηµ (( n+ ) a/ ) συν ( θ + na /). (β) ηµ ( a /) ηµ ( na /) (γ) ηµ ( θ + na /). (δ) ηµ ( a /) συν ((

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. β) Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f1( z ) γράφονται. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στο e-course στις «Περιλητικές Σημειώσεις» σελ7 και σελ5 β) Το ραγματικό και το φανταστικό μέρος της f( ) γράφονται uxy (, ) = si( x) και

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα. E. Αν υπάρχει το όριο ( + ) ( ) ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παράγωγος συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Κατευθυνόµενη Παράγωγος Ορισµός Έστω a είναι µία κατεύθυνση στον (δηλαδή ένα µοναδιαίο διάνυσµα του χώρου ), E είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του, : E και

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα